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* Lineare Algebra
* Analysis
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* Stochastik
* Differentialgleichungen
* Funktionentheorie
* Optimierung
* Funktionalanalysis
* Differentialgeometrie


* Mathematik für Naturwissenschaftler
* Mathematik für Ingenieure
* Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler

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* Mathematik für Ingenieure
* Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler


* Abituraufgaben

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* Analysis
* Algebra und Diskrete Mahematik
* Numerik
* Stochastik
* Differentialgleichungen
* Funktionentheorie
* Optimierung
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* Differentialgeometrie


* Mathematik für Naturwissenschaftler
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* Abituraufgaben

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* Lineare Algebra
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=== [[Spezial:Categories|Kategorien]] ===
* Lineare Algebra
* Analysis
* Algebra und Diskrete Mahematik
* Numerik
* [[:Kategorie:Stochastik|Stochastik]]
* Differentialgleichungen
* Funktionentheorie
* Optimierung
* [[:Kategorie:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]]
* Differentialgeometrie
* Variationsrechnung


* Mathematik für Naturwissenschaftler
* Mathematik für Ingenieure
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* Abituraufgaben

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=== [[Project:Über_WikiMath|Das Ziel von WikiMath]] ===
Dieses Wiki sammelt Aufgaben aus der Mathematik, inklusive deren Lösungen. Dadurch soll jedem, der sich beim lösen seiner Übungsaufgaben allein gelassen fühlt, geholfen werden. Ihr könnt hier nach eurer Aufgabe suchen. Entweder Ihr findet direkt eine Lösung, oder Ihr könnt Eure Aufgabe auf eine neue Seite schreiben, die dann vielleicht der nächste interessierte WikiMath Benutzer löst.

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=== [[Spezial:Categories|Kategorien]] ===
* [[:Lineare Algebra]]
* [[:Analysis]]
* [[:Algebra und Diskrete Mahematik]]
* [[:Numerik]]
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* [[:Differentialgleichungen]]
* [[:Funktionentheorie]]
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* [[:Differentialgeometrie]]
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* [[:Mathematik für Naturwissenschaftler]]
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* [[:Abituraufgaben]]

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=== [[Project:Über_WikiMath|Das Ziel von WikiMath]] ===
Dieses Wiki sammelt Aufgaben aus der Mathematik, inklusive deren Lösungen. Dadurch soll jedem, der sich beim lösen seiner Übungsaufgaben allein gelassen fühlt, geholfen werden. Ihr könnt hier nach eurer Aufgabe suchen. Entweder Ihr findet direkt eine Lösung, oder Ihr könnt Eure Aufgabe auf eine neue Seite schreiben, die dann vielleicht der nächste interessierte WikiMath Benutzer löst.

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=== [[Spezial:Categories|Kategorien]] ===
* [[:Kategorie:Lineare Algebra]]
* [[:Kategorie:Analysis]]
* [[:Kategorie:Algebra und Diskrete Mahematik]]
* [[:Kategorie:Numerik]]
* [[:Kategorie:Stochastik|Stochastik]]
* [[:Kategorie:Logik]]
* [[:Kategorie:Differentialgleichungen]]
* [[:Kategorie:Funktionentheorie]]
* [[:Kategorie:Optimierung]]
* [[:Kategorie:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]]
* [[:Kategorie:Differentialgeometrie]]
* [[:Kategorie:Variationsrechnung]]


* [[:Kategorie:Mathematik für Naturwissenschaftler]]
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* [[:Kategorie:Abituraufgaben]]

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Eine ausführhliche Erklärung zum editieren von mathematischen Formeln in einem Wiki findest Du in der [http://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Wikipedia Tex Hilfe]</text>
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    <text bytes="1425" xml:space="preserve">Wenn Du an WikiMath mitarbeiten möchtest, aber nicht weißt wie das geht und deswegen auf der Suche nach Hilfe bist, dann bist Du hier genau richtig.

WikiMath ist ein Wiki, welches auf der [http://www.mediawiki.org MediaWiki-Engine] basiert, welche z.B. auch von der bekannten freien Internet-Enzyklopädie [http://de.wikipedia.org Wikipedia] verwendet wird. Aufgrund dessen können die Seiten in WikiMath auch genauso bearbeitet werden, wie die Seiten aus Wikipedia. Da es in Wikipedia selber schon sehr viele ausführliche Hilfe-Seiten wird an dieser Stelle anhand einer kleinen Auflistung auf die Seiten hingewiese, die auch insbesondere für WikiMath-Helfer interessant sind:

* [http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Tutorial Wiki-Tutorial] - Eine Schritt für Schritt Anleitung für Neueinsteiger
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Hilfe Wikipedia Hilfe] - Allgemeine Hilfe Seite
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Wikipedia Tex Hilfe] - Eine ausführhliche Erklärung zum editieren von mathematischen Formeln

Bitte schaue dir auch erst einmal die [[Seitenvorlage]] an, an die Du Dich beim Erstellen ganz neuer Seiten orientieren solltest, damit alle Aufgaben eine einheitliche Form bekommen.

Du solltest dann auch erst einmal das Erlernte auf der [[Spielwiese]] ausprobieren, bevor du mit dem Editieren vorhandener Seiten anfängst, oder neu Seiten schreibst. Denn dort kann man nichts kaputtmachen.</text>
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    <text bytes="1412" xml:space="preserve">Wenn du an WikiMath mitarbeiten möchtest, aber nicht weißt wie das geht und deswegen auf der Suche nach Hilfe bist, dann bist du hier genau richtig.

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* [http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Tutorial Wiki-Tutorial] - Eine Schritt für Schritt Anleitung für Neueinsteiger
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Hilfe Wikipedia Hilfe] - Allgemeine Hilfe Seite
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Wikipedia Tex Hilfe] - Eine ausführhliche Erklärung zum editieren von mathematischen Formeln

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WikiMath ist ein Wiki, welches auf der [http://www.mediawiki.org MediaWiki-Engine] basiert, welche z.B. auch von der bekannten freien Internet-Enzyklopädie [http://de.wikipedia.org Wikipedia] verwendet wird. Aufgrund dessen können die Seiten in WikiMath auch genauso bearbeitet werden, wie die Seiten aus Wikipedia. Da es in Wikipedia selber schon sehr viele ausführliche Hilfe-Seiten gibt, soll an dieser Stelle anhand einer kleinen Auflistung auf die Seiten hingewiesen werden, die insbesondere für WikiMath-Helfer interessant sind:

* [http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Tutorial Wiki-Tutorial] - Eine Schritt für Schritt Anleitung für Neueinsteiger
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Hilfe Wikipedia Hilfe] - Allgemeine Hilfe Seite
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Du solltest dann das Erlernte auf der [[Spielwiese]] ausprobieren, bevor du mit dem Editieren vorhandener Seiten anfängst, oder neue Seiten verfasst. Denn dort kann man nichts kaputtmachen.</text>
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==Tipps==
keine Tipps

==Lösung==
Zu zeigen: &lt;math&gt;l^{\infty}&lt;/math&gt;ist nicht separabel, besitzt also keine abzählbar dichte Teilmenge.

Angenommen, dies wäre nicht der Fall und &lt;math&gt;B := \{x^{(1)},x^{(2)},x^{(3)},...\} \subset l^{\infty}&lt;/math&gt;wäre eine solche abzählbare Folge von &lt;math&gt;l^{\infty}&lt;/math&gt;-Folgen, die dicht in &lt;math&gt;l^{\infty}&lt;/math&gt;liegt. Dabei sei jedes dieser &lt;math&gt;x^{(n)} \in B \subset l^{\infty}&lt;/math&gt;von der Form.
&lt;center&gt;&lt;math&gt;x^{(n)} = (x^{(n)}_m)_{m \in \mathbb{N}}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Definiere nun die Folge &lt;math&gt;x = (x_m)_{m \in \mathbb{N}}&lt;/math&gt;durch
&lt;center&gt;&lt;math&gt;x_m=\begin{cases} x^{(m)}_m+1, &amp; \mbox{falls }\|x^{(m)}_m\| \leq 1 \\ 0, &amp; \mbox{sonst } \end{cases} \forall m \in \mathbb{N}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Dann ist wegen &lt;math&gt;\|x_m\| \leq 2&lt;/math&gt;direkt &lt;math&gt;x \in l^{\infty}&lt;/math&gt;ferner ist
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\left\|x-x^{(n)}\right\|_{\infty} \geq |(x-x^{(n)})_n| \geq 1 \ \ \forall n \in \mathbb{N}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
im Widerspruch zur Dichtheit von &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;in &lt;math&gt;l^{\infty}&lt;/math&gt;.

==Schlüsselwörter==
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Ein metrischer Raum heißt separabel, wenn er eine abzählbar dichte Teilmenge besitzt. Zeigen Sie, dass der Folgenraum &lt;math&gt;l^{\infty}&lt;/math&gt;nicht separabel ist.

==Tipps==
keine Tipps

==Lösung==
Zu zeigen: &lt;math&gt;l^{\infty}&lt;/math&gt;ist nicht separabel, besitzt also keine abzählbar dichte Teilmenge.

Angenommen, dies wäre nicht der Fall und &lt;math&gt;B := \{x^{(1)},x^{(2)},x^{(3)},...\} \subset l^{\infty}&lt;/math&gt;wäre eine solche abzählbare Folge von &lt;math&gt;l^{\infty}&lt;/math&gt;-Folgen, die dicht in &lt;math&gt;l^{\infty}&lt;/math&gt;liegt. Dabei sei jedes dieser &lt;math&gt;x^{(n)} \in B \subset l^{\infty}&lt;/math&gt;von der Form.
&lt;center&gt;&lt;math&gt;x^{(n)} = (x^{(n)}_m)_{m \in \mathbb{N}}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Definiere nun die Folge &lt;math&gt;x = (x_m)_{m \in \mathbb{N}}&lt;/math&gt;durch
&lt;center&gt;&lt;math&gt;x_m=\begin{cases} x^{(m)}_m+1, &amp; \mbox{falls }\|x^{(m)}_m\| \leq 1 \\ 0, &amp; \mbox{sonst } \end{cases} \forall m \in \mathbb{N}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Dann ist wegen &lt;math&gt;\|x_m\| \leq 2&lt;/math&gt;direkt &lt;math&gt;x \in l^{\infty}&lt;/math&gt;ferner ist
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==Schlüsselwörter==
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==Quellen==
keine bekannten Quellen

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Ein metrischer Raum heißt separabel, wenn er eine abzählbar dichte Teilmenge besitzt. Zeigen Sie, dass der Folgenraum &lt;math&gt;l^{\infty}&lt;/math&gt;
nicht separabel ist.

===Tipps===
keine Tipps

===Lösung===
Zu zeigen: &lt;math&gt;l^{\infty}&lt;/math&gt;
ist nicht separabel, besitzt also keine abzählbar dichte Teilmenge.

Angenommen, dies wäre nicht der Fall und &lt;math&gt;B := \{x^{(1)},x^{(2)},x^{(3)},...\} \subset l^{\infty}&lt;/math&gt;
wäre eine solche abzählbare Folge von &lt;math&gt;l^{\infty}&lt;/math&gt;
-Folgen, die dicht in &lt;math&gt;l^{\infty}&lt;/math&gt;
liegt. Dabei sei jedes dieser &lt;math&gt;x^{(n)} \in B \subset l^{\infty}&lt;/math&gt;
von der Form.
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&lt;/center&gt;
Definiere nun die Folge &lt;math&gt;x = (x_m)_{m \in \mathbb{N}}&lt;/math&gt;
durch
&lt;center&gt;&lt;math&gt;x_m=\begin{cases} x^{(m)}_m+1, &amp; \mbox{falls }\|x^{(m)}_m\| \leq 1 \\ 0, &amp; \mbox{sonst } \end{cases} \forall m \in \mathbb{N}&lt;/math&gt;
&lt;/center&gt;
Dann ist wegen &lt;math&gt;\|x_m\| \leq 2&lt;/math&gt;
direkt &lt;math&gt;x \in l^{\infty}&lt;/math&gt;
ferner ist
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\left\|x-x^{(n)}\right\|_{\infty} \geq |(x-x^{(n)})_n| \geq 1 \ \ \forall n \in \mathbb{N}&lt;/math&gt;
&lt;/center&gt;
im Widerspruch zur Dichtheit von &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;
in &lt;math&gt;l^{\infty}&lt;/math&gt;
.

===Suchbegriffe===
separabel, abzählbar dicht, l-unendlich Raum, Folgenraum

===Quellen===
keine bekannten Quellen

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]</text>
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  <title>Kategorie:Funktionalanalysis</title>
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    <comment>FuAna Beschreibung</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="847" xml:space="preserve">Die folgende Kurzbeschreibung soll einen Einblick geben, welche Aufgaben in dieser Kategorie zu finden sind.

Die '''Funktionalanalysis''' ist der Zweig der Mathematik, der sich mit dem Studium von Funktionenräumen beschäftigt. Die Funktionalanalysis kann als Teil oder als Erweiterung der Analysis angesehen werden.

Aus moderner Sicht besteht die Funktionalanalysis aus dem Studium vollständiger normierter Vektorräume über den reellen oder komplexen Zahlen. Solche Räume heißen Banachräume. Ein wichtiges Beispiel sind Hilberträume, bei denen die Norm von einem Skalarprodukt erzeugt wird. Diese Räume sind von grundlegender Bedeutung für die mathematische Formulierung der Quantenmechanik. Etwas allgemeiner werden in der Funktionalanalysis auch Fréchet-Räume und andere topologische Vektorräume untersucht, die keine Norm haben.</text>
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  <title>Kategorie:Stochastik</title>
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    <comment>Kategorien-Beschreibung</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="713" xml:space="preserve">Die folgende Kurzbeschreibung soll einen Einblick geben, welche Aufgaben in dieser Kategorie zu finden sind.

'''Stochastik''' ist die Lehre der Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit. Sie ist ein sehr junger Teilbereich der Mathematik, zu dem im weiteren Sinne auch die Kombinatorik, die Wahrscheinlichkeitstheorie sowie die beurteilende Statistik gehören.

Der Begriff Stochastik stammt aus dem Griechischen und heißt soviel wie "Kunst des Mutmaßens". Mathematische Stochastik ist die Beschreibung und Untersuchung von:

*Zufallsexperimenten (z.B. Würfeln, Münzwurf oder Reißzweckenwurf) und deren Ausgang (Ereignis),
*zeitlichen Entwicklungen bzw.
*räumlichen Strukturen,

die vom Zufall beeinflusst werden.</text>
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  <title>Benutzer:Gallois</title>
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&lt;div style="background-color:#003300; font-size: 150%; color:#ffffff; margin:10px; border: none; text-align:center;"&gt;
Gallois: Michael Roosen
&lt;/div&gt;
&lt;div style="background-color:#ffffff; margin:20px;"&gt;
[[Bild:WikiMathGallois.jpg|100px|right|]]
==Über meine Person==
*Wiki-Kontakt: [[Benutzer_Diskussion:Gallois|Benutzer Diskussion]]
*E-mail: über die [http://lists.wikicities.com/mailman/listinfo/de.math-l E-Mail Verteilerliste]

Ich bin Student der Mathematik an der [http://www.uni-duisburg-essen.de/ Universität Duisburg-Essen] am Standort Duisburg. Und Gründer von [[WikiMath:Über_WikiMath|WikiMath]]. Mehr Infos über mich könnt ihr auf meiner [http://www.mathboy.de privaten Homepage] erfahren.

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
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    <text bytes="882" xml:space="preserve">&lt;div style="background-color:#ffffff; border-width:2px; border-style:solid; border-color:#27160E; margin:0px;"&gt;
&lt;div style="background-color:#003300; font-size: 150%; color:#ffffff; margin:10px; border: none; text-align:center;"&gt;
Gallois: Michael Roosen
&lt;/div&gt;
&lt;div style="background-color:#ffffff; margin:20px;"&gt;
[[Bild:WikiMathGallois.jpg|100px|right|]]
==Über meine Person==
*Wiki-Kontakt: [[Benutzer_Diskussion:Gallois|Benutzer Diskussion]]
*E-mail: über die [http://lists.wikicities.com/mailman/listinfo/de.math-l E-Mail Verteilerliste]
*Ich spreche: Deutsch (Muttersprache), Englisch

Ich bin Student der Mathematik an der [http://www.uni-duisburg-essen.de/ Universität Duisburg-Essen] am Standort Duisburg. Und Gründer von [[WikiMath:Über_WikiMath|WikiMath]]. Mehr Infos über mich könnt ihr auf meiner [http://www.mathboy.de privaten Homepage] erfahren.

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;</text>
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  <title>Mathe Wiki:Editierhilfe</title>
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    <comment>Auf Wikipedia Bearbeitungshilfe verwiesen.</comment>
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    <text bytes="143" xml:space="preserve">Eine wirklich gute Editierhilfe findet sich bei Wikipedia unter [http://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Bearbeitungshilfe Hilfe:Bearbeitungshilfe]!</text>
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    <text bytes="275" xml:space="preserve">Eine kurze Editierhilfe findet sich bei Wikipedia unter [http://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:Bearbeitungshilfe Hilfe:Bearbeitungshilfe] !

Weitere Hilfe, insbesondere für Neueinsteiger, aber auch für das Editieren mathematischer Formeln, bekommt ihr auf [[WikiMath:Hilfe]] !</text>
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  <title>Mathe Wiki:Tutorial</title>
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    <comment>Aufs Wikipedia Tutorial (deutsch) hingewiesen.</comment>
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    <text bytes="278" xml:space="preserve">An dieser Stelle möchte ich auf das [http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Tutorial Wikipedia-Tutorial] verweisen, welches anhand einer Schritt-für-Schritt Anleitung dir die grundlegenden Fähigkeiten und das Wissen vermittelt, das du brauchst, um bei WikiMath mitzuarbeiten.</text>
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  <title>Mathe Wiki:Administratoren</title>
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    <text bytes="32" xml:space="preserve">#REDIRECT [[Spezial:Listadmins]]</text>
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    <text bytes="86" xml:space="preserve">Eine Administratorenlist finden sie unter den Spezialseiten auf [[Spezial:Listadmins]]</text>
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    <text bytes="1076" xml:space="preserve">==Aufgabe (spezieller Augabenname)==
Hier gehört die Aufgabenstellung hin.

===Tipps===
Tipps, die beim Selberlösen der Aufgabe helfen, gehören an diese Stelle

===Lösung===
Bitte schreiben sie hier die Aufgabenlösung hin, falls ihnen diese schon bekannt ist. Ansonsten hoffen sie darauf, dass ein anderer Nutzer auch nach dieser Aufgabe sucht und dann, nachdem ihm die Lösung bekannt ist, diese hier reinschreibt.

===Suchbegriffe===
Geben sie hier verschiedene Begriffe ein, über welche die Aufgabe in der WikiMath-Suchmaschine gefunden werden soll.

===Quellen===
Haben Sie die Aufgabe einer bestimmten Quelle entnommen?
Dann gehört ein Verweis hierhin.


==Aufgabe 2 (weiterer Augabenname)==

===Tipps===

===Lösung===

===Suchbegriffe===

===Quellen===

Vergessen Sie nicht Ihre Aufgabe einer/oder mehrerer Kategorien zuzuordnen!
Welche Kategorien bisher existieren, finden Sie auf den Spezialseiten unter [[Spezial:Categories|Seitenkategorien]]. Kategorienvorschläge sind auch schon auf der [[WikiMath|Hauptseite]] zu finden.

[[Kategorie:Beispielkategorie]]</text>
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    <text bytes="1051" xml:space="preserve">==Aufgabe (spezieller Augabenname)==
Hier gehört die Aufgabenstellung hin.

===Tipps===
Tipps, die beim Selberlösen der Aufgabe helfen, gehören an diese Stelle

===Lösung===
Bitte schreibe hier die Aufgabenlösung hin, falls dir diese schon bekannt ist. Ansonsten hoffe darauf, dass ein anderer Nutzer auch nach dieser Aufgabe sucht und dann, nachdem ihm die Lösung bekannt ist, diese hier reinschreibt.

===Suchbegriffe===
Gib hier verschiedene Begriffe ein, über welche die Aufgabe in der WikiMath-Suchmaschine gefunden werden soll.

===Quellen===
Hast du die Aufgabe einer bestimmten Quelle entnommen?
Dann gehört ein Verweis hierhin.


==Aufgabe 2 (weiterer Augabenname)==

===Tipps===

===Lösung===

===Suchbegriffe===

===Quellen===

Vergiss nicht deine Aufgabe einer/oder mehrerer Kategorien zuzuordnen!
Welche Kategorien bisher existieren, findest du auf den Spezialseiten unter [[Spezial:Categories|Seitenkategorien]]. Kategorienvorschläge sind auch schon auf der [[WikiMath|Hauptseite]] zu finden.

[[Kategorie:Beispielkategorie]]</text>
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    <comment>Eine nette bunt beleuchtete Maus für die Spielwiese!</comment>
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    <text bytes="53" xml:space="preserve">Eine nette bunt beleuchtete Maus für die Spielwiese!</text>
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  <title>Vorlage:Spielwiese</title>
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    <comment>Spielwiesen Vorlage erstellt.</comment>
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    <text bytes="770" xml:space="preserve">&lt;div style="padding:0.5em 0.5em 0.5em 0.5em; border:solid 1px #dfdfdf; background-color:#f8f8ff;"&gt;
{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" style="float:right; empty-cells:show; width:175px; margin-left:1em; background-color:transparent;"
|&lt;div style="float:right; margin:0.5em 0 0.5em 1em;"&gt; [[Bild:minimouse.png|135px|!]] &lt;br /&gt;&lt;small&gt;Oben auf '''Seite bearbeiten''' drücken und los gehts!&lt;/small&gt;&lt;/div&gt;
| valign="top" |
|}
Das hier ist die '''WikiMath-Spielwiese'''. Auf dieser Seite könnt und dürft ihr nach Herzenslust herumprobieren und -spielen und dann auch sehen, was passiert.


Hilfe findet sich unter [[WikiMath:Hilfe]].


Sei mutig, aber achte bitte darauf, dass von hier aus verlinkte Seiten nicht mehr zur Spielwiese gehören.
&lt;p&gt;&amp;nbsp;&lt;/p&gt;
&lt;/div&gt;</text>
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  <title>Spielwiese</title>
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    <comment>Spielwiese initiiert</comment>
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    <text bytes="159" xml:space="preserve">&lt;!-- Diese Vorlagenverknüpfung NICHT LÖSCHEN --&gt;
{{Spielwiese}}
&lt;!-- Diese Vorlagenverknüpfung NICHT LÖSCHEN --&gt;
&lt;!-- Bitte ERST HIER DRUNTER schreiben --&gt;</text>
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      <username>Gallois</username>
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    <comment>Seitenvorlage wurde nach Vorlage:Seitenvorlage verschoben</comment>
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    <text bytes="36" xml:space="preserve">#REDIRECT [[Vorlage:Seitenvorlage]]
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  <title>Sigma-Algebra</title>
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    <comment>Artikel mit {{Seitenvorlage}} erzeugt</comment>
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    <text bytes="1051" xml:space="preserve">==Aufgabe (spezieller Augabenname)==
Hier gehört die Aufgabenstellung hin.

===Tipps===
Tipps, die beim Selberlösen der Aufgabe helfen, gehören an diese Stelle

===Lösung===
Bitte schreibe hier die Aufgabenlösung hin, falls dir diese schon bekannt ist. Ansonsten hoffe darauf, dass ein anderer Nutzer auch nach dieser Aufgabe sucht und dann, nachdem ihm die Lösung bekannt ist, diese hier reinschreibt.

===Suchbegriffe===
Gib hier verschiedene Begriffe ein, über welche die Aufgabe in der WikiMath-Suchmaschine gefunden werden soll.

===Quellen===
Hast du die Aufgabe einer bestimmten Quelle entnommen?
Dann gehört ein Verweis hierhin.


==Aufgabe 2 (weiterer Augabenname)==

===Tipps===

===Lösung===

===Suchbegriffe===

===Quellen===

Vergiss nicht deine Aufgabe einer/oder mehrerer Kategorien zuzuordnen!
Welche Kategorien bisher existieren, findest du auf den Spezialseiten unter [[Spezial:Categories|Seitenkategorien]]. Kategorienvorschläge sind auch schon auf der [[WikiMath|Hauptseite]] zu finden.

[[Kategorie:Beispielkategorie]]</text>
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    <comment>Aufgabe gelöst</comment>
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    <text bytes="1824" xml:space="preserve">==Aufgabe (&lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-Algebra Grundeigenschaften)==
Es sei &lt;math&gt;\Omega \neq \emptyset&lt;/math&gt;, und es sei &lt;math&gt;\mathfrak{A}&lt;/math&gt; ein endliches Teilsystem der Potenzmenge von &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; mit den Eigenschaften:
*(1) &lt;math&gt;\Omega \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt;
*(2) &lt;math&gt;A,B \in \mathfrak{A} \Rightarrow A\setminus{B} \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt;.
Man prüfe, ob &lt;math&gt;\mathfrak{A}&lt;/math&gt; unter diesen Voraussetzungen stets eine &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-Algebra ist.

===Tipps===
Wende die Definition der &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-Algebra an.

===Lösung===
Weise die drei definierenden Eigenschaften einer &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-Algebra nach:

1) &lt;math&gt;\Omega \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt; nach (1)

2) &lt;math&gt;A \in \mathfrak{A} \Rightarrow \Omega\setminus{A} \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt; nach (1),(2)

3) &lt;math&gt;A_1,A_2,.. \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt;\mathfrak{A}&lt;/math&gt; endlich ist, gibt es unter den Mengen &lt;math&gt;A_i&lt;/math&gt; nur endlich viele verschiedene.

O.B.d.A. seien dies &lt;math&gt;A_1,..,A_n \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt;, zu zeigen bleibt: 
&lt;math&gt;\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i = \bigcup_{i=1}^{n} A_i \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt;

Hierzu genügt es, zu zeigen: &lt;math&gt;A,B \in \mathfrak{A} \Rightarrow A \cup B \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt;

Betrachte (*):  &lt;math&gt;\Omega\setminus(A \cup B) = \underbrace{(\Omega \setminus A)}_{\in \mathfrak{A}} \cap \underbrace{(\Omega \setminus B)}_{\in \mathfrak{A}}&lt;/math&gt;

Für &lt;math&gt;A,B \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt; gilt: &lt;math&gt;A \cap B = A \setminus \underbrace{(\Omega \setminus B)}_{\in \mathfrak{A}} \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt;

Damit folgt auch &lt;math&gt;(\Omega \setminus A) \cap (\Omega \setminus B) \in \mathfrak{A}
\Rightarrow \Omega \setminus (A \cup B) \in \mathfrak{A}
\Rightarrow A \cup B \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt;

===Suchbegriffe===
sigma-Algebra, Potenzmenge

===Quellen===
Keine Quellen


[[Kategorie:Stochastik]]</text>
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  <title>Mathe Wiki:Über WikiMath</title>
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    <comment>WikiMath:Über WikiMath wurde nach WikiMath:Willkommen verschoben</comment>
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  <title>Mathe Wiki</title>
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    <comment>Über WikiMath -&gt; Willkommen</comment>
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    <text bytes="1927" xml:space="preserve">{{wikicities:MainStyle1}}
&lt;big&gt;Willkommen bei '''[[Project:Willkommen|{{SITENAME}}]].'''&lt;/big&gt; &lt;br /&gt;
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__NOTOC__</text>
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    <comment>/* [[Project:Willkommen|Das Ziel von WikiMath]] */</comment>
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=== [[Spezial:Categories|Kategorien]] ===
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Weitere Hilfe findest Du auf [[WikiMath:Hilfe]] !</text>
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    <text bytes="817" xml:space="preserve">Herzlich Willkommen bei [[WikiMath]], der freien Aufgabensammlung.

==Was ist WikiMath?==

WikiMath ist eine Sammlung von Mathematikaufgaben und deren Lösungen. Die Aufgaben werden nicht von einer festen, bezahlten Redaktion, sondern von freiwilligen Autoren verfasst. Der Name WikiMath setzt sich zusammen aus Wiki, dem hawaiianischen Wort für "schnell", und Mathematik. Ein Wiki ist eine Website, deren Seiten jeder leicht und ohne technische Vorkenntnisse direkt im Browser ändern kann.

WikiMath wurde im Dezember 2005 gegründet und soll seitdem allen Studenten beiseite stehen, die beim lösen ihrer Übungsaufgaben Hilfe und/oder ganze Lösungen suchen. Ebenso möchte dieses Wiki den Übungsleitern einen umfassenden Aufgabenquelle bieten, die sie beim Zusammenstellen ihrer Übungsblätter nutzen können.</text>
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==Was ist WikiMath?==

WikiMath ist eine Sammlung von Mathematikaufgaben und deren Lösungen. Die Aufgaben werden nicht von einer festen, bezahlten Redaktion, sondern von freiwilligen Autoren verfasst. Der Name WikiMath setzt sich zusammen aus Wiki, dem hawaiianischen Wort für "schnell", und Mathematik. Ein Wiki ist eine Website, deren Seiten jeder leicht und ohne technische Vorkenntnisse direkt im Browser ändern kann.

WikiMath wurde im Dezember 2005 gegründet und soll seitdem allen Studenten beiseite stehen, die beim lösen ihrer Übungsaufgaben Hilfe und/oder ganze Lösungen suchen. Ebenso möchte dieses Wiki den Übungsleitern einen umfassende Aufgabenquelle bieten, die sie beim Zusammenstellen ihrer Übungsblätter nutzen können.</text>
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==Was ist WikiMath?==

WikiMath ist eine Sammlung von Mathematikaufgaben und deren Lösungen. Die Aufgaben werden nicht von einem festen, bezahlten Team, sondern von freiwilligen Autoren verfasst. Der Name WikiMath setzt sich zusammen aus Wiki, dem hawaiianischen Wort für "schnell", und Mathematik. Ein Wiki ist eine Website, deren Seiten jeder leicht und ohne technische Vorkenntnisse direkt im Browser ändern kann.

WikiMath wurde im Dezember 2005 gegründet und befindet sich im Aufbau. Die Anzahl der Aufgaben soll sich mit der Zeit und mit deiner/eurer Unterstützung immer weiter vergrößern. Du bist herzlich eingeladen, dein Wissen und deine Erfahrung in Bezug auf mathematische Übungsaufgaben beizusteuern. 

==Für wen ist WikiMath?==

Das Ziel von WikiMath ist es, allen Studenten und Mathematikinteressierten, die beim bearbeiten ihrer Übungsaufgaben Hilfe und/oder ganze Lösungen suchen, beiseitezustehen. Ebenso möchte dieses Wiki den Übungsleitern eine umfassende Aufgabenquelle bieten, die sie beim Zusammenstellen ihrer Übungsblätter nutzen können.

==Was ist WikiMath nicht?==

WikiMath ist eine reine Aufgabensammlung. Reine Begriffserläuterungen, Definitionen, Sätze oder gar ganze Vorlesungspassagen gehören hier nicht hin! Diese Einschränkung ist daher notwendig, damit die Suchanfragen an WikiMath auch wirklich nur Verweise zu Aufgaben liefern. Ansonsten gäbe es schnell ein unüberschaubares Suchergebnis mit zu vielen für den WikiMath-Nutzer uninteressanten Links.
Wer nun aber nach Definitionen und Sätzen sucht, der sollte dies an alternativer Stelle tun. Einiges findet sich sogar in [http://de.wikipedia.org/wiki/Hauptseite Wikipedia] als spezielle Mathematik-Enzyklopädie, möchte ich aber noch auf [http://planetmath.org Planetmath] hinweisen.

==Infos zur Nutzung von WikiMath==</text>
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==Was ist WikiMath?==

WikiMath ist eine Sammlung von Mathematikaufgaben und deren Lösungen. Die Aufgaben werden nicht von einem festen, bezahlten Team, sondern von freiwilligen Autoren verfasst. Der Name WikiMath setzt sich zusammen aus Wiki, dem hawaiianischen Wort für "schnell", und Mathematik. Ein Wiki ist eine Website, deren Seiten jeder leicht und ohne technische Vorkenntnisse direkt im Browser ändern kann.

WikiMath wurde im Dezember 2005 gegründet und befindet sich im Aufbau. Die Anzahl der Aufgaben soll sich mit der Zeit und mit deiner/eurer Unterstützung immer weiter vergrößern. Du bist herzlich eingeladen, dein Wissen und deine Erfahrung in Bezug auf mathematische Übungsaufgaben beizusteuern. 

==Für wen ist WikiMath?==

Das Ziel von WikiMath ist es, allen Studenten und Mathematikinteressierten, die beim bearbeiten ihrer Übungsaufgaben Hilfe und/oder ganze Lösungen suchen, beiseitezustehen. Ebenso möchte dieses Wiki den Übungsleitern eine umfassende Aufgabenquelle bieten, die sie beim Zusammenstellen ihrer Übungsblätter nutzen können.

==Was ist WikiMath nicht?==

WikiMath ist eine reine Aufgabensammlung. Reine Begriffserläuterungen, Definitionen, Sätze oder gar ganze Vorlesungspassagen gehören hier nicht hin! Diese Einschränkung ist daher notwendig, damit die Suchanfragen an WikiMath auch wirklich nur Verweise zu Aufgaben liefern. Ansonsten gäbe es schnell ein unüberschaubares Suchergebnis mit zu vielen für den WikiMath-Nutzer uninteressanten Links.
Wer nun aber nach Definitionen und Sätzen sucht, der sollte dies an alternativer Stelle tun. Einiges findet sich sogar in [http://de.wikipedia.org/wiki/Hauptseite Wikipedia], als spezielle Mathematik-Enzyklopädie möchte jedoch auf [http://planetmath.org Planetmath] hinweisen.

==Infos zur Nutzung von WikiMath==

===Aufgaben suchen===
Wenn ihr hier nach Aufgaben und deren Lösungen suchen wollt, gibt es verschiedene Wege dies zu tun. Als erstes solltet ihr die eingebaute Suchfunktion benutzen, welche sich auf der linken Seite in der Hauptnavigationsspalte befindet. Ihr gebt einfach euren Begriff in das Suchfeld unter dem Wikicities Schriftzug ein und klickt auf Los bzw. Suche. Schon erhaltet ihr eine Liste der Aufgabenseiten, die euren Begriff enthalten.
Da es gerade in einer Aufgabensammlung wie dieser hier äußerst schwierig ist anhand eines Suchbegriffes gleich die richtige Aufgabe zu finden, gibt es auch noch einen zweiten Weg. Ihr könnt euch auch über die Kategorien und deren Unterkategorien durchklicken, bis möglicherweise die dann dort vorhandenen Aufgaben eine überschaubare Anzahl erreicht haben. Diese herausgefilterten Aufgaben könnt ihr euch dann ja nacheinander anschauen.

===Aufgaben erstellen===</text>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="5332" xml:space="preserve">Herzlich Willkommen bei [[WikiMath]], der freien Aufgabensammlung.

==Was ist WikiMath?==

WikiMath ist eine Sammlung von Mathematikaufgaben und deren Lösungen. Die Aufgaben werden nicht von einem festen, bezahlten Team, sondern von freiwilligen Autoren verfasst. Der Name WikiMath setzt sich zusammen aus Wiki, dem hawaiianischen Wort für "schnell", und Mathematik. Ein Wiki ist eine Website, deren Seiten jeder leicht und ohne technische Vorkenntnisse direkt im Browser ändern kann.

WikiMath wurde im Dezember 2005 gegründet und befindet sich im Aufbau. Die Anzahl der Aufgaben soll sich mit der Zeit und mit deiner/eurer Unterstützung immer weiter vergrößern. Du bist herzlich eingeladen, dein Wissen und deine Erfahrung in Bezug auf mathematische Übungsaufgaben beizusteuern. 

==Für wen ist WikiMath?==

Das Ziel von WikiMath ist es, allen Studenten und Mathematikinteressierten, die beim bearbeiten ihrer Übungsaufgaben Hilfe und/oder ganze Lösungen suchen, beiseitezustehen. Ebenso möchte dieses Wiki den Übungsleitern eine umfassende Aufgabenquelle bieten, die sie beim Zusammenstellen ihrer Übungsblätter nutzen können.

==Was ist WikiMath nicht?==

WikiMath ist eine reine Aufgabensammlung. Reine Begriffserläuterungen, Definitionen, Sätze oder gar ganze Vorlesungspassagen gehören hier nicht hin! Diese Einschränkung ist daher notwendig, damit die Suchanfragen an WikiMath auch wirklich nur Verweise zu Aufgaben liefern. Ansonsten gäbe es schnell ein unüberschaubares Suchergebnis mit zu vielen für den WikiMath-Nutzer uninteressanten Links.
Wer nun aber nach Definitionen und Sätzen sucht, der sollte dies an alternativer Stelle tun. Einiges findet sich sogar in [http://de.wikipedia.org/wiki/Hauptseite Wikipedia], als spezielle Mathematik-Enzyklopädie möchte jedoch auf [http://planetmath.org Planetmath] hinweisen.

==Infos zur Nutzung von WikiMath==

===Aufgaben suchen===

Wenn ihr hier nach Aufgaben und deren Lösungen suchen wollt, gibt es verschiedene Wege dies zu tun. Als erstes solltet ihr die eingebaute Suchfunktion benutzen, welche sich auf der linken Seite in der Hauptnavigationsspalte befindet. Ihr gebt einfach euren Begriff in das Suchfeld unter dem Wikicities Schriftzug ein und klickt auf Los bzw. Suche. Schon erhaltet ihr eine Liste der Aufgabenseiten, die euren Begriff enthalten.
Da es gerade in einer Aufgabensammlung wie dieser hier äußerst schwierig ist anhand eines Suchbegriffes gleich die richtige Aufgabe zu finden, gibt es auch noch einen zweiten Weg. Ihr könnt euch auch über die Kategorien und deren Unterkategorien durchklicken, bis möglicherweise die dann dort vorhandenen Aufgaben eine überschaubare Anzahl erreicht haben. Diese herausgefilterten Aufgaben könnt ihr euch dann ja nacheinander anschauen.

===Aufgaben erstellen===

Wenn eure gründliche Aufgabensuche (s.o.) trotzdem erfolglos geblieben ist, solltet Ihr eure Aufgabe selber in WikiMath einstellen. Scheut euch nicht davor, auch nur die Aufgabenstellung zu verfassen, vielleicht findet sich ja jemand, der beim Stöbern auf eure Aufgabe stößt und dann die ihm bekannte Lösung dazuschreibt. Oder ihr ergänzt eure Aufgabe selber um die Lösung, sobald ihr diese kennt (z.B. aus den Übungsstunden an der Uni, wo die Aufgabe besprochen wird).

Zum erstellen neuer Aufgabenseiten, solltet ihr euch schon ein wenig mit Wikis auskennen. Keine Angst, es ist wirklich ganz einfach. Schaut einfach mal auf die [[WikiMath:Hilfe|Hilfe]] Seiten und probiert dann einfach erst mal alles auf der [[Spielwiese]] aus. Dann seid ihr auch schon fit um WikiMath-Autor zu werden.

Überlegt euch eine Seitenüberschrift, die eure Aufgabe tragen soll.
Gebt diese Überschrift in das Suchfeld ein und drückt 'Enter'.
Die Suchergebnissseite meldet, dass es keinen Artikel mit diesem Namen gibt, also klickt auf 'neu' und fangt mit dem editieren der Aufgabe an.

Es gibt dann noch ein paar Punkte, an die ihr denken solltet:

* Gehört die Aufgabe vielleicht doch zu einer anderen schon vorhandenen Aufgabe? Dann solltet ihr euren meinen Zusatz dort hineinschreiben!

*Überlegt euch wirklich einen '''sinnvollen Titel''' für eine neue Aufgabe, da der Titel die spätere Suche am stärksten beeinflusst. So ist es unsinnig eine Aufgabe mit viel zu weitläufigen Begriffen zu betiteln, wie z.B. Analysisaufgabe oder auch Beweisaufgabe. Wenn die Aufgabe zur Analysis gehört, dann solltet ihr sie in die Kategorie Analysis stecken. Der Name Beweisaufgabe trifft ja in der Mathematik auf jede 2te zu und ist daher nichtsaussagend. Der Titel sollte so gut wie möglich kurz und prägnant bleiben, den Aufgabeinhalt aber auch ziemlich gut erfassen. Wählt ihn so, dass ihr eure Aufgabe aus tausenden wieder herausfinden könntet (ohne den Titel vorher zu kennen *g*).

*Damit alle Aufgaben eine einheitliche Form bekommen, benutzt bitte die [[:Vorlage:Seitenvorlage|Seitenvorlage]]. Ihr könnt diese Vorlage in euren Artikel einbauen, indem ihr bevor irgendetwas in den Artikel geschrieben wurde &lt;nowiki&gt;{{subst:Seitenvorlage}}&lt;/nowiki&gt; dort hineinschreibt und einmal speichert. Danach ist die komplette Vorlage in euren Artikel integriert und muss nur noch von euch ausgefüllt werden. (Die nicht verwendeten Absätze wie z.B. die 'zweite Aufgabe' solltet ihr dann löschen, wenn ihr sie nicht verwendet.)</text>
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    <comment>/* Aufgaben erstellen */</comment>
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    <text bytes="5995" xml:space="preserve">Herzlich Willkommen bei [[WikiMath]], der freien Aufgabensammlung.

==Was ist WikiMath?==

WikiMath ist eine Sammlung von Mathematikaufgaben und deren Lösungen. Die Aufgaben werden nicht von einem festen, bezahlten Team, sondern von freiwilligen Autoren verfasst. Der Name WikiMath setzt sich zusammen aus Wiki, dem hawaiianischen Wort für "schnell", und Mathematik. Ein Wiki ist eine Website, deren Seiten jeder leicht und ohne technische Vorkenntnisse direkt im Browser ändern kann.

WikiMath wurde im Dezember 2005 gegründet und befindet sich im Aufbau. Die Anzahl der Aufgaben soll sich mit der Zeit und mit deiner/eurer Unterstützung immer weiter vergrößern. Du bist herzlich eingeladen, dein Wissen und deine Erfahrung in Bezug auf mathematische Übungsaufgaben beizusteuern. 

==Für wen ist WikiMath?==

Das Ziel von WikiMath ist es, allen Studenten und Mathematikinteressierten, die beim bearbeiten ihrer Übungsaufgaben Hilfe und/oder ganze Lösungen suchen, beiseitezustehen. Ebenso möchte dieses Wiki den Übungsleitern eine umfassende Aufgabenquelle bieten, die sie beim Zusammenstellen ihrer Übungsblätter nutzen können.

==Was ist WikiMath nicht?==

WikiMath ist eine reine Aufgabensammlung. Reine Begriffserläuterungen, Definitionen, Sätze oder gar ganze Vorlesungspassagen gehören hier nicht hin! Diese Einschränkung ist daher notwendig, damit die Suchanfragen an WikiMath auch wirklich nur Verweise zu Aufgaben liefern. Ansonsten gäbe es schnell ein unüberschaubares Suchergebnis mit zu vielen für den WikiMath-Nutzer uninteressanten Links.
Wer nun aber nach Definitionen und Sätzen sucht, der sollte dies an alternativer Stelle tun. Einiges findet sich sogar in [http://de.wikipedia.org/wiki/Hauptseite Wikipedia], als spezielle Mathematik-Enzyklopädie möchte jedoch auf [http://planetmath.org Planetmath] hinweisen.

==Infos zur Nutzung von WikiMath==

===Aufgaben suchen===

Wenn ihr hier nach Aufgaben und deren Lösungen suchen wollt, gibt es verschiedene Wege dies zu tun. Als erstes solltet ihr die eingebaute Suchfunktion benutzen, welche sich auf der linken Seite in der Hauptnavigationsspalte befindet. Ihr gebt einfach euren Begriff in das Suchfeld unter dem Wikicities Schriftzug ein und klickt auf Los bzw. Suche. Schon erhaltet ihr eine Liste der Aufgabenseiten, die euren Begriff enthalten.
Da es gerade in einer Aufgabensammlung wie dieser hier äußerst schwierig ist anhand eines Suchbegriffes gleich die richtige Aufgabe zu finden, gibt es auch noch einen zweiten Weg. Ihr könnt euch auch über die Kategorien und deren Unterkategorien durchklicken, bis möglicherweise die dann dort vorhandenen Aufgaben eine überschaubare Anzahl erreicht haben. Diese herausgefilterten Aufgaben könnt ihr euch dann ja nacheinander anschauen.

===Aufgaben erstellen===

Wenn eure gründliche Aufgabensuche (s.o.) trotzdem erfolglos geblieben ist, solltet Ihr eure Aufgabe selber in WikiMath einstellen. Scheut euch nicht davor, auch nur die Aufgabenstellung zu verfassen, vielleicht findet sich ja jemand, der beim Stöbern auf eure Aufgabe stößt und dann die ihm bekannte Lösung dazuschreibt. Oder ihr ergänzt eure Aufgabe selber um die Lösung, sobald ihr diese kennt (z.B. aus den Übungsstunden an der Uni, wo die Aufgabe besprochen wird).

Zum erstellen neuer Aufgabenseiten, solltet ihr euch schon ein wenig mit Wikis auskennen. Keine Angst, es ist wirklich ganz einfach. Schaut einfach mal auf die [[WikiMath:Hilfe|Hilfe]] Seiten und probiert dann erst mal alles auf der [[Spielwiese]] aus. Dann seid ihr auch schon fit um WikiMath-Autor zu werden.

Dann schaut nach, ob eure Aufgabe tatsächlich noch nicht existiert. Ist dem so, suche anschließend einen Aufgabe, zu dem die neu anzulegende Aufgabe einen Bezug hat. In diese trägst du in doppelten eckigen Klammern den Titel des neuen Artikels ein und speicherst die Aufgabe. Den roten Link auf dieser Seite kannst du jetzt anklicken, und mit dem Schreiben deiner neuen Aufgabe beginnen.

Ein anderer Weg, um eine neue Aufgabe zu erstellen ist:
Überlegt euch eine Seitenüberschrift, die eure Aufgabe tragen soll.
Gebt diese Überschrift in das Suchfeld ein und drückt 'Enter'.
Die Suchergebnissseite meldet, dass es keinen Artikel mit diesem Namen gibt, also klickt auf 'neu' und fangt mit dem editieren der Aufgabe an.
(Dieser Weg hat allerdings den Nachteil, dass eure Aufgabe im ganzen Wiki nicht verlinkt ist und so schnell verwaist. Man kann sie nur über die interne Suche finden, welche gegebenenfalls auch mal abgeschaltet sein kann.)

Es gibt dann noch ein paar Punkte, an die ihr denken solltet:

* Gehört die Aufgabe vielleicht doch zu einer anderen schon vorhandenen Aufgabe? Dann solltet ihr euren meinen Zusatz dort hineinschreiben!

*Überlegt euch wirklich einen '''sinnvollen Titel''' für eine neue Aufgabe, da der Titel die spätere Suche am stärksten beeinflusst. So ist es unsinnig eine Aufgabe mit viel zu weitläufigen Begriffen zu betiteln, wie z.B. Analysisaufgabe oder auch Beweisaufgabe. Wenn die Aufgabe zur Analysis gehört, dann solltet ihr sie in die Kategorie Analysis stecken. Der Name Beweisaufgabe trifft ja in der Mathematik auf jede 2te zu und ist daher nichtsaussagend. Der Titel sollte so gut wie möglich kurz und prägnant bleiben, den Aufgabeinhalt aber auch ziemlich gut erfassen. Wählt ihn so, dass ihr eure Aufgabe aus tausenden wieder herausfinden könntet (ohne den Titel vorher zu kennen *g*).

*Damit alle Aufgaben eine einheitliche Form bekommen, benutzt bitte die [[:Vorlage:Seitenvorlage|Seitenvorlage]]. Ihr könnt diese Vorlage in euren Artikel einbauen, indem ihr bevor irgendetwas in den Artikel geschrieben wurde &lt;nowiki&gt;{{subst:Seitenvorlage}}&lt;/nowiki&gt; dort hineinschreibt und einmal speichert. Danach ist die komplette Vorlage in euren Artikel integriert und muss nur noch von euch ausgefüllt werden. (Die nicht verwendeten Absätze wie z.B. die 'zweite Aufgabe' solltet ihr dann löschen, wenn ihr sie nicht verwendet.)</text>
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==Was ist WikiMath?==

WikiMath ist eine Sammlung von Mathematikaufgaben und deren Lösungen. Die Aufgaben werden nicht von einem festen, bezahlten Team, sondern von freiwilligen Autoren verfasst. Der Name WikiMath setzt sich zusammen aus Wiki, dem hawaiianischen Wort für "schnell", und Mathematik. Ein Wiki ist eine Website, deren Seiten jeder leicht und ohne technische Vorkenntnisse direkt im Browser ändern kann.

WikiMath wurde im Dezember 2005 gegründet und befindet sich im Aufbau. Die Anzahl der Aufgaben soll sich mit der Zeit und mit deiner/eurer Unterstützung immer weiter vergrößern. Du bist herzlich eingeladen, dein Wissen und deine Erfahrung in Bezug auf mathematische Übungsaufgaben beizusteuern. 

==Für wen ist WikiMath?==

Das Ziel von WikiMath ist es, allen Studenten und Mathematikinteressierten, die beim bearbeiten ihrer Übungsaufgaben Hilfe und/oder ganze Lösungen suchen, beiseitezustehen. Ebenso möchte dieses Wiki den Übungsleitern eine umfassende Aufgabenquelle bieten, die sie beim Zusammenstellen ihrer Übungsblätter nutzen können.

==Was ist WikiMath nicht?==

WikiMath ist eine reine Aufgabensammlung. Reine Begriffserläuterungen, Definitionen, Sätze oder gar ganze Vorlesungspassagen gehören hier nicht hin! Diese Einschränkung ist daher notwendig, damit die Suchanfragen an WikiMath auch wirklich nur Verweise zu Aufgaben liefern. Ansonsten gäbe es schnell ein unüberschaubares Suchergebnis mit zu vielen für den WikiMath-Nutzer uninteressanten Links.
Wer nun aber nach Definitionen und Sätzen sucht, der sollte dies an alternativer Stelle tun. Einiges findet sich sogar in [http://de.wikipedia.org/wiki/Hauptseite Wikipedia], als spezielle Mathematik-Enzyklopädie möchte jedoch auf [http://planetmath.org Planetmath] hinweisen.

==Infos zur Nutzung von WikiMath==

===Aufgaben suchen===

Wenn ihr hier nach Aufgaben und deren Lösungen suchen wollt, gibt es verschiedene Wege dies zu tun. Als erstes solltet ihr die eingebaute Suchfunktion benutzen, welche sich auf der linken Seite in der Hauptnavigationsspalte befindet. Ihr gebt einfach euren Begriff in das Suchfeld unter dem Wikicities Schriftzug ein und klickt auf Los bzw. Suche. Schon erhaltet ihr eine Liste der Aufgabenseiten, die euren Begriff enthalten.
Da es gerade in einer Aufgabensammlung wie dieser hier äußerst schwierig ist anhand eines Suchbegriffes gleich die richtige Aufgabe zu finden, gibt es auch noch einen zweiten Weg. Ihr könnt euch auch über die Kategorien und deren Unterkategorien durchklicken, bis möglicherweise die dann dort vorhandenen Aufgaben eine überschaubare Anzahl erreicht haben. Diese herausgefilterten Aufgaben könnt ihr euch dann ja nacheinander anschauen.

===Aufgaben erstellen===

Wenn deine gründliche Aufgabensuche (s.o.) trotzdem erfolglos geblieben ist, solltet du deine Aufgabe selber in WikiMath einstellen. Scheue dich nicht davor, auch nur die Aufgabenstellung zu verfassen, vielleicht findet sich ja jemand, der beim Stöbern auf deine Aufgabe stößt und dann die ihm bekannte Lösung dazuschreibt. Oder du ergänzt deine Aufgabe selber mit der Lösung, sobald du diese kennst (z.B. aus den Übungsstunden an der Uni, wo die Aufgabe besprochen wird).

Zum erstellen neuer Aufgabenseiten, solltest du dich schon ein wenig mit Wikis auskennen. Keine Angst, es ist wirklich ganz einfach. Schaue einfach mal auf die [[WikiMath:Hilfe|Hilfe]] Seiten und probiere dann erst mal alles auf der [[Spielwiese]] aus. Danach bist du auch schon fit um WikiMath-Autor zu werden.

Dann schaue nach, ob deine Aufgabe tatsächlich noch nicht existiert. Ist dem so, suche anschließend eine Aufgabe, zu der die neu anzulegende Aufgabe einen Bezug hat. In diese trägst du in doppelten eckigen Klammern den Titel des neuen Artikels ein und speicherst die Aufgabe. Den roten Link auf dieser Seite kannst du jetzt anklicken, und mit dem Schreiben deiner neuen Aufgabe beginnen.

Ein anderer Weg, um eine neue Aufgabe zu erstellen ist:
Überlege dir eine Seitenüberschrift, die deine Aufgabe tragen soll.
Gib diese Überschrift in das Suchfeld ein und drückes 'Enter'.
Die Suchergebnissseite meldet, dass es keinen Artikel mit diesem Namen gibt, also klickst du auf 'neu' und fängst mit dem editieren der Aufgabe an.
(Dieser Weg hat allerdings den Nachteil, dass deine Aufgabe im ganzen Wiki nicht verlinkt ist und so schnell verwaisen kann. Man kann sie nur über die interne Suche finden, welche gegebenenfalls auch mal abgeschaltet sein kann.)

Es gibt dann noch ein paar Punkte, an die du denken solltet:

* Gehört die Aufgabe vielleicht doch zu einer anderen schon vorhandenen Aufgabe? Dann solltet du deinen neuen Zusatz dort hineinschreiben!

*Überlege dir wirklich einen '''sinnvollen Titel''' für eine neue Aufgabe, da der Titel die spätere Suche am stärksten beeinflusst. So ist es unsinnig eine Aufgabe mit viel zu weitläufigen Begriffen zu betiteln, wie z.B. Analysisaufgabe oder auch Beweisaufgabe. Wenn die Aufgabe zur Analysis gehört, dann solltest du sie in die Kategorie Analysis stecken. Der Name Beweisaufgabe trifft ja in der Mathematik auf jede 2te zu und ist daher nichtsaussagend. Der Titel sollte so gut wie möglich kurz und prägnant bleiben, den Aufgabeinhalt aber auch ziemlich gut erfassen. Wähle ihn so, dass du deine Aufgabe aus tausenden wieder herausfinden könntest (ohne den Titel vorher zu kennen *g*).

*Damit alle Aufgaben eine einheitliche Form bekommen, benutze bitte die [[:Vorlage:Seitenvorlage|Seitenvorlage]]. Du kannst diese Vorlage in deinen Artikel einbauen, indem du bevor irgendetwas in den Artikel geschrieben wurde &lt;nowiki&gt;{{subst:Seitenvorlage}}&lt;/nowiki&gt; dort hineinschreibt und einmal speichert. Danach ist die komplette Vorlage in deinem Artikel integriert und muss nur noch von dir ausgefüllt werden. (Die nicht verwendeten Absätze wie z.B. die 'zweite Aufgabe' solltest du dann löschen, wenn du sie nicht verwendet.)</text>
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    <text bytes="6007" xml:space="preserve">Herzlich Willkommen bei [[WikiMath]], der freien Aufgabensammlung.

==Was ist WikiMath?==

WikiMath ist eine Sammlung von Mathematikaufgaben und deren Lösungen. Die Aufgaben werden nicht von einem festen, bezahlten Team, sondern von freiwilligen Autoren verfasst. Der Name WikiMath setzt sich zusammen aus Wiki, dem hawaiianischen Wort für "schnell", und Mathematik. Ein Wiki ist eine Website, deren Seiten jeder leicht und ohne technische Vorkenntnisse direkt im Browser ändern kann.

WikiMath wurde im Dezember 2005 gegründet und befindet sich im Aufbau. Die Anzahl der Aufgaben soll sich mit der Zeit und mit deiner/eurer Unterstützung immer weiter vergrößern. Du bist herzlich eingeladen, dein Wissen und deine Erfahrung in Bezug auf mathematische Übungsaufgaben beizusteuern. 

==Für wen ist WikiMath?==

Das Ziel von WikiMath ist es, allen Studenten und Mathematikinteressierten, die beim bearbeiten ihrer Übungsaufgaben Hilfe und/oder ganze Lösungen suchen, beiseitezustehen. Ebenso möchte dieses Wiki den Übungsleitern eine umfassende Aufgabenquelle bieten, die sie beim Zusammenstellen ihrer Übungsblätter nutzen können.

==Was ist WikiMath nicht?==

WikiMath ist eine reine Aufgabensammlung. Reine Begriffserläuterungen, Definitionen, Sätze oder gar ganze Vorlesungspassagen gehören hier nicht hin! Diese Einschränkung ist daher notwendig, damit die Suchanfragen an WikiMath auch wirklich nur Verweise zu Aufgaben liefern. Ansonsten gäbe es schnell ein unüberschaubares Suchergebnis mit zu vielen für den WikiMath-Nutzer uninteressanten Links.
Wer nun aber nach Definitionen und Sätzen sucht, der sollte dies an alternativer Stelle tun. Einiges findet sich sogar in [http://de.wikipedia.org/wiki/Hauptseite Wikipedia], als spezielle Mathematik-Enzyklopädie möchte jedoch auf [http://planetmath.org Planetmath] hinweisen.

==Infos zur Nutzung von WikiMath==

===Aufgaben suchen===

Wenn du hier nach Aufgaben und deren Lösungen suchen willst, gibt es verschiedene Wege dies zu tun. Als erstes solltest du die eingebaute Suchfunktion benutzen, welche sich auf der linken Seite in der Hauptnavigationsspalte befindet. Du gibst einfach deinen Begriff in das Suchfeld unter dem Wikicities Schriftzug ein und klickst auf Los bzw. Suche. Schon erhältst du eine Liste der Aufgabenseiten, die euren Begriff enthalten.
Da es gerade in einer Aufgabensammlung wie dieser hier äußerst schwierig ist anhand eines Suchbegriffes gleich die richtige Aufgabe zu finden, gibt es auch noch einen zweiten Weg. Du kannst dich auch über die Kategorien und deren Unterkategorien durchklicken, bis möglicherweise die dann dort vorhandenen Aufgaben eine überschaubare Anzahl erreicht haben. Diese herausgefilterten Aufgaben kannst du dir dann ja nacheinander anschauen.

===Aufgaben erstellen===

Wenn deine gründliche Aufgabensuche (s.o.) trotzdem erfolglos geblieben ist, solltet du deine Aufgabe selber in WikiMath einstellen. Scheue dich nicht davor, auch nur die Aufgabenstellung zu verfassen, vielleicht findet sich ja jemand, der beim Stöbern auf deine Aufgabe stößt und dann die ihm bekannte Lösung dazuschreibt. Oder du ergänzt deine Aufgabe selber mit der Lösung, sobald du diese kennst (z.B. aus den Übungsstunden an der Uni, wo die Aufgabe besprochen wird).

Zum erstellen neuer Aufgabenseiten, solltest du dich schon ein wenig mit Wikis auskennen. Keine Angst, es ist wirklich ganz einfach. Schaue einfach mal auf die [[WikiMath:Hilfe|Hilfe]] Seiten und probiere dann erst mal alles auf der [[Spielwiese]] aus. Danach bist du auch schon fit um WikiMath-Autor zu werden.

Dann schaue nach, ob deine Aufgabe tatsächlich noch nicht existiert. Ist dem so, suche anschließend eine Aufgabe, zu der die neu anzulegende Aufgabe einen Bezug hat. In diese trägst du in doppelten eckigen Klammern den Titel des neuen Artikels ein und speicherst die Aufgabe. Den roten Link auf dieser Seite kannst du jetzt anklicken, und mit dem Schreiben deiner neuen Aufgabe beginnen.

Ein anderer Weg, um eine neue Aufgabe zu erstellen ist:
Überlege dir eine Seitenüberschrift, die deine Aufgabe tragen soll.
Gib diese Überschrift in das Suchfeld ein und drückes 'Enter'.
Die Suchergebnissseite meldet, dass es keinen Artikel mit diesem Namen gibt, also klickst du auf 'neu' und fängst mit dem editieren der Aufgabe an.
(Dieser Weg hat allerdings den Nachteil, dass deine Aufgabe im ganzen Wiki nicht verlinkt ist und so schnell verwaisen kann. Man kann sie nur über die interne Suche finden, welche gegebenenfalls auch mal abgeschaltet sein kann.)

Es gibt dann noch ein paar Punkte, an die du denken solltet:

* Gehört die Aufgabe vielleicht doch zu einer anderen schon vorhandenen Aufgabe? Dann solltet du deinen neuen Zusatz dort hineinschreiben!

*Überlege dir wirklich einen '''sinnvollen Titel''' für eine neue Aufgabe, da der Titel die spätere Suche am stärksten beeinflusst. So ist es unsinnig eine Aufgabe mit viel zu weitläufigen Begriffen zu betiteln, wie z.B. Analysisaufgabe oder auch Beweisaufgabe. Wenn die Aufgabe zur Analysis gehört, dann solltest du sie in die Kategorie Analysis stecken. Der Name Beweisaufgabe trifft ja in der Mathematik auf jede 2te zu und ist daher nichtsaussagend. Der Titel sollte so gut wie möglich kurz und prägnant bleiben, den Aufgabeinhalt aber auch ziemlich gut erfassen. Wähle ihn so, dass du deine Aufgabe aus tausenden wieder herausfinden könntest (ohne den Titel vorher zu kennen *g*).

*Damit alle Aufgaben eine einheitliche Form bekommen, benutze bitte die [[:Vorlage:Seitenvorlage|Seitenvorlage]]. Du kannst diese Vorlage in deinen Artikel einbauen, indem du bevor irgendetwas in den Artikel geschrieben wurde &lt;nowiki&gt;{{subst:Seitenvorlage}}&lt;/nowiki&gt; dort hineinschreibt und einmal speichert. Danach ist die komplette Vorlage in deinem Artikel integriert und muss nur noch von dir ausgefüllt werden. (Die nicht verwendeten Absätze wie z.B. die 'zweite Aufgabe' solltest du dann löschen, wenn du sie nicht verwendet.)</text>
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  <title>Mathe Wiki:Hilfe</title>
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    <comment>Infos auf Willkommenseite angegeben</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1664" xml:space="preserve">Wenn du an WikiMath mitarbeiten möchtest, aber nicht weißt wie das geht und deswegen auf der Suche nach Hilfe bist, dann bist du hier genau richtig.

Die ersten Informationen hast Du ja sicherlich schon auf der [[WikiMath:Willkommen|Willkommen]]-Seite gelesen. Wenn nicht solltest Du das jetzt nochmal schnell nachholen, insbesondere den Absatz 'Infos zur Nutzung von WikiMath'.

WikiMath ist ein Wiki, welches auf der [http://www.mediawiki.org MediaWiki-Engine] basiert, welche z.B. auch von der bekannten freien Internet-Enzyklopädie [http://de.wikipedia.org Wikipedia] verwendet wird. Aufgrund dessen können die Seiten in WikiMath auch genauso bearbeitet werden, wie die Seiten aus Wikipedia. Da es in Wikipedia selber schon sehr viele ausführliche Hilfe-Seiten gibt, soll an dieser Stelle anhand einer kleinen Auflistung auf die Seiten hingewiesen werden, die insbesondere für WikiMath-Helfer interessant sind:

* [http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Tutorial Wiki-Tutorial] - Eine Schritt für Schritt Anleitung für Neueinsteiger
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Hilfe Wikipedia Hilfe] - Allgemeine Hilfe Seite
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Wikipedia Tex Hilfe] - Eine ausführhliche Erklärung zum editieren von mathematischen Formeln

Bitte schaue dir erst einmal die [[Vorlage:Seitenvorlage|Seitenvorlage]] an, an die du dich beim Erstellen ganz neuer Seiten orientieren solltest, damit alle Aufgaben eine einheitliche Form bekommen.

Du solltest dann das Erlernte auf der [[Spielwiese]] ausprobieren, bevor du mit dem Editieren vorhandener Seiten anfängst, oder neue Seiten verfasst. Denn dort kann man nichts kaputtmachen.</text>
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  <title>L-unendlich Folgenraum</title>
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    <comment>Folgenräume Kategorie hinzugefügt</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1425" xml:space="preserve">==Aufgabe (seperabler Folgenraum)==
Ein metrischer Raum heißt separabel, wenn er eine abzählbar dichte Teilmenge besitzt. Zeigen Sie, dass der Folgenraum &lt;math&gt;l^{\infty}&lt;/math&gt;
nicht separabel ist.

===Tipps===
keine Tipps

===Lösung===
Zu zeigen: &lt;math&gt;l^{\infty}&lt;/math&gt;
ist nicht separabel, besitzt also keine abzählbar dichte Teilmenge.

Angenommen, dies wäre nicht der Fall und &lt;math&gt;B := \{x^{(1)},x^{(2)},x^{(3)},...\} \subset l^{\infty}&lt;/math&gt;
wäre eine solche abzählbare Folge von &lt;math&gt;l^{\infty}&lt;/math&gt;
-Folgen, die dicht in &lt;math&gt;l^{\infty}&lt;/math&gt;
liegt. Dabei sei jedes dieser &lt;math&gt;x^{(n)} \in B \subset l^{\infty}&lt;/math&gt;
von der Form.
&lt;center&gt;&lt;math&gt;x^{(n)} = (x^{(n)}_m)_{m \in \mathbb{N}}&lt;/math&gt;
&lt;/center&gt;
Definiere nun die Folge &lt;math&gt;x = (x_m)_{m \in \mathbb{N}}&lt;/math&gt;
durch
&lt;center&gt;&lt;math&gt;x_m=\begin{cases} x^{(m)}_m+1, &amp; \mbox{falls }\|x^{(m)}_m\| \leq 1 \\ 0, &amp; \mbox{sonst } \end{cases} \forall m \in \mathbb{N}&lt;/math&gt;
&lt;/center&gt;
Dann ist wegen &lt;math&gt;\|x_m\| \leq 2&lt;/math&gt;
direkt &lt;math&gt;x \in l^{\infty}&lt;/math&gt;
ferner ist
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\left\|x-x^{(n)}\right\|_{\infty} \geq |(x-x^{(n)})_n| \geq 1 \ \ \forall n \in \mathbb{N}&lt;/math&gt;
&lt;/center&gt;
im Widerspruch zur Dichtheit von &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;
in &lt;math&gt;l^{\infty}&lt;/math&gt;
.

===Suchbegriffe===
separabel, abzählbar dicht, l-unendlich Raum, Folgenraum

===Quellen===
keine bekannten Quellen

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Folgenräume]]</text>
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    <text bytes="1398" xml:space="preserve">==Aufgabe (seperabler Folgenraum)==
Ein metrischer Raum heißt separabel, wenn er eine abzählbar dichte Teilmenge besitzt. Zeigen Sie, dass der Folgenraum &lt;math&gt;l^{\infty}&lt;/math&gt;
nicht separabel ist.

===Tipps===
keine Tipps

===Lösung===
Zu zeigen: &lt;math&gt;l^{\infty}&lt;/math&gt;
ist nicht separabel, besitzt also keine abzählbar dichte Teilmenge.

Angenommen, dies wäre nicht der Fall und &lt;math&gt;B := \{x^{(1)},x^{(2)},x^{(3)},...\} \subset l^{\infty}&lt;/math&gt;
wäre eine solche abzählbare Folge von &lt;math&gt;l^{\infty}&lt;/math&gt;
-Folgen, die dicht in &lt;math&gt;l^{\infty}&lt;/math&gt;
liegt. Dabei sei jedes dieser &lt;math&gt;x^{(n)} \in B \subset l^{\infty}&lt;/math&gt;
von der Form.
&lt;center&gt;&lt;math&gt;x^{(n)} = (x^{(n)}_m)_{m \in \mathbb{N}}&lt;/math&gt;
&lt;/center&gt;
Definiere nun die Folge &lt;math&gt;x = (x_m)_{m \in \mathbb{N}}&lt;/math&gt;
durch
&lt;center&gt;&lt;math&gt;x_m=\begin{cases} x^{(m)}_m+1, &amp; \mbox{falls }\|x^{(m)}_m\| \leq 1 \\ 0, &amp; \mbox{sonst } \end{cases} \forall m \in \mathbb{N}&lt;/math&gt;
&lt;/center&gt;
Dann ist wegen &lt;math&gt;\|x_m\| \leq 2&lt;/math&gt;
direkt &lt;math&gt;x \in l^{\infty}&lt;/math&gt;
ferner ist
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\left\|x-x^{(n)}\right\|_{\infty} \geq |(x-x^{(n)})_n| \geq 1 \ \ \forall n \in \mathbb{N}&lt;/math&gt;
&lt;/center&gt;
im Widerspruch zur Dichtheit von &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;
in &lt;math&gt;l^{\infty}&lt;/math&gt;
.

===Suchbegriffe===
separabel, abzählbar dicht, l-unendlich Raum, Folgenraum

===Quellen===
keine bekannten Quellen

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]</text>
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Ein metrischer Raum heißt separabel, wenn er eine abzählbar dichte Teilmenge besitzt. Zeigen Sie, dass der Folgenraum &lt;math&gt;l^{\infty}&lt;/math&gt;
nicht separabel ist.

===Tipps===
keine Tipps

===Lösung===
Zu zeigen: &lt;math&gt;l^{\infty}&lt;/math&gt;
ist nicht separabel, besitzt also keine abzählbar dichte Teilmenge.

Angenommen, dies wäre nicht der Fall und &lt;math&gt;B := \{x^{(1)},x^{(2)},x^{(3)},...\} \subset l^{\infty}&lt;/math&gt;
wäre eine solche abzählbare Folge von &lt;math&gt;l^{\infty}&lt;/math&gt;
-Folgen, die dicht in &lt;math&gt;l^{\infty}&lt;/math&gt;
liegt. Dabei sei jedes dieser &lt;math&gt;x^{(n)} \in B \subset l^{\infty}&lt;/math&gt;
von der Form.
&lt;center&gt;&lt;math&gt;x^{(n)} = (x^{(n)}_m)_{m \in \mathbb{N}}&lt;/math&gt;
&lt;/center&gt;
Definiere nun die Folge &lt;math&gt;x = (x_m)_{m \in \mathbb{N}}&lt;/math&gt;
durch
&lt;center&gt;&lt;math&gt;x_m=\begin{cases} x^{(m)}_m+1, &amp; \mbox{falls }\|x^{(m)}_m\| \leq 1 \\ 0, &amp; \mbox{sonst } \end{cases} \forall m \in \mathbb{N}&lt;/math&gt;
&lt;/center&gt;
Dann ist wegen &lt;math&gt;\|x_m\| \leq 2&lt;/math&gt;
direkt &lt;math&gt;x \in l^{\infty}&lt;/math&gt;
ferner ist
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\left\|x-x^{(n)}\right\|_{\infty} \geq |(x-x^{(n)})_n| \geq 1 \ \ \forall n \in \mathbb{N}&lt;/math&gt;
&lt;/center&gt;
im Widerspruch zur Dichtheit von &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;
in &lt;math&gt;l^{\infty}&lt;/math&gt;
.

===Suchbegriffe===
separabel, abzählbar dicht, l-unendlich Raum, Folgenraum

===Quellen===
keine bekannten Quellen

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
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    <text bytes="1487" xml:space="preserve">==Aufgabe (seperabler Folgenraum)==
Ein metrischer Raum heißt separabel, wenn er eine abzählbar dichte Teilmenge besitzt. Zeigen Sie, dass der Folgenraum &lt;math&gt;l^{\infty}&lt;/math&gt;
nicht separabel ist.

===Tipps===
keine Tipps

===Lösung===
Zu zeigen: &lt;math&gt;l^{\infty}&lt;/math&gt;
ist nicht separabel, besitzt also keine abzählbar dichte Teilmenge.

Angenommen, dies wäre nicht der Fall und &lt;math&gt;B := \{x^{(1)},x^{(2)},x^{(3)},...\} \subset l^{\infty}&lt;/math&gt;
wäre eine solche abzählbare Folge von &lt;math&gt;l^{\infty}&lt;/math&gt;
-Folgen, die dicht in &lt;math&gt;l^{\infty}&lt;/math&gt;
liegt. Dabei sei jedes dieser &lt;math&gt;x^{(n)} \in B \subset l^{\infty}&lt;/math&gt;
von der Form.
&lt;center&gt;&lt;math&gt;x^{(n)} = (x^{(n)}_m)_{m \in \mathbb{N}}&lt;/math&gt;
&lt;/center&gt;
Definiere nun die Folge &lt;math&gt;x = (x_m)_{m \in \mathbb{N}}&lt;/math&gt;
durch
&lt;center&gt;&lt;math&gt;x_m=\begin{cases} x^{(m)}_m+1, &amp; \mbox{falls }\|x^{(m)}_m\| \leq 1 \\ 0, &amp; \mbox{sonst } \end{cases} \forall m \in \mathbb{N}&lt;/math&gt;
&lt;/center&gt;
Dann ist wegen &lt;math&gt;\|x_m\| \leq 2&lt;/math&gt;
direkt &lt;math&gt;x \in l^{\infty}&lt;/math&gt;
ferner ist
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\left\|x-x^{(n)}\right\|_{\infty} \geq |(x-x^{(n)})_n| \geq 1 \ \ \forall n \in \mathbb{N}&lt;/math&gt;
&lt;/center&gt;
im Widerspruch zur Dichtheit von &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;
in &lt;math&gt;l^{\infty}&lt;/math&gt;
.

===Suchbegriffe===
separabel, abzählbar dicht, l-unendlich Raum, Folgenraum

===Quellen===
keine bekannten Quellen

==ähnliche Aufgaben==
noch keine ähnliche Aufgabe gefunden

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Folgenräume]]</text>
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    <text bytes="1489" xml:space="preserve">==Aufgabe (seperabler Folgenraum)==
Ein metrischer Raum heißt separabel, wenn er eine abzählbar dichte Teilmenge besitzt. Zeigen Sie, dass der Folgenraum &lt;math&gt;l^{\infty}&lt;/math&gt;
nicht separabel ist.

===Tipps===
keine Tipps

===Lösung===
Zu zeigen: &lt;math&gt;l^{\infty}&lt;/math&gt;
ist nicht separabel, besitzt also keine abzählbar dichte Teilmenge.

Angenommen, dies wäre nicht der Fall und &lt;math&gt;B := \{x^{(1)},x^{(2)},x^{(3)},...\} \subset l^{\infty}&lt;/math&gt;
wäre eine solche abzählbare Folge von &lt;math&gt;l^{\infty}&lt;/math&gt;
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&lt;center&gt;&lt;math&gt;x^{(n)} = (x^{(n)}_m)_{m \in \mathbb{N}}&lt;/math&gt;
&lt;/center&gt;
Definiere nun die Folge &lt;math&gt;x = (x_m)_{m \in \mathbb{N}}&lt;/math&gt;
durch
&lt;center&gt;&lt;math&gt;x_m=\begin{cases} x^{(m)}_m+1, &amp; \mbox{falls }\|x^{(m)}_m\| \leq 1 \\ 0, &amp; \mbox{sonst } \end{cases} \forall m \in \mathbb{N}&lt;/math&gt;
&lt;/center&gt;
Dann ist wegen &lt;math&gt;\|x_m\| \leq 2&lt;/math&gt;
direkt &lt;math&gt;x \in l^{\infty}&lt;/math&gt;
ferner ist
&lt;center&gt;&lt;math&gt;\left\|x-x^{(n)}\right\|_{\infty} \geq |(x-x^{(n)})_n| \geq 1 \ \ \forall n \in \mathbb{N}&lt;/math&gt;
&lt;/center&gt;
im Widerspruch zur Dichtheit von &lt;math&gt;B&lt;/math&gt;
in &lt;math&gt;l^{\infty}&lt;/math&gt;
.

===Suchbegriffe===
separabel, abzählbar dicht, l-unendlich Raum, Folgenraum

===Quellen===
keine bekannten Quellen

===ähnliche Aufgaben===
noch keine ähnliche Aufgabe gefunden

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Folgenräume]]</text>
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    <text bytes="424" xml:space="preserve">Die folgende Kurzbeschreibung soll einen Einblick geben, welche Aufgaben in dieser Kategorie zu finden sind.

'''Lineare Algebra''' ist der Zweig der Mathematik, der sich mit Vektoren, Vektorräumen, linearen Abbildungen und linearen Gleichungssystemen befasst. Da der Begriff des Vektorraumes ein wichtiges Hilfsmittel in vielen Bereichen der Mathematik ist, gilt die lineare Algebra als eine der Grundlagen der Mathematik.</text>
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    <text bytes="888" xml:space="preserve">Die folgende Kurzbeschreibung soll einen Einblick geben, welche Aufgaben in dieser Kategorie zu finden sind. 

Die '''Analysis''' ist ein Teilgebiet der Mathematik, dessen Grundlagen von Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton unabhängig voneinander entwickelt wurden.

Die grundlegende Analysis befasst sich mit Grenzwerten von Folgen und Reihen sowie mit Funktionen reeller Zahlen und deren Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integration. Viele wichtige Funktionen der Analysis lassen sich als Grenzwerte von Reihen darstellen.

Die Analysis arbeitet häufig mit Abschätzungen und Ungleichungen. Die Ergebnisse, die durch diese Techniken gewonnen werden, sind jedoch exakt.

Die Verallgemeinerung des Funktionsbegriffes in der Analysis auf Funktionen mit Definitions- und Wertebereich in den komplexen Zahlen ist Bestandteil der [[:Kategorie:Funktionentheorie|Funktionentheorie]].</text>
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  <title>Kategorie:Funktionentheorie</title>
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    <text bytes="407" xml:space="preserve">Die folgende Kurzbeschreibung soll einen Einblick geben, welche Aufgaben in dieser Kategorie zu finden sind.

Die Funktionentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik. Sie befasst sich hauptsächlich mit differenzierbaren komplexwertigen Funktionen komplexer Variablen, und ist damit ein Analogon der reellen Analysis. Treffend ist deshalb die englische Bezeichnung für Funktionentheorie "complex analysis".</text>
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  <title>Kategorie:Algebra und Diskrete Mahematik</title>
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Die '''klassische Algebra''' beschäftigt sich mit dem Lösen allgemeiner algebraischer Gleichungen (siehe unten) über den reellen oder komplexen Zahlen. Ihr zentrales Resultat ist der Fundamentalsatz der Algebra, der besagt, dass jedes nichtkonstante Polynom n-ten Grades in n Linearfaktoren mit komplexen Koeffizienten zerlegt werden kann.
Hier diese Algebra-Kategorie ist aber sehr viel weitreichender zu sehen.

Die '''diskrete Mathematik''' als Zweig der Mathematik befasst sich mit mathematischen Strukturen, die endlich oder abzählbar sind. Im Gegensatz zu anderen Gebieten wie der Analysis, die sich mit kontinuierlichen Strukturen beschäftigt, werden in der diskreten Mathematik Begriffe wie Stetigkeit nicht gebraucht. Anschaulich kann man sich den Begriff diskret als eckig verdeutlichen.</text>
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  <title>Kategorie:Numerik</title>
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Die numerische Mathematik, kurz '''Numerik''' genannt, beschäftigt sich als Teilgebiet der Mathematik mit der Konstruktion und Analyse von Algorithmen für kontinuierliche mathematische Probleme.</text>
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  <title>Kategorie:Logik</title>
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Unter der '''Logik''' ([[Griechische Sprache|griech.]] λογική [τέχνη] „die denkende [Kunst, Vorgehensweise]“)  wird heute im Allgemeinen eine teils in der Philosophie, teils in der Mathematik und in der Informatik angesiedelte Theorie verstanden, die sich primär mit den Normen des korrekten Folgerns beschäftigt.</text>
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Unter der '''Logik''' (griech. λογική [τέχνη] „die denkende [Kunst, Vorgehensweise]“)  wird heute im Allgemeinen eine teils in der Philosophie, teils in der Mathematik und in der Informatik angesiedelte Theorie verstanden, die sich primär mit den Normen des korrekten Folgerns beschäftigt.</text>
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  <title>Kategorie:Optimierung</title>
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    <text bytes="347" xml:space="preserve">Die folgende Kurzbeschreibung soll einen Einblick geben, welche Aufgaben in dieser Kategorie zu finden sind.

Unter '''Optimierung''' (von lat. Optimum) oder '''optimieren''' versteht man
im Sinne der Mathematik die Bestimmung optimaler zulässiger Punkte eines Optimierungsproblems hinsichtlich einer gegebenen Zielfunktion (Operations Research).</text>
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  <title>Kategorie:Differentialgleichungen</title>
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    <text bytes="623" xml:space="preserve">Die folgende Kurzbeschreibung soll einen Einblick geben, welche Aufgaben in dieser Kategorie zu finden sind.

Eine Differential- bzw. Differenzialgleichung (oft abgekürzt mit DGL) ist eine Gleichung, die die Ableitungen einer Funktion enthält.

Die Haupttypen von Differentialgleichungen sind
# gewöhnliche Differentialgleichungen (engl. ''ordinary differential equations, '''ODE'''s''): In der Gleichung tauchen nur Ableitungen nach ''einer'' Variablen auf 
# partielle Differentialgleichungen (engl. ''partial differential equations, '''PDE'''s''): In der Gleichung tauchen Ableitungen nach ''mehreren'' Variablen auf.</text>
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  <title>Kategorie:Differentialgeometrie</title>
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    <text bytes="402" xml:space="preserve">Die folgende Kurzbeschreibung soll einen Einblick geben, welche Aufgaben in dieser Kategorie zu finden sind.

Die Differentialgeometrie stellt als Teilgebiet der Mathematik die Synthese von Analysis und Geometrie dar.

Teilgebiete der Differentialgeometrie sind:
# Klassische Differentialgeometrie
# Moderne Differentialgeometrie
# Riemannsche Geometrie
# Differentialtopologie
# Theorie der Liegruppen</text>
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  <title>Kategorie:Variationsrechnung</title>
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    <text bytes="646" xml:space="preserve">Die folgende Kurzbeschreibung soll einen Einblick geben, welche Aufgaben in dieser Kategorie zu finden sind.

Die Variationsrechnung ist eine Sparte der Mathematik, die um 1800 von Joseph-Louis Lagrange entwickelt wurde. Sie beschäftigt sich mit Funktionen von Funktionen, die auch Funktionale genannt werden. Solche Funktionale können z. B. Integrale über eine unbekannte Funktion und ihre Ableitungen sein. Dabei interessiert man sich für stationäre Funktionen, also solche, für die das Funktional ein Maximum, Minimum oder Sattelpunkt annimmt. Einige klassische Probleme können sehr elegant mit Hilfe von Funktionalen formuliert werden.</text>
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    <text bytes="141" xml:space="preserve">Diese Kategorie enthält Aufgaben aus Grund- und Leistungskursen der Mathematik in der Oberstufe. Sie dienen der Vorbereitung auf das Abitur.</text>
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  <title>Kategorie:Mathematik für Naturwissenschaftler</title>
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  <title>Kategorie:Mathematik für Informatiker</title>
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    <text bytes="281" xml:space="preserve">In diese Kategorie gehören alle Mathematikaufgaben, die in den Mathematik-Kursen der Informatiker bearbeitet werden sollen. Da die Grenze zwischen einer rein mathematischen und einer doch eher informatischen Aufgabe fließend sind, finden sich hier auch einige Informatikaufgaben.</text>
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  <title>Kategorie:Mathematik für Ingenieure</title>
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    <text bytes="174" xml:space="preserve">In diese Kategorie gehören alle Mathematikaufgaben, die in den Mathematikkursen der Ingenieurswissenschaften (Elektrotechnik, Maschinenbau, u.v.m.) bearbeitet werden sollen.</text>
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  <title>Kategorie:Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler</title>
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    <text bytes="166" xml:space="preserve">In diese Kategorie gehören alle Mathematikaufgaben, die in den Mathematikkursen der Wirtschaftswissenschaftler (BWLer, VWLer,Ökonomen...)  bearbeitet werden sollen.</text>
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  <title>Mathe Wiki:Erste Schritte</title>
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    <text bytes="229" xml:space="preserve">Die '''Erste Schritte''' Seite gibt leider noch keine Hinweise.
Bitte schaue für einen ersten Einstieg auf die [[WikiMath:Willkommen|Willkommen]]-Seite und für weitergehende Informationen auf die [[WikiMath:Hilfe|Hilfe]]-Seite.</text>
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  <title>Sigma-Algebra</title>
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    <comment>ähnliche Aufgaben</comment>
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    <text bytes="1889" xml:space="preserve">==Aufgabe (&lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-Algebra Grundeigenschaften)==
Es sei &lt;math&gt;\Omega \neq \emptyset&lt;/math&gt;, und es sei &lt;math&gt;\mathfrak{A}&lt;/math&gt; ein endliches Teilsystem der Potenzmenge von &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; mit den Eigenschaften:
*(1) &lt;math&gt;\Omega \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt;
*(2) &lt;math&gt;A,B \in \mathfrak{A} \Rightarrow A\setminus{B} \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt;.
Man prüfe, ob &lt;math&gt;\mathfrak{A}&lt;/math&gt; unter diesen Voraussetzungen stets eine &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-Algebra ist.

===Tipps===
Wende die Definition der &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-Algebra an.

===Lösung===
Weise die drei definierenden Eigenschaften einer &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-Algebra nach:

1) &lt;math&gt;\Omega \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt; nach (1)

2) &lt;math&gt;A \in \mathfrak{A} \Rightarrow \Omega\setminus{A} \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt; nach (1),(2)

3) &lt;math&gt;A_1,A_2,.. \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt;\mathfrak{A}&lt;/math&gt; endlich ist, gibt es unter den Mengen &lt;math&gt;A_i&lt;/math&gt; nur endlich viele verschiedene.

O.B.d.A. seien dies &lt;math&gt;A_1,..,A_n \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt;, zu zeigen bleibt: 
&lt;math&gt;\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i = \bigcup_{i=1}^{n} A_i \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt;

Hierzu genügt es, zu zeigen: &lt;math&gt;A,B \in \mathfrak{A} \Rightarrow A \cup B \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt;

Betrachte (*):  &lt;math&gt;\Omega\setminus(A \cup B) = \underbrace{(\Omega \setminus A)}_{\in \mathfrak{A}} \cap \underbrace{(\Omega \setminus B)}_{\in \mathfrak{A}}&lt;/math&gt;

Für &lt;math&gt;A,B \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt; gilt: &lt;math&gt;A \cap B = A \setminus \underbrace{(\Omega \setminus B)}_{\in \mathfrak{A}} \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt;

Damit folgt auch &lt;math&gt;(\Omega \setminus A) \cap (\Omega \setminus B) \in \mathfrak{A}
\Rightarrow \Omega \setminus (A \cup B) \in \mathfrak{A}
\Rightarrow A \cup B \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt;

===Suchbegriffe===
sigma-Algebra, Potenzmenge

===Quellen===
Keine Quellen


===ähnliche Aufgaben===
noch keine ähnliche Aufgabe gefunden


[[Kategorie:Stochastik]]</text>
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    <text bytes="1888" xml:space="preserve">==Aufgabe (&lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-Algebra Grundeigenschaften)==
Es sei &lt;math&gt;\Omega \neq \emptyset&lt;/math&gt;, und es sei &lt;math&gt;\mathfrak{A}&lt;/math&gt; ein endliches Teilsystem der Potenzmenge von &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; mit den Eigenschaften:
*(1) &lt;math&gt;\Omega \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt;
*(2) &lt;math&gt;A,B \in \mathfrak{A} \Rightarrow A\setminus{B} \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt;.
Man prüfe, ob &lt;math&gt;\mathfrak{A}&lt;/math&gt; unter diesen Voraussetzungen stets eine &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-Algebra ist.

===Tipps===
Wende die Definition der &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-Algebra an.

===Lösung===
Weise die drei definierenden Eigenschaften einer &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-Algebra nach:

1) &lt;math&gt;\Omega \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt; nach (1)

2) &lt;math&gt;A \in \mathfrak{A} \Rightarrow \Omega\setminus{A} \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt; nach (1),(2)

3) &lt;math&gt;A_1,A_2,.. \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt;\mathfrak{A}&lt;/math&gt; endlich ist, gibt es unter den Mengen &lt;math&gt;A_i&lt;/math&gt; nur endlich viele verschiedene.

O.B.d.A. seien dies &lt;math&gt;A_1,..,A_n \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt;, zu zeigen bleibt: 
&lt;math&gt;\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i = \bigcup_{i=1}^{n} A_i \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt;

Hierzu genügt es, zu zeigen: &lt;math&gt;A,B \in \mathfrak{A} \Rightarrow A \cup B \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt;

Betrachte (*):  &lt;math&gt;\Omega\setminus(A \cup B) = \underbrace{(\Omega \setminus A)}_{\in \mathfrak{A}} \cap \underbrace{(\Omega \setminus B)}_{\in \mathfrak{A}}&lt;/math&gt;

Für &lt;math&gt;A,B \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt; gilt: &lt;math&gt;A \cap B = A \setminus \underbrace{(\Omega \setminus B)}_{\in \mathfrak{A}} \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt;

Damit folgt auch &lt;math&gt;(\Omega \setminus A) \cap (\Omega \setminus B) \in \mathfrak{A}
\Rightarrow \Omega \setminus (A \cup B) \in \mathfrak{A}
\Rightarrow A \cup B \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt;

===Suchbegriffe===
sigma-Algebra, Potenzmenge

===Quellen===
Keine Quellen

===ähnliche Aufgaben===
noch keine ähnliche Aufgabe gefunden


[[Kategorie:Stochastik]]</text>
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    <text bytes="1436" xml:space="preserve">==Aufgabe (spezieller Augabenname)==
Hier gehört die Aufgabenstellung hin.

===Tipps===
Tipps, die beim Selberlösen der Aufgabe helfen, gehören an diese Stelle

===Lösung===
Bitte schreibe hier die Aufgabenlösung hin, falls dir diese schon bekannt ist. Ansonsten hoffe darauf, dass ein anderer Nutzer auch nach dieser Aufgabe sucht und dann, nachdem ihm die Lösung bekannt ist, diese hier reinschreibt.

===Suchbegriffe===
Gib hier verschiedene Begriffe ein, über welche die Aufgabe in der WikiMath-Suchmaschine gefunden werden soll.

===Quellen===
Hast du die Aufgabe einer bestimmten Quelle entnommen?
Dann gehört ein Verweis hierhin.

==ähnliche Aufgaben==
Gibt es auf WikiMath schon andere ähnliche Aufgaben, die mit dieser Aufgabe eng verwandt sind, aber nicht unbedingt zusammen auf einer Seite stehen sollten, dann verlinke hier zu diesen anderen Aufgaben.
!!!Dies ist auch sehr wichtig, damit keine Aufgaben verwaisen!!!
Genauso solltest Du auch Deine Aufgabe bei den anderen verlinken.


==Aufgabe 2 (weiterer Augabenname)==

===Tipps===

===Lösung===

===Suchbegriffe===

===Quellen===

==ähnliche Aufgaben==


Vergiss nicht deine Aufgabe einer/oder mehrerer Kategorien zuzuordnen!
Welche Kategorien bisher existieren, findest du auf den Spezialseiten unter [[Spezial:Categories|Seitenkategorien]]. Kategorienvorschläge sind auch schon auf der [[WikiMath|Hauptseite]] zu finden.

[[Kategorie:Beispielkategorie]]</text>
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    <text bytes="1440" xml:space="preserve">==Aufgabe (spezieller Augabenname)==
Hier gehört die Aufgabenstellung hin.

===Tipps===
Tipps, die beim Selberlösen der Aufgabe helfen, gehören an diese Stelle

===Lösung===
Bitte schreibe hier die Aufgabenlösung hin, falls dir diese schon bekannt ist. Ansonsten hoffe darauf, dass ein anderer Nutzer auch nach dieser Aufgabe sucht und dann, nachdem ihm die Lösung bekannt ist, diese hier reinschreibt.

===Suchbegriffe===
Gib hier verschiedene Begriffe ein, über welche die Aufgabe in der WikiMath-Suchmaschine gefunden werden soll.

===Quellen===
Hast du die Aufgabe einer bestimmten Quelle entnommen?
Dann gehört ein Verweis hierhin.

===ähnliche Aufgaben===
Gibt es auf WikiMath schon andere ähnliche Aufgaben, die mit dieser Aufgabe eng verwandt sind, aber nicht unbedingt zusammen auf einer Seite stehen sollten, dann verlinke hier zu diesen anderen Aufgaben.
!!!Dies ist auch sehr wichtig, damit keine Aufgaben verwaisen!!!
Genauso solltest Du auch Deine Aufgabe bei den anderen verlinken.


==Aufgabe 2 (weiterer Augabenname)==

===Tipps===

===Lösung===

===Suchbegriffe===

===Quellen===

===ähnliche Aufgaben===


Vergiss nicht deine Aufgabe einer/oder mehrerer Kategorien zuzuordnen!
Welche Kategorien bisher existieren, findest du auf den Spezialseiten unter [[Spezial:Categories|Seitenkategorien]]. Kategorienvorschläge sind auch schon auf der [[WikiMath|Hauptseite]] zu finden.

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Hier gehört die Aufgabenstellung hin.
Dabei sollt ihr natürlich die korrekte mathematische Schreibweise inklusive aller Formeln verwenden: z.B. &lt;math&gt;\begin{bmatrix} 0 &amp; \cdots &amp; 1 \\ \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots \\ 2 &amp; \cdots &amp; 3\end{bmatrix}&lt;/math&gt; oder &lt;math&gt;\int\limits_{-N}^{N} e^x\, \mathrm{d}x&lt;/math&gt;

===Tipps===
Tipps, die beim Selberlösen der Aufgabe helfen, gehören an diese Stelle

===Lösung===
Bitte schreibe hier die Aufgabenlösung hin, falls dir diese schon bekannt ist. Ansonsten hoffe darauf, dass ein anderer Nutzer auch nach dieser Aufgabe sucht und dann, nachdem ihm die Lösung bekannt ist, diese hier reinschreibt.

===Suchbegriffe===
Gib hier verschiedene Begriffe ein, über welche die Aufgabe in der WikiMath-Suchmaschine gefunden werden soll.

===Quellen===
Hast du die Aufgabe einer bestimmten Quelle entnommen?
Dann gehört ein Verweis hierhin.

===ähnliche Aufgaben===
Gibt es auf WikiMath schon andere ähnliche Aufgaben, die mit dieser Aufgabe eng verwandt sind, aber nicht unbedingt zusammen auf einer Seite stehen sollten, dann verlinke hier zu diesen anderen Aufgaben.
!!!Dies ist auch sehr wichtig, damit keine Aufgaben verwaisen!!!
Genauso solltest Du auch Deine Aufgabe bei den anderen verlinken.

==Aufgabe 2 (weiterer Augabenname)==

===Tipps===

===Lösung===

===Suchbegriffe===

===Quellen===

===ähnliche Aufgaben===


Vergiss nicht deine Aufgabe einer/oder mehrerer Kategorien zuzuordnen!
Welche Kategorien bisher existieren, findest du auf den Spezialseiten unter [[Spezial:Categories|Seitenkategorien]]. Kategorienvorschläge sind auch schon auf der [[WikiMath|Hauptseite]] zu finden.

[[Kategorie:Beispielkategorie]]</text>
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  <title>Kategorie:Topologie</title>
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    <comment>Beschreibung</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="846" xml:space="preserve">Die folgende Kurzbeschreibung soll einen Einblick geben, welche Aufgaben in dieser Kategorie zu finden sind.

Gegenstand der '''Topologie''' sind in umfassender Weise die topologischen Räume und deren charakteristische topologische Strukturen. (Auch diese werden häufig kurz Topologien genannt.) Topologische Räume können als radikale Verallgemeinerung des »Anschauungsraumes« der Elementargeometrie verstanden werden, und der erstaunliche Erfolg dieses Konzeptes als Folge seiner Fähigkeit, eine Vielzahl von Phänomenen zu integrieren.

Die Topologie als Teilgebiet lässt sich noch weiter unterteilen in mengentheoretische Topologie, die sich allgemein mit topologischen Räumen beschäftigt, und algebraische Topologie, die diejenigen Eigenschaften von topologischen Räumen untersucht, die unter stetigen Abbildungen erhalten bleiben.</text>
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  <title>Vollständiger metrischer Raum</title>
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    <text bytes="1704" xml:space="preserve">==Aufgabe (spezieller Augabenname)==
Hier gehört die Aufgabenstellung hin.
Dabei sollt ihr natürlich die korrekte mathematische Schreibweise inklusive aller Formeln verwenden: z.B. &lt;math&gt;\begin{bmatrix} 0 &amp; \cdots &amp; 1 \\ \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots \\ 2 &amp; \cdots &amp; 3\end{bmatrix}&lt;/math&gt; oder &lt;math&gt;\int\limits_{-N}^{N} e^x\, \mathrm{d}x&lt;/math&gt;

===Tipps===
Tipps, die beim Selberlösen der Aufgabe helfen, gehören an diese Stelle

===Lösung===
Bitte schreibe hier die Aufgabenlösung hin, falls dir diese schon bekannt ist. Ansonsten hoffe darauf, dass ein anderer Nutzer auch nach dieser Aufgabe sucht und dann, nachdem ihm die Lösung bekannt ist, diese hier reinschreibt.

===Suchbegriffe===
Gib hier verschiedene Begriffe ein, über welche die Aufgabe in der WikiMath-Suchmaschine gefunden werden soll.

===Quellen===
Hast du die Aufgabe einer bestimmten Quelle entnommen?
Dann gehört ein Verweis hierhin.

===ähnliche Aufgaben===
Gibt es auf WikiMath schon andere ähnliche Aufgaben, die mit dieser Aufgabe eng verwandt sind, aber nicht unbedingt zusammen auf einer Seite stehen sollten, dann verlinke hier zu diesen anderen Aufgaben.
!!!Dies ist auch sehr wichtig, damit keine Aufgaben verwaisen!!!
Genauso solltest Du auch Deine Aufgabe bei den anderen verlinken.

==Aufgabe 2 (weiterer Augabenname)==

===Tipps===

===Lösung===

===Suchbegriffe===

===Quellen===

===ähnliche Aufgaben===


Vergiss nicht deine Aufgabe einer/oder mehrerer Kategorien zuzuordnen!
Welche Kategorien bisher existieren, findest du auf den Spezialseiten unter [[Spezial:Categories|Seitenkategorien]]. Kategorienvorschläge sind auch schon auf der [[WikiMath|Hauptseite]] zu finden.

[[Kategorie:Beispielkategorie]]</text>
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    <contributor>
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    </contributor>
    <comment>Aufg. und Lösung geschrieben</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="948" xml:space="preserve">==Aufgabe (abgeschl. TM eines vollst. metr. Raumes)==
Sei &lt;math&gt;(X,d)&lt;/math&gt; ein vollständiger metrischer Raum und &lt;math&gt;Y \subset X&lt;/math&gt; abgeschlossen, so ist auch &lt;math&gt;(Y,d)&lt;/math&gt; ein vollständiger metrischer Raum.

===Tipps===
benutze Cauchyfolgen

===Lösung===
zu zeigen: Ist &lt;math&gt;\{y_n\}_{n \in \mathbb{N}}&lt;/math&gt; eine Cauchfolge in &lt;math&gt;Y&lt;/math&gt;, so existiert &lt;math&gt;y \in Y&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\lim_{n \rightarrow \infty} y_n =y&lt;/math&gt;.

'''Beweis:''' Sei &lt;math&gt;\{y_n\}_{n \in \mathbb{N}}&lt;/math&gt; Cauchy-Folge in &lt;math&gt;Y \Rightarrow \{y_n\}_{n \in \mathbb{N}}&lt;/math&gt; ist Cauchy-Folge in X &lt;math&gt;\Rightarrow \exists x \in X&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\lim_{n \rightarrow \infty} y_n =x&lt;/math&gt;.
&lt;math&gt;Y&lt;/math&gt; ist aber abgeschlossen &lt;math&gt;\Rightarrow x \in Y&lt;/math&gt;.
q.e.d.

===Suchbegriffe===
Vollständig metrischer Raum, Banachraum, abgeschlossen

===Quellen===
keine bekannten Quellen

===ähnliche Aufgaben===


[[Kategorie:Funktionalanalysis]]</text>
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  <title>Vollständiger metrischer Raum</title>
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    <contributor>
      <username>Gallois</username>
      <id>11129</id>
    </contributor>
    <comment>/* Suchbegriffe */  Teilmenge hinzu</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="974" xml:space="preserve">==Aufgabe (abgeschl. TM eines vollst. metr. Raumes)==
Sei &lt;math&gt;(X,d)&lt;/math&gt; ein vollständiger metrischer Raum und &lt;math&gt;Y \subset X&lt;/math&gt; abgeschlossen, so ist auch &lt;math&gt;(Y,d)&lt;/math&gt; ein vollständiger metrischer Raum.

===Tipps===
benutze Cauchyfolgen

===Lösung===
zu zeigen: Ist &lt;math&gt;\{y_n\}_{n \in \mathbb{N}}&lt;/math&gt; eine Cauchfolge in &lt;math&gt;Y&lt;/math&gt;, so existiert &lt;math&gt;y \in Y&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\lim_{n \rightarrow \infty} y_n =y&lt;/math&gt;.

'''Beweis:''' Sei &lt;math&gt;\{y_n\}_{n \in \mathbb{N}}&lt;/math&gt; Cauchy-Folge in &lt;math&gt;Y \Rightarrow \{y_n\}_{n \in \mathbb{N}}&lt;/math&gt; ist Cauchy-Folge in X &lt;math&gt;\Rightarrow \exists x \in X&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\lim_{n \rightarrow \infty} y_n =x&lt;/math&gt;.
&lt;math&gt;Y&lt;/math&gt; ist aber abgeschlossen &lt;math&gt;\Rightarrow x \in Y&lt;/math&gt;.
q.e.d.

===Suchbegriffe===
Vollständig metrischer Raum, Banachraum, abgeschlossene Teilmenge, abgeschlossen

===Quellen===
keine bekannten Quellen

===ähnliche Aufgaben===


[[Kategorie:Funktionalanalysis]]</text>
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  <title>Mathe Wiki</title>
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      <username>Gallois</username>
      <id>11129</id>
    </contributor>
    <comment>{{NUMBEROFARTICLES}} in jedemenge geändert</comment>
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    <text bytes="2491" xml:space="preserve">{{wikicities:MainStyle1}}
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    <text bytes="1704" xml:space="preserve">==Aufgabe (spezieller Augabenname)==
Hier gehört die Aufgabenstellung hin.
Dabei sollt ihr natürlich die korrekte mathematische Schreibweise inklusive aller Formeln verwenden: z.B. &lt;math&gt;\begin{bmatrix} 0 &amp; \cdots &amp; 1 \\ \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots \\ 2 &amp; \cdots &amp; 3\end{bmatrix}&lt;/math&gt; oder &lt;math&gt;\int\limits_{-N}^{N} e^x\, \mathrm{d}x&lt;/math&gt;

===Tipps===
Tipps, die beim Selberlösen der Aufgabe helfen, gehören an diese Stelle

===Lösung===
Bitte schreibe hier die Aufgabenlösung hin, falls dir diese schon bekannt ist. Ansonsten hoffe darauf, dass ein anderer Nutzer auch nach dieser Aufgabe sucht und dann, nachdem ihm die Lösung bekannt ist, diese hier reinschreibt.

===Suchbegriffe===
Gib hier verschiedene Begriffe ein, über welche die Aufgabe in der WikiMath-Suchmaschine gefunden werden soll.

===Quellen===
Hast du die Aufgabe einer bestimmten Quelle entnommen?
Dann gehört ein Verweis hierhin.

===ähnliche Aufgaben===
Gibt es auf WikiMath schon andere ähnliche Aufgaben, die mit dieser Aufgabe eng verwandt sind, aber nicht unbedingt zusammen auf einer Seite stehen sollten, dann verlinke hier zu diesen anderen Aufgaben.
!!!Dies ist auch sehr wichtig, damit keine Aufgaben verwaisen!!!
Genauso solltest Du auch Deine Aufgabe bei den anderen verlinken.

==Aufgabe 2 (weiterer Augabenname)==

===Tipps===

===Lösung===

===Suchbegriffe===

===Quellen===

===ähnliche Aufgaben===


Vergiss nicht deine Aufgabe einer/oder mehrerer Kategorien zuzuordnen!
Welche Kategorien bisher existieren, findest du auf den Spezialseiten unter [[Spezial:Categories|Seitenkategorien]]. Kategorienvorschläge sind auch schon auf der [[WikiMath|Hauptseite]] zu finden.

[[Kategorie:Beispielkategorie]]</text>
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    <text bytes="1265" xml:space="preserve">==Aufgabe (i-te Potenz)==
Berechnen sie: &lt;math&gt;i^{i}&lt;/math&gt;
===Tipps===
benutzen sie die Definition der allgemeinen b-ten Potenz mittels eines Logarithmus.

===Lösung===
Ist &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; einfach zusammenhängend, &lt;math&gt;b \in \mathbb{C}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f \in H(G)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f(z) \neq 0 \ \ \forall z \in G&lt;/math&gt;, so ist ein Zweig der b-ten Potenz von f mittels eines Logarithmus &lt;math&gt;g \in H(G)&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; (d.h. &lt;math&gt;f(z) = e^{g(z)} \ \ \forall z \in G&lt;/math&gt;) erklärt:
&lt;center&gt;&lt;math&gt;(f(z))^{b} := e^{b[g(z)+2k \pi i]}&lt;/math&gt; für ein &lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Für &lt;math&gt;b = \frac{1}{2}&lt;/math&gt; erhält man z.B. einen (injektiven) Zweig der Quadratwurzel von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;.&lt;br&gt;&lt;br&gt;

Nun zur i-ten Potenz:&lt;br&gt;
&lt;center&gt;&lt;math&gt;i = e^{i \frac{\pi}{2}} \Rightarrow i^{i} = e^{i[i \frac{\pi}{2} + 2k \pi i]} = e^{[-\frac{\pi}{2} - 2k \pi]}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Der Hauptwert ist also:&lt;br&gt;
&lt;center&gt;&lt;math&gt;i^{i} := e^{-\frac{\pi}{2}} \ \ (k:=0)&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

===Suchbegriffe===
allgemeine Potenz, Potenz-Zweige, Zweig des Logarithmus, Hauptzweig, Hauptwert, komplexe Potenz

===Quellen===
Aufgabe stammt aus vorlesungsbegleitenden Übungen.

===ähnliche Aufgaben===
noch keine ähnliche Aufgabe gefunden

[[Kategorie:Funktionentheorie]]</text>
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    <text bytes="1265" xml:space="preserve">==Aufgabe (i-te Potenz)==
Berechnen Sie: &lt;math&gt;i^{i}&lt;/math&gt;
===Tipps===
Benutzen Sie die Definition der allgemeinen b-ten Potenz mittels eines Logarithmus.

===Lösung===
Ist &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; einfach zusammenhängend, &lt;math&gt;b \in \mathbb{C}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f \in H(G)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f(z) \neq 0 \ \ \forall z \in G&lt;/math&gt;, so ist ein Zweig der b-ten Potenz von f mittels eines Logarithmus &lt;math&gt;g \in H(G)&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; (d.h. &lt;math&gt;f(z) = e^{g(z)} \ \ \forall z \in G&lt;/math&gt;) erklärt:
&lt;center&gt;&lt;math&gt;(f(z))^{b} := e^{b[g(z)+2k \pi i]}&lt;/math&gt; für ein &lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Für &lt;math&gt;b = \frac{1}{2}&lt;/math&gt; erhält man z.B. einen (injektiven) Zweig der Quadratwurzel von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;.&lt;br&gt;&lt;br&gt;

Nun zur i-ten Potenz:&lt;br&gt;
&lt;center&gt;&lt;math&gt;i = e^{i \frac{\pi}{2}} \Rightarrow i^{i} = e^{i[i \frac{\pi}{2} + 2k \pi i]} = e^{[-\frac{\pi}{2} - 2k \pi]}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Der Hauptwert ist also:&lt;br&gt;
&lt;center&gt;&lt;math&gt;i^{i} := e^{-\frac{\pi}{2}} \ \ (k:=0)&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

===Suchbegriffe===
allgemeine Potenz, Potenz-Zweige, Zweig des Logarithmus, Hauptzweig, Hauptwert, komplexe Potenz

===Quellen===
Aufgabe stammt aus vorlesungsbegleitenden Übungen.

===ähnliche Aufgaben===
noch keine ähnliche Aufgabe gefunden

[[Kategorie:Funktionentheorie]]</text>
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  <title>Diskussion:Mathe Wiki</title>
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    <text bytes="79" xml:space="preserve">warum gibts es noch keinen artikel aber: "Es gibt 11253 registrierte Benutzer."</text>
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    <comment>Antwort</comment>
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    <text bytes="402" xml:space="preserve">warum gibts es noch keinen artikel aber: "Es gibt 11253 registrierte Benutzer."

--Bisher gibt es leider nur vereinzelt Artikel, wie zum Beispiel in der Funktionalanalysis-Kategorie. Das wird sich aber mit der Zeit ändern. Wir hoffen da auf Eure Mithilfe.

--Die vielen registrierten Benutzer beziehen sich sicherlich auf alle Wikis, die auf den Wikicities Servern lagern. Also nicht nur auf WikiMath.</text>
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  <title>Benutzerin:Angela</title>
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  <title>Symmetriegruppe von Z</title>
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    <text bytes="12739" xml:space="preserve">==Klärung von für die Aufgabenstellung wichtigen Begriffen==

Ehe man zur eigentlichen Aufgabenstellungen schreitet, empfiehlt es sich drei Begriffe vorab zu klären, da diese in der Fachliteratur unter unterschiedlichen Namen geführt werden.

'''Bewegung''': Eine Bewegung ist eine Abbildung &lt;math&gt;F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die Abstände respektiert, d.h. es gilt &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:\left|F(x)-F(y)\right|=\left|x-y\right|&lt;/math&gt;.

'''orthogonale Transformation''': Dies ist eine Bewegung, die den Ursprung fest lässt, d.h. es gilt: &lt;math&gt;F(0)=0&lt;/math&gt;.

'''Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;''': Unter der Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; vertseht man die Menge &lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(M)=M\}&lt;/math&gt;, also die Menge aller Bewegungen des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; in sich selbst überführen.


==Aufgabenstellung==

Man bestimme die Symmetriegruppe &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


==Tipp==

Man beachte zunächst, dass &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; eine ''diskrete'' Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; ist. Man fertige eine Zeichnung an, die dies veranschaulicht: Die Elemente von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; sind salopp gesagt Perlen einer Perlenkette und die Kette selbst ist &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;. Anhand dieser Zeichnung ermittele man alle Symmetrien von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; und versuche diese mit Hilfe von Abbildungen &lt;math&gt;F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}&lt;/math&gt; zu beschreiben. Dann bleibt nur noch zu zeigen, dass dies in der Tat alle Symmetrien sind.


==Lösung==

Die Lösung ist nicht ganz einfach und muss in mehreren Etappen bewältigt werden.


===(1) Stetigkeit von Bewegungen===


''Behauptung'': 

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{Q}^n\rightarrow\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung. Dann ist &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; stetig.

''Beweis'':

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{Q}^n\rightarrow\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung und &lt;math&gt;x\in\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; ein beliebiger Punkt. Ferner sei &lt;math&gt;\epsilon&gt;0&lt;/math&gt; beliebig vorgegeben.
Dann folgt mit &lt;math&gt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;y\in\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt;, für die &lt;math&gt;\vert y-x\vert&lt;\delta&lt;/math&gt; gilt:

&lt;math&gt;\vert F(y)-F(x)\vert=\vert y-x\vert&lt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt;, was die Stetigkeit liefert.


===(2) Komposition von Bewegungen===


''Behauptung'':

Seien &lt;math&gt;F,G:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; Bewegungen. Dann ist auch &lt;math&gt;F\circ G&lt;/math&gt; eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig. Dann gilt:

&lt;math&gt;\vert (F\circ G)(x)-(F\circ G)(y)\vert = \vert F(G(x))-F(G(y))\vert =\vert G(x)-G(y)\vert=\vert x-y\vert &lt;/math&gt;


===(3) Translationen===


''Behauptung'':

Es sei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n;\;x\mapsto x+b\;(b\in\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; eine Translation. Dann gilt: &lt;math&gt;T_b&lt;/math&gt; ist eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig.

&lt;math&gt;\vert T_b(x)-T_b(y)\vert =\vert (x+b)-(y+b)\vert =\vert x+b-y-b\vert =\vert x-y\vert&lt;/math&gt;


===(4) Darstellung von Bewegungen mit Translationen und orthogonalen Transformationen===


''Behauptung'': 

Jede Bewegung &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; lässt sich in der Form &lt;math&gt;F=T_b\circ f&lt;/math&gt; schreiben, wobei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine Translation und &lt;math&gt;f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist. 

''Beweis'':

Ist etwa &lt;math&gt;F(0)=b&lt;/math&gt;, so ist &lt;math&gt;f:=T_{-b}\circ F&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation, denn:

&lt;math&gt;f(0)=(T_{-b}\circ F)(0)=T_{-b}(f(0))=T_{-b}(b)=b+(-b)=0&lt;/math&gt;

Mit (2) und (3) folgt hieraus, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist.

Es folgt dann weiter:

&lt;math&gt;T_b\circ f=T_b\circ (T_{-b}\circ F)=(T_b\circ T_{-b})\circ F= id_{\mathbb{R}^n}\circ F=F&lt;/math&gt;.

Die Behauptung folgt.


===(5) Linearität orthogonaler Transformationen===


Bemerkung: Dies ist der mit Abstand schwierigste Satz, der für die Lösung gebraucht wird.


''Behauptung'':

Jede orthogonale Transformation &lt;math&gt;A:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ist linear.


''Beweis'':


(i)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;x,y&gt;=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x+y\vert^2= &lt;x+y,x+y&gt;= &lt;x,x&gt; +2&lt;x,y&gt;+&lt;y,y&gt;=\vert x\vert^2 +\vert y\vert^2 +2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2=2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\vert x\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x\vert=\vert x-0\vert= \vert A(x)-A(0)\vert=\vert A(x)-0\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;


(iii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;A(x),A(y)&gt;=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;. In der Tat:

Für &lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt; ist das trivial. Sei also &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; voraussgesetzt.

&lt;math&gt; \vert x-(-x)\vert^2 = \vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow \vert 2x\vert^2 =\vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow 4\vert x\vert^2 = \vert A(x)\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert A(-x)\vert^2 =_{(ii)}\vert x\vert^2- &lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert -x\vert^2 = 2\vert x\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow 2\vert x\vert^2 = -2&lt;A(x),A(y)&gt; &lt;/math&gt;

Andererseits gilt mit (ii):

&lt;math&gt;2\vert x\vert^2 = 2\vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Hieraus folgt:

&lt;math&gt;\vert &lt;A(x),A(-x)&gt; \vert = \vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Das bedeutet, dass in der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung Gleichheit gilt. Daher folgt:

&lt;math&gt; \exists \lambda\in\mathbb{R}:A(-x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;, ist &lt;math&gt;x\not=-x&lt;/math&gt; und damit &lt;math&gt;\vert x-(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt; und folglich &lt;math&gt;\vert A(x)-A(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt;. Hieraus folgt aber: &lt;math&gt;A(x)\not=A(-x)&lt;/math&gt;. Da allerdings wegen (ii) andererseits auch gilt, dass &lt;math&gt;\vert A(-x)\vert =\vert -x\vert = \vert x\vert =\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, folgt schon: &lt;math&gt;\lambda=-1&lt;/math&gt;. Es gilt also:

&lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n: A(-x)=-A(x)&lt;/math&gt; (*)

Mit (i) und (ii) folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),A(y)&gt; = \frac{1}{2}(\vert A(x)+ A(y)\vert^2 -\vert A(x)\vert^2 -\vert A(y)\vert^2)=_{(*)}\frac{1}{2}(\vert A(x)-A(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x-(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2 = &lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;.


(iv) Erster Teil der Linearität: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)= \lambda A(x)&lt;/math&gt;

Mit (iii) folgt unmittelbar:

&lt;math&gt; \vert &lt;A(\lambda x), A(x)&gt;\vert =\vert &lt;\lambda x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert &lt;x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert x\vert^2 = \vert \lambda x\vert \vert x\vert = \vert A(\lambda x)\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;.

In der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung gilt also abermals Gleichheit und es folgt:

&lt;math&gt;\exists\mu\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\mu A(x)&lt;/math&gt;

Hieraus folgt wegen &lt;math&gt; \vert A(\lambda x)\vert =\vert \lambda x\vert =\vert \lambda \vert \vert x\vert= \vert \lambda\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, dass &lt;math&gt;\vert\lambda\vert=\vert\mu\vert &lt;/math&gt;.

Dabei entfällt der Fall &lt;math&gt;\lambda=-\mu&lt;/math&gt;, da dann insbsondere für &lt;math&gt;\lambda=1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; mit (iii) folgen würde, dass &lt;math&gt;A(x)=-A(x)=A(-x)\Rightarrow x=0&lt;/math&gt; im Widerspruch zu der gerade gemachten Voraussetzung &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;.

Also: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;


(v)Zweiter Teil der Linearität:&lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:A(x+y)=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


Es seien &lt;math&gt;e_1=(1,...,0),...,e_n=(0,...,1)&lt;/math&gt; die Einheitsvektoren im &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; und ferner sei &lt;math&gt; f_i=A(e_i)&lt;/math&gt;. Für einen beliebigen Vektor &lt;math&gt;x=(x_1,...,x_n)&lt;/math&gt; gilt dann, dass &lt;math&gt;x_i= &lt;x,e_i&gt; &lt;/math&gt;. Es folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),f_i&gt;= &lt;A(x),A(e_i)&gt; = &lt;x,e_i&gt;=x_i&lt;/math&gt;

Das Bild von &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bei der orthogonalen Projektion von &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;\mathbb{R}f_i&lt;/math&gt; ist also der Vektor &lt;math&gt;x_if_i&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt; &lt;f_i,f_j&gt;=&lt;e_i,e_j&gt;=0 &lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i\not=j&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; &lt;e_i,e_j&gt;=1&lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i=j&lt;/math&gt;, bilden die Geraden &lt;math&gt; \mathbb{R}f_1,...,\mathbb{R}f_n&lt;/math&gt; ein anderers kartesisches Koordinatensystem (d.h. die Bilder der Basisvektoren bilden wieder eine Basis des &lt;math&gt; \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;)und die i-te Komponente des Vektors &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bezüglich dieser Basis ist &lt;math&gt;x_i&lt;/math&gt;. Daher folgt:

&lt;math&gt;A(x)=\sum_{i=1}^n x_if_i =\sum_{i=1}^n x_iA(e_i)&lt;/math&gt;

Diese Formel ist linear in den Koeffizienten &lt;math&gt; x_i &lt;/math&gt;, so dass folgt:

&lt;math&gt; A(x+y)=\sum_{i=1}^n (x_i+y_i)f_i=\sum_{i=1}^n x_if_i + \sum_{i=1}^n y_if_i=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


===(6)Lineare Abbildungen im Körper der reelen Zahlen===


Man betrachte zunächst die Menge &lt;math&gt;\mathcal{A}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x+y)=f(x)+f(y)\}&lt;/math&gt;

(i)

 Es gilt &lt;math&gt;f(0)=0&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;f(1)=f(1+0)=f(1)+f(0)\Rightarrow f(0)=0&lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(-x)=-f(x)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)\Rightarrow -f(x)=f(-x)&lt;/math&gt;


(iii)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}_0:f(n)=f(1)n&lt;/math&gt;.

Beweis durch vollständige Induktion:

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0)=0=f(1)*0&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f(n+1)=f(n)+f(1)=_{Ind.Vor.}f(1)n+f(1)=f(1)(n+1)&lt;/math&gt;


(iv)

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb(Z):f(z)=f(1)z&lt;/math&gt;.

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}_0^+&lt;/math&gt; ist das klar laut (iii).

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}^-&lt;/math&gt; gilt: &lt;math&gt;\exists n\in\mathbb{N}:z=-n&lt;/math&gt;. Mit (ii) und (iii) folgt dann: &lt;math&gt;f(z)=f(-n)=-f(n)=-f(1)n=f(1)(-n)=f(1)z&lt;/math&gt;


(v)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}:\forall x\in\mathbb{R}:f(nx)=nf(x)&lt;/math&gt;

Beweis durch vollständige Induktion

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; beliebig.

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0*x)=f(0)=0=0*f(x)&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f((n+1)x)=f(nx+x)=f(nx)+f(x)=_{Ind.Vor.}nf(x)+f(x)=(n+1)f(x)&lt;/math&gt;


(vi)

Genauso wie in (iv) folgert man nun aus (v):

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb{Z}:\forall x\in\mathbb{R}:f(zx)=zf(x)&lt;/math&gt;


(vii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{Q}:f(t)=f(1)x&lt;/math&gt;

Sei also &lt;math&gt;q\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; beliebig, dann folgt:

&lt;math&gt; f(\frac{1}{q})=f(1+(-\frac{q-1}{q}))=f(1)+f(-\frac{q-1}{q})=_{(ii)}f(1)-f(\frac{q-1}{q})=_{(v)}f(1)-(q-1)f(\frac{1}{q})&lt;/math&gt;

Also: &lt;math&gt;f(\frac{1}{q})=f(1)-(q-1)f(\frac{1}{q})\Leftrightarrow f(\frac{1}{q})=\frac{1}{q}f(1)&lt;/math&gt;.


(viii)

&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ist abstandserhaltend dann und nur dann, wenn &lt;math&gt;\vert f(1)\vert=1&lt;/math&gt;:

Seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{Q}&lt;/math&gt; beliebig mit &lt;math&gt;x\not=y&lt;/math&gt;, dann gilt:

&lt;math&gt;\vert f(x)-f(y)\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)x-f(1)y\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)\vert \vert x-y\vert=ßvert x-y\vert\Leftrightarrow \vert f(1)\vert =1&lt;/math&gt;

Gemäß (1) ist &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dann stetig auf &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; und damit gilt auch: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(x)=f(1)x&lt;/math&gt;, denn:

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}\mathbb{Q}&lt;/math&gt; beliebig. Dann gibt es gewiss eine Folge &lt;math&gt;(x)_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; von ausschließlich rationalen Zahlen mit der Eigenschaft: &lt;math&gt;\lim_{n\to\infty}x_n =x&lt;/math&gt;. Mit der Stetigkeit von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; folgt dann mit entsprechenden Grenzwertrechenregeln:

&lt;math&gt;f(x)=f(\lim_{n\to\infty}x_n)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lim_{n\to\infty}f(1)x_n=f(1)\lim_{n\to\infty}x_n=f(1)x&lt;/math&gt;.


(ix)

Also ist jedes solches &lt;math&gt;f\in\mathcal{A}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\vert f(1)\vert =1&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation. Da aber wegen (5) zugleich gilt &lt;math&gt;\mathcal{B}:=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;eine\;orthogonale\;Transformation\}\subseteq\mathcal{A}&lt;/math&gt; folgt wegen der Äquuivalenz in (viii) schon, dass &lt;math&gt;\mathcal{C}:=\{f\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x)=ax\;(\vert a\vert=1)\}=\mathcal{B}&lt;/math&gt;


===(7) Symmetriegruppe von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;===


Wegen (4) und (6)(ix) folgt:

&lt;math&gt;\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert=1;\;b\in\mathbb{R})\}&lt;/math&gt;.

Hier muss man nun lediglich noch die Bewegungen finden, für die &lt;math&gt;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}&lt;/math&gt; gilt. Das ist jedoch ein mehr als simples Problem und man sieht schnell ein:

&lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert =1;\;b\in\mathbb{Z})\}&lt;/math&gt;.</text>
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    <text bytes="12724" xml:space="preserve">==Klärung von für die Aufgabenstellung wichtigen Begriffen==

Ehe man zur eigentlichen Aufgabenstellungen schreitet, empfiehlt es sich drei Begriffe vorab zu klären, da diese in der Fachliteratur unter unterschiedlichen Namen geführt werden.

'''Bewegung''': Eine Bewegung ist eine Abbildung &lt;math&gt;F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die Abstände respektiert, d.h. es gilt &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:\left|F(x)-F(y)\right|=\left|x-y\right|&lt;/math&gt;.

'''orthogonale Transformation''': Dies ist eine Bewegung, die den Ursprung fest lässt, d.h. es gilt: &lt;math&gt;F(0)=0&lt;/math&gt;.

'''Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;''': Unter der Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; vertseht man die Menge &lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(M)=M\}&lt;/math&gt;, also die Menge aller Bewegungen des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; in sich selbst überführen.


==Aufgabenstellung==

Man bestimme die Symmetriegruppe &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


==Tipp==

Man beachte zunächst, dass &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; eine ''diskrete'' Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; ist. Man fertige eine Zeichnung an, die dies veranschaulicht: Die Elemente von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; sind salopp gesagt Perlen einer Perlenkette und die Kette selbst ist &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;. Anhand dieser Zeichnung ermittele man alle Symmetrien von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; und versuche diese mit Hilfe von Abbildungen &lt;math&gt;F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}&lt;/math&gt; zu beschreiben. Dann bleibt nur noch zu zeigen, dass dies in der Tat alle Symmetrien sind.


==Lösung==

Die Lösung ist nicht ganz einfach und muss in mehreren Etappen bewältigt werden.


===(1) Stetigkeit von Bewegungen===


''Behauptung'': 

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{Q}^n\rightarrow\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung. Dann ist &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; stetig.

''Beweis'':

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{Q}^n\rightarrow\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung und &lt;math&gt;x\in\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; ein beliebiger Punkt. Ferner sei &lt;math&gt;\epsilon&gt;0&lt;/math&gt; beliebig vorgegeben.
Dann folgt mit &lt;math&gt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;y\in\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt;, für die &lt;math&gt;\vert y-x\vert&lt;\delta&lt;/math&gt; gilt:

&lt;math&gt;\vert F(y)-F(x)\vert=\vert y-x\vert&lt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt;, was die Stetigkeit liefert.


===(2) Komposition von Bewegungen===


''Behauptung'':

Seien &lt;math&gt;F,G:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; Bewegungen. Dann ist auch &lt;math&gt;F\circ G&lt;/math&gt; eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig. Dann gilt:

&lt;math&gt;\vert (F\circ G)(x)-(F\circ G)(y)\vert = \vert F(G(x))-F(G(y))\vert =\vert G(x)-G(y)\vert=\vert x-y\vert &lt;/math&gt;


===(3) Translationen===


''Behauptung'':

Es sei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n;\;x\mapsto x+b\;(b\in\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; eine Translation. Dann gilt: &lt;math&gt;T_b&lt;/math&gt; ist eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig.

&lt;math&gt;\vert T_b(x)-T_b(y)\vert =\vert (x+b)-(y+b)\vert =\vert x+b-y-b\vert =\vert x-y\vert&lt;/math&gt;


===(4) Darstellung von Bewegungen mit Translationen und orthogonalen Transformationen===


''Behauptung'': 

Jede Bewegung &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; lässt sich in der Form &lt;math&gt;F=T_b\circ f&lt;/math&gt; schreiben, wobei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine Translation und &lt;math&gt;f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist. 

''Beweis'':

Ist etwa &lt;math&gt;F(0)=b&lt;/math&gt;, so ist &lt;math&gt;f:=T_{-b}\circ F&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation, denn:

&lt;math&gt;f(0)=(T_{-b}\circ F)(0)=T_{-b}(f(0))=T_{-b}(b)=b+(-b)=0&lt;/math&gt;

Mit (2) und (3) folgt hieraus, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist.

Es folgt dann weiter:

&lt;math&gt;T_b\circ f=T_b\circ (T_{-b}\circ F)=(T_b\circ T_{-b})\circ F= id_{\mathbb{R}^n}\circ F=F&lt;/math&gt;.

Die Behauptung folgt.


===(5) Linearität orthogonaler Transformationen===


Bemerkung: Dies ist der mit Abstand schwierigste Satz, der für die Lösung gebraucht wird.


''Behauptung'':

Jede orthogonale Transformation &lt;math&gt;A:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ist linear.


''Beweis'':


(i)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;x,y&gt;=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x+y\vert^2= &lt;x+y,x+y&gt;= &lt;x,x&gt; +2&lt;x,y&gt;+&lt;y,y&gt;=\vert x\vert^2 +\vert y\vert^2 +2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2=2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\vert x\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x\vert=\vert x-0\vert= \vert A(x)-A(0)\vert=\vert A(x)-0\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;


(iii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;A(x),A(y)&gt;=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;. In der Tat:

Für &lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt; ist das trivial. Sei also &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; voraussgesetzt.

&lt;math&gt; \vert x-(-x)\vert^2 = \vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow \vert 2x\vert^2 =\vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow 4\vert x\vert^2 = \vert A(x)\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert A(-x)\vert^2 =_{(ii)}\vert x\vert^2- &lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert -x\vert^2 = 2\vert x\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow 2\vert x\vert^2 = -2&lt;A(x),A(y)&gt; &lt;/math&gt;

Andererseits gilt mit (ii):

&lt;math&gt;2\vert x\vert^2 = 2\vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Hieraus folgt:

&lt;math&gt;\vert &lt;A(x),A(-x)&gt; \vert = \vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Das bedeutet, dass in der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung Gleichheit gilt. Daher folgt:

&lt;math&gt; \exists \lambda\in\mathbb{R}:A(-x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;, ist &lt;math&gt;x\not=-x&lt;/math&gt; und damit &lt;math&gt;\vert x-(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt; und folglich &lt;math&gt;\vert A(x)-A(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt;. Hieraus folgt aber: &lt;math&gt;A(x)\not=A(-x)&lt;/math&gt;. Da allerdings wegen (ii) andererseits auch gilt, dass &lt;math&gt;\vert A(-x)\vert =\vert -x\vert = \vert x\vert =\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, folgt schon: &lt;math&gt;\lambda=-1&lt;/math&gt;. Es gilt also:

&lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n: A(-x)=-A(x)&lt;/math&gt; (*)

Mit (i) und (ii) folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),A(y)&gt; = \frac{1}{2}(\vert A(x)+ A(y)\vert^2 -\vert A(x)\vert^2 -\vert A(y)\vert^2)=_{(*)}\frac{1}{2}(\vert A(x)-A(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x-(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2 = &lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;.


(iv) Erster Teil der Linearität: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)= \lambda A(x)&lt;/math&gt;

Mit (iii) folgt unmittelbar:

&lt;math&gt; \vert &lt;A(\lambda x), A(x)&gt;\vert =\vert &lt;\lambda x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert &lt;x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert x\vert^2 = \vert \lambda x\vert \vert x\vert = \vert A(\lambda x)\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;.

In der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung gilt also abermals Gleichheit und es folgt:

&lt;math&gt;\exists\mu\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\mu A(x)&lt;/math&gt;

Hieraus folgt wegen &lt;math&gt; \vert A(\lambda x)\vert =\vert \lambda x\vert =\vert \lambda \vert \vert x\vert= \vert \lambda\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, dass &lt;math&gt;\vert\lambda\vert=\vert\mu\vert &lt;/math&gt;.

Dabei entfällt der Fall &lt;math&gt;\lambda=-\mu&lt;/math&gt;, da dann insbsondere für &lt;math&gt;\lambda=1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; mit (iii) folgen würde, dass &lt;math&gt;A(x)=-A(x)=A(-x)\Rightarrow x=0&lt;/math&gt; im Widerspruch zu der gerade gemachten Voraussetzung &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;.

Also: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;


(v)Zweiter Teil der Linearität:&lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:A(x+y)=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


Es seien &lt;math&gt;e_1=(1,...,0),...,e_n=(0,...,1)&lt;/math&gt; die Einheitsvektoren im &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; und ferner sei &lt;math&gt; f_i=A(e_i)&lt;/math&gt;. Für einen beliebigen Vektor &lt;math&gt;x=(x_1,...,x_n)&lt;/math&gt; gilt dann, dass &lt;math&gt;x_i= &lt;x,e_i&gt; &lt;/math&gt;. Es folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),f_i&gt;= &lt;A(x),A(e_i)&gt; = &lt;x,e_i&gt;=x_i&lt;/math&gt;

Das Bild von &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bei der orthogonalen Projektion von &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;\mathbb{R}f_i&lt;/math&gt; ist also der Vektor &lt;math&gt;x_if_i&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt; &lt;f_i,f_j&gt;=&lt;e_i,e_j&gt;=0 &lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i\not=j&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; &lt;e_i,e_j&gt;=1&lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i=j&lt;/math&gt;, bilden die Geraden &lt;math&gt; \mathbb{R}f_1,...,\mathbb{R}f_n&lt;/math&gt; ein anderers kartesisches Koordinatensystem (d.h. die Bilder der Basisvektoren bilden wieder eine Basis des &lt;math&gt; \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;)und die i-te Komponente des Vektors &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bezüglich dieser Basis ist &lt;math&gt;x_i&lt;/math&gt;. Daher folgt:

&lt;math&gt;A(x)=\sum_{i=1}^n x_if_i =\sum_{i=1}^n x_iA(e_i)&lt;/math&gt;

Diese Formel ist linear in den Koeffizienten &lt;math&gt; x_i &lt;/math&gt;, so dass folgt:

&lt;math&gt; A(x+y)=\sum_{i=1}^n (x_i+y_i)f_i=\sum_{i=1}^n x_if_i + \sum_{i=1}^n y_if_i=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


===(6)Lineare Abbildungen im Körper der reelen Zahlen===


Man betrachte zunächst die Menge &lt;math&gt;\mathcal{A}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x+y)=f(x)+f(y)\}&lt;/math&gt;

(i)

 Es gilt &lt;math&gt;f(0)=0&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;f(1)=f(1+0)=f(1)+f(0)\Rightarrow f(0)=0&lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(-x)=-f(x)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)\Rightarrow -f(x)=f(-x)&lt;/math&gt;


(iii)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}_0:f(n)=f(1)n&lt;/math&gt;.

Beweis durch vollständige Induktion:

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0)=0=f(1)*0&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f(n+1)=f(n)+f(1)=_{Ind.Vor.}f(1)n+f(1)=f(1)(n+1)&lt;/math&gt;


(iv)

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb(Z):f(z)=f(1)z&lt;/math&gt;.

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}_0^+&lt;/math&gt; ist das klar laut (iii).

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}^-&lt;/math&gt; gilt: &lt;math&gt;\exists n\in\mathbb{N}:z=-n&lt;/math&gt;. Mit (ii) und (iii) folgt dann: &lt;math&gt;f(z)=f(-n)=-f(n)=-f(1)n=f(1)(-n)=f(1)z&lt;/math&gt;


(v)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}:\forall x\in\mathbb{R}:f(nx)=nf(x)&lt;/math&gt;

Beweis durch vollständige Induktion

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; beliebig.

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0*x)=f(0)=0=0*f(x)&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f((n+1)x)=f(nx+x)=f(nx)+f(x)=_{Ind.Vor.}nf(x)+f(x)=(n+1)f(x)&lt;/math&gt;


(vi)

Genauso wie in (iv) folgert man nun aus (v):

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb{Z}:\forall x\in\mathbb{R}:f(zx)=zf(x)&lt;/math&gt;


(vii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{Q}:f(t)=f(1)x&lt;/math&gt;

Sei also &lt;math&gt;q\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; beliebig, dann folgt:

&lt;math&gt; f(\frac{1}{q})=f(1+(-\frac{q-1}{q}))=f(1)+f(-\frac{q-1}{q})=_{(ii)}f(1)-f(\frac{q-1}{q})=_{(v)}f(1)-(q-1)f(\frac{1}{q})&lt;/math&gt;

Also: &lt;math&gt;f(\frac{1}{q})=f(1)-(q-1)f(\frac{1}{q})\Leftrightarrow f(\frac{1}{q})=\frac{1}{q}f(1)&lt;/math&gt;.


(viii)

&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ist abstandserhaltend dann und nur dann, wenn &lt;math&gt;\vert f(1)\vert=1&lt;/math&gt;:

Seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{Q}&lt;/math&gt; beliebig mit &lt;math&gt;x\not=y&lt;/math&gt;, dann gilt:

&lt;math&gt;\vert f(x)-f(y)\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)x-f(1)y\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)\vert \vert x-y\vert=ßvert x-y\vert\Leftrightarrow \vert f(1)\vert =1&lt;/math&gt;

Gemäß (1) ist &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dann stetig auf &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; und damit gilt auch: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(x)=f(1)x&lt;/math&gt;, denn:

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}\mathbb{Q}&lt;/math&gt; beliebig. Dann gibt es gewiss eine Folge &lt;math&gt;(x)_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; von ausschließlich rationalen Zahlen mit der Eigenschaft: &lt;math&gt;\lim_{n\to\infty}x_n =x&lt;/math&gt;. Mit der Stetigkeit von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; folgt dann mit entsprechenden Grenzwertrechenregeln:

&lt;math&gt;f(x)=f(\lim_{n\to\infty}x_n)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lim_{n\to\infty}f(1)x_n=f(1)\lim_{n\to\infty}x_n=f(1)x&lt;/math&gt;.


(ix)

Also ist jedes solches &lt;math&gt;f\in\mathcal{A}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\vert f(1)\vert =1&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation. Da aber wegen (5) zugleich gilt &lt;math&gt;\mathcal{B}:=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;eine\;orthogonale\;Transformation\}\subseteq\mathcal{A}&lt;/math&gt; folgt wegen der Äquuivalenz in (viii) schon, dass &lt;math&gt;\{f\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x)=ax\;(\vert a\vert=1)\}=\mathcal{B}&lt;/math&gt;

===(7) Symmetriegruppe von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;===


Wegen (4) und (6)(ix) folgt:

&lt;math&gt;\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert=1;\;b\in\mathbb{R})\}&lt;/math&gt;.

Hier muss man nun lediglich noch die Bewegungen finden, für die &lt;math&gt;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}&lt;/math&gt; gilt. Das ist jedoch ein mehr als simples Problem und man sieht schnell ein:

&lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert =1;\;b\in\mathbb{Z})\}&lt;/math&gt;.</text>
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    <contributor>
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    <comment>/* (7) Symmetriegruppe von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="12702" xml:space="preserve">==Klärung von für die Aufgabenstellung wichtigen Begriffen==

Ehe man zur eigentlichen Aufgabenstellungen schreitet, empfiehlt es sich drei Begriffe vorab zu klären, da diese in der Fachliteratur unter unterschiedlichen Namen geführt werden.

'''Bewegung''': Eine Bewegung ist eine Abbildung &lt;math&gt;F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die Abstände respektiert, d.h. es gilt &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:\left|F(x)-F(y)\right|=\left|x-y\right|&lt;/math&gt;.

'''orthogonale Transformation''': Dies ist eine Bewegung, die den Ursprung fest lässt, d.h. es gilt: &lt;math&gt;F(0)=0&lt;/math&gt;.

'''Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;''': Unter der Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; vertseht man die Menge &lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(M)=M\}&lt;/math&gt;, also die Menge aller Bewegungen des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; in sich selbst überführen.


==Aufgabenstellung==

Man bestimme die Symmetriegruppe &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


==Tipp==

Man beachte zunächst, dass &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; eine ''diskrete'' Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; ist. Man fertige eine Zeichnung an, die dies veranschaulicht: Die Elemente von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; sind salopp gesagt Perlen einer Perlenkette und die Kette selbst ist &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;. Anhand dieser Zeichnung ermittele man alle Symmetrien von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; und versuche diese mit Hilfe von Abbildungen &lt;math&gt;F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}&lt;/math&gt; zu beschreiben. Dann bleibt nur noch zu zeigen, dass dies in der Tat alle Symmetrien sind.


==Lösung==

Die Lösung ist nicht ganz einfach und muss in mehreren Etappen bewältigt werden.


===(1) Stetigkeit von Bewegungen===


''Behauptung'': 

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{Q}^n\rightarrow\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung. Dann ist &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; stetig.

''Beweis'':

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{Q}^n\rightarrow\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung und &lt;math&gt;x\in\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; ein beliebiger Punkt. Ferner sei &lt;math&gt;\epsilon&gt;0&lt;/math&gt; beliebig vorgegeben.
Dann folgt mit &lt;math&gt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;y\in\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt;, für die &lt;math&gt;\vert y-x\vert&lt;\delta&lt;/math&gt; gilt:

&lt;math&gt;\vert F(y)-F(x)\vert=\vert y-x\vert&lt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt;, was die Stetigkeit liefert.


===(2) Komposition von Bewegungen===


''Behauptung'':

Seien &lt;math&gt;F,G:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; Bewegungen. Dann ist auch &lt;math&gt;F\circ G&lt;/math&gt; eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig. Dann gilt:

&lt;math&gt;\vert (F\circ G)(x)-(F\circ G)(y)\vert = \vert F(G(x))-F(G(y))\vert =\vert G(x)-G(y)\vert=\vert x-y\vert &lt;/math&gt;


===(3) Translationen===


''Behauptung'':

Es sei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n;\;x\mapsto x+b\;(b\in\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; eine Translation. Dann gilt: &lt;math&gt;T_b&lt;/math&gt; ist eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig.

&lt;math&gt;\vert T_b(x)-T_b(y)\vert =\vert (x+b)-(y+b)\vert =\vert x+b-y-b\vert =\vert x-y\vert&lt;/math&gt;


===(4) Darstellung von Bewegungen mit Translationen und orthogonalen Transformationen===


''Behauptung'': 

Jede Bewegung &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; lässt sich in der Form &lt;math&gt;F=T_b\circ f&lt;/math&gt; schreiben, wobei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine Translation und &lt;math&gt;f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist. 

''Beweis'':

Ist etwa &lt;math&gt;F(0)=b&lt;/math&gt;, so ist &lt;math&gt;f:=T_{-b}\circ F&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation, denn:

&lt;math&gt;f(0)=(T_{-b}\circ F)(0)=T_{-b}(f(0))=T_{-b}(b)=b+(-b)=0&lt;/math&gt;

Mit (2) und (3) folgt hieraus, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist.

Es folgt dann weiter:

&lt;math&gt;T_b\circ f=T_b\circ (T_{-b}\circ F)=(T_b\circ T_{-b})\circ F= id_{\mathbb{R}^n}\circ F=F&lt;/math&gt;.

Die Behauptung folgt.


===(5) Linearität orthogonaler Transformationen===


Bemerkung: Dies ist der mit Abstand schwierigste Satz, der für die Lösung gebraucht wird.


''Behauptung'':

Jede orthogonale Transformation &lt;math&gt;A:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ist linear.


''Beweis'':


(i)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;x,y&gt;=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x+y\vert^2= &lt;x+y,x+y&gt;= &lt;x,x&gt; +2&lt;x,y&gt;+&lt;y,y&gt;=\vert x\vert^2 +\vert y\vert^2 +2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2=2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\vert x\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x\vert=\vert x-0\vert= \vert A(x)-A(0)\vert=\vert A(x)-0\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;


(iii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;A(x),A(y)&gt;=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;. In der Tat:

Für &lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt; ist das trivial. Sei also &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; voraussgesetzt.

&lt;math&gt; \vert x-(-x)\vert^2 = \vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow \vert 2x\vert^2 =\vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow 4\vert x\vert^2 = \vert A(x)\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert A(-x)\vert^2 =_{(ii)}\vert x\vert^2- &lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert -x\vert^2 = 2\vert x\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow 2\vert x\vert^2 = -2&lt;A(x),A(y)&gt; &lt;/math&gt;

Andererseits gilt mit (ii):

&lt;math&gt;2\vert x\vert^2 = 2\vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Hieraus folgt:

&lt;math&gt;\vert &lt;A(x),A(-x)&gt; \vert = \vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Das bedeutet, dass in der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung Gleichheit gilt. Daher folgt:

&lt;math&gt; \exists \lambda\in\mathbb{R}:A(-x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;, ist &lt;math&gt;x\not=-x&lt;/math&gt; und damit &lt;math&gt;\vert x-(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt; und folglich &lt;math&gt;\vert A(x)-A(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt;. Hieraus folgt aber: &lt;math&gt;A(x)\not=A(-x)&lt;/math&gt;. Da allerdings wegen (ii) andererseits auch gilt, dass &lt;math&gt;\vert A(-x)\vert =\vert -x\vert = \vert x\vert =\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, folgt schon: &lt;math&gt;\lambda=-1&lt;/math&gt;. Es gilt also:

&lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n: A(-x)=-A(x)&lt;/math&gt; (*)

Mit (i) und (ii) folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),A(y)&gt; = \frac{1}{2}(\vert A(x)+ A(y)\vert^2 -\vert A(x)\vert^2 -\vert A(y)\vert^2)=_{(*)}\frac{1}{2}(\vert A(x)-A(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x-(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2 = &lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;.


(iv) Erster Teil der Linearität: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)= \lambda A(x)&lt;/math&gt;

Mit (iii) folgt unmittelbar:

&lt;math&gt; \vert &lt;A(\lambda x), A(x)&gt;\vert =\vert &lt;\lambda x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert &lt;x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert x\vert^2 = \vert \lambda x\vert \vert x\vert = \vert A(\lambda x)\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;.

In der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung gilt also abermals Gleichheit und es folgt:

&lt;math&gt;\exists\mu\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\mu A(x)&lt;/math&gt;

Hieraus folgt wegen &lt;math&gt; \vert A(\lambda x)\vert =\vert \lambda x\vert =\vert \lambda \vert \vert x\vert= \vert \lambda\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, dass &lt;math&gt;\vert\lambda\vert=\vert\mu\vert &lt;/math&gt;.

Dabei entfällt der Fall &lt;math&gt;\lambda=-\mu&lt;/math&gt;, da dann insbsondere für &lt;math&gt;\lambda=1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; mit (iii) folgen würde, dass &lt;math&gt;A(x)=-A(x)=A(-x)\Rightarrow x=0&lt;/math&gt; im Widerspruch zu der gerade gemachten Voraussetzung &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;.

Also: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;


(v)Zweiter Teil der Linearität:&lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:A(x+y)=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


Es seien &lt;math&gt;e_1=(1,...,0),...,e_n=(0,...,1)&lt;/math&gt; die Einheitsvektoren im &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; und ferner sei &lt;math&gt; f_i=A(e_i)&lt;/math&gt;. Für einen beliebigen Vektor &lt;math&gt;x=(x_1,...,x_n)&lt;/math&gt; gilt dann, dass &lt;math&gt;x_i= &lt;x,e_i&gt; &lt;/math&gt;. Es folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),f_i&gt;= &lt;A(x),A(e_i)&gt; = &lt;x,e_i&gt;=x_i&lt;/math&gt;

Das Bild von &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bei der orthogonalen Projektion von &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;\mathbb{R}f_i&lt;/math&gt; ist also der Vektor &lt;math&gt;x_if_i&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt; &lt;f_i,f_j&gt;=&lt;e_i,e_j&gt;=0 &lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i\not=j&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; &lt;e_i,e_j&gt;=1&lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i=j&lt;/math&gt;, bilden die Geraden &lt;math&gt; \mathbb{R}f_1,...,\mathbb{R}f_n&lt;/math&gt; ein anderers kartesisches Koordinatensystem (d.h. die Bilder der Basisvektoren bilden wieder eine Basis des &lt;math&gt; \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;)und die i-te Komponente des Vektors &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bezüglich dieser Basis ist &lt;math&gt;x_i&lt;/math&gt;. Daher folgt:

&lt;math&gt;A(x)=\sum_{i=1}^n x_if_i =\sum_{i=1}^n x_iA(e_i)&lt;/math&gt;

Diese Formel ist linear in den Koeffizienten &lt;math&gt; x_i &lt;/math&gt;, so dass folgt:

&lt;math&gt; A(x+y)=\sum_{i=1}^n (x_i+y_i)f_i=\sum_{i=1}^n x_if_i + \sum_{i=1}^n y_if_i=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


===(6)Lineare Abbildungen im Körper der reelen Zahlen===


Man betrachte zunächst die Menge &lt;math&gt;\mathcal{A}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x+y)=f(x)+f(y)\}&lt;/math&gt;

(i)

 Es gilt &lt;math&gt;f(0)=0&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;f(1)=f(1+0)=f(1)+f(0)\Rightarrow f(0)=0&lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(-x)=-f(x)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)\Rightarrow -f(x)=f(-x)&lt;/math&gt;


(iii)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}_0:f(n)=f(1)n&lt;/math&gt;.

Beweis durch vollständige Induktion:

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0)=0=f(1)*0&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f(n+1)=f(n)+f(1)=_{Ind.Vor.}f(1)n+f(1)=f(1)(n+1)&lt;/math&gt;


(iv)

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb(Z):f(z)=f(1)z&lt;/math&gt;.

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}_0^+&lt;/math&gt; ist das klar laut (iii).

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}^-&lt;/math&gt; gilt: &lt;math&gt;\exists n\in\mathbb{N}:z=-n&lt;/math&gt;. Mit (ii) und (iii) folgt dann: &lt;math&gt;f(z)=f(-n)=-f(n)=-f(1)n=f(1)(-n)=f(1)z&lt;/math&gt;


(v)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}:\forall x\in\mathbb{R}:f(nx)=nf(x)&lt;/math&gt;

Beweis durch vollständige Induktion

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; beliebig.

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0*x)=f(0)=0=0*f(x)&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f((n+1)x)=f(nx+x)=f(nx)+f(x)=_{Ind.Vor.}nf(x)+f(x)=(n+1)f(x)&lt;/math&gt;


(vi)

Genauso wie in (iv) folgert man nun aus (v):

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb{Z}:\forall x\in\mathbb{R}:f(zx)=zf(x)&lt;/math&gt;


(vii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{Q}:f(t)=f(1)x&lt;/math&gt;

Sei also &lt;math&gt;q\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; beliebig, dann folgt:

&lt;math&gt; f(\frac{1}{q})=f(1+(-\frac{q-1}{q}))=f(1)+f(-\frac{q-1}{q})=_{(ii)}f(1)-f(\frac{q-1}{q})=_{(v)}f(1)-(q-1)f(\frac{1}{q})&lt;/math&gt;

Also: &lt;math&gt;f(\frac{1}{q})=f(1)-(q-1)f(\frac{1}{q})\Leftrightarrow f(\frac{1}{q})=\frac{1}{q}f(1)&lt;/math&gt;.


(viii)

&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ist abstandserhaltend dann und nur dann, wenn &lt;math&gt;\vert f(1)\vert=1&lt;/math&gt;:

Seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{Q}&lt;/math&gt; beliebig mit &lt;math&gt;x\not=y&lt;/math&gt;, dann gilt:

&lt;math&gt;\vert f(x)-f(y)\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)x-f(1)y\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)\vert \vert x-y\vert=ßvert x-y\vert\Leftrightarrow \vert f(1)\vert =1&lt;/math&gt;

Gemäß (1) ist &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dann stetig auf &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; und damit gilt auch: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(x)=f(1)x&lt;/math&gt;, denn:

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}\mathbb{Q}&lt;/math&gt; beliebig. Dann gibt es gewiss eine Folge &lt;math&gt;(x)_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; von ausschließlich rationalen Zahlen mit der Eigenschaft: &lt;math&gt;\lim_{n\to\infty}x_n =x&lt;/math&gt;. Mit der Stetigkeit von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; folgt dann mit entsprechenden Grenzwertrechenregeln:

&lt;math&gt;f(x)=f(\lim_{n\to\infty}x_n)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lim_{n\to\infty}f(1)x_n=f(1)\lim_{n\to\infty}x_n=f(1)x&lt;/math&gt;.


(ix)

Also ist jedes solches &lt;math&gt;f\in\mathcal{A}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\vert f(1)\vert =1&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation. Da aber wegen (5) zugleich gilt &lt;math&gt;\mathcal{B}:=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;eine\;orthogonale\;Transformation\}\subseteq\mathcal{A}&lt;/math&gt; folgt wegen der Äquuivalenz in (viii) schon, dass &lt;math&gt;\{f\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x)=ax\;(\vert a\vert=1)\}=\mathcal{B}&lt;/math&gt;

===(7) Symmetriegruppe von Z===


Wegen (4) und (6)(ix) folgt:

&lt;math&gt;\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert=1;\;b\in\mathbb{R})\}&lt;/math&gt;.

Hier muss man nun lediglich noch die Bewegungen finden, für die &lt;math&gt;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}&lt;/math&gt; gilt. Das ist jedoch ein mehr als simples Problem und man sieht schnell ein:

&lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert =1;\;b\in\mathbb{Z})\}&lt;/math&gt;.</text>
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    <timestamp>2006-03-02T01:27:08Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>84.165.171.59</username>
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    </contributor>
    <comment>/* Klärung von für die Aufgabenstellung wichtigen Begriffen */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="12697" xml:space="preserve">==Klärung von für die Aufgabenstellung wichtigen Begriffen==

Ehe man zur eigentlichen Aufgabenstellungen schreitet, empfiehlt es sich drei Begriffe vorab zu klären, da diese in der Fachliteratur unter verschiedenen Namen geführt werden.

'''Bewegung''': Eine Bewegung ist eine Abbildung &lt;math&gt;F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die Abstände respektiert, d.h. es gilt &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:\left|F(x)-F(y)\right|=\left|x-y\right|&lt;/math&gt;.

'''orthogonale Transformation''': Dies ist eine Bewegung, die den Ursprung fest lässt, d.h. es gilt: &lt;math&gt;F(0)=0&lt;/math&gt;.

'''Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;''': Unter der Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; versteht man die Menge &lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(M)=M\}&lt;/math&gt;, also die Menge aller Bewegungen des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; in sich selbst überführen.

==Aufgabenstellung==

Man bestimme die Symmetriegruppe &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


==Tipp==

Man beachte zunächst, dass &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; eine ''diskrete'' Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; ist. Man fertige eine Zeichnung an, die dies veranschaulicht: Die Elemente von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; sind salopp gesagt Perlen einer Perlenkette und die Kette selbst ist &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;. Anhand dieser Zeichnung ermittele man alle Symmetrien von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; und versuche diese mit Hilfe von Abbildungen &lt;math&gt;F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}&lt;/math&gt; zu beschreiben. Dann bleibt nur noch zu zeigen, dass dies in der Tat alle Symmetrien sind.


==Lösung==

Die Lösung ist nicht ganz einfach und muss in mehreren Etappen bewältigt werden.


===(1) Stetigkeit von Bewegungen===


''Behauptung'': 

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{Q}^n\rightarrow\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung. Dann ist &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; stetig.

''Beweis'':

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{Q}^n\rightarrow\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung und &lt;math&gt;x\in\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; ein beliebiger Punkt. Ferner sei &lt;math&gt;\epsilon&gt;0&lt;/math&gt; beliebig vorgegeben.
Dann folgt mit &lt;math&gt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;y\in\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt;, für die &lt;math&gt;\vert y-x\vert&lt;\delta&lt;/math&gt; gilt:

&lt;math&gt;\vert F(y)-F(x)\vert=\vert y-x\vert&lt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt;, was die Stetigkeit liefert.


===(2) Komposition von Bewegungen===


''Behauptung'':

Seien &lt;math&gt;F,G:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; Bewegungen. Dann ist auch &lt;math&gt;F\circ G&lt;/math&gt; eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig. Dann gilt:

&lt;math&gt;\vert (F\circ G)(x)-(F\circ G)(y)\vert = \vert F(G(x))-F(G(y))\vert =\vert G(x)-G(y)\vert=\vert x-y\vert &lt;/math&gt;


===(3) Translationen===


''Behauptung'':

Es sei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n;\;x\mapsto x+b\;(b\in\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; eine Translation. Dann gilt: &lt;math&gt;T_b&lt;/math&gt; ist eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig.

&lt;math&gt;\vert T_b(x)-T_b(y)\vert =\vert (x+b)-(y+b)\vert =\vert x+b-y-b\vert =\vert x-y\vert&lt;/math&gt;


===(4) Darstellung von Bewegungen mit Translationen und orthogonalen Transformationen===


''Behauptung'': 

Jede Bewegung &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; lässt sich in der Form &lt;math&gt;F=T_b\circ f&lt;/math&gt; schreiben, wobei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine Translation und &lt;math&gt;f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist. 

''Beweis'':

Ist etwa &lt;math&gt;F(0)=b&lt;/math&gt;, so ist &lt;math&gt;f:=T_{-b}\circ F&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation, denn:

&lt;math&gt;f(0)=(T_{-b}\circ F)(0)=T_{-b}(f(0))=T_{-b}(b)=b+(-b)=0&lt;/math&gt;

Mit (2) und (3) folgt hieraus, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist.

Es folgt dann weiter:

&lt;math&gt;T_b\circ f=T_b\circ (T_{-b}\circ F)=(T_b\circ T_{-b})\circ F= id_{\mathbb{R}^n}\circ F=F&lt;/math&gt;.

Die Behauptung folgt.


===(5) Linearität orthogonaler Transformationen===


Bemerkung: Dies ist der mit Abstand schwierigste Satz, der für die Lösung gebraucht wird.


''Behauptung'':

Jede orthogonale Transformation &lt;math&gt;A:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ist linear.


''Beweis'':


(i)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;x,y&gt;=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x+y\vert^2= &lt;x+y,x+y&gt;= &lt;x,x&gt; +2&lt;x,y&gt;+&lt;y,y&gt;=\vert x\vert^2 +\vert y\vert^2 +2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2=2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\vert x\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x\vert=\vert x-0\vert= \vert A(x)-A(0)\vert=\vert A(x)-0\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;


(iii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;A(x),A(y)&gt;=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;. In der Tat:

Für &lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt; ist das trivial. Sei also &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; voraussgesetzt.

&lt;math&gt; \vert x-(-x)\vert^2 = \vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow \vert 2x\vert^2 =\vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow 4\vert x\vert^2 = \vert A(x)\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert A(-x)\vert^2 =_{(ii)}\vert x\vert^2- &lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert -x\vert^2 = 2\vert x\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow 2\vert x\vert^2 = -2&lt;A(x),A(y)&gt; &lt;/math&gt;

Andererseits gilt mit (ii):

&lt;math&gt;2\vert x\vert^2 = 2\vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Hieraus folgt:

&lt;math&gt;\vert &lt;A(x),A(-x)&gt; \vert = \vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Das bedeutet, dass in der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung Gleichheit gilt. Daher folgt:

&lt;math&gt; \exists \lambda\in\mathbb{R}:A(-x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;, ist &lt;math&gt;x\not=-x&lt;/math&gt; und damit &lt;math&gt;\vert x-(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt; und folglich &lt;math&gt;\vert A(x)-A(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt;. Hieraus folgt aber: &lt;math&gt;A(x)\not=A(-x)&lt;/math&gt;. Da allerdings wegen (ii) andererseits auch gilt, dass &lt;math&gt;\vert A(-x)\vert =\vert -x\vert = \vert x\vert =\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, folgt schon: &lt;math&gt;\lambda=-1&lt;/math&gt;. Es gilt also:

&lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n: A(-x)=-A(x)&lt;/math&gt; (*)

Mit (i) und (ii) folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),A(y)&gt; = \frac{1}{2}(\vert A(x)+ A(y)\vert^2 -\vert A(x)\vert^2 -\vert A(y)\vert^2)=_{(*)}\frac{1}{2}(\vert A(x)-A(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x-(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2 = &lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;.


(iv) Erster Teil der Linearität: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)= \lambda A(x)&lt;/math&gt;

Mit (iii) folgt unmittelbar:

&lt;math&gt; \vert &lt;A(\lambda x), A(x)&gt;\vert =\vert &lt;\lambda x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert &lt;x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert x\vert^2 = \vert \lambda x\vert \vert x\vert = \vert A(\lambda x)\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;.

In der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung gilt also abermals Gleichheit und es folgt:

&lt;math&gt;\exists\mu\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\mu A(x)&lt;/math&gt;

Hieraus folgt wegen &lt;math&gt; \vert A(\lambda x)\vert =\vert \lambda x\vert =\vert \lambda \vert \vert x\vert= \vert \lambda\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, dass &lt;math&gt;\vert\lambda\vert=\vert\mu\vert &lt;/math&gt;.

Dabei entfällt der Fall &lt;math&gt;\lambda=-\mu&lt;/math&gt;, da dann insbsondere für &lt;math&gt;\lambda=1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; mit (iii) folgen würde, dass &lt;math&gt;A(x)=-A(x)=A(-x)\Rightarrow x=0&lt;/math&gt; im Widerspruch zu der gerade gemachten Voraussetzung &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;.

Also: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;


(v)Zweiter Teil der Linearität:&lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:A(x+y)=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


Es seien &lt;math&gt;e_1=(1,...,0),...,e_n=(0,...,1)&lt;/math&gt; die Einheitsvektoren im &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; und ferner sei &lt;math&gt; f_i=A(e_i)&lt;/math&gt;. Für einen beliebigen Vektor &lt;math&gt;x=(x_1,...,x_n)&lt;/math&gt; gilt dann, dass &lt;math&gt;x_i= &lt;x,e_i&gt; &lt;/math&gt;. Es folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),f_i&gt;= &lt;A(x),A(e_i)&gt; = &lt;x,e_i&gt;=x_i&lt;/math&gt;

Das Bild von &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bei der orthogonalen Projektion von &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;\mathbb{R}f_i&lt;/math&gt; ist also der Vektor &lt;math&gt;x_if_i&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt; &lt;f_i,f_j&gt;=&lt;e_i,e_j&gt;=0 &lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i\not=j&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; &lt;e_i,e_j&gt;=1&lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i=j&lt;/math&gt;, bilden die Geraden &lt;math&gt; \mathbb{R}f_1,...,\mathbb{R}f_n&lt;/math&gt; ein anderers kartesisches Koordinatensystem (d.h. die Bilder der Basisvektoren bilden wieder eine Basis des &lt;math&gt; \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;)und die i-te Komponente des Vektors &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bezüglich dieser Basis ist &lt;math&gt;x_i&lt;/math&gt;. Daher folgt:

&lt;math&gt;A(x)=\sum_{i=1}^n x_if_i =\sum_{i=1}^n x_iA(e_i)&lt;/math&gt;

Diese Formel ist linear in den Koeffizienten &lt;math&gt; x_i &lt;/math&gt;, so dass folgt:

&lt;math&gt; A(x+y)=\sum_{i=1}^n (x_i+y_i)f_i=\sum_{i=1}^n x_if_i + \sum_{i=1}^n y_if_i=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


===(6)Lineare Abbildungen im Körper der reelen Zahlen===


Man betrachte zunächst die Menge &lt;math&gt;\mathcal{A}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x+y)=f(x)+f(y)\}&lt;/math&gt;

(i)

 Es gilt &lt;math&gt;f(0)=0&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;f(1)=f(1+0)=f(1)+f(0)\Rightarrow f(0)=0&lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(-x)=-f(x)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)\Rightarrow -f(x)=f(-x)&lt;/math&gt;


(iii)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}_0:f(n)=f(1)n&lt;/math&gt;.

Beweis durch vollständige Induktion:

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0)=0=f(1)*0&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f(n+1)=f(n)+f(1)=_{Ind.Vor.}f(1)n+f(1)=f(1)(n+1)&lt;/math&gt;


(iv)

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb(Z):f(z)=f(1)z&lt;/math&gt;.

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}_0^+&lt;/math&gt; ist das klar laut (iii).

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}^-&lt;/math&gt; gilt: &lt;math&gt;\exists n\in\mathbb{N}:z=-n&lt;/math&gt;. Mit (ii) und (iii) folgt dann: &lt;math&gt;f(z)=f(-n)=-f(n)=-f(1)n=f(1)(-n)=f(1)z&lt;/math&gt;


(v)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}:\forall x\in\mathbb{R}:f(nx)=nf(x)&lt;/math&gt;

Beweis durch vollständige Induktion

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; beliebig.

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0*x)=f(0)=0=0*f(x)&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f((n+1)x)=f(nx+x)=f(nx)+f(x)=_{Ind.Vor.}nf(x)+f(x)=(n+1)f(x)&lt;/math&gt;


(vi)

Genauso wie in (iv) folgert man nun aus (v):

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb{Z}:\forall x\in\mathbb{R}:f(zx)=zf(x)&lt;/math&gt;


(vii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{Q}:f(t)=f(1)x&lt;/math&gt;

Sei also &lt;math&gt;q\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; beliebig, dann folgt:

&lt;math&gt; f(\frac{1}{q})=f(1+(-\frac{q-1}{q}))=f(1)+f(-\frac{q-1}{q})=_{(ii)}f(1)-f(\frac{q-1}{q})=_{(v)}f(1)-(q-1)f(\frac{1}{q})&lt;/math&gt;

Also: &lt;math&gt;f(\frac{1}{q})=f(1)-(q-1)f(\frac{1}{q})\Leftrightarrow f(\frac{1}{q})=\frac{1}{q}f(1)&lt;/math&gt;.


(viii)

&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ist abstandserhaltend dann und nur dann, wenn &lt;math&gt;\vert f(1)\vert=1&lt;/math&gt;:

Seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{Q}&lt;/math&gt; beliebig mit &lt;math&gt;x\not=y&lt;/math&gt;, dann gilt:

&lt;math&gt;\vert f(x)-f(y)\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)x-f(1)y\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)\vert \vert x-y\vert=ßvert x-y\vert\Leftrightarrow \vert f(1)\vert =1&lt;/math&gt;

Gemäß (1) ist &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dann stetig auf &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; und damit gilt auch: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(x)=f(1)x&lt;/math&gt;, denn:

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}\mathbb{Q}&lt;/math&gt; beliebig. Dann gibt es gewiss eine Folge &lt;math&gt;(x)_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; von ausschließlich rationalen Zahlen mit der Eigenschaft: &lt;math&gt;\lim_{n\to\infty}x_n =x&lt;/math&gt;. Mit der Stetigkeit von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; folgt dann mit entsprechenden Grenzwertrechenregeln:

&lt;math&gt;f(x)=f(\lim_{n\to\infty}x_n)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lim_{n\to\infty}f(1)x_n=f(1)\lim_{n\to\infty}x_n=f(1)x&lt;/math&gt;.


(ix)

Also ist jedes solches &lt;math&gt;f\in\mathcal{A}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\vert f(1)\vert =1&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation. Da aber wegen (5) zugleich gilt &lt;math&gt;\mathcal{B}:=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;eine\;orthogonale\;Transformation\}\subseteq\mathcal{A}&lt;/math&gt; folgt wegen der Äquuivalenz in (viii) schon, dass &lt;math&gt;\{f\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x)=ax\;(\vert a\vert=1)\}=\mathcal{B}&lt;/math&gt;

===(7) Symmetriegruppe von Z===


Wegen (4) und (6)(ix) folgt:

&lt;math&gt;\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert=1;\;b\in\mathbb{R})\}&lt;/math&gt;.

Hier muss man nun lediglich noch die Bewegungen finden, für die &lt;math&gt;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}&lt;/math&gt; gilt. Das ist jedoch ein mehr als simples Problem und man sieht schnell ein:

&lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert =1;\;b\in\mathbb{Z})\}&lt;/math&gt;.</text>
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    <timestamp>2006-03-02T01:28:30Z</timestamp>
    <contributor>
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    <comment>/* Lösung */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="12696" xml:space="preserve">==Klärung von für die Aufgabenstellung wichtigen Begriffen==

Ehe man zur eigentlichen Aufgabenstellungen schreitet, empfiehlt es sich drei Begriffe vorab zu klären, da diese in der Fachliteratur unter verschiedenen Namen geführt werden.

'''Bewegung''': Eine Bewegung ist eine Abbildung &lt;math&gt;F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die Abstände respektiert, d.h. es gilt &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:\left|F(x)-F(y)\right|=\left|x-y\right|&lt;/math&gt;.

'''orthogonale Transformation''': Dies ist eine Bewegung, die den Ursprung fest lässt, d.h. es gilt: &lt;math&gt;F(0)=0&lt;/math&gt;.

'''Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;''': Unter der Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; versteht man die Menge &lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(M)=M\}&lt;/math&gt;, also die Menge aller Bewegungen des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; in sich selbst überführen.

==Aufgabenstellung==

Man bestimme die Symmetriegruppe &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


==Tipp==

Man beachte zunächst, dass &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; eine ''diskrete'' Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; ist. Man fertige eine Zeichnung an, die dies veranschaulicht: Die Elemente von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; sind salopp gesagt Perlen einer Perlenkette und die Kette selbst ist &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;. Anhand dieser Zeichnung ermittele man alle Symmetrien von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; und versuche diese mit Hilfe von Abbildungen &lt;math&gt;F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}&lt;/math&gt; zu beschreiben. Dann bleibt nur noch zu zeigen, dass dies in der Tat alle Symmetrien sind.


==Lösung==

Die Lösung ist nicht ganz einfach und muss in mehreren Etappen erkämpft werden.


===(1) Stetigkeit von Bewegungen===


''Behauptung'': 

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{Q}^n\rightarrow\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung. Dann ist &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; stetig.

''Beweis'':

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{Q}^n\rightarrow\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung und &lt;math&gt;x\in\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; ein beliebiger Punkt. Ferner sei &lt;math&gt;\epsilon&gt;0&lt;/math&gt; beliebig vorgegeben.
Dann folgt mit &lt;math&gt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;y\in\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt;, für die &lt;math&gt;\vert y-x\vert&lt;\delta&lt;/math&gt; gilt:

&lt;math&gt;\vert F(y)-F(x)\vert=\vert y-x\vert&lt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt;, was die Stetigkeit liefert.


===(2) Komposition von Bewegungen===


''Behauptung'':

Seien &lt;math&gt;F,G:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; Bewegungen. Dann ist auch &lt;math&gt;F\circ G&lt;/math&gt; eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig. Dann gilt:

&lt;math&gt;\vert (F\circ G)(x)-(F\circ G)(y)\vert = \vert F(G(x))-F(G(y))\vert =\vert G(x)-G(y)\vert=\vert x-y\vert &lt;/math&gt;


===(3) Translationen===


''Behauptung'':

Es sei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n;\;x\mapsto x+b\;(b\in\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; eine Translation. Dann gilt: &lt;math&gt;T_b&lt;/math&gt; ist eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig.

&lt;math&gt;\vert T_b(x)-T_b(y)\vert =\vert (x+b)-(y+b)\vert =\vert x+b-y-b\vert =\vert x-y\vert&lt;/math&gt;


===(4) Darstellung von Bewegungen mit Translationen und orthogonalen Transformationen===


''Behauptung'': 

Jede Bewegung &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; lässt sich in der Form &lt;math&gt;F=T_b\circ f&lt;/math&gt; schreiben, wobei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine Translation und &lt;math&gt;f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist. 

''Beweis'':

Ist etwa &lt;math&gt;F(0)=b&lt;/math&gt;, so ist &lt;math&gt;f:=T_{-b}\circ F&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation, denn:

&lt;math&gt;f(0)=(T_{-b}\circ F)(0)=T_{-b}(f(0))=T_{-b}(b)=b+(-b)=0&lt;/math&gt;

Mit (2) und (3) folgt hieraus, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist.

Es folgt dann weiter:

&lt;math&gt;T_b\circ f=T_b\circ (T_{-b}\circ F)=(T_b\circ T_{-b})\circ F= id_{\mathbb{R}^n}\circ F=F&lt;/math&gt;.

Die Behauptung folgt.


===(5) Linearität orthogonaler Transformationen===


Bemerkung: Dies ist der mit Abstand schwierigste Satz, der für die Lösung gebraucht wird.


''Behauptung'':

Jede orthogonale Transformation &lt;math&gt;A:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ist linear.


''Beweis'':


(i)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;x,y&gt;=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x+y\vert^2= &lt;x+y,x+y&gt;= &lt;x,x&gt; +2&lt;x,y&gt;+&lt;y,y&gt;=\vert x\vert^2 +\vert y\vert^2 +2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2=2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\vert x\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x\vert=\vert x-0\vert= \vert A(x)-A(0)\vert=\vert A(x)-0\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;


(iii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;A(x),A(y)&gt;=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;. In der Tat:

Für &lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt; ist das trivial. Sei also &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; voraussgesetzt.

&lt;math&gt; \vert x-(-x)\vert^2 = \vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow \vert 2x\vert^2 =\vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow 4\vert x\vert^2 = \vert A(x)\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert A(-x)\vert^2 =_{(ii)}\vert x\vert^2- &lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert -x\vert^2 = 2\vert x\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow 2\vert x\vert^2 = -2&lt;A(x),A(y)&gt; &lt;/math&gt;

Andererseits gilt mit (ii):

&lt;math&gt;2\vert x\vert^2 = 2\vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Hieraus folgt:

&lt;math&gt;\vert &lt;A(x),A(-x)&gt; \vert = \vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Das bedeutet, dass in der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung Gleichheit gilt. Daher folgt:

&lt;math&gt; \exists \lambda\in\mathbb{R}:A(-x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;, ist &lt;math&gt;x\not=-x&lt;/math&gt; und damit &lt;math&gt;\vert x-(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt; und folglich &lt;math&gt;\vert A(x)-A(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt;. Hieraus folgt aber: &lt;math&gt;A(x)\not=A(-x)&lt;/math&gt;. Da allerdings wegen (ii) andererseits auch gilt, dass &lt;math&gt;\vert A(-x)\vert =\vert -x\vert = \vert x\vert =\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, folgt schon: &lt;math&gt;\lambda=-1&lt;/math&gt;. Es gilt also:

&lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n: A(-x)=-A(x)&lt;/math&gt; (*)

Mit (i) und (ii) folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),A(y)&gt; = \frac{1}{2}(\vert A(x)+ A(y)\vert^2 -\vert A(x)\vert^2 -\vert A(y)\vert^2)=_{(*)}\frac{1}{2}(\vert A(x)-A(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x-(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2 = &lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;.


(iv) Erster Teil der Linearität: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)= \lambda A(x)&lt;/math&gt;

Mit (iii) folgt unmittelbar:

&lt;math&gt; \vert &lt;A(\lambda x), A(x)&gt;\vert =\vert &lt;\lambda x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert &lt;x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert x\vert^2 = \vert \lambda x\vert \vert x\vert = \vert A(\lambda x)\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;.

In der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung gilt also abermals Gleichheit und es folgt:

&lt;math&gt;\exists\mu\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\mu A(x)&lt;/math&gt;

Hieraus folgt wegen &lt;math&gt; \vert A(\lambda x)\vert =\vert \lambda x\vert =\vert \lambda \vert \vert x\vert= \vert \lambda\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, dass &lt;math&gt;\vert\lambda\vert=\vert\mu\vert &lt;/math&gt;.

Dabei entfällt der Fall &lt;math&gt;\lambda=-\mu&lt;/math&gt;, da dann insbsondere für &lt;math&gt;\lambda=1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; mit (iii) folgen würde, dass &lt;math&gt;A(x)=-A(x)=A(-x)\Rightarrow x=0&lt;/math&gt; im Widerspruch zu der gerade gemachten Voraussetzung &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;.

Also: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;


(v)Zweiter Teil der Linearität:&lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:A(x+y)=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


Es seien &lt;math&gt;e_1=(1,...,0),...,e_n=(0,...,1)&lt;/math&gt; die Einheitsvektoren im &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; und ferner sei &lt;math&gt; f_i=A(e_i)&lt;/math&gt;. Für einen beliebigen Vektor &lt;math&gt;x=(x_1,...,x_n)&lt;/math&gt; gilt dann, dass &lt;math&gt;x_i= &lt;x,e_i&gt; &lt;/math&gt;. Es folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),f_i&gt;= &lt;A(x),A(e_i)&gt; = &lt;x,e_i&gt;=x_i&lt;/math&gt;

Das Bild von &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bei der orthogonalen Projektion von &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;\mathbb{R}f_i&lt;/math&gt; ist also der Vektor &lt;math&gt;x_if_i&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt; &lt;f_i,f_j&gt;=&lt;e_i,e_j&gt;=0 &lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i\not=j&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; &lt;e_i,e_j&gt;=1&lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i=j&lt;/math&gt;, bilden die Geraden &lt;math&gt; \mathbb{R}f_1,...,\mathbb{R}f_n&lt;/math&gt; ein anderers kartesisches Koordinatensystem (d.h. die Bilder der Basisvektoren bilden wieder eine Basis des &lt;math&gt; \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;)und die i-te Komponente des Vektors &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bezüglich dieser Basis ist &lt;math&gt;x_i&lt;/math&gt;. Daher folgt:

&lt;math&gt;A(x)=\sum_{i=1}^n x_if_i =\sum_{i=1}^n x_iA(e_i)&lt;/math&gt;

Diese Formel ist linear in den Koeffizienten &lt;math&gt; x_i &lt;/math&gt;, so dass folgt:

&lt;math&gt; A(x+y)=\sum_{i=1}^n (x_i+y_i)f_i=\sum_{i=1}^n x_if_i + \sum_{i=1}^n y_if_i=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


===(6)Lineare Abbildungen im Körper der reelen Zahlen===


Man betrachte zunächst die Menge &lt;math&gt;\mathcal{A}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x+y)=f(x)+f(y)\}&lt;/math&gt;

(i)

 Es gilt &lt;math&gt;f(0)=0&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;f(1)=f(1+0)=f(1)+f(0)\Rightarrow f(0)=0&lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(-x)=-f(x)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)\Rightarrow -f(x)=f(-x)&lt;/math&gt;


(iii)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}_0:f(n)=f(1)n&lt;/math&gt;.

Beweis durch vollständige Induktion:

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0)=0=f(1)*0&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f(n+1)=f(n)+f(1)=_{Ind.Vor.}f(1)n+f(1)=f(1)(n+1)&lt;/math&gt;


(iv)

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb(Z):f(z)=f(1)z&lt;/math&gt;.

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}_0^+&lt;/math&gt; ist das klar laut (iii).

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}^-&lt;/math&gt; gilt: &lt;math&gt;\exists n\in\mathbb{N}:z=-n&lt;/math&gt;. Mit (ii) und (iii) folgt dann: &lt;math&gt;f(z)=f(-n)=-f(n)=-f(1)n=f(1)(-n)=f(1)z&lt;/math&gt;


(v)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}:\forall x\in\mathbb{R}:f(nx)=nf(x)&lt;/math&gt;

Beweis durch vollständige Induktion

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; beliebig.

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0*x)=f(0)=0=0*f(x)&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f((n+1)x)=f(nx+x)=f(nx)+f(x)=_{Ind.Vor.}nf(x)+f(x)=(n+1)f(x)&lt;/math&gt;


(vi)

Genauso wie in (iv) folgert man nun aus (v):

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb{Z}:\forall x\in\mathbb{R}:f(zx)=zf(x)&lt;/math&gt;


(vii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{Q}:f(t)=f(1)x&lt;/math&gt;

Sei also &lt;math&gt;q\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; beliebig, dann folgt:

&lt;math&gt; f(\frac{1}{q})=f(1+(-\frac{q-1}{q}))=f(1)+f(-\frac{q-1}{q})=_{(ii)}f(1)-f(\frac{q-1}{q})=_{(v)}f(1)-(q-1)f(\frac{1}{q})&lt;/math&gt;

Also: &lt;math&gt;f(\frac{1}{q})=f(1)-(q-1)f(\frac{1}{q})\Leftrightarrow f(\frac{1}{q})=\frac{1}{q}f(1)&lt;/math&gt;.


(viii)

&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ist abstandserhaltend dann und nur dann, wenn &lt;math&gt;\vert f(1)\vert=1&lt;/math&gt;:

Seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{Q}&lt;/math&gt; beliebig mit &lt;math&gt;x\not=y&lt;/math&gt;, dann gilt:

&lt;math&gt;\vert f(x)-f(y)\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)x-f(1)y\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)\vert \vert x-y\vert=ßvert x-y\vert\Leftrightarrow \vert f(1)\vert =1&lt;/math&gt;

Gemäß (1) ist &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dann stetig auf &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; und damit gilt auch: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(x)=f(1)x&lt;/math&gt;, denn:

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}\mathbb{Q}&lt;/math&gt; beliebig. Dann gibt es gewiss eine Folge &lt;math&gt;(x)_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; von ausschließlich rationalen Zahlen mit der Eigenschaft: &lt;math&gt;\lim_{n\to\infty}x_n =x&lt;/math&gt;. Mit der Stetigkeit von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; folgt dann mit entsprechenden Grenzwertrechenregeln:

&lt;math&gt;f(x)=f(\lim_{n\to\infty}x_n)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lim_{n\to\infty}f(1)x_n=f(1)\lim_{n\to\infty}x_n=f(1)x&lt;/math&gt;.


(ix)

Also ist jedes solches &lt;math&gt;f\in\mathcal{A}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\vert f(1)\vert =1&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation. Da aber wegen (5) zugleich gilt &lt;math&gt;\mathcal{B}:=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;eine\;orthogonale\;Transformation\}\subseteq\mathcal{A}&lt;/math&gt; folgt wegen der Äquuivalenz in (viii) schon, dass &lt;math&gt;\{f\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x)=ax\;(\vert a\vert=1)\}=\mathcal{B}&lt;/math&gt;

===(7) Symmetriegruppe von Z===


Wegen (4) und (6)(ix) folgt:

&lt;math&gt;\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert=1;\;b\in\mathbb{R})\}&lt;/math&gt;.

Hier muss man nun lediglich noch die Bewegungen finden, für die &lt;math&gt;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}&lt;/math&gt; gilt. Das ist jedoch ein mehr als simples Problem und man sieht schnell ein:

&lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert =1;\;b\in\mathbb{Z})\}&lt;/math&gt;.</text>
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    <comment>/* Lösung */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="12708" xml:space="preserve">==Klärung von für die Aufgabenstellung wichtigen Begriffen==

Ehe man zur eigentlichen Aufgabenstellungen schreitet, empfiehlt es sich drei Begriffe vorab zu klären, da diese in der Fachliteratur unter verschiedenen Namen geführt werden.

'''Bewegung''': Eine Bewegung ist eine Abbildung &lt;math&gt;F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die Abstände respektiert, d.h. es gilt &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:\left|F(x)-F(y)\right|=\left|x-y\right|&lt;/math&gt;.

'''orthogonale Transformation''': Dies ist eine Bewegung, die den Ursprung fest lässt, d.h. es gilt: &lt;math&gt;F(0)=0&lt;/math&gt;.

'''Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;''': Unter der Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; versteht man die Menge &lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(M)=M\}&lt;/math&gt;, also die Menge aller Bewegungen des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; in sich selbst überführen.

==Aufgabenstellung==

Man bestimme die Symmetriegruppe &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


==Tipp==

Man beachte zunächst, dass &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; eine ''diskrete'' Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; ist. Man fertige eine Zeichnung an, die dies veranschaulicht: Die Elemente von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; sind salopp gesagt Perlen einer Perlenkette und die Kette selbst ist &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;. Anhand dieser Zeichnung ermittele man alle Symmetrien von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; und versuche diese mit Hilfe von Abbildungen &lt;math&gt;F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}&lt;/math&gt; zu beschreiben. Dann bleibt nur noch zu zeigen, dass dies in der Tat alle Symmetrien sind.


==Lösung==

Die Lösung ist nicht ganz einfach und muss in mehreren Etappen erkämpft werden.


===(1) Stetigkeit von Bewegungen===


''Behauptung'': 

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{Q}^n\rightarrow\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung. Dann ist &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; stetig.

''Beweis'':

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{Q}^n\rightarrow\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung und &lt;math&gt;x\in\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; ein beliebiger Punkt. Ferner sei &lt;math&gt;\epsilon&gt;0&lt;/math&gt; beliebig vorgegeben.
Dann folgt mit &lt;math&gt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;y\in\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt;, für die &lt;math&gt;\vert y-x\vert&lt;\delta&lt;/math&gt; gilt:

&lt;math&gt;\vert F(y)-F(x)\vert=\vert y-x\vert&lt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt;, was die Stetigkeit liefert.


===(2) Komposition von Bewegungen===


''Behauptung'':

Seien &lt;math&gt;F,G:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; Bewegungen. Dann ist auch &lt;math&gt;F\circ G&lt;/math&gt; eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig. Dann gilt:

&lt;math&gt;\vert (F\circ G)(x)-(F\circ G)(y)\vert = \vert F(G(x))-F(G(y))\vert =\vert G(x)-G(y)\vert=\vert x-y\vert &lt;/math&gt;


===(3) Translationen===


''Behauptung'':

Es sei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n;\;x\mapsto x+b\;(b\in\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; eine Translation. Dann gilt: &lt;math&gt;T_b&lt;/math&gt; ist eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig.

&lt;math&gt;\vert T_b(x)-T_b(y)\vert =\vert (x+b)-(y+b)\vert =\vert x+b-y-b\vert =\vert x-y\vert&lt;/math&gt;


===(4) Darstellung von Bewegungen mit Translationen und orthogonalen Transformationen===


''Behauptung'': 

Jede Bewegung &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; lässt sich in der Form &lt;math&gt;F=T_b\circ f&lt;/math&gt; schreiben, wobei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine Translation und &lt;math&gt;f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist. 

''Beweis'':

Ist etwa &lt;math&gt;F(0)=b&lt;/math&gt;, so ist &lt;math&gt;f:=T_{-b}\circ F&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation, denn:

&lt;math&gt;f(0)=(T_{-b}\circ F)(0)=T_{-b}(f(0))=T_{-b}(b)=b+(-b)=0&lt;/math&gt;

Mit (2) und (3) folgt hieraus, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist.

Es folgt dann weiter:

&lt;math&gt;T_b\circ f=T_b\circ (T_{-b}\circ F)=(T_b\circ T_{-b})\circ F= id_{\mathbb{R}^n}\circ F=F&lt;/math&gt;.

Die Behauptung folgt.


===(5) Linearität orthogonaler Transformationen===


Bemerkung: Dies ist der mit Abstand schwierigste Satz, der für die Lösung gebraucht wird.


''Behauptung'':

Jede orthogonale Transformation &lt;math&gt;A:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ist linear.


''Beweis'':


(i)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;x,y&gt;=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x+y\vert^2= &lt;x+y,x+y&gt;= &lt;x,x&gt; +2&lt;x,y&gt;+&lt;y,y&gt;=\vert x\vert^2 +\vert y\vert^2 +2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2=2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\vert x\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x\vert=\vert x-0\vert= \vert A(x)-A(0)\vert=\vert A(x)-0\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;


(iii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;A(x),A(y)&gt;=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;. In der Tat:

Für &lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt; ist das trivial. Sei also &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; voraussgesetzt.

&lt;math&gt; \vert x-(-x)\vert^2 = \vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow \vert 2x\vert^2 =\vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow 4\vert x\vert^2 = \vert A(x)\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert A(-x)\vert^2 =_{(ii)}\vert x\vert^2- &lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert -x\vert^2 = 2\vert x\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow 2\vert x\vert^2 = -2&lt;A(x),A(y)&gt; &lt;/math&gt;

Andererseits gilt mit (ii):

&lt;math&gt;2\vert x\vert^2 = 2\vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Hieraus folgt:

&lt;math&gt;\vert &lt;A(x),A(-x)&gt; \vert = \vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Das bedeutet, dass in der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung Gleichheit gilt. Daher folgt:

&lt;math&gt; \exists \lambda\in\mathbb{R}:A(-x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;, ist &lt;math&gt;x\not=-x&lt;/math&gt; und damit &lt;math&gt;\vert x-(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt; und folglich &lt;math&gt;\vert A(x)-A(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt;. Hieraus folgt aber: &lt;math&gt;A(x)\not=A(-x)&lt;/math&gt;. Da allerdings wegen (ii) andererseits auch gilt, dass &lt;math&gt;\vert A(-x)\vert =\vert -x\vert = \vert x\vert =\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, folgt schon: &lt;math&gt;\lambda=-1&lt;/math&gt;. Es gilt also:

&lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n: A(-x)=-A(x)&lt;/math&gt; (*)

Mit (i) und (ii) folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),A(y)&gt; = \frac{1}{2}(\vert A(x)+ A(y)\vert^2 -\vert A(x)\vert^2 -\vert A(y)\vert^2)=_{(*)}\frac{1}{2}(\vert A(x)-A(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x-(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2 = &lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;.


(iv) 

''Erster Teil der Linearität'': &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)= \lambda A(x)&lt;/math&gt;

Mit (iii) folgt unmittelbar:

&lt;math&gt; \vert &lt;A(\lambda x), A(x)&gt;\vert =\vert &lt;\lambda x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert &lt;x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert x\vert^2 = \vert \lambda x\vert \vert x\vert = \vert A(\lambda x)\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;.

In der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung gilt also abermals Gleichheit und es folgt:

&lt;math&gt;\exists\mu\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\mu A(x)&lt;/math&gt;

Hieraus folgt wegen &lt;math&gt; \vert A(\lambda x)\vert =\vert \lambda x\vert =\vert \lambda \vert \vert x\vert= \vert \lambda\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, dass &lt;math&gt;\vert\lambda\vert=\vert\mu\vert &lt;/math&gt;.

Dabei entfällt der Fall &lt;math&gt;\lambda=-\mu&lt;/math&gt;, da dann insbsondere für &lt;math&gt;\lambda=1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; mit (iii) folgen würde, dass &lt;math&gt;A(x)=-A(x)=A(-x)\Rightarrow x=0&lt;/math&gt; im Widerspruch zu der gerade gemachten Voraussetzung &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;.

Also: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;


(v)

''Zweiter Teil der Linearität'':&lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:A(x+y)=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


Es seien &lt;math&gt;e_1=(1,...,0),...,e_n=(0,...,1)&lt;/math&gt; die Einheitsvektoren im &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; und ferner sei &lt;math&gt; f_i=A(e_i)&lt;/math&gt;. Für einen beliebigen Vektor &lt;math&gt;x=(x_1,...,x_n)&lt;/math&gt; gilt dann, dass &lt;math&gt;x_i= &lt;x,e_i&gt; &lt;/math&gt;. Es folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),f_i&gt;= &lt;A(x),A(e_i)&gt; = &lt;x,e_i&gt;=x_i&lt;/math&gt;

Das Bild von &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bei der orthogonalen Projektion von &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;\mathbb{R}f_i&lt;/math&gt; ist also der Vektor &lt;math&gt;x_if_i&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt; &lt;f_i,f_j&gt;=&lt;e_i,e_j&gt;=0 &lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i\not=j&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; &lt;e_i,e_j&gt;=1&lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i=j&lt;/math&gt;, bilden die Geraden &lt;math&gt; \mathbb{R}f_1,...,\mathbb{R}f_n&lt;/math&gt; ein anderers kartesisches Koordinatensystem (d.h. die Bilder der Basisvektoren bilden wieder eine Basis des &lt;math&gt; \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;)und die i-te Komponente des Vektors &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bezüglich dieser Basis ist &lt;math&gt;x_i&lt;/math&gt;. Daher folgt:

&lt;math&gt;A(x)=\sum_{i=1}^n x_if_i =\sum_{i=1}^n x_iA(e_i)&lt;/math&gt;

Diese Formel ist linear in den Koeffizienten &lt;math&gt; x_i &lt;/math&gt;, so dass folgt:

&lt;math&gt; A(x+y)=\sum_{i=1}^n (x_i+y_i)f_i=\sum_{i=1}^n x_if_i + \sum_{i=1}^n y_if_i=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


===(6)Lineare Abbildungen im Körper der reelen Zahlen===


Man betrachte zunächst die Menge &lt;math&gt;\mathcal{A}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x+y)=f(x)+f(y)\}&lt;/math&gt;

(i)

 Es gilt &lt;math&gt;f(0)=0&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;f(1)=f(1+0)=f(1)+f(0)\Rightarrow f(0)=0&lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(-x)=-f(x)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)\Rightarrow -f(x)=f(-x)&lt;/math&gt;


(iii)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}_0:f(n)=f(1)n&lt;/math&gt;.

Beweis durch vollständige Induktion:

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0)=0=f(1)*0&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f(n+1)=f(n)+f(1)=_{Ind.Vor.}f(1)n+f(1)=f(1)(n+1)&lt;/math&gt;


(iv)

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb(Z):f(z)=f(1)z&lt;/math&gt;.

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}_0^+&lt;/math&gt; ist das klar laut (iii).

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}^-&lt;/math&gt; gilt: &lt;math&gt;\exists n\in\mathbb{N}:z=-n&lt;/math&gt;. Mit (ii) und (iii) folgt dann: &lt;math&gt;f(z)=f(-n)=-f(n)=-f(1)n=f(1)(-n)=f(1)z&lt;/math&gt;


(v)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}:\forall x\in\mathbb{R}:f(nx)=nf(x)&lt;/math&gt;

Beweis durch vollständige Induktion

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; beliebig.

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0*x)=f(0)=0=0*f(x)&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f((n+1)x)=f(nx+x)=f(nx)+f(x)=_{Ind.Vor.}nf(x)+f(x)=(n+1)f(x)&lt;/math&gt;


(vi)

Genauso wie in (iv) folgert man nun aus (v):

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb{Z}:\forall x\in\mathbb{R}:f(zx)=zf(x)&lt;/math&gt;


(vii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{Q}:f(t)=f(1)x&lt;/math&gt;

Sei also &lt;math&gt;q\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; beliebig, dann folgt:

&lt;math&gt; f(\frac{1}{q})=f(1+(-\frac{q-1}{q}))=f(1)+f(-\frac{q-1}{q})=_{(ii)}f(1)-f(\frac{q-1}{q})=_{(v)}f(1)-(q-1)f(\frac{1}{q})&lt;/math&gt;

Also: &lt;math&gt;f(\frac{1}{q})=f(1)-(q-1)f(\frac{1}{q})\Leftrightarrow f(\frac{1}{q})=\frac{1}{q}f(1)&lt;/math&gt;.


(viii)

&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ist abstandserhaltend dann und nur dann, wenn &lt;math&gt;\vert f(1)\vert=1&lt;/math&gt;:

Seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{Q}&lt;/math&gt; beliebig mit &lt;math&gt;x\not=y&lt;/math&gt;, dann gilt:

&lt;math&gt;\vert f(x)-f(y)\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)x-f(1)y\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)\vert \vert x-y\vert=ßvert x-y\vert\Leftrightarrow \vert f(1)\vert =1&lt;/math&gt;

Gemäß (1) ist &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dann stetig auf &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; und damit gilt auch: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(x)=f(1)x&lt;/math&gt;, denn:

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}\mathbb{Q}&lt;/math&gt; beliebig. Dann gibt es gewiss eine Folge &lt;math&gt;(x)_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; von ausschließlich rationalen Zahlen mit der Eigenschaft: &lt;math&gt;\lim_{n\to\infty}x_n =x&lt;/math&gt;. Mit der Stetigkeit von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; folgt dann mit entsprechenden Grenzwertrechenregeln:

&lt;math&gt;f(x)=f(\lim_{n\to\infty}x_n)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lim_{n\to\infty}f(1)x_n=f(1)\lim_{n\to\infty}x_n=f(1)x&lt;/math&gt;.


(ix)

Also ist jedes solches &lt;math&gt;f\in\mathcal{A}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\vert f(1)\vert =1&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation. Da aber wegen (5) zugleich gilt &lt;math&gt;\mathcal{B}:=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;eine\;orthogonale\;Transformation\}\subseteq\mathcal{A}&lt;/math&gt; folgt wegen der Äquuivalenz in (viii) schon, dass &lt;math&gt;\{f\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x)=ax\;(\vert a\vert=1)\}=\mathcal{B}&lt;/math&gt;

===(7) Symmetriegruppe von Z===


Wegen (4) und (6)(ix) folgt:

&lt;math&gt;\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert=1;\;b\in\mathbb{R})\}&lt;/math&gt;.

Hier muss man nun lediglich noch die Bewegungen finden, für die &lt;math&gt;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}&lt;/math&gt; gilt. Das ist jedoch ein mehr als simples Problem und man sieht schnell ein:

&lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert =1;\;b\in\mathbb{Z})\}&lt;/math&gt;.</text>
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    <contributor>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="12708" xml:space="preserve">==Klärung von für die Aufgabenstellung wichtigen Begriffen==

Ehe man zur eigentlichen Aufgabenstellungen schreitet, empfiehlt es sich drei Begriffe vorab zu klären, da diese in der Fachliteratur unter verschiedenen Namen geführt werden.

'''Bewegung''': Eine Bewegung ist eine Abbildung &lt;math&gt;F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die Abstände respektiert, d.h. es gilt &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:\left|F(x)-F(y)\right|=\left|x-y\right|&lt;/math&gt;.

'''orthogonale Transformation''': Dies ist eine Bewegung, die den Ursprung fest lässt, d.h. es gilt: &lt;math&gt;F(0)=0&lt;/math&gt;.

'''Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;''': Unter der Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; versteht man die Menge &lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(M)=M\}&lt;/math&gt;, also die Menge aller Bewegungen des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; in sich selbst überführen.

==Aufgabenstellung==

Man bestimme die Symmetriegruppe &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


==Tipp==

Man beachte zunächst, dass &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; eine ''diskrete'' Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; ist. Man fertige eine Zeichnung an, die dies veranschaulicht: Die Elemente von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; sind salopp gesagt Perlen einer Perlenkette und die Kette selbst ist &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;. Anhand dieser Zeichnung ermittele man alle Symmetrien von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; und versuche diese mit Hilfe von Abbildungen &lt;math&gt;F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}&lt;/math&gt; zu beschreiben. Dann bleibt nur noch zu zeigen, dass dies in der Tat alle Symmetrien sind.


==Lösung==

Die Lösung ist nicht ganz einfach und muss in mehreren Etappen erkämpft werden.


===(1) Stetigkeit von Bewegungen===


''Behauptung'': 

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{Q}^n\rightarrow\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung. Dann ist &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; stetig.

''Beweis'':

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{Q}^n\rightarrow\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung und &lt;math&gt;x\in\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; ein beliebiger Punkt. Ferner sei &lt;math&gt;\epsilon&gt;0&lt;/math&gt; beliebig vorgegeben.
Dann folgt mit &lt;math&gt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;y\in\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt;, für die &lt;math&gt;\vert y-x\vert&lt;\delta&lt;/math&gt; gilt:

&lt;math&gt;\vert F(y)-F(x)\vert=\vert y-x\vert&lt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt;, was die Stetigkeit liefert.


===(2) Komposition von Bewegungen===


''Behauptung'':

Seien &lt;math&gt;F,G:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; Bewegungen. Dann ist auch &lt;math&gt;F\circ G&lt;/math&gt; eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig. Dann gilt:

&lt;math&gt;\vert (F\circ G)(x)-(F\circ G)(y)\vert = \vert F(G(x))-F(G(y))\vert =\vert G(x)-G(y)\vert=\vert x-y\vert &lt;/math&gt;


===(3) Translationen===


''Behauptung'':

Es sei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n;\;x\mapsto x+b\;(b\in\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; eine Translation. Dann gilt: &lt;math&gt;T_b&lt;/math&gt; ist eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig.

&lt;math&gt;\vert T_b(x)-T_b(y)\vert =\vert (x+b)-(y+b)\vert =\vert x+b-y-b\vert =\vert x-y\vert&lt;/math&gt;


===(4) Darstellung von Bewegungen mit Translationen und orthogonalen Transformationen===


''Behauptung'': 

Jede Bewegung &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; lässt sich in der Form &lt;math&gt;F=T_b\circ f&lt;/math&gt; schreiben, wobei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine Translation und &lt;math&gt;f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist. 

''Beweis'':

Ist etwa &lt;math&gt;F(0)=b&lt;/math&gt;, so ist &lt;math&gt;f:=T_{-b}\circ F&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation, denn:

&lt;math&gt;f(0)=(T_{-b}\circ F)(0)=T_{-b}(f(0))=T_{-b}(b)=b+(-b)=0&lt;/math&gt;

Mit (2) und (3) folgt hieraus, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist.

Es folgt dann weiter:

&lt;math&gt;T_b\circ f=T_b\circ (T_{-b}\circ F)=(T_b\circ T_{-b})\circ F= id_{\mathbb{R}^n}\circ F=F&lt;/math&gt;.

Die Behauptung folgt.


===(5) Linearität orthogonaler Transformationen===


Bemerkung: Dies ist der mit Abstand schwierigste Satz, der für die Lösung gebraucht wird.


''Behauptung'':

Jede orthogonale Transformation &lt;math&gt;A:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ist linear.


''Beweis'':


(i)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;x,y&gt;=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x+y\vert^2= &lt;x+y,x+y&gt;= &lt;x,x&gt; +2&lt;x,y&gt;+&lt;y,y&gt;=\vert x\vert^2 +\vert y\vert^2 +2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2=2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\vert x\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x\vert=\vert x-0\vert= \vert A(x)-A(0)\vert=\vert A(x)-0\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;


(iii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;A(x),A(y)&gt;=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;. In der Tat:

Für &lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt; ist das trivial. Sei also &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; voraussgesetzt.

&lt;math&gt; \vert x-(-x)\vert^2 = \vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow \vert 2x\vert^2 =\vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow 4\vert x\vert^2 = \vert A(x)\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert A(-x)\vert^2 =_{(ii)}\vert x\vert^2- &lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert -x\vert^2 = 2\vert x\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow 2\vert x\vert^2 = -2&lt;A(x),A(y)&gt; &lt;/math&gt;

Andererseits gilt mit (ii):

&lt;math&gt;2\vert x\vert^2 = 2\vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Hieraus folgt:

&lt;math&gt;\vert &lt;A(x),A(-x)&gt; \vert = \vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Das bedeutet, dass in der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung Gleichheit gilt. Daher folgt:

&lt;math&gt; \exists \lambda\in\mathbb{R}:A(-x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;, ist &lt;math&gt;x\not=-x&lt;/math&gt; und damit &lt;math&gt;\vert x-(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt; und folglich &lt;math&gt;\vert A(x)-A(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt;. Hieraus folgt aber: &lt;math&gt;A(x)\not=A(-x)&lt;/math&gt;. Da allerdings wegen (ii) andererseits auch gilt, dass &lt;math&gt;\vert A(-x)\vert =\vert -x\vert = \vert x\vert =\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, folgt schon: &lt;math&gt;\lambda=-1&lt;/math&gt;. Es gilt also:

&lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n: A(-x)=-A(x)&lt;/math&gt; (*)

Mit (i) und (ii) folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),A(y)&gt; = \frac{1}{2}(\vert A(x)+ A(y)\vert^2 -\vert A(x)\vert^2 -\vert A(y)\vert^2)=_{(*)}\frac{1}{2}(\vert A(x)-A(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x-(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2 = &lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;.


(iv) 

''Erster Teil der Linearität'': &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)= \lambda A(x)&lt;/math&gt;

Mit (iii) folgt unmittelbar:

&lt;math&gt; \vert &lt;A(\lambda x), A(x)&gt;\vert =\vert &lt;\lambda x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert &lt;x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert x\vert^2 = \vert \lambda x\vert \vert x\vert = \vert A(\lambda x)\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;.

In der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung gilt also abermals Gleichheit und es folgt:

&lt;math&gt;\exists\mu\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\mu A(x)&lt;/math&gt;

Hieraus folgt wegen &lt;math&gt; \vert A(\lambda x)\vert =\vert \lambda x\vert =\vert \lambda \vert \vert x\vert= \vert \lambda\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, dass &lt;math&gt;\vert\lambda\vert=\vert\mu\vert &lt;/math&gt;.

Dabei entfällt der Fall &lt;math&gt;\lambda=-\mu&lt;/math&gt;, da dann insbsondere für &lt;math&gt;\lambda=1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; mit (iii) folgen würde, dass &lt;math&gt;A(x)=-A(x)=A(-x)\Rightarrow x=0&lt;/math&gt; im Widerspruch zu der gerade gemachten Voraussetzung &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;.

Also: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;


(v)

''Zweiter Teil der Linearität'':&lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:A(x+y)=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


Es seien &lt;math&gt;e_1=(1,...,0),...,e_n=(0,...,1)&lt;/math&gt; die Einheitsvektoren im &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; und ferner sei &lt;math&gt; f_i=A(e_i)&lt;/math&gt;. Für einen beliebigen Vektor &lt;math&gt;x=(x_1,...,x_n)&lt;/math&gt; gilt dann, dass &lt;math&gt;x_i= &lt;x,e_i&gt; &lt;/math&gt;. Es folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),f_i&gt;= &lt;A(x),A(e_i)&gt; = &lt;x,e_i&gt;=x_i&lt;/math&gt;

Das Bild von &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bei der orthogonalen Projektion von &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;\mathbb{R}f_i&lt;/math&gt; ist also der Vektor &lt;math&gt;x_if_i&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt; &lt;f_i,f_j&gt;=&lt;e_i,e_j&gt;=0 &lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i\not=j&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; &lt;e_i,e_j&gt;=1&lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i=j&lt;/math&gt;, bilden die Geraden &lt;math&gt; \mathbb{R}f_1,...,\mathbb{R}f_n&lt;/math&gt; ein anderers kartesisches Koordinatensystem (d.h. die Bilder der Basisvektoren bilden wieder eine Basis des &lt;math&gt; \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;)und die i-te Komponente des Vektors &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bezüglich dieser Basis ist &lt;math&gt;x_i&lt;/math&gt;. Daher folgt:

&lt;math&gt;A(x)=\sum_{i=1}^n x_if_i =\sum_{i=1}^n x_iA(e_i)&lt;/math&gt;

Diese Formel ist linear in den Koeffizienten &lt;math&gt; x_i &lt;/math&gt;, so dass folgt:

&lt;math&gt; A(x+y)=\sum_{i=1}^n (x_i+y_i)f_i=\sum_{i=1}^n x_if_i + \sum_{i=1}^n y_if_i=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


===(6)Lineare Abbildungen im Körper der reelen Zahlen===


Man betrachte zunächst die Menge &lt;math&gt;\mathcal{A}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x+y)=f(x)+f(y)\}&lt;/math&gt;

(i)

 Es gilt &lt;math&gt;f(0)=0&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;f(1)=f(1+0)=f(1)+f(0)\Rightarrow f(0)=0&lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(-x)=-f(x)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)\Rightarrow -f(x)=f(-x)&lt;/math&gt;


(iii)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}_0:f(n)=f(1)n&lt;/math&gt;.

Beweis durch vollständige Induktion:

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0)=0=f(1)*0&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f(n+1)=f(n)+f(1)=_{Ind.Vor.}f(1)n+f(1)=f(1)(n+1)&lt;/math&gt;


(iv)

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb(Z):f(z)=f(1)z&lt;/math&gt;.

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}_0^+&lt;/math&gt; ist das klar laut (iii).

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}^-&lt;/math&gt; gilt: &lt;math&gt;\exists n\in\mathbb{N}:z=-n&lt;/math&gt;. Mit (ii) und (iii) folgt dann: &lt;math&gt;f(z)=f(-n)=-f(n)=-f(1)n=f(1)(-n)=f(1)z&lt;/math&gt;


(v)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}:\forall x\in\mathbb{R}:f(nx)=nf(x)&lt;/math&gt;

Beweis durch vollständige Induktion

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; beliebig.

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0*x)=f(0)=0=0*f(x)&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f((n+1)x)=f(nx+x)=f(nx)+f(x)=_{Ind.Vor.}nf(x)+f(x)=(n+1)f(x)&lt;/math&gt;


(vi)

Genauso wie in (iv) folgert man nun aus (v):

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb{Z}:\forall x\in\mathbb{R}:f(zx)=zf(x)&lt;/math&gt;


(vii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{Q}:f(x)=f(1)x&lt;/math&gt;

Sei also &lt;math&gt;q\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; beliebig, dann folgt:

&lt;math&gt; f(\frac{1}{q})=f(1+(-\frac{q-1}{q}))=f(1)+f(-\frac{q-1}{q})=_{(ii)}f(1)-f(\frac{q-1}{q})=_{(v)}f(1)-(q-1)f(\frac{1}{q})&lt;/math&gt;

Also: &lt;math&gt;f(\frac{1}{q})=f(1)-(q-1)f(\frac{1}{q})\Leftrightarrow f(\frac{1}{q})=\frac{1}{q}f(1)&lt;/math&gt;.


(viii)

&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ist abstandserhaltend dann und nur dann, wenn &lt;math&gt;\vert f(1)\vert=1&lt;/math&gt;:

Seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{Q}&lt;/math&gt; beliebig mit &lt;math&gt;x\not=y&lt;/math&gt;, dann gilt:

&lt;math&gt;\vert f(x)-f(y)\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)x-f(1)y\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)\vert \vert x-y\vert=ßvert x-y\vert\Leftrightarrow \vert f(1)\vert =1&lt;/math&gt;

Gemäß (1) ist &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dann stetig auf &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; und damit gilt auch: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(x)=f(1)x&lt;/math&gt;, denn:

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}\mathbb{Q}&lt;/math&gt; beliebig. Dann gibt es gewiss eine Folge &lt;math&gt;(x)_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; von ausschließlich rationalen Zahlen mit der Eigenschaft: &lt;math&gt;\lim_{n\to\infty}x_n =x&lt;/math&gt;. Mit der Stetigkeit von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; folgt dann mit entsprechenden Grenzwertrechenregeln:

&lt;math&gt;f(x)=f(\lim_{n\to\infty}x_n)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lim_{n\to\infty}f(1)x_n=f(1)\lim_{n\to\infty}x_n=f(1)x&lt;/math&gt;.


(ix)

Also ist jedes solches &lt;math&gt;f\in\mathcal{A}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\vert f(1)\vert =1&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation. Da aber wegen (5) zugleich gilt &lt;math&gt;\mathcal{B}:=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;eine\;orthogonale\;Transformation\}\subseteq\mathcal{A}&lt;/math&gt; folgt wegen der Äquuivalenz in (viii) schon, dass &lt;math&gt;\{f\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x)=ax\;(\vert a\vert=1)\}=\mathcal{B}&lt;/math&gt;

===(7) Symmetriegruppe von Z===


Wegen (4) und (6)(ix) folgt:

&lt;math&gt;\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert=1;\;b\in\mathbb{R})\}&lt;/math&gt;.

Hier muss man nun lediglich noch die Bewegungen finden, für die &lt;math&gt;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}&lt;/math&gt; gilt. Das ist jedoch ein mehr als simples Problem und man sieht schnell ein:

&lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert =1;\;b\in\mathbb{Z})\}&lt;/math&gt;.</text>
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    <text bytes="12855" xml:space="preserve">==Klärung von für die Aufgabenstellung wichtigen Begriffen==

Ehe man zur eigentlichen Aufgabenstellungen schreitet, empfiehlt es sich drei Begriffe vorab zu klären, da diese in der Fachliteratur unter verschiedenen Namen geführt werden.

'''Bewegung''': Eine Bewegung ist eine Abbildung &lt;math&gt;F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die Abstände respektiert, d.h. es gilt &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:\left|F(x)-F(y)\right|=\left|x-y\right|&lt;/math&gt;.

'''orthogonale Transformation''': Dies ist eine Bewegung, die den Ursprung fest lässt, d.h. es gilt: &lt;math&gt;F(0)=0&lt;/math&gt;.

'''Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;''': Unter der Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; versteht man die Menge &lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(M)=M\}&lt;/math&gt;, also die Menge aller Bewegungen des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; in sich selbst überführen.

==Aufgabenstellung==

Man bestimme die Symmetriegruppe &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


==Tipp==

Man beachte zunächst, dass &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; eine ''diskrete'' Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; ist. Man fertige eine Zeichnung an, die dies veranschaulicht: Die Elemente von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; sind salopp gesagt Perlen einer Perlenkette und die Kette selbst ist &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;. Anhand dieser Zeichnung ermittele man alle Symmetrien von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; und versuche diese mit Hilfe von Abbildungen &lt;math&gt;F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}&lt;/math&gt; zu beschreiben. Dann bleibt nur noch zu zeigen, dass dies in der Tat alle Symmetrien sind.


==Lösung==

Die Lösung ist nicht ganz einfach und muss in mehreren Etappen erkämpft werden.


===(1) Stetigkeit von Bewegungen===


''Behauptung'': 

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{Q}^n\rightarrow\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung. Dann ist &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; stetig.

''Beweis'':

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{Q}^n\rightarrow\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung und &lt;math&gt;x\in\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; ein beliebiger Punkt. Ferner sei &lt;math&gt;\epsilon&gt;0&lt;/math&gt; beliebig vorgegeben.
Dann folgt mit &lt;math&gt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;y\in\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt;, für die &lt;math&gt;\vert y-x\vert&lt;\delta&lt;/math&gt; gilt:

&lt;math&gt;\vert F(y)-F(x)\vert=\vert y-x\vert&lt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt;, was die Stetigkeit liefert.


===(2) Komposition von Bewegungen===


''Behauptung'':

Seien &lt;math&gt;F,G:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; Bewegungen. Dann ist auch &lt;math&gt;F\circ G&lt;/math&gt; eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig. Dann gilt:

&lt;math&gt;\vert (F\circ G)(x)-(F\circ G)(y)\vert = \vert F(G(x))-F(G(y))\vert =\vert G(x)-G(y)\vert=\vert x-y\vert &lt;/math&gt;


===(3) Translationen===


''Behauptung'':

Es sei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n;\;x\mapsto x+b\;(b\in\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; eine Translation. Dann gilt: &lt;math&gt;T_b&lt;/math&gt; ist eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig.

&lt;math&gt;\vert T_b(x)-T_b(y)\vert =\vert (x+b)-(y+b)\vert =\vert x+b-y-b\vert =\vert x-y\vert&lt;/math&gt;


===(4) Darstellung von Bewegungen mit Translationen und orthogonalen Transformationen===


''Behauptung'': 

Jede Bewegung &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; lässt sich in der Form &lt;math&gt;F=T_b\circ f&lt;/math&gt; schreiben, wobei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine Translation und &lt;math&gt;f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist. 

''Beweis'':

Ist etwa &lt;math&gt;F(0)=b&lt;/math&gt;, so ist &lt;math&gt;f:=T_{-b}\circ F&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation, denn:

&lt;math&gt;f(0)=(T_{-b}\circ F)(0)=T_{-b}(f(0))=T_{-b}(b)=b+(-b)=0&lt;/math&gt;

Mit (2) und (3) folgt hieraus, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist.

Es folgt dann weiter:

&lt;math&gt;T_b\circ f=T_b\circ (T_{-b}\circ F)=(T_b\circ T_{-b})\circ F= id_{\mathbb{R}^n}\circ F=F&lt;/math&gt;.

Die Behauptung folgt.


===(5) Linearität orthogonaler Transformationen===


Bemerkung: Dies ist der mit Abstand schwierigste Satz, der für die Lösung gebraucht wird.


''Behauptung'':

Jede orthogonale Transformation &lt;math&gt;A:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ist linear.


''Beweis'':


(i)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;x,y&gt;=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x+y\vert^2= &lt;x+y,x+y&gt;= &lt;x,x&gt; +2&lt;x,y&gt;+&lt;y,y&gt;=\vert x\vert^2 +\vert y\vert^2 +2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2=2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\vert x\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x\vert=\vert x-0\vert= \vert A(x)-A(0)\vert=\vert A(x)-0\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;


(iii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;A(x),A(y)&gt;=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;. In der Tat:

Für &lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt; ist das trivial. Sei also &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; voraussgesetzt.

&lt;math&gt; \vert x-(-x)\vert^2 = \vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow \vert 2x\vert^2 =\vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow 4\vert x\vert^2 = \vert A(x)\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert A(-x)\vert^2 =_{(ii)}\vert x\vert^2- &lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert -x\vert^2 = 2\vert x\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow 2\vert x\vert^2 = -2&lt;A(x),A(y)&gt; &lt;/math&gt;

Andererseits gilt mit (ii):

&lt;math&gt;2\vert x\vert^2 = 2\vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Hieraus folgt:

&lt;math&gt;\vert &lt;A(x),A(-x)&gt; \vert = \vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Das bedeutet, dass in der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung Gleichheit gilt. Daher folgt:

&lt;math&gt; \exists \lambda\in\mathbb{R}:A(-x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;, ist &lt;math&gt;x\not=-x&lt;/math&gt; und damit &lt;math&gt;\vert x-(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt; und folglich &lt;math&gt;\vert A(x)-A(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt;. Hieraus folgt aber: &lt;math&gt;A(x)\not=A(-x)&lt;/math&gt;. Da allerdings wegen (ii) andererseits auch gilt, dass &lt;math&gt;\vert A(-x)\vert =\vert -x\vert = \vert x\vert =\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, folgt schon: &lt;math&gt;\lambda=-1&lt;/math&gt;. Es gilt also:

&lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n: A(-x)=-A(x)&lt;/math&gt; (*)

Mit (i) und (ii) folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),A(y)&gt; = \frac{1}{2}(\vert A(x)+ A(y)\vert^2 -\vert A(x)\vert^2 -\vert A(y)\vert^2)=_{(*)}\frac{1}{2}(\vert A(x)-A(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x-(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2 = &lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;.


(iv) 

''Erster Teil der Linearität'': &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)= \lambda A(x)&lt;/math&gt;

Mit (iii) folgt unmittelbar:

&lt;math&gt; \vert &lt;A(\lambda x), A(x)&gt;\vert =\vert &lt;\lambda x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert &lt;x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert x\vert^2 = \vert \lambda x\vert \vert x\vert = \vert A(\lambda x)\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;.

In der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung gilt also abermals Gleichheit und es folgt:

&lt;math&gt;\exists\mu\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\mu A(x)&lt;/math&gt;

Hieraus folgt wegen &lt;math&gt; \vert A(\lambda x)\vert =\vert \lambda x\vert =\vert \lambda \vert \vert x\vert= \vert \lambda\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, dass &lt;math&gt;\vert\lambda\vert=\vert\mu\vert &lt;/math&gt;.

Dabei entfällt der Fall &lt;math&gt;\lambda=-\mu&lt;/math&gt;, da dann insbsondere für &lt;math&gt;\lambda=1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; mit (iii) folgen würde, dass &lt;math&gt;A(x)=-A(x)=A(-x)\Rightarrow x=0&lt;/math&gt; im Widerspruch zu der gerade gemachten Voraussetzung &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;.

Also: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;


(v)

''Zweiter Teil der Linearität'':&lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:A(x+y)=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


Es seien &lt;math&gt;e_1=(1,...,0),...,e_n=(0,...,1)&lt;/math&gt; die Einheitsvektoren im &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; und ferner sei &lt;math&gt; f_i=A(e_i)&lt;/math&gt;. Für einen beliebigen Vektor &lt;math&gt;x=(x_1,...,x_n)&lt;/math&gt; gilt dann, dass &lt;math&gt;x_i= &lt;x,e_i&gt; &lt;/math&gt;. Es folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),f_i&gt;= &lt;A(x),A(e_i)&gt; = &lt;x,e_i&gt;=x_i&lt;/math&gt;

Das Bild von &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bei der orthogonalen Projektion von &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;\mathbb{R}f_i&lt;/math&gt; ist also der Vektor &lt;math&gt;x_if_i&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt; &lt;f_i,f_j&gt;=&lt;e_i,e_j&gt;=0 &lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i\not=j&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; &lt;e_i,e_j&gt;=1&lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i=j&lt;/math&gt;, bilden die Geraden &lt;math&gt; \mathbb{R}f_1,...,\mathbb{R}f_n&lt;/math&gt; ein anderers kartesisches Koordinatensystem (d.h. die Bilder der Basisvektoren bilden wieder eine Basis des &lt;math&gt; \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;)und die i-te Komponente des Vektors &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bezüglich dieser Basis ist &lt;math&gt;x_i&lt;/math&gt;. Daher folgt:

&lt;math&gt;A(x)=\sum_{i=1}^n x_if_i =\sum_{i=1}^n x_iA(e_i)&lt;/math&gt;

Diese Formel ist linear in den Koeffizienten &lt;math&gt; x_i &lt;/math&gt;, so dass folgt:

&lt;math&gt; A(x+y)=\sum_{i=1}^n (x_i+y_i)f_i=\sum_{i=1}^n x_if_i + \sum_{i=1}^n y_if_i=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


===(6)Lineare Abbildungen im Körper der reelen Zahlen===


Man betrachte zunächst die Menge &lt;math&gt;\mathcal{A}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x+y)=f(x)+f(y)\}&lt;/math&gt;

(i)

 Es gilt &lt;math&gt;f(0)=0&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;f(1)=f(1+0)=f(1)+f(0)\Rightarrow f(0)=0&lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(-x)=-f(x)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)\Rightarrow -f(x)=f(-x)&lt;/math&gt;


(iii)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}_0:f(n)=f(1)n&lt;/math&gt;.

Beweis durch vollständige Induktion:

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0)=0=f(1)\cdot 0&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f(n+1)=f(n)+f(1)=_{Ind.Vor.}f(1)n+f(1)=f(1)(n+1)&lt;/math&gt;


(iv)

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb(Z):f(z)=f(1)z&lt;/math&gt;.

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}_0^+&lt;/math&gt; ist das klar laut (iii).

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}^-&lt;/math&gt; gilt: &lt;math&gt;\exists n\in\mathbb{N}:z=-n&lt;/math&gt;. Mit (ii) und (iii) folgt dann: &lt;math&gt;f(z)=f(-n)=-f(n)=-f(1)n=f(1)(-n)=f(1)z&lt;/math&gt;


(v)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}:\forall x\in\mathbb{R}:f(nx)=nf(x)&lt;/math&gt;

Beweis durch vollständige Induktion

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; beliebig.

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0\cdot x)=f(0)=0=0\cdot f(x)&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f((n+1)x)=f(nx+x)=f(nx)+f(x)=_{Ind.Vor.}nf(x)+f(x)=(n+1)f(x)&lt;/math&gt;


(vi)

Genauso wie in (iv) folgert man nun aus (v):

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb{Z}:\forall x\in\mathbb{R}:f(zx)=zf(x)&lt;/math&gt;


(vii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{Q}:f(x)=f(1)x&lt;/math&gt;

Sei also &lt;math&gt;q\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; beliebig, dann folgt:

&lt;math&gt; f\left(\frac{1}{q}\right)=f\left(1+\left(-\frac{q-1}{q}\right)\right)=f(1)+f\left(-\frac{q-1}{q}\right)=_{(ii)}f(1)-f\left(\frac{q-1}{q}\right)=_{(v)}f(1)-(q-1)f\left(\frac{1}{q}\right)&lt;/math&gt;

Also: &lt;math&gt;f(\frac{1}{q})=f(1)-(q-1)f(\frac{1}{q})\Leftrightarrow f\left(\frac{1}{q}\right)=\frac{1}{q}f(1)&lt;/math&gt;.

Hieraus folgt mit (iv) leicht die Behauptung.


(viii)

&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ist abstandserhaltend dann und nur dann, wenn &lt;math&gt;\vert f(1)\vert=1&lt;/math&gt;:

Seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{Q}&lt;/math&gt; beliebig mit &lt;math&gt;x\not=y&lt;/math&gt;, dann gilt:

&lt;math&gt;\vert f(x)-f(y)\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)x-f(1)y\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)\vert \vert x-y\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow \vert f(1)\vert =1&lt;/math&gt;

Gemäß (1) ist &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dann stetig auf &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; und damit gilt auch: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(x)=f(1)x&lt;/math&gt;, denn:

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}&lt;/math&gt; beliebig. Dann gibt es gewiss eine Folge &lt;math&gt;(x)_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; von ausschließlich rationalen Zahlen mit der Eigenschaft: &lt;math&gt;\lim_{n\to\infty}x_n =x&lt;/math&gt;. Mit der Stetigkeit von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; folgt dann mit entsprechenden Grenzwertrechenregeln:

&lt;math&gt;f(x)=f(\lim_{n\to\infty}x_n)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lim_{n\to\infty}f(1)x_n=f(1)\lim_{n\to\infty}x_n=f(1)x&lt;/math&gt;.


(ix)

Also ist jedes solches &lt;math&gt;f\in\mathcal{A}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\vert f(1)\vert =1&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation. Da aber wegen (5) zugleich gilt &lt;math&gt;\mathcal{B}:=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;eine\;orthogonale\;Transformation\}\subseteq\mathcal{A}&lt;/math&gt; folgt wegen der Äquuivalenz in (viii) schon, dass &lt;math&gt;\{f\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x)=ax\;(\vert a\vert=1)\}=\mathcal{B}&lt;/math&gt;

===(7) Symmetriegruppe von Z===


Wegen (4) und (6)(ix) folgt:

&lt;math&gt;\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert=1;\;b\in\mathbb{R})\}&lt;/math&gt;.

Hier muss man nun lediglich noch die Bewegungen finden, für die &lt;math&gt;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}&lt;/math&gt; gilt. Das ist jedoch ein mehr als simples Problem und man sieht schnell ein:

&lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert =1;\;b\in\mathbb{Z})\}&lt;/math&gt;.</text>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="12856" xml:space="preserve">==Klärung von für die Aufgabenstellung wichtigen Begriffen==

Ehe man zur eigentlichen Aufgabenstellungen schreitet, empfiehlt es sich drei Begriffe vorab zu klären, da diese in der Fachliteratur unter verschiedenen Namen geführt werden.

'''Bewegung''': Eine Bewegung ist eine Abbildung &lt;math&gt;F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die Abstände respektiert, d.h. es gilt &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:\left|F(x)-F(y)\right|=\left|x-y\right|&lt;/math&gt;.

'''orthogonale Transformation''': Dies ist eine Bewegung, die den Ursprung fest lässt, d.h. es gilt: &lt;math&gt;F(0)=0&lt;/math&gt;.

'''Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;''': Unter der Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; versteht man die Menge &lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(M)=M\}&lt;/math&gt;, also die Menge aller Bewegungen des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; in sich selbst überführen.

==Aufgabenstellung==

Man bestimme die Symmetriegruppe &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


==Tipp==

Man beachte zunächst, dass &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; eine ''diskrete'' Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; ist. Man fertige eine Zeichnung an, die dies veranschaulicht: Die Elemente von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; sind salopp gesagt Perlen einer Perlenkette und die Kette selbst ist &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;. Anhand dieser Zeichnung ermittele man alle Symmetrien von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; und versuche diese mit Hilfe von Abbildungen &lt;math&gt;F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}&lt;/math&gt; zu beschreiben. Dann bleibt nur noch zu zeigen, dass dies in der Tat alle Symmetrien sind.


==Lösung==

Die Lösung ist nicht ganz einfach und muss in mehreren Etappen erkämpft werden.


===(1) Stetigkeit von Bewegungen===


''Behauptung'': 

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{Q}^n\rightarrow\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung. Dann ist &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; stetig.

''Beweis'':

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{Q}^n\rightarrow\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung und &lt;math&gt;x\in\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; ein beliebiger Punkt. Ferner sei &lt;math&gt;\epsilon&gt;0&lt;/math&gt; beliebig vorgegeben.
Dann folgt mit &lt;math&gt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;y\in\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt;, für die &lt;math&gt;\vert y-x\vert&lt;\delta&lt;/math&gt; gilt:

&lt;math&gt;\vert F(y)-F(x)\vert=\vert y-x\vert&lt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt;, was die Stetigkeit liefert.


===(2) Komposition von Bewegungen===


''Behauptung'':

Seien &lt;math&gt;F,G:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; Bewegungen. Dann ist auch &lt;math&gt;F\circ G&lt;/math&gt; eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig. Dann gilt:

&lt;math&gt;\vert (F\circ G)(x)-(F\circ G)(y)\vert = \vert F(G(x))-F(G(y))\vert =\vert G(x)-G(y)\vert=\vert x-y\vert &lt;/math&gt;


===(3) Translationen===


''Behauptung'':

Es sei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n;\;x\mapsto x+b\;(b\in\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; eine Translation. Dann gilt: &lt;math&gt;T_b&lt;/math&gt; ist eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig.

&lt;math&gt;\vert T_b(x)-T_b(y)\vert =\vert (x+b)-(y+b)\vert =\vert x+b-y-b\vert =\vert x-y\vert&lt;/math&gt;


===(4) Darstellung von Bewegungen mit Translationen und orthogonalen Transformationen===


''Behauptung'': 

Jede Bewegung &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; lässt sich in der Form &lt;math&gt;F=T_b\circ f&lt;/math&gt; schreiben, wobei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine Translation und &lt;math&gt;f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist. 

''Beweis'':

Ist etwa &lt;math&gt;F(0)=b&lt;/math&gt;, so ist &lt;math&gt;f:=T_{-b}\circ F&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation, denn:

&lt;math&gt;f(0)=(T_{-b}\circ F)(0)=T_{-b}(f(0))=T_{-b}(b)=b+(-b)=0&lt;/math&gt;

Mit (2) und (3) folgt hieraus, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist.

Es folgt dann weiter:

&lt;math&gt;T_b\circ f=T_b\circ (T_{-b}\circ F)=(T_b\circ T_{-b})\circ F= id_{\mathbb{R}^n}\circ F=F&lt;/math&gt;.

Die Behauptung folgt.


===(5) Linearität orthogonaler Transformationen===


Bemerkung: Dies ist der mit Abstand schwierigste Satz, der für die Lösung gebraucht wird.


''Behauptung'':

Jede orthogonale Transformation &lt;math&gt;A:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ist linear.


''Beweis'':


(i)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;x,y&gt;=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x+y\vert^2= &lt;x+y,x+y&gt;= &lt;x,x&gt; +2&lt;x,y&gt;+&lt;y,y&gt;=\vert x\vert^2 +\vert y\vert^2 +2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2=2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\vert x\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x\vert=\vert x-0\vert= \vert A(x)-A(0)\vert=\vert A(x)-0\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;


(iii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;A(x),A(y)&gt;=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;. In der Tat:

Für &lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt; ist das trivial. Sei also &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; voraussgesetzt.

&lt;math&gt; \vert x-(-x)\vert^2 = \vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow \vert 2x\vert^2 =\vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow 4\vert x\vert^2 = \vert A(x)\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert A(-x)\vert^2 =_{(ii)}\vert x\vert^2- &lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert -x\vert^2 = 2\vert x\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow 2\vert x\vert^2 = -2&lt;A(x),A(y)&gt; &lt;/math&gt;

Andererseits gilt mit (ii):

&lt;math&gt;2\vert x\vert^2 = 2\vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Hieraus folgt:

&lt;math&gt;\vert &lt;A(x),A(-x)&gt; \vert = \vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Das bedeutet, dass in der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung Gleichheit gilt. Daher folgt:

&lt;math&gt; \exists \lambda\in\mathbb{R}:A(-x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;, ist &lt;math&gt;x\not=-x&lt;/math&gt; und damit &lt;math&gt;\vert x-(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt; und folglich &lt;math&gt;\vert A(x)-A(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt;. Hieraus folgt aber: &lt;math&gt;A(x)\not=A(-x)&lt;/math&gt;. Da allerdings wegen (ii) andererseits auch gilt, dass &lt;math&gt;\vert A(-x)\vert =\vert -x\vert = \vert x\vert =\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, folgt schon: &lt;math&gt;\lambda=-1&lt;/math&gt;. Es gilt also:

&lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n: A(-x)=-A(x)&lt;/math&gt; (*)

Mit (i) und (ii) folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),A(y)&gt; = \frac{1}{2}(\vert A(x)+ A(y)\vert^2 -\vert A(x)\vert^2 -\vert A(y)\vert^2)=_{(*)}\frac{1}{2}(\vert A(x)-A(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x-(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2 = &lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;.


(iv) 

''Erster Teil der Linearität'': &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)= \lambda A(x)&lt;/math&gt;

Mit (iii) folgt unmittelbar:

&lt;math&gt; \vert &lt;A(\lambda x), A(x)&gt;\vert =\vert &lt;\lambda x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert &lt;x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert x\vert^2 = \vert \lambda x\vert \vert x\vert = \vert A(\lambda x)\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;.

In der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung gilt also abermals Gleichheit und es folgt:

&lt;math&gt;\exists\mu\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\mu A(x)&lt;/math&gt;

Hieraus folgt wegen &lt;math&gt; \vert A(\lambda x)\vert =\vert \lambda x\vert =\vert \lambda \vert \vert x\vert= \vert \lambda\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, dass &lt;math&gt;\vert\lambda\vert=\vert\mu\vert &lt;/math&gt;.

Dabei entfällt der Fall &lt;math&gt;\lambda=-\mu&lt;/math&gt;, da dann insbsondere für &lt;math&gt;\lambda=1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; mit (iii) folgen würde, dass &lt;math&gt;A(x)=-A(x)=A(-x)\Rightarrow x=0&lt;/math&gt; im Widerspruch zu der gerade gemachten Voraussetzung &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;.

Also: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;


(v)

''Zweiter Teil der Linearität'':&lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:A(x+y)=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


Es seien &lt;math&gt;e_1=(1,...,0),...,e_n=(0,...,1)&lt;/math&gt; die Einheitsvektoren im &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; und ferner sei &lt;math&gt; f_i=A(e_i)&lt;/math&gt;. Für einen beliebigen Vektor &lt;math&gt;x=(x_1,...,x_n)&lt;/math&gt; gilt dann, dass &lt;math&gt;x_i= &lt;x,e_i&gt; &lt;/math&gt;. Es folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),f_i&gt;= &lt;A(x),A(e_i)&gt; = &lt;x,e_i&gt;=x_i&lt;/math&gt;

Das Bild von &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bei der orthogonalen Projektion von &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;\mathbb{R}f_i&lt;/math&gt; ist also der Vektor &lt;math&gt;x_if_i&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt; &lt;f_i,f_j&gt;=&lt;e_i,e_j&gt;=0 &lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i\not=j&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; &lt;e_i,e_j&gt;=1&lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i=j&lt;/math&gt;, bilden die Geraden &lt;math&gt; \mathbb{R}f_1,...,\mathbb{R}f_n&lt;/math&gt; ein anderers kartesisches Koordinatensystem (d.h. die Bilder der Basisvektoren bilden wieder eine Basis des &lt;math&gt; \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;)und die i-te Komponente des Vektors &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bezüglich dieser Basis ist &lt;math&gt;x_i&lt;/math&gt;. Daher folgt:

&lt;math&gt;A(x)=\sum_{i=1}^n x_if_i =\sum_{i=1}^n x_iA(e_i)&lt;/math&gt;

Diese Formel ist linear in den Koeffizienten &lt;math&gt; x_i &lt;/math&gt;, so dass folgt:

&lt;math&gt; A(x+y)=\sum_{i=1}^n (x_i+y_i)f_i=\sum_{i=1}^n x_if_i + \sum_{i=1}^n y_if_i=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


===(6) Lineare Abbildungen im Körper der reelen Zahlen===


Man betrachte zunächst die Menge &lt;math&gt;\mathcal{A}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x+y)=f(x)+f(y)\}&lt;/math&gt;

(i)

 Es gilt &lt;math&gt;f(0)=0&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;f(1)=f(1+0)=f(1)+f(0)\Rightarrow f(0)=0&lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(-x)=-f(x)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)\Rightarrow -f(x)=f(-x)&lt;/math&gt;


(iii)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}_0:f(n)=f(1)n&lt;/math&gt;.

Beweis durch vollständige Induktion:

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0)=0=f(1)\cdot 0&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f(n+1)=f(n)+f(1)=_{Ind.Vor.}f(1)n+f(1)=f(1)(n+1)&lt;/math&gt;


(iv)

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb(Z):f(z)=f(1)z&lt;/math&gt;.

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}_0^+&lt;/math&gt; ist das klar laut (iii).

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}^-&lt;/math&gt; gilt: &lt;math&gt;\exists n\in\mathbb{N}:z=-n&lt;/math&gt;. Mit (ii) und (iii) folgt dann: &lt;math&gt;f(z)=f(-n)=-f(n)=-f(1)n=f(1)(-n)=f(1)z&lt;/math&gt;


(v)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}:\forall x\in\mathbb{R}:f(nx)=nf(x)&lt;/math&gt;

Beweis durch vollständige Induktion

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; beliebig.

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0\cdot x)=f(0)=0=0\cdot f(x)&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f((n+1)x)=f(nx+x)=f(nx)+f(x)=_{Ind.Vor.}nf(x)+f(x)=(n+1)f(x)&lt;/math&gt;


(vi)

Genauso wie in (iv) folgert man nun aus (v):

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb{Z}:\forall x\in\mathbb{R}:f(zx)=zf(x)&lt;/math&gt;


(vii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{Q}:f(x)=f(1)x&lt;/math&gt;

Sei also &lt;math&gt;q\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; beliebig, dann folgt:

&lt;math&gt; f\left(\frac{1}{q}\right)=f\left(1+\left(-\frac{q-1}{q}\right)\right)=f(1)+f\left(-\frac{q-1}{q}\right)=_{(ii)}f(1)-f\left(\frac{q-1}{q}\right)=_{(v)}f(1)-(q-1)f\left(\frac{1}{q}\right)&lt;/math&gt;

Also: &lt;math&gt;f(\frac{1}{q})=f(1)-(q-1)f(\frac{1}{q})\Leftrightarrow f\left(\frac{1}{q}\right)=\frac{1}{q}f(1)&lt;/math&gt;.

Hieraus folgt mit (iv) leicht die Behauptung.


(viii)

&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ist abstandserhaltend dann und nur dann, wenn &lt;math&gt;\vert f(1)\vert=1&lt;/math&gt;:

Seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{Q}&lt;/math&gt; beliebig mit &lt;math&gt;x\not=y&lt;/math&gt;, dann gilt:

&lt;math&gt;\vert f(x)-f(y)\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)x-f(1)y\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)\vert \vert x-y\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow \vert f(1)\vert =1&lt;/math&gt;

Gemäß (1) ist &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dann stetig auf &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; und damit gilt auch: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(x)=f(1)x&lt;/math&gt;, denn:

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}&lt;/math&gt; beliebig. Dann gibt es gewiss eine Folge &lt;math&gt;(x)_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; von ausschließlich rationalen Zahlen mit der Eigenschaft: &lt;math&gt;\lim_{n\to\infty}x_n =x&lt;/math&gt;. Mit der Stetigkeit von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; folgt dann mit entsprechenden Grenzwertrechenregeln:

&lt;math&gt;f(x)=f(\lim_{n\to\infty}x_n)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lim_{n\to\infty}f(1)x_n=f(1)\lim_{n\to\infty}x_n=f(1)x&lt;/math&gt;.


(ix)

Also ist jedes solches &lt;math&gt;f\in\mathcal{A}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\vert f(1)\vert =1&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation. Da aber wegen (5) zugleich gilt &lt;math&gt;\mathcal{B}:=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;eine\;orthogonale\;Transformation\}\subseteq\mathcal{A}&lt;/math&gt; folgt wegen der Äquuivalenz in (viii) schon, dass &lt;math&gt;\{f\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x)=ax\;(\vert a\vert=1)\}=\mathcal{B}&lt;/math&gt;

===(7) Symmetriegruppe von Z===


Wegen (4) und (6)(ix) folgt:

&lt;math&gt;\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert=1;\;b\in\mathbb{R})\}&lt;/math&gt;.

Hier muss man nun lediglich noch die Bewegungen finden, für die &lt;math&gt;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}&lt;/math&gt; gilt. Das ist jedoch ein mehr als simples Problem und man sieht schnell ein:

&lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert =1;\;b\in\mathbb{Z})\}&lt;/math&gt;.</text>
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    <text bytes="12856" xml:space="preserve">==Klärung von für die Aufgabenstellung wichtigen Begriffen==

Ehe man zur eigentlichen Aufgabenstellungen schreitet, empfiehlt es sich drei Begriffe vorab zu klären, da diese in der Fachliteratur unter verschiedenen Namen geführt werden.

'''Bewegung''': Eine Bewegung ist eine Abbildung &lt;math&gt;F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die Abstände respektiert, d.h. es gilt &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:\left|F(x)-F(y)\right|=\left|x-y\right|&lt;/math&gt;.

'''orthogonale Transformation''': Dies ist eine Bewegung, die den Ursprung fest lässt, d.h. es gilt: &lt;math&gt;F(0)=0&lt;/math&gt;.

'''Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;''': Unter der Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; versteht man die Menge &lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(M)=M\}&lt;/math&gt;, also die Menge aller Bewegungen des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; in sich selbst überführen.

==Aufgabenstellung==

Man bestimme die Symmetriegruppe &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


==Tipp==

Man beachte zunächst, dass &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; eine ''diskrete'' Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; ist. Man fertige eine Zeichnung an, die dies veranschaulicht: Die Elemente von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; sind salopp gesagt Perlen einer Perlenkette und die Kette selbst ist &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;. Anhand dieser Zeichnung ermittele man alle Symmetrien von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; und versuche diese mit Hilfe von Abbildungen &lt;math&gt;F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}&lt;/math&gt; zu beschreiben. Dann bleibt nur noch zu zeigen, dass dies in der Tat alle Symmetrien sind.


==Lösung==

Die Lösung ist nicht ganz einfach und muss in mehreren Etappen erkämpft werden.


===(1) Stetigkeit von Bewegungen===


''Behauptung'': 

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{Q}^n\rightarrow\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung. Dann ist &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; stetig.

''Beweis'':

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{Q}^n\rightarrow\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung und &lt;math&gt;x\in\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; ein beliebiger Punkt. Ferner sei &lt;math&gt;\epsilon&gt;0&lt;/math&gt; beliebig vorgegeben.
Dann folgt mit &lt;math&gt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;y\in\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt;, für die &lt;math&gt;\vert y-x\vert&lt;\delta&lt;/math&gt; gilt:

&lt;math&gt;\vert F(y)-F(x)\vert=\vert y-x\vert&lt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt;, was die Stetigkeit liefert.


===(2) Komposition von Bewegungen===


''Behauptung'':

Seien &lt;math&gt;F,G:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; Bewegungen. Dann ist auch &lt;math&gt;F\circ G&lt;/math&gt; eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig. Dann gilt:

&lt;math&gt;\vert (F\circ G)(x)-(F\circ G)(y)\vert = \vert F(G(x))-F(G(y))\vert =\vert G(x)-G(y)\vert=\vert x-y\vert &lt;/math&gt;


===(3) Translationen===


''Behauptung'':

Es sei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n;\;x\mapsto x+b\;(b\in\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; eine Translation. Dann gilt: &lt;math&gt;T_b&lt;/math&gt; ist eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig.

&lt;math&gt;\vert T_b(x)-T_b(y)\vert =\vert (x+b)-(y+b)\vert =\vert x+b-y-b\vert =\vert x-y\vert&lt;/math&gt;


===(4) Darstellung von Bewegungen mit Translationen und orthogonalen Transformationen===


''Behauptung'': 

Jede Bewegung &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; lässt sich in der Form &lt;math&gt;F=T_b\circ f&lt;/math&gt; schreiben, wobei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine Translation und &lt;math&gt;f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist. 

''Beweis'':

Ist etwa &lt;math&gt;F(0)=b&lt;/math&gt;, so ist &lt;math&gt;f:=T_{-b}\circ F&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation, denn:

&lt;math&gt;f(0)=(T_{-b}\circ F)(0)=T_{-b}(f(0))=T_{-b}(b)=b+(-b)=0&lt;/math&gt;

Mit (2) und (3) folgt hieraus, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist.

Es folgt dann weiter:

&lt;math&gt;T_b\circ f=T_b\circ (T_{-b}\circ F)=(T_b\circ T_{-b})\circ F= id_{\mathbb{R}^n}\circ F=F&lt;/math&gt;.

Die Behauptung folgt.


===(5) Linearität orthogonaler Transformationen===


Bemerkung: Dies ist der mit Abstand schwierigste Satz, der für die Lösung gebraucht wird.


''Behauptung'':

Jede orthogonale Transformation &lt;math&gt;A:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ist linear.


''Beweis'':


(i)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;x,y&gt;=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x+y\vert^2= &lt;x+y,x+y&gt;= &lt;x,x&gt; +2&lt;x,y&gt;+&lt;y,y&gt;=\vert x\vert^2 +\vert y\vert^2 +2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2=2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\vert x\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x\vert=\vert x-0\vert= \vert A(x)-A(0)\vert=\vert A(x)-0\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;


(iii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;A(x),A(y)&gt;=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;. In der Tat:

Für &lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt; ist das trivial. Sei also &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; voraussgesetzt.

&lt;math&gt; \vert x-(-x)\vert^2 = \vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow \vert 2x\vert^2 =\vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow 4\vert x\vert^2 = \vert A(x)\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert A(-x)\vert^2 =_{(ii)}\vert x\vert^2- &lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert -x\vert^2 = 2\vert x\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow 2\vert x\vert^2 = -2&lt;A(x),A(y)&gt; &lt;/math&gt;

Andererseits gilt mit (ii):

&lt;math&gt;2\vert x\vert^2 = 2\vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Hieraus folgt:

&lt;math&gt;\vert &lt;A(x),A(-x)&gt; \vert = \vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Das bedeutet, dass in der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung Gleichheit gilt. Daher folgt:

&lt;math&gt; \exists \lambda\in\mathbb{R}:A(-x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;, ist &lt;math&gt;x\not=-x&lt;/math&gt; und damit &lt;math&gt;\vert x-(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt; und folglich &lt;math&gt;\vert A(x)-A(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt;. Hieraus folgt aber: &lt;math&gt;A(x)\not=A(-x)&lt;/math&gt;. Da allerdings wegen (ii) andererseits auch gilt, dass &lt;math&gt;\vert A(-x)\vert =\vert -x\vert = \vert x\vert =\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, folgt schon: &lt;math&gt;\lambda=-1&lt;/math&gt;. Es gilt also:

&lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n: A(-x)=-A(x)&lt;/math&gt; (*)

Mit (i) und (ii) folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),A(y)&gt; = \frac{1}{2}(\vert A(x)+ A(y)\vert^2 -\vert A(x)\vert^2 -\vert A(y)\vert^2)=_{(*)}\frac{1}{2}(\vert A(x)-A(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x-(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2 = &lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;.


(iv) 

''Erster Teil der Linearität'': &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)= \lambda A(x)&lt;/math&gt;

Mit (iii) folgt unmittelbar:

&lt;math&gt; \vert &lt;A(\lambda x), A(x)&gt;\vert =\vert &lt;\lambda x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert &lt;x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert x\vert^2 = \vert \lambda x\vert \vert x\vert = \vert A(\lambda x)\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;.

In der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung gilt also abermals Gleichheit und es folgt:

&lt;math&gt;\exists\mu\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\mu A(x)&lt;/math&gt;

Hieraus folgt wegen &lt;math&gt; \vert A(\lambda x)\vert =\vert \lambda x\vert =\vert \lambda \vert \vert x\vert= \vert \lambda\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, dass &lt;math&gt;\vert\lambda\vert=\vert\mu\vert &lt;/math&gt;.

Dabei entfällt der Fall &lt;math&gt;\lambda=-\mu&lt;/math&gt;, da dann insbsondere für &lt;math&gt;\lambda=1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; mit (iii) folgen würde, dass &lt;math&gt;A(x)=-A(x)=A(-x)\Rightarrow x=0&lt;/math&gt; im Widerspruch zu der gerade gemachten Voraussetzung &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;.

Also: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;


(v)

''Zweiter Teil der Linearität'':&lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:A(x+y)=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


Es seien &lt;math&gt;e_1=(1,...,0),...,e_n=(0,...,1)&lt;/math&gt; die Einheitsvektoren im &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; und ferner sei &lt;math&gt; f_i=A(e_i)&lt;/math&gt;. Für einen beliebigen Vektor &lt;math&gt;x=(x_1,...,x_n)&lt;/math&gt; gilt dann, dass &lt;math&gt;x_i= &lt;x,e_i&gt; &lt;/math&gt;. Es folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),f_i&gt;= &lt;A(x),A(e_i)&gt; = &lt;x,e_i&gt;=x_i&lt;/math&gt;

Das Bild von &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bei der orthogonalen Projektion von &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;\mathbb{R}f_i&lt;/math&gt; ist also der Vektor &lt;math&gt;x_if_i&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt; &lt;f_i,f_j&gt;=&lt;e_i,e_j&gt;=0 &lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i\not=j&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; &lt;e_i,e_j&gt;=1&lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i=j&lt;/math&gt;, bilden die Geraden &lt;math&gt; \mathbb{R}f_1,...,\mathbb{R}f_n&lt;/math&gt; ein anderers kartesisches Koordinatensystem (d.h. die Bilder der Basisvektoren bilden wieder eine Basis des &lt;math&gt; \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;)und die i-te Komponente des Vektors &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bezüglich dieser Basis ist &lt;math&gt;x_i&lt;/math&gt;. Daher folgt:

&lt;math&gt;A(x)=\sum_{i=1}^n x_if_i =\sum_{i=1}^n x_iA(e_i)&lt;/math&gt;

Diese Formel ist linear in den Koeffizienten &lt;math&gt; x_i &lt;/math&gt;, so dass folgt:

&lt;math&gt; A(x+y)=\sum_{i=1}^n (x_i+y_i)f_i=\sum_{i=1}^n x_if_i + \sum_{i=1}^n y_if_i=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


===(6) Lineare Abbildungen im Körper der reelen Zahlen===


Man betrachte zunächst die Menge &lt;math&gt;\mathcal{A}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x+y)=f(x)+f(y)\}&lt;/math&gt;

(i)

 Es gilt &lt;math&gt;f(0)=0&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;f(1)=f(1+0)=f(1)+f(0)\Rightarrow f(0)=0&lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(-x)=-f(x)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)\Rightarrow -f(x)=f(-x)&lt;/math&gt;


(iii)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}_0:f(n)=f(1)n&lt;/math&gt;.

Beweis durch vollständige Induktion:

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0)=0=f(1)\cdot 0&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f(n+1)=f(n)+f(1)=_{Ind.Vor.}f(1)n+f(1)=f(1)(n+1)&lt;/math&gt;


(iv)

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb(Z):f(z)=f(1)z&lt;/math&gt;.

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}_0^+&lt;/math&gt; ist das klar laut (iii).

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}^-&lt;/math&gt; gilt: &lt;math&gt;\exists n\in\mathbb{N}:z=-n&lt;/math&gt;. Mit (ii) und (iii) folgt dann: &lt;math&gt;f(z)=f(-n)=-f(n)=-f(1)n=f(1)(-n)=f(1)z&lt;/math&gt;


(v)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}:\forall x\in\mathbb{R}:f(nx)=nf(x)&lt;/math&gt;

Beweis durch vollständige Induktion

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; beliebig.

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0\cdot x)=f(0)=0=0\cdot f(x)&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f((n+1)x)=f(nx+x)=f(nx)+f(x)=_{Ind.Vor.}nf(x)+f(x)=(n+1)f(x)&lt;/math&gt;


(vi)

Genauso wie in (iv) folgert man nun aus (v):

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb{Z}:\forall x\in\mathbb{R}:f(zx)=zf(x)&lt;/math&gt;


(vii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{Q}:f(x)=f(1)x&lt;/math&gt;

Sei also &lt;math&gt;q\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; beliebig, dann folgt:

&lt;math&gt; f\left(\frac{1}{q}\right)=f\left(1+\left(-\frac{q-1}{q}\right)\right)=f(1)+f\left(-\frac{q-1}{q}\right)=_{(ii)}f(1)-f\left(\frac{q-1}{q}\right)=_{(v)}f(1)-(q-1)f\left(\frac{1}{q}\right)&lt;/math&gt;

Also: &lt;math&gt;f(\frac{1}{q})=f(1)-(q-1)f(\frac{1}{q})\Leftrightarrow f\left(\frac{1}{q}\right)=\frac{1}{q}f(1)&lt;/math&gt;.

Hieraus folgt mit (vi) leicht die Behauptung.


(viii)

&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ist abstandserhaltend dann und nur dann, wenn &lt;math&gt;\vert f(1)\vert=1&lt;/math&gt;:

Seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{Q}&lt;/math&gt; beliebig mit &lt;math&gt;x\not=y&lt;/math&gt;, dann gilt:

&lt;math&gt;\vert f(x)-f(y)\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)x-f(1)y\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)\vert \vert x-y\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow \vert f(1)\vert =1&lt;/math&gt;

Gemäß (1) ist &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dann stetig auf &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; und damit gilt auch: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(x)=f(1)x&lt;/math&gt;, denn:

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}&lt;/math&gt; beliebig. Dann gibt es gewiss eine Folge &lt;math&gt;(x)_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; von ausschließlich rationalen Zahlen mit der Eigenschaft: &lt;math&gt;\lim_{n\to\infty}x_n =x&lt;/math&gt;. Mit der Stetigkeit von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; folgt dann mit entsprechenden Grenzwertrechenregeln:

&lt;math&gt;f(x)=f(\lim_{n\to\infty}x_n)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lim_{n\to\infty}f(1)x_n=f(1)\lim_{n\to\infty}x_n=f(1)x&lt;/math&gt;.


(ix)

Also ist jedes solches &lt;math&gt;f\in\mathcal{A}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\vert f(1)\vert =1&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation. Da aber wegen (5) zugleich gilt &lt;math&gt;\mathcal{B}:=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;eine\;orthogonale\;Transformation\}\subseteq\mathcal{A}&lt;/math&gt; folgt wegen der Äquuivalenz in (viii) schon, dass &lt;math&gt;\{f\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x)=ax\;(\vert a\vert=1)\}=\mathcal{B}&lt;/math&gt;

===(7) Symmetriegruppe von Z===


Wegen (4) und (6)(ix) folgt:

&lt;math&gt;\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert=1;\;b\in\mathbb{R})\}&lt;/math&gt;.

Hier muss man nun lediglich noch die Bewegungen finden, für die &lt;math&gt;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}&lt;/math&gt; gilt. Das ist jedoch ein mehr als simples Problem und man sieht schnell ein:

&lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert =1;\;b\in\mathbb{Z})\}&lt;/math&gt;.</text>
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    <timestamp>2006-03-06T07:45:26Z</timestamp>
    <contributor>
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    <comment>/* (6) Lineare Abbildungen im Körper der reelen Zahlen */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="12857" xml:space="preserve">==Klärung von für die Aufgabenstellung wichtigen Begriffen==

Ehe man zur eigentlichen Aufgabenstellungen schreitet, empfiehlt es sich drei Begriffe vorab zu klären, da diese in der Fachliteratur unter verschiedenen Namen geführt werden.

'''Bewegung''': Eine Bewegung ist eine Abbildung &lt;math&gt;F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die Abstände respektiert, d.h. es gilt &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:\left|F(x)-F(y)\right|=\left|x-y\right|&lt;/math&gt;.

'''orthogonale Transformation''': Dies ist eine Bewegung, die den Ursprung fest lässt, d.h. es gilt: &lt;math&gt;F(0)=0&lt;/math&gt;.

'''Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;''': Unter der Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; versteht man die Menge &lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(M)=M\}&lt;/math&gt;, also die Menge aller Bewegungen des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; in sich selbst überführen.

==Aufgabenstellung==

Man bestimme die Symmetriegruppe &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


==Tipp==

Man beachte zunächst, dass &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; eine ''diskrete'' Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; ist. Man fertige eine Zeichnung an, die dies veranschaulicht: Die Elemente von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; sind salopp gesagt Perlen einer Perlenkette und die Kette selbst ist &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;. Anhand dieser Zeichnung ermittele man alle Symmetrien von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; und versuche diese mit Hilfe von Abbildungen &lt;math&gt;F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}&lt;/math&gt; zu beschreiben. Dann bleibt nur noch zu zeigen, dass dies in der Tat alle Symmetrien sind.


==Lösung==

Die Lösung ist nicht ganz einfach und muss in mehreren Etappen erkämpft werden.


===(1) Stetigkeit von Bewegungen===


''Behauptung'': 

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{Q}^n\rightarrow\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung. Dann ist &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; stetig.

''Beweis'':

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{Q}^n\rightarrow\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung und &lt;math&gt;x\in\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; ein beliebiger Punkt. Ferner sei &lt;math&gt;\epsilon&gt;0&lt;/math&gt; beliebig vorgegeben.
Dann folgt mit &lt;math&gt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;y\in\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt;, für die &lt;math&gt;\vert y-x\vert&lt;\delta&lt;/math&gt; gilt:

&lt;math&gt;\vert F(y)-F(x)\vert=\vert y-x\vert&lt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt;, was die Stetigkeit liefert.


===(2) Komposition von Bewegungen===


''Behauptung'':

Seien &lt;math&gt;F,G:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; Bewegungen. Dann ist auch &lt;math&gt;F\circ G&lt;/math&gt; eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig. Dann gilt:

&lt;math&gt;\vert (F\circ G)(x)-(F\circ G)(y)\vert = \vert F(G(x))-F(G(y))\vert =\vert G(x)-G(y)\vert=\vert x-y\vert &lt;/math&gt;


===(3) Translationen===


''Behauptung'':

Es sei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n;\;x\mapsto x+b\;(b\in\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; eine Translation. Dann gilt: &lt;math&gt;T_b&lt;/math&gt; ist eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig.

&lt;math&gt;\vert T_b(x)-T_b(y)\vert =\vert (x+b)-(y+b)\vert =\vert x+b-y-b\vert =\vert x-y\vert&lt;/math&gt;


===(4) Darstellung von Bewegungen mit Translationen und orthogonalen Transformationen===


''Behauptung'': 

Jede Bewegung &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; lässt sich in der Form &lt;math&gt;F=T_b\circ f&lt;/math&gt; schreiben, wobei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine Translation und &lt;math&gt;f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist. 

''Beweis'':

Ist etwa &lt;math&gt;F(0)=b&lt;/math&gt;, so ist &lt;math&gt;f:=T_{-b}\circ F&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation, denn:

&lt;math&gt;f(0)=(T_{-b}\circ F)(0)=T_{-b}(f(0))=T_{-b}(b)=b+(-b)=0&lt;/math&gt;

Mit (2) und (3) folgt hieraus, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist.

Es folgt dann weiter:

&lt;math&gt;T_b\circ f=T_b\circ (T_{-b}\circ F)=(T_b\circ T_{-b})\circ F= id_{\mathbb{R}^n}\circ F=F&lt;/math&gt;.

Die Behauptung folgt.


===(5) Linearität orthogonaler Transformationen===


Bemerkung: Dies ist der mit Abstand schwierigste Satz, der für die Lösung gebraucht wird.


''Behauptung'':

Jede orthogonale Transformation &lt;math&gt;A:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ist linear.


''Beweis'':


(i)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;x,y&gt;=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x+y\vert^2= &lt;x+y,x+y&gt;= &lt;x,x&gt; +2&lt;x,y&gt;+&lt;y,y&gt;=\vert x\vert^2 +\vert y\vert^2 +2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2=2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\vert x\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x\vert=\vert x-0\vert= \vert A(x)-A(0)\vert=\vert A(x)-0\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;


(iii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;A(x),A(y)&gt;=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;. In der Tat:

Für &lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt; ist das trivial. Sei also &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; voraussgesetzt.

&lt;math&gt; \vert x-(-x)\vert^2 = \vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow \vert 2x\vert^2 =\vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow 4\vert x\vert^2 = \vert A(x)\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert A(-x)\vert^2 =_{(ii)}\vert x\vert^2- &lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert -x\vert^2 = 2\vert x\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow 2\vert x\vert^2 = -2&lt;A(x),A(y)&gt; &lt;/math&gt;

Andererseits gilt mit (ii):

&lt;math&gt;2\vert x\vert^2 = 2\vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Hieraus folgt:

&lt;math&gt;\vert &lt;A(x),A(-x)&gt; \vert = \vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Das bedeutet, dass in der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung Gleichheit gilt. Daher folgt:

&lt;math&gt; \exists \lambda\in\mathbb{R}:A(-x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;, ist &lt;math&gt;x\not=-x&lt;/math&gt; und damit &lt;math&gt;\vert x-(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt; und folglich &lt;math&gt;\vert A(x)-A(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt;. Hieraus folgt aber: &lt;math&gt;A(x)\not=A(-x)&lt;/math&gt;. Da allerdings wegen (ii) andererseits auch gilt, dass &lt;math&gt;\vert A(-x)\vert =\vert -x\vert = \vert x\vert =\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, folgt schon: &lt;math&gt;\lambda=-1&lt;/math&gt;. Es gilt also:

&lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n: A(-x)=-A(x)&lt;/math&gt; (*)

Mit (i) und (ii) folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),A(y)&gt; = \frac{1}{2}(\vert A(x)+ A(y)\vert^2 -\vert A(x)\vert^2 -\vert A(y)\vert^2)=_{(*)}\frac{1}{2}(\vert A(x)-A(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x-(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2 = &lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;.


(iv) 

''Erster Teil der Linearität'': &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)= \lambda A(x)&lt;/math&gt;

Mit (iii) folgt unmittelbar:

&lt;math&gt; \vert &lt;A(\lambda x), A(x)&gt;\vert =\vert &lt;\lambda x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert &lt;x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert x\vert^2 = \vert \lambda x\vert \vert x\vert = \vert A(\lambda x)\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;.

In der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung gilt also abermals Gleichheit und es folgt:

&lt;math&gt;\exists\mu\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\mu A(x)&lt;/math&gt;

Hieraus folgt wegen &lt;math&gt; \vert A(\lambda x)\vert =\vert \lambda x\vert =\vert \lambda \vert \vert x\vert= \vert \lambda\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, dass &lt;math&gt;\vert\lambda\vert=\vert\mu\vert &lt;/math&gt;.

Dabei entfällt der Fall &lt;math&gt;\lambda=-\mu&lt;/math&gt;, da dann insbsondere für &lt;math&gt;\lambda=1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; mit (iii) folgen würde, dass &lt;math&gt;A(x)=-A(x)=A(-x)\Rightarrow x=0&lt;/math&gt; im Widerspruch zu der gerade gemachten Voraussetzung &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;.

Also: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;


(v)

''Zweiter Teil der Linearität'':&lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:A(x+y)=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


Es seien &lt;math&gt;e_1=(1,...,0),...,e_n=(0,...,1)&lt;/math&gt; die Einheitsvektoren im &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; und ferner sei &lt;math&gt; f_i=A(e_i)&lt;/math&gt;. Für einen beliebigen Vektor &lt;math&gt;x=(x_1,...,x_n)&lt;/math&gt; gilt dann, dass &lt;math&gt;x_i= &lt;x,e_i&gt; &lt;/math&gt;. Es folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),f_i&gt;= &lt;A(x),A(e_i)&gt; = &lt;x,e_i&gt;=x_i&lt;/math&gt;

Das Bild von &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bei der orthogonalen Projektion von &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;\mathbb{R}f_i&lt;/math&gt; ist also der Vektor &lt;math&gt;x_if_i&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt; &lt;f_i,f_j&gt;=&lt;e_i,e_j&gt;=0 &lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i\not=j&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; &lt;e_i,e_j&gt;=1&lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i=j&lt;/math&gt;, bilden die Geraden &lt;math&gt; \mathbb{R}f_1,...,\mathbb{R}f_n&lt;/math&gt; ein anderers kartesisches Koordinatensystem (d.h. die Bilder der Basisvektoren bilden wieder eine Basis des &lt;math&gt; \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;)und die i-te Komponente des Vektors &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bezüglich dieser Basis ist &lt;math&gt;x_i&lt;/math&gt;. Daher folgt:

&lt;math&gt;A(x)=\sum_{i=1}^n x_if_i =\sum_{i=1}^n x_iA(e_i)&lt;/math&gt;

Diese Formel ist linear in den Koeffizienten &lt;math&gt; x_i &lt;/math&gt;, so dass folgt:

&lt;math&gt; A(x+y)=\sum_{i=1}^n (x_i+y_i)f_i=\sum_{i=1}^n x_if_i + \sum_{i=1}^n y_if_i=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


===(6) Lineare Abbildungen im Körper der reelen Zahlen===


Man betrachte zunächst die Menge &lt;math&gt;\mathcal{A}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x+y)=f(x)+f(y)\}&lt;/math&gt;

(i)

 Es gilt &lt;math&gt;f(0)=0&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;f(1)=f(1+0)=f(1)+f(0)\Rightarrow f(0)=0&lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(-x)=-f(x)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)\Rightarrow -f(x)=f(-x)&lt;/math&gt;


(iii)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}_0:f(n)=f(1)n&lt;/math&gt;.

Beweis durch vollständige Induktion:

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0)=0=f(1)\cdot 0&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f(n+1)=f(n)+f(1)=_{Ind.Vor.}f(1)n+f(1)=f(1)(n+1)&lt;/math&gt;


(iv)

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb(Z):f(z)=f(1)z&lt;/math&gt;.

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}_0^+&lt;/math&gt; ist das klar laut (iii).

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}^-&lt;/math&gt; gilt: &lt;math&gt;\exists n\in\mathbb{N}:z=-n&lt;/math&gt;. Mit (ii) und (iii) folgt dann: &lt;math&gt;f(z)=f(-n)=-f(n)=-f(1)n=f(1)(-n)=f(1)z&lt;/math&gt;


(v)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}:\forall x\in\mathbb{R}:f(nx)=nf(x)&lt;/math&gt;

Beweis durch vollständige Induktion

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; beliebig.

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0\cdot x)=f(0)=0=0\cdot f(x)&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f((n+1)x)=f(nx+x)=f(nx)+f(x)=_{Ind.Vor.}nf(x)+f(x)=(n+1)f(x)&lt;/math&gt;


(vi)

Genauso wie in (iv) folgert man nun aus (v):

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb{Z}:\forall x\in\mathbb{R}:f(zx)=zf(x)&lt;/math&gt;


(vii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{Q}:f(x)=f(1)x&lt;/math&gt;

Sei also &lt;math&gt;q\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; beliebig, dann folgt:

&lt;math&gt; f\left(\frac{1}{q}\right)=f\left(1+\left(-\frac{q-1}{q}\right)\right)=f(1)+f\left(-\frac{q-1}{q}\right)=_{(ii)}f(1)-f\left(\frac{q-1}{q}\right)=_{(v)}f(1)-(q-1)f\left(\frac{1}{q}\right)&lt;/math&gt;

Also: &lt;math&gt;f(\frac{1}{q})=f(1)-(q-1)f(\frac{1}{q})\Leftrightarrow f\left(\frac{1}{q}\right)=\frac{1}{q}f(1)&lt;/math&gt;.

Hieraus folgt mit (vi) leicht die Behauptung.


(viii)

&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ist abstandserhaltend dann und nur dann, wenn &lt;math&gt;\vert f(1)\vert=1&lt;/math&gt;:

Seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{Q}&lt;/math&gt; beliebig mit &lt;math&gt;x\not=y&lt;/math&gt;, dann gilt:

&lt;math&gt;\vert f(x)-f(y)\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)x-f(1)y\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)\vert \vert x-y\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow \vert f(1)\vert =1&lt;/math&gt;

Gemäß (1) ist &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dann stetig auf &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; und damit gilt auch: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(x)=f(1)x&lt;/math&gt;, denn:

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}&lt;/math&gt; beliebig. Dann gibt es gewiss eine Folge &lt;math&gt;(x)_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; von ausschließlich rationalen Zahlen mit der Eigenschaft: &lt;math&gt;\lim_{n\to\infty}x_n =x&lt;/math&gt;. Mit der Stetigkeit von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; folgt dann mit entsprechenden Grenzwertrechenregeln:

&lt;math&gt;f(x)=f(\lim_{n\to\infty}x_n)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lim_{n\to\infty}f(1)x_n=f(1)\lim_{n\to\infty}x_n=f(1)x&lt;/math&gt;.


(ix)

Also ist jedes solches &lt;math&gt;f\in\mathcal{A}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\vert f(1)\vert =1&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation. Da aber wegen (5) zugleich gilt &lt;math&gt;\mathcal{B}:=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;eine\;orthogonale\;Transformation\}\subseteq\mathcal{A}&lt;/math&gt; folgt wegen der Äquuivalenz in (viii) schon, dass &lt;math&gt;\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x)=ax\;(\vert a\vert=1)\}=\mathcal{B}&lt;/math&gt;

===(7) Symmetriegruppe von Z===


Wegen (4) und (6)(ix) folgt:

&lt;math&gt;\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert=1;\;b\in\mathbb{R})\}&lt;/math&gt;.

Hier muss man nun lediglich noch die Bewegungen finden, für die &lt;math&gt;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}&lt;/math&gt; gilt. Das ist jedoch ein mehr als simples Problem und man sieht schnell ein:

&lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert =1;\;b\in\mathbb{Z})\}&lt;/math&gt;.</text>
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    <timestamp>2006-03-06T07:50:34Z</timestamp>
    <contributor>
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    <comment>/* (6) Lineare Abbildungen im Körper der reelen Zahlen */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="12856" xml:space="preserve">==Klärung von für die Aufgabenstellung wichtigen Begriffen==

Ehe man zur eigentlichen Aufgabenstellungen schreitet, empfiehlt es sich drei Begriffe vorab zu klären, da diese in der Fachliteratur unter verschiedenen Namen geführt werden.

'''Bewegung''': Eine Bewegung ist eine Abbildung &lt;math&gt;F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die Abstände respektiert, d.h. es gilt &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:\left|F(x)-F(y)\right|=\left|x-y\right|&lt;/math&gt;.

'''orthogonale Transformation''': Dies ist eine Bewegung, die den Ursprung fest lässt, d.h. es gilt: &lt;math&gt;F(0)=0&lt;/math&gt;.

'''Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;''': Unter der Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; versteht man die Menge &lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(M)=M\}&lt;/math&gt;, also die Menge aller Bewegungen des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; in sich selbst überführen.

==Aufgabenstellung==

Man bestimme die Symmetriegruppe &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


==Tipp==

Man beachte zunächst, dass &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; eine ''diskrete'' Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; ist. Man fertige eine Zeichnung an, die dies veranschaulicht: Die Elemente von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; sind salopp gesagt Perlen einer Perlenkette und die Kette selbst ist &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;. Anhand dieser Zeichnung ermittele man alle Symmetrien von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; und versuche diese mit Hilfe von Abbildungen &lt;math&gt;F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}&lt;/math&gt; zu beschreiben. Dann bleibt nur noch zu zeigen, dass dies in der Tat alle Symmetrien sind.


==Lösung==

Die Lösung ist nicht ganz einfach und muss in mehreren Etappen erkämpft werden.


===(1) Stetigkeit von Bewegungen===


''Behauptung'': 

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{Q}^n\rightarrow\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung. Dann ist &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; stetig.

''Beweis'':

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{Q}^n\rightarrow\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung und &lt;math&gt;x\in\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; ein beliebiger Punkt. Ferner sei &lt;math&gt;\epsilon&gt;0&lt;/math&gt; beliebig vorgegeben.
Dann folgt mit &lt;math&gt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;y\in\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt;, für die &lt;math&gt;\vert y-x\vert&lt;\delta&lt;/math&gt; gilt:

&lt;math&gt;\vert F(y)-F(x)\vert=\vert y-x\vert&lt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt;, was die Stetigkeit liefert.


===(2) Komposition von Bewegungen===


''Behauptung'':

Seien &lt;math&gt;F,G:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; Bewegungen. Dann ist auch &lt;math&gt;F\circ G&lt;/math&gt; eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig. Dann gilt:

&lt;math&gt;\vert (F\circ G)(x)-(F\circ G)(y)\vert = \vert F(G(x))-F(G(y))\vert =\vert G(x)-G(y)\vert=\vert x-y\vert &lt;/math&gt;


===(3) Translationen===


''Behauptung'':

Es sei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n;\;x\mapsto x+b\;(b\in\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; eine Translation. Dann gilt: &lt;math&gt;T_b&lt;/math&gt; ist eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig.

&lt;math&gt;\vert T_b(x)-T_b(y)\vert =\vert (x+b)-(y+b)\vert =\vert x+b-y-b\vert =\vert x-y\vert&lt;/math&gt;


===(4) Darstellung von Bewegungen mit Translationen und orthogonalen Transformationen===


''Behauptung'': 

Jede Bewegung &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; lässt sich in der Form &lt;math&gt;F=T_b\circ f&lt;/math&gt; schreiben, wobei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine Translation und &lt;math&gt;f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist. 

''Beweis'':

Ist etwa &lt;math&gt;F(0)=b&lt;/math&gt;, so ist &lt;math&gt;f:=T_{-b}\circ F&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation, denn:

&lt;math&gt;f(0)=(T_{-b}\circ F)(0)=T_{-b}(f(0))=T_{-b}(b)=b+(-b)=0&lt;/math&gt;

Mit (2) und (3) folgt hieraus, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist.

Es folgt dann weiter:

&lt;math&gt;T_b\circ f=T_b\circ (T_{-b}\circ F)=(T_b\circ T_{-b})\circ F= id_{\mathbb{R}^n}\circ F=F&lt;/math&gt;.

Die Behauptung folgt.


===(5) Linearität orthogonaler Transformationen===


Bemerkung: Dies ist der mit Abstand schwierigste Satz, der für die Lösung gebraucht wird.


''Behauptung'':

Jede orthogonale Transformation &lt;math&gt;A:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ist linear.


''Beweis'':


(i)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;x,y&gt;=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x+y\vert^2= &lt;x+y,x+y&gt;= &lt;x,x&gt; +2&lt;x,y&gt;+&lt;y,y&gt;=\vert x\vert^2 +\vert y\vert^2 +2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2=2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\vert x\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x\vert=\vert x-0\vert= \vert A(x)-A(0)\vert=\vert A(x)-0\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;


(iii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;A(x),A(y)&gt;=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;. In der Tat:

Für &lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt; ist das trivial. Sei also &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; voraussgesetzt.

&lt;math&gt; \vert x-(-x)\vert^2 = \vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow \vert 2x\vert^2 =\vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow 4\vert x\vert^2 = \vert A(x)\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert A(-x)\vert^2 =_{(ii)}\vert x\vert^2- &lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert -x\vert^2 = 2\vert x\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow 2\vert x\vert^2 = -2&lt;A(x),A(y)&gt; &lt;/math&gt;

Andererseits gilt mit (ii):

&lt;math&gt;2\vert x\vert^2 = 2\vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Hieraus folgt:

&lt;math&gt;\vert &lt;A(x),A(-x)&gt; \vert = \vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Das bedeutet, dass in der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung Gleichheit gilt. Daher folgt:

&lt;math&gt; \exists \lambda\in\mathbb{R}:A(-x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;, ist &lt;math&gt;x\not=-x&lt;/math&gt; und damit &lt;math&gt;\vert x-(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt; und folglich &lt;math&gt;\vert A(x)-A(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt;. Hieraus folgt aber: &lt;math&gt;A(x)\not=A(-x)&lt;/math&gt;. Da allerdings wegen (ii) andererseits auch gilt, dass &lt;math&gt;\vert A(-x)\vert =\vert -x\vert = \vert x\vert =\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, folgt schon: &lt;math&gt;\lambda=-1&lt;/math&gt;. Es gilt also:

&lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n: A(-x)=-A(x)&lt;/math&gt; (*)

Mit (i) und (ii) folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),A(y)&gt; = \frac{1}{2}(\vert A(x)+ A(y)\vert^2 -\vert A(x)\vert^2 -\vert A(y)\vert^2)=_{(*)}\frac{1}{2}(\vert A(x)-A(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x-(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2 = &lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;.


(iv) 

''Erster Teil der Linearität'': &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)= \lambda A(x)&lt;/math&gt;

Mit (iii) folgt unmittelbar:

&lt;math&gt; \vert &lt;A(\lambda x), A(x)&gt;\vert =\vert &lt;\lambda x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert &lt;x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert x\vert^2 = \vert \lambda x\vert \vert x\vert = \vert A(\lambda x)\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;.

In der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung gilt also abermals Gleichheit und es folgt:

&lt;math&gt;\exists\mu\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\mu A(x)&lt;/math&gt;

Hieraus folgt wegen &lt;math&gt; \vert A(\lambda x)\vert =\vert \lambda x\vert =\vert \lambda \vert \vert x\vert= \vert \lambda\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, dass &lt;math&gt;\vert\lambda\vert=\vert\mu\vert &lt;/math&gt;.

Dabei entfällt der Fall &lt;math&gt;\lambda=-\mu&lt;/math&gt;, da dann insbsondere für &lt;math&gt;\lambda=1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; mit (iii) folgen würde, dass &lt;math&gt;A(x)=-A(x)=A(-x)\Rightarrow x=0&lt;/math&gt; im Widerspruch zu der gerade gemachten Voraussetzung &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;.

Also: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;


(v)

''Zweiter Teil der Linearität'':&lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:A(x+y)=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


Es seien &lt;math&gt;e_1=(1,...,0),...,e_n=(0,...,1)&lt;/math&gt; die Einheitsvektoren im &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; und ferner sei &lt;math&gt; f_i=A(e_i)&lt;/math&gt;. Für einen beliebigen Vektor &lt;math&gt;x=(x_1,...,x_n)&lt;/math&gt; gilt dann, dass &lt;math&gt;x_i= &lt;x,e_i&gt; &lt;/math&gt;. Es folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),f_i&gt;= &lt;A(x),A(e_i)&gt; = &lt;x,e_i&gt;=x_i&lt;/math&gt;

Das Bild von &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bei der orthogonalen Projektion von &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;\mathbb{R}f_i&lt;/math&gt; ist also der Vektor &lt;math&gt;x_if_i&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt; &lt;f_i,f_j&gt;=&lt;e_i,e_j&gt;=0 &lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i\not=j&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; &lt;e_i,e_j&gt;=1&lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i=j&lt;/math&gt;, bilden die Geraden &lt;math&gt; \mathbb{R}f_1,...,\mathbb{R}f_n&lt;/math&gt; ein anderers kartesisches Koordinatensystem (d.h. die Bilder der Basisvektoren bilden wieder eine Basis des &lt;math&gt; \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;)und die i-te Komponente des Vektors &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bezüglich dieser Basis ist &lt;math&gt;x_i&lt;/math&gt;. Daher folgt:

&lt;math&gt;A(x)=\sum_{i=1}^n x_if_i =\sum_{i=1}^n x_iA(e_i)&lt;/math&gt;

Diese Formel ist linear in den Koeffizienten &lt;math&gt; x_i &lt;/math&gt;, so dass folgt:

&lt;math&gt; A(x+y)=\sum_{i=1}^n (x_i+y_i)f_i=\sum_{i=1}^n x_if_i + \sum_{i=1}^n y_if_i=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


===(6) Lineare Abbildungen im Körper der reelen Zahlen===


Man betrachte zunächst die Menge &lt;math&gt;\mathcal{A}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x+y)=f(x)+f(y)\}&lt;/math&gt;

(i)

 Es gilt &lt;math&gt;f(0)=0&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;f(1)=f(1+0)=f(1)+f(0)\Rightarrow f(0)=0&lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(-x)=-f(x)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)\Rightarrow -f(x)=f(-x)&lt;/math&gt;


(iii)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}_0:f(n)=f(1)n&lt;/math&gt;.

Beweis durch vollständige Induktion:

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0)=0=f(1)\cdot 0&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f(n+1)=f(n)+f(1)=_{Ind.Vor.}f(1)n+f(1)=f(1)(n+1)&lt;/math&gt;


(iv)

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb(Z):f(z)=f(1)z&lt;/math&gt;.

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}_0^+&lt;/math&gt; ist das klar laut (iii).

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}^-&lt;/math&gt; gilt: &lt;math&gt;\exists n\in\mathbb{N}:z=-n&lt;/math&gt;. Mit (ii) und (iii) folgt dann: &lt;math&gt;f(z)=f(-n)=-f(n)=-f(1)n=f(1)(-n)=f(1)z&lt;/math&gt;


(v)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}:\forall x\in\mathbb{R}:f(nx)=nf(x)&lt;/math&gt;

Beweis durch vollständige Induktion

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; beliebig.

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0\cdot x)=f(0)=0=0\cdot f(x)&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f((n+1)x)=f(nx+x)=f(nx)+f(x)=_{Ind.Vor.}nf(x)+f(x)=(n+1)f(x)&lt;/math&gt;


(vi)

Genauso wie in (iv) folgert man nun aus (v):

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb{Z}:\forall x\in\mathbb{R}:f(zx)=zf(x)&lt;/math&gt;


(vii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{Q}:f(x)=f(1)x&lt;/math&gt;

Sei also &lt;math&gt;q\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; beliebig, dann folgt:

&lt;math&gt; f\left(\frac{1}{q}\right)=f\left(1+\left(-\frac{q-1}{q}\right)\right)=f(1)+f\left(-\frac{q-1}{q}\right)=_{(ii)}f(1)-f\left(\frac{q-1}{q}\right)=_{(v)}f(1)-(q-1)f\left(\frac{1}{q}\right)&lt;/math&gt;

Also: &lt;math&gt;f(\frac{1}{q})=f(1)-(q-1)f(\frac{1}{q})\Leftrightarrow f\left(\frac{1}{q}\right)=\frac{1}{q}f(1)&lt;/math&gt;.

Hieraus folgt mit (vi) leicht die Behauptung.


(viii)

&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ist abstandserhaltend dann und nur dann, wenn &lt;math&gt;\vert f(1)\vert=1&lt;/math&gt;:

Seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{Q}&lt;/math&gt; beliebig mit &lt;math&gt;x\not=y&lt;/math&gt;, dann gilt:

&lt;math&gt;\vert f(x)-f(y)\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)x-f(1)y\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)\vert \vert x-y\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow \vert f(1)\vert =1&lt;/math&gt;

Gemäß (1) ist &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dann stetig auf &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; und damit gilt auch: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(x)=f(1)x&lt;/math&gt;, denn:

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}&lt;/math&gt; beliebig. Dann gibt es gewiss eine Folge &lt;math&gt;(x)_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; von ausschließlich rationalen Zahlen mit der Eigenschaft: &lt;math&gt;\lim_{n\to\infty}x_n =x&lt;/math&gt;. Mit der Stetigkeit von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; folgt dann mit entsprechenden Grenzwertrechenregeln:

&lt;math&gt;f(x)=f(\lim_{n\to\infty}x_n)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lim_{n\to\infty}f(1)x_n=f(1)\lim_{n\to\infty}x_n=f(1)x&lt;/math&gt;.


(ix)

Also ist jedes solches &lt;math&gt;f\in\mathcal{A}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\vert f(1)\vert =1&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation. Da aber wegen (5) zugleich gilt &lt;math&gt;\mathcal{B}:=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;eine\;orthogonale\;Transformation\}\subseteq\mathcal{A}&lt;/math&gt; folgt wegen der Äquivalenz in (viii) schon, dass &lt;math&gt;\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x)=ax\;(\vert a\vert=1)\}=\mathcal{B}&lt;/math&gt;

===(7) Symmetriegruppe von Z===


Wegen (4) und (6)(ix) folgt:

&lt;math&gt;\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert=1;\;b\in\mathbb{R})\}&lt;/math&gt;.

Hier muss man nun lediglich noch die Bewegungen finden, für die &lt;math&gt;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}&lt;/math&gt; gilt. Das ist jedoch ein mehr als simples Problem und man sieht schnell ein:

&lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert =1;\;b\in\mathbb{Z})\}&lt;/math&gt;.</text>
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    <comment>/* (6) Lineare Abbildungen im Körper der reelen Zahlen */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="12878" xml:space="preserve">==Klärung von für die Aufgabenstellung wichtigen Begriffen==

Ehe man zur eigentlichen Aufgabenstellungen schreitet, empfiehlt es sich drei Begriffe vorab zu klären, da diese in der Fachliteratur unter verschiedenen Namen geführt werden.

'''Bewegung''': Eine Bewegung ist eine Abbildung &lt;math&gt;F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die Abstände respektiert, d.h. es gilt &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:\left|F(x)-F(y)\right|=\left|x-y\right|&lt;/math&gt;.

'''orthogonale Transformation''': Dies ist eine Bewegung, die den Ursprung fest lässt, d.h. es gilt: &lt;math&gt;F(0)=0&lt;/math&gt;.

'''Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;''': Unter der Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; versteht man die Menge &lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(M)=M\}&lt;/math&gt;, also die Menge aller Bewegungen des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; in sich selbst überführen.

==Aufgabenstellung==

Man bestimme die Symmetriegruppe &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


==Tipp==

Man beachte zunächst, dass &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; eine ''diskrete'' Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; ist. Man fertige eine Zeichnung an, die dies veranschaulicht: Die Elemente von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; sind salopp gesagt Perlen einer Perlenkette und die Kette selbst ist &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;. Anhand dieser Zeichnung ermittele man alle Symmetrien von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; und versuche diese mit Hilfe von Abbildungen &lt;math&gt;F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}&lt;/math&gt; zu beschreiben. Dann bleibt nur noch zu zeigen, dass dies in der Tat alle Symmetrien sind.


==Lösung==

Die Lösung ist nicht ganz einfach und muss in mehreren Etappen erkämpft werden.


===(1) Stetigkeit von Bewegungen===


''Behauptung'': 

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{Q}^n\rightarrow\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung. Dann ist &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; stetig.

''Beweis'':

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{Q}^n\rightarrow\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung und &lt;math&gt;x\in\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; ein beliebiger Punkt. Ferner sei &lt;math&gt;\epsilon&gt;0&lt;/math&gt; beliebig vorgegeben.
Dann folgt mit &lt;math&gt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;y\in\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt;, für die &lt;math&gt;\vert y-x\vert&lt;\delta&lt;/math&gt; gilt:

&lt;math&gt;\vert F(y)-F(x)\vert=\vert y-x\vert&lt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt;, was die Stetigkeit liefert.


===(2) Komposition von Bewegungen===


''Behauptung'':

Seien &lt;math&gt;F,G:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; Bewegungen. Dann ist auch &lt;math&gt;F\circ G&lt;/math&gt; eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig. Dann gilt:

&lt;math&gt;\vert (F\circ G)(x)-(F\circ G)(y)\vert = \vert F(G(x))-F(G(y))\vert =\vert G(x)-G(y)\vert=\vert x-y\vert &lt;/math&gt;


===(3) Translationen===


''Behauptung'':

Es sei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n;\;x\mapsto x+b\;(b\in\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; eine Translation. Dann gilt: &lt;math&gt;T_b&lt;/math&gt; ist eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig.

&lt;math&gt;\vert T_b(x)-T_b(y)\vert =\vert (x+b)-(y+b)\vert =\vert x+b-y-b\vert =\vert x-y\vert&lt;/math&gt;


===(4) Darstellung von Bewegungen mit Translationen und orthogonalen Transformationen===


''Behauptung'': 

Jede Bewegung &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; lässt sich in der Form &lt;math&gt;F=T_b\circ f&lt;/math&gt; schreiben, wobei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine Translation und &lt;math&gt;f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist. 

''Beweis'':

Ist etwa &lt;math&gt;F(0)=b&lt;/math&gt;, so ist &lt;math&gt;f:=T_{-b}\circ F&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation, denn:

&lt;math&gt;f(0)=(T_{-b}\circ F)(0)=T_{-b}(f(0))=T_{-b}(b)=b+(-b)=0&lt;/math&gt;

Mit (2) und (3) folgt hieraus, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist.

Es folgt dann weiter:

&lt;math&gt;T_b\circ f=T_b\circ (T_{-b}\circ F)=(T_b\circ T_{-b})\circ F= id_{\mathbb{R}^n}\circ F=F&lt;/math&gt;.

Die Behauptung folgt.


===(5) Linearität orthogonaler Transformationen===


Bemerkung: Dies ist der mit Abstand schwierigste Satz, der für die Lösung gebraucht wird.


''Behauptung'':

Jede orthogonale Transformation &lt;math&gt;A:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ist linear.


''Beweis'':


(i)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;x,y&gt;=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x+y\vert^2= &lt;x+y,x+y&gt;= &lt;x,x&gt; +2&lt;x,y&gt;+&lt;y,y&gt;=\vert x\vert^2 +\vert y\vert^2 +2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2=2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\vert x\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x\vert=\vert x-0\vert= \vert A(x)-A(0)\vert=\vert A(x)-0\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;


(iii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;A(x),A(y)&gt;=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;. In der Tat:

Für &lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt; ist das trivial. Sei also &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; voraussgesetzt.

&lt;math&gt; \vert x-(-x)\vert^2 = \vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow \vert 2x\vert^2 =\vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow 4\vert x\vert^2 = \vert A(x)\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert A(-x)\vert^2 =_{(ii)}\vert x\vert^2- &lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert -x\vert^2 = 2\vert x\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow 2\vert x\vert^2 = -2&lt;A(x),A(y)&gt; &lt;/math&gt;

Andererseits gilt mit (ii):

&lt;math&gt;2\vert x\vert^2 = 2\vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Hieraus folgt:

&lt;math&gt;\vert &lt;A(x),A(-x)&gt; \vert = \vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Das bedeutet, dass in der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung Gleichheit gilt. Daher folgt:

&lt;math&gt; \exists \lambda\in\mathbb{R}:A(-x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;, ist &lt;math&gt;x\not=-x&lt;/math&gt; und damit &lt;math&gt;\vert x-(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt; und folglich &lt;math&gt;\vert A(x)-A(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt;. Hieraus folgt aber: &lt;math&gt;A(x)\not=A(-x)&lt;/math&gt;. Da allerdings wegen (ii) andererseits auch gilt, dass &lt;math&gt;\vert A(-x)\vert =\vert -x\vert = \vert x\vert =\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, folgt schon: &lt;math&gt;\lambda=-1&lt;/math&gt;. Es gilt also:

&lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n: A(-x)=-A(x)&lt;/math&gt; (*)

Mit (i) und (ii) folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),A(y)&gt; = \frac{1}{2}(\vert A(x)+ A(y)\vert^2 -\vert A(x)\vert^2 -\vert A(y)\vert^2)=_{(*)}\frac{1}{2}(\vert A(x)-A(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x-(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2 = &lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;.


(iv) 

''Erster Teil der Linearität'': &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)= \lambda A(x)&lt;/math&gt;

Mit (iii) folgt unmittelbar:

&lt;math&gt; \vert &lt;A(\lambda x), A(x)&gt;\vert =\vert &lt;\lambda x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert &lt;x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert x\vert^2 = \vert \lambda x\vert \vert x\vert = \vert A(\lambda x)\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;.

In der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung gilt also abermals Gleichheit und es folgt:

&lt;math&gt;\exists\mu\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\mu A(x)&lt;/math&gt;

Hieraus folgt wegen &lt;math&gt; \vert A(\lambda x)\vert =\vert \lambda x\vert =\vert \lambda \vert \vert x\vert= \vert \lambda\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, dass &lt;math&gt;\vert\lambda\vert=\vert\mu\vert &lt;/math&gt;.

Dabei entfällt der Fall &lt;math&gt;\lambda=-\mu&lt;/math&gt;, da dann insbsondere für &lt;math&gt;\lambda=1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; mit (iii) folgen würde, dass &lt;math&gt;A(x)=-A(x)=A(-x)\Rightarrow x=0&lt;/math&gt; im Widerspruch zu der gerade gemachten Voraussetzung &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;.

Also: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;


(v)

''Zweiter Teil der Linearität'':&lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:A(x+y)=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


Es seien &lt;math&gt;e_1=(1,...,0),...,e_n=(0,...,1)&lt;/math&gt; die Einheitsvektoren im &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; und ferner sei &lt;math&gt; f_i=A(e_i)&lt;/math&gt;. Für einen beliebigen Vektor &lt;math&gt;x=(x_1,...,x_n)&lt;/math&gt; gilt dann, dass &lt;math&gt;x_i= &lt;x,e_i&gt; &lt;/math&gt;. Es folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),f_i&gt;= &lt;A(x),A(e_i)&gt; = &lt;x,e_i&gt;=x_i&lt;/math&gt;

Das Bild von &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bei der orthogonalen Projektion von &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;\mathbb{R}f_i&lt;/math&gt; ist also der Vektor &lt;math&gt;x_if_i&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt; &lt;f_i,f_j&gt;=&lt;e_i,e_j&gt;=0 &lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i\not=j&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; &lt;e_i,e_j&gt;=1&lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i=j&lt;/math&gt;, bilden die Geraden &lt;math&gt; \mathbb{R}f_1,...,\mathbb{R}f_n&lt;/math&gt; ein anderers kartesisches Koordinatensystem (d.h. die Bilder der Basisvektoren bilden wieder eine Basis des &lt;math&gt; \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;)und die i-te Komponente des Vektors &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bezüglich dieser Basis ist &lt;math&gt;x_i&lt;/math&gt;. Daher folgt:

&lt;math&gt;A(x)=\sum_{i=1}^n x_if_i =\sum_{i=1}^n x_iA(e_i)&lt;/math&gt;

Diese Formel ist linear in den Koeffizienten &lt;math&gt; x_i &lt;/math&gt;, so dass folgt:

&lt;math&gt; A(x+y)=\sum_{i=1}^n (x_i+y_i)f_i=\sum_{i=1}^n x_if_i + \sum_{i=1}^n y_if_i=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


===(6) Lineare Abbildungen im Körper der reelen Zahlen===


Man betrachte zunächst die Menge &lt;math&gt;\mathcal{A}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x+y)=f(x)+f(y)\}&lt;/math&gt;

(i)

 Es gilt &lt;math&gt;f(0)=0&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;f(1)=f(1+0)=f(1)+f(0)\Rightarrow f(0)=0&lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(-x)=-f(x)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)\Rightarrow -f(x)=f(-x)&lt;/math&gt;


(iii)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}_0:f(n)=f(1)n&lt;/math&gt;.

Beweis durch vollständige Induktion:

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0)=0=f(1)\cdot 0&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f(n+1)=f(n)+f(1)=_{Ind.Vor.}f(1)n+f(1)=f(1)(n+1)&lt;/math&gt;


(iv)

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb(Z):f(z)=f(1)z&lt;/math&gt;.

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}_0^+&lt;/math&gt; ist das klar laut (iii).

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}^-&lt;/math&gt; gilt: &lt;math&gt;\exists n\in\mathbb{N}:z=-n&lt;/math&gt;. Mit (ii) und (iii) folgt dann: &lt;math&gt;f(z)=f(-n)=-f(n)=-f(1)n=f(1)(-n)=f(1)z&lt;/math&gt;


(v)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}:\forall x\in\mathbb{R}:f(nx)=nf(x)&lt;/math&gt;

Beweis durch vollständige Induktion

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; beliebig.

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0\cdot x)=f(0)=0=0\cdot f(x)&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f((n+1)x)=f(nx+x)=f(nx)+f(x)=_{Ind.Vor.}nf(x)+f(x)=(n+1)f(x)&lt;/math&gt;


(vi)

Genauso wie in (iv) folgert man nun aus (v):

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb{Z}:\forall x\in\mathbb{R}:f(zx)=zf(x)&lt;/math&gt;


(vii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{Q}:f(x)=f(1)x&lt;/math&gt;

Sei also &lt;math&gt;q\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; beliebig, dann folgt:

&lt;math&gt; f\left(\frac{1}{q}\right)=f\left(1+\left(-\frac{q-1}{q}\right)\right)=f(1)+f\left(-\frac{q-1}{q}\right)=_{(ii)}f(1)-f\left(\frac{q-1}{q}\right)=_{(v)}f(1)-(q-1)f\left(\frac{1}{q}\right)&lt;/math&gt;

Also: &lt;math&gt;f\left(\frac{1}{q}\right)=f(1)-(q-1)f\left(\frac{1}{q}\right)\Leftrightarrow f\left(\frac{1}{q}\right)=\frac{1}{q}f(1)&lt;/math&gt;.

Hieraus folgt mit (vi) leicht die Behauptung.


(viii)

&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ist abstandserhaltend dann und nur dann, wenn &lt;math&gt;\vert f(1)\vert=1&lt;/math&gt;:

Seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{Q}&lt;/math&gt; beliebig mit &lt;math&gt;x\not=y&lt;/math&gt;, dann gilt:

&lt;math&gt;\vert f(x)-f(y)\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)x-f(1)y\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)\vert \vert x-y\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow \vert f(1)\vert =1&lt;/math&gt;

Gemäß (1) ist &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dann stetig auf &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; und damit gilt auch: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(x)=f(1)x&lt;/math&gt;, denn:

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}&lt;/math&gt; beliebig. Dann gibt es gewiss eine Folge &lt;math&gt;(x)_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; von ausschließlich rationalen Zahlen mit der Eigenschaft: &lt;math&gt;\lim_{n\to\infty}x_n =x&lt;/math&gt;. Mit der Stetigkeit von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; folgt dann mit entsprechenden Grenzwertrechenregeln:

&lt;math&gt;f(x)=f(\lim_{n\to\infty}x_n)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lim_{n\to\infty}f(1)x_n=f(1)\lim_{n\to\infty}x_n=f(1)x&lt;/math&gt;.


(ix)

Also ist jedes solches &lt;math&gt;f\in\mathcal{A}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\vert f(1)\vert =1&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation. Da aber wegen (5) zugleich gilt &lt;math&gt;\mathcal{B}:=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;eine\;orthogonale\;Transformation\}\subseteq\mathcal{A}&lt;/math&gt; folgt wegen der Äquivalenz in (viii) schon, dass &lt;math&gt;\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x)=ax\;(\vert a\vert=1)\}=\mathcal{B}&lt;/math&gt;

===(7) Symmetriegruppe von Z===


Wegen (4) und (6)(ix) folgt:

&lt;math&gt;\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert=1;\;b\in\mathbb{R})\}&lt;/math&gt;.

Hier muss man nun lediglich noch die Bewegungen finden, für die &lt;math&gt;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}&lt;/math&gt; gilt. Das ist jedoch ein mehr als simples Problem und man sieht schnell ein:

&lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert =1;\;b\in\mathbb{Z})\}&lt;/math&gt;.</text>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="12973" xml:space="preserve">==Klärung von für die Aufgabenstellung wichtigen Begriffen==

Ehe man zur eigentlichen Aufgabenstellungen schreitet, empfiehlt es sich drei Begriffe vorab zu klären, da diese in der Fachliteratur unter verschiedenen Namen geführt werden.

'''Bewegung''': Eine Bewegung ist eine Abbildung &lt;math&gt;F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die Abstände respektiert, d.h. es gilt &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:\left|F(x)-F(y)\right|=\left|x-y\right|&lt;/math&gt;.

'''orthogonale Transformation''': Dies ist eine Bewegung, die den Ursprung fest lässt, d.h. es gilt: &lt;math&gt;F(0)=0&lt;/math&gt;.

'''Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;''': Unter der Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; versteht man die Menge &lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(M)=M\}&lt;/math&gt;, also die Menge aller Bewegungen des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; in sich selbst überführen.

==Aufgabenstellung==

Man bestimme die Symmetriegruppe &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


==Tipp==

Man beachte zunächst, dass &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; eine ''diskrete'' Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; ist. Man fertige eine Zeichnung an, die dies veranschaulicht: Die Elemente von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; sind salopp gesagt Perlen einer Perlenkette und die Kette selbst ist &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;. Anhand dieser Zeichnung ermittele man alle Symmetrien von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; und versuche diese mit Hilfe von Abbildungen &lt;math&gt;F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}&lt;/math&gt; zu beschreiben. Dann bleibt nur noch zu zeigen, dass dies in der Tat alle Symmetrien sind.


==Lösung==

Die Lösung ist nicht ganz einfach und muss in mehreren Etappen erkämpft werden.


===(1) Stetigkeit von Bewegungen===


''Behauptung'': 

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{Q}^n\rightarrow\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung. Dann ist &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; stetig.

''Beweis'':

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{Q}^n\rightarrow\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung und &lt;math&gt;x\in\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; ein beliebiger Punkt. Ferner sei &lt;math&gt;\epsilon&gt;0&lt;/math&gt; beliebig vorgegeben.
Dann folgt mit &lt;math&gt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;y\in\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt;, für die &lt;math&gt;\vert y-x\vert&lt;\delta&lt;/math&gt; gilt:

&lt;math&gt;\vert F(y)-F(x)\vert=\vert y-x\vert&lt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt;, was die Stetigkeit liefert.


===(2) Komposition von Bewegungen===


''Behauptung'':

Seien &lt;math&gt;F,G:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; Bewegungen. Dann ist auch &lt;math&gt;F\circ G&lt;/math&gt; eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig. Dann gilt:

&lt;math&gt;\vert (F\circ G)(x)-(F\circ G)(y)\vert = \vert F(G(x))-F(G(y))\vert =\vert G(x)-G(y)\vert=\vert x-y\vert &lt;/math&gt;


===(3) Translationen===


''Behauptung'':

Es sei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n;\;x\mapsto x+b\;(b\in\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; eine Translation. Dann gilt: &lt;math&gt;T_b&lt;/math&gt; ist eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig.

&lt;math&gt;\vert T_b(x)-T_b(y)\vert =\vert (x+b)-(y+b)\vert =\vert x+b-y-b\vert =\vert x-y\vert&lt;/math&gt;


===(4) Darstellung von Bewegungen mit Translationen und orthogonalen Transformationen===


''Behauptung'': 

Jede Bewegung &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; lässt sich in der Form &lt;math&gt;F=T_b\circ f&lt;/math&gt; schreiben, wobei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine Translation und &lt;math&gt;f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist. 

''Beweis'':

Ist etwa &lt;math&gt;F(0)=b&lt;/math&gt;, so ist &lt;math&gt;f:=T_{-b}\circ F&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation, denn:

&lt;math&gt;f(0)=(T_{-b}\circ F)(0)=T_{-b}(f(0))=T_{-b}(b)=b+(-b)=0&lt;/math&gt;

Mit (2) und (3) folgt hieraus, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist.

Es folgt dann weiter:

&lt;math&gt;T_b\circ f=T_b\circ (T_{-b}\circ F)=(T_b\circ T_{-b})\circ F= id_{\mathbb{R}^n}\circ F=F&lt;/math&gt;.

Die Behauptung folgt.


===(5) Linearität orthogonaler Transformationen===


Bemerkung: Dies ist der mit Abstand schwierigste Satz, der für die Lösung gebraucht wird.


''Behauptung'':

Jede orthogonale Transformation &lt;math&gt;A:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ist linear.


''Beweis'':


(i)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;x,y&gt;=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x+y\vert^2= &lt;x+y,x+y&gt;= &lt;x,x&gt; +2&lt;x,y&gt;+&lt;y,y&gt;=\vert x\vert^2 +\vert y\vert^2 +2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2=2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\vert x\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x\vert=\vert x-0\vert= \vert A(x)-A(0)\vert=\vert A(x)-0\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;


(iii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;A(x),A(y)&gt;=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;. In der Tat:

Für &lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt; ist das trivial. Sei also &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; voraussgesetzt.

&lt;math&gt; \vert x-(-x)\vert^2 = \vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow \vert 2x\vert^2 =\vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow 4\vert x\vert^2 = \vert A(x)\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert A(-x)\vert^2 =_{(ii)}\vert x\vert^2- &lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert -x\vert^2 = 2\vert x\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow 2\vert x\vert^2 = -2&lt;A(x),A(y)&gt; &lt;/math&gt;

Andererseits gilt mit (ii):

&lt;math&gt;2\vert x\vert^2 = 2\vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Hieraus folgt:

&lt;math&gt;\vert &lt;A(x),A(-x)&gt; \vert = \vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Das bedeutet, dass in der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung Gleichheit gilt. Daher folgt:

&lt;math&gt; \exists \lambda\in\mathbb{R}:A(-x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;, ist &lt;math&gt;x\not=-x&lt;/math&gt; und damit &lt;math&gt;\vert x-(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt; und folglich &lt;math&gt;\vert A(x)-A(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt;. Hieraus folgt aber: &lt;math&gt;A(x)\not=A(-x)&lt;/math&gt;. Da allerdings wegen (ii) andererseits auch gilt, dass &lt;math&gt;\vert A(-x)\vert =\vert -x\vert = \vert x\vert =\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, folgt schon: &lt;math&gt;\lambda=-1&lt;/math&gt;. Es gilt also:

&lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n: A(-x)=-A(x)&lt;/math&gt; (*)

Mit (i) und (ii) folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),A(y)&gt; = \frac{1}{2}(\vert A(x)+ A(y)\vert^2 -\vert A(x)\vert^2 -\vert A(y)\vert^2)=_{(*)}\frac{1}{2}(\vert A(x)-A(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x-(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2 = &lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;.


(iv) 

''Erster Teil der Linearität'': &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)= \lambda A(x)&lt;/math&gt;

Mit (iii) folgt unmittelbar:

&lt;math&gt; \vert &lt;A(\lambda x), A(x)&gt;\vert =\vert &lt;\lambda x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert &lt;x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert x\vert^2 = \vert \lambda x\vert \vert x\vert = \vert A(\lambda x)\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;.

In der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung gilt also abermals Gleichheit und es folgt:

&lt;math&gt;\exists\mu\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\mu A(x)&lt;/math&gt;

Hieraus folgt wegen &lt;math&gt; \vert A(\lambda x)\vert =\vert \lambda x\vert =\vert \lambda \vert \vert x\vert= \vert \lambda\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, dass &lt;math&gt;\vert\lambda\vert=\vert\mu\vert &lt;/math&gt;.

Dabei entfällt der Fall &lt;math&gt;\lambda=-\mu&lt;/math&gt;, da dann insbsondere für &lt;math&gt;\lambda=1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; mit (iii) folgen würde, dass &lt;math&gt;A(x)=-A(x)=A(-x)\Rightarrow x=0&lt;/math&gt; im Widerspruch zu der gerade gemachten Voraussetzung &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;.

Also: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;


(v)

''Zweiter Teil der Linearität'':&lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:A(x+y)=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


Es seien &lt;math&gt;e_1=(1,...,0),...,e_n=(0,...,1)&lt;/math&gt; die Einheitsvektoren im &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; und ferner sei &lt;math&gt; f_i=A(e_i)&lt;/math&gt;. Für einen beliebigen Vektor &lt;math&gt;x=(x_1,...,x_n)&lt;/math&gt; gilt dann, dass &lt;math&gt;x_i= &lt;x,e_i&gt; &lt;/math&gt;. Es folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),f_i&gt;= &lt;A(x),A(e_i)&gt; = &lt;x,e_i&gt;=x_i&lt;/math&gt;

Das Bild von &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bei der orthogonalen Projektion von &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;\mathbb{R}f_i&lt;/math&gt; ist also der Vektor &lt;math&gt;x_if_i&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt; &lt;f_i,f_j&gt;=&lt;e_i,e_j&gt;=0 &lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i\not=j&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; &lt;e_i,e_j&gt;=1&lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i=j&lt;/math&gt;, bilden die Geraden &lt;math&gt; \mathbb{R}f_1,...,\mathbb{R}f_n&lt;/math&gt; ein anderers kartesisches Koordinatensystem (d.h. die Bilder der Basisvektoren bilden wieder eine Basis des &lt;math&gt; \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;)und die i-te Komponente des Vektors &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bezüglich dieser Basis ist &lt;math&gt;x_i&lt;/math&gt;. Daher folgt:

&lt;math&gt;A(x)=\sum_{i=1}^n x_if_i =\sum_{i=1}^n x_iA(e_i)&lt;/math&gt;

Diese Formel ist linear in den Koeffizienten &lt;math&gt; x_i &lt;/math&gt;, so dass folgt:

&lt;math&gt; A(x+y)=\sum_{i=1}^n (x_i+y_i)f_i=\sum_{i=1}^n x_if_i + \sum_{i=1}^n y_if_i=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


===(6) Lineare Abbildungen im Körper der reelen Zahlen===


Man betrachte zunächst die Menge &lt;math&gt;\mathcal{A}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x+y)=f(x)+f(y)\}&lt;/math&gt;

(i)

 Es gilt &lt;math&gt;f(0)=0&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;f(1)=f(1+0)=f(1)+f(0)\Rightarrow f(0)=0&lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(-x)=-f(x)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)\Rightarrow -f(x)=f(-x)&lt;/math&gt;


(iii)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}_0:f(n)=f(1)n&lt;/math&gt;.

Beweis durch vollständige Induktion:

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0)=0=f(1)\cdot 0&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f(n+1)=f(n)+f(1)=_{Ind.Vor.}f(1)n+f(1)=f(1)(n+1)&lt;/math&gt;


(iv)

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb(Z):f(z)=f(1)z&lt;/math&gt;.

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}_0^+&lt;/math&gt; ist das klar laut (iii).

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}^-&lt;/math&gt; gilt: &lt;math&gt;\exists n\in\mathbb{N}:z=-n&lt;/math&gt;. Mit (ii) und (iii) folgt dann: &lt;math&gt;f(z)=f(-n)=-f(n)=-f(1)n=f(1)(-n)=f(1)z&lt;/math&gt;


(v)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}:\forall x\in\mathbb{R}:f(nx)=nf(x)&lt;/math&gt;

Beweis durch vollständige Induktion

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; beliebig.

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0\cdot x)=f(0)=0=0\cdot f(x)&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f((n+1)x)=f(nx+x)=f(nx)+f(x)=_{Ind.Vor.}nf(x)+f(x)=(n+1)f(x)&lt;/math&gt;


(vi)

Genauso wie in (iv) folgert man nun aus (v):

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb{Z}:\forall x\in\mathbb{R}:f(zx)=zf(x)&lt;/math&gt;


(vii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{Q}:f(x)=f(1)x&lt;/math&gt;

Sei also &lt;math&gt;q\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; beliebig, dann folgt:

&lt;math&gt; f\left(\frac{1}{q}\right)=f\left(1+\left(-\frac{q-1}{q}\right)\right)=f(1)+f\left(-\frac{q-1}{q}\right)=_{(ii)}f(1)-f\left(\frac{q-1}{q}\right)=_{(v)}f(1)-(q-1)f\left(\frac{1}{q}\right)&lt;/math&gt;

Also: &lt;math&gt;f\left(\frac{1}{q}\right)=f(1)-(q-1)f\left(\frac{1}{q}\right)\Leftrightarrow f\left(\frac{1}{q}\right)=\frac{1}{q}f(1)&lt;/math&gt;.

Hieraus folgt mit (vi) leicht die Behauptung.


(viii)

&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ist abstandserhaltend dann und nur dann, wenn &lt;math&gt;\vert f(1)\vert=1&lt;/math&gt;:

Seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{Q}&lt;/math&gt; beliebig mit &lt;math&gt;x\not=y&lt;/math&gt;, dann gilt:

&lt;math&gt;\vert f(x)-f(y)\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)x-f(1)y\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)\vert \vert x-y\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow \vert f(1)\vert =1&lt;/math&gt;

Gemäß (1) ist &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dann stetig auf &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; und damit gilt auch: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(x)=f(1)x&lt;/math&gt;, denn:

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}&lt;/math&gt; beliebig. Dann gibt es gewiss eine Folge &lt;math&gt;(x)_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; von ausschließlich rationalen Zahlen mit der Eigenschaft: &lt;math&gt;\lim_{n\to\infty}x_n =x&lt;/math&gt;. Mit der Stetigkeit von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; folgt dann mit entsprechenden Grenzwertrechenregeln:

&lt;math&gt;f(x)=f(\lim_{n\to\infty}x_n)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lim_{n\to\infty}f(1)x_n=f(1)\lim_{n\to\infty}x_n=f(1)x&lt;/math&gt;.


(ix)

Wegen (5) gilt &lt;math&gt;\mathcal{B}:=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;eine\;orthogonale\;Transformation\}\subseteq\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;linear\}\subseteq\mathcal{A}&lt;/math&gt;. Hieraus folgt wegen (viii), dass &lt;math&gt;\mathcal{B}\subseteq\mathcal{C}:=\{f\in\mathcal{A}\vert\; \vert f(1)\vert =1\}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x)=ax\;(\vert a\vert =1)\}&lt;/math&gt;. Da aber &lt;math&gt;\forall f\in\mathcal{A}:f(0)=0&lt;/math&gt; gilt, folgt schon, dass &lt;math&gt;\mathcal{B}=\mathcal{C}&lt;/math&gt;.

===(7) Symmetriegruppe von Z===


Wegen (4) und (6)(ix) folgt:

&lt;math&gt;\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert=1;\;b\in\mathbb{R})\}&lt;/math&gt;.

Hier muss man nun lediglich noch die Bewegungen finden, für die &lt;math&gt;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}&lt;/math&gt; gilt. Das ist jedoch ein mehr als simples Problem und man sieht schnell ein:

&lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert =1;\;b\in\mathbb{Z})\}&lt;/math&gt;.</text>
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    <comment>/* (6) Lineare Abbildungen im Körper der reelen Zahlen */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="12982" xml:space="preserve">==Klärung von für die Aufgabenstellung wichtigen Begriffen==

Ehe man zur eigentlichen Aufgabenstellungen schreitet, empfiehlt es sich drei Begriffe vorab zu klären, da diese in der Fachliteratur unter verschiedenen Namen geführt werden.

'''Bewegung''': Eine Bewegung ist eine Abbildung &lt;math&gt;F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die Abstände respektiert, d.h. es gilt &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:\left|F(x)-F(y)\right|=\left|x-y\right|&lt;/math&gt;.

'''orthogonale Transformation''': Dies ist eine Bewegung, die den Ursprung fest lässt, d.h. es gilt: &lt;math&gt;F(0)=0&lt;/math&gt;.

'''Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;''': Unter der Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; versteht man die Menge &lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(M)=M\}&lt;/math&gt;, also die Menge aller Bewegungen des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; in sich selbst überführen.

==Aufgabenstellung==

Man bestimme die Symmetriegruppe &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


==Tipp==

Man beachte zunächst, dass &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; eine ''diskrete'' Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; ist. Man fertige eine Zeichnung an, die dies veranschaulicht: Die Elemente von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; sind salopp gesagt Perlen einer Perlenkette und die Kette selbst ist &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;. Anhand dieser Zeichnung ermittele man alle Symmetrien von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; und versuche diese mit Hilfe von Abbildungen &lt;math&gt;F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}&lt;/math&gt; zu beschreiben. Dann bleibt nur noch zu zeigen, dass dies in der Tat alle Symmetrien sind.


==Lösung==

Die Lösung ist nicht ganz einfach und muss in mehreren Etappen erkämpft werden.


===(1) Stetigkeit von Bewegungen===


''Behauptung'': 

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{Q}^n\rightarrow\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung. Dann ist &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; stetig.

''Beweis'':

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{Q}^n\rightarrow\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung und &lt;math&gt;x\in\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; ein beliebiger Punkt. Ferner sei &lt;math&gt;\epsilon&gt;0&lt;/math&gt; beliebig vorgegeben.
Dann folgt mit &lt;math&gt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;y\in\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt;, für die &lt;math&gt;\vert y-x\vert&lt;\delta&lt;/math&gt; gilt:

&lt;math&gt;\vert F(y)-F(x)\vert=\vert y-x\vert&lt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt;, was die Stetigkeit liefert.


===(2) Komposition von Bewegungen===


''Behauptung'':

Seien &lt;math&gt;F,G:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; Bewegungen. Dann ist auch &lt;math&gt;F\circ G&lt;/math&gt; eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig. Dann gilt:

&lt;math&gt;\vert (F\circ G)(x)-(F\circ G)(y)\vert = \vert F(G(x))-F(G(y))\vert =\vert G(x)-G(y)\vert=\vert x-y\vert &lt;/math&gt;


===(3) Translationen===


''Behauptung'':

Es sei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n;\;x\mapsto x+b\;(b\in\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; eine Translation. Dann gilt: &lt;math&gt;T_b&lt;/math&gt; ist eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig.

&lt;math&gt;\vert T_b(x)-T_b(y)\vert =\vert (x+b)-(y+b)\vert =\vert x+b-y-b\vert =\vert x-y\vert&lt;/math&gt;


===(4) Darstellung von Bewegungen mit Translationen und orthogonalen Transformationen===


''Behauptung'': 

Jede Bewegung &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; lässt sich in der Form &lt;math&gt;F=T_b\circ f&lt;/math&gt; schreiben, wobei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine Translation und &lt;math&gt;f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist. 

''Beweis'':

Ist etwa &lt;math&gt;F(0)=b&lt;/math&gt;, so ist &lt;math&gt;f:=T_{-b}\circ F&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation, denn:

&lt;math&gt;f(0)=(T_{-b}\circ F)(0)=T_{-b}(f(0))=T_{-b}(b)=b+(-b)=0&lt;/math&gt;

Mit (2) und (3) folgt hieraus, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist.

Es folgt dann weiter:

&lt;math&gt;T_b\circ f=T_b\circ (T_{-b}\circ F)=(T_b\circ T_{-b})\circ F= id_{\mathbb{R}^n}\circ F=F&lt;/math&gt;.

Die Behauptung folgt.


===(5) Linearität orthogonaler Transformationen===


Bemerkung: Dies ist der mit Abstand schwierigste Satz, der für die Lösung gebraucht wird.


''Behauptung'':

Jede orthogonale Transformation &lt;math&gt;A:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ist linear.


''Beweis'':


(i)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;x,y&gt;=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x+y\vert^2= &lt;x+y,x+y&gt;= &lt;x,x&gt; +2&lt;x,y&gt;+&lt;y,y&gt;=\vert x\vert^2 +\vert y\vert^2 +2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2=2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\vert x\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x\vert=\vert x-0\vert= \vert A(x)-A(0)\vert=\vert A(x)-0\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;


(iii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;A(x),A(y)&gt;=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;. In der Tat:

Für &lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt; ist das trivial. Sei also &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; voraussgesetzt.

&lt;math&gt; \vert x-(-x)\vert^2 = \vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow \vert 2x\vert^2 =\vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow 4\vert x\vert^2 = \vert A(x)\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert A(-x)\vert^2 =_{(ii)}\vert x\vert^2- &lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert -x\vert^2 = 2\vert x\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow 2\vert x\vert^2 = -2&lt;A(x),A(y)&gt; &lt;/math&gt;

Andererseits gilt mit (ii):

&lt;math&gt;2\vert x\vert^2 = 2\vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Hieraus folgt:

&lt;math&gt;\vert &lt;A(x),A(-x)&gt; \vert = \vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Das bedeutet, dass in der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung Gleichheit gilt. Daher folgt:

&lt;math&gt; \exists \lambda\in\mathbb{R}:A(-x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;, ist &lt;math&gt;x\not=-x&lt;/math&gt; und damit &lt;math&gt;\vert x-(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt; und folglich &lt;math&gt;\vert A(x)-A(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt;. Hieraus folgt aber: &lt;math&gt;A(x)\not=A(-x)&lt;/math&gt;. Da allerdings wegen (ii) andererseits auch gilt, dass &lt;math&gt;\vert A(-x)\vert =\vert -x\vert = \vert x\vert =\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, folgt schon: &lt;math&gt;\lambda=-1&lt;/math&gt;. Es gilt also:

&lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n: A(-x)=-A(x)&lt;/math&gt; (*)

Mit (i) und (ii) folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),A(y)&gt; = \frac{1}{2}(\vert A(x)+ A(y)\vert^2 -\vert A(x)\vert^2 -\vert A(y)\vert^2)=_{(*)}\frac{1}{2}(\vert A(x)-A(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x-(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2 = &lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;.


(iv) 

''Erster Teil der Linearität'': &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)= \lambda A(x)&lt;/math&gt;

Mit (iii) folgt unmittelbar:

&lt;math&gt; \vert &lt;A(\lambda x), A(x)&gt;\vert =\vert &lt;\lambda x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert &lt;x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert x\vert^2 = \vert \lambda x\vert \vert x\vert = \vert A(\lambda x)\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;.

In der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung gilt also abermals Gleichheit und es folgt:

&lt;math&gt;\exists\mu\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\mu A(x)&lt;/math&gt;

Hieraus folgt wegen &lt;math&gt; \vert A(\lambda x)\vert =\vert \lambda x\vert =\vert \lambda \vert \vert x\vert= \vert \lambda\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, dass &lt;math&gt;\vert\lambda\vert=\vert\mu\vert &lt;/math&gt;.

Dabei entfällt der Fall &lt;math&gt;\lambda=-\mu&lt;/math&gt;, da dann insbsondere für &lt;math&gt;\lambda=1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; mit (iii) folgen würde, dass &lt;math&gt;A(x)=-A(x)=A(-x)\Rightarrow x=0&lt;/math&gt; im Widerspruch zu der gerade gemachten Voraussetzung &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;.

Also: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;


(v)

''Zweiter Teil der Linearität'':&lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:A(x+y)=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


Es seien &lt;math&gt;e_1=(1,...,0),...,e_n=(0,...,1)&lt;/math&gt; die Einheitsvektoren im &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; und ferner sei &lt;math&gt; f_i=A(e_i)&lt;/math&gt;. Für einen beliebigen Vektor &lt;math&gt;x=(x_1,...,x_n)&lt;/math&gt; gilt dann, dass &lt;math&gt;x_i= &lt;x,e_i&gt; &lt;/math&gt;. Es folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),f_i&gt;= &lt;A(x),A(e_i)&gt; = &lt;x,e_i&gt;=x_i&lt;/math&gt;

Das Bild von &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bei der orthogonalen Projektion von &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;\mathbb{R}f_i&lt;/math&gt; ist also der Vektor &lt;math&gt;x_if_i&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt; &lt;f_i,f_j&gt;=&lt;e_i,e_j&gt;=0 &lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i\not=j&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; &lt;e_i,e_j&gt;=1&lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i=j&lt;/math&gt;, bilden die Geraden &lt;math&gt; \mathbb{R}f_1,...,\mathbb{R}f_n&lt;/math&gt; ein anderers kartesisches Koordinatensystem (d.h. die Bilder der Basisvektoren bilden wieder eine Basis des &lt;math&gt; \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;)und die i-te Komponente des Vektors &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bezüglich dieser Basis ist &lt;math&gt;x_i&lt;/math&gt;. Daher folgt:

&lt;math&gt;A(x)=\sum_{i=1}^n x_if_i =\sum_{i=1}^n x_iA(e_i)&lt;/math&gt;

Diese Formel ist linear in den Koeffizienten &lt;math&gt; x_i &lt;/math&gt;, so dass folgt:

&lt;math&gt; A(x+y)=\sum_{i=1}^n (x_i+y_i)f_i=\sum_{i=1}^n x_if_i + \sum_{i=1}^n y_if_i=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


===(6) Lineare Abbildungen im Körper der reelen Zahlen===


Man betrachte zunächst die Menge &lt;math&gt;\mathcal{A}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x+y)=f(x)+f(y)\}&lt;/math&gt;

(i)

 Es gilt &lt;math&gt;f(0)=0&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;f(1)=f(1+0)=f(1)+f(0)\Rightarrow f(0)=0&lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(-x)=-f(x)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)\Rightarrow -f(x)=f(-x)&lt;/math&gt;


(iii)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}_0:f(n)=f(1)n&lt;/math&gt;.

Beweis durch vollständige Induktion:

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0)=0=f(1)\cdot 0&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f(n+1)=f(n)+f(1)=_{Ind.Vor.}f(1)n+f(1)=f(1)(n+1)&lt;/math&gt;


(iv)

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb(Z):f(z)=f(1)z&lt;/math&gt;.

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}_0^+&lt;/math&gt; ist das klar laut (iii).

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}^-&lt;/math&gt; gilt: &lt;math&gt;\exists n\in\mathbb{N}:z=-n&lt;/math&gt;. Mit (ii) und (iii) folgt dann: &lt;math&gt;f(z)=f(-n)=-f(n)=-f(1)n=f(1)(-n)=f(1)z&lt;/math&gt;


(v)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}:\forall x\in\mathbb{R}:f(nx)=nf(x)&lt;/math&gt;

Beweis durch vollständige Induktion

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; beliebig.

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0\cdot x)=f(0)=0=0\cdot f(x)&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f((n+1)x)=f(nx+x)=f(nx)+f(x)=_{Ind.Vor.}nf(x)+f(x)=(n+1)f(x)&lt;/math&gt;


(vi)

Genauso wie in (iv) folgert man nun aus (v):

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb{Z}:\forall x\in\mathbb{R}:f(zx)=zf(x)&lt;/math&gt;


(vii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{Q}:f(x)=f(1)x&lt;/math&gt;

Sei also &lt;math&gt;q\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; beliebig, dann folgt:

&lt;math&gt; f\left(\frac{1}{q}\right)=f\left(1+\left(-\frac{q-1}{q}\right)\right)=f(1)+f\left(-\frac{q-1}{q}\right)=_{(ii)}f(1)-f\left(\frac{q-1}{q}\right)=_{(v)}f(1)-(q-1)f\left(\frac{1}{q}\right)&lt;/math&gt;

Also: &lt;math&gt;f\left(\frac{1}{q}\right)=f(1)-(q-1)f\left(\frac{1}{q}\right)\Leftrightarrow f\left(\frac{1}{q}\right)=\frac{1}{q}f(1)&lt;/math&gt;.

Hieraus folgt mit (vi) und (iv) leicht die Behauptung.


(viii)

&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ist abstandserhaltend dann und nur dann, wenn &lt;math&gt;\vert f(1)\vert=1&lt;/math&gt;:

Seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{Q}&lt;/math&gt; beliebig mit &lt;math&gt;x\not=y&lt;/math&gt;, dann gilt:

&lt;math&gt;\vert f(x)-f(y)\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)x-f(1)y\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)\vert \vert x-y\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow \vert f(1)\vert =1&lt;/math&gt;

Gemäß (1) ist &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; dann stetig auf &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; und damit gilt auch: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(x)=f(1)x&lt;/math&gt;, denn:

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}&lt;/math&gt; beliebig. Dann gibt es gewiss eine Folge &lt;math&gt;(x)_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; von ausschließlich rationalen Zahlen mit der Eigenschaft: &lt;math&gt;\lim_{n\to\infty}x_n =x&lt;/math&gt;. Mit der Stetigkeit von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; folgt dann mit entsprechenden Grenzwertrechenregeln:

&lt;math&gt;f(x)=f(\lim_{n\to\infty}x_n)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lim_{n\to\infty}f(1)x_n=f(1)\lim_{n\to\infty}x_n=f(1)x&lt;/math&gt;.


(ix)

Wegen (5) gilt &lt;math&gt;\mathcal{B}:=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;eine\;orthogonale\;Transformation\}\subseteq\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;linear\}\subseteq\mathcal{A}&lt;/math&gt;. Hieraus folgt wegen (viii), dass &lt;math&gt;\mathcal{B}\subseteq\mathcal{C}:=\{f\in\mathcal{A}\vert\; \vert f(1)\vert =1\}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x)=ax\;(\vert a\vert =1)\}&lt;/math&gt;. Da aber &lt;math&gt;\forall f\in\mathcal{A}:f(0)=0&lt;/math&gt; gilt, folgt schon, dass &lt;math&gt;\mathcal{B}=\mathcal{C}&lt;/math&gt;.

===(7) Symmetriegruppe von Z===


Wegen (4) und (6)(ix) folgt:

&lt;math&gt;\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert=1;\;b\in\mathbb{R})\}&lt;/math&gt;.

Hier muss man nun lediglich noch die Bewegungen finden, für die &lt;math&gt;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}&lt;/math&gt; gilt. Das ist jedoch ein mehr als simples Problem und man sieht schnell ein:

&lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert =1;\;b\in\mathbb{Z})\}&lt;/math&gt;.</text>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="13705" xml:space="preserve">==Klärung von für die Aufgabenstellung wichtigen Begriffen==

Ehe man zur eigentlichen Aufgabenstellungen schreitet, empfiehlt es sich drei Begriffe vorab zu klären, da diese in der Fachliteratur unter verschiedenen Namen geführt werden.

'''Bewegung''': Eine Bewegung ist eine Abbildung &lt;math&gt;F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die Abstände respektiert, d.h. es gilt &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:\left|F(x)-F(y)\right|=\left|x-y\right|&lt;/math&gt;.

'''orthogonale Transformation''': Dies ist eine Bewegung, die den Ursprung fest lässt, d.h. es gilt: &lt;math&gt;F(0)=0&lt;/math&gt;.

'''Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;''': Unter der Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; versteht man die Menge &lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(M)=M\}&lt;/math&gt;, also die Menge aller Bewegungen des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; in sich selbst überführen.

==Aufgabenstellung==

Man bestimme die Symmetriegruppe &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


==Tipp==

Man beachte zunächst, dass &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; eine ''diskrete'' Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; ist. Man fertige eine Zeichnung an, die dies veranschaulicht: Die Elemente von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; sind salopp gesagt Perlen einer Perlenkette und die Kette selbst ist &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;. Anhand dieser Zeichnung ermittele man alle Symmetrien von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; und versuche diese mit Hilfe von Abbildungen &lt;math&gt;F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}&lt;/math&gt; zu beschreiben. Dann bleibt nur noch zu zeigen, dass dies in der Tat alle Symmetrien sind.


==Lösung==

Die Lösung ist nicht ganz einfach und muss in mehreren Etappen erkämpft werden.


===(1) Stetigkeit von Bewegungen===


''Behauptung'': 

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{Q}^n\rightarrow\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung. Dann ist &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; stetig.

''Beweis'':

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{Q}^n\rightarrow\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung und &lt;math&gt;x\in\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; ein beliebiger Punkt. Ferner sei &lt;math&gt;\epsilon&gt;0&lt;/math&gt; beliebig vorgegeben.
Dann folgt mit &lt;math&gt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;y\in\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt;, für die &lt;math&gt;\vert y-x\vert&lt;\delta&lt;/math&gt; gilt:

&lt;math&gt;\vert F(y)-F(x)\vert=\vert y-x\vert&lt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt;, was die Stetigkeit liefert.


===(2) Komposition von Bewegungen===


''Behauptung'':

Seien &lt;math&gt;F,G:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; Bewegungen. Dann ist auch &lt;math&gt;F\circ G&lt;/math&gt; eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig. Dann gilt:

&lt;math&gt;\vert (F\circ G)(x)-(F\circ G)(y)\vert = \vert F(G(x))-F(G(y))\vert =\vert G(x)-G(y)\vert=\vert x-y\vert &lt;/math&gt;


===(3) Translationen===


''Behauptung'':

Es sei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n;\;x\mapsto x+b\;(b\in\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; eine Translation. Dann gilt: &lt;math&gt;T_b&lt;/math&gt; ist eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig.

&lt;math&gt;\vert T_b(x)-T_b(y)\vert =\vert (x+b)-(y+b)\vert =\vert x+b-y-b\vert =\vert x-y\vert&lt;/math&gt;


===(4) Darstellung von Bewegungen mit Translationen und orthogonalen Transformationen===


''Behauptung'': 

Jede Bewegung &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; lässt sich in der Form &lt;math&gt;F=T_b\circ f&lt;/math&gt; schreiben, wobei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine Translation und &lt;math&gt;f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist. 

''Beweis'':

Ist etwa &lt;math&gt;F(0)=b&lt;/math&gt;, so ist &lt;math&gt;f:=T_{-b}\circ F&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation, denn:

&lt;math&gt;f(0)=(T_{-b}\circ F)(0)=T_{-b}(f(0))=T_{-b}(b)=b+(-b)=0&lt;/math&gt;

Mit (2) und (3) folgt hieraus, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist.

Es folgt dann weiter:

&lt;math&gt;T_b\circ f=T_b\circ (T_{-b}\circ F)=(T_b\circ T_{-b})\circ F= id_{\mathbb{R}^n}\circ F=F&lt;/math&gt;.

Die Behauptung folgt.


===(5) Linearität orthogonaler Transformationen===


Bemerkung: Dies ist der mit Abstand schwierigste Satz, der für die Lösung gebraucht wird.


''Behauptung'':

Jede orthogonale Transformation &lt;math&gt;A:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ist linear.


''Beweis'':


(i)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;x,y&gt;=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x+y\vert^2= &lt;x+y,x+y&gt;= &lt;x,x&gt; +2&lt;x,y&gt;+&lt;y,y&gt;=\vert x\vert^2 +\vert y\vert^2 +2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2=2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\vert x\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x\vert=\vert x-0\vert= \vert A(x)-A(0)\vert=\vert A(x)-0\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;


(iii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;A(x),A(y)&gt;=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;. In der Tat:

Für &lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt; ist das trivial. Sei also &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; voraussgesetzt.

&lt;math&gt; \vert x-(-x)\vert^2 = \vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow \vert 2x\vert^2 =\vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow 4\vert x\vert^2 = \vert A(x)\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert A(-x)\vert^2 =_{(ii)}\vert x\vert^2- &lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert -x\vert^2 = 2\vert x\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow 2\vert x\vert^2 = -2&lt;A(x),A(y)&gt; &lt;/math&gt;

Andererseits gilt mit (ii):

&lt;math&gt;2\vert x\vert^2 = 2\vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Hieraus folgt:

&lt;math&gt;\vert &lt;A(x),A(-x)&gt; \vert = \vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Das bedeutet, dass in der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung Gleichheit gilt. Daher folgt:

&lt;math&gt; \exists \lambda\in\mathbb{R}:A(-x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;, ist &lt;math&gt;x\not=-x&lt;/math&gt; und damit &lt;math&gt;\vert x-(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt; und folglich &lt;math&gt;\vert A(x)-A(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt;. Hieraus folgt aber: &lt;math&gt;A(x)\not=A(-x)&lt;/math&gt;. Da allerdings wegen (ii) andererseits auch gilt, dass &lt;math&gt;\vert A(-x)\vert =\vert -x\vert = \vert x\vert =\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, folgt schon: &lt;math&gt;\lambda=-1&lt;/math&gt;. Es gilt also:

&lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n: A(-x)=-A(x)&lt;/math&gt; (*)

Mit (i) und (ii) folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),A(y)&gt; = \frac{1}{2}(\vert A(x)+ A(y)\vert^2 -\vert A(x)\vert^2 -\vert A(y)\vert^2)=_{(*)}\frac{1}{2}(\vert A(x)-A(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x-(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2 = &lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;.


(iv) 

''Erster Teil der Linearität'': &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)= \lambda A(x)&lt;/math&gt;

Mit (iii) folgt unmittelbar:

&lt;math&gt; \vert &lt;A(\lambda x), A(x)&gt;\vert =\vert &lt;\lambda x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert &lt;x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert x\vert^2 = \vert \lambda x\vert \vert x\vert = \vert A(\lambda x)\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;.

In der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung gilt also abermals Gleichheit und es folgt:

&lt;math&gt;\exists\mu\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\mu A(x)&lt;/math&gt;

Hieraus folgt wegen &lt;math&gt; \vert A(\lambda x)\vert =\vert \lambda x\vert =\vert \lambda \vert \vert x\vert= \vert \lambda\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, dass &lt;math&gt;\vert\lambda\vert=\vert\mu\vert &lt;/math&gt;.

Dabei entfällt der Fall &lt;math&gt;\lambda=-\mu&lt;/math&gt;, da dann insbsondere für &lt;math&gt;\lambda=1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; mit (iii) folgen würde, dass &lt;math&gt;A(x)=-A(x)=A(-x)\Rightarrow x=0&lt;/math&gt; im Widerspruch zu der gerade gemachten Voraussetzung &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;.

Also: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;


(v)

''Zweiter Teil der Linearität'':&lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:A(x+y)=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


Es seien &lt;math&gt;e_1=(1,...,0),...,e_n=(0,...,1)&lt;/math&gt; die Einheitsvektoren im &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; und ferner sei &lt;math&gt; f_i=A(e_i)&lt;/math&gt;. Für einen beliebigen Vektor &lt;math&gt;x=(x_1,...,x_n)&lt;/math&gt; gilt dann, dass &lt;math&gt;x_i= &lt;x,e_i&gt; &lt;/math&gt;. Es folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),f_i&gt;= &lt;A(x),A(e_i)&gt; = &lt;x,e_i&gt;=x_i&lt;/math&gt;

Das Bild von &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bei der orthogonalen Projektion von &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;\mathbb{R}f_i&lt;/math&gt; ist also der Vektor &lt;math&gt;x_if_i&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt; &lt;f_i,f_j&gt;=&lt;e_i,e_j&gt;=0 &lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i\not=j&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; &lt;e_i,e_j&gt;=1&lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i=j&lt;/math&gt;, bilden die Geraden &lt;math&gt; \mathbb{R}f_1,...,\mathbb{R}f_n&lt;/math&gt; ein anderers kartesisches Koordinatensystem (d.h. die Bilder der Basisvektoren bilden wieder eine Basis des &lt;math&gt; \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;)und die i-te Komponente des Vektors &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bezüglich dieser Basis ist &lt;math&gt;x_i&lt;/math&gt;. Daher folgt:

&lt;math&gt;A(x)=\sum_{i=1}^n x_if_i =\sum_{i=1}^n x_iA(e_i)&lt;/math&gt;

Diese Formel ist linear in den Koeffizienten &lt;math&gt; x_i &lt;/math&gt;, so dass folgt:

&lt;math&gt; A(x+y)=\sum_{i=1}^n (x_i+y_i)f_i=\sum_{i=1}^n x_if_i + \sum_{i=1}^n y_if_i=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


===(6) Lineare Abbildungen im Körper der reelen Zahlen===


Man betrachte zunächst die Menge &lt;math&gt;\mathcal{A}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x+y)=f(x)+f(y)\}&lt;/math&gt;

(i)

 Es gilt &lt;math&gt;f(0)=0&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;f(1)=f(1+0)=f(1)+f(0)\Rightarrow f(0)=0&lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(-x)=-f(x)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)\Rightarrow -f(x)=f(-x)&lt;/math&gt;


(iii)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}_0:f(n)=f(1)n&lt;/math&gt;.

Beweis durch vollständige Induktion:

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0)=0=f(1)\cdot 0&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f(n+1)=f(n)+f(1)=_{Ind.Vor.}f(1)n+f(1)=f(1)(n+1)&lt;/math&gt;


(iv)

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb(Z):f(z)=f(1)z&lt;/math&gt;.

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}_0^+&lt;/math&gt; ist das klar laut (iii).

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}^-&lt;/math&gt; gilt: &lt;math&gt;\exists n\in\mathbb{N}:z=-n&lt;/math&gt;. Mit (ii) und (iii) folgt dann: &lt;math&gt;f(z)=f(-n)=-f(n)=-f(1)n=f(1)(-n)=f(1)z&lt;/math&gt;


(v)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}:\forall x\in\mathbb{R}:f(nx)=nf(x)&lt;/math&gt;

Beweis durch vollständige Induktion

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; beliebig.

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0\cdot x)=f(0)=0=0\cdot f(x)&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f((n+1)x)=f(nx+x)=f(nx)+f(x)=_{Ind.Vor.}nf(x)+f(x)=(n+1)f(x)&lt;/math&gt;


(vi)

Genauso wie in (iv) folgert man nun aus (v):

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb{Z}:\forall x\in\mathbb{R}:f(zx)=zf(x)&lt;/math&gt;


(vii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{Q}:f(x)=f(1)x&lt;/math&gt;

Sei also &lt;math&gt;q\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; beliebig, dann folgt:

&lt;math&gt; f\left(\frac{1}{q}\right)=f\left(1+\left(-\frac{q-1}{q}\right)\right)=f(1)+f\left(-\frac{q-1}{q}\right)=_{(ii)}f(1)-f\left(\frac{q-1}{q}\right)=_{(v)}f(1)-(q-1)f\left(\frac{1}{q}\right)&lt;/math&gt;

Also: &lt;math&gt;f\left(\frac{1}{q}\right)=f(1)-(q-1)f\left(\frac{1}{q}\right)\Leftrightarrow f\left(\frac{1}{q}\right)=\frac{1}{q}f(1)&lt;/math&gt;.

Hieraus folgt mit (vi) und (iv) leicht die Behauptung.


(viii)

Man betrachte nun folgende Mengen:

wie oben:&lt;math&gt;\mathcal{A}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x+y)=f(x)+f(y)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\mathcal{B}:=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;eine\;orthogonale\;Transformation\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\mathcal{C}:=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;linear\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\mathcal{C}(f,\mathbb{R}):=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;stetig\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\mathcal{A}_1:=\{f\in\mathcal{A}\vert f\;ist\;stetig\}&lt;/math&gt;


Wegen (1) und wegen (5) gilt:

&lt;math&gt;\mathcal{B}\subseteq\mathcal{C}\subseteq\mathcal{A}\land\mathcal{B}\subseteq\mathcal{C}(f,\mathbb{R})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow\mathcal{B}\subseteq\mathcal{A}_1&lt;/math&gt;

Im Folgenden sei darum zusätzlich vorausgesetzt, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; stetig ist auf &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;.


(ix)

&lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(x)=f(1)x &lt;/math&gt;, denn:

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}&lt;/math&gt; beliebig. Dann gibt es gewiss eine Folge &lt;math&gt;(x)_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; von ausschließlich rationalen Zahlen mit der Eigenschaft: &lt;math&gt;\lim_{n\to\infty}x_n =x&lt;/math&gt;. Mit der Stetigkeit von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; folgt dann mit entsprechenden Grenzwertrechenregeln:

&lt;math&gt;f(x)=f(\lim_{n\to\infty}x_n)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lim_{n\to\infty}f(1)x_n=f(1)\lim_{n\to\infty}x_n=f(1)x&lt;/math&gt;.

Mit (vii) folgt die Behauptung.


(x)

&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ist abstandserhaltend dann und nur dann, wenn &lt;math&gt;\vert f(1)\vert=1&lt;/math&gt;:

Seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; beliebig mit &lt;math&gt;x\not=y&lt;/math&gt;, dann gilt:

&lt;math&gt;\vert f(x)-f(y)\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)x-f(1)y\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)\vert \vert x-y\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow \vert f(1)\vert =1&lt;/math&gt;


(xi)

Mit den Bezeichnungen aus (viii) und mit der Festlegung 

&lt;math&gt;\mathcal{D}:=\{f\in\mathcal{A}\vert\;\vert f(1)\vert =1\}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x)=ax\;(\vert a\vert=1)\}&lt;/math&gt;

gilt:

Wegen (5) gilt &lt;math&gt;\mathcal{B}\subseteq\mathcal{C}\subseteq\mathcal{A}&lt;/math&gt;. Hieraus folgt wegen (x), dass &lt;math&gt;\mathcal{B}\subseteq\mathcal{D}&lt;/math&gt;. Da aber &lt;math&gt;\forall f\in\mathcal{A}:f(0)=0&lt;/math&gt; gilt, folgt schon, dass &lt;math&gt;\mathcal{B}=\mathcal{D}&lt;/math&gt;.

===(7) Symmetriegruppe von Z===


Wegen (4) und (6)(ix) folgt:

&lt;math&gt;\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert=1;\;b\in\mathbb{R})\}&lt;/math&gt;.

Hier muss man nun lediglich noch die Bewegungen finden, für die &lt;math&gt;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}&lt;/math&gt; gilt. Das ist jedoch ein mehr als simples Problem und man sieht schnell ein:

&lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert =1;\;b\in\mathbb{Z})\}&lt;/math&gt;.</text>
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    <contributor>
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    </contributor>
    <comment>/* (7) Symmetriegruppe von Z */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="13705" xml:space="preserve">==Klärung von für die Aufgabenstellung wichtigen Begriffen==

Ehe man zur eigentlichen Aufgabenstellungen schreitet, empfiehlt es sich drei Begriffe vorab zu klären, da diese in der Fachliteratur unter verschiedenen Namen geführt werden.

'''Bewegung''': Eine Bewegung ist eine Abbildung &lt;math&gt;F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die Abstände respektiert, d.h. es gilt &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:\left|F(x)-F(y)\right|=\left|x-y\right|&lt;/math&gt;.

'''orthogonale Transformation''': Dies ist eine Bewegung, die den Ursprung fest lässt, d.h. es gilt: &lt;math&gt;F(0)=0&lt;/math&gt;.

'''Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;''': Unter der Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; versteht man die Menge &lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(M)=M\}&lt;/math&gt;, also die Menge aller Bewegungen des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; in sich selbst überführen.

==Aufgabenstellung==

Man bestimme die Symmetriegruppe &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


==Tipp==

Man beachte zunächst, dass &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; eine ''diskrete'' Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; ist. Man fertige eine Zeichnung an, die dies veranschaulicht: Die Elemente von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; sind salopp gesagt Perlen einer Perlenkette und die Kette selbst ist &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;. Anhand dieser Zeichnung ermittele man alle Symmetrien von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; und versuche diese mit Hilfe von Abbildungen &lt;math&gt;F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}&lt;/math&gt; zu beschreiben. Dann bleibt nur noch zu zeigen, dass dies in der Tat alle Symmetrien sind.


==Lösung==

Die Lösung ist nicht ganz einfach und muss in mehreren Etappen erkämpft werden.


===(1) Stetigkeit von Bewegungen===


''Behauptung'': 

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{Q}^n\rightarrow\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung. Dann ist &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; stetig.

''Beweis'':

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{Q}^n\rightarrow\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung und &lt;math&gt;x\in\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt; ein beliebiger Punkt. Ferner sei &lt;math&gt;\epsilon&gt;0&lt;/math&gt; beliebig vorgegeben.
Dann folgt mit &lt;math&gt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;y\in\mathbb{Q}^n&lt;/math&gt;, für die &lt;math&gt;\vert y-x\vert&lt;\delta&lt;/math&gt; gilt:

&lt;math&gt;\vert F(y)-F(x)\vert=\vert y-x\vert&lt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt;, was die Stetigkeit liefert.


===(2) Komposition von Bewegungen===


''Behauptung'':

Seien &lt;math&gt;F,G:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; Bewegungen. Dann ist auch &lt;math&gt;F\circ G&lt;/math&gt; eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig. Dann gilt:

&lt;math&gt;\vert (F\circ G)(x)-(F\circ G)(y)\vert = \vert F(G(x))-F(G(y))\vert =\vert G(x)-G(y)\vert=\vert x-y\vert &lt;/math&gt;


===(3) Translationen===


''Behauptung'':

Es sei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n;\;x\mapsto x+b\;(b\in\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; eine Translation. Dann gilt: &lt;math&gt;T_b&lt;/math&gt; ist eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig.

&lt;math&gt;\vert T_b(x)-T_b(y)\vert =\vert (x+b)-(y+b)\vert =\vert x+b-y-b\vert =\vert x-y\vert&lt;/math&gt;


===(4) Darstellung von Bewegungen mit Translationen und orthogonalen Transformationen===


''Behauptung'': 

Jede Bewegung &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; lässt sich in der Form &lt;math&gt;F=T_b\circ f&lt;/math&gt; schreiben, wobei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine Translation und &lt;math&gt;f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist. 

''Beweis'':

Ist etwa &lt;math&gt;F(0)=b&lt;/math&gt;, so ist &lt;math&gt;f:=T_{-b}\circ F&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation, denn:

&lt;math&gt;f(0)=(T_{-b}\circ F)(0)=T_{-b}(f(0))=T_{-b}(b)=b+(-b)=0&lt;/math&gt;

Mit (2) und (3) folgt hieraus, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist.

Es folgt dann weiter:

&lt;math&gt;T_b\circ f=T_b\circ (T_{-b}\circ F)=(T_b\circ T_{-b})\circ F= id_{\mathbb{R}^n}\circ F=F&lt;/math&gt;.

Die Behauptung folgt.


===(5) Linearität orthogonaler Transformationen===


Bemerkung: Dies ist der mit Abstand schwierigste Satz, der für die Lösung gebraucht wird.


''Behauptung'':

Jede orthogonale Transformation &lt;math&gt;A:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ist linear.


''Beweis'':


(i)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;x,y&gt;=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x+y\vert^2= &lt;x+y,x+y&gt;= &lt;x,x&gt; +2&lt;x,y&gt;+&lt;y,y&gt;=\vert x\vert^2 +\vert y\vert^2 +2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2=2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\vert x\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x\vert=\vert x-0\vert= \vert A(x)-A(0)\vert=\vert A(x)-0\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;


(iii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;A(x),A(y)&gt;=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;. In der Tat:

Für &lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt; ist das trivial. Sei also &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; voraussgesetzt.

&lt;math&gt; \vert x-(-x)\vert^2 = \vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow \vert 2x\vert^2 =\vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow 4\vert x\vert^2 = \vert A(x)\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert A(-x)\vert^2 =_{(ii)}\vert x\vert^2- &lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert -x\vert^2 = 2\vert x\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow 2\vert x\vert^2 = -2&lt;A(x),A(y)&gt; &lt;/math&gt;

Andererseits gilt mit (ii):

&lt;math&gt;2\vert x\vert^2 = 2\vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Hieraus folgt:

&lt;math&gt;\vert &lt;A(x),A(-x)&gt; \vert = \vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Das bedeutet, dass in der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung Gleichheit gilt. Daher folgt:

&lt;math&gt; \exists \lambda\in\mathbb{R}:A(-x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;, ist &lt;math&gt;x\not=-x&lt;/math&gt; und damit &lt;math&gt;\vert x-(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt; und folglich &lt;math&gt;\vert A(x)-A(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt;. Hieraus folgt aber: &lt;math&gt;A(x)\not=A(-x)&lt;/math&gt;. Da allerdings wegen (ii) andererseits auch gilt, dass &lt;math&gt;\vert A(-x)\vert =\vert -x\vert = \vert x\vert =\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, folgt schon: &lt;math&gt;\lambda=-1&lt;/math&gt;. Es gilt also:

&lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n: A(-x)=-A(x)&lt;/math&gt; (*)

Mit (i) und (ii) folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),A(y)&gt; = \frac{1}{2}(\vert A(x)+ A(y)\vert^2 -\vert A(x)\vert^2 -\vert A(y)\vert^2)=_{(*)}\frac{1}{2}(\vert A(x)-A(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x-(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2 = &lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;.


(iv) 

''Erster Teil der Linearität'': &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)= \lambda A(x)&lt;/math&gt;

Mit (iii) folgt unmittelbar:

&lt;math&gt; \vert &lt;A(\lambda x), A(x)&gt;\vert =\vert &lt;\lambda x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert &lt;x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert x\vert^2 = \vert \lambda x\vert \vert x\vert = \vert A(\lambda x)\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;.

In der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung gilt also abermals Gleichheit und es folgt:

&lt;math&gt;\exists\mu\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\mu A(x)&lt;/math&gt;

Hieraus folgt wegen &lt;math&gt; \vert A(\lambda x)\vert =\vert \lambda x\vert =\vert \lambda \vert \vert x\vert= \vert \lambda\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, dass &lt;math&gt;\vert\lambda\vert=\vert\mu\vert &lt;/math&gt;.

Dabei entfällt der Fall &lt;math&gt;\lambda=-\mu&lt;/math&gt;, da dann insbsondere für &lt;math&gt;\lambda=1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; mit (iii) folgen würde, dass &lt;math&gt;A(x)=-A(x)=A(-x)\Rightarrow x=0&lt;/math&gt; im Widerspruch zu der gerade gemachten Voraussetzung &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;.

Also: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;


(v)

''Zweiter Teil der Linearität'':&lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:A(x+y)=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


Es seien &lt;math&gt;e_1=(1,...,0),...,e_n=(0,...,1)&lt;/math&gt; die Einheitsvektoren im &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; und ferner sei &lt;math&gt; f_i=A(e_i)&lt;/math&gt;. Für einen beliebigen Vektor &lt;math&gt;x=(x_1,...,x_n)&lt;/math&gt; gilt dann, dass &lt;math&gt;x_i= &lt;x,e_i&gt; &lt;/math&gt;. Es folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),f_i&gt;= &lt;A(x),A(e_i)&gt; = &lt;x,e_i&gt;=x_i&lt;/math&gt;

Das Bild von &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bei der orthogonalen Projektion von &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;\mathbb{R}f_i&lt;/math&gt; ist also der Vektor &lt;math&gt;x_if_i&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt; &lt;f_i,f_j&gt;=&lt;e_i,e_j&gt;=0 &lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i\not=j&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; &lt;e_i,e_j&gt;=1&lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i=j&lt;/math&gt;, bilden die Geraden &lt;math&gt; \mathbb{R}f_1,...,\mathbb{R}f_n&lt;/math&gt; ein anderers kartesisches Koordinatensystem (d.h. die Bilder der Basisvektoren bilden wieder eine Basis des &lt;math&gt; \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;)und die i-te Komponente des Vektors &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bezüglich dieser Basis ist &lt;math&gt;x_i&lt;/math&gt;. Daher folgt:

&lt;math&gt;A(x)=\sum_{i=1}^n x_if_i =\sum_{i=1}^n x_iA(e_i)&lt;/math&gt;

Diese Formel ist linear in den Koeffizienten &lt;math&gt; x_i &lt;/math&gt;, so dass folgt:

&lt;math&gt; A(x+y)=\sum_{i=1}^n (x_i+y_i)f_i=\sum_{i=1}^n x_if_i + \sum_{i=1}^n y_if_i=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


===(6) Lineare Abbildungen im Körper der reelen Zahlen===


Man betrachte zunächst die Menge &lt;math&gt;\mathcal{A}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x+y)=f(x)+f(y)\}&lt;/math&gt;

(i)

 Es gilt &lt;math&gt;f(0)=0&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;f(1)=f(1+0)=f(1)+f(0)\Rightarrow f(0)=0&lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(-x)=-f(x)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)\Rightarrow -f(x)=f(-x)&lt;/math&gt;


(iii)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}_0:f(n)=f(1)n&lt;/math&gt;.

Beweis durch vollständige Induktion:

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0)=0=f(1)\cdot 0&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f(n+1)=f(n)+f(1)=_{Ind.Vor.}f(1)n+f(1)=f(1)(n+1)&lt;/math&gt;


(iv)

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb(Z):f(z)=f(1)z&lt;/math&gt;.

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}_0^+&lt;/math&gt; ist das klar laut (iii).

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}^-&lt;/math&gt; gilt: &lt;math&gt;\exists n\in\mathbb{N}:z=-n&lt;/math&gt;. Mit (ii) und (iii) folgt dann: &lt;math&gt;f(z)=f(-n)=-f(n)=-f(1)n=f(1)(-n)=f(1)z&lt;/math&gt;


(v)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}:\forall x\in\mathbb{R}:f(nx)=nf(x)&lt;/math&gt;

Beweis durch vollständige Induktion

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; beliebig.

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0\cdot x)=f(0)=0=0\cdot f(x)&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f((n+1)x)=f(nx+x)=f(nx)+f(x)=_{Ind.Vor.}nf(x)+f(x)=(n+1)f(x)&lt;/math&gt;


(vi)

Genauso wie in (iv) folgert man nun aus (v):

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb{Z}:\forall x\in\mathbb{R}:f(zx)=zf(x)&lt;/math&gt;


(vii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{Q}:f(x)=f(1)x&lt;/math&gt;

Sei also &lt;math&gt;q\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; beliebig, dann folgt:

&lt;math&gt; f\left(\frac{1}{q}\right)=f\left(1+\left(-\frac{q-1}{q}\right)\right)=f(1)+f\left(-\frac{q-1}{q}\right)=_{(ii)}f(1)-f\left(\frac{q-1}{q}\right)=_{(v)}f(1)-(q-1)f\left(\frac{1}{q}\right)&lt;/math&gt;

Also: &lt;math&gt;f\left(\frac{1}{q}\right)=f(1)-(q-1)f\left(\frac{1}{q}\right)\Leftrightarrow f\left(\frac{1}{q}\right)=\frac{1}{q}f(1)&lt;/math&gt;.

Hieraus folgt mit (vi) und (iv) leicht die Behauptung.


(viii)

Man betrachte nun folgende Mengen:

wie oben:&lt;math&gt;\mathcal{A}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x+y)=f(x)+f(y)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\mathcal{B}:=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;eine\;orthogonale\;Transformation\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\mathcal{C}:=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;linear\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\mathcal{C}(f,\mathbb{R}):=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;stetig\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\mathcal{A}_1:=\{f\in\mathcal{A}\vert f\;ist\;stetig\}&lt;/math&gt;


Wegen (1) und wegen (5) gilt:

&lt;math&gt;\mathcal{B}\subseteq\mathcal{C}\subseteq\mathcal{A}\land\mathcal{B}\subseteq\mathcal{C}(f,\mathbb{R})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow\mathcal{B}\subseteq\mathcal{A}_1&lt;/math&gt;

Im Folgenden sei darum zusätzlich vorausgesetzt, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; stetig ist auf &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;.


(ix)

&lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(x)=f(1)x &lt;/math&gt;, denn:

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}&lt;/math&gt; beliebig. Dann gibt es gewiss eine Folge &lt;math&gt;(x)_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; von ausschließlich rationalen Zahlen mit der Eigenschaft: &lt;math&gt;\lim_{n\to\infty}x_n =x&lt;/math&gt;. Mit der Stetigkeit von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; folgt dann mit entsprechenden Grenzwertrechenregeln:

&lt;math&gt;f(x)=f(\lim_{n\to\infty}x_n)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lim_{n\to\infty}f(1)x_n=f(1)\lim_{n\to\infty}x_n=f(1)x&lt;/math&gt;.

Mit (vii) folgt die Behauptung.


(x)

&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ist abstandserhaltend dann und nur dann, wenn &lt;math&gt;\vert f(1)\vert=1&lt;/math&gt;:

Seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; beliebig mit &lt;math&gt;x\not=y&lt;/math&gt;, dann gilt:

&lt;math&gt;\vert f(x)-f(y)\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)x-f(1)y\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)\vert \vert x-y\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow \vert f(1)\vert =1&lt;/math&gt;


(xi)

Mit den Bezeichnungen aus (viii) und mit der Festlegung 

&lt;math&gt;\mathcal{D}:=\{f\in\mathcal{A}\vert\;\vert f(1)\vert =1\}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x)=ax\;(\vert a\vert=1)\}&lt;/math&gt;

gilt:

Wegen (5) gilt &lt;math&gt;\mathcal{B}\subseteq\mathcal{C}\subseteq\mathcal{A}&lt;/math&gt;. Hieraus folgt wegen (x), dass &lt;math&gt;\mathcal{B}\subseteq\mathcal{D}&lt;/math&gt;. Da aber &lt;math&gt;\forall f\in\mathcal{A}:f(0)=0&lt;/math&gt; gilt, folgt schon, dass &lt;math&gt;\mathcal{B}=\mathcal{D}&lt;/math&gt;.

===(7) Symmetriegruppe von Z===


Wegen (4) und (6)(xi) folgt:

&lt;math&gt;\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert=1;\;b\in\mathbb{R})\}&lt;/math&gt;.

Hier muss man nun lediglich noch die Bewegungen finden, für die &lt;math&gt;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}&lt;/math&gt; gilt. Das ist jedoch ein mehr als simples Problem und man sieht schnell ein:

&lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert =1;\;b\in\mathbb{Z})\}&lt;/math&gt;.</text>
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    </contributor>
    <comment>/* (1) Stetigkeit von Bewegungen */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="13703" xml:space="preserve">==Klärung von für die Aufgabenstellung wichtigen Begriffen==

Ehe man zur eigentlichen Aufgabenstellungen schreitet, empfiehlt es sich drei Begriffe vorab zu klären, da diese in der Fachliteratur unter verschiedenen Namen geführt werden.

'''Bewegung''': Eine Bewegung ist eine Abbildung &lt;math&gt;F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die Abstände respektiert, d.h. es gilt &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:\left|F(x)-F(y)\right|=\left|x-y\right|&lt;/math&gt;.

'''orthogonale Transformation''': Dies ist eine Bewegung, die den Ursprung fest lässt, d.h. es gilt: &lt;math&gt;F(0)=0&lt;/math&gt;.

'''Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;''': Unter der Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; versteht man die Menge &lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(M)=M\}&lt;/math&gt;, also die Menge aller Bewegungen des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; in sich selbst überführen.

==Aufgabenstellung==

Man bestimme die Symmetriegruppe &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


==Tipp==

Man beachte zunächst, dass &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; eine ''diskrete'' Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; ist. Man fertige eine Zeichnung an, die dies veranschaulicht: Die Elemente von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; sind salopp gesagt Perlen einer Perlenkette und die Kette selbst ist &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;. Anhand dieser Zeichnung ermittele man alle Symmetrien von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; und versuche diese mit Hilfe von Abbildungen &lt;math&gt;F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}&lt;/math&gt; zu beschreiben. Dann bleibt nur noch zu zeigen, dass dies in der Tat alle Symmetrien sind.


==Lösung==

Die Lösung ist nicht ganz einfach und muss in mehreren Etappen erkämpft werden.


===(1) Stetigkeit von Bewegungen===


''Behauptung'': 

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung. Dann ist &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; stetig.

''Beweis'':

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung und &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ein beliebiger Punkt. Ferner sei &lt;math&gt;\epsilon&gt;0&lt;/math&gt; beliebig vorgegeben.
Dann folgt mit &lt;math&gt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, für die &lt;math&gt;\vert y-x\vert&lt;\delta&lt;/math&gt; gilt:

&lt;math&gt;\vert F(y)-F(x)\vert=\vert y-x\vert&lt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt;, was die Stetigkeit liefert.

===(2) Komposition von Bewegungen===


''Behauptung'':

Seien &lt;math&gt;F,G:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; Bewegungen. Dann ist auch &lt;math&gt;F\circ G&lt;/math&gt; eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig. Dann gilt:

&lt;math&gt;\vert (F\circ G)(x)-(F\circ G)(y)\vert = \vert F(G(x))-F(G(y))\vert =\vert G(x)-G(y)\vert=\vert x-y\vert &lt;/math&gt;


===(3) Translationen===


''Behauptung'':

Es sei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n;\;x\mapsto x+b\;(b\in\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; eine Translation. Dann gilt: &lt;math&gt;T_b&lt;/math&gt; ist eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig.

&lt;math&gt;\vert T_b(x)-T_b(y)\vert =\vert (x+b)-(y+b)\vert =\vert x+b-y-b\vert =\vert x-y\vert&lt;/math&gt;


===(4) Darstellung von Bewegungen mit Translationen und orthogonalen Transformationen===


''Behauptung'': 

Jede Bewegung &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; lässt sich in der Form &lt;math&gt;F=T_b\circ f&lt;/math&gt; schreiben, wobei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine Translation und &lt;math&gt;f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist. 

''Beweis'':

Ist etwa &lt;math&gt;F(0)=b&lt;/math&gt;, so ist &lt;math&gt;f:=T_{-b}\circ F&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation, denn:

&lt;math&gt;f(0)=(T_{-b}\circ F)(0)=T_{-b}(f(0))=T_{-b}(b)=b+(-b)=0&lt;/math&gt;

Mit (2) und (3) folgt hieraus, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist.

Es folgt dann weiter:

&lt;math&gt;T_b\circ f=T_b\circ (T_{-b}\circ F)=(T_b\circ T_{-b})\circ F= id_{\mathbb{R}^n}\circ F=F&lt;/math&gt;.

Die Behauptung folgt.


===(5) Linearität orthogonaler Transformationen===


Bemerkung: Dies ist der mit Abstand schwierigste Satz, der für die Lösung gebraucht wird.


''Behauptung'':

Jede orthogonale Transformation &lt;math&gt;A:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ist linear.


''Beweis'':


(i)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;x,y&gt;=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x+y\vert^2= &lt;x+y,x+y&gt;= &lt;x,x&gt; +2&lt;x,y&gt;+&lt;y,y&gt;=\vert x\vert^2 +\vert y\vert^2 +2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2=2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\vert x\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x\vert=\vert x-0\vert= \vert A(x)-A(0)\vert=\vert A(x)-0\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;


(iii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;A(x),A(y)&gt;=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;. In der Tat:

Für &lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt; ist das trivial. Sei also &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; voraussgesetzt.

&lt;math&gt; \vert x-(-x)\vert^2 = \vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow \vert 2x\vert^2 =\vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow 4\vert x\vert^2 = \vert A(x)\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert A(-x)\vert^2 =_{(ii)}\vert x\vert^2- &lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert -x\vert^2 = 2\vert x\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow 2\vert x\vert^2 = -2&lt;A(x),A(y)&gt; &lt;/math&gt;

Andererseits gilt mit (ii):

&lt;math&gt;2\vert x\vert^2 = 2\vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Hieraus folgt:

&lt;math&gt;\vert &lt;A(x),A(-x)&gt; \vert = \vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Das bedeutet, dass in der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung Gleichheit gilt. Daher folgt:

&lt;math&gt; \exists \lambda\in\mathbb{R}:A(-x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;, ist &lt;math&gt;x\not=-x&lt;/math&gt; und damit &lt;math&gt;\vert x-(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt; und folglich &lt;math&gt;\vert A(x)-A(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt;. Hieraus folgt aber: &lt;math&gt;A(x)\not=A(-x)&lt;/math&gt;. Da allerdings wegen (ii) andererseits auch gilt, dass &lt;math&gt;\vert A(-x)\vert =\vert -x\vert = \vert x\vert =\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, folgt schon: &lt;math&gt;\lambda=-1&lt;/math&gt;. Es gilt also:

&lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n: A(-x)=-A(x)&lt;/math&gt; (*)

Mit (i) und (ii) folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),A(y)&gt; = \frac{1}{2}(\vert A(x)+ A(y)\vert^2 -\vert A(x)\vert^2 -\vert A(y)\vert^2)=_{(*)}\frac{1}{2}(\vert A(x)-A(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x-(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2 = &lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;.


(iv) 

''Erster Teil der Linearität'': &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)= \lambda A(x)&lt;/math&gt;

Mit (iii) folgt unmittelbar:

&lt;math&gt; \vert &lt;A(\lambda x), A(x)&gt;\vert =\vert &lt;\lambda x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert &lt;x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert x\vert^2 = \vert \lambda x\vert \vert x\vert = \vert A(\lambda x)\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;.

In der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung gilt also abermals Gleichheit und es folgt:

&lt;math&gt;\exists\mu\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\mu A(x)&lt;/math&gt;

Hieraus folgt wegen &lt;math&gt; \vert A(\lambda x)\vert =\vert \lambda x\vert =\vert \lambda \vert \vert x\vert= \vert \lambda\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, dass &lt;math&gt;\vert\lambda\vert=\vert\mu\vert &lt;/math&gt;.

Dabei entfällt der Fall &lt;math&gt;\lambda=-\mu&lt;/math&gt;, da dann insbsondere für &lt;math&gt;\lambda=1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; mit (iii) folgen würde, dass &lt;math&gt;A(x)=-A(x)=A(-x)\Rightarrow x=0&lt;/math&gt; im Widerspruch zu der gerade gemachten Voraussetzung &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;.

Also: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;


(v)

''Zweiter Teil der Linearität'':&lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:A(x+y)=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


Es seien &lt;math&gt;e_1=(1,...,0),...,e_n=(0,...,1)&lt;/math&gt; die Einheitsvektoren im &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; und ferner sei &lt;math&gt; f_i=A(e_i)&lt;/math&gt;. Für einen beliebigen Vektor &lt;math&gt;x=(x_1,...,x_n)&lt;/math&gt; gilt dann, dass &lt;math&gt;x_i= &lt;x,e_i&gt; &lt;/math&gt;. Es folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),f_i&gt;= &lt;A(x),A(e_i)&gt; = &lt;x,e_i&gt;=x_i&lt;/math&gt;

Das Bild von &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bei der orthogonalen Projektion von &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;\mathbb{R}f_i&lt;/math&gt; ist also der Vektor &lt;math&gt;x_if_i&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt; &lt;f_i,f_j&gt;=&lt;e_i,e_j&gt;=0 &lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i\not=j&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; &lt;e_i,e_j&gt;=1&lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i=j&lt;/math&gt;, bilden die Geraden &lt;math&gt; \mathbb{R}f_1,...,\mathbb{R}f_n&lt;/math&gt; ein anderers kartesisches Koordinatensystem (d.h. die Bilder der Basisvektoren bilden wieder eine Basis des &lt;math&gt; \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;)und die i-te Komponente des Vektors &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bezüglich dieser Basis ist &lt;math&gt;x_i&lt;/math&gt;. Daher folgt:

&lt;math&gt;A(x)=\sum_{i=1}^n x_if_i =\sum_{i=1}^n x_iA(e_i)&lt;/math&gt;

Diese Formel ist linear in den Koeffizienten &lt;math&gt; x_i &lt;/math&gt;, so dass folgt:

&lt;math&gt; A(x+y)=\sum_{i=1}^n (x_i+y_i)f_i=\sum_{i=1}^n x_if_i + \sum_{i=1}^n y_if_i=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


===(6) Lineare Abbildungen im Körper der reelen Zahlen===


Man betrachte zunächst die Menge &lt;math&gt;\mathcal{A}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x+y)=f(x)+f(y)\}&lt;/math&gt;

(i)

 Es gilt &lt;math&gt;f(0)=0&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;f(1)=f(1+0)=f(1)+f(0)\Rightarrow f(0)=0&lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(-x)=-f(x)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)\Rightarrow -f(x)=f(-x)&lt;/math&gt;


(iii)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}_0:f(n)=f(1)n&lt;/math&gt;.

Beweis durch vollständige Induktion:

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0)=0=f(1)\cdot 0&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f(n+1)=f(n)+f(1)=_{Ind.Vor.}f(1)n+f(1)=f(1)(n+1)&lt;/math&gt;


(iv)

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb(Z):f(z)=f(1)z&lt;/math&gt;.

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}_0^+&lt;/math&gt; ist das klar laut (iii).

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}^-&lt;/math&gt; gilt: &lt;math&gt;\exists n\in\mathbb{N}:z=-n&lt;/math&gt;. Mit (ii) und (iii) folgt dann: &lt;math&gt;f(z)=f(-n)=-f(n)=-f(1)n=f(1)(-n)=f(1)z&lt;/math&gt;


(v)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}:\forall x\in\mathbb{R}:f(nx)=nf(x)&lt;/math&gt;

Beweis durch vollständige Induktion

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; beliebig.

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0\cdot x)=f(0)=0=0\cdot f(x)&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f((n+1)x)=f(nx+x)=f(nx)+f(x)=_{Ind.Vor.}nf(x)+f(x)=(n+1)f(x)&lt;/math&gt;


(vi)

Genauso wie in (iv) folgert man nun aus (v):

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb{Z}:\forall x\in\mathbb{R}:f(zx)=zf(x)&lt;/math&gt;


(vii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{Q}:f(x)=f(1)x&lt;/math&gt;

Sei also &lt;math&gt;q\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; beliebig, dann folgt:

&lt;math&gt; f\left(\frac{1}{q}\right)=f\left(1+\left(-\frac{q-1}{q}\right)\right)=f(1)+f\left(-\frac{q-1}{q}\right)=_{(ii)}f(1)-f\left(\frac{q-1}{q}\right)=_{(v)}f(1)-(q-1)f\left(\frac{1}{q}\right)&lt;/math&gt;

Also: &lt;math&gt;f\left(\frac{1}{q}\right)=f(1)-(q-1)f\left(\frac{1}{q}\right)\Leftrightarrow f\left(\frac{1}{q}\right)=\frac{1}{q}f(1)&lt;/math&gt;.

Hieraus folgt mit (vi) und (iv) leicht die Behauptung.


(viii)

Man betrachte nun folgende Mengen:

wie oben:&lt;math&gt;\mathcal{A}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x+y)=f(x)+f(y)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\mathcal{B}:=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;eine\;orthogonale\;Transformation\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\mathcal{C}:=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;linear\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\mathcal{C}(f,\mathbb{R}):=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;stetig\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\mathcal{A}_1:=\{f\in\mathcal{A}\vert f\;ist\;stetig\}&lt;/math&gt;


Wegen (1) und wegen (5) gilt:

&lt;math&gt;\mathcal{B}\subseteq\mathcal{C}\subseteq\mathcal{A}\land\mathcal{B}\subseteq\mathcal{C}(f,\mathbb{R})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow\mathcal{B}\subseteq\mathcal{A}_1&lt;/math&gt;

Im Folgenden sei darum zusätzlich vorausgesetzt, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; stetig ist auf &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;.


(ix)

&lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(x)=f(1)x &lt;/math&gt;, denn:

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}&lt;/math&gt; beliebig. Dann gibt es gewiss eine Folge &lt;math&gt;(x)_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; von ausschließlich rationalen Zahlen mit der Eigenschaft: &lt;math&gt;\lim_{n\to\infty}x_n =x&lt;/math&gt;. Mit der Stetigkeit von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; folgt dann mit entsprechenden Grenzwertrechenregeln:

&lt;math&gt;f(x)=f(\lim_{n\to\infty}x_n)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lim_{n\to\infty}f(1)x_n=f(1)\lim_{n\to\infty}x_n=f(1)x&lt;/math&gt;.

Mit (vii) folgt die Behauptung.


(x)

&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ist abstandserhaltend dann und nur dann, wenn &lt;math&gt;\vert f(1)\vert=1&lt;/math&gt;:

Seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; beliebig mit &lt;math&gt;x\not=y&lt;/math&gt;, dann gilt:

&lt;math&gt;\vert f(x)-f(y)\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)x-f(1)y\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)\vert \vert x-y\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow \vert f(1)\vert =1&lt;/math&gt;


(xi)

Mit den Bezeichnungen aus (viii) und mit der Festlegung 

&lt;math&gt;\mathcal{D}:=\{f\in\mathcal{A}\vert\;\vert f(1)\vert =1\}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x)=ax\;(\vert a\vert=1)\}&lt;/math&gt;

gilt:

Wegen (5) gilt &lt;math&gt;\mathcal{B}\subseteq\mathcal{C}\subseteq\mathcal{A}&lt;/math&gt;. Hieraus folgt wegen (x), dass &lt;math&gt;\mathcal{B}\subseteq\mathcal{D}&lt;/math&gt;. Da aber &lt;math&gt;\forall f\in\mathcal{A}:f(0)=0&lt;/math&gt; gilt, folgt schon, dass &lt;math&gt;\mathcal{B}=\mathcal{D}&lt;/math&gt;.

===(7) Symmetriegruppe von Z===


Wegen (4) und (6)(xi) folgt:

&lt;math&gt;\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert=1;\;b\in\mathbb{R})\}&lt;/math&gt;.

Hier muss man nun lediglich noch die Bewegungen finden, für die &lt;math&gt;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}&lt;/math&gt; gilt. Das ist jedoch ein mehr als simples Problem und man sieht schnell ein:

&lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert =1;\;b\in\mathbb{Z})\}&lt;/math&gt;.</text>
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    <timestamp>2006-03-06T10:00:48Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>84.165.200.27</username>
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    <comment>/* (6) Lineare Abbildungen im Körper der reelen Zahlen */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="13752" xml:space="preserve">==Klärung von für die Aufgabenstellung wichtigen Begriffen==

Ehe man zur eigentlichen Aufgabenstellungen schreitet, empfiehlt es sich drei Begriffe vorab zu klären, da diese in der Fachliteratur unter verschiedenen Namen geführt werden.

'''Bewegung''': Eine Bewegung ist eine Abbildung &lt;math&gt;F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die Abstände respektiert, d.h. es gilt &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:\left|F(x)-F(y)\right|=\left|x-y\right|&lt;/math&gt;.

'''orthogonale Transformation''': Dies ist eine Bewegung, die den Ursprung fest lässt, d.h. es gilt: &lt;math&gt;F(0)=0&lt;/math&gt;.

'''Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;''': Unter der Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; versteht man die Menge &lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(M)=M\}&lt;/math&gt;, also die Menge aller Bewegungen des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; in sich selbst überführen.

==Aufgabenstellung==

Man bestimme die Symmetriegruppe &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


==Tipp==

Man beachte zunächst, dass &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; eine ''diskrete'' Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; ist. Man fertige eine Zeichnung an, die dies veranschaulicht: Die Elemente von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; sind salopp gesagt Perlen einer Perlenkette und die Kette selbst ist &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;. Anhand dieser Zeichnung ermittele man alle Symmetrien von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; und versuche diese mit Hilfe von Abbildungen &lt;math&gt;F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}&lt;/math&gt; zu beschreiben. Dann bleibt nur noch zu zeigen, dass dies in der Tat alle Symmetrien sind.


==Lösung==

Die Lösung ist nicht ganz einfach und muss in mehreren Etappen erkämpft werden.


===(1) Stetigkeit von Bewegungen===


''Behauptung'': 

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung. Dann ist &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; stetig.

''Beweis'':

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung und &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ein beliebiger Punkt. Ferner sei &lt;math&gt;\epsilon&gt;0&lt;/math&gt; beliebig vorgegeben.
Dann folgt mit &lt;math&gt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, für die &lt;math&gt;\vert y-x\vert&lt;\delta&lt;/math&gt; gilt:

&lt;math&gt;\vert F(y)-F(x)\vert=\vert y-x\vert&lt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt;, was die Stetigkeit liefert.

===(2) Komposition von Bewegungen===


''Behauptung'':

Seien &lt;math&gt;F,G:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; Bewegungen. Dann ist auch &lt;math&gt;F\circ G&lt;/math&gt; eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig. Dann gilt:

&lt;math&gt;\vert (F\circ G)(x)-(F\circ G)(y)\vert = \vert F(G(x))-F(G(y))\vert =\vert G(x)-G(y)\vert=\vert x-y\vert &lt;/math&gt;


===(3) Translationen===


''Behauptung'':

Es sei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n;\;x\mapsto x+b\;(b\in\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; eine Translation. Dann gilt: &lt;math&gt;T_b&lt;/math&gt; ist eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig.

&lt;math&gt;\vert T_b(x)-T_b(y)\vert =\vert (x+b)-(y+b)\vert =\vert x+b-y-b\vert =\vert x-y\vert&lt;/math&gt;


===(4) Darstellung von Bewegungen mit Translationen und orthogonalen Transformationen===


''Behauptung'': 

Jede Bewegung &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; lässt sich in der Form &lt;math&gt;F=T_b\circ f&lt;/math&gt; schreiben, wobei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine Translation und &lt;math&gt;f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist. 

''Beweis'':

Ist etwa &lt;math&gt;F(0)=b&lt;/math&gt;, so ist &lt;math&gt;f:=T_{-b}\circ F&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation, denn:

&lt;math&gt;f(0)=(T_{-b}\circ F)(0)=T_{-b}(f(0))=T_{-b}(b)=b+(-b)=0&lt;/math&gt;

Mit (2) und (3) folgt hieraus, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist.

Es folgt dann weiter:

&lt;math&gt;T_b\circ f=T_b\circ (T_{-b}\circ F)=(T_b\circ T_{-b})\circ F= id_{\mathbb{R}^n}\circ F=F&lt;/math&gt;.

Die Behauptung folgt.


===(5) Linearität orthogonaler Transformationen===


Bemerkung: Dies ist der mit Abstand schwierigste Satz, der für die Lösung gebraucht wird.


''Behauptung'':

Jede orthogonale Transformation &lt;math&gt;A:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ist linear.


''Beweis'':


(i)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;x,y&gt;=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x+y\vert^2= &lt;x+y,x+y&gt;= &lt;x,x&gt; +2&lt;x,y&gt;+&lt;y,y&gt;=\vert x\vert^2 +\vert y\vert^2 +2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2=2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\vert x\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x\vert=\vert x-0\vert= \vert A(x)-A(0)\vert=\vert A(x)-0\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;


(iii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;A(x),A(y)&gt;=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;. In der Tat:

Für &lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt; ist das trivial. Sei also &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; voraussgesetzt.

&lt;math&gt; \vert x-(-x)\vert^2 = \vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow \vert 2x\vert^2 =\vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow 4\vert x\vert^2 = \vert A(x)\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert A(-x)\vert^2 =_{(ii)}\vert x\vert^2- &lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert -x\vert^2 = 2\vert x\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow 2\vert x\vert^2 = -2&lt;A(x),A(y)&gt; &lt;/math&gt;

Andererseits gilt mit (ii):

&lt;math&gt;2\vert x\vert^2 = 2\vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Hieraus folgt:

&lt;math&gt;\vert &lt;A(x),A(-x)&gt; \vert = \vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Das bedeutet, dass in der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung Gleichheit gilt. Daher folgt:

&lt;math&gt; \exists \lambda\in\mathbb{R}:A(-x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;, ist &lt;math&gt;x\not=-x&lt;/math&gt; und damit &lt;math&gt;\vert x-(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt; und folglich &lt;math&gt;\vert A(x)-A(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt;. Hieraus folgt aber: &lt;math&gt;A(x)\not=A(-x)&lt;/math&gt;. Da allerdings wegen (ii) andererseits auch gilt, dass &lt;math&gt;\vert A(-x)\vert =\vert -x\vert = \vert x\vert =\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, folgt schon: &lt;math&gt;\lambda=-1&lt;/math&gt;. Es gilt also:

&lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n: A(-x)=-A(x)&lt;/math&gt; (*)

Mit (i) und (ii) folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),A(y)&gt; = \frac{1}{2}(\vert A(x)+ A(y)\vert^2 -\vert A(x)\vert^2 -\vert A(y)\vert^2)=_{(*)}\frac{1}{2}(\vert A(x)-A(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x-(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2 = &lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;.


(iv) 

''Erster Teil der Linearität'': &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)= \lambda A(x)&lt;/math&gt;

Mit (iii) folgt unmittelbar:

&lt;math&gt; \vert &lt;A(\lambda x), A(x)&gt;\vert =\vert &lt;\lambda x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert &lt;x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert x\vert^2 = \vert \lambda x\vert \vert x\vert = \vert A(\lambda x)\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;.

In der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung gilt also abermals Gleichheit und es folgt:

&lt;math&gt;\exists\mu\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\mu A(x)&lt;/math&gt;

Hieraus folgt wegen &lt;math&gt; \vert A(\lambda x)\vert =\vert \lambda x\vert =\vert \lambda \vert \vert x\vert= \vert \lambda\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, dass &lt;math&gt;\vert\lambda\vert=\vert\mu\vert &lt;/math&gt;.

Dabei entfällt der Fall &lt;math&gt;\lambda=-\mu&lt;/math&gt;, da dann insbsondere für &lt;math&gt;\lambda=1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; mit (iii) folgen würde, dass &lt;math&gt;A(x)=-A(x)=A(-x)\Rightarrow x=0&lt;/math&gt; im Widerspruch zu der gerade gemachten Voraussetzung &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;.

Also: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;


(v)

''Zweiter Teil der Linearität'':&lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:A(x+y)=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


Es seien &lt;math&gt;e_1=(1,...,0),...,e_n=(0,...,1)&lt;/math&gt; die Einheitsvektoren im &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; und ferner sei &lt;math&gt; f_i=A(e_i)&lt;/math&gt;. Für einen beliebigen Vektor &lt;math&gt;x=(x_1,...,x_n)&lt;/math&gt; gilt dann, dass &lt;math&gt;x_i= &lt;x,e_i&gt; &lt;/math&gt;. Es folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),f_i&gt;= &lt;A(x),A(e_i)&gt; = &lt;x,e_i&gt;=x_i&lt;/math&gt;

Das Bild von &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bei der orthogonalen Projektion von &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;\mathbb{R}f_i&lt;/math&gt; ist also der Vektor &lt;math&gt;x_if_i&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt; &lt;f_i,f_j&gt;=&lt;e_i,e_j&gt;=0 &lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i\not=j&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; &lt;e_i,e_j&gt;=1&lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i=j&lt;/math&gt;, bilden die Geraden &lt;math&gt; \mathbb{R}f_1,...,\mathbb{R}f_n&lt;/math&gt; ein anderers kartesisches Koordinatensystem (d.h. die Bilder der Basisvektoren bilden wieder eine Basis des &lt;math&gt; \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;)und die i-te Komponente des Vektors &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bezüglich dieser Basis ist &lt;math&gt;x_i&lt;/math&gt;. Daher folgt:

&lt;math&gt;A(x)=\sum_{i=1}^n x_if_i =\sum_{i=1}^n x_iA(e_i)&lt;/math&gt;

Diese Formel ist linear in den Koeffizienten &lt;math&gt; x_i &lt;/math&gt;, so dass folgt:

&lt;math&gt; A(x+y)=\sum_{i=1}^n (x_i+y_i)f_i=\sum_{i=1}^n x_if_i + \sum_{i=1}^n y_if_i=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


===(6) Lineare Abbildungen im Körper der reelen Zahlen===


Man betrachte zunächst die Menge &lt;math&gt;\mathcal{A}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x+y)=f(x)+f(y)\}&lt;/math&gt;

(i)

 Es gilt &lt;math&gt;f(0)=0&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;f(1)=f(1+0)=f(1)+f(0)\Rightarrow f(0)=0&lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(-x)=-f(x)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)\Rightarrow -f(x)=f(-x)&lt;/math&gt;


(iii)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}_0:f(n)=f(1)n&lt;/math&gt;.

Beweis durch vollständige Induktion:

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0)=0=f(1)\cdot 0&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f(n+1)=f(n)+f(1)=_{Ind.Vor.}f(1)n+f(1)=f(1)(n+1)&lt;/math&gt;


(iv)

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb(Z):f(z)=f(1)z&lt;/math&gt;.

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}_0^+&lt;/math&gt; ist das klar laut (iii).

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}^-&lt;/math&gt; gilt: &lt;math&gt;\exists n\in\mathbb{N}:z=-n&lt;/math&gt;. Mit (ii) und (iii) folgt dann: &lt;math&gt;f(z)=f(-n)=-f(n)=-f(1)n=f(1)(-n)=f(1)z&lt;/math&gt;


(v)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}:\forall x\in\mathbb{R}:f(nx)=nf(x)&lt;/math&gt;

Beweis durch vollständige Induktion

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; beliebig.

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0\cdot x)=f(0)=0=0\cdot f(x)&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f((n+1)x)=f(nx+x)=f(nx)+f(x)=_{Ind.Vor.}nf(x)+f(x)=(n+1)f(x)&lt;/math&gt;


(vi)

Genauso wie in (iv) folgert man nun aus (v):

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb{Z}:\forall x\in\mathbb{R}:f(zx)=zf(x)&lt;/math&gt;


(vii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{Q}:f(x)=f(1)x&lt;/math&gt;

Sei also &lt;math&gt;q\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; beliebig, dann folgt:

&lt;math&gt; f\left(\frac{1}{q}\right)=f\left(1+\left(-\frac{q-1}{q}\right)\right)=f(1)+f\left(-\frac{q-1}{q}\right)=_{(ii)}f(1)-f\left(\frac{q-1}{q}\right)=_{(v)}f(1)-(q-1)f\left(\frac{1}{q}\right)&lt;/math&gt;

Also: &lt;math&gt;f\left(\frac{1}{q}\right)=f(1)-(q-1)f\left(\frac{1}{q}\right)\Leftrightarrow f\left(\frac{1}{q}\right)=\frac{1}{q}f(1)&lt;/math&gt;.

Hieraus folgt mit (vi) und (iv) leicht die Behauptung.


(viii)

Man betrachte nun folgende Mengen:

wie oben:&lt;math&gt;\mathcal{A}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x+y)=f(x)+f(y)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\mathcal{B}:=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;eine\;orthogonale\;Transformation\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\mathcal{C}:=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;linear\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\mathcal{C}(f,\mathbb{R}):=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;stetig\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\mathcal{A}_1:=\{f\in\mathcal{A}\vert f\;ist\;stetig\}&lt;/math&gt;


Wegen (1) und wegen (5) gilt:

&lt;math&gt;\mathcal{B}\subseteq\mathcal{C}\subseteq\mathcal{A}\land\mathcal{B}\subseteq\mathcal{C}(f,\mathbb{R})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow\mathcal{B}\subseteq\mathcal{A}_1&lt;/math&gt;

Im Folgenden sei darum zusätzlich vorausgesetzt, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; stetig ist auf &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;.


(ix)

&lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(x)=f(1)x &lt;/math&gt;, denn:

Für &lt;math&gt;x\in\mathbb{Q}&lt;/math&gt; ist das klar laut (vii).

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}&lt;/math&gt; beliebig. Dann gibt es gewiss eine Folge &lt;math&gt;(x)_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; von ausschließlich rationalen Zahlen mit der Eigenschaft: &lt;math&gt;\lim_{n\to\infty}x_n =x&lt;/math&gt;. Mit der Stetigkeit von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; folgt dann mit entsprechenden Grenzwertrechenregeln:

&lt;math&gt;f(x)=f(\lim_{n\to\infty}x_n)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lim_{n\to\infty}f(1)x_n=f(1)\lim_{n\to\infty}x_n=f(1)x&lt;/math&gt;.

Die Behauptung folgt.


(x)

&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ist abstandserhaltend dann und nur dann, wenn &lt;math&gt;\vert f(1)\vert=1&lt;/math&gt;:

Seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; beliebig mit &lt;math&gt;x\not=y&lt;/math&gt;, dann gilt:

&lt;math&gt;\vert f(x)-f(y)\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)x-f(1)y\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)\vert \vert x-y\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow \vert f(1)\vert =1&lt;/math&gt;


(xi)

Mit den Bezeichnungen aus (viii) und mit der Festlegung 

&lt;math&gt;\mathcal{D}:=\{f\in\mathcal{A}\vert\;\vert f(1)\vert =1\}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x)=ax\;(\vert a\vert=1)\}&lt;/math&gt;

gilt:

Wegen (5) gilt &lt;math&gt;\mathcal{B}\subseteq\mathcal{C}\subseteq\mathcal{A}&lt;/math&gt;. Hieraus folgt wegen (x), dass &lt;math&gt;\mathcal{B}\subseteq\mathcal{D}&lt;/math&gt;. Da aber &lt;math&gt;\forall f\in\mathcal{A}:f(0)=0&lt;/math&gt; gilt, folgt schon, dass &lt;math&gt;\mathcal{B}=\mathcal{D}&lt;/math&gt;.

===(7) Symmetriegruppe von Z===


Wegen (4) und (6)(xi) folgt:

&lt;math&gt;\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert=1;\;b\in\mathbb{R})\}&lt;/math&gt;.

Hier muss man nun lediglich noch die Bewegungen finden, für die &lt;math&gt;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}&lt;/math&gt; gilt. Das ist jedoch ein mehr als simples Problem und man sieht schnell ein:

&lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert =1;\;b\in\mathbb{Z})\}&lt;/math&gt;.</text>
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    <comment>/* (7) Symmetriegruppe von Z */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="13754" xml:space="preserve">==Klärung von für die Aufgabenstellung wichtigen Begriffen==

Ehe man zur eigentlichen Aufgabenstellungen schreitet, empfiehlt es sich drei Begriffe vorab zu klären, da diese in der Fachliteratur unter verschiedenen Namen geführt werden.

'''Bewegung''': Eine Bewegung ist eine Abbildung &lt;math&gt;F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die Abstände respektiert, d.h. es gilt &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:\left|F(x)-F(y)\right|=\left|x-y\right|&lt;/math&gt;.

'''orthogonale Transformation''': Dies ist eine Bewegung, die den Ursprung fest lässt, d.h. es gilt: &lt;math&gt;F(0)=0&lt;/math&gt;.

'''Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;''': Unter der Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; versteht man die Menge &lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(M)=M\}&lt;/math&gt;, also die Menge aller Bewegungen des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; in sich selbst überführen.

==Aufgabenstellung==

Man bestimme die Symmetriegruppe &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


==Tipp==

Man beachte zunächst, dass &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; eine ''diskrete'' Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; ist. Man fertige eine Zeichnung an, die dies veranschaulicht: Die Elemente von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; sind salopp gesagt Perlen einer Perlenkette und die Kette selbst ist &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;. Anhand dieser Zeichnung ermittele man alle Symmetrien von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; und versuche diese mit Hilfe von Abbildungen &lt;math&gt;F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}&lt;/math&gt; zu beschreiben. Dann bleibt nur noch zu zeigen, dass dies in der Tat alle Symmetrien sind.


==Lösung==

Die Lösung ist nicht ganz einfach und muss in mehreren Etappen erkämpft werden.


===(1) Stetigkeit von Bewegungen===


''Behauptung'': 

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung. Dann ist &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; stetig.

''Beweis'':

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung und &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ein beliebiger Punkt. Ferner sei &lt;math&gt;\epsilon&gt;0&lt;/math&gt; beliebig vorgegeben.
Dann folgt mit &lt;math&gt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, für die &lt;math&gt;\vert y-x\vert&lt;\delta&lt;/math&gt; gilt:

&lt;math&gt;\vert F(y)-F(x)\vert=\vert y-x\vert&lt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt;, was die Stetigkeit liefert.

===(2) Komposition von Bewegungen===


''Behauptung'':

Seien &lt;math&gt;F,G:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; Bewegungen. Dann ist auch &lt;math&gt;F\circ G&lt;/math&gt; eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig. Dann gilt:

&lt;math&gt;\vert (F\circ G)(x)-(F\circ G)(y)\vert = \vert F(G(x))-F(G(y))\vert =\vert G(x)-G(y)\vert=\vert x-y\vert &lt;/math&gt;


===(3) Translationen===


''Behauptung'':

Es sei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n;\;x\mapsto x+b\;(b\in\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; eine Translation. Dann gilt: &lt;math&gt;T_b&lt;/math&gt; ist eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig.

&lt;math&gt;\vert T_b(x)-T_b(y)\vert =\vert (x+b)-(y+b)\vert =\vert x+b-y-b\vert =\vert x-y\vert&lt;/math&gt;


===(4) Darstellung von Bewegungen mit Translationen und orthogonalen Transformationen===


''Behauptung'': 

Jede Bewegung &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; lässt sich in der Form &lt;math&gt;F=T_b\circ f&lt;/math&gt; schreiben, wobei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine Translation und &lt;math&gt;f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist. 

''Beweis'':

Ist etwa &lt;math&gt;F(0)=b&lt;/math&gt;, so ist &lt;math&gt;f:=T_{-b}\circ F&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation, denn:

&lt;math&gt;f(0)=(T_{-b}\circ F)(0)=T_{-b}(f(0))=T_{-b}(b)=b+(-b)=0&lt;/math&gt;

Mit (2) und (3) folgt hieraus, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist.

Es folgt dann weiter:

&lt;math&gt;T_b\circ f=T_b\circ (T_{-b}\circ F)=(T_b\circ T_{-b})\circ F= id_{\mathbb{R}^n}\circ F=F&lt;/math&gt;.

Die Behauptung folgt.


===(5) Linearität orthogonaler Transformationen===


Bemerkung: Dies ist der mit Abstand schwierigste Satz, der für die Lösung gebraucht wird.


''Behauptung'':

Jede orthogonale Transformation &lt;math&gt;A:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ist linear.


''Beweis'':


(i)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;x,y&gt;=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x+y\vert^2= &lt;x+y,x+y&gt;= &lt;x,x&gt; +2&lt;x,y&gt;+&lt;y,y&gt;=\vert x\vert^2 +\vert y\vert^2 +2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2=2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\vert x\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x\vert=\vert x-0\vert= \vert A(x)-A(0)\vert=\vert A(x)-0\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;


(iii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;A(x),A(y)&gt;=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;. In der Tat:

Für &lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt; ist das trivial. Sei also &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; voraussgesetzt.

&lt;math&gt; \vert x-(-x)\vert^2 = \vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow \vert 2x\vert^2 =\vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow 4\vert x\vert^2 = \vert A(x)\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert A(-x)\vert^2 =_{(ii)}\vert x\vert^2- &lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert -x\vert^2 = 2\vert x\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow 2\vert x\vert^2 = -2&lt;A(x),A(y)&gt; &lt;/math&gt;

Andererseits gilt mit (ii):

&lt;math&gt;2\vert x\vert^2 = 2\vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Hieraus folgt:

&lt;math&gt;\vert &lt;A(x),A(-x)&gt; \vert = \vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Das bedeutet, dass in der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung Gleichheit gilt. Daher folgt:

&lt;math&gt; \exists \lambda\in\mathbb{R}:A(-x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;, ist &lt;math&gt;x\not=-x&lt;/math&gt; und damit &lt;math&gt;\vert x-(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt; und folglich &lt;math&gt;\vert A(x)-A(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt;. Hieraus folgt aber: &lt;math&gt;A(x)\not=A(-x)&lt;/math&gt;. Da allerdings wegen (ii) andererseits auch gilt, dass &lt;math&gt;\vert A(-x)\vert =\vert -x\vert = \vert x\vert =\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, folgt schon: &lt;math&gt;\lambda=-1&lt;/math&gt;. Es gilt also:

&lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n: A(-x)=-A(x)&lt;/math&gt; (*)

Mit (i) und (ii) folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),A(y)&gt; = \frac{1}{2}(\vert A(x)+ A(y)\vert^2 -\vert A(x)\vert^2 -\vert A(y)\vert^2)=_{(*)}\frac{1}{2}(\vert A(x)-A(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x-(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2 = &lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;.


(iv) 

''Erster Teil der Linearität'': &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)= \lambda A(x)&lt;/math&gt;

Mit (iii) folgt unmittelbar:

&lt;math&gt; \vert &lt;A(\lambda x), A(x)&gt;\vert =\vert &lt;\lambda x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert &lt;x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert x\vert^2 = \vert \lambda x\vert \vert x\vert = \vert A(\lambda x)\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;.

In der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung gilt also abermals Gleichheit und es folgt:

&lt;math&gt;\exists\mu\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\mu A(x)&lt;/math&gt;

Hieraus folgt wegen &lt;math&gt; \vert A(\lambda x)\vert =\vert \lambda x\vert =\vert \lambda \vert \vert x\vert= \vert \lambda\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, dass &lt;math&gt;\vert\lambda\vert=\vert\mu\vert &lt;/math&gt;.

Dabei entfällt der Fall &lt;math&gt;\lambda=-\mu&lt;/math&gt;, da dann insbsondere für &lt;math&gt;\lambda=1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; mit (iii) folgen würde, dass &lt;math&gt;A(x)=-A(x)=A(-x)\Rightarrow x=0&lt;/math&gt; im Widerspruch zu der gerade gemachten Voraussetzung &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;.

Also: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;


(v)

''Zweiter Teil der Linearität'':&lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:A(x+y)=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


Es seien &lt;math&gt;e_1=(1,...,0),...,e_n=(0,...,1)&lt;/math&gt; die Einheitsvektoren im &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; und ferner sei &lt;math&gt; f_i=A(e_i)&lt;/math&gt;. Für einen beliebigen Vektor &lt;math&gt;x=(x_1,...,x_n)&lt;/math&gt; gilt dann, dass &lt;math&gt;x_i= &lt;x,e_i&gt; &lt;/math&gt;. Es folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),f_i&gt;= &lt;A(x),A(e_i)&gt; = &lt;x,e_i&gt;=x_i&lt;/math&gt;

Das Bild von &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bei der orthogonalen Projektion von &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;\mathbb{R}f_i&lt;/math&gt; ist also der Vektor &lt;math&gt;x_if_i&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt; &lt;f_i,f_j&gt;=&lt;e_i,e_j&gt;=0 &lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i\not=j&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; &lt;e_i,e_j&gt;=1&lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i=j&lt;/math&gt;, bilden die Geraden &lt;math&gt; \mathbb{R}f_1,...,\mathbb{R}f_n&lt;/math&gt; ein anderers kartesisches Koordinatensystem (d.h. die Bilder der Basisvektoren bilden wieder eine Basis des &lt;math&gt; \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;)und die i-te Komponente des Vektors &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bezüglich dieser Basis ist &lt;math&gt;x_i&lt;/math&gt;. Daher folgt:

&lt;math&gt;A(x)=\sum_{i=1}^n x_if_i =\sum_{i=1}^n x_iA(e_i)&lt;/math&gt;

Diese Formel ist linear in den Koeffizienten &lt;math&gt; x_i &lt;/math&gt;, so dass folgt:

&lt;math&gt; A(x+y)=\sum_{i=1}^n (x_i+y_i)f_i=\sum_{i=1}^n x_if_i + \sum_{i=1}^n y_if_i=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


===(6) Lineare Abbildungen im Körper der reelen Zahlen===


Man betrachte zunächst die Menge &lt;math&gt;\mathcal{A}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x+y)=f(x)+f(y)\}&lt;/math&gt;

(i)

 Es gilt &lt;math&gt;f(0)=0&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;f(1)=f(1+0)=f(1)+f(0)\Rightarrow f(0)=0&lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(-x)=-f(x)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)\Rightarrow -f(x)=f(-x)&lt;/math&gt;


(iii)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}_0:f(n)=f(1)n&lt;/math&gt;.

Beweis durch vollständige Induktion:

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0)=0=f(1)\cdot 0&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f(n+1)=f(n)+f(1)=_{Ind.Vor.}f(1)n+f(1)=f(1)(n+1)&lt;/math&gt;


(iv)

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb(Z):f(z)=f(1)z&lt;/math&gt;.

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}_0^+&lt;/math&gt; ist das klar laut (iii).

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}^-&lt;/math&gt; gilt: &lt;math&gt;\exists n\in\mathbb{N}:z=-n&lt;/math&gt;. Mit (ii) und (iii) folgt dann: &lt;math&gt;f(z)=f(-n)=-f(n)=-f(1)n=f(1)(-n)=f(1)z&lt;/math&gt;


(v)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}:\forall x\in\mathbb{R}:f(nx)=nf(x)&lt;/math&gt;

Beweis durch vollständige Induktion

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; beliebig.

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0\cdot x)=f(0)=0=0\cdot f(x)&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f((n+1)x)=f(nx+x)=f(nx)+f(x)=_{Ind.Vor.}nf(x)+f(x)=(n+1)f(x)&lt;/math&gt;


(vi)

Genauso wie in (iv) folgert man nun aus (v):

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb{Z}:\forall x\in\mathbb{R}:f(zx)=zf(x)&lt;/math&gt;


(vii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{Q}:f(x)=f(1)x&lt;/math&gt;

Sei also &lt;math&gt;q\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; beliebig, dann folgt:

&lt;math&gt; f\left(\frac{1}{q}\right)=f\left(1+\left(-\frac{q-1}{q}\right)\right)=f(1)+f\left(-\frac{q-1}{q}\right)=_{(ii)}f(1)-f\left(\frac{q-1}{q}\right)=_{(v)}f(1)-(q-1)f\left(\frac{1}{q}\right)&lt;/math&gt;

Also: &lt;math&gt;f\left(\frac{1}{q}\right)=f(1)-(q-1)f\left(\frac{1}{q}\right)\Leftrightarrow f\left(\frac{1}{q}\right)=\frac{1}{q}f(1)&lt;/math&gt;.

Hieraus folgt mit (vi) und (iv) leicht die Behauptung.


(viii)

Man betrachte nun folgende Mengen:

wie oben:&lt;math&gt;\mathcal{A}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x+y)=f(x)+f(y)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\mathcal{B}:=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;eine\;orthogonale\;Transformation\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\mathcal{C}:=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;linear\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\mathcal{C}(f,\mathbb{R}):=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;stetig\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\mathcal{A}_1:=\{f\in\mathcal{A}\vert f\;ist\;stetig\}&lt;/math&gt;


Wegen (1) und wegen (5) gilt:

&lt;math&gt;\mathcal{B}\subseteq\mathcal{C}\subseteq\mathcal{A}\land\mathcal{B}\subseteq\mathcal{C}(f,\mathbb{R})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow\mathcal{B}\subseteq\mathcal{A}_1&lt;/math&gt;

Im Folgenden sei darum zusätzlich vorausgesetzt, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; stetig ist auf &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;.


(ix)

&lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(x)=f(1)x &lt;/math&gt;, denn:

Für &lt;math&gt;x\in\mathbb{Q}&lt;/math&gt; ist das klar laut (vii).

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}&lt;/math&gt; beliebig. Dann gibt es gewiss eine Folge &lt;math&gt;(x)_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; von ausschließlich rationalen Zahlen mit der Eigenschaft: &lt;math&gt;\lim_{n\to\infty}x_n =x&lt;/math&gt;. Mit der Stetigkeit von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; folgt dann mit entsprechenden Grenzwertrechenregeln:

&lt;math&gt;f(x)=f(\lim_{n\to\infty}x_n)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lim_{n\to\infty}f(1)x_n=f(1)\lim_{n\to\infty}x_n=f(1)x&lt;/math&gt;.

Die Behauptung folgt.


(x)

&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ist abstandserhaltend dann und nur dann, wenn &lt;math&gt;\vert f(1)\vert=1&lt;/math&gt;:

Seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; beliebig mit &lt;math&gt;x\not=y&lt;/math&gt;, dann gilt:

&lt;math&gt;\vert f(x)-f(y)\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)x-f(1)y\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)\vert \vert x-y\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow \vert f(1)\vert =1&lt;/math&gt;


(xi)

Mit den Bezeichnungen aus (viii) und mit der Festlegung 

&lt;math&gt;\mathcal{D}:=\{f\in\mathcal{A}\vert\;\vert f(1)\vert =1\}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x)=ax\;(\vert a\vert=1)\}&lt;/math&gt;

gilt:

Wegen (5) gilt &lt;math&gt;\mathcal{B}\subseteq\mathcal{C}\subseteq\mathcal{A}&lt;/math&gt;. Hieraus folgt wegen (x), dass &lt;math&gt;\mathcal{B}\subseteq\mathcal{D}&lt;/math&gt;. Da aber &lt;math&gt;\forall f\in\mathcal{A}:f(0)=0&lt;/math&gt; gilt, folgt schon, dass &lt;math&gt;\mathcal{B}=\mathcal{D}&lt;/math&gt;.


===(7) Symmetriegruppe von Z===


Wegen (4) und (6)(xi) folgt:

&lt;math&gt;\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert=1;\;b\in\mathbb{R})\}&lt;/math&gt;.

Hier muss man nun lediglich noch die Bewegungen finden, für die &lt;math&gt;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}&lt;/math&gt; gilt. Das ist jedoch ein mehr als simples Problem und man sieht schnell ein:

&lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert =1;\;b\in\mathbb{Z})\}&lt;/math&gt;.</text>
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    <comment>/* (6) Lineare Abbildungen im Körper der reelen Zahlen */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="13752" xml:space="preserve">==Klärung von für die Aufgabenstellung wichtigen Begriffen==

Ehe man zur eigentlichen Aufgabenstellungen schreitet, empfiehlt es sich drei Begriffe vorab zu klären, da diese in der Fachliteratur unter verschiedenen Namen geführt werden.

'''Bewegung''': Eine Bewegung ist eine Abbildung &lt;math&gt;F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die Abstände respektiert, d.h. es gilt &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:\left|F(x)-F(y)\right|=\left|x-y\right|&lt;/math&gt;.

'''orthogonale Transformation''': Dies ist eine Bewegung, die den Ursprung fest lässt, d.h. es gilt: &lt;math&gt;F(0)=0&lt;/math&gt;.

'''Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;''': Unter der Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; versteht man die Menge &lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(M)=M\}&lt;/math&gt;, also die Menge aller Bewegungen des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; in sich selbst überführen.

==Aufgabenstellung==

Man bestimme die Symmetriegruppe &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


==Tipp==

Man beachte zunächst, dass &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; eine ''diskrete'' Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; ist. Man fertige eine Zeichnung an, die dies veranschaulicht: Die Elemente von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; sind salopp gesagt Perlen einer Perlenkette und die Kette selbst ist &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;. Anhand dieser Zeichnung ermittele man alle Symmetrien von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; und versuche diese mit Hilfe von Abbildungen &lt;math&gt;F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}&lt;/math&gt; zu beschreiben. Dann bleibt nur noch zu zeigen, dass dies in der Tat alle Symmetrien sind.


==Lösung==

Die Lösung ist nicht ganz einfach und muss in mehreren Etappen erkämpft werden.


===(1) Stetigkeit von Bewegungen===


''Behauptung'': 

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung. Dann ist &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; stetig.

''Beweis'':

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung und &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ein beliebiger Punkt. Ferner sei &lt;math&gt;\epsilon&gt;0&lt;/math&gt; beliebig vorgegeben.
Dann folgt mit &lt;math&gt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, für die &lt;math&gt;\vert y-x\vert&lt;\delta&lt;/math&gt; gilt:

&lt;math&gt;\vert F(y)-F(x)\vert=\vert y-x\vert&lt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt;, was die Stetigkeit liefert.

===(2) Komposition von Bewegungen===


''Behauptung'':

Seien &lt;math&gt;F,G:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; Bewegungen. Dann ist auch &lt;math&gt;F\circ G&lt;/math&gt; eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig. Dann gilt:

&lt;math&gt;\vert (F\circ G)(x)-(F\circ G)(y)\vert = \vert F(G(x))-F(G(y))\vert =\vert G(x)-G(y)\vert=\vert x-y\vert &lt;/math&gt;


===(3) Translationen===


''Behauptung'':

Es sei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n;\;x\mapsto x+b\;(b\in\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; eine Translation. Dann gilt: &lt;math&gt;T_b&lt;/math&gt; ist eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig.

&lt;math&gt;\vert T_b(x)-T_b(y)\vert =\vert (x+b)-(y+b)\vert =\vert x+b-y-b\vert =\vert x-y\vert&lt;/math&gt;


===(4) Darstellung von Bewegungen mit Translationen und orthogonalen Transformationen===


''Behauptung'': 

Jede Bewegung &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; lässt sich in der Form &lt;math&gt;F=T_b\circ f&lt;/math&gt; schreiben, wobei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine Translation und &lt;math&gt;f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist. 

''Beweis'':

Ist etwa &lt;math&gt;F(0)=b&lt;/math&gt;, so ist &lt;math&gt;f:=T_{-b}\circ F&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation, denn:

&lt;math&gt;f(0)=(T_{-b}\circ F)(0)=T_{-b}(f(0))=T_{-b}(b)=b+(-b)=0&lt;/math&gt;

Mit (2) und (3) folgt hieraus, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist.

Es folgt dann weiter:

&lt;math&gt;T_b\circ f=T_b\circ (T_{-b}\circ F)=(T_b\circ T_{-b})\circ F= id_{\mathbb{R}^n}\circ F=F&lt;/math&gt;.

Die Behauptung folgt.


===(5) Linearität orthogonaler Transformationen===


Bemerkung: Dies ist der mit Abstand schwierigste Satz, der für die Lösung gebraucht wird.


''Behauptung'':

Jede orthogonale Transformation &lt;math&gt;A:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ist linear.


''Beweis'':


(i)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;x,y&gt;=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x+y\vert^2= &lt;x+y,x+y&gt;= &lt;x,x&gt; +2&lt;x,y&gt;+&lt;y,y&gt;=\vert x\vert^2 +\vert y\vert^2 +2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2=2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\vert x\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x\vert=\vert x-0\vert= \vert A(x)-A(0)\vert=\vert A(x)-0\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;


(iii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;A(x),A(y)&gt;=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;. In der Tat:

Für &lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt; ist das trivial. Sei also &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; voraussgesetzt.

&lt;math&gt; \vert x-(-x)\vert^2 = \vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow \vert 2x\vert^2 =\vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow 4\vert x\vert^2 = \vert A(x)\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert A(-x)\vert^2 =_{(ii)}\vert x\vert^2- &lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert -x\vert^2 = 2\vert x\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow 2\vert x\vert^2 = -2&lt;A(x),A(y)&gt; &lt;/math&gt;

Andererseits gilt mit (ii):

&lt;math&gt;2\vert x\vert^2 = 2\vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Hieraus folgt:

&lt;math&gt;\vert &lt;A(x),A(-x)&gt; \vert = \vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Das bedeutet, dass in der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung Gleichheit gilt. Daher folgt:

&lt;math&gt; \exists \lambda\in\mathbb{R}:A(-x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;, ist &lt;math&gt;x\not=-x&lt;/math&gt; und damit &lt;math&gt;\vert x-(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt; und folglich &lt;math&gt;\vert A(x)-A(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt;. Hieraus folgt aber: &lt;math&gt;A(x)\not=A(-x)&lt;/math&gt;. Da allerdings wegen (ii) andererseits auch gilt, dass &lt;math&gt;\vert A(-x)\vert =\vert -x\vert = \vert x\vert =\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, folgt schon: &lt;math&gt;\lambda=-1&lt;/math&gt;. Es gilt also:

&lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n: A(-x)=-A(x)&lt;/math&gt; (*)

Mit (i) und (ii) folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),A(y)&gt; = \frac{1}{2}(\vert A(x)+ A(y)\vert^2 -\vert A(x)\vert^2 -\vert A(y)\vert^2)=_{(*)}\frac{1}{2}(\vert A(x)-A(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x-(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2 = &lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;.


(iv) 

''Erster Teil der Linearität'': &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)= \lambda A(x)&lt;/math&gt;

Mit (iii) folgt unmittelbar:

&lt;math&gt; \vert &lt;A(\lambda x), A(x)&gt;\vert =\vert &lt;\lambda x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert &lt;x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert x\vert^2 = \vert \lambda x\vert \vert x\vert = \vert A(\lambda x)\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;.

In der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung gilt also abermals Gleichheit und es folgt:

&lt;math&gt;\exists\mu\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\mu A(x)&lt;/math&gt;

Hieraus folgt wegen &lt;math&gt; \vert A(\lambda x)\vert =\vert \lambda x\vert =\vert \lambda \vert \vert x\vert= \vert \lambda\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, dass &lt;math&gt;\vert\lambda\vert=\vert\mu\vert &lt;/math&gt;.

Dabei entfällt der Fall &lt;math&gt;\lambda=-\mu&lt;/math&gt;, da dann insbsondere für &lt;math&gt;\lambda=1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; mit (iii) folgen würde, dass &lt;math&gt;A(x)=-A(x)=A(-x)\Rightarrow x=0&lt;/math&gt; im Widerspruch zu der gerade gemachten Voraussetzung &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;.

Also: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;


(v)

''Zweiter Teil der Linearität'':&lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:A(x+y)=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


Es seien &lt;math&gt;e_1=(1,...,0),...,e_n=(0,...,1)&lt;/math&gt; die Einheitsvektoren im &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; und ferner sei &lt;math&gt; f_i=A(e_i)&lt;/math&gt;. Für einen beliebigen Vektor &lt;math&gt;x=(x_1,...,x_n)&lt;/math&gt; gilt dann, dass &lt;math&gt;x_i= &lt;x,e_i&gt; &lt;/math&gt;. Es folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),f_i&gt;= &lt;A(x),A(e_i)&gt; = &lt;x,e_i&gt;=x_i&lt;/math&gt;

Das Bild von &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bei der orthogonalen Projektion von &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;\mathbb{R}f_i&lt;/math&gt; ist also der Vektor &lt;math&gt;x_if_i&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt; &lt;f_i,f_j&gt;=&lt;e_i,e_j&gt;=0 &lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i\not=j&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; &lt;e_i,e_j&gt;=1&lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i=j&lt;/math&gt;, bilden die Geraden &lt;math&gt; \mathbb{R}f_1,...,\mathbb{R}f_n&lt;/math&gt; ein anderers kartesisches Koordinatensystem (d.h. die Bilder der Basisvektoren bilden wieder eine Basis des &lt;math&gt; \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;)und die i-te Komponente des Vektors &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bezüglich dieser Basis ist &lt;math&gt;x_i&lt;/math&gt;. Daher folgt:

&lt;math&gt;A(x)=\sum_{i=1}^n x_if_i =\sum_{i=1}^n x_iA(e_i)&lt;/math&gt;

Diese Formel ist linear in den Koeffizienten &lt;math&gt; x_i &lt;/math&gt;, so dass folgt:

&lt;math&gt; A(x+y)=\sum_{i=1}^n (x_i+y_i)f_i=\sum_{i=1}^n x_if_i + \sum_{i=1}^n y_if_i=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


===(6) Lineare Abbildungen im Körper der reelen Zahlen===


Man betrachte zunächst die Menge &lt;math&gt;\mathcal{A}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x+y)=f(x)+f(y)\}&lt;/math&gt;

(i)

 Es gilt &lt;math&gt;f(0)=0&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;f(1)=f(1+0)=f(1)+f(0)\Rightarrow f(0)=0&lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(-x)=-f(x)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)\Rightarrow -f(x)=f(-x)&lt;/math&gt;


(iii)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}_0:f(n)=f(1)n&lt;/math&gt;.

Beweis durch vollständige Induktion:

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0)=0=f(1)\cdot 0&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f(n+1)=f(n)+f(1)=_{Ind.Vor.}f(1)n+f(1)=f(1)(n+1)&lt;/math&gt;


(iv)

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb{Z}:f(z)=f(1)z&lt;/math&gt;.

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}_0^+&lt;/math&gt; ist das klar laut (iii).

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}^-&lt;/math&gt; gilt: &lt;math&gt;\exists n\in\mathbb{N}:z=-n&lt;/math&gt;. Mit (ii) und (iii) folgt dann: &lt;math&gt;f(z)=f(-n)=-f(n)=-f(1)n=f(1)(-n)=f(1)z&lt;/math&gt;


(v)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}:\forall x\in\mathbb{R}:f(nx)=nf(x)&lt;/math&gt;

Beweis durch vollständige Induktion

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; beliebig.

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0\cdot x)=f(0)=0=0\cdot f(x)&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f((n+1)x)=f(nx+x)=f(nx)+f(x)=_{Ind.Vor.}nf(x)+f(x)=(n+1)f(x)&lt;/math&gt;


(vi)

Genauso wie in (iv) folgert man nun aus (v):

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb{Z}:\forall x\in\mathbb{R}:f(zx)=zf(x)&lt;/math&gt;


(vii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{Q}:f(x)=f(1)x&lt;/math&gt;

Sei also &lt;math&gt;q\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; beliebig, dann folgt:

&lt;math&gt; f\left(\frac{1}{q}\right)=f\left(1+\left(-\frac{q-1}{q}\right)\right)=f(1)+f\left(-\frac{q-1}{q}\right)=_{(ii)}f(1)-f\left(\frac{q-1}{q}\right)=_{(v)}f(1)-(q-1)f\left(\frac{1}{q}\right)&lt;/math&gt;

Also: &lt;math&gt;f\left(\frac{1}{q}\right)=f(1)-(q-1)f\left(\frac{1}{q}\right)\Leftrightarrow f\left(\frac{1}{q}\right)=\frac{1}{q}f(1)&lt;/math&gt;.

Hieraus folgt mit (vi) und (iv) leicht die Behauptung.


(viii)

Man betrachte nun folgende Mengen:

wie oben:&lt;math&gt;\mathcal{A}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x+y)=f(x)+f(y)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\mathcal{B}:=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;eine\;orthogonale\;Transformation\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\mathcal{C}:=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;linear\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\mathcal{C}(f,\mathbb{R}):=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;stetig\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\mathcal{A}_1:=\{f\in\mathcal{A}\vert f\;ist\;stetig\}&lt;/math&gt;


Wegen (1) und wegen (5) gilt:

&lt;math&gt;\mathcal{B}\subseteq\mathcal{C}\subseteq\mathcal{A}\land\mathcal{B}\subseteq\mathcal{C}(f,\mathbb{R})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow\mathcal{B}\subseteq\mathcal{A}_1&lt;/math&gt;

Im Folgenden sei darum zusätzlich vorausgesetzt, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; stetig ist auf &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;.


(ix)

&lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(x)=f(1)x &lt;/math&gt;, denn:

Für &lt;math&gt;x\in\mathbb{Q}&lt;/math&gt; ist das klar laut (vii).

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}&lt;/math&gt; beliebig. Dann gibt es gewiss eine Folge &lt;math&gt;(x)_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; von ausschließlich rationalen Zahlen mit der Eigenschaft: &lt;math&gt;\lim_{n\to\infty}x_n =x&lt;/math&gt;. Mit der Stetigkeit von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; folgt dann mit entsprechenden Grenzwertrechenregeln:

&lt;math&gt;f(x)=f(\lim_{n\to\infty}x_n)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lim_{n\to\infty}f(1)x_n=f(1)\lim_{n\to\infty}x_n=f(1)x&lt;/math&gt;.

Die Behauptung folgt.


(x)

&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ist abstandserhaltend dann und nur dann, wenn &lt;math&gt;\vert f(1)\vert=1&lt;/math&gt;:

Seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; beliebig mit &lt;math&gt;x\not=y&lt;/math&gt;, dann gilt:

&lt;math&gt;\vert f(x)-f(y)\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)x-f(1)y\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)\vert \vert x-y\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow \vert f(1)\vert =1&lt;/math&gt;


(xi)

Mit den Bezeichnungen aus (viii) und mit der Festlegung 

&lt;math&gt;\mathcal{D}:=\{f\in\mathcal{A}\vert\;\vert f(1)\vert =1\}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x)=ax\;(\vert a\vert=1)\}&lt;/math&gt;

gilt:

Wegen (5) gilt &lt;math&gt;\mathcal{B}\subseteq\mathcal{C}\subseteq\mathcal{A}&lt;/math&gt;. Hieraus folgt wegen (x), dass &lt;math&gt;\mathcal{B}\subseteq\mathcal{D}&lt;/math&gt;. Da aber &lt;math&gt;\forall f\in\mathcal{A}:f(0)=0&lt;/math&gt; gilt, folgt schon, dass &lt;math&gt;\mathcal{B}=\mathcal{D}&lt;/math&gt;.

===(7) Symmetriegruppe von Z===


Wegen (4) und (6)(xi) folgt:

&lt;math&gt;\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert=1;\;b\in\mathbb{R})\}&lt;/math&gt;.

Hier muss man nun lediglich noch die Bewegungen finden, für die &lt;math&gt;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}&lt;/math&gt; gilt. Das ist jedoch ein mehr als simples Problem und man sieht schnell ein:

&lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert =1;\;b\in\mathbb{Z})\}&lt;/math&gt;.</text>
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    <text bytes="462" xml:space="preserve">Die folgende Kurzbeschreibung soll einen Einblick geben, welche Aufgaben in dieser Kategorie zu finden sind.

'''Lineare Algebra''' ist der Zweig der Mathematik, der sich mit Vektoren, Vektorräumen, linearen Abbildungen und linearen Gleichungssystemen befasst. Da der Begriff des Vektorraumes ein wichtiges Hilfsmittel in vielen Bereichen der Mathematik ist, gilt die lineare Algebra als eine der Grundlagen der Mathematik.


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[[Symmetriegruppe von Z]]</text>
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'''Lineare Algebra''' ist der Zweig der Mathematik, der sich mit Vektoren, Vektorräumen, linearen Abbildungen und linearen Gleichungssystemen befasst. Da der Begriff des Vektorraumes ein wichtiges Hilfsmittel in vielen Bereichen der Mathematik ist, gilt die lineare Algebra als eine der Grundlagen der Mathematik.


'''E'''

[[Eigenwerte der Inversen einer invertierbaren Matrix]] 


'''S'''

[[Symmetriegruppe von Z]]</text>
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'''Lineare Algebra''' ist der Zweig der Mathematik, der sich mit Vektoren, Vektorräumen, linearen Abbildungen und linearen Gleichungssystemen befasst. Da der Begriff des Vektorraumes ein wichtiges Hilfsmittel in vielen Bereichen der Mathematik ist, gilt die lineare Algebra als eine der Grundlagen der Mathematik.


'''D'''

[[Dimensionsformel für einen endlichen exakten Komplex]]


'''E'''

[[Eigenwerte der Inversen einer invertierbaren Matrix]] 


'''S'''

[[Symmetriegruppe von Z]]</text>
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  <title>Kategorie:Analysis</title>
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    <text bytes="962" xml:space="preserve">Die folgende Kurzbeschreibung soll einen Einblick geben, welche Aufgaben in dieser Kategorie zu finden sind. 

Die '''Analysis''' ist ein Teilgebiet der Mathematik, dessen Grundlagen von Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton unabhängig voneinander entwickelt wurden.

Die grundlegende Analysis befasst sich mit Grenzwerten von Folgen und Reihen sowie mit Funktionen reeller Zahlen und deren Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integration. Viele wichtige Funktionen der Analysis lassen sich als Grenzwerte von Reihen darstellen.

Die Analysis arbeitet häufig mit Abschätzungen und Ungleichungen. Die Ergebnisse, die durch diese Techniken gewonnen werden, sind jedoch exakt.

Die Verallgemeinerung des Funktionsbegriffes in der Analysis auf Funktionen mit Definitions- und Wertebereich in den komplexen Zahlen ist Bestandteil der [[:Kategorie:Funktionentheorie|Funktionentheorie]].


'''L'''

[[Logarithmus;unendliche Summme bestimmter Logarithmuswerte]]</text>
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    <timestamp>2006-03-05T11:38:35Z</timestamp>
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      <username>84.165.165.26</username>
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    </contributor>
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    <text bytes="1020" xml:space="preserve">Die folgende Kurzbeschreibung soll einen Einblick geben, welche Aufgaben in dieser Kategorie zu finden sind. 

Die '''Analysis''' ist ein Teilgebiet der Mathematik, dessen Grundlagen von Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton unabhängig voneinander entwickelt wurden.

Die grundlegende Analysis befasst sich mit Grenzwerten von Folgen und Reihen sowie mit Funktionen reeller Zahlen und deren Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integration. Viele wichtige Funktionen der Analysis lassen sich als Grenzwerte von Reihen darstellen.

Die Analysis arbeitet häufig mit Abschätzungen und Ungleichungen. Die Ergebnisse, die durch diese Techniken gewonnen werden, sind jedoch exakt.

Die Verallgemeinerung des Funktionsbegriffes in der Analysis auf Funktionen mit Definitions- und Wertebereich in den komplexen Zahlen ist Bestandteil der [[:Kategorie:Funktionentheorie|Funktionentheorie]].


'''C'''

[[Cauchy-Folgen und gleichmäßige Stetigkeit]]


'''L'''

[[Logarithmus;unendliche Summme bestimmter Logarithmuswerte]]</text>
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  <title>Logarithmus;unendliche Summme bestimmter Logarithmuswerte</title>
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      <username>84.165.165.26</username>
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    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2241" xml:space="preserve">==Aufgabenstellung==

Man zeige: &lt;math&gt;\sum_{n=2}^\infty \log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\log\left(\frac{1}{2}\right)&lt;/math&gt;


==Tipp==

Man zeige zunächst mittels vollständiger Induktion, dass für alle &lt;math&gt;N\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;N\ge 2&lt;/math&gt; gilt: &lt;math&gt;\prod_{n=2}^N \left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)&lt;/math&gt;


==Lösung==

Wir zeigen zunächst die Gleichung, die in dem Tipp angegeben ist.

''Induktionsanfang'':&lt;math&gt;N=2&lt;/math&gt;

Dann gilt:

&lt;math&gt;\prod_{n=2}^2\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\right)&lt;/math&gt;

Damit folgt die Behauptung im Falle &lt;math&gt;N=2&lt;/math&gt;


''Induktionssvoraussetzung'':

Für beliebiges &lt;math&gt;N\ge 2&lt;/math&gt; sei die Behauptung wahr.


''Induktionsbehauptung'':

Dann gilt die Gleichung auch für &lt;math&gt;N+1&lt;/math&gt;


''Induktionsschritt'':

&lt;math&gt;\prod_{n=2}^{N+1}\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\prod_{n=2}^N\left(1-\frac{1}{n^2}\right)\left(1-\frac{1}{(N+1)^2}\right)=_{Ind.Vor.}\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)\left(1-\frac{1}{(N+1)^2}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{(N+1)^2}+\frac{1}{N}-\frac{1}{N(N+1)^2}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{N(N+1)^2-N+(N+1)^2-1}{N(N+1)^2}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{1}{2}\frac{(N+1)^2(N+1)-(N+1)}{N(N+1)^2}=\frac{1}{2}\frac{(N+1)((N+1)^2-1)}{N(N+1)^2}=\frac{1}{2}\frac{(N+1)(N+1-1)(N+1+1)}{N(N+1)^2}=\frac{1}{2}\frac{N+1+1}{N+1}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N+1}\right)&lt;/math&gt;

Die Behauptung folgt.


Mit der Funktionalgleichung des Logarithmus und vollständiger Induktion zeigt man ferner sehr leicht, dass

&lt;math&gt;\forall 2\le N\in\mathbb{N}:\sum_{n=2}^N\log(n)=\log\left(\prod_{n=2}^N n\right)&lt;/math&gt;

gilt.

Nun ist der eigentliche Beweis kein Problem mehr:

&lt;math&gt;\sum_{n=2}^N\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\log\left(\prod_{n=2}^N \left(1-\frac{1}{n^2}\right)\right)=\log\left(\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)\right)&lt;/math&gt;

Mit der Stetigkeit der Logarithmus-Funktion (und dem Folgenkriterium für Stetigkeit) folgt sodann:

&lt;math&gt;\sum_{n=2}^\infty\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=2}^N\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\lim_{N\to\infty}\log\left(\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)\right)=\log\left(\frac{1}{2}\right)&lt;/math&gt;</text>
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  <title>Cauchy-Folgen und gleichmäßige Stetigkeit</title>
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      <username>84.165.165.26</username>
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    </contributor>
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    <text bytes="1704" xml:space="preserve">==Aufgabenstellung==

Es sei &lt;math&gt;I\subset\mathbb{R}&lt;/math&gt; ein Intervall und &lt;math&gt;f:I\rightarrow\mathbb{R}&lt;/math&gt; eine gleichmäßig stetige Funktion. Weiter sei &lt;math&gt;(x_n)_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; eine Cauchy-Folge in &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;.

Man zeige: &lt;math&gt;(f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; ist dann ebenfalls eine Cauchy-Folge.


==Tipp==

Man benutze die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit und der Cauchy-Folge


==Lösung==

Zunächst zu den Definitionen:

&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ist gleichmäßig stetig auf &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow(\forall\epsilon &gt;0:\exists\delta &gt;0:\forall x,y\in I:\vert x-y\vert &lt;\delta\Rightarrow\vert f(x)-f(y)\vert &lt;\epsilon)&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;(x_n)&lt;/math&gt; ist eine Cauchy-Folge

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\forall \epsilon_0:\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n -x_m\vert &lt;\epsilon_0&lt;/math&gt;

Sei nun &lt;math&gt;\epsilon &gt; 0 &lt;/math&gt; beliebig vorgegeben und ein entsprechendes &lt;math&gt;\delta &gt;0 &lt;/math&gt; gefunden. Dann gilt insbesondere:

&lt;math&gt;\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n - x_m\vert &lt;\delta &lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; gleichmäßig stetig ist und da &lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}:x_\in I&lt;/math&gt; gilt, folgt hieraus mit der Definition der gleichmäßigen Stetigkeit:

&lt;math&gt;\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert f(x_n)-f(x_m)\vert &lt;\epsilon &lt;/math&gt;

Insgesamt gilt also:

&lt;math&gt;(\forall\epsilon &gt;0:\exists\delta &gt;0:\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n-x_m\vert &lt;\delta\Rightarrow\vert f(x_n)-f(x_m)\vert &lt;\epsilon) &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow\forall\epsilon &gt;0:\exists n_0:\forall n,m\ge n_0:\vert f(x_n)-f(x_m)\vert &lt;\epsilon &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow (f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; ist eine Cauchy-Folge</text>
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      <username>84.165.147.121</username>
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    </contributor>
    <comment>/* Lösung */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1706" xml:space="preserve">==Aufgabenstellung==

Es sei &lt;math&gt;I\subset\mathbb{R}&lt;/math&gt; ein Intervall und &lt;math&gt;f:I\rightarrow\mathbb{R}&lt;/math&gt; eine gleichmäßig stetige Funktion. Weiter sei &lt;math&gt;(x_n)_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; eine Cauchy-Folge in &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;.

Man zeige: &lt;math&gt;(f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; ist dann ebenfalls eine Cauchy-Folge.


==Tipp==

Man benutze die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit und der Cauchy-Folge


==Lösung==

Zunächst zu den Definitionen:

&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ist gleichmäßig stetig auf &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow(\forall\epsilon &gt;0:\exists\delta &gt;0:\forall x,y\in I:\vert x-y\vert &lt;\delta\Rightarrow\vert f(x)-f(y)\vert &lt;\epsilon)&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;(x_n)&lt;/math&gt; ist eine Cauchy-Folge

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\forall \epsilon_0:\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n -x_m\vert &lt;\epsilon_0&lt;/math&gt;


Sei nun &lt;math&gt;\epsilon &gt; 0 &lt;/math&gt; beliebig vorgegeben und ein entsprechendes &lt;math&gt;\delta &gt;0 &lt;/math&gt; gefunden. Dann gilt insbesondere:

&lt;math&gt;\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n - x_m\vert &lt;\delta &lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; gleichmäßig stetig ist und da &lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}:x_n\in I&lt;/math&gt; gilt, folgt hieraus mit der Definition der gleichmäßigen Stetigkeit:

&lt;math&gt;\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert f(x_n)-f(x_m)\vert &lt;\epsilon &lt;/math&gt;

Insgesamt gilt also:

&lt;math&gt;(\forall\epsilon &gt;0:\exists\delta &gt;0:\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n-x_m\vert &lt;\delta\Rightarrow\vert f(x_n)-f(x_m)\vert &lt;\epsilon) &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow\forall\epsilon &gt;0:\exists n_0:\forall n,m\ge n_0:\vert f(x_n)-f(x_m)\vert &lt;\epsilon &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow (f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; ist eine Cauchy-Folge</text>
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    </contributor>
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    <text bytes="1705" xml:space="preserve">==Aufgabenstellung==

Es sei &lt;math&gt;I\subset\mathbb{R}&lt;/math&gt; ein Intervall und &lt;math&gt;f:I\rightarrow\mathbb{R}&lt;/math&gt; eine gleichmäßig stetige Funktion. Weiter sei &lt;math&gt;(x_n)_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; eine Cauchy-Folge in &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;.

Man zeige: &lt;math&gt;(f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; ist dann ebenfalls eine Cauchy-Folge.


==Tipp==

Man benutze die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit und der Cauchy-Folge


==Lösung==

Zunächst zu den Definitionen:

&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ist gleichmäßig stetig auf &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow(\forall\epsilon &gt;0:\exists\delta &gt;0:\forall x,y\in I:\vert x-y\vert &lt;\delta\Rightarrow\vert f(x)-f(y)\vert &lt;\epsilon)&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;(x_n)&lt;/math&gt; ist eine Cauchy-Folge

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\forall \epsilon_0:\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n -x_m\vert &lt;\epsilon_0&lt;/math&gt;


Sei nun &lt;math&gt;\epsilon &gt; 0 &lt;/math&gt; beliebig vorgegeben und ein entsprechendes &lt;math&gt;\delta &gt;0 &lt;/math&gt; gefunden. Dann gilt insbesondere:

&lt;math&gt;\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n - x_m\vert &lt;\delta &lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; gleichmäßig stetig ist und da &lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}:x_\in I&lt;/math&gt; gilt, folgt hieraus mit der Definition der gleichmäßigen Stetigkeit:

&lt;math&gt;\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert f(x_n)-f(x_m)\vert &lt;\epsilon &lt;/math&gt;

Insgesamt gilt also:

&lt;math&gt;(\forall\epsilon &gt;0:\exists\delta &gt;0:\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n-x_m\vert &lt;\delta\Rightarrow\vert f(x_n)-f(x_m)\vert &lt;\epsilon) &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow\forall\epsilon &gt;0:\exists n_0:\forall n,m\ge n_0:\vert f(x_n)-f(x_m)\vert &lt;\epsilon &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow (f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; ist eine Cauchy-Folge</text>
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    <comment>/* Lösung */</comment>
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    <text bytes="1706" xml:space="preserve">==Aufgabenstellung==

Es sei &lt;math&gt;I\subset\mathbb{R}&lt;/math&gt; ein Intervall und &lt;math&gt;f:I\rightarrow\mathbb{R}&lt;/math&gt; eine gleichmäßig stetige Funktion. Weiter sei &lt;math&gt;(x_n)_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; eine Cauchy-Folge in &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;.

Man zeige: &lt;math&gt;(f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; ist dann ebenfalls eine Cauchy-Folge.


==Tipp==

Man benutze die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit und der Cauchy-Folge


==Lösung==

Zunächst zu den Definitionen:

&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ist gleichmäßig stetig auf &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow(\forall\epsilon &gt;0:\exists\delta &gt;0:\forall x,y\in I:\vert x-y\vert &lt;\delta\Rightarrow\vert f(x)-f(y)\vert &lt;\epsilon)&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;(x_n)&lt;/math&gt; ist eine Cauchy-Folge

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\forall \epsilon_0:\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n -x_m\vert &lt;\epsilon_0&lt;/math&gt;


Sei nun &lt;math&gt;\epsilon &gt; 0 &lt;/math&gt; beliebig vorgegeben und ein entsprechendes &lt;math&gt;\delta &gt;0 &lt;/math&gt; gefunden. Dann gilt insbesondere:

&lt;math&gt;\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n - x_m\vert &lt;\delta &lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; gleichmäßig stetig ist und da &lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}:x_n\in I&lt;/math&gt; gilt, folgt hieraus mit der Definition der gleichmäßigen Stetigkeit:

&lt;math&gt;\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert f(x_n)-f(x_m)\vert &lt;\epsilon &lt;/math&gt;

Insgesamt gilt also:

&lt;math&gt;(\forall\epsilon &gt;0:\exists\delta &gt;0:\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n-x_m\vert &lt;\delta\Rightarrow\vert f(x_n)-f(x_m)\vert &lt;\epsilon) &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow\forall\epsilon &gt;0:\exists n_0:\forall n,m\ge n_0:\vert f(x_n)-f(x_m)\vert &lt;\epsilon &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow (f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; ist eine Cauchy-Folge</text>
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  <title>Aktuelle Ereignisse</title>
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  <title>Eigenwerte der Inversen einer invertierbaren Matrix</title>
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    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2097" xml:space="preserve">==Aufgabenstellung==

Es sei &lt;math&gt;A\in K^{n\times n}&lt;/math&gt; eine invertierbare Matrix über einem Körper &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;. Ferner sei &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; ein Eigenwert von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

Man zeige: &lt;math&gt;\lambda\not=0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\lambda^{-1}&lt;/math&gt; ist Eigenwert von &lt;math&gt;A^{-1}&lt;/math&gt;.


==Tipp==

Man benutze die Definition der Eigenwerte


==Lösung==

Es sei &lt;math&gt;\chi_A&lt;/math&gt; das charakteristische Polynom von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;E_n&lt;/math&gt; die (&lt;math&gt;n\times n&lt;/math&gt;)-Einheitsmatrix.

Annahme: &lt;math&gt;\lambda =0&lt;/math&gt;, dann folgt:

&lt;math&gt;\chi_A(\lambda)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A-\lambda E_n)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A-0\cdot E_n)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow A\not\in Gl(n,K)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow A&lt;/math&gt; ist nicht invertierbar (Widerspruch zur Voraussetzung!)

Also ist &lt;math&gt;\lambda\not= 0&lt;/math&gt;, insbesondere existiert &lt;math&gt;\lambda^{-1}\in K&lt;/math&gt;.

Da &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; Eigenwert von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; ist, hat die Gleichung &lt;math&gt;A(x)=\lambda x;\;x\in K^n&lt;/math&gt; eine nicht-triviale Lösung  &lt;math&gt;v\in K^n\setminus\{0\}&lt;/math&gt;, d.h. es gilt:

&lt;math&gt;\exists v\in K^n\setminus\{0\}:A(v)=\lambda v&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\exists v\in K^n\setminus\{0\}: A^{-1}(\lambda v)=v&lt;/math&gt; (da &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; ja invertierbar ist)

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\exists v\in K^n\setminus\{0\}:A^{-1}(\lambda v)=\lambda^{-1}(\lambda v)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; die Gleichung &lt;math&gt;A^{-1}(x)=\lambda^{-1}x&lt;/math&gt; hat eine nicht-triviale Lösung &lt;math&gt;x\in K^n\setminus\{0\}&lt;/math&gt; (da ja &lt;math&gt;\lambda\not=0&lt;/math&gt; und da &lt;math&gt;v\not=0&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; die Gleichung &lt;math&gt;(A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)(x)=0&lt;/math&gt; hat eine nicht-triviale Lösung

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\ker(A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)\not=\{0\} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow (A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)\not\in GL(n,K)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\chi_A(\lambda^{-1})=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\lambda^{-1}&lt;/math&gt; ist Eigenwert von &lt;math&gt;A^{-1}&lt;/math&gt;.</text>
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    <timestamp>2006-03-09T07:49:46Z</timestamp>
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      <username>84.165.134.155</username>
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    <comment>/* Lösung */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2097" xml:space="preserve">==Aufgabenstellung==

Es sei &lt;math&gt;A\in K^{n\times n}&lt;/math&gt; eine invertierbare Matrix über einem Körper &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;. Ferner sei &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; ein Eigenwert von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

Man zeige: &lt;math&gt;\lambda\not=0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\lambda^{-1}&lt;/math&gt; ist Eigenwert von &lt;math&gt;A^{-1}&lt;/math&gt;.


==Tipp==

Man benutze die Definition der Eigenwerte


==Lösung==

Es sei &lt;math&gt;\chi_A&lt;/math&gt; das charakteristische Polynom von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;E_n&lt;/math&gt; die (&lt;math&gt;n\times n&lt;/math&gt;)-Einheitsmatrix.

Annahme: &lt;math&gt;\lambda =0&lt;/math&gt;, dann folgt:

&lt;math&gt;\chi_A(\lambda)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A-\lambda E_n)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A-0\cdot E_n)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow A\not\in Gl(n,K)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow A&lt;/math&gt; ist nicht invertierbar (Widerspruch zur Voraussetzung!)

Also ist &lt;math&gt;\lambda\not= 0&lt;/math&gt;, insbesondere existiert &lt;math&gt;\lambda^{-1}\in K&lt;/math&gt;.

Da &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; Eigenwert von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; ist, hat die Gleichung &lt;math&gt;A(x)=\lambda x;\;x\in K^n&lt;/math&gt; eine nicht-triviale Lösung  &lt;math&gt;v\in K^n\setminus\{0\}&lt;/math&gt;, d.h. es gilt:

&lt;math&gt;\exists v\in K^n\setminus\{0\}:A(v)=\lambda v&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\exists v\in K^n\setminus\{0\}: A^{-1}(\lambda v)=v&lt;/math&gt; (da &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; ja invertierbar ist)

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\exists v\in K^n\setminus\{0\}:A^{-1}(\lambda v)=\lambda^{-1}(\lambda v)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; die Gleichung &lt;math&gt;A^{-1}(x)=\lambda^{-1}x&lt;/math&gt; hat eine nicht-triviale Lösung &lt;math&gt;x\in K^n\setminus\{0\}&lt;/math&gt; (da ja &lt;math&gt;\lambda\not=0&lt;/math&gt; und da &lt;math&gt;v\not=0&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; die Gleichung &lt;math&gt;(A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)(x)=0&lt;/math&gt; hat eine nicht-triviale Lösung

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\ker(A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)\not=\{0\} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow (A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)\not\in Gl(n,K)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\chi_A(\lambda^{-1})=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\lambda^{-1}&lt;/math&gt; ist Eigenwert von &lt;math&gt;A^{-1}&lt;/math&gt;.</text>
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  <title>Dimensionsformel für einen endlichen exakten Komplex</title>
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    <contributor>
      <username>84.165.182.41</username>
      <id>0</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2108" xml:space="preserve">==Aufgabenstellung==

Ein endlicher exakter Komplex ist eine Folge von &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-Vektorraumhomomorphismen &lt;math&gt;f_k:V_k\rightarrow V_{k+1}\;(k=-1,\cdots, n)&lt;/math&gt; zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen, wobei gilt:

(a)&lt;math&gt;\;V_{-1}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;V_{n+1}&lt;/math&gt; sind jeweils der Nullvektorraum.

(b)&lt;math&gt;\;\operatorname{Bild}f_{k-1}=\ker f_k\;\forall k\in\{0,\cdots,n\}&lt;/math&gt;.


Man zeige: &lt;math&gt;\sum_{k=0}^n (-1)^k\dim V_k=0&lt;/math&gt;


==Tipp==

Man denke an Teleskopsummen.


==Lösung==


(1)

Mit den bekannten Dimensionsformel folgt hier:

&lt;math&gt;\forall k\in\{0,\cdots,n\}:\dim V_k=\operatorname{Bild} f_k + \dim\ker f_k&lt;/math&gt;


(2)

Da &lt;math&gt;f_{-1}:\{0\}\rightarrow V_0&lt;/math&gt; eine Abbildung ist, gibt es genau ein &lt;math&gt;v\in V_0&lt;/math&gt; mit der Eigenschaft &lt;math&gt;f_{-1}(0)=v&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt;f_{-1}&lt;/math&gt; andererseits &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-linear ist, folgt schon &lt;math&gt;v=0&lt;/math&gt;,d.h.:

&lt;math&gt;\operatorname{Bild}f_{-1}=\{0\}\Rightarrow\dim\operatorname{Bild}f_{-1}=0&lt;/math&gt;


(3)

Da &lt;math&gt;f_n&lt;/math&gt; in den Nullvektorraum abbildet, folgt:

&lt;math&gt;\operatorname{Bild}f_n=\{0\}\Rightarrow\dim\operatorname{Bild}f_n=0&lt;/math&gt;


(4)

&lt;math&gt;\operatorname{Bild}f_{k-1}=\ker f_k\Rightarrow\dim\operatorname{Bild}f_{k-1}=\dim\ker f_k\;\forall k\in\{0,\cdots,n\}&lt;/math&gt;


Damit folgt:

&lt;math&gt;\sum_{k=0}^n (-1)^k\dim V_k=_{(1)}\sum_{k=0}^n (-1)^k(\dim\operatorname{Bild}f_k+\dim\ker f_k)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\sum_{k=0}^n (-1)^k\dim\operatorname{Bild}f_k+\sum_{k=0}^n(-1)^k\dim\ker f_k&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=_{(4)}\sum_{k=0}^n(-1)^k\dim\operatorname{Bild}f_k+\sum_{k=0}^n(-1)^k\dim\operatorname{Bild}f_{k-1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\sum_{k=0}^n(-1)^k\dim\operatorname{Bild}f_k+\sum_{k=-1}^{n-1}(-1)^{k+1}\dim\operatorname{Bild}f_k&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=(-1)^n\dim\operatorname{Bild}f_n+\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\dim\operatorname{Bild}f_k+\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k+1}\dim\operatorname{Bild}f_k+(-1)^0\dim\operatorname{Bild}f_{-1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=_{(2),(3)}0+\sum_{k=0}^{n-1}((-1)^k+(-1)^{k+1})\dim\operatorname{Bild}f_k+0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\sum_{k=0}^{n-1}0=0&lt;/math&gt;


Also:

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}:\sum_{k=0}^n(-1)^k\dim V_k=0&lt;/math&gt;</text>
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    <contributor>
      <username>84.165.134.155</username>
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    </contributor>
    <comment>/* Aufgabe 2 (weiterer Augabenname) */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1705" xml:space="preserve">==Aufgabe (spezieller Augabenname)==
Hier gehört die Aufgabenstellung hin.
Dabei sollt ihr natürlich die korrekte mathematische Schreibweise inklusive aller Formeln verwenden: z.B. &lt;math&gt;\begin{bmatrix} 0 &amp; \cdots &amp; 1 \\ \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots \\ 2 &amp; \cdots &amp; 3\end{bmatrix}&lt;/math&gt; oder &lt;math&gt;\int\limits_{-N}^{N} e^x\, \mathrm{d}x&lt;/math&gt;

===Tipps===
Tipps, die beim Selberlösen der Aufgabe helfen, gehören an diese Stelle

===Lösung===
Bitte schreibe hier die Aufgabenlösung hin, falls dir diese schon bekannt ist. Ansonsten hoffe darauf, dass ein anderer Nutzer auch nach dieser Aufgabe sucht und dann, nachdem ihm die Lösung bekannt ist, diese hier reinschreibt.

===Suchbegriffe===
Gib hier verschiedene Begriffe ein, über welche die Aufgabe in der WikiMath-Suchmaschine gefunden werden soll.

===Quellen===
Hast du die Aufgabe einer bestimmten Quelle entnommen?
Dann gehört ein Verweis hierhin.

===ähnliche Aufgaben===
Gibt es auf WikiMath schon andere ähnliche Aufgaben, die mit dieser Aufgabe eng verwandt sind, aber nicht unbedingt zusammen auf einer Seite stehen sollten, dann verlinke hier zu diesen anderen Aufgaben.
!!!Dies ist auch sehr wichtig, damit keine Aufgaben verwaisen!!!
Genauso solltest Du auch Deine Aufgabe bei den anderen verlinken.

==Aufgabe 2 (weiterer Aufgabenname)==

===Tipps===

===Lösung===

===Suchbegriffe===

===Quellen===

===ähnliche Aufgaben===


Vergiss nicht deine Aufgabe einer/oder mehrerer Kategorien zuzuordnen!
Welche Kategorien bisher existieren, findest du auf den Spezialseiten unter [[Spezial:Categories|Seitenkategorien]]. Kategorienvorschläge sind auch schon auf der [[WikiMath|Hauptseite]] zu finden.

[[Kategorie:Beispielkategorie]]</text>
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    </contributor>
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    <contributor>
      <username>Gallois</username>
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<page arvcontinue="20060314115507|1557">
  <title>Symmetriegruppe von Z</title>
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    <comment>/* (6) Lineare Abbildungen im Körper der reelen Zahlen */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="13751" xml:space="preserve">==Klärung von für die Aufgabenstellung wichtigen Begriffen==

Ehe man zur eigentlichen Aufgabenstellungen schreitet, empfiehlt es sich drei Begriffe vorab zu klären, da diese in der Fachliteratur unter verschiedenen Namen geführt werden.

'''Bewegung''': Eine Bewegung ist eine Abbildung &lt;math&gt;F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die Abstände respektiert, d.h. es gilt &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:\left|F(x)-F(y)\right|=\left|x-y\right|&lt;/math&gt;.

'''orthogonale Transformation''': Dies ist eine Bewegung, die den Ursprung fest lässt, d.h. es gilt: &lt;math&gt;F(0)=0&lt;/math&gt;.

'''Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;''': Unter der Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; versteht man die Menge &lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(M)=M\}&lt;/math&gt;, also die Menge aller Bewegungen des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; in sich selbst überführen.

==Aufgabenstellung==

Man bestimme die Symmetriegruppe &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


==Tipp==

Man beachte zunächst, dass &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; eine ''diskrete'' Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; ist. Man fertige eine Zeichnung an, die dies veranschaulicht: Die Elemente von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; sind salopp gesagt Perlen einer Perlenkette und die Kette selbst ist &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;. Anhand dieser Zeichnung ermittele man alle Symmetrien von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; und versuche diese mit Hilfe von Abbildungen &lt;math&gt;F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}&lt;/math&gt; zu beschreiben. Dann bleibt nur noch zu zeigen, dass dies in der Tat alle Symmetrien sind.


==Lösung==

Die Lösung ist nicht ganz einfach und muss in mehreren Etappen erkämpft werden.


===(1) Stetigkeit von Bewegungen===


''Behauptung'': 

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung. Dann ist &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; stetig.

''Beweis'':

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung und &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ein beliebiger Punkt. Ferner sei &lt;math&gt;\epsilon&gt;0&lt;/math&gt; beliebig vorgegeben.
Dann folgt mit &lt;math&gt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, für die &lt;math&gt;\vert y-x\vert&lt;\delta&lt;/math&gt; gilt:

&lt;math&gt;\vert F(y)-F(x)\vert=\vert y-x\vert&lt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt;, was die Stetigkeit liefert.

===(2) Komposition von Bewegungen===


''Behauptung'':

Seien &lt;math&gt;F,G:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; Bewegungen. Dann ist auch &lt;math&gt;F\circ G&lt;/math&gt; eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig. Dann gilt:

&lt;math&gt;\vert (F\circ G)(x)-(F\circ G)(y)\vert = \vert F(G(x))-F(G(y))\vert =\vert G(x)-G(y)\vert=\vert x-y\vert &lt;/math&gt;


===(3) Translationen===


''Behauptung'':

Es sei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n;\;x\mapsto x+b\;(b\in\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; eine Translation. Dann gilt: &lt;math&gt;T_b&lt;/math&gt; ist eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig.

&lt;math&gt;\vert T_b(x)-T_b(y)\vert =\vert (x+b)-(y+b)\vert =\vert x+b-y-b\vert =\vert x-y\vert&lt;/math&gt;


===(4) Darstellung von Bewegungen mit Translationen und orthogonalen Transformationen===


''Behauptung'': 

Jede Bewegung &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; lässt sich in der Form &lt;math&gt;F=T_b\circ f&lt;/math&gt; schreiben, wobei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine Translation und &lt;math&gt;f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist. 

''Beweis'':

Ist etwa &lt;math&gt;F(0)=b&lt;/math&gt;, so ist &lt;math&gt;f:=T_{-b}\circ F&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation, denn:

&lt;math&gt;f(0)=(T_{-b}\circ F)(0)=T_{-b}(f(0))=T_{-b}(b)=b+(-b)=0&lt;/math&gt;

Mit (2) und (3) folgt hieraus, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist.

Es folgt dann weiter:

&lt;math&gt;T_b\circ f=T_b\circ (T_{-b}\circ F)=(T_b\circ T_{-b})\circ F= id_{\mathbb{R}^n}\circ F=F&lt;/math&gt;.

Die Behauptung folgt.


===(5) Linearität orthogonaler Transformationen===


Bemerkung: Dies ist der mit Abstand schwierigste Satz, der für die Lösung gebraucht wird.


''Behauptung'':

Jede orthogonale Transformation &lt;math&gt;A:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ist linear.


''Beweis'':


(i)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;x,y&gt;=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x+y\vert^2= &lt;x+y,x+y&gt;= &lt;x,x&gt; +2&lt;x,y&gt;+&lt;y,y&gt;=\vert x\vert^2 +\vert y\vert^2 +2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2=2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\vert x\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x\vert=\vert x-0\vert= \vert A(x)-A(0)\vert=\vert A(x)-0\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;


(iii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;A(x),A(y)&gt;=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;. In der Tat:

Für &lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt; ist das trivial. Sei also &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; voraussgesetzt.

&lt;math&gt; \vert x-(-x)\vert^2 = \vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow \vert 2x\vert^2 =\vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow 4\vert x\vert^2 = \vert A(x)\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert A(-x)\vert^2 =_{(ii)}\vert x\vert^2- &lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert -x\vert^2 = 2\vert x\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow 2\vert x\vert^2 = -2&lt;A(x),A(y)&gt; &lt;/math&gt;

Andererseits gilt mit (ii):

&lt;math&gt;2\vert x\vert^2 = 2\vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Hieraus folgt:

&lt;math&gt;\vert &lt;A(x),A(-x)&gt; \vert = \vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Das bedeutet, dass in der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung Gleichheit gilt. Daher folgt:

&lt;math&gt; \exists \lambda\in\mathbb{R}:A(-x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;, ist &lt;math&gt;x\not=-x&lt;/math&gt; und damit &lt;math&gt;\vert x-(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt; und folglich &lt;math&gt;\vert A(x)-A(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt;. Hieraus folgt aber: &lt;math&gt;A(x)\not=A(-x)&lt;/math&gt;. Da allerdings wegen (ii) andererseits auch gilt, dass &lt;math&gt;\vert A(-x)\vert =\vert -x\vert = \vert x\vert =\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, folgt schon: &lt;math&gt;\lambda=-1&lt;/math&gt;. Es gilt also:

&lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n: A(-x)=-A(x)&lt;/math&gt; (*)

Mit (i) und (ii) folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),A(y)&gt; = \frac{1}{2}(\vert A(x)+ A(y)\vert^2 -\vert A(x)\vert^2 -\vert A(y)\vert^2)=_{(*)}\frac{1}{2}(\vert A(x)-A(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x-(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2 = &lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;.


(iv) 

''Erster Teil der Linearität'': &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)= \lambda A(x)&lt;/math&gt;

Mit (iii) folgt unmittelbar:

&lt;math&gt; \vert &lt;A(\lambda x), A(x)&gt;\vert =\vert &lt;\lambda x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert &lt;x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert x\vert^2 = \vert \lambda x\vert \vert x\vert = \vert A(\lambda x)\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;.

In der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung gilt also abermals Gleichheit und es folgt:

&lt;math&gt;\exists\mu\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\mu A(x)&lt;/math&gt;

Hieraus folgt wegen &lt;math&gt; \vert A(\lambda x)\vert =\vert \lambda x\vert =\vert \lambda \vert \vert x\vert= \vert \lambda\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, dass &lt;math&gt;\vert\lambda\vert=\vert\mu\vert &lt;/math&gt;.

Dabei entfällt der Fall &lt;math&gt;\lambda=-\mu&lt;/math&gt;, da dann insbsondere für &lt;math&gt;\lambda=1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; mit (iii) folgen würde, dass &lt;math&gt;A(x)=-A(x)=A(-x)\Rightarrow x=0&lt;/math&gt; im Widerspruch zu der gerade gemachten Voraussetzung &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;.

Also: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;


(v)

''Zweiter Teil der Linearität'':&lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:A(x+y)=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


Es seien &lt;math&gt;e_1=(1,...,0),...,e_n=(0,...,1)&lt;/math&gt; die Einheitsvektoren im &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; und ferner sei &lt;math&gt; f_i=A(e_i)&lt;/math&gt;. Für einen beliebigen Vektor &lt;math&gt;x=(x_1,...,x_n)&lt;/math&gt; gilt dann, dass &lt;math&gt;x_i= &lt;x,e_i&gt; &lt;/math&gt;. Es folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),f_i&gt;= &lt;A(x),A(e_i)&gt; = &lt;x,e_i&gt;=x_i&lt;/math&gt;

Das Bild von &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bei der orthogonalen Projektion von &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;\mathbb{R}f_i&lt;/math&gt; ist also der Vektor &lt;math&gt;x_if_i&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt; &lt;f_i,f_j&gt;=&lt;e_i,e_j&gt;=0 &lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i\not=j&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; &lt;e_i,e_j&gt;=1&lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i=j&lt;/math&gt;, bilden die Geraden &lt;math&gt; \mathbb{R}f_1,...,\mathbb{R}f_n&lt;/math&gt; ein anderers kartesisches Koordinatensystem (d.h. die Bilder der Basisvektoren bilden wieder eine Basis des &lt;math&gt; \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;)und die i-te Komponente des Vektors &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bezüglich dieser Basis ist &lt;math&gt;x_i&lt;/math&gt;. Daher folgt:

&lt;math&gt;A(x)=\sum_{i=1}^n x_if_i =\sum_{i=1}^n x_iA(e_i)&lt;/math&gt;

Diese Formel ist linear in den Koeffizienten &lt;math&gt; x_i &lt;/math&gt;, so dass folgt:

&lt;math&gt; A(x+y)=\sum_{i=1}^n (x_i+y_i)f_i=\sum_{i=1}^n x_if_i + \sum_{i=1}^n y_if_i=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


===(6) Lineare Abbildungen im Körper der reelen Zahlen===


Man betrachte zunächst die Menge &lt;math&gt;\mathcal{A}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x+y)=f(x)+f(y)\}&lt;/math&gt;

(i)

Es gilt &lt;math&gt;f(0)=0&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;f(1)=f(1+0)=f(1)+f(0)\Rightarrow f(0)=0&lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(-x)=-f(x)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)\Rightarrow -f(x)=f(-x)&lt;/math&gt;


(iii)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}_0:f(n)=f(1)n&lt;/math&gt;.

Beweis durch vollständige Induktion:

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0)=0=f(1)\cdot 0&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f(n+1)=f(n)+f(1)=_{Ind.Vor.}f(1)n+f(1)=f(1)(n+1)&lt;/math&gt;


(iv)

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb{Z}:f(z)=f(1)z&lt;/math&gt;.

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}_0^+&lt;/math&gt; ist das klar laut (iii).

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}^-&lt;/math&gt; gilt: &lt;math&gt;\exists n\in\mathbb{N}:z=-n&lt;/math&gt;. Mit (ii) und (iii) folgt dann: &lt;math&gt;f(z)=f(-n)=-f(n)=-f(1)n=f(1)(-n)=f(1)z&lt;/math&gt;


(v)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}:\forall x\in\mathbb{R}:f(nx)=nf(x)&lt;/math&gt;

Beweis durch vollständige Induktion

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; beliebig.

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0\cdot x)=f(0)=0=0\cdot f(x)&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f((n+1)x)=f(nx+x)=f(nx)+f(x)=_{Ind.Vor.}nf(x)+f(x)=(n+1)f(x)&lt;/math&gt;


(vi)

Genauso wie in (iv) folgert man nun aus (v):

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb{Z}:\forall x\in\mathbb{R}:f(zx)=zf(x)&lt;/math&gt;


(vii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{Q}:f(x)=f(1)x&lt;/math&gt;

Sei also &lt;math&gt;q\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; beliebig, dann folgt:

&lt;math&gt; f\left(\frac{1}{q}\right)=f\left(1+\left(-\frac{q-1}{q}\right)\right)=f(1)+f\left(-\frac{q-1}{q}\right)=_{(ii)}f(1)-f\left(\frac{q-1}{q}\right)=_{(v)}f(1)-(q-1)f\left(\frac{1}{q}\right)&lt;/math&gt;

Also: &lt;math&gt;f\left(\frac{1}{q}\right)=f(1)-(q-1)f\left(\frac{1}{q}\right)\Leftrightarrow f\left(\frac{1}{q}\right)=\frac{1}{q}f(1)&lt;/math&gt;.

Hieraus folgt mit (vi) und (iv) leicht die Behauptung.


(viii)

Man betrachte nun folgende Mengen:

wie oben:&lt;math&gt;\mathcal{A}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x+y)=f(x)+f(y)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\mathcal{B}:=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;eine\;orthogonale\;Transformation\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\mathcal{C}:=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;linear\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\mathcal{C}(f,\mathbb{R}):=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;stetig\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\mathcal{A}_1:=\{f\in\mathcal{A}\vert f\;ist\;stetig\}&lt;/math&gt;


Wegen (1) und wegen (5) gilt:

&lt;math&gt;\mathcal{B}\subseteq\mathcal{C}\subseteq\mathcal{A}\land\mathcal{B}\subseteq\mathcal{C}(f,\mathbb{R})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow\mathcal{B}\subseteq\mathcal{A}_1&lt;/math&gt;

Im Folgenden sei darum zusätzlich vorausgesetzt, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; stetig ist auf &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;.


(ix)

&lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(x)=f(1)x &lt;/math&gt;, denn:

Für &lt;math&gt;x\in\mathbb{Q}&lt;/math&gt; ist das klar laut (vii).

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}&lt;/math&gt; beliebig. Dann gibt es gewiss eine Folge &lt;math&gt;(x)_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; von ausschließlich rationalen Zahlen mit der Eigenschaft: &lt;math&gt;\lim_{n\to\infty}x_n =x&lt;/math&gt;. Mit der Stetigkeit von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; folgt dann mit entsprechenden Grenzwertrechenregeln:

&lt;math&gt;f(x)=f(\lim_{n\to\infty}x_n)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lim_{n\to\infty}f(1)x_n=f(1)\lim_{n\to\infty}x_n=f(1)x&lt;/math&gt;.

Die Behauptung folgt.


(x)

&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ist abstandserhaltend dann und nur dann, wenn &lt;math&gt;\vert f(1)\vert=1&lt;/math&gt;:

Seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; beliebig mit &lt;math&gt;x\not=y&lt;/math&gt;, dann gilt:

&lt;math&gt;\vert f(x)-f(y)\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)x-f(1)y\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)\vert \vert x-y\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow \vert f(1)\vert =1&lt;/math&gt;


(xi)

Mit den Bezeichnungen aus (viii) und mit der Festlegung 

&lt;math&gt;\mathcal{D}:=\{f\in\mathcal{A}\vert\;\vert f(1)\vert =1\}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x)=ax\;(\vert a\vert=1)\}&lt;/math&gt;

gilt:

Wegen (5) gilt &lt;math&gt;\mathcal{B}\subseteq\mathcal{C}\subseteq\mathcal{A}&lt;/math&gt;. Hieraus folgt wegen (x), dass &lt;math&gt;\mathcal{B}\subseteq\mathcal{D}&lt;/math&gt;. Da aber &lt;math&gt;\forall f\in\mathcal{A}:f(0)=0&lt;/math&gt; gilt, folgt schon, dass &lt;math&gt;\mathcal{B}=\mathcal{D}&lt;/math&gt;.

===(7) Symmetriegruppe von Z===


Wegen (4) und (6)(xi) folgt:

&lt;math&gt;\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert=1;\;b\in\mathbb{R})\}&lt;/math&gt;.

Hier muss man nun lediglich noch die Bewegungen finden, für die &lt;math&gt;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}&lt;/math&gt; gilt. Das ist jedoch ein mehr als simples Problem und man sieht schnell ein:

&lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert =1;\;b\in\mathbb{Z})\}&lt;/math&gt;.</text>
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    <timestamp>2006-03-18T16:49:17Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>Gallois</username>
      <id>11129</id>
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    <comment>kategorisiert</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="13782" xml:space="preserve">==Klärung von für die Aufgabenstellung wichtigen Begriffen==

Ehe man zur eigentlichen Aufgabenstellungen schreitet, empfiehlt es sich drei Begriffe vorab zu klären, da diese in der Fachliteratur unter verschiedenen Namen geführt werden.

'''Bewegung''': Eine Bewegung ist eine Abbildung &lt;math&gt;F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die Abstände respektiert, d.h. es gilt &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:\left|F(x)-F(y)\right|=\left|x-y\right|&lt;/math&gt;.

'''orthogonale Transformation''': Dies ist eine Bewegung, die den Ursprung fest lässt, d.h. es gilt: &lt;math&gt;F(0)=0&lt;/math&gt;.

'''Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;''': Unter der Symmetriegruppe einer Menge &lt;math&gt;M\subseteq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; versteht man die Menge &lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(M)=M\}&lt;/math&gt;, also die Menge aller Bewegungen des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, die &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; in sich selbst überführen.

==Aufgabenstellung==

Man bestimme die Symmetriegruppe &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;.


==Tipp==

Man beachte zunächst, dass &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; eine ''diskrete'' Teilmenge von &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; ist. Man fertige eine Zeichnung an, die dies veranschaulicht: Die Elemente von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; sind salopp gesagt Perlen einer Perlenkette und die Kette selbst ist &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;. Anhand dieser Zeichnung ermittele man alle Symmetrien von &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; und versuche diese mit Hilfe von Abbildungen &lt;math&gt;F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}&lt;/math&gt; zu beschreiben. Dann bleibt nur noch zu zeigen, dass dies in der Tat alle Symmetrien sind.


==Lösung==

Die Lösung ist nicht ganz einfach und muss in mehreren Etappen erkämpft werden.


===(1) Stetigkeit von Bewegungen===


''Behauptung'': 

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung. Dann ist &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; stetig.

''Beweis'':

Es sei &lt;math&gt;F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine abstandserhaltende Abbildung und &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ein beliebiger Punkt. Ferner sei &lt;math&gt;\epsilon&gt;0&lt;/math&gt; beliebig vorgegeben.
Dann folgt mit &lt;math&gt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt;, für die &lt;math&gt;\vert y-x\vert&lt;\delta&lt;/math&gt; gilt:

&lt;math&gt;\vert F(y)-F(x)\vert=\vert y-x\vert&lt;\delta=\epsilon&lt;/math&gt;, was die Stetigkeit liefert.

===(2) Komposition von Bewegungen===


''Behauptung'':

Seien &lt;math&gt;F,G:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; Bewegungen. Dann ist auch &lt;math&gt;F\circ G&lt;/math&gt; eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig. Dann gilt:

&lt;math&gt;\vert (F\circ G)(x)-(F\circ G)(y)\vert = \vert F(G(x))-F(G(y))\vert =\vert G(x)-G(y)\vert=\vert x-y\vert &lt;/math&gt;


===(3) Translationen===


''Behauptung'':

Es sei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n;\;x\mapsto x+b\;(b\in\mathbb{R}^n)&lt;/math&gt; eine Translation. Dann gilt: &lt;math&gt;T_b&lt;/math&gt; ist eine Bewegung.

''Beweis'':

Es seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; beliebig.

&lt;math&gt;\vert T_b(x)-T_b(y)\vert =\vert (x+b)-(y+b)\vert =\vert x+b-y-b\vert =\vert x-y\vert&lt;/math&gt;


===(4) Darstellung von Bewegungen mit Translationen und orthogonalen Transformationen===


''Behauptung'': 

Jede Bewegung &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; lässt sich in der Form &lt;math&gt;F=T_b\circ f&lt;/math&gt; schreiben, wobei &lt;math&gt;T_b:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine Translation und &lt;math&gt;f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist. 

''Beweis'':

Ist etwa &lt;math&gt;F(0)=b&lt;/math&gt;, so ist &lt;math&gt;f:=T_{-b}\circ F&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation, denn:

&lt;math&gt;f(0)=(T_{-b}\circ F)(0)=T_{-b}(f(0))=T_{-b}(b)=b+(-b)=0&lt;/math&gt;

Mit (2) und (3) folgt hieraus, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; eine orthogonale Transformation ist.

Es folgt dann weiter:

&lt;math&gt;T_b\circ f=T_b\circ (T_{-b}\circ F)=(T_b\circ T_{-b})\circ F= id_{\mathbb{R}^n}\circ F=F&lt;/math&gt;.

Die Behauptung folgt.


===(5) Linearität orthogonaler Transformationen===


Bemerkung: Dies ist der mit Abstand schwierigste Satz, der für die Lösung gebraucht wird.


''Behauptung'':

Jede orthogonale Transformation &lt;math&gt;A:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; ist linear.


''Beweis'':


(i)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;x,y&gt;=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x+y\vert^2= &lt;x+y,x+y&gt;= &lt;x,x&gt; +2&lt;x,y&gt;+&lt;y,y&gt;=\vert x\vert^2 +\vert y\vert^2 +2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2=2&lt;x,y&gt;&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow \frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\vert x\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;\vert x\vert=\vert x-0\vert= \vert A(x)-A(0)\vert=\vert A(x)-0\vert=\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;


(iii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n: &lt;A(x),A(y)&gt;=&lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;. In der Tat:

Für &lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt; ist das trivial. Sei also &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; voraussgesetzt.

&lt;math&gt; \vert x-(-x)\vert^2 = \vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow \vert 2x\vert^2 =\vert A(x)-A(-x)\vert^2 &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow 4\vert x\vert^2 = \vert A(x)\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert A(-x)\vert^2 =_{(ii)}\vert x\vert^2- &lt;A(x),A(-x)&gt; +\vert -x\vert^2 = 2\vert x\vert^2 -2&lt;A(x),A(-x)&gt; &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow 2\vert x\vert^2 = -2&lt;A(x),A(y)&gt; &lt;/math&gt;

Andererseits gilt mit (ii):

&lt;math&gt;2\vert x\vert^2 = 2\vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Hieraus folgt:

&lt;math&gt;\vert &lt;A(x),A(-x)&gt; \vert = \vert A(x)\vert \vert A(-x)\vert &lt;/math&gt;

Das bedeutet, dass in der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung Gleichheit gilt. Daher folgt:

&lt;math&gt; \exists \lambda\in\mathbb{R}:A(-x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;, ist &lt;math&gt;x\not=-x&lt;/math&gt; und damit &lt;math&gt;\vert x-(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt; und folglich &lt;math&gt;\vert A(x)-A(-x)\vert\not=0&lt;/math&gt;. Hieraus folgt aber: &lt;math&gt;A(x)\not=A(-x)&lt;/math&gt;. Da allerdings wegen (ii) andererseits auch gilt, dass &lt;math&gt;\vert A(-x)\vert =\vert -x\vert = \vert x\vert =\vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, folgt schon: &lt;math&gt;\lambda=-1&lt;/math&gt;. Es gilt also:

&lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n: A(-x)=-A(x)&lt;/math&gt; (*)

Mit (i) und (ii) folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),A(y)&gt; = \frac{1}{2}(\vert A(x)+ A(y)\vert^2 -\vert A(x)\vert^2 -\vert A(y)\vert^2)=_{(*)}\frac{1}{2}(\vert A(x)-A(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x-(-y)\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2)=\frac{1}{2}(\vert x+y\vert^2 -\vert x\vert^2 -\vert y\vert^2 = &lt;x,y&gt; &lt;/math&gt;.


(iv) 

''Erster Teil der Linearität'': &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)= \lambda A(x)&lt;/math&gt;

Mit (iii) folgt unmittelbar:

&lt;math&gt; \vert &lt;A(\lambda x), A(x)&gt;\vert =\vert &lt;\lambda x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert &lt;x,x&gt;\vert = \vert \lambda \vert \vert x\vert^2 = \vert \lambda x\vert \vert x\vert = \vert A(\lambda x)\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;.

In der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung gilt also abermals Gleichheit und es folgt:

&lt;math&gt;\exists\mu\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\mu A(x)&lt;/math&gt;

Hieraus folgt wegen &lt;math&gt; \vert A(\lambda x)\vert =\vert \lambda x\vert =\vert \lambda \vert \vert x\vert= \vert \lambda\vert \vert A(x)\vert&lt;/math&gt;, dass &lt;math&gt;\vert\lambda\vert=\vert\mu\vert &lt;/math&gt;.

Dabei entfällt der Fall &lt;math&gt;\lambda=-\mu&lt;/math&gt;, da dann insbsondere für &lt;math&gt;\lambda=1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; mit (iii) folgen würde, dass &lt;math&gt;A(x)=-A(x)=A(-x)\Rightarrow x=0&lt;/math&gt; im Widerspruch zu der gerade gemachten Voraussetzung &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt;.

Also: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}^n:\forall \lambda\in\mathbb{R}:A(\lambda x)=\lambda A(x)&lt;/math&gt;


(v)

''Zweiter Teil der Linearität'':&lt;math&gt;\forall x,y\in\mathbb{R}^n:A(x+y)=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


Es seien &lt;math&gt;e_1=(1,...,0),...,e_n=(0,...,1)&lt;/math&gt; die Einheitsvektoren im &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; und ferner sei &lt;math&gt; f_i=A(e_i)&lt;/math&gt;. Für einen beliebigen Vektor &lt;math&gt;x=(x_1,...,x_n)&lt;/math&gt; gilt dann, dass &lt;math&gt;x_i= &lt;x,e_i&gt; &lt;/math&gt;. Es folgt:

&lt;math&gt; &lt;A(x),f_i&gt;= &lt;A(x),A(e_i)&gt; = &lt;x,e_i&gt;=x_i&lt;/math&gt;

Das Bild von &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bei der orthogonalen Projektion von &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;\mathbb{R}f_i&lt;/math&gt; ist also der Vektor &lt;math&gt;x_if_i&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt; &lt;f_i,f_j&gt;=&lt;e_i,e_j&gt;=0 &lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i\not=j&lt;/math&gt; und &lt;math&gt; &lt;e_i,e_j&gt;=1&lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;i=j&lt;/math&gt;, bilden die Geraden &lt;math&gt; \mathbb{R}f_1,...,\mathbb{R}f_n&lt;/math&gt; ein anderers kartesisches Koordinatensystem (d.h. die Bilder der Basisvektoren bilden wieder eine Basis des &lt;math&gt; \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;)und die i-te Komponente des Vektors &lt;math&gt;A(x)&lt;/math&gt; bezüglich dieser Basis ist &lt;math&gt;x_i&lt;/math&gt;. Daher folgt:

&lt;math&gt;A(x)=\sum_{i=1}^n x_if_i =\sum_{i=1}^n x_iA(e_i)&lt;/math&gt;

Diese Formel ist linear in den Koeffizienten &lt;math&gt; x_i &lt;/math&gt;, so dass folgt:

&lt;math&gt; A(x+y)=\sum_{i=1}^n (x_i+y_i)f_i=\sum_{i=1}^n x_if_i + \sum_{i=1}^n y_if_i=A(x)+A(y)&lt;/math&gt;


===(6) Lineare Abbildungen im Körper der reelen Zahlen===


Man betrachte zunächst die Menge &lt;math&gt;\mathcal{A}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x+y)=f(x)+f(y)\}&lt;/math&gt;

(i)

Es gilt &lt;math&gt;f(0)=0&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;f(1)=f(1+0)=f(1)+f(0)\Rightarrow f(0)=0&lt;/math&gt;


(ii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(-x)=-f(x)&lt;/math&gt;, denn:

&lt;math&gt;0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)\Rightarrow -f(x)=f(-x)&lt;/math&gt;


(iii)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}_0:f(n)=f(1)n&lt;/math&gt;.

Beweis durch vollständige Induktion:

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0)=0=f(1)\cdot 0&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f(n+1)=f(n)+f(1)=_{Ind.Vor.}f(1)n+f(1)=f(1)(n+1)&lt;/math&gt;


(iv)

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb{Z}:f(z)=f(1)z&lt;/math&gt;.

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}_0^+&lt;/math&gt; ist das klar laut (iii).

Für &lt;math&gt;z\in\mathbb{Z}^-&lt;/math&gt; gilt: &lt;math&gt;\exists n\in\mathbb{N}:z=-n&lt;/math&gt;. Mit (ii) und (iii) folgt dann: &lt;math&gt;f(z)=f(-n)=-f(n)=-f(1)n=f(1)(-n)=f(1)z&lt;/math&gt;


(v)

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}:\forall x\in\mathbb{R}:f(nx)=nf(x)&lt;/math&gt;

Beweis durch vollständige Induktion

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; beliebig.

Induktionsanfang:&lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;f(0\cdot x)=f(0)=0=0\cdot f(x)&lt;/math&gt;

Induktionsschluss:

&lt;math&gt;f((n+1)x)=f(nx+x)=f(nx)+f(x)=_{Ind.Vor.}nf(x)+f(x)=(n+1)f(x)&lt;/math&gt;


(vi)

Genauso wie in (iv) folgert man nun aus (v):

&lt;math&gt;\forall z\in\mathbb{Z}:\forall x\in\mathbb{R}:f(zx)=zf(x)&lt;/math&gt;


(vii)

Es gilt: &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{Q}:f(x)=f(1)x&lt;/math&gt;

Sei also &lt;math&gt;q\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; beliebig, dann folgt:

&lt;math&gt; f\left(\frac{1}{q}\right)=f\left(1+\left(-\frac{q-1}{q}\right)\right)=f(1)+f\left(-\frac{q-1}{q}\right)=_{(ii)}f(1)-f\left(\frac{q-1}{q}\right)=_{(v)}f(1)-(q-1)f\left(\frac{1}{q}\right)&lt;/math&gt;

Also: &lt;math&gt;f\left(\frac{1}{q}\right)=f(1)-(q-1)f\left(\frac{1}{q}\right)\Leftrightarrow f\left(\frac{1}{q}\right)=\frac{1}{q}f(1)&lt;/math&gt;.

Hieraus folgt mit (vi) und (iv) leicht die Behauptung.


(viii)

Man betrachte nun folgende Mengen:

wie oben:&lt;math&gt;\mathcal{A}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x+y)=f(x)+f(y)\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\mathcal{B}:=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;eine\;orthogonale\;Transformation\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\mathcal{C}:=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;linear\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\mathcal{C}(f,\mathbb{R}):=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f\;ist\;stetig\}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\mathcal{A}_1:=\{f\in\mathcal{A}\vert f\;ist\;stetig\}&lt;/math&gt;


Wegen (1) und wegen (5) gilt:

&lt;math&gt;\mathcal{B}\subseteq\mathcal{C}\subseteq\mathcal{A}\land\mathcal{B}\subseteq\mathcal{C}(f,\mathbb{R})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow\mathcal{B}\subseteq\mathcal{A}_1&lt;/math&gt;

Im Folgenden sei darum zusätzlich vorausgesetzt, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; stetig ist auf &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;.


(ix)

&lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R}:f(x)=f(1)x &lt;/math&gt;, denn:

Für &lt;math&gt;x\in\mathbb{Q}&lt;/math&gt; ist das klar laut (vii).

Es sei &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}&lt;/math&gt; beliebig. Dann gibt es gewiss eine Folge &lt;math&gt;(x)_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; von ausschließlich rationalen Zahlen mit der Eigenschaft: &lt;math&gt;\lim_{n\to\infty}x_n =x&lt;/math&gt;. Mit der Stetigkeit von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; folgt dann mit entsprechenden Grenzwertrechenregeln:

&lt;math&gt;f(x)=f(\lim_{n\to\infty}x_n)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lim_{n\to\infty}f(1)x_n=f(1)\lim_{n\to\infty}x_n=f(1)x&lt;/math&gt;.

Die Behauptung folgt.


(x)

&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ist abstandserhaltend dann und nur dann, wenn &lt;math&gt;\vert f(1)\vert=1&lt;/math&gt;:

Seien &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; beliebig mit &lt;math&gt;x\not=y&lt;/math&gt;, dann gilt:

&lt;math&gt;\vert f(x)-f(y)\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)x-f(1)y\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow\vert f(1)\vert \vert x-y\vert=\vert x-y\vert\Leftrightarrow \vert f(1)\vert =1&lt;/math&gt;


(xi)

Mit den Bezeichnungen aus (viii) und mit der Festlegung 

&lt;math&gt;\mathcal{D}:=\{f\in\mathcal{A}\vert\;\vert f(1)\vert =1\}=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert f(x)=ax\;(\vert a\vert=1)\}&lt;/math&gt;

gilt:

Wegen (5) gilt &lt;math&gt;\mathcal{B}\subseteq\mathcal{C}\subseteq\mathcal{A}&lt;/math&gt;. Hieraus folgt wegen (x), dass &lt;math&gt;\mathcal{B}\subseteq\mathcal{D}&lt;/math&gt;. Da aber &lt;math&gt;\forall f\in\mathcal{A}:f(0)=0&lt;/math&gt; gilt, folgt schon, dass &lt;math&gt;\mathcal{B}=\mathcal{D}&lt;/math&gt;.

===(7) Symmetriegruppe von Z===


Wegen (4) und (6)(xi) folgt:

&lt;math&gt;\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert=1;\;b\in\mathbb{R})\}&lt;/math&gt;.

Hier muss man nun lediglich noch die Bewegungen finden, für die &lt;math&gt;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}&lt;/math&gt; gilt. Das ist jedoch ein mehr als simples Problem und man sieht schnell ein:

&lt;math&gt;S=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F\;ist\;eine\;Bewegung\;und\;F(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}\}=\{F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\vert F(x)=ax+b\;(\vert a\vert =1;\;b\in\mathbb{Z})\}&lt;/math&gt;.

[[Kategorie:Lineare Algebra]]</text>
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  <title>Eigenwerte der Inversen einer invertierbaren Matrix</title>
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    </contributor>
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    <text bytes="2104" xml:space="preserve">==Aufgabenstellung==

Es sei &lt;math&gt;A\in K^{n\times n}&lt;/math&gt; eine invertierbare Matrix über einem Körper &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;. Ferner sei &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; ein Eigenwert von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

Man zeige: &lt;math&gt;\lambda\not=0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\lambda^{-1}&lt;/math&gt; ist Eigenwert von &lt;math&gt;A^{-1}&lt;/math&gt;.


==Tipp==

Man benutze die Definition der Eigenwerte


==Lösung==

Es sei &lt;math&gt;\chi_A&lt;/math&gt; das charakteristische Polynom von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;E_n&lt;/math&gt; die (&lt;math&gt;n\times n&lt;/math&gt;)-Einheitsmatrix.

Annahme: &lt;math&gt;\lambda =0&lt;/math&gt;, dann folgt:

&lt;math&gt;\chi_A(\lambda)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A-\lambda E_n)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A-0\cdot E_n)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow A\not\in Gl(n,K)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow A&lt;/math&gt; ist nicht invertierbar (Widerspruch zur Voraussetzung!)

Also ist &lt;math&gt;\lambda\not= 0&lt;/math&gt;, insbesondere existiert &lt;math&gt;\lambda^{-1}\in K&lt;/math&gt;.

Da &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; Eigenwert von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; ist, hat die Gleichung &lt;math&gt;A(x)=\lambda x;\;x\in K^n&lt;/math&gt; eine nicht-triviale Lösung  &lt;math&gt;v\in K^n\setminus\{0\}&lt;/math&gt;, d.h. es gilt:

&lt;math&gt;\exists v\in K^n\setminus\{0\}:A(v)=\lambda v&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\exists v\in K^n\setminus\{0\}: A^{-1}(\lambda v)=v&lt;/math&gt; (da &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; ja invertierbar ist)

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\exists v\in K^n\setminus\{0\}:A^{-1}(\lambda v)=\lambda^{-1}(\lambda v)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; die Gleichung &lt;math&gt;A^{-1}(x)=\lambda^{-1}x&lt;/math&gt; hat eine nicht-triviale Lösung &lt;math&gt;x\in K^n\setminus\{0\}&lt;/math&gt; (da ja &lt;math&gt;\lambda\not=0&lt;/math&gt; und da &lt;math&gt;v\not=0&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; die Gleichung &lt;math&gt;(A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)(x)=0&lt;/math&gt; hat eine nicht-triviale Lösung

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\ker(A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)\not=\{0\} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow (A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)\not\in Gl(n,K)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\chi_{A^{-1}}(\lambda^{-1})=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\lambda^{-1}&lt;/math&gt; ist Eigenwert von &lt;math&gt;A^{-1}&lt;/math&gt;.</text>
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      <username>Gallois</username>
      <id>11129</id>
    </contributor>
    <comment>kategorisiert</comment>
    <model>wikitext</model>
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    <text bytes="2135" xml:space="preserve">==Aufgabenstellung==

Es sei &lt;math&gt;A\in K^{n\times n}&lt;/math&gt; eine invertierbare Matrix über einem Körper &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;. Ferner sei &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; ein Eigenwert von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

Man zeige: &lt;math&gt;\lambda\not=0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\lambda^{-1}&lt;/math&gt; ist Eigenwert von &lt;math&gt;A^{-1}&lt;/math&gt;.


==Tipp==

Man benutze die Definition der Eigenwerte


==Lösung==

Es sei &lt;math&gt;\chi_A&lt;/math&gt; das charakteristische Polynom von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;E_n&lt;/math&gt; die (&lt;math&gt;n\times n&lt;/math&gt;)-Einheitsmatrix.

Annahme: &lt;math&gt;\lambda =0&lt;/math&gt;, dann folgt:

&lt;math&gt;\chi_A(\lambda)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A-\lambda E_n)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A-0\cdot E_n)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow A\not\in Gl(n,K)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow A&lt;/math&gt; ist nicht invertierbar (Widerspruch zur Voraussetzung!)

Also ist &lt;math&gt;\lambda\not= 0&lt;/math&gt;, insbesondere existiert &lt;math&gt;\lambda^{-1}\in K&lt;/math&gt;.

Da &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; Eigenwert von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; ist, hat die Gleichung &lt;math&gt;A(x)=\lambda x;\;x\in K^n&lt;/math&gt; eine nicht-triviale Lösung  &lt;math&gt;v\in K^n\setminus\{0\}&lt;/math&gt;, d.h. es gilt:

&lt;math&gt;\exists v\in K^n\setminus\{0\}:A(v)=\lambda v&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\exists v\in K^n\setminus\{0\}: A^{-1}(\lambda v)=v&lt;/math&gt; (da &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; ja invertierbar ist)

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\exists v\in K^n\setminus\{0\}:A^{-1}(\lambda v)=\lambda^{-1}(\lambda v)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; die Gleichung &lt;math&gt;A^{-1}(x)=\lambda^{-1}x&lt;/math&gt; hat eine nicht-triviale Lösung &lt;math&gt;x\in K^n\setminus\{0\}&lt;/math&gt; (da ja &lt;math&gt;\lambda\not=0&lt;/math&gt; und da &lt;math&gt;v\not=0&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; die Gleichung &lt;math&gt;(A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)(x)=0&lt;/math&gt; hat eine nicht-triviale Lösung

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\ker(A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)\not=\{0\} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow (A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)\not\in Gl(n,K)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\chi_{A^{-1}}(\lambda^{-1})=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\lambda^{-1}&lt;/math&gt; ist Eigenwert von &lt;math&gt;A^{-1}&lt;/math&gt;.

[[Kategorie:Lineare Algebra]]</text>
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    <contributor>
      <username>Mpraehofer</username>
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    </contributor>
    <comment>/* Lösung 2*/</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2578" xml:space="preserve">==Aufgabenstellung==

Es sei &lt;math&gt;A\in K^{n\times n}&lt;/math&gt; eine invertierbare Matrix über einem Körper &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;. Ferner sei &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; ein Eigenwert von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

Man zeige: &lt;math&gt;\lambda\not=0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\lambda^{-1}&lt;/math&gt; ist Eigenwert von &lt;math&gt;A^{-1}&lt;/math&gt;.


==Tipp==

Man benutze die Definition der Eigenwerte


==Lösung 1==

Es sei &lt;math&gt;\chi_A&lt;/math&gt; das charakteristische Polynom von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;E_n&lt;/math&gt; die (&lt;math&gt;n\times n&lt;/math&gt;)-Einheitsmatrix.

Annahme: &lt;math&gt;\lambda =0&lt;/math&gt;, dann folgt:

&lt;math&gt;\chi_A(\lambda)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A-\lambda E_n)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A-0\cdot E_n)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow A\not\in Gl(n,K)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow A&lt;/math&gt; ist nicht invertierbar (Widerspruch zur Voraussetzung!)

Also ist &lt;math&gt;\lambda\not= 0&lt;/math&gt;, insbesondere existiert &lt;math&gt;\lambda^{-1}\in K&lt;/math&gt;.

Da &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; Eigenwert von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; ist, hat die Gleichung &lt;math&gt;A(x)=\lambda x;\;x\in K^n&lt;/math&gt; eine nicht-triviale Lösung  &lt;math&gt;v\in K^n\setminus\{0\}&lt;/math&gt;, d.h. es gilt:

&lt;math&gt;\exists v\in K^n\setminus\{0\}:A(v)=\lambda v&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\exists v\in K^n\setminus\{0\}: A^{-1}(\lambda v)=v&lt;/math&gt; (da &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; ja invertierbar ist)

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\exists v\in K^n\setminus\{0\}:A^{-1}(\lambda v)=\lambda^{-1}(\lambda v)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; die Gleichung &lt;math&gt;A^{-1}(x)=\lambda^{-1}x&lt;/math&gt; hat eine nicht-triviale Lösung &lt;math&gt;x\in K^n\setminus\{0\}&lt;/math&gt; (da ja &lt;math&gt;\lambda\not=0&lt;/math&gt; und da &lt;math&gt;v\not=0&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; die Gleichung &lt;math&gt;(A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)(x)=0&lt;/math&gt; hat eine nicht-triviale Lösung

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\ker(A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)\not=\{0\} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow (A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)\not\in Gl(n,K)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\chi_{A^{-1}}(\lambda^{-1})=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\lambda^{-1}&lt;/math&gt; ist Eigenwert von &lt;math&gt;A^{-1}&lt;/math&gt;.

==Lösung 2==
Da &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; Eigenwert von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; ist, ist &lt;math&gt;(A-\lambda)&lt;/math&gt; nicht invertierbar. Da &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; invertierbar ist folgt &lt;math&gt;\lambda\neq0&lt;/math&gt;.

Nun ist &lt;math&gt;\lambda A(A^{-1}-\lambda^{-1})=(\lambda-A)&lt;/math&gt; nicht invertierbar, also muss mindestens einer der Faktoren nichtinvertierbar sein. Da &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; invertierbar sind, folgt, dass &lt;math&gt;(A^{-1}-\lambda^{-1})&lt;/math&gt; nicht invertierbar ist.</text>
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    <contributor>
      <username>Mpraehofer</username>
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    <comment>/* Lösung 2 */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2653" xml:space="preserve">==Aufgabenstellung==

Es sei &lt;math&gt;A\in K^{n\times n}&lt;/math&gt; eine invertierbare Matrix über einem Körper &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;. Ferner sei &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; ein Eigenwert von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

Man zeige: &lt;math&gt;\lambda\not=0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\lambda^{-1}&lt;/math&gt; ist Eigenwert von &lt;math&gt;A^{-1}&lt;/math&gt;.


==Tipp==

Man benutze die Definition der Eigenwerte


==Lösung 1==

Es sei &lt;math&gt;\chi_A&lt;/math&gt; das charakteristische Polynom von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;E_n&lt;/math&gt; die (&lt;math&gt;n\times n&lt;/math&gt;)-Einheitsmatrix.

Annahme: &lt;math&gt;\lambda =0&lt;/math&gt;, dann folgt:

&lt;math&gt;\chi_A(\lambda)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A-\lambda E_n)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A-0\cdot E_n)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow A\not\in Gl(n,K)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow A&lt;/math&gt; ist nicht invertierbar (Widerspruch zur Voraussetzung!)

Also ist &lt;math&gt;\lambda\not= 0&lt;/math&gt;, insbesondere existiert &lt;math&gt;\lambda^{-1}\in K&lt;/math&gt;.

Da &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; Eigenwert von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; ist, hat die Gleichung &lt;math&gt;A(x)=\lambda x;\;x\in K^n&lt;/math&gt; eine nicht-triviale Lösung  &lt;math&gt;v\in K^n\setminus\{0\}&lt;/math&gt;, d.h. es gilt:

&lt;math&gt;\exists v\in K^n\setminus\{0\}:A(v)=\lambda v&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\exists v\in K^n\setminus\{0\}: A^{-1}(\lambda v)=v&lt;/math&gt; (da &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; ja invertierbar ist)

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\exists v\in K^n\setminus\{0\}:A^{-1}(\lambda v)=\lambda^{-1}(\lambda v)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; die Gleichung &lt;math&gt;A^{-1}(x)=\lambda^{-1}x&lt;/math&gt; hat eine nicht-triviale Lösung &lt;math&gt;x\in K^n\setminus\{0\}&lt;/math&gt; (da ja &lt;math&gt;\lambda\not=0&lt;/math&gt; und da &lt;math&gt;v\not=0&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; die Gleichung &lt;math&gt;(A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)(x)=0&lt;/math&gt; hat eine nicht-triviale Lösung

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\ker(A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)\not=\{0\} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow (A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)\not\in Gl(n,K)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\chi_{A^{-1}}(\lambda^{-1})=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\lambda^{-1}&lt;/math&gt; ist Eigenwert von &lt;math&gt;A^{-1}&lt;/math&gt;.

==Lösung 2==
Da &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; Eigenwert von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; ist, ist &lt;math&gt;(A-\lambda)&lt;/math&gt; nicht invertierbar. Da &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; invertierbar ist folgt &lt;math&gt;\lambda\neq0&lt;/math&gt;.

Nun ist &lt;math&gt;\lambda A(A^{-1}-\lambda^{-1})=(\lambda-A)&lt;/math&gt; nicht invertierbar, also muss mindestens einer der Faktoren nichtinvertierbar sein. Da &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; invertierbar sind, folgt, dass &lt;math&gt;(A^{-1}-\lambda^{-1})&lt;/math&gt; nicht invertierbar ist. Somit ist &lt;math&gt;\lambda^{-1}&lt;/math&gt; ein Eigenwert von &lt;math&gt;A^{-1}&lt;/math&gt;.</text>
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  <title>Kategorie:Algebra und Diskrete Mathematik</title>
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    <contributor>
      <username>Gallois</username>
      <id>11129</id>
    </contributor>
    <comment>Kategorien-Beschreibung</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="838" xml:space="preserve">Die folgende Kurzbeschreibung soll einen Einblick geben, welche Aufgaben in dieser Kategorie zu finden sind.

Die '''diskrete Mathematik''' befasst sich mit mathematischen Strukturen, die endlich oder abzählbar sind. Im Gegensatz zu anderen Gebieten wie der [[:Kategorie:Analysis|Analysis]], die sich mit kontinuierlichen Strukturen beschäftigt, werden in der diskreten Mathematik Begriffe wie Stetigkeit nicht gebraucht. Anschaulich kann man sich den Begriff ''diskret'' als ''eckig'' verdeutlichen.

Zu den Kerngebieten der diskreten Mathematik zählen:
* Mathematische Logik
* Relationen
* Funktionen
* Kombinatorik
* Graphentheorie
* Zahlentheorie 
* Kodierungstheorie
* Kryptografie

* Zudem hat die diskrete Mathematik viele Berührungspunkte mit der '''Algebra''', weshalb sie hier in einer gemeinsamen Kategorie geführt werden.</text>
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  <title>Dimensionsformel für einen endlichen exakten Komplex</title>
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    <timestamp>2006-03-18T16:46:51Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>Gallois</username>
      <id>11129</id>
    </contributor>
    <comment>kategorisiert</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2139" xml:space="preserve">==Aufgabenstellung==

Ein endlicher exakter Komplex ist eine Folge von &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-Vektorraumhomomorphismen &lt;math&gt;f_k:V_k\rightarrow V_{k+1}\;(k=-1,\cdots, n)&lt;/math&gt; zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen, wobei gilt:

(a)&lt;math&gt;\;V_{-1}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;V_{n+1}&lt;/math&gt; sind jeweils der Nullvektorraum.

(b)&lt;math&gt;\;\operatorname{Bild}f_{k-1}=\ker f_k\;\forall k\in\{0,\cdots,n\}&lt;/math&gt;.


Man zeige: &lt;math&gt;\sum_{k=0}^n (-1)^k\dim V_k=0&lt;/math&gt;


==Tipp==

Man denke an Teleskopsummen.


==Lösung==


(1)

Mit den bekannten Dimensionsformel folgt hier:

&lt;math&gt;\forall k\in\{0,\cdots,n\}:\dim V_k=\operatorname{Bild} f_k + \dim\ker f_k&lt;/math&gt;


(2)

Da &lt;math&gt;f_{-1}:\{0\}\rightarrow V_0&lt;/math&gt; eine Abbildung ist, gibt es genau ein &lt;math&gt;v\in V_0&lt;/math&gt; mit der Eigenschaft &lt;math&gt;f_{-1}(0)=v&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt;f_{-1}&lt;/math&gt; andererseits &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-linear ist, folgt schon &lt;math&gt;v=0&lt;/math&gt;,d.h.:

&lt;math&gt;\operatorname{Bild}f_{-1}=\{0\}\Rightarrow\dim\operatorname{Bild}f_{-1}=0&lt;/math&gt;


(3)

Da &lt;math&gt;f_n&lt;/math&gt; in den Nullvektorraum abbildet, folgt:

&lt;math&gt;\operatorname{Bild}f_n=\{0\}\Rightarrow\dim\operatorname{Bild}f_n=0&lt;/math&gt;


(4)

&lt;math&gt;\operatorname{Bild}f_{k-1}=\ker f_k\Rightarrow\dim\operatorname{Bild}f_{k-1}=\dim\ker f_k\;\forall k\in\{0,\cdots,n\}&lt;/math&gt;


Damit folgt:

&lt;math&gt;\sum_{k=0}^n (-1)^k\dim V_k=_{(1)}\sum_{k=0}^n (-1)^k(\dim\operatorname{Bild}f_k+\dim\ker f_k)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\sum_{k=0}^n (-1)^k\dim\operatorname{Bild}f_k+\sum_{k=0}^n(-1)^k\dim\ker f_k&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=_{(4)}\sum_{k=0}^n(-1)^k\dim\operatorname{Bild}f_k+\sum_{k=0}^n(-1)^k\dim\operatorname{Bild}f_{k-1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\sum_{k=0}^n(-1)^k\dim\operatorname{Bild}f_k+\sum_{k=-1}^{n-1}(-1)^{k+1}\dim\operatorname{Bild}f_k&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=(-1)^n\dim\operatorname{Bild}f_n+\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\dim\operatorname{Bild}f_k+\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k+1}\dim\operatorname{Bild}f_k+(-1)^0\dim\operatorname{Bild}f_{-1}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=_{(2),(3)}0+\sum_{k=0}^{n-1}((-1)^k+(-1)^{k+1})\dim\operatorname{Bild}f_k+0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\sum_{k=0}^{n-1}0=0&lt;/math&gt;


Also:

&lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}:\sum_{k=0}^n(-1)^k\dim V_k=0&lt;/math&gt;

[[Kategorie:Lineare Algebra]]</text>
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  <title>Kategorie:Lineare Algebra</title>
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    <contributor>
      <username>Gallois</username>
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    </contributor>
    <comment>Handeinträge entfernt, da nun automatisch</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="424" xml:space="preserve">Die folgende Kurzbeschreibung soll einen Einblick geben, welche Aufgaben in dieser Kategorie zu finden sind.

'''Lineare Algebra''' ist der Zweig der Mathematik, der sich mit Vektoren, Vektorräumen, linearen Abbildungen und linearen Gleichungssystemen befasst. Da der Begriff des Vektorraumes ein wichtiges Hilfsmittel in vielen Bereichen der Mathematik ist, gilt die lineare Algebra als eine der Grundlagen der Mathematik.</text>
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  <title>Kategorie Diskussion:Lineare Algebra</title>
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    <contributor>
      <username>Gallois</username>
      <id>11129</id>
    </contributor>
    <comment>Auf richtige Kategoriesierung hingewiesen</comment>
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    <text bytes="324" xml:space="preserve">Man braucht die einzelnen Artikel nicht per Hand in die Kategorienseite einzutragen, wenn man einfach ans Ende eines jeden Artikels einen Link zur Kategorie anhängt. Der sieht zum Beispiel so aus: &lt;tt&gt;&lt;nowiki&gt;[[Kategorie:Lineare Algebra]]
&lt;/nowiki&gt;&lt;/tt&gt;
Dann werden diese automatisch auch auf der Kategorienseite angezeigt.</text>
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  <title>Cauchy-Folgen und gleichmäßige Stetigkeit</title>
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    </contributor>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1731" xml:space="preserve">==Aufgabenstellung==

Es sei &lt;math&gt;I\subset\mathbb{R}&lt;/math&gt; ein Intervall und &lt;math&gt;f:I\rightarrow\mathbb{R}&lt;/math&gt; eine gleichmäßig stetige Funktion. Weiter sei &lt;math&gt;(x_n)_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; eine Cauchy-Folge in &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;.

Man zeige: &lt;math&gt;(f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; ist dann ebenfalls eine Cauchy-Folge.


==Tipp==

Man benutze die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit und der Cauchy-Folge


==Lösung==

Zunächst zu den Definitionen:

&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ist gleichmäßig stetig auf &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow(\forall\epsilon &gt;0:\exists\delta &gt;0:\forall x,y\in I:\vert x-y\vert &lt;\delta\Rightarrow\vert f(x)-f(y)\vert &lt;\epsilon)&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;(x_n)&lt;/math&gt; ist eine Cauchy-Folge

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\forall \epsilon_0:\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n -x_m\vert &lt;\epsilon_0&lt;/math&gt;


Sei nun &lt;math&gt;\epsilon &gt; 0 &lt;/math&gt; beliebig vorgegeben und ein entsprechendes &lt;math&gt;\delta &gt;0 &lt;/math&gt; gefunden. Dann gilt insbesondere:

&lt;math&gt;\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n - x_m\vert &lt;\delta &lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; gleichmäßig stetig ist und da &lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}:x_n\in I&lt;/math&gt; gilt, folgt hieraus mit der Definition der gleichmäßigen Stetigkeit:

&lt;math&gt;\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert f(x_n)-f(x_m)\vert &lt;\epsilon &lt;/math&gt;

Insgesamt gilt also:

&lt;math&gt;(\forall\epsilon &gt;0:\exists\delta &gt;0:\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n-x_m\vert &lt;\delta\Rightarrow\vert f(x_n)-f(x_m)\vert &lt;\epsilon) &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow\forall\epsilon &gt;0:\exists n_0:\forall n,m\ge n_0:\vert f(x_n)-f(x_m)\vert &lt;\epsilon &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow (f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; ist eine Cauchy-Folge


[[Kategorie:Analysis]]</text>
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    <contributor>
      <username>131.159.0.17</username>
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    </contributor>
    <comment>/* Lösung */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2230" xml:space="preserve">==Aufgabenstellung==

Es sei &lt;math&gt;I\subset\mathbb{R}&lt;/math&gt; ein Intervall und &lt;math&gt;f:I\rightarrow\mathbb{R}&lt;/math&gt; eine gleichmäßig stetige Funktion. Weiter sei &lt;math&gt;(x_n)_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; eine Cauchy-Folge in &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;.

Man zeige: &lt;math&gt;(f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; ist dann ebenfalls eine Cauchy-Folge.


==Tipp==

Man benutze die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit und der Cauchy-Folge


==Lösung 1==

Zunächst zu den Definitionen:

&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ist gleichmäßig stetig auf &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow(\forall\epsilon &gt;0:\exists\delta &gt;0:\forall x,y\in I:\vert x-y\vert &lt;\delta\Rightarrow\vert f(x)-f(y)\vert &lt;\epsilon)&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;(x_n)&lt;/math&gt; ist eine Cauchy-Folge

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\forall \epsilon_0:\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n -x_m\vert &lt;\epsilon_0&lt;/math&gt;


Sei nun &lt;math&gt;\epsilon &gt; 0 &lt;/math&gt; beliebig vorgegeben und ein entsprechendes &lt;math&gt;\delta &gt;0 &lt;/math&gt; gefunden. Dann gilt insbesondere:

&lt;math&gt;\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n - x_m\vert &lt;\delta &lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; gleichmäßig stetig ist und da &lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}:x_n\in I&lt;/math&gt; gilt, folgt hieraus mit der Definition der gleichmäßigen Stetigkeit:

&lt;math&gt;\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert f(x_n)-f(x_m)\vert &lt;\epsilon &lt;/math&gt;

Insgesamt gilt also:

&lt;math&gt;(\forall\epsilon &gt;0:\exists\delta &gt;0:\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n-x_m\vert &lt;\delta\Rightarrow\vert f(x_n)-f(x_m)\vert &lt;\epsilon) &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow\forall\epsilon &gt;0:\exists n_0:\forall n,m\ge n_0:\vert f(x_n)-f(x_m)\vert &lt;\epsilon &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow (f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; ist eine Cauchy-Folge

==Lösung 2==
Sei &lt;math&gt;\epsilon&gt;0&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; glm. stetig, gibt es ein &lt;math&gt;\delta&gt;0&lt;/math&gt;, s.d.f.a &lt;math&gt;x,y\in I&lt;/math&gt; aus &lt;math&gt;|x-y|&lt;\delta&lt;/math&gt; auch &lt;math&gt;|f(x)-f(y)|&lt;\epsilon&lt;/math&gt; folgt. Da &lt;math&gt;(x_n)&lt;/math&gt; Cauchy-Folge ist, gibt es zu diesem &lt;math&gt;\delta&lt;/math&gt; ein &lt;math&gt;N\in\mathbb{N}&lt;/math&gt;, s.d.f.a &lt;math&gt;n,m\geq N&lt;/math&gt; gilt, dass &lt;math&gt;|x_n-x_m|&lt;\delta&lt;/math&gt; und damit auch &lt;math&gt;|f(x_n)-f(x_m)|&lt;\epsilon&lt;/math&gt;, d.h. &lt;math&gt;(f(x_n))&lt;/math&gt; ist Cauchy-Folge.

[[Kategorie:Analysis]]</text>
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  <title>Logarithmus;unendliche Summme bestimmter Logarithmuswerte</title>
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    <timestamp>2006-03-19T09:11:26Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>84.165.135.215</username>
      <id>0</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2266" xml:space="preserve">==Aufgabenstellung==

Man zeige: &lt;math&gt;\sum_{n=2}^\infty \log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\log\left(\frac{1}{2}\right)&lt;/math&gt;


==Tipp==

Man zeige zunächst mittels vollständiger Induktion, dass für alle &lt;math&gt;N\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;N\ge 2&lt;/math&gt; gilt: &lt;math&gt;\prod_{n=2}^N \left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)&lt;/math&gt;


==Lösung==

Wir zeigen zunächst die Gleichung, die in dem Tipp angegeben ist.

''Induktionsanfang'':&lt;math&gt;N=2&lt;/math&gt;

Dann gilt:

&lt;math&gt;\prod_{n=2}^2\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\right)&lt;/math&gt;

Damit folgt die Behauptung im Falle &lt;math&gt;N=2&lt;/math&gt;


''Induktionssvoraussetzung'':

Für beliebiges &lt;math&gt;N\ge 2&lt;/math&gt; sei die Behauptung wahr.


''Induktionsbehauptung'':

Dann gilt die Gleichung auch für &lt;math&gt;N+1&lt;/math&gt;


''Induktionsschritt'':

&lt;math&gt;\prod_{n=2}^{N+1}\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\prod_{n=2}^N\left(1-\frac{1}{n^2}\right)\left(1-\frac{1}{(N+1)^2}\right)=_{Ind.Vor.}\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)\left(1-\frac{1}{(N+1)^2}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{(N+1)^2}+\frac{1}{N}-\frac{1}{N(N+1)^2}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{N(N+1)^2-N+(N+1)^2-1}{N(N+1)^2}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{1}{2}\frac{(N+1)^2(N+1)-(N+1)}{N(N+1)^2}=\frac{1}{2}\frac{(N+1)((N+1)^2-1)}{N(N+1)^2}=\frac{1}{2}\frac{(N+1)(N+1-1)(N+1+1)}{N(N+1)^2}=\frac{1}{2}\frac{N+1+1}{N+1}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N+1}\right)&lt;/math&gt;

Die Behauptung folgt.


Mit der Funktionalgleichung des Logarithmus und vollständiger Induktion zeigt man ferner sehr leicht, dass

&lt;math&gt;\forall 2\le N\in\mathbb{N}:\sum_{n=2}^N\log(n)=\log\left(\prod_{n=2}^N n\right)&lt;/math&gt;

gilt.

Nun ist der eigentliche Beweis kein Problem mehr:

&lt;math&gt;\sum_{n=2}^N\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\log\left(\prod_{n=2}^N \left(1-\frac{1}{n^2}\right)\right)=\log\left(\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)\right)&lt;/math&gt;

Mit der Stetigkeit der Logarithmus-Funktion (und dem Folgenkriterium für Stetigkeit) folgt sodann:

&lt;math&gt;\sum_{n=2}^\infty\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=2}^N\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\lim_{N\to\infty}\log\left(\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)\right)=\log\left(\frac{1}{2}\right)&lt;/math&gt;


[[Kategorie:Analysis]]</text>
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    <timestamp>2006-03-29T06:57:22Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>Mpraehofer</username>
      <id>20808</id>
    </contributor>
    <minor/>
    <comment>/* Tipp */  Fehler behoben</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2267" xml:space="preserve">==Aufgabenstellung==

Man zeige: &lt;math&gt;\sum_{n=2}^\infty \log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\log\left(\frac{1}{2}\right)&lt;/math&gt;


==Tipp==

Man zeige zunächst mittels vollständiger Induktion, dass für alle &lt;math&gt;N\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;N\ge 2&lt;/math&gt; gilt: &lt;math&gt;\prod_{n=2}^N \left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)&lt;/math&gt;

==Lösung==

Wir zeigen zunächst die Gleichung, die in dem Tipp angegeben ist.

''Induktionsanfang'':&lt;math&gt;N=2&lt;/math&gt;

Dann gilt:

&lt;math&gt;\prod_{n=2}^2\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\right)&lt;/math&gt;

Damit folgt die Behauptung im Falle &lt;math&gt;N=2&lt;/math&gt;


''Induktionssvoraussetzung'':

Für beliebiges &lt;math&gt;N\ge 2&lt;/math&gt; sei die Behauptung wahr.


''Induktionsbehauptung'':

Dann gilt die Gleichung auch für &lt;math&gt;N+1&lt;/math&gt;


''Induktionsschritt'':

&lt;math&gt;\prod_{n=2}^{N+1}\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\prod_{n=2}^N\left(1-\frac{1}{n^2}\right)\left(1-\frac{1}{(N+1)^2}\right)=_{Ind.Vor.}\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)\left(1-\frac{1}{(N+1)^2}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{(N+1)^2}+\frac{1}{N}-\frac{1}{N(N+1)^2}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{N(N+1)^2-N+(N+1)^2-1}{N(N+1)^2}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{1}{2}\frac{(N+1)^2(N+1)-(N+1)}{N(N+1)^2}=\frac{1}{2}\frac{(N+1)((N+1)^2-1)}{N(N+1)^2}=\frac{1}{2}\frac{(N+1)(N+1-1)(N+1+1)}{N(N+1)^2}=\frac{1}{2}\frac{N+1+1}{N+1}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N+1}\right)&lt;/math&gt;

Die Behauptung folgt.


Mit der Funktionalgleichung des Logarithmus und vollständiger Induktion zeigt man ferner sehr leicht, dass

&lt;math&gt;\forall 2\le N\in\mathbb{N}:\sum_{n=2}^N\log(n)=\log\left(\prod_{n=2}^N n\right)&lt;/math&gt;

gilt.

Nun ist der eigentliche Beweis kein Problem mehr:

&lt;math&gt;\sum_{n=2}^N\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\log\left(\prod_{n=2}^N \left(1-\frac{1}{n^2}\right)\right)=\log\left(\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)\right)&lt;/math&gt;

Mit der Stetigkeit der Logarithmus-Funktion (und dem Folgenkriterium für Stetigkeit) folgt sodann:

&lt;math&gt;\sum_{n=2}^\infty\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=2}^N\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\lim_{N\to\infty}\log\left(\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)\right)=\log\left(\frac{1}{2}\right)&lt;/math&gt;


[[Kategorie:Analysis]]</text>
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    <timestamp>2006-03-29T07:16:37Z</timestamp>
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      <username>Mpraehofer</username>
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    </contributor>
    <comment>/* Lösung */  Lösungsalternative</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="3117" xml:space="preserve">==Aufgabenstellung==

Man zeige: &lt;math&gt;\sum_{n=2}^\infty \log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\log\left(\frac{1}{2}\right)&lt;/math&gt;


==Tipp==

Man zeige zunächst mittels vollständiger Induktion, dass für alle &lt;math&gt;N\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;N\ge 2&lt;/math&gt; gilt: &lt;math&gt;\prod_{n=2}^N \left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)&lt;/math&gt;

==Lösung 1==

Wir zeigen zunächst die Gleichung, die in dem Tipp angegeben ist.

''Induktionsanfang'':&lt;math&gt;N=2&lt;/math&gt;

Dann gilt:

&lt;math&gt;\prod_{n=2}^2\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\right)&lt;/math&gt;

Damit folgt die Behauptung im Falle &lt;math&gt;N=2&lt;/math&gt;


''Induktionssvoraussetzung'':

Für beliebiges &lt;math&gt;N\ge 2&lt;/math&gt; sei die Behauptung wahr.


''Induktionsbehauptung'':

Dann gilt die Gleichung auch für &lt;math&gt;N+1&lt;/math&gt;


''Induktionsschritt'':

&lt;math&gt;\prod_{n=2}^{N+1}\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\prod_{n=2}^N\left(1-\frac{1}{n^2}\right)\left(1-\frac{1}{(N+1)^2}\right)=_{Ind.Vor.}\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)\left(1-\frac{1}{(N+1)^2}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{(N+1)^2}+\frac{1}{N}-\frac{1}{N(N+1)^2}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{N(N+1)^2-N+(N+1)^2-1}{N(N+1)^2}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{1}{2}\frac{(N+1)^2(N+1)-(N+1)}{N(N+1)^2}=\frac{1}{2}\frac{(N+1)((N+1)^2-1)}{N(N+1)^2}=\frac{1}{2}\frac{(N+1)(N+1-1)(N+1+1)}{N(N+1)^2}=\frac{1}{2}\frac{N+1+1}{N+1}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N+1}\right)&lt;/math&gt;

Die Behauptung folgt.


Mit der Funktionalgleichung des Logarithmus und vollständiger Induktion zeigt man ferner sehr leicht, dass

&lt;math&gt;\forall 2\le N\in\mathbb{N}:\sum_{n=2}^N\log(n)=\log\left(\prod_{n=2}^N n\right)&lt;/math&gt;

gilt.

Nun ist der eigentliche Beweis kein Problem mehr:

&lt;math&gt;\sum_{n=2}^N\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\log\left(\prod_{n=2}^N \left(1-\frac{1}{n^2}\right)\right)=\log\left(\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)\right)&lt;/math&gt;

Mit der Stetigkeit der Logarithmus-Funktion (und dem Folgenkriterium für Stetigkeit) folgt sodann:

&lt;math&gt;\sum_{n=2}^\infty\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=2}^N\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\lim_{N\to\infty}\log\left(\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)\right)=\log\left(\frac{1}{2}\right)&lt;/math&gt;

==Lösung 2==
Die Formel &lt;math&gt;\prod_{n=2}^N\left(1-\frac1{n^2}\right)=\frac12\left(1+\frac1{N}\right)&lt;/math&gt; gilt für &lt;math&gt;N=1&lt;/math&gt; (das leere Produkt ist &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;). Gilt sie für &lt;math&gt;N-1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;N\geq2&lt;/math&gt;, so auch für &lt;math&gt;N&lt;/math&gt;, denn

&lt;math&gt;\prod_{n=2}^N\left(1-\frac1{n^2}\right)=\frac12\left(1+\frac1{N-1}\right)\left(1-\frac1{N^2}\right) =\frac12\left(1+\frac1{N-1}-\frac1{N^2}-\frac1{(N-1)N^2}\right) =\frac12\left(1+\frac{N^2-(N-1)-1}{N^2(N-1)}\right)=\frac12\left(1+\frac1N\right),&lt;/math&gt;

somit gilt sie für alle &lt;math&gt;N\geq1&lt;/math&gt;.
Wegen der Stetigkeit des Logarithmus gilt nun

&lt;math&gt;\sum_{n=2}^\infty\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right) =\lim_{N\to\infty}\log\prod_{n=2}^N\left(1-\frac{1}{n^2}\right) =\lim_{N\to\infty}\log\left(\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)\right)=\log\left(\frac{1}{2}\right)&lt;/math&gt;

[[Kategorie:Analysis]]</text>
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      <username>Mpraehofer</username>
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    <comment>/* Lösung 2 */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="3118" xml:space="preserve">==Aufgabenstellung==

Man zeige: &lt;math&gt;\sum_{n=2}^\infty \log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\log\left(\frac{1}{2}\right)&lt;/math&gt;


==Tipp==

Man zeige zunächst mittels vollständiger Induktion, dass für alle &lt;math&gt;N\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;N\ge 2&lt;/math&gt; gilt: &lt;math&gt;\prod_{n=2}^N \left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)&lt;/math&gt;

==Lösung 1==

Wir zeigen zunächst die Gleichung, die in dem Tipp angegeben ist.

''Induktionsanfang'':&lt;math&gt;N=2&lt;/math&gt;

Dann gilt:

&lt;math&gt;\prod_{n=2}^2\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\right)&lt;/math&gt;

Damit folgt die Behauptung im Falle &lt;math&gt;N=2&lt;/math&gt;


''Induktionssvoraussetzung'':

Für beliebiges &lt;math&gt;N\ge 2&lt;/math&gt; sei die Behauptung wahr.


''Induktionsbehauptung'':

Dann gilt die Gleichung auch für &lt;math&gt;N+1&lt;/math&gt;


''Induktionsschritt'':

&lt;math&gt;\prod_{n=2}^{N+1}\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\prod_{n=2}^N\left(1-\frac{1}{n^2}\right)\left(1-\frac{1}{(N+1)^2}\right)=_{Ind.Vor.}\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)\left(1-\frac{1}{(N+1)^2}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{(N+1)^2}+\frac{1}{N}-\frac{1}{N(N+1)^2}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{N(N+1)^2-N+(N+1)^2-1}{N(N+1)^2}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{1}{2}\frac{(N+1)^2(N+1)-(N+1)}{N(N+1)^2}=\frac{1}{2}\frac{(N+1)((N+1)^2-1)}{N(N+1)^2}=\frac{1}{2}\frac{(N+1)(N+1-1)(N+1+1)}{N(N+1)^2}=\frac{1}{2}\frac{N+1+1}{N+1}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N+1}\right)&lt;/math&gt;

Die Behauptung folgt.


Mit der Funktionalgleichung des Logarithmus und vollständiger Induktion zeigt man ferner sehr leicht, dass

&lt;math&gt;\forall 2\le N\in\mathbb{N}:\sum_{n=2}^N\log(n)=\log\left(\prod_{n=2}^N n\right)&lt;/math&gt;

gilt.

Nun ist der eigentliche Beweis kein Problem mehr:

&lt;math&gt;\sum_{n=2}^N\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\log\left(\prod_{n=2}^N \left(1-\frac{1}{n^2}\right)\right)=\log\left(\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)\right)&lt;/math&gt;

Mit der Stetigkeit der Logarithmus-Funktion (und dem Folgenkriterium für Stetigkeit) folgt sodann:

&lt;math&gt;\sum_{n=2}^\infty\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=2}^N\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\lim_{N\to\infty}\log\left(\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)\right)=\log\left(\frac{1}{2}\right)&lt;/math&gt;

==Lösung 2==
Die Formel &lt;math&gt;\prod_{n=2}^N\left(1-\frac1{n^2}\right)=\frac12\left(1+\frac1{N}\right)&lt;/math&gt; gilt für &lt;math&gt;N=1&lt;/math&gt; (das leere Produkt ist &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;). Gilt sie für &lt;math&gt;N-1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;N\geq2&lt;/math&gt;, so auch für &lt;math&gt;N&lt;/math&gt;, denn

&lt;math&gt;\prod_{n=2}^N\left(1-\frac1{n^2}\right)=\frac12\left(1+\frac1{N-1}\right)\left(1-\frac1{N^2}\right) =\frac12\left(1+\frac1{N-1}-\frac1{N^2}-\frac1{(N-1)N^2}\right) =\frac12\left(1+\frac{N^2-(N-1)-1}{N^2(N-1)}\right)=\frac12\left(1+\frac1N\right),&lt;/math&gt;

somit gilt sie für alle &lt;math&gt;N\geq1&lt;/math&gt;.
Wegen der Stetigkeit des Logarithmus gilt nun

&lt;math&gt;\sum_{n=2}^\infty\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right) =\lim_{N\to\infty}\log\prod_{n=2}^N\left(1-\frac{1}{n^2}\right) =\lim_{N\to\infty}\log\left(\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)\right)=\log\left(\frac{1}{2}\right)&lt;/math&gt;.

[[Kategorie:Analysis]]</text>
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    <contributor>
      <username>Mpraehofer</username>
      <id>20808</id>
    </contributor>
    <minor/>
    <comment>/* Lösung 2 */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="3115" xml:space="preserve">==Aufgabenstellung==

Man zeige: &lt;math&gt;\sum_{n=2}^\infty \log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\log\left(\frac{1}{2}\right)&lt;/math&gt;


==Tipp==

Man zeige zunächst mittels vollständiger Induktion, dass für alle &lt;math&gt;N\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;N\ge 2&lt;/math&gt; gilt: &lt;math&gt;\prod_{n=2}^N \left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)&lt;/math&gt;

==Lösung 1==

Wir zeigen zunächst die Gleichung, die in dem Tipp angegeben ist.

''Induktionsanfang'':&lt;math&gt;N=2&lt;/math&gt;

Dann gilt:

&lt;math&gt;\prod_{n=2}^2\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\right)&lt;/math&gt;

Damit folgt die Behauptung im Falle &lt;math&gt;N=2&lt;/math&gt;


''Induktionssvoraussetzung'':

Für beliebiges &lt;math&gt;N\ge 2&lt;/math&gt; sei die Behauptung wahr.


''Induktionsbehauptung'':

Dann gilt die Gleichung auch für &lt;math&gt;N+1&lt;/math&gt;


''Induktionsschritt'':

&lt;math&gt;\prod_{n=2}^{N+1}\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\prod_{n=2}^N\left(1-\frac{1}{n^2}\right)\left(1-\frac{1}{(N+1)^2}\right)=_{Ind.Vor.}\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)\left(1-\frac{1}{(N+1)^2}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{(N+1)^2}+\frac{1}{N}-\frac{1}{N(N+1)^2}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{N(N+1)^2-N+(N+1)^2-1}{N(N+1)^2}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{1}{2}\frac{(N+1)^2(N+1)-(N+1)}{N(N+1)^2}=\frac{1}{2}\frac{(N+1)((N+1)^2-1)}{N(N+1)^2}=\frac{1}{2}\frac{(N+1)(N+1-1)(N+1+1)}{N(N+1)^2}=\frac{1}{2}\frac{N+1+1}{N+1}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N+1}\right)&lt;/math&gt;

Die Behauptung folgt.


Mit der Funktionalgleichung des Logarithmus und vollständiger Induktion zeigt man ferner sehr leicht, dass

&lt;math&gt;\forall 2\le N\in\mathbb{N}:\sum_{n=2}^N\log(n)=\log\left(\prod_{n=2}^N n\right)&lt;/math&gt;

gilt.

Nun ist der eigentliche Beweis kein Problem mehr:

&lt;math&gt;\sum_{n=2}^N\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\log\left(\prod_{n=2}^N \left(1-\frac{1}{n^2}\right)\right)=\log\left(\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)\right)&lt;/math&gt;

Mit der Stetigkeit der Logarithmus-Funktion (und dem Folgenkriterium für Stetigkeit) folgt sodann:

&lt;math&gt;\sum_{n=2}^\infty\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=2}^N\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\lim_{N\to\infty}\log\left(\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)\right)=\log\left(\frac{1}{2}\right)&lt;/math&gt;

==Lösung 2==
Die Formel &lt;math&gt;\prod_{n=2}^N\left(1-\frac1{n^2}\right)=\frac12\left(1+\frac1{N}\right)&lt;/math&gt; gilt für &lt;math&gt;N=1&lt;/math&gt; (das leere Produkt ist &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;). Gilt sie für &lt;math&gt;N-1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;N\geq2&lt;/math&gt;, so auch für &lt;math&gt;N&lt;/math&gt;, denn

&lt;math&gt;\prod_{n=2}^N\left(1-\frac1{n^2}\right)=\frac12\left(1+\frac1{N-1}\right)\left(1-\frac1{N^2}\right) =\frac12\left(1+\frac1{N-1}-\frac1{N^2}-\frac1{(N-1)N^2}\right) =\frac12\left(1+\frac{N^2-(N-1)-1}{N^2(N-1)}\right)=\frac12\left(1+\frac1N\right),&lt;/math&gt;

somit gilt sie für alle &lt;math&gt;N\geq1&lt;/math&gt;.
Wegen der Stetigkeit des Logarithmus folgt

&lt;math&gt;\sum_{n=2}^\infty\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right) =\lim_{N\to\infty}\log\prod_{n=2}^N\left(1-\frac{1}{n^2}\right) =\lim_{N\to\infty}\log\left(\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)\right)=\log\left(\frac{1}{2}\right)&lt;/math&gt;.

[[Kategorie:Analysis]]</text>
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    <contributor>
      <username>Mpraehofer</username>
      <id>20808</id>
    </contributor>
    <comment>an Aufgabenvorlage angepasst</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="3185" xml:space="preserve">==Aufgabenstellung==

Man zeige: &lt;math&gt;\sum_{n=2}^\infty \log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\log\left(\frac{1}{2}\right)&lt;/math&gt;


===Tipp===

Man zeige zunächst mittels vollständiger Induktion, dass für alle &lt;math&gt;N\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;N\ge 2&lt;/math&gt; gilt: &lt;math&gt;\prod_{n=2}^N \left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)&lt;/math&gt;

===Lösung 1===

Wir zeigen zunächst die Gleichung, die in dem Tipp angegeben ist.

''Induktionsanfang'':&lt;math&gt;N=2&lt;/math&gt;

Dann gilt:

&lt;math&gt;\prod_{n=2}^2\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\right)&lt;/math&gt;

Damit folgt die Behauptung im Falle &lt;math&gt;N=2&lt;/math&gt;


''Induktionssvoraussetzung'':

Für beliebiges &lt;math&gt;N\ge 2&lt;/math&gt; sei die Behauptung wahr.


''Induktionsbehauptung'':

Dann gilt die Gleichung auch für &lt;math&gt;N+1&lt;/math&gt;


''Induktionsschritt'':

&lt;math&gt;\prod_{n=2}^{N+1}\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\prod_{n=2}^N\left(1-\frac{1}{n^2}\right)\left(1-\frac{1}{(N+1)^2}\right)=_{Ind.Vor.}\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)\left(1-\frac{1}{(N+1)^2}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{(N+1)^2}+\frac{1}{N}-\frac{1}{N(N+1)^2}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{N(N+1)^2-N+(N+1)^2-1}{N(N+1)^2}\right)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;=\frac{1}{2}\frac{(N+1)^2(N+1)-(N+1)}{N(N+1)^2}=\frac{1}{2}\frac{(N+1)((N+1)^2-1)}{N(N+1)^2}=\frac{1}{2}\frac{(N+1)(N+1-1)(N+1+1)}{N(N+1)^2}=\frac{1}{2}\frac{N+1+1}{N+1}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N+1}\right)&lt;/math&gt;

Die Behauptung folgt.


Mit der Funktionalgleichung des Logarithmus und vollständiger Induktion zeigt man ferner sehr leicht, dass

&lt;math&gt;\forall 2\le N\in\mathbb{N}:\sum_{n=2}^N\log(n)=\log\left(\prod_{n=2}^N n\right)&lt;/math&gt;

gilt.

Nun ist der eigentliche Beweis kein Problem mehr:

&lt;math&gt;\sum_{n=2}^N\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\log\left(\prod_{n=2}^N \left(1-\frac{1}{n^2}\right)\right)=\log\left(\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)\right)&lt;/math&gt;

Mit der Stetigkeit der Logarithmus-Funktion (und dem Folgenkriterium für Stetigkeit) folgt sodann:

&lt;math&gt;\sum_{n=2}^\infty\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=2}^N\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\lim_{N\to\infty}\log\left(\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)\right)=\log\left(\frac{1}{2}\right)&lt;/math&gt;

===Lösung 2===
Die Formel &lt;math&gt;\prod_{n=2}^N\left(1-\frac1{n^2}\right)=\frac12\left(1+\frac1{N}\right)&lt;/math&gt; gilt für &lt;math&gt;N=1&lt;/math&gt; (das leere Produkt ist &lt;math&gt;1&lt;/math&gt;). Gilt sie für &lt;math&gt;N-1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;N\geq2&lt;/math&gt;, so auch für &lt;math&gt;N&lt;/math&gt;, denn

&lt;math&gt;\prod_{n=2}^N\left(1-\frac1{n^2}\right)=\frac12\left(1+\frac1{N-1}\right)\left(1-\frac1{N^2}\right) =\frac12\left(1+\frac1{N-1}-\frac1{N^2}-\frac1{(N-1)N^2}\right) =\frac12\left(1+\frac{N^2-(N-1)-1}{N^2(N-1)}\right)=\frac12\left(1+\frac1N\right),&lt;/math&gt;

somit gilt sie für alle &lt;math&gt;N\geq1&lt;/math&gt;.
Wegen der Stetigkeit des Logarithmus folgt

&lt;math&gt;\sum_{n=2}^\infty\log\left(1-\frac{1}{n^2}\right) =\lim_{N\to\infty}\log\prod_{n=2}^N\left(1-\frac{1}{n^2}\right) =\lim_{N\to\infty}\log\left(\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{N}\right)\right)=\log\left(\frac{1}{2}\right)&lt;/math&gt;.

===Suchbegriffe===
vollständige Induktion, unendliches Produkt
[[Kategorie:Analysis]]</text>
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  <title>Kategorie:Analysis</title>
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    <text bytes="888" xml:space="preserve">Die folgende Kurzbeschreibung soll einen Einblick geben, welche Aufgaben in dieser Kategorie zu finden sind. 

Die '''Analysis''' ist ein Teilgebiet der Mathematik, dessen Grundlagen von Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton unabhängig voneinander entwickelt wurden.

Die grundlegende Analysis befasst sich mit Grenzwerten von Folgen und Reihen sowie mit Funktionen reeller Zahlen und deren Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integration. Viele wichtige Funktionen der Analysis lassen sich als Grenzwerte von Reihen darstellen.

Die Analysis arbeitet häufig mit Abschätzungen und Ungleichungen. Die Ergebnisse, die durch diese Techniken gewonnen werden, sind jedoch exakt.

Die Verallgemeinerung des Funktionsbegriffes in der Analysis auf Funktionen mit Definitions- und Wertebereich in den komplexen Zahlen ist Bestandteil der [[:Kategorie:Funktionentheorie|Funktionentheorie]].</text>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="397" xml:space="preserve">warum gibts es noch keinen artikel aber: "Es gibt 11253 registrierte Benutzer."

--Bisher gibt es leider nur vereinzelt Artikel, wie zum Beispiel in der Funktionalanalysis-Kategorie. Das wird sich aber mit der Zeit ändern. Wir hoffen da auf Eure Mithilfe.

--Die vielen registrierten Benutzer beziehen sich sicherlich auf alle Wikis, die auf den Wikia Servern lagern. Also nicht nur auf WikiMath.</text>
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    <text bytes="557" xml:space="preserve">warum gibts es noch keinen artikel aber: "Es gibt 11253 registrierte Benutzer."

--Bisher gibt es leider nur vereinzelt Artikel, wie zum Beispiel in der Funktionalanalysis-Kategorie. Das wird sich aber mit der Zeit ändern. Wir hoffen da auf Eure Mithilfe.

--Die vielen registrierten Benutzer beziehen sich sicherlich auf alle Wikis, die auf den Wikia Servern lagern. Also nicht nur auf WikiMath.

-Es waere sicher wuenschenswert das irgendwann einmal abzutrennen? Viele Benutzernamen machen den Eindruck, als waeren Sie automatisch generiert von spambots.</text>
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    <text bytes="110" xml:space="preserve">Ich schlage vor, dass man auch Loesungsalternativen zulassen sollte. Also Loesung 1, Loesung 2, ...
Mpraehofer</text>
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    <text bytes="223" xml:space="preserve">Ich schlage vor, dass man auch Loesungsalternativen zulassen sollte. Also Loesung 1, Loesung 2, ...

Desweiteren waere es wahrscheinlich sinnvoll ein Bewertungsschema fuer die "Guete" von Loesungen einzufuehren.

Mpraehofer</text>
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    <text bytes="245" xml:space="preserve">Ich schlage vor, dass man auch Loesungsalternativen zulassen sollte. Also Loesung 1, Loesung 2, ... (Siehe z.B. Analysis)

Desweiteren waere es wahrscheinlich sinnvoll ein Bewertungsschema fuer die "Guete" von Loesungen einzufuehren.

Mpraehofer</text>
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    <comment>Antwort auf die Vorschläge.</comment>
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    <text bytes="1196" xml:space="preserve">Ich schlage vor, dass man auch Loesungsalternativen zulassen sollte. Also Loesung 1, Loesung 2, ... (Siehe z.B. Analysis)

Desweiteren waere es wahrscheinlich sinnvoll ein Bewertungsschema fuer die "Guete" von Loesungen einzufuehren.

Mpraehofer

- Loesungsalternativen sind natürlich erlaubt und sogar gewünscht. Nur kann man diese ja in der Bearbeitung des Artikels dann manuell einfügen. Diese Vorlage soll ja nur ein Muster sein, das eine einheitliche Form gewährleistet. Zudem ja auch der Ersteller eines neuen Aufgabenartikels, der diese Vorlage verwendet, doch im Normalfall nur eine Lösung hat. Erst ein weiterer Autor (welcher ja nicht mehr mit der Vorlage arbeitet)würde dann ja eine 2te Lösung hinzufügen.

-Die Idee mit dem Bewertungsschema ist echt ganz gut. Nur habe ich bisher keine Idee, wie man das hier verwirklichen kann. Jemand anders vielleicht?
Da ja falsche Lösungen korrigiert werden und nicht einfach nur schlechte Bewertungen bekommen sollten, muss auch geklärt werden, nach welchem Maßstab hier eine Bewertung vorgenommen werden soll.

P.S. - Die Bewertungsschemaidee sollten wir vielleicht besser im Portal, oder auf der Hauptdiskussionsseite führen, oder?</text>
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    <comment>Antwort auf die Vorschläge.</comment>
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    <text bytes="1205" xml:space="preserve">Ich schlage vor, dass man auch Loesungsalternativen zulassen sollte. Also Loesung 1, Loesung 2, ... (Siehe z.B. Analysis)

Desweiteren waere es wahrscheinlich sinnvoll ein Bewertungsschema fuer die "Guete" von Loesungen einzufuehren.

Mpraehofer

- Loesungsalternativen sind natürlich erlaubt und sogar gewünscht. Nur kann man diese ja in der Bearbeitung des Artikels dann manuell einfügen. Diese Vorlage soll ja nur ein Muster sein, das eine einheitliche Form gewährleistet. Zudem ja auch der Ersteller eines neuen Aufgabenartikels, der diese Vorlage verwendet, doch im Normalfall nur eine Lösung hat. Erst ein weiterer Autor (welcher ja nicht mehr mit der Vorlage arbeitet)würde dann ja eine 2te Lösung hinzufügen.

-Die Idee mit dem Bewertungsschema ist echt ganz gut. Nur habe ich bisher keine Idee, wie man das hier verwirklichen kann. Jemand anders vielleicht?
Da ja falsche Lösungen korrigiert werden und nicht einfach nur schlechte Bewertungen bekommen sollten, muss auch geklärt werden, nach welchem Maßstab hier eine Bewertung vorgenommen werden soll.

P.S. - Die Bewertungsschemaidee sollten wir vielleicht besser im Portal, oder auf der Hauptdiskussionsseite führen, oder?

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  <title>Allgemeine Potenz</title>
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    <comment>/* Tipps */  Hauptzweig</comment>
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    <text bytes="1279" xml:space="preserve">==Aufgabe (i-te Potenz)==
Berechnen Sie: &lt;math&gt;i^{i}&lt;/math&gt;
===Tipps===
Benutzen Sie die Definition der allgemeinen b-ten Potenz mittels des Hauptzweigs des Logarithmus.

===Lösung===
Ist &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; einfach zusammenhängend, &lt;math&gt;b \in \mathbb{C}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f \in H(G)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f(z) \neq 0 \ \ \forall z \in G&lt;/math&gt;, so ist ein Zweig der b-ten Potenz von f mittels eines Logarithmus &lt;math&gt;g \in H(G)&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; (d.h. &lt;math&gt;f(z) = e^{g(z)} \ \ \forall z \in G&lt;/math&gt;) erklärt:
&lt;center&gt;&lt;math&gt;(f(z))^{b} := e^{b[g(z)+2k \pi i]}&lt;/math&gt; für ein &lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Für &lt;math&gt;b = \frac{1}{2}&lt;/math&gt; erhält man z.B. einen (injektiven) Zweig der Quadratwurzel von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;.&lt;br&gt;&lt;br&gt;

Nun zur i-ten Potenz:&lt;br&gt;
&lt;center&gt;&lt;math&gt;i = e^{i \frac{\pi}{2}} \Rightarrow i^{i} = e^{i[i \frac{\pi}{2} + 2k \pi i]} = e^{[-\frac{\pi}{2} - 2k \pi]}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Der Hauptwert ist also:&lt;br&gt;
&lt;center&gt;&lt;math&gt;i^{i} := e^{-\frac{\pi}{2}} \ \ (k:=0)&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

===Suchbegriffe===
allgemeine Potenz, Potenz-Zweige, Zweig des Logarithmus, Hauptzweig, Hauptwert, komplexe Potenz

===Quellen===
Aufgabe stammt aus vorlesungsbegleitenden Übungen.

===ähnliche Aufgaben===
noch keine ähnliche Aufgabe gefunden

[[Kategorie:Funktionentheorie]]</text>
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    <comment>/* Lösung 2 */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2035" xml:space="preserve">==Aufgabe (i-te Potenz)==
Berechnen Sie: &lt;math&gt;i^{i}&lt;/math&gt;
===Tipps===
Benutzen Sie die Definition der allgemeinen b-ten Potenz mittels des Hauptzweigs des Logarithmus.

===Lösung 1===
Ist &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; einfach zusammenhängend, &lt;math&gt;b \in \mathbb{C}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f \in H(G)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f(z) \neq 0 \ \ \forall z \in G&lt;/math&gt;, so ist ein Zweig der b-ten Potenz von f mittels eines Logarithmus &lt;math&gt;g \in H(G)&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; (d.h. &lt;math&gt;f(z) = e^{g(z)} \ \ \forall z \in G&lt;/math&gt;) erklärt:
&lt;center&gt;&lt;math&gt;(f(z))^{b} := e^{b[g(z)+2k \pi i]}&lt;/math&gt; für ein &lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Für &lt;math&gt;b = \frac{1}{2}&lt;/math&gt; erhält man z.B. einen (injektiven) Zweig der Quadratwurzel von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;.&lt;br&gt;&lt;br&gt;

Nun zur i-ten Potenz:&lt;br&gt;
&lt;center&gt;&lt;math&gt;i = e^{i \frac{\pi}{2}} \Rightarrow i^{i} = e^{i[i \frac{\pi}{2} + 2k \pi i]} = e^{[-\frac{\pi}{2} - 2k \pi]}&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
Der Hauptwert ist also:&lt;br&gt;
&lt;center&gt;&lt;math&gt;i^{i} := e^{-\frac{\pi}{2}} \ \ (k:=0)&lt;/math&gt;&lt;/center&gt;

===Lösung 2===
Die allgemeine Potenz ist über den Hauptzweig des Logarithmus, &lt;math&gt;\log:\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}^-_0\to\mathbb{C}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\log\left(r\,e^{i\phi}\right)=i\phi+\log r&lt;/math&gt;, für &lt;math&gt;r&gt;0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\phi\in(-\pi,\pi)&lt;/math&gt;, definiert als 
&lt;center&gt;&lt;math&gt;a^b=\exp(b\log a),\ b\in\mathbb{C},\ a\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}^-_0&lt;/math&gt;.&lt;/center&gt;
&lt;math&gt;\log&lt;/math&gt; ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion &lt;math&gt;\exp(z)=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}&lt;/math&gt;, eingeschränkt auf &lt;math&gt;z\in\mathbb{R}+i(-\pi,\pi)\subset\mathbb{C}&lt;/math&gt;.
Somit ist 
&lt;center&gt;&lt;math&gt;i^i=e^{i\log i}=e^{i\log(\exp(i\frac{\pi}2))}=e^{-\frac{\pi}2}\approx0.20788&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt;
wobei &lt;math&gt;e^z=\exp(z)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;e=\exp(1)&lt;/math&gt;.

===Suchbegriffe===
allgemeine Potenz, Potenz-Zweige, Zweig des Logarithmus, Hauptzweig, Hauptwert, komplexe Potenz

===Quellen===
Aufgabe stammt aus vorlesungsbegleitenden Übungen.

===ähnliche Aufgaben===
noch keine ähnliche Aufgabe gefunden

[[Kategorie:Funktionentheorie]]</text>
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  <title>Kategorie:Schulmathematik</title>
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    <comment>Beschreibung</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="668" xml:space="preserve">In dieser Kategorie gehören Mathematikaufgaben aus dem Schulbereich der Jahrgangsstufen 5,6,7,8,9,10 und 11. Aufgaben aus den weiterführenden Jahrgangsstufen, den Grund- und Leistungskursen (GK/LK) finden sich in der Kategorie [[:Kategorie:Abituraufgaben|Abituraufgaben]].

Hier können '''Schüler und Eltern''' einfach mal nach Aufgaben suchen, die gerade im Unterricht behandelt werden. Es ist nach natürlich auch erwünscht, dass ihr solche Aufgaben, die hier noch nicht zu finden sind, selber eintragt.

Die Einordnung geschieht über die weiteren Unterkategorien bezüglich der Jahrgangsstufen, was jedem die Suche nach bestimmten Aufgaben erleichtern sollte.</text>
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  <title>Kategorie:Jahrgangsstufe 5</title>
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    <comment>Beschreibung</comment>
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    <text bytes="902" xml:space="preserve">Dies ist die richtige Kategorie für jeden, der Aufgaben aus der '''Jahrgangsstufe 5''' sucht.

Eine kleine Hilfe, welche Themen laut Lehrplan in diese Jahrgangsstufe fallen, gibt die folgende Auflistung.
Es dürfen aber auch andere mathematische Aufgaben, die im Zusammenhang mit dem Unterrichtsstoff der 5ten Klassen stehen, hier eingetragen werden. Zum Beispiel mathematische Berechnungen aus den Naturwissenschaften (Chemie, Physik, etc), oder interessante Knobeleien, die sich an Schüler der 5ten Klassen richten.

Laut Lehrplan werden in der Jahgangstufe 5 folgende Themen behandelt:

'''Arithmetik und Geometrie'''

*1 Die natürlichen Zahlen und ihre Darstellungen
*2 Rechnen mit natürlichen Zahlen
*3 Rechnen mit Größen aus dem Alltag
*4 Geometrische Grundformen und Grundbegriffe
*5 Einführung in die Flächenmessung
*6 Teilbarkeit der natürlichen Zahlen


[[Kategorie:Schulmathematik]]</text>
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    <text bytes="933" xml:space="preserve">Dies ist die richtige Kategorie für jeden, der Aufgaben aus der '''Jahrgangsstufe 6''' sucht.

Eine kleine Hilfe, welche Themen laut Lehrplan in diese Jahrgangsstufe fallen, gibt die folgende Auflistung.
Es dürfen aber auch andere mathematische Aufgaben, die im Zusammenhang mit dem Unterrichtsstoff der 6ten Klassen stehen, hier eingetragen werden. Zum Beispiel mathematische Berechnungen aus den Naturwissenschaften (Chemie, Physik, etc), oder interessante Knobeleien, die sich an Schüler der 5ten Klassen richten.

Laut Lehrplan werden in der Jahgangstufe 6 folgende Themen behandelt:

'''Arithmetik und Geometrie'''

*1 Erste Erweiterung des Zahlenbereichs: die Bruchzahlen
*2 Rechnen mit Bruchzahlen
*3 Dezimalbrüche, Rechnen mit Dezimalbrüchen
*4 Rechnen mit Größen
*5 Prozentrechnung
*6 Direkte und indirekte Proportionalität
*7 Einführung in die Raummessung
*8 Winkel und Winkelmessung

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Eine kleine Hilfe, welche Themen laut Lehrplan in diese Jahrgangsstufe fallen, gibt die folgende Auflistung.
Es dürfen aber auch andere mathematische Aufgaben, die im Zusammenhang mit dem Unterrichtsstoff der 6ten Klassen stehen, hier eingetragen werden. Zum Beispiel mathematische Berechnungen aus den Naturwissenschaften (Chemie, Physik, etc), oder interessante Knobeleien, die sich an Schüler der 6ten Klassen richten.

Laut Lehrplan werden in der Jahgangstufe 6 folgende Themen behandelt:

'''Arithmetik und Geometrie'''

*1 Erste Erweiterung des Zahlenbereichs: die Bruchzahlen
*2 Rechnen mit Bruchzahlen
*3 Dezimalbrüche, Rechnen mit Dezimalbrüchen
*4 Rechnen mit Größen
*5 Prozentrechnung
*6 Direkte und indirekte Proportionalität
*7 Einführung in die Raummessung
*8 Winkel und Winkelmessung

[[Kategorie:Schulmathematik]]</text>
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    <text bytes="1044" xml:space="preserve">Dies ist die richtige Kategorie für jeden, der Aufgaben aus der '''Jahrgangsstufe 7''' sucht.

Eine kleine Hilfe, welche Themen laut Lehrplan in diese Jahrgangsstufe fallen, gibt die folgende Auflistung.
Es dürfen aber auch andere mathematische Aufgaben, die im Zusammenhang mit dem Unterrichtsstoff der 7ten Klassen stehen, hier eingetragen werden. Zum Beispiel mathematische Berechnungen aus den Naturwissenschaften (Chemie, Physik, etc), oder interessante Knobeleien, die sich an Schüler der 7ten Klassen richten.

Laut Lehrplan werden in der Jahgangstufe 7 folgende Themen behandelt:

'''Algebra'''

*1 Zweite Erweiterung des Zahlenbereichs: die rationalen Zahlen
*2 Einführung des Termbegriffs; Arbeiten mit Termen
*3 Lineare Gleichungen und Ungleichungen

'''Geometrie'''

*1 Grundbegriffe der ebenen Geometrie; geometrisches Zeichnen
*2 Winkel an Geradenkreuzungen; Winkel bei Dreiecken und Vierecken
*3 Symmetrie und Kongruenz von Figuren
*4 Dreiecke: Transversalen, besondere Dreiecke, Konstruktionen

[[Kategorie:Schulmathematik]]</text>
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Eine kleine Hilfe, welche Themen laut Lehrplan in diese Jahrgangsstufe fallen, gibt die folgende Auflistung.
Es dürfen aber auch andere mathematische Aufgaben, die im Zusammenhang mit dem Unterrichtsstoff der 7ten Klassen stehen, hier eingetragen werden. Zum Beispiel mathematische Berechnungen aus den Naturwissenschaften (Chemie, Physik, etc), oder interessante Knobeleien, die sich an Schüler der 7ten Klassen richten.

Laut Lehrplan werden in der Jahgangstufe 7 folgende Themen behandelt:

'''Algebra'''

*1 Zweite Erweiterung des Zahlenbereichs: die rationalen Zahlen
*2 Einführung des Termbegriffs; Arbeiten mit Termen
*3 Lineare Gleichungen und Ungleichungen

'''Geometrie'''

*1 Grundbegriffe der ebenen Geometrie; geometrisches Zeichnen
*2 Winkel an Geradenkreuzungen; Winkel bei Dreiecken und Vierecken
*3 Symmetrie und Kongruenz von Figuren
*4 Dreiecke: Transversalen, besondere Dreiecke, Konstruktionen

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]


[[Kategorie:Schulmathematik]]</text>
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    <text bytes="999" xml:space="preserve">Dies ist die richtige Kategorie für jeden, der Aufgaben aus der '''Jahrgangsstufe 8''' sucht.

Eine kleine Hilfe, welche Themen laut Lehrplan in diese Jahrgangsstufe fallen, gibt die folgende Auflistung.
Es dürfen aber auch andere mathematische Aufgaben, die im Zusammenhang mit dem Unterrichtsstoff der 8ten Klassen stehen, hier eingetragen werden. Zum Beispiel mathematische Berechnungen aus den Naturwissenschaften (Chemie, Physik, etc), oder interessante Knobeleien, die sich an Schüler der 8ten Klassen richten.

Laut Lehrplan werden in der Jahgangstufe 8 folgende Themen behandelt:

'''Algebra'''

*1 Bruchterme
*2 Einführung des Funktionsbegriffs; lineare Funktionen und ihre Graphen
*3 Lineare Gleichungssysteme

'''Geometrie'''

*1 Vierecke: allgemeines Viereck, besondere Vierecke, Konstruktionen
*2 Kreise und Geraden; Umfangswinkel
*3 Flächenmessung bei Dreiecken und Vierecken
*4 Einführung in die Raumgeometrie: Lagebeziehungen, Schrägbild, Prisma

[[Kategorie:Schulmathematik]]</text>
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    <comment>Beschreibung</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="961" xml:space="preserve">Dies ist die richtige Kategorie für jeden, der Aufgaben aus der '''Jahrgangsstufe 9''' sucht.

Eine kleine Hilfe, welche Themen laut Lehrplan in diese Jahrgangsstufe fallen, gibt die folgende Auflistung.
Es dürfen aber auch andere mathematische Aufgaben, die im Zusammenhang mit dem Unterrichtsstoff der 9ten Klassen stehen, hier eingetragen werden. Zum Beispiel mathematische Berechnungen aus den Naturwissenschaften (Chemie, Physik, etc), oder interessante Knobeleien, die sich an Schüler der 9ten Klassen richten.

Laut Lehrplan werden in der Jahgangstufe 9 folgende Themen behandelt:

'''Algebra'''

*1 Dritte Erweiterung des Zahlenbereichs: die reellen Zahlen
*2 Quadratische Gleichungen
*3 Quadratische Funktionen und ihre Graphen

'''Geometrie'''

*1 Strahlensatz
*2 Maßstäbliches Verkleinern und Vergrößern: zentrische Streckung; Ähnlichkeit
*3 Satzgruppe des Pythagoras
*4 Fortführung der Raumgeometrie: Pyramide

[[Kategorie:Schulmathematik]]</text>
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  <title>Kategorie:Jahrgangsstufe 10</title>
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    <text bytes="880" xml:space="preserve">Dies ist die richtige Kategorie für jeden, der Aufgaben aus der '''Jahrgangsstufe 10''' sucht.

Eine kleine Hilfe, welche Themen laut Lehrplan in diese Jahrgangsstufe fallen, gibt die folgende Auflistung.
Es dürfen aber auch andere mathematische Aufgaben, die im Zusammenhang mit dem Unterrichtsstoff der 10ten Klassen stehen, hier eingetragen werden. Zum Beispiel mathematische Berechnungen aus den Naturwissenschaften (Chemie, Physik, etc), oder interessante Knobeleien, die sich an Schüler der 10ten Klassen richten.

Laut Lehrplan werden in der Jahgangstufe 10 folgende Themen behandelt:

'''Algebra'''

*1 Rechnen mit Potenzen
*2 Potenzfunktionen
*3 Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen

'''Geometrie'''

*1 Fortführung der ebenen Geometrie: Kreismessung
*2 Fortführung der Raumgeometrie: Zylinder, Kegel, Kugel
*3 Trigonometrie

[[Kategorie:Schulmathematik]]</text>
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  <title>Kategorie:Jahrgangsstufe 11</title>
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    <text bytes="982" xml:space="preserve">Dies ist die richtige Kategorie für jeden, der Aufgaben aus der '''Jahrgangsstufe 11''' sucht.

Eine kleine Hilfe, welche Themen laut Lehrplan in diese Jahrgangsstufe fallen, gibt die folgende Auflistung.
Es dürfen aber auch andere mathematische Aufgaben, die im Zusammenhang mit dem Unterrichtsstoff der 11ten Stufen stehen, hier eingetragen werden. Zum Beispiel mathematische Berechnungen aus den Naturwissenschaften (Chemie, Physik, etc), oder interessante Knobeleien, die sich an Schüler der Stufe 11 richten.

Laut Lehrplan werden in der Jahgangstufe 11 folgende Themen behandelt:

'''Infinitesimalrechnung'''

*1 Reelle Funktionen
*2 Grenzwert und Stetigkeit
*3 Differenzieren reeller Funktionen
*4 Kurvendiskussion; Extremwertprobleme

'''Komplexe Zahlen'''

*1 Prinzipien für Zahlenbereichserweiterungen; Strukturen
*2 Vierte Erweiterung des Zahlenbereichs: die komplexen Zahlen
*3 Rechnen mit komplexen Zahlen; Lösen von Gleichungen in C

[[Kategorie:Schulmathematik]]</text>
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  <title>Kategorie:Abituraufgaben</title>
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    <comment>Einteilung Jgst 12/13</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="405" xml:space="preserve">Diese Kategorie enthält Aufgaben aus Grund- und Leistungskursen der Mathematik in der Oberstufe. Sie dienen der Vorbereitung auf das Abitur.

Eingeteilt ist diese Kategorie in weitere Unterkategorien, die sich an die Jahrgangsstufen 12 und 13 wenden. Eine weitere Unterteilung in Grund- und Leistungskurse ist bisher noch nicht vorgesehen, da es sich ja doch oft um inhaltlich ähnliche Aufgaben handelt.</text>
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  <title>Kategorie:Jahrgangsstufe 12</title>
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      <username>Gallois</username>
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    <comment>Beschreibung</comment>
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    <text bytes="1116" xml:space="preserve">Dies ist die richtige Kategorie für jeden, der Aufgaben aus der '''Jahrgangsstufe 12''' sucht. Hier finden sich sowaohl Aufgaben aus den Grund-, als auch aus den Leistungskursen. Gegebnenfalls sogar mathematische Aufgaben aus Nebenfächern.

Eine kleine Hilfe, welche Themen laut Lehrplan in diese Jahrgangsstufe fallen, gibt die folgende Auflistung. Gerade in den Leistungskursen kann die Themenauswahl allerdings sehr viel weitreichender sein. Daher seht diese Liste nur als Anhaltspunkt und/oder ergänzt sie um fehlende Punkte.

'''Infinitesimalrechnung'''

*1 Berechnung von Flächeninhalten, das bestimmte Integral
*2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und seine Anwendung
*3 Logarithmusfunktionen und Exponentialfunktionen, ihre Behandlung mit den Mitteln der Infinitesimalrechnung

'''Wahrscheinlichkeitsrechnung/Statistik'''

*1 Zufallsexperimente
*2 Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeitsbegriff
*3 Einführung in die Kombinatorik
*4 Unabhängigkeit zweier Ereignisse
*5 Bernoulli-Kette und Binomialverteilung
*6 Testen von Hypothesen in einfachen Fällen

[[Kategorie:Abituraufgaben]]</text>
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  <title>Kategorie:Jahrgangsstufe 13</title>
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      <username>Gallois</username>
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    <comment>Beschreibung</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1221" xml:space="preserve">Dies ist die richtige Kategorie für jeden, der Aufgaben aus der '''Jahrgangsstufe 13''' sucht. Hier finden sich sowaohl Aufgaben aus den Grund-, als auch aus den Leistungskursen. Gegebnenfalls sogar mathematische Aufgaben aus Nebenfächern.

Eine kleine Hilfe, welche Themen laut Lehrplan in diese Jahrgangsstufe fallen, gibt die folgende Auflistung. Gerade in den Leistungskursen kann die Themenauswahl allerdings sehr viel weitreichender sein. Daher seht diese Liste nur als Anhaltspunkt und/oder ergänzt sie um fehlende Punkte.

'''Infinitesimalrechnung'''

*1 Rationale Funktionen
*2 Integration durch Substitution; partielle Integration
*3 Uneigentliche Integrale

'''Analytische Geometrie'''

*1 Rechnen mit Vektoren im Anschauungsraum; Vektorräume
*2 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren; Basis und Dimension eines Vektorraums
*3 Koordinatendarstellung von Vektoren; Vektorraum und Punktraum
*4 Geraden- und Ebenengleichungen in Vektor- und Koordinatenschreibweise
*5 Lagebeziehungen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen
*6 Skalarprodukt von Vektoren, Längen- und Winkelberechnungen
*7 Normalenformen von Geraden- bzw. Ebenengleichungen, geometrische Anwendungen

[[Kategorie:Abituraufgaben]]</text>
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  <title>Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing</title>
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    <text bytes="1982" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Messing ist eine Legierung aus zwei Metallen: Kupfer und Zink.

Gegeben sind zwei verschiedene sorten Messing, mit je 40% und 60% Kupfer. Aus diesen beiden Sorten, soll durch verschmelzen 300 kg Messing mit einem Kupferanteil von 55% gebildet werden.


== Lösung ==


=== Was ist x ===

Für die Variable x kann hier einmal die Masse der ersten oder der zweiten Sorte Messing verwendet werden. Wir nehmen die mit 40%. Die Menge der anderen Sorte ergibt sich dann aus (300 kg - x)

'''x = Masse der Messingsorte mit 40% Kupferanteil'''


=== Therm aufstellen ===

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + (300kg-x) \cdot {60 \over 100} = 300kg \cdot {55 \over 100}&lt;/math&gt;

=== Ausrechnen ===

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + (300kg-x) \cdot {60 \over 100} = 300kg \cdot {55 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen und vereinfachen'''

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + 300kg \cdot {60 \over 100} - x \cdot {60 \over 100} = 165kg  &lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + 180 - x \cdot {60 \over 100} = 165kg  &lt;/math&gt; '''| -180'''

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} - x \cdot {60 \over 100} = -15kg  &lt;/math&gt; '''|x ausklammern'''

&lt;math&gt;x \cdot ({40 \over 100} - {60 \over 100}) = -15  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen'''

&lt;math&gt;x \cdot (-{20 \over 100}) = -15  &lt;/math&gt; '''| / - 0,2'''

&lt;math&gt;x  = 75kg  &lt;/math&gt;

'''Es werden 75 kg des Messings mit 40% Kupferantel benötigt. Die restlichen 225Kg werden vom 60 prozentigen Messing benötigt.'''

=== Probe ===

Im Endprodukt, den 300 kg Messing mit 55% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;300 kg  \cdot 0,55 = 165 kg&lt;/math&gt; Kupfer

In den beiden anderen Sorten die zusammengemischt wurden, muss nun genau der gleiche Anteil vorhanden sein.

In 75 kg der ersten Sorte mit 40% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;75 kg  \cdot 0,40 = 30 kg&lt;/math&gt; Kupfer.

In den restlichen 225 kg der zweiten Sorte befinden sich:

&lt;math&gt;225 kg  \cdot 0,60 = 135 kg&lt;/math&gt; Kupfer

Zusammen ergibt das genau die 165 kg, die auch im Entprodukt vorhanden sind.</text>
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      <username>141.6.8.75</username>
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    </contributor>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2014" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Messing ist eine Legierung aus zwei Metallen: Kupfer und Zink.

Gegeben sind zwei verschiedene sorten Messing, mit je 40% und 60% Kupfer. Aus diesen beiden Sorten, soll durch verschmelzen 300 kg Messing mit einem Kupferanteil von 55% gebildet werden.


== Lösung ==


=== Was ist x ===

Für die Variable x kann hier einmal die Masse der ersten oder der zweiten Sorte Messing verwendet werden. Wir nehmen die mit 40%. Die Menge der anderen Sorte ergibt sich dann aus (300 kg - x)

'''x = Masse der Messingsorte mit 40% Kupferanteil'''


=== Therm aufstellen ===

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + (300kg-x) \cdot {60 \over 100} = 300kg \cdot {55 \over 100}&lt;/math&gt;

=== Ausrechnen ===

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + (300kg-x) \cdot {60 \over 100} = 300kg \cdot {55 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen und vereinfachen'''

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + 300kg \cdot {60 \over 100} - x \cdot {60 \over 100} = 165kg  &lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + 180 - x \cdot {60 \over 100} = 165kg  &lt;/math&gt; '''| -180'''

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} - x \cdot {60 \over 100} = -15kg  &lt;/math&gt; '''|x ausklammern'''

&lt;math&gt;x \cdot ({40 \over 100} - {60 \over 100}) = -15  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen'''

&lt;math&gt;x \cdot (-{20 \over 100}) = -15  &lt;/math&gt; '''| / - 0,2'''

&lt;math&gt;x  = 75kg  &lt;/math&gt;

'''Es werden 75 kg des Messings mit 40% Kupferantel benötigt. Die restlichen 225Kg werden vom 60 prozentigen Messing benötigt.'''

=== Probe ===

Im Endprodukt, den 300 kg Messing mit 55% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;300 kg  \cdot 0,55 = 165 kg&lt;/math&gt; Kupfer

In den beiden anderen Sorten die zusammengemischt wurden, muss nun genau der gleiche Anteil vorhanden sein.

In 75 kg der ersten Sorte mit 40% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;75 kg  \cdot 0,40 = 30 kg&lt;/math&gt; Kupfer.

In den restlichen 225 kg der zweiten Sorte befinden sich:

&lt;math&gt;225 kg  \cdot 0,60 = 135 kg&lt;/math&gt; Kupfer

Zusammen ergibt das genau die 165 kg, die auch im Entprodukt vorhanden sind.


[[Kategorie:Schulmathematik]]</text>
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    </contributor>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2045" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Messing ist eine Legierung aus zwei Metallen: Kupfer und Zink.

Gegeben sind zwei verschiedene sorten Messing, mit je 40% und 60% Kupfer. Aus diesen beiden Sorten, soll durch verschmelzen 300 kg Messing mit einem Kupferanteil von 55% gebildet werden.


== Lösung ==


=== Was ist x ===

Für die Variable x kann hier einmal die Masse der ersten oder der zweiten Sorte Messing verwendet werden. Wir nehmen die mit 40%. Die Menge der anderen Sorte ergibt sich dann aus (300 kg - x)

'''x = Masse der Messingsorte mit 40% Kupferanteil'''


=== Therm aufstellen ===

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + (300kg-x) \cdot {60 \over 100} = 300kg \cdot {55 \over 100}&lt;/math&gt;

=== Ausrechnen ===

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + (300kg-x) \cdot {60 \over 100} = 300kg \cdot {55 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen und vereinfachen'''

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + 300kg \cdot {60 \over 100} - x \cdot {60 \over 100} = 165kg  &lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + 180 - x \cdot {60 \over 100} = 165kg  &lt;/math&gt; '''| -180'''

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} - x \cdot {60 \over 100} = -15kg  &lt;/math&gt; '''|x ausklammern'''

&lt;math&gt;x \cdot ({40 \over 100} - {60 \over 100}) = -15  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen'''

&lt;math&gt;x \cdot (-{20 \over 100}) = -15  &lt;/math&gt; '''| / - 0,2'''

&lt;math&gt;x  = 75kg  &lt;/math&gt;

'''Es werden 75 kg des Messings mit 40% Kupferantel benötigt. Die restlichen 225Kg werden vom 60 prozentigen Messing benötigt.'''

=== Probe ===

Im Endprodukt, den 300 kg Messing mit 55% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;300 kg  \cdot 0,55 = 165 kg&lt;/math&gt; Kupfer

In den beiden anderen Sorten die zusammengemischt wurden, muss nun genau der gleiche Anteil vorhanden sein.

In 75 kg der ersten Sorte mit 40% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;75 kg  \cdot 0,40 = 30 kg&lt;/math&gt; Kupfer.

In den restlichen 225 kg der zweiten Sorte befinden sich:

&lt;math&gt;225 kg  \cdot 0,60 = 135 kg&lt;/math&gt; Kupfer

Zusammen ergibt das genau die 165 kg, die auch im Entprodukt vorhanden sind.


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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  <title>Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing</title>
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    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2045" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Messing ist eine Legierung aus zwei Metallen: Kupfer und Zink.

Gegeben sind zwei verschiedene Sorten Messing, mit je 40% und 60% Kupfer. Aus diesen beiden Sorten, soll durch verschmelzen 300 kg Messing mit einem Kupferanteil von 55% gebildet werden.


== Lösung ==


=== Was ist x ===

Für die Variable x kann hier einmal die Masse der Ersten oder der zweiten Sorte Messing verwendet werden. Wir nehmen die mit 40%. Die Menge der anderen Sorte ergibt sich dann aus (300 kg - x)

'''x = Masse der Messingsorte mit 40% Kupferanteil'''


=== Therm aufstellen ===

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + (300kg-x) \cdot {60 \over 100} = 300kg \cdot {55 \over 100}&lt;/math&gt;

=== Ausrechnen ===

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + (300kg-x) \cdot {60 \over 100} = 300kg \cdot {55 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen und vereinfachen'''

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + 300kg \cdot {60 \over 100} - x \cdot {60 \over 100} = 165kg  &lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + 180 - x \cdot {60 \over 100} = 165kg  &lt;/math&gt; '''| -180'''

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} - x \cdot {60 \over 100} = -15kg  &lt;/math&gt; '''|x ausklammern'''

&lt;math&gt;x \cdot ({40 \over 100} - {60 \over 100}) = -15  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen'''

&lt;math&gt;x \cdot (-{20 \over 100}) = -15  &lt;/math&gt; '''| / - 0,2'''

&lt;math&gt;x  = 75kg  &lt;/math&gt;

'''Es werden 75 kg des Messings mit 40% Kupferantel benötigt. Die restlichen 225Kg werden vom 60 prozentigen Messing benötigt.'''

=== Probe ===

Im Endprodukt, den 300 kg Messing mit 55% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;300 kg  \cdot 0,55 = 165 kg&lt;/math&gt; Kupfer

In den beiden anderen Sorten die zusammengemischt wurden, muss nun genau der gleiche Anteil vorhanden sein.

In 75 kg der ersten Sorte mit 40% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;75 kg  \cdot 0,40 = 30 kg&lt;/math&gt; Kupfer.

In den restlichen 225 kg der zweiten Sorte befinden sich:

&lt;math&gt;225 kg  \cdot 0,60 = 135 kg&lt;/math&gt; Kupfer

Zusammen ergibt das genau die 165 kg, die auch im Entprodukt vorhanden sind.


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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    <text bytes="2160" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Messing ist eine Legierung aus zwei Metallen: Kupfer und Zink.

Gegeben sind zwei verschiedene Sorten Messing, mit je 40% und 60% Kupfer. Aus diesen beiden Sorten, soll durch verschmelzen 300 kg Messing mit einem Kupferanteil von 55% gebildet werden.

== Tipps ==


== Lösung ==


=== Was ist x ===

Für die Variable x kann hier einmal die Masse der Ersten oder der zweiten Sorte Messing verwendet werden. Wir nehmen die mit 40%. Die Menge der anderen Sorte ergibt sich dann aus (300 kg - x)

'''x = Masse der Messingsorte mit 40% Kupferanteil'''


=== Therm aufstellen ===

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + (300kg-x) \cdot {60 \over 100} = 300kg \cdot {55 \over 100}&lt;/math&gt;

=== Ausrechnen ===

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + (300kg-x) \cdot {60 \over 100} = 300kg \cdot {55 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen und vereinfachen'''

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + 300kg \cdot {60 \over 100} - x \cdot {60 \over 100} = 165kg  &lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + 180 - x \cdot {60 \over 100} = 165kg  &lt;/math&gt; '''| -180'''

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} - x \cdot {60 \over 100} = -15kg  &lt;/math&gt; '''|x ausklammern'''

&lt;math&gt;x \cdot ({40 \over 100} - {60 \over 100}) = -15  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen'''

&lt;math&gt;x \cdot (-{20 \over 100}) = -15  &lt;/math&gt; '''| / - 0,2'''

&lt;math&gt;x  = 75kg  &lt;/math&gt;

'''Es werden 75 kg des Messings mit 40% Kupferantel benötigt. Die restlichen 225Kg werden vom 60 prozentigen Messing benötigt.'''

=== Probe ===

Im Endprodukt, den 300 kg Messing mit 55% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;300 kg  \cdot 0,55 = 165 kg&lt;/math&gt; Kupfer

In den beiden anderen Sorten die zusammengemischt wurden, muss nun genau der gleiche Anteil vorhanden sein.

In 75 kg der ersten Sorte mit 40% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;75 kg  \cdot 0,40 = 30 kg&lt;/math&gt; Kupfer.

In den restlichen 225 kg der zweiten Sorte befinden sich:

&lt;math&gt;225 kg  \cdot 0,60 = 135 kg&lt;/math&gt; Kupfer

Zusammen ergibt das genau die 165 kg, die auch im Entprodukt vorhanden sind.


===Suchbegriffe===

Mischungsaufgabe, Messing, Termbildung

===Quellen===
===ähnliche Aufgaben===


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2154" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Messing ist eine Legierung aus zwei Metallen: Kupfer und Zink.

Gegeben sind zwei verschiedene Sorten Messing, mit je 40% und 60% Kupfer. Aus diesen beiden Sorten, soll durch verschmelzen 300 kg Messing mit einem Kupferanteil von 55% gebildet werden.

== Tipps ==


== Lösung ==


=== Was ist x ===

Für die Variable x kann hier einmal die Masse der Ersten oder der zweiten Sorte Messing verwendet werden. Wir nehmen die mit 40%. Die Menge der anderen Sorte ergibt sich dann aus (300 kg - x)

'''x = Masse der Messingsorte mit 40% Kupferanteil'''


=== Therm aufstellen ===

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + (300kg-x) \cdot {60 \over 100} = 300kg \cdot {55 \over 100}&lt;/math&gt;

=== Ausrechnen ===

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + (300kg-x) \cdot {60 \over 100} = 300kg \cdot {55 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen und vereinfachen'''

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + 300kg \cdot {60 \over 100} - x \cdot {60 \over 100} = 165kg  &lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + 180 - x \cdot {60 \over 100} = 165kg  &lt;/math&gt; '''| -180'''

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} - x \cdot {60 \over 100} = -15kg  &lt;/math&gt; '''|x ausklammern'''

&lt;math&gt;x \cdot ({40 \over 100} - {60 \over 100}) = -15  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen'''

&lt;math&gt;x \cdot (-{20 \over 100}) = -15  &lt;/math&gt; '''| / - 0,2'''

&lt;math&gt;x  = 75kg  &lt;/math&gt;

'''Es werden 75 kg des Messings mit 40% Kupferantel benötigt. Die restlichen 225Kg werden vom 60 prozentigen Messing benötigt.'''

=== Probe ===

Im Endprodukt, den 300 kg Messing mit 55% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;300 kg  \cdot 0,55 = 165 kg&lt;/math&gt; Kupfer

In den beiden anderen Sorten die zusammengemischt wurden, muss nun genau der gleiche Anteil vorhanden sein.

In 75 kg der ersten Sorte mit 40% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;75 kg  \cdot 0,40 = 30 kg&lt;/math&gt; Kupfer.

In den restlichen 225 kg der zweiten Sorte befinden sich:

&lt;math&gt;225 kg  \cdot 0,60 = 135 kg&lt;/math&gt; Kupfer

Zusammen ergibt das genau die 165 kg, die auch im Entprodukt vorhanden sind.


==Suchbegriffe==

Mischungsaufgabe, Messing, Termbildung

==Quellen==
==ähnliche Aufgaben==


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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    <text bytes="2212" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Messing ist eine Legierung aus zwei Metallen: Kupfer und Zink.

Gegeben sind zwei verschiedene Sorten Messing, mit je 40% und 60% Kupfer. Aus diesen beiden Sorten, soll durch verschmelzen 300 kg Messing mit einem Kupferanteil von 55% gebildet werden.

== Tipps ==


== Lösung ==


=== Was ist x ===

Für die Variable x kann hier einmal die Masse der Ersten oder der zweiten Sorte Messing verwendet werden. Wir nehmen die mit 40%. Die Menge der anderen Sorte ergibt sich dann aus (300 kg - x)

'''x = Masse der Messingsorte mit 40% Kupferanteil'''


=== Therm aufstellen ===

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + (300kg-x) \cdot {60 \over 100} = 300kg \cdot {55 \over 100}&lt;/math&gt;

=== Ausrechnen ===

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + (300kg-x) \cdot {60 \over 100} = 300kg \cdot {55 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen und vereinfachen'''

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + 300kg \cdot {60 \over 100} - x \cdot {60 \over 100} = 165kg  &lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + 180 - x \cdot {60 \over 100} = 165kg  &lt;/math&gt; '''| -180'''

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} - x \cdot {60 \over 100} = -15kg  &lt;/math&gt; '''|x ausklammern'''

&lt;math&gt;x \cdot ({40 \over 100} - {60 \over 100}) = -15  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen'''

&lt;math&gt;x \cdot (-{20 \over 100}) = -15  &lt;/math&gt; '''| / - 0,2'''

&lt;math&gt;x  = 75kg  &lt;/math&gt;

'''Es werden 75 kg des Messings mit 40% Kupferantel benötigt. Die restlichen 225Kg werden vom 60 prozentigen Messing benötigt.'''

=== Probe ===

Im Endprodukt, den 300 kg Messing mit 55% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;300 kg  \cdot 0,55 = 165 kg&lt;/math&gt; Kupfer

In den beiden anderen Sorten die zusammengemischt wurden, muss nun genau der gleiche Anteil vorhanden sein.

In 75 kg der ersten Sorte mit 40% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;75 kg  \cdot 0,40 = 30 kg&lt;/math&gt; Kupfer.

In den restlichen 225 kg der zweiten Sorte befinden sich:

&lt;math&gt;225 kg  \cdot 0,60 = 135 kg&lt;/math&gt; Kupfer

Zusammen ergibt das genau die 165 kg, die auch im Entprodukt vorhanden sind.


==Suchbegriffe==

Mischungsaufgabe, Messing, Termbildung

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft]]


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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    <text bytes="2268" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Messing ist eine Legierung aus zwei Metallen: Kupfer und Zink.

Gegeben sind zwei verschiedene Sorten Messing, mit je 40% und 60% Kupfer. Aus diesen beiden Sorten, soll durch verschmelzen 300 kg Messing mit einem Kupferanteil von 55% gebildet werden.

== Tipps ==


== Lösung ==


=== Was ist x ===

Für die Variable x kann hier einmal die Masse der Ersten oder der zweiten Sorte Messing verwendet werden. Wir nehmen die mit 40%. Die Menge der anderen Sorte ergibt sich dann aus (300 kg - x)

'''x = Masse der Messingsorte mit 40% Kupferanteil'''


=== Therm aufstellen ===

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + (300kg-x) \cdot {60 \over 100} = 300kg \cdot {55 \over 100}&lt;/math&gt;

=== Ausrechnen ===

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + (300kg-x) \cdot {60 \over 100} = 300kg \cdot {55 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen und vereinfachen'''

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + 300kg \cdot {60 \over 100} - x \cdot {60 \over 100} = 165kg  &lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + 180 - x \cdot {60 \over 100} = 165kg  &lt;/math&gt; '''| -180'''

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} - x \cdot {60 \over 100} = -15kg  &lt;/math&gt; '''|x ausklammern'''

&lt;math&gt;x \cdot ({40 \over 100} - {60 \over 100}) = -15  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen'''

&lt;math&gt;x \cdot (-{20 \over 100}) = -15  &lt;/math&gt; '''| / - 0,2'''

&lt;math&gt;x  = 75kg  &lt;/math&gt;

'''Es werden 75 kg des Messings mit 40% Kupferantel benötigt. Die restlichen 225Kg werden vom 60 prozentigen Messing benötigt.'''

=== Probe ===

Im Endprodukt, den 300 kg Messing mit 55% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;300 kg  \cdot 0,55 = 165 kg&lt;/math&gt; Kupfer

In den beiden anderen Sorten die zusammengemischt wurden, muss nun genau der gleiche Anteil vorhanden sein.

In 75 kg der ersten Sorte mit 40% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;75 kg  \cdot 0,40 = 30 kg&lt;/math&gt; Kupfer.

In den restlichen 225 kg der zweiten Sorte befinden sich:

&lt;math&gt;225 kg  \cdot 0,60 = 135 kg&lt;/math&gt; Kupfer

Zusammen ergibt das genau die 165 kg, die auch im Entprodukt vorhanden sind.


==Suchbegriffe==

Mischungsaufgabe, Messing, Termbildung

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft]]

[[Arbeiten mit Termen: Treffpunkt von zwei Radfahrern]]

[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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  <title>Kategorie:Jahrgangsstufe 7</title>
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    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1156" xml:space="preserve">Dies ist die richtige Kategorie für jeden, der Aufgaben aus der '''Jahrgangsstufe 7''' sucht.

Eine kleine Hilfe, welche Themen laut Lehrplan in diese Jahrgangsstufe fallen, gibt die folgende Auflistung.
Es dürfen aber auch andere mathematische Aufgaben, die im Zusammenhang mit dem Unterrichtsstoff der 7ten Klassen stehen, hier eingetragen werden. Zum Beispiel mathematische Berechnungen aus den Naturwissenschaften (Chemie, Physik, etc), oder interessante Knobeleien, die sich an Schüler der 7ten Klassen richten.

Laut Lehrplan werden in der Jahgangstufe 7 folgende Themen behandelt:

'''Algebra'''

*1 Zweite Erweiterung des Zahlenbereichs: die rationalen Zahlen
*2 Einführung des Termbegriffs; Arbeiten mit Termen
*3 Lineare Gleichungen und Ungleichungen

'''Geometrie'''

*1 Grundbegriffe der ebenen Geometrie; geometrisches Zeichnen
*2 Winkel an Geradenkreuzungen; Winkel bei Dreiecken und Vierecken
*3 Symmetrie und Kongruenz von Figuren
*4 Dreiecke: Transversalen, besondere Dreiecke, Konstruktionen

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]
[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft]]

[[Kategorie:Schulmathematik]]</text>
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    <text bytes="1044" xml:space="preserve">Dies ist die richtige Kategorie für jeden, der Aufgaben aus der '''Jahrgangsstufe 7''' sucht.

Eine kleine Hilfe, welche Themen laut Lehrplan in diese Jahrgangsstufe fallen, gibt die folgende Auflistung.
Es dürfen aber auch andere mathematische Aufgaben, die im Zusammenhang mit dem Unterrichtsstoff der 7ten Klassen stehen, hier eingetragen werden. Zum Beispiel mathematische Berechnungen aus den Naturwissenschaften (Chemie, Physik, etc), oder interessante Knobeleien, die sich an Schüler der 7ten Klassen richten.

Laut Lehrplan werden in der Jahgangstufe 7 folgende Themen behandelt:

'''Algebra'''

*1 Zweite Erweiterung des Zahlenbereichs: die rationalen Zahlen
*2 Einführung des Termbegriffs; Arbeiten mit Termen
*3 Lineare Gleichungen und Ungleichungen

'''Geometrie'''

*1 Grundbegriffe der ebenen Geometrie; geometrisches Zeichnen
*2 Winkel an Geradenkreuzungen; Winkel bei Dreiecken und Vierecken
*3 Symmetrie und Kongruenz von Figuren
*4 Dreiecke: Transversalen, besondere Dreiecke, Konstruktionen

[[Kategorie:Schulmathematik]]</text>
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  <title>Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft</title>
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    </contributor>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2163" xml:space="preserve">==Aufgabe==

Aus Zwei Sorten Fruchtsaft mit je 20% und 75% Fruchtgehalt sollen 5 Liter Fruchtsaft mit 50% Fruchtgehalt gemischt werden.

Wieviel Saft der beiden Sorten werden jeweils benötigt?

===Tipps===


===Lösung===


==== Was ist x ====

Für die Variable x kann hier einmal der Fruchtgehalt der ersten oder der zweiten Sorte Saft verwendet werden. Wir nehmen die mit 75%. Die Menge der anderen Sorte ergibt sich dann aus (5 l - x)

'''x = Menge des Fruchtsafts mit 75% Fruchtanteil. '''


==== Therm aufstellen ====

&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + (5l-x) \cdot {20 \over 100} = 5 l \cdot {50 \over 100}&lt;/math&gt;

==== Ausrechnen ====

&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + (5l-x) \cdot {20 \over 100} = 5 l \cdot {50 \over 100}&lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen und vereinfachen'''

&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + 5l \cdot {20 \over 100} - x \cdot {20 \over 100} = {250 \over 100}  &lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + {100 \over 100} - x \cdot {20 \over 100} = {250 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| - 1'''


&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100}  - x \cdot {20 \over 100} = {150 \over 100}  &lt;/math&gt; '''|x ausklammern'''

&lt;math&gt;x \cdot ({75 \over 100}  - {20 \over 100}) = {150 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen'''

&lt;math&gt;x \cdot {55 \over 100  } = {150 \over 100}&lt;/math&gt; '''| durch 55/100 '''

&lt;math&gt;x \cdot  = {150 \cdot  100 \over 100 \cdot 55 }&lt;/math&gt; '''| kürzen '''

&lt;math&gt;x  = {30 \over 11} = 2,727272  &lt;/math&gt; '''| Liter der Sorte mit 75% Fruchtanteil '''


==== Probe ====

Im Endprodukt, den 5 Litern Fruchtsaft  mit 50% Fruchtanteil befinden sich:

&lt;math&gt;5l  \cdot 0,5 = 2,5l&lt;/math&gt; Fruchtanteil

In den beiden anderen Sorten die zusammengemischt wurden, muss nun genau der gleiche Anteil vorhanden sein.

In in 2,7272 l der ersten Sorte mit 75% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;2,7272 l  \cdot 0,75 = 2,05 l&lt;/math&gt; Fruchtgehalt.

In den restlichen 2,2727 l der zweiten Sorte befinden sich:

&lt;math&gt;2,2727 l  \cdot 0,20 = 0,45 l&lt;/math&gt; Fruchtgehalt.

Zusammen ergibt das genau die 2,5 Liter, die auch im Entprodukt vorhanden sind.

===Suchbegriffe===


===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===

[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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    </contributor>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2219" xml:space="preserve">==Aufgabe==

Aus Zwei Sorten Fruchtsaft mit je 20% und 75% Fruchtgehalt sollen 5 Liter Fruchtsaft mit 50% Fruchtgehalt gemischt werden.

Wieviel Saft der beiden Sorten werden jeweils benötigt?

===Tipps===


===Lösung===


==== Was ist x ====

Für die Variable x kann hier einmal der Fruchtgehalt der ersten oder der zweiten Sorte Saft verwendet werden. Wir nehmen die mit 75%. Die Menge der anderen Sorte ergibt sich dann aus (5 l - x)

'''x = Menge des Fruchtsafts mit 75% Fruchtanteil. '''


==== Therm aufstellen ====

&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + (5l-x) \cdot {20 \over 100} = 5 l \cdot {50 \over 100}&lt;/math&gt;

==== Ausrechnen ====

&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + (5l-x) \cdot {20 \over 100} = 5 l \cdot {50 \over 100}&lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen und vereinfachen'''

&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + 5l \cdot {20 \over 100} - x \cdot {20 \over 100} = {250 \over 100}  &lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + {100 \over 100} - x \cdot {20 \over 100} = {250 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| - 1'''


&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100}  - x \cdot {20 \over 100} = {150 \over 100}  &lt;/math&gt; '''|x ausklammern'''

&lt;math&gt;x \cdot ({75 \over 100}  - {20 \over 100}) = {150 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen'''

&lt;math&gt;x \cdot {55 \over 100  } = {150 \over 100}&lt;/math&gt; '''| durch 55/100 '''

&lt;math&gt;x \cdot  = {150 \cdot  100 \over 100 \cdot 55 }&lt;/math&gt; '''| kürzen '''

&lt;math&gt;x  = {30 \over 11} = 2,727272  &lt;/math&gt; '''| Liter der Sorte mit 75% Fruchtanteil '''


==== Probe ====

Im Endprodukt, den 5 Litern Fruchtsaft  mit 50% Fruchtanteil befinden sich:

&lt;math&gt;5l  \cdot 0,5 = 2,5l&lt;/math&gt; Fruchtanteil

In den beiden anderen Sorten die zusammengemischt wurden, muss nun genau der gleiche Anteil vorhanden sein.

In in 2,7272 l der ersten Sorte mit 75% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;2,7272 l  \cdot 0,75 = 2,05 l&lt;/math&gt; Fruchtgehalt.

In den restlichen 2,2727 l der zweiten Sorte befinden sich:

&lt;math&gt;2,2727 l  \cdot 0,20 = 0,45 l&lt;/math&gt; Fruchtgehalt.

Zusammen ergibt das genau die 2,5 Liter, die auch im Entprodukt vorhanden sind.

===Suchbegriffe===


===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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    <text bytes="2261" xml:space="preserve">==Aufgabe==

Aus Zwei Sorten Fruchtsaft mit je 20% und 75% Fruchtgehalt sollen 5 Liter Fruchtsaft mit 50% Fruchtgehalt gemischt werden.

Wieviel Saft der beiden Sorten werden jeweils benötigt?

===Tipps===


===Lösung===


==== Was ist x ====

Für die Variable x kann hier einmal der Fruchtgehalt der ersten oder der zweiten Sorte Saft verwendet werden. Wir nehmen die mit 75%. Die Menge der anderen Sorte ergibt sich dann aus (5 l - x)

'''x = Menge des Fruchtsafts mit 75% Fruchtanteil. '''


==== Therm aufstellen ====

&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + (5l-x) \cdot {20 \over 100} = 5 l \cdot {50 \over 100}&lt;/math&gt;

==== Ausrechnen ====

&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + (5l-x) \cdot {20 \over 100} = 5 l \cdot {50 \over 100}&lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen und vereinfachen'''

&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + 5l \cdot {20 \over 100} - x \cdot {20 \over 100} = {250 \over 100}  &lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + {100 \over 100} - x \cdot {20 \over 100} = {250 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| - 1'''


&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100}  - x \cdot {20 \over 100} = {150 \over 100}  &lt;/math&gt; '''|x ausklammern'''

&lt;math&gt;x \cdot ({75 \over 100}  - {20 \over 100}) = {150 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen'''

&lt;math&gt;x \cdot {55 \over 100  } = {150 \over 100}&lt;/math&gt; '''| durch 55/100 '''

&lt;math&gt;x \cdot  = {150 \cdot  100 \over 100 \cdot 55 }&lt;/math&gt; '''| kürzen '''

&lt;math&gt;x  = {30 \over 11} = 2,727272  &lt;/math&gt; '''| Liter der Sorte mit 75% Fruchtanteil '''


==== Probe ====

Im Endprodukt, den 5 Litern Fruchtsaft  mit 50% Fruchtanteil befinden sich:

&lt;math&gt;5l  \cdot 0,5 = 2,5l&lt;/math&gt; Fruchtanteil

In den beiden anderen Sorten die zusammengemischt wurden, muss nun genau der gleiche Anteil vorhanden sein.

In in 2,7272 l der ersten Sorte mit 75% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;2,7272 l  \cdot 0,75 = 2,05 l&lt;/math&gt; Fruchtgehalt.

In den restlichen 2,2727 l der zweiten Sorte befinden sich:

&lt;math&gt;2,2727 l  \cdot 0,20 = 0,45 l&lt;/math&gt; Fruchtgehalt.

Zusammen ergibt das genau die 2,5 Liter, die auch im Entprodukt vorhanden sind.

===Suchbegriffe===

Mischungsaufgabe, Fruchtsaft, Termbildung

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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    <text bytes="2317" xml:space="preserve">==Aufgabe==

Aus Zwei Sorten Fruchtsaft mit je 20% und 75% Fruchtgehalt sollen 5 Liter Fruchtsaft mit 50% Fruchtgehalt gemischt werden.

Wieviel Saft der beiden Sorten werden jeweils benötigt?

===Tipps===


===Lösung===


==== Was ist x ====

Für die Variable x kann hier einmal der Fruchtgehalt der ersten oder der zweiten Sorte Saft verwendet werden. Wir nehmen die mit 75%. Die Menge der anderen Sorte ergibt sich dann aus (5 l - x)

'''x = Menge des Fruchtsafts mit 75% Fruchtanteil. '''


==== Therm aufstellen ====

&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + (5l-x) \cdot {20 \over 100} = 5 l \cdot {50 \over 100}&lt;/math&gt;

==== Ausrechnen ====

&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + (5l-x) \cdot {20 \over 100} = 5 l \cdot {50 \over 100}&lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen und vereinfachen'''

&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + 5l \cdot {20 \over 100} - x \cdot {20 \over 100} = {250 \over 100}  &lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + {100 \over 100} - x \cdot {20 \over 100} = {250 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| - 1'''


&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100}  - x \cdot {20 \over 100} = {150 \over 100}  &lt;/math&gt; '''|x ausklammern'''

&lt;math&gt;x \cdot ({75 \over 100}  - {20 \over 100}) = {150 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen'''

&lt;math&gt;x \cdot {55 \over 100  } = {150 \over 100}&lt;/math&gt; '''| durch 55/100 '''

&lt;math&gt;x \cdot  = {150 \cdot  100 \over 100 \cdot 55 }&lt;/math&gt; '''| kürzen '''

&lt;math&gt;x  = {30 \over 11} = 2,727272  &lt;/math&gt; '''| Liter der Sorte mit 75% Fruchtanteil '''


==== Probe ====

Im Endprodukt, den 5 Litern Fruchtsaft  mit 50% Fruchtanteil befinden sich:

&lt;math&gt;5l  \cdot 0,5 = 2,5l&lt;/math&gt; Fruchtanteil

In den beiden anderen Sorten die zusammengemischt wurden, muss nun genau der gleiche Anteil vorhanden sein.

In in 2,7272 l der ersten Sorte mit 75% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;2,7272 l  \cdot 0,75 = 2,05 l&lt;/math&gt; Fruchtgehalt.

In den restlichen 2,2727 l der zweiten Sorte befinden sich:

&lt;math&gt;2,2727 l  \cdot 0,20 = 0,45 l&lt;/math&gt; Fruchtgehalt.

Zusammen ergibt das genau die 2,5 Liter, die auch im Entprodukt vorhanden sind.

===Suchbegriffe===

Mischungsaufgabe, Fruchtsaft, Termbildung

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]
[[Arbeiten mit Termen: Treffpunkt von zwei Radfahrern]]


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2318" xml:space="preserve">==Aufgabe==

Aus Zwei Sorten Fruchtsaft mit je 20% und 75% Fruchtgehalt sollen 5 Liter Fruchtsaft mit 50% Fruchtgehalt gemischt werden.

Wieviel Saft der beiden Sorten werden jeweils benötigt?

===Tipps===


===Lösung===


==== Was ist x ====

Für die Variable x kann hier einmal der Fruchtgehalt der ersten oder der zweiten Sorte Saft verwendet werden. Wir nehmen die mit 75%. Die Menge der anderen Sorte ergibt sich dann aus (5 l - x)

'''x = Menge des Fruchtsafts mit 75% Fruchtanteil. '''


==== Therm aufstellen ====

&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + (5l-x) \cdot {20 \over 100} = 5 l \cdot {50 \over 100}&lt;/math&gt;

==== Ausrechnen ====

&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + (5l-x) \cdot {20 \over 100} = 5 l \cdot {50 \over 100}&lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen und vereinfachen'''

&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + 5l \cdot {20 \over 100} - x \cdot {20 \over 100} = {250 \over 100}  &lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + {100 \over 100} - x \cdot {20 \over 100} = {250 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| - 1'''


&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100}  - x \cdot {20 \over 100} = {150 \over 100}  &lt;/math&gt; '''|x ausklammern'''

&lt;math&gt;x \cdot ({75 \over 100}  - {20 \over 100}) = {150 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen'''

&lt;math&gt;x \cdot {55 \over 100  } = {150 \over 100}&lt;/math&gt; '''| durch 55/100 '''

&lt;math&gt;x \cdot  = {150 \cdot  100 \over 100 \cdot 55 }&lt;/math&gt; '''| kürzen '''

&lt;math&gt;x  = {30 \over 11} = 2,727272  &lt;/math&gt; '''| Liter der Sorte mit 75% Fruchtanteil '''


==== Probe ====

Im Endprodukt, den 5 Litern Fruchtsaft  mit 50% Fruchtanteil befinden sich:

&lt;math&gt;5l  \cdot 0,5 = 2,5l&lt;/math&gt; Fruchtanteil

In den beiden anderen Sorten die zusammengemischt wurden, muss nun genau der gleiche Anteil vorhanden sein.

In in 2,7272 l der ersten Sorte mit 75% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;2,7272 l  \cdot 0,75 = 2,05 l&lt;/math&gt; Fruchtgehalt.

In den restlichen 2,2727 l der zweiten Sorte befinden sich:

&lt;math&gt;2,2727 l  \cdot 0,20 = 0,45 l&lt;/math&gt; Fruchtgehalt.

Zusammen ergibt das genau die 2,5 Liter, die auch im Entprodukt vorhanden sind.

===Suchbegriffe===

Mischungsaufgabe, Fruchtsaft, Termbildung

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]

[[Arbeiten mit Termen: Treffpunkt von zwei Radfahrern]]


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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  <title>Mathe Wiki:Portal</title>
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    </contributor>
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    <text bytes="577" xml:space="preserve">&lt;big&gt;Willkommen im WikiMath-Portal!&lt;/big&gt;

Bitte benutze dieses Portal für weiter Anregungen zu diesem Wiki, oder einfach um nach Hilfe zu fragen.


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Ich habe die Anregung von Michael aufgegriffen und werde gerne an diesem Wiki im Bereich der Schulmathematik mitarbeiten.

In der Kategorie [[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]] habe ich mal zwei Aufgaben meiner Tochter zum Thema Termbildung zugefügt.

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft]]

--[[Benutzer:Behrev|behrev]] 10:49, 31. Mär 2006 (UTC)

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    <text bytes="573" xml:space="preserve">&lt;big&gt;Willkommen im WikiMath-Portal!&lt;/big&gt;

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[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft]]

--[[Benutzer:Behrev|behrev]] 10:49, 31. Mär 2006 (UTC)

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    <text bytes="645" xml:space="preserve">&lt;big&gt;Willkommen im WikiMath-Portal!&lt;/big&gt;

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Ich habe die Anregung von Michael aufgegriffen und werde gerne an diesem Wiki im Bereich der Schulmathematik mitarbeiten.

In der Kategorie Kategorie:Jahrgangsstufe 7 habe ich mal zwei Aufgaben meiner Tochter zum Thema Termbildung zugefügt.

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]

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--[[Benutzer:Behrev|behrev]] 10:49, 31. Mär 2006 (UTC)

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Das ist schön, Dich als neuen Mitarbeiter hier begrüssen zu können.</text>
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  <title>Kategorie Diskussion:Jahrgangsstufe 7</title>
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    <text bytes="201" xml:space="preserve">Die einzelnen Artikel müssen nicht per Hand in die Kategorie eingetragen werden. Wenn man den Artikeln eine Kategorie zuordnet, werden diese dann automatisch in der Kategorienbeschreibung aufgelistet.</text>
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    <text bytes="326" xml:space="preserve">Die einzelnen Artikel müssen nicht per Hand in die Kategorie eingetragen werden. Wenn man den Artikeln eine Kategorie zuordnet, werden diese dann automatisch in der Kategorienbeschreibung aufgelistet.

Frage: und wie erstellt ich dann am einfachsten einen neuen Artikel ?
--[[Benutzer:Behrev|behrev]] 14:42, 1. Apr 2006 (UTC)</text>
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    <comment>Antwort - neuer Artikel</comment>
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    <text bytes="975" xml:space="preserve">Die einzelnen Artikel müssen nicht per Hand in die Kategorie eingetragen werden. Wenn man den Artikeln eine Kategorie zuordnet, werden diese dann automatisch in der Kategorienbeschreibung aufgelistet.

Frage: und wie erstellt ich dann am einfachsten einen neuen Artikel ?
--[[Benutzer:Behrev|behrev]] 14:42, 1. Apr 2006 (UTC)


Antwort: Eine Möglichkeit besteht zum Beispiel darin, den kompletten neuen Titel ins Suchfeld einzugeben woraufhin die Suchergebnisseite rescheint, welche noch keine Treffer meldet. Dort kann man aber über den Link hinter: You searched for zum neuen Editierseite gelangen.
Das Problem ist allerdings, dass so viele verwaiste Artikel entstehen, die nur über die Direktsuche, oer über die Kategorie gefunden werden können. Besser ist es in einen schon bestehenden Artikel einen Link auf den neuen verwandten Artikel einzufügen und darüber zur Editierseite zu gelangen. So entsteht gleichzeitig eine gute verlinken der Aufgaben untereinander.</text>
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    <text bytes="350" xml:space="preserve">
== Hallo Leute ==

Ich bin am 30.3.2006 dazugestoßen und möchte mich vor allem um den Bereich Schulmathematik und Abituraufgaben kümmern. 

Meine Daten:

Ich heiße Volker Behrens und bin 40 (fast 41) Jahre.

Von Beruf bin Elektromeister. 

Mein Wirkungskreis ist die Pfalz im Süd-Westen Deutschlands.

Sprachen spreche ich Deutsch und Englisch.</text>
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  <title>Spielwiese</title>
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    <text bytes="226" xml:space="preserve">&lt;!-- Diese Vorlagenverknüpfung NICHT LÖSCHEN --&gt;
{{Spielwiese}}
&lt;!-- Diese Vorlagenverknüpfung NICHT LÖSCHEN --&gt;
&lt;!-- Bitte ERST HIER DRUNTER schreiben --&gt;

[[Integralrechnung: Fläche unter einer ganzrationalen Funktion]]</text>
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  <title>Integralrechnung: Fläche unter einer ganzrationalen Funktion</title>
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    </contributor>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1199" xml:space="preserve">==Aufgabe ==
Berechne die Fläche unter der Funktion

&lt;math&gt;f(x) = x^3  - 2x^2  - 3x&lt;/math&gt;

im Intervall von 0 bis 2

===Tipps===


===Lösung===

====Stammfunktion suchen====

&lt;math&gt;f(x) = x^3  - 2x^2  - 3x&lt;/math&gt;

dann ist

&lt;math&gt;F(x) = {1 \over 4}x^4  - {2 \over 3}x^3  - {3 \over 2}x^2 &lt;/math&gt;

====Das bestimmte Integral====


&lt;math&gt;\int\limits_0^2 {\left( {x^3  - 2x^2  - 3x} \right)} dx = \left[ {{1 \over 4}x^4  - {2 \over 3}x^3  - {3 \over 2}x^2 } \right]_0^2 &lt;/math&gt;


&lt;math&gt; = \left[ {{1 \over 4}2^4  - {2 \over 3}2^3  - {3 \over 2}2^2 } \right] - \left[ {{1 \over 4}0^4  - {2 \over 3}0^3  - {3 \over 2}0^2 } \right] &lt;/math&gt;


&lt;math&gt; = \left[ {{{16} \over 4} - {{16} \over 3} - {{12} \over 2}} \right] - \left[ 0 \right]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt; = \left[ {{{48} \over {12}} - {{64} \over {12}} - {{72} \over {12}}} \right] - \left[ 0 \right]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt; =  - {{88} \over {12}} =  - {{22} \over 3} =  - 7,33\bar 3 FE&lt;/math&gt;


Im Intervall zwischen 0 und 2 liegen also 22/3 Flächeneinheiten. Da das Ergebnis negativ ist, liegt die Fläche unterhalb der x-Achse.


===Suchbegriffe===


===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===


[[Kategorie:Abituraufgaben]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 12]]</text>
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    <text bytes="1310" xml:space="preserve">==Aufgabe ==
Berechne die Fläche unter der Funktion

&lt;math&gt;f(x) = x^3  - 2x^2  - 3x&lt;/math&gt;

im Intervall von 0 bis 2

===Tipps===


===Lösung===

====Stammfunktion suchen====

&lt;math&gt;f(x) = x^3  - 2x^2  - 3x&lt;/math&gt;

dann ist

&lt;math&gt;F(x) = {1 \over 4}x^4  - {2 \over 3}x^3  - {3 \over 2}x^2 &lt;/math&gt;

====Das bestimmte Integral====


&lt;math&gt;\int\limits_0^2 {\left( {x^3  - 2x^2  - 3x} \right)} dx = \left[ {{1 \over 4}x^4  - {2 \over 3}x^3  - {3 \over 2}x^2 } \right]_0^2 &lt;/math&gt;

[[Bild:2x^2-3x.png|framed|f(x)= x^3-2x^2-3x]]

&lt;math&gt; = \left[ {{1 \over 4}2^4  - {2 \over 3}2^3  - {3 \over 2}2^2 } \right] - \left[ {{1 \over 4}0^4  - {2 \over 3}0^3  - {3 \over 2}0^2 } \right] &lt;/math&gt;


&lt;math&gt; = \left[ {{{16} \over 4} - {{16} \over 3} - {{12} \over 2}} \right] - \left[ 0 \right]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt; = \left[ {{{48} \over {12}} - {{64} \over {12}} - {{72} \over {12}}} \right] - \left[ 0 \right]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt; =  - {{88} \over {12}} =  - {{22} \over 3} =  - 7,33\bar 3 FE&lt;/math&gt;


Im Intervall zwischen 0 und 2 liegen also 22/3 Flächeneinheiten. Da das Ergebnis negativ ist, liegt die Fläche unterhalb der x-Achse.


===Suchbegriffe===

Fläche unter einer Funktion, Integralrechnung, Beispielaufgabe


===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===


[[Kategorie:Abituraufgaben]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 12]]</text>
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  <title>Datei:2x^2-3x.png</title>
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  <title>Mathe Wiki:Hilfe</title>
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    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1870" xml:space="preserve">Wenn du an WikiMath mitarbeiten möchtest, aber nicht weißt wie das geht und deswegen auf der Suche nach Hilfe bist, dann bist du hier genau richtig.

Die ersten Informationen hast Du ja sicherlich schon auf der [[WikiMath:Willkommen|Willkommen]]-Seite gelesen. Wenn nicht solltest Du das jetzt nochmal schnell nachholen, insbesondere den Absatz 'Infos zur Nutzung von WikiMath'.

WikiMath ist ein Wiki, welches auf der [http://www.mediawiki.org MediaWiki-Engine] basiert, welche z.B. auch von der bekannten freien Internet-Enzyklopädie [http://de.wikipedia.org Wikipedia] verwendet wird. Aufgrund dessen können die Seiten in WikiMath auch genauso bearbeitet werden, wie die Seiten aus Wikipedia. Da es in Wikipedia selber schon sehr viele ausführliche Hilfe-Seiten gibt, soll an dieser Stelle anhand einer kleinen Auflistung auf die Seiten hingewiesen werden, die insbesondere für WikiMath-Helfer interessant sind:

* [http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Tutorial Wiki-Tutorial] - Eine Schritt für Schritt Anleitung für Neueinsteiger
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Hilfe Wikipedia Hilfe] - Allgemeine Hilfe Seite
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Wikipedia Tex Hilfe] - Eine ausführhliche Erklärung zum editieren von mathematischen Formeln

Bitte schaue dir erst einmal die [[Vorlage:Seitenvorlage|Seitenvorlage]] an, an die du dich beim Erstellen ganz neuer Seiten orientieren solltest, damit alle Aufgaben eine einheitliche Form bekommen.

Du solltest dann das Erlernte auf der [[Spielwiese]] ausprobieren, bevor du mit dem Editieren vorhandener Seiten anfängst, oder neue Seiten verfasst. Denn dort kann man nichts kaputtmachen.

Für die Erstellung von Formeln ist das Programm [http://www.dessci.com/de/features/taform.stm TeXaide] sehr nützlich. Man kann die Formel mit der Maus zusammenklicken und dann im Tex Format exportieren.</text>
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  <title>Arbeiten mit Termen: Treffpunkt von zwei Radfahrern</title>
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    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1871" xml:space="preserve">==Aufgabe==

Die Orte '''A''' und '''B''' liegen 25 km von einander entfernt. Tina startet um 14:00 Uhr in '''A''' und fährt mit einer Geschwindigkeit von 15 km/h in Richtung '''B'''. Zur gleichen Zeit startet Karin in '''B''' und fährt mit 17 km/h in Richtung '''A'''. 

Nach wieviel Kilometern und nach welcher Zeit treffen sich die beiden Mädchen zwischen '''A''' und '''B'''?
===Tipps===


===Lösung===


==== Was ist x ====

Die Geschwindigkeit der Mädchen wird in km/h angegeben. Gesucht ist einmal der gefahrene Weg und zum anderen die verstrichene Zeit seit 14:00 Uhr bis zum Treffpunkt. 

Für x nehmen wir am besten die gefahrene Zeit. 

==== Therm aufstellen ====

Der Term besteht aus zwei Teilen die jeder für sich die Formel für das entsprechende Mädchen darstellt.

Man muss allerdings einen wichtigen Punkt dabei berücksichtigen. Da Karin genau in die entgegengesetzte Richtung fährt und bei '''B''' startet muss ihrer Formel von 25 km abgezogen werden. Also ergibt sich:


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt;

==== Ausrechnen ====

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt; '''| +17x'''


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} +(x \cdot 17{km \over h})  = 25 km &lt;/math&gt; '''| x ausklammern'''


&lt;math&gt;x \cdot (15 {km \over h} +  17{km \over h})  = 25 km &lt;/math&gt; '''| / 32 km/h'''


&lt;math&gt;x  = {25km \(15 {km \over h} +  17{km \over h})} &lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;x  = {25km \over 32}  h &lt;/math&gt; 

Km kürzt sich raus und übrig bleibt h (Stunden). Sie treffen sich also nach ca.46,8 Minuten.

==== Probe ====
===Suchbegriffe===

Geschwindigkeitsaufgabe, Geschwindigkeit, Termbildung

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]
[[Arbeiten mit Termen: Treffpunkt mit Fruchtsaft]]


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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    <text bytes="1875" xml:space="preserve">==Aufgabe==

Die Orte '''A''' und '''B''' liegen 25 km von einander entfernt. Tina startet um 14:00 Uhr in '''A''' und fährt mit einer Geschwindigkeit von 15 km/h in Richtung '''B'''. Zur gleichen Zeit startet Karin in '''B''' und fährt mit 17 km/h in Richtung '''A'''. 

Nach wieviel Kilometern und nach welcher Zeit treffen sich die beiden Mädchen zwischen '''A''' und '''B'''?
===Tipps===


===Lösung===


==== Was ist x ====

Die Geschwindigkeit der Mädchen wird in km/h angegeben. Gesucht ist einmal der gefahrene Weg und zum anderen die verstrichene Zeit seit 14:00 Uhr bis zum Treffpunkt. 

Für x nehmen wir am besten die gefahrene Zeit. 

==== Therm aufstellen ====

Der Term besteht aus zwei Teilen die jeder für sich die Formel für das entsprechende Mädchen darstellt.

Man muss allerdings einen wichtigen Punkt dabei berücksichtigen. Da Karin genau in die entgegengesetzte Richtung fährt und bei '''B''' startet muss ihrer Formel von 25 km abgezogen werden. Also ergibt sich:


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt;

==== Ausrechnen ====

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt; '''| +17x'''


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} +(x \cdot 17{km \over h})  = 25 km &lt;/math&gt; '''| x ausklammern'''


&lt;math&gt;x \cdot (15 {km \over h} +  17{km \over h})  = 25 km &lt;/math&gt; '''| / 32 km/h'''


&lt;math&gt;x  = {25km \over ({15 km \over h} +  17{km \over h})} &lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;x  = {25 \over 32}  h &lt;/math&gt; 

Km kürzt sich raus und übrig bleibt h (Stunden). Sie treffen sich also nach ca.46,8 Minuten.


==== Probe ====
===Suchbegriffe===

Geschwindigkeitsaufgabe, Geschwindigkeit, Termbildung

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]
[[Arbeiten mit Termen: Treffpunkt mit Fruchtsaft]]


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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    <text bytes="2011" xml:space="preserve">==Aufgabe==

Die Orte '''A''' und '''B''' liegen 25 km von einander entfernt. Tina startet um 14:00 Uhr in '''A''' und fährt mit einer Geschwindigkeit von 15 km/h in Richtung '''B'''. Zur gleichen Zeit startet Karin in '''B''' und fährt mit 17 km/h in Richtung '''A'''. 

Nach wieviel Kilometern und nach welcher Zeit treffen sich die beiden Mädchen zwischen '''A''' und '''B'''?
===Tipps===

Wenn ihr Probleme mit der Aufgabenstellung habt, solltet ihr euch erst mal eine Zeichnung machen. Dabei malt man die beiden Orte auf, u

===Lösung===


==== Was ist x ====

Die Geschwindigkeit der Mädchen wird in km/h angegeben. Gesucht ist einmal der gefahrene Weg und zum anderen die verstrichene Zeit seit 14:00 Uhr bis zum Treffpunkt. 

Für x nehmen wir am besten die gefahrene Zeit. 

==== Therm aufstellen ====

Der Term besteht aus zwei Teilen die jeder für sich die Formel für das entsprechende Mädchen darstellt.

Man muss allerdings einen wichtigen Punkt dabei berücksichtigen. Da Karin genau in die entgegengesetzte Richtung fährt und bei '''B''' startet muss ihrer Formel von 25 km abgezogen werden. Also ergibt sich:


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt;

==== Ausrechnen ====

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt; '''| +17x'''


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} +(x \cdot 17{km \over h})  = 25 km &lt;/math&gt; '''| x ausklammern'''


&lt;math&gt;x \cdot (15 {km \over h} +  17{km \over h})  = 25 km &lt;/math&gt; '''| / 32 km/h'''


&lt;math&gt;x  = {25km \over ({15 km \over h} +  17{km \over h})} &lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;x  = {25 \over 32}  h &lt;/math&gt; 

Km kürzt sich raus und übrig bleibt h (Stunden). Sie treffen sich also nach ca.46,8 Minuten.


==== Probe ====
===Suchbegriffe===

Geschwindigkeitsaufgabe, Geschwindigkeit, Termbildung

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]
[[Arbeiten mit Termen: Treffpunkt mit Fruchtsaft]]


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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    <text bytes="2951" xml:space="preserve">==Aufgabe==

Die Orte '''A''' und '''B''' liegen 25 km von einander entfernt. Tina startet um 14:00 Uhr in '''A''' und fährt mit einer Geschwindigkeit von 15 km/h in Richtung '''B'''. Zur gleichen Zeit startet Karin in '''B''' und fährt mit 17 km/h in Richtung '''A'''. 

Nach wieviel Kilometern und nach welcher Zeit treffen sich die beiden Mädchen zwischen '''A''' und '''B'''?
===Tipps===

Wenn ihr Probleme mit der Aufgabenstellung habt, solltet ihr euch erst mal eine Zeichnung machen. Dabei malt man die beiden Orte auf und trägt alle Daten ein, die gegeben sind.

===Lösung===


==== Was ist x ====

Die Geschwindigkeit der Mädchen wird in km/h angegeben. Gesucht ist einmal der gefahrene Weg und zum anderen die verstrichene Zeit seit 14:00 Uhr bis zum Treffpunkt. 

Für x nehmen wir am besten die gefahrene Zeit. 

==== Therm aufstellen ====

Der Term besteht aus zwei Teilen die jeder für sich die Formel für das entsprechende Mädchen darstellt.

Man muss allerdings einen wichtigen Punkt dabei berücksichtigen. Da Karin genau in die entgegengesetzte Richtung fährt und bei '''B''' startet, muss ihre Formel von 25 km abgezogen werden. Also ergibt sich:


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} &lt;/math&gt; für Tina

&lt;math&gt; 25 km - (x \cdot 17{km \over h}) &lt;/math&gt; für Karin

Die beiden Formeln werden nun Gleichgesetzt:

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt;


==== Ausrechnen ====

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt; '''| +17x'''


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} +x \cdot 17{km \over h}  = 25 km &lt;/math&gt; '''| x ausklammern'''


&lt;math&gt;x \cdot (15 {km \over h} +  17{km \over h})  = 25 km &lt;/math&gt; '''| / 32 km/h'''


&lt;math&gt;x  = {25km \over (15 {km \over h} +  17{km \over h})} &lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;x  = {25km \over  32{km \over h}} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x  = {25 \over 32}  h = 46,8 Minuten&lt;/math&gt; 

Km kürzt sich raus und übrig bleibt h (Stunden). Sie treffen sich also nach ca.46,8 Minuten.


Der Weg errechnet sich dann über die Geschwindigkeit (wir nehmen die von Tina) und die Zeit. 

Geschwindigkeit = Weg / Zeit oder &lt;math&gt;v = {s \over t}&lt;/math&gt;

Also ist der Weg = Geschwidigkeit x Zeit &lt;math&gt;s = v \cdot t&lt;/math&gt;

die errechnete Zeit und Tinas Geschwindigkeit eingesetzt.

&lt;math&gt;s = {15 {km \over h} \cdot{25 \over 32}h}= 11,72 km&lt;/math&gt;

Tina ist also 11,72 km weit gefahren, bis sie mit Karin zusammentrift.


===Lösung 2===

Der zweite Ansatz erfordert schon die Kenntnis einer allgemeinen Geradengleichung.

&lt;math&gt;y = m \cdot x + c&lt;/math&gt;

'''m''' ist darin die Steigung der Geraden und '''c''' der Achsenabschnitt auf der y-Achse

[[Bild:Treffpunkt.png]]


==== Probe ====
===Suchbegriffe===

Geschwindigkeitsaufgabe, Geschwindigkeit, Termbildung

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]

[[Arbeiten mit Termen: Treffpunkt mit Fruchtsaft]]


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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    <text bytes="4160" xml:space="preserve">==Aufgabe==

Die Orte '''A''' und '''B''' liegen 25 km von einander entfernt. Tina startet um 14:00 Uhr in '''A''' und fährt mit einer Geschwindigkeit von 15 km/h in Richtung '''B'''. Zur gleichen Zeit startet Karin in '''B''' und fährt mit 17 km/h in Richtung '''A'''. 

Nach wieviel Kilometern und nach welcher Zeit treffen sich die beiden Mädchen zwischen '''A''' und '''B'''?
===Tipps===

Wenn ihr Probleme mit der Aufgabenstellung habt, solltet ihr euch erst mal eine Zeichnung machen. Dabei malt man die beiden Orte auf und trägt alle Daten ein, die gegeben sind.

===Lösung===


==== Was ist x ====

Die Geschwindigkeit der Mädchen wird in km/h angegeben. Gesucht ist einmal der gefahrene Weg und zum anderen die verstrichene Zeit seit 14:00 Uhr bis zum Treffpunkt. 

Für x nehmen wir am besten die gefahrene Zeit. 

==== Therm aufstellen ====

Der Term besteht aus zwei Teilen die jeder für sich die Formel für das entsprechende Mädchen darstellt.

Man muss allerdings einen wichtigen Punkt dabei berücksichtigen. Da Karin genau in die entgegengesetzte Richtung fährt und bei '''B''' startet, muss ihre Formel von 25 km abgezogen werden. Also ergibt sich:


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} &lt;/math&gt; für Tina

&lt;math&gt; 25 km - (x \cdot 17{km \over h}) &lt;/math&gt; für Karin

Die beiden Formeln werden nun Gleichgesetzt:

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt;


==== Zeit Ausrechnen ====

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt; '''| +17x'''


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} +x \cdot 17{km \over h}  = 25 km &lt;/math&gt; '''| x ausklammern'''


&lt;math&gt;x \cdot (15 {km \over h} +  17{km \over h})  = 25 km &lt;/math&gt; '''| / 32 km/h'''


&lt;math&gt;x  = {25km \over (15 {km \over h} +  17{km \over h})} &lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;x  = {25km \over  32{km \over h}} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x  = {25 \over 32}  h =  0,78125 h = 46,8 Minuten&lt;/math&gt; 

Km kürzt sich raus und übrig bleibt h (Stunden). Sie treffen sich also nach ca.46,8 Minuten.


==== Weg Ausrechnen ====

Der Weg errechnet sich dann über die Geschwindigkeit (wir nehmen die von Tina) und die Zeit. 

Geschwindigkeit = Weg / Zeit oder &lt;math&gt;v = {s \over t}&lt;/math&gt;

Also ist der Weg = Geschwidigkeit x Zeit &lt;math&gt;s = v \cdot t&lt;/math&gt;

die errechnete Zeit und Tinas Geschwindigkeit eingesetzt.

&lt;math&gt;s = {15 {km \over h} \cdot{25 \over 32}h}= 11,72 km&lt;/math&gt;

'''Tina ist also in 46,8 Minuten 11,72 km weit gefahren, bis sie mit Karin zusammentrift.'''


===Lösung 2===

Der zweite Ansatz erfordert schon die Kenntnis einer allgemeinen Geradengleichung.

&lt;math&gt;y = m \cdot x + c&lt;/math&gt;

'''m''' ist darin die Steigung der Geraden und '''c''' der Achsenabschnitt auf der y-Achse

[[Bild:Treffpunkt.png|framed|Die Geradengleichungen als Gafik]]

Die Steigungen sind hierbei die Geschwindigkeiten. Einen Achsenabschnitt hat nur die Gerade von Karin, da sie ja in '''B''', was ja von '''A''' 25 km entfernt liegt, startet. 

Die Geradengleichung für Tina:

&lt;math&gt;y = 15 {km \over h} \cdot x + 0&lt;/math&gt;

Die Geradengleichung für Karin:

&lt;math&gt;y = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km&lt;/math&gt;

Man sieht auch, dass vor der Geschwindigkeit von Karin ein Minus steht, da die Steigung der Geraden negativ ist.

Man sieht in der Grafik schön, dass es genau einen Punkt gibt, in dem sich die Geraden kreuzen. Das ist der Zeitpunkt der Begegnung. Und da die Werte für '''y''' in diesem Punkt die gleichen sind, setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich. (Man nennt diesen Verfahren darum '''Gleichsetzungsverfahren''')

&lt;math&gt; 15 {km \over h} \cdot x + 0 = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km &lt;/math&gt;

==== Ausrechnen ====

&lt;math&gt; 15x  = -17x + 25 &lt;/math&gt; '''| +17x'''

&lt;math&gt; 32x  =  25 &lt;/math&gt; '''| /32 '''

&lt;math&gt; x  =  {25 \over 32} &lt;/math&gt;

Wie man sieht, kommt auch in dieser Lösung das gleiche Ergebnis raus. Den Weg kann man jetzt gaenau wie in Lösung 1 berechnen.

===Suchbegriffe===

Geschwindigkeitsaufgabe, Geschwindigkeit, Termbildung

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]

[[Arbeiten mit Termen: Treffpunkt mit Fruchtsaft]]


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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    <comment>/* ähnliche Aufgaben */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="4166" xml:space="preserve">==Aufgabe==

Die Orte '''A''' und '''B''' liegen 25 km von einander entfernt. Tina startet um 14:00 Uhr in '''A''' und fährt mit einer Geschwindigkeit von 15 km/h in Richtung '''B'''. Zur gleichen Zeit startet Karin in '''B''' und fährt mit 17 km/h in Richtung '''A'''. 

Nach wieviel Kilometern und nach welcher Zeit treffen sich die beiden Mädchen zwischen '''A''' und '''B'''?
===Tipps===

Wenn ihr Probleme mit der Aufgabenstellung habt, solltet ihr euch erst mal eine Zeichnung machen. Dabei malt man die beiden Orte auf und trägt alle Daten ein, die gegeben sind.

===Lösung===


==== Was ist x ====

Die Geschwindigkeit der Mädchen wird in km/h angegeben. Gesucht ist einmal der gefahrene Weg und zum anderen die verstrichene Zeit seit 14:00 Uhr bis zum Treffpunkt. 

Für x nehmen wir am besten die gefahrene Zeit. 

==== Therm aufstellen ====

Der Term besteht aus zwei Teilen die jeder für sich die Formel für das entsprechende Mädchen darstellt.

Man muss allerdings einen wichtigen Punkt dabei berücksichtigen. Da Karin genau in die entgegengesetzte Richtung fährt und bei '''B''' startet, muss ihre Formel von 25 km abgezogen werden. Also ergibt sich:


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} &lt;/math&gt; für Tina

&lt;math&gt; 25 km - (x \cdot 17{km \over h}) &lt;/math&gt; für Karin

Die beiden Formeln werden nun Gleichgesetzt:

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt;


==== Zeit Ausrechnen ====

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt; '''| +17x'''


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} +x \cdot 17{km \over h}  = 25 km &lt;/math&gt; '''| x ausklammern'''


&lt;math&gt;x \cdot (15 {km \over h} +  17{km \over h})  = 25 km &lt;/math&gt; '''| / 32 km/h'''


&lt;math&gt;x  = {25km \over (15 {km \over h} +  17{km \over h})} &lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;x  = {25km \over  32{km \over h}} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x  = {25 \over 32}  h =  0,78125 h = 46,8 Minuten&lt;/math&gt; 

Km kürzt sich raus und übrig bleibt h (Stunden). Sie treffen sich also nach ca.46,8 Minuten.


==== Weg Ausrechnen ====

Der Weg errechnet sich dann über die Geschwindigkeit (wir nehmen die von Tina) und die Zeit. 

Geschwindigkeit = Weg / Zeit oder &lt;math&gt;v = {s \over t}&lt;/math&gt;

Also ist der Weg = Geschwidigkeit x Zeit &lt;math&gt;s = v \cdot t&lt;/math&gt;

die errechnete Zeit und Tinas Geschwindigkeit eingesetzt.

&lt;math&gt;s = {15 {km \over h} \cdot{25 \over 32}h}= 11,72 km&lt;/math&gt;

'''Tina ist also in 46,8 Minuten 11,72 km weit gefahren, bis sie mit Karin zusammentrift.'''


===Lösung 2===

Der zweite Ansatz erfordert schon die Kenntnis einer allgemeinen Geradengleichung.

&lt;math&gt;y = m \cdot x + c&lt;/math&gt;

'''m''' ist darin die Steigung der Geraden und '''c''' der Achsenabschnitt auf der y-Achse

[[Bild:Treffpunkt.png|framed|Die Geradengleichungen als Gafik]]

Die Steigungen sind hierbei die Geschwindigkeiten. Einen Achsenabschnitt hat nur die Gerade von Karin, da sie ja in '''B''', was ja von '''A''' 25 km entfernt liegt, startet. 

Die Geradengleichung für Tina:

&lt;math&gt;y = 15 {km \over h} \cdot x + 0&lt;/math&gt;

Die Geradengleichung für Karin:

&lt;math&gt;y = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km&lt;/math&gt;

Man sieht auch, dass vor der Geschwindigkeit von Karin ein Minus steht, da die Steigung der Geraden negativ ist.

Man sieht in der Grafik schön, dass es genau einen Punkt gibt, in dem sich die Geraden kreuzen. Das ist der Zeitpunkt der Begegnung. Und da die Werte für '''y''' in diesem Punkt die gleichen sind, setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich. (Man nennt diesen Verfahren darum '''Gleichsetzungsverfahren''')

&lt;math&gt; 15 {km \over h} \cdot x + 0 = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km &lt;/math&gt;

==== Ausrechnen ====

&lt;math&gt; 15x  = -17x + 25 &lt;/math&gt; '''| +17x'''

&lt;math&gt; 32x  =  25 &lt;/math&gt; '''| /32 '''

&lt;math&gt; x  =  {25 \over 32} &lt;/math&gt;

Wie man sieht, kommt auch in dieser Lösung das gleiche Ergebnis raus. Den Weg kann man jetzt gaenau wie in Lösung 1 berechnen.

===Suchbegriffe===

Geschwindigkeitsaufgabe, Geschwindigkeit, Termbildung

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft]]


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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  <title>Quadratische Gleichungen: Ein Stein fällt in einen Brunnen</title>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1778" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach 5 s hört man den Aufschlag. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 340m/s. 
A: Beschreiben sie den Vorgang zur Bestimmung der Tiefe.
B: Wie tief ist der Brunnen. 
C: Zeichnen Sie das Weg/Zeit –Diagramm des Vorgangs.

== Tipps ==


== Lösung ==


=== Vorgangsbeschreibung ===

Mit einer Stopuhr misst man die Zeit bis zum Aufprall. Die gemessene Zeit ist die Summe für die Fallzeit und die Zeit die der Schall braucht um wieder aufzusteigen. Der Weg, den beide zurücklegen müssen ist der gleiche. Die genaue Vorgehensweise ist im folgenden Punkt erklärt.


=== Berechnung der Brunnentiefe ===

Formel für den freien Fall  		

&lt;math&gt; h = {1 \over 2} \cdot g \cdot t_{Fall}  &lt;/math&gt;	

Formel für den Schall			

&lt;math&gt; h = V_{schall} \cdot t_{schall} &lt;/math&gt;


Weiter gilt:

tschall = 5s – tfall

Da der Schall die gleiche Strecke zurücklegen muss, wie der Stein kann man die Formeln Gleichsetzen.

½ × g × tfall² = Vschall × tschall

½ × g × tfall² = Vschall × (5s – tfall)

'''Das ist eine quadratische Gleichung  mit 

a= g/2 b=340 c= -1700'''


&lt;math&gt; \mathop x\nolimits_{1/2}  = {{ - b \pm \sqrt {b^2  - 4ac} } \over {2a}} &lt;/math&gt;


&lt;math&gt; \mathop x\nolimits_{1/2}  = {{ - 340 \pm \sqrt {340^2  - 4 \times {{9,81} \over 2} \times \left( { - 1700} \right)} } \over {2a}} &lt;/math&gt;

X1= 4,684s         X2= -74,0005s

Da es keine negative Fallzeit gibt, muss die Lösung für tfall 4.684s sein.

Eingesetzt in             h = ½ × g × tfall²


h = ½ × 9,81 m/s² × 4,684s ²
'''h = 107,61 m'''


=== Weg-Zeit-Diagramm ===


== Probe ==


==Suchbegriffe==

Quadratische Gleichung, Brunnentiefe

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 9]]</text>
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    </contributor>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1775" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach 5 s hört man den Aufschlag. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 340m/s. 

A: Beschreiben sie den Vorgang zur Bestimmung der Tiefe.

B: Wie tief ist der Brunnen. 

C: Zeichnen Sie das Weg/Zeit –Diagramm des Vorgangs.

== Tipps ==


== Lösung ==


=== Vorgangsbeschreibung ===

Mit einer Stopuhr misst man die Zeit bis zum Aufprall. Die gemessene Zeit ist die Summe für die Fallzeit und die Zeit die der Schall braucht um wieder aufzusteigen. Der Weg, den beide zurücklegen müssen ist der gleiche. Die genaue Vorgehensweise ist im folgenden Punkt erklärt.


=== Berechnung der Brunnentiefe ===

Formel für den freien Fall  		


&lt;math&gt; h = {1 \over 2} \cdot g \cdot t  &lt;/math&gt;	

Formel für den Schall			

&lt;math&gt; h = V_{schall} \cdot t_{schall} &lt;/math&gt;


Weiter gilt:

tschall = 5s – tfall

Da der Schall die gleiche Strecke zurücklegen muss, wie der Stein kann man die Formeln Gleichsetzen.

½ × g × tfall² = Vschall × tschall

½ × g × tfall² = Vschall × (5s – tfall)

'''Das ist eine quadratische Gleichung  mit 

a= g/2 b=340 c= -1700'''


&lt;math&gt; \mathop x\nolimits_{1/2}  = {{ - b \pm \sqrt {b^2  - 4ac} } \over {2a}} &lt;/math&gt;


&lt;math&gt; \mathop x\nolimits_{1/2}  = {{ - 340 \pm \sqrt {340^2  - 4 \times {{9,81} \over 2} \times \left( { - 1700} \right)} } \over {2a}} &lt;/math&gt;

X1= 4,684s         X2= -74,0005s

Da es keine negative Fallzeit gibt, muss die Lösung für tfall 4.684s sein.

Eingesetzt in             h = ½ × g × tfall²


h = ½ × 9,81 m/s² × 4,684s ²
'''h = 107,61 m'''


=== Weg-Zeit-Diagramm ===


== Probe ==


==Suchbegriffe==

Quadratische Gleichung, Brunnentiefe

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 9]]</text>
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    <text bytes="1849" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach 5 s hört man den Aufschlag. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 340m/s. 

A: Beschreiben sie den Vorgang zur Bestimmung der Tiefe.

B: Wie tief ist der Brunnen. 

C: Zeichnen Sie das Weg/Zeit –Diagramm des Vorgangs.

== Tipps ==


== Lösung ==


=== Vorgangsbeschreibung ===

Mit einer Stopuhr misst man die Zeit bis zum Aufprall. Die gemessene Zeit ist die Summe für die Fallzeit und die Zeit die der Schall braucht um wieder aufzusteigen. Der Weg, den beide zurücklegen müssen ist der gleiche. Die genaue Vorgehensweise ist im folgenden Punkt erklärt.


=== Berechnung der Brunnentiefe ===

Formel für den freien Fall  		

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt;

&lt;math&gt; h = {1 \over 2} \cdot g \cdot t  &lt;/math&gt;	

Formel für den Schall			

&lt;math&gt; h = V_{schall} \cdot t_{schall} &lt;/math&gt;


Weiter gilt:

tschall = 5s – tfall

Da der Schall die gleiche Strecke zurücklegen muss, wie der Stein kann man die Formeln Gleichsetzen.

½ × g × tfall² = Vschall × tschall

½ × g × tfall² = Vschall × (5s – tfall)

'''Das ist eine quadratische Gleichung  mit 

a= g/2 b=340 c= -1700'''


&lt;math&gt; \mathop x\nolimits_{1/2}  = {{ - b \pm \sqrt {b^2  - 4ac} } \over {2a}} &lt;/math&gt;


&lt;math&gt; \mathop x\nolimits_{1/2}  = {{ - 340 \pm \sqrt {340^2  - 4 \times {{9,81} \over 2} \times \left( { - 1700} \right)} } \over {2a}} &lt;/math&gt;

X1= 4,684s         X2= -74,0005s

Da es keine negative Fallzeit gibt, muss die Lösung für tfall 4.684s sein.

Eingesetzt in             h = ½ × g × tfall²


h = ½ × 9,81 m/s² × 4,684s ²
'''h = 107,61 m'''


=== Weg-Zeit-Diagramm ===


== Probe ==


==Suchbegriffe==

Quadratische Gleichung, Brunnentiefe

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 9]]</text>
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    <text bytes="1702" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach 5 s hört man den Aufschlag. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 340m/s. 

A: Beschreiben sie den Vorgang zur Bestimmung der Tiefe.

B: Wie tief ist der Brunnen. 

C: Zeichnen Sie das Weg/Zeit –Diagramm des Vorgangs.

== Tipps ==


== Lösung ==


=== Vorgangsbeschreibung ===

Mit einer Stopuhr misst man die Zeit bis zum Aufprall. Die gemessene Zeit ist die Summe für die Fallzeit und die Zeit die der Schall braucht um wieder aufzusteigen. Der Weg, den beide zurücklegen müssen ist der gleiche. Die genaue Vorgehensweise ist im folgenden Punkt erklärt.


=== Berechnung der Brunnentiefe ===

Formel für den freien Fall  		

h = ½ × g × tfall²


Formel für den Schall			

h = Vschall × tschall


Weiter gilt:

tschall = 5s – tfall

Da der Schall die gleiche Strecke zurücklegen muss, wie der Stein kann man die Formeln Gleichsetzen.

½ × g × tfall² = Vschall × tschall

½ × g × tfall² = Vschall × (5s – tfall)

&lt;math&gt;
{{9,81} \over 2} \times \mathop t\nolimits_{fall}^2  + 340 \times \mathop t\nolimits_{fall}  - 1700 = 0&lt;/math&gt;


'''Das ist eine quadratische Gleichung  mit 

a= g/2 b=340 c= -1700'''


&lt;math&gt; \mathop x\nolimits_{1/2}  = {{ - b \pm \sqrt {b^2  - 4ac} } \over {2a}} &lt;/math&gt;


X1= 4,684s         X2= -74,0005s

Da es keine negative Fallzeit gibt, muss die Lösung für tfall 4.684s sein.

Eingesetzt in             h = ½ × g × tfall²


h = ½ × 9,81 m/s² × 4,684s ²
'''h = 107,61 m'''


=== Weg-Zeit-Diagramm ===


== Probe ==


==Suchbegriffe==

Quadratische Gleichung, Brunnentiefe

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 9]]</text>
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    <text bytes="2026" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach 5 s hört man den Aufschlag. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 340m/s. 

A: Beschreiben sie den Vorgang zur Bestimmung der Tiefe.

B: Wie tief ist der Brunnen. 

C: Zeichnen Sie das Weg/Zeit –Diagramm des Vorgangs.

== Tipps ==


== Lösung ==


=== Vorgangsbeschreibung ===

Mit einer Stopuhr misst man die Zeit bis zum Aufprall. Die gemessene Zeit ist die Summe für die Fallzeit und die Zeit die der Schall braucht um wieder aufzusteigen. Der Weg, den beide zurücklegen müssen ist der gleiche. Die genaue Vorgehensweise ist im folgenden Punkt erklärt.


=== Berechnung der Brunnentiefe ===

Formel für den freien Fall  		

h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;


Formel für den Schall			

h = V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt;


Weiter gilt:

t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; = 5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;

Da der Schall die gleiche Strecke zurücklegen muss, wie der Stein kann man die Formeln Gleichsetzen.

½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; = V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt;

½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; = V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × (5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;)

&lt;math&gt;
{{9,81} \over 2} \times \mathop t\nolimits_{fall}^2  + 340 \times \mathop t\nolimits_{fall}  - 1700 = 0&lt;/math&gt;


'''Das ist eine quadratische Gleichung  mit''' 

'''a''' = g/2 
'''b''' = 340 
'''c''' = -1700

Eingesetzt in die [[Lösungsformel für quadratische Gleichungen]]

&lt;math&gt; \mathop x\nolimits_{1/2}  = {{ - b \pm \sqrt {b^2  - 4ac} } \over {2a}} &lt;/math&gt;

ergibt zwei Lösungen:

X&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;= 4,684s         X&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;= -74,0005s

Da es keine negative Fallzeit gibt, muss die Lösung für '''t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; = 4.684s''' sein.

Eingesetzt in             h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;


h = ½ × 9,81 m/s² × 4,684s ²

'''h = 107,61 m'''

'''Die Brunnentiefe ist also 107,61 m'''

=== Weg-Zeit-Diagramm ===


== Probe ==


==Suchbegriffe==

Quadratische Gleichung, Brunnentiefe

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 9]]</text>
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    <text bytes="2055" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach 5 s hört man den Aufschlag. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 340m/s. 

'''A:''' Beschreiben sie den Vorgang zur Bestimmung der Tiefe.

'''B:''' Wie tief ist der Brunnen. 

'''C:''' Zeichnen Sie das Weg/Zeit –Diagramm des Vorgangs.

== Tipps ==


== Lösung ==


=== A: Vorgangsbeschreibung ===

Mit einer Stopuhr misst man die Zeit bis zum Aufprall. Die gemessene Zeit ist die Summe für die Fallzeit und die Zeit die der Schall braucht um wieder aufzusteigen. Der Weg, den beide zurücklegen müssen ist der gleiche. Die genaue Vorgehensweise ist im folgenden Punkt erklärt.


=== B: Berechnung der Brunnentiefe ===

Formel für den freien Fall  		

h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;


Formel für den Schall			

h = V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt;


Weiter gilt:

t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; = 5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;

Da der Schall die gleiche Strecke zurücklegen muss, wie der Stein kann man die Formeln Gleichsetzen.

½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; = V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt;

½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; = V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × (5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;)

&lt;math&gt;
{{9,81} \over 2} \times \mathop t\nolimits_{fall}^2  + 340 \times \mathop t\nolimits_{fall}  - 1700 = 0&lt;/math&gt;


'''Das ist eine quadratische Gleichung  mit''' 

'''a''' = g/2 
'''b''' = 340 
'''c''' = -1700

Eingesetzt in die [[Lösungsformel für quadratische Gleichungen]]

&lt;math&gt; \mathop x\nolimits_{1/2}  = {{ - b \pm \sqrt {b^2  - 4ac} } \over {2a}} &lt;/math&gt;

ergibt zwei Lösungen:

X&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;= 4,684s         X&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;= -74,0005s

Da es keine negative Fallzeit gibt, muss die Lösung für '''t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; = 4.684s''' sein.

Eingesetzt in             h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;


h = ½ × 9,81 m/s² × 4,684s ²

'''h = 107,61 m'''

'''Die Brunnentiefe ist also 107,61 m'''


=== C: Weg-Zeit-Diagramm ===


== Probe ==


==Suchbegriffe==

Quadratische Gleichung, Brunnentiefe

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 9]]</text>
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    <text bytes="2163" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach 5 s hört man den Aufschlag. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 340m/s. 

'''A:''' Beschreiben sie den Vorgang zur Bestimmung der Tiefe.

'''B:''' Wie tief ist der Brunnen. 

'''C:''' Zeichnen Sie das Weg/Zeit –Diagramm des Vorgangs.

== Tipps ==


== Lösung ==


=== A: Vorgangsbeschreibung ===

Mit einer Stopuhr misst man die Zeit bis zum Aufprall. Die gemessene Zeit ist die Summe für die Fallzeit und die Zeit die der Schall braucht um wieder aufzusteigen. Der Weg, den beide zurücklegen müssen ist der gleiche. Die genaue Vorgehensweise ist im folgenden Punkt erklärt.


=== B: Berechnung der Brunnentiefe ===

Formel für den freien Fall  		

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;               '''&lt;1&gt;'''


Formel für den Schall			

:h = V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;2&gt;'''


Weiter gilt:

:t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; = 5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;  '''&lt;3&gt;'''


Da der Schall die gleiche Strecke zurücklegen muss, wie der Stein kann man die Formeln '''&lt;1&gt;''' und '''&lt;2&gt;''' Gleichsetzen.

:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt;

:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × (5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;)


:&lt;math&gt;
{{9,81} \over 2} \times \mathop t\nolimits_{fall}^2  + 340{m \over s} \times \mathop t\nolimits_{fall}  - 1700 = 0&lt;/math&gt;


'''Das ist eine quadratische Gleichung  mit''' 

:'''a''' = g/2 
:'''b''' = 340 
:'''c''' = -1700

Eingesetzt in die [[Lösungsformel für quadratische Gleichungen]]

:&lt;math&gt; \mathop x\nolimits_{1/2}  = {{ - b \pm \sqrt {b^2  - 4ac} } \over {2a}} &lt;/math&gt;

ergibt zwei Lösungen:

:x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;= 4,684s         
:x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;= -74,0005s

Da es keine negative Fallzeit gibt, muss die Lösung für '''t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; = 4.684s''' sein.

Eingesetzt in             h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;


:h = ½ × 9,81 m/s² × 4,684s ²

'''h = 107,61 m'''

'''Die Brunnentiefe ist also 107,61 m'''

=== C: Weg-Zeit-Diagramm ===


== Probe ==


==Suchbegriffe==

Quadratische Gleichung, Brunnentiefe

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 9]]</text>
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    <text bytes="2207" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach 5 s hört man den Aufschlag. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 340m/s. 

'''A:''' Beschreiben sie den Vorgang zur Bestimmung der Tiefe.

'''B:''' Wie tief ist der Brunnen. 

'''C:''' Zeichnen Sie das Weg/Zeit –Diagramm des Vorgangs.

== Tipps ==


== Lösung ==


=== A: Vorgangsbeschreibung ===

Mit einer Stopuhr misst man die Zeit bis zum Aufprall. Die gemessene Zeit ist die Summe für die Fallzeit und die Zeit die der Schall braucht um wieder aufzusteigen. Der Weg, den beide zurücklegen müssen ist der gleiche. Die genaue Vorgehensweise ist im folgenden Punkt erklärt.


=== B: Berechnung der Brunnentiefe ===

Formel für den freien Fall  		

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;               '''&lt;1&gt;'''


Formel für den Schall			

:h = V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;2&gt;'''


Weiter gilt:

:t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; = 5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;  '''&lt;3&gt;'''


Da der Schall die gleiche Strecke zurücklegen muss, wie der Stein kann man die Formeln '''&lt;1&gt;''' und '''&lt;2&gt;''' Gleichsetzen.

:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt;

:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × (5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;)


:&lt;math&gt;
{{9,81} \over 2} \times \mathop t\nolimits_{fall}^2  + 340{m \over s} \times \mathop t\nolimits_{fall}  - 1700 = 0&lt;/math&gt;


'''Das ist eine quadratische Gleichung  mit''' 

:'''a''' = g/2 
:'''b''' = 340 
:'''c''' = -1700

Eingesetzt in die [[Lösungsformel für quadratische Gleichungen]]

:&lt;math&gt; \mathop x\nolimits_{1/2}  = {{ - b \pm \sqrt {b^2  - 4ac} } \over {2a}} &lt;/math&gt;

ergibt zwei Lösungen:

:x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;= 4,684s         
:x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;= -74,0005s

Da es keine negative Fallzeit gibt, muss die Lösung für '''t&lt;sub&gt; fall&lt;/sub&gt; = 4.684s''' sein.

Eingesetzt in    '''&lt;1&gt;'''        

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;

:h = ½ × 9,81 m/s² × 4,684s ²


:'''h = 107,61 m'''

'''Die Brunnentiefe ist also 107,61 m'''


=== C: Weg-Zeit-Diagramm ===

[[Bild:stein_brunnen_wegzeit.PNG]]


==Suchbegriffe==

Quadratische Gleichung, Brunnentiefe, Fallzeit

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 9]]</text>
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    <text bytes="2686" xml:space="preserve">==Aufgabenstellung==

Es sei &lt;math&gt;A\in K^{n\times n}&lt;/math&gt; eine invertierbare Matrix über einem Körper &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;. Ferner sei &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; ein Eigenwert von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

Man zeige: &lt;math&gt;\lambda\not=0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\lambda^{-1}&lt;/math&gt; ist Eigenwert von &lt;math&gt;A^{-1}&lt;/math&gt;.


==Tipp==

Man benutze die Definition der Eigenwerte


==Lösung 1==

Es sei &lt;math&gt;\chi_A&lt;/math&gt; das charakteristische Polynom von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;E_n&lt;/math&gt; die (&lt;math&gt;n\times n&lt;/math&gt;)-Einheitsmatrix.

Annahme: &lt;math&gt;\lambda =0&lt;/math&gt;, dann folgt:

&lt;math&gt;\chi_A(\lambda)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A-\lambda E_n)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A-0\cdot E_n)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow A\not\in Gl(n,K)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow A&lt;/math&gt; ist nicht invertierbar (Widerspruch zur Voraussetzung!)

Also ist &lt;math&gt;\lambda\not= 0&lt;/math&gt;, insbesondere existiert &lt;math&gt;\lambda^{-1}\in K&lt;/math&gt;.

Da &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; Eigenwert von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; ist, hat die Gleichung &lt;math&gt;A(x)=\lambda x;\;x\in K^n&lt;/math&gt; eine nicht-triviale Lösung  &lt;math&gt;v\in K^n\setminus\{0\}&lt;/math&gt;, d.h. es gilt:

&lt;math&gt;\exists v\in K^n\setminus\{0\}:A(v)=\lambda v&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\exists v\in K^n\setminus\{0\}: A^{-1}(\lambda v)=v&lt;/math&gt; (da &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; ja invertierbar ist)

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\exists v\in K^n\setminus\{0\}:A^{-1}(\lambda v)=\lambda^{-1}(\lambda v)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; die Gleichung &lt;math&gt;A^{-1}(x)=\lambda^{-1}x&lt;/math&gt; hat eine nicht-triviale Lösung &lt;math&gt;x\in K^n\setminus\{0\}&lt;/math&gt; (da ja &lt;math&gt;\lambda\not=0&lt;/math&gt; und da &lt;math&gt;v\not=0&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; die Gleichung &lt;math&gt;(A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)(x)=0&lt;/math&gt; hat eine nicht-triviale Lösung

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\ker(A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)\not=\{0\} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow (A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)\not\in Gl(n,K)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\chi_{A^{-1}}(\lambda^{-1})=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\lambda^{-1}&lt;/math&gt; ist Eigenwert von &lt;math&gt;A^{-1}&lt;/math&gt;.

==Lösung 2==
Da &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; Eigenwert von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; ist, ist &lt;math&gt;(A-\lambda)&lt;/math&gt; nicht invertierbar. Da &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; invertierbar ist folgt &lt;math&gt;\lambda\neq0&lt;/math&gt;.

Nun ist &lt;math&gt;\lambda A(A^{-1}-\lambda^{-1})=(\lambda-A)&lt;/math&gt; nicht invertierbar, also muss mindestens einer der Faktoren nichtinvertierbar sein. Da &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; invertierbar sind, folgt, dass &lt;math&gt;(A^{-1}-\lambda^{-1})&lt;/math&gt; nicht invertierbar ist. Somit ist &lt;math&gt;\lambda^{-1}&lt;/math&gt; ein Eigenwert von &lt;math&gt;A^{-1}&lt;/math&gt;.


[[Kategorie: Lineare Algebra]]</text>
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    <timestamp>2006-04-24T10:18:08Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>Mpraehofer</username>
      <id>20808</id>
    </contributor>
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    <comment>/* Tipp */  Analogie zu den reellen Zahlen hinzugefuegt.</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2854" xml:space="preserve">==Aufgabenstellung==

Es sei &lt;math&gt;A\in K^{n\times n}&lt;/math&gt; eine invertierbare Matrix über einem Körper &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;. Ferner sei &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; ein Eigenwert von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

Man zeige: &lt;math&gt;\lambda\not=0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\lambda^{-1}&lt;/math&gt; ist Eigenwert von &lt;math&gt;A^{-1}&lt;/math&gt;.


==Tipp==

*Man benutze die Definition der Eigenwerte.
*Man interpretiere die Gleichung &lt;math&gt;x^{-1}-y^{-1}=\frac{y-x}{xy}&lt;/math&gt; für reelle Zahlen &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{C}\setminus\{0\}&lt;/math&gt; als Gleichung für Matrizen.

==Lösung 1==

Es sei &lt;math&gt;\chi_A&lt;/math&gt; das charakteristische Polynom von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;E_n&lt;/math&gt; die (&lt;math&gt;n\times n&lt;/math&gt;)-Einheitsmatrix.

Annahme: &lt;math&gt;\lambda =0&lt;/math&gt;, dann folgt:

&lt;math&gt;\chi_A(\lambda)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A-\lambda E_n)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A-0\cdot E_n)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow A\not\in Gl(n,K)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow A&lt;/math&gt; ist nicht invertierbar (Widerspruch zur Voraussetzung!)

Also ist &lt;math&gt;\lambda\not= 0&lt;/math&gt;, insbesondere existiert &lt;math&gt;\lambda^{-1}\in K&lt;/math&gt;.

Da &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; Eigenwert von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; ist, hat die Gleichung &lt;math&gt;A(x)=\lambda x;\;x\in K^n&lt;/math&gt; eine nicht-triviale Lösung  &lt;math&gt;v\in K^n\setminus\{0\}&lt;/math&gt;, d.h. es gilt:

&lt;math&gt;\exists v\in K^n\setminus\{0\}:A(v)=\lambda v&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\exists v\in K^n\setminus\{0\}: A^{-1}(\lambda v)=v&lt;/math&gt; (da &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; ja invertierbar ist)

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\exists v\in K^n\setminus\{0\}:A^{-1}(\lambda v)=\lambda^{-1}(\lambda v)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; die Gleichung &lt;math&gt;A^{-1}(x)=\lambda^{-1}x&lt;/math&gt; hat eine nicht-triviale Lösung &lt;math&gt;x\in K^n\setminus\{0\}&lt;/math&gt; (da ja &lt;math&gt;\lambda\not=0&lt;/math&gt; und da &lt;math&gt;v\not=0&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; die Gleichung &lt;math&gt;(A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)(x)=0&lt;/math&gt; hat eine nicht-triviale Lösung

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\ker(A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)\not=\{0\} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow (A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)\not\in Gl(n,K)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\chi_{A^{-1}}(\lambda^{-1})=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\lambda^{-1}&lt;/math&gt; ist Eigenwert von &lt;math&gt;A^{-1}&lt;/math&gt;.

==Lösung 2==
Da &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; Eigenwert von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; ist, ist &lt;math&gt;(A-\lambda)&lt;/math&gt; nicht invertierbar. Da &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; invertierbar ist folgt &lt;math&gt;\lambda\neq0&lt;/math&gt;.

Nun ist &lt;math&gt;\lambda A(A^{-1}-\lambda^{-1})=(\lambda-A)&lt;/math&gt; nicht invertierbar, also muss mindestens einer der Faktoren nichtinvertierbar sein. Da &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; invertierbar sind, folgt, dass &lt;math&gt;(A^{-1}-\lambda^{-1})&lt;/math&gt; nicht invertierbar ist. Somit ist &lt;math&gt;\lambda^{-1}&lt;/math&gt; ein Eigenwert von &lt;math&gt;A^{-1}&lt;/math&gt;.


[[Kategorie: Lineare Algebra]]</text>
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  <title>Lösungsformel für quadratische Gleichungen</title>
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    <contributor>
      <username>Behrev</username>
      <id>13311</id>
    </contributor>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="169" xml:space="preserve">== A B C Formel ==

&lt;math&gt;x_{1/2}  = {{ - b \pm \sqrt {b^2  - 4ac} } \over {2a}} &lt;/math&gt;

== p q Formel ==

&lt;math&gt;x_{1/2} = -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}&lt;/math&gt;</text>
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  <title>Cauchy-Folgen und gleichmäßige Stetigkeit</title>
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    <contributor>
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    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2244" xml:space="preserve">==Aufgabenstellung==

Es seien &lt;math&gt;X,Y&lt;/math&gt; metrische Räume und es sei &lt;math&gt;f:X\rightarrow Y&lt;/math&gt; eine gleichmäßig stetige Funktion. Weiter sei &lt;math&gt;(x_n)_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; eine Cauchy-Folge in &lt;math&gt;X&lt;/math&gt;.

Man zeige: &lt;math&gt;(f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; ist dann eine Cauchy-Folge in &lt;math&gt;Y&lt;/math&gt;.


==Tipp==

Man benutze die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit und der Cauchy-Folge


==Lösung 1==

Zunächst zu den Definitionen:

&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ist gleichmäßig stetig auf &lt;math&gt;X&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow(\forall\epsilon &gt;0:\exists\delta &gt;0:\forall x,y\in X:\vert x,y\vert &lt;\delta\Rightarrow\vert f(x),f(y)\vert &lt;\epsilon)&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;(x_n)&lt;/math&gt; ist eine Cauchy-Folge

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\forall \epsilon_0:\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n ,x_m\vert &lt;\epsilon_0&lt;/math&gt;


Sei nun &lt;math&gt;\epsilon &gt; 0 &lt;/math&gt; beliebig vorgegeben und ein entsprechendes &lt;math&gt;\delta &gt;0 &lt;/math&gt; gefunden. Dann gilt insbesondere:

&lt;math&gt;\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n ,x_m\vert &lt;\delta &lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; gleichmäßig stetig ist und da &lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}:x_n\in X&lt;/math&gt; gilt, folgt hieraus mit der Definition der gleichmäßigen Stetigkeit:

&lt;math&gt;\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert f(x_n),f(x_m)\vert &lt;\epsilon &lt;/math&gt;

Insgesamt gilt also:

&lt;math&gt;(\forall\epsilon &gt;0:\exists\delta &gt;0:\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n,x_m\vert &lt;\delta\Rightarrow\vert f(x_n),f(x_m)\vert &lt;\epsilon) &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow\forall\epsilon &gt;0:\exists n_0:\forall n,m\ge n_0:\vert f(x_n),f(x_m)\vert &lt;\epsilon &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow (f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; ist eine Cauchy-Folge in &lt;math&gt;Y&lt;/math&gt;

==Lösung 2==
Sei &lt;math&gt;\epsilon&gt;0&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; glm. stetig, gibt es ein &lt;math&gt;\delta&gt;0&lt;/math&gt;, s.d.f.a &lt;math&gt;x,y\in X&lt;/math&gt; aus &lt;math&gt;|x,y|&lt;\delta&lt;/math&gt; auch &lt;math&gt;|f(x),f(y)|&lt;\epsilon&lt;/math&gt; folgt. Da &lt;math&gt;(x_n)&lt;/math&gt; Cauchy-Folge ist, gibt es zu diesem &lt;math&gt;\delta&lt;/math&gt; ein &lt;math&gt;N\in\mathbb{N}&lt;/math&gt;, s.d.f.a &lt;math&gt;n,m\geq N&lt;/math&gt; gilt, dass &lt;math&gt;|x_n,x_m|&lt;\delta&lt;/math&gt; und damit auch &lt;math&gt;|f(x_n),f(x_m)|&lt;\epsilon&lt;/math&gt;, d.h. &lt;math&gt;(f(x_n))&lt;/math&gt; ist Cauchy-Folge.

[[Kategorie:Analysis]]</text>
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  <title>Datei:Stein brunnen wegzeit.PNG</title>
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  <title>Reihenwerte bestimmen 1</title>
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    <comment>Artikel initiiert</comment>
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    <text bytes="1705" xml:space="preserve">==Aufgabe (spezieller Augabenname)==
Hier gehört die Aufgabenstellung hin.
Dabei sollt ihr natürlich die korrekte mathematische Schreibweise inklusive aller Formeln verwenden: z.B. &lt;math&gt;\begin{bmatrix} 0 &amp; \cdots &amp; 1 \\ \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots \\ 2 &amp; \cdots &amp; 3\end{bmatrix}&lt;/math&gt; oder &lt;math&gt;\int\limits_{-N}^{N} e^x\, \mathrm{d}x&lt;/math&gt;

===Tipps===
Tipps, die beim Selberlösen der Aufgabe helfen, gehören an diese Stelle

===Lösung===
Bitte schreibe hier die Aufgabenlösung hin, falls dir diese schon bekannt ist. Ansonsten hoffe darauf, dass ein anderer Nutzer auch nach dieser Aufgabe sucht und dann, nachdem ihm die Lösung bekannt ist, diese hier reinschreibt.

===Suchbegriffe===
Gib hier verschiedene Begriffe ein, über welche die Aufgabe in der WikiMath-Suchmaschine gefunden werden soll.

===Quellen===
Hast du die Aufgabe einer bestimmten Quelle entnommen?
Dann gehört ein Verweis hierhin.

===ähnliche Aufgaben===
Gibt es auf WikiMath schon andere ähnliche Aufgaben, die mit dieser Aufgabe eng verwandt sind, aber nicht unbedingt zusammen auf einer Seite stehen sollten, dann verlinke hier zu diesen anderen Aufgaben.
!!!Dies ist auch sehr wichtig, damit keine Aufgaben verwaisen!!!
Genauso solltest Du auch Deine Aufgabe bei den anderen verlinken.

==Aufgabe 2 (weiterer Aufgabenname)==

===Tipps===

===Lösung===

===Suchbegriffe===

===Quellen===

===ähnliche Aufgaben===


Vergiss nicht deine Aufgabe einer/oder mehrerer Kategorien zuzuordnen!
Welche Kategorien bisher existieren, findest du auf den Spezialseiten unter [[Spezial:Categories|Seitenkategorien]]. Kategorienvorschläge sind auch schon auf der [[WikiMath|Hauptseite]] zu finden.

[[Kategorie:Beispielkategorie]]</text>
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    <contributor>
      <username>Gallois</username>
      <id>11129</id>
    </contributor>
    <comment>Aufg. und Lösung geschrieben</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1082" xml:space="preserve">==Aufgabe (Reihenwertbestimmung)==
Bestimmen Sie den Wert der folgenden Reihe:

&lt;math&gt;\sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{3^n} + \frac{(-1)^n}{n^3}) + \sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{3^{n+1}} + \frac{(-1)^{n+1}}{n^3})&lt;/math&gt;

===Tipps===
keine Tipps

===Lösung===
&lt;math&gt;\sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{3^n} + \frac{(-1)^n}{n^3}) + \sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{3^{n+1}} + \frac{(-1)^{n+1}}{n^3}) =&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{3^n}+\frac{1}{3^{n+1}}+\frac{(-1)^n}{n^3}+\frac{(-1)^{n+1}}{n^3}) = \sum_{n=1}^\infty[\frac{1}{3^n}(1+\frac{1}{3})+\frac{(-1)^n}{n^3}(1+(-1))] =&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\sum_{n=1}^\infty \frac{4}{3}(\frac{1}{3})^n =&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\frac{4}{3} \sum_{n=0}^\infty (\frac{1}{3})^{n+1} =&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \sum_{n=0}^\infty (\frac{1}{3})^n =&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{3}} =&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{2}{3}&lt;/math&gt;

===Suchbegriffe===
Reihe, Reihenwert, Summe

===Quellen===
Die Aufgabe stammt aus den Übungsblättern zur Vorlesung Analysis 2

===ähnliche Aufgaben===
noch keine

[[Kategorie:Analysis]]</text>
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    <comment>/* Quellen */  Quellangabe zu praezisieren</comment>
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    <text bytes="1114" xml:space="preserve">==Aufgabe (Reihenwertbestimmung)==
Bestimmen Sie den Wert der folgenden Reihe:

&lt;math&gt;\sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{3^n} + \frac{(-1)^n}{n^3}) + \sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{3^{n+1}} + \frac{(-1)^{n+1}}{n^3})&lt;/math&gt;

===Tipps===
keine Tipps

===Lösung===
&lt;math&gt;\sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{3^n} + \frac{(-1)^n}{n^3}) + \sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{3^{n+1}} + \frac{(-1)^{n+1}}{n^3}) =&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{3^n}+\frac{1}{3^{n+1}}+\frac{(-1)^n}{n^3}+\frac{(-1)^{n+1}}{n^3}) = \sum_{n=1}^\infty[\frac{1}{3^n}(1+\frac{1}{3})+\frac{(-1)^n}{n^3}(1+(-1))] =&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\sum_{n=1}^\infty \frac{4}{3}(\frac{1}{3})^n =&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\frac{4}{3} \sum_{n=0}^\infty (\frac{1}{3})^{n+1} =&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \sum_{n=0}^\infty (\frac{1}{3})^n =&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{3}} =&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{2}{3}&lt;/math&gt;

===Suchbegriffe===
Reihe, Reihenwert, Summe

===Quellen===
Die Aufgabe stammt aus den Übungsblättern zur Vorlesung Analysis 2 (Welche Uni? welches Semester?)

===ähnliche Aufgaben===
noch keine

[[Kategorie:Analysis]]</text>
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    <text bytes="1114" xml:space="preserve">==Aufgabe (Reihenwertbestimmung)==
Bestimmen Sie den Wert der folgenden Reihe:

&lt;math&gt;\sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{3^n} + \frac{(-1)^n}{n^3}) + \sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{3^{n+1}} + \frac{(-1)^{n+1}}{n^3})&lt;/math&gt;

===Tipps===
keine Tipps

===Lösung===
&lt;math&gt;\sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{3^n} + \frac{(-1)^n}{n^3}) + \sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{3^{n+1}} + \frac{(-1)^{n+1}}{n^3}) =&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{3^n}+\frac{1}{3^{n+1}}+\frac{(-1)^n}{n^3}+\frac{(-1)^{n+1}}{n^3}) = \sum_{n=1}^\infty[\frac{1}{3^n}(1+\frac{1}{3})+\frac{(-1)^n}{n^3}(1+(-1))] =&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\sum_{n=1}^\infty \frac{4}{3}(\frac{1}{3})^n =&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\frac{4}{3} \sum_{n=0}^\infty (\frac{1}{3})^{n+1} =&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \sum_{n=0}^\infty (\frac{1}{3})^n =&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{3}} =&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{2}{3}&lt;/math&gt;

===Suchbegriffe===
Reihe, Reihenwert, Summe

===Quellen===
Die Aufgabe stammt aus den Übungsblättern zur Vorlesung Analysis 2 (Uni Duisburg-Essen, SS 2006) !

===ähnliche Aufgaben===
noch keine

[[Kategorie:Analysis]]</text>
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  <title>Mathe Wiki:Willkommen</title>
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      <username>Migration conversion script</username>
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    <comment>Automated conversion from Wikicities to Wikia</comment>
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    <text bytes="6002" xml:space="preserve">Herzlich Willkommen bei [[WikiMath]], der freien Aufgabensammlung.

==Was ist WikiMath?==

WikiMath ist eine Sammlung von Mathematikaufgaben und deren Lösungen. Die Aufgaben werden nicht von einem festen, bezahlten Team, sondern von freiwilligen Autoren verfasst. Der Name WikiMath setzt sich zusammen aus Wiki, dem hawaiianischen Wort für "schnell", und Mathematik. Ein Wiki ist eine Website, deren Seiten jeder leicht und ohne technische Vorkenntnisse direkt im Browser ändern kann.

WikiMath wurde im Dezember 2005 gegründet und befindet sich im Aufbau. Die Anzahl der Aufgaben soll sich mit der Zeit und mit deiner/eurer Unterstützung immer weiter vergrößern. Du bist herzlich eingeladen, dein Wissen und deine Erfahrung in Bezug auf mathematische Übungsaufgaben beizusteuern. 

==Für wen ist WikiMath?==

Das Ziel von WikiMath ist es, allen Studenten und Mathematikinteressierten, die beim bearbeiten ihrer Übungsaufgaben Hilfe und/oder ganze Lösungen suchen, beiseitezustehen. Ebenso möchte dieses Wiki den Übungsleitern eine umfassende Aufgabenquelle bieten, die sie beim Zusammenstellen ihrer Übungsblätter nutzen können.

==Was ist WikiMath nicht?==

WikiMath ist eine reine Aufgabensammlung. Reine Begriffserläuterungen, Definitionen, Sätze oder gar ganze Vorlesungspassagen gehören hier nicht hin! Diese Einschränkung ist daher notwendig, damit die Suchanfragen an WikiMath auch wirklich nur Verweise zu Aufgaben liefern. Ansonsten gäbe es schnell ein unüberschaubares Suchergebnis mit zu vielen für den WikiMath-Nutzer uninteressanten Links.
Wer nun aber nach Definitionen und Sätzen sucht, der sollte dies an alternativer Stelle tun. Einiges findet sich sogar in [http://de.wikipedia.org/wiki/Hauptseite Wikipedia], als spezielle Mathematik-Enzyklopädie möchte jedoch auf [http://planetmath.org Planetmath] hinweisen.

==Infos zur Nutzung von WikiMath==

===Aufgaben suchen===

Wenn du hier nach Aufgaben und deren Lösungen suchen willst, gibt es verschiedene Wege dies zu tun. Als erstes solltest du die eingebaute Suchfunktion benutzen, welche sich auf der linken Seite in der Hauptnavigationsspalte befindet. Du gibst einfach deinen Begriff in das Suchfeld unter dem Wikia Schriftzug ein und klickst auf Los bzw. Suche. Schon erhältst du eine Liste der Aufgabenseiten, die euren Begriff enthalten.
Da es gerade in einer Aufgabensammlung wie dieser hier äußerst schwierig ist anhand eines Suchbegriffes gleich die richtige Aufgabe zu finden, gibt es auch noch einen zweiten Weg. Du kannst dich auch über die Kategorien und deren Unterkategorien durchklicken, bis möglicherweise die dann dort vorhandenen Aufgaben eine überschaubare Anzahl erreicht haben. Diese herausgefilterten Aufgaben kannst du dir dann ja nacheinander anschauen.

===Aufgaben erstellen===

Wenn deine gründliche Aufgabensuche (s.o.) trotzdem erfolglos geblieben ist, solltet du deine Aufgabe selber in WikiMath einstellen. Scheue dich nicht davor, auch nur die Aufgabenstellung zu verfassen, vielleicht findet sich ja jemand, der beim Stöbern auf deine Aufgabe stößt und dann die ihm bekannte Lösung dazuschreibt. Oder du ergänzt deine Aufgabe selber mit der Lösung, sobald du diese kennst (z.B. aus den Übungsstunden an der Uni, wo die Aufgabe besprochen wird).

Zum erstellen neuer Aufgabenseiten, solltest du dich schon ein wenig mit Wikis auskennen. Keine Angst, es ist wirklich ganz einfach. Schaue einfach mal auf die [[WikiMath:Hilfe|Hilfe]] Seiten und probiere dann erst mal alles auf der [[Spielwiese]] aus. Danach bist du auch schon fit um WikiMath-Autor zu werden.

Dann schaue nach, ob deine Aufgabe tatsächlich noch nicht existiert. Ist dem so, suche anschließend eine Aufgabe, zu der die neu anzulegende Aufgabe einen Bezug hat. In diese trägst du in doppelten eckigen Klammern den Titel des neuen Artikels ein und speicherst die Aufgabe. Den roten Link auf dieser Seite kannst du jetzt anklicken, und mit dem Schreiben deiner neuen Aufgabe beginnen.

Ein anderer Weg, um eine neue Aufgabe zu erstellen ist:
Überlege dir eine Seitenüberschrift, die deine Aufgabe tragen soll.
Gib diese Überschrift in das Suchfeld ein und drückes 'Enter'.
Die Suchergebnissseite meldet, dass es keinen Artikel mit diesem Namen gibt, also klickst du auf 'neu' und fängst mit dem editieren der Aufgabe an.
(Dieser Weg hat allerdings den Nachteil, dass deine Aufgabe im ganzen Wiki nicht verlinkt ist und so schnell verwaisen kann. Man kann sie nur über die interne Suche finden, welche gegebenenfalls auch mal abgeschaltet sein kann.)

Es gibt dann noch ein paar Punkte, an die du denken solltet:

* Gehört die Aufgabe vielleicht doch zu einer anderen schon vorhandenen Aufgabe? Dann solltet du deinen neuen Zusatz dort hineinschreiben!

*Überlege dir wirklich einen '''sinnvollen Titel''' für eine neue Aufgabe, da der Titel die spätere Suche am stärksten beeinflusst. So ist es unsinnig eine Aufgabe mit viel zu weitläufigen Begriffen zu betiteln, wie z.B. Analysisaufgabe oder auch Beweisaufgabe. Wenn die Aufgabe zur Analysis gehört, dann solltest du sie in die Kategorie Analysis stecken. Der Name Beweisaufgabe trifft ja in der Mathematik auf jede 2te zu und ist daher nichtsaussagend. Der Titel sollte so gut wie möglich kurz und prägnant bleiben, den Aufgabeinhalt aber auch ziemlich gut erfassen. Wähle ihn so, dass du deine Aufgabe aus tausenden wieder herausfinden könntest (ohne den Titel vorher zu kennen *g*).

*Damit alle Aufgaben eine einheitliche Form bekommen, benutze bitte die [[:Vorlage:Seitenvorlage|Seitenvorlage]]. Du kannst diese Vorlage in deinen Artikel einbauen, indem du bevor irgendetwas in den Artikel geschrieben wurde &lt;nowiki&gt;{{subst:Seitenvorlage}}&lt;/nowiki&gt; dort hineinschreibt und einmal speichert. Danach ist die komplette Vorlage in deinem Artikel integriert und muss nur noch von dir ausgefüllt werden. (Die nicht verwendeten Absätze wie z.B. die 'zweite Aufgabe' solltest du dann löschen, wenn du sie nicht verwendet.)</text>
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  <title>Eine nichtanalytische C-unendlich-Funktion</title>
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Zeige, dass die Funktion
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unendlich oft differenzierbar aber nicht analytisch ist.</text>
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Zeige, dass die Funktion
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unendlich oft differenzierbar aber nicht analytisch ist.
===Tipp===
Die Ableitungen sind von der Form &lt;math&gt;f^{(k)}(x)=p_k\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit Polynomen &lt;math&gt;p_k(x)\,&lt;/math&gt;.</text>
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unendlich oft differenzierbar aber nicht analytisch ist.

===Tipp===
Die Ableitungen sind von der Form &lt;math&gt;f^{(k)}(x)=p_k\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit Polynomen &lt;math&gt;p_k(x)\,&lt;/math&gt;.

===Lösung===
Für &lt;math&gt;x\neq0&lt;/math&gt; gilt 
:&lt;math&gt;f'(x)=\frac1{x^3}e^{-\frac1{x^2}}=p_1\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;p_1(x)=x^3\,&lt;/math&gt;</text>
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Zeige, dass die Funktion
&lt;math&gt;f(x)=\begin{cases}e^{-\frac1{x^2}},&amp;x\neq0,\\0,&amp;x=0\end{cases}&lt;/math&gt;
unendlich oft differenzierbar aber nicht analytisch ist.

===Tipp===
Die Ableitungen sind von der Form &lt;math&gt;f^{(k)}(x)=p_k\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit Polynomen &lt;math&gt;p_k(x)\,&lt;/math&gt;.

===Lösung===
Für &lt;math&gt;x\neq0&lt;/math&gt; gilt 
:&lt;math&gt;f'(x)=\frac1{x^3}e^{-\frac1{x^2}}=p_1\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;p_1(x)=x^3\,&lt;/math&gt;.
Ist &lt;math&gt;f^{(k)}(x)=p_k\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit einem Polynom &lt;math&gt;p_k(x)\,&lt;/math&gt;, so auch
:&lt;math&gt;f^{(k+1)}(x)=\left(-\frac1{x^2}p'_k\left(\frac1x\right)+\frac1{x^3}p_k\left(\frac1x\right)+\right)e^{-\frac1{x^2}} =p_{k+1\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit dem Polynom &lt;math&gt;p_{k+1}(x)\,&lt;/math&gt;</text>
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Zeige, dass die Funktion
&lt;math&gt;f(x)=\begin{cases}e^{-\frac1{x^2}},&amp;x\neq0,\\0,&amp;x=0\end{cases}&lt;/math&gt;
unendlich oft differenzierbar aber nicht analytisch ist.

===Tipp===
Die Ableitungen sind von der Form &lt;math&gt;f^{(k)}(x)=p_k\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit Polynomen &lt;math&gt;p_k(x)\,&lt;/math&gt;.

===Lösung===
Für &lt;math&gt;x\neq0&lt;/math&gt; gilt 
:&lt;math&gt;f'(x)=\frac1{x^3}e^{-\frac1{x^2}}=p_1\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;p_1(x)=x^3\,&lt;/math&gt;.
Ist &lt;math&gt;f^{(k)}(x)=p_k\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit einem Polynom &lt;math&gt;p_k(x)\,&lt;/math&gt;, so auch
:&lt;math&gt;f^{(k+1)}(x)=\left(-\frac1{x^2}p'_k\left(\frac1x\right)+\frac1{x^3}p_k\left(\frac1x\right)\right)e^{-\frac1{x^2}} =p_{k+1}\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit dem Polynom &lt;math&gt;p_{k+1}(x)\,&lt;/math&gt;</text>
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Zeige, dass die Funktion
&lt;math&gt;f(x)=\begin{cases}e^{-\frac1{x^2}},&amp;x\neq0,\\0,&amp;x=0\end{cases}&lt;/math&gt;
unendlich oft differenzierbar aber nicht analytisch ist.

===Tipp===
Die Ableitungen sind von der Form &lt;math&gt;f^{(k)}(x)=p_k\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit Polynomen &lt;math&gt;p_k(x)\,&lt;/math&gt;.

===Lösung===
Für &lt;math&gt;x\neq0&lt;/math&gt; gilt 
:&lt;math&gt;f'(x)=\frac1{x^3}e^{-\frac1{x^2}}=p_1\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;p_1(x)=x^3\,&lt;/math&gt;.
Ist &lt;math&gt;f^{(k)}(x)=p_k\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit einem Polynom &lt;math&gt;p_k(x)\,&lt;/math&gt;, so auch
:&lt;math&gt;f^{(k+1)}(x)=\left(-\frac1{x^2}p'_k\left(\frac1x\right)+\frac1{x^3}p_k\left(\frac1x\right)\right)e^{-\frac1{x^2}} =p_{k+1}\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit dem Polynom &lt;math&gt;p_{k+1}(x)\,&lt;/math&gt;.
Also gilt für alle &lt;math&gt;k\in\mathbb{N_0}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;f^{(k)}(x)=p_k\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit Polynomen &lt;math&gt;p_k(x)\,&lt;/math&gt;.</text>
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    <text bytes="1155" xml:space="preserve">==Eine nichtanalytische C-unendlich-Funktion==
Zeige, dass die Funktion
&lt;math&gt;f(x)=\begin{cases}e^{-\frac1{x^2}},&amp;x\neq0,\\0,&amp;x=0\end{cases}&lt;/math&gt;
unendlich oft differenzierbar aber nicht analytisch ist.

===Tipp===
Die Ableitungen sind von der Form &lt;math&gt;f^{(k)}(x)=p_k\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit Polynomen &lt;math&gt;p_k(x)\,&lt;/math&gt;.

===Lösung===
Für &lt;math&gt;x\neq0&lt;/math&gt; gilt 
:&lt;math&gt;f'(x)=\frac1{x^3}e^{-\frac1{x^2}}=p_1\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;p_1(x)=x^3\,&lt;/math&gt;.
Ist &lt;math&gt;f^{(k)}(x)=p_k\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit einem Polynom &lt;math&gt;p_k(x)\,&lt;/math&gt;, so auch
:&lt;math&gt;f^{(k+1)}(x)=\left(-\frac1{x^2}p'_k\left(\frac1x\right)+\frac1{x^3}p_k\left(\frac1x\right)\right)e^{-\frac1{x^2}} =p_{k+1}\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit dem Polynom &lt;math&gt;p_{k+1}(x)\,&lt;/math&gt;.
Also gilt für alle &lt;math&gt;k\in\mathbb{N}_0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;f^{(k)}(x)=p_k\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit Polynomen &lt;math&gt;p_k(x)\,&lt;/math&gt;.
Da für alle &lt;math&gt;n\in\mathbb{N}_0&lt;/math&gt; :&lt;math&gt;\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{-\frac1{x^2}}}{x^n}=\lim\limits_{y\to\pm\infty}\frac{y^n}{e^{y^2}}=0&lt;/math&gt;</text>
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Zeige, dass die Funktion
&lt;math&gt;f(x)=\begin{cases}e^{-\frac1{x^2}},&amp;x\neq0,\\0,&amp;x=0\end{cases}&lt;/math&gt;
unendlich oft differenzierbar aber nicht analytisch ist.

===Tipp===
Die Ableitungen sind von der Form &lt;math&gt;f^{(k)}(x)=p_k\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit Polynomen &lt;math&gt;p_k(x)\,&lt;/math&gt;.

===Lösung===
Für &lt;math&gt;x\neq0&lt;/math&gt; gilt 
:&lt;math&gt;f'(x)=\frac1{x^3}e^{-\frac1{x^2}}=p_1\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;p_1(x)=x^3\,&lt;/math&gt;.
Ist &lt;math&gt;f^{(k)}(x)=p_k\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit einem Polynom &lt;math&gt;p_k(x)\,&lt;/math&gt;, so auch
:&lt;math&gt;f^{(k+1)}(x)=\left(-\frac1{x^2}p'_k\left(\frac1x\right)+\frac1{x^3}p_k\left(\frac1x\right)\right)e^{-\frac1{x^2}} =p_{k+1}\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit dem Polynom &lt;math&gt;p_{k+1}(x)\,&lt;/math&gt;.
Also gilt für alle &lt;math&gt;k\in\mathbb{N}_0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;f^{(k)}(x)=p_k\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit Polynomen &lt;math&gt;p_k(x)\,&lt;/math&gt;.
Da für alle &lt;math&gt;n\in\mathbb{N}_0&lt;/math&gt; :&lt;math&gt;\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{-\frac1{x^2}}}{x^n}=\lim\limits_{y\to\pm\infty}\frac{y^n}{e^{y^2}}=0&lt;/math&gt;,
folgt, dass
:&lt;math&gt;\lim\limits_{x\to0}f^{(k)}(x)=0&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;k\in\mathbb{N}_0&lt;/math&gt;,
und damit auch, induktiv,
:&lt;math&gt;f^{(k)}(0)=\lim\limits_{x\to0}\frac{f^{(k-1)}(x)-f^{(k-1)}(0)}{x}=0&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;k\in\mathbb{N}Da&lt;/math&gt;,
da &lt;math&gt;f^{(0)}(0)=f(0)=0&lt;/math&gt;.

Insgesamt ist also</text>
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    <text bytes="1767" xml:space="preserve">==Eine nichtanalytische C-unendlich-Funktion==
Zeige, dass die Funktion
&lt;math&gt;f(x)=\begin{cases}e^{-\frac1{x^2}},&amp;x\neq0,\\0,&amp;x=0\end{cases}&lt;/math&gt;
unendlich oft differenzierbar aber nicht analytisch ist.

===Tipp===
Die Ableitungen sind von der Form &lt;math&gt;f^{(k)}(x)=p_k\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit Polynomen &lt;math&gt;p_k(x)\,&lt;/math&gt;.

===Lösung===
Für &lt;math&gt;x\neq0&lt;/math&gt; gilt 
:&lt;math&gt;f'(x)=\frac1{x^3}e^{-\frac1{x^2}}=p_1\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;p_1(x)=x^3\,&lt;/math&gt;.
Ist &lt;math&gt;f^{(k)}(x)=p_k\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit einem Polynom &lt;math&gt;p_k(x)\,&lt;/math&gt;, so auch
:&lt;math&gt;f^{(k+1)}(x)=\left(-\frac1{x^2}p'_k\left(\frac1x\right)+\frac1{x^3}p_k\left(\frac1x\right)\right)e^{-\frac1{x^2}} =p_{k+1}\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit dem Polynom &lt;math&gt;p_{k+1}(x)\,&lt;/math&gt;.
Also gilt für alle &lt;math&gt;k\in\mathbb{N}_0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;f^{(k)}(x)=p_k\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit Polynomen &lt;math&gt;p_k(x)\,&lt;/math&gt;.
Da für alle &lt;math&gt;n\in\mathbb{N}_0&lt;/math&gt; :&lt;math&gt;\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{-\frac1{x^2}}}{x^n}=\lim\limits_{y\to\pm\infty}\frac{y^n}{e^{y^2}}=0&lt;/math&gt;,
folgt, dass
:&lt;math&gt;\lim\limits_{x\to0}f^{(k)}(x)=0&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;k\in\mathbb{N}_0&lt;/math&gt;,
und damit auch, induktiv,
:&lt;math&gt;f^{(k)}(0)=\lim\limits_{x\to0}\frac{f^{(k-1)}(x)-f^{(k-1)}(0)}{x}=0&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;k\in\mathbb{N}Da&lt;/math&gt;,
da &lt;math&gt;f^{(0)}(0)=f(0)=0&lt;/math&gt;.

Insgesamt existiert also f^{(k)}(x) für alle &lt;math&gt;k\in\mathbb{N}_0&lt;/math&gt; und alle &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und ist stetig,
d.h., &lt;math&gt;f\in C^\infty&lt;/math&gt;.

Die Taylorreihe von &lt;math&gt;f\,&lt;/math&gt; im Entwicklungspunkt &lt;math&gt;0\,&lt;/math&gt; ergibt allerdings offenbar die Nullfunktion, also ist &lt;math&gt;f\,&lt;/math&gt; nicht analytisch</text>
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    <contributor>
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    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1936" xml:space="preserve">==Eine nichtanalytische C-unendlich-Funktion==
Zeige, dass die Funktion
&lt;math&gt;f(x)=\begin{cases}e^{-\frac1{x^2}},&amp;x\neq0,\\0,&amp;x=0\end{cases}&lt;/math&gt;
unendlich oft differenzierbar aber nicht analytisch ist.

===Tipp===
Die Ableitungen sind von der Form &lt;math&gt;f^{(k)}(x)=p_k\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit Polynomen &lt;math&gt;p_k(x)\,&lt;/math&gt;.

===Lösung===
Für &lt;math&gt;x\neq0&lt;/math&gt; gilt 
:&lt;math&gt;f'(x)=\frac1{x^3}e^{-\frac1{x^2}}=p_1\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;p_1(x)=x^3\,&lt;/math&gt;.
Ist &lt;math&gt;f^{(k)}(x)=p_k\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit einem Polynom &lt;math&gt;p_k(x)\,&lt;/math&gt;, so auch
:&lt;math&gt;f^{(k+1)}(x)=\left(-\frac1{x^2}p'_k\left(\frac1x\right)+\frac1{x^3}p_k\left(\frac1x\right)\right)e^{-\frac1{x^2}} =p_{k+1}\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit dem Polynom &lt;math&gt;p_{k+1}(x)\,&lt;/math&gt;.
Also gilt für alle &lt;math&gt;k\in\mathbb{N}_0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;f^{(k)}(x)=p_k\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit Polynomen &lt;math&gt;p_k(x)\,&lt;/math&gt;.
Da für alle &lt;math&gt;n\in\mathbb{N}_0&lt;/math&gt; :&lt;math&gt;\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{-\frac1{x^2}}}{x^n}=\lim\limits_{y\to\pm\infty}\frac{y^n}{e^{y^2}}=0&lt;/math&gt;,
folgt, dass
:&lt;math&gt;\lim\limits_{x\to0}f^{(k)}(x)=0&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;k\in\mathbb{N}_0&lt;/math&gt;,
und damit auch, induktiv,
:&lt;math&gt;f^{(k)}(0)=\lim\limits_{x\to0}\frac{f^{(k-1)}(x)-f^{(k-1)}(0)}{x}=0&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;k\in\mathbb{N}Da&lt;/math&gt;,
da &lt;math&gt;f^{(0)}(0)=f(0)=0&lt;/math&gt;.

Insgesamt existiert also &lt;math&gt;f^{(k)}(x)&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;k\in\mathbb{N}_0&lt;/math&gt; und alle &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und ist stetig,
d.h., &lt;math&gt;f\in C^\infty&lt;/math&gt;.

Die Taylorreihe von &lt;math&gt;f\,&lt;/math&gt; im Entwicklungspunkt &lt;math&gt;0\,&lt;/math&gt; ergibt allerdings offenbar die Nullfunktion, daher ist &lt;math&gt;f\,&lt;/math&gt; nicht analytisch.

===Suchbegriffe===
Taylorreihe, nichtanalytische Funktion, unendlich oft differenzierbare Funktion

===Quellen===
Mathematik für Physiker II, SS06, TUM</text>
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    <contributor>
      <username>Mpraehofer</username>
      <id>20808</id>
    </contributor>
    <comment>/* Quellen */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1944" xml:space="preserve">==Eine nichtanalytische C-unendlich-Funktion==
Zeige, dass die Funktion
&lt;math&gt;f(x)=\begin{cases}e^{-\frac1{x^2}},&amp;x\neq0,\\0,&amp;x=0\end{cases}&lt;/math&gt;
unendlich oft differenzierbar aber nicht analytisch ist.

===Tipp===
Die Ableitungen sind von der Form &lt;math&gt;f^{(k)}(x)=p_k\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit Polynomen &lt;math&gt;p_k(x)\,&lt;/math&gt;.

===Lösung===
Für &lt;math&gt;x\neq0&lt;/math&gt; gilt 
:&lt;math&gt;f'(x)=\frac1{x^3}e^{-\frac1{x^2}}=p_1\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;p_1(x)=x^3\,&lt;/math&gt;.
Ist &lt;math&gt;f^{(k)}(x)=p_k\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit einem Polynom &lt;math&gt;p_k(x)\,&lt;/math&gt;, so auch
:&lt;math&gt;f^{(k+1)}(x)=\left(-\frac1{x^2}p'_k\left(\frac1x\right)+\frac1{x^3}p_k\left(\frac1x\right)\right)e^{-\frac1{x^2}} =p_{k+1}\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit dem Polynom &lt;math&gt;p_{k+1}(x)\,&lt;/math&gt;.
Also gilt für alle &lt;math&gt;k\in\mathbb{N}_0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;f^{(k)}(x)=p_k\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit Polynomen &lt;math&gt;p_k(x)\,&lt;/math&gt;.
Da für alle &lt;math&gt;n\in\mathbb{N}_0&lt;/math&gt; :&lt;math&gt;\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{-\frac1{x^2}}}{x^n}=\lim\limits_{y\to\pm\infty}\frac{y^n}{e^{y^2}}=0&lt;/math&gt;,
folgt, dass
:&lt;math&gt;\lim\limits_{x\to0}f^{(k)}(x)=0&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;k\in\mathbb{N}_0&lt;/math&gt;,
und damit auch, induktiv,
:&lt;math&gt;f^{(k)}(0)=\lim\limits_{x\to0}\frac{f^{(k-1)}(x)-f^{(k-1)}(0)}{x}=0&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;k\in\mathbb{N}Da&lt;/math&gt;,
da &lt;math&gt;f^{(0)}(0)=f(0)=0&lt;/math&gt;.

Insgesamt existiert also &lt;math&gt;f^{(k)}(x)&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;k\in\mathbb{N}_0&lt;/math&gt; und alle &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und ist stetig,
d.h., &lt;math&gt;f\in C^\infty&lt;/math&gt;.

Die Taylorreihe von &lt;math&gt;f\,&lt;/math&gt; im Entwicklungspunkt &lt;math&gt;0\,&lt;/math&gt; ergibt allerdings offenbar die Nullfunktion, daher ist &lt;math&gt;f\,&lt;/math&gt; nicht analytisch.

===Suchbegriffe===
Taylorreihe, nichtanalytische Funktion, unendlich oft differenzierbare Funktion

===Quellen===
Mathematik für Physiker II, SS06, TU München</text>
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    <contributor>
      <username>Mpraehofer</username>
      <id>20808</id>
    </contributor>
    <comment>/* Quellen */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1968" xml:space="preserve">==Eine nichtanalytische C-unendlich-Funktion==
Zeige, dass die Funktion
&lt;math&gt;f(x)=\begin{cases}e^{-\frac1{x^2}},&amp;x\neq0,\\0,&amp;x=0\end{cases}&lt;/math&gt;
unendlich oft differenzierbar aber nicht analytisch ist.

===Tipp===
Die Ableitungen sind von der Form &lt;math&gt;f^{(k)}(x)=p_k\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit Polynomen &lt;math&gt;p_k(x)\,&lt;/math&gt;.

===Lösung===
Für &lt;math&gt;x\neq0&lt;/math&gt; gilt 
:&lt;math&gt;f'(x)=\frac1{x^3}e^{-\frac1{x^2}}=p_1\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;p_1(x)=x^3\,&lt;/math&gt;.
Ist &lt;math&gt;f^{(k)}(x)=p_k\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit einem Polynom &lt;math&gt;p_k(x)\,&lt;/math&gt;, so auch
:&lt;math&gt;f^{(k+1)}(x)=\left(-\frac1{x^2}p'_k\left(\frac1x\right)+\frac1{x^3}p_k\left(\frac1x\right)\right)e^{-\frac1{x^2}} =p_{k+1}\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit dem Polynom &lt;math&gt;p_{k+1}(x)\,&lt;/math&gt;.
Also gilt für alle &lt;math&gt;k\in\mathbb{N}_0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;f^{(k)}(x)=p_k\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit Polynomen &lt;math&gt;p_k(x)\,&lt;/math&gt;.
Da für alle &lt;math&gt;n\in\mathbb{N}_0&lt;/math&gt; :&lt;math&gt;\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{-\frac1{x^2}}}{x^n}=\lim\limits_{y\to\pm\infty}\frac{y^n}{e^{y^2}}=0&lt;/math&gt;,
folgt, dass
:&lt;math&gt;\lim\limits_{x\to0}f^{(k)}(x)=0&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;k\in\mathbb{N}_0&lt;/math&gt;,
und damit auch, induktiv,
:&lt;math&gt;f^{(k)}(0)=\lim\limits_{x\to0}\frac{f^{(k-1)}(x)-f^{(k-1)}(0)}{x}=0&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;k\in\mathbb{N}Da&lt;/math&gt;,
da &lt;math&gt;f^{(0)}(0)=f(0)=0&lt;/math&gt;.

Insgesamt existiert also &lt;math&gt;f^{(k)}(x)&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;k\in\mathbb{N}_0&lt;/math&gt; und alle &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und ist stetig,
d.h., &lt;math&gt;f\in C^\infty&lt;/math&gt;.

Die Taylorreihe von &lt;math&gt;f\,&lt;/math&gt; im Entwicklungspunkt &lt;math&gt;0\,&lt;/math&gt; ergibt allerdings offenbar die Nullfunktion, daher ist &lt;math&gt;f\,&lt;/math&gt; nicht analytisch.

===Suchbegriffe===
Taylorreihe, nichtanalytische Funktion, unendlich oft differenzierbare Funktion

===Quellen===
Mathematik für Physiker II, SS06, TU München

[[Kategorie:Analysis]]</text>
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    <comment>/* Lösung */ Rechenfehler berichtigt</comment>
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    <text bytes="1969" xml:space="preserve">==Eine nichtanalytische C-unendlich-Funktion==
Zeige, dass die Funktion
&lt;math&gt;f(x)=\begin{cases}e^{-\frac1{x^2}},&amp;x\neq0,\\0,&amp;x=0\end{cases}&lt;/math&gt;
unendlich oft differenzierbar aber nicht analytisch ist.

===Tipp===
Die Ableitungen sind von der Form &lt;math&gt;f^{(k)}(x)=p_k\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit Polynomen &lt;math&gt;p_k(x)\,&lt;/math&gt;.

===Lösung===
Für &lt;math&gt;x\neq0&lt;/math&gt; gilt 
:&lt;math&gt;f'(x)=\frac2{x^3}e^{-\frac1{x^2}}=p_1\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;p_1(x)=2x^3\,&lt;/math&gt;.
Ist &lt;math&gt;f^{(k)}(x)=p_k\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit einem Polynom &lt;math&gt;p_k(x)\,&lt;/math&gt;, so auch
:&lt;math&gt;f^{(k+1)}(x)=\left(-\frac1{x^2}p'_k\left(\frac1x\right)+\frac2{x^3}p_k\left(\frac1x\right)\right)e^{-\frac1{x^2}} =p_{k+1}\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit dem Polynom &lt;math&gt;p_{k+1}(x)\,&lt;/math&gt;.
Also gilt für alle &lt;math&gt;k\in\mathbb{N}_0&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;f^{(k)}(x)=p_k\left(\frac1x\right)e^{-\frac1{x^2}}&lt;/math&gt; mit Polynomen &lt;math&gt;p_k(x)\,&lt;/math&gt;.
Da für alle &lt;math&gt;n\in\mathbb{N}_0&lt;/math&gt; :&lt;math&gt;\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{-\frac1{x^2}}}{x^n}=\lim\limits_{y\to\pm\infty}\frac{y^n}{e^{y^2}}=0&lt;/math&gt;,
folgt, dass
:&lt;math&gt;\lim\limits_{x\to0}f^{(k)}(x)=0&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;k\in\mathbb{N}_0&lt;/math&gt;,
und damit auch, induktiv,
:&lt;math&gt;f^{(k)}(0)=\lim\limits_{x\to0}\frac{f^{(k-1)}(x)-f^{(k-1)}(0)}{x}=0&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;k\in\mathbb{N}Da&lt;/math&gt;,
da &lt;math&gt;f^{(0)}(0)=f(0)=0&lt;/math&gt;.

Insgesamt existiert also &lt;math&gt;f^{(k)}(x)&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;k\in\mathbb{N}_0&lt;/math&gt; und alle &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und ist stetig,
d.h., &lt;math&gt;f\in C^\infty&lt;/math&gt;.

Die Taylorreihe von &lt;math&gt;f\,&lt;/math&gt; im Entwicklungspunkt &lt;math&gt;0\,&lt;/math&gt; ergibt allerdings offenbar die Nullfunktion, daher ist &lt;math&gt;f\,&lt;/math&gt; nicht analytisch.

===Suchbegriffe===
Taylorreihe, nichtanalytische Funktion, unendlich oft differenzierbare Funktion

===Quellen===
Mathematik für Physiker II, SS06, TU München

[[Kategorie:Analysis]]</text>
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  <title>Offene Mengen im metrischen Raum</title>
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    <text bytes="444" xml:space="preserve">==Offene Mengen und relative Topologie auf Teilmengen==
Seien &lt;math&gt;(X,d)\,&lt;/math&gt; ein Metrischer Raum und &lt;math&gt;A\subset X&lt;/math&gt;. Man zeige:
#Ist &lt;math&gt;U\subset X&lt;/math&gt; offen, dann ist &lt;math&gt;U\cap A&lt;/math&gt; offen in &lt;math&gt;(A,d_A)\,&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;d_a=d|_{A\times A}:A\times A\to\mathbb{R}^+_0&lt;/math&gt;.
#Ist &lt;math&gt;V\subset A&lt;/math&gt; offen in &lt;math&gt;(A,d_A)\,&lt;/math&gt;, so gibt es ein offenes &lt;math&gt;U\subset X&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;V=U\cap A&lt;/math&gt;.</text>
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    <text bytes="575" xml:space="preserve">==Offene Mengen und relative Topologie auf Teilmengen==
Seien &lt;math&gt;(X,d)\,&lt;/math&gt; ein Metrischer Raum und &lt;math&gt;A\subset X&lt;/math&gt;. Man zeige:
#Ist &lt;math&gt;U\subset X&lt;/math&gt; offen, dann ist &lt;math&gt;U\cap A&lt;/math&gt; offen in &lt;math&gt;(A,d_A)\,&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;d_a=d|_{A\times A}:A\times A\to\mathbb{R}^+_0&lt;/math&gt;.
#Ist &lt;math&gt;V\subset A&lt;/math&gt; offen in &lt;math&gt;(A,d_A)\,&lt;/math&gt;, so gibt es ein offenes &lt;math&gt;U\subset X&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;V=U\cap A&lt;/math&gt;.
===Lösung===
===Suchbegriffe===
relative Topologie, Metrik, offene Menge
===Quelle===
Mathematik für Physiker, SS06, TU München</text>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="599" xml:space="preserve">==Offene Mengen und relative Topologie auf Teilmengen==
Seien &lt;math&gt;(X,d)\,&lt;/math&gt; ein Metrischer Raum und &lt;math&gt;A\subset X&lt;/math&gt;. Man zeige:
#Ist &lt;math&gt;U\subset X&lt;/math&gt; offen, dann ist &lt;math&gt;U\cap A&lt;/math&gt; offen in &lt;math&gt;(A,d_A)\,&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;d_a=d|_{A\times A}:A\times A\to\mathbb{R}^+_0&lt;/math&gt;.
#Ist &lt;math&gt;V\subset A&lt;/math&gt; offen in &lt;math&gt;(A,d_A)\,&lt;/math&gt;, so gibt es ein offenes &lt;math&gt;U\subset X&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;V=U\cap A&lt;/math&gt;.
===Lösung===
===Suchbegriffe===
relative Topologie, Metrik, offene Menge
===Quelle===
Mathematik für Physiker, SS06, TU München

[[Kategorie:Analysis]]</text>
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  <title>Kompakte Mengen im Metrischen Raum</title>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="911" xml:space="preserve">==Kompakte Mengen im Metrischen Raum==
Seien &lt;math&gt;(X,d)\,&lt;/math&gt; ein metrischer Raum und &lt;math&gt;A\subset X&lt;/math&gt;. Man zeige:

&lt;math&gt;A\,&lt;/math&gt; ist genau dann eine kompakte Teilmenge von &lt;math&gt;X\,&lt;/math&gt;, wenn der Metrische Raum &lt;math&gt;(A,d_a)&lt;/math&gt; kompakt ist.

===Lösung===
"&lt;math&gt;\Longrightarrow&lt;/math&gt;": Sei &lt;math&gt;(V_j)_{j\in J}&lt;/math&gt; eine Überdeckung von &lt;math&gt;A\,&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;V_j\subset A&lt;/math&gt; offen bzgl.  &lt;math&gt;(A,d_a)&lt;/math&gt;. Dann gibt es offene &lt;math&gt;U_j\subset X&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;V_j\subset U_j&lt;/math&gt;. Sie bilden eine offene  Überdeckung von &lt;math&gt;A\,&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt;A\,&lt;/math&gt; kompakt ist gibt es eine endliche Teilüberdeckung &lt;math&gt;U_{j_k}&lt;/math&gt;. Da die &lt;math&gt;V_{j_k}=U_{j_k}\cap A&lt;/math&gt; offen in &lt;math&gt;(A,d_a)&lt;/math&gt; sind, bilden sie eine offene endliche Teilüberdeckung des metrischen Raums &lt;math&gt;(A,d_a)&lt;/math&gt;.

"&lt;math&gt;\Longleftarrow&lt;/math&gt;": genauso.

[[Kategorie:Analysis]]</text>
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    <text bytes="1011" xml:space="preserve">==Kompakte Mengen im Metrischen Raum==
Seien &lt;math&gt;(X,d)\,&lt;/math&gt; ein metrischer Raum und &lt;math&gt;A\subset X&lt;/math&gt;. Man zeige:

&lt;math&gt;A\,&lt;/math&gt; ist genau dann eine kompakte Teilmenge von &lt;math&gt;X\,&lt;/math&gt;, wenn der Metrische Raum &lt;math&gt;(A,d_a)&lt;/math&gt; kompakt ist.

===Lösung===
"&lt;math&gt;\Longrightarrow&lt;/math&gt;": Sei &lt;math&gt;(V_j)_{j\in J}&lt;/math&gt; eine Überdeckung von &lt;math&gt;A\,&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;V_j\subset A&lt;/math&gt; offen bzgl.  &lt;math&gt;(A,d_a)&lt;/math&gt;. Dann gibt es offene &lt;math&gt;U_j\subset X&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;V_j\subset U_j&lt;/math&gt;. Sie bilden eine offene  Überdeckung von &lt;math&gt;A\,&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt;A\,&lt;/math&gt; kompakt ist gibt es eine endliche Teilüberdeckung &lt;math&gt;U_{j_k}&lt;/math&gt;. Da die &lt;math&gt;V_{j_k}=U_{j_k}\cap A&lt;/math&gt; offen in &lt;math&gt;(A,d_a)&lt;/math&gt; sind, bilden sie eine offene endliche Teilüberdeckung des metrischen Raums &lt;math&gt;(A,d_a)&lt;/math&gt;.

"&lt;math&gt;\Longleftarrow&lt;/math&gt;": genauso.
===Suchbegriffe===
Kompakt, metrischer Raum
===Quelle===
Mathematik für Physiker, SS06, TU München
[[Kategorie:Analysis]]</text>
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  <title>Vergleich Leins Lunendlich Norm fuer stetige Funktionen</title>
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    <text bytes="577" xml:space="preserve">==&lt;math&gt;L_1&lt;/math&gt;- und &lt;math&gt;L_\infty&lt;/math&gt;-Norm für stetige Funktionen==
#Für &lt;math&gt;f\in C([a,b])&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;a&lt;b\,&lt;/math&gt;, zeige man &lt;math&gt;||f||_1\leq (b-a)||f||_\infty&lt;/math&gt;.
#Aus &lt;math&gt;||f_n-f||_\infty\to0&lt;/math&gt; folgt &lt;math&gt;||f_n-f||_1\to0&lt;/math&gt;, aber nicht umgekehrt.
===Lösung===
#&lt;math&gt;||f||_1=\int\limits_a^b|f(x)|dx\leq(b-a)\sup\limits_{t\in[a,b]}|f(t)|=(b-a)||f||_\infty&lt;/math&gt;
#&lt;math&gt;||f_n-f||_1\leq(b-a)||f_n-f||_\infty\to0&lt;/math&gt;.
===Suchbegriffe===
Kompakt, metrischer Raum
===Quelle===
Mathematik für Physiker, SS06, TU München
[[Kategorie:Analysis]]</text>
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    <text bytes="819" xml:space="preserve">==&lt;math&gt;L_1&lt;/math&gt;- und &lt;math&gt;L_\infty&lt;/math&gt;-Norm für stetige Funktionen==
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#Aus &lt;math&gt;||f_n-f||_\infty\to0&lt;/math&gt; folgt &lt;math&gt;||f_n-f||_1\to0&lt;/math&gt;, aber nicht umgekehrt.
===Lösung===
#&lt;math&gt;||f||_1=\int\limits_a^b|f(x)|dx\leq(b-a)\sup\limits_{t\in[a,b]}|f(t)|=(b-a)||f||_\infty&lt;/math&gt;
#&lt;math&gt;||f_n-f||_1\leq(b-a)||f_n-f||_\infty\to0&lt;/math&gt;.&lt;br/&gt;Für die Funktionenfolge &lt;math&gt;(f_n)\inC([0,1])&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f_n(x)=\sup\{1-nx,0\}&lt;/math&gt; gilt jedoch &lt;math&gt;||f_n-0||_1=\frac1n\to0&lt;/math&gt;, aber &lt;math&gt;||f_n-0||_\infty=1&lt;/math&gt;
===Suchbegriffe===
Leins-Norm, Lunendlich-Norm, Supremumsnorm, Normverträglichkeit, stetige Funktionen
===Quelle===
Mathematik für Physiker, SS06, TU München
[[Kategorie:Analysis]]</text>
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#Für &lt;math&gt;f\in C([a,b])&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;a&lt;b\,&lt;/math&gt;, zeige man &lt;math&gt;||f||_1\leq (b-a)||f||_\infty&lt;/math&gt;.
#Aus &lt;math&gt;||f_n-f||_\infty\to0&lt;/math&gt; folgt &lt;math&gt;||f_n-f||_1\to0&lt;/math&gt;, aber nicht umgekehrt.
===Lösung===
#&lt;math&gt;||f||_1=\int\limits_a^b|f(x)|dx\leq(b-a)\sup\limits_{t\in[a,b]}|f(t)|=(b-a)||f||_\infty&lt;/math&gt;
#&lt;math&gt;||f_n-f||_1\leq(b-a)||f_n-f||_\infty\to0&lt;/math&gt;.&lt;br/&gt;Für die Funktionenfolge &lt;math&gt;(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in C([0,1])&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f_n(x)=\sup\{1-nx,0\}&lt;/math&gt;, gilt jedoch &lt;math&gt;||f_n-0||_1=\frac1n\to0&lt;/math&gt;, aber &lt;math&gt;||f_n-0||_\infty=1&lt;/math&gt;

===Suchbegriffe===
Leins-Norm, Lunendlich-Norm, Supremumsnorm, Normverträglichkeit, stetige Funktionen
===Quelle===
Mathematik für Physiker, SS06, TU München
[[Kategorie:Analysis]]</text>
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  <title>Eigenschaften implizit definierter Mengen</title>
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    <text bytes="1145" xml:space="preserve">==Eigenschaften implizit definierter Mengen==
Man entscheide ob die folgenden Teilmengen des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; offen, abgeschlossen und/oder kompakt sind:
#&lt;math&gt;\{x_1\cdots x_n=1\}&lt;/math&gt;
#&lt;math&gt;\{-1&lt; x_1\cdots x_n&lt;1\}&lt;/math&gt;
#&lt;math&gt;\{2 x_1^4+(x_1\cdots x_n)^2=1\}&lt;/math&gt;
#&lt;math&gt;\{2 x_1^4+(x_1\cdots x_n)^2\leq1\}&lt;/math&gt;

===Lösung===
#&lt;math&gt;f(x_1,\dots,x_n)=x_1\cdots x_n&lt;/math&gt; ist als Polynom stetig, Da &lt;math&gt;\{1\}&lt;/math&gt; abgeschlossen in &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; ist, ist auch &lt;math&gt;f^{-1}(\{1\})\neq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; abgeschlossen, aber nicht offen, und da unbeschränkt, für &lt;math&gt;n\geq2&lt;/math&gt; auch nicht kompakt. 
#Die Menge ist offen als stetiges Urbild von &lt;math&gt;(-1,1)\,&lt;/math&gt;, aber weder abgeschlossen noch kompakt.
#Als stetiges Urbild von &lt;math&gt;\{1\}&lt;/math&gt; abgeschlossen, nicht offen und für &lt;math&gt;n\geq2&lt;/math&gt; auch nicht kompakt.
#Als stetiges Urbild von &lt;math&gt;(-\infty,1)&lt;/math&gt; abgeschlossen, nicht offen und für &lt;math&gt;n\geq2&lt;/math&gt; auch nicht kompakt.

===Suchbegriffe===
implizit definierte Menge, offen, abgeschlossen, kompakt
===Quelle===
Mathematik für Physiker, SS06, TU München

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Man entscheide ob die folgenden Teilmengen des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; offen, abgeschlossen und/oder kompakt sind:
#&lt;math&gt;\{x_1\cdots x_n=1\}&lt;/math&gt;
#&lt;math&gt;\{-1&lt; x_1\cdots x_n&lt;1\}&lt;/math&gt;
#&lt;math&gt;\{2 x_1^4+(x_1\cdots x_n)^2=1\}&lt;/math&gt;
#&lt;math&gt;\{2 x_1^4+(x_1\cdots x_n)^2\leq1\}&lt;/math&gt;

===Lösung===
#&lt;math&gt;f(x_1,\dots,x_n)=x_1\cdots x_n&lt;/math&gt; ist als Polynom stetig, Da &lt;math&gt;\{1\}&lt;/math&gt; abgeschlossen in &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; ist, ist auch &lt;math&gt;f^{-1}(\{1\})\neq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; abgeschlossen, aber nicht offen, und da unbeschränkt, für &lt;math&gt;n\geq2&lt;/math&gt; auch nicht kompakt. 
#Die Menge ist offen als stetiges Urbild von &lt;math&gt;(-1,1)\,&lt;/math&gt;, aber weder abgeschlossen noch kompakt.
#Als stetiges Urbild von &lt;math&gt;\{1\}&lt;/math&gt; abgeschlossen, nicht offen und für &lt;math&gt;n\geq2&lt;/math&gt; auch nicht kompakt.
#Als stetiges Urbild von &lt;math&gt;(-\infty,1]&lt;/math&gt; abgeschlossen, nicht offen und für &lt;math&gt;n\geq2&lt;/math&gt; auch nicht kompakt.

===Suchbegriffe===
implizit definierte Menge, offen, abgeschlossen, kompakt
===Quelle===
Mathematik für Physiker, SS06, TU München

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    <text bytes="1147" xml:space="preserve">==Eigenschaften implizit definierter Mengen==
Man entscheide ob die folgenden Teilmengen des &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; offen, abgeschlossen und/oder kompakt sind:
#&lt;math&gt;\{x_1\cdots x_n=1\}&lt;/math&gt;
#&lt;math&gt;\{-1&lt; x_1\cdots x_n&lt;1\}&lt;/math&gt;
#&lt;math&gt;\{2 x_1^4+(x_1\cdots x_n)^2=1\}&lt;/math&gt;
#&lt;math&gt;\{2 x_1^4+(x_1\cdots x_n)^2\leq1\}&lt;/math&gt;

===Lösung===
#&lt;math&gt;f(x_1,\dots,x_n)=x_1\cdots x_n&lt;/math&gt; ist als Polynom stetig, Da &lt;math&gt;\{1\}&lt;/math&gt; abgeschlossen in &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; ist, ist auch &lt;math&gt;f^{-1}(\{1\})\neq\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; abgeschlossen, aber nicht offen, und für &lt;math&gt;n\geq2&lt;/math&gt; unbeschränkt, also auch nicht kompakt. 
#Die Menge ist offen als stetiges Urbild von &lt;math&gt;(-1,1)\,&lt;/math&gt;, aber weder abgeschlossen noch kompakt.
#Als stetiges Urbild von &lt;math&gt;\{1\}&lt;/math&gt; abgeschlossen, nicht offen und für &lt;math&gt;n\geq2&lt;/math&gt; auch nicht kompakt.
#Als stetiges Urbild von &lt;math&gt;(-\infty,1]&lt;/math&gt; abgeschlossen, nicht offen und für &lt;math&gt;n\geq2&lt;/math&gt; auch nicht kompakt.

===Suchbegriffe===
implizit definierte Menge, offen, abgeschlossen, kompakt
===Quelle===
Mathematik für Physiker, SS06, TU München

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  <title>Einheitskugel der Supremumsnorm</title>
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    <text bytes="769" xml:space="preserve">==Einheitskugel der Supremumsnorm==
Ist &lt;math&gt;\overline{B_1(0)}=\{f\in C([0,1]): ||f||_\infty\leq1\}&lt;/math&gt; kompakt in &lt;math&gt;(C([0,1]),||\cdot||_\infty)&lt;/math&gt;?

===Lösung===
Nein, denn die Funktionenfolge &lt;math&gt;(f_n)\subset \overline{B_1(0)}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f_n(x)=\max\left\{0,1-2\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)\left|x-\frac12\left(\frac1n+\frac1{n+1}\right)\right|\right\}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\mbox{supp}f_n=\left[\frac1{n+1},\frac1n\right]&lt;/math&gt; besitzt keine konvergente Teilfolge.
Es gilt nämlich &lt;math&gt;||f_n||_\infty=1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;||f_n-f_m||_\infty=1&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;n,m\in\mathbb{N}&lt;/math&gt;.
===Suchbegriffe===
abgeschlossene Einheitskugel, Supremumsnorm, nicht kompakt
===Quelle===
Mathematik für Physiker, SS06, TU München

[[Kategorie:Analysis]]</text>
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  <title>Eigenwerte der Inversen einer invertierbaren Matrix</title>
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    <text bytes="3256" xml:space="preserve">==Aufgabenstellung==

Es sei &lt;math&gt;A\in K^{n\times n}&lt;/math&gt; eine invertierbare Matrix über einem Körper &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;. Ferner sei &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; ein Eigenwert von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

Man zeige: &lt;math&gt;\lambda\not=0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\lambda^{-1}&lt;/math&gt; ist Eigenwert von &lt;math&gt;A^{-1}&lt;/math&gt;.


==Tipp==

*Man benutze die Definition der Eigenwerte.
*Man interpretiere die Gleichung &lt;math&gt;x^{-1}-y^{-1}=\frac{y-x}{xy}&lt;/math&gt; für reelle Zahlen &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{C}\setminus\{0\}&lt;/math&gt; als Gleichung für Matrizen.

==Lösung 1==

Es sei &lt;math&gt;\chi_A&lt;/math&gt; das charakteristische Polynom von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;E_n&lt;/math&gt; die (&lt;math&gt;n\times n&lt;/math&gt;)-Einheitsmatrix.

Annahme: &lt;math&gt;\lambda =0&lt;/math&gt;, dann folgt:

&lt;math&gt;\chi_A(\lambda)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A-\lambda E_n)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A-0\cdot E_n)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow A\not\in Gl(n,K)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow A&lt;/math&gt; ist nicht invertierbar (Widerspruch zur Voraussetzung!)

Also ist &lt;math&gt;\lambda\not= 0&lt;/math&gt;, insbesondere existiert &lt;math&gt;\lambda^{-1}\in K&lt;/math&gt;.

Da &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; Eigenwert von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; ist, hat die Gleichung &lt;math&gt;A(x)=\lambda x;\;x\in K^n&lt;/math&gt; eine nicht-triviale Lösung  &lt;math&gt;v\in K^n\setminus\{0\}&lt;/math&gt;, d.h. es gilt:

&lt;math&gt;\exists v\in K^n\setminus\{0\}:A(v)=\lambda v&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\exists v\in K^n\setminus\{0\}: A^{-1}(\lambda v)=v&lt;/math&gt; (da &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; ja invertierbar ist)

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\exists v\in K^n\setminus\{0\}:A^{-1}(\lambda v)=\lambda^{-1}(\lambda v)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; die Gleichung &lt;math&gt;A^{-1}(x)=\lambda^{-1}x&lt;/math&gt; hat eine nicht-triviale Lösung &lt;math&gt;x\in K^n\setminus\{0\}&lt;/math&gt; (da ja &lt;math&gt;\lambda\not=0&lt;/math&gt; und da &lt;math&gt;v\not=0&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; die Gleichung &lt;math&gt;(A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)(x)=0&lt;/math&gt; hat eine nicht-triviale Lösung

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\ker(A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)\not=\{0\} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow (A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)\not\in Gl(n,K)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\chi_{A^{-1}}(\lambda^{-1})=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\lambda^{-1}&lt;/math&gt; ist Eigenwert von &lt;math&gt;A^{-1}&lt;/math&gt;.

==Lösung 2==
Da &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; Eigenwert von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; ist, ist &lt;math&gt;(A-\lambda)&lt;/math&gt; nicht invertierbar. Da &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; invertierbar ist folgt &lt;math&gt;\lambda\neq0&lt;/math&gt;.

Nun ist &lt;math&gt;\lambda A(A^{-1}-\lambda^{-1})=(\lambda-A)&lt;/math&gt; nicht invertierbar, also muss mindestens einer der Faktoren nichtinvertierbar sein. Da &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; invertierbar sind, folgt, dass &lt;math&gt;(A^{-1}-\lambda^{-1})&lt;/math&gt; nicht invertierbar ist. Somit ist &lt;math&gt;\lambda^{-1}&lt;/math&gt; ein Eigenwert von &lt;math&gt;A^{-1}&lt;/math&gt;.


==Lösung 3==

Sei &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; Eigenvektor zum Eigenwert &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt;, dann gilt:

&lt;math&gt;Ax=\lambda x\Leftrightarrow x=\lambda A^{-1}x\Leftrightarrow\lambda^{-1} x=A^{-1}x\Leftrightarrow\lambda&lt;/math&gt; ist Eigenwert von &lt;math&gt;  A^{-1}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\lambda\neq0&lt;/math&gt; folgt dabei aus der zweiten Gleichung, da &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; als Eigenvektor per Definition vom Nullvektor verschieden ist.

[[Kategorie: Lineare Algebra]]</text>
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  <title>Benutzer:Alfred Heiligenbrunner</title>
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    <text bytes="242" xml:space="preserve">Hallo!
Ich bin 1963 geboren, habe Mathematik studiert, bin jetzt als Programmierer tätig.

Mein Hauptinteresse gilt Mathematik/Statistik und [http://de.wikipedia.org/wiki/Esperanto Esperanto].

Meine Homepage: http://www.heiligenbrunner.at .</text>
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  <title>Mathe Wiki:Portal</title>
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    <text bytes="1057" xml:space="preserve">&lt;big&gt;Willkommen im WikiMath-Portal!&lt;/big&gt;

Bitte benutze dieses Portal für weiter Anregungen zu diesem Wiki, oder einfach um nach Hilfe zu fragen.


----

Ich habe die Anregung von Michael aufgegriffen und werde gerne an diesem Wiki im Bereich der Schulmathematik mitarbeiten.

In der Kategorie Kategorie:Jahrgangsstufe 7 habe ich mal zwei Aufgaben meiner Tochter zum Thema Termbildung zugefügt.

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft]]

--[[Benutzer:Behrev|behrev]] 10:49, 31. Mär 2006 (UTC)

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Das ist schön, Dich als neuen Mitarbeiter hier begrüssen zu können.

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Hallo,

ich möchte hier Denksportaufgaben veröffentlichen, z.B. "12 Kugeln mit 3 Wägungen" oder "100 Gefangene und ein Lichtschalter", zusammen mit ihren Lösungen.

[http://de.wikipedia.org Wikipedia] meint, das seien keine Artikel für eine Enzyklopädie. So hoffe ich, dass ich sie hier unterbringen darf.

--[[Benutzer:Alfred Heiligenbrunner|Alfred Heiligenbrunner]] 16:06, 4. Jun 2006 (UTC)</text>
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  <title>Mathe Wiki:Willkommen</title>
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    <text bytes="6010" xml:space="preserve">Herzlich Willkommen bei [[WikiMath]], der freien Aufgabensammlung.

==Was ist WikiMath?==

WikiMath ist eine Sammlung von Mathematikaufgaben und deren Lösungen. Die Aufgaben werden nicht von einem festen, bezahlten Team, sondern von freiwilligen Autoren verfasst. Der Name WikiMath setzt sich zusammen aus Wiki, dem hawaiianischen Wort für "schnell", und Mathematik. Ein Wiki ist eine Website, deren Seiten jeder leicht und ohne technische Vorkenntnisse direkt im Browser ändern kann.

WikiMath wurde im Dezember 2005 gegründet und befindet sich im Aufbau. Die Anzahl der Aufgaben soll sich mit der Zeit und mit deiner/eurer Unterstützung immer weiter vergrößern. Du bist herzlich eingeladen, dein Wissen und deine Erfahrung in Bezug auf mathematische Übungsaufgaben beizusteuern. 

==Für wen ist WikiMath?==

Das Ziel von WikiMath ist es, allen Studenten und Mathematikinteressierten, die beim bearbeiten ihrer Übungsaufgaben Hilfe und/oder ganze Lösungen suchen, beiseitezustehen. Ebenso möchte dieses Wiki den Übungsleitern eine umfassende Aufgabenquelle bieten, die sie beim Zusammenstellen ihrer Übungsblätter nutzen können.

==Was ist WikiMath nicht?==

WikiMath ist eine reine Aufgabensammlung. Reine Begriffserläuterungen, Definitionen, Sätze oder gar ganze Vorlesungspassagen gehören hier nicht hin! Diese Einschränkung ist daher notwendig, damit die Suchanfragen an WikiMath auch wirklich nur Verweise zu Aufgaben liefern. Ansonsten gäbe es schnell ein unüberschaubares Suchergebnis mit zu vielen für den WikiMath-Nutzer uninteressanten Links.
Wer nun aber nach Definitionen und Sätzen sucht, der sollte dies an alternativer Stelle tun. Einiges findet sich sogar in [http://de.wikipedia.org/wiki/Hauptseite Wikipedia], als spezielle Mathematik-Enzyklopädie möchte jedoch auf [http://planetmath.org Planetmath] hinweisen.

==Infos zur Nutzung von WikiMath==

===Aufgaben suchen===

Wenn du hier nach Aufgaben und deren Lösungen suchen willst, gibt es verschiedene Wege dies zu tun. Als erstes solltest du die eingebaute Suchfunktion benutzen, welche sich auf der linken Seite in der Hauptnavigationsspalte befindet. Du gibst einfach deinen Begriff in das Suchfeld unter dem Wikia Schriftzug ein und klickst auf Los bzw. Suche. Schon erhältst du eine Liste der Aufgabenseiten, die euren Begriff enthalten.
Da es gerade in einer Aufgabensammlung wie dieser hier äußerst schwierig ist anhand eines Suchbegriffes gleich die richtige Aufgabe zu finden, gibt es auch noch einen zweiten Weg. Du kannst dich auch über die Kategorien und deren Unterkategorien durchklicken, bis möglicherweise die dann dort vorhandenen Aufgaben eine überschaubare Anzahl erreicht haben. Diese herausgefilterten Aufgaben kannst du dir dann ja nacheinander anschauen.

===Aufgaben erstellen===

Wenn deine gründliche Aufgabensuche (s.o.) trotzdem erfolglos geblieben ist, solltest du deine Aufgabe selber in WikiMath einstellen. Scheue dich nicht davor, auch nur die Aufgabenstellung zu verfassen, vielleicht findet sich ja jemand, der beim Stöbern auf deine Aufgabe stößt und dann die ihm bekannte Lösung dazuschreibt. Oder du ergänzt deine Aufgabe selber mit der Lösung, sobald du diese kennst (z.B. aus den Übungsstunden an der Uni, wo die Aufgabe besprochen wird).

Zum Erstellen neuer Aufgabenseiten, solltest du dich schon ein wenig mit Wikis auskennen. Keine Angst, es ist wirklich ganz einfach. Schaue einfach mal auf die [[WikiMath:Hilfe|Hilfe]] Seiten und probiere dann erst mal alles auf der [[Spielwiese]] aus. Danach bist du auch schon fit um WikiMath-Autor zu werden.

Dann schaue nach, ob deine Aufgabe tatsächlich noch nicht existiert. Ist dem so, suche anschließend eine Aufgabe, zu der die neu anzulegende Aufgabe einen Bezug hat. In diese trägst du in doppelten eckigen Klammern den Titel des neuen Artikels ein und speicherst die Aufgabe. Den roten Link auf dieser Seite kannst du jetzt anklicken, und mit dem Schreiben deiner neuen Aufgabe beginnen.

Ein anderer Weg, um eine neue Aufgabe zu erstellen ist:
Überlege dir eine Seitenüberschrift, die deine Aufgabe tragen soll.
Gib diese Überschrift in das Suchfeld ein und drückes 'Enter'.
Die Suchergebnissseite meldet, dass es keinen Artikel mit diesem Namen gibt, also klickst du auf 'neu' und fängst mit dem editieren der Aufgabe an.
(Dieser Weg hat allerdings den Nachteil, dass deine Aufgabe im ganzen Wiki nicht verlinkt ist und so schnell verwaisen kann. Man kann sie nur über die interne Suche finden, welche gegebenenfalls auch mal abgeschaltet sein kann.)

Es gibt dann noch ein paar Punkte, an die du denken solltet:

* Gehört die Aufgabe vielleicht doch zu einer anderen schon vorhandenen Aufgabe? Dann solltest du deinen neuen Zusatz dort hineinschreiben!

* Überlege dir wirklich einen '''sinnvollen Titel''' für eine neue Aufgabe, da der Titel die spätere Suche am stärksten beeinflusst. So ist es unsinnig eine Aufgabe mit viel zu weitläufigen Begriffen zu betiteln, wie z.B. Analysisaufgabe oder auch Beweisaufgabe. Wenn die Aufgabe zur Analysis gehört, dann solltest du sie in die Kategorie Analysis stecken. Der Name Beweisaufgabe trifft ja in der Mathematik auf jede 2te zu und ist daher nichtsaussagend. Der Titel sollte so weit wie möglich kurz und prägnant bleiben, den Aufgabeinhalt aber auch ziemlich gut erfassen. Wähle ihn so, dass du deine Aufgabe aus tausenden wieder herausfinden könntest (ohne den Titel vorher zu kennen *g*).

* Damit alle Aufgaben eine einheitliche Form bekommen, benutze bitte die [[:Vorlage:Seitenvorlage|Seitenvorlage]]. Du kannst diese Vorlage in deinen Artikel einbauen, indem du bevor irgendetwas in den Artikel geschrieben wurde &lt;nowiki&gt;{{subst:Seitenvorlage}}&lt;/nowiki&gt; dort hineinschreibst und einmal speicherst. Danach ist die komplette Vorlage in deinem Artikel integriert und muss nur noch von dir ausgefüllt werden. (Die nicht verwendeten Absätze wie z.B. die 'zweite Aufgabe' solltest du dann löschen, wenn du sie nicht verwendest.)</text>
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  <title>Mathe Wiki</title>
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|- valign="top" width="100%; style="text-align:center;margin:0px -10px 0px -10px; font-variant: small-caps;"
| colspan="2" |
&lt;big&gt;Willkommen bei '''[[Project:Willkommen|{{SITENAME}}]].'''&lt;/big&gt; &lt;br /&gt;
Hier werden zurzeit [[Spezial:Allpages|jedemenge]] Artikel bearbeitet, und '''Du kannst helfen''' !

[[Project:Willkommen|Über dieses Wiki]] | [[Spezial:Newpages|Neue Seiten]] | [[Spezial:Categories|Kategorien]] | [[WikiMath:Tutorial|Wiki tutorial]] | [[Project:Hilfe|Hilfe Seiten]]

|- valign="top" cellpadding="0px" cellspacing="0px" width="100%"
|style="width:50%; padding: .5em; border: 1px solid #c9c9ff; color: #000; background-color: #f3f3ff;"|

=== [[WikiMath:Willkommen|Das Ziel von WikiMath]] ===
Dieses Wiki sammelt Aufgaben aus der Mathematik, inklusive deren Lösungen. Dadurch soll jedem, der sich beim Lösen seiner Übungsaufgaben allein gelassen fühlt, geholfen werden. Du kannst hier nach deiner Aufgabe suchen. Entweder du findest direkt eine Lösung, oder du kannst deine Aufgabe auf eine neue Seite schreiben, die dann vielleicht der nächste interessierte WikiMath Benutzer löst.

Falls du neu bei WikiMath bist, lies dir bitte die [[WikiMath:Willkommen|Willkommen]]-Seite durch, um Näheres über dieses Wiki zu erfahren.

Jeder ist herzlichst dazu eingeladen an diesem Wiki teilzunehmen. Um dich anzumelden folge bitte dem Link oben-rechts!

Damit die Seitengestaltung der einzelnen Aufgaben konform gehalten wird, benutze bitte diese [[:Vorlage:Seitenvorlage|Seitenvorlage]] beim erstellen neuer Aufgaben.

Um einen ersten Eindruck von einer fertigen Aufgabe zu erhalten, schau Dir ruhig einmal diese [[Allgemeine Potenz|Beispielaufgabe]] an.

Dieses Wiki richtet sich an '''Studenten''', '''Schüler''' und '''Eltern'''! Stöbert doch einfach mal durch die rechts stehenden Kategorien.

| style="padding: .3em .7em .4em; border: 1px solid #b9ffb9; color: #000; background-color: #f3fff3"|

=== [[Spezial:Categories|Kategorien]] ===
* [[:Kategorie:Lineare Algebra|Lineare Algebra]]
* [[:Kategorie:Analysis|Analysis]]
* [[:Kategorie:Algebra und Diskrete Mathematik|Algebra und Diskrete Mathematik]]
* [[:Kategorie:Numerik|Numerik]]
* [[:Kategorie:Stochastik|Stochastik]]
* [[:Kategorie:Logik|Logik]]
* [[:Kategorie:Differentialgleichungen|Differentialgleichungen]]
* [[:Kategorie:Funktionentheorie|Funktionentheorie]]
* [[:Kategorie:Optimierung|Optimierung]]
* [[:Kategorie:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]]
* [[:Kategorie:Topologie|Topologie]]
* [[:Kategorie:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]]
* [[:Kategorie:Variationsrechnung|Variationsrechnung]]


* [[:Kategorie:Mathematik für Naturwissenschaftler|Mathematik für Naturwissenschaftler]]
* [[:Kategorie:Mathematik für Informatiker|Mathematik für Informatiker]]
* [[:Kategorie:Mathematik für Ingenieure|Mathematik für Ingenieure]]
* [[:Kategorie:Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler|Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler]]


* [[:Kategorie:Schulmathematik|Schulmathematik]] Jahrgangsstufen: 5-11
* [[:Kategorie:Abituraufgaben|Abituraufgaben]] GK/LK: 12,13


* [[:Kategorie:Denksport|Denksport bzw. nicht zugeordnet]] 

|}

Bitte geht für Lob und/oder konstruktive Kritik an diesem Projekt auf [http://www.mathematics.de mathematics.de] und schreibt dort ins '''Gästebuch'''.
&lt;!-- Please note that Wikicities protection policy advises against the protection of this page --&gt;
__NOTOC__</text>
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  <title>Kategorie:Denksport</title>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="134" xml:space="preserve">In diese Kategorie gehören alle Aufgaben, die mit analytischem Denken zu lösen sind, aber nicht mit Mitteln der Standard-Mathematik.</text>
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  <title>Waage und 12 Kugeln</title>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2034" xml:space="preserve">==Aufgabe (spezieller Augabenname)==
Hier gehört die Aufgabenstellung hin.
Dabei sollt ihr natürlich die korrekte mathematische Schreibweise inklusive aller Formeln verwenden: z.B. &lt;math&gt;\begin{bmatrix} 0 &amp; \cdots &amp; 1 \\ \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots \\ 2 &amp; \cdots &amp; 3\end{bmatrix}&lt;/math&gt; oder &lt;math&gt;\int\limits_{-N}^{N} e^x\, \mathrm{d}x&lt;/math&gt;

===Tipps===
Tipps, die beim Selberlösen der Aufgabe helfen, gehören an diese Stelle

===Lösung===
Bitte schreibe hier die Aufgabenlösung hin, falls dir diese schon bekannt ist. Ansonsten hoffe darauf, dass ein anderer Nutzer auch nach dieser Aufgabe sucht und dann, nachdem ihm die Lösung bekannt ist, diese hier reinschreibt.

===Suchbegriffe===
Gib hier verschiedene Begriffe ein, über welche die Aufgabe in der WikiMath-Suchmaschine gefunden werden soll.

===Quellen===
Hast du die Aufgabe einer bestimmten Quelle entnommen?
Dann gehört ein Verweis hierhin.

===ähnliche Aufgaben===
Gibt es auf WikiMath schon andere ähnliche Aufgaben, die mit dieser Aufgabe eng verwandt sind, aber nicht unbedingt zusammen auf einer Seite stehen sollten, dann verlinke hier zu diesen anderen Aufgaben.
!!!Dies ist auch sehr wichtig, damit keine Aufgaben verwaisen!!!
Genauso solltest Du auch Deine Aufgabe bei den anderen verlinken.

==Aufgabe 2 (weiterer Aufgabenname)==

===Tipps===

===Lösung===

===Suchbegriffe===

===Quellen===

===ähnliche Aufgaben===


Vergiss nicht deine Aufgabe einer/oder mehrerer Kategorien zuzuordnen!
Welche Kategorien bisher existieren, findest du auf den Spezialseiten unter [[Spezial:Categories|Seitenkategorien]]. Kategorienvorschläge sind auch schon auf der [[WikiMath|Hauptseite]] zu finden.

[[Kategorie:Beispielkategorie]]

Wir haben 12 Kugeln, die alle dasselbe Gewicht haben bis auf eine, die entweder schwerer oder leichter ist als die anderen. Wir wissen nicht, welche Kugel die abweichende ist und ob sie leichter ist oder schwerer. Aber beide Informationen kann man mit drei Wägungen auf einer Balkenwaage herausfinden.

[[Kategorie:Denksport]]</text>
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    <text bytes="1190" xml:space="preserve">==Aufgabe (spezieller Augabenname)==

Wir haben 12 Kugeln, die alle dasselbe Gewicht haben bis auf eine, die entweder schwerer oder leichter ist als die anderen. Wir wissen nicht, welche Kugel die abweichende ist und ob sie leichter ist oder schwerer. Aber beide Informationen kann man mit drei Wägungen auf einer Balkenwaage herausfinden.

===Tipps===
Häufig werden Lösungen angegeben, wo einmal die Wägung 1 durchgeführt wird und abhängig vom Ergebnis die Kugeln für die zweite Wägung festgelegt werden. Ähnlich werden dann die Kugeln für die dritte Wägung aus den Ergebnissen der zweiten Wägung über Fallunterscheidungen bestimmt.

Es gibt aber auch Lösungen, wo ein Versuchsplan von vornherein festgelegt werden kann.

===Lösung===
[[Lösung von Waage und 12 Kugeln]]

===Suchbegriffe===
Kugeln, Waage, Balkenwaage, 12, 3, Wägungen

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===


Vergiss nicht deine Aufgabe einer/oder mehrerer Kategorien zuzuordnen!
Welche Kategorien bisher existieren, findest du auf den Spezialseiten unter [[Spezial:Categories|Seitenkategorien]]. Kategorienvorschläge sind auch schon auf der [[WikiMath|Hauptseite]] zu finden.

[[Kategorie:Denksport]]</text>
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    <text bytes="1210" xml:space="preserve">==Aufgabe (12 Kugeln, alle bis auf eine gleich schwer)==

Wir haben 12 Kugeln, die alle dasselbe Gewicht haben bis auf eine, die entweder schwerer oder leichter ist als die anderen. Wir wissen nicht, welche Kugel die abweichende ist und ob sie leichter ist oder schwerer. Aber beide Informationen kann man mit drei Wägungen auf einer Balkenwaage herausfinden.

===Tipps===
Häufig werden Lösungen angegeben, wo einmal die Wägung 1 durchgeführt wird und abhängig vom Ergebnis die Kugeln für die zweite Wägung festgelegt werden. Ähnlich werden dann die Kugeln für die dritte Wägung aus den Ergebnissen der zweiten Wägung über Fallunterscheidungen bestimmt.

Es gibt aber auch Lösungen, wo ein Versuchsplan von vornherein festgelegt werden kann.

===Lösung===
[[Lösung von Waage und 12 Kugeln]]

===Suchbegriffe===
Kugeln, Waage, Balkenwaage, 12, 3, Wägungen

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===


Vergiss nicht deine Aufgabe einer/oder mehrerer Kategorien zuzuordnen!
Welche Kategorien bisher existieren, findest du auf den Spezialseiten unter [[Spezial:Categories|Seitenkategorien]]. Kategorienvorschläge sind auch schon auf der [[WikiMath|Hauptseite]] zu finden.

[[Kategorie:Denksport]]</text>
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    <text bytes="940" xml:space="preserve">==Aufgabe (12 Kugeln, alle bis auf eine gleich schwer)==

Wir haben 12 Kugeln, die alle dasselbe Gewicht haben bis auf eine, die entweder schwerer oder leichter ist als die anderen. Wir wissen nicht, welche Kugel die abweichende ist und ob sie leichter ist oder schwerer. Aber beide Informationen kann man mit drei Wägungen auf einer Balkenwaage herausfinden.

===Tipps===
Häufig werden Lösungen angegeben, wo einmal die Wägung 1 durchgeführt wird und abhängig vom Ergebnis die Kugeln für die zweite Wägung festgelegt werden. Ähnlich werden dann die Kugeln für die dritte Wägung aus den Ergebnissen der zweiten Wägung über Fallunterscheidungen bestimmt.

Es gibt aber auch Lösungen, wo ein Versuchsplan von vornherein festgelegt werden kann.

===Lösung===
[[Lösung von Waage und 12 Kugeln]]

===Suchbegriffe===
Kugeln, Waage, Balkenwaage, 12, 3, Wägungen

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===


[[Kategorie:Denksport]]</text>
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  <title>Waage und 12 Kugeln, Lösung</title>
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    <text bytes="2070" xml:space="preserve">[[Kategorie:Denksport]]

Dies ist die Lösung von Aufgabe [[Waage und 12 Kugeln]].

Wir denken und die Kugeln mit den Nummern 1,2,...,12 durchnummeriert. 
Bei der ersten Wägung geben wir in die linke Waagschale die Kugeln 2, 4, 10, 11 und in die rechte Waagschale die Kugeln 1, 5, 7, 8. Ähnlich gehen wir bei der zweiten und dritten Wägung vor, siehe folgende Tabelle.

{|  border="2" cellspacing="0" cellpadding="4" rules="all" class="hintergrundfarbe1 rahmenfarbe1" style="margin:1em 1em 1em 0; border-style:solid; border-width:1px; border-collapse:collapse; empty-cells:show; background:#f0a0a0"  
!#	
!links	        
!rechts	
!links schwerer	
!gleich	
!rechts schwerer
|-  bgcolor="#f0f0f0"
|1	||2,4,10,11	||1,5,7,8	|| align="center" | -1	|| align="center" | 0	|| align="center" | +1
|- bgcolor="#f0f0f0"
|2	||3,4,6,7	||2,5,11,12	|| align="center" | -3	|| align="center" | 0	|| align="center" | +3
|- bgcolor="#f0f0f0"
|3	||5,8,9,10	||6,7,11,12	|| align="center" | -9	|| align="center" | 0	|| align="center" | +9
|}

Wenn die erste Wägung ergibt, dass die linke Seite schwerer ist, merken wir uns -1, wenn die rechte Seite schwerer ist, merken wir uns +1, und wenn beide Seiten gleich schwer sind, merken wir uns 0.

Von der zweiten Wägung merken wir uns -3, 0 oder +3, je nachdem ob die linke Seite schwerer, gleich oder leichter ist als die rechte.

Ähnlich vermerken wir uns aus der dritten Wägung -9, 0 oder +9. Siehe obenstehende Tabelle.

Wenn wir schließlich die drei Wäge-Ergebnisse addieren, erhalten wir eine Nummer p zwischen -12 und +12. Der Absolutwert von p gibt die Nummer der abweichenden Kugel an. Wenn p in { 1,  2,  -3,  -4,  -5,  6,  7,  -8,  -9,  -10,  11,  12} liegt, ist die Kugel schwerer. Sonst, wenn p einen der Werte   -1,  -2,  3,  4,  5,  -6,  -7,  8,  9,  10,  -11 oder  -12 annimmt, ist sie leichter als die anderen.

Wenn beispielsweise die Kugel 5 schwerer ist, erhalten wir aus der ersten Wägung +1, aus der zweiten +3 und aus der dritten -9. Und die Summe ist p = +1+3-9 = -5, was bedeutet, daß die Kugel 5 schwerer ist.</text>
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  <title>Integralrechnung: Das Volumen eines Faßes</title>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2578" xml:space="preserve">==Aufgabe ==
Gesucht ist das Volumen eines Fasses von 1m Höhe und den Radien 25 cm an den Enden und 35 cm in der Mitte. Die Randfunktion muss eine nach unten geöffnete Parabel sein wie hier in der Zeichnung.


[[Bild:fass1.png|fass1.png]]


===Lösung===

Die Funktionsbeschreibung dieser Parabel kann über die Scheitelpunktform leicht erstellt werden. Allgemein gilt:  

&lt;math&gt;f(x) =  - a \times (x - 5)^2  + 3,5&lt;/math&gt;
(Die Werte in dm)


Die -5 gibt bekanntlich die Verschiebung des Scheitelpunktes in x+ Richtung an und die 3,5 in y+ Richtung. Das Minuszeichen vor dem Streckungsfaktor a ist notwendig, um eine nach unten geöffnete Parabel zu erhalten.
Fehlt nur noch der Faktor a. Setzt man jedoch in die Formel einen bekannten Punkt ein, kann man a errechnen. Der Punkt ist (0/2,5).

&lt;math&gt;f(x) =  - a \times (x - 5)^2  + 3,5\buildrel {also} \over
 \longrightarrow 2,5 =  - a \times (0 - 5)^2  + 3,5&lt;/math&gt;

a ist dann

&lt;math&gt;{{2,5 - 3,5} \over {25}} =  - 0,04&lt;/math&gt;

Und die Gleichung heißt komplett

&lt;math&gt;f(x) =  - 0,04 \times (x - 5)^2  + 3,5&lt;/math&gt;

Zur Vereinfachung stellen wir die Scheitelpunktform in die Normalform um

&lt;math&gt;f(x) =  - 0,04x^2  + 0,4x + 2,5&lt;/math&gt;


====Die Funktion Quadrieren====

&lt;math&gt;f(x) =  (- 0,04x^2  + 0,4x + 2,5)^2&lt;/math&gt;

ist

&lt;math&gt;f(x) = 0,0016x^4  - 0,032x^3  - 0,04x^2  + 2x + 6,25 &lt;/math&gt;


====Stammfunktion====

&lt;math&gt;F(x) = {{0,0016} \over 5} \times x^5  - {{0,032} \over 4} \times x^4  - {{0,04} \over 3} \times x^3  + x^2  + 6,25x &lt;/math&gt;


====Das bestimmte Integral für die Volumenberechnung====

&lt;math&gt;\Pi  \times \int\limits_0^{10} {( - 0,04x^2  + 0,4x + 2,5)^2 dx = \Pi  \times \int\limits_0^{10} {(0,0016x^4  - 0,032x^3  - 0,04x^2  + 2x + 6,25)dx} } &lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= \Pi  \times \left[ {{{0,0016} \over 5} \times x^5  - {{0,032} \over 4} \times x^4  - {{0,04} \over 3} \times x^3  + x^2  + 6,25x} \right]_0^{10} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Pi  \times \left[ {{{0,0016} \over 5} \times 10^5  - {{0,032} \over 4} \times 10^4  - {{0,04} \over 3} \times 10^3  + 100 + 62,5} \right]_0^{10} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Pi  \times \left[ {32 - 80 - 13{1 \over 3} + 100 + 62,5} \right]_0^{10} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Pi  \times 101,167&lt;/math&gt;

Volumeneinheiten.

Da wir von Anfang an in Dezimetern gerechnet haben, ergeben sich natürlich Liter

&lt;math&gt; = 317,824  Liter&lt;/math&gt;

===Suchbegriffe===

Volumenberechnung, Integralrechnung, Faß, Fass, Beispielaufgabe


===Quellen===

[http://volkerbehrens.de/daten/integralrechnung.pdf www.volkerbehrens.de]

===ähnliche Aufgaben===


[[Kategorie:Abituraufgaben]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 12]]</text>
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    <contributor>
      <username>Behrev</username>
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    <comment>/* Aufgabe */</comment>
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    <text bytes="2703" xml:space="preserve">==Aufgabe ==
Gesucht ist das Volumen eines Fasses von 1m Höhe und den Radien 25 cm an den Enden und 35 cm in der Mitte. 

[[Bild:fass2.png|fass2.png]]


Dreht man das Faß um 90° erahnt man, dass die Form einer quadratischen Parabel entspricht.Die Randfunktion muss eine nach unten geöffnete Parabel sein wie hier in der Zeichnung.


[[Bild:fass1.png|fass1.png]]


===Lösung===

Die Funktionsbeschreibung dieser Parabel kann über die Scheitelpunktform leicht erstellt werden. Allgemein gilt:  

&lt;math&gt;f(x) =  - a \times (x - 5)^2  + 3,5&lt;/math&gt;
(Die Werte in dm)


Die -5 gibt bekanntlich die Verschiebung des Scheitelpunktes in x+ Richtung an und die 3,5 in y+ Richtung. Das Minuszeichen vor dem Streckungsfaktor a ist notwendig, um eine nach unten geöffnete Parabel zu erhalten.
Fehlt nur noch der Faktor a. Setzt man jedoch in die Formel einen bekannten Punkt ein, kann man a errechnen. Der Punkt ist (0/2,5).

&lt;math&gt;f(x) =  - a \times (x - 5)^2  + 3,5\buildrel {also} \over
 \longrightarrow 2,5 =  - a \times (0 - 5)^2  + 3,5&lt;/math&gt;

a ist dann

&lt;math&gt;{{2,5 - 3,5} \over {25}} =  - 0,04&lt;/math&gt;

Und die Gleichung heißt komplett

&lt;math&gt;f(x) =  - 0,04 \times (x - 5)^2  + 3,5&lt;/math&gt;

Zur Vereinfachung stellen wir die Scheitelpunktform in die Normalform um

&lt;math&gt;f(x) =  - 0,04x^2  + 0,4x + 2,5&lt;/math&gt;


====Die Funktion Quadrieren====

&lt;math&gt;f(x) =  (- 0,04x^2  + 0,4x + 2,5)^2&lt;/math&gt;

ist

&lt;math&gt;f(x) = 0,0016x^4  - 0,032x^3  - 0,04x^2  + 2x + 6,25 &lt;/math&gt;


====Stammfunktion====

&lt;math&gt;F(x) = {{0,0016} \over 5} \times x^5  - {{0,032} \over 4} \times x^4  - {{0,04} \over 3} \times x^3  + x^2  + 6,25x &lt;/math&gt;


====Das bestimmte Integral für die Volumenberechnung====

&lt;math&gt;\Pi  \times \int\limits_0^{10} {( - 0,04x^2  + 0,4x + 2,5)^2 dx = \Pi  \times \int\limits_0^{10} {(0,0016x^4  - 0,032x^3  - 0,04x^2  + 2x + 6,25)dx} } &lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= \Pi  \times \left[ {{{0,0016} \over 5} \times x^5  - {{0,032} \over 4} \times x^4  - {{0,04} \over 3} \times x^3  + x^2  + 6,25x} \right]_0^{10} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Pi  \times \left[ {{{0,0016} \over 5} \times 10^5  - {{0,032} \over 4} \times 10^4  - {{0,04} \over 3} \times 10^3  + 100 + 62,5} \right]_0^{10} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Pi  \times \left[ {32 - 80 - 13{1 \over 3} + 100 + 62,5} \right]_0^{10} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Pi  \times 101,167&lt;/math&gt;

Volumeneinheiten.

Da wir von Anfang an in Dezimetern gerechnet haben, ergeben sich natürlich Liter

&lt;math&gt; = 317,824  Liter&lt;/math&gt;

===Suchbegriffe===

Volumenberechnung, Integralrechnung, Faß, Fass, Beispielaufgabe


===Quellen===

[http://volkerbehrens.de/daten/integralrechnung.pdf www.volkerbehrens.de]

===ähnliche Aufgaben===


[[Kategorie:Abituraufgaben]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 12]]</text>
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    <comment>/* Aufgabe */</comment>
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    <text bytes="2703" xml:space="preserve">==Aufgabe ==
Gesucht ist das Volumen eines Fasses von 1m Höhe und den Radien 25 cm an den Enden und 35 cm in der Mitte. 

[[Bild:fass2.PNG|fass2.png]]


Dreht man das Faß um 90° erahnt man, dass die Form einer quadratischen Parabel entspricht.Die Randfunktion muss eine nach unten geöffnete Parabel sein wie hier in der Zeichnung.


[[Bild:fass1.png|fass1.png]]


===Lösung===

Die Funktionsbeschreibung dieser Parabel kann über die Scheitelpunktform leicht erstellt werden. Allgemein gilt:  

&lt;math&gt;f(x) =  - a \times (x - 5)^2  + 3,5&lt;/math&gt;
(Die Werte in dm)


Die -5 gibt bekanntlich die Verschiebung des Scheitelpunktes in x+ Richtung an und die 3,5 in y+ Richtung. Das Minuszeichen vor dem Streckungsfaktor a ist notwendig, um eine nach unten geöffnete Parabel zu erhalten.
Fehlt nur noch der Faktor a. Setzt man jedoch in die Formel einen bekannten Punkt ein, kann man a errechnen. Der Punkt ist (0/2,5).

&lt;math&gt;f(x) =  - a \times (x - 5)^2  + 3,5\buildrel {also} \over
 \longrightarrow 2,5 =  - a \times (0 - 5)^2  + 3,5&lt;/math&gt;

a ist dann

&lt;math&gt;{{2,5 - 3,5} \over {25}} =  - 0,04&lt;/math&gt;

Und die Gleichung heißt komplett

&lt;math&gt;f(x) =  - 0,04 \times (x - 5)^2  + 3,5&lt;/math&gt;

Zur Vereinfachung stellen wir die Scheitelpunktform in die Normalform um

&lt;math&gt;f(x) =  - 0,04x^2  + 0,4x + 2,5&lt;/math&gt;


====Die Funktion Quadrieren====

&lt;math&gt;f(x) =  (- 0,04x^2  + 0,4x + 2,5)^2&lt;/math&gt;

ist

&lt;math&gt;f(x) = 0,0016x^4  - 0,032x^3  - 0,04x^2  + 2x + 6,25 &lt;/math&gt;


====Stammfunktion====

&lt;math&gt;F(x) = {{0,0016} \over 5} \times x^5  - {{0,032} \over 4} \times x^4  - {{0,04} \over 3} \times x^3  + x^2  + 6,25x &lt;/math&gt;


====Das bestimmte Integral für die Volumenberechnung====

&lt;math&gt;\Pi  \times \int\limits_0^{10} {( - 0,04x^2  + 0,4x + 2,5)^2 dx = \Pi  \times \int\limits_0^{10} {(0,0016x^4  - 0,032x^3  - 0,04x^2  + 2x + 6,25)dx} } &lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= \Pi  \times \left[ {{{0,0016} \over 5} \times x^5  - {{0,032} \over 4} \times x^4  - {{0,04} \over 3} \times x^3  + x^2  + 6,25x} \right]_0^{10} &lt;/math&gt;

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&lt;math&gt;= \Pi  \times \left[ {32 - 80 - 13{1 \over 3} + 100 + 62,5} \right]_0^{10} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Pi  \times 101,167&lt;/math&gt;

Volumeneinheiten.

Da wir von Anfang an in Dezimetern gerechnet haben, ergeben sich natürlich Liter

&lt;math&gt; = 317,824  Liter&lt;/math&gt;

===Suchbegriffe===

Volumenberechnung, Integralrechnung, Faß, Fass, Beispielaufgabe


===Quellen===

[http://volkerbehrens.de/daten/integralrechnung.pdf www.volkerbehrens.de]

===ähnliche Aufgaben===


[[Kategorie:Abituraufgaben]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 12]]</text>
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    <text bytes="2702" xml:space="preserve">==Aufgabe ==
Gesucht ist das Volumen eines Fasses von 1m Höhe und den Radien 25 cm an den Enden und 35 cm in der Mitte. 

[[Bild:fass2.PNG|fass2.png]]


Dreht man das Faß um 90° erahnt man, dass die Form einer quadratischen Parabel entspricht.Die Randfunktion muss eine nach unten geöffnete Parabel sein wie hier in der Zeichnung.


[[Bild:fass1.png|fass1.png]]


===Lösung===

Die Funktionsbeschreibung dieser Parabel kann über die Scheitelpunktform leicht erstellt werden. Allgemein gilt:  

&lt;math&gt;f(x) =  - a \times (x - 5)^2  + 3,5&lt;/math&gt;
(Die Werte in dm)


Die -5 gibt bekanntlich die Verschiebung des Scheitelpunktes in x+ Richtung an und die 3,5 in y+ Richtung. Das Minuszeichen vor dem Streckungsfaktor a ist notwendig, um eine nach unten geöffnete Parabel zu erhalten.
Fehlt nur noch der Faktor a. Setzt man jedoch in die Formel einen bekannten Punkt ein, kann man a errechnen. Der Punkt ist (0/2,5).

&lt;math&gt;f(x) =  - a \times (x - 5)^2  + 3,5\buildrel {also} \over
 \longrightarrow 2,5 =  - a \times (0 - 5)^2  + 3,5&lt;/math&gt;

a ist dann

&lt;math&gt;{{2,5 - 3,5} \over {25}} =  - 0,04&lt;/math&gt;

Und die Gleichung heißt komplett

&lt;math&gt;f(x) =  - 0,04 \times (x - 5)^2  + 3,5&lt;/math&gt;

Zur Vereinfachung stellen wir die Scheitelpunktform in die Normalform um

&lt;math&gt;f(x) =  - 0,04x^2  + 0,4x + 2,5&lt;/math&gt;


====Die Funktion quadrieren====

&lt;math&gt;f(x) =  (- 0,04x^2  + 0,4x + 2,5)^2&lt;/math&gt;

ist

&lt;math&gt;f(x) = 0,0016x^4  - 0,032x^3  - 0,04x^2  + 2x + 6,25 &lt;/math&gt;

====Stammfunktion====

&lt;math&gt;F(x) = {{0,0016} \over 5} \times x^5  - {{0,032} \over 4} \times x^4  - {{0,04} \over 3} \times x^3  + x^2  + 6,25x &lt;/math&gt;


====Das bestimmte Integral für die Volumenberechnung====

&lt;math&gt;\Pi  \times \int\limits_0^{10} {( - 0,04x^2  + 0,4x + 2,5)^2 dx = \Pi  \times \int\limits_0^{10} {(0,0016x^4  - 0,032x^3  - 0,04x^2  + 2x + 6,25)dx} } &lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= \Pi  \times \left[ {{{0,0016} \over 5} \times x^5  - {{0,032} \over 4} \times x^4  - {{0,04} \over 3} \times x^3  + x^2  + 6,25x} \right]_0^{10} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Pi  \times \left[ {{{0,0016} \over 5} \times 10^5  - {{0,032} \over 4} \times 10^4  - {{0,04} \over 3} \times 10^3  + 100 + 62,5} \right]_0^{10} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Pi  \times \left[ {32 - 80 - 13{1 \over 3} + 100 + 62,5} \right]_0^{10} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Pi  \times 101,167&lt;/math&gt;

Volumeneinheiten.

Da wir von Anfang an in Dezimetern gerechnet haben, ergeben sich natürlich Liter

&lt;math&gt; = 317,824  Liter&lt;/math&gt;

===Suchbegriffe===

Volumenberechnung, Integralrechnung, Faß, Fass, Beispielaufgabe


===Quellen===

[http://volkerbehrens.de/daten/integralrechnung.pdf www.volkerbehrens.de]

===ähnliche Aufgaben===


[[Kategorie:Abituraufgaben]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 12]]</text>
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    <contributor>
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  <title>Integralrechnung: Fläche unter einer ganzrationalen Funktion</title>
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    <comment>/* Quellen */</comment>
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    <text bytes="1385" xml:space="preserve">==Aufgabe ==
Berechne die Fläche unter der Funktion

&lt;math&gt;f(x) = x^3  - 2x^2  - 3x&lt;/math&gt;

im Intervall von 0 bis 2

===Tipps===


===Lösung===

====Stammfunktion suchen====

&lt;math&gt;f(x) = x^3  - 2x^2  - 3x&lt;/math&gt;

dann ist

&lt;math&gt;F(x) = {1 \over 4}x^4  - {2 \over 3}x^3  - {3 \over 2}x^2 &lt;/math&gt;

====Das bestimmte Integral====


&lt;math&gt;\int\limits_0^2 {\left( {x^3  - 2x^2  - 3x} \right)} dx = \left[ {{1 \over 4}x^4  - {2 \over 3}x^3  - {3 \over 2}x^2 } \right]_0^2 &lt;/math&gt;

[[Bild:2x^2-3x.png|framed|f(x)= x^3-2x^2-3x]]

&lt;math&gt; = \left[ {{1 \over 4}2^4  - {2 \over 3}2^3  - {3 \over 2}2^2 } \right] - \left[ {{1 \over 4}0^4  - {2 \over 3}0^3  - {3 \over 2}0^2 } \right] &lt;/math&gt;


&lt;math&gt; = \left[ {{{16} \over 4} - {{16} \over 3} - {{12} \over 2}} \right] - \left[ 0 \right]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt; = \left[ {{{48} \over {12}} - {{64} \over {12}} - {{72} \over {12}}} \right] - \left[ 0 \right]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt; =  - {{88} \over {12}} =  - {{22} \over 3} =  - 7,33\bar 3 FE&lt;/math&gt;


Im Intervall zwischen 0 und 2 liegen also 22/3 Flächeneinheiten. Da das Ergebnis negativ ist, liegt die Fläche unterhalb der x-Achse.


===Suchbegriffe===

Fläche unter einer Funktion, Integralrechnung, Beispielaufgabe


===Quellen===


[http://volkerbehrens.de/daten/integralrechnung.pdf www.volkerbehrens.de]

===ähnliche Aufgaben===


[[Kategorie:Abituraufgaben]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 12]]</text>
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  <title>Wackeltisch</title>
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      <username>Mpraehofer</username>
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    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="993" xml:space="preserve">==Der wackelnde Tisch==
Ein geometrisch perfekter vierbeiniger quadratischer Tisch steht auf einem leicht unebenen, aber stetigen, Boden und wackelt. Wie kann man das Wackeln beheben, ohne weitere Hilfsmittel wie Bierdeckel oder ähnliches zu benutzen?
===Tipp===
Drehen und Zwischenwertsatz anwenden.
===Lösung===
Der Boden wird durch den Graphen einer stetigen Funktion &lt;math&gt;f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}&lt;/math&gt; beschrieben. Der Tisch, dessen  vier Fußpunkte mit &lt;math&gt;A,B,C,D\in\mathbb{R}^3&lt;/math&gt; benannt werden. &lt;math&gt;ABCD\,&lt;/math&gt; bildet ein perfektes Quadrat im &lt;math&gt;\mathbb{R}^3&lt;/math&gt;. Drei Fußpunkte berühren den Boden, zwei gegenüberliegende, &lt;math&gt;A\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;C\,&lt;/math&gt;, die die Wackelachse bilden, und &lt;math&gt;B\,&lt;/math&gt;. Der vierte Fuß D\, schwebt über dem Boden. Wir drehen den Tisch nun um 90 Grad um seine Symmetrieachse
===Suchbegriffe===
relative Topologie, Metrik, offene Menge
===Quelle===
Mathematik für Physiker, SS06, TU München

[[Kategorie:Analysis]]</text>
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    <text bytes="2361" xml:space="preserve">==Der wackelnde Tisch==
Ein geometrisch perfekter vierbeiniger quadratischer Tisch steht auf einem leicht unebenen, aber stetigen, Boden und wackelt. Wie kann man das Wackeln beheben, ohne weitere Hilfsmittel wie Bierdeckel oder ähnliches zu benutzen? 
===Tipp===
Den Tisch drehen und Zwischenwertsatz anwenden. Dabei sind sinnvolle vereinfachende Annahmen zu treffen.
===Lösung===
Der Boden wird durch den Graphen einer stetigen Funktion &lt;math&gt;f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}&lt;/math&gt; beschrieben. Der Tisch, dessen  vier Fußpunkte mit &lt;math&gt;A,B,C,D\in\mathbb{R}^3&lt;/math&gt; benannt werden. &lt;math&gt;ABCD\,&lt;/math&gt; bildet ein perfektes Quadrat im &lt;math&gt;\mathbb{R}^3&lt;/math&gt;. Zur Zeit &lt;math&gt;t=-1\,&lt;/math&gt; berühren drei Fußpunkte den Boden, sagen wir &lt;math&gt;A\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;B\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;C\,&lt;/math&gt;. Der vierte Fuß &lt;math&gt;D\,&lt;/math&gt; schwebt über dem Boden. Dreht man den Tisch um die Achse &lt;math&gt;AB\,&lt;/math&gt;, so dass zur Zeit &lt;math&gt;t=0\,&lt;/math&gt; der Fußpunkt &lt;math&gt;D\,&lt;/math&gt; den Boden berührt, liegt &lt;math&gt;C\,&lt;/math&gt; notwendigerweise unterhalb des Graphen (Voraussetzung ist das der Gradient von &lt;math&gt;f\,&lt;/math&gt; nicht zu groß ist, z.B. &lt;math&gt;|\nabla f|\leq\frac12&lt;/math&gt;). Wir drehen den Tisch nun um 90 Grad, so dass &lt;math&gt;A\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;B\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;D\,&lt;/math&gt; die ganze Zeit den Boden berühren und am Ende, zur Zeit &lt;math&gt;t=1\,&lt;/math&gt; der Fußpunkt &lt;math&gt;A\,&lt;/math&gt; sich an der ursprünglichen Position von &lt;math&gt;B\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;B\,&lt;/math&gt; bei &lt;math&gt;C\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;D\,&lt;/math&gt; bei &lt;math&gt;A\,&lt;/math&gt; befindet. Somit muss sich auch &lt;math&gt;C\,&lt;/math&gt; an der &lt;math&gt;t=-1\,&lt;/math&gt;-Position von &lt;math&gt;D\,&lt;/math&gt; befinden, nämlich oberhalb des Bodens. Da sich &lt;math&gt;C\,&lt;/math&gt; zur Zeit &lt;math&gt;t=0\,&lt;/math&gt; unterhalb, zur Zeit &lt;math&gt;t=1\,&lt;/math&gt; jedoch oberhalb des Bodens befindet, muss nach dem Zwischenwertsatz eine Position durchlaufen werden in  der &lt;math&gt;C\,&lt;/math&gt; den Boden berührt. So aufgestellt, wackelt der Tisch nicht!
===Kommentar===
Das ganze funktioniert erstaunlich gut. Meistens genügt es schon den Tisch um einige Zentimeter in die eine oder andere Richtung zu drehen, um das Wackeln abzustellen.
Damit kann man Nichtmathematiker im Wirtshaus beeindrucken, wie sinnvoll und praktisch doch Mathematik ist. 
===Suchbegriffe===
Zwischenwertsatz, Wirtshausanwendung, wackelnder Tisch
===Quelle===
unbekannt

[[Kategorie:Analysis]]</text>
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Ein geometrisch perfekter vierbeiniger quadratischer Tisch steht auf einem leicht unebenen, aber stetigen, Boden und wackelt. Wie kann man das Wackeln beheben, ohne weitere Hilfsmittel wie Bierdeckel oder ähnliches zu benutzen? 
===Tipp===
Den Tisch drehen und Zwischenwertsatz anwenden. Dabei sind sinnvolle vereinfachende Annahmen zu treffen.
===Lösung===
Der Boden wird durch den Graphen einer stetigen Funktion &lt;math&gt;f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}&lt;/math&gt; beschrieben. Der Tisch, dessen  vier Fußpunkte mit &lt;math&gt;A,B,C,D\in\mathbb{R}^3&lt;/math&gt; benannt werden. &lt;math&gt;ABCD\,&lt;/math&gt; bildet ein perfektes Quadrat im &lt;math&gt;\mathbb{R}^3&lt;/math&gt;. Zur Zeit &lt;math&gt;t=-1\,&lt;/math&gt; berühren drei Fußpunkte den Boden, sagen wir &lt;math&gt;A\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;B\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;C\,&lt;/math&gt;. Der vierte Fuß &lt;math&gt;D\,&lt;/math&gt; schwebt über dem Boden. Dreht man den Tisch um die Achse &lt;math&gt;AB\,&lt;/math&gt;, so dass zur Zeit &lt;math&gt;t=0\,&lt;/math&gt; der Fußpunkt &lt;math&gt;D\,&lt;/math&gt; den Boden berührt, liegt &lt;math&gt;C\,&lt;/math&gt; notwendigerweise unterhalb des Graphen (Voraussetzung ist das der Gradient von &lt;math&gt;f\,&lt;/math&gt; nicht zu groß ist, z.B. &lt;math&gt;|\nabla f|\leq\frac12&lt;/math&gt;). Wir drehen den Tisch nun um 90 Grad, so dass &lt;math&gt;A\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;B\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;D\,&lt;/math&gt; die ganze Zeit den Boden berühren und am Ende, zur Zeit &lt;math&gt;t=1\,&lt;/math&gt; der Fußpunkt &lt;math&gt;A\,&lt;/math&gt; sich an der ursprünglichen Position von &lt;math&gt;B\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;B\,&lt;/math&gt; bei &lt;math&gt;C\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;D\,&lt;/math&gt; bei &lt;math&gt;A\,&lt;/math&gt; befindet. Somit muss sich auch &lt;math&gt;C\,&lt;/math&gt; an der &lt;math&gt;t=-1\,&lt;/math&gt;-Position von &lt;math&gt;D\,&lt;/math&gt; befinden, nämlich oberhalb des Bodens. Da sich &lt;math&gt;C\,&lt;/math&gt; zur Zeit &lt;math&gt;t=0\,&lt;/math&gt; unterhalb, zur Zeit &lt;math&gt;t=1\,&lt;/math&gt; jedoch oberhalb des Bodens befindet, muss nach dem Zwischenwertsatz eine Position durchlaufen werden in  der &lt;math&gt;C\,&lt;/math&gt; den Boden berührt. So aufgestellt, wackelt der Tisch nicht!
===Kommentar===
Das ganze funktioniert erstaunlich gut. Meistens genügt es schon den Tisch um einige Zentimeter in die eine oder andere Richtung zu drehen, um das Wackeln abzustellen.
Damit kann man Nichtmathematiker im Wirtshaus beeindrucken, wie sinnvoll und praktisch doch Mathematik ist. 
===Suchbegriffe===
Zwischenwertsatz, Wirtshausanwendung, wackelnder Tisch
===Quelle===
unbekannt

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Denksport]]</text>
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    <text bytes="2399" xml:space="preserve">==Der wackelnde Tisch==
Ein geometrisch perfekter vierbeiniger quadratischer Tisch steht auf einem leicht unebenen, aber stetigen, Boden und wackelt. Wie kann man das Wackeln beheben, ohne weitere Hilfsmittel wie Bierdeckel oder ähnliches zu benutzen? 
===Tipp===
Den Tisch drehen und Zwischenwertsatz anwenden. Dabei sind sinnvolle vereinfachende Annahmen zu treffen.
===Lösung===
Der Boden wird durch den Graphen einer stetigen Funktion &lt;math&gt;f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}&lt;/math&gt; beschrieben. Die vier Fußpunkte des Tisches werden im Uhrzeigersinn mit &lt;math&gt;A,B,C,D\in\mathbb{R}^3&lt;/math&gt; benannt. &lt;math&gt;ABCD\,&lt;/math&gt; bildet ein perfektes Quadrat im &lt;math&gt;\mathbb{R}^3&lt;/math&gt;. Zur Zeit &lt;math&gt;t=-1\,&lt;/math&gt; berühren drei Fußpunkte den Boden, sagen wir &lt;math&gt;A\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;B\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;C\,&lt;/math&gt;. Der vierte Fuß &lt;math&gt;D\,&lt;/math&gt; schwebt über dem Boden. Dreht man den Tisch um die Achse &lt;math&gt;AB\,&lt;/math&gt;, so dass zur Zeit &lt;math&gt;t=0\,&lt;/math&gt; der Fußpunkt &lt;math&gt;D\,&lt;/math&gt; den Boden berührt, liegt &lt;math&gt;C\,&lt;/math&gt; notwendigerweise unterhalb des Graphen (Voraussetzung ist das der Gradient von &lt;math&gt;f\,&lt;/math&gt; nicht zu groß ist, z.B. &lt;math&gt;|\nabla f|\leq\frac12&lt;/math&gt;). Wir drehen den Tisch nun um 90 Grad, so dass &lt;math&gt;A\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;B\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;D\,&lt;/math&gt; die ganze Zeit den Boden berühren und am Ende, zur Zeit &lt;math&gt;t=1\,&lt;/math&gt; der Fußpunkt &lt;math&gt;A\,&lt;/math&gt; sich an der ursprünglichen Position von &lt;math&gt;B\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;B\,&lt;/math&gt; bei &lt;math&gt;C\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;D\,&lt;/math&gt; bei &lt;math&gt;A\,&lt;/math&gt; befindet. Somit muss sich auch &lt;math&gt;C\,&lt;/math&gt; an der &lt;math&gt;t=-1\,&lt;/math&gt;-Position von &lt;math&gt;D\,&lt;/math&gt; befinden, nämlich oberhalb des Bodens. Da sich &lt;math&gt;C\,&lt;/math&gt; zur Zeit &lt;math&gt;t=0\,&lt;/math&gt; unterhalb, zur Zeit &lt;math&gt;t=1\,&lt;/math&gt; jedoch oberhalb des Bodens befindet, muss nach dem Zwischenwertsatz eine Position durchlaufen werden in  der &lt;math&gt;C\,&lt;/math&gt; den Boden berührt. So aufgestellt, wackelt der Tisch nicht!
===Kommentar===
Das ganze funktioniert erstaunlich gut. Meistens genügt es schon den Tisch um einige Zentimeter in die eine oder andere Richtung zu drehen, um das Wackeln abzustellen.
Damit kann man Nichtmathematiker im Wirtshaus beeindrucken, wie sinnvoll und praktisch doch Mathematik ist. 
===Suchbegriffe===
Zwischenwertsatz, Wirtshausanwendung, wackelnder Tisch
===Quelle===
unbekannt

[[Kategorie:Analysis]]
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  <title>Gefangene und Glühbirne</title>
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    <contributor>
      <username>Alfred Heiligenbrunner</username>
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    </contributor>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1808" xml:space="preserve">==Aufgabe (100 Gefangene und 1 Glühbirne)==

100 Gefangene werden zu lebenslänglicher Haft verurteilt. Sie erhalten
allerdings eine Chance diese Strafe zu mindern.
Die 100 Gefangenen werden in 100 Einzelzellen untergebracht, von denen aus
keine Möglichkeit besteht mit einem Mithäftling zu kommunizieren. Weiterhin
teilt der Wächter den Gefangenen mit, dass jeden Tag einer von ihnen (per
Zufall) ausgewählt wird der in einen Raum mit einer Lampe und deren Schalter
geführt wird, dort darf er den Schalter betätigen. Während dieser Prozedur
besteht ebenfalls keine Möglichkeit zur Kommunikation.
Sobald einer der Gefangenen dem Wächter sagt, dass bereits jeder Häftling
mindestens einmal in diesem Raum war und es stimmt, dann werden alle
entlassen, wenn es aber einer der Gefangenen behauptet und es nicht stimmt,
dann müssen alle für den Rest ihres Lebens im Gefängnis bleiben!
Welches ist die beste Gewinnstrategie für die Gefangenen?

Alle werden natürlich unendlich alt und sind gleich schlau.

Achja die Häftlinge haben natürlich _bevor_ sie weggesperrt werden die
Möglichkeit sich abzusprechen! 

Können die Gefangenen ihre Freilassung erreichen? Wenn ja, wie?

===Tipps===


===Lösungen===
[[Lösung1 von Gefangene und Glühbirne]]

[[Lösung2 von Gefangene und Glühbirne]]

[[Lösung3 von Gefangene und Glühbirne]]

===Suchbegriffe===
Gefangene, Glühbirne, Schalter, Information mit 1 bit

===Quellen===
[http://groups.google.com/group/de.sci.mathematik/browse_frm/thread/b1c84097895048f9 Newsgroup de.sci.mathematik, Thread vom 31.Okt 2002]

Spektrum der Wissenschaft, April 2003, S 108 und Juni 2003, S 110

[http://groups.google.com/group/de.rec.denksport/browse_frm/thread/39297a60b61aac1e Newsgroup de.rec.denksport, Thread vom 16.Juni 2003]


===ähnliche Aufgaben===</text>
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  <title>Gefangene und Glühbirne, Lösung 1</title>
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    <text bytes="465" xml:space="preserve">[[Kategorie:Denksport]]

Dies ist die Lösung 1 von Aufgabe [[Gefangene und Glühbirne]].

"Glühbirne als Teilelager":

Der erste Gefangene schraubt die Glühbirne aus der Fassung und zerlegt sie in 100 Teile. Einen Teil nimmt er selbst mit.

Jeder Gefangene, der noch nie ein Teil genommen hat, nimmt eines aus dem Raum mit, sobald er selbst dorthin geführt wird. Derjenige, der das letzte Teil wegnimmt, verkündet, dass alle anderen schon einmal im Raum waren.</text>
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  <title>Gefangene und Glühbirne, Lösung 2</title>
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    <text bytes="620" xml:space="preserve">[[Kategorie:Denksport]]

Dies ist die Lösung 2 von Aufgabe [[Gefangene und Glühbirne]].

"Hohe Wahrscheinlichkeit":

Alle Gefangenen warten z.B. 1000 Tage ab. Dann verkünden sie, dass alle schon einmal der Kammer mit der Glühbirne waren. 

Die Wahrscheinlichkeit, dass das falsch ist, ist 0,00430791.

(Herleitung: Die Wahrscheinlichkeit, dass Häftling Nr. 1 in dieser Zeit niemals in die Kammer geführt wurde, ist p = (1-1/100)^1000 = 0,0000431.
Die Wahrscheinlichkeit, dass Häftling Nr. 1 oder Häftling Nr. 2 oder ... oder Häftling Nr. 100 niemals in die Kammer geführt wurden, ist 1-(1-p)^100 = 0,00430791.)</text>
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    <text bytes="1834" xml:space="preserve">==Aufgabe (100 Gefangene und 1 Glühbirne)==

100 Gefangene werden zu lebenslänglicher Haft verurteilt. Sie erhalten
allerdings eine Chance diese Strafe zu mindern.
Die 100 Gefangenen werden in 100 Einzelzellen untergebracht, von denen aus
keine Möglichkeit besteht mit einem Mithäftling zu kommunizieren. Weiterhin
teilt der Wächter den Gefangenen mit, dass jeden Tag einer von ihnen (per
Zufall) ausgewählt wird der in einen Raum mit einer Lampe und deren Schalter
geführt wird, dort darf er den Schalter betätigen. Während dieser Prozedur
besteht ebenfalls keine Möglichkeit zur Kommunikation.
Sobald einer der Gefangenen dem Wächter sagt, dass bereits jeder Häftling
mindestens einmal in diesem Raum war und es stimmt, dann werden alle
entlassen, wenn es aber einer der Gefangenen behauptet und es nicht stimmt,
dann müssen alle für den Rest ihres Lebens im Gefängnis bleiben!
Welches ist die beste Gewinnstrategie für die Gefangenen?

Alle werden natürlich unendlich alt und sind gleich schlau.

Achja die Häftlinge haben natürlich _bevor_ sie weggesperrt werden die
Möglichkeit sich abzusprechen! 

Können die Gefangenen ihre Freilassung erreichen? Wenn ja, wie?

===Tipps===


===Lösungen===
[[Lösung1 von Gefangene und Glühbirne]]

[[Lösung2 von Gefangene und Glühbirne]]

[[Lösung3 von Gefangene und Glühbirne]]

===Suchbegriffe===
Gefangene, Glühbirne, Schalter, Information mit 1 bit

===Quellen===
[http://groups.google.com/group/de.sci.mathematik/browse_frm/thread/b1c84097895048f9 Newsgroup de.sci.mathematik, Thread vom 31.Okt 2002]

Spektrum der Wissenschaft, April 2003, S 108 und Juni 2003, S 110

[http://groups.google.com/group/de.rec.denksport/browse_frm/thread/39297a60b61aac1e Newsgroup de.rec.denksport, Thread vom 16.Juni 2003]


===ähnliche Aufgaben===


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    <text bytes="1920" xml:space="preserve">==Aufgabe (100 Gefangene und 1 Glühbirne)==

100 Gefangene werden zu lebenslänglicher Haft verurteilt. Sie erhalten
allerdings eine Chance diese Strafe zu mindern.
Die 100 Gefangenen werden in 100 Einzelzellen untergebracht, von denen aus
keine Möglichkeit besteht mit einem Mithäftling zu kommunizieren. Weiterhin
teilt der Wächter den Gefangenen mit, dass jeden Tag einer von ihnen (per
Zufall) ausgewählt wird der in einen Raum mit einer Lampe und deren Schalter
geführt wird, dort darf er den Schalter betätigen. Während dieser Prozedur
besteht ebenfalls keine Möglichkeit zur Kommunikation.
Sobald einer der Gefangenen dem Wächter sagt, dass bereits jeder Häftling
mindestens einmal in diesem Raum war und es stimmt, dann werden alle
entlassen, wenn es aber einer der Gefangenen behauptet und es nicht stimmt,
dann müssen alle für den Rest ihres Lebens im Gefängnis bleiben!
Welches ist die beste Gewinnstrategie für die Gefangenen?

Alle werden natürlich unendlich alt und sind gleich schlau.

Achja die Häftlinge haben natürlich _bevor_ sie weggesperrt werden die
Möglichkeit sich abzusprechen! 

Können die Gefangenen ihre Freilassung erreichen? Wenn ja, wie?

===Tipps===


===Lösungen===
[[Lösung1 von Gefangene und Glühbirne]]

[[Lösung2 von Gefangene und Glühbirne]]

[[Lösung3 von Gefangene und Glühbirne]]

[[Lösung4 von Gefangene und Glühbirne]]

[[Lösung5 von Gefangene und Glühbirne]]

===Suchbegriffe===
Gefangene, Glühbirne, Schalter, Information mit 1 bit

===Quellen===
[http://groups.google.com/group/de.sci.mathematik/browse_frm/thread/b1c84097895048f9 Newsgroup de.sci.mathematik, Thread vom 31.Okt 2002]

Spektrum der Wissenschaft, April 2003, S 108 und Juni 2003, S 110

[http://groups.google.com/group/de.rec.denksport/browse_frm/thread/39297a60b61aac1e Newsgroup de.rec.denksport, Thread vom 16.Juni 2003]


===ähnliche Aufgaben===


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    <text bytes="1919" xml:space="preserve">==Aufgabe (100 Gefangene und 1 Glühbirne)==

100 Gefangene werden zu lebenslänglicher Haft verurteilt. Sie erhalten
allerdings eine Chance diese Strafe zu mindern.
Die 100 Gefangenen werden in 100 Einzelzellen untergebracht, von denen aus
keine Möglichkeit besteht mit einem Mithäftling zu kommunizieren. Weiterhin
teilt der Wächter den Gefangenen mit, dass jeden Tag einer von ihnen (per
Zufall) ausgewählt wird, der in einen Raum mit einer Lampe und deren Schalter
geführt wird. Dort darf er den Schalter betätigen. Während dieser Prozedur
besteht ebenfalls keine Möglichkeit zur Kommunikation.

Sobald einer der Gefangenen dem Wächter sagt, dass bereits jeder Häftling
mindestens einmal in diesem Raum war und es stimmt, dann werden alle
entlassen. Wenn es aber einer der Gefangenen behauptet und es nicht stimmt,
dann müssen alle für den Rest ihres Lebens im Gefängnis bleiben!
Welches ist die beste Gewinnstrategie für die Gefangenen?

Alle werden natürlich unendlich alt und sind gleich schlau.

Achja, die Häftlinge haben, '''bevor''' sie weggesperrt werden, die
Möglichkeit, sich abzusprechen! 

Können die Gefangenen ihre Freilassung erreichen? Wenn ja, wie?

===Tipps===


===Lösungen===
[[Lösung1 von Gefangene und Glühbirne]]

[[Lösung2 von Gefangene und Glühbirne]]

[[Lösung3 von Gefangene und Glühbirne]]

[[Lösung4 von Gefangene und Glühbirne]]

[[Lösung5 von Gefangene und Glühbirne]]

===Suchbegriffe===
Gefangene, Glühbirne, Schalter, Information mit 1 bit

===Quellen===
[http://groups.google.com/group/de.sci.mathematik/browse_frm/thread/b1c84097895048f9 Newsgroup de.sci.mathematik, Thread vom 31.Okt 2002]

Spektrum der Wissenschaft, April 2003, S 108 und Juni 2003, S 110

[http://groups.google.com/group/de.rec.denksport/browse_frm/thread/39297a60b61aac1e Newsgroup de.rec.denksport, Thread vom 16.Juni 2003]


===ähnliche Aufgaben===


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Dies ist die Lösung 3 von Aufgabe [[Gefangene und Glühbirne]].

"Tage nummerieren, jeder zählt":

Jeder Gefangene erhält eine Nummer von 1 bis 100.
Die Tage werden von 1 bis 100 durchnummeriert, danach beginnt die Zählung wieder bei 1.
Jeder Häftling führt eine Strichliste mit Feldern von 1 bis 100.
Wenn am Tag i (i=1..100) der Häftling mit Nummer i (selbe Nummer!) in die Kammer geführt wird, dann schaltet er das Licht ein. Wenn ein Häftling mit anderer Nummer in die Kammer geführt wird, verläßt er den Raum mit ausgeschaltetem Licht.
Wer in die Kammer geführt wird, prüft zuerst, ob sein Vorgänger das Licht eingeschaltet hatte. Ist das der Fall, kann er auf seiner Strichliste den Häftling mit der Nummer des Vortages abhaken.

Derjenige, dessen Liste zuerst voll ist, spricht die befreienden Worte.

Schneller geht es, wenn jeder auch dann das Licht anschaltet, wenn er weiß, dass der Kollege mit der Nummer von heute bereits im Raum war.

Achtung: Diese Strategie setzt voraus, dass die Häftlinge die einzelnen Tage unterscheiden können.</text>
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  <title>Gefangene und Glühbirne, Lösung 4</title>
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    <text bytes="3125" xml:space="preserve">[[Kategorie:Denksport]]

Dies ist die Lösung 4 von Aufgabe [[Gefangene und Glühbirne]].

"Ein Zähler":

Bei der ersten Unterredung bestimmen die Häftlinge einen "Zähler". Alle anderen bemühen sich, vom Zähler genau einmal gezählt zu werden. Das geht folgendermaßen.

Wer selbst noch nie gezählt wurde und beim Betreten des Raumes die Glühbirne ausgeschaltet vorfindet, schaltet sie ein. Er kann sich damit als gezählt ansehen. Die Glühbirne bleibt eingeschaltet, bis nach einiger Zeit (zufällig) der "Zähler" wieder in die Kammer kommt. Er schaltet die Glühbirne aus und vermerkt für sich, dass ein Häftling, den er bisher noch nicht gezählt hatte, in der Kammer war.

Alle anderen lassen die Glühbirne unverändert.

Sobald der "Zähler" bis 99 gezählt hat, kann er verkünden, dass mit Sicherheit schon jeder einmal im Raum war.

Das Verfahren erfordert Geduld. Der Zähler muss mindestens 99 Mal das Zimmer aufsuchen. Da er im Mittel etwa alle 100 Tage ausgelost wird, dauert das etwa 100*99 Tage (etwas mehr als 27 Jahre). 

In Wahrheit dauert es noch länger, weil - besonders in der Endphase - nicht notwendigerweise zwischen zwei Besuchen des "Zählers" ein verbliebener Ungezählter den Raum betreten hat.


'''Verbesserung 1:'''

Schneller geht es, wenn der "Zähler" nicht bei der Besprechung direkt bestimmt wird. Stattdessen kann man übereinkommen, dass derjenige, der am 2. Tag in die Kammer geführt wird, automatisch die Funktion "Zähler" übernimmt.
Der Zähler betritt damit das Zimmer zum ersten Mal am 2. Tag anstatt sonst durchschnittlich am 50. Tag. Das erspart 48 Tage Wartezeit.


'''Verbesserung 2:'''

Noch schneller geht es, wenn die Funktion des Zählers demjenigen übertragen wird, der zuerst ein zweites Mal in die Kammer kommt. 

Dazu wird der Glühbirne in den ersten 100 Tagen eine andere Bedeutung zugeordnet:

# Der Häftling von Tag 1 schaltet die Glühbirne ein. Er betrachtet sich als gezählt.
# Jeder weitere Häftling, der die Glühbirne eingeschaltet vorfindet, betrachtet sich ebenfalls als gezählt. Er lässt die Glühbirne unverändert.
# Sobald ein Häftling zum zweiten Mal in den Raum kommt, schaltet er die Glühbirne aus. Er weiß, dass er der Zähler ist und kennt die Anzahl der Häftlinge, die sich schon als gezählt betrachten können, an Hand der Tagesnummer.
# Jeder weitere Häftling, der bis zum Tag 100 den Raum betritt, lässt die Glühbirne unverändert.
# Wer in den ersten 100 Tagen die Glühbirne einmal in eingeschaltetem Zustand gesehen hat, gilt als gezählt.

Ab Tag 101 beginnt das "übliche" Verfahren, wo jeder noch nicht gezählte durch Einschalten der Glühbirne signalisiert, dass er gezählt werden möchte.

Im Durchschnitt kommt nach etwa 13 Tagen ein Häftling zum zweiten Mal in die Kammer. Der Rest der ersten 100 Tage vergeht zwar ungenutzt, der Zähler hat sich durch diesen Trick aber ca. 12 Zählungen, also 1200 Tage, erspart.


'''Verbesserung 3:'''

Anstatt '''einer''' Vorlaufperiode von 100 Tagen (siehe Verbesserung 2) könnte man davon auch mehrere machen. 

Untersuchungen dazu wären hier noch zu ergänzen.</text>
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  <title>Parameterintegral mit Singularitaeten</title>
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Sei 

&lt;math&gt;F(\epsilon)=\int\limits_{r_1}^{r_2(\epsilon)}\frac{dr}{\sqrt{r(r-r_0(\epsilon))(r-r_1)(r-r_2(\epsilon))}}
&lt;/math&gt;,

wobei &lt;math&gt;0\leq r_0(\epsilon)&lt;r_1&lt;r_2(\epsilon)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_0\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;r_2\,&lt;/math&gt; differenzierbar bei &lt;math&gt;0\,&lt;/math&gt; und $r_0(0)=0$. Berechne F'(0)\,


===Tipps===
Zur Berechnung von  

===Lösung===
Bitte schreibe hier die Aufgabenlösung hin, falls dir diese schon bekannt ist. Ansonsten hoffe darauf, dass ein anderer Nutzer auch nach dieser Aufgabe sucht und dann, nachdem ihm die Lösung bekannt ist, diese hier reinschreibt.

===Suchbegriffe===
Gib hier verschiedene Begriffe ein, über welche die Aufgabe in der WikiMath-Suchmaschine gefunden werden soll.

===Quellen===
Hast du die Aufgabe einer bestimmten Quelle entnommen?
Dann gehört ein Verweis hierhin.

===ähnliche Aufgaben===
Gibt es auf WikiMath schon andere ähnliche Aufgaben, die mit dieser Aufgabe eng verwandt sind, aber nicht unbedingt zusammen auf einer Seite stehen sollten, dann verlinke hier zu diesen anderen Aufgaben.
!!!Dies ist auch sehr wichtig, damit keine Aufgaben verwaisen!!!
Genauso solltest Du auch Deine Aufgabe bei den anderen verlinken.

==Aufgabe 2 (weiterer Aufgabenname)==

===Tipps===

===Lösung===

===Suchbegriffe===

===Quellen===

===ähnliche Aufgaben===


Vergiss nicht deine Aufgabe einer/oder mehrerer Kategorien zuzuordnen!
Welche Kategorien bisher existieren, findest du auf den Spezialseiten unter [[Spezial:Categories|Seitenkategorien]]. Kategorienvorschläge sind auch schon auf der [[WikiMath|Hauptseite]] zu finden.

[[Kategorie:Beispielkategorie]]</text>
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Sei 

&lt;math&gt;F(\epsilon)=\int\limits_{r_1}^{r_2(\epsilon)}\frac{\sqrt{r_1r_2(\epsilon)}dr}{\sqrt{r(r-r_0(\epsilon))(r-r_1)(r-r_2(\epsilon))}}
&lt;/math&gt;,

wobei &lt;math&gt;0\leq r_0(\epsilon)&lt;r_1&lt;r_2(\epsilon)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_0\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;r_2\,&lt;/math&gt; differenzierbar bei &lt;math&gt;0\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;r_0(0)=0&lt;/math&gt;. Berechne &lt;math&gt;F'(0)\,&lt;/math&gt;.


===Tipps===
*&lt;math&gt;\int\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_1)(r_2-r)}}=\frac2{\sqrt{r_1r_2}}\arctan\sqrt{\frac{(r-r_1)r_2}{r_2-r)r_1}}&lt;/math&gt;
*Man transformiere affin auf feste Grenzen.

===Lösung===
Zunächst berechnen wir 

&lt;math&gt;F(0)=\sqrt{r_1r_2}\int\limits_{r_1}^{r_2}\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_1)(r-r_2)}}
=\sqrt{r_1r_2}\left.\frac2{\sqrt{r_1r_2}}\arctan\sqrt{\frac{(r-r_1)r_2}{(r_2-r)r_1}}\right|_{r_1}^{r_2}
=\pi.&lt;/math&gt;
===Suchbegriffe===
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===Quellen===
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===ähnliche Aufgaben===
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==Aufgabe 2 (weiterer Aufgabenname)==

===Tipps===

===Lösung===

===Suchbegriffe===

===Quellen===

===ähnliche Aufgaben===


Vergiss nicht deine Aufgabe einer/oder mehrerer Kategorien zuzuordnen!
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[[Kategorie:Beispielkategorie]]</text>
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Sei 

&lt;math&gt;F(\epsilon)=\int\limits_{r_1}^{r_2(\epsilon)}\frac{\sqrt{r_1r_2(\epsilon)}dr}{\sqrt{r(r-r_0(\epsilon))(r-r_1)(r_2(\epsilon)-r)}}
&lt;/math&gt;,

wobei &lt;math&gt;0\leq r_0(\epsilon)&lt;r_1&lt;r_2(\epsilon)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_0\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;r_2\,&lt;/math&gt; differenzierbar bei &lt;math&gt;0\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;r_0(0)=0&lt;/math&gt;. Berechne &lt;math&gt;F'(0)\,&lt;/math&gt;.


===Tipps===
*&lt;math&gt;\int\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_1)(r_2-r)}}=\frac2{\sqrt{r_1r_2}}\arctan\sqrt{\frac{(r-r_1)r_2}{r_2-r)r_1}}&lt;/math&gt;
*Man transformiere affin auf feste Grenzen.

===Lösung===
Zunächst berechnen wir 

&lt;math&gt;F(0)=\sqrt{r_1r_2}\int\limits_{r_1}^{r_2}\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_1)(r_2-r)}}
=\sqrt{r_1r_2}\left.\frac2{\sqrt{r_1r_2}}\arctan\sqrt{\frac{(r-r_1)r_2}{(r_2-r)r_1}}\right|_{r_1}^{r_2}
=\pi.&lt;/math&gt;

Der Integrand von &lt;math&gt;F(\epsilon)&lt;/math&gt; hat an den Rändern integrierbare Wurzelsingularitäten, ist also Integrierbar. Wir machen die Transformation &lt;math&gt;\rho=\frac{r-r_1}{r_2-r_1}&lt;/math&gt;, bzw. &lt;math&gt;r=r_1+(r_2-r_1){r}&lt;/math&gt;. Die Abhängigkeit von &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt; wird nicht geschrieben und &lt;math&gt;\Delta=r_2-r_1\,&lt;/math&gt; abgekürzt, damit es übersichtlicher bleibt.

&lt;math&gt;F(\epsilon)=\sqrt{r_1r_2}\,\Delta\int\limits_0^1\frac{d\rho}{\sqrt{(r_1+\Delta\rho)(\Delta\rho+(r_1-r_0))\Delta\rho(\Delta -\Delta \rho)}}
&lt;/math&gt;


===Suchbegriffe===
Gib hier verschiedene Begriffe ein, über welche die Aufgabe in der WikiMath-Suchmaschine gefunden werden soll.

===Quellen===
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Dann gehört ein Verweis hierhin.

===ähnliche Aufgaben===
Gibt es auf WikiMath schon andere ähnliche Aufgaben, die mit dieser Aufgabe eng verwandt sind, aber nicht unbedingt zusammen auf einer Seite stehen sollten, dann verlinke hier zu diesen anderen Aufgaben.
!!!Dies ist auch sehr wichtig, damit keine Aufgaben verwaisen!!!
Genauso solltest Du auch Deine Aufgabe bei den anderen verlinken.


[[Kategorie:Analysis]]</text>
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&lt;math&gt;F(\epsilon)=\int\limits_{r_1}^{r_2(\epsilon)}\frac{\sqrt{r_1r_2(\epsilon)}dr}{\sqrt{r(r-r_0(\epsilon))(r-r_1)(r_2(\epsilon)-r)}}
&lt;/math&gt;,

wobei &lt;math&gt;0\leq r_0(\epsilon)&lt;r_1&lt;r_2(\epsilon)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_0\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;r_2\,&lt;/math&gt; differenzierbar bei &lt;math&gt;0\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;r_0(0)=0&lt;/math&gt;. Berechne &lt;math&gt;F'(0)\,&lt;/math&gt;.


===Tipps===
*&lt;math&gt;\int\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_1)(r_2-r)}}=\frac2{\sqrt{r_1r_2}}\arctan\sqrt{\frac{(r-r_1)r_2}{r_2-r)r_1}}&lt;/math&gt;
*Man transformiere affin auf feste Grenzen.

===Lösung===
Zunächst berechnen wir 
:&lt;math&gt;F(0)=\sqrt{r_1r_2}\int\limits_{r_1}^{r_2}\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_1)(r_2-r)}}
=\sqrt{r_1r_2}\left.\frac2{\sqrt{r_1r_2}}\arctan\sqrt{\frac{(r-r_1)r_2}{(r_2-r)r_1}}\right|_{r_1}^{r_2}
=\pi.&lt;/math&gt;

Der Integrand von &lt;math&gt;F(\epsilon)&lt;/math&gt; hat an den Rändern integrierbare Wurzelsingularitäten, ist also Integrierbar. Wir machen die Transformation &lt;math&gt;\rho=\frac{r-r_1}{r_2-r_1}&lt;/math&gt;, bzw. &lt;math&gt;r=r_1+(r_2-r_1){r}&lt;/math&gt;. Die Abhängigkeit von &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt; wird nicht geschrieben und &lt;math&gt;\Delta=r_2-r_1\,&lt;/math&gt; abgekürzt, damit es übersichtlicher bleibt.
:&lt;math&gt;F(\epsilon)=\sqrt{r_1r_2}\,\Delta\int\limits_0^1\frac{d\rho}{\sqrt{(r_1+\Delta\rho) (\Delta\rho+(r_1-r_0))\Delta\rho(\Delta -\Delta \rho)}} =\frac{\sqrt{r_1r_2}}{\Delta}\int\limits_0^1\frac{d\rho}{\sqrt{(r_1+\Delta\rho) (\Delta\rho+(r_1-r_0))\rho(1 -\rho)}}.
&lt;/math&gt;

Die Ableitung des Integranden nach &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;,
:&lt;math&gt;\frac{d}{d\epsilon}\frac{1}{\sqrt{(r_1+\Delta\rho) (\Delta\rho+(r_1-r_0))\rho(1 -\rho)}}
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+(r_2'\rho-r_0')(r_1+\Delta\rho) \rho(1 -\rho)\right)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac1{2\sqrt{\text{--"--}}}\left(\frac{\rho r_2'}{(r_1+\Delta\rho}+\frac{r_2'\rho-r_0'}{\Delta\rho+(r_1-r_0)}\right)
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ist genauso integrierbar auf &lt;math&gt;[0,1]\,&lt;/math&gt; wie der Integrand selbst. Somit ist auch &lt;math&gt;F\,&lt;/math&gt; differenzierbar bei &lt;math&gt;0\,&lt;/math&gt;, mit
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===Suchbegriffe===
Gib hier verschiedene Begriffe ein, über welche die Aufgabe in der WikiMath-Suchmaschine gefunden werden soll.

===Quellen===
Hast du die Aufgabe einer bestimmten Quelle entnommen?
Dann gehört ein Verweis hierhin.

===ähnliche Aufgaben===
Gibt es auf WikiMath schon andere ähnliche Aufgaben, die mit dieser Aufgabe eng verwandt sind, aber nicht unbedingt zusammen auf einer Seite stehen sollten, dann verlinke hier zu diesen anderen Aufgaben.
!!!Dies ist auch sehr wichtig, damit keine Aufgaben verwaisen!!!
Genauso solltest Du auch Deine Aufgabe bei den anderen verlinken.


[[Kategorie:Analysis]]</text>
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Sei 

&lt;math&gt;F(\epsilon)=\int\limits_{r_1}^{r_2(\epsilon)}\frac{\sqrt{r_1r_2(\epsilon)}dr}{\sqrt{r(r-r_0(\epsilon))(r-r_1)(r_2(\epsilon)-r)}}
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wobei &lt;math&gt;0\leq r_0(\epsilon)&lt;r_1&lt;r_2(\epsilon)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_0\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;r_2\,&lt;/math&gt; differenzierbar bei &lt;math&gt;0\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;r_0(0)=0&lt;/math&gt;. Berechne &lt;math&gt;F'(0)\,&lt;/math&gt;.


===Tipps===
*&lt;math&gt;\int\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_1)(r_2-r)}}=\frac2{\sqrt{r_1r_2}}\arctan\sqrt{\frac{(r-r_1)r_2}{r_2-r)r_1}}&lt;/math&gt;
*Man transformiere affin auf feste Grenzen.

===Lösung===
Zunächst berechnen wir 
:&lt;math&gt;F(0)=\sqrt{r_1r_2}\int\limits_{r_1}^{r_2}\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_1)(r_2-r)}}
=2\arctan\sqrt{\frac{(r-r_1)r_2}{(r_2-r)r_1}}\right|_{r_1}^{r_2}
=\pi.&lt;/math&gt;

Der Integrand von &lt;math&gt;F(\epsilon)&lt;/math&gt; hat an den Rändern integrierbare Wurzelsingularitäten, ist also Integrierbar. Wir machen die Transformation &lt;math&gt;\rho=\frac{r-r_1}{r_2-r_1}&lt;/math&gt;, bzw. &lt;math&gt;r=r_1+(r_2-r_1){r}&lt;/math&gt;. Die Abhängigkeit von &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt; wird nicht geschrieben und &lt;math&gt;\Delta=r_2-r_1\,&lt;/math&gt; abgekürzt, damit es übersichtlicher bleibt.
:&lt;math&gt;F(\epsilon)=\sqrt{r_1r_2}\,\Delta\int\limits_0^1\frac{d\rho}{\sqrt{(r_1+\Delta\rho) (\Delta\rho+(r_1-r_0))\Delta\rho(\Delta -\Delta \rho)}} =\frac{\sqrt{r_1r_2}}{\Delta}\int\limits_0^1\frac{d\rho}{\sqrt{(r_1+\Delta\rho) (\Delta\rho+(r_1-r_0))\rho(1 -\rho)}}.
&lt;/math&gt;

Die Ableitung des Integranden nach &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;,
:&lt;math&gt;\frac{d}{d\epsilon}\frac{1}{\sqrt{(r_1+\Delta\rho) (\Delta\rho+(r_1-r_0))\rho(1 -\rho)}}
=\frac1{2\sqrt{\text{--"--}}^3}\left(r_2'\rho(\Delta\rho+(r_1-r_0))\rho(1 -\rho)
+(r_2'\rho-r_0')(r_1+\Delta\rho) \rho(1 -\rho)\right)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac1{2\sqrt{\text{--"--}}}\left(\frac{\rho r_2'}{(r_1+\Delta\rho}+\frac{r_2'\rho-r_0'}{\Delta\rho+(r_1-r_0)}\right)
=\frac{1}{2\sqrt{(r_1+\Delta\rho) (\Delta\rho+(r_1-r_0))\rho(1 -\rho)}}
\left(\frac{\rho r_2'}{(r_1+\Delta\rho}+\frac{r_2'\rho-r_0'}{r_1+\Delta\rho-r_0}\right),&lt;/math&gt;
ist genauso integrierbar auf &lt;math&gt;[0,1]\,&lt;/math&gt; wie der Integrand selbst. Somit ist auch &lt;math&gt;F\,&lt;/math&gt; differenzierbar bei &lt;math&gt;0\,&lt;/math&gt;, mit
:&lt;math&gt;F'(0)=\left(\frac{\sqrt{r_1}r_2'}{2(r_2-r_1)\sqrt{r_2}}-\frac{\sqrt{r_1r_2}r_2'}{(r_2-r_1)^2}\right)F(0) +\frac{\sqrt{r_1r_2}}{r_2-r_1}\int\limits_0^1\frac{(2r_2'\rho-r_0')d\rho}
{(r_1(1-\rho)+r_2\rho)^2\sqrt{\rho(1-\rho)}}.&lt;/math&gt;

===Suchbegriffe===
Gib hier verschiedene Begriffe ein, über welche die Aufgabe in der WikiMath-Suchmaschine gefunden werden soll.

===Quellen===
Hast du die Aufgabe einer bestimmten Quelle entnommen?
Dann gehört ein Verweis hierhin.

===ähnliche Aufgaben===
Gibt es auf WikiMath schon andere ähnliche Aufgaben, die mit dieser Aufgabe eng verwandt sind, aber nicht unbedingt zusammen auf einer Seite stehen sollten, dann verlinke hier zu diesen anderen Aufgaben.
!!!Dies ist auch sehr wichtig, damit keine Aufgaben verwaisen!!!
Genauso solltest Du auch Deine Aufgabe bei den anderen verlinken.


[[Kategorie:Analysis]]</text>
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&lt;math&gt;F(\epsilon)=\int\limits_{r_1}^{r_2(\epsilon)}\frac{\sqrt{r_1r_2(\epsilon)}dr}{\sqrt{r(r-r_0(\epsilon))(r-r_1)(r_2(\epsilon)-r)}}
&lt;/math&gt;,

wobei &lt;math&gt;0\leq r_0(\epsilon)&lt;r_1&lt;r_2(\epsilon)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_0\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;r_2\,&lt;/math&gt; differenzierbar bei &lt;math&gt;0\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;r_0(0)=0&lt;/math&gt;. Berechne &lt;math&gt;F'(0)\,&lt;/math&gt;.


===Tipps===
*&lt;math&gt;\int\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_1)(r_2-r)}}=\frac2{\sqrt{r_1r_2}}\arctan\sqrt{\frac{(r-r_1)r_2}{r_2-r)r_1}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_1&lt;r&lt;r_2\,&lt;/math&gt;
*&lt;math&gt;\int\frac{dr}{r^2\sqrt{(r-r_1)(r_2-r)}}=\frac{\sqrt{(r-r_1)(r_2-r)}}{r_1r_2r}+\frac{r_1+r_2}{(r_1r_2)^{3/2}} \arctan\sqrt{\frac{(r-r_1)r_2}{r_2-r)r_1}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_1&lt;r&lt;r_2\,&lt;/math&gt;
*Man transformiere affin auf feste Grenzen.

===Lösung===
Zunächst berechnen wir 
:&lt;math&gt;F(0)=\sqrt{r_1r_2}\int\limits_{r_1}^{r_2}\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_1)(r_2-r)}} =\left.2\arctan\sqrt{\frac{(r-r_1)r_2}{(r_2-r)r_1}}\right|_{r_1}^{r_2}=\pi.&lt;/math&gt;

Der Integrand von &lt;math&gt;F(\epsilon)&lt;/math&gt; hat an den Rändern integrierbare Wurzelsingularitäten, ist also Integrierbar. Wir machen die Transformation &lt;math&gt;\rho=\frac{r-r_1}{r_2-r_1}&lt;/math&gt;, bzw. &lt;math&gt;r=r_1+(r_2-r_1){r}&lt;/math&gt;. Die Abhängigkeit von &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt; wird nicht geschrieben und &lt;math&gt;\Delta=r_2-r_1\,&lt;/math&gt; abgekürzt, damit es übersichtlicher bleibt.
:&lt;math&gt;F(\epsilon)=\sqrt{r_1r_2}\,\Delta\int\limits_0^1\frac{d\rho}{\sqrt{(r_1+\Delta\rho) (\Delta\rho+(r_1-r_0))\Delta\rho(\Delta -\Delta \rho)}} =\frac{\sqrt{r_1r_2}}{\Delta}\int\limits_0^1\frac{d\rho}{\sqrt{(r_1+\Delta\rho) (\Delta\rho+(r_1-r_0))\rho(1 -\rho)}}.
&lt;/math&gt;

Die Ableitung des Integranden nach &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;,
:&lt;math&gt;\frac{d}{d\epsilon}\frac{1}{\sqrt{(r_1+\Delta\rho) (\Delta\rho+(r_1-r_0))\rho(1 -\rho)}}
=\frac1{2\sqrt{\text{--"--}}^3}\left(r_2'\rho(\Delta\rho+(r_1-r_0))\rho(1 -\rho)
+(r_2'\rho-r_0')(r_1+\Delta\rho) \rho(1 -\rho)\right)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac1{2\sqrt{\text{--"--}}}\left(\frac{\rho r_2'}{(r_1+\Delta\rho}+\frac{r_2'\rho-r_0'}{\Delta\rho+(r_1-r_0)}\right)
=\frac{1}{2\sqrt{(r_1+\Delta\rho) (\Delta\rho+(r_1-r_0))\rho(1 -\rho)}}
\left(\frac{\rho r_2'}{(r_1+\Delta\rho}+\frac{r_2'\rho-r_0'}{r_1+\Delta\rho-r_0}\right),&lt;/math&gt;
ist genauso integrierbar auf &lt;math&gt;[0,1]\,&lt;/math&gt; wie der Integrand selbst. Somit ist &lt;math&gt;F\,&lt;/math&gt; differenzierbar bei &lt;math&gt;0\,&lt;/math&gt;, mit
:&lt;math&gt;F'(0)=\left(\frac{\sqrt{r_1}r_2'}{2\Delta\sqrt{r_2}}-\frac{\sqrt{r_1r_2}r_2'}{\Delta^2}\right)F(0) + \frac{\sqrt{r_1r_2}}{\Delta}\int\limits_0^1\frac{(2r_2'\rho-r_0')d\rho}
{(r_1(1-\rho)+r_2\rho)^2\sqrt{\rho(1-\rho)}}.&lt;/math&gt;

Das schaut recht kompliziert aus.  Rücktransformation beim zweiten Term ergibt jedoch
:&lt;math&gt;F'(0)=\frac{\sqrt{r_1}(\Delta r_2'-2r_2r_2')}{2\Delta^2\sqrt{r_2}}&lt;/math&gt;
===Suchbegriffe===
Gib hier verschiedene Begriffe ein, über welche die Aufgabe in der WikiMath-Suchmaschine gefunden werden soll.

===Quellen===
Hast du die Aufgabe einer bestimmten Quelle entnommen?
Dann gehört ein Verweis hierhin.

===ähnliche Aufgaben===
Gibt es auf WikiMath schon andere ähnliche Aufgaben, die mit dieser Aufgabe eng verwandt sind, aber nicht unbedingt zusammen auf einer Seite stehen sollten, dann verlinke hier zu diesen anderen Aufgaben.
!!!Dies ist auch sehr wichtig, damit keine Aufgaben verwaisen!!!
Genauso solltest Du auch Deine Aufgabe bei den anderen verlinken.


[[Kategorie:Analysis]]</text>
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    <comment>/* Lösung */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="3518" xml:space="preserve">==Parameterintegral mit Singularitäten==
Sei 

&lt;math&gt;F(\epsilon)=\int\limits_{r_1}^{r_2(\epsilon)}\frac{\sqrt{r_1r_2(\epsilon)}dr}{\sqrt{r(r-r_0(\epsilon))(r-r_1)(r_2(\epsilon)-r)}}
&lt;/math&gt;,

wobei &lt;math&gt;0\leq r_0(\epsilon)&lt;r_1&lt;r_2(\epsilon)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_0\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;r_2\,&lt;/math&gt; differenzierbar bei &lt;math&gt;0\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;r_0(0)=0&lt;/math&gt;. Berechne &lt;math&gt;F'(0)\,&lt;/math&gt;.


===Tipps===
*&lt;math&gt;\int\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_1)(r_2-r)}}=\frac2{\sqrt{r_1r_2}}\arctan\sqrt{\frac{(r-r_1)r_2}{r_2-r)r_1}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_1&lt;r&lt;r_2\,&lt;/math&gt;
*&lt;math&gt;\int\frac{dr}{r^2\sqrt{(r-r_1)(r_2-r)}}=\frac{\sqrt{(r-r_1)(r_2-r)}}{r_1r_2r}+\frac{r_1+r_2}{(r_1r_2)^{3/2}} \arctan\sqrt{\frac{(r-r_1)r_2}{r_2-r)r_1}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_1&lt;r&lt;r_2\,&lt;/math&gt;
*Man transformiere affin auf feste Grenzen.

===Lösung===
Zunächst berechnen wir 
:&lt;math&gt;F(0)=\sqrt{r_1r_2}\int\limits_{r_1}^{r_2}\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_1)(r_2-r)}} =\left.2\arctan\sqrt{\frac{(r-r_1)r_2}{(r_2-r)r_1}}\right|_{r_1}^{r_2}=\pi.&lt;/math&gt;

Der Integrand von &lt;math&gt;F(\epsilon)&lt;/math&gt; hat an den Rändern integrierbare Wurzelsingularitäten, ist also Integrierbar. Wir machen die Transformation &lt;math&gt;\rho=\frac{r-r_1}{r_2-r_1}&lt;/math&gt;, bzw. &lt;math&gt;r=r_1+(r_2-r_1){r}&lt;/math&gt;. Die Abhängigkeit von &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt; wird nicht geschrieben und &lt;math&gt;\Delta=r_2-r_1\,&lt;/math&gt; abgekürzt, damit es übersichtlicher bleibt.
:&lt;math&gt;F(\epsilon)=\sqrt{r_1r_2}\,\Delta\int\limits_0^1\frac{d\rho}{\sqrt{(r_1+\Delta\rho) (\Delta\rho+(r_1-r_0))\Delta\rho(\Delta -\Delta \rho)}} =\frac{\sqrt{r_1r_2}}{\Delta}\int\limits_0^1\frac{d\rho}{\sqrt{(r_1+\Delta\rho) (\Delta\rho+(r_1-r_0))\rho(1 -\rho)}}.
&lt;/math&gt;

Die Ableitung des Integranden nach &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;,
:&lt;math&gt;\frac{d}{d\epsilon}\frac{1}{\sqrt{(r_1+\Delta\rho) (\Delta\rho+(r_1-r_0))\rho(1 -\rho)}}
=\frac1{2\sqrt{\text{--"--}}^3}\left(r_2'\rho(\Delta\rho+(r_1-r_0))\rho(1 -\rho)
+(r_2'\rho-r_0')(r_1+\Delta\rho) \rho(1 -\rho)\right)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac1{2\sqrt{\text{--"--}}}\left(\frac{\rho r_2'}{(r_1+\Delta\rho}+\frac{r_2'\rho-r_0'}{\Delta\rho+(r_1-r_0)}\right)
=\frac{1}{2\sqrt{(r_1+\Delta\rho) (\Delta\rho+(r_1-r_0))\rho(1 -\rho)}}
\left(\frac{\rho r_2'}{(r_1+\Delta\rho}+\frac{r_2'\rho-r_0'}{r_1+\Delta\rho-r_0}\right),&lt;/math&gt;
ist genauso integrierbar auf &lt;math&gt;[0,1]\,&lt;/math&gt; wie der Integrand selbst. Somit ist &lt;math&gt;F\,&lt;/math&gt; differenzierbar bei &lt;math&gt;0\,&lt;/math&gt;, mit
:&lt;math&gt;F'(0)=\left(\frac{\sqrt{r_1}r_2'}{2\Delta\sqrt{r_2}}-\frac{\sqrt{r_1r_2}r_2'}{\Delta^2}\right)F(0) + \frac{\sqrt{r_1r_2}}{\Delta}\int\limits_0^1\frac{(2r_2'\rho-r_0')d\rho}
{(r_1(1-\rho)+r_2\rho)^2\sqrt{\rho(1-\rho)}}.&lt;/math&gt;

Das schaut recht kompliziert aus.  Rücktransformation beim zweiten Term ergibt jedoch
:&lt;math&gt;F'(0)=\frac{\sqrt{r_1}(\Delta-2r_2)r_2'}{2\Delta^2\sqrt{r_2}}F(0)+\sqrt{r_1r_2}\int\limits_{r_1}^{r_2} \frac{\left(2r_2'\frac{r-r_1}{\Delta}-r_0'\right)dr}{r^2\sqrt{(r-r_1)(r_2-r)}}&lt;/math&gt;

===Suchbegriffe===
Gib hier verschiedene Begriffe ein, über welche die Aufgabe in der WikiMath-Suchmaschine gefunden werden soll.

===Quellen===
Hast du die Aufgabe einer bestimmten Quelle entnommen?
Dann gehört ein Verweis hierhin.

===ähnliche Aufgaben===
Gibt es auf WikiMath schon andere ähnliche Aufgaben, die mit dieser Aufgabe eng verwandt sind, aber nicht unbedingt zusammen auf einer Seite stehen sollten, dann verlinke hier zu diesen anderen Aufgaben.
!!!Dies ist auch sehr wichtig, damit keine Aufgaben verwaisen!!!
Genauso solltest Du auch Deine Aufgabe bei den anderen verlinken.


[[Kategorie:Analysis]]</text>
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    <comment>/* Lösung */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="3717" xml:space="preserve">==Parameterintegral mit Singularitäten==
Sei 

&lt;math&gt;F(\epsilon)=\int\limits_{r_1}^{r_2(\epsilon)}\frac{\sqrt{r_1r_2(\epsilon)}dr}{\sqrt{r(r-r_0(\epsilon))(r-r_1)(r_2(\epsilon)-r)}}
&lt;/math&gt;,

wobei &lt;math&gt;0\leq r_0(\epsilon)&lt;r_1&lt;r_2(\epsilon)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_0\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;r_2\,&lt;/math&gt; differenzierbar bei &lt;math&gt;0\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;r_0(0)=0&lt;/math&gt;. Berechne &lt;math&gt;F'(0)\,&lt;/math&gt;.


===Tipps===
*&lt;math&gt;\int\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_1)(r_2-r)}}=\frac2{\sqrt{r_1r_2}}\arctan\sqrt{\frac{(r-r_1)r_2}{r_2-r)r_1}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_1&lt;r&lt;r_2\,&lt;/math&gt;
*&lt;math&gt;\int\frac{dr}{r^2\sqrt{(r-r_1)(r_2-r)}}=\frac{\sqrt{(r-r_1)(r_2-r)}}{r_1r_2r}+\frac{r_1+r_2}{(r_1r_2)^{3/2}} \arctan\sqrt{\frac{(r-r_1)r_2}{r_2-r)r_1}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_1&lt;r&lt;r_2\,&lt;/math&gt;
*Man transformiere affin auf feste Grenzen.

===Lösung===
Zunächst berechnen wir 
:&lt;math&gt;F(0)=\sqrt{r_1r_2}\int\limits_{r_1}^{r_2}\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_1)(r_2-r)}} =\left.2\arctan\sqrt{\frac{(r-r_1)r_2}{(r_2-r)r_1}}\right|_{r_1}^{r_2}=\pi.&lt;/math&gt;

Der Integrand von &lt;math&gt;F(\epsilon)&lt;/math&gt; hat an den Rändern integrierbare Wurzelsingularitäten, ist also Integrierbar. Wir machen die Transformation &lt;math&gt;\rho=\frac{r-r_1}{r_2-r_1}&lt;/math&gt;, bzw. &lt;math&gt;r=r_1+(r_2-r_1){r}&lt;/math&gt;. Die Abhängigkeit von &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt; wird nicht geschrieben und &lt;math&gt;\Delta=r_2-r_1\,&lt;/math&gt; abgekürzt, damit es übersichtlicher bleibt.
:&lt;math&gt;F(\epsilon)=\sqrt{r_1r_2}\,\Delta\int\limits_0^1\frac{d\rho}{\sqrt{(r_1+\Delta\rho) (\Delta\rho+(r_1-r_0))\Delta\rho(\Delta -\Delta \rho)}} =\frac{\sqrt{r_1r_2}}{\Delta}\int\limits_0^1\frac{d\rho}{\sqrt{(r_1+\Delta\rho) (\Delta\rho+(r_1-r_0))\rho(1 -\rho)}}.
&lt;/math&gt;

Die Ableitung des Integranden nach &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;,
:&lt;math&gt;\frac{d}{d\epsilon}\frac{1}{\sqrt{(r_1+\Delta\rho) (\Delta\rho+(r_1-r_0))\rho(1 -\rho)}}
=\frac1{2\sqrt{\text{--"--}}^3}\left(r_2'\rho(\Delta\rho+(r_1-r_0))\rho(1 -\rho)
+(r_2'\rho-r_0')(r_1+\Delta\rho) \rho(1 -\rho)\right)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac1{2\sqrt{\text{--"--}}}\left(\frac{\rho r_2'}{(r_1+\Delta\rho}+\frac{r_2'\rho-r_0'}{\Delta\rho+(r_1-r_0)}\right)
=\frac{1}{2\sqrt{(r_1+\Delta\rho) (\Delta\rho+(r_1-r_0))\rho(1 -\rho)}}
\left(\frac{\rho r_2'}{(r_1+\Delta\rho}+\frac{r_2'\rho-r_0'}{r_1+\Delta\rho-r_0}\right),&lt;/math&gt;
ist genauso integrierbar auf &lt;math&gt;[0,1]\,&lt;/math&gt; wie der Integrand selbst. Somit ist &lt;math&gt;F\,&lt;/math&gt; differenzierbar bei &lt;math&gt;0\,&lt;/math&gt;, mit
:&lt;math&gt;F'(0)=\left(\frac{\sqrt{r_1}r_2'}{2\Delta\sqrt{r_2}}-\frac{\sqrt{r_1r_2}r_2'}{\Delta^2}\right)
\frac{F(0)}{\sqrt{r_1r_2}} + \frac{\sqrt{r_1r_2}}{\Delta}\int\limits_0^1\frac{(2r_2'\rho-r_0')d\rho}
{(r_1(1-\rho)+r_2\rho)^2\sqrt{\rho(1-\rho)}}.&lt;/math&gt;

Das schaut recht kompliziert aus.  Rücktransformation beim zweiten Term ergibt jedoch
:&lt;math&gt;F'(0)=\frac{(\Delta-2r_2)r_2'}{2\Delta^2r_2}F(0)+\sqrt{r_1r_2}\int\limits_{r_1}^{r_2} \frac{\left(2r_2'\frac{r-r_1}{\Delta}-r_0'\right)dr}{r^2\sqrt{(r-r_1)(r_2-r)}}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\left(-\frac{(r_1+r_2)r_2'}{2\Delta^2r_2}+2\frac{r_2'}{\Delta}\right)F(0) -\sqrt{r_1r_2}(2\frac{r_2'r_1}{\Delta}+r_0')\int\limits_{r_1}^{r_2}\frac{dr}{r^2\sqrt{(r-r_1)(r_2-r)}}&lt;/math&gt;

===Suchbegriffe===
Gib hier verschiedene Begriffe ein, über welche die Aufgabe in der WikiMath-Suchmaschine gefunden werden soll.

===Quellen===
Hast du die Aufgabe einer bestimmten Quelle entnommen?
Dann gehört ein Verweis hierhin.

===ähnliche Aufgaben===
Gibt es auf WikiMath schon andere ähnliche Aufgaben, die mit dieser Aufgabe eng verwandt sind, aber nicht unbedingt zusammen auf einer Seite stehen sollten, dann verlinke hier zu diesen anderen Aufgaben.
!!!Dies ist auch sehr wichtig, damit keine Aufgaben verwaisen!!!
Genauso solltest Du auch Deine Aufgabe bei den anderen verlinken.


[[Kategorie:Analysis]]</text>
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      <username>Mpraehofer</username>
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    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="3975" xml:space="preserve">==Parameterintegral mit Singularitäten==
Sei 

&lt;math&gt;F(\epsilon)=\int\limits_{r_1}^{r_2(\epsilon)}\frac{\sqrt{r_1r_2(\epsilon)}dr}{\sqrt{r(r-r_0(\epsilon))(r-r_1)(r_2(\epsilon)-r)}}
&lt;/math&gt;,

wobei &lt;math&gt;0\leq r_0(\epsilon)&lt;r_1&lt;r_2(\epsilon)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_0\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;r_2\,&lt;/math&gt; differenzierbar bei &lt;math&gt;0\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;r_0(0)=0&lt;/math&gt;. Berechne &lt;math&gt;F'(0)\,&lt;/math&gt;.


===Tipps===
*&lt;math&gt;\int\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_1)(r_2-r)}}=\frac2{\sqrt{r_1r_2}}\arctan\sqrt{\frac{(r-r_1)r_2}{r_2-r)r_1}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_1&lt;r&lt;r_2\,&lt;/math&gt;
*&lt;math&gt;\int\frac{dr}{r^2\sqrt{(r-r_1)(r_2-r)}}=\frac{\sqrt{(r-r_1)(r_2-r)}}{r_1r_2r}+\frac{r_1+r_2}{(r_1r_2)^{3/2}} \arctan\sqrt{\frac{(r-r_1)r_2}{r_2-r)r_1}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_1&lt;r&lt;r_2\,&lt;/math&gt;
*Man transformiere affin auf feste Grenzen.

===Lösung===
Zunächst berechnen wir 
:&lt;math&gt;F(0)=\sqrt{r_1r_2}\int\limits_{r_1}^{r_2}\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_1)(r_2-r)}} =\left.2\arctan\sqrt{\frac{(r-r_1)r_2}{(r_2-r)r_1}}\right|_{r_1}^{r_2}=\pi.&lt;/math&gt;

Der Integrand von &lt;math&gt;F(\epsilon)&lt;/math&gt; hat an den Rändern integrierbare Wurzelsingularitäten, ist also Integrierbar. Wir machen die Transformation &lt;math&gt;\rho=\frac{r-r_1}{r_2-r_1}&lt;/math&gt;, bzw. &lt;math&gt;r=r_1+(r_2-r_1)\rho&lt;/math&gt;. Die Abhängigkeit von &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt; wird nicht geschrieben und &lt;math&gt;\Delta=r_2-r_1\,&lt;/math&gt; abgekürzt, damit es übersichtlicher bleibt.
:&lt;math&gt;F(\epsilon)=\sqrt{r_1r_2}\,\Delta\int\limits_0^1\frac{d\rho}{\sqrt{(r_1+\Delta\rho) (\Delta\rho+(r_1-r_0))\Delta\rho(\Delta -\Delta \rho)}} =\frac{\sqrt{r_1r_2}}{\Delta}\int\limits_0^1\frac{d\rho}{\sqrt{(r_1+\Delta\rho) (\Delta\rho+(r_1-r_0))\rho(1 -\rho)}}.
&lt;/math&gt;

Die Ableitung des Integranden nach &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;,
:&lt;math&gt;\frac{d}{d\epsilon}\frac{1}{\sqrt{(r_1+\Delta\rho) (\Delta\rho+(r_1-r_0))\rho(1 -\rho)}}
=\frac1{2\sqrt{\text{--"--}}^3}\left(r_2'\rho(\Delta\rho+(r_1-r_0))\rho(1 -\rho)
+(r_2'\rho-r_0')(r_1+\Delta\rho) \rho(1 -\rho)\right)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac1{2\sqrt{\text{--"--}}}\left(\frac{\rho r_2'}{(r_1+\Delta\rho}+\frac{r_2'\rho-r_0'}{\Delta\rho+(r_1-r_0)}\right)
=\frac{1}{2\sqrt{(r_1+\Delta\rho) (\Delta\rho+(r_1-r_0))\rho(1 -\rho)}}
\left(\frac{\rho r_2'}{(r_1+\Delta\rho}+\frac{r_2'\rho-r_0'}{r_1+\Delta\rho-r_0}\right),&lt;/math&gt;
ist genauso integrierbar auf &lt;math&gt;[0,1]\,&lt;/math&gt; wie der Integrand selbst. Somit ist &lt;math&gt;F\,&lt;/math&gt; differenzierbar bei &lt;math&gt;0\,&lt;/math&gt;, mit
:&lt;math&gt;F'(0)=\left(\frac{\sqrt{r_1}r_2'}{2\Delta\sqrt{r_2}}-\frac{\sqrt{r_1r_2}r_2'}{\Delta^2}\right)
\int\limits_0^1\frac{d\rho}
{(r_1(1-\rho)+r_2\rho)\sqrt{\rho(1-\rho)}}+ \frac{\sqrt{r_1r_2}}{\Delta} \int\limits_0^1\frac{(2r_2'\rho-r_0')d\rho}
{(r_1(1-\rho)+r_2\rho)^2\sqrt{\rho(1-\rho)}}.&lt;/math&gt;

Das schaut recht kompliziert aus.  Rücktransformation auf &lt;math&gt;r\,&lt;/math&gt; ergibt jedoch
:&lt;math&gt;F'(0)=\frac{\sqrt{r_1r_2}(\Delta-2r_2)r_2'}{2\Delta^2r_2}\frac{\Delta} {\sqrt{r_1r_2}}F(0)+\sqrt{r_1r_2}\int\limits_{r_1}^{r_2} \frac{\left(2r_2'\frac{r-r_1}{\Delta}-r_0'\right)dr}{r^2\sqrt{(r-r_1)(r_2-r)}}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\left(-\frac{(r_1+r_2)r_2'}{2\Delta^2r_2}+\frac{2r_2'}{\Delta}\right)F(0) -\sqrt{r_1r_2}\left(\frac{2r_2'r_1}{\Delta}+r_0'\right)\int\limits_{r_1}^{r_2}\frac{dr}{r^2\sqrt{(r-r_1)(r_2-r)}}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\left(-\frac{(r_1+r_2)r_2'}{2\Delta^2r_2}+\frac{2r_2'}{\Delta}\right)\pi -\left(\frac{2r_2'r_1}{\Delta}+r_0'\right)\frac{r_1+r_2}{r_1r_2}\pi&lt;/math&gt;

===Suchbegriffe===
Gib hier verschiedene Begriffe ein, über welche die Aufgabe in der WikiMath-Suchmaschine gefunden werden soll.

===Quellen===
Hast du die Aufgabe einer bestimmten Quelle entnommen?
Dann gehört ein Verweis hierhin.

===ähnliche Aufgaben===
Gibt es auf WikiMath schon andere ähnliche Aufgaben, die mit dieser Aufgabe eng verwandt sind, aber nicht unbedingt zusammen auf einer Seite stehen sollten, dann verlinke hier zu diesen anderen Aufgaben.
!!!Dies ist auch sehr wichtig, damit keine Aufgaben verwaisen!!!
Genauso solltest Du auch Deine Aufgabe bei den anderen verlinken.


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Sei 

&lt;math&gt;F(\epsilon)=\int\limits_{r_1}^{r_2(\epsilon)}\frac{\sqrt{r_1r_2(\epsilon)}dr}{\sqrt{r(r-r_0(\epsilon))(r-r_1)(r_2(\epsilon)-r)}}
&lt;/math&gt;,

wobei &lt;math&gt;0\leq r_0(\epsilon)&lt;r_1&lt;r_2(\epsilon)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_0\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;r_2\,&lt;/math&gt; differenzierbar bei &lt;math&gt;0\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;r_0(0)=0&lt;/math&gt;. Berechne &lt;math&gt;F'(0)\,&lt;/math&gt;.


===Tipps===
*&lt;math&gt;\int\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_1)(r_2-r)}}=\frac2{\sqrt{r_1r_2}}\arctan\sqrt{\frac{(r-r_1)r_2}{r_2-r)r_1}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_1&lt;r&lt;r_2\,&lt;/math&gt;
*&lt;math&gt;\int\frac{dr}{r^2\sqrt{(r-r_1)(r_2-r)}}=\frac{\sqrt{(r-r_1)(r_2-r)}}{r_1r_2r}+\frac{r_1+r_2}{(r_1r_2)^{3/2}} \arctan\sqrt{\frac{(r-r_1)r_2}{r_2-r)r_1}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_1&lt;r&lt;r_2\,&lt;/math&gt;
*Man transformiere affin auf feste Grenzen.

===Lösung===
Zunächst berechnen wir 
:&lt;math&gt;F(0)=\sqrt{r_1r_2}\int\limits_{r_1}^{r_2}\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_1)(r_2-r)}} =\left.2\arctan\sqrt{\frac{(r-r_1)r_2}{(r_2-r)r_1}}\right|_{r_1}^{r_2}=\pi.&lt;/math&gt;

Der Integrand von &lt;math&gt;F(\epsilon)&lt;/math&gt; hat an den Rändern integrierbare Wurzelsingularitäten, ist also Integrierbar. Wir machen die Transformation &lt;math&gt;\rho=\frac{r-r_1}{r_2-r_1}&lt;/math&gt;, bzw. &lt;math&gt;r=r_1+(r_2-r_1)\rho&lt;/math&gt;. Die Abhängigkeit von &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt; wird nicht geschrieben und &lt;math&gt;\Delta=r_2-r_1\,&lt;/math&gt; abgekürzt, damit es übersichtlicher bleibt.
:&lt;math&gt;F(\epsilon)=\sqrt{r_1r_2}\,\Delta\int\limits_0^1\frac{d\rho}{\sqrt{(r_1+\Delta\rho) (\Delta\rho+(r_1-r_0))\Delta\rho(\Delta -\Delta \rho)}} ={\sqrt{r_1r_2}}\int\limits_0^1\frac{d\rho}{\sqrt{(r_1+\Delta\rho) (\Delta\rho+(r_1-r_0))\rho(1 -\rho)}}.
&lt;/math&gt;

Die Ableitung des Integranden nach &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;,
:&lt;math&gt;\frac{d}{d\epsilon}\frac{1}{\sqrt{(r_1+\Delta\rho) (\Delta\rho+(r_1-r_0))\rho(1 -\rho)}}
=\frac1{2\sqrt{\text{--"--}}^3}\left(r_2'\rho(\Delta\rho+(r_1-r_0))\rho(1 -\rho)
+(r_2'\rho-r_0')(r_1+\Delta\rho) \rho(1 -\rho)\right)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac1{2\sqrt{\text{--"--}}}\left(\frac{\rho r_2'}{(r_1+\Delta\rho}+\frac{r_2'\rho-r_0'}{\Delta\rho+(r_1-r_0)}\right)
=\frac{1}{2\sqrt{(r_1+\Delta\rho) (\Delta\rho+(r_1-r_0))\rho(1 -\rho)}}
\left(\frac{\rho r_2'}{(r_1+\Delta\rho}+\frac{r_2'\rho-r_0'}{r_1+\Delta\rho-r_0}\right),&lt;/math&gt;
ist genauso integrierbar auf &lt;math&gt;[0,1]\,&lt;/math&gt; wie der Integrand selbst. Somit ist &lt;math&gt;F\,&lt;/math&gt; differenzierbar bei &lt;math&gt;0\,&lt;/math&gt;, mit
:&lt;math&gt;F'(0)=\frac{\sqrt{r_1}r_2'}{2\sqrt{r_2}}
\int\limits_0^1\frac{d\rho}
{(r_1(1-\rho)+r_2\rho)\sqrt{\rho(1-\rho)}}+ \sqrt{r_1r_2} \int\limits_0^1\frac{(2r_2'\rho-r_0')d\rho}
{(r_1(1-\rho)+r_2\rho)^2\sqrt{\rho(1-\rho)}}.&lt;/math&gt;

Rücktransformation auf &lt;math&gt;r\,&lt;/math&gt; ergibt jedoch
:&lt;math&gt;F'(0)=\frac{r_2'}{2r_2}F(0)+\sqrt{r_1r_2}\int\limits_{r_1}^{r_2} \frac{\left(2r_2'\frac{r-r_1}{\Delta}-r_0'\right)dr}{r^2\sqrt{(r-r_1)(r_2-r)}}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\left(\frac{r_2'}{2r_2}+\frac{2r_2'}{\Delta}\right)F(0) -\sqrt{r_1r_2}\left(\frac{2r_2'r_1}{\Delta}+r_0'\right)\int\limits_{r_1}^{r_2}\frac{dr}{r^2\sqrt{(r-r_1)(r_2-r)}}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_2'}{2}\left(\frac1{r_2}+\frac4{\Delta}\right)\pi -\left(\frac{2r_2'r_1}{\Delta}+r_0'\right)\sqrt{r_1r_2}\left[\right]_{r_1}^{r_2}
&lt;/math&gt;

===Suchbegriffe===
Gib hier verschiedene Begriffe ein, über welche die Aufgabe in der WikiMath-Suchmaschine gefunden werden soll.

===Quellen===
Hast du die Aufgabe einer bestimmten Quelle entnommen?
Dann gehört ein Verweis hierhin.

===ähnliche Aufgaben===
Gibt es auf WikiMath schon andere ähnliche Aufgaben, die mit dieser Aufgabe eng verwandt sind, aber nicht unbedingt zusammen auf einer Seite stehen sollten, dann verlinke hier zu diesen anderen Aufgaben.
!!!Dies ist auch sehr wichtig, damit keine Aufgaben verwaisen!!!
Genauso solltest Du auch Deine Aufgabe bei den anderen verlinken.


[[Kategorie:Analysis]]</text>
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    <contributor>
      <username>Mpraehofer</username>
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    </contributor>
    <comment>/* Parameterintegral mit Singularitäten */</comment>
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    <text bytes="2478" xml:space="preserve">==Parameterintegral mit Singularitäten==
Sei 

&lt;math&gt;F(\epsilon)=\int\limits_{r_1(\epsilon)}^{r_2(\epsilon)}\frac{dr} {\sqrt{r(r-r_2(\epsilon))(r-r_0(\epsilon))(r_1(\epsilon)-r)}}
&lt;/math&gt;,

wobei &lt;math&gt;0\leq r_2(\epsilon)&lt;r_0(\epsilon)&lt;r_1(\epsilon)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_0\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_1\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;r_2\,&lt;/math&gt; differenzierbar sind bei &lt;math&gt;0\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;r_0(0)=0&lt;/math&gt;. Berechne &lt;math&gt;F'(0)\,&lt;/math&gt;.


===Tipps===
*Bearbeite die Aufgabe [[Allgemeines Parameterintegral mit Singularitaeten]]
*&lt;math&gt;\int\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}}=\frac2{\sqrt{r_0r_1}}\arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_0&lt;r&lt;r_1\,&lt;/math&gt;
*&lt;math&gt;\int\frac{dr}{r^2\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}}=\frac{\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}}{r_0r_1r}+\frac{r_0+r_1}{(r_0r_1)^{3/2}} \arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_0&lt;r&lt;r_1\,&lt;/math&gt;


===Lösung===
Die &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;-Abhängigkeiten werden so weit wie möglich unterdrückt.
Zunächst berechnen wir 
:&lt;math&gt;F(0)=\int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}} =\left[\frac{2}{\sqrt{r_0r_1}}\arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}\right]_{r_0}^{r_1} =\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}.&lt;/math&gt;


Aus der Aufgabe [[Allgemeines Parameterintegral mit Singularitaeten]] (&lt;math&gt;c=-1\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n=4\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_3=0\,&lt;/math&gt;) lesen wir ab
:&lt;math&gt;F'(0)=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}F(0)+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{r^2\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \left[\frac{r_0+r_1}{(r_0r_1)^{3/2}} \arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}\right]_{r_0}^{r_1}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\left(\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \frac{r_0+r_1}{r_0r_1} \right)\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1^2r_0'-r_0^2r_1'-\frac12r_2'(r_1^2-r_0^2)}{(r_1-r_0)r_0r_1}\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\pi\frac{r_1^2(2r_0'-r_2')-r_2^2(2r_1'-r_2')}{2(r_1-r_0)(r_0r_1)^{3/2}}
&lt;/math&gt;
===Suchbegriffe===
Parameterintegral, integrierbare Singularitäten, Ableitung


===ähnliche Aufgaben===
Niemanden würde diese Aufgabe interessieren, wenn man sie nicht zur Berechnung der Perihel-Präzession des Merkur in der allgemeinen Relativitätstherie gebrauchen könnte.

    * [[Allgemeines Parameterintegral mit Singularitaeten]]
    * [[Perihel-Präzession des Merkur]]
[[Kategorie:Analysis]]</text>
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    <text bytes="2491" xml:space="preserve">==Parameterintegral mit Singularitäten==
Sei 

&lt;math&gt;F(\epsilon)=\int\limits_{r_0(\epsilon)}^{r_1(\epsilon)}\frac{dr} {\sqrt{r(r-r_2(\epsilon))(r-r_0(\epsilon))(r_1(\epsilon)-r)}}
&lt;/math&gt;,

wobei &lt;math&gt;0\leq r_2(\epsilon)&lt;r_0(\epsilon)&lt;r_1(\epsilon)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_0\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_1\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;r_2\,&lt;/math&gt; differenzierbar sind bei &lt;math&gt;0\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;r_2(0)=0&lt;/math&gt;. 

Berechne &lt;math&gt;F(0)\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F'(0)\,&lt;/math&gt;.


===Tipps===
*Bearbeite die Aufgabe [[Allgemeines Parameterintegral mit Singularitaeten]]
*&lt;math&gt;\int\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}}=\frac2{\sqrt{r_0r_1}}\arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_0&lt;r&lt;r_1\,&lt;/math&gt;
*&lt;math&gt;\int\frac{dr}{r^2\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}}=\frac{\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}}{r_0r_1r}+\frac{r_0+r_1}{(r_0r_1)^{3/2}} \arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_0&lt;r&lt;r_1\,&lt;/math&gt;


===Lösung===
Die &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;-Abhängigkeiten werden so weit wie möglich unterdrückt.
Zunächst berechnen wir 
:&lt;math&gt;F(0)=\int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}} =\left[\frac{2}{\sqrt{r_0r_1}}\arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}\right]_{r_0}^{r_1} =\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}.&lt;/math&gt;


Aus der Aufgabe [[Allgemeines Parameterintegral mit Singularitaeten]] (&lt;math&gt;c=-1\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n=4\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_3=0\,&lt;/math&gt;) lesen wir ab
:&lt;math&gt;F'(0)=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}F(0)+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{r^2\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \left[\frac{r_0+r_1}{(r_0r_1)^{3/2}} \arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}\right]_{r_0}^{r_1}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\left(\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \frac{r_0+r_1}{r_0r_1} \right)\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1^2r_0'-r_0^2r_1'-\frac12r_2'(r_1^2-r_0^2)}{(r_1-r_0)r_0r_1}\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\pi\frac{r_1^2(2r_0'-r_2')-r_2^2(2r_1'-r_2')}{2(r_1-r_0)(r_0r_1)^{3/2}}
&lt;/math&gt;
===Suchbegriffe===
Parameterintegral, integrierbare Singularitäten, Ableitung

===ähnliche Aufgaben===
Niemanden würde diese Aufgabe interessieren, wenn man sie nicht zur Berechnung der Perihel-Präzession des Merkur in der allgemeinen Relativitätstherie gebrauchen könnte.

*[[Allgemeines Parameterintegral mit Singularitaeten]]
*[[Perihel-Präzession des Merkur]]

[[Kategorie:Analysis]]</text>
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    <comment>/* ähnliche Aufgaben */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2491" xml:space="preserve">==Parameterintegral mit Singularitäten==
Sei 

&lt;math&gt;F(\epsilon)=\int\limits_{r_0(\epsilon)}^{r_1(\epsilon)}\frac{dr} {\sqrt{r(r-r_2(\epsilon))(r-r_0(\epsilon))(r_1(\epsilon)-r)}}
&lt;/math&gt;,

wobei &lt;math&gt;0\leq r_2(\epsilon)&lt;r_0(\epsilon)&lt;r_1(\epsilon)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_0\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_1\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;r_2\,&lt;/math&gt; differenzierbar sind bei &lt;math&gt;0\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;r_2(0)=0&lt;/math&gt;. 

Berechne &lt;math&gt;F(0)\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F'(0)\,&lt;/math&gt;.


===Tipps===
*Bearbeite die Aufgabe [[Allgemeines Parameterintegral mit Singularitaeten]]
*&lt;math&gt;\int\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}}=\frac2{\sqrt{r_0r_1}}\arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_0&lt;r&lt;r_1\,&lt;/math&gt;
*&lt;math&gt;\int\frac{dr}{r^2\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}}=\frac{\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}}{r_0r_1r}+\frac{r_0+r_1}{(r_0r_1)^{3/2}} \arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_0&lt;r&lt;r_1\,&lt;/math&gt;


===Lösung===
Die &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;-Abhängigkeiten werden so weit wie möglich unterdrückt.
Zunächst berechnen wir 
:&lt;math&gt;F(0)=\int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}} =\left[\frac{2}{\sqrt{r_0r_1}}\arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}\right]_{r_0}^{r_1} =\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}.&lt;/math&gt;


Aus der Aufgabe [[Allgemeines Parameterintegral mit Singularitaeten]] (&lt;math&gt;c=-1\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n=4\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_3=0\,&lt;/math&gt;) lesen wir ab
:&lt;math&gt;F'(0)=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}F(0)+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{r^2\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \left[\frac{r_0+r_1}{(r_0r_1)^{3/2}} \arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}\right]_{r_0}^{r_1}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\left(\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \frac{r_0+r_1}{r_0r_1} \right)\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1^2r_0'-r_0^2r_1'-\frac12r_2'(r_1^2-r_0^2)}{(r_1-r_0)r_0r_1}\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\pi\frac{r_1^2(2r_0'-r_2')-r_2^2(2r_1'-r_2')}{2(r_1-r_0)(r_0r_1)^{3/2}}
&lt;/math&gt;
===Suchbegriffe===
Parameterintegral, integrierbare Singularitäten, Ableitung

===ähnliche Aufgaben===
Niemanden würde diese Aufgabe interessieren, wenn man sie nicht zur Berechnung der Perihel-Präzession des Merkur in der allgemeinen Relativitätstherie gebrauchen könnte.

*[[Allgemeines Parameterintegral mit Singularitaeten]]
*[[Perihel-Praezession des Merkur]]

[[Kategorie:Analysis]]</text>
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      <username>Mpraehofer</username>
      <id>20808</id>
    </contributor>
    <comment>/* Lösung */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2492" xml:space="preserve">==Parameterintegral mit Singularitäten==
Sei 

&lt;math&gt;F(\epsilon)=\int\limits_{r_0(\epsilon)}^{r_1(\epsilon)}\frac{dr} {\sqrt{r(r-r_2(\epsilon))(r-r_0(\epsilon))(r_1(\epsilon)-r)}}
&lt;/math&gt;,

wobei &lt;math&gt;0\leq r_2(\epsilon)&lt;r_0(\epsilon)&lt;r_1(\epsilon)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_0\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_1\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;r_2\,&lt;/math&gt; differenzierbar sind bei &lt;math&gt;0\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;r_2(0)=0&lt;/math&gt;. 

Berechne &lt;math&gt;F(0)\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F'(0)\,&lt;/math&gt;.


===Tipps===
*Bearbeite die Aufgabe [[Allgemeines Parameterintegral mit Singularitaeten]]
*&lt;math&gt;\int\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}}=\frac2{\sqrt{r_0r_1}}\arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_0&lt;r&lt;r_1\,&lt;/math&gt;
*&lt;math&gt;\int\frac{dr}{r^2\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}}=\frac{\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}}{r_0r_1r}+\frac{r_0+r_1}{(r_0r_1)^{3/2}} \arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_0&lt;r&lt;r_1\,&lt;/math&gt;


===Lösung===
Die &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;-Abhängigkeiten werden so weit wie möglich unterdrückt.
Zunächst berechnen wir 
:&lt;math&gt;F(0)=\int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}} =\left[\frac{2}{\sqrt{r_0r_1}}\arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}\right]_{r_0}^{r_1} =\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}.&lt;/math&gt;


Aus der Aufgabe [[Allgemeines Parameterintegral mit Singularitaeten]] (&lt;math&gt;c=-1\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n=4\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_3=0\,&lt;/math&gt;) lesen wir ab
:&lt;math&gt;F'(0)=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}F(0)+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{r^2\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \left[\frac{r_0+r_1}{(r_0r_1)^{3/2}} \arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}\right]_{r_0}^{r_1}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\left(\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \frac{r_0+r_1}{r_0r_1} \right)\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1^2r_0'-r_0^2r_1'-\frac12r_2'(r_1^2-r_0^2)}{(r_1-r_0)r_0r_1}\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\pi\frac{r_1^2(2r_0'-r_2')-r_0^2(2r_1'-r_2')}{2(r_1-r_0)(r_0r_1)^{3/2}}
&lt;/math&gt;

===Suchbegriffe===
Parameterintegral, integrierbare Singularitäten, Ableitung

===ähnliche Aufgaben===
Niemanden würde diese Aufgabe interessieren, wenn man sie nicht zur Berechnung der Perihel-Präzession des Merkur in der allgemeinen Relativitätstherie gebrauchen könnte.

*[[Allgemeines Parameterintegral mit Singularitaeten]]
*[[Perihel-Praezession des Merkur]]

[[Kategorie:Analysis]]</text>
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    <text bytes="1149" xml:space="preserve">==Parameterintegral mit Singularitäten==
Für das Polynom &lt;math&gt;p_\epsilon(r)=c(\epsilon)\prod\limits_{i=1}^n(r-r_i(\epsilon))&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;p_\epsilon(r)&gt;0\,&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;r\in(r_0,r_1)&lt;/math&gt;, wobei die &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;-Abhängigkeit weitgehend nicht geschrieben wird, um die Übersichtlichkeit zu steigern.
Bestimme die Ableitung des Parameterintegrals
&lt;math&gt;F(\epsilon)=\int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{\sqrt{p_\epsilon(r)}}
&lt;/math&gt;,


===Tipps===
Man transformiere affin auf feste Grenzen.

===Lösung===

===Suchbegriffe===
Gib hier verschiedene Begriffe ein, über welche die Aufgabe in der WikiMath-Suchmaschine gefunden werden soll.

===Quellen===
Hast du die Aufgabe einer bestimmten Quelle entnommen?
Dann gehört ein Verweis hierhin.

===ähnliche Aufgaben===
Gibt es auf WikiMath schon andere ähnliche Aufgaben, die mit dieser Aufgabe eng verwandt sind, aber nicht unbedingt zusammen auf einer Seite stehen sollten, dann verlinke hier zu diesen anderen Aufgaben.
!!!Dies ist auch sehr wichtig, damit keine Aufgaben verwaisen!!!
Genauso solltest Du auch Deine Aufgabe bei den anderen verlinken.


[[Kategorie:Analysis]]</text>
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Für das Polynom &lt;math&gt;p_\epsilon(r)=c(\epsilon)\prod\limits_{i=1}^n(r-r_i(\epsilon))&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;p_\epsilon(r)&gt;0\,&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;r\in(r_0,r_1)\neq\emptyset&lt;/math&gt;, wobei die &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;-Abhängigkeit weitgehend nicht geschrieben wird, um die Übersichtlichkeit zu steigern.
Bestimme die Ableitung des Parameterintegrals
:&lt;math&gt;F(\epsilon)=\int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{\sqrt{p_\epsilon(r)}}
&lt;/math&gt;,
an der Stelle &lt;math&gt;\epsilon=0\,&lt;/math&gt;.

===Tipps===
Man transformiere affin auf feste Grenzen.

===Lösung===
Wir transformieren auf das Interval &lt;math&gt;[0,1]\,&lt;/math&gt; durch &lt;math&gt;\rho=\frac{r-r_0}{r_1-r_0}&lt;/math&gt;, bzw. &lt;math&gt;r=(1-\rho)r_0+\rho r_1\,&lt;/math&gt;. Es ist
:&lt;math&gt;F(\epsilon)=(r_1-r_0)\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{\sqrt{c(r_1-r_0)\rho(r_1-r_0)(1-\rho) \prod_{i\geq2}((1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i)}}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{\sqrt{c\rho(1-\rho)\prod_{i\geq2}((1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i)}}
=\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{\sqrt{c\rho(1-\rho)q(\rho)}}.&lt;/math&gt;
Also &lt;math&gt;q(\rho)=\textstyle\prod_{i\geq2}((1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i)&lt;/math&gt;, mit den partiellen Ableitungen
:&lt;math&gt;\partial_{r_0}q(\rho)=q(\rho)\sum_{i\geq2}\frac{1-\rho}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\partial_{r_1}q(\rho)=q(\rho)\sum_{i\geq2}\frac{\rho}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\partial_{r_i}q(\rho)=-q(\rho)\frac{1}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i}.&lt;/math&gt;
Dann ist
:&lt;math&gt;F'(\epsilon)=\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{2\sqrt{c\rho(1-\rho)q(\rho)}^3} \left(c'\rho(1-\rho)q(\rho)+c\rho(1-\rho)\left(r_0'\partial_{r_0}q+r_1'\partial_{r_1}q +\sum_{i\geq2}r_i'\partial_{r_i}q\right)\right)&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{2\sqrt{c\rho(1-\rho)q(\rho)}}\left(\frac{c'}{c} +\sum_{i\geq2}\frac{(1-\rho)r_0'+ \rho r_1'-r_i'}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i}\right).&lt;/math&gt;
Für die Rücktransformation berechnen wir 
:&lt;math&gt;\frac{(1-\rho)r_0'+ \rho r_1'-r_i'}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i} =\frac{\frac{r_1-r}{r_1-r_0}r_0'+\frac{r-r_0}{r_1-r_0}r_1'-r_i'}{r-r_i} =\frac{r_1r_0'-r_0r_1'-(r_1-r_0)r_i'+r(r_1'-r_0')}{(r_1-r_0)(r-r_i)}&lt;/math&gt;
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Also
:&lt;math&gt;F'(\epsilon)=\left(\frac{c'}{c}+(n-2)\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{2\sqrt{p_\epsilon(r)}} +\sum\limits_{i\geq2}^{n}\left(\frac{r_1-r_i}{r_1-r_0}r_0'+\frac{r_i-r_0}{r_1-r_0}r_1'-r_i'\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{2(r-r_i)\sqrt{p_\epsilon(r)}}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\left(\frac{c'}{c}+(n-2)\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}\right)F(\epsilon) +\sum\limits_{i\geq2}^{n}\left(\frac{r_1-r_i}{r_1-r_0}r_0'+\frac{r_i-r_0}{r_1-r_0}r_1'-r_i'\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{2(r-r_i)\sqrt{p_\epsilon(r)}}&lt;/math&gt;
===Suchbegriffe===
Gib hier verschiedene Begriffe ein, über welche die Aufgabe in der WikiMath-Suchmaschine gefunden werden soll.

===Quellen===
Hast du die Aufgabe einer bestimmten Quelle entnommen?
Dann gehört ein Verweis hierhin.

===ähnliche Aufgaben===
Gibt es auf WikiMath schon andere ähnliche Aufgaben, die mit dieser Aufgabe eng verwandt sind, aber nicht unbedingt zusammen auf einer Seite stehen sollten, dann verlinke hier zu diesen anderen Aufgaben.
!!!Dies ist auch sehr wichtig, damit keine Aufgaben verwaisen!!!
Genauso solltest Du auch Deine Aufgabe bei den anderen verlinken.


[[Kategorie:Analysis]]</text>
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Für das Polynom &lt;math&gt;p_\epsilon(r)=c(\epsilon)\prod\limits_{i=1}^n(r-r_i(\epsilon))&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;p_\epsilon(r)&gt;0\,&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;r\in(r_0(\epsilon),r_1(\epsilon))\neq\emptyset&lt;/math&gt;, und &lt;math&gt;r_i(\epsilon)\not\in[r_0(\epsilon),r_1(\epsilon)]&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;i=2,\dots,n&lt;/math&gt;. Alle Funktionen von &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt; sind differenzierbar.

Bestimme einen möglichst einfachen Ausdruck für die Ableitung des Parameterintegrals
:&lt;math&gt;F(\epsilon)=\int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{\sqrt{p_\epsilon(r)}}
&lt;/math&gt;.

===Tipps===
Man transformiere affin auf feste Grenzen.

===Lösung===
Der Integrand ist integrierbar auf dem Intervall, da die inversen Wurzelsingularitäten an den Rändern integrierbar sind.
Die &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;-Abhängigkeit wird im folgenden weitgehend wegelassen, um die Übersichtlichkeit zu steigern. Wir transformieren auf das Interval &lt;math&gt;[0,1]\,&lt;/math&gt; durch &lt;math&gt;\rho=\frac{r-r_0}{r_1-r_0}&lt;/math&gt;, bzw. &lt;math&gt;r=(1-\rho)r_0+\rho r_1\,&lt;/math&gt;. Es ist
:&lt;math&gt;F(\epsilon)=(r_1-r_0)\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{\sqrt{c(r_1-r_0)\rho(r_1-r_0)(1-\rho) \prod_{i\geq2}((1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i)}}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{\sqrt{c\rho(1-\rho)\prod_{i\geq2}((1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i)}}
=\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{\sqrt{c\rho(1-\rho)q(\rho)}}.&lt;/math&gt;
Also &lt;math&gt;q(\rho)=\textstyle\prod_{i\geq2}((1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i)&lt;/math&gt;, mit den partiellen Ableitungen
:&lt;math&gt;\partial_{r_0}q(\rho)=q(\rho)\sum_{i\geq2}\frac{1-\rho}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\partial_{r_1}q(\rho)=q(\rho)\sum_{i\geq2}\frac{\rho}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\partial_{r_i}q(\rho)=-q(\rho)\frac{1}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i}.&lt;/math&gt;
Dann ist
:&lt;math&gt;F'(\epsilon)=\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{2\sqrt{c\rho(1-\rho)q(\rho)}^3} \left(c'\rho(1-\rho)q(\rho)+c\rho(1-\rho)\left(r_0'\partial_{r_0}q+r_1'\partial_{r_1}q +\sum_{i\geq2}r_i'\partial_{r_i}q\right)\right)&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{2\sqrt{c\rho(1-\rho)q(\rho)}}\left(\frac{c'}{c} +\sum_{i\geq2}\frac{(1-\rho)r_0'+ \rho r_1'-r_i'}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i}\right).&lt;/math&gt;
Die Ableitung des Integranden nach &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt; besitzt wieder nur inverse Wurzelsingularitäten an den Rändern, ist also auch integrierbar. Damit ist das Vertauschen von Integral und Ableitung gerechtfertigt.

Für die Rücktransformation berechnen wir 
:&lt;math&gt;\frac{(1-\rho)r_0'+ \rho r_1'-r_i'}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i} =\frac{\frac{r_1-r}{r_1-r_0}r_0'+\frac{r-r_0}{r_1-r_0}r_1'-r_i'}{r-r_i} =\frac{r_1r_0'-r_0r_1'-(r_1-r_0)r_i'+r(r_1'-r_0')}{(r_1-r_0)(r-r_i)}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}+\frac{(r_1-r_i)r_0'+(r_i-r_0)r_1'}{(r_1-r_0)(r-r_i)}-\frac{r_i'}{r-r_i}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}+\frac{\frac{r_1-r_i}{r_1-r_0}r_0'+\frac{r_i-r_0}{r_1-r_0}r_1'-r_i'}{r-r_i}.&lt;/math&gt;
Also
:&lt;math&gt;F'(\epsilon)=\left(\frac{c'}{c}+(n-2)\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{2\sqrt{p_\epsilon(r)}} +\sum\limits_{i\geq2}^{n}\left(\frac{r_1-r_i}{r_1-r_0}r_0'+\frac{r_i-r_0}{r_1-r_0}r_1'-r_i'\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{2(r-r_i)\sqrt{p_\epsilon(r)}}&lt;/math&gt;
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===Suchbegriffe===
Parameterintegral, integrierbare Singularitäten, Ableitung

===Quellen===
Michael Prähofer

===ähnliche Aufgaben===
Niemanden würde diese Aufgabe interessieren, wenn man sie nicht zur Berechnung der Perihel-Präzession des Merkur in der allgemeinen Relativitätstherie gebrauchen könnte.
*[[Parameterintegral mit Singularitaeten]]
*[[Perihel-Präzession des Merkur]]


[[Kategorie:Analysis]]</text>
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    <text bytes="3858" xml:space="preserve">==Allgemeines Parameterintegral mit Singularitäten==
Für das Polynom &lt;math&gt;p_\epsilon(r)=c(\epsilon)\prod\limits_{i=1}^n(r-r_i(\epsilon))&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;p_\epsilon(r)&gt;0\,&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;r\in(r_0(\epsilon),r_1(\epsilon))\neq\emptyset&lt;/math&gt;, und &lt;math&gt;r_i(\epsilon)\not\in[r_0(\epsilon),r_1(\epsilon)]&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;i=2,\dots,n&lt;/math&gt;. Alle Funktionen von &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt; sind differenzierbar.

Bestimme einen möglichst einfachen Ausdruck für die Ableitung des Parameterintegrals
:&lt;math&gt;F(\epsilon)=\int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{\sqrt{p_\epsilon(r)}}
&lt;/math&gt;.

===Tipps===
Man transformiere affin auf feste Grenzen.

===Lösung===
Der Integrand ist integrierbar auf dem Intervall, da die inversen Wurzelsingularitäten an den Rändern integrierbar sind.
Die &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;-Abhängigkeit wird im folgenden weitgehend wegelassen, um die Übersichtlichkeit zu steigern. Wir transformieren auf das Interval &lt;math&gt;[0,1]\,&lt;/math&gt; durch &lt;math&gt;\rho=\frac{r-r_0}{r_1-r_0}&lt;/math&gt;, bzw. &lt;math&gt;r=(1-\rho)r_0+\rho r_1\,&lt;/math&gt;. Es ist
:&lt;math&gt;F(\epsilon)=(r_1-r_0)\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{\sqrt{c(r_1-r_0)\rho(r_1-r_0)(1-\rho) \prod_{i\geq2}((1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i)}}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{\sqrt{c\rho(1-\rho)\prod_{i\geq2}((1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i)}}
=\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{\sqrt{c\rho(1-\rho)q(\rho)}}.&lt;/math&gt;
Also &lt;math&gt;q(\rho)=\textstyle\prod_{i\geq2}((1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i)&lt;/math&gt;, mit den partiellen Ableitungen
:&lt;math&gt;\partial_{r_0}q(\rho)=q(\rho)\sum_{i\geq2}\frac{1-\rho}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\partial_{r_1}q(\rho)=q(\rho)\sum_{i\geq2}\frac{\rho}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\partial_{r_i}q(\rho)=-q(\rho)\frac{1}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i}.&lt;/math&gt;
Dann ist
:&lt;math&gt;F'(\epsilon)=\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{2\sqrt{c\rho(1-\rho)q(\rho)}^3} \left(c'\rho(1-\rho)q(\rho)+c\rho(1-\rho)\left(r_0'\partial_{r_0}q+r_1'\partial_{r_1}q +\sum_{i\geq2}r_i'\partial_{r_i}q\right)\right)&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{2\sqrt{c\rho(1-\rho)q(\rho)}}\left(\frac{c'}{c} +\sum_{i\geq2}\frac{(1-\rho)r_0'+ \rho r_1'-r_i'}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i}\right).&lt;/math&gt;
Die Ableitung des Integranden nach &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt; besitzt wieder nur inverse Wurzelsingularitäten an den Rändern, ist also auch integrierbar. Damit ist das Vertauschen von Integral und Ableitung gerechtfertigt.

Für die Rücktransformation berechnen wir 
:&lt;math&gt;\frac{(1-\rho)r_0'+ \rho r_1'-r_i'}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i} =\frac{\frac{r_1-r}{r_1-r_0}r_0'+\frac{r-r_0}{r_1-r_0}r_1'-r_i'}{r-r_i} =\frac{r_1r_0'-r_0r_1'-(r_1-r_0)r_i'+r(r_1'-r_0')}{(r_1-r_0)(r-r_i)}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}+\frac{(r_1-r_i)r_0'+(r_i-r_0)r_1'}{(r_1-r_0)(r-r_i)}-\frac{r_i'}{r-r_i}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}+\frac{\frac{r_1-r_i}{r_1-r_0}r_0'+\frac{r_i-r_0}{r_1-r_0}r_1'-r_i'}{r-r_i}.&lt;/math&gt;
Also
:&lt;math&gt;F'(\epsilon)=\left(\frac{c'}{c}+(n-2)\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{2\sqrt{p_\epsilon(r)}} +\sum\limits_{i\geq2}^{n}\left(\frac{r_1-r_i}{r_1-r_0}r_0'+\frac{r_i-r_0}{r_1-r_0}r_1'-r_i'\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{2(r-r_i)\sqrt{p_\epsilon(r)}}&lt;/math&gt;
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===Suchbegriffe===
Parameterintegral, integrierbare Singularitäten, Ableitung

===Quellen===
Michael Prähofer

===ähnliche Aufgaben===
Niemanden würde diese Aufgabe interessieren, wenn man sie nicht zur Berechnung der Perihel-Präzession des Merkur in der allgemeinen Relativitätstherie gebrauchen könnte.
*[[Parameterintegral mit Singularitaeten]]
*[[Perihel-Präzession des Merkur]]


[[Kategorie:Analysis]]</text>
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      <username>Mpraehofer</username>
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Für das Polynom &lt;math&gt;p_\epsilon(r)=c(\epsilon)\prod\limits_{i=1}^n(r-r_i(\epsilon))&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;p_\epsilon(r)&gt;0\,&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;r\in(r_0(\epsilon),r_1(\epsilon))\neq\emptyset&lt;/math&gt;, und &lt;math&gt;r_i(\epsilon)\not\in[r_0(\epsilon),r_1(\epsilon)]&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;i=2,\dots,n&lt;/math&gt;. Alle Funktionen von &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt; sind differenzierbar.

Bestimme einen möglichst einfachen Ausdruck für die Ableitung des Parameterintegrals
:&lt;math&gt;F(\epsilon)=\int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{\sqrt{p_\epsilon(r)}}
&lt;/math&gt;.

===Tipps===
Man transformiere affin auf feste Grenzen.

===Lösung===
Der Integrand ist integrierbar auf dem Intervall, da die inversen Wurzelsingularitäten an den Rändern integrierbar sind.
Die &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;-Abhängigkeit wird im folgenden weitgehend wegelassen, um die Übersichtlichkeit zu steigern. Wir transformieren auf das Interval &lt;math&gt;[0,1]\,&lt;/math&gt; durch &lt;math&gt;\rho=\frac{r-r_0}{r_1-r_0}&lt;/math&gt;, bzw. &lt;math&gt;r=(1-\rho)r_0+\rho r_1\,&lt;/math&gt;. Es ist
:&lt;math&gt;F(\epsilon)=(r_1-r_0)\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{\sqrt{c(r_1-r_0)\rho(r_1-r_0)(1-\rho) \prod_{i\geq2}((1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i)}}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{\sqrt{c\rho(1-\rho)\prod_{i\geq2}((1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i)}}
=\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{\sqrt{c\rho(1-\rho)q(\rho)}}.&lt;/math&gt;
Also &lt;math&gt;q(\rho)=\textstyle\prod_{i\geq2}((1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i)&lt;/math&gt;, mit den partiellen Ableitungen
:&lt;math&gt;\partial_{r_0}q(\rho)=q(\rho)\sum_{i\geq2}\frac{1-\rho}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\partial_{r_1}q(\rho)=q(\rho)\sum_{i\geq2}\frac{\rho}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\partial_{r_i}q(\rho)=-q(\rho)\frac{1}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i}.&lt;/math&gt;
Dann ist
:&lt;math&gt;F'(\epsilon)=\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{2\sqrt{c\rho(1-\rho)q(\rho)}^3} \left(c'\rho(1-\rho)q(\rho)+c\rho(1-\rho)\left(r_0'\partial_{r_0}q+r_1'\partial_{r_1}q +\sum_{i\geq2}r_i'\partial_{r_i}q\right)\right)&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{2\sqrt{c\rho(1-\rho)q(\rho)}}\left(\frac{c'}{c} +\sum_{i\geq2}\frac{(1-\rho)r_0'+ \rho r_1'-r_i'}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i}\right).&lt;/math&gt;
Die Ableitung des Integranden nach &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt; besitzt wieder nur inverse Wurzelsingularitäten an den Rändern, ist also auch integrierbar. Damit ist das Vertauschen von Integral und Ableitung gerechtfertigt.

Für die Rücktransformation berechnen wir 
:&lt;math&gt;\frac{(1-\rho)r_0'+ \rho r_1'-r_i'}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i} =\frac{\frac{r_1-r}{r_1-r_0}r_0'+\frac{r-r_0}{r_1-r_0}r_1'-r_i'}{r-r_i} =\frac{r_1r_0'-r_0r_1'-(r_1-r_0)r_i'+r(r_1'-r_0')}{(r_1-r_0)(r-r_i)}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}+\frac{(r_1-r_i)r_0'+(r_i-r_0)r_1'}{(r_1-r_0)(r-r_i)}-\frac{r_i'}{r-r_i}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}+\frac{\frac{r_1-r_i}{r_1-r_0}r_0'+\frac{r_i-r_0}{r_1-r_0}r_1'-r_i'}{r-r_i}.&lt;/math&gt;
Also
:&lt;math&gt;F'(\epsilon)=\left(\frac{c'}{c}+(n-2)\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{2\sqrt{p_\epsilon(r)}} +\sum\limits_{i\geq2}^{n}\left(\frac{r_1-r_i}{r_1-r_0}r_0'+\frac{r_i-r_0}{r_1-r_0}r_1'-r_i'\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{2(r-r_i)\sqrt{p_\epsilon(r)}}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\left(\frac{c'}{2c}+\frac{n-2}2\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}\right)F(\epsilon) +\sum\limits_{i\geq2}^{n}\left(\frac{r_1-r_i}{r_1-r_0}r_0'+\frac{r_i-r_0}{r_1-r_0}r_1'-r_i'\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{2(r-r_i)\sqrt{p_\epsilon(r)}}&lt;/math&gt;.

===Suchbegriffe===
Parameterintegral, integrierbare Singularitäten, Ableitung

===Quellen===
Michael Prähofer

===ähnliche Aufgaben===
Niemanden würde diese Aufgabe interessieren, wenn man sie nicht zur Berechnung der Perihel-Präzession des Merkur in der allgemeinen Relativitätstherie gebrauchen könnte.
*[[Parameterintegral mit Singularitaeten]]
*[[Perihel-Präzession des Merkur]]


[[Kategorie:Analysis]]</text>
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    <contributor>
      <username>Mpraehofer</username>
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    <comment>/* Allgemeines Parameterintegral mit Singularitäten */</comment>
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    <text bytes="3872" xml:space="preserve">==Allgemeines Parameterintegral mit Singularitäten==
Für das Polynom &lt;math&gt;p_\epsilon(r)=c(\epsilon)\prod\limits_{i=0}^{n-1}(r-r_i(\epsilon))&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;p_\epsilon(r)&gt;0\,&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;r\in(r_0(\epsilon),r_1(\epsilon))\neq\emptyset&lt;/math&gt;, und &lt;math&gt;r_i(\epsilon)\not\in[r_0(\epsilon),r_1(\epsilon)]&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;i=2,\dots,n-1&lt;/math&gt;. Alle Funktionen von &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt; sind differenzierbar.

Bestimme einen möglichst einfachen Ausdruck für die Ableitung des Parameterintegrals
:&lt;math&gt;F(\epsilon)=\int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{\sqrt{p_\epsilon(r)}}
&lt;/math&gt;.

===Tipps===
Man transformiere affin auf feste Grenzen.

===Lösung===
Der Integrand ist integrierbar auf dem Intervall, da die inversen Wurzelsingularitäten an den Rändern integrierbar sind.
Die &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;-Abhängigkeit wird im folgenden weitgehend wegelassen, um die Übersichtlichkeit zu steigern. Wir transformieren auf das Interval &lt;math&gt;[0,1]\,&lt;/math&gt; durch &lt;math&gt;\rho=\frac{r-r_0}{r_1-r_0}&lt;/math&gt;, bzw. &lt;math&gt;r=(1-\rho)r_0+\rho r_1\,&lt;/math&gt;. Es ist
:&lt;math&gt;F(\epsilon)=(r_1-r_0)\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{\sqrt{c(r_1-r_0)\rho(r_1-r_0)(1-\rho) \prod_{i\geq2}((1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i)}}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{\sqrt{c\rho(1-\rho)\prod_{i\geq2}((1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i)}}
=\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{\sqrt{c\rho(1-\rho)q(\rho)}}.&lt;/math&gt;
Also &lt;math&gt;q(\rho)=\textstyle\prod_{i\geq2}((1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i)&lt;/math&gt;, mit den partiellen Ableitungen
:&lt;math&gt;\partial_{r_0}q(\rho)=q(\rho)\sum_{i\geq2}\frac{1-\rho}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\partial_{r_1}q(\rho)=q(\rho)\sum_{i\geq2}\frac{\rho}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\partial_{r_i}q(\rho)=-q(\rho)\frac{1}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i}.&lt;/math&gt;
Dann ist
:&lt;math&gt;F'(\epsilon)=\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{2\sqrt{c\rho(1-\rho)q(\rho)}^3} \left(c'\rho(1-\rho)q(\rho)+c\rho(1-\rho)\left(r_0'\partial_{r_0}q+r_1'\partial_{r_1}q +\sum_{i\geq2}r_i'\partial_{r_i}q\right)\right)&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{2\sqrt{c\rho(1-\rho)q(\rho)}}\left(\frac{c'}{c} +\sum_{i\geq2}\frac{(1-\rho)r_0'+ \rho r_1'-r_i'}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i}\right).&lt;/math&gt;
Die Ableitung des Integranden nach &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt; besitzt wieder nur inverse Wurzelsingularitäten an den Rändern, ist also auch integrierbar. Damit ist das Vertauschen von Integral und Ableitung gerechtfertigt.

Für die Rücktransformation berechnen wir 
:&lt;math&gt;\frac{(1-\rho)r_0'+ \rho r_1'-r_i'}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i} =\frac{\frac{r_1-r}{r_1-r_0}r_0'+\frac{r-r_0}{r_1-r_0}r_1'-r_i'}{r-r_i} =\frac{r_1r_0'-r_0r_1'-(r_1-r_0)r_i'+r(r_1'-r_0')}{(r_1-r_0)(r-r_i)}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}+\frac{(r_1-r_i)r_0'+(r_i-r_0)r_1'}{(r_1-r_0)(r-r_i)}-\frac{r_i'}{r-r_i}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}+\frac{\frac{r_1-r_i}{r_1-r_0}r_0'+\frac{r_i-r_0}{r_1-r_0}r_1'-r_i'}{r-r_i}.&lt;/math&gt;
Also
:&lt;math&gt;F'(\epsilon)=\left(\frac{c'}{c}+(n-2)\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{2\sqrt{p_\epsilon(r)}} +\sum\limits_{i\geq2}^{n}\left(\frac{r_1-r_i}{r_1-r_0}r_0'+\frac{r_i-r_0}{r_1-r_0}r_1'-r_i'\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{2(r-r_i)\sqrt{p_\epsilon(r)}}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\left(\frac{c'}{2c}+\frac{n-2}2\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}\right)F(\epsilon) +\sum\limits_{i\geq2}^{n}\left(\frac{r_1-r_i}{r_1-r_0}r_0'+\frac{r_i-r_0}{r_1-r_0}r_1'-r_i'\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{2(r-r_i)\sqrt{p_\epsilon(r)}}&lt;/math&gt;.

===Suchbegriffe===
Parameterintegral, integrierbare Singularitäten, Ableitung

===Quellen===
Michael Prähofer

===ähnliche Aufgaben===
Niemanden würde diese Aufgabe interessieren, wenn man sie nicht zur Berechnung der Perihel-Präzession des Merkur in der allgemeinen Relativitätstherie gebrauchen könnte.
*[[Parameterintegral mit Singularitaeten]]
*[[Perihel-Präzession des Merkur]]


[[Kategorie:Analysis]]</text>
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    <comment>/* Lösung */</comment>
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    <text bytes="3876" xml:space="preserve">==Allgemeines Parameterintegral mit Singularitäten==
Für das Polynom &lt;math&gt;p_\epsilon(r)=c(\epsilon)\prod\limits_{i=0}^{n-1}(r-r_i(\epsilon))&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;p_\epsilon(r)&gt;0\,&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;r\in(r_0(\epsilon),r_1(\epsilon))\neq\emptyset&lt;/math&gt;, und &lt;math&gt;r_i(\epsilon)\not\in[r_0(\epsilon),r_1(\epsilon)]&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;i=2,\dots,n-1&lt;/math&gt;. Alle Funktionen von &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt; sind differenzierbar.

Bestimme einen möglichst einfachen Ausdruck für die Ableitung des Parameterintegrals
:&lt;math&gt;F(\epsilon)=\int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{\sqrt{p_\epsilon(r)}}
&lt;/math&gt;.

===Tipps===
Man transformiere affin auf feste Grenzen.

===Lösung===
Der Integrand ist integrierbar auf dem Intervall, da die inversen Wurzelsingularitäten an den Rändern integrierbar sind.
Die &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;-Abhängigkeit wird im folgenden weitgehend wegelassen, um die Übersichtlichkeit zu steigern. Wir transformieren auf das Interval &lt;math&gt;[0,1]\,&lt;/math&gt; durch &lt;math&gt;\rho=\frac{r-r_0}{r_1-r_0}&lt;/math&gt;, bzw. &lt;math&gt;r=(1-\rho)r_0+\rho r_1\,&lt;/math&gt;. Es ist
:&lt;math&gt;F(\epsilon)=(r_1-r_0)\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{\sqrt{c(r_1-r_0)\rho(r_1-r_0)(1-\rho) \prod_{i\geq2}((1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i)}}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{\sqrt{c\rho(1-\rho)\prod_{i\geq2}((1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i)}}
=\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{\sqrt{c\rho(1-\rho)q(\rho)}}.&lt;/math&gt;
Also &lt;math&gt;q(\rho)=\textstyle\prod_{i\geq2}((1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i)&lt;/math&gt;, mit den partiellen Ableitungen
:&lt;math&gt;\partial_{r_0}q(\rho)=q(\rho)\sum_{i\geq2}\frac{1-\rho}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\partial_{r_1}q(\rho)=q(\rho)\sum_{i\geq2}\frac{\rho}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\partial_{r_i}q(\rho)=-q(\rho)\frac{1}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i}.&lt;/math&gt;
Dann ist
:&lt;math&gt;F'(\epsilon)=\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{2\sqrt{c\rho(1-\rho)q(\rho)}^3} \left(c'\rho(1-\rho)q(\rho)+c\rho(1-\rho)\left(r_0'\partial_{r_0}q+r_1'\partial_{r_1}q +\sum_{i\geq2}r_i'\partial_{r_i}q\right)\right)&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{2\sqrt{c\rho(1-\rho)q(\rho)}}\left(\frac{c'}{c} +\sum_{i\geq2}\frac{(1-\rho)r_0'+ \rho r_1'-r_i'}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i}\right).&lt;/math&gt;
Die Ableitung des Integranden nach &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt; besitzt wieder nur inverse Wurzelsingularitäten an den Rändern, ist also auch integrierbar. Damit ist das Vertauschen von Integral und Ableitung gerechtfertigt.

Für die Rücktransformation berechnen wir 
:&lt;math&gt;\frac{(1-\rho)r_0'+ \rho r_1'-r_i'}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i} =\frac{\frac{r_1-r}{r_1-r_0}r_0'+\frac{r-r_0}{r_1-r_0}r_1'-r_i'}{r-r_i} =\frac{r_1r_0'-r_0r_1'-(r_1-r_0)r_i'+r(r_1'-r_0')}{(r_1-r_0)(r-r_i)}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}+\frac{(r_1-r_i)r_0'+(r_i-r_0)r_1'}{(r_1-r_0)(r-r_i)}-\frac{r_i'}{r-r_i}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}+\frac{\frac{r_1-r_i}{r_1-r_0}r_0'+\frac{r_i-r_0}{r_1-r_0}r_1'-r_i'}{r-r_i}.&lt;/math&gt;
Also
:&lt;math&gt;F'(\epsilon)=\left(\frac{c'}{c}+(n-2)\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{2\sqrt{p_\epsilon(r)}} +\sum\limits_{i\geq2}^{n-1}\left(\frac{r_1-r_i}{r_1-r_0}r_0'+\frac{r_i-r_0}{r_1-r_0}r_1'-r_i'\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{2(r-r_i)\sqrt{p_\epsilon(r)}}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\left(\frac{c'}{2c}+\frac{n-2}2\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}\right)F(\epsilon) +\sum\limits_{i\geq2}^{n-1}\left(\frac{r_1-r_i}{r_1-r_0}r_0'+\frac{r_i-r_0}{r_1-r_0}r_1'-r_i'\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{2(r-r_i)\sqrt{p_\epsilon(r)}}&lt;/math&gt;.

===Suchbegriffe===
Parameterintegral, integrierbare Singularitäten, Ableitung

===Quellen===
Michael Prähofer

===ähnliche Aufgaben===
Niemanden würde diese Aufgabe interessieren, wenn man sie nicht zur Berechnung der Perihel-Präzession des Merkur in der allgemeinen Relativitätstherie gebrauchen könnte.
*[[Parameterintegral mit Singularitaeten]]
*[[Perihel-Präzession des Merkur]]


[[Kategorie:Analysis]]</text>
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    <text bytes="3843" xml:space="preserve">==Allgemeines Parameterintegral mit Singularitäten==
Für das Polynom &lt;math&gt;p_\epsilon(r)=c(\epsilon)\prod\limits_{i=0}^{n-1}(r-r_i(\epsilon))&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;p_\epsilon(r)&gt;0\,&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;r\in(r_0(\epsilon),r_1(\epsilon))\neq\emptyset&lt;/math&gt;, und &lt;math&gt;r_i(\epsilon)\not\in[r_0(\epsilon),r_1(\epsilon)]&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;i=2,\dots,n-1&lt;/math&gt;. Alle Funktionen von &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt; sind differenzierbar.

Bestimme einen möglichst einfachen Ausdruck für die Ableitung des Parameterintegrals
:&lt;math&gt;F(\epsilon)=\int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{\sqrt{p_\epsilon(r)}}
&lt;/math&gt;.

===Tipps===
Man transformiere affin auf feste Grenzen.

===Lösung===
Der Integrand ist integrierbar auf dem Intervall, da die inversen Wurzelsingularitäten an den Rändern integrierbar sind.
Die &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;-Abhängigkeit wird im folgenden weitgehend wegelassen, um die Übersichtlichkeit zu steigern. Wir transformieren auf das Interval &lt;math&gt;[0,1]\,&lt;/math&gt; durch &lt;math&gt;\rho=\frac{r-r_0}{r_1-r_0}&lt;/math&gt;, bzw. &lt;math&gt;r=(1-\rho)r_0+\rho r_1\,&lt;/math&gt;. Es ist
:&lt;math&gt;F(\epsilon)=(r_1-r_0)\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{\sqrt{c(r_1-r_0)\rho(r_1-r_0)(1-\rho) \prod_{i\geq2}((1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i)}}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{\sqrt{c\rho(1-\rho)\prod_{i\geq2}((1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i)}}
=\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{\sqrt{c\rho(1-\rho)q(\rho)}}.&lt;/math&gt;
Also &lt;math&gt;q(\rho)=\textstyle\prod_{i\geq2}((1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i)&lt;/math&gt;, mit den partiellen Ableitungen
:&lt;math&gt;\partial_{r_0}q(\rho)=q(\rho)\sum_{i\geq2}\frac{1-\rho}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\partial_{r_1}q(\rho)=q(\rho)\sum_{i\geq2}\frac{\rho}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\partial_{r_i}q(\rho)=-q(\rho)\frac{1}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i}.&lt;/math&gt;
Dann ist
:&lt;math&gt;F'(\epsilon)=\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{2\sqrt{c\rho(1-\rho)q(\rho)}^3} \left(c'\rho(1-\rho)q(\rho)+c\rho(1-\rho)\left(r_0'\partial_{r_0}q+r_1'\partial_{r_1}q +\sum_{i\geq2}r_i'\partial_{r_i}q\right)\right)&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{2\sqrt{c\rho(1-\rho)q(\rho)}}\left(\frac{c'}{c} +\sum_{i\geq2}\frac{(1-\rho)r_0'+ \rho r_1'-r_i'}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i}\right).&lt;/math&gt;
Die Ableitung des Integranden nach &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt; besitzt wieder nur inverse Wurzelsingularitäten an den Rändern, ist also auch integrierbar. Damit ist das Vertauschen von Integral und Ableitung gerechtfertigt.

Für die Rücktransformation berechnen wir 
:&lt;math&gt;\frac{(1-\rho)r_0'+ \rho r_1'-r_i'}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i} =\frac{\frac{r_1-r}{r_1-r_0}r_0'+\frac{r-r_0}{r_1-r_0}r_1'-r_i'}{r-r_i} =\frac{r_1r_0'-r_0r_1'-(r_1-r_0)r_i'+r(r_1'-r_0')}{(r_1-r_0)(r-r_i)}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}+\frac{(r_1-r_i)r_0'+(r_i-r_0)r_1'}{(r_1-r_0)(r-r_i)}-\frac{r_i'}{r-r_i}&lt;/math&gt;
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Also
:&lt;math&gt;F'(\epsilon)=\left(\frac{c'}{c}+(n-2)\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{2\sqrt{p_\epsilon(r)}} +\sum\limits_{i\geq2}^{n-1}\left(\frac{r_1-r_i}{r_1-r_0}r_0'+\frac{r_i-r_0}{r_1-r_0}r_1'-r_i'\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{2(r-r_i)\sqrt{p_\epsilon(r)}}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\left(\frac{c'}{2c}+\frac{n-2}2\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}\right)F(\epsilon) +\sum\limits_{i\geq2}^{n-1}\left(\frac{r_1-r_i}{r_1-r_0}r_0'+\frac{r_i-r_0}{r_1-r_0}r_1'-r_i'\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{2(r-r_i)\sqrt{p_\epsilon(r)}}&lt;/math&gt;.

===Suchbegriffe===
Parameterintegral, integrierbare Singularitäten, Ableitung

===ähnliche Aufgaben===
Niemanden würde diese Aufgabe interessieren, wenn man sie nicht zur Berechnung der Perihel-Präzession des Merkur in der allgemeinen Relativitätstherie gebrauchen könnte.
*[[Parameterintegral mit Singularitaeten]]
*[[Perihel-Präzession des Merkur]]


[[Kategorie:Analysis]]</text>
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    <contributor>
      <username>Mpraehofer</username>
      <id>20808</id>
    </contributor>
    <comment>/* ähnliche Aufgaben */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="3843" xml:space="preserve">==Allgemeines Parameterintegral mit Singularitäten==
Für das Polynom &lt;math&gt;p_\epsilon(r)=c(\epsilon)\prod\limits_{i=0}^{n-1}(r-r_i(\epsilon))&lt;/math&gt; gelte &lt;math&gt;p_\epsilon(r)&gt;0\,&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;r\in(r_0(\epsilon),r_1(\epsilon))\neq\emptyset&lt;/math&gt;, und &lt;math&gt;r_i(\epsilon)\not\in[r_0(\epsilon),r_1(\epsilon)]&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;i=2,\dots,n-1&lt;/math&gt;. Alle Funktionen von &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt; sind differenzierbar.

Bestimme einen möglichst einfachen Ausdruck für die Ableitung des Parameterintegrals
:&lt;math&gt;F(\epsilon)=\int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{\sqrt{p_\epsilon(r)}}
&lt;/math&gt;.

===Tipps===
Man transformiere affin auf feste Grenzen.

===Lösung===
Der Integrand ist integrierbar auf dem Intervall, da die inversen Wurzelsingularitäten an den Rändern integrierbar sind.
Die &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;-Abhängigkeit wird im folgenden weitgehend wegelassen, um die Übersichtlichkeit zu steigern. Wir transformieren auf das Interval &lt;math&gt;[0,1]\,&lt;/math&gt; durch &lt;math&gt;\rho=\frac{r-r_0}{r_1-r_0}&lt;/math&gt;, bzw. &lt;math&gt;r=(1-\rho)r_0+\rho r_1\,&lt;/math&gt;. Es ist
:&lt;math&gt;F(\epsilon)=(r_1-r_0)\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{\sqrt{c(r_1-r_0)\rho(r_1-r_0)(1-\rho) \prod_{i\geq2}((1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i)}}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{\sqrt{c\rho(1-\rho)\prod_{i\geq2}((1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i)}}
=\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{\sqrt{c\rho(1-\rho)q(\rho)}}.&lt;/math&gt;
Also &lt;math&gt;q(\rho)=\textstyle\prod_{i\geq2}((1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i)&lt;/math&gt;, mit den partiellen Ableitungen
:&lt;math&gt;\partial_{r_0}q(\rho)=q(\rho)\sum_{i\geq2}\frac{1-\rho}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\partial_{r_1}q(\rho)=q(\rho)\sum_{i\geq2}\frac{\rho}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i},&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\partial_{r_i}q(\rho)=-q(\rho)\frac{1}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i}.&lt;/math&gt;
Dann ist
:&lt;math&gt;F'(\epsilon)=\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{2\sqrt{c\rho(1-\rho)q(\rho)}^3} \left(c'\rho(1-\rho)q(\rho)+c\rho(1-\rho)\left(r_0'\partial_{r_0}q+r_1'\partial_{r_1}q +\sum_{i\geq2}r_i'\partial_{r_i}q\right)\right)&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\int\limits_{0}^{1}\frac{d\rho}{2\sqrt{c\rho(1-\rho)q(\rho)}}\left(\frac{c'}{c} +\sum_{i\geq2}\frac{(1-\rho)r_0'+ \rho r_1'-r_i'}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i}\right).&lt;/math&gt;
Die Ableitung des Integranden nach &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt; besitzt wieder nur inverse Wurzelsingularitäten an den Rändern, ist also auch integrierbar. Damit ist das Vertauschen von Integral und Ableitung gerechtfertigt.

Für die Rücktransformation berechnen wir 
:&lt;math&gt;\frac{(1-\rho)r_0'+ \rho r_1'-r_i'}{(1-\rho)r_0+\rho r_1-r_i} =\frac{\frac{r_1-r}{r_1-r_0}r_0'+\frac{r-r_0}{r_1-r_0}r_1'-r_i'}{r-r_i} =\frac{r_1r_0'-r_0r_1'-(r_1-r_0)r_i'+r(r_1'-r_0')}{(r_1-r_0)(r-r_i)}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}+\frac{(r_1-r_i)r_0'+(r_i-r_0)r_1'}{(r_1-r_0)(r-r_i)}-\frac{r_i'}{r-r_i}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}+\frac{\frac{r_1-r_i}{r_1-r_0}r_0'+\frac{r_i-r_0}{r_1-r_0}r_1'-r_i'}{r-r_i}.&lt;/math&gt;
Also
:&lt;math&gt;F'(\epsilon)=\left(\frac{c'}{c}+(n-2)\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{2\sqrt{p_\epsilon(r)}} +\sum\limits_{i\geq2}^{n-1}\left(\frac{r_1-r_i}{r_1-r_0}r_0'+\frac{r_i-r_0}{r_1-r_0}r_1'-r_i'\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{2(r-r_i)\sqrt{p_\epsilon(r)}}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\left(\frac{c'}{2c}+\frac{n-2}2\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}\right)F(\epsilon) +\sum\limits_{i\geq2}^{n-1}\left(\frac{r_1-r_i}{r_1-r_0}r_0'+\frac{r_i-r_0}{r_1-r_0}r_1'-r_i'\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{2(r-r_i)\sqrt{p_\epsilon(r)}}&lt;/math&gt;.

===Suchbegriffe===
Parameterintegral, integrierbare Singularitäten, Ableitung

===ähnliche Aufgaben===
Niemanden würde diese Aufgabe interessieren, wenn man sie nicht zur Berechnung der Perihel-Präzession des Merkur in der allgemeinen Relativitätstherie gebrauchen könnte.
*[[Parameterintegral mit Singularitaeten]]
*[[Perihel-Praezession des Merkur]]


[[Kategorie:Analysis]]</text>
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  <title>Perihel-Praezession des Merkur</title>
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    <text bytes="2365" xml:space="preserve">==Perihel-Präzession des Merkur==
Der Perihel des Merkur ist 46 Mio. km. bei ener Geschwindigkeit von 59 km/s. Die Stärke der Sonnengravitation ist &lt;math&gt;g=Gm_{\text{Sonne}}=1.32744\times 10^{20}\mathrm{m}^3\mathrm{s}^{-2}&lt;/math&gt;. Berechene die Perihel-Präzession des Merkur in Bogensekunden pro Jahrhundert.

===Tipps===
*Parametrisiert durch die Eigenzeit gelten für Radius &lt;math&gt;r\,&lt;/math&gt; und Winkel &lt;math&gt;\phi\,&lt;/math&gt; die Differentialgleichungen
::&lt;math&gt;\ddot r=-V'(r)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;V(r)=-\frac{g}{m}+\frac{L^2}{2r^2}-\frac{gL^2}{c^2r^3}&lt;/math&gt;, und  &lt;math&gt;\dot\phi r^2=L&lt;/math&gt;.
*Finde eine Differentialgleichung erster Ordnung für &lt;math&gt;r(\phi)&lt;/math&gt; und löse sie.
*Bearbeite die Aufgabe [[Parameterintegral mit Singularitaeten]]


===Lösung===
Die &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;-Abhängigkeiten werden so weit wie möglich unterdrückt.
Zunächst berechnen wir 
:&lt;math&gt;F(0)=\int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}} =\left[\frac{2}{\sqrt{r_0r_1}}\arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}\right]_{r_0}^{r_1} =\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}.&lt;/math&gt;


Aus der Aufgabe [[Allgemeines Parameterintegral mit Singularitaeten]] (&lt;math&gt;c=-1\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n=4\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_3=0\,&lt;/math&gt;) lesen wir ab
:&lt;math&gt;F'(0)=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}F(0)+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{r^2\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \left[\frac{r_0+r_1}{(r_0r_1)^{3/2}} \arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}\right]_{r_0}^{r_1}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\left(\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \frac{r_0+r_1}{r_0r_1} \right)\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1^2r_0'-r_0^2r_1'-\frac12r_2'(r_1^2-r_0^2)}{(r_1-r_0)r_0r_1}\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\pi\frac{r_1^2(2r_0'-r_2')-r_2^2(2r_1'-r_2')}{2(r_1-r_0)(r_0r_1)^{3/2}}
&lt;/math&gt;
===Suchbegriffe===
Parameterintegral, integrierbare Singularitäten, Ableitung

===ähnliche Aufgaben===
Niemanden würde diese Aufgabe interessieren, wenn man sie nicht zur Berechnung der Perihel-Präzession des Merkur in der allgemeinen Relativitätstherie gebrauchen könnte.

*[[Allgemeines Parameterintegral mit Singularitaeten]]
*[[Perihel-Präzession des Merkur]]

[[Kategorie:Analysis]]</text>
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    </contributor>
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    <text bytes="3072" xml:space="preserve">==Perihel-Präzession des Merkur==
Der Perihel des Merkur ist &lt;math&gt;r_p=46\,&lt;/math&gt; Mio. km. bei einer Geschwindigkeit von &lt;math&gt;v_p=59\,&lt;/math&gt; km/s. Die Stärke der Sonnengravitation ist &lt;math&gt;g=Gm_{\text{Sonne}}=1.32744\times 10^{20}[\mathrm{m}^3\mathrm{s}^{-2}]&lt;/math&gt;. Berechene die Perihel-Präzession des Merkur in Bogensekunden pro Jahrhundert. Seine Umlaufzeit beträgt 88 Tage, bzw 0.24 Jahre.

===Tipps===
*Parametrisiert durch die Eigenzeit gelten für Radius &lt;math&gt;r\,&lt;/math&gt; und Winkel &lt;math&gt;\phi\,&lt;/math&gt; die Differentialgleichungen
::&lt;math&gt;\ddot r=-V'(r)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;V(r)=-\frac{g}{m}+\frac{L^2}{2r^2}-\frac{gL^2}{c^2r^3}&lt;/math&gt;, und  &lt;math&gt;\dot\phi r^2=L&lt;/math&gt;.
*Finde eine Differentialgleichung erster Ordnung für &lt;math&gt;r(\phi)&lt;/math&gt; und löse sie.
*Bearbeite die Aufgabe [[Parameterintegral mit Singularitaeten]]


===Lösung===
&lt;math&gt;E=\frac12\dot r^2+V(r)&lt;/math&gt; ist eine Konstante der Bewegung, wobei &lt;math&gt;E=V(r_p)\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;L=r_pv_p\,&lt;/math&gt;. Somit ist 
:&lt;math&gt;r´(\phi)=\dot\phi^{-1}\dot r=\frac{r^2}L\sqrt{2(E-V(r))}&lt;/math&gt;.
Man erhält 
:&lt;math&gt;\phi(R)=\int\limits_{r_p}^R\frac{Ldr}{r^2\sqrt{2(E-V(r))}}&lt;/math&gt;.
Am Aphel &lt;math&gt;r_a\,&lt;/math&gt;, gegeben durch die größte Nullstelle von &lt;math&gt;E-V(r)\,&lt;/math&gt;, beschreibt &lt;math&gt;2\phi(r_a)-2\pi&lt;/math&gt; die Perihel-Präzession pro Umdrehung. Wir faktorisieren
:&lt;math&gt;r^4(E-V(r))=Er^4+gr^3-\frac12L^2r^2+\frac{gL^2}{2c^2}r=Er(r-r_s)(r-r_p)(r_a-r)&lt;/math&gt;,
was nach einigem Rechnen auf 

Die &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;-Abhängigkeiten werden so weit wie möglich unterdrückt.
Zunächst berechnen wir 
:&lt;math&gt;F(0)=\int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}} =\left[\frac{2}{\sqrt{r_0r_1}}\arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}\right]_{r_0}^{r_1} =\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}.&lt;/math&gt;


Aus der Aufgabe [[Allgemeines Parameterintegral mit Singularitaeten]] (&lt;math&gt;c=-1\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n=4\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_3=0\,&lt;/math&gt;) lesen wir ab
:&lt;math&gt;F'(0)=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}F(0)+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{r^2\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \left[\frac{r_0+r_1}{(r_0r_1)^{3/2}} \arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}\right]_{r_0}^{r_1}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\left(\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \frac{r_0+r_1}{r_0r_1} \right)\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1^2r_0'-r_0^2r_1'-\frac12r_2'(r_1^2-r_0^2)}{(r_1-r_0)r_0r_1}\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\pi\frac{r_1^2(2r_0'-r_2')-r_2^2(2r_1'-r_2')}{2(r_1-r_0)(r_0r_1)^{3/2}}
&lt;/math&gt;
===Suchbegriffe===
Parameterintegral, integrierbare Singularitäten, Ableitung

===ähnliche Aufgaben===
Niemanden würde diese Aufgabe interessieren, wenn man sie nicht zur Berechnung der Perihel-Präzession des Merkur in der allgemeinen Relativitätstherie gebrauchen könnte.

*[[Allgemeines Parameterintegral mit Singularitaeten]]
*[[Perihel-Präzession des Merkur]]

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    <text bytes="3180" xml:space="preserve">==Perihel-Präzession des Merkur==
Der Perihel des Merkur ist &lt;math&gt;r_p=46\,&lt;/math&gt; Mio. km. bei einer Geschwindigkeit von &lt;math&gt;v_p=59\,&lt;/math&gt; km/s. Die Stärke der Sonnengravitation ist &lt;math&gt;g=Gm_{\text{Sonne}}=1.32744\times 10^{20}[\mathrm{m}^3\mathrm{s}^{-2}]&lt;/math&gt;. Berechene die Perihel-Präzession des Merkur in Bogensekunden pro Jahrhundert. Seine Umlaufzeit beträgt 88 Tage, bzw 0.24 Jahre.

===Tipps===
*Parametrisiert durch die Eigenzeit gelten für Radius &lt;math&gt;r\,&lt;/math&gt; und Winkel &lt;math&gt;\phi\,&lt;/math&gt; die Differentialgleichungen
::&lt;math&gt;\ddot r=-V'(r)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;V(r)=-\frac{g}{m}+\frac{L^2}{2r^2}-\frac{gL^2}{c^2r^3}&lt;/math&gt;, und  &lt;math&gt;\dot\phi r^2=L&lt;/math&gt;.
*Finde eine Differentialgleichung erster Ordnung für &lt;math&gt;r(\phi)&lt;/math&gt; und löse sie.
*Bearbeite die Aufgabe [[Parameterintegral mit Singularitaeten]]


===Lösung===
&lt;math&gt;E=\frac12\dot r^2+V(r)&lt;/math&gt; ist eine Konstante der Bewegung, wobei &lt;math&gt;E=V(r_p)\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;L=r_pv_p\,&lt;/math&gt;. Somit ist 
:&lt;math&gt;r´(\phi)=\dot\phi^{-1}\dot r=\frac{r^2}L\sqrt{2(E-V(r))}&lt;/math&gt;.
Man erhält 
:&lt;math&gt;\phi(R)=\int\limits_{r_p}^R\frac{Ldr}{r^2\sqrt{2(E-V(r))}}&lt;/math&gt;.
Am Aphel &lt;math&gt;r_a\,&lt;/math&gt;, gegeben durch die größte Nullstelle von &lt;math&gt;E-V(r)\,&lt;/math&gt;, beschreibt &lt;math&gt;2\phi(r_a)-2\pi&lt;/math&gt; die Perihel-Präzession pro Umdrehung. Wir faktorisieren
:&lt;math&gt;r^4(E-V(r))=Er^4+gr^3-\frac12L^2r^2+\frac{gL^2}{2c^2}r=Er(r-r_s)(r-r_p)(r_a-r)&lt;/math&gt;,
was nach Plynomdivision auf
:&lt;math&gt;r_{a,s}=\frac{r_p-\frac{g}E\pm\sqrt{\left(\frac{g}E-r_p\right)^2+\frac{2L^2}E-4r_p^2}}2&lt;/math&gt;
führt.

Die &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;-Abhängigkeiten werden so weit wie möglich unterdrückt.
Zunächst berechnen wir 
:&lt;math&gt;F(0)=\int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}} =\left[\frac{2}{\sqrt{r_0r_1}}\arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}\right]_{r_0}^{r_1} =\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}.&lt;/math&gt;


Aus der Aufgabe [[Allgemeines Parameterintegral mit Singularitaeten]] (&lt;math&gt;c=-1\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n=4\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_3=0\,&lt;/math&gt;) lesen wir ab
:&lt;math&gt;F'(0)=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}F(0)+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{r^2\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \left[\frac{r_0+r_1}{(r_0r_1)^{3/2}} \arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}\right]_{r_0}^{r_1}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\left(\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \frac{r_0+r_1}{r_0r_1} \right)\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}
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&lt;/math&gt;
===Suchbegriffe===
Parameterintegral, integrierbare Singularitäten, Ableitung

===ähnliche Aufgaben===
Niemanden würde diese Aufgabe interessieren, wenn man sie nicht zur Berechnung der Perihel-Präzession des Merkur in der allgemeinen Relativitätstherie gebrauchen könnte.

*[[Allgemeines Parameterintegral mit Singularitaeten]]
*[[Perihel-Präzession des Merkur]]

[[Kategorie:Analysis]]</text>
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    <text bytes="3205" xml:space="preserve">==Perihel-Präzession des Merkur==
Der Perihel des Merkur ist &lt;math&gt;r_p=46\,000\,000[\mathrm{km}]\,&lt;/math&gt;. bei einer Geschwindigkeit von &lt;math&gt;v_p=59[\mathrm{km/s}]\,&lt;/math&gt;. Die Stärke der Sonnengravitation ist &lt;math&gt;g=Gm_{\text{Sonne}}=1.32744\times 10^{20}[\mathrm{m}^3\mathrm{s}^{-2}]&lt;/math&gt;. Berechene die Perihel-Präzession des Merkur in Bogensekunden pro Jahrhundert. Seine Umlaufzeit beträgt 88 Tage, bzw 0.24 Jahre.

===Tipps===
*Parametrisiert durch die Eigenzeit gelten für Radius &lt;math&gt;r\,&lt;/math&gt; und Winkel &lt;math&gt;\phi\,&lt;/math&gt; die Differentialgleichungen
::&lt;math&gt;\ddot r=-V'(r)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;V(r)=-\frac{g}{m}+\frac{L^2}{2r^2}-\frac{gL^2}{c^2r^3}&lt;/math&gt;, und  &lt;math&gt;\dot\phi r^2=L&lt;/math&gt;.
*Finde eine Differentialgleichung erster Ordnung für &lt;math&gt;r(\phi)&lt;/math&gt; und löse sie.
*Bearbeite die Aufgabe [[Parameterintegral mit Singularitaeten]]


===Lösung===
&lt;math&gt;E=\frac12\dot r^2+V(r)&lt;/math&gt; ist eine Konstante der Bewegung, wobei &lt;math&gt;E=V(r_p)\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;L=r_pv_p\,&lt;/math&gt;. Somit ist 
:&lt;math&gt;r'(\phi)=\dot\phi^{-1}\dot r=\frac{r^2}L\sqrt{2(E-V(r))}&lt;/math&gt;.
Man erhält 
:&lt;math&gt;\phi(R)=\int\limits_{r_p}^R\frac{Ldr}{r^2\sqrt{2(E-V(r))}}&lt;/math&gt;.
Am Aphel &lt;math&gt;r_a\,&lt;/math&gt;, gegeben durch die größte Nullstelle von &lt;math&gt;E-V(r)\,&lt;/math&gt;, beschreibt &lt;math&gt;2\phi(r_a)-2\pi&lt;/math&gt; die Perihel-Präzession pro Umdrehung. Wir faktorisieren
:&lt;math&gt;r^4(E-V(r))=Er^4+gr^3-\frac12L^2r^2+\frac{gL^2}{2c^2}r=Er(r-r_s)(r-r_p)(r_a-r)&lt;/math&gt;,
was nach Polynomdivision auf
:&lt;math&gt;r_{a,s}=\frac{r_p-\frac{g}E\pm\sqrt{\left(\frac{g}E-r_p\right)^2+\frac{2L^2}E-4r_p^2}}2&lt;/math&gt;
führt.

Die &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;-Abhängigkeiten werden so weit wie möglich unterdrückt.
Zunächst berechnen wir 
:&lt;math&gt;F(0)=\int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}} =\left[\frac{2}{\sqrt{r_0r_1}}\arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}\right]_{r_0}^{r_1} =\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}.&lt;/math&gt;


Aus der Aufgabe [[Allgemeines Parameterintegral mit Singularitaeten]] (&lt;math&gt;c=-1\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n=4\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_3=0\,&lt;/math&gt;) lesen wir ab
:&lt;math&gt;F'(0)=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}F(0)+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{r^2\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \left[\frac{r_0+r_1}{(r_0r_1)^{3/2}} \arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}\right]_{r_0}^{r_1}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\left(\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \frac{r_0+r_1}{r_0r_1} \right)\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1^2r_0'-r_0^2r_1'-\frac12r_2'(r_1^2-r_0^2)}{(r_1-r_0)r_0r_1}\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\pi\frac{r_1^2(2r_0'-r_2')-r_2^2(2r_1'-r_2')}{2(r_1-r_0)(r_0r_1)^{3/2}}
&lt;/math&gt;
===Suchbegriffe===
Parameterintegral, integrierbare Singularitäten, Ableitung

===ähnliche Aufgaben===
Niemanden würde diese Aufgabe interessieren, wenn man sie nicht zur Berechnung der Perihel-Präzession des Merkur in der allgemeinen Relativitätstherie gebrauchen könnte.

*[[Allgemeines Parameterintegral mit Singularitaeten]]
*[[Perihel-Präzession des Merkur]]

[[Kategorie:Analysis]]</text>
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    <comment>/* Lösung */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="3896" xml:space="preserve">==Perihel-Präzession des Merkur==
Der Perihel des Merkur ist &lt;math&gt;r_p=46\,000\,000[\mathrm{km}]\,&lt;/math&gt;. bei einer Geschwindigkeit von &lt;math&gt;v_p=59[\mathrm{km/s}]\,&lt;/math&gt;. Die Stärke der Sonnengravitation ist &lt;math&gt;g=Gm_{\text{Sonne}}=1.32744\times 10^{20}[\mathrm{m}^3\mathrm{s}^{-2}]&lt;/math&gt;. Berechene die Perihel-Präzession des Merkur in Bogensekunden pro Jahrhundert. Seine Umlaufzeit beträgt 88 Tage, bzw 0.24 Jahre.

===Tipps===
*Parametrisiert durch die Eigenzeit gelten für Radius &lt;math&gt;r\,&lt;/math&gt; und Winkel &lt;math&gt;\phi\,&lt;/math&gt; die Differentialgleichungen
::&lt;math&gt;\ddot r=-V'(r)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;V(r)=-\frac{g}{m}+\frac{L^2}{2r^2}-\frac{gL^2}{c^2r^3}&lt;/math&gt;, und  &lt;math&gt;\dot\phi r^2=L&lt;/math&gt;.
*Finde eine Differentialgleichung erster Ordnung für &lt;math&gt;r(\phi)&lt;/math&gt; und löse sie.
*Bearbeite die Aufgabe [[Parameterintegral mit Singularitaeten]]


===Lösung===
&lt;math&gt;E=\frac12\dot r^2+V(r)&lt;/math&gt; ist eine Konstante der Bewegung, wobei &lt;math&gt;E=V(r_p)\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;L=r_pv_p\,&lt;/math&gt;. Somit ist 
:&lt;math&gt;r'(\phi)=\dot\phi^{-1}\dot r=\frac{r^2}L\sqrt{2(E-V(r))}&lt;/math&gt;.
Man erhält 
:&lt;math&gt;\phi(R)=\int\limits_{r_p}^R\frac{Ldr}{r^2\sqrt{2(E-V(r))}}&lt;/math&gt;.
Am Aphel &lt;math&gt;r_a\,&lt;/math&gt;, gegeben durch die größte Nullstelle von &lt;math&gt;E-V(r)\,&lt;/math&gt;, beschreibt &lt;math&gt;2\phi(r_a)-2\pi&lt;/math&gt; die Perihel-Präzession pro Umdrehung.  Wir setzen &lt;math&gt;\epsilon=\frac1{c^2}&lt;/math&gt; und betrachten zunächst den Fall &lt;math&gt;\epsilon=0\,&lt;/math&gt;. Es ist 
:&lt;math&gt;r^2(E-V(r))=Er^2+gr-\frac{L^2}2=E(r-r_p)(r-r_a) =Er^2-E(r_p+r_a)r+Er_pr_a&lt;/math&gt;,
also &lt;math&gt;r_a=-\frac{g}E-r_p\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\frac{2E}{L^2}=r_pr_a\,&lt;/math&gt;.
Somit ist 
:&lt;math&gt;\phi(r_a)=\int\limits_{r_p}^{r_a} \frac{\sqrt{r_pr_a}dr}{r\sqrt{(r-r_p)(r_a-r)}}=\pi
&lt;/math&gt;
nach dem Ergebnis von [[Parameterintegral mit Singularitaeten]].

Wir faktorisieren
:&lt;math&gt;r^4(E-V(r))=Er^4+gr^3-\frac12L^2r^2+\frac{gL^2}{2c^2}r=Er(r-r_s)(r-r_p)(r-r_a)&lt;/math&gt;,
was nach Polynomdivision auf
:&lt;math&gt;r_{a,s}=\frac{g+3Er_p\pm\sqrt{(g-3Er_p)(g+Er_p)+2EL^2}}{-2E}&lt;/math&gt;
führt. Offenbar ist &lt;math&gt;r_s=0\,&lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;c=\infty\,&lt;/math&gt;. Wir setzen &lt;math&gt;\epsilon=\frac1{c^2}&lt;/math&gt; und erhalten 
:&lt;math&gt;\phi_{\epsilon}(r_a)=\frac{L}{\sqrt{-2E}}\int\limits_{r_p}^{r_a} \frac{dr}{\sqrt{r(r-r_s)(r-r_p)(r_a-r)}}&lt;/math&gt;. 
Es gilt

Die &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;-Abhängigkeiten werden so weit wie möglich unterdrückt.
Zunächst berechnen wir 
:&lt;math&gt;F(0)=\int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}} =\left[\frac{2}{\sqrt{r_0r_1}}\arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}\right]_{r_0}^{r_1} =\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}.&lt;/math&gt;


Aus der Aufgabe [[Allgemeines Parameterintegral mit Singularitaeten]] (&lt;math&gt;c=-1\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n=4\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_3=0\,&lt;/math&gt;) lesen wir ab
:&lt;math&gt;F'(0)=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}F(0)+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{r^2\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \left[\frac{r_0+r_1}{(r_0r_1)^{3/2}} \arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}\right]_{r_0}^{r_1}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\left(\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \frac{r_0+r_1}{r_0r_1} \right)\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1^2r_0'-r_0^2r_1'-\frac12r_2'(r_1^2-r_0^2)}{(r_1-r_0)r_0r_1}\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\pi\frac{r_1^2(2r_0'-r_2')-r_2^2(2r_1'-r_2')}{2(r_1-r_0)(r_0r_1)^{3/2}}
&lt;/math&gt;

===Suchbegriffe===
Parameterintegral, integrierbare Singularitäten, Ableitung

===ähnliche Aufgaben===
Niemanden würde diese Aufgabe interessieren, wenn man sie nicht zur Berechnung der Perihel-Präzession des Merkur in der allgemeinen Relativitätstherie gebrauchen könnte.

*[[Allgemeines Parameterintegral mit Singularitaeten]]
*[[Perihel-Präzession des Merkur]]

[[Kategorie:Analysis]]</text>
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    <comment>/* Lösung */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="4362" xml:space="preserve">==Perihel-Präzession des Merkur==
Der Perihel des Merkur ist &lt;math&gt;r_p=46\,000\,000[\mathrm{km}]\,&lt;/math&gt;. bei einer Geschwindigkeit von &lt;math&gt;v_p=59[\mathrm{km/s}]\,&lt;/math&gt;. Die Stärke der Sonnengravitation ist &lt;math&gt;g=Gm_{\text{Sonne}}=1.32744\times 10^{20}[\mathrm{m}^3\mathrm{s}^{-2}]&lt;/math&gt;. Berechene die Perihel-Präzession des Merkur in Bogensekunden pro Jahrhundert. Seine Umlaufzeit beträgt 88 Tage, bzw 0.24 Jahre.

===Tipps===
*Parametrisiert durch die Eigenzeit gelten für Radius &lt;math&gt;r\,&lt;/math&gt; und Winkel &lt;math&gt;\phi\,&lt;/math&gt; die Differentialgleichungen
::&lt;math&gt;\ddot r=-V'(r)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;V(r)=-\frac{g}{m}+\frac{L^2}{2r^2}-\frac{gL^2}{c^2r^3}&lt;/math&gt;, und  &lt;math&gt;\dot\phi r^2=L&lt;/math&gt;.
*Finde eine Differentialgleichung erster Ordnung für &lt;math&gt;r(\phi)&lt;/math&gt; und löse sie.
*Bearbeite die Aufgabe [[Parameterintegral mit Singularitaeten]]


===Lösung===
&lt;math&gt;E=\frac12\dot r^2+V(r)&lt;/math&gt; ist eine Konstante der Bewegung, wobei &lt;math&gt;E=V(r_p)\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;L=r_pv_p\,&lt;/math&gt;. Somit ist 
:&lt;math&gt;r'(\phi)=\dot\phi^{-1}\dot r=\frac{r^2}L\sqrt{2(E-V(r))}&lt;/math&gt;.
Man erhält 
:&lt;math&gt;\phi(R)=\int\limits_{r_p}^R\frac{Ldr}{r^2\sqrt{2(E-V(r))}}&lt;/math&gt;.
Am Aphel &lt;math&gt;r_a\,&lt;/math&gt;, gegeben durch die größte Nullstelle von &lt;math&gt;E-V(r)\,&lt;/math&gt;, beschreibt &lt;math&gt;2\phi(r_a)-2\pi&lt;/math&gt; die Perihel-Präzession pro Umdrehung.  Wir setzen &lt;math&gt;\epsilon=\frac1{c^2}&lt;/math&gt; und betrachten zunächst den Fall &lt;math&gt;\epsilon=0\,&lt;/math&gt;. Es ist 
:&lt;math&gt;r^2(E-V(r))=Er^2+gr-\frac{L^2}2=E(r-r_p)(r-r_a) =Er^2-E(r_p+r_a)r+Er_pr_a&lt;/math&gt;,
also &lt;math&gt;r_a=-\frac{g}E-r_p\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\frac{L^2}{2E}=r_pr_a\,&lt;/math&gt;.
Somit ist 
:&lt;math&gt;\phi(r_a)=\int\limits_{r_p}^{r_a} \frac{\sqrt{r_pr_a}dr}{r\sqrt{(r-r_p)(r_a-r)}}=\pi
&lt;/math&gt;
nach dem Ergebnis der Aufgabe [[Parameterintegral mit Singularitaeten]].

Wir faktorisieren nun für beliebiges &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;,
:&lt;math&gt;r^4(E-V(r))=Er^4+gr^3-\frac12L^2r^2+\frac{gL^2}{2c^2}r=Er(r-r_s)(r-r_p)(r-r_a)&lt;/math&gt;,
was nach Polynomdivision auf
:&lt;math&gt;r_{a,s}=\frac{g+3Er_p\pm\sqrt{(g-3Er_p)(g+Er_p)+2EL^2}}{-2E}&lt;/math&gt;
führt. Dieses explizite Ergebnis ist gar nicht besonders nützlich, aber 
offenbar ist &lt;math&gt;r_s=0\,&lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;\epsilon=0\,&lt;/math&gt;. Wir erhalten 
:&lt;math&gt;\phi_{\epsilon}(r_a)=\frac{L}{\sqrt{-2E}}\int\limits_{r_p}^{r_a} \frac{dr}{\sqrt{r(r-r_s)(r-r_p)(r_a-r)}}&lt;/math&gt;. 
Der Ableitungsstrich steht ab jetzt für die Ableitung nach &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;. 
Ausgewertet wird bei &lt;math&gt;\epsilon=0\,&lt;/math&gt;. Dann ist 
:&lt;math&gt;E'=\frac{gL^2}{r_p^3}&lt;/math&gt;,
und nach dem Satz über implizite Funktionen für &lt;math&gt;f(\epsilon,r)=r^4(E-V(r))\,&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;r_p'=\left.-\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)^{-1}\frac{\partial f}{\partial\epsilon}\right|_{r=r_p}&lt;/math&gt; 

Die &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;-Abhängigkeiten werden so weit wie möglich unterdrückt.
Zunächst berechnen wir 
:&lt;math&gt;F(0)=\int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}} =\left[\frac{2}{\sqrt{r_0r_1}}\arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}\right]_{r_0}^{r_1} =\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}.&lt;/math&gt;


Aus der Aufgabe [[Allgemeines Parameterintegral mit Singularitaeten]] (&lt;math&gt;c=-1\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n=4\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_3=0\,&lt;/math&gt;) lesen wir ab
:&lt;math&gt;F'(0)=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}F(0)+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{r^2\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \left[\frac{r_0+r_1}{(r_0r_1)^{3/2}} \arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}\right]_{r_0}^{r_1}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\left(\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \frac{r_0+r_1}{r_0r_1} \right)\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1^2r_0'-r_0^2r_1'-\frac12r_2'(r_1^2-r_0^2)}{(r_1-r_0)r_0r_1}\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\pi\frac{r_1^2(2r_0'-r_2')-r_2^2(2r_1'-r_2')}{2(r_1-r_0)(r_0r_1)^{3/2}}
&lt;/math&gt;

===Suchbegriffe===
Parameterintegral, integrierbare Singularitäten, Ableitung

===ähnliche Aufgaben===
Niemanden würde diese Aufgabe interessieren, wenn man sie nicht zur Berechnung der Perihel-Präzession des Merkur in der allgemeinen Relativitätstherie gebrauchen könnte.

*[[Allgemeines Parameterintegral mit Singularitaeten]]
*[[Perihel-Präzession des Merkur]]

[[Kategorie:Analysis]]</text>
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    <comment>/* Lösung */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="5239" xml:space="preserve">==Perihel-Präzession des Merkur==
Der Perihel des Merkur ist &lt;math&gt;r_p=46\,000\,000[\mathrm{km}]\,&lt;/math&gt;. bei einer Geschwindigkeit von &lt;math&gt;v_p=59[\mathrm{km/s}]\,&lt;/math&gt;. Die Stärke der Sonnengravitation ist &lt;math&gt;g=Gm_{\text{Sonne}}=1.32744\times 10^{20}[\mathrm{m}^3\mathrm{s}^{-2}]&lt;/math&gt;. Berechene die Perihel-Präzession des Merkur in Bogensekunden pro Jahrhundert. Seine Umlaufzeit beträgt 88 Tage, bzw 0.24 Jahre.

===Tipps===
*Parametrisiert durch die Eigenzeit gelten für Radius &lt;math&gt;r\,&lt;/math&gt; und Winkel &lt;math&gt;\phi\,&lt;/math&gt; die Differentialgleichungen
::&lt;math&gt;\ddot r=-V'(r)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;V(r)=-\frac{g}{m}+\frac{L^2}{2r^2}-\frac{gL^2}{c^2r^3}&lt;/math&gt;, und  &lt;math&gt;\dot\phi r^2=L&lt;/math&gt;.
*Finde eine Differentialgleichung erster Ordnung für &lt;math&gt;r(\phi)&lt;/math&gt; und löse sie.
*Bearbeite die Aufgabe [[Parameterintegral mit Singularitaeten]]


===Lösung===
&lt;math&gt;E=\frac12\dot r^2+V(r)&lt;/math&gt; ist eine Konstante der Bewegung, wobei &lt;math&gt;E=V(r_p)\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;L=r_pv_p\,&lt;/math&gt;. Somit ist 
:&lt;math&gt;r'(\phi)=\dot\phi^{-1}\dot r=\frac{r^2}L\sqrt{2(E-V(r))}&lt;/math&gt;.
Man erhält 
:&lt;math&gt;\phi(R)=\int\limits_{r_p}^R\frac{Ldr}{r^2\sqrt{2(E-V(r))}}&lt;/math&gt;.
Am Aphel &lt;math&gt;r_a\,&lt;/math&gt;, gegeben durch die größte Nullstelle von &lt;math&gt;E-V(r)\,&lt;/math&gt;, beschreibt &lt;math&gt;2\phi(r_a)-2\pi&lt;/math&gt; die Perihel-Präzession pro Umdrehung.  Wir setzen &lt;math&gt;\epsilon=\frac1{c^2}&lt;/math&gt; und betrachten zunächst den Fall &lt;math&gt;\epsilon=0\,&lt;/math&gt;. Es ist 
:&lt;math&gt;r^2(E-V(r))=Er^2+gr-\frac{L^2}2=E(r-r_p)(r-r_a) =Er^2-E(r_p+r_a)r+Er_pr_a&lt;/math&gt;,
also &lt;math&gt;r_a=-\frac{g}E-r_p\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\frac{L^2}{2E}=r_pr_a\,&lt;/math&gt;.
Somit ist 
:&lt;math&gt;\phi(r_a)=\int\limits_{r_p}^{r_a} \frac{\sqrt{r_pr_a}dr}{r\sqrt{(r-r_p)(r_a-r)}}=\pi
&lt;/math&gt;
nach dem Ergebnis der Aufgabe [[Parameterintegral mit Singularitaeten]].

Wir faktorisieren nun für beliebiges &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;,
:&lt;math&gt;r^4(E-V(r))=Er^4+gr^3-\frac12L^2r^2+\frac{gL^2}{2c^2}r=Er(r-r_s)(r-r_p)(r-r_a)&lt;/math&gt;,
was nach Polynomdivision auf
:&lt;math&gt;r_{a,s}=\frac{g+3Er_p\pm\sqrt{(g-3Er_p)(g+Er_p)+2EL^2}}{-2E}&lt;/math&gt;
führt. Dieses explizite Ergebnis ist gar nicht besonders nützlich, aber 
offenbar ist &lt;math&gt;r_s=0\,&lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;\epsilon=0\,&lt;/math&gt;. Wir erhalten 
:&lt;math&gt;\phi_{\epsilon}(r_a)=\frac{L}{\sqrt{-2E}}\int\limits_{r_p}^{r_a} \frac{dr}{\sqrt{r(r-r_s)(r-r_p)(r_a-r)}}&lt;/math&gt;. 
Der Ableitungsstrich steht ab jetzt für die Ableitung nach &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;. 
Ausgewertet wird bei &lt;math&gt;\epsilon=0\,&lt;/math&gt;. Dann ist 
:&lt;math&gt;E'=\frac{d}{d\epsilon}V(r_p)=-\frac{gL^2}{r_p^3}&lt;/math&gt;.
Für &lt;math&gt;r_a'\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;r_s'\,&lt;/math&gt; wenden wir den Satz über implizite Funktionen auf &lt;math&gt;f(\epsilon,r)=r^4(E-V(r))=Er^4+gr^3-\frac{L^2}2r^2+\epsilon gL^2r\,&lt;/math&gt; an. Es ist
:&lt;math&gt;\partial_\epsilon f=r^4E'+gL^2r=gL^2r\left(1-\frac{r^3}{r_p^3}\right)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\partial_rf=4Er^3+3gr^2-L^2r =4r^3\left(-\frac{g}{r_p}+\frac{L^2}{2r_p^2}\right)+3gr^2-L^2r&lt;/math&gt;
und somit 
:&lt;math&gt;-\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)^{-1}\frac{\partial f}{\partial\epsilon} =\frac{gL^2(r^3-r_p^3)}{L^2r_p(2r^2-r_p^2)-grr_p^2(4r-3r_p)}&lt;/math&gt;.
Also

:&lt;math&gt;r_p'=\left.-\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)^{-1}\frac{\partial f}{\partial\epsilon}\right|_{r=r_p} =0&lt;/math&gt; (nur zur Kontrolle!) 
:&lt;math&gt;r_a'=\left.-\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)^{-1}\frac{\partial f}{\partial\epsilon}\right|_{r=r_a} =\frac{gL^2(r_a^3-r_p^3)}{L^2r_p(2r_a^2-r_p^2)-gr_ar_p^2(4r_a-3r_p)}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;r_s'=\left.-\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)^{-1}\frac{\partial f}{\partial\epsilon}\right|_{r=r_s=0} =\frac{gL^2(-r_p^3)}{L^2r_p(-r_p^2)}=g&lt;/math&gt;

Die &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;-Abhängigkeiten werden so weit wie möglich unterdrückt.
Zunächst berechnen wir 
:&lt;math&gt;F(0)=\int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}} =\left[\frac{2}{\sqrt{r_0r_1}}\arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}\right]_{r_0}^{r_1} =\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}.&lt;/math&gt;


Aus der Aufgabe [[Allgemeines Parameterintegral mit Singularitaeten]] (&lt;math&gt;c=-1\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n=4\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_3=0\,&lt;/math&gt;) lesen wir ab
:&lt;math&gt;F'(0)=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}F(0)+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{r^2\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \left[\frac{r_0+r_1}{(r_0r_1)^{3/2}} \arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}\right]_{r_0}^{r_1}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\left(\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \frac{r_0+r_1}{r_0r_1} \right)\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1^2r_0'-r_0^2r_1'-\frac12r_2'(r_1^2-r_0^2)}{(r_1-r_0)r_0r_1}\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\pi\frac{r_1^2(2r_0'-r_2')-r_2^2(2r_1'-r_2')}{2(r_1-r_0)(r_0r_1)^{3/2}}
&lt;/math&gt;

===Suchbegriffe===
Parameterintegral, integrierbare Singularitäten, Ableitung

===ähnliche Aufgaben===
Niemanden würde diese Aufgabe interessieren, wenn man sie nicht zur Berechnung der Perihel-Präzession des Merkur in der allgemeinen Relativitätstherie gebrauchen könnte.

*[[Allgemeines Parameterintegral mit Singularitaeten]]
*[[Perihel-Präzession des Merkur]]

[[Kategorie:Analysis]]</text>
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    <contributor>
      <username>Mpraehofer</username>
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    <comment>/* Lösung */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="5687" xml:space="preserve">==Perihel-Präzession des Merkur==
Der Perihel des Merkur ist &lt;math&gt;r_p=46\,000\,000[\mathrm{km}]\,&lt;/math&gt;. bei einer Geschwindigkeit von &lt;math&gt;v_p=59[\mathrm{km/s}]\,&lt;/math&gt;. Die Stärke der Sonnengravitation ist &lt;math&gt;g=Gm_{\text{Sonne}}=1.32744\times 10^{20}[\mathrm{m}^3\mathrm{s}^{-2}]&lt;/math&gt;. Berechene die Perihel-Präzession des Merkur in Bogensekunden pro Jahrhundert. Seine Umlaufzeit beträgt 88 Tage, bzw 0.24 Jahre.

===Tipps===
*Parametrisiert durch die Eigenzeit gelten für Radius &lt;math&gt;r\,&lt;/math&gt; und Winkel &lt;math&gt;\phi\,&lt;/math&gt; die Differentialgleichungen
::&lt;math&gt;\ddot r=-V'(r)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;V(r)=-\frac{g}{m}+\frac{L^2}{2r^2}-\frac{gL^2}{c^2r^3}&lt;/math&gt;, und  &lt;math&gt;\dot\phi r^2=L&lt;/math&gt;.
*Finde eine Differentialgleichung erster Ordnung für &lt;math&gt;r(\phi)&lt;/math&gt; und löse sie.
*Bearbeite die Aufgabe [[Parameterintegral mit Singularitaeten]]


===Lösung===
====Die Lösung der Bewegungsgleichung als uneigentliches Riemann-Integral====
&lt;math&gt;E=\frac12\dot r^2+V(r)&lt;/math&gt; ist eine Konstante der Bewegung, wobei &lt;math&gt;E=V(r_p)\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;L=r_pv_p\,&lt;/math&gt;. Somit ist 
:&lt;math&gt;r'(\phi)=\dot\phi^{-1}\dot r=\frac{r^2}L\sqrt{2(E-V(r))}&lt;/math&gt;.
Man erhält 
:&lt;math&gt;\phi(R)=\int\limits_{r_p}^R\frac{Ldr}{r^2\sqrt{2(E-V(r))}}&lt;/math&gt;.
Am Aphel &lt;math&gt;r_a\,&lt;/math&gt;, gegeben durch die größte Nullstelle von &lt;math&gt;E-V(r)\,&lt;/math&gt;, beschreibt &lt;math&gt;2\phi(r_a)-2\pi&lt;/math&gt; die Perihel-Präzession pro Umdrehung.  Wir setzen &lt;math&gt;\epsilon=\frac1{c^2}&lt;/math&gt; und betrachten zunächst den Fall &lt;math&gt;\epsilon=0\,&lt;/math&gt;. Es ist 
:&lt;math&gt;r^2(E-V(r))=Er^2+gr-\frac{L^2}2=E(r-r_p)(r-r_a) =Er^2-E(r_p+r_a)r+Er_pr_a&lt;/math&gt;,
also &lt;math&gt;r_a=-\frac{g}E-r_p\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\frac{L^2}{2E}=r_pr_a\,&lt;/math&gt;.
Somit ist 
:&lt;math&gt;\phi(r_a)=\int\limits_{r_p}^{r_a} \frac{\sqrt{r_pr_a}dr}{r\sqrt{(r-r_p)(r_a-r)}}=\pi
&lt;/math&gt;
nach dem Ergebnis der Aufgabe [[Parameterintegral mit Singularitaeten]].
Das bedeutet das die Perihel-Präzession bei Newtonscher Gravitation &lt;math&gt;0\,&lt;/math&gt; ist, eine Konsequenz der Keplerschen Gesetze.

Wir faktorisieren nun für beliebiges &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;,
:&lt;math&gt;r^4(E-V(r))=Er^4+gr^3-\frac12L^2r^2+\frac{gL^2}{2c^2}r=Er(r-r_s)(r-r_p)(r-r_a)&lt;/math&gt;,
was nach Polynomdivision auf
:&lt;math&gt;r_{a,s}=\frac{g+3Er_p\pm\sqrt{(g-3Er_p)(g+Er_p)+2EL^2}}{-2E}&lt;/math&gt;
führt. Dieses explizite Ergebnis wird im weiteren nicht mehr benutzt, aber 
offenbar ist &lt;math&gt;r_s=0\,&lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;\epsilon=0\,&lt;/math&gt;. Wir erhalten 
:&lt;math&gt;\phi_{\epsilon}(r_a)=\frac{L}{\sqrt{-2E}}\int\limits_{r_p}^{r_a} \frac{dr}{\sqrt{r(r-r_s)(r-r_p)(r_a-r)}}&lt;/math&gt;. 
Ein ähnlicher Ausdruck wurde in der Aufgabe [[Parameterintegral mit Singularitaeten]] untersucht, mit dem Ergebnis, dass
:&lt;math&gt;\left.\frac{d}{d\epsilon}\phi_\epsilon(r_a)\right|_{\epsilon=0}=&lt;/math&gt;

====Auswertung der Ableitung====
Der Ableitungsstrich steht ab jetzt für die Ableitung nach &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;. 
Ausgewertet wird bei &lt;math&gt;\epsilon=0\,&lt;/math&gt;. Dann ist 
:&lt;math&gt;E'=\frac{d}{d\epsilon}V(r_p)=-\frac{gL^2}{r_p^3}&lt;/math&gt;.
Für &lt;math&gt;r_a'\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;r_s'\,&lt;/math&gt; wenden wir den Satz über implizite Funktionen auf &lt;math&gt;f(\epsilon,r)=r^4(E-V(r))=Er^4+gr^3-\frac{L^2}2r^2+\epsilon gL^2r\,&lt;/math&gt; an. Es ist
:&lt;math&gt;\partial_\epsilon f=r^4E'+gL^2r=gL^2r\left(1-\frac{r^3}{r_p^3}\right)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\partial_rf=4Er^3+3gr^2-L^2r =4r^3\left(-\frac{g}{r_p}+\frac{L^2}{2r_p^2}\right)+3gr^2-L^2r&lt;/math&gt;
und somit 
:&lt;math&gt;-\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)^{-1}\frac{\partial f}{\partial\epsilon} =\frac{gL^2(r^3-r_p^3)}{L^2r_p(2r^2-r_p^2)-grr_p^2(4r-3r_p)}&lt;/math&gt;.
Also

:&lt;math&gt;r_p'=\left.-\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)^{-1}\frac{\partial f}{\partial\epsilon}\right|_{r=r_p} =0&lt;/math&gt; (nur zur Kontrolle!) 
:&lt;math&gt;r_a'=\left.-\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)^{-1}\frac{\partial f}{\partial\epsilon}\right|_{r=r_a} =\frac{gL^2(r_a^3-r_p^3)}{L^2r_p(2r_a^2-r_p^2)-gr_ar_p^2(4r_a-3r_p)}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;r_s'=\left.-\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)^{-1}\frac{\partial f}{\partial\epsilon}\right|_{r=r_s=0} =\frac{gL^2(-r_p^3)}{L^2r_p(-r_p^2)}=g&lt;/math&gt;

Die &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;-Abhängigkeiten werden so weit wie möglich unterdrückt.
Zunächst berechnen wir 
:&lt;math&gt;F(0)=\int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}} =\left[\frac{2}{\sqrt{r_0r_1}}\arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}\right]_{r_0}^{r_1} =\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}.&lt;/math&gt;


Aus der Aufgabe [[Allgemeines Parameterintegral mit Singularitaeten]] (&lt;math&gt;c=-1\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n=4\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_3=0\,&lt;/math&gt;) lesen wir ab
:&lt;math&gt;F'(0)=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}F(0)+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{r^2\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \left[\frac{r_0+r_1}{(r_0r_1)^{3/2}} \arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}\right]_{r_0}^{r_1}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\left(\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \frac{r_0+r_1}{r_0r_1} \right)\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1^2r_0'-r_0^2r_1'-\frac12r_2'(r_1^2-r_0^2)}{(r_1-r_0)r_0r_1}\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\pi\frac{r_1^2(2r_0'-r_2')-r_2^2(2r_1'-r_2')}{2(r_1-r_0)(r_0r_1)^{3/2}}
&lt;/math&gt;

===Suchbegriffe===
Parameterintegral, integrierbare Singularitäten, Ableitung

===ähnliche Aufgaben===
Niemanden würde diese Aufgabe interessieren, wenn man sie nicht zur Berechnung der Perihel-Präzession des Merkur in der allgemeinen Relativitätstherie gebrauchen könnte.

*[[Allgemeines Parameterintegral mit Singularitaeten]]
*[[Perihel-Präzession des Merkur]]

[[Kategorie:Analysis]]</text>
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      <username>Mpraehofer</username>
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    <comment>/* Die Lösung der Bewegungsgleichung als uneigentliches Riemann-Integral */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="5984" xml:space="preserve">==Perihel-Präzession des Merkur==
Der Perihel des Merkur ist &lt;math&gt;r_p=46\,000\,000[\mathrm{km}]\,&lt;/math&gt;. bei einer Geschwindigkeit von &lt;math&gt;v_p=59[\mathrm{km/s}]\,&lt;/math&gt;. Die Stärke der Sonnengravitation ist &lt;math&gt;g=Gm_{\text{Sonne}}=1.32744\times 10^{20}[\mathrm{m}^3\mathrm{s}^{-2}]&lt;/math&gt;. Berechene die Perihel-Präzession des Merkur in Bogensekunden pro Jahrhundert. Seine Umlaufzeit beträgt 88 Tage, bzw 0.24 Jahre.

===Tipps===
*Parametrisiert durch die Eigenzeit gelten für Radius &lt;math&gt;r\,&lt;/math&gt; und Winkel &lt;math&gt;\phi\,&lt;/math&gt; die Differentialgleichungen
::&lt;math&gt;\ddot r=-V'(r)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;V(r)=-\frac{g}{m}+\frac{L^2}{2r^2}-\frac{gL^2}{c^2r^3}&lt;/math&gt;, und  &lt;math&gt;\dot\phi r^2=L&lt;/math&gt;.
*Finde eine Differentialgleichung erster Ordnung für &lt;math&gt;r(\phi)&lt;/math&gt; und löse sie.
*Bearbeite die Aufgabe [[Parameterintegral mit Singularitaeten]]


===Lösung===
====Die Lösung der Bewegungsgleichung als uneigentliches Riemann-Integral====
&lt;math&gt;E=\frac12\dot r^2+V(r)&lt;/math&gt; ist eine Konstante der Bewegung, wobei &lt;math&gt;E=V(r_p)\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;L=r_pv_p\,&lt;/math&gt;. Somit ist 
:&lt;math&gt;r'(\phi)=\dot\phi^{-1}\dot r=\frac{r^2}L\sqrt{2(E-V(r))}&lt;/math&gt;.
Man erhält 
:&lt;math&gt;\phi(R)=\int\limits_{r_p}^R\frac{Ldr}{r^2\sqrt{2(E-V(r))}}&lt;/math&gt;.
Am Aphel &lt;math&gt;r_a\,&lt;/math&gt;, gegeben durch die größte Nullstelle von &lt;math&gt;E-V(r)\,&lt;/math&gt;, beschreibt &lt;math&gt;2\alpha=\phi(r_a)-2\pi&lt;/math&gt; die Perihel-Präzession pro Umdrehung.  Wir setzen &lt;math&gt;\epsilon=\frac1{c^2}&lt;/math&gt; und betrachten zunächst den Fall &lt;math&gt;\epsilon=0\,&lt;/math&gt;. Es ist 
:&lt;math&gt;r^2(E-V(r))=Er^2+gr-\frac{L^2}2=E(r-r_p)(r-r_a) =Er^2-E(r_p+r_a)r+Er_pr_a&lt;/math&gt;,
also &lt;math&gt;r_a=-\frac{g}E-r_p\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\frac{L^2}{2E}=r_pr_a\,&lt;/math&gt;.
Somit ist 
:&lt;math&gt;\phi(r_a)=\int\limits_{r_p}^{r_a} \frac{\sqrt{r_pr_a}dr}{r\sqrt{(r-r_p)(r_a-r)}}=\pi
&lt;/math&gt;
nach dem Ergebnis der Aufgabe [[Parameterintegral mit Singularitaeten]].
Das bedeutet das die Perihel-Präzession bei Newtonscher Gravitation &lt;math&gt;0\,&lt;/math&gt; ist, eine Konsequenz der Keplerschen Gesetze.

Wir faktorisieren nun für beliebiges &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;,
:&lt;math&gt;r^4(E-V(r))=Er^4+gr^3-\frac12L^2r^2+\frac{gL^2}{2c^2}r=Er(r-r_s)(r-r_p)(r-r_a)&lt;/math&gt;,
was nach Polynomdivision auf
:&lt;math&gt;r_{a,s}=\frac{g+3Er_p\pm\sqrt{(g-3Er_p)(g+Er_p)+2EL^2}}{-2E}&lt;/math&gt;
führt. Dieses explizite Ergebnis wird im weiteren nicht mehr benutzt, aber 
offenbar ist &lt;math&gt;r_s=0\,&lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;\epsilon=0\,&lt;/math&gt;. Wir erhalten 
:&lt;math&gt;\phi_{\epsilon}(r_a)=\frac{L}{\sqrt{-2E}}\int\limits_{r_p}^{r_a} \frac{dr}{\sqrt{r(r-r_s)(r-r_p)(r_a-r)}}=\frac{L}{\sqrt{-2E}}F(\epsilon)&lt;/math&gt;. 

:&lt;math&gt;\left.\frac{d}{d\epsilon}\phi_\epsilon(r_a)\right|_{\epsilon=0} =-\frac{-2LE'}{2\sqrt{-2E}^3}F(0)+\frac{L}{\sqrt{-2E}}F'(0) =-\frac{E'}{2E}\sqrt{r_pr_a}F(0)+\sqrt{r_pr_a}F'(0)&lt;/math&gt;.
&lt;math&gt;F\,&lt;/math&gt; wurde in der Aufgabe [[Parameterintegral mit Singularitaeten]] untersucht, mit dem Ergebnis (siehe oben) 
:&lt;math&gt;F(0)=\frac{\pi}{\sqrt{r_p_ra}}&lt;/math&gt; und 
:&lt;math&gt;F'(0)=\pi\frac{r_a^2(2r_p'-r_s')-r_p^2(2r_a'-r_s')} {2(r_a-r_p)(r_pr_a)^{3/2}}&lt;/math&gt;.

====Auswertung der Ableitung====
Der Ableitungsstrich steht ab jetzt für die Ableitung nach &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;. 
Ausgewertet wird bei &lt;math&gt;\epsilon=0\,&lt;/math&gt;. Dann ist 
:&lt;math&gt;E'=\frac{d}{d\epsilon}V(r_p)=-\frac{gL^2}{r_p^3}&lt;/math&gt;.
Für &lt;math&gt;r_a'\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;r_s'\,&lt;/math&gt; wenden wir den Satz über implizite Funktionen auf &lt;math&gt;f(\epsilon,r)=r^4(E-V(r))=Er^4+gr^3-\frac{L^2}2r^2+\epsilon gL^2r\,&lt;/math&gt; an. Es ist
:&lt;math&gt;\partial_\epsilon f=r^4E'+gL^2r=gL^2r\left(1-\frac{r^3}{r_p^3}\right)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\partial_rf=4Er^3+3gr^2-L^2r =4r^3\left(-\frac{g}{r_p}+\frac{L^2}{2r_p^2}\right)+3gr^2-L^2r&lt;/math&gt;
und somit 
:&lt;math&gt;-\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)^{-1}\frac{\partial f}{\partial\epsilon} =\frac{gL^2(r^3-r_p^3)}{L^2r_p(2r^2-r_p^2)-grr_p^2(4r-3r_p)}&lt;/math&gt;.
Also

:&lt;math&gt;r_p'=\left.-\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)^{-1}\frac{\partial f}{\partial\epsilon}\right|_{r=r_p} =0&lt;/math&gt; (nur zur Kontrolle!) 
:&lt;math&gt;r_a'=\left.-\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)^{-1}\frac{\partial f}{\partial\epsilon}\right|_{r=r_a} =\frac{gL^2(r_a^3-r_p^3)}{L^2r_p(2r_a^2-r_p^2)-gr_ar_p^2(4r_a-3r_p)}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;r_s'=\left.-\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)^{-1}\frac{\partial f}{\partial\epsilon}\right|_{r=r_s=0} =\frac{gL^2(-r_p^3)}{L^2r_p(-r_p^2)}=g&lt;/math&gt;

Die &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;-Abhängigkeiten werden so weit wie möglich unterdrückt.
Zunächst berechnen wir 
:&lt;math&gt;F(0)=\int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}} =\left[\frac{2}{\sqrt{r_0r_1}}\arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}\right]_{r_0}^{r_1} =\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}.&lt;/math&gt;


Aus der Aufgabe [[Allgemeines Parameterintegral mit Singularitaeten]] (&lt;math&gt;c=-1\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n=4\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_3=0\,&lt;/math&gt;) lesen wir ab
:&lt;math&gt;F'(0)=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}F(0)+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{r^2\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \left[\frac{r_0+r_1}{(r_0r_1)^{3/2}} \arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}\right]_{r_0}^{r_1}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\left(\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \frac{r_0+r_1}{r_0r_1} \right)\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1^2r_0'-r_0^2r_1'-\frac12r_2'(r_1^2-r_0^2)}{(r_1-r_0)r_0r_1}\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\pi\frac{r_1^2(2r_0'-r_2')-r_2^2(2r_1'-r_2')}{2(r_1-r_0)(r_0r_1)^{3/2}}
&lt;/math&gt;

===Suchbegriffe===
Parameterintegral, integrierbare Singularitäten, Ableitung

===ähnliche Aufgaben===
Niemanden würde diese Aufgabe interessieren, wenn man sie nicht zur Berechnung der Perihel-Präzession des Merkur in der allgemeinen Relativitätstherie gebrauchen könnte.

*[[Allgemeines Parameterintegral mit Singularitaeten]]
*[[Perihel-Präzession des Merkur]]

[[Kategorie:Analysis]]</text>
    <sha1>50a3f4d14bf213aa2ed3dcbf7f710c49b9e16066</sha1>
  </revision>
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    <timestamp>2006-07-03T16:06:35Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>Mpraehofer</username>
      <id>20808</id>
    </contributor>
    <comment>/* Lösung */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="6389" xml:space="preserve">==Perihel-Präzession des Merkur==
Der Perihel des Merkur ist &lt;math&gt;r_p=46\,000\,000[\mathrm{km}]\,&lt;/math&gt;. bei einer Geschwindigkeit von &lt;math&gt;v_p=59[\mathrm{km/s}]\,&lt;/math&gt;. Die Stärke der Sonnengravitation ist &lt;math&gt;g=Gm_{\text{Sonne}}=1.32744\times 10^{20}[\mathrm{m}^3\mathrm{s}^{-2}]&lt;/math&gt;. Berechene die Perihel-Präzession des Merkur in Bogensekunden pro Jahrhundert. Seine Umlaufzeit beträgt 88 Tage, bzw 0.24 Jahre.

===Tipps===
*Parametrisiert durch die Eigenzeit gelten für Radius &lt;math&gt;r\,&lt;/math&gt; und Winkel &lt;math&gt;\phi\,&lt;/math&gt; die Differentialgleichungen
::&lt;math&gt;\ddot r=-V'(r)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;V(r)=-\frac{g}{m}+\frac{L^2}{2r^2}-\frac{gL^2}{c^2r^3}&lt;/math&gt;, und  &lt;math&gt;\dot\phi r^2=L&lt;/math&gt;.
*Finde eine Differentialgleichung erster Ordnung für &lt;math&gt;r(\phi)&lt;/math&gt; und löse sie.
*Bearbeite die Aufgabe [[Parameterintegral mit Singularitaeten]]


===Lösung===
====Die Lösung der Bewegungsgleichung als uneigentliches Riemann-Integral====
&lt;math&gt;E=\frac12\dot r^2+V(r)&lt;/math&gt; ist eine Konstante der Bewegung, wobei &lt;math&gt;E=V(r_p)\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;L=r_pv_p\,&lt;/math&gt;. Somit ist 
:&lt;math&gt;r'(\phi)=\dot\phi^{-1}\dot r=\frac{r^2}L\sqrt{2(E-V(r))}&lt;/math&gt;.
Man erhält 
:&lt;math&gt;\phi(R)=\int\limits_{r_p}^R\frac{Ldr}{r^2\sqrt{2(E-V(r))}}&lt;/math&gt;.
Am Aphel &lt;math&gt;r_a\,&lt;/math&gt;, gegeben durch die größte Nullstelle von &lt;math&gt;E-V(r)\,&lt;/math&gt;, beschreibt &lt;math&gt;2\alpha=\phi(r_a)-2\pi&lt;/math&gt; die Perihel-Präzession pro Umdrehung.  Wir setzen &lt;math&gt;\epsilon=\frac1{c^2}&lt;/math&gt; und betrachten zunächst den Fall &lt;math&gt;\epsilon=0\,&lt;/math&gt;. Es ist 
:&lt;math&gt;r^2(E-V(r))=Er^2+gr-\frac{L^2}2=E(r-r_p)(r-r_a) =Er^2-E(r_p+r_a)r+Er_pr_a&lt;/math&gt;,
also &lt;math&gt;r_a=-\frac{g}E-r_p\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\frac{L^2}{2E}=r_pr_a\,&lt;/math&gt;.
Somit ist 
:&lt;math&gt;\phi(r_a)=\int\limits_{r_p}^{r_a} \frac{\sqrt{r_pr_a}dr}{r\sqrt{(r-r_p)(r_a-r)}}=\pi
&lt;/math&gt;
nach dem Ergebnis der Aufgabe [[Parameterintegral mit Singularitaeten]].
Das bedeutet das die Perihel-Präzession bei Newtonscher Gravitation &lt;math&gt;0\,&lt;/math&gt; ist, eine Konsequenz der Keplerschen Gesetze.

Wir faktorisieren nun für beliebiges &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;,
:&lt;math&gt;r^4(E-V(r))=Er^4+gr^3-\frac12L^2r^2+\frac{gL^2}{2c^2}r=Er(r-r_s)(r-r_p)(r-r_a)&lt;/math&gt;,
was nach Polynomdivision auf
:&lt;math&gt;r_{a,s}=\frac{g+3Er_p\pm\sqrt{(g-3Er_p)(g+Er_p)+2EL^2}}{-2E}&lt;/math&gt;
führt. Dieses explizite Ergebnis wird im weiteren nicht mehr benutzt, aber 
offenbar ist &lt;math&gt;r_s=0\,&lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;\epsilon=0\,&lt;/math&gt;. Wir erhalten 
:&lt;math&gt;\phi_{\epsilon}(r_a)=\frac{L}{\sqrt{-2E}}\int\limits_{r_p}^{r_a} \frac{dr}{\sqrt{r(r-r_s)(r-r_p)(r_a-r)}}=\frac{L}{\sqrt{-2E}}F(\epsilon)&lt;/math&gt;. 

:&lt;math&gt;\left.\frac{d}{d\epsilon}\phi_\epsilon(r_a)\right|_{\epsilon=0} =-\frac{-2LE'}{2\sqrt{-2E}^3}F(0)+\frac{L}{\sqrt{-2E}}F'(0) =-\frac{E'}{2E}\sqrt{r_pr_a}F(0)+\sqrt{r_pr_a}F'(0)&lt;/math&gt;.
&lt;math&gt;F\,&lt;/math&gt; wurde in der Aufgabe [[Parameterintegral mit Singularitaeten]] untersucht, mit dem Ergebnis (siehe oben) 
:&lt;math&gt;F(0)=\frac{\pi}{\sqrt{r_pr_a}}&lt;/math&gt; und 
:&lt;math&gt;F'(0)=\pi\frac{r_a^2(2r_p'-r_s')-r_p^2(2r_a'-r_s')} {2(r_a-r_p)(r_pr_a)^{3/2}}&lt;/math&gt;. Wegen &lt;math&gt;r_p'=0\,&lt;/math&gt; ist
:&lt;math&gt;\left.\frac{d}{d\epsilon}\phi_\epsilon(r_a)\right|_{\epsilon=0} 
=\pi\left(-\frac{E'}{2E}+\frac{r_a^2(-r_s')+r_p^2(2r_a'-r_s')} {2(r_a-r_p)r_pr_a}\right) =\pi\left(-\frac{E'}{2E} -\frac{(r_a^2-r_p^2)r_s'+2r_p^2r_a'} {2(r_a-r_p)r_pr_a}\right)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\pi\left(-\frac{E'}{2E}-\frac{r_a+r_p}{2r_pr_a}r_s' -\frac{r_p}{(r_a-r_p)r_a}r_a'\right)&lt;/math&gt;
auszuwerten.

====Auswertung der Ableitung====
Der Ableitungsstrich steht ab jetzt für die Ableitung nach &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;. 
Ausgewertet wird bei &lt;math&gt;\epsilon=0\,&lt;/math&gt;. Dann ist 
:&lt;math&gt;E'=\frac{d}{d\epsilon}V(r_p)=-\frac{gL^2}{r_p^3}&lt;/math&gt;.
Für &lt;math&gt;r_a'\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;r_s'\,&lt;/math&gt; wenden wir den Satz über implizite Funktionen auf &lt;math&gt;f(\epsilon,r)=r^4(E-V(r))=Er^4+gr^3-\frac{L^2}2r^2+\epsilon gL^2r\,&lt;/math&gt; an. Es ist
:&lt;math&gt;\partial_\epsilon f=r^4E'+gL^2r=gL^2r\left(1-\frac{r^3}{r_p^3}\right)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\partial_rf=4Er^3+3gr^2-L^2r =4r^3\left(-\frac{g}{r_p}+\frac{L^2}{2r_p^2}\right)+3gr^2-L^2r&lt;/math&gt;
und somit 
:&lt;math&gt;-\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)^{-1}\frac{\partial f}{\partial\epsilon} =\frac{gL^2(r^3-r_p^3)}{L^2r_p(2r^2-r_p^2)-grr_p^2(4r-3r_p)}&lt;/math&gt;.
Also

:&lt;math&gt;r_p'=\left.-\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)^{-1}\frac{\partial f}{\partial\epsilon}\right|_{r=r_p} =0&lt;/math&gt; (nur zur Kontrolle!) 
:&lt;math&gt;r_a'=\left.-\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)^{-1}\frac{\partial f}{\partial\epsilon}\right|_{r=r_a} =\frac{gL^2(r_a^3-r_p^3)}{L^2r_p(2r_a^2-r_p^2)-gr_ar_p^2(4r_a-3r_p)}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;r_s'=\left.-\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)^{-1}\frac{\partial f}{\partial\epsilon}\right|_{r=r_s=0} =\frac{gL^2(-r_p^3)}{L^2r_p(-r_p^2)}=g&lt;/math&gt;

Die &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;-Abhängigkeiten werden so weit wie möglich unterdrückt.
Zunächst berechnen wir 
:&lt;math&gt;F(0)=\int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}} =\left[\frac{2}{\sqrt{r_0r_1}}\arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}\right]_{r_0}^{r_1} =\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}.&lt;/math&gt;


Aus der Aufgabe [[Allgemeines Parameterintegral mit Singularitaeten]] (&lt;math&gt;c=-1\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n=4\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_3=0\,&lt;/math&gt;) lesen wir ab
:&lt;math&gt;F'(0)=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}F(0)+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{r^2\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \left[\frac{r_0+r_1}{(r_0r_1)^{3/2}} \arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}\right]_{r_0}^{r_1}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\left(\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \frac{r_0+r_1}{r_0r_1} \right)\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1^2r_0'-r_0^2r_1'-\frac12r_2'(r_1^2-r_0^2)}{(r_1-r_0)r_0r_1}\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\pi\frac{r_1^2(2r_0'-r_2')-r_2^2(2r_1'-r_2')}{2(r_1-r_0)(r_0r_1)^{3/2}}
&lt;/math&gt;

===Suchbegriffe===
Parameterintegral, integrierbare Singularitäten, Ableitung

===ähnliche Aufgaben===
Niemanden würde diese Aufgabe interessieren, wenn man sie nicht zur Berechnung der Perihel-Präzession des Merkur in der allgemeinen Relativitätstherie gebrauchen könnte.

*[[Allgemeines Parameterintegral mit Singularitaeten]]
*[[Perihel-Präzession des Merkur]]

[[Kategorie:Analysis]]</text>
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    <contributor>
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    <comment>/* Perihel-Präzession des Merkur */</comment>
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    <text bytes="6390" xml:space="preserve">==Perihel-Präzession des Merkur==
Der Perihel des Merkur ist &lt;math&gt;r_p=46\,000\,000[\mathrm{km}]\,&lt;/math&gt;. bei einer Geschwindigkeit von &lt;math&gt;v_p=59[\mathrm{km/s}]\,&lt;/math&gt;. Die Stärke der Sonnengravitation ist &lt;math&gt;g=Gm_{\text{Sonne}}=1.32744\times 10^{-20}[\mathrm{m}^3\mathrm{s}^{-2}]&lt;/math&gt;. Berechene die Perihel-Präzession des Merkur in Bogensekunden pro Jahrhundert. Seine Umlaufzeit beträgt 88 Tage, bzw 0.24 Jahre.

===Tipps===
*Parametrisiert durch die Eigenzeit gelten für Radius &lt;math&gt;r\,&lt;/math&gt; und Winkel &lt;math&gt;\phi\,&lt;/math&gt; die Differentialgleichungen
::&lt;math&gt;\ddot r=-V'(r)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;V(r)=-\frac{g}{m}+\frac{L^2}{2r^2}-\frac{gL^2}{c^2r^3}&lt;/math&gt;, und  &lt;math&gt;\dot\phi r^2=L&lt;/math&gt;.
*Finde eine Differentialgleichung erster Ordnung für &lt;math&gt;r(\phi)&lt;/math&gt; und löse sie.
*Bearbeite die Aufgabe [[Parameterintegral mit Singularitaeten]]


===Lösung===
====Die Lösung der Bewegungsgleichung als uneigentliches Riemann-Integral====
&lt;math&gt;E=\frac12\dot r^2+V(r)&lt;/math&gt; ist eine Konstante der Bewegung, wobei &lt;math&gt;E=V(r_p)\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;L=r_pv_p\,&lt;/math&gt;. Somit ist 
:&lt;math&gt;r'(\phi)=\dot\phi^{-1}\dot r=\frac{r^2}L\sqrt{2(E-V(r))}&lt;/math&gt;.
Man erhält 
:&lt;math&gt;\phi(R)=\int\limits_{r_p}^R\frac{Ldr}{r^2\sqrt{2(E-V(r))}}&lt;/math&gt;.
Am Aphel &lt;math&gt;r_a\,&lt;/math&gt;, gegeben durch die größte Nullstelle von &lt;math&gt;E-V(r)\,&lt;/math&gt;, beschreibt &lt;math&gt;2\alpha=\phi(r_a)-2\pi&lt;/math&gt; die Perihel-Präzession pro Umdrehung.  Wir setzen &lt;math&gt;\epsilon=\frac1{c^2}&lt;/math&gt; und betrachten zunächst den Fall &lt;math&gt;\epsilon=0\,&lt;/math&gt;. Es ist 
:&lt;math&gt;r^2(E-V(r))=Er^2+gr-\frac{L^2}2=E(r-r_p)(r-r_a) =Er^2-E(r_p+r_a)r+Er_pr_a&lt;/math&gt;,
also &lt;math&gt;r_a=-\frac{g}E-r_p\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\frac{L^2}{2E}=r_pr_a\,&lt;/math&gt;.
Somit ist 
:&lt;math&gt;\phi(r_a)=\int\limits_{r_p}^{r_a} \frac{\sqrt{r_pr_a}dr}{r\sqrt{(r-r_p)(r_a-r)}}=\pi
&lt;/math&gt;
nach dem Ergebnis der Aufgabe [[Parameterintegral mit Singularitaeten]].
Das bedeutet das die Perihel-Präzession bei Newtonscher Gravitation &lt;math&gt;0\,&lt;/math&gt; ist, eine Konsequenz der Keplerschen Gesetze.

Wir faktorisieren nun für beliebiges &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;,
:&lt;math&gt;r^4(E-V(r))=Er^4+gr^3-\frac12L^2r^2+\frac{gL^2}{2c^2}r=Er(r-r_s)(r-r_p)(r-r_a)&lt;/math&gt;,
was nach Polynomdivision auf
:&lt;math&gt;r_{a,s}=\frac{g+3Er_p\pm\sqrt{(g-3Er_p)(g+Er_p)+2EL^2}}{-2E}&lt;/math&gt;
führt. Dieses explizite Ergebnis wird im weiteren nicht mehr benutzt, aber 
offenbar ist &lt;math&gt;r_s=0\,&lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;\epsilon=0\,&lt;/math&gt;. Wir erhalten 
:&lt;math&gt;\phi_{\epsilon}(r_a)=\frac{L}{\sqrt{-2E}}\int\limits_{r_p}^{r_a} \frac{dr}{\sqrt{r(r-r_s)(r-r_p)(r_a-r)}}=\frac{L}{\sqrt{-2E}}F(\epsilon)&lt;/math&gt;. 

:&lt;math&gt;\left.\frac{d}{d\epsilon}\phi_\epsilon(r_a)\right|_{\epsilon=0} =-\frac{-2LE'}{2\sqrt{-2E}^3}F(0)+\frac{L}{\sqrt{-2E}}F'(0) =-\frac{E'}{2E}\sqrt{r_pr_a}F(0)+\sqrt{r_pr_a}F'(0)&lt;/math&gt;.
&lt;math&gt;F\,&lt;/math&gt; wurde in der Aufgabe [[Parameterintegral mit Singularitaeten]] untersucht, mit dem Ergebnis (siehe oben) 
:&lt;math&gt;F(0)=\frac{\pi}{\sqrt{r_pr_a}}&lt;/math&gt; und 
:&lt;math&gt;F'(0)=\pi\frac{r_a^2(2r_p'-r_s')-r_p^2(2r_a'-r_s')} {2(r_a-r_p)(r_pr_a)^{3/2}}&lt;/math&gt;. Wegen &lt;math&gt;r_p'=0\,&lt;/math&gt; ist
:&lt;math&gt;\left.\frac{d}{d\epsilon}\phi_\epsilon(r_a)\right|_{\epsilon=0} 
=\pi\left(-\frac{E'}{2E}+\frac{r_a^2(-r_s')+r_p^2(2r_a'-r_s')} {2(r_a-r_p)r_pr_a}\right) =\pi\left(-\frac{E'}{2E} -\frac{(r_a^2-r_p^2)r_s'+2r_p^2r_a'} {2(r_a-r_p)r_pr_a}\right)&lt;/math&gt;
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auszuwerten.

====Auswertung der Ableitung====
Der Ableitungsstrich steht ab jetzt für die Ableitung nach &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;. 
Ausgewertet wird bei &lt;math&gt;\epsilon=0\,&lt;/math&gt;. Dann ist 
:&lt;math&gt;E'=\frac{d}{d\epsilon}V(r_p)=-\frac{gL^2}{r_p^3}&lt;/math&gt;.
Für &lt;math&gt;r_a'\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;r_s'\,&lt;/math&gt; wenden wir den Satz über implizite Funktionen auf &lt;math&gt;f(\epsilon,r)=r^4(E-V(r))=Er^4+gr^3-\frac{L^2}2r^2+\epsilon gL^2r\,&lt;/math&gt; an. Es ist
:&lt;math&gt;\partial_\epsilon f=r^4E'+gL^2r=gL^2r\left(1-\frac{r^3}{r_p^3}\right)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\partial_rf=4Er^3+3gr^2-L^2r =4r^3\left(-\frac{g}{r_p}+\frac{L^2}{2r_p^2}\right)+3gr^2-L^2r&lt;/math&gt;
und somit 
:&lt;math&gt;-\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)^{-1}\frac{\partial f}{\partial\epsilon} =\frac{gL^2(r^3-r_p^3)}{L^2r_p(2r^2-r_p^2)-grr_p^2(4r-3r_p)}&lt;/math&gt;.
Also

:&lt;math&gt;r_p'=\left.-\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)^{-1}\frac{\partial f}{\partial\epsilon}\right|_{r=r_p} =0&lt;/math&gt; (nur zur Kontrolle!) 
:&lt;math&gt;r_a'=\left.-\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)^{-1}\frac{\partial f}{\partial\epsilon}\right|_{r=r_a} =\frac{gL^2(r_a^3-r_p^3)}{L^2r_p(2r_a^2-r_p^2)-gr_ar_p^2(4r_a-3r_p)}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;r_s'=\left.-\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)^{-1}\frac{\partial f}{\partial\epsilon}\right|_{r=r_s=0} =\frac{gL^2(-r_p^3)}{L^2r_p(-r_p^2)}=g&lt;/math&gt;

Die &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;-Abhängigkeiten werden so weit wie möglich unterdrückt.
Zunächst berechnen wir 
:&lt;math&gt;F(0)=\int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}} =\left[\frac{2}{\sqrt{r_0r_1}}\arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}\right]_{r_0}^{r_1} =\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}.&lt;/math&gt;


Aus der Aufgabe [[Allgemeines Parameterintegral mit Singularitaeten]] (&lt;math&gt;c=-1\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n=4\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_3=0\,&lt;/math&gt;) lesen wir ab
:&lt;math&gt;F'(0)=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}F(0)+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{r^2\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \left[\frac{r_0+r_1}{(r_0r_1)^{3/2}} \arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}\right]_{r_0}^{r_1}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\left(\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \frac{r_0+r_1}{r_0r_1} \right)\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1^2r_0'-r_0^2r_1'-\frac12r_2'(r_1^2-r_0^2)}{(r_1-r_0)r_0r_1}\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\pi\frac{r_1^2(2r_0'-r_2')-r_2^2(2r_1'-r_2')}{2(r_1-r_0)(r_0r_1)^{3/2}}
&lt;/math&gt;

===Suchbegriffe===
Parameterintegral, integrierbare Singularitäten, Ableitung

===ähnliche Aufgaben===
Niemanden würde diese Aufgabe interessieren, wenn man sie nicht zur Berechnung der Perihel-Präzession des Merkur in der allgemeinen Relativitätstherie gebrauchen könnte.

*[[Allgemeines Parameterintegral mit Singularitaeten]]
*[[Perihel-Präzession des Merkur]]

[[Kategorie:Analysis]]</text>
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    <comment>/* Perihel-Präzession des Merkur */</comment>
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    <text bytes="6389" xml:space="preserve">==Perihel-Präzession des Merkur==
Der Perihel des Merkur ist &lt;math&gt;r_p=46\,000\,000[\mathrm{km}]\,&lt;/math&gt;. bei einer Geschwindigkeit von &lt;math&gt;v_p=59[\mathrm{km/s}]\,&lt;/math&gt;. Die Stärke der Sonnengravitation ist &lt;math&gt;g=Gm_{\text{Sonne}}=1.32744\times 10^{20}[\mathrm{m}^3\mathrm{s}^{-2}]&lt;/math&gt;. Berechene die Perihel-Präzession des Merkur in Bogensekunden pro Jahrhundert. Seine Umlaufzeit beträgt 88 Tage, bzw 0.24 Jahre.

===Tipps===
*Parametrisiert durch die Eigenzeit gelten für Radius &lt;math&gt;r\,&lt;/math&gt; und Winkel &lt;math&gt;\phi\,&lt;/math&gt; die Differentialgleichungen
::&lt;math&gt;\ddot r=-V'(r)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;V(r)=-\frac{g}{m}+\frac{L^2}{2r^2}-\frac{gL^2}{c^2r^3}&lt;/math&gt;, und  &lt;math&gt;\dot\phi r^2=L&lt;/math&gt;.
*Finde eine Differentialgleichung erster Ordnung für &lt;math&gt;r(\phi)&lt;/math&gt; und löse sie.
*Bearbeite die Aufgabe [[Parameterintegral mit Singularitaeten]]


===Lösung===
====Die Lösung der Bewegungsgleichung als uneigentliches Riemann-Integral====
&lt;math&gt;E=\frac12\dot r^2+V(r)&lt;/math&gt; ist eine Konstante der Bewegung, wobei &lt;math&gt;E=V(r_p)\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;L=r_pv_p\,&lt;/math&gt;. Somit ist 
:&lt;math&gt;r'(\phi)=\dot\phi^{-1}\dot r=\frac{r^2}L\sqrt{2(E-V(r))}&lt;/math&gt;.
Man erhält 
:&lt;math&gt;\phi(R)=\int\limits_{r_p}^R\frac{Ldr}{r^2\sqrt{2(E-V(r))}}&lt;/math&gt;.
Am Aphel &lt;math&gt;r_a\,&lt;/math&gt;, gegeben durch die größte Nullstelle von &lt;math&gt;E-V(r)\,&lt;/math&gt;, beschreibt &lt;math&gt;2\alpha=\phi(r_a)-2\pi&lt;/math&gt; die Perihel-Präzession pro Umdrehung.  Wir setzen &lt;math&gt;\epsilon=\frac1{c^2}&lt;/math&gt; und betrachten zunächst den Fall &lt;math&gt;\epsilon=0\,&lt;/math&gt;. Es ist 
:&lt;math&gt;r^2(E-V(r))=Er^2+gr-\frac{L^2}2=E(r-r_p)(r-r_a) =Er^2-E(r_p+r_a)r+Er_pr_a&lt;/math&gt;,
also &lt;math&gt;r_a=-\frac{g}E-r_p\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\frac{L^2}{2E}=r_pr_a\,&lt;/math&gt;.
Somit ist 
:&lt;math&gt;\phi(r_a)=\int\limits_{r_p}^{r_a} \frac{\sqrt{r_pr_a}dr}{r\sqrt{(r-r_p)(r_a-r)}}=\pi
&lt;/math&gt;
nach dem Ergebnis der Aufgabe [[Parameterintegral mit Singularitaeten]].
Das bedeutet das die Perihel-Präzession bei Newtonscher Gravitation &lt;math&gt;0\,&lt;/math&gt; ist, eine Konsequenz der Keplerschen Gesetze.

Wir faktorisieren nun für beliebiges &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;,
:&lt;math&gt;r^4(E-V(r))=Er^4+gr^3-\frac12L^2r^2+\frac{gL^2}{2c^2}r=Er(r-r_s)(r-r_p)(r-r_a)&lt;/math&gt;,
was nach Polynomdivision auf
:&lt;math&gt;r_{a,s}=\frac{g+3Er_p\pm\sqrt{(g-3Er_p)(g+Er_p)+2EL^2}}{-2E}&lt;/math&gt;
führt. Dieses explizite Ergebnis wird im weiteren nicht mehr benutzt, aber 
offenbar ist &lt;math&gt;r_s=0\,&lt;/math&gt;, falls &lt;math&gt;\epsilon=0\,&lt;/math&gt;. Wir erhalten 
:&lt;math&gt;\phi_{\epsilon}(r_a)=\frac{L}{\sqrt{-2E}}\int\limits_{r_p}^{r_a} \frac{dr}{\sqrt{r(r-r_s)(r-r_p)(r_a-r)}}=\frac{L}{\sqrt{-2E}}F(\epsilon)&lt;/math&gt;. 

:&lt;math&gt;\left.\frac{d}{d\epsilon}\phi_\epsilon(r_a)\right|_{\epsilon=0} =-\frac{-2LE'}{2\sqrt{-2E}^3}F(0)+\frac{L}{\sqrt{-2E}}F'(0) =-\frac{E'}{2E}\sqrt{r_pr_a}F(0)+\sqrt{r_pr_a}F'(0)&lt;/math&gt;.
&lt;math&gt;F\,&lt;/math&gt; wurde in der Aufgabe [[Parameterintegral mit Singularitaeten]] untersucht, mit dem Ergebnis (siehe oben) 
:&lt;math&gt;F(0)=\frac{\pi}{\sqrt{r_pr_a}}&lt;/math&gt; und 
:&lt;math&gt;F'(0)=\pi\frac{r_a^2(2r_p'-r_s')-r_p^2(2r_a'-r_s')} {2(r_a-r_p)(r_pr_a)^{3/2}}&lt;/math&gt;. Wegen &lt;math&gt;r_p'=0\,&lt;/math&gt; ist
:&lt;math&gt;\left.\frac{d}{d\epsilon}\phi_\epsilon(r_a)\right|_{\epsilon=0} 
=\pi\left(-\frac{E'}{2E}+\frac{r_a^2(-r_s')+r_p^2(2r_a'-r_s')} {2(r_a-r_p)r_pr_a}\right) =\pi\left(-\frac{E'}{2E} -\frac{(r_a^2-r_p^2)r_s'+2r_p^2r_a'} {2(r_a-r_p)r_pr_a}\right)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\pi\left(-\frac{E'}{2E}-\frac{r_a+r_p}{2r_pr_a}r_s' -\frac{r_p}{(r_a-r_p)r_a}r_a'\right)&lt;/math&gt;
auszuwerten.

====Auswertung der Ableitung====
Der Ableitungsstrich steht ab jetzt für die Ableitung nach &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;. 
Ausgewertet wird bei &lt;math&gt;\epsilon=0\,&lt;/math&gt;. Dann ist 
:&lt;math&gt;E'=\frac{d}{d\epsilon}V(r_p)=-\frac{gL^2}{r_p^3}&lt;/math&gt;.
Für &lt;math&gt;r_a'\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;r_s'\,&lt;/math&gt; wenden wir den Satz über implizite Funktionen auf &lt;math&gt;f(\epsilon,r)=r^4(E-V(r))=Er^4+gr^3-\frac{L^2}2r^2+\epsilon gL^2r\,&lt;/math&gt; an. Es ist
:&lt;math&gt;\partial_\epsilon f=r^4E'+gL^2r=gL^2r\left(1-\frac{r^3}{r_p^3}\right)&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;\partial_rf=4Er^3+3gr^2-L^2r =4r^3\left(-\frac{g}{r_p}+\frac{L^2}{2r_p^2}\right)+3gr^2-L^2r&lt;/math&gt;
und somit 
:&lt;math&gt;-\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)^{-1}\frac{\partial f}{\partial\epsilon} =\frac{gL^2(r^3-r_p^3)}{L^2r_p(2r^2-r_p^2)-grr_p^2(4r-3r_p)}&lt;/math&gt;.
Also

:&lt;math&gt;r_p'=\left.-\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)^{-1}\frac{\partial f}{\partial\epsilon}\right|_{r=r_p} =0&lt;/math&gt; (nur zur Kontrolle!) 
:&lt;math&gt;r_a'=\left.-\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)^{-1}\frac{\partial f}{\partial\epsilon}\right|_{r=r_a} =\frac{gL^2(r_a^3-r_p^3)}{L^2r_p(2r_a^2-r_p^2)-gr_ar_p^2(4r_a-3r_p)}&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;r_s'=\left.-\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)^{-1}\frac{\partial f}{\partial\epsilon}\right|_{r=r_s=0} =\frac{gL^2(-r_p^3)}{L^2r_p(-r_p^2)}=g&lt;/math&gt;

Die &lt;math&gt;\epsilon\,&lt;/math&gt;-Abhängigkeiten werden so weit wie möglich unterdrückt.
Zunächst berechnen wir 
:&lt;math&gt;F(0)=\int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{r\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}} =\left[\frac{2}{\sqrt{r_0r_1}}\arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}\right]_{r_0}^{r_1} =\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}.&lt;/math&gt;


Aus der Aufgabe [[Allgemeines Parameterintegral mit Singularitaeten]] (&lt;math&gt;c=-1\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n=4\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;r_3=0\,&lt;/math&gt;) lesen wir ab
:&lt;math&gt;F'(0)=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}F(0)+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \int\limits_{r_0}^{r_1}\frac{dr}{r^2\sqrt{(r-r_0)(r_1-r)}}&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \left[\frac{r_0+r_1}{(r_0r_1)^{3/2}} \arctan\sqrt{\frac{(r-r_0)r_1}{(r_1-r)r_0}}\right]_{r_0}^{r_1}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\left(\frac{r_1'-r_0'}{r_1-r_0}+\left(\frac{r_1r_0'-r_0r_1'}{r1-r_0}-\frac{r_2'}2\right) \frac{r_0+r_1}{r_0r_1} \right)\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\frac{r_1^2r_0'-r_0^2r_1'-\frac12r_2'(r_1^2-r_0^2)}{(r_1-r_0)r_0r_1}\frac{\pi}{\sqrt{r_0r_1}}
&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=\pi\frac{r_1^2(2r_0'-r_2')-r_2^2(2r_1'-r_2')}{2(r_1-r_0)(r_0r_1)^{3/2}}
&lt;/math&gt;

===Suchbegriffe===
Parameterintegral, integrierbare Singularitäten, Ableitung

===ähnliche Aufgaben===
Niemanden würde diese Aufgabe interessieren, wenn man sie nicht zur Berechnung der Perihel-Präzession des Merkur in der allgemeinen Relativitätstherie gebrauchen könnte.

*[[Allgemeines Parameterintegral mit Singularitaeten]]
*[[Perihel-Präzession des Merkur]]

[[Kategorie:Analysis]]</text>
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  <title>Frequenz eines Pendels</title>
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    <text bytes="413" xml:space="preserve">==Frequenz eines Pendels==
Ein ungedämpftes Pendel der Länge &lt;math&gt;1[\mathrm{m}]&lt;/math&gt; schwingt in linearer Näherung bei &lt;math&gt;g=\pi^2[\mathrm{m/s}]&lt;/math&gt; mit einer halben Periodenlänge von &lt;math&gt;1[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;. Um wieviele Sekunden im Jahr geht es falsch, wenn es um 1 Grad bzw. 10 Grad maximal ausgelenkt ist?

===Tipps===
Zunächst entwickle man in der Gesamtenergie &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt;

===Lösung===</text>
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    <text bytes="1547" xml:space="preserve">==Frequenz eines Pendels==
Ein ungedämpftes Pendel der Länge &lt;math&gt;r=1[\mathrm{m}]&lt;/math&gt; schwingt in linearer Näherung bei &lt;math&gt;g=\pi^2[\mathrm{m}/\mathrm{s}^2]&lt;/math&gt; mit einer halben Periodenlänge von &lt;math&gt;T_0=1[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;. Um wieviele Sekunden im Jahr geht es falsch, wenn es um 1 Grad bzw. 10 Grad maximal ausgelenkt ist?

===Tipps===
Zunächst entwickle man in der Gesamtenergie &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt;. 

===Lösung===
Die Differentialgleichung ist 
:&lt;math&gt;\ddot\phi=-V'(\phi),\quad V(\phi)=gr(1-\cos\phi),&lt;/math&gt;
mit der Konstanten der Bewegung
:&lt;math&gt;E=\frac12\dot\phi^2+V(\phi).&lt;/math&gt;
Also gilt von &lt;math&gt;\phi=0\,&lt;/math&gt; bis zum Umkehrpunkt &lt;math&gt;\Phi\in]0,\Pi[\,&lt;/math&gt;, der einer Energie von &lt;math&gt;E=gr(1-\cos(\Phi))\,&lt;/math&gt; entspricht, die Differentialgleichung
:&lt;math&gt;\dot\phi=\sqrt{2(E-V(\phi))}&lt;/math&gt;,
eine viertel Periodenlänge ist also gegeben durch
:&lt;math&gt;\frac{T_\Phi}2=\int\limits_0^\Phi\frac{d\phi}{\sqrt{2(E-V(\phi))}}&lt;/math&gt;
Um die Ableitung nach &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt; zu berechen transformiert man auf feste Grenzen,
:&lt;math&gt;\frac{T_\Phi}2=\Phi\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{2(E-V(\Phi\cdot s))}}=\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{\frac{2E-2gr(1-\cos(\Phi\cdot s))}{\Phi^2}}}.&lt;/math&gt;
Wir entwickeln um &lt;math&gt;E=0\,&lt;/math&gt;, wobei zunächst &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt; als Funktion von &lt;math&gt;\Phi\,&lt;/math&gt; angesehen wird,
:&lt;math&gt;\frac{2E-2gr(1-\cos(\Phi\cdot s))}{\Phi^2}=\frac{gr}{\Phi^2}\left(\Phi^2(1-s^2)-\frac1{12}\Phi^4(1-s^4)+\mathcal{O}(\Phi^6)\right) =gr\left((1-s^2)-\frac1{12}\Phi^2(1-s^4)+\mathcal{O}(\Phi^4)\right)&lt;/math&gt;</text>
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Ein ungedämpftes Pendel der Länge &lt;math&gt;r=1[\mathrm{m}]&lt;/math&gt; schwingt in linearer Näherung bei &lt;math&gt;g=\pi^2[\mathrm{m}/\mathrm{s}^2]&lt;/math&gt; mit einer halben Periodenlänge von &lt;math&gt;T_0=1[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;. Um wieviele Sekunden im Jahr geht es falsch, wenn es um 1 Grad bzw. 10 Grad maximal ausgelenkt ist?

===Tipps===
Zunächst entwickle man in der Gesamtenergie &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt;. 

===Lösung===
Die Differentialgleichung ist 
:&lt;math&gt;\ddot\phi=-V'(\phi),\quad V(\phi)=gr(1-\cos\phi),&lt;/math&gt;
mit der Konstanten der Bewegung
:&lt;math&gt;E=\frac12\dot\phi^2+V(\phi).&lt;/math&gt;
Also gilt von &lt;math&gt;\phi=0\,&lt;/math&gt; bis zum Umkehrpunkt &lt;math&gt;\Phi\in]0,\Pi[\,&lt;/math&gt;, der einer Energie von &lt;math&gt;E=gr(1-\cos(\Phi))\,&lt;/math&gt; entspricht, die Differentialgleichung
:&lt;math&gt;\dot\phi=\sqrt{2(E-V(\phi))}&lt;/math&gt;,
eine viertel Periodenlänge ist also gegeben durch
:&lt;math&gt;\frac{T_\Phi}2=\int\limits_0^\Phi\frac{d\phi}{\sqrt{2(E-V(\phi))}}&lt;/math&gt;
Um die Ableitung nach &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt; zu berechen transformiert man auf feste Grenzen,
:&lt;math&gt;\frac{T_\Phi}2=\Phi\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{2(E-V(\Phi\cdot s))}}=\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{\frac{2E-2gr(1-\cos(\Phi\cdot s))}{\Phi^2}}}.&lt;/math&gt;
Wir entwickeln um &lt;math&gt;\Phi=0\,&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt; eine Funktion von &lt;math&gt;\Phi\,&lt;/math&gt; ist,
:&lt;math&gt;\frac{2E-2gr(1-\cos(\Phi\cdot s))}{\Phi^2}=\frac{gr}{\Phi^2}\left(\Phi^2(1-s^2) -\frac1{12}\Phi^4(1-s^4)+\mathcal{O}(\Phi^6)\right)&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=gr\left((1-s^2)-\frac1{12}\Phi^2(1-s^4)+\mathcal{O}(\Phi^4)\right).&lt;/math&gt;
Also ist 
:&lt;math&gt;\frac{T_0}2=\frac1{\sqrt{gr}}\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{1-s^2}} =\frac1{\sqrt{gr}}\left[\arcsin s\right]_0^1 =\frac\pi{2\sqrt{gr}}&lt;/math&gt;,
d.h. &lt;math&gt;T_0=1[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;, und 
:&lt;math&gt;\left.\frac{d}{d\Phi^2}\frac{T_\Phi}2\right|_{\Phi=0} =-\int\limits_0^1\frac{ds}{2\sqrt{gr(1-s^2)}^3}\left(-\frac1{12}(1-s)^4\right) =\frac1{2(gr)^{3/2}}\int\limits_0^1\frac{(1+s^2)ds}{\sqrt{1-s^2}}
&lt;/math&gt;</text>
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    <comment>/* Lösung */</comment>
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    <text bytes="1965" xml:space="preserve">==Frequenz eines Pendels==
Ein ungedämpftes Pendel der Länge &lt;math&gt;r=1[\mathrm{m}]&lt;/math&gt; schwingt in linearer Näherung bei &lt;math&gt;g=\pi^2[\mathrm{m}/\mathrm{s}^2]&lt;/math&gt; mit einer halben Periodenlänge von &lt;math&gt;T_0=1[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;. Um wieviele Sekunden im Jahr geht es falsch, wenn es um 1 Grad bzw. 10 Grad maximal ausgelenkt ist?

===Tipps===
Zunächst entwickle man in der Gesamtenergie &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt;. 

===Lösung===
Die Differentialgleichung ist 
:&lt;math&gt;\ddot\phi=-V'(\phi),\quad V(\phi)=gr(1-\cos\phi),&lt;/math&gt;
mit der Konstanten der Bewegung
:&lt;math&gt;E=\frac12\dot\phi^2+V(\phi).&lt;/math&gt;
Also gilt von &lt;math&gt;\phi=0\,&lt;/math&gt; bis zum Umkehrpunkt &lt;math&gt;\Phi\in]0,\Pi[\,&lt;/math&gt;, der einer Energie von &lt;math&gt;E=gr(1-\cos(\Phi))\,&lt;/math&gt; entspricht, die Differentialgleichung
:&lt;math&gt;\dot\phi=\sqrt{2(E-V(\phi))}&lt;/math&gt;,
eine viertel Periodenlänge ist also gegeben durch
:&lt;math&gt;\frac{T_\Phi}2=\int\limits_0^\Phi\frac{d\phi}{\sqrt{2(E-V(\phi))}}&lt;/math&gt;
Um die Ableitung nach &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt; zu berechen transformiert man auf feste Grenzen,
:&lt;math&gt;\frac{T_\Phi}2=\Phi\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{2(E-V(\Phi\cdot s))}}=\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{\frac{2E-2gr(1-\cos(\Phi\cdot s))}{\Phi^2}}}.&lt;/math&gt;
Wir entwickeln um &lt;math&gt;\Phi=0\,&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt; eine Funktion von &lt;math&gt;\Phi\,&lt;/math&gt; ist,
:&lt;math&gt;\frac{2E-2gr(1-\cos(\Phi\cdot s))}{\Phi^2}=\frac{gr}{\Phi^2}\left(\Phi^2(1-s^2) -\frac1{12}\Phi^4(1-s^4)+\mathcal{O}(\Phi^6)\right)&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=gr\left((1-s^2)-\frac1{12}\Phi^2(1-s^4)+\mathcal{O}(\Phi^4)\right).&lt;/math&gt;
Also ist 
:&lt;math&gt;\frac{T_0}2=\frac1{\sqrt{gr}}\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{1-s^2}} =\frac1{\sqrt{gr}}\left[\arcsin s\right]_0^1 =\frac\pi{2\sqrt{gr}}&lt;/math&gt;,
d.h. &lt;math&gt;T_0=1[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;, und 
:&lt;math&gt;\left.\frac{d}{d(\Phi^2)}\frac{T_\Phi}2\right|_{\Phi=0} =-\int\limits_0^1\frac{ds}{2\sqrt{gr(1-s^2)}^3}\left(-\frac1{12}(1-s)^4\right) =\frac1{2(gr)^{3/2}}\int\limits_0^1\frac{(1+s^2)ds}{\sqrt{1-s^2}}
&lt;/math&gt;</text>
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Ein ungedämpftes Pendel der Länge &lt;math&gt;r=1[\mathrm{m}]&lt;/math&gt; schwingt in linearer Näherung bei &lt;math&gt;g=\pi^2[\mathrm{m}/\mathrm{s}^2]&lt;/math&gt; mit einer halben Periodenlänge von &lt;math&gt;T_0=1[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;. Um wieviele Sekunden im Jahr geht es falsch, wenn es um 1 Grad bzw. 10 Grad maximal ausgelenkt ist?

===Tipps===
Zunächst entwickle man in der Gesamtenergie &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt;. 

===Lösung===
Die Differentialgleichung ist 
:&lt;math&gt;\ddot\phi=-V'(\phi),\quad V(\phi)=gr(1-\cos\phi),&lt;/math&gt;
mit der Konstanten der Bewegung
:&lt;math&gt;E=\frac12\dot\phi^2+V(\phi).&lt;/math&gt;
Also gilt von &lt;math&gt;\phi=0\,&lt;/math&gt; bis zum Umkehrpunkt &lt;math&gt;\Phi\in]0,\Pi[\,&lt;/math&gt;, der einer Energie von &lt;math&gt;E=gr(1-\cos(\Phi))\,&lt;/math&gt; entspricht, die Differentialgleichung
:&lt;math&gt;\dot\phi=\sqrt{2(E-V(\phi))}&lt;/math&gt;,
eine viertel Periodenlänge ist also gegeben durch
:&lt;math&gt;\frac{T_\Phi}2=\int\limits_0^\Phi\frac{d\phi}{\sqrt{2(E-V(\phi))}}&lt;/math&gt;
Um die Ableitung nach &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt; zu berechen transformiert man auf feste Grenzen,
:&lt;math&gt;\frac{T_\Phi}2=\Phi\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{2(E-V(\Phi\cdot s))}}=\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{\frac{2E-2gr(1-\cos(\Phi\cdot s))}{\Phi^2}}}.&lt;/math&gt;
Wir entwickeln um &lt;math&gt;\Phi=0\,&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt; eine Funktion von &lt;math&gt;\Phi\,&lt;/math&gt; ist,
:&lt;math&gt;\frac{2E-2gr(1-\cos(\Phi\cdot s))}{\Phi^2}=\frac{gr}{\Phi^2}\left(\Phi^2(1-s^2) -\frac1{12}\Phi^4(1-s^4)+\mathcal{O}(\Phi^6)\right)&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=gr\left((1-s^2)-\frac1{12}\Phi^2(1-s^4)+\mathcal{O}(\Phi^4)\right).&lt;/math&gt;
Also ist 
:&lt;math&gt;\frac{T_0}2=\frac1{\sqrt{gr}}\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{1-s^2}} =\frac1{\sqrt{gr}}\left[\arcsin s\right]_0^1 =\frac\pi{2\sqrt{gr}}&lt;/math&gt;,
d.h. &lt;math&gt;T_0=1[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;, und 
:&lt;math&gt;\left.\frac{d}{d(\Phi^2)}\frac{T_\Phi}2\right|_{\Phi=0} =-\int\limits_0^1\frac{ds}{2\sqrt{gr(1-s^2)}^3}\left(-\frac1{12}(1-s)^4\right) =\frac1{2(gr)^{3/2}}\int\limits_0^1\frac{(1+s^2)ds}{\sqrt{1-s^2}}
&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac1{2(gr)^{3/2}}\left(\left[\arcsin s\right]_0^1+\left[\frac12\arcsin s-\frac{s}2\sqrt{1-s^2}\right]_0^1\right) =\frac{3\pi}{4(gr)^{3/2}},&lt;/math&gt;
wobei 
:\int\frac{s}{\sqrt{1-s^2}</text>
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    </contributor>
    <comment>/* Lösung */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2952" xml:space="preserve">==Frequenz eines Pendels==
Ein ungedämpftes Pendel der Länge &lt;math&gt;r=1[\mathrm{m}]&lt;/math&gt; schwingt in linearer Näherung bei &lt;math&gt;g=\pi^2[\mathrm{m}/\mathrm{s}^2]&lt;/math&gt; mit einer halben Periodenlänge von &lt;math&gt;T_0=1[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;. Um wieviele Sekunden im Jahr geht es falsch, wenn es um 1 Grad bzw. 10 Grad maximal ausgelenkt ist?

===Tipps===
Zunächst entwickle man in der Gesamtenergie &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt;. 

===Lösung===
Die Differentialgleichung ist 
:&lt;math&gt;\ddot\phi=-V'(\phi),\quad V(\phi)=gr(1-\cos\phi),&lt;/math&gt;
mit der Konstanten der Bewegung
:&lt;math&gt;E=\frac12\dot\phi^2+V(\phi).&lt;/math&gt;
Also gilt von &lt;math&gt;\phi=0\,&lt;/math&gt; bis zum Umkehrpunkt &lt;math&gt;\Phi\in]0,\pi[\,&lt;/math&gt;, der einer Energie von &lt;math&gt;E=gr(1-\cos(\Phi))\,&lt;/math&gt; entspricht, die Differentialgleichung
:&lt;math&gt;\dot\phi=\sqrt{2(E-V(\phi))}&lt;/math&gt;,
eine viertel Periodenlänge ist also gegeben durch
:&lt;math&gt;\frac{T_\Phi}2=\int\limits_0^\Phi\frac{d\phi}{\sqrt{2(E-V(\phi))}}&lt;/math&gt;
Um die Ableitung nach &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt; zu berechen transformiert man auf feste Grenzen,
:&lt;math&gt;\frac{T_\Phi}2=\Phi\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{2(E-V(\Phi\cdot s))}}=\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{\frac{2E-2gr(1-\cos(\Phi\cdot s))}{\Phi^2}}}.&lt;/math&gt;
Wir entwickeln um &lt;math&gt;\Phi=0\,&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt; eine Funktion von &lt;math&gt;\Phi\,&lt;/math&gt; ist,
:&lt;math&gt;\frac{2E-2gr(1-\cos(\Phi\cdot s))}{\Phi^2}=\frac{gr}{\Phi^2}\left(\Phi^2(1-s^2) -\frac1{12}\Phi^4(1-s^4)+\mathcal{O}(\Phi^6)\right)&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=gr\left((1-s^2)-\frac1{12}\Phi^2(1-s^4)+\mathcal{O}(\Phi^4)\right).&lt;/math&gt;
Also ist 
:&lt;math&gt;\frac{T_0}2=\frac1{\sqrt{gr}}\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{1-s^2}} =\frac1{\sqrt{gr}}\left[\arcsin s\right]_0^1 =\frac\pi{2\sqrt{gr}}&lt;/math&gt;,
d.h. &lt;math&gt;T_0=1[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;, und 
:&lt;math&gt;\left.\frac{d}{d(\Phi^2)}\frac{T_\Phi}2\right|_{\Phi=0} =-\int\limits_0^1\frac{ds}{2\sqrt{gr(1-s^2)}^3}\left(-\frac1{12}(1-s)^4\right) =\frac1{2(gr)^{3/2}}\int\limits_0^1\frac{(1+s^2)ds}{\sqrt{1-s^2}}
&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac1{2(gr)^{3/2}}\left(\left[\arcsin s\right]_0^1+\left[\frac12\arcsin s-\frac{s}2\sqrt{1-s^2}\right]_0^1\right) =\frac{3\pi}{4(gr)^{3/2}},&lt;/math&gt;
wobei 
:&lt;math&gt;\int s\frac{s}{\sqrt{1-s^2}}ds=-s\sqrt{1-s^2}+\int\sqrt{1-s^2}ds =-s\sqrt{1-s^2}+\int\frac{1-s^2}{\sqrt{1-s^2}}ds =-s\sqrt{1-s^2}+\arcsin s-\int s\frac{s}{\sqrt{1-s^2}}ds &lt;/math&gt;
benutzt wurde.
In der führenden Ordnung gilt also 
:&lt;math&gt;T_\Phi=\frac{\pi}{\sqrt{gr}}+\frac{3\pi}{2(gr)^{3/2}}\Phi^2+\mathcal{O}(\Phi^4) =\frac{\pi}{\sqrt{gr}}\left(1+\frac{3\Phi^2}{2gr}+\mathcal{O}(\Phi^4)\right)&lt;/math&gt;.
Für \Phi=&lt;math&gt;1^circ&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;\frac{3\Phi^2}{2gr}=\frac{3\pi^2}{2\cdot 180^2\pi^2}=\frac1{21600}&lt;/math&gt;. Die Pendeluhr geht also ca. &lt;math&gt;\frac{86400}{21600}=4[\mathrm{s}]&lt;/math&gt; nach.

Für \Phi=&lt;math&gt;10^circ&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;\frac{3\Phi^2}{2gr}=\frac{3\pi^2}{2\cdot 18^2\pi^2}=\frac1{216}&lt;/math&gt;. Die Pendeluhr geht also ca. &lt;math&gt;\frac{86400}{216}=400[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;, also fast 7 Minuten, nach.</text>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="3062" xml:space="preserve">==Frequenz eines Pendels==
Ein ungedämpftes Pendel der Länge &lt;math&gt;r=1[\mathrm{m}]&lt;/math&gt; schwingt in linearer Näherung bei &lt;math&gt;g=\pi^2[\mathrm{m}/\mathrm{s}^2]&lt;/math&gt; mit einer halben Periodenlänge von &lt;math&gt;T_0=1[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;. Um wieviele Sekunden im Jahr geht es falsch, wenn es um 1 Grad bzw. 10 Grad maximal ausgelenkt ist?

===Tipps===
Zunächst entwickle man in der Gesamtenergie &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt;. 

===Lösung===
Die Differentialgleichung ist 
:&lt;math&gt;\ddot\phi=-V'(\phi),\quad V(\phi)=gr(1-\cos\phi),&lt;/math&gt;
mit der Konstanten der Bewegung
:&lt;math&gt;E=\frac12\dot\phi^2+V(\phi).&lt;/math&gt;
Also gilt von &lt;math&gt;\phi=0\,&lt;/math&gt; bis zum Umkehrpunkt &lt;math&gt;\Phi\in]0,\pi[\,&lt;/math&gt;, der einer Energie von &lt;math&gt;E=gr(1-\cos(\Phi))\,&lt;/math&gt; entspricht, die Differentialgleichung
:&lt;math&gt;\dot\phi=\sqrt{2(E-V(\phi))}&lt;/math&gt;,
eine viertel Periodenlänge ist also gegeben durch
:&lt;math&gt;\frac{T_\Phi}2=\int\limits_0^\Phi\frac{d\phi}{\sqrt{2(E-V(\phi))}}&lt;/math&gt;
Um die Ableitung nach &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt; zu berechen transformiert man auf feste Grenzen,
:&lt;math&gt;\frac{T_\Phi}2=\Phi\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{2(E-V(\Phi\cdot s))}}=\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{\frac{2E-2gr(1-\cos(\Phi\cdot s))}{\Phi^2}}}.&lt;/math&gt;
Wir entwickeln um &lt;math&gt;\Phi=0\,&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt; eine Funktion von &lt;math&gt;\Phi\,&lt;/math&gt; ist,
:&lt;math&gt;\frac{2E-2gr(1-\cos(\Phi\cdot s))}{\Phi^2}=\frac{gr}{\Phi^2}\left(\Phi^2(1-s^2) -\frac1{12}\Phi^4(1-s^4)+\mathcal{O}(\Phi^6)\right)&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=gr\left((1-s^2)-\frac1{12}\Phi^2(1-s^4)+\mathcal{O}(\Phi^4)\right).&lt;/math&gt;
Also ist 
:&lt;math&gt;\frac{T_0}2=\frac1{\sqrt{gr}}\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{1-s^2}} =\frac1{\sqrt{gr}}\left[\arcsin s\right]_0^1 =\frac\pi{2\sqrt{gr}}&lt;/math&gt;,
d.h. &lt;math&gt;T_0=1[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;, und 
:&lt;math&gt;\left.\frac{d}{d(\Phi^2)}\frac{T_\Phi}2\right|_{\Phi=0} =-\int\limits_0^1\frac{ds}{2\sqrt{gr(1-s^2)}^3}\left(-\frac1{12}(1-s)^4\right) =\frac1{2(gr)^{3/2}}\int\limits_0^1\frac{(1+s^2)ds}{\sqrt{1-s^2}}
&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac1{2(gr)^{3/2}}\left(\left[\arcsin s\right]_0^1+\left[\frac12\arcsin s-\frac{s}2\sqrt{1-s^2}\right]_0^1\right) =\frac{3\pi}{4(gr)^{3/2}},&lt;/math&gt;
wobei 
:&lt;math&gt;\int s\frac{s}{\sqrt{1-s^2}}ds=-s\sqrt{1-s^2}+\int\sqrt{1-s^2}ds =-s\sqrt{1-s^2}+\int\frac{1-s^2}{\sqrt{1-s^2}}ds =-s\sqrt{1-s^2}+\arcsin s-\int s\frac{s}{\sqrt{1-s^2}}ds &lt;/math&gt;
benutzt wurde.
In der führenden Ordnung gilt also 
:&lt;math&gt;T_\Phi=\frac{\pi}{\sqrt{gr}}+\frac{3\pi}{2(gr)^{3/2}}\Phi^2+\mathcal{O}(\Phi^4) =\frac{\pi}{\sqrt{gr}}\left(1+\frac{3\Phi^2}{2gr}+\mathcal{O}(\Phi^4)\right)&lt;/math&gt;.
Für &lt;math&gt;\Phi=1^\circ&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;\frac{3\Phi^2}{2gr}=\frac{3\pi^2}{2\cdot 180^2\pi^2}=\frac1{21600}&lt;/math&gt;. Die Pendeluhr geht also pro Tag ca. &lt;math&gt;\frac{86400}{21600}=4[\mathrm{s}]&lt;/math&gt; nach.

Für &lt;math&gt;\Phi=10^\circ&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;\frac{3\Phi^2}{2gr}=\frac{3\pi^2}{2\cdot 18^2\pi^2}=\frac1{216}&lt;/math&gt;. Die Pendeluhr geht also pro Tag ca. &lt;math&gt;\frac{86400}{216}=400[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;, also fast 7 Minuten, nach.
Allerdings tragen hier höhere Ordnungen in einer Größenordnung von &lt;math&gt;1\%&lt;/math&gt; bei.</text>
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    <comment>/* Frequenz eines Pendels */</comment>
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    <text bytes="3084" xml:space="preserve">==Frequenz eines Pendels==
Ein ungedämpftes Pendel der Länge &lt;math&gt;r=1[\mathrm{m}]&lt;/math&gt; schwingt in linearer Näherung bei &lt;math&gt;g=\pi^2[\mathrm{m}/\mathrm{s}^2]&lt;/math&gt; mit einer halben Periodenlänge von &lt;math&gt;T_0=1[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;. Um wieviele Sekunden am Tag geht eine daran gekoppelte Uhr falsch, wenn es um 1 Grad bzw. 10 Grad maximal ausgelenkt ist?

===Tipps===
Zunächst entwickle man in der Gesamtenergie &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt;. 

===Lösung===
Die Differentialgleichung ist 
:&lt;math&gt;\ddot\phi=-V'(\phi),\quad V(\phi)=gr(1-\cos\phi),&lt;/math&gt;
mit der Konstanten der Bewegung
:&lt;math&gt;E=\frac12\dot\phi^2+V(\phi).&lt;/math&gt;
Also gilt von &lt;math&gt;\phi=0\,&lt;/math&gt; bis zum Umkehrpunkt &lt;math&gt;\Phi\in]0,\pi[\,&lt;/math&gt;, der einer Energie von &lt;math&gt;E=gr(1-\cos(\Phi))\,&lt;/math&gt; entspricht, die Differentialgleichung
:&lt;math&gt;\dot\phi=\sqrt{2(E-V(\phi))}&lt;/math&gt;,
eine viertel Periodenlänge ist also gegeben durch
:&lt;math&gt;\frac{T_\Phi}2=\int\limits_0^\Phi\frac{d\phi}{\sqrt{2(E-V(\phi))}}&lt;/math&gt;
Um die Ableitung nach &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt; zu berechen transformiert man auf feste Grenzen,
:&lt;math&gt;\frac{T_\Phi}2=\Phi\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{2(E-V(\Phi\cdot s))}}=\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{\frac{2E-2gr(1-\cos(\Phi\cdot s))}{\Phi^2}}}.&lt;/math&gt;
Wir entwickeln um &lt;math&gt;\Phi=0\,&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt; eine Funktion von &lt;math&gt;\Phi\,&lt;/math&gt; ist,
:&lt;math&gt;\frac{2E-2gr(1-\cos(\Phi\cdot s))}{\Phi^2}=\frac{gr}{\Phi^2}\left(\Phi^2(1-s^2) -\frac1{12}\Phi^4(1-s^4)+\mathcal{O}(\Phi^6)\right)&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=gr\left((1-s^2)-\frac1{12}\Phi^2(1-s^4)+\mathcal{O}(\Phi^4)\right).&lt;/math&gt;
Also ist 
:&lt;math&gt;\frac{T_0}2=\frac1{\sqrt{gr}}\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{1-s^2}} =\frac1{\sqrt{gr}}\left[\arcsin s\right]_0^1 =\frac\pi{2\sqrt{gr}}&lt;/math&gt;,
d.h. &lt;math&gt;T_0=1[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;, und 
:&lt;math&gt;\left.\frac{d}{d(\Phi^2)}\frac{T_\Phi}2\right|_{\Phi=0} =-\int\limits_0^1\frac{ds}{2\sqrt{gr(1-s^2)}^3}\left(-\frac1{12}(1-s)^4\right) =\frac1{2(gr)^{3/2}}\int\limits_0^1\frac{(1+s^2)ds}{\sqrt{1-s^2}}
&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac1{2(gr)^{3/2}}\left(\left[\arcsin s\right]_0^1+\left[\frac12\arcsin s-\frac{s}2\sqrt{1-s^2}\right]_0^1\right) =\frac{3\pi}{4(gr)^{3/2}},&lt;/math&gt;
wobei 
:&lt;math&gt;\int s\frac{s}{\sqrt{1-s^2}}ds=-s\sqrt{1-s^2}+\int\sqrt{1-s^2}ds =-s\sqrt{1-s^2}+\int\frac{1-s^2}{\sqrt{1-s^2}}ds =-s\sqrt{1-s^2}+\arcsin s-\int s\frac{s}{\sqrt{1-s^2}}ds &lt;/math&gt;
benutzt wurde.
In der führenden Ordnung gilt also 
:&lt;math&gt;T_\Phi=\frac{\pi}{\sqrt{gr}}+\frac{3\pi}{2(gr)^{3/2}}\Phi^2+\mathcal{O}(\Phi^4) =\frac{\pi}{\sqrt{gr}}\left(1+\frac{3\Phi^2}{2gr}+\mathcal{O}(\Phi^4)\right)&lt;/math&gt;.
Für &lt;math&gt;\Phi=1^\circ&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;\frac{3\Phi^2}{2gr}=\frac{3\pi^2}{2\cdot 180^2\pi^2}=\frac1{21600}&lt;/math&gt;. Die Pendeluhr geht also pro Tag ca. &lt;math&gt;\frac{86400}{21600}=4[\mathrm{s}]&lt;/math&gt; nach.

Für &lt;math&gt;\Phi=10^\circ&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;\frac{3\Phi^2}{2gr}=\frac{3\pi^2}{2\cdot 18^2\pi^2}=\frac1{216}&lt;/math&gt;. Die Pendeluhr geht also pro Tag ca. &lt;math&gt;\frac{86400}{216}=400[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;, also fast 7 Minuten, nach.
Allerdings tragen hier höhere Ordnungen in einer Größenordnung von &lt;math&gt;1\%&lt;/math&gt; bei.</text>
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    <comment>/* Lösung */</comment>
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    <text bytes="3072" xml:space="preserve">==Frequenz eines Pendels==
Ein ungedämpftes Pendel der Länge &lt;math&gt;r=1[\mathrm{m}]&lt;/math&gt; schwingt in linearer Näherung bei &lt;math&gt;g=\pi^2[\mathrm{m}/\mathrm{s}^2]&lt;/math&gt; mit einer halben Periodenlänge von &lt;math&gt;T_0=1[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;. Um wieviele Sekunden am Tag geht eine daran gekoppelte Uhr falsch, wenn es um 1 Grad bzw. 10 Grad maximal ausgelenkt ist?

===Tipps===
Zunächst entwickle man in der Gesamtenergie &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt;. 

===Lösung===
Die Differentialgleichung ist 
:&lt;math&gt;\ddot\phi=-V'(\phi),\quad V(\phi)=gr(1-\cos\phi),&lt;/math&gt;
mit der Konstanten der Bewegung
:&lt;math&gt;E=\frac12\dot\phi^2+V(\phi).&lt;/math&gt;
Also gilt von &lt;math&gt;\phi=0\,&lt;/math&gt; bis zum Umkehrpunkt &lt;math&gt;\Phi\in]0,\pi[\,&lt;/math&gt;, der einer Energie von &lt;math&gt;E=gr(1-\cos(\Phi))\,&lt;/math&gt; entspricht, die Differentialgleichung
:&lt;math&gt;\dot\phi=\sqrt{2(E-V(\phi))}&lt;/math&gt;,
eine viertel Periodenlänge ist also gegeben durch
:&lt;math&gt;\frac{T_\Phi}2=\int\limits_0^\Phi\frac{d\phi}{\sqrt{2(E-V(\phi))}}&lt;/math&gt;
Um die Ableitung nach &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt; zu berechen transformiert man auf feste Grenzen,
:&lt;math&gt;\frac{T_\Phi}2=\Phi\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{2(E-V(\Phi\cdot s))}}=\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{\frac{2E-2gr(1-\cos(\Phi\cdot s))}{\Phi^2}}}.&lt;/math&gt;
Wir entwickeln um &lt;math&gt;\Phi=0\,&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt; eine Funktion von &lt;math&gt;\Phi\,&lt;/math&gt; ist,
:&lt;math&gt;\frac{2E-2gr(1-\cos(\Phi\cdot s))}{\Phi^2}=\frac{gr}{\Phi^2}\left(\Phi^2(1-s^2) -\frac1{12}\Phi^4(1-s^4)+\mathcal{O}(\Phi^6)\right)&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=gr\left((1-s^2)-\frac1{12}\Phi^2(1-s^4)+\mathcal{O}(\Phi^4)\right).&lt;/math&gt;
Also ist 
:&lt;math&gt;\frac{T_0}2=\frac1{\sqrt{gr}}\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{1-s^2}} =\frac1{\sqrt{gr}}\left[\arcsin s\right]_0^1 =\frac\pi{2\sqrt{gr}}&lt;/math&gt;,
d.h. &lt;math&gt;T_0=1[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;, und 
:&lt;math&gt;\left.\frac{d}{d(\Phi^2)}\frac{T_\Phi}2\right|_{\Phi=0} =-\int\limits_0^1\frac{ds}{2\sqrt{gr(1-s^2)}^3}\left(-\frac1{12}(1-s)^4\right) =\frac1{24(gr)^{3/2}}\int\limits_0^1\frac{(1+s^2)ds}{\sqrt{1-s^2}}
&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac1{24(gr)^{3/2}}\left(\left[\arcsin s\right]_0^1+\left[\frac12\arcsin s-\frac{s}2\sqrt{1-s^2}\right]_0^1\right) =\frac{\pi}{16(gr)^{3/2}},&lt;/math&gt;
wobei 
:&lt;math&gt;\int s\frac{s}{\sqrt{1-s^2}}ds=-s\sqrt{1-s^2}+\int\sqrt{1-s^2}ds =-s\sqrt{1-s^2}+\int\frac{1-s^2}{\sqrt{1-s^2}}ds =-s\sqrt{1-s^2}+\arcsin s-\int s\frac{s}{\sqrt{1-s^2}}ds &lt;/math&gt;
benutzt wurde.
In der führenden Ordnung gilt also 
:&lt;math&gt;T_\Phi=\frac{\pi}{\sqrt{gr}}+\frac{\pi}{8(gr)^{3/2}}\Phi^2+\mathcal{O}(\Phi^4) =\frac{\pi}{\sqrt{gr}}\left(1+\frac{\Phi^2}{8gr}+\mathcal{O}(\Phi^4)\right)&lt;/math&gt;.
Für &lt;math&gt;\Phi=1^\circ&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;\frac{\Phi^2}{8gr}=\frac{\pi^2}{8\cdot 180^2\pi^2}=\frac1{259600}&lt;/math&gt;. Die Pendeluhr geht also pro Tag ca. &lt;math&gt;\frac{86400}{259600}=\frac13[\mathrm{s}]&lt;/math&gt; nach.

Für &lt;math&gt;\Phi=10^\circ&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;\frac{\Phi^2}{8gr}=\frac{\pi^2}{8\cdot 18^2\pi^2}=\frac1{2596}&lt;/math&gt;. Die Pendeluhr geht also pro Tag ca. &lt;math&gt;\frac{86400}{2596}\approx33.3[\mathrm{s}]&lt;/math&gt; nach.
Allerdings tragen höhere Ordnungen in einer Größenordnung von &lt;math&gt;0.5\%&lt;/math&gt; bei.</text>
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Ein ungedämpftes Pendel der Länge &lt;math&gt;r=1[\mathrm{m}]&lt;/math&gt; schwingt in linearer Näherung bei &lt;math&gt;g=\pi^2[\mathrm{m}/\mathrm{s}^2]&lt;/math&gt; mit einer halben Periodenlänge von &lt;math&gt;T_0=1[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;. Um wieviele Sekunden am Tag geht eine daran gekoppelte Uhr falsch, wenn es um 1 Grad bzw. 10 Grad maximal ausgelenkt ist?

===Tipps===
Zunächst entwickle man in der Gesamtenergie &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt;. 

===Lösung===
Die Differentialgleichung ist 
:&lt;math&gt;\ddot\phi=-V'(\phi),\quad V(\phi)=gr(1-\cos\phi),&lt;/math&gt;
mit der Konstanten der Bewegung
:&lt;math&gt;E=\frac12\dot\phi^2+V(\phi).&lt;/math&gt;
Also gilt von &lt;math&gt;\phi=0\,&lt;/math&gt; bis zum Umkehrpunkt &lt;math&gt;\Phi\in]0,\pi[\,&lt;/math&gt;, der einer Energie von &lt;math&gt;E=gr(1-\cos(\Phi))\,&lt;/math&gt; entspricht, die Differentialgleichung
:&lt;math&gt;\dot\phi=\sqrt{2(E-V(\phi))}&lt;/math&gt;,
eine viertel Periodenlänge ist also gegeben durch
:&lt;math&gt;\frac{T_\Phi}2=\int\limits_0^\Phi\frac{d\phi}{\sqrt{2(E-V(\phi))}}&lt;/math&gt;
Um die Ableitung nach &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt; zu berechen transformiert man auf feste Grenzen,
:&lt;math&gt;\frac{T_\Phi}2=\Phi\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{2(E-V(\Phi\cdot s))}}=\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{\frac{2E-2gr(1-\cos(\Phi\cdot s))}{\Phi^2}}}.&lt;/math&gt;
Wir entwickeln um &lt;math&gt;\Phi=0\,&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt; eine Funktion von &lt;math&gt;\Phi\,&lt;/math&gt; ist,
:&lt;math&gt;\frac{2E-2gr(1-\cos(\Phi\cdot s))}{\Phi^2}=\frac{gr}{\Phi^2}\left(\Phi^2(1-s^2) -\frac1{12}\Phi^4(1-s^4)+\mathcal{O}(\Phi^6)\right)&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=gr\left((1-s^2)-\frac1{12}\Phi^2(1-s^4)+\mathcal{O}(\Phi^4)\right).&lt;/math&gt;
Also ist 
:&lt;math&gt;\frac{T_0}2=\frac1{\sqrt{gr}}\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{1-s^2}} =\frac1{\sqrt{gr}}\left[\arcsin s\right]_0^1 =\frac\pi{2\sqrt{gr}}&lt;/math&gt;,
d.h. &lt;math&gt;T_0=1[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;, und 
:&lt;math&gt;\left.\frac{d}{d(\Phi^2)}\frac{T_\Phi}2\right|_{\Phi=0} =-\int\limits_0^1\frac{ds}{2\sqrt{gr(1-s^2)}^3}\left(-\frac1{12}(1-s)^4\right) =\frac1{24(gr)^{3/2}}\int\limits_0^1\frac{(1+s^2)ds}{\sqrt{1-s^2}}
&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac1{24(gr)^{3/2}}\left(\left[\arcsin s\right]_0^1+\left[\frac12\arcsin s-\frac{s}2\sqrt{1-s^2}\right]_0^1\right) =\frac{\pi}{16(gr)^{3/2}},&lt;/math&gt;
wobei 
:&lt;math&gt;\int s\frac{s}{\sqrt{1-s^2}}ds=-s\sqrt{1-s^2}+\int\sqrt{1-s^2}ds =-s\sqrt{1-s^2}+\int\frac{1-s^2}{\sqrt{1-s^2}}ds =-s\sqrt{1-s^2}+\arcsin s-\int s\frac{s}{\sqrt{1-s^2}}ds &lt;/math&gt;
benutzt wurde.
In der führenden Ordnung gilt also 
:&lt;math&gt;T_\Phi=\frac{\pi}{\sqrt{gr}}+\frac{\pi}{8(gr)^{3/2}}\Phi^2+\mathcal{O}(\Phi^4) =\frac{\pi}{\sqrt{gr}}\left(1+\frac{\Phi^2}{8gr}+\mathcal{O}(\Phi^4)\right)&lt;/math&gt;.
Für &lt;math&gt;\Phi=1^\circ&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;\frac{\Phi^2}{8gr}=\frac{\pi^2}{8\cdot 180^2\pi^2}=\frac1{259600}&lt;/math&gt;. Die Pendeluhr geht also pro Tag ca. &lt;math&gt;\frac{86400}{259600}=\frac13\approx0.33[\mathrm{s}]&lt;/math&gt; nach.

Für &lt;math&gt;\Phi=10^\circ&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;\frac{\Phi^2}{8gr}=\frac{\pi^2}{8\cdot 18^2\pi^2}=\frac1{2596}&lt;/math&gt;. Die Pendeluhr geht also pro Tag ca. &lt;math&gt;\frac{86400}{2596}\approx33.3[\mathrm{s}]&lt;/math&gt; nach.
Allerdings tragen höhere Ordnungen in einer Größenordnung von &lt;math&gt;0.5\%&lt;/math&gt; zum Fehler bei.</text>
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    <contributor>
      <username>Mpraehofer</username>
      <id>20808</id>
    </contributor>
    <comment>/* Lösung */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="3128" xml:space="preserve">==Frequenz eines Pendels==
Ein ungedämpftes Pendel der Länge &lt;math&gt;r=1[\mathrm{m}]&lt;/math&gt; schwingt in linearer Näherung bei &lt;math&gt;g=\pi^2[\mathrm{m}/\mathrm{s}^2]&lt;/math&gt; mit einer halben Periodenlänge von &lt;math&gt;T_0=1[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;. Um wieviele Sekunden am Tag geht eine daran gekoppelte Uhr falsch, wenn es um 1 Grad bzw. 10 Grad maximal ausgelenkt ist?

===Tipps===
Zunächst entwickle man in der Gesamtenergie &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt;. 

===Lösung===
Die Differentialgleichung ist 
:&lt;math&gt;\ddot\phi=-V'(\phi),\quad V(\phi)=gr(1-\cos\phi),&lt;/math&gt;
mit der Konstanten der Bewegung
:&lt;math&gt;E=\frac12\dot\phi^2+V(\phi).&lt;/math&gt;
Also gilt von &lt;math&gt;\phi=0\,&lt;/math&gt; bis zum Umkehrpunkt &lt;math&gt;\Phi\in]0,\pi[\,&lt;/math&gt;, der einer Energie von &lt;math&gt;E=gr(1-\cos(\Phi))\,&lt;/math&gt; entspricht, die Differentialgleichung
:&lt;math&gt;\dot\phi=\sqrt{2(E-V(\phi))}&lt;/math&gt;,
eine viertel Periodenlänge ist also gegeben durch
:&lt;math&gt;\frac{T_\Phi}2=\int\limits_0^\Phi\frac{d\phi}{\sqrt{2(E-V(\phi))}}&lt;/math&gt;
Um die Ableitung nach &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt; zu berechen transformiert man auf feste Grenzen,
:&lt;math&gt;\frac{T_\Phi}2=\Phi\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{2(E-V(\Phi\cdot s))}}=\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{\frac{2E-2gr(1-\cos(\Phi\cdot s))}{\Phi^2}}}.&lt;/math&gt;
Wir entwickeln um &lt;math&gt;\Phi=0\,&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt; eine Funktion von &lt;math&gt;\Phi\,&lt;/math&gt; ist,
:&lt;math&gt;\frac{2E-2gr(1-\cos(\Phi\cdot s))}{\Phi^2}=\frac{gr}{\Phi^2}\left(\Phi^2(1-s^2) -\frac1{12}\Phi^4(1-s^4)+\mathcal{O}(\Phi^6)\right)&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=gr\left((1-s^2)-\frac1{12}\Phi^2(1-s^4)+\mathcal{O}(\Phi^4)\right).&lt;/math&gt;
Also ist 
:&lt;math&gt;\frac{T_0}2=\frac1{\sqrt{gr}}\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{1-s^2}} =\frac1{\sqrt{gr}}\left[\arcsin s\right]_0^1 =\frac\pi{2\sqrt{gr}}&lt;/math&gt;,
d.h. &lt;math&gt;T_0=1[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;, und 
:&lt;math&gt;\left.\frac{d}{d(\Phi^2)}\frac{T_\Phi}2\right|_{\Phi=0} =-\int\limits_0^1\frac{ds}{2\sqrt{gr(1-s^2)}^3}\left(-\frac1{12}(1-s)^4\right) =\frac1{24(gr)^{3/2}}\int\limits_0^1\frac{(1+s^2)ds}{\sqrt{1-s^2}}
&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac1{24(gr)^{3/2}}\left(\left[\arcsin s\right]_0^1+\left[\frac12\arcsin s-\frac{s}2\sqrt{1-s^2}\right]_0^1\right) =\frac{\pi}{16(gr)^{3/2}},&lt;/math&gt;
wobei 
:&lt;math&gt;\int s\frac{s}{\sqrt{1-s^2}}ds=-s\sqrt{1-s^2}+\int\sqrt{1-s^2}ds =-s\sqrt{1-s^2}+\int\frac{1-s^2}{\sqrt{1-s^2}}ds =-s\sqrt{1-s^2}+\arcsin s-\int s\frac{s}{\sqrt{1-s^2}}ds &lt;/math&gt;
benutzt wurde.
In der führenden Ordnung gilt also 
:&lt;math&gt;T_\Phi=\frac{\pi}{\sqrt{gr}}+\frac{\pi}{8(gr)^{3/2}}\Phi^2+\mathcal{O}(\Phi^4) =\frac{\pi}{\sqrt{gr}}\left(1+\frac{\Phi^2}{8gr}+\mathcal{O}(\Phi^4)\right)&lt;/math&gt;.
Für &lt;math&gt;\Phi=1^\circ&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;\frac{\Phi^2}{8gr}=\frac{\pi^2}{8\cdot 180^2\pi^2}=\frac1{259600}&lt;/math&gt;. Die Pendeluhr geht also pro Tag ca. &lt;math&gt;\frac{86400}{259600}=\frac13\approx0.33[\mathrm{s}]&lt;/math&gt; nach. Das macht im Jahr ungefähr 2min.

Für &lt;math&gt;\Phi=10^\circ&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;\frac{\Phi^2}{8gr}=\frac{\pi^2}{8\cdot 18^2\pi^2}=\frac1{2596}&lt;/math&gt;. Die Pendeluhr geht also pro Tag ca. &lt;math&gt;\frac{86400}{2596}\approx33.3[\mathrm{s}]&lt;/math&gt; nach.
Allerdings tragen höhere Ordnungen in einer Größenordnung von &lt;math&gt;0.5\%&lt;/math&gt; zum Fehler bei.</text>
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    </contributor>
    <comment>/* Lösung */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="3140" xml:space="preserve">==Frequenz eines Pendels==
Ein ungedämpftes Pendel der Länge &lt;math&gt;r=1[\mathrm{m}]&lt;/math&gt; schwingt in linearer Näherung bei &lt;math&gt;g=\pi^2[\mathrm{m}/\mathrm{s}^2]&lt;/math&gt; mit einer halben Periodenlänge von &lt;math&gt;T_0=1[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;. Um wieviele Sekunden am Tag geht eine daran gekoppelte Uhr falsch, wenn es um 1 Grad bzw. 10 Grad maximal ausgelenkt ist?

===Tipps===
Zunächst entwickle man in der Gesamtenergie &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt;. 

===Lösung===
Die Differentialgleichung ist 
:&lt;math&gt;\ddot\phi=-V'(\phi),\quad V(\phi)=gr(1-\cos\phi),&lt;/math&gt;
mit der Konstanten der Bewegung
:&lt;math&gt;E=\frac12\dot\phi^2+V(\phi).&lt;/math&gt;
Also gilt von &lt;math&gt;\phi=0\,&lt;/math&gt; bis zum Umkehrpunkt &lt;math&gt;\Phi\in]0,\pi[\,&lt;/math&gt;, der einer Energie von &lt;math&gt;E=gr(1-\cos(\Phi))\,&lt;/math&gt; entspricht, die Differentialgleichung
:&lt;math&gt;\dot\phi=\sqrt{2(E-V(\phi))}&lt;/math&gt;,
eine viertel Periodenlänge ist also gegeben durch
:&lt;math&gt;\frac{T_\Phi}2=\int\limits_0^\Phi\frac{d\phi}{\sqrt{2(E-V(\phi))}}&lt;/math&gt;
Um die Ableitung nach &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt; zu berechen transformiert man auf feste Grenzen,
:&lt;math&gt;\frac{T_\Phi}2=\Phi\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{2(E-V(\Phi\cdot s))}}=\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{\frac{2E-2gr(1-\cos(\Phi\cdot s))}{\Phi^2}}}.&lt;/math&gt;
Wir entwickeln um &lt;math&gt;\Phi=0\,&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt; eine Funktion von &lt;math&gt;\Phi\,&lt;/math&gt; ist,
:&lt;math&gt;\frac{2E-2gr(1-\cos(\Phi\cdot s))}{\Phi^2}=\frac{gr}{\Phi^2}\left(\Phi^2(1-s^2) -\frac1{12}\Phi^4(1-s^4)+\mathcal{O}(\Phi^6)\right)&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=gr\left((1-s^2)-\frac1{12}\Phi^2(1-s^4)+\mathcal{O}(\Phi^4)\right).&lt;/math&gt;
Also ist 
:&lt;math&gt;\frac{T_0}2=\frac1{\sqrt{gr}}\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{1-s^2}} =\frac1{\sqrt{gr}}\left[\arcsin s\right]_0^1 =\frac\pi{2\sqrt{gr}}&lt;/math&gt;,
d.h. &lt;math&gt;T_0=1[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;, und 
:&lt;math&gt;\left.\frac{d}{d(\Phi^2)}\frac{T_\Phi}2\right|_{\Phi=0} =-\int\limits_0^1\frac{ds}{2\sqrt{gr(1-s^2)}^3}\left(-gr\frac1{12}(1-s)^4\right) =\frac1{24\sqrt{gr}}\int\limits_0^1\frac{(1+s^2)ds}{\sqrt{1-s^2}}
&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac1{24\sqrt{gr}}\left(\left[\arcsin s\right]_0^1+\left[\frac12\arcsin s-\frac{s}2\sqrt{1-s^2}\right]_0^1\right) =\frac{\pi}{32\sqrt{gr}}&lt;/math&gt;,
wobei 
:&lt;math&gt;\int s\frac{s}{\sqrt{1-s^2}}ds=-s\sqrt{1-s^2}+\int\sqrt{1-s^2}ds =-s\sqrt{1-s^2}+\int\frac{1-s^2}{\sqrt{1-s^2}}ds&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=-s\sqrt{1-s^2}+\arcsin s-\int s\frac{s}{\sqrt{1-s^2}}ds &lt;/math&gt;
benutzt wurde.
In der führenden Ordnung gilt also 
:&lt;math&gt;T_\Phi=\frac{\pi}{\sqrt{gr}}+\frac{\pi}{16\sqrt{gr}}\Phi^2+\mathcal{O}(\Phi^4) =\frac{\pi}{\sqrt{gr}}\left(1+\frac{\Phi^2}{16}+\mathcal{O}(\Phi^4)\right)&lt;/math&gt;.
Für &lt;math&gt;\Phi=1^\circ&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;\frac{\Phi^2}{8gr}=\frac{\pi^2}{8\cdot 180^2\pi^2}=\frac1{259600}&lt;/math&gt;. Die Pendeluhr geht also pro Tag ca. &lt;math&gt;\frac{86400}{259600}=\frac13\approx0.33[\mathrm{s}]&lt;/math&gt; nach. Das macht im Jahr ungefähr 2min.

Für &lt;math&gt;\Phi=10^\circ&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;\frac{\Phi^2}{8gr}=\frac{\pi^2}{8\cdot 18^2\pi^2}=\frac1{2596}&lt;/math&gt;. Die Pendeluhr geht also pro Tag ca. &lt;math&gt;\frac{86400}{2596}\approx33.3[\mathrm{s}]&lt;/math&gt; nach.
Allerdings tragen höhere Ordnungen in einer Größenordnung von &lt;math&gt;0.5\%&lt;/math&gt; zum Fehler bei.</text>
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    <comment>/* Frequenz eines Pendels */  Rechenfehler ausgemerzt</comment>
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    <text bytes="3261" xml:space="preserve">==Frequenz eines Pendels==
Ein ungedämpftes Pendel der Länge &lt;math&gt;r=1[\mathrm{m}]&lt;/math&gt; schwingt in linearer Näherung bei &lt;math&gt;g=\pi^2[\mathrm{m}/\mathrm{s}^2]&lt;/math&gt; mit einer halben Periodenlänge von &lt;math&gt;T_0=1[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;. Um wieviele Sekunden am Tag geht eine daran gekoppelte Uhr falsch, wenn es um die Bogenlänge &lt;math&gt;\frac1{60}&lt;/math&gt;(&lt;math&gt;\approx1^\circ&lt;/math&gt;) bzw. &lt;math&gt;\frac16&lt;/math&gt;(&lt;math&gt;\approx10^\circ&lt;/math&gt;) maximal ausgelenkt ist?

===Tipps===
Zunächst entwickle man in der Gesamtenergie &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt;. 

===Lösung===
Die Differentialgleichung ist 
:&lt;math&gt;\ddot\phi=-V'(\phi),\quad V(\phi)=gr(1-\cos\phi),&lt;/math&gt;
mit der Konstanten der Bewegung
:&lt;math&gt;E=\frac12\dot\phi^2+V(\phi).&lt;/math&gt;
Also gilt von &lt;math&gt;\phi=0\,&lt;/math&gt; bis zum Umkehrpunkt &lt;math&gt;\Phi\in]0,\pi[\,&lt;/math&gt;, der einer Energie von &lt;math&gt;E=gr(1-\cos(\Phi))\,&lt;/math&gt; entspricht, die Differentialgleichung
:&lt;math&gt;\dot\phi=\sqrt{2(E-V(\phi))}&lt;/math&gt;,
eine viertel Periodenlänge ist also gegeben durch
:&lt;math&gt;\frac{T_\Phi}2=\int\limits_0^\Phi\frac{d\phi}{\sqrt{2(E-V(\phi))}}&lt;/math&gt;
Um die Ableitung nach &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt; zu berechen transformiert man auf feste Grenzen,
:&lt;math&gt;\frac{T_\Phi}2=\Phi\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{2(E-V(\Phi\cdot s))}}=\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{\frac{2E-2gr(1-\cos(\Phi\cdot s))}{\Phi^2}}}.&lt;/math&gt;
Wir entwickeln um &lt;math&gt;\Phi=0\,&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt; eine Funktion von &lt;math&gt;\Phi\,&lt;/math&gt; ist,
:&lt;math&gt;\frac{2E-2gr(1-\cos(\Phi\cdot s))}{\Phi^2}=\frac{gr}{\Phi^2}\left(\Phi^2(1-s^2) -\frac1{12}\Phi^4(1-s^4)+\mathcal{O}(\Phi^6)\right)&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=gr\left((1-s^2)-\frac1{12}\Phi^2(1-s^4)+\mathcal{O}(\Phi^4)\right).&lt;/math&gt;
Also ist 
:&lt;math&gt;\frac{T_0}2=\frac1{\sqrt{gr}}\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{1-s^2}} =\frac1{\sqrt{gr}}\left[\arcsin s\right]_0^1 =\frac\pi{2\sqrt{gr}}&lt;/math&gt;,
d.h. &lt;math&gt;T_0=1[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;, und 
:&lt;math&gt;\left.\frac{d}{d(\Phi^2)}\frac{T_\Phi}2\right|_{\Phi=0} =-\int\limits_0^1\frac{ds}{2\sqrt{gr(1-s^2)}^3}\left(-gr\frac1{12}(1-s)^4\right) =\frac1{24\sqrt{gr}}\int\limits_0^1\frac{(1+s^2)ds}{\sqrt{1-s^2}}
&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac1{24\sqrt{gr}}\left(\left[\arcsin s\right]_0^1+\left[\frac12\arcsin s-\frac{s}2\sqrt{1-s^2}\right]_0^1\right) =\frac{\pi}{32\sqrt{gr}}&lt;/math&gt;,
wobei 
:&lt;math&gt;\int s\frac{s}{\sqrt{1-s^2}}ds=-s\sqrt{1-s^2}+\int\sqrt{1-s^2}ds =-s\sqrt{1-s^2}+\int\frac{1-s^2}{\sqrt{1-s^2}}ds&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=-s\sqrt{1-s^2}+\arcsin s-\int s\frac{s}{\sqrt{1-s^2}}ds &lt;/math&gt;
benutzt wurde.
In der führenden Ordnung gilt also 
:&lt;math&gt;T_\Phi=\frac{\pi}{\sqrt{gr}}+\frac{\pi}{16\sqrt{gr}}\Phi^2+\mathcal{O}(\Phi^4) =\frac{\pi}{\sqrt{gr}}\left(1+\frac{\Phi^2}{16}+\mathcal{O}(\Phi^4)\right)&lt;/math&gt;.

Für &lt;math&gt;\Phi=\frac1{60}&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;\frac{\Phi^2}{16}=\frac{1}{16\cdot3600}=\frac1{57600}&lt;/math&gt;. Die Pendeluhr geht also pro Tag ca. &lt;math&gt;\frac{86400}{57600}=1.5[\mathrm{s}]&lt;/math&gt; nach. Das macht im Jahr ungefähr 9min.

Für &lt;math&gt;\Phi=\frac1{6}&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;\frac{\Phi^2}{16}=\frac{1}{16\cdot36}=\frac1{576}&lt;/math&gt;. Die Pendeluhr geht also pro Tag ca. &lt;math&gt;\frac{86400}{576}=150[\mathrm{s}]&lt;/math&gt; nach. Die nächsthöhere Ordnung ist &lt;math&gt;\frac{11\Phi^4}{3072}\approx0.24[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;, verändert die führende Ordnung also nur um ca 0&lt;math&gt;.2\%\,&lt;/math&gt;.</text>
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      <username>Mpraehofer</username>
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    <comment>/* Lösung */</comment>
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    <text bytes="3280" xml:space="preserve">==Frequenz eines Pendels==
Ein ungedämpftes Pendel der Länge &lt;math&gt;r=1[\mathrm{m}]&lt;/math&gt; schwingt in linearer Näherung bei &lt;math&gt;g=\pi^2[\mathrm{m}/\mathrm{s}^2]&lt;/math&gt; mit einer halben Periodenlänge von &lt;math&gt;T_0=1[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;. Um wieviele Sekunden am Tag geht eine daran gekoppelte Uhr falsch, wenn es um die Bogenlänge &lt;math&gt;\frac1{60}&lt;/math&gt;(&lt;math&gt;\approx1^\circ&lt;/math&gt;) bzw. &lt;math&gt;\frac16&lt;/math&gt;(&lt;math&gt;\approx10^\circ&lt;/math&gt;) maximal ausgelenkt ist?

===Tipps===
Zunächst entwickle man in der Gesamtenergie &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt;. 

===Lösung===
Die Differentialgleichung ist 
:&lt;math&gt;\ddot\phi=-V'(\phi),\quad V(\phi)=gr(1-\cos\phi),&lt;/math&gt;
mit der Konstanten der Bewegung
:&lt;math&gt;E=\frac12\dot\phi^2+V(\phi).&lt;/math&gt;
Also gilt von &lt;math&gt;\phi=0\,&lt;/math&gt; bis zum Umkehrpunkt &lt;math&gt;\Phi\in]0,\pi[\,&lt;/math&gt;, der einer Energie von &lt;math&gt;E=gr(1-\cos(\Phi))\,&lt;/math&gt; entspricht, die Differentialgleichung
:&lt;math&gt;\dot\phi=\sqrt{2(E-V(\phi))}&lt;/math&gt;,
eine viertel Periodenlänge ist also gegeben durch
:&lt;math&gt;\frac{T_\Phi}2=\int\limits_0^\Phi\frac{d\phi}{\sqrt{2(E-V(\phi))}}&lt;/math&gt;
Um die Ableitung nach &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt; zu berechen transformiert man auf feste Grenzen,
:&lt;math&gt;\frac{T_\Phi}2=\Phi\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{2(E-V(\Phi\cdot s))}}=\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{\frac{2E-2gr(1-\cos(\Phi\cdot s))}{\Phi^2}}}.&lt;/math&gt;
Wir entwickeln um &lt;math&gt;\Phi=0\,&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt; eine Funktion von &lt;math&gt;\Phi\,&lt;/math&gt; ist,
:&lt;math&gt;\frac{2E-2gr(1-\cos(\Phi\cdot s))}{\Phi^2}=\frac{gr}{\Phi^2}\left(\Phi^2(1-s^2) -\frac1{12}\Phi^4(1-s^4)+\mathcal{O}(\Phi^6)\right)&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=gr\left((1-s^2)-\frac1{12}\Phi^2(1-s^4)+\mathcal{O}(\Phi^4)\right).&lt;/math&gt;
Also ist 
:&lt;math&gt;\frac{T_0}2=\frac1{\sqrt{gr}}\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{1-s^2}} =\frac1{\sqrt{gr}}\left[\arcsin s\right]_0^1 =\frac\pi{2\sqrt{gr}}&lt;/math&gt;,
d.h. &lt;math&gt;T_0=1[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;, und 
:&lt;math&gt;\left.\frac{d}{d(\Phi^2)}\frac{T_\Phi}2\right|_{\Phi=0} =-\int\limits_0^1\frac{ds}{2\sqrt{gr(1-s^2)}^3}\left(-gr\frac1{12}(1-s)^4\right) =\frac1{24\sqrt{gr}}\int\limits_0^1\frac{(1+s^2)ds}{\sqrt{1-s^2}}
&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac1{24\sqrt{gr}}\left(\left[\arcsin s\right]_0^1+\left[\frac12\arcsin s-\frac{s}2\sqrt{1-s^2}\right]_0^1\right) =\frac{\pi}{32\sqrt{gr}}&lt;/math&gt;,
wobei 
:&lt;math&gt;\int s\frac{s}{\sqrt{1-s^2}}ds=-s\sqrt{1-s^2}+\int\sqrt{1-s^2}ds =-s\sqrt{1-s^2}+\int\frac{1-s^2}{\sqrt{1-s^2}}ds&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=-s\sqrt{1-s^2}+\arcsin s-\int s\frac{s}{\sqrt{1-s^2}}ds &lt;/math&gt;
benutzt wurde.
In der führenden Ordnung gilt also 
:&lt;math&gt;T_\Phi=\frac{\pi}{\sqrt{gr}}+\frac{\pi}{16\sqrt{gr}}\Phi^2+\mathcal{O}(\Phi^4) =\frac{\pi}{\sqrt{gr}}\left(1+\frac{\Phi^2}{16}+\mathcal{O}(\Phi^4)\right)&lt;/math&gt;.

Für &lt;math&gt;\Phi=\frac1{60}&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;\frac{\Phi^2}{16}=\frac{1}{16\cdot3600}=\frac1{57600}&lt;/math&gt;. Die Pendeluhr geht also pro Tag ca. &lt;math&gt;\frac{86400}{57600}=1.5[\mathrm{s}]&lt;/math&gt; nach. Das macht im Jahr ungefähr 9min.

Für &lt;math&gt;\Phi=\frac1{6}&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;\frac{\Phi^2}{16}=\frac{1}{16\cdot36}=\frac1{576}&lt;/math&gt;. Die Pendeluhr geht also pro Tag ca. &lt;math&gt;\frac{86400}{576}=150[\mathrm{s}]&lt;/math&gt; nach. Die nächsthöhere Ordnung ist &lt;math&gt;\frac{11\Phi^4}{3072}&lt;/math&gt;, das macht nochmal 0.24\mathrm{s} Fehlgang und verändert die führende Ordnung nur um ca. 0&lt;math&gt;.2\%\,&lt;/math&gt;.</text>
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    <text bytes="3496" xml:space="preserve">==Frequenz eines Pendels==
Ein ungedämpftes Pendel der Länge &lt;math&gt;r=1[\mathrm{m}]&lt;/math&gt; schwingt in linearer Näherung bei &lt;math&gt;g=\pi^2[\mathrm{m}/\mathrm{s}^2]&lt;/math&gt; mit einer halben Periodenlänge von &lt;math&gt;T_0=1[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;. Um wieviele Sekunden am Tag geht eine daran gekoppelte Uhr falsch, wenn es um die Bogenlänge &lt;math&gt;\frac1{60}&lt;/math&gt;(&lt;math&gt;\approx1^\circ&lt;/math&gt;) bzw. &lt;math&gt;\frac16&lt;/math&gt;(&lt;math&gt;\approx10^\circ&lt;/math&gt;) maximal ausgelenkt ist?

===Tipps===
Man leite einen Integralausdruck für die halbe Periodenlänge her und entwickle in der Maximalauslenkung.

===Lösung===
Die Differentialgleichung ist 
:&lt;math&gt;\ddot\phi=-V'(\phi),\quad V(\phi)=gr(1-\cos\phi),&lt;/math&gt;
mit der Konstanten der Bewegung
:&lt;math&gt;E=\frac12\dot\phi^2+V(\phi).&lt;/math&gt;
Also gilt von &lt;math&gt;\phi=0\,&lt;/math&gt; bis zum Umkehrpunkt &lt;math&gt;\Phi\in]0,\pi[\,&lt;/math&gt;, der einer Energie von &lt;math&gt;E=gr(1-\cos(\Phi))\,&lt;/math&gt; entspricht, die Differentialgleichung
:&lt;math&gt;\dot\phi=\sqrt{2(E-V(\phi))}&lt;/math&gt;,
eine viertel Periodenlänge ist also gegeben durch
:&lt;math&gt;\frac{T_\Phi}2=\int\limits_0^\Phi\frac{d\phi}{\sqrt{2(E-V(\phi))}}&lt;/math&gt;
Um die Ableitung nach &lt;math&gt;\Phi\,&lt;/math&gt; zu berechen transformiert man auf feste Grenzen,
:&lt;math&gt;\frac{T_\Phi}2=\Phi\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{2(E-V(\Phi\cdot s))}}=\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{\frac{2E-2gr(1-\cos(\Phi\cdot s))}{\Phi^2}}}.&lt;/math&gt;
Wir entwickeln um &lt;math&gt;\Phi=0\,&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt; eine Funktion von &lt;math&gt;\Phi\,&lt;/math&gt; ist,
:&lt;math&gt;\frac{2E-2gr(1-\cos(\Phi\cdot s))}{\Phi^2}=\frac{gr}{\Phi^2}\left(\Phi^2(1-s^2) -\frac1{12}\Phi^4(1-s^4)+\mathcal{O}(\Phi^6)\right)&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=gr\left((1-s^2)-\frac1{12}\Phi^2(1-s^4)+\mathcal{O}(\Phi^4)\right).&lt;/math&gt;
Also ist 
:&lt;math&gt;\frac{T_0}2=\frac1{\sqrt{gr}}\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{1-s^2}} =\frac1{\sqrt{gr}}\left[\arcsin s\right]_0^1 =\frac\pi{2\sqrt{gr}}&lt;/math&gt;,
d.h. &lt;math&gt;T_0=1[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;, und 
:&lt;math&gt;\left.\frac{d}{d(\Phi^2)}\frac{T_\Phi}2\right|_{\Phi=0} =-\int\limits_0^1\frac{ds}{2\sqrt{gr(1-s^2)}^3}\left(-gr\frac1{12}(1-s)^4\right) =\frac1{24\sqrt{gr}}\int\limits_0^1\frac{(1+s^2)ds}{\sqrt{1-s^2}}
&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac1{24\sqrt{gr}}\left(\left[\arcsin s\right]_0^1+\left[\frac12\arcsin s-\frac{s}2\sqrt{1-s^2}\right]_0^1\right) =\frac{\pi}{32\sqrt{gr}}&lt;/math&gt;,
wobei 
:&lt;math&gt;\int s\frac{s}{\sqrt{1-s^2}}ds=-s\sqrt{1-s^2}+\int\sqrt{1-s^2}ds =-s\sqrt{1-s^2}+\int\frac{1-s^2}{\sqrt{1-s^2}}ds&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=-s\sqrt{1-s^2}+\arcsin s-\int s\frac{s}{\sqrt{1-s^2}}ds &lt;/math&gt;
benutzt wurde. Die Integrale sind endlich, da jeweils nur inverse Wurzelsingularitäten am rechten Rand auftreten. Damit ist das Vertauschen von Integral und Ableitung gerechtfertigt.

In der führenden Ordnung gilt also 
:&lt;math&gt;T_\Phi=\frac{\pi}{\sqrt{gr}}+\frac{\pi}{16\sqrt{gr}}\Phi^2+\mathcal{O}(\Phi^4) =\frac{\pi}{\sqrt{gr}}\left(1+\frac{\Phi^2}{16}+\mathcal{O}(\Phi^4)\right)&lt;/math&gt;.

Für &lt;math&gt;\Phi=\frac1{60}&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;\frac{\Phi^2}{16}=\frac{1}{16\cdot3600}=\frac1{57600}&lt;/math&gt;. Die Pendeluhr geht also pro Tag ca. &lt;math&gt;\frac{86400}{57600}=1.5[\mathrm{s}]&lt;/math&gt; nach. Das macht im Jahr ungefähr 9min.

Für &lt;math&gt;\Phi=\frac1{6}&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;\frac{\Phi^2}{16}=\frac{1}{16\cdot36}=\frac1{576}&lt;/math&gt;. Die Pendeluhr geht also pro Tag ca. &lt;math&gt;\frac{86400}{576}=150[\mathrm{s}]&lt;/math&gt; nach. Die nächsthöhere Ordnung ist &lt;math&gt;\frac{11\Phi^4}{3072}&lt;/math&gt;, das macht nochmal 0.24\mathrm{s} Fehlgang und verändert die führende Ordnung nur um ca. 0&lt;math&gt;.2\%\,&lt;/math&gt;.</text>
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Ein ungedämpftes Pendel der Länge &lt;math&gt;r=1[\mathrm{m}]&lt;/math&gt; schwingt in linearer Näherung bei &lt;math&gt;g=\pi^2[\mathrm{m}/\mathrm{s}^2]&lt;/math&gt; mit einer halben Periodenlänge von &lt;math&gt;T_0=1[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;. Um wieviele Sekunden am Tag geht eine daran gekoppelte Uhr falsch, wenn es um die Bogenlänge &lt;math&gt;\frac1{60}&lt;/math&gt;(&lt;math&gt;\approx1^\circ&lt;/math&gt;) bzw. &lt;math&gt;\frac16&lt;/math&gt;(&lt;math&gt;\approx10^\circ&lt;/math&gt;) maximal ausgelenkt ist?

===Tipps===
Man leite einen Integralausdruck für die halbe Periodenlänge her und entwickle in der Maximalauslenkung.

===Lösung===
Die Differentialgleichung ist 
:&lt;math&gt;\ddot\phi=-V'(\phi),\quad V(\phi)=gr(1-\cos\phi),&lt;/math&gt;
mit der Konstanten der Bewegung
:&lt;math&gt;E=\frac12\dot\phi^2+V(\phi).&lt;/math&gt;
Also gilt von &lt;math&gt;\phi=0\,&lt;/math&gt; bis zum Umkehrpunkt &lt;math&gt;\Phi\in]0,\pi[\,&lt;/math&gt;, der einer Energie von &lt;math&gt;E=gr(1-\cos(\Phi))\,&lt;/math&gt; entspricht, die Differentialgleichung
:&lt;math&gt;\dot\phi=\sqrt{2(E-V(\phi))}&lt;/math&gt;,
eine viertel Periodenlänge ist also gegeben durch
:&lt;math&gt;\frac{T_\Phi}2=\int\limits_0^\Phi\frac{d\phi}{\sqrt{2(E-V(\phi))}}&lt;/math&gt;
Um die Ableitung nach &lt;math&gt;\Phi\,&lt;/math&gt; zu berechen transformiert man auf feste Grenzen,
:&lt;math&gt;\frac{T_\Phi}2=\Phi\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{2(E-V(\Phi\cdot s))}}=\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{\frac{2E-2gr(1-\cos(\Phi\cdot s))}{\Phi^2}}}.&lt;/math&gt;
Wir entwickeln um &lt;math&gt;\Phi=0\,&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt; eine Funktion von &lt;math&gt;\Phi\,&lt;/math&gt; ist,
:&lt;math&gt;\frac{2E-2gr(1-\cos(\Phi\cdot s))}{\Phi^2}=\frac{gr}{\Phi^2}\left(\Phi^2(1-s^2) -\frac1{12}\Phi^4(1-s^4)+\mathcal{O}(\Phi^6)\right)&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=gr\left((1-s^2)-\frac1{12}\Phi^2(1-s^4)+\mathcal{O}(\Phi^4)\right).&lt;/math&gt;
Also ist 
:&lt;math&gt;\frac{T_0}2=\frac1{\sqrt{gr}}\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{1-s^2}} =\frac1{\sqrt{gr}}\left[\arcsin s\right]_0^1 =\frac\pi{2\sqrt{gr}}&lt;/math&gt;,
d.h. &lt;math&gt;T_0=1[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;, und 
:&lt;math&gt;\left.\frac{d}{d(\Phi^2)}\frac{T_\Phi}2\right|_{\Phi=0} =-\int\limits_0^1\frac{ds}{2\sqrt{gr(1-s^2)}^3}\left(-gr\frac1{12}(1-s)^4\right) =\frac1{24\sqrt{gr}}\int\limits_0^1\frac{(1+s^2)ds}{\sqrt{1-s^2}}
&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac1{24\sqrt{gr}}\left(\left[\arcsin s\right]_0^1+\left[\frac12\arcsin s-\frac{s}2\sqrt{1-s^2}\right]_0^1\right) =\frac{\pi}{32\sqrt{gr}}&lt;/math&gt;,
wobei 
:&lt;math&gt;\int s\frac{s}{\sqrt{1-s^2}}ds=-s\sqrt{1-s^2}+\int\sqrt{1-s^2}ds =-s\sqrt{1-s^2}+\int\frac{1-s^2}{\sqrt{1-s^2}}ds&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=-s\sqrt{1-s^2}+\arcsin s-\int s\frac{s}{\sqrt{1-s^2}}ds &lt;/math&gt;
benutzt wurde. Die Integrale sind endlich, da jeweils nur inverse Wurzelsingularitäten am rechten Rand auftreten. Damit ist das Vertauschen von Integral und Ableitung gerechtfertigt.

In der führenden Ordnung gilt also 
:&lt;math&gt;T_\Phi=\frac{\pi}{\sqrt{gr}}+\frac{\pi}{16\sqrt{gr}}\Phi^2+\mathcal{O}(\Phi^4) =\frac{\pi}{\sqrt{gr}}\left(1+\frac{\Phi^2}{16}+\mathcal{O}(\Phi^4)\right)&lt;/math&gt;.

Für &lt;math&gt;\Phi=\frac1{60}&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;\frac{\Phi^2}{16}=\frac{1}{16\cdot3600}=\frac1{57600}&lt;/math&gt;. Die Pendeluhr geht also pro Tag ca. &lt;math&gt;\frac{86400}{57600}=1.5[\mathrm{s}]&lt;/math&gt; nach. Das macht im Jahr ungefähr 9min.

Für &lt;math&gt;\Phi=\frac1{6}&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;\frac{\Phi^2}{16}=\frac{1}{16\cdot36}=\frac1{576}&lt;/math&gt;. Die Pendeluhr geht also pro Tag ca. &lt;math&gt;\frac{86400}{576}=150[\mathrm{s}]&lt;/math&gt; nach. Die nächsthöhere Ordnung ist &lt;math&gt;\frac{11\Phi^4}{3072}&lt;/math&gt;, das macht nochmal 0.24\mathrm{s} Fehlgang und verändert die führende Ordnung nur um ca. &lt;math&gt;0.2\%\,&lt;/math&gt;.</text>
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Ein ungedämpftes Pendel der Länge &lt;math&gt;r=1[\mathrm{m}]&lt;/math&gt; schwingt in linearer Näherung bei &lt;math&gt;g=\pi^2[\mathrm{m}/\mathrm{s}^2]&lt;/math&gt; mit einer halben Periodenlänge von &lt;math&gt;T_0=1[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;. Um wieviele Sekunden am Tag geht eine daran gekoppelte Uhr falsch, wenn es um die Bogenlänge &lt;math&gt;\frac1{60}&lt;/math&gt;(&lt;math&gt;\approx1^\circ&lt;/math&gt;) bzw. &lt;math&gt;\frac16&lt;/math&gt;(&lt;math&gt;\approx10^\circ&lt;/math&gt;) maximal ausgelenkt ist?

===Tipps===
Man leite einen Integralausdruck für die halbe Periodenlänge &lt;math&gt;T_\Phi&lt;/math&gt; bei der Maximalauslenkung &lt;math&gt;\Phi\,&lt;/math&gt; her und entwickle in &lt;math&gt;\Phi\,&lt;/math&gt;.

===Lösung===
Die Differentialgleichung ist 
:&lt;math&gt;\ddot\phi=-V'(\phi),\quad V(\phi)=gr(1-\cos\phi),&lt;/math&gt;
mit der Konstanten der Bewegung
:&lt;math&gt;E=\frac12\dot\phi^2+V(\phi).&lt;/math&gt;
Also gilt von &lt;math&gt;\phi=0\,&lt;/math&gt; bis zum Umkehrpunkt &lt;math&gt;\Phi\in]0,\pi[\,&lt;/math&gt;, der einer Energie von &lt;math&gt;E=gr(1-\cos(\Phi))\,&lt;/math&gt; entspricht, die Differentialgleichung
:&lt;math&gt;\dot\phi=\sqrt{2(E-V(\phi))}&lt;/math&gt;,
eine viertel Periodenlänge ist also gegeben durch
:&lt;math&gt;\frac{T_\Phi}2=\int\limits_0^\Phi\frac{d\phi}{\sqrt{2(E-V(\phi))}}&lt;/math&gt;
Um die Ableitung nach &lt;math&gt;\Phi\,&lt;/math&gt; zu berechen transformiert man auf feste Grenzen,
:&lt;math&gt;\frac{T_\Phi}2=\Phi\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{2(E-V(\Phi\cdot s))}}=\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{\frac{2E-2gr(1-\cos(\Phi\cdot s))}{\Phi^2}}}.&lt;/math&gt;
Wir entwickeln um &lt;math&gt;\Phi=0\,&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt; eine Funktion von &lt;math&gt;\Phi\,&lt;/math&gt; ist,
:&lt;math&gt;\frac{2E-2gr(1-\cos(\Phi\cdot s))}{\Phi^2}=\frac{gr}{\Phi^2}\left(\Phi^2(1-s^2) -\frac1{12}\Phi^4(1-s^4)+\mathcal{O}(\Phi^6)\right)&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=gr\left((1-s^2)-\frac1{12}\Phi^2(1-s^4)+\mathcal{O}(\Phi^4)\right).&lt;/math&gt;
Also ist 
:&lt;math&gt;\frac{T_0}2=\frac1{\sqrt{gr}}\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{1-s^2}} =\frac1{\sqrt{gr}}\left[\arcsin s\right]_0^1 =\frac\pi{2\sqrt{gr}}&lt;/math&gt;,
d.h. &lt;math&gt;T_0=1[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;, und 
:&lt;math&gt;\left.\frac{d}{d(\Phi^2)}\frac{T_\Phi}2\right|_{\Phi=0} =-\int\limits_0^1\frac{ds}{2\sqrt{gr(1-s^2)}^3}\left(-gr\frac1{12}(1-s)^4\right) =\frac1{24\sqrt{gr}}\int\limits_0^1\frac{(1+s^2)ds}{\sqrt{1-s^2}}
&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac1{24\sqrt{gr}}\left(\left[\arcsin s\right]_0^1+\left[\frac12\arcsin s-\frac{s}2\sqrt{1-s^2}\right]_0^1\right) =\frac{\pi}{32\sqrt{gr}}&lt;/math&gt;,
wobei 
:&lt;math&gt;\int s\frac{s}{\sqrt{1-s^2}}ds=-s\sqrt{1-s^2}+\int\sqrt{1-s^2}ds =-s\sqrt{1-s^2}+\int\frac{1-s^2}{\sqrt{1-s^2}}ds&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=-s\sqrt{1-s^2}+\arcsin s-\int s\frac{s}{\sqrt{1-s^2}}ds &lt;/math&gt;
benutzt wurde. Die Integrale sind endlich, da jeweils nur inverse Wurzelsingularitäten am rechten Rand auftreten. Damit ist das Vertauschen von Integral und Ableitung gerechtfertigt.

In der führenden Ordnung gilt also 
:&lt;math&gt;T_\Phi=\frac{\pi}{\sqrt{gr}}+\frac{\pi}{16\sqrt{gr}}\Phi^2+\mathcal{O}(\Phi^4) =\frac{\pi}{\sqrt{gr}}\left(1+\frac{\Phi^2}{16}+\mathcal{O}(\Phi^4)\right)&lt;/math&gt;.

Für &lt;math&gt;\Phi=\frac1{60}&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;\frac{\Phi^2}{16}=\frac{1}{16\cdot3600}=\frac1{57600}&lt;/math&gt;. Die Pendeluhr geht also pro Tag ca. &lt;math&gt;\frac{86400}{57600}=1.5[\mathrm{s}]&lt;/math&gt; nach. Das macht im Jahr ungefähr 9min.

Für &lt;math&gt;\Phi=\frac1{6}&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;\frac{\Phi^2}{16}=\frac{1}{16\cdot36}=\frac1{576}&lt;/math&gt;. Die Pendeluhr geht also pro Tag ca. &lt;math&gt;\frac{86400}{576}=150[\mathrm{s}]&lt;/math&gt; nach. Die nächsthöhere Ordnung ist &lt;math&gt;\frac{11\Phi^4}{3072}&lt;/math&gt;, das macht nochmal 0.24\mathrm{s} Fehlgang und verändert die führende Ordnung nur um ca. &lt;math&gt;0.2\%\,&lt;/math&gt;.</text>
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Ein ungedämpftes Pendel der Länge &lt;math&gt;r=1[\mathrm{m}]&lt;/math&gt; schwingt in linearer Näherung bei &lt;math&gt;g=\pi^2[\mathrm{m}/\mathrm{s}^2]&lt;/math&gt; mit einer halben Periodenlänge von &lt;math&gt;T_0=1[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;. Um wieviele Sekunden am Tag geht eine daran gekoppelte Uhr falsch, wenn es um die Bogenlänge &lt;math&gt;\frac1{60}&lt;/math&gt;(&lt;math&gt;\approx1^\circ&lt;/math&gt;) bzw. &lt;math&gt;\frac16&lt;/math&gt;(&lt;math&gt;\approx10^\circ&lt;/math&gt;) maximal ausgelenkt ist?

===Tipps===
Man leite einen Integralausdruck für die halbe Periodenlänge &lt;math&gt;T_\Phi&lt;/math&gt; bei der Maximalauslenkung &lt;math&gt;\Phi\,&lt;/math&gt; her und entwickle in &lt;math&gt;\Phi\,&lt;/math&gt;.

===Lösung===
Die Differentialgleichung ist 
:&lt;math&gt;\ddot\phi=-V'(\phi),\quad V(\phi)=gr(1-\cos\phi),&lt;/math&gt;
mit der Konstanten der Bewegung
:&lt;math&gt;E=\frac12\dot\phi^2+V(\phi).&lt;/math&gt;
Also gilt von &lt;math&gt;\phi=0\,&lt;/math&gt; bis zum Umkehrpunkt &lt;math&gt;\Phi\in]0,\pi[\,&lt;/math&gt;, der einer Energie von &lt;math&gt;E=gr(1-\cos(\Phi))\,&lt;/math&gt; entspricht, die Differentialgleichung
:&lt;math&gt;\dot\phi=\sqrt{2(E-V(\phi))}&lt;/math&gt;,
eine viertel Periodenlänge ist also gegeben durch
:&lt;math&gt;\frac{T_\Phi}2=\int\limits_0^\Phi\frac{d\phi}{\sqrt{2(E-V(\phi))}}&lt;/math&gt;
Um die Ableitung nach &lt;math&gt;\Phi\,&lt;/math&gt; zu berechen transformiert man auf feste Grenzen,
:&lt;math&gt;\frac{T_\Phi}2=\Phi\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{2(E-V(\Phi\cdot s))}}=\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{\frac{2E-2gr(1-\cos(\Phi\cdot s))}{\Phi^2}}}.&lt;/math&gt;
Wir entwickeln um &lt;math&gt;\Phi=0\,&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt; eine Funktion von &lt;math&gt;\Phi\,&lt;/math&gt; ist,
:&lt;math&gt;\frac{2E-2gr(1-\cos(\Phi\cdot s))}{\Phi^2}=\frac{gr}{\Phi^2}\left(\Phi^2(1-s^2) -\frac1{12}\Phi^4(1-s^4)+\mathcal{O}(\Phi^6)\right)&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=gr\left((1-s^2)-\frac1{12}\Phi^2(1-s^4)+\mathcal{O}(\Phi^4)\right).&lt;/math&gt;
Also ist 
:&lt;math&gt;\frac{T_0}2=\frac1{\sqrt{gr}}\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{1-s^2}} =\frac1{\sqrt{gr}}\left[\arcsin s\right]_0^1 =\frac\pi{2\sqrt{gr}}&lt;/math&gt;,
d.h. &lt;math&gt;T_0=1[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;, und 
:&lt;math&gt;\left.\frac{d}{d(\Phi^2)}\frac{T_\Phi}2\right|_{\Phi=0} =-\int\limits_0^1\frac{ds}{2\sqrt{gr(1-s^2)}^3}\left(-gr\frac1{12}(1-s)^4\right) =\frac1{24\sqrt{gr}}\int\limits_0^1\frac{(1+s^2)ds}{\sqrt{1-s^2}}
&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac1{24\sqrt{gr}}\left(\left[\arcsin s\right]_0^1+\left[\frac12\arcsin s-\frac{s}2\sqrt{1-s^2}\right]_0^1\right) =\frac{\pi}{32\sqrt{gr}}&lt;/math&gt;,
wobei 
:&lt;math&gt;\int s\frac{s}{\sqrt{1-s^2}}ds=-s\sqrt{1-s^2}+\int\sqrt{1-s^2}ds =-s\sqrt{1-s^2}+\int\frac{1-s^2}{\sqrt{1-s^2}}ds&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=-s\sqrt{1-s^2}+\arcsin s-\int s\frac{s}{\sqrt{1-s^2}}ds &lt;/math&gt;
benutzt wurde. Die Integrale sind endlich, da jeweils nur inverse Wurzelsingularitäten am rechten Rand auftreten. Damit ist das Vertauschen von Integral und Ableitung gerechtfertigt.

In der führenden Ordnung gilt also 
:&lt;math&gt;T_\Phi=\frac{\pi}{\sqrt{gr}}+\frac{\pi}{16\sqrt{gr}}\Phi^2+\mathcal{O}(\Phi^4) =\frac{\pi}{\sqrt{gr}}\left(1+\frac{\Phi^2}{16}+\mathcal{O}(\Phi^4)\right)&lt;/math&gt;.

Für &lt;math&gt;\Phi=\frac1{60}&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;\frac{\Phi^2}{16}=\frac{1}{16\cdot3600}=\frac1{57600}&lt;/math&gt;. Die Pendeluhr geht also pro Tag ca. &lt;math&gt;\frac{86400}{57600}=1.5[\mathrm{s}]&lt;/math&gt; nach. Das macht im Jahr ungefähr 9min.

Für &lt;math&gt;\Phi=\frac1{6}&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;\frac{\Phi^2}{16}=\frac{1}{16\cdot36}=\frac1{576}&lt;/math&gt;. Die Pendeluhr geht also pro Tag ca. &lt;math&gt;\frac{86400}{576}=150[\mathrm{s}]&lt;/math&gt; nach. Die nächsthöhere Ordnung ist &lt;math&gt;\frac{11\Phi^4}{3072}&lt;/math&gt;, das macht nochmal &lt;math&gt;0.24\mathrm{s}&lt;/math&gt; Fehlgang und verändert die führende Ordnung nur um ca. &lt;math&gt;0.2\%\,&lt;/math&gt;.</text>
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    <text bytes="3823" xml:space="preserve">==Frequenz eines Pendels==
Ein ungedämpftes Pendel der Länge &lt;math&gt;r=1[\mathrm{m}]&lt;/math&gt; schwingt in linearer Näherung bei &lt;math&gt;g=\pi^2[\mathrm{m}/\mathrm{s}^2]&lt;/math&gt; mit einer halben Periodenlänge von &lt;math&gt;T_0=1[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;. Um wieviele Sekunden am Tag geht eine daran gekoppelte Uhr falsch, wenn es um die Bogenlänge &lt;math&gt;\frac1{60}&lt;/math&gt;(&lt;math&gt;\approx1^\circ&lt;/math&gt;) bzw. &lt;math&gt;\frac16&lt;/math&gt;(&lt;math&gt;\approx10^\circ&lt;/math&gt;) maximal ausgelenkt ist?

===Tipps===
Man leite einen Integralausdruck für die halbe Periodenlänge &lt;math&gt;T_\Phi&lt;/math&gt; bei der Maximalauslenkung &lt;math&gt;\Phi\,&lt;/math&gt; her und entwickle in &lt;math&gt;\Phi\,&lt;/math&gt;.

===Lösung===
Die Differentialgleichung ist 
:&lt;math&gt;\ddot\phi=-V'(\phi),\quad V(\phi)=gr(1-\cos\phi),&lt;/math&gt;
mit der Konstanten der Bewegung
:&lt;math&gt;E=\frac12\dot\phi^2+V(\phi).&lt;/math&gt;
Also gilt von &lt;math&gt;\phi=0\,&lt;/math&gt; bis zum Umkehrpunkt &lt;math&gt;\Phi\in]0,\pi[\,&lt;/math&gt;, der einer Energie von &lt;math&gt;E=gr(1-\cos(\Phi))\,&lt;/math&gt; entspricht, die Differentialgleichung
:&lt;math&gt;\dot\phi=\sqrt{2(E-V(\phi))}&lt;/math&gt;,
eine viertel Periodenlänge ist also gegeben durch
:&lt;math&gt;\frac{T_\Phi}2=\int\limits_0^\Phi\frac{d\phi}{\sqrt{2(E-V(\phi))}}&lt;/math&gt;
Um die Ableitung nach &lt;math&gt;\Phi\,&lt;/math&gt; zu berechen transformiert man auf feste Grenzen,
:&lt;math&gt;\frac{T_\Phi}2=\Phi\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{2(E-V(\Phi\cdot s))}}=\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{\frac{2E-2gr(1-\cos(\Phi\cdot s))}{\Phi^2}}}.&lt;/math&gt;
Wir entwickeln um &lt;math&gt;\Phi=0\,&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt; eine Funktion von &lt;math&gt;\Phi\,&lt;/math&gt; ist,
:&lt;math&gt;\frac{2E-2gr(1-\cos(\Phi\cdot s))}{\Phi^2}=\frac{gr}{\Phi^2}\left(\Phi^2(1-s^2) -\frac1{12}\Phi^4(1-s^4)+\mathcal{O}(\Phi^6)\right)&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=gr\left((1-s^2)-\frac1{12}\Phi^2(1-s^4)+\mathcal{O}(\Phi^4)\right).&lt;/math&gt;
Also ist 
:&lt;math&gt;\frac{T_0}2=\frac1{\sqrt{gr}}\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{1-s^2}} =\frac1{\sqrt{gr}}\left[\arcsin s\right]_0^1 =\frac\pi{2\sqrt{gr}}&lt;/math&gt;,
d.h. &lt;math&gt;T_0=1[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;, und 
:&lt;math&gt;\left.\frac{d}{d(\Phi^2)}\frac{T_\Phi}2\right|_{\Phi=0} =-\int\limits_0^1\frac{ds}{2\sqrt{gr(1-s^2)}^3}\left(-gr\frac1{12}(1-s)^4\right) =\frac1{24\sqrt{gr}}\int\limits_0^1\frac{(1+s^2)ds}{\sqrt{1-s^2}}
&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac1{24\sqrt{gr}}\left(\left[\arcsin s\right]_0^1+\left[\frac12\arcsin s-\frac{s}2\sqrt{1-s^2}\right]_0^1\right) =\frac{\pi}{32\sqrt{gr}}&lt;/math&gt;,
wobei 
:&lt;math&gt;\int s\frac{s}{\sqrt{1-s^2}}ds=-s\sqrt{1-s^2}+\int\sqrt{1-s^2}ds =-s\sqrt{1-s^2}+\int\frac{1-s^2}{\sqrt{1-s^2}}ds&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=-s\sqrt{1-s^2}+\arcsin s-\int s\frac{s}{\sqrt{1-s^2}}ds &lt;/math&gt;
benutzt wurde. Die Integrale sind endlich, da jeweils nur inverse Wurzelsingularitäten am rechten Rand auftreten. Damit ist das Vertauschen von Integral und Ableitung gerechtfertigt.

In der führenden Ordnung gilt also 
:&lt;math&gt;T_\Phi=\frac{\pi}{\sqrt{gr}}+\frac{\pi}{16\sqrt{gr}}\Phi^2+\mathcal{O}(\Phi^4) =\frac{\pi}{\sqrt{gr}}\left(1+\frac{\Phi^2}{16}+\mathcal{O}(\Phi^4)\right)&lt;/math&gt;.

Für &lt;math&gt;\Phi=\frac1{60}&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;\frac{\Phi^2}{16}=\frac{1}{16\cdot3600}=\frac1{57600}&lt;/math&gt;. Die Pendeluhr geht also pro Tag ca. &lt;math&gt;\frac{86400}{57600}=1.5[\mathrm{s}]&lt;/math&gt; nach. Das macht im Jahr ungefähr 9min.

Für &lt;math&gt;\Phi=\frac1{6}&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;\frac{\Phi^2}{16}=\frac{1}{16\cdot36}=\frac1{576}&lt;/math&gt;. Die Pendeluhr geht also pro Tag ca. &lt;math&gt;\frac{86400}{576}=150[\mathrm{s}]&lt;/math&gt; nach. Die nächsthöhere Ordnung ist &lt;math&gt;\frac{11\Phi^4}{3072}&lt;/math&gt;, das macht nochmal &lt;math&gt;0.24\mathrm{s}&lt;/math&gt; Fehlgang und verändert die führende Ordnung nur um ca. &lt;math&gt;0.2\%\,&lt;/math&gt;.


===Suchbegriffe===
Pendel, Newtonsche Bewgungsgleichung, nichtlinearer Oszillator, Parameterintegral, Singularitäten

===Ähnliche Aufgaben===
Etwas komplizierter, aber im Prinzip analog ist es die [[Perihel-Praezession des Merkur]] zu berechnen.</text>
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    <comment>/* Ähnliche Aufgaben */</comment>
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    <text bytes="3856" xml:space="preserve">==Frequenz eines Pendels==
Ein ungedämpftes Pendel der Länge &lt;math&gt;r=1[\mathrm{m}]&lt;/math&gt; schwingt in linearer Näherung bei &lt;math&gt;g=\pi^2[\mathrm{m}/\mathrm{s}^2]&lt;/math&gt; mit einer halben Periodenlänge von &lt;math&gt;T_0=1[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;. Um wieviele Sekunden am Tag geht eine daran gekoppelte Uhr falsch, wenn es um die Bogenlänge &lt;math&gt;\frac1{60}&lt;/math&gt;(&lt;math&gt;\approx1^\circ&lt;/math&gt;) bzw. &lt;math&gt;\frac16&lt;/math&gt;(&lt;math&gt;\approx10^\circ&lt;/math&gt;) maximal ausgelenkt ist?

===Tipps===
Man leite einen Integralausdruck für die halbe Periodenlänge &lt;math&gt;T_\Phi&lt;/math&gt; bei der Maximalauslenkung &lt;math&gt;\Phi\,&lt;/math&gt; her und entwickle in &lt;math&gt;\Phi\,&lt;/math&gt;.

===Lösung===
Die Differentialgleichung ist 
:&lt;math&gt;\ddot\phi=-V'(\phi),\quad V(\phi)=gr(1-\cos\phi),&lt;/math&gt;
mit der Konstanten der Bewegung
:&lt;math&gt;E=\frac12\dot\phi^2+V(\phi).&lt;/math&gt;
Also gilt von &lt;math&gt;\phi=0\,&lt;/math&gt; bis zum Umkehrpunkt &lt;math&gt;\Phi\in]0,\pi[\,&lt;/math&gt;, der einer Energie von &lt;math&gt;E=gr(1-\cos(\Phi))\,&lt;/math&gt; entspricht, die Differentialgleichung
:&lt;math&gt;\dot\phi=\sqrt{2(E-V(\phi))}&lt;/math&gt;,
eine viertel Periodenlänge ist also gegeben durch
:&lt;math&gt;\frac{T_\Phi}2=\int\limits_0^\Phi\frac{d\phi}{\sqrt{2(E-V(\phi))}}&lt;/math&gt;
Um die Ableitung nach &lt;math&gt;\Phi\,&lt;/math&gt; zu berechen transformiert man auf feste Grenzen,
:&lt;math&gt;\frac{T_\Phi}2=\Phi\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{2(E-V(\Phi\cdot s))}}=\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{\frac{2E-2gr(1-\cos(\Phi\cdot s))}{\Phi^2}}}.&lt;/math&gt;
Wir entwickeln um &lt;math&gt;\Phi=0\,&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt; eine Funktion von &lt;math&gt;\Phi\,&lt;/math&gt; ist,
:&lt;math&gt;\frac{2E-2gr(1-\cos(\Phi\cdot s))}{\Phi^2}=\frac{gr}{\Phi^2}\left(\Phi^2(1-s^2) -\frac1{12}\Phi^4(1-s^4)+\mathcal{O}(\Phi^6)\right)&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=gr\left((1-s^2)-\frac1{12}\Phi^2(1-s^4)+\mathcal{O}(\Phi^4)\right).&lt;/math&gt;
Also ist 
:&lt;math&gt;\frac{T_0}2=\frac1{\sqrt{gr}}\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{1-s^2}} =\frac1{\sqrt{gr}}\left[\arcsin s\right]_0^1 =\frac\pi{2\sqrt{gr}}&lt;/math&gt;,
d.h. &lt;math&gt;T_0=1[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;, und 
:&lt;math&gt;\left.\frac{d}{d(\Phi^2)}\frac{T_\Phi}2\right|_{\Phi=0} =-\int\limits_0^1\frac{ds}{2\sqrt{gr(1-s^2)}^3}\left(-gr\frac1{12}(1-s)^4\right) =\frac1{24\sqrt{gr}}\int\limits_0^1\frac{(1+s^2)ds}{\sqrt{1-s^2}}
&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac1{24\sqrt{gr}}\left(\left[\arcsin s\right]_0^1+\left[\frac12\arcsin s-\frac{s}2\sqrt{1-s^2}\right]_0^1\right) =\frac{\pi}{32\sqrt{gr}}&lt;/math&gt;,
wobei 
:&lt;math&gt;\int s\frac{s}{\sqrt{1-s^2}}ds=-s\sqrt{1-s^2}+\int\sqrt{1-s^2}ds =-s\sqrt{1-s^2}+\int\frac{1-s^2}{\sqrt{1-s^2}}ds&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=-s\sqrt{1-s^2}+\arcsin s-\int s\frac{s}{\sqrt{1-s^2}}ds &lt;/math&gt;
benutzt wurde. Die Integrale sind endlich, da jeweils nur inverse Wurzelsingularitäten am rechten Rand auftreten. Damit ist das Vertauschen von Integral und Ableitung gerechtfertigt.

In der führenden Ordnung gilt also 
:&lt;math&gt;T_\Phi=\frac{\pi}{\sqrt{gr}}+\frac{\pi}{16\sqrt{gr}}\Phi^2+\mathcal{O}(\Phi^4) =\frac{\pi}{\sqrt{gr}}\left(1+\frac{\Phi^2}{16}+\mathcal{O}(\Phi^4)\right)&lt;/math&gt;.

Für &lt;math&gt;\Phi=\frac1{60}&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;\frac{\Phi^2}{16}=\frac{1}{16\cdot3600}=\frac1{57600}&lt;/math&gt;. Die Pendeluhr geht also pro Tag ca. &lt;math&gt;\frac{86400}{57600}=1.5[\mathrm{s}]&lt;/math&gt; nach. Das macht im Jahr ungefähr 9min.

Für &lt;math&gt;\Phi=\frac1{6}&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;\frac{\Phi^2}{16}=\frac{1}{16\cdot36}=\frac1{576}&lt;/math&gt;. Die Pendeluhr geht also pro Tag ca. &lt;math&gt;\frac{86400}{576}=150[\mathrm{s}]&lt;/math&gt; nach. Die nächsthöhere Ordnung ist &lt;math&gt;\frac{11\Phi^4}{3072}&lt;/math&gt;, das macht nochmal &lt;math&gt;0.24\mathrm{s}&lt;/math&gt; Fehlgang und verändert die führende Ordnung nur um ca. &lt;math&gt;0.2\%\,&lt;/math&gt;.


===Suchbegriffe===
Pendel, Newtonsche Bewgungsgleichung, nichtlinearer Oszillator, Parameterintegral, Singularitäten

===Ähnliche Aufgaben===
Etwas komplizierter, aber im Prinzip analog ist es die [[Perihel-Praezession des Merkur]] zu berechnen.

[[Kategorie:Analysis,Mechanik]]</text>
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    <comment>/* Ähnliche Aufgaben */</comment>
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    <text bytes="3870" xml:space="preserve">==Frequenz eines Pendels==
Ein ungedämpftes Pendel der Länge &lt;math&gt;r=1[\mathrm{m}]&lt;/math&gt; schwingt in linearer Näherung bei &lt;math&gt;g=\pi^2[\mathrm{m}/\mathrm{s}^2]&lt;/math&gt; mit einer halben Periodenlänge von &lt;math&gt;T_0=1[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;. Um wieviele Sekunden am Tag geht eine daran gekoppelte Uhr falsch, wenn es um die Bogenlänge &lt;math&gt;\frac1{60}&lt;/math&gt;(&lt;math&gt;\approx1^\circ&lt;/math&gt;) bzw. &lt;math&gt;\frac16&lt;/math&gt;(&lt;math&gt;\approx10^\circ&lt;/math&gt;) maximal ausgelenkt ist?

===Tipps===
Man leite einen Integralausdruck für die halbe Periodenlänge &lt;math&gt;T_\Phi&lt;/math&gt; bei der Maximalauslenkung &lt;math&gt;\Phi\,&lt;/math&gt; her und entwickle in &lt;math&gt;\Phi\,&lt;/math&gt;.

===Lösung===
Die Differentialgleichung ist 
:&lt;math&gt;\ddot\phi=-V'(\phi),\quad V(\phi)=gr(1-\cos\phi),&lt;/math&gt;
mit der Konstanten der Bewegung
:&lt;math&gt;E=\frac12\dot\phi^2+V(\phi).&lt;/math&gt;
Also gilt von &lt;math&gt;\phi=0\,&lt;/math&gt; bis zum Umkehrpunkt &lt;math&gt;\Phi\in]0,\pi[\,&lt;/math&gt;, der einer Energie von &lt;math&gt;E=gr(1-\cos(\Phi))\,&lt;/math&gt; entspricht, die Differentialgleichung
:&lt;math&gt;\dot\phi=\sqrt{2(E-V(\phi))}&lt;/math&gt;,
eine viertel Periodenlänge ist also gegeben durch
:&lt;math&gt;\frac{T_\Phi}2=\int\limits_0^\Phi\frac{d\phi}{\sqrt{2(E-V(\phi))}}&lt;/math&gt;
Um die Ableitung nach &lt;math&gt;\Phi\,&lt;/math&gt; zu berechen transformiert man auf feste Grenzen,
:&lt;math&gt;\frac{T_\Phi}2=\Phi\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{2(E-V(\Phi\cdot s))}}=\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{\frac{2E-2gr(1-\cos(\Phi\cdot s))}{\Phi^2}}}.&lt;/math&gt;
Wir entwickeln um &lt;math&gt;\Phi=0\,&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt; eine Funktion von &lt;math&gt;\Phi\,&lt;/math&gt; ist,
:&lt;math&gt;\frac{2E-2gr(1-\cos(\Phi\cdot s))}{\Phi^2}=\frac{gr}{\Phi^2}\left(\Phi^2(1-s^2) -\frac1{12}\Phi^4(1-s^4)+\mathcal{O}(\Phi^6)\right)&lt;/math&gt;
::&lt;math&gt;=gr\left((1-s^2)-\frac1{12}\Phi^2(1-s^4)+\mathcal{O}(\Phi^4)\right).&lt;/math&gt;
Also ist 
:&lt;math&gt;\frac{T_0}2=\frac1{\sqrt{gr}}\int\limits_0^1\frac{ds}{\sqrt{1-s^2}} =\frac1{\sqrt{gr}}\left[\arcsin s\right]_0^1 =\frac\pi{2\sqrt{gr}}&lt;/math&gt;,
d.h. &lt;math&gt;T_0=1[\mathrm{s}]&lt;/math&gt;, und 
:&lt;math&gt;\left.\frac{d}{d(\Phi^2)}\frac{T_\Phi}2\right|_{\Phi=0} =-\int\limits_0^1\frac{ds}{2\sqrt{gr(1-s^2)}^3}\left(-gr\frac1{12}(1-s)^4\right) =\frac1{24\sqrt{gr}}\int\limits_0^1\frac{(1+s^2)ds}{\sqrt{1-s^2}}
&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\frac1{24\sqrt{gr}}\left(\left[\arcsin s\right]_0^1+\left[\frac12\arcsin s-\frac{s}2\sqrt{1-s^2}\right]_0^1\right) =\frac{\pi}{32\sqrt{gr}}&lt;/math&gt;,
wobei 
:&lt;math&gt;\int s\frac{s}{\sqrt{1-s^2}}ds=-s\sqrt{1-s^2}+\int\sqrt{1-s^2}ds =-s\sqrt{1-s^2}+\int\frac{1-s^2}{\sqrt{1-s^2}}ds&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=-s\sqrt{1-s^2}+\arcsin s-\int s\frac{s}{\sqrt{1-s^2}}ds &lt;/math&gt;
benutzt wurde. Die Integrale sind endlich, da jeweils nur inverse Wurzelsingularitäten am rechten Rand auftreten. Damit ist das Vertauschen von Integral und Ableitung gerechtfertigt.

In der führenden Ordnung gilt also 
:&lt;math&gt;T_\Phi=\frac{\pi}{\sqrt{gr}}+\frac{\pi}{16\sqrt{gr}}\Phi^2+\mathcal{O}(\Phi^4) =\frac{\pi}{\sqrt{gr}}\left(1+\frac{\Phi^2}{16}+\mathcal{O}(\Phi^4)\right)&lt;/math&gt;.

Für &lt;math&gt;\Phi=\frac1{60}&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;\frac{\Phi^2}{16}=\frac{1}{16\cdot3600}=\frac1{57600}&lt;/math&gt;. Die Pendeluhr geht also pro Tag ca. &lt;math&gt;\frac{86400}{57600}=1.5[\mathrm{s}]&lt;/math&gt; nach. Das macht im Jahr ungefähr 9min.

Für &lt;math&gt;\Phi=\frac1{6}&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;\frac{\Phi^2}{16}=\frac{1}{16\cdot36}=\frac1{576}&lt;/math&gt;. Die Pendeluhr geht also pro Tag ca. &lt;math&gt;\frac{86400}{576}=150[\mathrm{s}]&lt;/math&gt; nach. Die nächsthöhere Ordnung ist &lt;math&gt;\frac{11\Phi^4}{3072}&lt;/math&gt;, das macht nochmal &lt;math&gt;0.24\mathrm{s}&lt;/math&gt; Fehlgang und verändert die führende Ordnung nur um ca. &lt;math&gt;0.2\%\,&lt;/math&gt;.


===Suchbegriffe===
Pendel, Newtonsche Bewgungsgleichung, nichtlinearer Oszillator, Parameterintegral, Singularitäten

===Ähnliche Aufgaben===
Etwas komplizierter, aber im Prinzip analog ist es die [[Perihel-Praezession des Merkur]] zu berechnen.

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Mechanik]]</text>
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    <text bytes="380" xml:space="preserve">==Kegelschnitte==
Der Kegel &lt;math&gt;K=\{x\in\mathbb{R}^3\;:\;||\langle e_z,x\rangle e_z||^2=||x-\langle e_z,x\rangle e_z||^2\}&lt;/math&gt; wird mit einer Ebene geschnitten. Man parametrisiere den Abstand in der Ebene von der Kegelachse durch den Winkel in der Ebene.
===Tipps===

===Lösung===

===Suchbegriffe===

===Ähnliche Aufgaben===

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Geometrie]]</text>
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    <contributor>
      <username>Mpraehofer</username>
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    <comment>/* Kegelschnitte */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1564" xml:space="preserve">==Kegelschnitte und Quadriken==
Der Kegel &lt;math&gt;K=\{r\in\mathbb{R}^3\;:\;||\langle e_3,r\rangle e_z||^2=||r-\langle e_3,r\rangle e_3||^2\}=\{r\in\mathbb{R}^3\;:\;r_1^2+r_2^2=r_3^2\}&lt;/math&gt; wird mit einer Ebene &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt; geschnitten. Man zeige, dass der entstehende Kegelschnitt eine Quadrik (Nullstellengebilde einer quadratischen Funktion) ist. 
===Tipps===
===Lösung===
Ist die Ebene in Parameterform gegeben, &lt;math&gt;E=\{c+x e_x+y e_y\in\mathbb{R}^3\;:\;x,y\in\mathbb{R}\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;c=\begin{pmatrix}0\\0\\c_3\end{pmatrix},e_x,e_y\in\mathbb{R}^3&lt;/math&gt;, dann bilden &lt;math&gt;e_x,e_y\in\mathbb{R}^3&lt;/math&gt; eine Basis des zur Ebene parallelen Unterraums. 
Die Kegelbedingung vereinfacht sich zu
:&lt;math&gt;0=||r-\langle e_3,r\rangle e_3||^2-||\langle e_3,r\rangle e_z||^2=||r||^2-2\langle e_3,r\rangle^2&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=||c+x e_x+y e_y||^2-2(c_3+x e_{x,3}+y e_{y,3})^2&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=||c||^2-2c_3^2+x(2\langle c,e_x\rangle-4c_3e_{x,3})+y(2\langle c,e_y\rangle-4c_3e_{y,3}) +x^2(1-e_{x,3}^2)+y^2(1-e_{y,3}^2)+2xy(\langle e_x,e_y\rangle-2e_{x,3}e_{y,3})&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\left\langle{x\choose y},A{x\choose y}\right\rangle+\left\langle b,{x\choose y}\right\rangle+C&lt;/math&gt;,
mit 
&lt;math&gt;A=\begin{pmatrix}1-e_{x,3}^2&amp;\langle e_x,e_y\rangle-2e_{x,3}e_{y,3}\\
\langle e_x,e_y\rangle-2e_{x,3}e_{y,3}&amp;1-e_{y,3}^2\end{pmatrix}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b=\begin{pmatrix}2\langle c,e_x\rangle-4c_3e_{x,3}\\2\langle c,e_y\rangle-4c_3e_{y,3}\end{pmatrix}&lt;/math&gt;, 
&lt;math&gt;C=||c||^2-2c_3^2\,&lt;/math&gt;
===Suchbegriffe===

===Ähnliche Aufgaben===

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Geometrie]]</text>
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    <contributor>
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      <id>20808</id>
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    <comment>/* Kegelschnitte und Quadriken */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2352" xml:space="preserve">==Kegelschnitte und Quadriken==
Der Kegel &lt;math&gt;K=\{r\in\mathbb{R}^3\;:\;||\langle e_3,r\rangle e_z||^2=||r-\langle e_3,r\rangle e_3||^2\}=\{r\in\mathbb{R}^3\;:\;r_1^2+r_2^2=r_3^2\}&lt;/math&gt; wird mit einer Ebene &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt; geschnitten. Man zeige, dass der entstehende Kegelschnitt eine Quadrik (Nullstellengebilde einer quadratischen Funktion) ist. 

===Lösung===
Ist die Ebene in Parameterform gegeben, &lt;math&gt;E=\{c+x e_x+y e_y\in\mathbb{R}^3\;:\;x,y\in\mathbb{R}\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;c=\begin{pmatrix}0\\0\\c_3\end{pmatrix},e_x,e_y\in\mathbb{R}^3&lt;/math&gt;, dann bilden &lt;math&gt;e_x,e_y\in\mathbb{R}^3&lt;/math&gt; eine Basis des zur Ebene parallelen Unterraums. 
Die Kegelbedingung vereinfacht sich zu
:&lt;math&gt;0=||r-\langle e_3,r\rangle e_3||^2-||\langle e_3,r\rangle e_z||^2=||r||^2-2\langle e_3,r\rangle^2&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=||c+x e_x+y e_y||^2-2(c_3+x e_{x,3}+y e_{y,3})^2&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=||c||^2-2c_3^2+x(2\langle c,e_x\rangle-4c_3e_{x,3})+y(2\langle c,e_y\rangle-4c_3e_{y,3}) +x^2(1-e_{x,3}^2)+y^2(1-e_{y,3}^2)+2xy(\langle e_x,e_y\rangle-2e_{x,3}e_{y,3})&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\left\langle{x\choose y},A{x\choose y}\right\rangle+\left\langle b,{x\choose y}\right\rangle+C&lt;/math&gt;,
mit 
&lt;math&gt;A=\begin{pmatrix}1-e_{x,3}^2&amp;\langle e_x,e_y\rangle-2e_{x,3}e_{y,3}\\
\langle e_x,e_y\rangle-2e_{x,3}e_{y,3}&amp;1-e_{y,3}^2\end{pmatrix}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b=\begin{pmatrix}2\langle c,e_x\rangle-4c_3e_{x,3}\\2\langle c,e_y\rangle-4c_3e_{y,3}\end{pmatrix}&lt;/math&gt;, 
&lt;math&gt;C=||c||^2-2c_3^2\,&lt;/math&gt;

===Suchbegriffe===
Kegelschnitt
===Ähnliche Aufgaben===
==Parametrisierung von Kegelschnitten==
Man zeige, dass &lt;math&gt;r=\frac{l}{1+\epsilon\cos\phi}&lt;/math&gt; einen Kegelschnitt in Polarkoordinaten parametrisiert. 
===Lösung===
Wir machen den Ansatz 
:&lt;math&gt;\frac{(x-c)^2}{a^2}\pm\frac{y^2}{b^2}=1&lt;/math&gt;
mit &lt;math&gt;x=\frac{l\cos\phi}{1+\epsilon\cos\phi}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;y=\frac{l\sin\phi}{1+\epsilon\cos\phi}&lt;/math&gt;.
Die Gleichung 
:&lt;math&gt;0=b^2(l\cos\phi-c)^2\pm a^2(l\sin\phi)^2-a^2b^2(1+\epsilon\cos\phi)^2&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=b^2l^2\cos^2\phi\pm a^2l^2\sin^2\phi-a^2b^2\epsilon^2\cos^2\phi-2b^2lc\cos\phi -2a^2b^2\epsilon\cos\phi+b^2c^2-a^2b^2&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\cos^2\phi(l^2(b^2\mp a^2)-a^2b^2\epsilon^2)-2\cos\phi(b^2lc+a^2b^2\epsilon)+b^2c^2\pm a^2l^2-a^2b^2&lt;/math&gt;
muss für alle &lt;math&gt;\phi\,&lt;/math&gt; gelten, also
:&lt;math&gt;lc=-a^2\epsilon\,&lt;/math&gt;, 
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Geometrie]]</text>
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  <title>Gefangene und Glühbirne, Lösung 5</title>
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      <username>85.1.173.100</username>
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    <comment>Lichtschein beobachten</comment>
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    <text bytes="377" xml:space="preserve">Hier wird an den Spezialfall gedacht, dass man das Licht der Zelle in der gegenüberliegenden Zelle sehen kann. 

Man schaltet bspw. nachmittags zu bestimmter Stunde alle Glühbirnen in allen Zellen aus. Der, welcher in die Zelle kommt, schaltet das Licht nur dann an, wenn er schon einmal da war. Dann zählt der Gegenüberliegende die dunklen Tage (bzw. Nachmittage) bis 100.</text>
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    <comment>Zehnergruppen</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1295" xml:space="preserve">Wer das Zimmer bei ausgeschaltetem Licht betritt, ohne es schon einmal eingeschaltet zu haben, schaltet das Licht ein. Es werden nun zehn Zähler (oder Zählerinnen) in das Zimmer treten, die während den ersten 1000 Tagen zählen dürfen. In den ersten 100 Tagen wird das Licht alle 10 Tage gelöscht, und zwar von jemandem, der fortan als Zähler gilt. Sobald jeder Zähler in "seinem" Zeitabschnitt das Licht eingeschaltet vorgefunden hat, weiss er, dass ein Neuer hier war, also jemand, der das erste Mal das Licht einschaltete. Nach 100 Tagen wird das Licht immer dann abgeschaltet, wenn ein Zähler da ist. 

Ab dem tausendsten Tag bis zum zweitausendsten Tag dürfen nur die Zähler, die vorher bis neun (plus sich selbst) gezählt haben, das Licht einmal einschalten, welches nun noch jeden 100. Tag von demjenigen gelöscht wird, der gerade da ist. Wenn einer feststellt, dass das Licht in diesen zehn neuen Zeitspannen 10x gebrannt hat, kann er die Freiheit verlangen. 

So wird es wahrscheinlich, dass die Sache nach etwa sechs Jahren klappt. Man soll dann aber noch zusätzlich bestimmen: Falls es nicht klappt (z. B. wenn während der ersten 100 Tage einmal 10 Tage lang kein Neuer hereinkommt), wird ab dem 2000. Tag die Lösung mit einem Zähler durchgeführt, siehe Lösung Nr.4.</text>
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    <comment>zehn Zähler, ein Oberzähler</comment>
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    <text bytes="1536" xml:space="preserve">Wer das Zimmer bei ausgeschaltetem Licht betritt, ohne es schon einmal eingeschaltet zu haben, schaltet das Licht ein. Es werden nun zehn Zähler (oder Zählerinnen) in das Zimmer treten, die während den ersten 1000 Tagen zählen dürfen. In den ersten 100 Tagen wird das Licht alle 10 Tage gelöscht, und zwar von jemandem, der fortan als Zähler gilt. Sobald jeder Zähler in "seinem" Zeitabschnitt das Licht eingeschaltet vorgefunden hat, weiss er, dass ein Neuer hier war, also jemand, der das erste Mal das Licht einschaltete. Nach 100 Tagen wird das Licht immer dann abgeschaltet, wenn ein Zähler da ist. 

Ab dem tausendsten Tag bis zum zweitausendsten Tag dürfen nur die Zähler, die vorher bis neun (plus sich selbst) gezählt haben, das Licht einmal einschalten, welches nun noch jeden 100. Tag von demjenigen gelöscht wird, der gerade da ist. Wenn einer feststellt, dass das Licht in diesen zehn neuen Zeitspannen 10x gebrannt hat, kann er die Freiheit verlangen. 

So wird es wahrscheinlich, dass die Sache nach etwa sechs Jahren klappt. Man soll dann aber noch zusätzlich bestimmen: Falls es nicht klappt (z. B. wenn während der ersten 100 Tage einmal 10 Tage lang kein Neuer hereinkommt, wenn in den Tagen 100-1000 ein Zähler weniger als neun Mal da war oder wenn in den Tagen 1000-2000 ein Zähler nie ins dunkle Zimmer tritt), wird ab dem 2000. Tag die Lösung mit einem Zähler durchgeführt, siehe Lösung Nr.4, d. h. nur einer zählt, jeder ausser er schaltet einmal ein, er schaltet aus, bis er 99 Mal da war.</text>
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    <comment>zehn Zähler, am Ende ein Oberzähler</comment>
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    <text bytes="1629" xml:space="preserve">Wer das Zimmer bei ausgeschaltetem Licht betritt, ohne es schon einmal eingeschaltet zu haben, schaltet das Licht ein. Es werden nun zehn Zähler (oder Zählerinnen) in das Zimmer treten, die während den ersten 1000 Tagen zählen dürfen. In den ersten 100 Tagen wird das Licht alle 10 Tage gelöscht, und zwar von jemandem, der fortan als Zähler gilt. Sobald jeder Zähler in "seinem" Zeitabschnitt das Licht eingeschaltet vorgefunden hat, weiss er, dass ein Neuer hier war, also jemand, der das erste Mal das Licht einschaltete. Nach 100 Tagen wird das Licht immer dann abgeschaltet, wenn ein Zähler da ist, es sei denn, dieser habe bis neun plus sich selbst gezählt und lasse das Licht, wie es ist. 

Ab dem tausendsten Tag bis zum zweitausendsten Tag dürfen nur die Zähler, die vorher bis neun (plus sich selbst) gezählt haben, das Licht einmal einschalten, welches nun noch jeden 100. Tag von demjenigen gelöscht wird, der gerade da ist. Wenn einer feststellt, dass das Licht in diesen zehn neuen Zeitspannen 10x gebrannt hat, kann er die Freiheit verlangen. 

So wird es wahrscheinlich, dass die Sache nach etwa sechs Jahren klappt. Man soll dann aber noch zusätzlich bestimmen: Falls es nicht klappt (z. B. wenn während der ersten 100 Tage einmal 10 Tage lang kein Neuer hereinkommt, wenn in den Tagen 100-1000 ein Zähler weniger als neun Mal da war oder wenn in den Tagen 1000-2000 ein Zähler nie ins dunkle Zimmer tritt), wird ab dem 2000. Tag die Lösung mit einem Zähler durchgeführt, siehe Lösung Nr.4, d. h. nur einer zählt, jeder ausser er schaltet einmal ein, er schaltet aus, bis er 99 Mal da war.</text>
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    <comment>Zähler 1-10 und Endabrechnung</comment>
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    <text bytes="1649" xml:space="preserve">Wer das Zimmer bei ausgeschaltetem Licht betritt, ohne es schon einmal eingeschaltet zu haben, schaltet das Licht ein. Es werden nun zehn Zähler (oder Zählerinnen) in das Zimmer treten, die während den ersten 1000 Tagen zählen dürfen. 

In den ersten 100 Tagen wird das Licht alle 10 Tage gelöscht, und zwar von jemandem, der fortan als Zähler gilt. Sobald jeder Zähler in "seinem" Zeitabschnitt das Licht eingeschaltet vorgefunden hat, weiss er, dass ein Neuer hier war, also jemand, der das erste Mal das Licht einschaltete. 

Nach 100 Tagen bis zum Tag 1100 wird das Licht immer dann abgeschaltet, wenn ein Zähler da ist, es sei denn, dieser habe bereits bis neun plus sich selbst gezählt und lasse das Licht, wie es ist. 

Ab dem 1100. Tag bis zum 2100. Tag dürfen nur die Zähler, die vorher bis neun (plus sich selbst) gezählt haben, das Licht einmal einschalten, welches nun noch jeden 100. Tag von demjenigen gelöscht wird, der gerade da ist. Wenn einer feststellt, dass das Licht in diesen zehn neuen Zeitspannen 10x gebrannt hat, kann er die Freiheit verlangen. 

So wird es wahrscheinlich, dass die Sache nach etwa sechseinhalb Jahren klappt. Man soll dann aber noch zusätzlich bestimmen: Falls es nicht klappt (z. B. wenn während der ersten 100 Tage einmal 10 Tage lang kein Neuer hereinkommt, wenn in den Tagen 100-1100 ein Zähler weniger als neun Mal da war oder wenn in den Tagen 1100-2100 ein Zähler nie ins dunkle Zimmer tritt), wird ab dem 2100. Tag die Lösung mit einem Zähler durchgeführt, siehe Lösung Nr.4, d. h. nur einer zählt, jeder ausser er schaltet einmal ein, er schaltet aus, bis er 99 Mal da war.</text>
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    <comment>10 Zähler, am Ende ein Oberzähler</comment>
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    <text bytes="1916" xml:space="preserve">Wer das Zimmer bei ausgeschaltetem Licht betritt, ohne es schon einmal eingeschaltet zu haben, schaltet das Licht ein. Es werden nun zehn Zähler (oder Zählerinnen) in das Zimmer treten, die während den ersten 1000 Tagen zählen dürfen. 

In den ersten 100 Tagen wird das Licht alle 10 Tage gelöscht, und zwar von jemandem, der fortan als Zähler gilt. Sobald jeder Zähler in "seinem" Zeitabschnitt das Licht eingeschaltet vorgefunden hat, weiss er, dass ein Neuer hier war, also jemand, der das erste Mal das Licht einschaltete. 

Nach 100 Tagen bis zum Tag 1100 wird das Licht immer dann abgeschaltet, wenn ein Zähler da ist, es sei denn, dieser habe bereits bis neun plus sich selbst gezählt und lasse das Licht, wie es ist. Wer das Licht noch nie eingeschaltet hat, schaltet es wiederum ein.

Ab dem 1100. Tag bis zum 2100. Tag dürfen nur die Zähler, die vorher bis neun (plus sich selbst) gezählt haben, das Licht einmal einschalten, welches nun noch jeden 100. Tag von demjenigen gelöscht wird, der gerade da ist. Wenn einer feststellt, dass das Licht in diesen zehn neuen Zeitspannen 10x gebrannt hat, kann er die Freiheit verlangen. 

So wird es wahrscheinlich, dass die Sache nach etwa sechseinhalb Jahren klappt. Man soll dann aber noch zusätzlich bestimmen: Falls es nicht klappt (z. B. wenn während der ersten 100 Tage einmal 10 Tage lang kein Neuer hereinkommt, wenn in den Tagen 100-1100 ein Zähler weniger als neun Mal da war, wenn in den ersten 1100 Tagen einer überhaupt nie hereinkommt, wenn in den Tagen 1100-2100 ein Zähler nie ins dunkle Zimmer tritt oder wenn keiner in diesen letzten 1000 Tagen das Licht zehnmal eingeschaltet vorfindet, ohne es selbst eingeschaltet zu haben), wird ab dem 2100. Tag die Lösung mit einem Zähler durchgeführt, siehe Lösung Nr.4, d. h. nur einer zählt, und jeder ausser diesem schaltet einmal ein, er aber schaltet aus, bis er 99 Mal da war.</text>
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    <comment>10 Zähler, am Ende ein Oberzähler</comment>
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    <text bytes="1962" xml:space="preserve">Wer das Zimmer bei ausgeschaltetem Licht betritt, ohne es schon einmal eingeschaltet zu haben, schaltet das Licht ein. Es werden nun zehn Zähler (oder Zählerinnen) in das Zimmer treten, die während den ersten 1100 Tagen zählen dürfen und ab dem 1100. Tag ein Zeichen geben sollen. 

In den ersten 100 Tagen wird das Licht alle 10 Tage gelöscht, und zwar von jemandem, der fortan als Zähler gilt. Sobald jeder Zähler in "seinem" Zeitabschnitt das Licht eingeschaltet vorgefunden hat, weiss er, dass ein Neuer hier war, also jemand, der das erste Mal das Licht einschaltete. 

Nach 100 Tagen bis zum Tag 1100 wird das Licht immer dann abgeschaltet, wenn ein Zähler da ist, es sei denn, dieser habe bereits bis neun plus sich selbst gezählt und lasse das Licht, wie es ist. Wer das Licht noch nie eingeschaltet hat, schaltet es wiederum ein.

Ab dem 1100. Tag bis zum 2100. Tag dürfen nur die Zähler, die vorher bis neun (plus sich selbst) gezählt haben, das Licht einmal einschalten, welches nun noch jeden 100. Tag von demjenigen gelöscht wird, der gerade da ist. Wenn einer feststellt, dass das Licht in diesen zehn neuen Zeitspannen 10x gebrannt hat, kann er die Freiheit verlangen. 

So wird es wahrscheinlich, dass die Sache nach etwa sechseinhalb Jahren klappt. Man soll dann aber noch zusätzlich bestimmen: Falls es nicht klappt (z. B. wenn während der ersten 100 Tage einmal 10 Tage lang kein Neuer hereinkommt, wenn in den Tagen 100-1100 ein Zähler weniger als neun Mal da war, wenn in den ersten 1100 Tagen einer überhaupt nie hereinkommt, wenn in den Tagen 1100-2100 ein Zähler nie ins dunkle Zimmer tritt oder wenn keiner in diesen letzten 1000 Tagen das Licht zehnmal eingeschaltet vorfindet, ohne es selbst eingeschaltet zu haben), wird ab dem 2100. Tag die Lösung mit einem Zähler durchgeführt, siehe Lösung Nr.4, d. h. nur einer zählt, und jeder ausser diesem schaltet einmal ein, er aber schaltet aus, bis er 99 Mal da war.</text>
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    <comment>10 Zähler, am Ende ein Oberzähler</comment>
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    <text bytes="2064" xml:space="preserve">Wer das Zimmer bei ausgeschaltetem Licht betritt, ohne es schon einmal eingeschaltet zu haben, schaltet das Licht ein. Es werden nun zehn Zähler (oder Zählerinnen) in das Zimmer treten, die während den ersten 1100 Tagen zählen dürfen und ab dem 1100. Tag ein Zeichen geben sollen. 

In den ersten 100 Tagen wird das Licht alle 10 Tage gelöscht, und zwar von jemandem, der fortan als Zähler gilt. Sobald jeder Zähler in "seinem" Zeitabschnitt das Licht eingeschaltet vorgefunden hat, weiss er, dass ein Neuer hier war, also jemand, der das erste Mal das Licht einschaltete. 

Nach 100 Tagen bis zum Tag 1100 wird das Licht immer dann abgeschaltet, wenn ein Zähler da ist, es sei denn, es sei dunkel, dann soll er nichts hinzuzählen, oder es sei denn, der Zähler habe bereits bis neun plus sich selbst gezählt und lasse das Licht, wie es ist. Wer das Licht noch nie eingeschaltet hat, schaltet es gleich wie in den ersten hundert Tagen ein.

Ab dem 1100. Tag bis zum 2100. Tag dürfen nur die Zähler, die vorher bis neun (plus sich selbst) gezählt haben, das Licht einmal einschalten, welches nun noch jeden 100. Tag von demjenigen gelöscht wird, der gerade da ist. Wenn einer feststellt, dass das Licht in diesen zehn neuen Zeitspannen 10x gebrannt hat, kann er die Freiheit verlangen. 

So wird es wahrscheinlich, dass die Sache nach etwa sechseinhalb Jahren klappt. Man soll dann aber noch zusätzlich bestimmen: Falls es nicht klappt (z. B. wenn während der ersten 100 Tage einmal 10 Tage lang kein Neuer hereinkommt, wenn in den Tagen 100-1100 ein Zähler weniger als neun Mal da war, wenn in den ersten 1100 Tagen einer überhaupt nie hereinkommt, wenn in den Tagen 1100-2100 ein Zähler nie ins dunkle Zimmer tritt oder wenn keiner in diesen letzten 1000 Tagen das Licht zehnmal eingeschaltet vorfindet, ohne es selbst eingeschaltet zu haben), wird ab dem 2100. Tag die Lösung mit einem Zähler durchgeführt, siehe Lösung Nr.4, d. h. nur einer zählt, und jeder ausser diesem schaltet einmal ein, er aber schaltet aus, bis er 99 Mal da war.</text>
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    <text bytes="2106" xml:space="preserve">Wer das Zimmer bei ausgeschaltetem Licht betritt, ohne es schon einmal eingeschaltet zu haben, schaltet das Licht ein. Es werden nun zehn Zähler (oder Zählerinnen) in das Zimmer treten, die während den ersten 1100 Tagen zählen dürfen und ab dem 1100. Tag ein Zeichen geben sollen. 

In den ersten 100 Tagen wird das Licht alle 10 Tage gelöscht, und zwar von jemandem, der fortan als Zähler gilt. Sobald jeder Zähler in "seinem" Zeitabschnitt das Licht eingeschaltet vorgefunden hat, weiss er, dass ein Neuer hier war, also jemand, der das erste Mal das Licht einschaltete. 

Nach 100 Tagen bis zum Tag 1100 wird das Licht immer dann abgeschaltet, wenn ein Zähler da ist, es sei denn, es sei dunkel, dann soll er nichts hinzuzählen, oder es sei denn, der Zähler habe bereits bis neun plus sich selbst gezählt und lasse das Licht, wie es ist. Wer das Licht noch nie eingeschaltet hat, schaltet es gleich wie in den ersten hundert Tagen ein.

Ab dem 1100. Tag, an welchem das Licht in jedem Fall ausgeschaltet wird, bis zum 2100. Tag dürfen nur die Zähler, die vorher bis neun (plus sich selbst) gezählt haben, das Licht einmal einschalten, welches nun noch jeden 100. Tag von demjenigen gelöscht wird, der gerade da ist. Wenn einer feststellt, dass das Licht in diesen zehn neuen Zeitspannen 10x gebrannt hat, kann er die Freiheit verlangen. 

So wird es wahrscheinlich, dass die Sache nach etwa sechseinhalb Jahren klappt. Man soll dann aber noch zusätzlich bestimmen: Falls es nicht klappt (z. B. wenn während der ersten 100 Tage einmal 10 Tage lang kein Neuer hereinkommt, wenn in den Tagen 100-1100 ein Zähler weniger als neun Mal da war, wenn in den ersten 1100 Tagen einer überhaupt nie ins dunkle Zimmer hereinkommt oder wenn niemand in den Tagen 1100-2100 das Licht zehnmal eingeschaltet vorfindet, bspw. weil ein Zähler in diesen Tagen nie ins dunkle Zimmer getreten sein wird), wird ab dem 2100. Tag die Lösung mit einem Zähler durchgeführt, siehe Lösung Nr.4, d. h. nur einer zählt, und jeder ausser diesem schaltet einmal ein, er aber schaltet aus, bis er 99 Mal da war.</text>
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    <text bytes="2128" xml:space="preserve">Wer das Zimmer bei ausgeschaltetem Licht betritt, ohne es schon einmal eingeschaltet zu haben, schaltet das Licht ein. Es werden nun zehn Zähler (oder Zählerinnen) in das Zimmer treten, die während den ersten 1100 Tagen zählen dürfen und ab dem 1100. Tag ein Zeichen geben sollen. 

In den ersten 100 Tagen wird das Licht alle 10 Tage gelöscht, und zwar von jemandem, der fortan als Zähler gilt. Sobald jeder Zähler in "seinem" Zeitabschnitt das Licht eingeschaltet vorgefunden hat, weiss er, dass ein Neuer hier war, also jemand, der das erste Mal das Licht einschaltete. 

Nach 100 Tagen bis zum Tag 1100 wird das Licht immer dann abgeschaltet, wenn ein Zähler da ist, es sei denn, es sei dunkel, dann soll er nichts hinzuzählen, oder es sei denn, der Zähler habe bereits bis neun plus sich selbst gezählt und lasse das Licht, wie es ist. Wer das Licht noch nie eingeschaltet hat, schaltet es gleich wie in den ersten hundert Tagen ein.

Ab dem 1100. Tag, an welchem das Licht in jedem Fall ausgeschaltet wird, bis zum 2100. Tag dürfen nur die Zähler, die vorher bis neun (plus sich selbst) gezählt haben, das Licht einmal einschalten, welches nun noch jeden 100. Tag von demjenigen gelöscht wird, der gerade da ist. Wenn einer feststellt, dass das Licht in diesen zehn neuen Zeitspannen 10x gebrannt hat, kann er die Freiheit verlangen. 

So wird es wahrscheinlich, dass die Sache nach etwa sechseinhalb Jahren klappt. Man soll dann aber noch zusätzlich bestimmen: Falls es nicht klappt (z. B. wenn während der ersten 100 Tage einmal 10 Tage lang kein Neuer hereinkommt, wenn in den Tagen 100-1100 ein Zähler weniger als neun Mal da war, wenn in den ersten 1100 Tagen einer überhaupt nie oder nur am 1100. Tag ins dunkle Zimmer hereinkommt oder wenn niemand in den Tagen 1100-2100 das Licht zehnmal eingeschaltet vorfindet, weil z. B. ein Zähler in diesen Tagen nie ins dunkle Zimmer getreten sein wird), wird ab dem 2100. Tag die Lösung mit einem Zähler durchgeführt, siehe Lösung Nr.4, d. h. nur einer zählt, und jeder ausser diesem schaltet einmal ein, er aber schaltet aus, bis er 99 Mal da war.</text>
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    <text bytes="2266" xml:space="preserve">Voraussetzung für diese Lösung ist, dass jeder die Tage sauber mitzählen kann.

Wer das Zimmer bei ausgeschaltetem Licht betritt, ohne es schon einmal eingeschaltet zu haben, schaltet das Licht ein. Es werden nun zehn Zähler (oder Zählerinnen) in das Zimmer treten, die während den ersten 1100 Tagen zählen dürfen und ab dem 1100. Tag ein Zeichen geben sollen. 

In den ersten 100 Tagen wird das Licht alle 10 Tage gelöscht, und zwar von jemandem, der fortan als Zähler gilt. Sofern jeder Zähler in "seinem" Zeitabschnitt das Licht eingeschaltet vorgefunden hat, weiss er, dass ein Neuer hier war, also jemand, der das erste Mal das Licht einschaltete. 

Nach 100 Tagen bis zum Tag 1100 wird das Licht immer dann abgeschaltet, wenn ein Zähler da ist, es sei denn, es sei dunkel, dann soll er nichts hinzuzählen, oder es sei denn, der Zähler habe bereits bis neun plus sich selbst gezählt und lasse das Licht, wie es ist. Wer das Licht noch nie eingeschaltet hat, schaltet es gleich wie in den ersten hundert Tagen ein.

Ab dem 1100. Tag, an welchem das Licht in jedem Fall ausgeschaltet wird, bis zum 2100. Tag dürfen nur die Zähler, die vorher bis neun (plus sich selbst) gezählt haben, das Licht einmal einschalten, welches nun noch jeden 100. Tag von demjenigen gelöscht wird, der gerade da ist. Wenn einer feststellt, dass das Licht in diesen zehn neuen Zeitspannen 10x gebrannt hat, kann er die Freiheit verlangen. 

So wird es wahrscheinlich, dass die Sache nach etwa sechseinhalb Jahren klappt. Man soll dann aber noch zusätzlich bestimmen: Falls es nicht klappt (z. B. wenn in den Tagen 100-1100 ein Zähler weniger als neun Mal da war, wenn in den ersten 1100 Tagen einer überhaupt nie oder nur zwischen dem letzten anwesenden Zähler und dem 1100. Tag ins dunkle Zimmer hereinkommt oder wenn niemand in den Tagen 1100-2100 das Licht zehnmal eingeschaltet vorfindet, weil vielleicht ein Zähler in diesen Tagen nie ins dunkle Zimmer getreten sein wird oder weil niemand zehn Mal zwischen einem Zähler und einem hundertsten Tag da ist), wird ab dem 2100. Tag die Lösung mit einem Zähler durchgeführt, siehe Lösung Nr.4, d. h. nur einer zählt, und jeder ausser diesem schaltet einmal ein, er aber schaltet aus, bis er 99 Mal da war.</text>
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    <text bytes="2391" xml:space="preserve">Voraussetzung für diese Lösung ist, dass jeder die Tage sauber mitzählen kann.

Wer das Zimmer bei ausgeschaltetem Licht betritt, ohne es schon einmal eingeschaltet zu haben, schaltet das Licht ein. Es werden nun zehn Zähler (oder Zählerinnen) in das Zimmer treten, die während den ersten 1100 Tagen zählen dürfen und ab dem 1100. Tag ein Zeichen geben sollen. 

In den ersten 100 Tagen wird das Licht alle 10 Tage gelöscht, und zwar von jemandem, der fortan als Zähler gilt. Sofern jeder Zähler in "seinem" Zeitabschnitt das Licht eingeschaltet vorgefunden hat, weiss er, dass ein Neuer hier war, also jemand, der das erste Mal das Licht einschaltete. 

Nach 100 Tagen bis zum Tag 1100 wird das Licht immer dann abgeschaltet, wenn ein Zähler da ist, es sei denn, es sei dunkel, dann soll er nichts hinzuzählen, oder es sei denn, der Zähler habe bereits bis neun plus sich selbst gezählt und lasse das Licht, wie es ist. Wer das Licht noch nie eingeschaltet hat, schaltet es gleich wie in den ersten hundert Tagen ein.

Ab dem 1100. Tag, an welchem das Licht in jedem Fall ausgeschaltet wird, bis zum 2100. Tag dürfen nur die Zähler, die vorher bis neun (plus sich selbst) gezählt haben, das Licht einmal einschalten, welches nun noch jeden 100. Tag von demjenigen gelöscht wird, der gerade da ist. Wenn einer feststellt, dass das Licht in diesen zehn neuen Zeitspannen 10x gebrannt hat, kann er die Freiheit verlangen. 

So wird es wahrscheinlich, dass die Sache nach etwa sechseinhalb Jahren klappt. Man soll dann aber noch zusätzlich bestimmen: Falls es nicht klappt (z. B. wenn in den Tagen 100-1100 ein Zähler weniger als neun Mal da war, wenn in den ersten 1100 Tagen einer überhaupt nie oder nur zwischen dem letzten anwesenden Zähler und dem 1100. Tag ins dunkle Zimmer hereinkommt oder wenn niemand in den Tagen 1100-2100 das Licht zehnmal eingeschaltet vorfindet, weil vielleicht ein Zähler in diesen Tagen nie ins dunkle Zimmer getreten sein wird oder weil niemand zehn Mal zwischen einem Zähler und einem hundertsten Tag da ist), wird ab dem 2100. Tag die Lösung mit einem Zähler durchgeführt, siehe Lösung Nr.4, d. h. nur einer zählt, und jeder ausser diesem schaltet einmal ein, er aber schaltet aus, bis er 98 Mal ausgeschaltet hat. Statt das 99. Mal auszuschalten, verlangt er die Freiheit, aber das ist dann wohl erst nach gut drei Jahrzehnten.</text>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2370" xml:space="preserve">Voraussetzung für diese Lösung ist, dass jeder die Tage sauber mitzählen kann.

Wer das Zimmer bei ausgeschaltetem Licht betritt, ohne es schon einmal eingeschaltet zu haben, schaltet das Licht ein. Es werden nun zehn Zähler (oder Zählerinnen) in das Zimmer treten, die während den ersten 1500 Tagen zählen dürfen und ab dem 1500. Tag ein Zeichen geben sollen. 

In den ersten 100 Tagen wird das Licht alle 10 Tage gelöscht, und zwar von jemandem, der fortan als Zähler gilt. Sofern jeder Zähler in "seinem" Zeitabschnitt das Licht eingeschaltet vorgefunden hat, weiss er, dass ein Neuer hier war, also jemand, der das erste Mal das Licht einschaltete.

Nach 100 Tagen bis zum Tag 1500 wird das Licht immer dann abgeschaltet, wenn ein Zähler da ist, es sei denn, es sei dunkel, dann soll er nichts hinzuzählen, oder es sei denn, der Zähler habe bereits bis neun plus sich selbst gezählt und lasse das Licht, wie es ist. Wer das Licht noch nie eingeschaltet hat, schaltet es gleich wie in den ersten hundert Tagen ein.

Ab dem 1500. Tag, an welchem das Licht in jedem Fall ausgeschaltet wird, bis zum 3000. Tag dürfen nur die Zähler, die vorher bis neun (plus sich selbst) gezählt haben, das Licht einmal einschalten, welches nun noch jeden 100. Tag von demjenigen gelöscht wird, der gerade da ist. Wenn einer feststellt, dass das Licht in diesen neuen Zeitspannen 10x gebrannt hat, kann er die Freiheit verlangen. 

So wird es wahrscheinlich, dass die Sache nach etwa 10 Jahren klappt. Man soll dann aber noch zusätzlich bestimmen: Falls es nicht klappt (z. B. wenn bis zum Tag 1500 ein Zähler weniger als neun Mal da ist, wenn in den ersten 1500 Tagen einer überhaupt nie oder nur zwischen dem letzten anwesenden Zähler und dem 1500. Tag ins dunkle Zimmer hereinkommt oder wenn niemand in den Tagen 1500-3000 das Licht zehnmal eingeschaltet vorfindet, weil vielleicht ein Zähler in diesen Tagen nie ins dunkle Zimmer getreten sein wird oder weil niemand zehn Mal zwischen einem Zähler und einem hundertsten Tag da ist), wird ab dem 3001. Tag die Lösung mit einem Zähler durchgeführt, siehe Lösung Nr.4, d. h. nur einer zählt, und jeder ausser diesem schaltet einmal ein, er aber schaltet aus, bis er 98 Mal ausgeschaltet hat. Statt das 99. Mal auszuschalten, verlangt er die Freiheit, aber das ist dann wohl erst nach gut drei Jahrzehnten.</text>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2563" xml:space="preserve">Voraussetzung für diese Lösung ist, dass jeder die Tage sauber mitzählen kann.

Wer das Zimmer bei ausgeschaltetem Licht betritt, ohne es schon einmal eingeschaltet zu haben, schaltet das Licht ein. Es werden nun zehn Zähler (oder Zählerinnen) in das Zimmer treten, die während den ersten 1500 Tagen zählen dürfen und ab dem 1500. Tag ein Zeichen geben sollen. 

In den ersten 20 Tagen wird das Licht alle 2 Tage gelöscht hinterlassen, und zwar von jemandem, der fortan als Zähler gilt. Sofern jeder Zähler in "seinem" Zeitabschnitt das Licht eingeschaltet vorgefunden hat, weiss er, dass ein Neuer hier war, also jemand, der das erste Mal das Licht einschaltete.

Ab dem Tag 20 bis zum Tag 1500 zählen die Zähler immer plus eins, wenn sie ins helle Zimmer geführt werden, und das Licht muss immer dann abgeschaltet sein, wenn ein Zähler das Zimmer verlässt, es sei denn, der Zähler habe bereits bis neun plus sich selbst gezählt, höre auf zu zählen und lasse das Licht, wie es ist. Wer das Licht noch nie eingeschaltet hat, schaltet es gleich wie in den ersten zwanzig Tagen ein. (Möglich ist natürlich, dass jemand zwei Zähler zu spielen hat. Dann zählt er eben bis 19. Aber das ist unwahrscheinlich.)

Ab dem 1500. Tag, an welchem das Licht in jedem Fall ausgeschaltet wird, bis zum 3000. Tag dürfen nur die Zähler, die vorher bis neun (plus sich selbst) gezählt haben, das Licht einmal einschalten, welches nun noch jeden 100. Tag von demjenigen gelöscht wird, der gerade da ist. Wenn einer feststellt, dass das Licht in diesen neuen Zeitspannen 10x gebrannt hat, kann er die Freiheit verlangen. 

So wird es wahrscheinlich, dass die Sache nach gut 8 Jahren klappt. Man soll dann aber noch zusätzlich bestimmen: Falls es nicht klappt (z. B. wenn bis zum Tag 1500 ein Zähler weniger als neun Mal da ist, wenn in den ersten 1500 Tagen einer überhaupt nie oder nur zwischen dem letzten anwesenden Zähler und dem 1500. Tag ins dunkle Zimmer hereinkommt oder wenn niemand in den Tagen 1500-3000 das Licht zehnmal eingeschaltet vorfindet, weil vielleicht ein Zähler in diesen Tagen nie ins dunkle Zimmer getreten sein wird oder weil niemand zehn Mal zwischen einem Zähler und einem hundertsten Tag da ist), wird ab dem 3001. Tag die Lösung mit einem Zähler durchgeführt, d. h. nur einer zählt, und jeder ausser diesem schaltet einmal ein, er aber schaltet aus, bis er 98 Mal ausgeschaltet hat. Statt das 99. Mal auszuschalten, verlangt er die Freiheit, aber das ist dann wohl erst nach gut drei Jahrzehnten. Siehe Lösung Nr.4.</text>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2326" xml:space="preserve">Voraussetzung für diese Lösung ist, dass jeder die Tage sauber mitzählen kann.

Wer das Zimmer bei ausgeschaltetem Licht betritt, ohne es schon einmal eingeschaltet zu haben, schaltet das Licht ein. Es werden nun zehn Zähler (oder Zählerinnen) in das Zimmer treten, die während den ersten 1500 Tagen zählen dürfen und ab dem 1500. Tag ein Zeichen geben sollen. 

In den ersten 20 Tagen wird das Licht alle 2 Tage gelöscht hinterlassen, und zwar von jemandem, der fortan als Zähler gilt. Sofern jeder Zähler in "seinem" Zeitabschnitt das Licht eingeschaltet vorgefunden hat, weiss er, dass ein Neuer hier war, also jemand, der das erste Mal das Licht einschaltete.

Ab dem Tag 20 bis zum Tag 1500 zählen die Zähler immer plus eins, wenn sie ins helle Zimmer geführt werden, und das Licht muss immer dann abgeschaltet sein, wenn ein Zähler das Zimmer verlässt, es sei denn, der Zähler habe bereits bis neun plus sich selbst gezählt, höre auf zu zählen und lasse das Licht, wie es ist. Wer das Licht noch nie eingeschaltet hat, schaltet es gleich wie in den ersten zwanzig Tagen ein. (Möglich ist natürlich, dass jemand zwei Zähler zu spielen hat. Dann zählt er eben bis 19. Aber das ist unwahrscheinlich.)

Ab dem 1500. Tag, an welchem das Licht in jedem Fall ausgeschaltet wird, bis zum 3000. Tag dürfen nur die Zähler, die vorher bis neun (plus sich selbst) gezählt haben, das Licht einmal einschalten, welches nun noch jeden 100. Tag von demjenigen gelöscht wird, der gerade da ist. Wenn einer feststellt, dass das Licht in diesen neuen Zeitspannen 10x gebrannt hat, kann er die Freiheit verlangen. 

So wird es wahrscheinlich, dass die Sache nach gut 8 Jahren klappt. Man soll dann aber noch zusätzlich bestimmen: Falls es nicht klappt (z. B. wenn bis zum Tag 1500 ein Zähler weniger als neun Mal da ist, wenn in den ersten 1500 Tagen einer überhaupt nie oder nur zwischen dem letzten anwesenden Zähler und dem 1500. Tag ins dunkle Zimmer hereinkommt oder wenn niemand in den Tagen 1500-3000 das Licht zehnmal eingeschaltet vorfindet, weil vielleicht ein Zähler in diesen Tagen nie ins dunkle Zimmer getreten sein wird oder weil niemand zehn Mal zwischen einem Zähler und einem hundertsten Tag da ist), wird ab dem 3001. Tag die Lösung mit einem Zähler durchgeführt, siehe Lösung Nr. 4.</text>
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    <text bytes="2354" xml:space="preserve">Voraussetzung für diese Lösung ist, dass jeder die Tage sauber mitzählen kann.

Wer das Zimmer bei ausgeschaltetem Licht betritt, ohne es schon einmal eingeschaltet zu haben, schaltet das Licht ein. Es werden nun zehn Zähler (oder Zählerinnen) in das Zimmer treten, die während den ersten 1500 Tagen zählen dürfen und ab dem 1500. Tag ein Zeichen geben sollen. 

In den ersten 20 Tagen wird das Licht alle 2 Tage gelöscht hinterlassen, und zwar von jemandem, der fortan als Zähler gilt. Sofern jeder Zähler in "seinem" Zeitabschnitt das Licht eingeschaltet vorgefunden hat, weiss er, dass ein Neuer hier war, also jemand, der das erste Mal das Licht einschaltete.

Ab dem Tag 20 bis zum Tag 1500 zählen die Zähler immer plus eins, wenn sie ins helle Zimmer geführt werden, und das Licht muss immer dann abgeschaltet sein, wenn ein Zähler das Zimmer verlässt, es sei denn, der Zähler habe bereits bis neun plus sich selbst gezählt, höre auf zu zählen und lasse das Licht, wie es ist. Wer das Licht noch nie eingeschaltet hat, schaltet es gleich wie in den ersten zwanzig Tagen ein. (Möglich ist natürlich, dass jemand zwei Zähler zu spielen hat. Dann zählt er eben bis 19. Aber das ist unwahrscheinlich.)

Ab dem 1500. Tag, an welchem das Licht in jedem Fall ausgeschaltet wird, bis zum 3000. Tag dürfen nur die Zähler, die vorher bis neun (plus sich selbst) gezählt haben, das Licht einmal einschalten, welches nun noch jeden 100. Tag von demjenigen gelöscht wird, der gerade da ist. Wenn einer feststellt, dass das Licht in diesen neuen Zeitspannen 10x gebrannt hat, kann er die Freiheit verlangen. 

So wird es wahrscheinlich, dass die Sache nach gut 8 Jahren klappt. Man soll dann aber noch zusätzlich bestimmen: Falls es nicht klappt (z. B. wenn bis zum Tag 1500 ein Zähler weniger als neun Mal da ist, wenn in den ersten 1500 Tagen einer überhaupt nie oder nur zwischen dem letzten anwesenden Zähler und dem 1500. Tag ins dunkle Zimmer hereinkommt oder wenn niemand in den Tagen 1500-3000 das Licht zehnmal eingeschaltet vorfindet, weil vielleicht ein Zähler in diesen Tagen nie ins dunkle Zimmer getreten sein wird oder weil niemand zehn Mal zwischen einem Zähler und einem hundertsten Tag da ist), wird ab dem 3001. Tag die Lösung wiederholt oder die Lösung mit einem Zähler durchgeführt, siehe Lösung Nr. 4.</text>
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    <comment>Zehn Zähler, ein Oberzähler</comment>
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    <text bytes="1965" xml:space="preserve">Voraussetzung für diese Lösung ist, dass jeder die Tage sauber mitzählen kann.

Es werden 10 Zähler in 21 Tagen bestimmt, der erste zählt ab Tag 3 (dieser kann erkennen, ob vor ihm keiner, einer oder zwei da waren - je nach Stellung des Lichtschalters).

Alle übrigen schalten das Licht einmal ein, sobald sie erstmals in das dunkle Zimmer treten.

Immer wieder werden nun die zehn Zähler (oder Zählerinnen) in das Zimmer treten, die während den ersten 1257 Tagen zählen dürfen und ab dem 1258. Tag ein Zeichen geben sollen. 

In den ersten 21 Tagen wird das Licht alle 2 Tage gelöscht hinterlassen, und zwar von jemandem, der fortan als Zähler gilt. Sofern jeder Zähler in "seinem" Zeitabschnitt das Licht eingeschaltet vorgefunden hat, weiss er, dass ein Neuer hier war, also jemand, der das erste Mal das Licht einschaltete.

Ab dem Tag 21 bis zum Tag 1257 zählen die Zähler immer plus eins, wenn sie ins helle Zimmer geführt werden, und das Licht muss immer dann abgeschaltet sein, wenn ein Zähler das Zimmer verlässt, es sei denn, der Zähler habe bereits bis neun plus sich selbst gezählt, höre auf zu zählen und lasse das Licht, wie es ist.(Möglich ist natürlich, dass jemand zwei Zähler zu spielen hat. Dann zählt er eben bis 19. Aber das ist unwahrscheinlich.)

Ab Tag 1257, an welchem das Licht in jedem Fall gelöscht wird, sollen die Zähler zu Einschaltern werden. 

Nach Einschalter 1, der nach zehn Tagen zu erwarten ist, gibt man noch 20 Tage hinzu für etwa 19-20 mögliche Beobachter. Das gibt 30 Tage.

Bei Einschalter Nr. 2-8 werden je 100 Tage hinzugegeben, um diese Leute als Wissende zu behalten. Nach Nr. 9 lässt man es bei 50 Tagen bewenden; wenn es noch 9 oder 10 Beobachter sind, gibt das nach dem 10. Einschalter noch etwa 10-11 Tage, die hinzukommen, bis einer von denen wahrscheinlich hier ist.

Der Erwartungswert bei dieser Lösung ist demgemäss bei 1257 plus 1230 Tagen. Das sind dann knapp sieben Jahre.</text>
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    <comment>10 Zähler, am Ende ein Oberzähler</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2086" xml:space="preserve">Voraussetzung für diese Lösung ist, dass jeder die Tage sauber mitzählen kann.

Es werden 10 Zähler in 21 Tagen bestimmt, der erste zählt ab Tag 3 (dieser kann erkennen, ob vor ihm keiner, einer oder zwei da waren - je nach Stellung des Lichtschalters).

Alle übrigen schalten das Licht einmal ein, sobald sie erstmals in das dunkle Zimmer treten.

Immer wieder werden nun die zehn Zähler (oder Zählerinnen) in das Zimmer treten, die während den ersten 1257 Tagen zählen dürfen und ab dem 1258. Tag ein Zeichen geben sollen. 

In den ersten 21 Tagen wird das Licht alle 2 Tage gelöscht hinterlassen, und zwar von jemandem, der fortan als Zähler gilt. Sofern jeder Zähler in "seinem" Zeitabschnitt das Licht eingeschaltet vorgefunden hat, weiss er, dass ein Neuer hier war, also jemand, der das erste Mal das Licht einschaltete.

Ab dem Tag 21 bis zum Tag 1257 zählen die Zähler immer plus eins, wenn sie ins helle Zimmer geführt werden, und das Licht muss immer dann abgeschaltet sein, wenn ein Zähler das Zimmer verlässt, es sei denn, der Zähler habe bereits bis neun plus sich selbst gezählt, höre auf zu zählen und lasse das Licht, wie es ist.(Möglich ist natürlich, dass jemand zwei Zähler zu spielen hat. Dann zählt er eben bis 19. Aber das ist unwahrscheinlich.)

Ab Tag 1257, an welchem das Licht in jedem Fall gelöscht wird, sollen die Zähler zu Einschaltern werden. 

Nach Einschalter 1, der nach zehn Tagen zu erwarten ist, gibt man noch 20 Tage hinzu für etwa 19-20 mögliche Beobachter. Das gibt 30 Tage.

Bei Einschalter Nr. 2-8 werden je 100 Tage hinzugegeben, um diese Leute als Wissende zu behalten. Nach Nr. 9 lässt man es bei 50 Tagen bewenden; wenn es noch 9 oder 10 Beobachter sind, gibt das nach dem 10. Einschalter noch etwa 10-11 Tage, die hinzukommen, bis einer von denen wahrscheinlich hier ist. Wer als erster 10 Mal in den abgesprochenen Zeiträumen das Licht brennend gefunden hat, der mag die Freiheit verlangen.

Der Erwartungswert bei dieser Lösung ist demgemäss bei 1257 plus 1230 Tagen. Das sind dann knapp sieben Jahre.</text>
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    <comment>Zähler 1-10 und Endabrechnung</comment>
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    <text bytes="2097" xml:space="preserve">Voraussetzung für diese Lösung ist, dass jeder die Tage sauber mitzählen kann.

Es werden 10 Zähler in 21 Tagen bestimmt, der erste zählt ab Tag 3 (dieser kann erkennen, ob vor ihm keiner, einer oder zwei da waren - je nach Stellung des Lichtschalters).

Alle übrigen schalten das Licht einmal ein, nämlich sobald sie erstmals in das dunkle Zimmer treten. 

Immer wieder werden nun die zehn Zähler (oder Zählerinnen) in das Zimmer treten, die während den ersten 1257 Tagen zählen dürfen und ab dem 1258. Tag ein Zeichen geben sollen. 

In den ersten 21 Tagen wird das Licht alle 2 Tage gelöscht hinterlassen, und zwar von jemandem, der fortan als Zähler gilt. Sofern jeder Zähler in "seinem" Zeitabschnitt das Licht eingeschaltet vorgefunden hat, weiss er, dass ein Neuer hier war, also jemand, der das erste Mal das Licht einschaltete.

Ab dem Tag 21 bis zum Tag 1257 zählen die Zähler immer plus eins, wenn sie ins helle Zimmer geführt werden, und das Licht muss immer dann abgeschaltet sein, wenn ein Zähler das Zimmer verlässt, es sei denn, der Zähler habe bereits bis neun plus sich selbst gezählt, höre auf zu zählen und lasse das Licht, wie es ist. (Möglich ist natürlich, dass jemand zwei Zähler zu spielen hat. Dann zählt er eben bis 19. Aber das ist unwahrscheinlich.)

Ab Tag 1257, an welchem das Licht in jedem Fall gelöscht wird, sollen die Zähler zu Einschaltern werden. 

Nach Einschalter 1, der nach zehn Tagen zu erwarten ist, gibt man noch 20 Tage hinzu für etwa 19-20 mögliche Beobachter. Das gibt 30 Tage.

Bei Einschalter Nr. 2-8 werden je 100 Tage hinzugegeben, um diese Leute als Wissende zu behalten. Nach Nr. 9 lässt man es bei 50 Tagen bewenden; wenn es noch 9 oder 10 Beobachter sind, gibt das nach dem 10. Einschalter noch etwa 10-11 Tage, die hinzukommen, bis einer von denen wahrscheinlich hier ist. Wer als erster 10 Mal in den abgesprochenen Zeiträumen das Licht brennend gefunden hat, der mag die Freiheit verlangen.

Der Erwartungswert bei dieser Lösung ist demgemäss bei 1257 plus 1230 Tagen. Das sind dann knapp sieben Jahre.</text>
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    <text bytes="2115" xml:space="preserve">Voraussetzung für diese Lösung ist, dass jeder die Tage sauber mitzählen kann.

Es werden 10 Zähler in 21 Tagen bestimmt, der erste zählt ab Tag 3 (dieser kann erkennen, ob vor ihm keiner, einer oder zwei da waren - je nach Stellung des Lichtschalters).

Alle übrigen schalten das Licht einmal ein, nämlich sobald sie erstmals in das dunkle Zimmer treten. 

Immer wieder werden nun die zehn Zähler (oder Zählerinnen) in das Zimmer treten, die während den ersten 1257 Tagen zählen dürfen und ab dem 1258. Tag ein Zeichen geben sollen. 

In den ersten 21 Tagen wird das Licht alle 2 Tage gelöscht hinterlassen, und zwar von jemandem, der fortan als Zähler gilt. Sofern jeder Zähler in "seinem" Zeitabschnitt das Licht eingeschaltet vorgefunden hat, weiss er, dass ein Neuer hier war, also jemand, der das erste Mal das Licht einschaltete.

Ab dem Tag 21 bis zum Tag 1257 zählen die Zähler immer plus eins, wenn sie ins helle Zimmer geführt werden, und das Licht muss immer dann abgeschaltet sein, wenn ein Zähler das Zimmer verlässt, es sei denn, der Zähler habe bereits bis neun plus sich selbst gezählt, höre auf zu zählen und lasse das Licht, wie es ist. (Möglich ist natürlich, dass jemand zwei Zähler zu spielen hat. Dann zählt er eben bis 19. Aber das ist unwahrscheinlich.)

Ab Tag 1257, an welchem das Licht in jedem Fall gelöscht wird, sollen die Zähler zu Einschaltern werden. 

Nach Einschalter 1, der nach zehn Tagen zu erwarten ist, gibt man noch 20 Tage hinzu für etwa 19-20 mögliche Beobachtende. Das gibt 30 Tage.

Bei Einschalter Nr. 2-8 werden je 100 Tage hinzugegeben, um diese wissenden Leute als Beobachtende zu behalten. Nach Nr. 9 lässt man es bei 50 Tagen bewenden; wenn es noch 9 oder 10 Beobachtende sind, gibt das nach dem 10. Einschalter noch etwa 10-11 Tage, die hinzukommen, bis einer von denen wahrscheinlich hier ist. Wer als erster 10 Mal in den abgesprochenen Zeiträumen das Licht brennend gefunden hat, der mag die Freiheit verlangen.

Der Erwartungswert bei dieser Lösung ist demgemäss bei 1257 plus 1230 Tagen. Das sind dann knapp sieben Jahre.</text>
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    <comment>Zähler 1-10 und Endabrechnung</comment>
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    <text bytes="2149" xml:space="preserve">Voraussetzung für diese Lösung ist, dass jeder die Tage sauber mitzählen kann.

Es werden 10 Zähler in 21 Tagen bestimmt, der erste zählt ab Tag 3 (dieser kann erkennen, ob vor ihm keiner, einer oder zwei da waren - je nach Stellung des Lichtschalters).

Alle übrigen schalten das Licht einmal ein, nämlich sobald sie erstmals in das dunkle Zimmer treten. 

Immer wieder werden nun die zehn Zähler (oder Zählerinnen) in das Zimmer treten, die während den ersten 1257 Tagen zählen dürfen und ab dem 1258. Tag ein Zeichen geben sollen. 

In den ersten 21 Tagen wird das Licht alle 2 Tage gelöscht hinterlassen, und zwar von jemandem, der fortan als Zähler gilt. Sofern jeder Zähler in "seinem" Zeitabschnitt das Licht eingeschaltet vorgefunden hat, weiss er, dass ein Neuer hier war, also jemand, der das erste Mal das Licht einschaltete.

Ab dem Tag 21 bis zum Tag 1257 zählen die Zähler immer plus eins, wenn sie ins helle Zimmer geführt werden, und das Licht muss immer dann abgeschaltet sein, wenn ein Zähler das Zimmer verlässt, es sei denn, der Zähler habe bereits bis neun plus sich selbst gezählt, höre auf zu zählen und lasse das Licht, wie es ist. (Möglich ist natürlich, dass jemand zwei Zähler zu spielen hat. Dann zählt er eben bis 19. Aber das ist unwahrscheinlich.)

Ab Tag 1257, an welchem das Licht in jedem Fall gelöscht wird, sollen die Zähler zu Einschaltern werden. 

Nach Einschalter 1, der nach zehn Tagen zu erwarten ist, gibt man noch 20 Tage hinzu für etwa 19-20 mögliche Beobachtende. Das gibt 30 Tage. Nachher wird das Licht gelöscht.

Bei Einschalter Nr. 2-8 werden je 100 Tage hinzugegeben, um diese wissenden Leute als Beobachtende zu behalten. Nach Nr. 9 lässt man es bei 50 Tagen bewenden; wenn es noch 9 oder 10 Beobachtende sind, gibt das nach dem 10. Einschalter noch etwa 10-11 Tage, die hinzukommen, bis einer von denen wahrscheinlich hier ist. Wer als erster 10 Mal in den abgesprochenen Zeiträumen das Licht brennend gefunden hat, der mag die Freiheit verlangen.

Der Erwartungswert bei dieser Lösung ist demgemäss bei 1257 plus 1230 Tagen. Das sind dann knapp sieben Jahre.</text>
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    <comment>Zehn Abschalter, ein Oberzähler</comment>
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    <text bytes="2492" xml:space="preserve">Voraussetzung für diese Lösung ist, dass jeder die Tage sauber mitzählen kann.

Es werden 10 Ausschalter in 21 Tagen bestimmt, der erste zählt ab Tag 3 (dieser kann erkennen, ob vor ihm keiner, einer oder zwei da waren - je nach Stellung des Lichtschalters). Derjenige, der am Tag 5 hereingeführt wird, ist der nächste Ausschalter, derjenige, der am Tag 7 hereingeführt wird, der übernächste usf.

Alle übrigen schalten das Licht einmal ein, nämlich sobald sie erstmals in das dunkle Zimmer treten. Vorläufig haben sie nichts anderes zu tun.

Immer wieder werden nun die Ausschalter (oder Ausschalterinnen) in das Zimmer treten, die während den ersten 1257 Tagen zählen dürfen und ab dem 1258. Tag ein Zeichen geben sollen. 

Sofern jeder Ausschalter in "seinem" Zeitabschnitt das Licht eingeschaltet vorgefunden hat, weiss er, dass jemand hier war, der das erste Mal das Licht einschaltete.

Ab dem Tag 21 bis zum Tag 1257 zählen die Ausschalter immer plus eins, wenn sie ins helle Zimmer geführt werden, bzw. plus 0, wenn sie es dunkel antreffen, und das Licht muss immer dann abgeschaltet sein, wenn ein Ausschalter das Zimmer verlässt, es sei denn, der Ausschalter habe bereits bis neun plus sich selbst gezählt, höre auf zu zählen und lasse das Licht, wie es ist. (Möglich ist natürlich, dass jemand zwei Ausschalter zu spielen hat. Dann zählt er eben bis 19. Aber das ist unwahrscheinlich.)

Ab Tag 1257 sind wahrscheinlich alle ausser die Ausschalter gezählt; an diesem Tag wird das Licht gelöscht, und es sollen die Ausschalter zu Einschaltern werden. 
Nach Einschalter 1, der nach zehn Tagen zu erwarten ist, gibt man noch 20 Tage hinzu für etwa 19-20 mögliche Beobachtende. Das gibt 30 Tage. Am Tag 30 nach jenem Wechseltag wird das Licht gelöscht.
Bei Einschalter Nr. 2-7 wird zusätzlich zu den 20-70 Tagen jedesmal 100 Tage mit Auslöschen des Lichtes gewartet, um diese 19-20 wissenden Leute als Beobachtende zu behalten. Nach Nr. 8 und 9 lässt man es bei 50 Tagen bewenden, sodass wahrscheinlich nach Nr. 8 etwa 9 und nach Nr. 9 etwa 4 Beobachtende übrigbleiben; wenn es noch 4 Beobachtende sind, gibt das nach dem 10. Einschalter noch etwa 25 Tage, die hinzukommen, bis einer von denen wahrscheinlich hier ist. Wer als erster 10 Mal in den abgesprochenen Zeiträumen das Licht brennend gefunden hat, der mag die Freiheit verlangen.

Der Erwartungswert bei dieser Lösung ist demgemäss bei 1257 plus 1195 Tagen. Das sind dann knapp sieben Jahre.</text>
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  <title>Eigenwerte der Inversen einer invertierbaren Matrix</title>
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    <comment>/* Lösung 3 */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="3261" xml:space="preserve">==Aufgabenstellung==

Es sei &lt;math&gt;A\in K^{n\times n}&lt;/math&gt; eine invertierbare Matrix über einem Körper &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;. Ferner sei &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; ein Eigenwert von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

Man zeige: &lt;math&gt;\lambda\not=0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\lambda^{-1}&lt;/math&gt; ist Eigenwert von &lt;math&gt;A^{-1}&lt;/math&gt;.


==Tipp==

*Man benutze die Definition der Eigenwerte.
*Man interpretiere die Gleichung &lt;math&gt;x^{-1}-y^{-1}=\frac{y-x}{xy}&lt;/math&gt; für reelle Zahlen &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{C}\setminus\{0\}&lt;/math&gt; als Gleichung für Matrizen.

==Lösung 1==

Es sei &lt;math&gt;\chi_A&lt;/math&gt; das charakteristische Polynom von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;E_n&lt;/math&gt; die (&lt;math&gt;n\times n&lt;/math&gt;)-Einheitsmatrix.

Annahme: &lt;math&gt;\lambda =0&lt;/math&gt;, dann folgt:

&lt;math&gt;\chi_A(\lambda)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A-\lambda E_n)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A-0\cdot E_n)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow A\not\in Gl(n,K)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow A&lt;/math&gt; ist nicht invertierbar (Widerspruch zur Voraussetzung!)

Also ist &lt;math&gt;\lambda\not= 0&lt;/math&gt;, insbesondere existiert &lt;math&gt;\lambda^{-1}\in K&lt;/math&gt;.

Da &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; Eigenwert von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; ist, hat die Gleichung &lt;math&gt;A(x)=\lambda x;\;x\in K^n&lt;/math&gt; eine nicht-triviale Lösung  &lt;math&gt;v\in K^n\setminus\{0\}&lt;/math&gt;, d.h. es gilt:

&lt;math&gt;\exists v\in K^n\setminus\{0\}:A(v)=\lambda v&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\exists v\in K^n\setminus\{0\}: A^{-1}(\lambda v)=v&lt;/math&gt; (da &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; ja invertierbar ist)

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\exists v\in K^n\setminus\{0\}:A^{-1}(\lambda v)=\lambda^{-1}(\lambda v)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; die Gleichung &lt;math&gt;A^{-1}(x)=\lambda^{-1}x&lt;/math&gt; hat eine nicht-triviale Lösung &lt;math&gt;x\in K^n\setminus\{0\}&lt;/math&gt; (da ja &lt;math&gt;\lambda\not=0&lt;/math&gt; und da &lt;math&gt;v\not=0&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; die Gleichung &lt;math&gt;(A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)(x)=0&lt;/math&gt; hat eine nicht-triviale Lösung

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\ker(A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)\not=\{0\} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow (A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)\not\in Gl(n,K)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\chi_{A^{-1}}(\lambda^{-1})=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\lambda^{-1}&lt;/math&gt; ist Eigenwert von &lt;math&gt;A^{-1}&lt;/math&gt;.

==Lösung 2==
Da &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; Eigenwert von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; ist, ist &lt;math&gt;(A-\lambda)&lt;/math&gt; nicht invertierbar. Da &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; invertierbar ist folgt &lt;math&gt;\lambda\neq0&lt;/math&gt;.

Nun ist &lt;math&gt;\lambda A(A^{-1}-\lambda^{-1})=(\lambda-A)&lt;/math&gt; nicht invertierbar, also muss mindestens einer der Faktoren nichtinvertierbar sein. Da &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; invertierbar sind, folgt, dass &lt;math&gt;(A^{-1}-\lambda^{-1})&lt;/math&gt; nicht invertierbar ist. Somit ist &lt;math&gt;\lambda^{-1}&lt;/math&gt; ein Eigenwert von &lt;math&gt;A^{-1}&lt;/math&gt;.


==Lösung 3==

Sei &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; Eigenvektor zum Eigenwert &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt;, dann gilt:

&lt;math&gt;Ax=\lambda x\Leftrightarrow x=\lambda A^{-1}x\Leftrightarrow\lambda^{-1} x=A^{-1}x\Leftrightarrow\lambda^{-1}&lt;/math&gt; ist Eigenwert von &lt;math&gt;  A^{-1}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\lambda\neq0&lt;/math&gt; folgt dabei aus der zweiten Gleichung, da &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; als Eigenvektor per Definition vom Nullvektor verschieden ist.

[[Kategorie: Lineare Algebra]]</text>
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  <title>Perihel-Präzession des Merkur</title>
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    <format>text/x-wiki</format>
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Wie mißt man eigentlich eine Perihel-Drehung des Merkur um 43 Bogensekunden pro Jahrhundert? Das ist doch ein sehr kleiner Winkel?

"Die theoretischen Vorhersagen wurden gut bestätigt." Aber von wem und wie?</text>
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  <title>Arbeiten mit Termen: Treffpunkt von zwei Radfahrern</title>
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      <username>Cleverboy</username>
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    <comment>/* Therm aufstellen */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="4164" xml:space="preserve">==Aufgabe==

Die Orte '''A''' und '''B''' liegen 25 km von einander entfernt. Tina startet um 14:00 Uhr in '''A''' und fährt mit einer Geschwindigkeit von 15 km/h in Richtung '''B'''. Zur gleichen Zeit startet Karin in '''B''' und fährt mit 17 km/h in Richtung '''A'''. 

Nach wieviel Kilometern und nach welcher Zeit treffen sich die beiden Mädchen zwischen '''A''' und '''B'''?
===Tipps===

Wenn ihr Probleme mit der Aufgabenstellung habt, solltet ihr euch erst mal eine Zeichnung machen. Dabei malt man die beiden Orte auf und trägt alle Daten ein, die gegeben sind.

===Lösung===


==== Was ist x ====

Die Geschwindigkeit der Mädchen wird in km/h angegeben. Gesucht ist einmal der gefahrene Weg und zum anderen die verstrichene Zeit seit 14:00 Uhr bis zum Treffpunkt. 

Für x nehmen wir am besten die gefahrene Zeit. 

==== Term aufstellen ====

Der Term besteht aus zwei Teilen die jeder für sich die Formel für das entsprechende Mädchen darstellt.

Man muss allerdings einen wichtigen Punkt dabei berücksichtigen. Da Karin genau in die entgegengesetzte Richtung fährt und bei '''B''' startet, muss ihre Formel von 25 km abgezogen werden. Also ergibt sich:


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} &lt;/math&gt; für Tina

&lt;math&gt; 25 km - (x \cdot 17{km \over h}) &lt;/math&gt; für Karin

Die beiden Formeln werden nun Gleichgesetzt:

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt;

==== Zeit Ausrechnen ====

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt; '''| +17x'''


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} +x \cdot 17{km \over h}  = 25 km &lt;/math&gt; '''| x ausklammern'''


&lt;math&gt;x \cdot (15 {km \over h} +  17{km \over h})  = 25 km &lt;/math&gt; '''| / 32 km/h'''


&lt;math&gt;x  = {25km \over (15 {km \over h} +  17{km \over h})} &lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;x  = {25km \over  32{km \over h}} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x  = {25 \over 32}  h =  0,78125 h = 46,8 Minuten&lt;/math&gt; 

Km kürzt sich raus und übrig bleibt h (Stunden). Sie treffen sich also nach ca.46,8 Minuten.


==== Weg Ausrechnen ====

Der Weg errechnet sich dann über die Geschwindigkeit (wir nehmen die von Tina) und die Zeit. 

Geschwindigkeit = Weg / Zeit oder &lt;math&gt;v = {s \over t}&lt;/math&gt;

Also ist der Weg = Geschwidigkeit x Zeit &lt;math&gt;s = v \cdot t&lt;/math&gt;

die errechnete Zeit und Tinas Geschwindigkeit eingesetzt.

&lt;math&gt;s = {15 {km \over h} \cdot{25 \over 32}h}= 11,72 km&lt;/math&gt;

'''Tina ist also in 46,8 Minuten 11,72 km weit gefahren, bis sie mit Karin zusammentrift.'''


===Lösung 2===

Der zweite Ansatz erfordert schon die Kenntnis einer allgemeinen Geradengleichung.

&lt;math&gt;y = m \cdot x + c&lt;/math&gt;

'''m''' ist darin die Steigung der Geraden und '''c''' der Achsenabschnitt auf der y-Achse

[[Bild:Treffpunkt.png|framed|Die Geradengleichungen als Gafik]]

Die Steigungen sind hierbei die Geschwindigkeiten. Einen Achsenabschnitt hat nur die Gerade von Karin, da sie ja in '''B''', was ja von '''A''' 25 km entfernt liegt, startet. 

Die Geradengleichung für Tina:

&lt;math&gt;y = 15 {km \over h} \cdot x + 0&lt;/math&gt;

Die Geradengleichung für Karin:

&lt;math&gt;y = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km&lt;/math&gt;

Man sieht auch, dass vor der Geschwindigkeit von Karin ein Minus steht, da die Steigung der Geraden negativ ist.

Man sieht in der Grafik schön, dass es genau einen Punkt gibt, in dem sich die Geraden kreuzen. Das ist der Zeitpunkt der Begegnung. Und da die Werte für '''y''' in diesem Punkt die gleichen sind, setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich. (Man nennt diesen Verfahren darum '''Gleichsetzungsverfahren''')

&lt;math&gt; 15 {km \over h} \cdot x + 0 = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km &lt;/math&gt;

==== Ausrechnen ====

&lt;math&gt; 15x  = -17x + 25 &lt;/math&gt; '''| +17x'''

&lt;math&gt; 32x  =  25 &lt;/math&gt; '''| /32 '''

&lt;math&gt; x  =  {25 \over 32} &lt;/math&gt;

Wie man sieht, kommt auch in dieser Lösung das gleiche Ergebnis raus. Den Weg kann man jetzt gaenau wie in Lösung 1 berechnen.

===Suchbegriffe===

Geschwindigkeitsaufgabe, Geschwindigkeit, Termbildung

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft]]


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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  <title>Quadratische Gleichungen: Ein Stein fällt in einen Brunnen</title>
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    <timestamp>2006-07-31T11:11:12Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>Behrev</username>
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    </contributor>
    <comment>/* B: Berechnung der Brunnentiefe */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2258" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach 5 s hört man den Aufschlag. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 340m/s. 

'''A:''' Beschreiben sie den Vorgang zur Bestimmung der Tiefe.

'''B:''' Wie tief ist der Brunnen. 

'''C:''' Zeichnen Sie das Weg/Zeit –Diagramm des Vorgangs.

== Tipps ==


== Lösung ==


=== A: Vorgangsbeschreibung ===

Mit einer Stopuhr misst man die Zeit bis zum Aufprall. Die gemessene Zeit ist die Summe für die Fallzeit und die Zeit die der Schall braucht um wieder aufzusteigen. Der Weg, den beide zurücklegen müssen ist der gleiche. Die genaue Vorgehensweise ist im folgenden Punkt erklärt.


=== B: Berechnung der Brunnentiefe ===

Formel für den freien Fall  		

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;               '''&lt;1&gt;'''


Formel für den Schall			

:h = V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;2&gt;'''


Weiter gilt:

:t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; = 5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;  '''&lt;3&gt;'''


Da der Schall die gleiche Strecke zurücklegen muss, wie der Stein kann man die Formeln '''&lt;1&gt;''' und '''&lt;2&gt;''' Gleichsetzen.

:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt;


Und für t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;''' einsetzen.


:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × (5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;)


:&lt;math&gt;
{{9,81} \over 2} \times \mathop t\nolimits_{fall}^2  + 340{m \over s} \times \mathop t\nolimits_{fall}  - 1700 = 0&lt;/math&gt;


'''Das ist eine quadratische Gleichung  mit''' 

:'''a''' = g/2 
:'''b''' = 340 
:'''c''' = -1700

Eingesetzt in die [[Lösungsformel für quadratische Gleichungen]]

:&lt;math&gt; \mathop x\nolimits_{1/2}  = {{ - b \pm \sqrt {b^2  - 4ac} } \over {2a}} &lt;/math&gt;

ergibt zwei Lösungen:

:x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;= 4,684s         
:x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;= -74,0005s

Da es keine negative Fallzeit gibt, muss die Lösung für '''t&lt;sub&gt; fall&lt;/sub&gt; = 4.684s''' sein.

Eingesetzt in    '''&lt;1&gt;'''        

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;

:h = ½ × 9,81 m/s² × 4,684s ²


:'''h = 107,61 m'''

'''Die Brunnentiefe ist also 107,61 m'''

=== C: Weg-Zeit-Diagramm ===

[[Bild:stein_brunnen_wegzeit.PNG]]


==Suchbegriffe==

Quadratische Gleichung, Brunnentiefe, Fallzeit

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 9]]</text>
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      <username>Behrev</username>
      <id>13311</id>
    </contributor>
    <comment>/* Aufgabe */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2304" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach 5 s hört man den Aufschlag. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 340m/s. Die Erdbeschleunigung beträgt g = 9,81 m/s².

'''A:''' Beschreiben sie den Vorgang zur Bestimmung der Tiefe.

'''B:''' Wie tief ist der Brunnen. 

'''C:''' Zeichnen Sie das Weg/Zeit –Diagramm des Vorgangs.

== Tipps ==


== Lösung ==


=== A: Vorgangsbeschreibung ===

Mit einer Stopuhr misst man die Zeit bis zum Aufprall. Die gemessene Zeit ist die Summe für die Fallzeit und die Zeit die der Schall braucht um wieder aufzusteigen. Der Weg, den beide zurücklegen müssen ist der gleiche. Die genaue Vorgehensweise ist im folgenden Punkt erklärt.


=== B: Berechnung der Brunnentiefe ===

Formel für den freien Fall  		

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;               '''&lt;1&gt;'''


Formel für den Schall			

:h = V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;2&gt;'''


Weiter gilt:

:t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; = 5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;  '''&lt;3&gt;'''


Da der Schall die gleiche Strecke zurücklegen muss, wie der Stein kann man die Formeln '''&lt;1&gt;''' und '''&lt;2&gt;''' Gleichsetzen.

:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt;


Und für t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;''' einsetzen.


:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × (5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;)


:&lt;math&gt;
{{9,81} \over 2} \times \mathop t\nolimits_{fall}^2  + 340{m \over s} \times \mathop t\nolimits_{fall}  - 1700 = 0&lt;/math&gt;


'''Das ist eine quadratische Gleichung  mit''' 

:'''a''' = g/2 
:'''b''' = 340 
:'''c''' = -1700

Eingesetzt in die [[Lösungsformel für quadratische Gleichungen]]

:&lt;math&gt; \mathop x\nolimits_{1/2}  = {{ - b \pm \sqrt {b^2  - 4ac} } \over {2a}} &lt;/math&gt;

ergibt zwei Lösungen:

:x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;= 4,684s         
:x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;= -74,0005s

Da es keine negative Fallzeit gibt, muss die Lösung für '''t&lt;sub&gt; fall&lt;/sub&gt; = 4.684s''' sein.

Eingesetzt in    '''&lt;1&gt;'''        

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;

:h = ½ × 9,81 m/s² × 4,684s ²


:'''h = 107,61 m'''

'''Die Brunnentiefe ist also 107,61 m'''

=== C: Weg-Zeit-Diagramm ===

[[Bild:stein_brunnen_wegzeit.PNG]]


==Suchbegriffe==

Quadratische Gleichung, Brunnentiefe, Fallzeit

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 9]]</text>
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  <title>Waage und 12 Kugeln, Lösung</title>
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    <contributor>
      <username>Alfred Heiligenbrunner</username>
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    </contributor>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2078" xml:space="preserve">[[Kategorie:Denksport_Loesung]]

Dies ist die Lösung von Aufgabe [[Waage und 12 Kugeln]].

Wir denken und die Kugeln mit den Nummern 1,2,...,12 durchnummeriert. 
Bei der ersten Wägung geben wir in die linke Waagschale die Kugeln 2, 4, 10, 11 und in die rechte Waagschale die Kugeln 1, 5, 7, 8. Ähnlich gehen wir bei der zweiten und dritten Wägung vor, siehe folgende Tabelle.

{|  border="2" cellspacing="0" cellpadding="4" rules="all" class="hintergrundfarbe1 rahmenfarbe1" style="margin:1em 1em 1em 0; border-style:solid; border-width:1px; border-collapse:collapse; empty-cells:show; background:#f0a0a0"  
!#	
!links	        
!rechts	
!links schwerer	
!gleich	
!rechts schwerer
|-  bgcolor="#f0f0f0"
|1	||2,4,10,11	||1,5,7,8	|| align="center" | -1	|| align="center" | 0	|| align="center" | +1
|- bgcolor="#f0f0f0"
|2	||3,4,6,7	||2,5,11,12	|| align="center" | -3	|| align="center" | 0	|| align="center" | +3
|- bgcolor="#f0f0f0"
|3	||5,8,9,10	||6,7,11,12	|| align="center" | -9	|| align="center" | 0	|| align="center" | +9
|}

Wenn die erste Wägung ergibt, dass die linke Seite schwerer ist, merken wir uns -1, wenn die rechte Seite schwerer ist, merken wir uns +1, und wenn beide Seiten gleich schwer sind, merken wir uns 0.

Von der zweiten Wägung merken wir uns -3, 0 oder +3, je nachdem ob die linke Seite schwerer, gleich oder leichter ist als die rechte.

Ähnlich vermerken wir uns aus der dritten Wägung -9, 0 oder +9. Siehe obenstehende Tabelle.

Wenn wir schließlich die drei Wäge-Ergebnisse addieren, erhalten wir eine Nummer p zwischen -12 und +12. Der Absolutwert von p gibt die Nummer der abweichenden Kugel an. Wenn p in { 1,  2,  -3,  -4,  -5,  6,  7,  -8,  -9,  -10,  11,  12} liegt, ist die Kugel schwerer. Sonst, wenn p einen der Werte   -1,  -2,  3,  4,  5,  -6,  -7,  8,  9,  10,  -11 oder  -12 annimmt, ist sie leichter als die anderen.

Wenn beispielsweise die Kugel 5 schwerer ist, erhalten wir aus der ersten Wägung +1, aus der zweiten +3 und aus der dritten -9. Und die Summe ist p = +1+3-9 = -5, was bedeutet, daß die Kugel 5 schwerer ist.</text>
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  <title>Kategorie:Denksport Loesung</title>
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    <id>2679</id>
    <timestamp>2006-08-05T07:58:18Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>Alfred Heiligenbrunner</username>
      <id>23180</id>
    </contributor>
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    <text bytes="52" xml:space="preserve">Lösungen von Aufgaben aus der Kategorie "Denksport"</text>
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  <title>Gefangene und Glühbirne, Lösung 1</title>
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    <contributor>
      <username>Alfred Heiligenbrunner</username>
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    </contributor>
    <comment>Kategorie Denksport_Loesung</comment>
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    <text bytes="473" xml:space="preserve">[[Kategorie:Denksport_Loesung]]

Dies ist die Lösung 1 von Aufgabe [[Gefangene und Glühbirne]].

"Glühbirne als Teilelager":

Der erste Gefangene schraubt die Glühbirne aus der Fassung und zerlegt sie in 100 Teile. Einen Teil nimmt er selbst mit.

Jeder Gefangene, der noch nie ein Teil genommen hat, nimmt eines aus dem Raum mit, sobald er selbst dorthin geführt wird. Derjenige, der das letzte Teil wegnimmt, verkündet, dass alle anderen schon einmal im Raum waren.</text>
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  <title>Gefangene und Glühbirne, Lösung 2</title>
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      <username>Alfred Heiligenbrunner</username>
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    <comment>Kategorie:Denksport_Loesung</comment>
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    <text bytes="628" xml:space="preserve">[[Kategorie:Denksport_Loesung]]

Dies ist die Lösung 2 von Aufgabe [[Gefangene und Glühbirne]].

"Hohe Wahrscheinlichkeit":

Alle Gefangenen warten z.B. 1000 Tage ab. Dann verkünden sie, dass alle schon einmal der Kammer mit der Glühbirne waren. 

Die Wahrscheinlichkeit, dass das falsch ist, ist 0,00430791.

(Herleitung: Die Wahrscheinlichkeit, dass Häftling Nr. 1 in dieser Zeit niemals in die Kammer geführt wurde, ist p = (1-1/100)^1000 = 0,0000431.
Die Wahrscheinlichkeit, dass Häftling Nr. 1 oder Häftling Nr. 2 oder ... oder Häftling Nr. 100 niemals in die Kammer geführt wurden, ist 1-(1-p)^100 = 0,00430791.)</text>
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  <title>Gefangene und Glühbirne, Lösung 3</title>
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      <username>Alfred Heiligenbrunner</username>
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    <comment>Kategorie:Denksport_Loesung</comment>
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    <text bytes="1099" xml:space="preserve">[[Kategorie:Denksport_Loesung]]

Dies ist die Lösung 3 von Aufgabe [[Gefangene und Glühbirne]].

"Tage nummerieren, jeder zählt":

Jeder Gefangene erhält eine Nummer von 1 bis 100.
Die Tage werden von 1 bis 100 durchnummeriert, danach beginnt die Zählung wieder bei 1.
Jeder Häftling führt eine Strichliste mit Feldern von 1 bis 100.
Wenn am Tag i (i=1..100) der Häftling mit Nummer i (selbe Nummer!) in die Kammer geführt wird, dann schaltet er das Licht ein. Wenn ein Häftling mit anderer Nummer in die Kammer geführt wird, verläßt er den Raum mit ausgeschaltetem Licht.
Wer in die Kammer geführt wird, prüft zuerst, ob sein Vorgänger das Licht eingeschaltet hatte. Ist das der Fall, kann er auf seiner Strichliste den Häftling mit der Nummer des Vortages abhaken.

Derjenige, dessen Liste zuerst voll ist, spricht die befreienden Worte.

Schneller geht es, wenn jeder auch dann das Licht anschaltet, wenn er weiß, dass der Kollege mit der Nummer von heute bereits im Raum war.

Achtung: Diese Strategie setzt voraus, dass die Häftlinge die einzelnen Tage unterscheiden können.</text>
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  <title>Gefangene und Glühbirne, Lösung 4</title>
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    <comment>Kategorie:Denksport_Loesung</comment>
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    <text bytes="3133" xml:space="preserve">[[Kategorie:Denksport_Loesung]]

Dies ist die Lösung 4 von Aufgabe [[Gefangene und Glühbirne]].

"Ein Zähler":

Bei der ersten Unterredung bestimmen die Häftlinge einen "Zähler". Alle anderen bemühen sich, vom Zähler genau einmal gezählt zu werden. Das geht folgendermaßen.

Wer selbst noch nie gezählt wurde und beim Betreten des Raumes die Glühbirne ausgeschaltet vorfindet, schaltet sie ein. Er kann sich damit als gezählt ansehen. Die Glühbirne bleibt eingeschaltet, bis nach einiger Zeit (zufällig) der "Zähler" wieder in die Kammer kommt. Er schaltet die Glühbirne aus und vermerkt für sich, dass ein Häftling, den er bisher noch nicht gezählt hatte, in der Kammer war.

Alle anderen lassen die Glühbirne unverändert.

Sobald der "Zähler" bis 99 gezählt hat, kann er verkünden, dass mit Sicherheit schon jeder einmal im Raum war.

Das Verfahren erfordert Geduld. Der Zähler muss mindestens 99 Mal das Zimmer aufsuchen. Da er im Mittel etwa alle 100 Tage ausgelost wird, dauert das etwa 100*99 Tage (etwas mehr als 27 Jahre). 

In Wahrheit dauert es noch länger, weil - besonders in der Endphase - nicht notwendigerweise zwischen zwei Besuchen des "Zählers" ein verbliebener Ungezählter den Raum betreten hat.


'''Verbesserung 1:'''

Schneller geht es, wenn der "Zähler" nicht bei der Besprechung direkt bestimmt wird. Stattdessen kann man übereinkommen, dass derjenige, der am 2. Tag in die Kammer geführt wird, automatisch die Funktion "Zähler" übernimmt.
Der Zähler betritt damit das Zimmer zum ersten Mal am 2. Tag anstatt sonst durchschnittlich am 50. Tag. Das erspart 48 Tage Wartezeit.


'''Verbesserung 2:'''

Noch schneller geht es, wenn die Funktion des Zählers demjenigen übertragen wird, der zuerst ein zweites Mal in die Kammer kommt. 

Dazu wird der Glühbirne in den ersten 100 Tagen eine andere Bedeutung zugeordnet:

# Der Häftling von Tag 1 schaltet die Glühbirne ein. Er betrachtet sich als gezählt.
# Jeder weitere Häftling, der die Glühbirne eingeschaltet vorfindet, betrachtet sich ebenfalls als gezählt. Er lässt die Glühbirne unverändert.
# Sobald ein Häftling zum zweiten Mal in den Raum kommt, schaltet er die Glühbirne aus. Er weiß, dass er der Zähler ist und kennt die Anzahl der Häftlinge, die sich schon als gezählt betrachten können, an Hand der Tagesnummer.
# Jeder weitere Häftling, der bis zum Tag 100 den Raum betritt, lässt die Glühbirne unverändert.
# Wer in den ersten 100 Tagen die Glühbirne einmal in eingeschaltetem Zustand gesehen hat, gilt als gezählt.

Ab Tag 101 beginnt das "übliche" Verfahren, wo jeder noch nicht gezählte durch Einschalten der Glühbirne signalisiert, dass er gezählt werden möchte.

Im Durchschnitt kommt nach etwa 13 Tagen ein Häftling zum zweiten Mal in die Kammer. Der Rest der ersten 100 Tage vergeht zwar ungenutzt, der Zähler hat sich durch diesen Trick aber ca. 12 Zählungen, also 1200 Tage, erspart.


'''Verbesserung 3:'''

Anstatt '''einer''' Vorlaufperiode von 100 Tagen (siehe Verbesserung 2) könnte man davon auch mehrere machen. 

Untersuchungen dazu wären hier noch zu ergänzen.</text>
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    <comment>hat [[Lösung4 von Gefangene und Glühbirne]] nach [[Gefangene und Glühbirne, Lösung 4]] verschoben: Bessere Übersicht in der Kategorie:Denksport_Loesungen, wenn nicht alle Artikel mit "L" (wie "Lösung") beginnen.</comment>
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    <text bytes="3133" xml:space="preserve">[[Kategorie:Denksport_Loesung]]

Dies ist die Lösung 4 von Aufgabe [[Gefangene und Glühbirne]].

"Ein Zähler":

Bei der ersten Unterredung bestimmen die Häftlinge einen "Zähler". Alle anderen bemühen sich, vom Zähler genau einmal gezählt zu werden. Das geht folgendermaßen.

Wer selbst noch nie gezählt wurde und beim Betreten des Raumes die Glühbirne ausgeschaltet vorfindet, schaltet sie ein. Er kann sich damit als gezählt ansehen. Die Glühbirne bleibt eingeschaltet, bis nach einiger Zeit (zufällig) der "Zähler" wieder in die Kammer kommt. Er schaltet die Glühbirne aus und vermerkt für sich, dass ein Häftling, den er bisher noch nicht gezählt hatte, in der Kammer war.

Alle anderen lassen die Glühbirne unverändert.

Sobald der "Zähler" bis 99 gezählt hat, kann er verkünden, dass mit Sicherheit schon jeder einmal im Raum war.

Das Verfahren erfordert Geduld. Der Zähler muss mindestens 99 Mal das Zimmer aufsuchen. Da er im Mittel etwa alle 100 Tage ausgelost wird, dauert das etwa 100*99 Tage (etwas mehr als 27 Jahre). 

In Wahrheit dauert es noch länger, weil - besonders in der Endphase - nicht notwendigerweise zwischen zwei Besuchen des "Zählers" ein verbliebener Ungezählter den Raum betreten hat.


'''Verbesserung 1:'''

Schneller geht es, wenn der "Zähler" nicht bei der Besprechung direkt bestimmt wird. Stattdessen kann man übereinkommen, dass derjenige, der am 2. Tag in die Kammer geführt wird, automatisch die Funktion "Zähler" übernimmt.
Der Zähler betritt damit das Zimmer zum ersten Mal am 2. Tag anstatt sonst durchschnittlich am 50. Tag. Das erspart 48 Tage Wartezeit.


'''Verbesserung 2:'''

Noch schneller geht es, wenn die Funktion des Zählers demjenigen übertragen wird, der zuerst ein zweites Mal in die Kammer kommt. 

Dazu wird der Glühbirne in den ersten 100 Tagen eine andere Bedeutung zugeordnet:

# Der Häftling von Tag 1 schaltet die Glühbirne ein. Er betrachtet sich als gezählt.
# Jeder weitere Häftling, der die Glühbirne eingeschaltet vorfindet, betrachtet sich ebenfalls als gezählt. Er lässt die Glühbirne unverändert.
# Sobald ein Häftling zum zweiten Mal in den Raum kommt, schaltet er die Glühbirne aus. Er weiß, dass er der Zähler ist und kennt die Anzahl der Häftlinge, die sich schon als gezählt betrachten können, an Hand der Tagesnummer.
# Jeder weitere Häftling, der bis zum Tag 100 den Raum betritt, lässt die Glühbirne unverändert.
# Wer in den ersten 100 Tagen die Glühbirne einmal in eingeschaltetem Zustand gesehen hat, gilt als gezählt.

Ab Tag 101 beginnt das "übliche" Verfahren, wo jeder noch nicht gezählte durch Einschalten der Glühbirne signalisiert, dass er gezählt werden möchte.

Im Durchschnitt kommt nach etwa 13 Tagen ein Häftling zum zweiten Mal in die Kammer. Der Rest der ersten 100 Tage vergeht zwar ungenutzt, der Zähler hat sich durch diesen Trick aber ca. 12 Zählungen, also 1200 Tage, erspart.


'''Verbesserung 3:'''

Anstatt '''einer''' Vorlaufperiode von 100 Tagen (siehe Verbesserung 2) könnte man davon auch mehrere machen. 

Untersuchungen dazu wären hier noch zu ergänzen.</text>
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  <title>Lösung4 von Gefangene und Glühbirne</title>
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  <title>Gefangene und Glühbirne, Lösung 1</title>
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    <text bytes="473" xml:space="preserve">[[Kategorie:Denksport_Loesung]]

Dies ist die Lösung 1 von Aufgabe [[Gefangene und Glühbirne]].

"Glühbirne als Teilelager":

Der erste Gefangene schraubt die Glühbirne aus der Fassung und zerlegt sie in 100 Teile. Einen Teil nimmt er selbst mit.

Jeder Gefangene, der noch nie ein Teil genommen hat, nimmt eines aus dem Raum mit, sobald er selbst dorthin geführt wird. Derjenige, der das letzte Teil wegnimmt, verkündet, dass alle anderen schon einmal im Raum waren.</text>
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  <title>Lösung1 von Gefangene und Glühbirne</title>
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  <title>Gefangene und Glühbirne, Lösung 2</title>
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    <text bytes="628" xml:space="preserve">[[Kategorie:Denksport_Loesung]]

Dies ist die Lösung 2 von Aufgabe [[Gefangene und Glühbirne]].

"Hohe Wahrscheinlichkeit":

Alle Gefangenen warten z.B. 1000 Tage ab. Dann verkünden sie, dass alle schon einmal der Kammer mit der Glühbirne waren. 

Die Wahrscheinlichkeit, dass das falsch ist, ist 0,00430791.

(Herleitung: Die Wahrscheinlichkeit, dass Häftling Nr. 1 in dieser Zeit niemals in die Kammer geführt wurde, ist p = (1-1/100)^1000 = 0,0000431.
Die Wahrscheinlichkeit, dass Häftling Nr. 1 oder Häftling Nr. 2 oder ... oder Häftling Nr. 100 niemals in die Kammer geführt wurden, ist 1-(1-p)^100 = 0,00430791.)</text>
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  <title>Lösung2 von Gefangene und Glühbirne</title>
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  <title>Gefangene und Glühbirne, Lösung 5</title>
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    <text bytes="2524" xml:space="preserve">[[Kategorie:Denksport_Loesung]]
Voraussetzung für diese Lösung ist, dass jeder die Tage sauber mitzählen kann.

Es werden 10 Ausschalter in 21 Tagen bestimmt, der erste zählt ab Tag 3 (dieser kann erkennen, ob vor ihm keiner, einer oder zwei da waren - je nach Stellung des Lichtschalters). Derjenige, der am Tag 5 hereingeführt wird, ist der nächste Ausschalter, derjenige, der am Tag 7 hereingeführt wird, der übernächste usf.

Alle übrigen schalten das Licht einmal ein, nämlich sobald sie erstmals in das dunkle Zimmer treten. Vorläufig haben sie nichts anderes zu tun.

Immer wieder werden nun die Ausschalter (oder Ausschalterinnen) in das Zimmer treten, die während den ersten 1257 Tagen zählen dürfen und ab dem 1258. Tag ein Zeichen geben sollen. 

Sofern jeder Ausschalter in "seinem" Zeitabschnitt das Licht eingeschaltet vorgefunden hat, weiss er, dass jemand hier war, der das erste Mal das Licht einschaltete.

Ab dem Tag 21 bis zum Tag 1257 zählen die Ausschalter immer plus eins, wenn sie ins helle Zimmer geführt werden, bzw. plus 0, wenn sie es dunkel antreffen, und das Licht muss immer dann abgeschaltet sein, wenn ein Ausschalter das Zimmer verlässt, es sei denn, der Ausschalter habe bereits bis neun plus sich selbst gezählt, höre auf zu zählen und lasse das Licht, wie es ist. (Möglich ist natürlich, dass jemand zwei Ausschalter zu spielen hat. Dann zählt er eben bis 19. Aber das ist unwahrscheinlich.)

Ab Tag 1257 sind wahrscheinlich alle ausser die Ausschalter gezählt; an diesem Tag wird das Licht gelöscht, und es sollen die Ausschalter zu Einschaltern werden. 
Nach Einschalter 1, der nach zehn Tagen zu erwarten ist, gibt man noch 20 Tage hinzu für etwa 19-20 mögliche Beobachtende. Das gibt 30 Tage. Am Tag 30 nach jenem Wechseltag wird das Licht gelöscht.
Bei Einschalter Nr. 2-7 wird zusätzlich zu den 20-70 Tagen jedesmal 100 Tage mit Auslöschen des Lichtes gewartet, um diese 19-20 wissenden Leute als Beobachtende zu behalten. Nach Nr. 8 und 9 lässt man es bei 50 Tagen bewenden, sodass wahrscheinlich nach Nr. 8 etwa 9 und nach Nr. 9 etwa 4 Beobachtende übrigbleiben; wenn es noch 4 Beobachtende sind, gibt das nach dem 10. Einschalter noch etwa 25 Tage, die hinzukommen, bis einer von denen wahrscheinlich hier ist. Wer als erster 10 Mal in den abgesprochenen Zeiträumen das Licht brennend gefunden hat, der mag die Freiheit verlangen.

Der Erwartungswert bei dieser Lösung ist demgemäss bei 1257 plus 1195 Tagen. Das sind dann knapp sieben Jahre.</text>
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    <text bytes="2524" xml:space="preserve">[[Kategorie:Denksport_Loesung]]
Voraussetzung für diese Lösung ist, dass jeder die Tage sauber mitzählen kann.

Es werden 10 Ausschalter in 21 Tagen bestimmt, der erste zählt ab Tag 3 (dieser kann erkennen, ob vor ihm keiner, einer oder zwei da waren - je nach Stellung des Lichtschalters). Derjenige, der am Tag 5 hereingeführt wird, ist der nächste Ausschalter, derjenige, der am Tag 7 hereingeführt wird, der übernächste usf.

Alle übrigen schalten das Licht einmal ein, nämlich sobald sie erstmals in das dunkle Zimmer treten. Vorläufig haben sie nichts anderes zu tun.

Immer wieder werden nun die Ausschalter (oder Ausschalterinnen) in das Zimmer treten, die während den ersten 1257 Tagen zählen dürfen und ab dem 1258. Tag ein Zeichen geben sollen. 

Sofern jeder Ausschalter in "seinem" Zeitabschnitt das Licht eingeschaltet vorgefunden hat, weiss er, dass jemand hier war, der das erste Mal das Licht einschaltete.

Ab dem Tag 21 bis zum Tag 1257 zählen die Ausschalter immer plus eins, wenn sie ins helle Zimmer geführt werden, bzw. plus 0, wenn sie es dunkel antreffen, und das Licht muss immer dann abgeschaltet sein, wenn ein Ausschalter das Zimmer verlässt, es sei denn, der Ausschalter habe bereits bis neun plus sich selbst gezählt, höre auf zu zählen und lasse das Licht, wie es ist. (Möglich ist natürlich, dass jemand zwei Ausschalter zu spielen hat. Dann zählt er eben bis 19. Aber das ist unwahrscheinlich.)

Ab Tag 1257 sind wahrscheinlich alle ausser die Ausschalter gezählt; an diesem Tag wird das Licht gelöscht, und es sollen die Ausschalter zu Einschaltern werden. 
Nach Einschalter 1, der nach zehn Tagen zu erwarten ist, gibt man noch 20 Tage hinzu für etwa 19-20 mögliche Beobachtende. Das gibt 30 Tage. Am Tag 30 nach jenem Wechseltag wird das Licht gelöscht.
Bei Einschalter Nr. 2-7 wird zusätzlich zu den 20-70 Tagen jedesmal 100 Tage mit Auslöschen des Lichtes gewartet, um diese 19-20 wissenden Leute als Beobachtende zu behalten. Nach Nr. 8 und 9 lässt man es bei 50 Tagen bewenden, sodass wahrscheinlich nach Nr. 8 etwa 9 und nach Nr. 9 etwa 4 Beobachtende übrigbleiben; wenn es noch 4 Beobachtende sind, gibt das nach dem 10. Einschalter noch etwa 25 Tage, die hinzukommen, bis einer von denen wahrscheinlich hier ist. Wer als erster 10 Mal in den abgesprochenen Zeiträumen das Licht brennend gefunden hat, der mag die Freiheit verlangen.

Der Erwartungswert bei dieser Lösung ist demgemäss bei 1257 plus 1195 Tagen. Das sind dann knapp sieben Jahre.</text>
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    <text bytes="2591" xml:space="preserve">[[Kategorie:Denksport_Loesung]]

Dies ist die Lösung 5 von Aufgabe [[Gefangene und Glühbirne]].

Voraussetzung für diese Lösung ist, dass jeder die Tage sauber mitzählen kann.

Es werden 10 Ausschalter in 21 Tagen bestimmt, der erste zählt ab Tag 3 (dieser kann erkennen, ob vor ihm keiner, einer oder zwei da waren - je nach Stellung des Lichtschalters). Derjenige, der am Tag 5 hereingeführt wird, ist der nächste Ausschalter, derjenige, der am Tag 7 hereingeführt wird, der übernächste usf.

Alle übrigen schalten das Licht einmal ein, nämlich sobald sie erstmals in das dunkle Zimmer treten. Vorläufig haben sie nichts anderes zu tun.

Immer wieder werden nun die Ausschalter (oder Ausschalterinnen) in das Zimmer treten, die während den ersten 1257 Tagen zählen dürfen und ab dem 1258. Tag ein Zeichen geben sollen. 

Sofern jeder Ausschalter in "seinem" Zeitabschnitt das Licht eingeschaltet vorgefunden hat, weiss er, dass jemand hier war, der das erste Mal das Licht einschaltete.

Ab dem Tag 21 bis zum Tag 1257 zählen die Ausschalter immer plus eins, wenn sie ins helle Zimmer geführt werden, bzw. plus 0, wenn sie es dunkel antreffen, und das Licht muss immer dann abgeschaltet sein, wenn ein Ausschalter das Zimmer verlässt, es sei denn, der Ausschalter habe bereits bis neun plus sich selbst gezählt, höre auf zu zählen und lasse das Licht, wie es ist. (Möglich ist natürlich, dass jemand zwei Ausschalter zu spielen hat. Dann zählt er eben bis 19. Aber das ist unwahrscheinlich.)

Ab Tag 1257 sind wahrscheinlich alle ausser die Ausschalter gezählt; an diesem Tag wird das Licht gelöscht, und es sollen die Ausschalter zu Einschaltern werden. 
Nach Einschalter 1, der nach zehn Tagen zu erwarten ist, gibt man noch 20 Tage hinzu für etwa 19-20 mögliche Beobachtende. Das gibt 30 Tage. Am Tag 30 nach jenem Wechseltag wird das Licht gelöscht.
Bei Einschalter Nr. 2-7 wird zusätzlich zu den 20-70 Tagen jedesmal 100 Tage mit Auslöschen des Lichtes gewartet, um diese 19-20 wissenden Leute als Beobachtende zu behalten. Nach Nr. 8 und 9 lässt man es bei 50 Tagen bewenden, sodass wahrscheinlich nach Nr. 8 etwa 9 und nach Nr. 9 etwa 4 Beobachtende übrigbleiben; wenn es noch 4 Beobachtende sind, gibt das nach dem 10. Einschalter noch etwa 25 Tage, die hinzukommen, bis einer von denen wahrscheinlich hier ist. Wer als erster 10 Mal in den abgesprochenen Zeiträumen das Licht brennend gefunden hat, der mag die Freiheit verlangen.

Der Erwartungswert bei dieser Lösung ist demgemäss bei 1257 plus 1195 Tagen. Das sind dann knapp sieben Jahre.</text>
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    <text bytes="2592" xml:space="preserve">[[Kategorie:Denksport_Loesung]]

Dies ist die Lösung 5 von Aufgabe [[Gefangene und Glühbirne]].

Voraussetzung für diese Lösung ist, dass jeder die Tage sauber mitzählen kann.

Es werden 10 Ausschalter in 21 Tagen bestimmt, der erste zählt ab Tag 3 (dieser kann erkennen, ob vor ihm keiner, einer oder zwei da waren - je nach Stellung des Lichtschalters). Derjenige, der am Tag 5 hereingeführt wird, ist der nächste Ausschalter, derjenige, der am Tag 7 hereingeführt wird, der übernächste usf.

Alle übrigen schalten das Licht einmal ein, nämlich sobald sie erstmals in das dunkle Zimmer treten. Vorläufig haben sie nichts anderes zu tun.

Immer wieder werden nun die Ausschalter (oder Ausschalterinnen) in das Zimmer treten, die während den ersten 1257 Tagen zählen dürfen und ab dem 1258. Tag ein Zeichen geben sollen. 

Sofern jeder Ausschalter in "seinem" Zeitabschnitt das Licht eingeschaltet vorgefunden hat, weiss er, dass jemand hier war, der das erste Mal das Licht einschaltete.

Ab dem Tag 21 bis zum Tag 1257 zählen die Ausschalter immer plus eins, wenn sie ins helle Zimmer geführt werden, bzw. plus 0, wenn sie es dunkel antreffen, und das Licht muss immer dann abgeschaltet sein, wenn ein Ausschalter das Zimmer verlässt, es sei denn, der Ausschalter habe bereits bis neun plus sich selbst gezählt, höre auf zu zählen und lasse das Licht, wie es ist. (Möglich ist natürlich, dass jemand zwei Ausschalter zu spielen hat. Dann zählt er eben bis 19. Aber das ist unwahrscheinlich.)

Ab Tag 1257 sind wahrscheinlich alle ausser den Ausschaltern gezählt; an diesem Tag wird das Licht gelöscht, und es sollen die Ausschalter zu Einschaltern werden. 
Nach Einschalter 1, der nach zehn Tagen zu erwarten ist, gibt man noch 20 Tage hinzu für etwa 19-20 mögliche Beobachtende. Das gibt 30 Tage. Am Tag 30 nach jenem Wechseltag wird das Licht gelöscht.
Bei Einschalter Nr. 2-7 wird zusätzlich zu den 20-70 Tagen jedesmal 100 Tage mit Auslöschen des Lichtes gewartet, um diese 19-20 wissenden Leute als Beobachtende zu behalten. Nach Nr. 8 und 9 lässt man es bei 50 Tagen bewenden, sodass wahrscheinlich nach Nr. 8 etwa 9 und nach Nr. 9 etwa 4 Beobachtende übrigbleiben; wenn es noch 4 Beobachtende sind, gibt das nach dem 10. Einschalter noch etwa 25 Tage, die hinzukommen, bis einer von denen wahrscheinlich hier ist. Wer als erster 10 Mal in den abgesprochenen Zeiträumen das Licht brennend gefunden hat, der mag die Freiheit verlangen.

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  <title>Lösung5 von Gefangene und Glühbirne</title>
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  <title>Gefangene und Glühbirne, Lösung 3</title>
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    <text bytes="1099" xml:space="preserve">[[Kategorie:Denksport_Loesung]]

Dies ist die Lösung 3 von Aufgabe [[Gefangene und Glühbirne]].

"Tage nummerieren, jeder zählt":

Jeder Gefangene erhält eine Nummer von 1 bis 100.
Die Tage werden von 1 bis 100 durchnummeriert, danach beginnt die Zählung wieder bei 1.
Jeder Häftling führt eine Strichliste mit Feldern von 1 bis 100.
Wenn am Tag i (i=1..100) der Häftling mit Nummer i (selbe Nummer!) in die Kammer geführt wird, dann schaltet er das Licht ein. Wenn ein Häftling mit anderer Nummer in die Kammer geführt wird, verläßt er den Raum mit ausgeschaltetem Licht.
Wer in die Kammer geführt wird, prüft zuerst, ob sein Vorgänger das Licht eingeschaltet hatte. Ist das der Fall, kann er auf seiner Strichliste den Häftling mit der Nummer des Vortages abhaken.

Derjenige, dessen Liste zuerst voll ist, spricht die befreienden Worte.

Schneller geht es, wenn jeder auch dann das Licht anschaltet, wenn er weiß, dass der Kollege mit der Nummer von heute bereits im Raum war.

Achtung: Diese Strategie setzt voraus, dass die Häftlinge die einzelnen Tage unterscheiden können.</text>
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  <title>Lösung3 von Gefangene und Glühbirne</title>
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    <comment>hat [[Lösung3 von Gefangene und Glühbirne]] nach [[Gefangene und Glühbirne, Lösung 3]] verschoben: Bessere Übersicht in der Kategorie:Denksport_Loesung, wenn nicht alle Artikel mit "L" (wie "Lösung") beginnen.</comment>
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  <title>Gefangene und Glühbirne</title>
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      <username>Alfred Heiligenbrunner</username>
      <id>23180</id>
    </contributor>
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    <comment>Lösungen direkt aufrufen, nicht über Weiterleitun</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1909" xml:space="preserve">==Aufgabe (100 Gefangene und 1 Glühbirne)==

100 Gefangene werden zu lebenslänglicher Haft verurteilt. Sie erhalten
allerdings eine Chance diese Strafe zu mindern.
Die 100 Gefangenen werden in 100 Einzelzellen untergebracht, von denen aus
keine Möglichkeit besteht mit einem Mithäftling zu kommunizieren. Weiterhin
teilt der Wächter den Gefangenen mit, dass jeden Tag einer von ihnen (per
Zufall) ausgewählt wird, der in einen Raum mit einer Lampe und deren Schalter
geführt wird. Dort darf er den Schalter betätigen. Während dieser Prozedur
besteht ebenfalls keine Möglichkeit zur Kommunikation.

Sobald einer der Gefangenen dem Wächter sagt, dass bereits jeder Häftling
mindestens einmal in diesem Raum war und es stimmt, dann werden alle
entlassen. Wenn es aber einer der Gefangenen behauptet und es nicht stimmt,
dann müssen alle für den Rest ihres Lebens im Gefängnis bleiben!
Welches ist die beste Gewinnstrategie für die Gefangenen?

Alle werden natürlich unendlich alt und sind gleich schlau.

Achja, die Häftlinge haben, '''bevor''' sie weggesperrt werden, die
Möglichkeit, sich abzusprechen! 

Können die Gefangenen ihre Freilassung erreichen? Wenn ja, wie?

===Tipps===


===Lösungen===
[[Gefangene und Glühbirne, Lösung 1]]

[[Gefangene und Glühbirne, Lösung 2]]

[[Gefangene und Glühbirne, Lösung 3]]

[[Gefangene und Glühbirne, Lösung 4]]

[[Gefangene und Glühbirne, Lösung 5]]

===Suchbegriffe===
Gefangene, Glühbirne, Schalter, Information mit 1 bit

===Quellen===
[http://groups.google.com/group/de.sci.mathematik/browse_frm/thread/b1c84097895048f9 Newsgroup de.sci.mathematik, Thread vom 31.Okt 2002]

Spektrum der Wissenschaft, April 2003, S 108 und Juni 2003, S 110

[http://groups.google.com/group/de.rec.denksport/browse_frm/thread/39297a60b61aac1e Newsgroup de.rec.denksport, Thread vom 16.Juni 2003]


===ähnliche Aufgaben===


[[Kategorie:Denksport]]</text>
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  <title>Waage und 12 Kugeln, Lösung</title>
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    <text bytes="2078" xml:space="preserve">[[Kategorie:Denksport_Loesung]]

Dies ist die Lösung von Aufgabe [[Waage und 12 Kugeln]].

Wir denken und die Kugeln mit den Nummern 1,2,...,12 durchnummeriert. 
Bei der ersten Wägung geben wir in die linke Waagschale die Kugeln 2, 4, 10, 11 und in die rechte Waagschale die Kugeln 1, 5, 7, 8. Ähnlich gehen wir bei der zweiten und dritten Wägung vor, siehe folgende Tabelle.

{|  border="2" cellspacing="0" cellpadding="4" rules="all" class="hintergrundfarbe1 rahmenfarbe1" style="margin:1em 1em 1em 0; border-style:solid; border-width:1px; border-collapse:collapse; empty-cells:show; background:#f0a0a0"  
!#	
!links	        
!rechts	
!links schwerer	
!gleich	
!rechts schwerer
|-  bgcolor="#f0f0f0"
|1	||2,4,10,11	||1,5,7,8	|| align="center" | -1	|| align="center" | 0	|| align="center" | +1
|- bgcolor="#f0f0f0"
|2	||3,4,6,7	||2,5,11,12	|| align="center" | -3	|| align="center" | 0	|| align="center" | +3
|- bgcolor="#f0f0f0"
|3	||5,8,9,10	||6,7,11,12	|| align="center" | -9	|| align="center" | 0	|| align="center" | +9
|}

Wenn die erste Wägung ergibt, dass die linke Seite schwerer ist, merken wir uns -1, wenn die rechte Seite schwerer ist, merken wir uns +1, und wenn beide Seiten gleich schwer sind, merken wir uns 0.

Von der zweiten Wägung merken wir uns -3, 0 oder +3, je nachdem ob die linke Seite schwerer, gleich oder leichter ist als die rechte.

Ähnlich vermerken wir uns aus der dritten Wägung -9, 0 oder +9. Siehe obenstehende Tabelle.

Wenn wir schließlich die drei Wäge-Ergebnisse addieren, erhalten wir eine Nummer p zwischen -12 und +12. Der Absolutwert von p gibt die Nummer der abweichenden Kugel an. Wenn p in { 1,  2,  -3,  -4,  -5,  6,  7,  -8,  -9,  -10,  11,  12} liegt, ist die Kugel schwerer. Sonst, wenn p einen der Werte   -1,  -2,  3,  4,  5,  -6,  -7,  8,  9,  10,  -11 oder  -12 annimmt, ist sie leichter als die anderen.

Wenn beispielsweise die Kugel 5 schwerer ist, erhalten wir aus der ersten Wägung +1, aus der zweiten +3 und aus der dritten -9. Und die Summe ist p = +1+3-9 = -5, was bedeutet, daß die Kugel 5 schwerer ist.</text>
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  <title>Lösung von Waage und 12 Kugeln</title>
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    <comment>hat [[Lösung von Waage und 12 Kugeln]] nach [[Waage und 12 Kugeln, Lösung]] verschoben: Verschoben, damit nicht alle Lösungen unter "L" auftauchen.</comment>
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  <title>Wackeltisch</title>
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      <username>Alfred Heiligenbrunner</username>
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    <comment>/* Lösung */ Lösung auf eigenständige Seite verlegt</comment>
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    <text bytes="848" xml:space="preserve">==Der wackelnde Tisch==
Ein geometrisch perfekter vierbeiniger quadratischer Tisch steht auf einem leicht unebenen, aber stetigen, Boden und wackelt. Wie kann man das Wackeln beheben, ohne weitere Hilfsmittel wie Bierdeckel oder ähnliches zu benutzen? 
===Tipp===
Den Tisch drehen und Zwischenwertsatz anwenden. Dabei sind sinnvolle vereinfachende Annahmen zu treffen.
===Lösung===
[[Wackeltisch, Lösung]]

===Kommentar===
Das ganze funktioniert erstaunlich gut. Meistens genügt es schon den Tisch um einige Zentimeter in die eine oder andere Richtung zu drehen, um das Wackeln abzustellen.
Damit kann man Nichtmathematiker im Wirtshaus beeindrucken, wie sinnvoll und praktisch doch Mathematik ist. 
===Suchbegriffe===
Zwischenwertsatz, Wirtshausanwendung, wackelnder Tisch
===Quelle===
unbekannt

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Denksport]]</text>
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    <comment>/* Der wackelnde Tisch */</comment>
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    <text bytes="848" xml:space="preserve">==Der wackelnde Tisch==
Ein geometrisch perfekter vierbeiniger quadratischer Tisch steht auf einem leicht unebenen (aber stetigen) Boden und wackelt. Wie kann man das Wackeln beheben, ohne weitere Hilfsmittel wie Bierdeckel oder ähnliches zu benutzen? 
===Tipp===
Den Tisch drehen und Zwischenwertsatz anwenden. Dabei sind sinnvolle vereinfachende Annahmen zu treffen.
===Lösung===
[[Wackeltisch, Lösung]]

===Kommentar===
Das ganze funktioniert erstaunlich gut. Meistens genügt es schon den Tisch um einige Zentimeter in die eine oder andere Richtung zu drehen, um das Wackeln abzustellen.
Damit kann man Nichtmathematiker im Wirtshaus beeindrucken, wie sinnvoll und praktisch doch Mathematik ist. 
===Suchbegriffe===
Zwischenwertsatz, Wirtshausanwendung, wackelnder Tisch
===Quelle===
unbekannt

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Denksport]]</text>
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  <title>Wackeltisch, Lösung</title>
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    <text bytes="1660" xml:space="preserve">[[Kategorie:Denksport_Loesung]]

Dies ist die Lösung von Aufgabe [[Wackeltisch]].

Der Boden wird durch den Graphen einer stetigen Funktion &lt;math&gt;f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}&lt;/math&gt; beschrieben. Die vier Fußpunkte des Tisches werden im Uhrzeigersinn mit &lt;math&gt;A,B,C,D\in\mathbb{R}^3&lt;/math&gt; benannt. &lt;math&gt;ABCD\,&lt;/math&gt; bildet ein perfektes Quadrat im &lt;math&gt;\mathbb{R}^3&lt;/math&gt;. Zur Zeit &lt;math&gt;t=-1\,&lt;/math&gt; berühren drei Fußpunkte den Boden, sagen wir &lt;math&gt;A\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;B\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;C\,&lt;/math&gt;. Der vierte Fuß &lt;math&gt;D\,&lt;/math&gt; schwebt über dem Boden. Dreht man den Tisch um die Achse &lt;math&gt;AB\,&lt;/math&gt;, so dass zur Zeit &lt;math&gt;t=0\,&lt;/math&gt; der Fußpunkt &lt;math&gt;D\,&lt;/math&gt; den Boden berührt, liegt &lt;math&gt;C\,&lt;/math&gt; notwendigerweise unterhalb des Graphen (Voraussetzung ist das der Gradient von &lt;math&gt;f\,&lt;/math&gt; nicht zu groß ist, z.B. &lt;math&gt;|\nabla f|\leq\frac12&lt;/math&gt;). Wir drehen den Tisch nun um 90 Grad, so dass &lt;math&gt;A\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;B\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;D\,&lt;/math&gt; die ganze Zeit den Boden berühren und am Ende, zur Zeit &lt;math&gt;t=1\,&lt;/math&gt; der Fußpunkt &lt;math&gt;A\,&lt;/math&gt; sich an der ursprünglichen Position von &lt;math&gt;B\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;B\,&lt;/math&gt; bei &lt;math&gt;C\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;D\,&lt;/math&gt; bei &lt;math&gt;A\,&lt;/math&gt; befindet. Somit muss sich auch &lt;math&gt;C\,&lt;/math&gt; an der &lt;math&gt;t=-1\,&lt;/math&gt;-Position von &lt;math&gt;D\,&lt;/math&gt; befinden, nämlich oberhalb des Bodens. Da sich &lt;math&gt;C\,&lt;/math&gt; zur Zeit &lt;math&gt;t=0\,&lt;/math&gt; unterhalb, zur Zeit &lt;math&gt;t=1\,&lt;/math&gt; jedoch oberhalb des Bodens befindet, muss nach dem Zwischenwertsatz eine Position durchlaufen werden in  der &lt;math&gt;C\,&lt;/math&gt; den Boden berührt. So aufgestellt, wackelt der Tisch nicht!</text>
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    <text bytes="1662" xml:space="preserve">[[Kategorie:Denksport_Loesung]]

Dies ist die Lösung von Aufgabe [[Wackeltisch]].

Der Boden wird durch den Graphen einer stetigen Funktion &lt;math&gt;f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}&lt;/math&gt; beschrieben. Die vier Fußpunkte des Tisches werden im Uhrzeigersinn mit &lt;math&gt;A,B,C,D\in\mathbb{R}^3&lt;/math&gt; benannt. &lt;math&gt;ABCD\,&lt;/math&gt; bildet ein perfektes Quadrat im &lt;math&gt;\mathbb{R}^3&lt;/math&gt;. Zur Zeit &lt;math&gt;t=-1\,&lt;/math&gt; berühren drei Fußpunkte den Boden, sagen wir &lt;math&gt;A\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;B\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;C\,&lt;/math&gt;. Der vierte Fuß &lt;math&gt;D\,&lt;/math&gt; schwebt über dem Boden. Dreht man den Tisch um die Achse &lt;math&gt;AB\,&lt;/math&gt;, so dass zur Zeit &lt;math&gt;t=0\,&lt;/math&gt; der Fußpunkt &lt;math&gt;D\,&lt;/math&gt; den Boden berührt, liegt &lt;math&gt;C\,&lt;/math&gt; notwendigerweise unterhalb des Graphen (Voraussetzung ist, dass der Gradient von &lt;math&gt;f\,&lt;/math&gt; nicht zu groß ist, z.B. &lt;math&gt;|\nabla f|\leq\frac12&lt;/math&gt;). Wir drehen den Tisch nun um 90 Grad, so dass &lt;math&gt;A\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;B\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;D\,&lt;/math&gt; die ganze Zeit den Boden berühren und am Ende, zur Zeit &lt;math&gt;t=1\,&lt;/math&gt; der Fußpunkt &lt;math&gt;A\,&lt;/math&gt; sich an der ursprünglichen Position von &lt;math&gt;B\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;B\,&lt;/math&gt; bei &lt;math&gt;C\,&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;D\,&lt;/math&gt; bei &lt;math&gt;A\,&lt;/math&gt; befindet. Somit muss sich auch &lt;math&gt;C\,&lt;/math&gt; an der &lt;math&gt;t=-1\,&lt;/math&gt;-Position von &lt;math&gt;D\,&lt;/math&gt; befinden, nämlich oberhalb des Bodens. Da sich &lt;math&gt;C\,&lt;/math&gt; zur Zeit &lt;math&gt;t=0\,&lt;/math&gt; unterhalb, zur Zeit &lt;math&gt;t=1\,&lt;/math&gt; jedoch oberhalb des Bodens befindet, muss nach dem Zwischenwertsatz eine Position durchlaufen werden in  der &lt;math&gt;C\,&lt;/math&gt; den Boden berührt. So aufgestellt, wackelt der Tisch nicht!</text>
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  <title>Waage und 12 Kugeln</title>
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    <text bytes="952" xml:space="preserve">==Aufgabe (12 Kugeln, alle bis auf eine gleich schwer)==

Wir haben 12 Kugeln, die alle dasselbe Gewicht haben bis auf eine, die entweder schwerer oder leichter ist als die anderen. Wir wissen nicht, welche Kugel die abweichende ist und ob sie leichter ist oder schwerer. Aber beide Informationen kann man mit drei Wägungen auf einer Balkenwaage herausfinden.

===Tipps===
Häufig werden Lösungen angegeben, wo einmal die Wägung 1 durchgeführt wird und abhängig vom Ergebnis die Kugeln für die zweite Wägung festgelegt werden. Ähnlich werden dann die Kugeln für die dritte Wägung aus den Ergebnissen der zweiten Wägung über Fallunterscheidungen bestimmt.

Es gibt aber auch Lösungen, wo ein Versuchsplan von vornherein festgelegt werden kann.

===Lösung===
[[Bearbeiten von Waage und 12 Kugeln, Lösung]]

===Suchbegriffe===
Kugeln, Waage, Balkenwaage, 12, 3, Wägungen

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===


[[Kategorie:Denksport]]</text>
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Wir haben 12 Kugeln, die alle dasselbe Gewicht haben bis auf eine, die entweder schwerer oder leichter ist als die anderen. Wir wissen nicht, welche Kugel die abweichende ist und ob sie leichter ist oder schwerer. Aber beide Informationen kann man mit drei Wägungen auf einer Balkenwaage herausfinden.

===Tipps===
Häufig werden Lösungen angegeben, wo einmal die Wägung 1 durchgeführt wird und abhängig vom Ergebnis die Kugeln für die zweite Wägung festgelegt werden. Ähnlich werden dann die Kugeln für die dritte Wägung aus den Ergebnissen der zweiten Wägung über Fallunterscheidungen bestimmt.

Es gibt aber auch Lösungen, wo ein Versuchsplan von vornherein festgelegt werden kann.

===Lösung===
[[Waage und 12 Kugeln, Lösung]]

===Suchbegriffe===
Kugeln, Waage, Balkenwaage, 12, 3, Wägungen

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===


[[Kategorie:Denksport]]</text>
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Wir haben 12 Kugeln, die alle dasselbe Ausehen haben nur eine ist entweder schwerer oder leichter ist als die anderen. Wir wissen nicht, welche Kugel die abweichende ist und ob sie leichter ist oder schwerer. Aber beide Informationen kann man mit drei Wägungen auf einer Balkenwaage herausfinden.

===Tipps===
Häufig werden Lösungen angegeben, wo einmal die Wägung 1 durchgeführt wird und abhängig vom Ergebnis die Kugeln für die zweite Wägung festgelegt werden. Ähnlich werden dann die Kugeln für die dritte Wägung aus den Ergebnissen der zweiten Wägung über Fallunterscheidungen bestimmt.

Es gibt aber auch Lösungen, wo ein Versuchsplan von vornherein festgelegt werden kann.

===Lösung===
[[Waage und 12 Kugeln, Lösung]]

===Suchbegriffe===
Kugeln, Waage, Balkenwaage, 12, 3, Wägungen

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===


[[Kategorie:Denksport]]</text>
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    <text bytes="928" xml:space="preserve">==Aufgabe (12 Kugeln, alle bis auf eine gleich schwer)==

Wir haben 12 Kugeln, die alle dasselbe Ausehen haben nur eine ist entweder schwerer oder leichter als die anderen. Wir wissen nicht, welche Kugel die abweichende ist und ob sie leichter ist oder schwerer. Aber beide Informationen kann man mit drei Wägungen auf einer Balkenwaage herausfinden.

===Tipps===
Häufig werden Lösungen angegeben, wo einmal die Wägung 1 durchgeführt wird und abhängig vom Ergebnis die Kugeln für die zweite Wägung festgelegt werden. Ähnlich werden dann die Kugeln für die dritte Wägung aus den Ergebnissen der zweiten Wägung über Fallunterscheidungen bestimmt.

Es gibt aber auch Lösungen, wo ein Versuchsplan von vornherein festgelegt werden kann.

===Lösung===
[[Waage und 12 Kugeln, Lösung]]

===Suchbegriffe===
Kugeln, Waage, Balkenwaage, 12, 3, Wägungen

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===


[[Kategorie:Denksport]]</text>
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    <text bytes="829" xml:space="preserve">==Aufgabe (12 Kugeln, alle bis auf eine gleich schwer)==

Wir haben 12 Kugeln, die alle dasselbe Ausehen haben nur eine ist entweder schwerer oder leichter als die anderen. Welche dies ist kann man mit drei Wägungen auf einer Balkenwaage herausfinden.

===Tipps===
Häufig werden Lösungen angegeben, wo einmal die Wägung 1 durchgeführt wird und abhängig vom Ergebnis die Kugeln für die zweite Wägung festgelegt werden. Ähnlich werden dann die Kugeln für die dritte Wägung aus den Ergebnissen der zweiten Wägung über Fallunterscheidungen bestimmt.

Es gibt aber auch Lösungen, wo ein Versuchsplan von vornherein festgelegt werden kann.

===Lösung===
[[Waage und 12 Kugeln, Lösung]]

===Suchbegriffe===
Kugeln, Waage, Balkenwaage, 12, 3, Wägungen

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===


[[Kategorie:Denksport]]</text>
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  <title>Krüge, 3 und 5 gibt 4</title>
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    <text bytes="407" xml:space="preserve">[[Kategorie:Denksport]]
==Aufgabe (Krüge, 3 und 5 gibt 4)==

Du stehst vor einem See und hast zwei Krüge in der Hand. Der eine fasst genau 3 Liter, der andere 5 Liter. 

Wie misst du genau 4 Liter?

===Tipps===

===Lösungen===
[[Krüge, 3 und 5 gibt 4, Lösung 1]]

[[Krüge, 3 und 5 gibt 4, Lösung 2]]

===Suchbegriffe===
Gefäß, Krug, Eimer, Wasser, 3, 4, 5, 

===Quellen===

===ähnliche Aufgaben===</text>
    <sha1>f1ff0a6361453926ba4f59c1aa06696d2395201d</sha1>
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  <title>Krüge, 3 und 5 gibt 4, Lösung 1</title>
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      <username>Alfred Heiligenbrunner</username>
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    </contributor>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="546" xml:space="preserve">[[Kategorie:Denksport_Loesung]]

Dies ist die Lösung 1 von Aufgabe [[Krüge, 3 und 5 gibt 4]].

* Krug mit 5 Liter füllen. 
* 3 Liter davon in den 3-Liter-Krug umfüllen. (Im 5-Liter-Krug bleiben 2 Liter.)
* Den 3-Liter-Krug leeren.
* Die verbliebenen 2 Liter aus dem 5-Liter-Krug in den 3-Liter-Krug umfüllen. (Im 3-Liter-Krug sind jetzt 2 Liter.)
* Den 5-Liter-Krug neu füllen.
* Aus dem 5-Liter-Krug soviel Wasser in den 3-Liter-Krug umfüllen, bis dieser voll ist. Das ist genau 1 Liter. 
- Jetzt verbleiben im 5-Liter-Krug genau 4 Liter.</text>
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  <title>Krüge, 3 und 5 gibt 4, Lösung 2</title>
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    <contributor>
      <username>Alfred Heiligenbrunner</username>
      <id>23180</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="628" xml:space="preserve">[[Kategorie:Denksport_Loesung]]

Dies ist die Lösung 2 von Aufgabe [[Krüge, 3 und 5 gibt 4]].

* 3-Liter-Krug füllen. Die gesamten 3 Liter in den 5-Liter-Krug umfüllen. (Im 5-Liter-Krug sind jetzt 3 Liter.)
* 3-Liter-Krug erneut füllen. 
* Aus dem 3-Liter-Krug soviel Wasser in den 5-Liter-Krug dazufüllen, bis dieser voll ist. (Im 3-Liter-Krug verbleibt 1 Liter.)
* Den 5-Liter-Krug leeren.
* Den 1 Liter aus dem 3-Liter-Krug in den 5-Liter-Krug umfüllen. (Im 5-Liter-Krug ist jetzt 1 Liter.)
* Den 3-Liter-Krug füllen und den gesamten Inhalt in den 5-Liter-Krug dazufüllen.
- Im 5-Liter-Krug sind jetzt genau 4 Liter.</text>
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  <title>Grundrechnungsarten auf 1, 2, 3, 4, Lösung</title>
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    <timestamp>2006-08-12T14:02:47Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>Alfred Heiligenbrunner</username>
      <id>23180</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="911" xml:space="preserve">[[Kategorie:Denksport_Loesung]]

Dies ist die Lösung von Aufgabe [[Grundrechnungsarten auf 1, 2, 3, 4]].

Fortlaufend bis 28 können ganzzahlige Werte erreicht werden. 
Der maximal erreichbare Wert ist 36.

Mögliche Lösungen bis ... sind:
*  4 = 1 + 2 - 3 + 4
*  5 = (1 + 2)*3 - 4
*  6 = 4 + 3 + 1 - 2
*  7 = 4 + 3*(2-1)
*  8 = 4 * (3+1-2)
*  9 = 4 + 3 + 2 * 1
* 10 = 4 + 3 + 2 + 1
* 11 = 1 * 2 * 4 + 3
* 12 = 4 * 3 * (2-1)
* 13 = 4 + 3 * (2+1)
* 14 = (1 + 3)*4 - 2
* 15 = (1 + 2)*4 + 3
* 16 = 4 * (3+2-1)
* 17 = 3 * (4 + 1) + 2
* 18 = 3 * (4 + 2*1)
* 19 = 3 * (4 + 2) + 1
* 20 = 4 * (3 + 2*1)
* 21 = 4 * (3 + 2) + 1
* 22 = 2 * (3 * 4 - 1)
* 23 = 2 * 3 * 4 - 1
* 24 = 2 * 3 * 4 * 1
* 25 = 2 * 3 * 4 + 1    
* 26 = 2 * (3 * 4 + 1)
* 27 = 3 * (2 * 4 + 1)
* 28 = 4 * (1 + 2*3)
* 29 ist nicht möglich

* 30 = 3 * 2 * (1 + 4)
* 32 = 4 * 2 * (1 + 3)
* 36 = 4 * 3 * (1 + 2)


Alternativen:
* 25 = (1 + 4) * (2 + 3)</text>
    <sha1>82b8258bd043ba5157320efbd0e148e33e5f5ff1</sha1>
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    <contributor>
      <username>Alfred Heiligenbrunner</username>
      <id>23180</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1900" xml:space="preserve">[[Kategorie:Denksport_Loesung]]

Dies ist die Lösung von Aufgabe [[Grundrechnungsarten auf 1, 2, 3, 4]].

Fortlaufend bis 28 können ganzzahlige Werte erreicht werden. 
Der maximal erreichbare Wert ist 36.

Mögliche Lösungen sind:
*  0 = 4 - 2 + 1 - 3
*  1 = 3 * 2 - 4 - 1
*  2 = 3 * 2 - 4 * 1
*  3 = 3 * 2 - 4 + 1 
*  4 = 4 + 3 - 2 - 1
*  5 = 4 + 3 - 2 * 1
*  6 = 4 + 3 - 2 + 1
*  7 = 4 + 3 * (2-1)
*  8 = 4 + 3 + 2 - 1
*  9 = 4 + 3 + 2 * 1
* 10 = 4 + 3 + 2 + 1
* 11 = 4 * 2 + 3 * 1 
* 12 = 4 * 2 + 3 + 1 
* 13 = 4 * 3 + 2 - 1
* 14 = 4 * 3 + 2 * 1
* 15 = 4 * 3 + 2 + 1
* 16 = 4 * (3+2-1)
* 17 = 3 * (4 + 2) - 1
* 18 = 3 * (4 + 2) * 1
* 19 = 3 * (4 + 2) + 1
* 20 = 4 * (3 + 2) * 1
* 21 = 4 * (3 + 2) + 1
* 22 = 2 * (3 * 4 - 1)
* 23 = 2 * 3 * 4 - 1
* 24 = 2 * 3 * 4 * 1
* 25 = 2 * 3 * 4 + 1    
* 26 = 2 * (3 * 4 + 1)
* 27 = 3 * (2 * 4 + 1)
* 28 = 4 * (1 + 2 * 3)
* 29 ist nicht möglich

* 30 = 3 * 2 * (1 + 4)
* 32 = 4 * 2 * (1 + 3)
* 36 = 4 * 3 * (1 + 2)


Alternativen (unter anderem):
*  1 = 1 * 2 + 3 - 4
*  2 = 1 + 2 + 3 - 4
*  2 = (4 - 3) * 2 * 1
*  2 = 4 - 3 - 1 + 2
*  2 = 2 / (4 - 3) / 1
*  2 = 1 - (4 - 3 - 2)
*  2 = (1 + 3)/(4 - 2)
*  2 = (2 + 4) / 3 * 1 
*  2 = 2 * 3 - 4 * 1
*  3 = 1 * 2 + 4 - 3 
*  4 = 1 + 2 - 3 + 4
*  5 = (1 + 2)*3 - 4
*  6 = 4 + 3 + 1 - 2
*  7 = 4 + 3*(2-1)
*  8 = 4 * (3+1-2)
* 11 = 4 * 2 * 1 + 3
* 12 = 4 * 3 * (2-1)
* 13 = 4 + 3 * (2+1)
* 14 = (1 + 3)*4 - 2
* 15 = (1 + 2)*4 + 3
* 17 = 3 * (4 + 1) + 2
* 25 = (1 + 4) * (2 + 3)


-----
Im Allgemeinen bleibt einem nichts übrig, als alle möglichen Werte der Form
:((a o1 b) o2 c) o3 d
und 
:(a o1 b) o2 (c o3 d)
durchzuprobieren.

Dabei geht {a, b, c, d} alle Permutationen der Vorgabewerte {1, 2, 3, 4} durch. 

o1, o2, o3 ist jeweils ein binärer Operator mit z.B. r o1 s = r + s, r - s, s - r, r * s, r / s oder s / r.

Insgesamt sind das 24 [Permutationen] * 6^3 [Operatoren] * 2 [Formen] = 10368 Fälle.</text>
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    <contributor>
      <username>Alfred Heiligenbrunner</username>
      <id>23180</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1946" xml:space="preserve">[[Kategorie:Denksport_Loesung]]

Dies ist die Lösung von Aufgabe [[Grundrechnungsarten auf 1, 2, 3, 4]].

Fortlaufend bis 28 können ganzzahlige Werte erreicht werden. 
Der maximal erreichbare Wert ist 36.

Mögliche Lösungen sind:
*  0 = 4 - 2 + 1 - 3
*  1 = 3 * 2 - 4 - 1
*  2 = 3 * 2 - 4 * 1
*  3 = 3 * 2 - 4 + 1 
*  4 = 4 + 3 - 2 - 1
*  5 = 4 + 3 - 2 * 1
*  6 = 4 + 3 - 2 + 1
*  7 = 4 + 3 * (2-1)
*  8 = 4 + 3 + 2 - 1
*  9 = 4 + 3 + 2 * 1
* 10 = 4 + 3 + 2 + 1
* 11 = 4 * 2 + 3 * 1 
* 12 = 4 * 2 + 3 + 1 
* 13 = 4 * 3 + 2 - 1
* 14 = 4 * 3 + 2 * 1
* 15 = 4 * 3 + 2 + 1
* 16 = 4 * (3+2-1)
* 17 = 3 * (4 + 2) - 1
* 18 = 3 * (4 + 2) * 1
* 19 = 3 * (4 + 2) + 1
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* 21 = 4 * (3 + 2) + 1
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* 23 = 2 * 3 * 4 - 1
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* 26 = 2 * (3 * 4 + 1)
* 27 = 3 * (2 * 4 + 1)
* 28 = 4 * (1 + 2 * 3)
* 29 ist nicht möglich

* 30 = 3 * 2 * (1 + 4)
* 32 = 4 * 2 * (1 + 3)
* 36 = 4 * 3 * (1 + 2)


Alternativen (unter anderem):
*  1 = 1 * 2 + 3 - 4
*  2 = 1 + 2 + 3 - 4
*  2 = (4 - 3) * 2 * 1
*  2 = 4 - 3 - 1 + 2
*  2 = 2 / (4 - 3) / 1
*  2 = 1 - (4 - 3 - 2)
*  2 = (1 + 3)/(4 - 2)
*  2 = (2 + 4) / 3 * 1 
*  2 = 2 * 3 - 4 * 1
*  3 = 1 * 2 + 4 - 3 
*  4 = 1 + 2 - 3 + 4
*  5 = (1 + 2)*3 - 4
*  6 = 4 + 3 + 1 - 2
*  6 = 2 / (4 / 3 - 1)
*  7 = 4 + 3*(2-1)
*  8 = 4 * (3+1-2)
* 11 = 4 * 2 * 1 + 3
* 12 = 4 * 3 * (2-1)
* 12 = 4 / (1 - 2 / 3)
* 13 = 4 + 3 * (2+1)
* 14 = (1 + 3)*4 - 2
* 15 = (1 + 2)*4 + 3
* 17 = 3 * (4 + 1) + 2
* 25 = (1 + 4) * (2 + 3)


-----
Im Allgemeinen bleibt einem nichts übrig, als alle möglichen Werte der Form
:((a o1 b) o2 c) o3 d
und 
:(a o1 b) o2 (c o3 d)
durchzuprobieren.

Dabei geht {a, b, c, d} alle Permutationen der Vorgabewerte {1, 2, 3, 4} durch. 

o1, o2, o3 ist jeweils ein binärer Operator mit z.B. r o1 s = r + s, r - s, s - r, r * s, r / s oder s / r.

Insgesamt sind das 24 [Permutationen] * 6^3 [Operatoren] * 2 [Formen] = 10368 Fälle.</text>
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    <contributor>
      <username>131.128.120.6</username>
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    </contributor>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2350" xml:space="preserve">[[Kategorie:Denksport_Loesung]]

Dies ist die Lösung von Aufgabe [[Grundrechnungsarten auf 1, 2, 3, 4]].

Fortlaufend bis 28 können ganzzahlige Werte erreicht werden. 
Der maximal erreichbare Wert ist 36.

Mögliche Lösungen sind:
*  0 = 4 - 2 + 1 - 3
*  1 = 3 * 2 - 4 - 1
*  2 = 3 * 2 - 4 * 1
*  3 = 3 * 2 - 4 + 1 
*  4 = 4 + 3 - 2 - 1
*  5 = 4 + 3 - 2 * 1
*  6 = 4 + 3 - 2 + 1
*  7 = 4 + 3 * (2-1)
*  8 = 4 + 3 + 2 - 1
*  9 = 4 + 3 + 2 * 1
* 10 = 4 + 3 + 2 + 1
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* 13 = 4 * 3 + 2 - 1
* 14 = 4 * 3 + 2 * 1
* 15 = 4 * 3 + 2 + 1
* 16 = 4 * (3+2-1)
* 17 = 3 * (4 + 2) - 1
* 18 = 3 * (4 + 2) * 1
* 19 = 3 * (4 + 2) + 1
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* 21 = 4 * (3 + 2) + 1
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* 23 = 2 * 3 * 4 - 1
* 24 = 2 * 3 * 4 * 1
* 25 = 2 * 3 * 4 + 1    
* 26 = 2 * (3 * 4 + 1)
* 27 = 3 * (2 * 4 + 1)
* 28 = 4 * (1 + 2 * 3)
* 29 ist nicht möglich

* 30 = 3 * 2 * (1 + 4)
* 32 = 4 * 2 * (1 + 3)
* 36 = 4 * 3 * (1 + 2)


Alternativen (unter anderem):
*  1 = 1 * 2 + 3 - 4
*  2 = 1 + 2 + 3 - 4
*  2 = (4 - 3) * 2 * 1
*  2 = 4 - 3 - 1 + 2
*  2 = 2 / (4 - 3) / 1
*  2 = 1 - (4 - 3 - 2)
*  2 = (1 + 3)/(4 - 2)
*  2 = (2 + 4) / 3 * 1 
*  2 = 2 * 3 - 4 * 1
*  3 = 1 * 2 + 4 - 3 
*  4 = 1 + 2 - 3 + 4
*  5 = (1 + 2)*3 - 4
*  6 = 4 + 3 + 1 - 2
*  6 = 2 / (4 / 3 - 1)
*  7 = 4 + 3*(2-1)
*  8 = 4 * (3+1-2)
* 11 = 4 * 2 * 1 + 3
* 12 = 4 * 3 * (2-1)
* 12 = 4 / (1 - 2 / 3)
* 13 = 4 + 3 * (2+1)
* 14 = (1 + 3)*4 - 2
* 15 = (1 + 2)*4 + 3
* 17 = 3 * (4 + 1) + 2
* 25 = (1 + 4) * (2 + 3)


-----
Im Allgemeinen bleibt einem nichts übrig, als alle möglichen Werte der Form
:((a o1 b) o2 c) o3 d
und 
:(a o1 b) o2 (c o3 d)
durchzuprobieren.

Dabei geht {a, b, c, d} alle Permutationen der Vorgabewerte {1, 2, 3, 4} durch. 

o1, o2, o3 ist jeweils ein binärer Operator mit z.B. r o1 s = r + s, r - s, s - r, r * s, r / s oder s / r.

Insgesamt sind das 24 [Permutationen] * 6^3 [Operatoren] * 2 [Formen] = 10368 Fälle.


Effektiver ist es, nur die vier Operatoren +,-,*,/ zu verwenden, also z.B.

:r o1 s = r + s, r - s, r * s, r / s.

Daf&amp;uuml;r muss man dann aber die f&amp;uuml;nf verschiedenen Klammerungen 

:(a o1 b) o2 (c o3 d)
:(a o1 ( b o2 c )) o3 d
:a o1 (( b o2 c) o3 d )
:a o1 ( b o2 ( c o3 d ))
:(( a o1 b ) o2 ) o3 d

verwenden. Man erh&amp;auml;lt so 

:4! * 4&lt;SUP&gt;3&lt;/SUP&gt; * 5 = 7680 

m&amp;ouml;gliche Kombinationen.</text>
    <sha1>de1944082297c6c5b5bdf61dafa7ae5d3dfe9918</sha1>
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  <title>Grundrechnungsarten auf 1, 2, 3, 4</title>
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    <contributor>
      <username>Alfred Heiligenbrunner</username>
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    </contributor>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="655" xml:space="preserve">==Aufgabe (Grundrechnungsarten auf 1, 2, 3, 4)==

Indem man die Grundrechnungsarten +, -, *, / und Klammern (,  ) auf die Zahlen 1, 2, 3, 4 anwendet, lassen sich relativ viele Zahlen erreichen.

Beispiel:

* 0 = 4 - 2 + 1 - 3
* 1 = 1 * 2 + 3 - 4
* 2 = 1 + 2 + 3 - 4
* 3 = 1 * 2 + 4 - 3 
...
Wie geht es weiter? Wie weit kommt man?

===Tipps===
Die meisten Lösungszahlen haben mehrere Darstellungsmöglichkeiten.
* 3 = (4-(1+2))*3
* 3 = 4-(2/(3-1))
* 3 = (4/1)+2-3
...

===Lösungen===
[[Grundrechnungsarten auf 1, 2, 3, 4, Lösung]]

===Suchbegriffe===
Grundrechnungsarten auf 1, 2, 3, 4

===Quellen===

===ähnliche Aufgaben===


[[Kategorie:Denksport]]</text>
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  <title>Diskussion:Integralrechnung: Fläche unter einer ganzrationalen Funktion</title>
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    <contributor>
      <username>84.139.26.197</username>
      <id>0</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="408" xml:space="preserve">Die Aussage, die der Rechnung folgt, ist mathematisch (als Folgerung) höchst bedenklich. Für diese Aufgabe stimmt die Aussage, aber nur, weil der Graph zwischen 0 und 2 die x-Achse nur bei 0 schneidet.
Das Integral zwischen 0 und 2 beträgt -22/3 FE. Das Minuszeichen bedeutet nur, dass eine eventuell vorhandene Fläche über der x-Achse kleiner ist als die Fläche (oder die Flächen!) unter der x-Achse.</text>
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  <title>Diskussion:Hauptseite</title>
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    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="181" xml:space="preserve">&lt;a href="http://soma-263a2.pro-store.org/buy-cheap-soma.html" title="buy cheap soma"&gt;buy cheap soma&lt;/a&gt;
[URL=http://soma-263a2.pro-store.org/buy-cheap-soma.html]buy cheap soma[/URL]</text>
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      <username>Rieke Hain</username>
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  <title>MediaWiki:Help</title>
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  <title>Diskussion:Waage und 12 Kugeln, Lösung</title>
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    <comment>Unangemessen komplexe Lösung für diese einfache Aufgabe</comment>
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    <text bytes="463" xml:space="preserve">== Unangemessen komplexe Lösung für diese einfache Aufgabe ==

für umfangreichere Aufgabenstellungen mag dieser Ansatz ja genial sein, für die konkrete Aufgabe allerdings geht es auch wesentlich einfacher *gg*

#Wägung:  6 Kugeln links 6 Kugeln rechts --&gt; die schwereren 6 kommen zur
#Wägung:  3 Kugeln links .... na rate mal *gg* die schwereren drei kommen zur
#Wägung:  1x Kugel links, 1x Kugel recht, 1x Kugel darf ausruhen.
* Ergebnis: Na rate mal *gg*</text>
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    <comment>Leider ist die Aufgabe doch nicht so einfach...</comment>
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    <text bytes="1077" xml:space="preserve">== Unangemessen komplexe Lösung für diese einfache Aufgabe ==

für umfangreichere Aufgabenstellungen mag dieser Ansatz ja genial sein, für die konkrete Aufgabe allerdings geht es auch wesentlich einfacher *gg*

#Wägung:  6 Kugeln links 6 Kugeln rechts --&gt; die schwereren 6 kommen zur
#Wägung:  3 Kugeln links .... na rate mal *gg* die schwereren drei kommen zur
#Wägung:  1x Kugel links, 1x Kugel recht, 1x Kugel darf ausruhen.
* Ergebnis: Na rate mal *gg*

=== Leider ist die Aufgabe doch nicht so einfach... ===
...denn die Angabe sagt nicht, ob die ''falsche'' Kugel schwerer oder leichter ist, als die anderen. Daher treffen diese Wägungen keine Aussage darüber, auf welcher Seite sich die ''falsche'' Kugel jeweils befindet.

Die obige Lösung würde nur funktionieren, wenn aus der Angeben bereits bekannt wäre, daß die ''falsche'' Kugel schwerer ist, als die restlichen; in dem Falle könnte man allerdings die schwerere mittels der 3 Wägungen sogar aus einer Menge von 21 Kugeln ermitteln. -- [[Benutzer:83.65.195.13|83.65.195.13]] 02:44, 31. Jan 2007 (UTC)</text>
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  <title>Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing</title>
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    <contributor>
      <username>62.143.221.111</username>
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    </contributor>
    <comment>Rechtschr.korr.</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2267" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Messing ist eine Legierung aus zwei Metallen: Kupfer und Zink.

Gegeben sind zwei verschiedene Sorten Messing, mit je 40% und 60% Kupfer. Aus diesen beiden Sorten, soll durch verschmelzen 300 kg Messing mit einem Kupferanteil von 55% gebildet werden.

== Tipps ==


== Lösung ==


=== Was ist x ===

Für die Variable x kann hier einmal die Masse der Ersten oder der zweiten Sorte Messing verwendet werden. Wir nehmen die mit 40%. Die Menge der anderen Sorte ergibt sich dann aus (300 kg - x)

'''x = Masse der Messingsorte mit 40% Kupferanteil'''


=== Term aufstellen ===

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + (300kg-x) \cdot {60 \over 100} = 300kg \cdot {55 \over 100}&lt;/math&gt;

=== Ausrechnen ===

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + (300kg-x) \cdot {60 \over 100} = 300kg \cdot {55 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen und vereinfachen'''

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + 300kg \cdot {60 \over 100} - x \cdot {60 \over 100} = 165kg  &lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + 180 - x \cdot {60 \over 100} = 165kg  &lt;/math&gt; '''| -180'''

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} - x \cdot {60 \over 100} = -15kg  &lt;/math&gt; '''|x ausklammern'''

&lt;math&gt;x \cdot ({40 \over 100} - {60 \over 100}) = -15  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen'''

&lt;math&gt;x \cdot (-{20 \over 100}) = -15  &lt;/math&gt; '''| / - 0,2'''

&lt;math&gt;x  = 75kg  &lt;/math&gt;

'''Es werden 75 kg des Messings mit 40% Kupferantel benötigt. Die restlichen 225Kg werden vom 60 prozentigen Messing benötigt.'''

=== Probe ===

Im Endprodukt, den 300 kg Messing mit 55% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;300 kg  \cdot 0,55 = 165 kg&lt;/math&gt; Kupfer

In den beiden anderen Sorten die zusammengemischt wurden, muss nun genau der gleiche Anteil vorhanden sein.

In 75 kg der ersten Sorte mit 40% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;75 kg  \cdot 0,40 = 30 kg&lt;/math&gt; Kupfer.

In den restlichen 225 kg der zweiten Sorte befinden sich:

&lt;math&gt;225 kg  \cdot 0,60 = 135 kg&lt;/math&gt; Kupfer

Zusammen ergibt das genau die 165 kg, die auch im Entprodukt vorhanden sind.


==Suchbegriffe==

Mischungsaufgabe, Messing, Termbildung

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft]]

[[Arbeiten mit Termen: Treffpunkt von zwei Radfahrern]]

[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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  <title>Waage und 10 Münzen</title>
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    <contributor>
      <username>Alfred Heiligenbrunner</username>
      <id>23180</id>
    </contributor>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="968" xml:space="preserve">==Aufgabe (10 Münzen, einige leichter)==

Gegeben sind 10 Muenzen und eine Balkenwaage.
Eine echte   Muenze wiegt 1 Einheit.
Eine falsche Muenze wiegt 0.999 Einheiten.

Wie kann man mit moeglichst wenigen Waegevorgaengen auf der Balkenwaage herausfinden, ob es unter den gegebenen 10 Muenzen falsche Muenzen gibt?

===Tipps===
Häufig werden Lösungen angegeben, wo einmal die Wägung 1 durchgeführt wird und abhängig vom Ergebnis die Kugeln für die zweite Wägung festgelegt werden. Ähnlich werden dann die Kugeln für die dritte Wägung aus den Ergebnissen der zweiten Wägung über Fallunterscheidungen bestimmt.

Es gibt aber auch Lösungen, wo ein Versuchsplan von vornherein festgelegt werden kann.

===Lösung===
[[Waage und 10 Münzen, Lösung]]

===Suchbegriffe===
Münzen, Waage, Balkenwaage, 10, Wägungen

===Quellen===
Newsgroup de.rec.denksport, Beitrag von GJ Woeginger vom  08.11.2006 16:07 Uhr

===ähnliche Aufgaben===


[[Kategorie:Denksport]]</text>
    <sha1>3df2a92ef7d0efbc4b845130cb2b6b28475cbe58</sha1>
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    <contributor>
      <username>Alfred Heiligenbrunner</username>
      <id>23180</id>
    </contributor>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1006" xml:space="preserve">==Aufgabe (10 Münzen, einige leichter)==

Gegeben sind 10 Muenzen und eine Balkenwaage.
Eine echte   Muenze wiegt 1 Einheit.
Eine falsche Muenze wiegt 0.999 Einheiten.

Wie kann man mit moeglichst wenigen Waegevorgaengen auf der Balkenwaage herausfinden, ob es unter den gegebenen 10 Muenzen falsche Muenzen gibt?

===Tipps===
Häufig werden Lösungen angegeben, wo einmal die Wägung 1 durchgeführt wird und abhängig vom Ergebnis die Kugeln für die zweite Wägung festgelegt werden. Ähnlich werden dann die Kugeln für die dritte Wägung aus den Ergebnissen der zweiten Wägung über Fallunterscheidungen bestimmt.

Es gibt aber auch Lösungen, wo ein Versuchsplan von vornherein festgelegt werden kann.

===Lösung===
[[Waage und 10 Münzen, Lösung 1]]
[[Waage und 10 Münzen, Lösung 2]]

===Suchbegriffe===
Münzen, Waage, Balkenwaage, 10, Wägungen

===Quellen===
Newsgroup de.rec.denksport, Beitrag von GJ Woeginger vom  08.11.2006 16:07 Uhr

===ähnliche Aufgaben===


[[Kategorie:Denksport]]</text>
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    <timestamp>2006-11-25T13:17:36Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>Alfred Heiligenbrunner</username>
      <id>23180</id>
    </contributor>
    <comment>/* Lösung */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1007" xml:space="preserve">==Aufgabe (10 Münzen, einige leichter)==

Gegeben sind 10 Muenzen und eine Balkenwaage.
Eine echte   Muenze wiegt 1 Einheit.
Eine falsche Muenze wiegt 0.999 Einheiten.

Wie kann man mit moeglichst wenigen Waegevorgaengen auf der Balkenwaage herausfinden, ob es unter den gegebenen 10 Muenzen falsche Muenzen gibt?

===Tipps===
Häufig werden Lösungen angegeben, wo einmal die Wägung 1 durchgeführt wird und abhängig vom Ergebnis die Kugeln für die zweite Wägung festgelegt werden. Ähnlich werden dann die Kugeln für die dritte Wägung aus den Ergebnissen der zweiten Wägung über Fallunterscheidungen bestimmt.

Es gibt aber auch Lösungen, wo ein Versuchsplan von vornherein festgelegt werden kann.

===Lösung===
[[Waage und 10 Münzen, Lösung 1]]

[[Waage und 10 Münzen, Lösung 2]]

===Suchbegriffe===
Münzen, Waage, Balkenwaage, 10, Wägungen

===Quellen===
Newsgroup de.rec.denksport, Beitrag von GJ Woeginger vom  08.11.2006 16:07 Uhr

===ähnliche Aufgaben===


[[Kategorie:Denksport]]</text>
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  <title>Waage und 10 Münzen, Lösung 1</title>
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    <contributor>
      <username>Alfred Heiligenbrunner</username>
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    </contributor>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="660" xml:space="preserve">[[Kategorie:Denksport_Loesung]]

Dies ist die Lösung 1 von Aufgabe [[Waage und 10 Münzen]].

=== Schrittweise Verdoppelung der bekannten gleichschweren Münzen ===

Die folgenden maximal 4 Wägungen geben Gewissheit, ob alle Münzen gleich schwer sind.

# Je eine Münze links und rechts. Bei Ungleichgewicht fertig. Sonst:
# Beide Münzen nach links, zwei neue rechts. Bei Ungleichgewicht fertig. Sonst:
# Alle vier nach links, vier neue rechts. Bei Ungleichgewicht fertig. Sonst:
# Zwei links liegen lassen, die restlichen zwei rechts. Bei Ungleichgewicht fertig. Sonst:

(Wenn bisher kein Ungleichgewicht aufgetreten ist:) Alle Münzen sind gleich schwer.</text>
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    <timestamp>2006-11-25T13:51:01Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>Alfred Heiligenbrunner</username>
      <id>23180</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1077" xml:space="preserve">[[Kategorie:Denksport_Loesung]]

Dies ist die Lösung 1 von Aufgabe [[Waage und 10 Münzen]].

=== Schrittweise Verdoppelung der bekannten gleichschweren Münzen ===

Die folgenden maximal 4 Wägungen geben Gewissheit, ob alle Münzen gleich schwer sind.

# Je eine Münze links und rechts. Bei Ungleichgewicht fertig. Sonst:
# Beide Münzen nach links, zwei neue rechts. Bei Ungleichgewicht fertig. Sonst:
# Alle vier nach links, vier neue rechts. Bei Ungleichgewicht fertig. Sonst:
# Zwei links liegen lassen, die restlichen zwei rechts. Bei Ungleichgewicht fertig. Sonst:

(Wenn bisher kein Ungleichgewicht aufgetreten ist:) Alle Münzen sind gleich schwer.


Wenn man sich die Münzen mit 1, 2, ..., 10 durchnummeriert denkt, kann man die Wägungen auch so darstellen:

 1. Wägung: 1 &lt;--&gt; 2
 2. Wägung: 1, 2 &lt;--&gt; 3, 4
 3. Wägung: 1, 2, 3, 4 &lt;--&gt; 5, 6, 7, 8
 4. Wägung: 1, 2 &lt;--&gt; 9, 10

Wenn alle Wägungen Gleichgewicht zeigen, dann sind alle Münzen gleich schwer.

===Quellen===
Newsgroup de.rec.denksport, Beitrag von Gerhard Siegetsleitner vom  08.11.2006 16:54 Uhr</text>
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  <title>Waage und 10 Münzen, Lösung 2</title>
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    <contributor>
      <username>Alfred Heiligenbrunner</username>
      <id>23180</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="878" xml:space="preserve">[[Kategorie:Denksport_Loesung]]

Dies ist die Lösung 2 von Aufgabe [[Waage und 10 Münzen]].

=== Versuchsplan ===

Die folgenden maximal 3 Wägungen geben Gewissheit, ob alle Münzen gleich schwer sind.
Die Münzen werden mit den Nummern 1, 2, ..., 10 bezeichnet.

 1.Schritt: (1,2,3,4,5) &lt;-&gt; (6,7,8,9,10)
 2.Schritt: (1,2,3,6) &lt;-&gt; (7,8,9,10)
 3.Schritt: (1,2,3) &lt;-&gt; (4,5,6)

Falls drei mal Gleichgewicht auftritt, sind alle Münzen vom gleichen Typ.

Nach dem ersten Schritt weiß man (bei Gleichgewicht), dass die Typen geradzahlig auftreten.

Nach dem zweiten Schritt weiß man, dass 4, 5 und 6 vom gleichen Typ sind.

Nach dem dritten Schritt weiß man, dass alle Münzen gleichen Typs sind.

Die drei Schritte kann man ohne weiteres auch in beliebiger Reihenfolge
durchführen.

===Quellen===
Newsgroup de.rec.denksport, Beitrag von Klaus Werner vom  11.11.2006 21:10 Uhr</text>
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  <title>Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft</title>
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    <contributor>
      <username>84.132.153.247</username>
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    </contributor>
    <comment>/* Therm aufstellen - Tippfleher */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2317" xml:space="preserve">==Aufgabe==

Aus Zwei Sorten Fruchtsaft mit je 20% und 75% Fruchtgehalt sollen 5 Liter Fruchtsaft mit 50% Fruchtgehalt gemischt werden.

Wieviel Saft der beiden Sorten werden jeweils benötigt?

===Tipps===


===Lösung===


==== Was ist x ====

Für die Variable x kann hier einmal der Fruchtgehalt der ersten oder der zweiten Sorte Saft verwendet werden. Wir nehmen die mit 75%. Die Menge der anderen Sorte ergibt sich dann aus (5 l - x)

'''x = Menge des Fruchtsafts mit 75% Fruchtanteil. '''


==== Term aufstellen ====

&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + (5l-x) \cdot {20 \over 100} = 5 l \cdot {50 \over 100}&lt;/math&gt;

==== Ausrechnen ====

&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + (5l-x) \cdot {20 \over 100} = 5 l \cdot {50 \over 100}&lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen und vereinfachen'''

&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + 5l \cdot {20 \over 100} - x \cdot {20 \over 100} = {250 \over 100}  &lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + {100 \over 100} - x \cdot {20 \over 100} = {250 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| - 1'''


&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100}  - x \cdot {20 \over 100} = {150 \over 100}  &lt;/math&gt; '''|x ausklammern'''

&lt;math&gt;x \cdot ({75 \over 100}  - {20 \over 100}) = {150 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen'''

&lt;math&gt;x \cdot {55 \over 100  } = {150 \over 100}&lt;/math&gt; '''| durch 55/100 '''

&lt;math&gt;x \cdot  = {150 \cdot  100 \over 100 \cdot 55 }&lt;/math&gt; '''| kürzen '''

&lt;math&gt;x  = {30 \over 11} = 2,727272  &lt;/math&gt; '''| Liter der Sorte mit 75% Fruchtanteil '''


==== Probe ====

Im Endprodukt, den 5 Litern Fruchtsaft  mit 50% Fruchtanteil befinden sich:

&lt;math&gt;5l  \cdot 0,5 = 2,5l&lt;/math&gt; Fruchtanteil

In den beiden anderen Sorten die zusammengemischt wurden, muss nun genau der gleiche Anteil vorhanden sein.

In in 2,7272 l der ersten Sorte mit 75% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;2,7272 l  \cdot 0,75 = 2,05 l&lt;/math&gt; Fruchtgehalt.

In den restlichen 2,2727 l der zweiten Sorte befinden sich:

&lt;math&gt;2,2727 l  \cdot 0,20 = 0,45 l&lt;/math&gt; Fruchtgehalt.

Zusammen ergibt das genau die 2,5 Liter, die auch im Entprodukt vorhanden sind.

===Suchbegriffe===

Mischungsaufgabe, Fruchtsaft, Termbildung

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]

[[Arbeiten mit Termen: Treffpunkt von zwei Radfahrern]]


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
    <sha1>57cadcb185efe40142bcc6fd9921e7d219790004</sha1>
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  <title>Diskussion:Gefangene und Glühbirne, Lösung 5</title>
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      <username>83.65.195.13</username>
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    </contributor>
    <comment>Wahrscheinliche oder sichere Lösung?</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="447" xml:space="preserve">In dieser Lösungsbeschreibung finden sich doch recht viele ''wahrscheinlich'' - drum frag ich mich, ob das eigentlich ein sicherer Lösungsweg ist, oder nur ein sehr wahrscheinlicher? Und im zweiteren Fall, ob die Mißerfolgswahrscheinlichkeit auch wirklich kleiner ist, als bei [[Gefangene und Glühbirne, Lösung 2]] mit einer Wartezeit von 2452 Tagen, also 1.98380201*10^-9?  -- [[Benutzer:83.65.195.13|83.65.195.13]] 01:38, 31. Jan 2007 (UTC)</text>
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  <title>Diskussion:Waage und 10 Münzen</title>
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      <username>83.65.195.13</username>
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    <comment>Aufgabe ist - mit diesen Angaben - jedenfalls nicht lösbar</comment>
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    <text bytes="706" xml:space="preserve">== Aufgabe ist - mit diesen Angaben - jedenfalls nicht lösbar ==

Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:
: ''Wie kann man mit moeglichst wenigen Waegevorgaengen auf der Balkenwaage herausfinden, ob es unter den gegebenen 10 Muenzen falsche Muenzen gibt?''

Nachdem die Angabe aber nicht ausschließt, daß alle 10 Münzen falsch sind, kann daraus, daß alle Münzen gleich schwer sind, noch nicht geschlossen werden alle seinen auch echt.

Daher sollte in die Angabe zusätzlich aufgenommen werden, daß zumindest eine Münze echt ist, oder die Fragestellung dahingehend geändert werden festzustellen ob alle Münzen gelich schwer sind. -- [[Benutzer:83.65.195.13|83.65.195.13]] 03:00, 31. Jan 2007 (UTC)</text>
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  <title>Diskussion:Waage und 10 Münzen</title>
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      <username>83.65.195.13</username>
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    <comment>Anmerkung zu den Lösungen</comment>
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    <text bytes="1294" xml:space="preserve">== Aufgabe ist - mit diesen Angaben - jedenfalls nicht lösbar ==

Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:
: ''Wie kann man mit moeglichst wenigen Waegevorgaengen auf der Balkenwaage herausfinden, ob es unter den gegebenen 10 Muenzen falsche Muenzen gibt?''

Nachdem die Angabe aber nicht ausschließt, daß alle 10 Münzen falsch sind, kann daraus, daß alle Münzen gleich schwer sind, noch nicht geschlossen werden alle seinen auch echt.

Daher sollte in die Angabe zusätzlich aufgenommen werden, daß zumindest eine Münze echt ist, oder die Fragestellung dahingehend geändert werden festzustellen ob alle Münzen gelich schwer sind. -- [[Benutzer:83.65.195.13|83.65.195.13]] 03:00, 31. Jan 2007 (UTC)

== Anmerkung zu den Lösungen ==

Die Aufgabenstellung fordert:
: ''Wie kann man mit moeglichst wenigen Waegevorgaengen auf der Balkenwaage...''

Daher würde ich meinen, daß eigentlich nur [[Waage und 10 Münzen, Lösung 2]] eine gültige Lösung darstellt, da sie nur 3 Wägungen benötigt, während [[Waage und 10 Münzen, Lösung 1]] ja 4 Wägungen braucht.

Zumindest wäre es meines erachtens sinnvoll die Reihenfolge der Lösungen zu ändern und die suboptimale Lösung auch schon in der Liste zu kennzeichnen. -- [[Benutzer:83.65.195.13|83.65.195.13]] 03:07, 31. Jan 2007 (UTC)</text>
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  <title>Benutzer:Rieke Hain</title>
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    <contributor>
      <username>Rieke Hain</username>
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  <title>Benutzer Diskussion:Rieke Hain</title>
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    <comment>Weiterleitung nach [[wikia:User talk:Rieke Hain]] erstellt</comment>
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  <title>Mathe Wiki</title>
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  <title>Benutzer:Dcljr</title>
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  <title>Benutzer Diskussion:Dcljr</title>
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  <title>Logarithmen: Zinseszins</title>
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      <username>Behrev</username>
      <id>13311</id>
    </contributor>
    <comment>Die Seite wurde neu angelegt: == Aufgabe ==  Nach wieviel Jahren ist ein Kapital von 10000,- € zu einem Zinssatz von 2,9% auf 29000,-€ angestiegen?  == Tipps ==  Die Lösungsformel für die Bere...</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="530" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Nach wieviel Jahren ist ein Kapital von 10000,- € zu einem Zinssatz von 2,9% auf 29000,-€ angestiegen?

== Tipps ==

Die Lösungsformel für die Berechnung von Zinseszinsen ist:


&lt;math&gt;K_n  = K_0  \cdot (1 + \frac{p}
{{100}})^n&lt;/math&gt; 


== Lösung ==


=== Berechnung  ===


=== C: Weg-Zeit-Diagramm ===


==Suchbegriffe==

Quadratische Gleichung, Brunnentiefe, Fallzeit

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 10]]
[[Kategorie:Logarithmen]]</text>
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    <timestamp>2007-12-28T16:12:45Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>Behrev</username>
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    </contributor>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="617" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Nach wieviel Jahren ist ein Kapital von 10000,- € zu einem Zinssatz von 2,9% auf 29000,-€ angestiegen?

== Tipps ==

Die Lösungsformel für die Berechnung von Zinseszinsen ist:


&lt;math&gt;K_n  = K_0  \cdot (1 + \frac{p}
{{100}})^n&lt;/math&gt; 

Dabei ist: 

K&lt;sub&gt;n&lt;/sub) das Kapital nach n Jahren.

K&lt;sub&gt;0&lt;/sub) das Anfangskapital

== Lösung ==


=== Berechnung  ===


=== C: Weg-Zeit-Diagramm ===


==Suchbegriffe==

Quadratische Gleichung, Brunnentiefe, Fallzeit

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 10]]
[[Kategorie:Logarithmen]]</text>
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      <username>Behrev</username>
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    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1018" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Nach wieviel Jahren ist ein Kapital von 10000,- € zu einem Zinssatz von 2,9% auf 29000,-€ angestiegen?

== Tipps ==

Die Lösungsformel für die Berechnung von Zinseszinsen ist:


&lt;math&gt;K_n  = K_0  \cdot (1 + \frac{p}
{{100}})^n&lt;/math&gt; 

Dabei ist: 

K&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; das Kapital nach n Jahren.

K&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; das Anfangskapital

p der Zinssatz in %

n die Jahre

== Lösung ==

Gegebene Werte in die Formel einsetzen:

&lt;math&gt;29000,-Eur  = 10000,-Eur  \cdot (1 + \frac{2,9}
{{100}})^n&lt;/math&gt; 

Da n gesucht ist und im Exponent steht müssen wir den Logarithmus suchen.


&lt;math&gt;\begin{gathered}
  29000 = 10000 \cdot (1 + \frac{{2,9}}
{{100}})^n  \hfill \\
  \frac{{29000}}
{{10000}} = (1,029)^n  \hfill \\
  n = \log _{1,029} 2,9 \hfill \\
  n = \text{37}\text{,24} \hfill \\ 
\end{gathered}&lt;/math&gt; 


==Suchbegriffe==

Quadratische Gleichung, Brunnentiefe, Fallzeit

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 10]]
[[Kategorie:Logarithmen]]</text>
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    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1102" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Nach wieviel Jahren ist ein Kapital von 10000,- € zu einem Zinssatz von 2,9% auf 28798,43 € angestiegen?

== Tipps ==

Die Lösungsformel für die Berechnung von Zinseszinsen ist:


&lt;math&gt;K_n  = K_0  \cdot (1 + \frac{p}
{{100}})^n&lt;/math&gt; 

Dabei ist: 

K&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; das Kapital nach n Jahren.

K&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; das Anfangskapital

p der Zinssatz in %

n die Jahre

== Lösung ==

Gegebene Werte in die Formel einsetzen:

&lt;math&gt;28798,43 Eur  = 10000,- Eur  \cdot (1 + \frac{2,9}
{{100}})^n&lt;/math&gt; 

Da n gesucht ist und im Exponent steht müssen wir den Logarithmus suchen.


&lt;math&gt;\begin{gathered}
  28798,43 = 10000 \cdot (1 + \frac{{2,9}}
{{100}})^n  \hfill \\
  \frac{{28798,43}}
{{10000}} = (1,029)^n  \hfill \\
  n = \log _{1,029} 2,879843 \hfill \\
  n = \text{36,99998} \hfill \\ 
\end{gathered}&lt;/math&gt; 


Nach 37 Jahren ist ein Kapital von 10000,-€ bei einem Jahreszins von 2,9% auf 28798,43 € angestiegen.


==Suchbegriffe==

Logarithmen, Zins, Zinseszins


==ähnliche Aufgaben==


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 10]]
[[Kategorie:Logarithmen]]</text>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1480" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Nach wieviel Jahren ist ein Kapital von 10000,- € zu einem Zinssatz von 2,9% auf 28798,43 € angestiegen?

== Tipps ==

Die Lösungsformel für die Berechnung von Zinseszinsen ist:


&lt;math&gt;K_n  = K_0  \cdot (1 + \frac{p}
{{100}})^n&lt;/math&gt; 

Dabei ist: 

K&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; das Kapital nach n Jahren.

K&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; das Anfangskapital

p der Zinssatz in %

n die Jahre

== Lösung ==

Gegebene Werte in die Formel einsetzen:

&lt;math&gt;28798,43 Eur  = 10000,- Eur  \cdot (1 + \frac{2,9}
{{100}})^n&lt;/math&gt; 

Da n gesucht ist und im Exponent steht müssen wir den Logarithmus suchen.


&lt;math&gt;\begin{gathered}
  28798,43 = 10000 \cdot (1 + \frac{{2,9}}
{{100}})^n  \hfill \\
  \frac{{28798,43}}
{{10000}} = (1,029)^n  \hfill \\
  n = \log _{1,029} 2,879843 \hfill \\
  n = \text{36,99998} \hfill \\ 
\end{gathered}&lt;/math&gt; 


Nach 37 Jahren ist ein Kapital von 10000,-€ bei einem Jahreszins von 2,9% auf 28798,43 € angestiegen.

== Anmerkung ==

Die 3. Zeile der Rechnung

&lt;math&gt;n = \log _{1,029} 2,879843 \hfill \\&lt;/math&gt;

berechnet man mit dem Taschenrechner mit Hilfe der Logarithmusgesetze. Dabei berechnet man eine Logarithmus beliebiger Basis um, indem man mit Hilfe des natürlichen Logarithmus (Taste ln auf dem Taschenrechner) den Logarithmus des Exponenten durch den Logarithmus der Basis Teilt.


==Suchbegriffe==

Logarithmen, Zins, Zinseszins


==ähnliche Aufgaben==


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 10]]
[[Kategorie:Logarithmen]]</text>
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    <comment>Fertig</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1574" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Nach wieviel Jahren ist ein Kapital von 10000,- € zu einem Zinssatz von 2,9% auf 28798,43 € angestiegen?

== Tipps ==

Die Lösungsformel für die Berechnung von Zinseszinsen ist:


&lt;math&gt;K_n  = K_0  \cdot (1 + \frac{p}
{{100}})^n&lt;/math&gt; 

Dabei ist: 

K&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; das Kapital nach n Jahren.

K&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; das Anfangskapital

p der Zinssatz in %

n die Jahre

== Lösung ==

Gegebene Werte in die Formel einsetzen:

&lt;math&gt;28798,43 Eur  = 10000,- Eur  \cdot (1 + \frac{2,9}
{{100}})^n&lt;/math&gt; 

Da n gesucht ist und im Exponent steht müssen wir den Logarithmus suchen.


&lt;math&gt;\begin{gathered}
  28798,43 = 10000 \cdot \left( {1 + \frac{{2,9}}
{{100}}} \right)^n  \hfill \\
  \frac{{28798,43}}
{{10000}} = \left( {1,029} \right)^n  \hfill \\
  n = \log _{1,029} 2,879843 \hfill \\
  n \approx 37 \hfill \\ 
\end{gathered}&lt;/math&gt; 


Nach 37 Jahren ist ein Kapital von 10000,-€ bei einem Jahreszins von 2,9% auf 28798,43 € angestiegen.

== Anmerkung ==

Die 3. Zeile der Rechnung

&lt;math&gt;n = \log _{1,029} 2,879843 \hfill \\&lt;/math&gt;

berechnet man mit dem Taschenrechner mit Hilfe der Logarithmusgesetze. Dabei rechnet man einen Logarithmus beliebiger Basis um, indem man mit Hilfe des natürlichen Logarithmus (Taste ''ln'' auf dem Taschenrechner) den Logarithmus des Exponenten durch den Logarithmus der Basis Teilt.

Denn es gilt:
&lt;math&gt;
\log _b a = \frac{{\ln a}}
{{\ln b}}
&lt;/math&gt;

==Suchbegriffe==

Logarithmen, Zins, Zinseszins


==ähnliche Aufgaben==


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 10]]
[[Kategorie:Logarithmen]]</text>
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      <username>ZeitAlberto</username>
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    <comment>Die Seite wurde neu angelegt: Ist eine Teilphysik dass die Bewegung und sene Ursachen lernt.</comment>
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'''Ich suche ein Beispiel für eine "C-unendlich-Funktion, deren Taylorreihe konvergiert, aber nicht die Funktion darstellt."'''

Die Aufgabe soll im Rahmen eins Referats gelöst werden. Bisher habe ich allerdings noch keine passende Aufgabe dazu gefunden. Hat jemand evtl. einen Vorschlag?</text>
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    <text bytes="326" xml:space="preserve">== Taylorreihe ==


'''Ich suche ein Beispiel für eine "C-unendlich-Funktion, deren Taylorreihe konvergiert, aber nicht die Funktion darstellt."'''

Diese Aufgabe soll im Rahmen eines Referats gelöst werden. Bisher habe ich allerdings noch keine passende Aufgabe zu diesen Angaben gefunden. Hat jemand evtl. einen Vorschlag?</text>
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|}
&lt;/center&gt;&lt;noinclude&gt;

To use this template, type &lt;nowiki&gt;{{Cc-by-sa-3.0|Attribution details}}&lt;/nowiki&gt; on the image information page.  Replace "Attribution details" with information about the source.

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| align="center" |http://images4.wikia.nocookie.net/messaging/images//thumb/7/79/CC_some_rights_reserved.svg/90px-CC_some_rights_reserved.svg.png&lt;br/&gt;http://images2.wikia.nocookie.net/messaging/images//thumb/1/11/Cc-by_new_white.svg/24px-Cc-by_new_white.svg.png http://images3.wikia.nocookie.net/messaging/images//thumb/d/df/Cc-sa_white.svg/24px-Cc-sa_white.svg.png
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|}
&lt;/center&gt;&lt;noinclude&gt;

Um diese Vorlage zu verwenden, füge &lt;nowiki&gt;{{Cc-by-sa-3.0|Quelle}}&lt;/nowiki&gt; auf der Bildbeschreibungsseite ein. Ersetze „Quelle“ mit Informationen zur Quelle der Inhalte.

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    <text bytes="586" xml:space="preserve">Das "Delete page script"-Benutzerkonto wird von [[w:c:de:Wikia Personal (Staff)|Wikia-Mitarbeitern]] dazu benutzt um automatische Löschungen einer Vielzahl von Seiten in mehreren Wikis vorzunehmen.

Falls du der Meinung bist, dass das Skript eine Seite gelöscht hat, die nicht gelöscht werden sollte, so kann jeder [[Special:Listadmins|Administrator]] dieses Wikis die entsprechende Seite wiederherstellen. Bitte informiere das [[w:c:de:Community Team|Community Team]] falls dieses Skript Probleme verursachen sollte.

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    <comment>Wikia, Inc.</comment>
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    <text bytes="705" xml:space="preserve">Dieses Benutzerkonto wurde von '''[[w:c:de:Wikia, Inc.|Wikia, Inc.]]''' benutzt, um auf automatisiertem Wege die Startinhalte dieses Wikis zu importieren (Hilfeseiten, einige Vorlagen, MediaWiki-Systemtexte und anderes). 

Die einzelnen Beiträge (außer den Standard-Systemtexten im MediaWiki-Namensraum) stammen ursprünglich von '''[[w:c:de:Community Team|Wikia-Angestellten]]''' und stehen unter der [[wikia:Text_of_the_GNU_Free_Documentation_License|GFDL]] (bei Weiterverwendung bitte „Wikia, Inc.“ an Stelle von „Default“ angeben). 

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* ''[[Special:Contributions/Default|Beiträge]]''
* ''Siehe auch [[Benutzer:MediaWiki default]]''

[[Kategorie:Skript-Benutzerkonten von Wikia|Default]]</text>
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  <title>Benutzer:Edit page script</title>
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    <text bytes="430" xml:space="preserve">Das "Edit page script"-Benutzerkonto wird von [[w:c:de:Wikia Personal (Staff)|Wikia-Mitarbeitern]] dazu benutzt um automatische Bearbeitungen and einer Vielzahl von Seiten und Wikis vorzunehmen.

Falls es irgendwelche Probleme mit den Inhalten einer Seite geben sollte, die dieses Skript bearbeitet hat, informiere bitte das [[w:c:de:Community Team|Community Team]].

[[Kategorie:Skript-Benutzerkonten von Wikia|Edit page script]]</text>
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  <title>Benutzer:MediaWiki default</title>
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    <text bytes="787" xml:space="preserve">Dieses Benutzerkonto wird von '''[[w:c:de:Wikia, Inc.|Wikia, Inc.]]''', insbesondere von den [[w:c:de:Technical Team|Entwicklern]] benutzt, wenn das Script &lt;code&gt;rebuildMessages.php&lt;/code&gt; eingesetzt wird. Das Script ist Bestandteil von [[w:c:de:Hilfe:MediaWiki|MediaWiki]]. Es erneuert oder ändert die Systemtexte der Benutzeroberfläche dieses Wikis, damit sie mit der aktuellen MediaWiki-Version von Wikia übereinstimmen.

Dieses Benutzerkonto ist kein Bot und kann nicht gesperrt werden. Sollte es ein Problem mit den Standard-Systemtexten geben, so informiere bitte das [[w:c:de:Community Team|Community-Team]].

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* ''[[Special:Contributions/MediaWiki default|Beiträge]]''
* ''Siehe auch [[Benutzer:Default]]''

[[Kategorie:Skript-Benutzerkonten von Wikia|MediaWiki default]]</text>
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  <title>Benutzer:Spam cleanup script</title>
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    <text bytes="2149" xml:space="preserve">Das "Spam cleanup"-Skript, dass unter diesem Benutzerkonto läuft, prüft jede Seite auf jedem Wiki gegen die [[w:Spam Blacklist|Spam-Blacklist]].

Wird ein Treffer gefunden, macht das Skript alle Änderungen an dieser Seite rückgängig, bis es keine Übereinstimmung mehr mit einem Eintrag in der Blacklist gibt. Falls alle Versionen einen Treffer erzeugen, wird die Seite komplett geleert.

Einige Wikia-Wiki haben erwünschte Links auf Seiten, die in der Blacklist stehen - wie zum Beispiel Links auf Subdomain von cjb.net oder netfirms.com, so dass es zu unerwünschten [[w:c:de:Hilfe:Änderungen rückgängig machen|Reverts]] kommt. Falls dies passiert:

* Verändere deine Links zu dieser Domain, indem du z.B. das http:// vor dem Link entfernst oder eine Weiterleitung wie z.B. tinyurl.com benutzt '''oder'''
* Bitte auf der entsprechenden [[w:Talk:Spam Blacklist|Diskussionsseite]] darum, dass die betreffende Domain von der Blacklist entfernt wird '''oder'''
* Entferne alle entsprechenden Links von deinem Wiki.

Falls Webhoster Spam-Seiten auf ihren Subdomains erlauben, ist es möglicherweise sinnvoll die dritte Option zu wählen und den Anbieter zu boykottieren, anstatt einen Umweg zu finden um weiter auf ein bestimmtes Angebot zu verlinken. Ein Hinweis per Mail an den Anbieter, ''warum'' du diese Weg wählst, bringt ihn vielleicht zum Umdenken.

Falls du Änderungen des Skripts einfach rückgängig machst, wird das Skript die gleiche Änderung erneut vornehmen, wenn es das nächste mal läuft. Es ist auch keine gute Idee, die betreffenden Links in einer Seite zu lassen, da der Spam-Filter Änderungen an der Seite blockiert, solange der Link enthalten ist.

Bitte trage Probleme auf der entsprechenen [[w:Talk:Spam cleanup script|Diskussionsseite]] ein, mit Ausnahme von akuten Anfragen, die besser direkt an das [[w:c:de:Community Team|Community Team]] geschickt werden.

Dies ist ein Wartungs-Skript, das direkt auf der Datenbank läuft, und kein [[w:c:de:Hilfe:Bot|Bot]].

== Siehe auch ==
*[[w:c:de:Hilfe:Spam|Spam]]
*[[w:Spam Blacklist|Spam-Blacklist]]

[[Kategorie:Skript-Benutzerkonten von Wikia|Spam cleanup script]]</text>
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  <title>Kategorie:Skript-Benutzerkonten von Wikia</title>
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    <text bytes="133" xml:space="preserve">Diese Kategorie listet offizielle Skript-Benutzerkonten, die von [[w:c:de:Wikia Personal (Staff)|Wikia-Mitarbeitern]] genutzt werden.</text>
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  <title>Benutzer:Maintenance script</title>
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    <text bytes="490" xml:space="preserve">Dieses Benutzerkonto wird von '''[[w:c:de:Wikia, Inc.|Wikia, Inc.]]''', insbesondere von den [[w:c:de:Technical Team|Entwicklern]] benutzt, um Änderungen am System vorzunehmen. Am häufigsten wird es zur Verschiebung der Hauptseite ("SEO") verwendet, um das Google Ranking des Wikias zu steigern.

Sollte es ein Problem mit den ''Maintenance script'' geben, so informiere bitte das [[w:c:de:Community Team|Community-Team]].

[[Kategorie:Skript-Benutzerkonten von Wikia|Maintenance script]]</text>
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  <title>Test</title>
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  <title>Trigonometrie</title>
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    <comment>Die Seite wurde neu angelegt: Die Trigonometrie behandelt die Verhältnisse der Seiten und Winkel eines Dreiecks.  ==Satz des Pythagoras== [[Bild:Triangle_with_notations_2.svg|thumb|196px]] In einem...</comment>
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    <text bytes="416" xml:space="preserve">Die Trigonometrie behandelt die Verhältnisse der Seiten und Winkel eines Dreiecks.

==Satz des Pythagoras==
[[Bild:Triangle_with_notations_2.svg|thumb|196px]]
In einem rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras.

&lt;math&gt;c^2 = a^2 + b^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow a = \pm \sqrt{c^2 - b^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow b = \pm \sqrt{c^2 - a^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow c = \pm \sqrt{a^2 + b^2}&lt;/math&gt;</text>
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  <title>Benutzer:Uptojoe</title>
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    <comment>Die Seite wurde neu angelegt: Hallo, der Benutzer "uptojoe" kommt aus Nordtirol.  gruß josef</comment>
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    <text bytes="63" xml:space="preserve">Hallo, der Benutzer "uptojoe" kommt aus Nordtirol.

gruß josef</text>
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    <text bytes="99" xml:space="preserve">Hallo, der Benutzer "uptojoe" kommt aus Nordtirol.

gruß josef


==Links==

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  <title>Mathe Wiki</title>
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  <title>Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing</title>
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    </contributor>
    <comment>/* Aufgabe */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2267" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Messing ist eine Legierung aus zwei Metallen: Kupfer und Zink.

Gegeben sind zwei verschiedene Sorten Messing, mit je 55% und 70% Kupfer. Aus diesen beiden Sorten, soll durch verschmelzen 300 kg Messing mit einem Kupferanteil von 65% gebildet werden.

== Tipps ==


== Lösung ==


=== Was ist x ===

Für die Variable x kann hier einmal die Masse der Ersten oder der zweiten Sorte Messing verwendet werden. Wir nehmen die mit 40%. Die Menge der anderen Sorte ergibt sich dann aus (300 kg - x)

'''x = Masse der Messingsorte mit 40% Kupferanteil'''


=== Term aufstellen ===

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + (300kg-x) \cdot {60 \over 100} = 300kg \cdot {55 \over 100}&lt;/math&gt;

=== Ausrechnen ===

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + (300kg-x) \cdot {60 \over 100} = 300kg \cdot {55 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen und vereinfachen'''

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + 300kg \cdot {60 \over 100} - x \cdot {60 \over 100} = 165kg  &lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + 180 - x \cdot {60 \over 100} = 165kg  &lt;/math&gt; '''| -180'''

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} - x \cdot {60 \over 100} = -15kg  &lt;/math&gt; '''|x ausklammern'''

&lt;math&gt;x \cdot ({40 \over 100} - {60 \over 100}) = -15  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen'''

&lt;math&gt;x \cdot (-{20 \over 100}) = -15  &lt;/math&gt; '''| / - 0,2'''

&lt;math&gt;x  = 75kg  &lt;/math&gt;

'''Es werden 75 kg des Messings mit 40% Kupferantel benötigt. Die restlichen 225Kg werden vom 60 prozentigen Messing benötigt.'''

=== Probe ===

Im Endprodukt, den 300 kg Messing mit 55% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;300 kg  \cdot 0,55 = 165 kg&lt;/math&gt; Kupfer

In den beiden anderen Sorten die zusammengemischt wurden, muss nun genau der gleiche Anteil vorhanden sein.

In 75 kg der ersten Sorte mit 40% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;75 kg  \cdot 0,40 = 30 kg&lt;/math&gt; Kupfer.

In den restlichen 225 kg der zweiten Sorte befinden sich:

&lt;math&gt;225 kg  \cdot 0,60 = 135 kg&lt;/math&gt; Kupfer

Zusammen ergibt das genau die 165 kg, die auch im Entprodukt vorhanden sind.


==Suchbegriffe==

Mischungsaufgabe, Messing, Termbildung

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft]]

[[Arbeiten mit Termen: Treffpunkt von zwei Radfahrern]]

[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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      <username>88.70.192.125</username>
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    <comment>/* Term aufstellen */</comment>
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    <text bytes="2267" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Messing ist eine Legierung aus zwei Metallen: Kupfer und Zink.

Gegeben sind zwei verschiedene Sorten Messing, mit je 55% und 70% Kupfer. Aus diesen beiden Sorten, soll durch verschmelzen 300 kg Messing mit einem Kupferanteil von 65% gebildet werden.

== Tipps ==


== Lösung ==


=== Was ist x ===

Für die Variable x kann hier einmal die Masse der Ersten oder der zweiten Sorte Messing verwendet werden. Wir nehmen die mit 40%. Die Menge der anderen Sorte ergibt sich dann aus (300 kg - x)

'''x = Masse der Messingsorte mit 40% Kupferanteil'''


=== Term aufstellen ===

&lt;math&gt;x \cdot {55 \over 100} + (300kg-x) \cdot {70 \over 100} = 300kg \cdot {65 \over 100}&lt;/math&gt;

=== Ausrechnen ===

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + (300kg-x) \cdot {60 \over 100} = 300kg \cdot {55 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen und vereinfachen'''

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + 300kg \cdot {60 \over 100} - x \cdot {60 \over 100} = 165kg  &lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + 180 - x \cdot {60 \over 100} = 165kg  &lt;/math&gt; '''| -180'''

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} - x \cdot {60 \over 100} = -15kg  &lt;/math&gt; '''|x ausklammern'''

&lt;math&gt;x \cdot ({40 \over 100} - {60 \over 100}) = -15  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen'''

&lt;math&gt;x \cdot (-{20 \over 100}) = -15  &lt;/math&gt; '''| / - 0,2'''

&lt;math&gt;x  = 75kg  &lt;/math&gt;

'''Es werden 75 kg des Messings mit 40% Kupferantel benötigt. Die restlichen 225Kg werden vom 60 prozentigen Messing benötigt.'''

=== Probe ===

Im Endprodukt, den 300 kg Messing mit 55% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;300 kg  \cdot 0,55 = 165 kg&lt;/math&gt; Kupfer

In den beiden anderen Sorten die zusammengemischt wurden, muss nun genau der gleiche Anteil vorhanden sein.

In 75 kg der ersten Sorte mit 40% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;75 kg  \cdot 0,40 = 30 kg&lt;/math&gt; Kupfer.

In den restlichen 225 kg der zweiten Sorte befinden sich:

&lt;math&gt;225 kg  \cdot 0,60 = 135 kg&lt;/math&gt; Kupfer

Zusammen ergibt das genau die 165 kg, die auch im Entprodukt vorhanden sind.


==Suchbegriffe==

Mischungsaufgabe, Messing, Termbildung

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft]]

[[Arbeiten mit Termen: Treffpunkt von zwei Radfahrern]]

[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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    <comment>/* Probe */</comment>
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    <text bytes="2266" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Messing ist eine Legierung aus zwei Metallen: Kupfer und Zink.

Gegeben sind zwei verschiedene Sorten Messing, mit je 55% und 70% Kupfer. Aus diesen beiden Sorten, soll durch verschmelzen 300 kg Messing mit einem Kupferanteil von 65% gebildet werden.

== Tipps ==


== Lösung ==


=== Was ist x ===

Für die Variable x kann hier einmal die Masse der Ersten oder der zweiten Sorte Messing verwendet werden. Wir nehmen die mit 40%. Die Menge der anderen Sorte ergibt sich dann aus (300 kg - x)

'''x = Masse der Messingsorte mit 40% Kupferanteil'''


=== Term aufstellen ===

&lt;math&gt;x \cdot {55 \over 100} + (300kg-x) \cdot {70 \over 100} = 300kg \cdot {65 \over 100}&lt;/math&gt;

=== Ausrechnen ===

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + (300kg-x) \cdot {60 \over 100} = 300kg \cdot {55 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen und vereinfachen'''

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + 300kg \cdot {60 \over 100} - x \cdot {60 \over 100} = 165kg  &lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + 180 - x \cdot {60 \over 100} = 165kg  &lt;/math&gt; '''| -180'''

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} - x \cdot {60 \over 100} = -15kg  &lt;/math&gt; '''|x ausklammern'''

&lt;math&gt;x \cdot ({40 \over 100} - {60 \over 100}) = -15  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen'''

&lt;math&gt;x \cdot (-{20 \over 100}) = -15  &lt;/math&gt; '''| / - 0,2'''

&lt;math&gt;x  = 75kg  &lt;/math&gt;

'''Es werden 75 kg des Messings mit 40% Kupferantel benötigt. Die restlichen 225Kg werden vom 60 prozentigen Messing benötigt.'''

=== Probe ===

Im Endprodukt, den 300 kg Messing mit 55% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;300 kg  \cdot 0,55 = 165 kg&lt;/math&gt; Kupfer

In den beiden anderen Sorten die zusammengemischt wurden, muss nun genau der gleiche Anteil vorhanden sein.

In 75 kg der ersten Sorte mit 40% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;75 kg  \cdot 0,40 = 30 kg&lt;/math&gt; Kupfer.

In den restlichen 225 kg der zweiten Sorte befinden sich:

&lt;math&gt;225 kg  \cdot 0,60 = 135 kg&lt;/math&gt; Kupfer

Zusammen ergibt das genau die 165 kg, die auch im Entprodukt vorhanden sind.

==Suchbegriffe==

Mischungsaufgabe, Messing, Termbildung

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft]]

[[Arbeiten mit Termen: Treffpunkt von zwei Radfahrern]]

[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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    <comment>/* Lösung */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2276" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Messing ist eine Legierung aus zwei Metallen: Kupfer und Zink.

Gegeben sind zwei verschiedene Sorten Messing, mit je 55% und 70% Kupfer. Aus diesen beiden Sorten, soll durch verschmelzen 300 kg Messing mit einem Kupferanteil von 65% gebildet werden.

== Tipps ==


== Lösung ==

x = 75kg


=== Was ist x ===

Für die Variable x kann hier einmal die Masse der Ersten oder der zweiten Sorte Messing verwendet werden. Wir nehmen die mit 40%. Die Menge der anderen Sorte ergibt sich dann aus (300 kg - x)

'''x = Masse der Messingsorte mit 40% Kupferanteil'''


=== Term aufstellen ===

&lt;math&gt;x \cdot {55 \over 100} + (300kg-x) \cdot {70 \over 100} = 300kg \cdot {65 \over 100}&lt;/math&gt;

=== Ausrechnen ===

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + (300kg-x) \cdot {60 \over 100} = 300kg \cdot {55 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen und vereinfachen'''

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + 300kg \cdot {60 \over 100} - x \cdot {60 \over 100} = 165kg  &lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + 180 - x \cdot {60 \over 100} = 165kg  &lt;/math&gt; '''| -180'''

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} - x \cdot {60 \over 100} = -15kg  &lt;/math&gt; '''|x ausklammern'''

&lt;math&gt;x \cdot ({40 \over 100} - {60 \over 100}) = -15  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen'''

&lt;math&gt;x \cdot (-{20 \over 100}) = -15  &lt;/math&gt; '''| / - 0,2'''

&lt;math&gt;x  = 75kg  &lt;/math&gt;

'''Es werden 75 kg des Messings mit 40% Kupferantel benötigt. Die restlichen 225Kg werden vom 60 prozentigen Messing benötigt.'''

=== Probe ===

Im Endprodukt, den 300 kg Messing mit 55% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;300 kg  \cdot 0,55 = 165 kg&lt;/math&gt; Kupfer

In den beiden anderen Sorten die zusammengemischt wurden, muss nun genau der gleiche Anteil vorhanden sein.

In 75 kg der ersten Sorte mit 40% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;75 kg  \cdot 0,40 = 30 kg&lt;/math&gt; Kupfer.

In den restlichen 225 kg der zweiten Sorte befinden sich:

&lt;math&gt;225 kg  \cdot 0,60 = 135 kg&lt;/math&gt; Kupfer

Zusammen ergibt das genau die 165 kg, die auch im Entprodukt vorhanden sind.

==Suchbegriffe==

Mischungsaufgabe, Messing, Termbildung

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft]]

[[Arbeiten mit Termen: Treffpunkt von zwei Radfahrern]]

[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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    <text bytes="2275" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Messing ist eine Legierung aus zwei Metallen: Kupfer und Zink.

Gegeben sind zwei verschiedene Sorten Messing, mit je 55% und 70% Kupfer. Aus diesen beiden Sorten, soll durch verschmelzen 300 kg Messing mit einem Kupferanteil von 65% gebildet werden.

== Tipps ==


== Lösung ==

x = 75kg

=== Was ist x ===

Für die Variable x kann hier einmal die Masse der Ersten oder der zweiten Sorte Messing verwendet werden. Wir nehmen die mit 40%. Die Menge der anderen Sorte ergibt sich dann aus (300 kg - x)

'''x = Masse der Messingsorte mit 40% Kupferanteil'''


=== Term aufstellen ===

&lt;math&gt;x \cdot {55 \over 100} + (300kg-x) \cdot {70 \over 100} = 300kg \cdot {65 \over 100}&lt;/math&gt;

=== Ausrechnen ===

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + (300kg-x) \cdot {60 \over 100} = 300kg \cdot {55 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen und vereinfachen'''

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + 300kg \cdot {60 \over 100} - x \cdot {60 \over 100} = 165kg  &lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + 180 - x \cdot {60 \over 100} = 165kg  &lt;/math&gt; '''| -180'''

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} - x \cdot {60 \over 100} = -15kg  &lt;/math&gt; '''|x ausklammern'''

&lt;math&gt;x \cdot ({40 \over 100} - {60 \over 100}) = -15  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen'''

&lt;math&gt;x \cdot (-{20 \over 100}) = -15  &lt;/math&gt; '''| / - 0,2'''

&lt;math&gt;x  = 75kg  &lt;/math&gt;

'''Es werden 75 kg des Messings mit 40% Kupferantel benötigt. Die restlichen 225Kg werden vom 60 prozentigen Messing benötigt.'''

=== Probe ===

Im Endprodukt, den 300 kg Messing mit 55% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;300 kg  \cdot 0,55 = 165 kg&lt;/math&gt; Kupfer

In den beiden anderen Sorten die zusammengemischt wurden, muss nun genau der gleiche Anteil vorhanden sein.

In 75 kg der ersten Sorte mit 40% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;75 kg  \cdot 0,40 = 30 kg&lt;/math&gt; Kupfer.

In den restlichen 225 kg der zweiten Sorte befinden sich:

&lt;math&gt;225 kg  \cdot 0,60 = 135 kg&lt;/math&gt; Kupfer

Zusammen ergibt das genau die 165 kg, die auch im Entprodukt vorhanden sind.

==Suchbegriffe==

Mischungsaufgabe, Messing, Termbildung

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft]]

[[Arbeiten mit Termen: Treffpunkt von zwei Radfahrern]]

[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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    <text bytes="2275" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Messing ist eine Legierung aus zwei Metallen: Kupfer und Zink.

Gegeben sind zwei verschiedene Sorten Messing, mit je 55% und 70% Kupfer. Aus diesen beiden Sorten, soll durch verschmelzen 300 kg Messing mit einem Kupferanteil von 65% gebildet werden.

== Tipps ==


== Lösung ==

x = 75kg

=== Was ist x ===

Für die Variable x kann hier einmal die Masse der Ersten oder der zweiten Sorte Messing verwendet werden. Wir nehmen die mit 40%. Die Menge der anderen Sorte ergibt sich dann aus (300 kg - x)

'''x = Masse der Messingsorte mit 40% Kupferanteil'''


=== Term aufstellen ===

&lt;math&gt;x \cdot {55 \over 100} + (300kg-x) \cdot {70 \over 100} = 300kg \cdot {65 \over 100}&lt;/math&gt;

=== Ausrechnen ===

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + (300kg-x) \cdot {60 \over 100} = 300kg \cdot {55 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen und vereinfachen'''

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + 300kg \cdot {60 \over 100} - x \cdot {60 \over 100} = 165kg  &lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + 180 - x \cdot {60 \over 100} = 165kg  &lt;/math&gt; '''| -180'''

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} - x \cdot {60 \over 100} = -15kg  &lt;/math&gt; '''|x ausklammern'''

&lt;math&gt;x \cdot ({40 \over 100} - {60 \over 100}) = -15  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen'''

&lt;math&gt;x \cdot (-{20 \over 100}) = -15  &lt;/math&gt; '''| / - 0,2'''

&lt;math&gt;x  = 75kg  &lt;/math&gt;

'''Es werden 75 kg des Messings mit 40% Kupferantel benötigt. Die restlichen 225Kg werden vom 60 prozentigen Messing benötigt.'''

=== Probe ===

Im Endprodukt, den 300 kg Messing mit 55% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;300 kg  \cdot 0,55 = 165 kg&lt;/math&gt; Kupfer

In den beiden anderen Sorten die zusammengemischt wurden, muss nun genau der gleiche Anteil vorhanden sein.

In 75 kg der ersten Sorte mit 40% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;75 kg  \cdot 0,40 = 30 kg&lt;/math&gt; Kupfer.

In den restlichen 225 kg der zweiten Sorte befinden sich:

&lt;math&gt;225 kg  \cdot 0,60 = 135 kg&lt;/math&gt; Kupfer

Zusammen ergibt das genau die 165 kg, die auch im Endprodukt vorhanden sind.

==Suchbegriffe==

Mischungsaufgabe, Messing, Termbildung

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft]]

[[Arbeiten mit Termen: Treffpunkt von zwei Radfahrern]]

[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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    <text bytes="613" xml:space="preserve">== Taylorreihe ==


'''Ich suche ein Beispiel für eine "C-unendlich-Funktion, deren Taylorreihe konvergiert, aber nicht die Funktion darstellt."'''

Diese Aufgabe soll im Rahmen eines Referats gelöst werden. Bisher habe ich allerdings noch keine passende Aufgabe zu diesen Angaben gefunden. Hat jemand evtl. einen Vorschlag?


Antwort: Cauchy hat ein bekanntes Beispiel dazu gegeben. &lt;math&gt;f: R\rightarrow R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(x)=exp(-\frac{1}{x^{2}})&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;x\not=0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f(x)=0&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt;.
Die Funktion wird in keiner Umgebung von 0 durch ihre Taylorreiche dargestellt.</text>
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&lt;div style="text-align:center;"&gt;
&lt;div style="font-size:120%;"&gt;'''Willkommen zum ersten deutschsprachigen [[w:c:de|Wikia]] Community-Newsletter!&lt;/div&gt;
'''Neuigkeiten aus Wikia - Updates, Neuerungen und mehr...'''&lt;/div&gt;

== MediaWiki 1.14 Upgrade ==
&lt;div class="floatright"&gt;http://images1.wikia.nocookie.net/de/images/b/bc/Wiki.png&lt;/div&gt;
Im Verlauf der letzten zwei Wochen haben wir alle Wikis von Wikia auf '''MediaWiki 1.14''' umgestellt. MediaWiki ist die zugrunde liegende Software eurer Wikis und 1.14 die aktuellste Version. Der Rollout ging dieses Mal problemlos über die Bühne. Kleine Kinderkrankheiten (fehlende Spezialseiten oder Nachrichten in falscher Sprache) sind nur für wenige Stunden aufgetaucht. Falls euch trotzdem ein Fehler unterkommen sollte, so könnt ihr ihn [http://de.wikia.com/index.php?title=Forum:Upgrade_auf_MediaWiki_1.14&amp;t=20090507115604 hier] melden.

Was ist neu? Die meisten Änderungen und Verbesserungen sind relativ klein. Zu den wichtigsten Anpassungen gehören:
* Der „Bild:“-Namensraum wurde in „Datei:“ umbenannt. Einbindungen mit dem „Bild:“-Prefix funktionieren jedoch weiterhin korrekt.
* '''Dem &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[Datei: ...]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;-Tag kann jetzt ein optionaler Link-Parameter angehängt werden, so dass ein Bild direkt auf eine Seite oder eine URL verlinken kann.'''
* Administratoren können nun Bilder und Dateien verschieben, so dass es nicht länger notwendig ist, eine Datei erst zu löschen und unter einem anderen Namen hochzuladen.
* [[Spezial:Zufällige Seite]] zeigt nun eine Seite aus einem beliebigen Namensraum und nicht nur aus dem Artikelnamensraum.
* In der Versionsgeschichte von Dateien werden jetzt Vorschaubilder angezeigt.
* Neue Spezialseiten sind [[Spezial:Fehlende Dateien]] und [[Spezial:Fehlende Vorlagen]]. Diese listen Dateien und Vorlagen, die in Artikeln eingebunden sind, aber nicht im Wiki existieren.

... und noch vieles mehr. Eine vollständige Liste aller Änderungen findet ihr [[w:Wikia:MediaWiki/1.14/Change log|hier]].

Wie oben erwähnt erwarten wir aufgrund ausführlicher vorheriger Test keine größeren Probleme, falls es doch welche geben sollte, teil sie uns bitte [[w:de:Forum:Upgrade auf MediaWiki 1.14|hier]] mit.

== Tipps und Tricks ==
&lt;div style="background-color:#FDFFDF; color:#000; border: 1px outset black; padding:10px; font-size:90%;"&gt;
&lt;span style="font-size:120%"&gt;''Wie kannst du dein Wiki für Suchmaschinen interessant machen?''&lt;/span&gt;

;Ändere die „Hauptüberschrift“ deines Wikis
&lt;div class="floatright plainlinks"&gt;[http://gaming.wikia.com/wiki/File:Fallout_Search.png http://images4.wikia.nocookie.net/egamia/images/thumb/f/f2/Fallout_Search.png/200px-Fallout_Search.png]&lt;/div&gt;
:Es ist wichtig für Google, dass die HTML-Title-Tags angepasst sind. Versichere dich, dass dein Titel folgendes Format hat: '''Thema des Wikis + Wikiname (&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{SITENAME}}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;) + 3 suchfreundliche Schlüsselwörter'''. Wenn dein Wiki über Schafe zum Beispiel Mähpedia heißt, und sonst nichts weiter im Pagetitle steht, wird jemand der „Schafe“ sucht, dein Wiki nicht finden. Dein Pagetitle sollte also besser „Schaf-Wiki - Mähpedia - Wissenswertes über Schafe und ihre Aufzucht“ lauten. Du kannst den Titel anpassen, indem du ''[[MediaWiki:Pagetitle]]'' und ''[[MediaWiki:Pagetitle-view-mainpage]]'' bearbeitest - schau dir als Beispiel das [[w:c:demigod:MediaWiki:Pagetitle|Demigod]]-Wikia an.

;Aktualisiere deine Hauptseite!
:Google startet das Indizieren der Seiten von der Hauptseite aus. Daher solltest du Google auch zu den richtigen Seiten schicken. Du solltest von der Hauptseite aus zu den '''wichtigsten Inhalten in deinem Wiki verlinken'''. Als Beispiel: Wenn dein Wiki ein RPG-Wiki ist, solltest du zu den 50 wichtigsten Charakteren, Items, Karten, Aufgaben und relevanten Kategorien Links erstellen. Google nimmt das zur Kenntnis, solange du nicht mehr als 100 Links auf der Hauptseite platzierst. Du kannst mit ''[[Spezial:Meistverlinkte Seiten]]'' herausfinden, welches die meist verlinktesten Seiten sind. Schau dir als Beispiel mal das [[w:c:drakensang|Drakensang Wiki]] an.
&lt;/div&gt;

== Wusstest du... ==
&lt;div class="floatright plainlinks"&gt;[http://de.gaming.wikia.com http://images3.wikia.nocookie.net/egamia/images/thumb/9/93/Wordmark_gaming.png/250px-Wordmark_gaming.png]&lt;br /&gt;[http://de.entertainment.wikia.com http://images.wikia.com/entertainment/de/images/b/bc/Wiki.png]&lt;/div&gt;
...dass es inzwischen ein deutschsprachiges [[w:c:de.gaming|Wikia Gaming]] und [[w:c:de.entertainment|Wikia Entertainment]] gibt?

In Wikia Gaming findest du Informationen rund um Spiele und Spiele-Wikis. Hier kannst du eigene Wikis vorstellen oder dich über aktuelle Spiele, Charaktere und mehr informieren.

In Wikia Entertainment findest du Informationen, Links und Neuigkeiten zu [[w:c:de.entertainment:Kategorie:TV|TV Serien]], [[w:c:de.entertainment:Kategorie:Filme|Filmen]], [[w:c:de.entertainment:Kategorie:Bücher|Literatur]], [[w:c:de.entertainment:Kategorie:Fantasy|Fantasy]], [[w:c:de.entertainment:Kategorie:Sci-Fi|Science-Fiction]], [[w:c:de.entertainment:Kategorie:Anime|Anime]]/[[w:c:de.entertainment:Kategorie:Manga|Manga]] ...und vielem mehr!

Habt ihr eine Entertainment-Top 10? Top 10 Filme? Top 10 witzigste Comedy? Lasst es uns wissen und erstellt eure eigene [[w:c:de.entertainment:Kategorie:Top 10|Top 10]], es ist ganz einfach!

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__NOTOC__
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    <text bytes="1384" xml:space="preserve">==Aufgabe ==
Berechne die Fläche unter der Funktion

&lt;math&gt;f(x) = x^3  - 2x^2  - 3x&lt;/math&gt;

im Intervall von 0 bis 2

===Tipps===


===Lösung===

====Stammfunktion suchen====

&lt;math&gt;f(x) = x^3  - 2x^2  - 3x&lt;/math&gt;

dann ist

&lt;math&gt;F(x) = {1 \over 4}x^4  - {2 \over 3}x^3  - {3 \over 2}x^2 &lt;/math&gt;

====Das bestimmte Integral====


&lt;math&gt;\int\limits_0^2 {\left( {x^3  - 2x^2  - 3x} \right)} dx = \left[ {{1 \over 4}x^4  - {2 \over 3}x^3  - {3 \over 2}x^2 } \right]_0^2 &lt;/math&gt;

[[Bild:2x^2-3x.png|framed|f(x)= x^3-2x^2-3x]]

&lt;math&gt; = \left[ {{1 \over 4}2^4  - {2 \over 3}2^3  - {3 \over 2}2^2 } \right] - \left[ {{1 \over 4}0^4  - {2 \over 3}0^3  - {3 \over 2}0^2 } \right] &lt;/math&gt;


&lt;math&gt; = \left[ {{{16} \over 4} - {{16} \over 3} - {{12} \over 2}} \right] - \left[ 0 \right]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt; = \left[ {{{48} \over {12}} - {{64} \over {12}} - {{72} \over {12}}} \right] - \left[ 0 \right]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt; =  - {{88} \over {12}} =  - {{22} \over 3} =  - 7,33\bar 3 FE&lt;/math&gt;


Im Intervall zwischen 0 und 2 liegen also 22/3 Flächeneinheiten. Da das Ergebnis negativ ist, liegt die Fläche unterhalb der x-Achse..

===Suchbegriffe===

Fläche unter einer Funktion, Integralrechnung, Beispielaufgabe


===Quellen===


[http://volkerbehrens.de/daten/integralrechnung.pdf www.volkerbehrens.de]

===ähnliche Aufgaben===


[[Kategorie:Abituraufgaben]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 12]]</text>
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  <title>Benutzer Diskussion:79.202.52.43</title>
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    <comment>Begrüßung eines neuen Autors</comment>
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    <text bytes="1090" xml:space="preserve">Hi, WikiMath freut sich, dass du zu uns gestoßen bist! Danke für deine Bearbeitung auf der Seite [[:Integralrechnung: Fläche unter einer ganzrationalen Funktion]].

'''[[Special:Userlogin|Bitte lege dir ein Benutzerkonto an]]'''. So kannst du ganz einfach deine Beiträge im Überblick behalten und dich besser mit dem Rest der Community verständigen.

Falls du irgendwelche Hilfe brauchen solltest, kannst du mir gerne eine Nachricht auf [[Benutzer Diskussion:KyleH|meiner Diskussionsseite]] hinterlassen! -- [[Benutzer:KyleH|KyleH]] ([[Benutzer_Diskussion:KyleH|Diskussion]]) 17:36, 14. Mai 2009

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PS: Du kannst auch gerne anonym editieren, allerdings wird dann deine IP-Adresse in der Versionsgeschichte gespeichert. Das Anlegen eines Benutzerkontos ist gratis und du musst keine privaten Daten angeben. Wenn du deine E-Mail-Adresse angibst, kannst du dir Hinweise schicken lassen, wenn dir jemand schreibt oder falls du dein Passwort vergessen hast. Mit diesem Benutzerkonto kannst du in jedem Wiki bei [[w:c:de|Wikia]] aktiv sein - du brauchst dich nicht nochmal neu anmelden.</text>
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  <title>Gefangene und Glühbirne</title>
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    <text bytes="1451" xml:space="preserve">==Aufgabe (100 Gefangene und 1 Glühbirne)==

100 Gefangene werden zu lebenslänglicher Haft verurteilt. Sie erhalten
allerds eine Chance diese Strafe zu mindern.
Die 100 Gefangenen werden in 100 Einzelzellen untergebracht, von denen aus
keine Möglichkeit bestess jeden Tag einer von ihnen (per
Zufall) ausgewählt wird, der in einen Raum mit einer Lampe und deren Schalter
geführt wird. Dort darf er den Schalter betätigen. Während dieser Prozedur
besteht ebenfalls keine Möglichkeit zur Kommunikation.

Sobald einer der Gefangenen dem Wächter sagt, dass bereits jeder Häftling
mindestens einmal in
&lt;math&gt;Formel hier einfügen&lt;/math&gt;

Können die Gefangenen ihre Freilassung erreichen? Wenn ja, wie?

===Tipps===


===Lösungen===
[[Gefangene und Glühbirne, Lösung 1]]

[[Gefangene und Glühbirne, Lösung 2]]

[[Gefangene und Glühbirne, Lösung 3]]

[[Gefangene und Glühbirne, Lösung 4]]

[[Gefangene und Glühbirne, Lösung 5]]

===Suchbegriffe===
Gefangene, Glühbirne, Schalter, Information mit 1 bit

===Quellen===
[http://groups.google.com/group/de.sci.mathematik/browse_frm/thread/b1c84097895048f9 Newsgroup de.sci.mathematik, Thread vom 31.Okt 2002]

Spektrum der Wissenschaft, April 2003, S 108 und Juni 2003, S 110

[http://groups.google.com/group/de.rec.denksport/browse_frm/thread/39297a60b61aac1e Newsgroup de.rec.denksport, Thread vom 16.Juni 2003]


===ähnliche Aufgaben===
''''''Fetter Text''''''
[[Kategorie:Denksport]]</text>
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    <text bytes="1492" xml:space="preserve">==Aufgabe (100 Gefangene und 1 Glühbirne)==

100 Gefangene werden zu lebenslänglicher Haft verurteilt. Sie erhalten
allerds eine Chance diese Strafe zu mindern.
Die 100 Gefangenen werden in 100 Einzelzellen untergebracht, von denen aus
keine Möglichkeit bestess jeden Tag einer von ihnen (per
Zufall) ausgewählt wird, der in einen Raum mit einer Lampe und deren Schalter
geführt wird. Dort darf er den Schalter betätigen. Während dieser Prozedur
besteht ebenfalls keine Möglichkeit zur Kommunikation.

Sobald einer der Gefangenen dem Wächter sagt, dass bereits jeder Häftling
mindestens einmal in
&lt;math&gt;Formel hier einfügen&lt;/math&gt;

Können die Gefangenen ihre Freilassung erreichen? Wenn ja, wie?

===Tipps===


===Lösungen===
[[Gefangene und Glühbirne, Lösung 1]]

[[Gefangene und Glühbirne, Lösung 2]]

[[Gefangene und Glühbirne, Lösung 3]]

[[Gefangene und Glühbirne, Lösung 4]]

[[Gefangene und Glühbirne, Lösung 5]]

[[Gefangene und Glühbirne, Lösung 6]]

===Suchbegriffe===
Gefangene, Glühbirne, Schalter, Information mit 1 bit

===Quellen===
[http://groups.google.com/group/de.sci.mathematik/browse_frm/thread/b1c84097895048f9 Newsgroup de.sci.mathematik, Thread vom 31.Okt 2002]

Spektrum der Wissenschaft, April 2003, S 108 und Juni 2003, S 110

[http://groups.google.com/group/de.rec.denksport/browse_frm/thread/39297a60b61aac1e Newsgroup de.rec.denksport, Thread vom 16.Juni 2003]


===ähnliche Aufgaben===
''''''Fetter Text''''''
[[Kategorie:Denksport]]</text>
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    <text bytes="2401" xml:space="preserve">==Aufgabe (100 Gefangene und 1 Glühbirne)==

100 Gefangene werden zu lebenslänglicher Haft verurteilt. Sie erhalten
allerdings eine Chance diese Strafe zu mindern. Sie werden für eine bestimmte Zeit in eine gemeinsame Zelle gesperrt und dürfen sich ein System für die folgende Prozedur ausdenken:


Dann werden die 100 Gefangenen in 100 Einzelzellen untergebracht, von denen aus
keine Möglichkeit besteht, miteinander zu kommunizieren. Jeden Tag wird einer von ihnen vollkommen zufällig ausgewählt und in einen Raum mit einer Lampe und deren Schalter
geführt. Dort DARF er den Schalter betätigen. Während dieser Prozedur
besteht keine Möglichkeit, den anderen Gefangenen andere Hinweise zu hinterlassen (z. B. Strichliste an der Wand, etc.) oder mit ihnen zu kommunizieren.

Sobald einer der Gefangenen dem Wächter sagt, dass bereits jeder Häftling
mindestens einmal in der Zelle war und dies zutrifft, kommen alle Gefangenen frei. Stimmt dies nicht, haben sie keine weitere Chance ihre Haft zu verkürzen.

Können die Gefangenen ihre Freilassung erreichen? Wenn ja, wie?

[edit:] Lösungen sollten in eine oder mehrere der folgenden Kategorien fallen:

- sicheres System (Der Gefangene kann mit 100%-iger Sicherheit sagen, dass alle anderen in der Zelle waren)

- schnelles System (Einer der Gefangenen kann möglichst früh sagen, dass alle anderen drin waren. Dies muss nicht zwangsläufig mit absoluter Sicherheit sein)

- kreatives System (Auch wenn das ein Matheforum ist, sollten auch Lösung der Art "Der letzte macht das Licht aus" erlaubt sein. Diese allerdings wirklich nur, falls sie wirklich kreativ sind)
==Lösungen==
[[Gefangene und Glühbirne, Lösung 1]]

[[Gefangene und Glühbirne, Lösung 2]]

[[Gefangene und Glühbirne, Lösung 3]]

[[Gefangene und Glühbirne, Lösung 4]]

[[Gefangene und Glühbirne, Lösung 5]]

[[Gefangene und Glühbirne, Lösung 6]]

===Suchbegriffe===
Gefangene, Glühbirne, Schalter, Information mit 1 bit

===Quellen===
[http://groups.google.com/group/de.sci.mathematik/browse_frm/thread/b1c84097895048f9 Newsgroup de.sci.mathematik, Thread vom 31.Okt 2002]

Spektrum der Wissenschaft, April 2003, S 108 und Juni 2003, S 110

[http://groups.google.com/group/de.rec.denksport/browse_frm/thread/39297a60b61aac1e Newsgroup de.rec.denksport, Thread vom 16.Juni 2003]


===ähnliche Aufgaben===
''''''Fetter Text''''''
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    <text bytes="2544" xml:space="preserve">==Aufgabe (100 Gefangene und 1 Glühbirne)==

100 Gefangene werden zu lebenslänglicher Haft verurteilt. Sie erhalten
allerdings eine Chance diese Strafe zu mindern. Sie werden für eine bestimmte Zeit in eine gemeinsame Zelle gesperrt und dürfen sich ein System für die folgende Prozedur ausdenken:


Dann werden die 100 Gefangenen in 100 Einzelzellen untergebracht, von denen aus
keine Möglichkeit besteht, miteinander zu kommunizieren. Jeden Tag wird einer von ihnen vollkommen zufällig ausgewählt und in einen Raum mit einer Lampe und deren Schalter
geführt. Dort DARF er den Schalter betätigen. Während dieser Prozedur
besteht keine Möglichkeit, den anderen Gefangenen andere Hinweise zu hinterlassen (z. B. Strichliste an der Wand, etc.) oder mit ihnen zu kommunizieren.

Sobald einer der Gefangenen dem Wächter sagt, dass bereits jeder Häftling
mindestens einmal in der Zelle war und dies zutrifft, kommen alle Gefangenen frei. Stimmt dies nicht, haben sie keine weitere Chance ihre Haft zu verkürzen.

Können die Gefangenen ihre Freilassung erreichen? Wenn ja, wie?

[edit:] Lösungen sollten in eine oder mehrere der folgenden Kategorien fallen:

- sicheres System (Der Gefangene kann mit 100%-iger Sicherheit sagen, dass alle anderen in der Zelle waren)

- schnelles System (Einer der Gefangenen kann möglichst früh sagen, dass alle anderen drin waren. Dies muss nicht zwangsläufig mit absoluter Sicherheit sein. Die Sicherheit sollte aber besser sein, als die, die sich nach der entsprechenden Zeit schon allein aus stochastischen Berechnungen ergibt)

- neuartige / unkonventionelle Herangehensweise

- kreatives System (Auch wenn das ein Matheforum ist, sollten auch Scherzlösung der Art "Der letzte macht das Licht aus" erlaubt sein. Diese allerdings wirklich nur, falls sie wirklich kreativ sind)
==Lösungen==
[[Gefangene und Glühbirne, Lösung 1]]

[[Gefangene und Glühbirne, Lösung 2]]

[[Gefangene und Glühbirne, Lösung 3]]

[[Gefangene und Glühbirne, Lösung 4]]

[[Gefangene und Glühbirne, Lösung 5]]

[[Gefangene und Glühbirne, Lösung 6]]

===Suchbegriffe===
Gefangene, Glühbirne, Schalter, Information mit 1 bit

===Quellen===
[http://groups.google.com/group/de.sci.mathematik/browse_frm/thread/b1c84097895048f9 Newsgroup de.sci.mathematik, Thread vom 31.Okt 2002]

Spektrum der Wissenschaft, April 2003, S 108 und Juni 2003, S 110

[http://groups.google.com/group/de.rec.denksport/browse_frm/thread/39297a60b61aac1e Newsgroup de.rec.denksport, Thread vom 16.Juni 2003]
[[Kategorie:Denksport]]</text>
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  <title>Benutzer Diskussion:87.161.104.34</title>
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    <comment>Begrüßung eines neuen Autors</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1057" xml:space="preserve">Hi, WikiMath freut sich, dass du zu uns gestoßen bist! Danke für deine Bearbeitung auf der Seite [[:Gefangene und Glühbirne]].

'''[[Special:Userlogin|Bitte lege dir ein Benutzerkonto an]]'''. So kannst du ganz einfach deine Beiträge im Überblick behalten und dich besser mit dem Rest der Community verständigen.

Falls du irgendwelche Hilfe brauchen solltest, kannst du mir gerne eine Nachricht auf [[Benutzer Diskussion:Avatar|meiner Diskussionsseite]] hinterlassen! -- [[Benutzer:Avatar|Avatar]] ([[Benutzer_Diskussion:Avatar|Diskussion]]) 16:22, 9. Jul. 2009

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PS: Du kannst auch gerne anonym editieren, allerdings wird dann deine IP-Adresse in der Versionsgeschichte gespeichert. Das Anlegen eines Benutzerkontos ist gratis und du musst keine privaten Daten angeben. Wenn du deine E-Mail-Adresse angibst, kannst du dir Hinweise schicken lassen, wenn dir jemand schreibt oder falls du dein Passwort vergessen hast. Mit diesem Benutzerkonto kannst du in jedem Wiki bei [[w:c:de|Wikia]] aktiv sein - du brauchst dich nicht nochmal neu anmelden.</text>
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  <title>Quadratische Gleichungen: Ein Stein fällt in einen Brunnen</title>
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    <comment>/* C: Weg-Zeit-Diagramm */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2429" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach 5 s hört man den Aufschlag. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 340m/s. Die Erdbeschleunigung beträgt g = 9,81 m/s².

'''A:''' Beschreiben sie den Vorgang zur Bestimmung der Tiefe.

'''B:''' Wie tief ist der Brunnen. 

'''C:''' Zeichnen Sie das Weg/Zeit –Diagramm des Vorgangs.

== Tipps ==


== Lösung ==


=== A: Vorgangsbeschreibung ===

Mit einer Stopuhr misst man die Zeit bis zum Aufprall. Die gemessene Zeit ist die Summe für die Fallzeit und die Zeit die der Schall braucht um wieder aufzusteigen. Der Weg, den beide zurücklegen müssen ist der gleiche. Die genaue Vorgehensweise ist im folgenden Punkt erklärt.


=== B: Berechnung der Brunnentiefe ===

Formel für den freien Fall  		

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;               '''&lt;1&gt;'''


Formel für den Schall			

:h = V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;2&gt;'''


Weiter gilt:

:t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; = 5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;  '''&lt;3&gt;'''


Da der Schall die gleiche Strecke zurücklegen muss, wie der Stein kann man die Formeln '''&lt;1&gt;''' und '''&lt;2&gt;''' Gleichsetzen.

:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt;


Und für t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;''' einsetzen.


:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × (5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;)


:&lt;math&gt;
{{9,81} \over 2} \times \mathop t\nolimits_{fall}^2  + 340{m \over s} \times \mathop t\nolimits_{fall}  - 1700 = 0&lt;/math&gt;


'''Das ist eine quadratische Gleichung  mit''' 

:'''a''' = g/2 
:'''b''' = 340 
:'''c''' = -1700

Eingesetzt in die [[Lösungsformel für quadratische Gleichungen]]

:&lt;math&gt; \mathop x\nolimits_{1/2}  = {{ - b \pm \sqrt {b^2  - 4ac} } \over {2a}} &lt;/math&gt;

ergibt zwei Lösungen:

:x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;= 4,684s         
:x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;= -74,0005s

Da es keine negative Fallzeit gibt, muss die Lösung für '''t&lt;sub&gt; fall&lt;/sub&gt; = 4.684s''' sein.

Eingesetzt in    '''&lt;1&gt;'''        

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;

:h = ½ × 9,81 m/s² × 4,684s ²


:'''h = 107,61 m'''

'''Die Brunnentiefe ist also 107,61 m'''

=== C: Weg-Zeit-Diagramm ===

[[Bild:stein_brunnen_wegzeit.PNG]]
Das Diagramm ist falsch, da zunächst ein freier Fall stattfindet und deshalb die zugehörige t-h-Kurve eine Parabel sein muss.

==Suchbegriffe==

Quadratische Gleichung, Brunnentiefe, Fallzeit

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 9]]</text>
    <sha1>103862312c54c8d6ed071ff4fb7454eae4d351c8</sha1>
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    <contributor>
      <username>84.183.212.250</username>
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    </contributor>
    <comment>/* B: Berechnung der Brunnentiefe */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2383" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach 5 s hört man den Aufschlag. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 340m/s. Die Erdbeschleunigung beträgt g = 9,81 m/s².

'''A:''' Beschreiben sie den Vorgang zur Bestimmung der Tiefe.

'''B:''' Wie tief ist der Brunnen. 

'''C:''' Zeichnen Sie das Weg/Zeit –Diagramm des Vorgangs.

== Tipps ==


== Lösung ==


=== A: Vorgangsbeschreibung ===

Mit einer Stopuhr misst man die Zeit bis zum Aufprall. Die gemessene Zeit ist die Summe für die Fallzeit und die Zeit die der Schall braucht um wieder aufzusteigen. Der Weg, den beide zurücklegen müssen ist der gleiche. Die genaue Vorgehensweise ist im folgenden Punkt erklärt.


=== B: Berechnung der Brunnentiefe ===

Formel für den freien Fall

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;1&gt;'''


Formel für den Schall

:h = V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;2&gt;'''


Weiter gilt:

:t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; = 5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;'''


Da der Schall die gleiche Strecke zurücklegen muss, wie der Stein kann man die Formeln '''&lt;1&gt;''' und '''&lt;2&gt;''' Gleichsetzen.

:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt;


Und für t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;''' einsetzen.


:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × (5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;)


:&lt;math&gt;
{{9,81} \over 2} \times \mathop t\nolimits_{fall}^2  + 340{m \over s} \times \mathop t\nolimits_{fall}  - 1700 = 0&lt;/math&gt;


'''Das ist eine quadratische Gleichung mit'''

:'''a''' = g/2
:'''b''' = 340
:'''c''' = -1700

Eingesetzt in die [[Lösungsformel für quadratische Gleichungen]]

:&lt;math&gt; \mathop x\nolimits_{1/2}  = {{ - b \pm \sqrt {b^2  - 4ac} } \over {2a}} &lt;/math&gt;

ergibt zwei Lösungen:

:x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;= 4,684s
:x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;= -74,0005s

Da es keine negative Fallzeit gibt, muss die Lösung für '''t&lt;sub&gt; fall&lt;/sub&gt; = 4.684s''' sein.

Eingesetzt in '''&lt;1&gt;'''

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;

:h = ½ × 9,81 m/s² × 4,684s ²


:'''h = 107,61 m'''

'''Die Brunnentiefe ist also 107,61 m'''

=== C: Weg-Zeit-Diagramm ===

[[Bild:stein_brunnen_wegzeit.PNG]]
Das Diagramm ist falsch, da zunächst ein freier Fall stattfindet und deshalb die zugehörige t-h-Kurve eine Parabel sein muss.

==Suchbegriffe==

Quadratische Gleichung, Brunnentiefe, Fallzeit

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 9]]</text>
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    <text bytes="1093" xml:space="preserve">Hi, WikiMath freut sich, dass du zu uns gestoßen bist! Danke für deine Bearbeitung auf der Seite [[:Quadratische Gleichungen: Ein Stein fällt in einen Brunnen]].

'''[[Special:Userlogin|Bitte lege dir ein Benutzerkonto an]]'''. So kannst du ganz einfach deine Beiträge im Überblick behalten und dich besser mit dem Rest der Community verständigen.

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    <comment>hat „[[Blog:Recent posts]]“ nach „[[Blog:Letzte Beiträge]]“ verschoben:&amp;#32;bot: moving to german default name</comment>
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    <text bytes="35" xml:space="preserve">#REDIRECT [[Blog:Letzte Beiträge]]</text>
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    <text bytes="1706" xml:space="preserve">==Aufgabe (spezieller Aufgabenname)==
Hier gehört die Aufgabenstellung hin.
Dabei sollt ihr natürlich die korrekte mathematische Schreibweise inklusive aller Formeln verwenden: z.B. &lt;math&gt;\begin{bmatrix} 0 &amp; \cdots &amp; 1 \\ \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots \\ 2 &amp; \cdots &amp; 3\end{bmatrix}&lt;/math&gt; oder &lt;math&gt;\int\limits_{-N}^{N} e^x\, \mathrm{d}x&lt;/math&gt;

===Tipps===
Tipps, die beim Selberlösen der Aufgabe helfen, gehören an diese Stelle

===Lösung===
Bitte schreibe hier die Aufgabenlösung hin, falls dir diese schon bekannt ist. Ansonsten hoffe darauf, dass ein anderer Nutzer auch nach dieser Aufgabe sucht und dann, nachdem ihm die Lösung bekannt ist, diese hier reinschreibt.

===Suchbegriffe===
Gib hier verschiedene Begriffe ein, über welche die Aufgabe in der WikiMath-Suchmaschine gefunden werden soll.

===Quellen===
Hast du die Aufgabe einer bestimmten Quelle entnommen?
Dann gehört ein Verweis hierhin.

===ähnliche Aufgaben===
Gibt es auf WikiMath schon andere ähnliche Aufgaben, die mit dieser Aufgabe eng verwandt sind, aber nicht unbedingt zusammen auf einer Seite stehen sollten, dann verlinke hier zu diesen anderen Aufgaben.
!!!Dies ist auch sehr wichtig, damit keine Aufgaben verwaisen!!!
Genauso solltest Du auch Deine Aufgabe bei den anderen verlinken.

==Aufgabe 2 (weiterer Aufgabenname)==

===Tipps===

===Lösung===

===Suchbegriffe===

===Quellen===

===ähnliche Aufgaben===


Vergiss nicht deine Aufgabe einer/oder mehrerer Kategorien zuzuordnen!
Welche Kategorien bisher existieren, findest du auf den Spezialseiten unter [[Spezial:Categories|Seitenkategorien]]. Kategorienvorschläge sind auch schon auf der [[WikiMath|Hauptseite]] zu finden.

[[Kategorie:Beispielkategorie]]</text>
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  <title>Transformation von kartesischen Koordinatensystemen</title>
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    <comment>Die Seite wurde neu angelegt: „==Textaufgabe: Transformation von kartesischen Koordinatensystemen ==  Auf einer Berliner Katasterkarten (M 1:5000) treffen sich an der Ostseite des[http://spatic…“</comment>
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    <text bytes="1381" xml:space="preserve">==Textaufgabe: Transformation von kartesischen Koordinatensystemen ==

Auf einer Berliner Katasterkarten (M 1:5000) treffen sich an der Ostseite des[http://spatico.de/33uuu91269450 Hermannplatzes] zwei Gitterlinien dieses Katasters mit dem Ostwert '''26400''' und dem Nordwert '''17800'''. Der Fundamentalpunkt des Berliner Katasters ist der [http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Müggelturm Müggelturm]. Seine Koordinaten sind:

* Ost- oder auch Rechtswert:''' 40000''' 

* Nord- oder auch Hochwert '''10000'''

Im [http://de.wikipedia.org/wiki/UTM-Koordinatensystem UTM-Koordinatensystem], ebenfalls ein kartesisches und metrisches Koordinatensystem, hat der Müggelturm die Koordinaten&amp;nbsp;'''406488''' rechts und '''            5808334''' hoch. Der Hermannplatz hat in diesem System die Koordinaten '''392950''' rechts / '''5816400''' hoch. Allerdings sind diese Koordinaten mit einem Fehler von 10m behaftet.

* Reichen diese Angaben zur Lösung der folgenden Aufgaben?

* Wo liegt der Nullpunkt des Berliner Katasters und welche UTM-Koordinaten hat dieser? 

* Welche Soldnerkoordinaten hat der Punkt&amp;nbsp; '''3920000''' rechts / '''5820000'''

* Wie lautet der allgemeine Rechenweg zu derartigen Umrechnungen auf der Basis von Referenzpunkten?

===Tipps===&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;===Lösung===&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;===Suchbegriffe===&lt;br /&gt;Koordinatensysteme Umrechnung Transformation</text>
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    <text bytes="1419" xml:space="preserve">==Textaufgabe: Transformation von kartesischen Koordinatensystemen ==

Auf einer Berliner Katasterkarten (M 1:5000) treffen sich an der Ostseite des[http://spatico.de/33uuu91269450 Hermannplatzes] zwei Gitterlinien dieses Katasters mit dem Ostwert '''26400''' und dem Nordwert '''17800'''. Der Fundamentalpunkt des Berliner Katasters ist der [http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Müggelturm Müggelturm]. Seine Koordinaten sind:

* Ost- oder auch Rechtswert:''' 40000''' 

* Nord- oder auch Hochwert '''10000'''

Im [http://de.wikipedia.org/wiki/UTM-Koordinatensystem UTM-Koordinatensystem], ebenfalls ein kartesisches und metrisches Koordinatensystem, hat der Müggelturm die Koordinaten&amp;nbsp;'''406488''' rechts und '''            5808334''' hoch. Der Hermannplatz hat in diesem System die Koordinaten '''392950''' rechts / '''5816400''' hoch. Allerdings sind diese Koordinaten mit einem Fehler von 10m behaftet.

* Reichen diese Angaben zur Lösung der folgenden Aufgaben?

* Wo liegt der Nullpunkt des Berliner Katasters und welche UTM-Koordinaten hat dieser? 

* Welche Soldnerkoordinaten hat der Punkt&amp;nbsp; '''3920000''' rechts / '''5820000'''

* Wie lautet der allgemeine Rechenweg zu derartigen Umrechnungen auf der Basis von Referenzpunkten?

===Tipps===&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;===Lösung===&lt;br /&gt;&lt;br /&gt;===Suchbegriffe===&lt;br /&gt;Koordinatensysteme Umrechnung Transformation
[[Kategorie:Aufgabe Schulmathematik]]</text>
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    <text bytes="1085" xml:space="preserve">Hi, WikiMath freut sich, dass du zu uns gestoßen bist! Danke für deine Bearbeitung auf der Seite [[:Transformation von kartesischen Koordinatensystemen]].

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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1104" xml:space="preserve">Hi, WikiMath freut sich, dass du zu uns gestoßen bist! Danke für deine Bearbeitung auf der Seite [[:Quadratische Gleichungen: Ein Stein fällt in einen Brunnen]].

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  <title>Logarithmen: Zinseszins</title>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1572" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Nach wieviel Jahren ist ein Kapital von 10000,- € zu einem Zinssatz von 2,9% auf 28798,43 € angestiegen?

== Tipps ==

Die Lösungsformel für die Berechnung von Zinseszinsen ist:


&lt;math&gt;K_n  = K_0  \cdot (1 + \frac{p}
{{100}})^n&lt;/math&gt; 

Dabei ist: 

K&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; das Kapital nach n Jahren.

K&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; das Anfangskapital

p der Zinssatz in %

n die Jahre

== Lösung ==

Gegebene Werte in die Formel einsetzen:

&lt;math&gt;28798,43 Eur  = 10000,- Eur  \cdot (1 + \frac{2,9}
{{100}})^n&lt;/math&gt;

Dann gesucht ist und im Exponent steht müssen wir den Logarithmus suchen.


&lt;math&gt;\begin{gathered}
  28798,43 = 10000 \cdot \left( {1 + \frac{{2,9}}
{{100}}} \right)^n  \hfill \\
  \frac{{28798,43}}
{{10000}} = \left( {1,029} \right)^n  \hfill \\
  n = \log _{1,029} 2,879843 \hfill \\
  n \approx 37 \hfill \\ 
\end{gathered}&lt;/math&gt;


Nach 37 Jahren ist ein Kapital von 10000,-€ bei einem Jahreszins von 2,9% auf 28798,43 € angestiegen.

== Anmerkung ==

Die 3. Zeile der Rechnung

&lt;math&gt;n = \log _{1,029} 2,879843 \hfill \\&lt;/math&gt;

berechnet man mit dem Taschenrechner mit Hilfe der Logarithmusgesetze. Dabei rechnet man einen Logarithmus beliebiger Basis um, indem man mit Hilfe des natürlichen Logarithmus (Taste ''ln'' auf dem Taschenrechner) den Logarithmus des Exponenten durch den Logarithmus der Basis Teilt.

Denn es gilt:
&lt;math&gt;
\log _b a = \frac{{\ln a}}
{{\ln b}}
&lt;/math&gt;

==Suchbegriffe==

Logarithmen, Zins, Zinseszins


==ähnliche Aufgaben==


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 10]]
[[Kategorie:Logarithmen]]</text>
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    <text bytes="1625" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Nach wieviel Jahren ist ein Kapital von 10000 € zu einem Zinssatz von 2,9 % auf 28798,43 € angestiegen?

== Tipps ==

Die Lösungsformel für die Berechnung von Zinseszinsen ist:


&lt;math&gt;K_n  = K_0  \cdot (1 + \frac{p}
{{100}})^n&lt;/math&gt;

Dabei ist:

&lt;math&gt;K_n&lt;/math&gt; das Kapital nach n Jahren.

&lt;math&gt;K_0&lt;/math&gt; das Anfangskapital

&lt;math&gt;p&lt;/math&gt; der Zinssatz in %

&lt;math&gt;n&lt;/math&gt; die Dauer in Jahren

== Lösung ==

Gegebene Werte in die Formel einsetzen:

&lt;math&gt;28798,43 Euro  = 10000 Euro  \cdot (1 + \frac{2,9}
{{100}})^n&lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; gesucht ist und im Exponent steht, müssen wir den Logarithmus suchen.


&lt;math&gt;\begin{gathered}
  28798,43 = 10000 \cdot \left( {1 + \frac{{2,9}}
{{100}}} \right)^n  \hfill \\
  \frac{{28798,43}}
{{10000}} = \left( {1,029} \right)^n  \hfill \\
  n = \log _{1,029} 2,879843 \hfill \\
  n \approx 37 \hfill \\ 
\end{gathered}&lt;/math&gt;


Nach 37 Jahren ist ein Kapital von 10000 € bei einem Jahreszins von 2,9% auf 28798,43 € angestiegen.

== Anmerkung ==

Die 3. Zeile der Rechnung

&lt;math&gt;n = \log _{1,029} 2,879843 \hfill \\&lt;/math&gt;

berechnet man mit dem Taschenrechner mit Hilfe der Logarithmusgesetze. Dabei rechnet man einen Logarithmus beliebiger Basis um, indem man mit Hilfe des natürlichen Logarithmus (Taste ''ln'' auf dem Taschenrechner) den Logarithmus des Exponenten durch den Logarithmus der Basis teilt.

Denn es gilt:
&lt;math&gt;
\log _b a = \frac{{\ln a}}
{{\ln b}}
&lt;/math&gt;

== Suchbegriffe ==

Logarithmen, Zins, Zinseszins


== ähnliche Aufgaben ==
[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 10]]
[[Kategorie:Logarithmen]]</text>
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  <title>Benutzer Diskussion:77.21.62.248</title>
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    <text bytes="1065" xml:space="preserve">==Willkommen==

Hi, Willkommen bei WikiMath! Danke für deine Bearbeitung auf der [[:Logarithmen: Zinseszins]] Seite.

'''[[Special:Userlogin|Bitte lege dir ein Benutzerkonto an]]'''. So kannst du ganz einfach deine Beiträge im Überblick behalten und dich besser mit dem Rest der Community verständigen.

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  <title>Benutzer:Sannse</title>
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  <title>Gefangene und Glühbirne, Lösung 4</title>
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Dies ist die Lösung 4 von Aufgabe [[Gefangene und Glühbirne]].

"Ein Zähler":

Bei der ersten Unterredung bestimmen die Häftlinge einen "Zähler". Alle anderen bemühen sich, vom Zähler genau einmal gezählt zu werden. Das geht folgendermaßen.

Wer selbst noch nie gezählt wurde und beim Betreten des Raumes die Glühbirne ausgeschaltet vorfindet, schaltet sie ein. Er kann sich damit als gezählt ansehen. Die Glühbirne bleibt eingeschaltet, bis nach einiger Zeit (zufällig) der "Zähler" wieder in die Kammer kommt. Er schaltet die Glühbirne aus und vermerkt für sich, dass ein Häftling, den er bisher noch nicht gezählt hatte, in der Kammer war.

Alle anderen lassen die Glühbirne unverändert.

Sobald der "Zähler" bis 99 gezählt hat, kann er verkünden, dass mit Sicherheit schon jeder einmal im Raum war.

Das Verfahren erfordert Geduld. Der Zähler muss mindestens 99 Mal das Zimmer aufsuchen. Da er im Mittel etwa alle 100 Tage ausgelost wird, dauert das etwa 100*99 Tage (etwas mehr als 27 Jahre).

In Wahrheit dauert es noch länger, weil - besonders in der Endphase - nicht notwendigerweise zwischen zwei Besuchen des "Zählers" ein verbliebener Ungezählter den Raum betreten hat.


'''Verbesserung 1:'''

Schneller geht es, wenn der "Zähler" nicht bei der Besprechung direkt bestimmt wird. Stattdessen kann man übereinkommen, dass derjenige, der am 2. Tag in die Kammer geführt wird, automatisch die Funktion "Zähler" übernimmt.
Der Zähler betritt damit das Zimmer zum ersten Mal am 2. Tag anstatt sonst durchschnittlich am 50. Tag. Das erspart 48 Tage Wartezeit.


'''Verbesserung 2:'''

Noch schneller geht es, wenn die Funktion des Zählers demjenigen übertragen wird, der zuerst ein zweites Mal in die Kammer kommt.

Dazu wird der Glühbirne in den ersten 100 Tagen eine andere Bedeutung zugeordnet:

# Der Häftling von Tag 1 schaltet die Glühbirne ein. Er betrachtet sich als gezählt.
# Jeder weitere Häftling, der die Glühbirne eingeschaltet vorfindet, betrachtet sich ebenfalls als gezählt. Er lässt die Glühbirne unverändert.
# Sobald ein Häftling zum zweiten Mal in den Raum kommt, schaltet er die Glühbirne aus. Er weiß, dass er der Zähler ist und kennt die Anzahl der Häftlinge, die sich schon als gezählt betrachten können, an Hand der Tagesnummer.
# Jeder weitere Häftling, der bis zum Tag 100 den Raum betritt, lässt die Glühbirne unverändert.
# Wer in den ersten 100 Tagen die Glühbirne einmal in eingeschaltetem Zustand gesehen hat, gilt als gezählt.

Ab Tag 101 beginnt das "übliche" Verfahren, wo jeder noch nicht gezählte durch Einschalten der Glühbirne signalisiert, dass er gezählt werden möchte.

Im Durchschnitt kommt nach etwa 13 Tagen ein Häftling zum zweiten Mal in die Kammer. Der Rest der ersten 100 Tage vergeht zwar ungenutzt, der Zähler hat sich durch diesen Trick aber ca. 12 Zählungen, also 1200 Tage, erspart.

Verbesserung 2 ist nicht möglich, da nicht klar ist welcher Häftling der erste ist, der ein zweites Mal in die Zelle geführt wird. Beispiel: In den ersten 5 Tagen werden die Häftlinge 1-5 in die Zelle geführt. Am 6. Tag kommt Häftling 1 wieder in die Zelle, findet das Licht eingeschaltet vor und ist sich bewusst, dass er zum zweiten Mal die Zelle betritt. Er betrachtet sich nun als Zähler und schaltet das Licht aus. An Tag 7 kommt Häftling 6 in die Zelle, findet das Licht ausgeschaltet vor und da er noch nie in der Zelle war schaltet er es ein. An Tag 8 kommt nun Häftling 2 in die Zelle. Er findet das Licht eingeschaltet vor und ist sich bewusst, dass er zum zweiten Mal in die Zelle kommt. Auch er wird sich nun als Zähler betrachten und das Licht ausschalten. So geht das immer weiter und irgendwann werden sich alle Häftlinge zu Zählern ernannt haben und den anderen Zählern das Licht ausgeschaltet haben. Da alle Häftlinge Zähler sind schaltet niemand mehr das Licht ein, dadurch wird auch kein Zähler je die 99 erreichen.


'''Verbesserung 3:'''

Anstatt '''einer''' Vorlaufperiode von 100 Tagen (siehe Verbesserung 2) könnte man davon auch mehrere machen.

Untersuchungen dazu wären hier noch zu ergänzen.
[[Kategorie:Denksport_Loesung]]</text>
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  <title>Gefangene und Glühbirne, Lösung 6</title>
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    <comment>neuer Lösungsvorschlag zu [[Gefangene und Glühbirne]]</comment>
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    <text bytes="1140" xml:space="preserve">Ein System, das noch weniger Zeit beansprucht:

Wir gehen davon aus, dass die Position des Schalters am Anfang auf AUS steht.


Tag 1 bis einschließlich Tag 99: Immer wenn ein Häftling, der noch nie in der Zelle war, die Zelle betritt, ändert er die Position der Schalters.

Ab Tag 100: Immer wenn ein Häftling, der noch nie in der Zelle war diese betritt, ändert er die Position des Schalters an einem UNGERADEN Tag nur von AUS auf EIN, bzw. an einem GERADEN Tag nur von EIN auf AUS.

Gültig an allen Tagen: Ein Häflting, der schon mindestens einmal in der Zelle war und diese betritt, ändert die Position des Schalters an einem GERADEN Tag nur von AUS auf EIN, bzw. an einem UNGERADEN Tag nur von EIN auf AUS.


Ab einschließlich Tag 100: Kommt ein Häftling in die Zelle und findet an einem GERADEN Tag die Position des Schalters auf EIN vor, so weiß er, dass er der letzte Häftling ist, der die Zelle betritt. Das gleiche gilt wenn ein Häftling den Schalter an einem UNGERADEN Tag auf AUS vorfindet.

Wie lange das ungefähr dauert weiß ich nicht, aber es sollte deutlich kürzer sein als die anderen Lösungsvorschläge.</text>
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    <comment>+ Link zur Aufgabe</comment>
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    <text bytes="1204" xml:space="preserve">Dies ist eine Lösung von Aufgabe [[Gefangene und Glühbirne]].
Ein System, das noch weniger Zeit beansprucht:

Wir gehen davon aus, dass die Position des Schalters am Anfang auf AUS steht.


Tag 1 bis einschließlich Tag 99: Immer wenn ein Häftling, der noch nie in der Zelle war, die Zelle betritt, ändert er die Position der Schalters.

Ab Tag 100: Immer wenn ein Häftling, der noch nie in der Zelle war diese betritt, ändert er die Position des Schalters an einem UNGERADEN Tag nur von AUS auf EIN, bzw. an einem GERADEN Tag nur von EIN auf AUS.

Gültig an allen Tagen: Ein Häflting, der schon mindestens einmal in der Zelle war und diese betritt, ändert die Position des Schalters an einem GERADEN Tag nur von AUS auf EIN, bzw. an einem UNGERADEN Tag nur von EIN auf AUS.


Ab einschließlich Tag 100: Kommt ein Häftling in die Zelle und findet an einem GERADEN Tag die Position des Schalters auf EIN vor, so weiß er, dass er der letzte Häftling ist, der die Zelle betritt. Das gleiche gilt wenn ein Häftling den Schalter an einem UNGERADEN Tag auf AUS vorfindet.

Wie lange das ungefähr dauert weiß ich nicht, aber es sollte deutlich kürzer sein als die anderen Lösungsvorschläge.</text>
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    <text bytes="1209" xml:space="preserve">Dies ist eine Lösung von Aufgabe [[Gefangene und Glühbirne]].
Ein System, das noch weniger Zeit beansprucht:

Wir gehen davon aus, dass die Position des Schalters am Anfang auf AUS steht.


Tag 1 bis einschließlich Tag 99: Immer wenn ein Häftling, der noch nie in der Zelle war, die Zelle betritt, ändert er die Position der Schalters.

Ab Tag 100: Immer wenn ein Häftling, der noch nie in der Zelle war diese betritt, ändert er die Position des Schalters an einem UNGERADEN Tag nur von AUS auf EIN, bzw. an einem GERADEN Tag nur von EIN auf AUS.

Gültig an allen Tagen: Ein Häflting, der schon mindestens einmal in der Zelle war und diese betritt, ändert die Position des Schalters an einem GERADEN Tag nur von AUS auf EIN, bzw. an einem UNGERADEN Tag nur von EIN auf AUS.


Ab einschließlich Tag 100: Kommt ein Häftling in die Zelle und findet an einem GERADEN Tag die Position des Schalters auf EIN vor, so weiß er, dass er der letzte Häftling ist, der die Zelle betritt. Das gleiche gilt wenn ein Häftling den Schalter an einem UNGERADEN Tag auf AUS vorfindet.

Wie lange das ungefähr dauert weiß ich nicht, aber es sollte deutlich kürzer sein als die anderen Lösungsvorschläge.


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    <text bytes="2040" xml:space="preserve">[edit] Leider ist dieses System falsch. Begründung unten. [/edit]


Dies ist eine Lösung von Aufgabe [[Gefangene und Glühbirne]].
Ein System, das noch weniger Zeit beansprucht:

Wir gehen davon aus, dass die Position des Schalters am Anfang auf AUS steht.


Tag 1 bis einschließlich Tag 99: Immer wenn ein Häftling, der noch nie in der Zelle war, die Zelle betritt, ändert er die Position der Schalters.

Ab Tag 100: Immer wenn ein Häftling, der noch nie in der Zelle war diese betritt, ändert er die Position des Schalters an einem UNGERADEN Tag nur von AUS auf EIN, bzw. an einem GERADEN Tag nur von EIN auf AUS.

Gültig an allen Tagen: Ein Häflting, der schon mindestens einmal in der Zelle war und diese betritt, ändert die Position des Schalters an einem GERADEN Tag nur von AUS auf EIN, bzw. an einem UNGERADEN Tag nur von EIN auf AUS.


Ab einschließlich Tag 100: Kommt ein Häftling in die Zelle und findet an einem GERADEN Tag die Position des Schalters auf EIN vor, so weiß er, dass er der letzte Häftling ist, der die Zelle betritt. Das gleiche gilt wenn ein Häftling den Schalter an einem UNGERADEN Tag auf AUS vorfindet.

Wie lange das ungefähr dauert weiß ich nicht, aber es sollte deutlich kürzer sein als die anderen Lösungsvorschläge.


[edit] Leider kann dieses System nicht funktionieren. Betrachten wir dazu folgende (sehr wahrscheinliche) Annahme:

"Bis Tag 99 haben maximal 98 unterschiedliche Gefangene die Zelle betreten. An Tag 100 betritt Ein Häftling die Zelle, der vorher schon einmal dort war."

Fall 1: Die Lampe ist an (gerader Tag): Der Häftling behauptet fälschlicherweise, dass alle anderen schon in der Zelle waren. (Mit der gegebenen Annahme maximal 98)

Fall 2: Die Lampe ist aus (gerader Tag): Der Häftling muss den Zustand des Schalters nach diesem System gleichlassen. Am nächsten Tag (Tag 101; ungerader Tag) betritt ein beliebiger Häftling die Zelle. Dieser behauptet fälschlicherweise, dass alle anderen schon in der Zelle waren. (Mit der Annahme maximal 99)

[/edit]</text>
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  <title>Kategorie:Algebra und Diskrete Mathematik</title>
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    <text bytes="839" xml:space="preserve">Die folgende Kurzbeschreibung soll einen Einblick geben, welche Aufgaben in dieser Kategorie zu finden sind.

Die '''diskrete Mathematik''' befasst sich mit mathematischen Strukturen, die endlich oder abzählbar sind. Im Gegensatz zu anderen Gebieten wie der [[:Kategorie:Analysis|Analysis]], die sich mit kontinuierlichen Strukturen beschäftigt, werden in der diskreten Mathematik Begriffe wie Stetigkeit nicht gebraucht. Anschaulich kann man sich den Begriff ''diskret'' als ''eckig'' ? verdeutlichen.

Zu den Kerngebieten der diskreten Mathematik zählen:
* Mathematische Logik
* Relationen
* Funktionen
* Kombinatorik
* Graphentheorie
* Zahlentheorie
* Kodierungstheorie
* Kryptografie

* Zudem hat die diskrete Mathematik viele Berührungspunkte mit der '''Algebra''', weshalb sie hier in einer gemeinsamen Kategorie geführt werden.</text>
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    <text bytes="837" xml:space="preserve">Die folgende Kurzbeschreibung soll einen Einblick geben, welche Aufgaben in dieser Kategorie zu finden sind.

Die '''diskrete Mathematik''' befasst sich mit mathematischen Strukturen, die endlich oder abzählbar sind. Im Gegensatz zu anderen Gebieten wie der [[:Kategorie:Analysis|Analysis]], die sich mit kontinuierlichen Strukturen beschäftigt, werden in der diskreten Mathematik Begriffe wie Stetigkeit nicht gebraucht. Anschaulich kann man sich den Begriff ''diskret'' als ''eckig'' verdeutlichen.

Zu den Kerngebieten der diskreten Mathematik zählen:
* Mathematische Logik
* Relationen
* Funktionen
* Kombinatorik
* Graphentheorie
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* Kryptografie

* Zudem hat die diskrete Mathematik viele Berührungspunkte mit der '''Algebra''', weshalb sie hier in einer gemeinsamen Kategorie geführt werden.</text>
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      <username>Wikia</username>
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    </contributor>
    <comment>Begrüßung eines neuen Autors</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="864" xml:space="preserve">==Willkommen==

Hi, Willkommen bei WikiMath! Danke für deine Bearbeitung auf der Seite [[:Kategorie:Algebra und Diskrete Mathematik]].

'''[[Special:Userlogin|Bitte lege dir ein Benutzerkonto an]]'''. So kannst du ganz einfach deine Beiträge im Überblick behalten und dich besser mit dem Rest der Community verständigen.

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  <title>Arbeiten mit Termen: Treffpunkt von zwei Radfahrern</title>
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      <username>93.207.107.97</username>
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    </contributor>
    <comment>/* Tipps */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="4174" xml:space="preserve">==Aufgabe==

Die Orte '''A''' und '''B''' liegen 25 km von einander entfernt. Tina startet um 14:00 Uhr in '''A''' und fährt mit einer Geschwindigkeit von 15 km/h in Richtung '''B'''. Zur gleichen Zeit startet Karin in '''B''' und fährt mit 17 km/h in Richtung '''A'''. 

Nach wieviel Kilometern und nach welcher Zeit treffen sich die beiden Mädchen zwischen '''A''' und '''B'''?
===Tipps===

Wenn ihr Probleme mit der Aufgabenstellung habt, solltet ihr euch erst mal eine Zeichnung machen. Dabei malt man die beiden Orte auf und trägt alle Daten ein, die gegeben sind. hahaha xd

===Lösung===


==== Was ist x ====

Die Geschwindigkeit der Mädchen wird in km/h angegeben. Gesucht ist einmal der gefahrene Weg und zum anderen die verstrichene Zeit seit 14:00 Uhr bis zum Treffpunkt. 

Für x nehmen wir am besten die gefahrene Zeit. 

==== Term aufstellen ====

Der Term besteht aus zwei Teilen die jeder für sich die Formel für das entsprechende Mädchen darstellt.

Man muss allerdings einen wichtigen Punkt dabei berücksichtigen. Da Karin genau in die entgegengesetzte Richtung fährt und bei '''B''' startet, muss ihre Formel von 25 km abgezogen werden. Also ergibt sich:


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} &lt;/math&gt; für Tina

&lt;math&gt; 25 km - (x \cdot 17{km \over h}) &lt;/math&gt; für Karin

Die beiden Formeln werden nun Gleichgesetzt:

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt;

==== Zeit Ausrechnen ====

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt; '''| +17x'''


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} +x \cdot 17{km \over h}  = 25 km &lt;/math&gt; '''| x ausklammern'''


&lt;math&gt;x \cdot (15 {km \over h} +  17{km \over h})  = 25 km &lt;/math&gt; '''| / 32 km/h'''


&lt;math&gt;x  = {25km \over (15 {km \over h} +  17{km \over h})} &lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;x  = {25km \over  32{km \over h}} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x  = {25 \over 32}  h =  0,78125 h = 46,8 Minuten&lt;/math&gt; 

Km kürzt sich raus und übrig bleibt h (Stunden). Sie treffen sich also nach ca.46,8 Minuten.


==== Weg Ausrechnen ====

Der Weg errechnet sich dann über die Geschwindigkeit (wir nehmen die von Tina) und die Zeit. 

Geschwindigkeit = Weg / Zeit oder &lt;math&gt;v = {s \over t}&lt;/math&gt;

Also ist der Weg = Geschwidigkeit x Zeit &lt;math&gt;s = v \cdot t&lt;/math&gt;

die errechnete Zeit und Tinas Geschwindigkeit eingesetzt.

&lt;math&gt;s = {15 {km \over h} \cdot{25 \over 32}h}= 11,72 km&lt;/math&gt;

'''Tina ist also in 46,8 Minuten 11,72 km weit gefahren, bis sie mit Karin zusammentrift.'''


===Lösung 2===

Der zweite Ansatz erfordert schon die Kenntnis einer allgemeinen Geradengleichung.

&lt;math&gt;y = m \cdot x + c&lt;/math&gt;

'''m''' ist darin die Steigung der Geraden und '''c''' der Achsenabschnitt auf der y-Achse

[[Bild:Treffpunkt.png|framed|Die Geradengleichungen als Gafik]]

Die Steigungen sind hierbei die Geschwindigkeiten. Einen Achsenabschnitt hat nur die Gerade von Karin, da sie ja in '''B''', was ja von '''A''' 25 km entfernt liegt, startet. 

Die Geradengleichung für Tina:

&lt;math&gt;y = 15 {km \over h} \cdot x + 0&lt;/math&gt;

Die Geradengleichung für Karin:

&lt;math&gt;y = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km&lt;/math&gt;

Man sieht auch, dass vor der Geschwindigkeit von Karin ein Minus steht, da die Steigung der Geraden negativ ist.

Man sieht in der Grafik schön, dass es genau einen Punkt gibt, in dem sich die Geraden kreuzen. Das ist der Zeitpunkt der Begegnung. Und da die Werte für '''y''' in diesem Punkt die gleichen sind, setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich. (Man nennt diesen Verfahren darum '''Gleichsetzungsverfahren''')

&lt;math&gt; 15 {km \over h} \cdot x + 0 = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km &lt;/math&gt;

==== Ausrechnen ====

&lt;math&gt; 15x  = -17x + 25 &lt;/math&gt; '''| +17x'''

&lt;math&gt; 32x  =  25 &lt;/math&gt; '''| /32 '''

&lt;math&gt; x  =  {25 \over 32} &lt;/math&gt;

Wie man sieht, kommt auch in dieser Lösung das gleiche Ergebnis raus. Den Weg kann man jetzt gaenau wie in Lösung 1 berechnen.

===Suchbegriffe===

Geschwindigkeitsaufgabe, Geschwindigkeit, Termbildung

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft]]


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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      <username>93.207.107.97</username>
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    <comment>/* Tipps */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="4164" xml:space="preserve">==Aufgabe==

Die Orte '''A''' und '''B''' liegen 25 km von einander entfernt. Tina startet um 14:00 Uhr in '''A''' und fährt mit einer Geschwindigkeit von 15 km/h in Richtung '''B'''. Zur gleichen Zeit startet Karin in '''B''' und fährt mit 17 km/h in Richtung '''A'''. 

Nach wieviel Kilometern und nach welcher Zeit treffen sich die beiden Mädchen zwischen '''A''' und '''B'''?
===Tipps===

Wenn ihr Probleme mit der Aufgabenstellung habt, solltet ihr euch erst mal eine Zeichnung machen. Dabei malt man die beiden Orte auf und trägt alle Daten ein, die gegeben sind.

===Lösung===


==== Was ist x ====

Die Geschwindigkeit der Mädchen wird in km/h angegeben. Gesucht ist einmal der gefahrene Weg und zum anderen die verstrichene Zeit seit 14:00 Uhr bis zum Treffpunkt. 

Für x nehmen wir am besten die gefahrene Zeit. 

==== Term aufstellen ====

Der Term besteht aus zwei Teilen die jeder für sich die Formel für das entsprechende Mädchen darstellt.

Man muss allerdings einen wichtigen Punkt dabei berücksichtigen. Da Karin genau in die entgegengesetzte Richtung fährt und bei '''B''' startet, muss ihre Formel von 25 km abgezogen werden. Also ergibt sich:


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} &lt;/math&gt; für Tina

&lt;math&gt; 25 km - (x \cdot 17{km \over h}) &lt;/math&gt; für Karin

Die beiden Formeln werden nun Gleichgesetzt:

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt;

==== Zeit Ausrechnen ====

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt; '''| +17x'''


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} +x \cdot 17{km \over h}  = 25 km &lt;/math&gt; '''| x ausklammern'''


&lt;math&gt;x \cdot (15 {km \over h} +  17{km \over h})  = 25 km &lt;/math&gt; '''| / 32 km/h'''


&lt;math&gt;x  = {25km \over (15 {km \over h} +  17{km \over h})} &lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;x  = {25km \over  32{km \over h}} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x  = {25 \over 32}  h =  0,78125 h = 46,8 Minuten&lt;/math&gt; 

Km kürzt sich raus und übrig bleibt h (Stunden). Sie treffen sich also nach ca.46,8 Minuten.


==== Weg Ausrechnen ====

Der Weg errechnet sich dann über die Geschwindigkeit (wir nehmen die von Tina) und die Zeit. 

Geschwindigkeit = Weg / Zeit oder &lt;math&gt;v = {s \over t}&lt;/math&gt;

Also ist der Weg = Geschwidigkeit x Zeit &lt;math&gt;s = v \cdot t&lt;/math&gt;

die errechnete Zeit und Tinas Geschwindigkeit eingesetzt.

&lt;math&gt;s = {15 {km \over h} \cdot{25 \over 32}h}= 11,72 km&lt;/math&gt;

'''Tina ist also in 46,8 Minuten 11,72 km weit gefahren, bis sie mit Karin zusammentrift.'''


===Lösung 2===

Der zweite Ansatz erfordert schon die Kenntnis einer allgemeinen Geradengleichung.

&lt;math&gt;y = m \cdot x + c&lt;/math&gt;

'''m''' ist darin die Steigung der Geraden und '''c''' der Achsenabschnitt auf der y-Achse

[[Bild:Treffpunkt.png|framed|Die Geradengleichungen als Gafik]]

Die Steigungen sind hierbei die Geschwindigkeiten. Einen Achsenabschnitt hat nur die Gerade von Karin, da sie ja in '''B''', was ja von '''A''' 25 km entfernt liegt, startet. 

Die Geradengleichung für Tina:

&lt;math&gt;y = 15 {km \over h} \cdot x + 0&lt;/math&gt;

Die Geradengleichung für Karin:

&lt;math&gt;y = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km&lt;/math&gt;

Man sieht auch, dass vor der Geschwindigkeit von Karin ein Minus steht, da die Steigung der Geraden negativ ist.

Man sieht in der Grafik schön, dass es genau einen Punkt gibt, in dem sich die Geraden kreuzen. Das ist der Zeitpunkt der Begegnung. Und da die Werte für '''y''' in diesem Punkt die gleichen sind, setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich. (Man nennt diesen Verfahren darum '''Gleichsetzungsverfahren''')

&lt;math&gt; 15 {km \over h} \cdot x + 0 = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km &lt;/math&gt;

==== Ausrechnen ====

&lt;math&gt; 15x  = -17x + 25 &lt;/math&gt; '''| +17x'''

&lt;math&gt; 32x  =  25 &lt;/math&gt; '''| /32 '''

&lt;math&gt; x  =  {25 \over 32} &lt;/math&gt;

Wie man sieht, kommt auch in dieser Lösung das gleiche Ergebnis raus. Den Weg kann man jetzt gaenau wie in Lösung 1 berechnen.

===Suchbegriffe===

Geschwindigkeitsaufgabe, Geschwindigkeit, Termbildung

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft]]


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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  <title>Benutzer Diskussion:93.207.107.97</title>
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      <id>22439</id>
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    <comment>Begrüßung eines neuen Autors</comment>
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    <text bytes="894" xml:space="preserve">==Willkommen==

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  <title>Integralrechnung: Fläche unter einer ganzrationalen Funktion</title>
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    <contributor>
      <username>62.214.233.2</username>
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    </contributor>
    <comment>/* Stammfunktion suchen */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1386" xml:space="preserve">==Aufgabe ==
Berechne die Fläche unter der Funktion

&lt;math&gt;f(x) = x^3  - 2x^2  - 3x&lt;/math&gt;

im Intervall von 0 bis 2

===Tipps===


===Lösung===

====Stammfunktion suchen====

&lt;math&gt;f(x) = x^3  - 2x^2  - 3x&lt;/math&gt;

dann ist

&lt;math&gt;F(x) = {1 \over 4}x^4  - {2 \over 3}x^3  - {3 \over 2}x^2 +c&lt;/math&gt;

====Das bestimmte Integral====


&lt;math&gt;\int\limits_0^2 {\left( {x^3  - 2x^2  - 3x} \right)} dx = \left[ {{1 \over 4}x^4  - {2 \over 3}x^3  - {3 \over 2}x^2 } \right]_0^2 &lt;/math&gt;

[[Bild:2x^2-3x.png|framed|f(x)= x^3-2x^2-3x]]

&lt;math&gt; = \left[ {{1 \over 4}2^4  - {2 \over 3}2^3  - {3 \over 2}2^2 } \right] - \left[ {{1 \over 4}0^4  - {2 \over 3}0^3  - {3 \over 2}0^2 } \right] &lt;/math&gt;


&lt;math&gt; = \left[ {{{16} \over 4} - {{16} \over 3} - {{12} \over 2}} \right] - \left[ 0 \right]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt; = \left[ {{{48} \over {12}} - {{64} \over {12}} - {{72} \over {12}}} \right] - \left[ 0 \right]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt; =  - {{88} \over {12}} =  - {{22} \over 3} =  - 7,33\bar 3 FE&lt;/math&gt;


Im Intervall zwischen 0 und 2 liegen also 22/3 Flächeneinheiten. Da das Ergebnis negativ ist, liegt die Fläche unterhalb der x-Achse..

===Suchbegriffe===

Fläche unter einer Funktion, Integralrechnung, Beispielaufgabe


===Quellen===


[http://volkerbehrens.de/daten/integralrechnung.pdf www.volkerbehrens.de]

===ähnliche Aufgaben===


[[Kategorie:Abituraufgaben]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 12]]</text>
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    <comment>/* Lösung */</comment>
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    <text bytes="1368" xml:space="preserve">==Aufgabe ==
Berechne die Fläche unter der Funktion

&lt;math&gt;f(x) = x^3  - 2x^2  - 3x&lt;/math&gt;

im Intervall von 0 bis 2

===Tipps===


===Lösung===

====Stammfunktion suchen====

&lt;math&gt;f(x) = x^3  - 2x^2  - 3x&lt;/math&gt;

dann ist

&lt;math&gt;F(x) = {1 \over 4}x^4  - {2 \over 3}x^3  - {3 \over 2}x^2 +c&lt;/math&gt;ö

====Da====


&lt;math&gt;\int\limits_0^2 {\left( {x^3  - 2x^2  - 3x} \right)} dx = \left[ {{1 \over 4}x^4  - {2 \over 3}x^3  - {3 \over 2}x^2 } \right]_0^2 &lt;/math&gt;

[[Bild:2x^2-3x.png|framed|f(x)= x^3-2x^2-3x]]

&lt;math&gt; = \left[ {{1 \over 4}2^4  - {2 \over 3}2^3  - {3 \over 2}2^2 } \right] - \left[ {{1 \over 4}0^4  - {2 \over 3}0^3  - {3 \over 2}0^2 } \right] &lt;/math&gt;


&lt;math&gt; = \left[ {{{16} \over 4} - {{16} \over 3} - {{12} \over 2}} \right] - \left[ 0 \right]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt; = \left[ {{{48} \over {12}} - {{64} \over {12}} - {{72} \over {12}}} \right] - \left[ 0 \right]&lt;/math&gt;


&lt;math&gt; =  - {{88} \over {12}} =  - {{22} \over 3} =  - 7,33\bar 3 FE&lt;/math&gt;


Im Intervall zwischen 0 und 2 liegen also 22/3 Flächeneinheiten. Da das Ergebnis negativ ist, liegt die Fläche unterhalb der x-Achse..

===Suchbegriffe===

Fläche unter einer Funktion, Integralrechnung, Beispielaufgabe


===Quellen===


[http://volkerbehrens.de/daten/integralrechnung.pdf www.volkerbehrens.de]

===ähnliche Aufgaben===


[[Kategorie:Abituraufgaben]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 12]]</text>
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    <comment>Begrüßung eines neuen Autors</comment>
    <model>wikitext</model>
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    <text bytes="904" xml:space="preserve">==Willkommen==

Hi, Willkommen bei WikiMath! Danke für deine Bearbeitung auf der Seite [[:Integralrechnung: Fläche unter einer ganzrationalen Funktion]].

'''[[Special:Userlogin|Bitte lege dir ein Benutzerkonto an]]'''. So kannst du ganz einfach deine Beiträge im Überblick behalten und dich besser mit dem Rest der Community verständigen.

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  <title>Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing</title>
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    <comment>/* Aufgabe */</comment>
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    <text bytes="2275" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Messing ist eine Legierung aus zwei Metallen: Kupfer und Zink.

Gegeben sind zwei verschiedene Sorten Messing, mit je 40% und 70% Kupfer. Aus diesen beiden Sorten, soll durch verschmelzen 300 kg Messing mit einem Kupferanteil von 65% gebildet werden.

== Tipps ==


== Lösung ==

x = 75kg

=== Was ist x ===

Für die Variable x kann hier einmal die Masse der Ersten oder der zweiten Sorte Messing verwendet werden. Wir nehmen die mit 40%. Die Menge der anderen Sorte ergibt sich dann aus (300 kg - x)

'''x = Masse der Messingsorte mit 40% Kupferanteil'''


=== Term aufstellen ===

&lt;math&gt;x \cdot {55 \over 100} + (300kg-x) \cdot {70 \over 100} = 300kg \cdot {65 \over 100}&lt;/math&gt;

=== Ausrechnen ===

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + (300kg-x) \cdot {60 \over 100} = 300kg \cdot {55 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen und vereinfachen'''

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + 300kg \cdot {60 \over 100} - x \cdot {60 \over 100} = 165kg  &lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + 180 - x \cdot {60 \over 100} = 165kg  &lt;/math&gt; '''| -180'''

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} - x \cdot {60 \over 100} = -15kg  &lt;/math&gt; '''|x ausklammern'''

&lt;math&gt;x \cdot ({40 \over 100} - {60 \over 100}) = -15  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen'''

&lt;math&gt;x \cdot (-{20 \over 100}) = -15  &lt;/math&gt; '''| / - 0,2'''

&lt;math&gt;x  = 75kg  &lt;/math&gt;

'''Es werden 75 kg des Messings mit 40% Kupferantel benötigt. Die restlichen 225Kg werden vom 60 prozentigen Messing benötigt.'''

=== Probe ===

Im Endprodukt, den 300 kg Messing mit 55% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;300 kg  \cdot 0,55 = 165 kg&lt;/math&gt; Kupfer

In den beiden anderen Sorten die zusammengemischt wurden, muss nun genau der gleiche Anteil vorhanden sein.

In 75 kg der ersten Sorte mit 40% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;75 kg  \cdot 0,40 = 30 kg&lt;/math&gt; Kupfer.

In den restlichen 225 kg der zweiten Sorte befinden sich:

&lt;math&gt;225 kg  \cdot 0,60 = 135 kg&lt;/math&gt; Kupfer

Zusammen ergibt das genau die 165 kg, die auch im Endprodukt vorhanden sind.

==Suchbegriffe==

Mischungsaufgabe, Messing, Termbildung

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft]]

[[Arbeiten mit Termen: Treffpunkt von zwei Radfahrern]]

[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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      <username>91.16.185.6</username>
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    </contributor>
    <comment>/* Aufgabe */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2275" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Messing ist eine Legierung aus zwei Metallen: Kupfer und Zink.

Gegeben sind zwei verschiedene Sorten Messing, mit je 55% und 70% Kupfer. Aus diesen beiden Sorten, soll durch verschmelzen 300 kg Messing mit einem Kupferanteil von 65% gebildet werden.

== Tipps ==


== Lösung ==

x = 75kg

=== Was ist x ===

Für die Variable x kann hier einmal die Masse der Ersten oder der zweiten Sorte Messing verwendet werden. Wir nehmen die mit 40%. Die Menge der anderen Sorte ergibt sich dann aus (300 kg - x)

'''x = Masse der Messingsorte mit 40% Kupferanteil'''


=== Term aufstellen ===

&lt;math&gt;x \cdot {55 \over 100} + (300kg-x) \cdot {70 \over 100} = 300kg \cdot {65 \over 100}&lt;/math&gt;

=== Ausrechnen ===

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + (300kg-x) \cdot {60 \over 100} = 300kg \cdot {55 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen und vereinfachen'''

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + 300kg \cdot {60 \over 100} - x \cdot {60 \over 100} = 165kg  &lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + 180 - x \cdot {60 \over 100} = 165kg  &lt;/math&gt; '''| -180'''

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} - x \cdot {60 \over 100} = -15kg  &lt;/math&gt; '''|x ausklammern'''

&lt;math&gt;x \cdot ({40 \over 100} - {60 \over 100}) = -15  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen'''

&lt;math&gt;x \cdot (-{20 \over 100}) = -15  &lt;/math&gt; '''| / - 0,2'''

&lt;math&gt;x  = 75kg  &lt;/math&gt;

'''Es werden 75 kg des Messings mit 40% Kupferantel benötigt. Die restlichen 225Kg werden vom 60 prozentigen Messing benötigt.'''

=== Probe ===

Im Endprodukt, den 300 kg Messing mit 55% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;300 kg  \cdot 0,55 = 165 kg&lt;/math&gt; Kupfer

In den beiden anderen Sorten die zusammengemischt wurden, muss nun genau der gleiche Anteil vorhanden sein.

In 75 kg der ersten Sorte mit 40% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;75 kg  \cdot 0,40 = 30 kg&lt;/math&gt; Kupfer.

In den restlichen 225 kg der zweiten Sorte befinden sich:

&lt;math&gt;225 kg  \cdot 0,60 = 135 kg&lt;/math&gt; Kupfer

Zusammen ergibt das genau die 165 kg, die auch im Endprodukt vorhanden sind.

==Suchbegriffe==

Mischungsaufgabe, Messing, Termbildung

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft]]

[[Arbeiten mit Termen: Treffpunkt von zwei Radfahrern]]

[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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    <comment>/* Tipps */</comment>
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    <text bytes="2346" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Messing ist eine Legierung aus zwei Metallen: Kupfer und Zink.

Gegeben sind zwei verschiedene Sorten Messing, mit je 55% und 70% Kupfer. Aus diesen beiden Sorten, soll durch verschmelzen 300 kg Messing mit einem Kupferanteil von 65% gebildet werden.

== Tipps ==
wenn man die vorgehensweise kennt, kann man nichts mehr falsch machen !

== Lösung ==

x = 75kg

=== Was ist x ===

Für die Variable x kann hier einmal die Masse der Ersten oder der zweiten Sorte Messing verwendet werden. Wir nehmen die mit 40%. Die Menge der anderen Sorte ergibt sich dann aus (300 kg - x)

'''x = Masse der Messingsorte mit 40% Kupferanteil'''


=== Term aufstellen ===

&lt;math&gt;x \cdot {55 \over 100} + (300kg-x) \cdot {70 \over 100} = 300kg \cdot {65 \over 100}&lt;/math&gt;

=== Ausrechnen ===

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + (300kg-x) \cdot {60 \over 100} = 300kg \cdot {55 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen und vereinfachen'''

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + 300kg \cdot {60 \over 100} - x \cdot {60 \over 100} = 165kg  &lt;/math&gt; 

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} + 180 - x \cdot {60 \over 100} = 165kg  &lt;/math&gt; '''| -180'''

&lt;math&gt;x \cdot {40 \over 100} - x \cdot {60 \over 100} = -15kg  &lt;/math&gt; '''|x ausklammern'''

&lt;math&gt;x \cdot ({40 \over 100} - {60 \over 100}) = -15  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen'''

&lt;math&gt;x \cdot (-{20 \over 100}) = -15  &lt;/math&gt; '''| / - 0,2'''

&lt;math&gt;x  = 75kg  &lt;/math&gt;

'''Es werden 75 kg des Messings mit 40% Kupferantel benötigt. Die restlichen 225Kg werden vom 60 prozentigen Messing benötigt.'''

=== Probe ===

Im Endprodukt, den 300 kg Messing mit 55% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;300 kg  \cdot 0,55 = 165 kg&lt;/math&gt; Kupfer

In den beiden anderen Sorten die zusammengemischt wurden, muss nun genau der gleiche Anteil vorhanden sein.

In 75 kg der ersten Sorte mit 40% Kupferanteil befinden sich:

&lt;math&gt;75 kg  \cdot 0,40 = 30 kg&lt;/math&gt; Kupfer.

In den restlichen 225 kg der zweiten Sorte befinden sich:

&lt;math&gt;225 kg  \cdot 0,60 = 135 kg&lt;/math&gt; Kupfer

Zusammen ergibt das genau die 165 kg, die auch im Endprodukt vorhanden sind.

==Suchbegriffe==

Mischungsaufgabe, Messing, Termbildung

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft]]

[[Arbeiten mit Termen: Treffpunkt von zwei Radfahrern]]

[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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  <title>Benutzer Diskussion:91.16.185.6</title>
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      <username>Wikia</username>
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    <comment>Begrüßung eines neuen Autors</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="892" xml:space="preserve">==Willkommen==

Hi, Willkommen bei WikiMath! Danke für deine Bearbeitung auf der Seite [[:Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]].

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  <title>Benutzer Diskussion:93.83.20.218</title>
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      <username>Wikia</username>
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    <comment>Begrüßung eines neuen Autors</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="892" xml:space="preserve">==Willkommen==

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  <title>Cauchy-Folgen und gleichmäßige Stetigkeit</title>
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    <contributor>
      <username>141.23.34.170</username>
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    <comment>/* Lösung 2 */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2251" xml:space="preserve">==Aufgabenstellung==

Es seien &lt;math&gt;X,Y&lt;/math&gt; metrische Räume und es sei &lt;math&gt;f:X\rightarrow Y&lt;/math&gt; eine gleichmäßig stetige Funktion. Weiter sei &lt;math&gt;(x_n)_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; eine Cauchy-Folge in &lt;math&gt;X&lt;/math&gt;.

Man zeige: &lt;math&gt;(f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; ist dann eine Cauchy-Folge in &lt;math&gt;Y&lt;/math&gt;.


==Tipp==

Man benutze die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit und der Cauchy-Folge


==Lösung 1==

Zunächst zu den Definitionen:

&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ist gleichmäßig stetig auf &lt;math&gt;X&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow(\forall\epsilon &gt;0:\exists\delta &gt;0:\forall x,y\in X:\vert x,y\vert &lt;\delta\Rightarrow\vert f(x),f(y)\vert &lt;\epsilon)&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;(x_n)&lt;/math&gt; ist eine Cauchy-Folge

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\forall \epsilon_0:\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n ,x_m\vert &lt;\epsilon_0&lt;/math&gt;


Sei nun &lt;math&gt;\epsilon &gt; 0 &lt;/math&gt; beliebig vorgegeben und ein entsprechendes &lt;math&gt;\delta &gt;0 &lt;/math&gt; gefunden. Dann gilt insbesondere:

&lt;math&gt;\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n ,x_m\vert &lt;\delta &lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; gleichmäßig stetig ist und da &lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}:x_n\in X&lt;/math&gt; gilt, folgt hieraus mit der Definition der gleichmäßigen Stetigkeit:

&lt;math&gt;\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert f(x_n),f(x_m)\vert &lt;\epsilon &lt;/math&gt;

Insgesamt gilt also:

&lt;math&gt;(\forall\epsilon &gt;0:\exists\delta &gt;0:\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n,x_m\vert &lt;\delta\Rightarrow\vert f(x_n),f(x_m)\vert &lt;\epsilon) &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow\forall\epsilon &gt;0:\exists n_0:\forall n,m\ge n_0:\vert f(x_n),f(x_m)\vert &lt;\epsilon &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow (f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; ist eine Cauchy-Folge in &lt;math&gt;Y&lt;/math&gt;

==Lösung 2==
Sei &lt;math&gt;\epsilon&gt;0&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; glm. stetig, gibt es ein &lt;math&gt;\delta&gt;0&lt;/math&gt;, s.d.f.a &lt;math&gt;x,y\in X&lt;/math&gt; aus &lt;math&gt;|x,y| &lt; \delta&lt;/math&gt; auch &lt;math&gt;|f(x),f(y)| &lt; \epsilon&lt;/math&gt; folgt. Da &lt;math&gt;(x_n)&lt;/math&gt; Cauchy-Folge ist, gibt es zu diesem &lt;math&gt;\delta&lt;/math&gt; ein &lt;math&gt;N\in\mathbb{N}&lt;/math&gt;, s.d.f.a &lt;math&gt;n,m\geq N&lt;/math&gt; gilt, dass &lt;math&gt;|x_n,x_m| &lt; \delta&lt;/math&gt; und damit auch &lt;math&gt;|f(x_n),f(x_m)| &lt; \epsilon&lt;/math&gt;, d.h. &lt;math&gt;(f(x_n))&lt;/math&gt; ist Cauchy-Folge.
[[Kategorie:Analysis]]</text>
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  <title>Benutzer Diskussion:141.23.34.170</title>
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      <username>Wikia</username>
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    <comment>Begrüßung eines neuen Autors</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="886" xml:space="preserve">==Willkommen==

Hi, Willkommen bei WikiMath! Danke für deine Bearbeitung auf der Seite [[:Cauchy-Folgen und gleichmäßige Stetigkeit]].

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  <title>Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft</title>
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    </contributor>
    <comment>/* Probe */</comment>
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    <text bytes="2317" xml:space="preserve">==Aufgabe==

Aus Zwei Sorten Fruchtsaft mit je 20% und 75% Fruchtgehalt sollen 5 Liter Fruchtsaft mit 50% Fruchtgehalt gemischt werden.

Wieviel Saft der beiden Sorten werden jeweils benötigt?

===Tipps===


===Lösung===


==== Was ist x ====

Für die Variable x kann hier einmal der Fruchtgehalt der ersten oder der zweiten Sorte Saft verwendet werden. Wir nehmen die mit 75%. Die Menge der anderen Sorte ergibt sich dann aus (5 l - x)

'''x = Menge des Fruchtsafts mit 75% Fruchtanteil. '''


==== Term aufstellen ====

&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + (5l-x) \cdot {20 \over 100} = 5 l \cdot {50 \over 100}&lt;/math&gt;

==== Ausrechnen ====

&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + (5l-x) \cdot {20 \over 100} = 5 l \cdot {50 \over 100}&lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen und vereinfachen'''

&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + 5l \cdot {20 \over 100} - x \cdot {20 \over 100} = {250 \over 100}  &lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + {100 \over 100} - x \cdot {20 \over 100} = {250 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| - 1'''


&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100}  - x \cdot {20 \over 100} = {150 \over 100}  &lt;/math&gt; '''|x ausklammern'''

&lt;math&gt;x \cdot ({75 \over 100}  - {20 \over 100}) = {150 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen'''

&lt;math&gt;x \cdot {55 \over 100  } = {150 \over 100}&lt;/math&gt; '''| durch 55/100 '''

&lt;math&gt;x \cdot  = {150 \cdot  100 \over 100 \cdot 55 }&lt;/math&gt; '''| kürzen '''

&lt;math&gt;x  = {30 \over 11} = 2,727272  &lt;/math&gt; '''| Liter der Sorte mit 75% Fruchtanteil '''


==== Probe ====

Im Endprodukt, den 5 Litern Fruchtsaft mit 50% Fruchtanteil befinden sich:

&lt;math&gt;5l  \cdot 0,5 = 2,5l&lt;/math&gt; Fruchtanteil

In den beiden anderen Sorten die zusammengemischt wurden, muss nun genau der gleiche Anteil vorhanden sein.

In in 2,7272 l der ersten Sorte mit 75% Fruchtranteil befinden sich:

&lt;math&gt;2,7272 l  \cdot 0,75 = 2,05 l&lt;/math&gt; Fruchtgehalt.

In den restlichen 2,2727 l der zweiten Sorte befinden sich:

&lt;math&gt;2,2727 l  \cdot 0,20 = 0,45 l&lt;/math&gt; Fruchtgehalt.

Zusammen ergibt das genau die 2,5 Liter, die auch im Entprodukt vorhanden sind.

===Suchbegriffe===

Mischungsaufgabe, Fruchtsaft, Termbildung

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]

[[Arbeiten mit Termen: Treffpunkt von zwei Radfahrern]]


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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    <timestamp>2011-06-30T16:51:22Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>77.181.135.62</username>
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    <comment>30/11</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2316" xml:space="preserve">==Aufgabe==

Aus Zwei Sorten Fruchtsaft mit je 20% und 75% Fruchtgehalt sollen 5 Liter Fruchtsaft mit 50% Fruchtgehalt gemischt werden.

Wieviel Saft der beiden Sorten werden jeweils benötigt?

===Tipps===


===Lösung===


==== Was ist x ====

Für die Variable x kann hier einmal der Fruchtgehalt der ersten oder der zweiten Sorte Saft verwendet werden. Wir nehmen die mit 75%. Die Menge der anderen Sorte ergibt sich dann aus (5 l - x)

'''x = Menge des Fruchtsafts mit 75% Fruchtanteil. '''


==== Term aufstellen ====

&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + (5l-x) \cdot {20 \over 100} = 5 l \cdot {50 \over 100}&lt;/math&gt;

==== Ausrechnen ====

&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + (5l-x) \cdot {20 \over 100} = 5 l \cdot {50 \over 100}&lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen und vereinfachen'''

&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + 5l \cdot {20 \over 100} - x \cdot {20 \over 100} = {250 \over 100}  &lt;/math&gt;


&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + {100 \over 100} - x \cdot {20 \over 100} = {250 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| - 1'''


&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100}  - x \cdot {20 \over 100} = {150 \over 100}  &lt;/math&gt; '''|x ausklammern'''

&lt;math&gt;x \cdot ({75 \over 100}  - {20 \over 100}) = {150 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen'''

&lt;math&gt;x \cdot {55 \over 100  } = {150 \over 100}&lt;/math&gt; '''| durch 55/100 '''

&lt;math&gt;x \cdot  = {150 \cdot  100 \over 100 \cdot 55 }&lt;/math&gt; '''| kürzen '''

&lt;math&gt;x  = {30 \over 11} = 2,727272  &lt;/math&gt; '''| Liter der Sorte mit 75% Fruchtanteil '''


==== Probe ====

Im Endprodukt, den 5 Litern Fruchtsaft mit 50% Fruchtanteil befinden sich:

&lt;math&gt;5l  \cdot 0,5 = 2,5l&lt;/math&gt; Fruchtanteil

In den beiden anderen Sorten die zusammengemischt wurden, muss nun genau der gleiche Anteil vorhanden sein.

In in 2,7272 l der ersten Sorte mit 75% Fruchtranteil befinden sich:

&lt;math&gt;2,7272 l  \cdot 0,75 = 2,05 l&lt;/math&gt; Fruchtgehalt.

In den restlichen 2,2727 l der zweiten Sorte befinden sich:

&lt;math&gt;2,2727 l  \cdot 0,20 = 0,45 l&lt;/math&gt; Fruchtgehalt.

Zusammen ergibt das genau die 2,5 Liter, die auch im Entprodukt vorhanden sind.

===Suchbegriffe===

Mischungsaufgabe, Fruchtsaft, Termbildung

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]

[[Arbeiten mit Termen: Treffpunkt von zwei Radfahrern]]


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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Student der FH-Stralsund, Wirtschaftsinformatik Master

Wiki-Editor im Rahmen des Veranstaltung "Collective Intelligence"</text>
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  <title>Mathe Wiki</title>
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  <title>Benutzer:Nicolae Coman</title>
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    <text bytes="355" xml:space="preserve">== Über mich ==

''Das ist deine Benutzerseite. Hier kannst du den anderen ein paar Informationen über dich verraten!''

== Meine Beiträge ==

* [[Special:Contributions/Nicolae Coman|Benutzerbeiträge]]

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* Link auf Seite #3</text>
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  <title>Benutzer Diskussion:Nicolae Coman</title>
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    <text bytes="517" xml:space="preserve">==Willkommen==

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  <title>Logarithmen: Zinseszins</title>
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    <comment>/* Anmerkung */</comment>
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    <text bytes="1627" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Nach wieviel Jahren ist ein Kapital von 10000 € zu einem Zinssatz von 2,9 % auf 28798,43 € angestiegen?

== Tipps ==

Die Lösungsformel für die Berechnung von Zinseszinsen ist:


&lt;math&gt;K_n  = K_0  \cdot (1 + \frac{p}
{{100}})^n&lt;/math&gt;

Dabei ist:

&lt;math&gt;K_n&lt;/math&gt; das Kapital nach n Jahren.

&lt;math&gt;K_0&lt;/math&gt; das Anfangskapital

&lt;math&gt;p&lt;/math&gt; der Zinssatz in %

&lt;math&gt;n&lt;/math&gt; die Dauer in Jahren

== Lösung ==

Gegebene Werte in die Formel einsetzen:

&lt;math&gt;28798,43 Euro  = 10000 Euro  \cdot (1 + \frac{2,9}
{{100}})^n&lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; gesucht ist und im Exponent steht, müssen wir den Logarithmus suchen.


&lt;math&gt;\begin{gathered}
  28798,43 = 10000 \cdot \left( {1 + \frac{{2,9}}
{{100}}} \right)^n  \hfill \\
  \frac{{28798,43}}
{{10000}} = \left( {1,029} \right)^n  \hfill \\
  n = \log _{1,029} 2,879843 \hfill \\
  n \approx 37 \hfill \\ 
\end{gathered}&lt;/math&gt;


Nach 37 Jahren ist ein Kapital von 10000 € bei einem Jahreszins von 2,9% auf 28798,43 € angestiegen.

== Anmerkung ==

Die 3. Zeile der Rechnung

&lt;math&gt;
n = \log _{1,029} 2,879843 \hfill \\
&lt;/math&gt;

berechnet man mit dem Taschenrechner mit Hilfe der Logarithmusgesetze. Dabei rechnet man einen Logarithmus beliebiger Basis um, indem man mit Hilfe des natürlichen Logarithmus (Taste ''ln'' auf dem Taschenrechner) den Logarithmus des Exponenten durch den Logarithmus der Basis teilt.

Denn es gilt:
&lt;math&gt;
\log _b a = \frac{{\ln a}}
{{\ln b}}
&lt;/math&gt;

== Suchbegriffe ==

Logarithmen, Zins, Zinseszins


== ähnliche Aufgaben ==
[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 10]]
[[Kategorie:Logarithmen]]</text>
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    <comment>/* Aufgabe */</comment>
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    <text bytes="1626" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Nach wieviel Jahren ist ein Kapital von 1000 € zu einem Zinssatz von 2,9 % auf 28798,43 € angestiegen?

== Tipps ==

Die Lösungsformel für die Berechnung von Zinseszinsen ist:


&lt;math&gt;K_n  = K_0  \cdot (1 + \frac{p}
{{100}})^n&lt;/math&gt;

Dabei ist:

&lt;math&gt;K_n&lt;/math&gt; das Kapital nach n Jahren.

&lt;math&gt;K_0&lt;/math&gt; das Anfangskapital

&lt;math&gt;p&lt;/math&gt; der Zinssatz in %

&lt;math&gt;n&lt;/math&gt; die Dauer in Jahren

== Lösung ==

Gegebene Werte in die Formel einsetzen:

&lt;math&gt;28798,43 Euro  = 10000 Euro  \cdot (1 + \frac{2,9}
{{100}})^n&lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; gesucht ist und im Exponent steht, müssen wir den Logarithmus suchen.


&lt;math&gt;\begin{gathered}
  28798,43 = 10000 \cdot \left( {1 + \frac{{2,9}}
{{100}}} \right)^n  \hfill \\
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\end{gathered}&lt;/math&gt;


Nach 37 Jahren ist ein Kapital von 10000 € bei einem Jahreszins von 2,9% auf 28798,43 € angestiegen.

== Anmerkung ==

Die 3. Zeile der Rechnung

&lt;math&gt;
n = \log _{1,029} 2,879843 \hfill \\
&lt;/math&gt;

berechnet man mit dem Taschenrechner mit Hilfe der Logarithmusgesetze. Dabei rechnet man einen Logarithmus beliebiger Basis um, indem man mit Hilfe des natürlichen Logarithmus (Taste ''ln'' auf dem Taschenrechner) den Logarithmus des Exponenten durch den Logarithmus der Basis teilt.

Denn es gilt:
&lt;math&gt;
\log _b a = \frac{{\ln a}}
{{\ln b}}
&lt;/math&gt;

== Suchbegriffe ==

Logarithmen, Zins, Zinseszins


== ähnliche Aufgaben ==
[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 10]]
[[Kategorie:Logarithmen]]</text>
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    <comment>/* Aufgabe */</comment>
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    <text bytes="1627" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Nach wieviel Jahren ist ein Kapital von 10000 € zu einem Zinssatz von 2,9 % auf 28798,43 € angestiegen?

== Tipps ==

Die Lösungsformel für die Berechnung von Zinseszinsen ist:


&lt;math&gt;K_n  = K_0  \cdot (1 + \frac{p}
{{100}})^n&lt;/math&gt;

Dabei ist:

&lt;math&gt;K_n&lt;/math&gt; das Kapital nach n Jahren.

&lt;math&gt;K_0&lt;/math&gt; das Anfangskapital

&lt;math&gt;p&lt;/math&gt; der Zinssatz in %

&lt;math&gt;n&lt;/math&gt; die Dauer in Jahren

== Lösung ==

Gegebene Werte in die Formel einsetzen:

&lt;math&gt;28798,43 Euro  = 10000 Euro  \cdot (1 + \frac{2,9}
{{100}})^n&lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; gesucht ist und im Exponent steht, müssen wir den Logarithmus suchen.


&lt;math&gt;\begin{gathered}
  28798,43 = 10000 \cdot \left( {1 + \frac{{2,9}}
{{100}}} \right)^n  \hfill \\
  \frac{{28798,43}}
{{10000}} = \left( {1,029} \right)^n  \hfill \\
  n = \log _{1,029} 2,879843 \hfill \\
  n \approx 37 \hfill \\ 
\end{gathered}&lt;/math&gt;


Nach 37 Jahren ist ein Kapital von 10000 € bei einem Jahreszins von 2,9% auf 28798,43 € angestiegen.

== Anmerkung ==

Die 3. Zeile der Rechnung

&lt;math&gt;
n = \log _{1,029} 2,879843 \hfill \\
&lt;/math&gt;

berechnet man mit dem Taschenrechner mit Hilfe der Logarithmusgesetze. Dabei rechnet man einen Logarithmus beliebiger Basis um, indem man mit Hilfe des natürlichen Logarithmus (Taste ''ln'' auf dem Taschenrechner) den Logarithmus des Exponenten durch den Logarithmus der Basis teilt.

Denn es gilt:
&lt;math&gt;
\log _b a = \frac{{\ln a}}
{{\ln b}}
&lt;/math&gt;

== Suchbegriffe ==

Logarithmen, Zins, Zinseszins


== ähnliche Aufgaben ==
[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 10]]
[[Kategorie:Logarithmen]]</text>
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    <text bytes="859" xml:space="preserve">==Willkommen==

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  <title>Quadratische Gleichungen: Ein Stein fällt in einen Brunnen</title>
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    <comment>/* Aufgabe */</comment>
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    <text bytes="2382" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach 24s hört man den Aufschlag. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 340m/s. Die Erdbeschleunigung beträgt g = 9,81 m/s².

'''A:''' Beschreiben sie den Vorgang zur Bestimmung der Tiefe.

'''B:''' Wie tief ist der Brunnen.

'''C:''' Zeichnen Sie das Weg/Zeit –Diagramm des Vorgangs.

== Tipps ==


== Lösung ==


=== A: Vorgangsbeschreibung ===

Mit einer Stopuhr misst man die Zeit bis zum Aufprall. Die gemessene Zeit ist die Summe für die Fallzeit und die Zeit die der Schall braucht um wieder aufzusteigen. Der Weg, den beide zurücklegen müssen ist der gleiche. Die genaue Vorgehensweise ist im folgenden Punkt erklärt.


=== B: Berechnung der Brunnentiefe ===

Formel für den freien Fall

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;1&gt;'''


Formel für den Schall

:h = V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;2&gt;'''


Weiter gilt:

:t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; = 5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;'''


Da der Schall die gleiche Strecke zurücklegen muss, wie der Stein kann man die Formeln '''&lt;1&gt;''' und '''&lt;2&gt;''' Gleichsetzen.

:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt;


Und für t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;''' einsetzen.


:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × (5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;)


:&lt;math&gt;
{{9,81} \over 2} \times \mathop t\nolimits_{fall}^2  + 340{m \over s} \times \mathop t\nolimits_{fall}  - 1700 = 0&lt;/math&gt;


'''Das ist eine quadratische Gleichung mit'''

:'''a''' = g/2
:'''b''' = 340
:'''c''' = -1700

Eingesetzt in die [[Lösungsformel für quadratische Gleichungen]]

:&lt;math&gt; \mathop x\nolimits_{1/2}  = {{ - b \pm \sqrt {b^2  - 4ac} } \over {2a}} &lt;/math&gt;

ergibt zwei Lösungen:

:x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;= 4,684s
:x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;= -74,0005s

Da es keine negative Fallzeit gibt, muss die Lösung für '''t&lt;sub&gt; fall&lt;/sub&gt; = 4.684s''' sein.

Eingesetzt in '''&lt;1&gt;'''

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;

:h = ½ × 9,81 m/s² × 4,684s ²


:'''h = 107,61 m'''

'''Die Brunnentiefe ist also 107,61 m'''

=== C: Weg-Zeit-Diagramm ===

[[Bild:stein_brunnen_wegzeit.PNG]]
Das Diagramm ist falsch, da zunächst ein freier Fall stattfindet und deshalb die zugehörige t-h-Kurve eine Parabel sein muss.

==Suchbegriffe==

Quadratische Gleichung, Brunnentiefe, Fallzeit

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 9]]</text>
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    <comment>/* Aufgabe */</comment>
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    <text bytes="2381" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach 5s hört man den Aufschlag. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 340m/s. Die Erdbeschleunigung beträgt g = 9,81 m/s².

'''A:''' Beschreiben sie den Vorgang zur Bestimmung der Tiefe.

'''B:''' Wie tief ist der Brunnen.

'''C:''' Zeichnen Sie das Weg/Zeit –Diagramm des Vorgangs.

== Tipps ==


== Lösung ==


=== A: Vorgangsbeschreibung ===

Mit einer Stopuhr misst man die Zeit bis zum Aufprall. Die gemessene Zeit ist die Summe für die Fallzeit und die Zeit die der Schall braucht um wieder aufzusteigen. Der Weg, den beide zurücklegen müssen ist der gleiche. Die genaue Vorgehensweise ist im folgenden Punkt erklärt.


=== B: Berechnung der Brunnentiefe ===

Formel für den freien Fall

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;1&gt;'''


Formel für den Schall

:h = V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;2&gt;'''


Weiter gilt:

:t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; = 5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;'''


Da der Schall die gleiche Strecke zurücklegen muss, wie der Stein kann man die Formeln '''&lt;1&gt;''' und '''&lt;2&gt;''' Gleichsetzen.

:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt;


Und für t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;''' einsetzen.


:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × (5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;)


:&lt;math&gt;
{{9,81} \over 2} \times \mathop t\nolimits_{fall}^2  + 340{m \over s} \times \mathop t\nolimits_{fall}  - 1700 = 0&lt;/math&gt;


'''Das ist eine quadratische Gleichung mit'''

:'''a''' = g/2
:'''b''' = 340
:'''c''' = -1700

Eingesetzt in die [[Lösungsformel für quadratische Gleichungen]]

:&lt;math&gt; \mathop x\nolimits_{1/2}  = {{ - b \pm \sqrt {b^2  - 4ac} } \over {2a}} &lt;/math&gt;

ergibt zwei Lösungen:

:x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;= 4,684s
:x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;= -74,0005s

Da es keine negative Fallzeit gibt, muss die Lösung für '''t&lt;sub&gt; fall&lt;/sub&gt; = 4.684s''' sein.

Eingesetzt in '''&lt;1&gt;'''

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;

:h = ½ × 9,81 m/s² × 4,684s ²


:'''h = 107,61 m'''

'''Die Brunnentiefe ist also 107,61 m'''

=== C: Weg-Zeit-Diagramm ===

[[Bild:stein_brunnen_wegzeit.PNG]]
Das Diagramm ist falsch, da zunächst ein freier Fall stattfindet und deshalb die zugehörige t-h-Kurve eine Parabel sein muss.

==Suchbegriffe==

Quadratische Gleichung, Brunnentiefe, Fallzeit

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 9]]</text>
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    <text bytes="2430" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach 5s hört man den Aufschlag. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 340m/s. Die Erdbeschleunigung beträgt g = 9,81 m/s².

'''A:''' Beschreiben sie den Vorgang zur Bestimmung der Tiefe.

'''B:''' Wie tief ist der Brunnen.

'''C:''' Zeichnen Sie das Weg/Zeit –Diagramm des Vorgangs.

== Tipps ==


== Lösung ==


=== A: Vorgangsbeschreibung ===

Mit einer Stopuhr misst man die Zeit bis zum Aufprall. Die gemessene Zeit ist die Summe für die Fallzeit und die Zeit die der Schall braucht um wieder aufzusteigen. Der Weg, den beide zurücklegen müssen ist der gleiche. Die genaue Vorgehensweise ist im folgenden Punkt erklärt.


=== B: Berechnung der Brunnentiefe ===

Formel für den freien Fall

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;1&gt;'''


Formel für den Schall

:h = V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;2&gt;'''


Weiter gilt:

:t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; = 5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;'''


Da der Schall die gleiche Strecke zurücklegen muss, wie der Stein kann man die Formeln '''&lt;1&gt;''' und '''&lt;2&gt;''' Gleichsetzen.

:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt;


Und für t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;''' einsetzen.


:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × (5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;)


:&lt;math&gt;
{{9,81} \over 2} \times \mathop t\nolimits_{fall}^2  + 340{m \over s} \times \mathop t\nolimits_{fall}  - 1700 = 0&lt;/math&gt;


'''Das ist eine quadratische Gleichung mit'''

:'''a''' = g/2
:'''b''' = 340
:'''c''' = -1700

Eingesetzt in die [[Lösungsformel für quadratische Gleichungen]]

:&lt;math&gt; \mathop x\nolimits_{1/2}  = {{ - b \pm \sqrt {b^2  - 4ac} } \over {2a}} &lt;/math&gt;

ergibt zwei Lösungen:

:x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;= 4,684s
:x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;= -74,0005s

Da es keine negative Fallzeit gibt, muss die Lösung für '''t&lt;sub&gt; fall&lt;/sub&gt; = 4.684s''' sein.

Eingesetzt in '''&lt;1&gt;'''

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;

:h = ½ × 9,81 m/s² × 4,684s ²


:'''h = 107,61 m'''

'''Die Brunnentiefe ist also 107,61 m'''

=== C: Weg-Zeit-Diagramm ===

[[Bild:stein_brunnen_wegzeit.PNG]]
Das Diagramm ist falsch, da zunächst ein freier Fall stattfindet und deshalb die zugehörige t-h-Kurve eine Parabel sein muss.

==Suchbegriffe==

Quadratische Gleichung, Brunnentiefe, Fallzeit, beschleunigte Bewegung, gleichförmige Bewegung

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 9]]</text>
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    <text bytes="2431" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach 5s hört man den Aufschlag. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 340m/s. Die Erdbeschleunigung beträgt g = 9,81 m/s².

'''A:''' Beschreiben sie den Vorgang zur Bestimmung der Tiefe.

'''B:''' Wie tief ist der Brunnen.

'''C:''' Zeichnen Sie das Weg/Zeit –Diagramm des Vorgangs.

== Tipps ==


== Lösung ==


=== A: Vorgangsbeschreibung ===

Mit einer Stopuhr misst man die Zeit bis zum Aufprall. Die gemessene Zeit ist die Summe für die Fallzeit und die Zeit die der Schall braucht um wieder aufzusteigen. Der Weg, den beide zurücklegen müssen ist der gleiche. Die genaue Vorgehensweise ist im folgenden Punkt erklärt.


=== B: Berechnung der Brunnentiefe ===

Formel für den freien Fall

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;1&gt;'''


Formel für den Schall

:h = V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;2&gt;'''


Weiter gilt:

:t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; = 5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;'''


Da der Schall die gleiche Strecke zurücklegen muss, wie der Stein kann man die Formeln '''&lt;1&gt;''' und '''&lt;2&gt;''' Gleichsetzen.

:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt;


Und für t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;''' einsetzen.


:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × (5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;)

:

:&lt;math&gt;
{{9,81} \over 2} \times \mathop t\nolimits_{fall}^2  + 340{m \over s} \times \mathop t\nolimits_{fall}  - 1700 = 0&lt;/math&gt;


'''Das ist eine quadratische Gleichung mit'''

:'''a''' = g/2
:'''b''' = 340
:'''c''' = -1700

Eingesetzt in die [[Lösungsformel für quadratische Gleichungen]]

:&lt;math&gt; \mathop x\nolimits_{1/2}  = {{ - b \pm \sqrt {b^2  - 4ac} } \over {2a}} &lt;/math&gt;

ergibt zwei Lösungen:

:x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;= 4,684s
:x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;= -74,0005s

Da es keine negative Fallzeit gibt, muss die Lösung für '''t&lt;sub&gt; fall&lt;/sub&gt; = 4.684s''' sein.

Eingesetzt in '''&lt;1&gt;'''

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;

:h = ½ × 9,81 m/s² × 4,684s ²


:'''h = 107,61 m'''

'''Die Brunnentiefe ist also 107,61 m'''

=== C: Weg-Zeit-Diagramm ===

[[Bild:stein_brunnen_wegzeit.PNG]]
Das Diagramm ist falsch, da zunächst ein freier Fall stattfindet und deshalb die zugehörige t-h-Kurve eine Parabel sein muss.

==Suchbegriffe==

Quadratische Gleichung, Brunnentiefe, Fallzeit, beschleunigte Bewegung, gleichförmige Bewegung

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 9]]</text>
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    <comment>Begrüßung eines neuen Autors</comment>
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  <title>Benutzer:Saviour1981</title>
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    <comment>Die Seite wurde neu angelegt: „  Hallo, ich bin Saviour1981 aus [[Düsseldorf]]. Ich bin in verschiedenen Wikis aktiv  == eigene Wikis ==  [http://de.strassenbahnnrw.wikia.com Straßenbahn NRW …“</comment>
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Hallo, ich bin Saviour1981 aus [[Düsseldorf]]. Ich bin in verschiedenen Wikis aktiv

== eigene Wikis ==

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  <title>Benutzer Diskussion:Saviour1981</title>
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  <title>Benutzer Diskussion:77.181.183.243</title>
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    <timestamp>2012-05-24T13:49:17Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>Wikia</username>
      <id>22439</id>
    </contributor>
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  <title>Benutzer Diskussion:93.203.111.34</title>
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      <username>Wikia</username>
      <id>22439</id>
    </contributor>
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  <title>Faltung von Gleichverteilungen</title>
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    <id>3125</id>
    <timestamp>2012-06-10T17:14:04Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>Alfred Heiligenbrunner</username>
      <id>23180</id>
    </contributor>
    <comment>Die Seite wurde neu angelegt: „==Aufgabe (Bestimme die Verteilung der Summe mehrerer gleichverteilter Zufallsvariabler)== Bestimme die Verteilung der Summe mehrerer gleichverteilter Zufallsvari…“</comment>
    <model>wikitext</model>
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    <text bytes="5316" xml:space="preserve">==Aufgabe (Bestimme die Verteilung der Summe mehrerer gleichverteilter Zufallsvariabler)==
Bestimme die Verteilung der Summe mehrerer gleichverteilter Zufallsvariabler

===Tipps===


===Lösung===

Die folgende Liste zeigt die [[Verteilungsdichte]]n von [[Zufallsvariable]]n, die entstehen, wenn man bis zu sechs vollständig unabhängige Zufallsvariable summiert, die gleichverteilt im [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] [0, 1] sind.

Die Bilder zeigen, wie schnell sich die Gesamtverteilung von einer Rechtecks- in eine Glockenkurve ändert, selbst wenn man nur wenige Zufallsvariable summiert. Die Verteilung nähert sich immer mehr einer [[Normalverteilung]]. Dies besagt der [[zentraler Grenzwertsatz|zentrale Grenzwertsatz]].

=== Tabelle der Verteilungsdichten ===
{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe5"
! Verteilungsdichte            !! Bild
|-
| &lt;math&gt;f_1(x)=\begin{cases}
  0            &amp; x &lt; 0\\
  1            &amp; 0 \le x \le 1\\
  0            &amp; x &gt; 1
\end{cases}&lt;/math&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;
| [[Bild:[http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Dichte_einer_Standardgleichverteilung.svg]]]
|-
| &lt;math&gt;f_2(x)=\begin{cases}
  0            &amp; x &lt; 0\\
  x            &amp; 0 \le x \le 1\\
  2-x          &amp; 1 \le x \le 2\\
  0            &amp; x &gt; 2
\end{cases}&lt;/math&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;
| [[Bild:[http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Dichte_der_Summe_von_2_Standardgleichverteilungen.svg]]]
|-
| &lt;math&gt;f_3(x)=\begin{cases}
  0            &amp; x &lt; 0\\
  \frac {x^2}2  &amp; 0 \le x \le 1\\
  -x^2+3x-\frac {3}2  &amp; 1 \le x \le 2\\
  \frac {(3-x)^2}2    &amp; 2 \le x \le 3\\
  0            &amp; x &gt; 3
\end{cases}&lt;/math&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;
| [[Bild:[http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Dichte_der_Summe_von_3_Standardgleichverteilungen.svg]]]
|-
| &lt;math&gt;f_4(x)=\begin{cases}
  0                                          &amp; x &lt; 0\\
  \frac {x^3}6                               &amp; 0 \le x \le 1\\
  -\frac {x^3}2+2x^2-2x+\frac {2}3           &amp; 1 \le x \le 2\\
  \frac {x^3}2 - 4 x^2 + 10 x -\frac {22} 3  &amp; 2 \le x \le 3\\
  \frac {(4-x)^3}6                           &amp; 3 \le x \le 4\\
  0                                          &amp; x &gt; 4
\end{cases}&lt;/math&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;
| [[Bild:[http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Dichte_der_Summe_von_4_Standardgleichverteilungen.svg]]]
|-
| &lt;math&gt;f_5(x)= \begin{cases}
  0                                                   &amp; x &lt; 0\\
  \frac {x^4}{24}                                     &amp; 0 \le x \le 1\\
  \frac {-5 + 20 x - 30 x^2 + 20 x^3 - 4 x^4}{24}     &amp; 1 \le x \le 2\\
  \frac {155 - 300 x + 210 x^2 - 60 x^3 + 6 x^4}{24}  &amp; 2 \le x \le 3\\
  \frac {-655 + 780 x - 330 x^2 + 60 x^3 - 4 x^4}{24} &amp; 3 \le x \le 4\\
  \frac {(5-x)^4}{24}                                 &amp; 4 \le x \le 5\\
  0                                                   &amp; x &gt; 5
\end{cases}&lt;/math&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;
| [[Bild:[http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Dichte_der_Summe_von_5_Standardgleichverteilungen.svg]]]
|-
| &lt;math&gt;f_6(x)= \begin{cases}
  0                                                                      &amp; x &lt; 0\\
  \frac {x^5}{120}                                                       &amp; 0 \le x \le 1\\
  \frac {6 - 30 x + 60 x^2 - 60 x^3 + 30 x^4 - 5 x^5}{120}               &amp; 1 \le x \le 2\\
  \frac {-237 + 585 x - 570 x^2 + 270 x^3 - 60 x^4 + 5 x^5}{60}          &amp; 2 \le x \le 3\\
  \frac {2193 - 3465 x + 2130 x^2 - 630 x^3 + 90 x^4 - 5 x^5}{60}        &amp; 3 \le x \le 4\\
  \frac {-10974 + 12270 x - 5340 x^2 + 1140 x^3 - 120 x^4 + 5 x^5}{120}  &amp; 4 \le x \le 5\\
  \frac {(6-x)^5}{120}                                                   &amp; 5 \le x \le 6\\
  0                                                                      &amp; x &gt; 6
\end{cases}&lt;/math&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;
| [[Bild:[http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Dichte_der_Summe_von_6_Standardgleichverteilungen.svg]]]
|}

=== Herleitung ===
Die Verteilungsdichte der Standardgleichverteilung ist
:
&lt;math&gt;
f_1(x)=\begin{cases}
  0,  &amp; \text{wenn }x \le 0 \\
  1,  &amp; \text{wenn }x \in \, ]0,\,1] \\
  0,  &amp; \text{wenn }x &gt; 1 \text{.} \\
\end{cases}
&lt;/math&gt;
:
Es sei
:
&lt;math&gt;
f_k(x)=\begin{cases}
  0,  &amp; \text{wenn }x \le 0 \\
  f_{k,\,1} (x) ,  &amp; \text{wenn }x \in \, ]0,\,1] \\
  \cdots \\
  f_{k,\,j} (x) ,  &amp; \text{wenn }x \in \, ]j-1,\,j] \\
  \cdots \\
  f_{k,\,k} (x) ,  &amp; \text{wenn }x \in \, ]k-1,\,k] \\
  1,  &amp; \text{wenn }x &gt; k  \\
\end{cases}
&lt;/math&gt;

die Verteilungsdichte der Summe von k standardgleichverteilten Zufallsvariablen.

Es bezeichnet also &lt;math&gt;f_{k,\,j} (x)&lt;/math&gt; die Verteilungsdichte der Summe von k standardgleichverteilten Zufallsvariablen im halboffenen Intervall &lt;math&gt;]j-1,\,j]&lt;/math&gt;.
:&amp;nbsp;
Im folgenden bezeichne &lt;math&gt;Z_k\,&lt;/math&gt; eine Zufallsvariable, die gemäß &lt;math&gt;f_k\,&lt;/math&gt; verteilt ist.
:&amp;nbsp;
Gemäßder Faltung von Wahrscheinlichkeitsmaßen ergibt sich folgendes.

Für &lt;math&gt;x \in \, ]j-1,j]&lt;/math&gt; ist
:
&lt;math&gt;
\begin{align}
f_{k+1,\,j} (t) 
&amp; = \int_{-\infty}^\infty f_k (t - x) \cdot f_1 (x) dx \\
&amp; = \int_{0}^1 f_k (t - x) \cdot 1\, dx &amp;&amp; \text{Substitution: } y = x - t \\
&amp; = \int_{x-1}^x f_k (y) \, dy \\
&amp; = \int_{x-1}^{j-1} f_{k,\,j-1} (y) \, dy + \int_{j-1}^x f_{k,\,j} (y) \, dy .
\end{align}
&lt;/math&gt;


Das heißt, der j-te Zweig der Verteilungs''dichte'' &lt;math&gt;f_{k+1}\,&lt;/math&gt; ergibt sich aus den Integralen von zwei Zweigen von &lt;math&gt;f_k\,&lt;/math&gt;.
[[Kategorie:Stochastik]]</text>
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  <title>Benutzer Diskussion:Alfred Heiligenbrunner</title>
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    <id>3126</id>
    <timestamp>2012-06-10T17:15:02Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>Wikia</username>
      <id>22439</id>
    </contributor>
    <comment>Begrüßung eines neuen Autors</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
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    <sha1>200d06e11c3f2b8214d693396b64599395c4a051</sha1>
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  <title>Gefangene und Glühbirne, Lösung 4</title>
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    <timestamp>2012-06-21T16:17:38Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>Alfred Heiligenbrunner</username>
      <id>23180</id>
    </contributor>
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    <text bytes="4244" xml:space="preserve">
Dies ist die Lösung 4 von Aufgabe [[Gefangene und Glühbirne]].

"Ein Zähler":

Bei der ersten Unterredung bestimmen die Häftlinge einen "Zähler". Alle anderen bemühen sich, vom Zähler genau einmal gezählt zu werden. Das geht folgendermaßen.

Wer selbst noch nie gezählt wurde und beim Betreten des Raumes die Glühbirne ausgeschaltet vorfindet, schaltet sie ein. Er kann sich damit als gezählt ansehen. Die Glühbirne bleibt eingeschaltet, bis nach einiger Zeit (zufällig) der "Zähler" wieder in die Kammer kommt. Er schaltet die Glühbirne aus und vermerkt für sich, dass ein Häftling, den er bisher noch nicht gezählt hatte, in der Kammer war.

Alle anderen lassen die Glühbirne unverändert.

Sobald der "Zähler" bis 99 gezählt hat, kann er verkünden, dass mit Sicherheit schon jeder einmal im Raum war.

Das Verfahren erfordert Geduld. Der Zähler muss mindestens 99 Mal das Zimmer aufsuchen. Da er im Mittel etwa alle 100 Tage ausgelost wird, dauert das etwa 100*99 Tage (etwas mehr als 27 Jahre).

In Wahrheit dauert es noch länger, weil - besonders in der Endphase - nicht notwendigerweise zwischen zwei Besuchen des "Zählers" ein verbliebener Ungezählter den Raum betreten hat.


'''Verbesserung 1:'''

Schneller geht es, wenn der "Zähler" nicht bei der Besprechung direkt bestimmt wird. Stattdessen kann man übereinkommen, dass derjenige, der am 2. Tag in die Kammer geführt wird, automatisch die Funktion "Zähler" übernimmt.
Der Zähler betritt damit das Zimmer zum ersten Mal am 2. Tag anstatt sonst durchschnittlich am 50. Tag. Das erspart 48 Tage Wartezeit.


'''Verbesserung 2:'''

Noch schneller geht es, wenn die Funktion des Zählers demjenigen übertragen wird, der zuerst ein zweites Mal in die Kammer kommt.

Dazu wird der Glühbirne in den ersten 100 Tagen eine andere Bedeutung zugeordnet:

# Der Häftling von Tag 1 schaltet die Glühbirne ein. Er betrachtet sich als gezählt.
# Jeder weitere Häftling, der die Glühbirne eingeschaltet vorfindet, betrachtet sich ebenfalls als gezählt. Er lässt die Glühbirne unverändert.
# Sobald ein Häftling zum zweiten Mal in den Raum kommt, schaltet er die Glühbirne aus. Er weiß, dass er der Zähler ist und kennt die Anzahl der Häftlinge, die sich schon als gezählt betrachten können, an Hand der Tagesnummer.
# Jeder weitere Häftling, der bis zum Tag 100 den Raum betritt, lässt die Glühbirne unverändert.
# Wer in den ersten 100 Tagen die Glühbirne einmal in eingeschaltetem Zustand gesehen hat, gilt als gezählt.

Ab Tag 101 beginnt das "übliche" Verfahren, wo jeder noch nicht gezählte durch Einschalten der Glühbirne signalisiert, dass er gezählt werden möchte.

Im Durchschnitt kommt nach etwa 13 Tagen ein Häftling zum zweiten Mal in die Kammer. Der Rest der ersten 100 Tage vergeht zwar ungenutzt, der Zähler hat sich durch diesen Trick aber ca. 12 Zählungen, also 1200 Tage, erspart.

Verbesserung 2 ist nicht möglich, da nicht klar ist welcher Häftling der erste ist, der ein zweites Mal in die Zelle geführt wird. Beispiel: In den ersten 5 Tagen werden die Häftlinge 1-5 in die Zelle geführt. Am 6. Tag kommt Häftling 1 wieder in die Zelle, findet das Licht eingeschaltet vor und ist sich bewusst, dass er zum zweiten Mal die Zelle betritt. Er betrachtet sich nun als Zähler und schaltet das Licht aus. An Tag 7 kommt Häftling 6 in die Zelle, findet das Licht ausgeschaltet vor und da er noch nie in der Zelle war schaltet er es ein. &lt;edit AH&gt; Gemäß Regel 4 sollte er das nicht tun! &lt;/edit AH&gt; An Tag 8 kommt nun Häftling 2 in die Zelle. Er findet das Licht eingeschaltet vor und ist sich bewusst, dass er zum zweiten Mal in die Zelle kommt. Auch er wird sich nun als Zähler betrachten und das Licht ausschalten. So geht das immer weiter und irgendwann werden sich alle Häftlinge zu Zählern ernannt haben und den anderen Zählern das Licht ausgeschaltet haben. Da alle Häftlinge Zähler sind schaltet niemand mehr das Licht ein, dadurch wird auch kein Zähler je die 99 erreichen.


'''Verbesserung 3:'''

Anstatt '''einer''' Vorlaufperiode von 100 Tagen (siehe Verbesserung 2) könnte man davon auch mehrere machen.

Untersuchungen dazu wären hier noch zu ergänzen.
[[Kategorie:Denksport_Loesung]]</text>
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  <title>Kategorie:Jahrgangsstufe 5</title>
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    <contributor>
      <username>188.109.28.216</username>
      <id>0</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="972" xml:space="preserve">Dies ist die richtige Kategorie für jeden, der Aufgaben aus der '''Jahrgangsstufe 5''' sucht.

Eine kleine Hilfe, welche Themen laut Lehrplan in diese Jahrgangsstufe fallen, gibt die folgende Auflistung.  
Es dürfen aber auch andere mathematische Aufgaben, die im Zusammenhang mit dem Unterrichtsstoff der 5ten Klassen stehen, hier eingetragen werden. Zum Beispiel mathematische Berechnungen aus den Naturwissenschaften (Chemie, Physik, etc), oder interessante Knobeleien, die sich an Schüler der 5ten Klassen richten.

Laut Lehrplan werden in der Jahgangstufe 5 folgende Themen behandelt:

'''Arithmetik und Geometrie'''

*1 Die natürlichen Zahlen und ihre Darstellungen
*2 Rechnen mit natürlichen Zahlen [http://www.wasistmathe.de/formelsammlung-mathe/ Grundregeln als PDF]
*3 Rechnen mit Größen aus dem Alltag
*4 Geometrische Grundformen und Grundbegriffe
*5 Einführung in die Flächenmessung
*6 Teilbarkeit der natürlichen Zahlen
[[Kategorie:Schulmathematik]]</text>
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  <title>Waage und 12 Kugeln, Lösung</title>
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    <timestamp>2012-11-29T10:04:33Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>94.222.231.143</username>
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    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2107" xml:space="preserve">
Dies ist die Lösung von Aufgabe [[Waage und 12 Kugeln]].

Wir denken und die Kugeln mit den Nummern 1,2,...,12 durchnummeriert.  
Bei der ersten Wägung geben wir in die linke Waagschale die Kugeln 2, 4, 10, 11 und in die rechte Waagschale die Kugeln 1, 5, 7, 8. Ähnlich gehen wir bei der zweiten und dritten Wägung vor, siehe folgende Tabelle.

{|  border="2" cellspacing="0" cellpadding="4" rules="all" class="hintergrundfarbe1 rahmenfarbe1" style="margin:1em 1em 1em 0; border-style:solid; border-width:1px; border-collapse:collapse; empty-cells:show; background:#f0a0a0"
!#
!links
!rechts
!links schwerer
!gleich
!rechts schwerer
|-  bgcolor="#f0f0f0"
|1 ||2,4,10,11 ||1,5,7,8 || align="center" | -1 || align="center" | 0 || align="center" | +1
|- bgcolor="#f0f0f0"
|2 ||3,4,6,7 ||2,5,11,12 || align="center" | -3 || align="center" | 0 || align="center" | +3
|- bgcolor="#f0f0f0"
|3 ||5,8,9,10 ||6,7,11,12 || align="center" | -9 || align="center" | 0 || align="center" | +9
|}

Wenn die erste Wägung ergibt, dass die linke Seite schwerer ist, merken wir uns -1, wenn die rechte Seite schwerer ist, merken wir uns +1, und wenn beide Seiten gleich schwer sind, merken wir uns 0.

Von der zweiten Wägung merken wir uns -3, 0 oder +3, je nachdem ob die linke Seite schwerer, gleich oder leichter ist als die rechte.

Ähnlich vermerken wir uns aus der dritten Wägung -9, 0 oder +9. Siehe obenstehende Tabelle.

Wenn wir schließlich die drei Wäge-Ergebnisse addieren, erhalten wir eine Nummer p zwischen -12 und +12. Die Nummer der abweichende Kugel, wird von dem Absolutwert p angegeben.Die Nummer der abweichenden Kugel wird von dem Absolutwert p angegeben. Wenn p innerhalb von { 1, 2, -3, -4, -5, 6, 7, -8, -9, -10, 11, 12} liegt, ist die Kugel schwerer. Hat p einen dieser Werte: -1, -2, 3, 4, 5, -6, -7, 8, 9, 10, -11 oder -12, ist sie leichter als die anderen.

Ist die Kugel 5 schwerer, so bekommen wir aus der ersten Wägung +1, aus der zweiten +3 und aus der dritten -9. Daraus können wir folgende Summe bilden: p = +1+3-9 = -5, Kugel 5 ist somit schwerer.
[[Kategorie:Denksport_Loesung]]</text>
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    <timestamp>2012-11-29T10:25:21Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>94.222.231.143</username>
      <id>0</id>
    </contributor>
    <comment>Änderung 3133 von [[Special:Contributions/94.222.231.143|94.222.231.143]] ([[User talk:94.222.231.143|Diskussion]]) rückgängig gemacht.</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2040" xml:space="preserve">[[Kategorie:Denksport_Loesung]]

Dies ist die Lösung von Aufgabe [[Waage und 12 Kugeln]].

Wir denken und die Kugeln mit den Nummern 1,2,...,12 durchnummeriert.  
Bei der ersten Wägung geben wir in die linke Waagschale die Kugeln 2, 4, 10, 11 und in die rechte Waagschale die Kugeln 1, 5, 7, 8. Ähnlich gehen wir bei der zweiten und dritten Wägung vor, siehe folgende Tabelle.

{|  border="2" cellspacing="0" cellpadding="4" rules="all" class="hintergrundfarbe1 rahmenfarbe1" style="margin:1em 1em 1em 0; border-style:solid; border-width:1px; border-collapse:collapse; empty-cells:show; background:#f0a0a0"
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|}

Wenn die erste Wägung ergibt, dass die linke Seite schwerer ist, merken wir uns -1, wenn die rechte Seite schwerer ist, merken wir uns +1, und wenn beide Seiten gleich schwer sind, merken wir uns 0.

Von der zweiten Wägung merken wir uns -3, 0 oder +3, je nachdem ob die linke Seite schwerer, gleich oder leichter ist als die rechte.

Ähnlich vermerken wir uns aus der dritten Wägung -9, 0 oder +9. Siehe obenstehende Tabelle.

Wenn wir schließlich die drei Wäge-Ergebnisse addieren, erhalten wir eine Nummer p zwischen -12 und +12. Der Absolutwert von p gibt die Nummer der abweichenden Kugel an. Wenn p in { 1, 2, -3, -4, -5, 6, 7, -8, -9, -10, 11, 12} liegt, ist die Kugel schwerer. Sonst, wenn p einen der Werte -1, -2, 3, 4, 5, -6, -7, 8, 9, 10, -11 oder -12 annimmt, ist sie leichter als die anderen.

Wenn beispielsweise die Kugel 5 schwerer ist, erhalten wir aus der ersten Wägung +1, aus der zweiten +3 und aus der dritten -9. Und die Summe ist p = +1+3-9 = -5, was bedeutet, daß die Kugel 5 schwerer ist.</text>
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  <title>Benutzer Diskussion:94.222.231.143</title>
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    <id>3134</id>
    <timestamp>2012-11-29T10:05:03Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>Wikia</username>
      <id>22439</id>
    </contributor>
    <comment>Begrüßung eines neuen Autors</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="875" xml:space="preserve">==Willkommen==

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  <title>Reihenwerte bestimmen 1</title>
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    <timestamp>2012-11-30T09:19:36Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>79.227.155.230</username>
      <id>0</id>
    </contributor>
    <comment>/* Tipps */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1139" xml:space="preserve">==Aufgabe (Reihenwertbestimmung)==
Bestimmen Sie den Wert der folgenden Reihe:

&lt;math&gt;\sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{3^n} + \frac{(-1)^n}{n^3}) + \sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{3^{n+1}} + \frac{(-1)^{n+1}}{n^3})&lt;/math&gt;

===Tipps===
Umformung in  a* Geometrische Reihe

===Lösung===
&lt;math&gt;\sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{3^n} + \frac{(-1)^n}{n^3}) + \sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{3^{n+1}} + \frac{(-1)^{n+1}}{n^3}) =&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{3^n}+\frac{1}{3^{n+1}}+\frac{(-1)^n}{n^3}+\frac{(-1)^{n+1}}{n^3}) = \sum_{n=1}^\infty[\frac{1}{3^n}(1+\frac{1}{3})+\frac{(-1)^n}{n^3}(1+(-1))] =&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\sum_{n=1}^\infty \frac{4}{3}(\frac{1}{3})^n =&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\frac{4}{3} \sum_{n=0}^\infty (\frac{1}{3})^{n+1} =&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \sum_{n=0}^\infty (\frac{1}{3})^n =&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{3}} =&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{2}{3}&lt;/math&gt;

===Suchbegriffe===
Reihe, Reihenwert, Summe

===Quellen===
Die Aufgabe stammt aus den Übungsblättern zur Vorlesung Analysis 2 (Uni Duisburg-Essen, SS 2006) !

===ähnliche Aufgaben===
noch keine

[[Kategorie:Analysis]]</text>
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  <title>Benutzer Diskussion:79.227.155.230</title>
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    <contributor>
      <username>Wikia</username>
      <id>22439</id>
    </contributor>
    <comment>Begrüßung eines neuen Autors</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="870" xml:space="preserve">==Willkommen==

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  <title>Waage und 10 Münzen</title>
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    <contributor>
      <username>93.192.152.162</username>
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    </contributor>
    <comment>/* Tipps */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1184" xml:space="preserve">==Aufgabe (10 Münzen, einige leichter)==

Gegeben sind 10 Muenzen und eine Balkenwaage.
Eine echte   Muenze wiegt 1 Einheit.
Eine falsche Muenze wiegt 0.999 Einheiten.

Wie kann man mit moeglichst wenigen Waegevorgaengen auf der Balkenwaage herausfinden, ob es unter den gegebenen 10 Muenzen falsche Muenzen gibt?

===Tipps===
Häufig werden Lösungen angegeben, wo einmal die Wägung 1 durchgeführt wird und abhängig vom Ergebnis die Kugeln für die zweite Wägung festgelegt werden. Ähnlich werden dann die Kugeln für die dritte Wägung aus den Ergebnissen der zweiten Wägung über Fallunterscheidungen bestimmt.

Es gibt aber auch Lösungen, wo ein Versuchsplan von vornherein festgelegt werden kann.

Das ist hier eh klar, da es als Ergebnis nur Gleichstand geben kann.

Anderenfalls wär das Rätsel schon gelöst, und es müssten keine weiteren Wägungen vorgenommen werden.

===Lösung===
[[Waage und 10 Münzen, Lösung 1]]

[[Waage und 10 Münzen, Lösung 2]]

===Suchbegriffe===
Münzen, Waage, Balkenwaage, 10, Wägungen

===Quellen===
Newsgroup de.rec.denksport, Beitrag von GJ Woeginger vom  08.11.2006 16:07 Uhr

===ähnliche Aufgaben===


[[Kategorie:Denksport]]</text>
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  <title>Benutzer Diskussion:93.192.152.162</title>
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    <id>3139</id>
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    <contributor>
      <username>Wikia</username>
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    </contributor>
    <comment>Begrüßung eines neuen Autors</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1166" xml:space="preserve">==Welcome==

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  <title>Grundrechnungsarten auf 1, 2, 3, 4, Lösung</title>
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    <parentid>2715</parentid>
    <timestamp>2013-03-30T15:31:33Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>188.22.207.69</username>
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    </contributor>
    <comment>Kategorien hinzufügen</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2379" xml:space="preserve">
Dies ist die Lösung von Aufgabe [[Grundrechnungsarten auf 1, 2, 3, 4]].

Fortlaufend bis 28 können ganzzahlige Werte erreicht werden. 
Der maximal erreichbare Wert ist 36.

Mögliche Lösungen sind:
*  0 = 4 - 2 + 1 - 3
*  1 = 3 * 2 - 4 - 1
*  2 = 3 * 2 - 4 * 1
*  3 = 3 * 2 - 4 + 1 
*  4 = 4 + 3 - 2 - 1
*  5 = 4 + 3 - 2 * 1
*  6 = 4 + 3 - 2 + 1
*  7 = 4 + 3 * (2-1)
*  8 = 4 + 3 + 2 - 1
*  9 = 4 + 3 + 2 * 1
* 10 = 4 + 3 + 2 + 1
* 11 = 4 * 2 + 3 * 1 
* 12 = 4 * 2 + 3 + 1 
* 13 = 4 * 3 + 2 - 1
* 14 = 4 * 3 + 2 * 1
* 15 = 4 * 3 + 2 + 1
* 16 = 4 * (3+2-1)
* 17 = 3 * (4 + 2) - 1
* 18 = 3 * (4 + 2) * 1
* 19 = 3 * (4 + 2) + 1
* 20 = 4 * (3 + 2) * 1
* 21 = 4 * (3 + 2) + 1
* 22 = 2 * (3 * 4 - 1)
* 23 = 2 * 3 * 4 - 1
* 24 = 2 * 3 * 4 * 1
* 25 = 2 * 3 * 4 + 1    
* 26 = 2 * (3 * 4 + 1)
* 27 = 3 * (2 * 4 + 1)
* 28 = 4 * (1 + 2 * 3)
* 29 ist nicht möglich

* 30 = 3 * 2 * (1 + 4)
* 32 = 4 * 2 * (1 + 3)
* 36 = 4 * 3 * (1 + 2)


Alternativen (unter anderem):
*  1 = 1 * 2 + 3 - 4
*  2 = 1 + 2 + 3 - 4
*  2 = (4 - 3) * 2 * 1
*  2 = 4 - 3 - 1 + 2
*  2 = 2 / (4 - 3) / 1
*  2 = 1 - (4 - 3 - 2)
*  2 = (1 + 3)/(4 - 2)
*  2 = (2 + 4) / 3 * 1 
*  2 = 2 * 3 - 4 * 1
*  3 = 1 * 2 + 4 - 3 
*  4 = 1 + 2 - 3 + 4
*  5 = (1 + 2)*3 - 4
*  6 = 4 + 3 + 1 - 2
*  6 = 2 / (4 / 3 - 1)
*  7 = 4 + 3*(2-1)
*  8 = 4 * (3+1-2)
* 11 = 4 * 2 * 1 + 3
* 12 = 4 * 3 * (2-1)
* 12 = 4 / (1 - 2 / 3)
* 13 = 4 + 3 * (2+1)
* 14 = (1 + 3)*4 - 2
* 15 = (1 + 2)*4 + 3
* 17 = 3 * (4 + 1) + 2
* 25 = (1 + 4) * (2 + 3)


-----
Im Allgemeinen bleibt einem nichts übrig, als alle möglichen Werte der Form
:((a o1 b) o2 c) o3 d
und 
:(a o1 b) o2 (c o3 d)
durchzuprobieren.

Dabei geht {a, b, c, d} alle Permutationen der Vorgabewerte {1, 2, 3, 4} durch. 

o1, o2, o3 ist jeweils ein binärer Operator mit z.B. r o1 s = r + s, r - s, s - r, r * s, r / s oder s / r.

Insgesamt sind das 24 [Permutationen] * 6^3 [Operatoren] * 2 [Formen] = 10368 Fälle.


Effektiver ist es, nur die vier Operatoren +,-,*,/ zu verwenden, also z.B.

:r o1 s = r + s, r - s, r * s, r / s.

Daf&amp;uuml;r muss man dann aber die f&amp;uuml;nf verschiedenen Klammerungen 

:(a o1 b) o2 (c o3 d)
:(a o1 ( b o2 c )) o3 d
:a o1 (( b o2 c) o3 d )
:a o1 ( b o2 ( c o3 d ))
:(( a o1 b ) o2 ) o3 d

verwenden. Man erh&amp;auml;lt so 

:4! * 4&lt;SUP&gt;3&lt;/SUP&gt; * 5 = 7680 

m&amp;ouml;gliche Kombinationen.
[[Kategorie:Denksport_Loesung]]
[[Kategorie:(9x5+20:4):2+8]]</text>
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  </revision>
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  <title>Benutzer Diskussion:188.22.207.69</title>
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    <id>3141</id>
    <timestamp>2013-03-30T15:32:03Z</timestamp>
    <contributor>
      <username>Wikia</username>
      <id>22439</id>
    </contributor>
    <comment>Begrüßung eines neuen Autors</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="933" xml:space="preserve">==Willkommen==

Hi, Willkommen bei {{SITENAME}}! Danke für deine Bearbeitung auf der Seite [[:Grundrechnungsarten auf 1, 2, 3, 4, Lösung]].

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  <title>Quadratische Gleichungen: Ein Stein fällt in einen Brunnen</title>
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    <text bytes="2432" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach 5s hört man den Aufschlag. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 340m/s. Die Erdbeschleunigung beträgt g = 9,81 m/s².

'''A:''' Beschreiben sie den Vorgang zur Bestimmung der Tiefe.

'''B:''' Wie tief ist der Brunnen.

'''C:''' Zeichnen Sie das Weg/Zeit –Diagramm des Vorgangs.

== Tipps ==


== Lösung ==


=== A: Vorgangsbeschreibung ===

Mit einer Stoppuhr misst man die Zeit bis zum Aufprall. Die gemessene Zeit ist die Summe für die Fallzeit und die Zeit, die der Schall braucht um wieder aufzusteigen. Der Weg, den beide zurücklegen müssen ist der gleiche. Die genaue Vorgehensweise ist im folgenden Punkt erklärt.

=== B: Berechnung der Brunnentiefe ===

Formel für den freien Fall

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;1&gt;'''


Formel für den Schall

:h = V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;2&gt;'''


Weiter gilt:

:t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; = 5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;'''


Da der Schall die gleiche Strecke zurücklegen muss, wie der Stein kann man die Formeln '''&lt;1&gt;''' und '''&lt;2&gt;''' Gleichsetzen.

:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt;


Und für t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;''' einsetzen.


:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × (5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;)

:

:&lt;math&gt;
{{9,81} \over 2} \times \mathop t\nolimits_{fall}^2  + 340{m \over s} \times \mathop t\nolimits_{fall}  - 1700 = 0&lt;/math&gt;


'''Das ist eine quadratische Gleichung mit'''

:'''a''' = g/2
:'''b''' = 340
:'''c''' = -1700

Eingesetzt in die [[Lösungsformel für quadratische Gleichungen]]

:&lt;math&gt; \mathop x\nolimits_{1/2}  = {{ - b \pm \sqrt {b^2  - 4ac} } \over {2a}} &lt;/math&gt;

ergibt zwei Lösungen:

:x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;= 4,684s
:x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;= -74,0005s

Da es keine negative Fallzeit gibt, muss die Lösung für '''t&lt;sub&gt; fall&lt;/sub&gt; = 4.684s''' sein.

Eingesetzt in '''&lt;1&gt;'''

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;

:h = ½ × 9,81 m/s² × 4,684s ²


:'''h = 107,61 m'''

'''Die Brunnentiefe ist also 107,61 m'''

=== C: Weg-Zeit-Diagramm ===

[[Bild:stein_brunnen_wegzeit.PNG]]
Das Diagramm ist falsch, da zunächst ein freier Fall stattfindet und deshalb die zugehörige t-h-Kurve eine Parabel sein muss.

==Suchbegriffe==

Quadratische Gleichung, Brunnentiefe, Fallzeit, beschleunigte Bewegung, gleichförmige Bewegung

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 9]]</text>
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    <text bytes="2433" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach 5s hört man den Aufschlag. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 340m/s. Die Erdbeschleunigung beträgt g = 9,81 m/s².

'''A:''' Beschreiben sie den Vorgang zur Bestimmung der Tiefe.

'''B:''' Wie tief ist der Brunnen.

'''C:''' Zeichnen Sie das Weg/Zeit –Diagramm des Vorgangs.

== Tipps ==


== Lösung ==


=== A: Vorgangsbeschreibung ===

Mit einer Stoppuhr misst man die Zeit bis zum Aufprall. Die gemessene Zeit ist die Summe für die Fallzeit und die Zeit, die der Schall braucht um wieder aufzusteigen. Der Weg, den beide zurücklegen müssen, ist der gleiche. Die genaue Vorgehensweise ist im folgenden Punkt erklärt.

=== B: Berechnung der Brunnentiefe ===

Formel für den freien Fall

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;1&gt;'''


Formel für den Schall

:h = V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;2&gt;'''


Weiter gilt:

:t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; = 5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;'''


Da der Schall die gleiche Strecke zurücklegen muss, wie der Stein kann man die Formeln '''&lt;1&gt;''' und '''&lt;2&gt;''' Gleichsetzen.

:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt;


Und für t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;''' einsetzen.


:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × (5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;)

:

:&lt;math&gt;
{{9,81} \over 2} \times \mathop t\nolimits_{fall}^2  + 340{m \over s} \times \mathop t\nolimits_{fall}  - 1700 = 0&lt;/math&gt;


'''Das ist eine quadratische Gleichung mit'''

:'''a''' = g/2
:'''b''' = 340
:'''c''' = -1700

Eingesetzt in die [[Lösungsformel für quadratische Gleichungen]]

:&lt;math&gt; \mathop x\nolimits_{1/2}  = {{ - b \pm \sqrt {b^2  - 4ac} } \over {2a}} &lt;/math&gt;

ergibt zwei Lösungen:

:x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;= 4,684s
:x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;= -74,0005s

Da es keine negative Fallzeit gibt, muss die Lösung für '''t&lt;sub&gt; fall&lt;/sub&gt; = 4.684s''' sein.

Eingesetzt in '''&lt;1&gt;'''

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;

:h = ½ × 9,81 m/s² × 4,684s ²


:'''h = 107,61 m'''

'''Die Brunnentiefe ist also 107,61 m'''

=== C: Weg-Zeit-Diagramm ===

[[Bild:stein_brunnen_wegzeit.PNG]]
Das Diagramm ist falsch, da zunächst ein freier Fall stattfindet und deshalb die zugehörige t-h-Kurve eine Parabel sein muss.

==Suchbegriffe==

Quadratische Gleichung, Brunnentiefe, Fallzeit, beschleunigte Bewegung, gleichförmige Bewegung

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 9]]</text>
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    <text bytes="2430" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach 5s hört man den Aufschlag. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 340m/s. Die Erdbeschleunigung beträgt g = 9,81 m/s².

'''A:''' Beschreiben sie den Vorgang zur Bestimmung der Tiefe.

'''B:''' Wie tief ist der Brunnen.

'''C:''' Zeichnen Sie das Weg/Zeit –Diagramm des Vorgangs.

== Tipps ==


== Lösung ==


=== A: Vorgangsbeschreibung ===

Mit einer Stoppuhr misst man die Zeit bis zum Aufprall. Die gemessene Zeit ist die Summe für die Fallzeit und die Zeit, die der Schall braucht um wieder aufzusteigen. Der Weg, den beide zurücklegen müssen, ist der gleiche. Die genaue Vorgehensweise ist im folgenden Punkt erklärt.

=== B: Berechnung der Brunnentiefe ===

Formel für den freien Fall

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;1&gt;'''


Formel für den Schall

:h = V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;2&gt;'''


Weiter gilt:

:t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; = 5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;'''


Da der Schall die gleiche Strecke zurücklegen muss, wie der Stein kann man die Formeln '''&lt;1&gt;''' und '''&lt;2&gt;''' Gleichsetzen.

:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt;


Und für t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;''' einsetzen.


:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × (5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;)

:

:&lt;math&gt;
{{9,81} \over 2} \times \mathop t\nolimits_{fall}^2  + 340{m \over s} \times \mathop t\nolimits_{fall}  - 1700 = 0&lt;/math&gt;


'''Das ist eine quadratische Gleichung mit'''

:'''a''' = g/2
:'''b''' = 340
:'''c''' = -1700

Eingesetzt in die [[Lösungsformel für quadratische Gleichungen]]

:&lt;math&gt; \mathop x\nolimits_{1/2}  = {{ - b \pm \sqrt {b^2  - 4ac} } \over {2a}} &lt;/math&gt;

ergibt zwei Lösungen:

:x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;= 4,684s
:x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;= -74,0005s

Da es keine negative Fallzeit gibt, muss die Lösung für '''t&lt;sub&gt; fall&lt;/sub&gt; = 4.684s''' sein.

Eingesetzt in '''&lt;1&gt;'''

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;

:h = ½ × 9,81 m/s² × 4,684s ²


:'''h = 107,61 m'''

'''Die Brunnentiefe ist also 107,61 m'''

=== C: Weg-Zeit-Diagramm ===

[[Bild:stein_brunnen_wegzeit.PNG]]
Das Diagramm ist falsch, da zunächst ein freier Fall stattfindet und deshalb die zugehörige t-h-Kurve eine Parabel sein muss.

==Suchbegriffe==

Quadratische Gleichung, Brunnentiefe, Fallzeit, beschleunigte Bewegung, gleichförmige Bewegung

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==
[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 9]]</text>
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    <text bytes="2430" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach 5s hört man den Aufschlag. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 330m/s. Die Erdbeschleunigung beträgt g = 9,81 m/s².

'''A:''' Beschreiben sie den Vorgang zur Bestimmung der Tiefe.

'''B:''' Wie tief ist der Brunnen.

'''C:''' Zeichnen Sie das Weg/Zeit –Diagramm des Vorgangs.

== Tipps ==


== Lösung ==


=== A: Vorgangsbeschreibung ===

Mit einer Stoppuhr misst man die Zeit bis zum Aufprall. Die gemessene Zeit ist die Summe für die Fallzeit und die Zeit, die der Schall braucht um wieder aufzusteigen. Der Weg, den beide zurücklegen müssen, ist der gleiche. Die genaue Vorgehensweise ist im folgenden Punkt erklärt.

=== B: Berechnung der Brunnentiefe ===

Formel für den freien Fall

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;1&gt;'''


Formel für den Schall

:h = V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;2&gt;'''


Weiter gilt:

:t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; = 5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;'''


Da der Schall die gleiche Strecke zurücklegen muss, wie der Stein kann man die Formeln '''&lt;1&gt;''' und '''&lt;2&gt;''' Gleichsetzen.

:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt;


Und für t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;''' einsetzen.


:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × (5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;)

:

:&lt;math&gt;
{{9,81} \over 2} \times \mathop t\nolimits_{fall}^2  + 340{m \over s} \times \mathop t\nolimits_{fall}  - 1700 = 0&lt;/math&gt;


'''Das ist eine quadratische Gleichung mit'''

:'''a''' = g/2
:'''b''' = 340
:'''c''' = -1700

Eingesetzt in die [[Lösungsformel für quadratische Gleichungen]]

:&lt;math&gt; \mathop x\nolimits_{1/2}  = {{ - b \pm \sqrt {b^2  - 4ac} } \over {2a}} &lt;/math&gt;

ergibt zwei Lösungen:

:x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;= 4,684s
:x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;= -74,0005s

Da es keine negative Fallzeit gibt, muss die Lösung für '''t&lt;sub&gt; fall&lt;/sub&gt; = 4.684s''' sein.

Eingesetzt in '''&lt;1&gt;'''

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;

:h = ½ × 9,81 m/s² × 4,684s ²


:'''h = 107,61 m'''

'''Die Brunnentiefe ist also 107,61 m'''

=== C: Weg-Zeit-Diagramm ===

[[Bild:stein_brunnen_wegzeit.PNG]]
Das Diagramm ist falsch, da zunächst ein freier Fall stattfindet und deshalb die zugehörige t-h-Kurve eine Parabel sein muss.

==Suchbegriffe==

Quadratische Gleichung, Brunnentiefe, Fallzeit, beschleunigte Bewegung, gleichförmige Bewegung

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==
[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 9]]</text>
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    <text bytes="2439" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach 5s hört man den Aufschlag. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 330m/s. Die Erdbeschleunigung beträgt g = 9,81 m/s².

'''A:''' Beschreiben sie den Vorgang zur Bestimmung der Tiefe.

'''B:''' Wie tief ist der Brunnen.

'''C:''' Zeichnen Sie das Weg/Zeit –Diagramm des Vorgangs.

== Tipps ==


== Lösung ==


=== A: Vorgangsbeschreibung ===

Mit einer Stoppuhr misst man die Zeit bis zum Aufprall. Die gemessene Zeit ist die Summe für die Fallzeit und die Zeit, die der Schall braucht um wieder aufzusteigen. Der Weg, den beide zurücklegen müssen, ist der gleiche. Die genaue Vorgehensweise ist im folgenden Punkt schlecht erklärt.

=== B: Berechnung der Brunnentiefe ===

Formel für den freien Fall

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;1&gt;'''


Formel für den Schall

:h = V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;2&gt;'''


Weiter gilt:

:t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; = 5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;'''


Da der Schall die gleiche Strecke zurücklegen muss, wie der Stein kann man die Formeln '''&lt;1&gt;''' und '''&lt;2&gt;''' Gleichsetzen.

:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt;


Und für t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;''' einsetzen.


:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × (5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;)

:

:&lt;math&gt;
{{9,81} \over 2} \times \mathop t\nolimits_{fall}^2  + 340{m \over s} \times \mathop t\nolimits_{fall}  - 1700 = 0&lt;/math&gt;


'''Das ist eine quadratische Gleichung mit'''

:'''a''' = g/2
:'''b''' = 340
:'''c''' = -1700

Eingesetzt in die [[Lösungsformel für quadratische Gleichungen]]

:&lt;math&gt; \mathop x\nolimits_{1/2}  = {{ - b \pm \sqrt {b^2  - 4ac} } \over {2a}} &lt;/math&gt;

ergibt zwei Lösungen:

:x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;= 4,684s
:x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;= -74,0005s

Da es keine negative Fallzeit gibt, muss die Lösung für '''t&lt;sub&gt; fall&lt;/sub&gt; = 4.684s''' sein.

Eingesetzt in '''&lt;1&gt;'''

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;

:h = ½ × 9,81 m/s² × 4,684s ²


:'''h = 107,61 m'''

'''Die Brunnentiefe ist also 107,61 m'''

=== C: Weg-Zeit-Diagramm ===

[[Bild:stein_brunnen_wegzeit.PNG]]
Das Diagramm ist falsch, da zunächst ein freier Fall stattfindet und deshalb die zugehörige t-h-Kurve eine Parabel sein muss.

==Suchbegriffe==

Quadratische Gleichung, Brunnentiefe, Fallzeit, beschleunigte Bewegung, gleichförmige Bewegung

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==
[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 9]]</text>
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Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach 5s hört man den Aufschlag. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 330m/s. Die Erdbeschleunigung beträgt g = 9,81 m/s².

'''A:''' Beschreiben sie den Vorgang zur Bestimmung der Tiefe.

'''B:''' Wie tief ist der Brunnen.

'''C:''' Zeichnen Sie das Weg/Zeit –Diagramm des Vorgangs.

== Tipps ==


== Lösung ==


=== A: Vorgangsbeschreibung ===

Mit einer Stoppuhr misst man die Zeit bis zum Aufprall. Die gemessene Zeit ist die Summe für die Fallzeit und die Zeit, die der Schall braucht um wieder aufzusteigen. Der Weg, den beide zurücklegen müssen, ist der gleiche. Die genaue Vorgehensweise ist im folgenden Punkt schlecht erklärt.

=== B: Berechnung der Brunnentiefe ===

Formel für den freien Fall

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;1&gt;'''


Formel für den Schall

:h = V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;2&gt;'''


Weiter gilt:

:t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; = 5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;'''


Da der Schall die gleiche Strecke zurücklegen muss, wie der Stein kann man die Formeln '''&lt;1&gt;''' und '''&lt;2&gt;''' Gleichsetzen.

:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt;


Und für t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;''' einsetzen.


:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × (5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;)

:

:&lt;math&gt;
{{9,81} \over 2} \times \mathop t\nolimits_{fall}^2  + 340{m \over s} \times \mathop t\nolimits_{fall}  - 1700 = 0&lt;/math&gt;


'''Das ist eine quadratische Gleichung mit'''

:'''a''' = g/2
:'''b''' = 340
:'''c''' = -1700

Eingesetzt in die [[Lösungsformel für quadratische Gleichungen]]

:&lt;math&gt; \mathop x\nolimits_{1/2}  = {{ - b \pm \sqrt {b^2  - 4ac} } \over {2a}} &lt;/math&gt;

ergibt zwei Lösungen:

:x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;= 4,684s
:x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;= -74,0005s

Da es keine negative Fallzeit gibt, muss die Lösung für '''t&lt;sub&gt; fall&lt;/sub&gt; = 4.684s''' sein.

Eingesetzt in '''&lt;1&gt;'''

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;

:h = ½ × 9,81 m/s² × 4,684s ²


:'''h = 107,61 m'''

'''Die Brunnentiefe ist also 107,61 m'''

=== C: Weg-Zeit-Diagramm ===

[[Bild:stein_brunnen_wegzeit.PNG]]
Das Diagramm ist falsch, da zunächst ein freier Fall stattfindet und deshalb die nazistisch zugehörige t-h-Kurve eine Parabel sein muss.

==Suchbegriffe==

Quadratische Gleichung, Brunnentiefe, Fallzeit, beschleunigte Bewegung, gleichförmige Bewegung

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==
[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 9]]</text>
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    <text bytes="2525" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach 5s hört man den Aufschlag. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 330m/s. Die Erdbeschleunigung beträgt g = 9,81 m/s².

'''A:''' Beschreiben sie den Vorgang zur Bestimmung der Tiefe.

'''B:''' Wie tief ist der Brunnen.

'''C:''' Zeichnen Sie das Weg/Zeit –Diagramm des Vorgangs.

== Tipps ==


== Lösung ==


=== A: Vorgangsbeschreibung ===

Mit einer Stoppuhr misst man die Zeit bis zum Aufprall. Die gemessene Zeit ist die Summe für die Fallzeit und die Zeit, die der Schall braucht um wieder aufzusteigen. Der Weg, den beide zurücklegen müssen, ist der gleiche. Die genaue Vorgehensweise ist im folgenden Punkt schlecht erklärt.

=== B: Berechnung der Brunnentiefe ===

Formel für den freien Fall

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;1&gt;'''


Formel für den Schall

:h = V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;2&gt;'''


Weiter gilt:

:t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; = 5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;'''


Da der Schall die gleiche Strecke zurücklegen muss, wie der Stein kann man die Formeln '''&lt;1&gt;''' und '''&lt;2&gt;''' Gleichsetzen.

:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt;


Und für t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;''' einsetzen.


:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × (5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;)

:

:&lt;math&gt;
{{9,81} \over 2} \times \mathop t\nolimits_{fall}^2  + 340{m \over s} \times \mathop t\nolimits_{fall}  - 1700 = 0&lt;/math&gt;


'''Das ist eine quadratische Gleichung mit'''

:'''a''' = g/2
:'''b''' = 340
:'''c''' = -1700

Eingesetzt in die [[Lösungsformel für quadratische Gleichungen]]

:&lt;math&gt; \mathop x\nolimits_{1/2}  = {{ - b \pm \sqrt {b^2  - 4ac} } \over {2a}} &lt;/math&gt;

ergibt zwei Lösungen:

:x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;= 4,684s
:x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;= -74,0005s

Da es keine negative Fallzeit gibt, muss die Lösung für '''t&lt;sub&gt; fall&lt;/sub&gt; = 4.684s''' sein.

Eingesetzt in '''&lt;1&gt;'''

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;

:h = ½ × 9,81 m/s² × 4,684s ²


:'''h = 107,61 m'''

'''Die Brunnentiefe ist also 107,61 m'''

=== C: Weg-Zeit-Diagramm ===

[[Bild:stein_brunnen_wegzeit.PNG]]
Das Diagramm ist falsch, da zunächst ein freier Fall stattfindet und deshalb die  zugehörige t-h-Kurve eine Parabel sein muss. Nach t=4,684s bleibt dann der Weg konstant (Stein ist am Brunnenboden aufgeschlagen)

==Suchbegriffe==

Quadratische Gleichung, Brunnentiefe, Fallzeit, beschleunigte Bewegung, gleichförmige Bewegung

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==
[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 9]]</text>
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  <title>Benutzer Diskussion:79.237.44.70</title>
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    <id>3146</id>
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    </contributor>
    <comment>Begrüßung eines neuen Autors</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="954" xml:space="preserve">==Willkommen==

Hi, Willkommen bei {{SITENAME}}! Danke für deine Bearbeitung auf der Seite [[:Quadratische Gleichungen: Ein Stein fällt in einen Brunnen]].

'''[[Special:Userlogin|Bitte lege dir ein Benutzerkonto an]]'''. So kannst du ganz einfach deine Beiträge im Überblick behalten und dich besser mit dem Rest der Community verständigen.

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  <title>Logarithmen: Zinseszins</title>
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      <username>5.147.116.212</username>
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    <comment>/* Suchbegriffe */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1653" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Nach wieviel Jahren ist ein Kapital von 10000 € zu einem Zinssatz von 2,9 % auf 28798,43 € angestiegen?

== Tipps ==

Die Lösungsformel für die Berechnung von Zinseszinsen ist:


&lt;math&gt;K_n  = K_0  \cdot (1 + \frac{p}
{{100}})^n&lt;/math&gt;

Dabei ist:

&lt;math&gt;K_n&lt;/math&gt; das Kapital nach n Jahren.

&lt;math&gt;K_0&lt;/math&gt; das Anfangskapital

&lt;math&gt;p&lt;/math&gt; der Zinssatz in %

&lt;math&gt;n&lt;/math&gt; die Dauer in Jahren

== Lösung ==

Gegebene Werte in die Formel einsetzen:

&lt;math&gt;28798,43 Euro  = 10000 Euro  \cdot (1 + \frac{2,9}
{{100}})^n&lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; gesucht ist und im Exponent steht, müssen wir den Logarithmus suchen.


&lt;math&gt;\begin{gathered}
  28798,43 = 10000 \cdot \left( {1 + \frac{{2,9}}
{{100}}} \right)^n  \hfill \\
  \frac{{28798,43}}
{{10000}} = \left( {1,029} \right)^n  \hfill \\
  n = \log _{1,029} 2,879843 \hfill \\
  n \approx 37 \hfill \\ 
\end{gathered}&lt;/math&gt;


Nach 37 Jahren ist ein Kapital von 10000 € bei einem Jahreszins von 2,9% auf 28798,43 € angestiegen.

== Anmerkung ==

Die 3. Zeile der Rechnung

&lt;math&gt;
n = \log _{1,029} 2,879843 \hfill \\
&lt;/math&gt;

berechnet man mit dem Taschenrechner mit Hilfe der Logarithmusgesetze. Dabei rechnet man einen Logarithmus beliebiger Basis um, indem man mit Hilfe des natürlichen Logarithmus (Taste ''ln'' auf dem Taschenrechner) den Logarithmus des Exponenten durch den Logarithmus der Basis teilt.

Denn es gilt:
&lt;math&gt;
\log _b a = \frac{{\ln a}}
{{\ln b}}
&lt;/math&gt;

== Suchbegriffe ==

Logarithmen, Zins, Zinseszins, lalala, bumm bumm, türke

== ähnliche Aufgaben ==
[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 10]]
[[Kategorie:Logarithmen]]</text>
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    </contributor>
    <comment>/* Lösung */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1647" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Nach wieviel Jahren ist ein Kapital von 10000 € zu einem Zinssatz von 2,9 % auf 28798,43 € angestiegen?

== Tipps ==

Die Lösungsformel für die Berechnung von Zinseszinsen ist:


&lt;math&gt;K_n  = K_0  \cdot (1 + \frac{p}
{{100}})^n&lt;/math&gt;

Dabei ist:

&lt;math&gt;K_n&lt;/math&gt; das Kapital nach n Jahren.

&lt;math&gt;K_0&lt;/math&gt; das Anfangskapital

&lt;math&gt;p&lt;/math&gt; der Zinssatz in %

&lt;math&gt;n&lt;/math&gt; die Dauer in Jahren

== Lösung ==

Gegebene Werte in die Formel einsetzen:

&lt;math&gt;28798,43 Euro  = 10000 Euro  \cdot (1 + \frac{2,9}
{{100}})^n&lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; gesucht ist und im Exponent steht, müssen wir den Logarithmus suchen.


&lt;math&gt;{gathered}
  28798,43 = 10000 \cdot \left( {1 + \frac{{2,9}}
{{100}}} \right)^n  \hfill \\
  \frac{{28798,43}}
{{10000}} = \left( {1,029} \right)^n  \hfill \\
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  n \approx 37 \hfill \\ 
\end{gathered}&lt;/math&gt;


Nach 37 Jahren ist ein Kapital von 10000 € bei einem Jahreszins von 2,9% auf 28798,43 € angestiegen.

== Anmerkung ==

Die 3. Zeile der Rechnung

&lt;math&gt;
n = \log _{1,029} 2,879843 \hfill \\
&lt;/math&gt;

berechnet man mit dem Taschenrechner mit Hilfe der Logarithmusgesetze. Dabei rechnet man einen Logarithmus beliebiger Basis um, indem man mit Hilfe des natürlichen Logarithmus (Taste ''ln'' auf dem Taschenrechner) den Logarithmus des Exponenten durch den Logarithmus der Basis teilt.

Denn es gilt:
&lt;math&gt;
\log _b a = \frac{{\ln a}}
{{\ln b}}
&lt;/math&gt;

== Suchbegriffe ==

Logarithmen, Zins, Zinseszins, lalala, bumm bumm, türke

== ähnliche Aufgaben ==
[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 10]]
[[Kategorie:Logarithmen]]</text>
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    </contributor>
    <comment>/* Suchbegriffe */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1700" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Nach wieviel Jahren ist ein Kapital von 10000 € zu einem Zinssatz von 2,9 % auf 28798,43 € angestiegen?

== Tipps ==

Die Lösungsformel für die Berechnung von Zinseszinsen ist:


&lt;math&gt;K_n  = K_0  \cdot (1 + \frac{p}
{{100}})^n&lt;/math&gt;

Dabei ist:

&lt;math&gt;K_n&lt;/math&gt; das Kapital nach n Jahren.

&lt;math&gt;K_0&lt;/math&gt; das Anfangskapital

&lt;math&gt;p&lt;/math&gt; der Zinssatz in %

&lt;math&gt;n&lt;/math&gt; die Dauer in Jahren

== Lösung ==

Gegebene Werte in die Formel einsetzen:

&lt;math&gt;28798,43 Euro  = 10000 Euro  \cdot (1 + \frac{2,9}
{{100}})^n&lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; gesucht ist und im Exponent steht, müssen wir den Logarithmus suchen.


&lt;math&gt;{gathered}
  28798,43 = 10000 \cdot \left( {1 + \frac{{2,9}}
{{100}}} \right)^n  \hfill \\
  \frac{{28798,43}}
{{10000}} = \left( {1,029} \right)^n  \hfill \\
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  n \approx 37 \hfill \\ 
\end{gathered}&lt;/math&gt;


Nach 37 Jahren ist ein Kapital von 10000 € bei einem Jahreszins von 2,9% auf 28798,43 € angestiegen.

== Anmerkung ==

Die 3. Zeile der Rechnung

&lt;math&gt;
n = \log _{1,029} 2,879843 \hfill \\
&lt;/math&gt;

berechnet man mit dem Taschenrechner mit Hilfe der Logarithmusgesetze. Dabei rechnet man einen Logarithmus beliebiger Basis um, indem man mit Hilfe des natürlichen Logarithmus (Taste ''ln'' auf dem Taschenrechner) den Logarithmus des Exponenten durch den Logarithmus der Basis teilt.

Denn es gilt:
&lt;math&gt;
\log _b a = \frac{{\ln a}}
{{\ln b}}
&lt;/math&gt;

== Suchbegriffe ==

Logarithmen, Zins, Zinseszins, lalala, bumm bumm, türke &lt;--- der Typ der das geschrieben hat ist ein huansohn

== ähnliche Aufgaben ==
[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 10]]
[[Kategorie:Logarithmen]]</text>
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    <comment>/* Suchbegriffe */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1619" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Nach wieviel Jahren ist ein Kapital von 10000 € zu einem Zinssatz von 2,9 % auf 28798,43 € angestiegen?

== Tipps ==

Die Lösungsformel für die Berechnung von Zinseszinsen ist:


&lt;math&gt;K_n  = K_0  \cdot (1 + \frac{p}
{{100}})^n&lt;/math&gt;

Dabei ist:

&lt;math&gt;K_n&lt;/math&gt; das Kapital nach n Jahren.

&lt;math&gt;K_0&lt;/math&gt; das Anfangskapital

&lt;math&gt;p&lt;/math&gt; der Zinssatz in %

&lt;math&gt;n&lt;/math&gt; die Dauer in Jahren

== Lösung ==

Gegebene Werte in die Formel einsetzen:

&lt;math&gt;28798,43 Euro  = 10000 Euro  \cdot (1 + \frac{2,9}
{{100}})^n&lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; gesucht ist und im Exponent steht, müssen wir den Logarithmus suchen.


&lt;math&gt;{gathered}
  28798,43 = 10000 \cdot \left( {1 + \frac{{2,9}}
{{100}}} \right)^n  \hfill \\
  \frac{{28798,43}}
{{10000}} = \left( {1,029} \right)^n  \hfill \\
  n = \log _{1,029} 2,879843 \hfill \\
  n \approx 37 \hfill \\ 
\end{gathered}&lt;/math&gt;


Nach 37 Jahren ist ein Kapital von 10000 € bei einem Jahreszins von 2,9% auf 28798,43 € angestiegen.

== Anmerkung ==

Die 3. Zeile der Rechnung

&lt;math&gt;
n = \log _{1,029} 2,879843 \hfill \\
&lt;/math&gt;

berechnet man mit dem Taschenrechner mit Hilfe der Logarithmusgesetze. Dabei rechnet man einen Logarithmus beliebiger Basis um, indem man mit Hilfe des natürlichen Logarithmus (Taste ''ln'' auf dem Taschenrechner) den Logarithmus des Exponenten durch den Logarithmus der Basis teilt.

Denn es gilt:
&lt;math&gt;
\log _b a = \frac{{\ln a}}
{{\ln b}}
&lt;/math&gt;

== Suchbegriffe ==

Logarithmen, Zins, Zinseszins

== ähnliche Aufgaben ==
[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 10]]
[[Kategorie:Logarithmen]]</text>
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    <comment>Begrüßung eines neuen Autors</comment>
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    <text bytes="920" xml:space="preserve">==Willkommen==

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  <title>Gefangene und Glühbirne, Lösung 3</title>
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Dies ist die Lösung 3 von Aufgabe [[Gefangene und Glühbirne]].

"Tage nummerieren, jeder zählt":

Jeder Gefangene erhält eine Nummer von 1 bis 100.
Die Tage werden von 1 bis 100 durchnummeriert, danach beginnt die Zählung wieder bei 1.
Jeder Häftling führt eine Strichliste mit Feldern von 1 bis 100.
Wenn am Tag i (i=1..100) der Häftling mit Nummer i (selbe Nummer!) in die Kammer geführt wird, dann schaltet er das Licht ein. Wenn ein Häftling mit anderer Nummer in die Kammer geführt wird, verläßt er den Raum mit ausgeschaltetem Licht.
Wer in die Kammer geführt wird, prüft zuerst, ob sein Vorgänger das Licht eingeschaltet hatte. Ist das der Fall, kann er auf seiner Strichliste den Häftling mit der Nummer des Vortages abhaken.

Derjenige, dessen Liste zuerst voll ist, spricht die befreienden Worte.

Schneller geht es, wenn jeder auch dann das Licht anschaltet, wenn er weiß, dass der Kollege mit der Nummer von heute bereits im Raum war.

Achtung: Diese Strategie setzt voraus, dass die Häftlinge die einzelnen Tage unterscheiden können.

Der Nachteil ist, das diese Lösung unter Umständen sehr lange dauern könnte, nämlich  maximal 100!*100! = 2,3 * 10^313 Jahre (sprich 2,3 mit 313 Nullen hintendran). Das erste 100! damit alle 100 Sträflinge an genau 100 Tagen im Raum waren und das zweite 100! damit die Reihenfolge unter diesen 100 stimmt. Es kann sein dass sich die Dauer noch erhöht da ich nicht mit eingerechnet habe dass die Zählung exakt alle 100 Tage beginnen muss (z.B. kann so von Tag 50 bis 150 alle in der Zelle sein, davor/danach aber evtl. nicht).
[[Kategorie:Denksport_Loesung]]</text>
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    <text bytes="931" xml:space="preserve">==Willkommen==

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  <title>Benutzer Diskussion:195.65.23.197</title>
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    <comment>Begrüßung eines neuen Autors</comment>
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    <text bytes="920" xml:space="preserve">==Willkommen==

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  <title>Integralrechnung: Fläche unter einer ganzrationalen Funktion</title>
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    <comment>/* Da */</comment>
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    <text bytes="570" xml:space="preserve">==Aufgabe ==
Berechne die Fläche unter der Funktion

&lt;math&gt;f(x) = x^3  - 2x^2  - 3x&lt;/math&gt;

im Intervall von 0 bis 2

===Tipps===


===Lösung===

====Stammfunktion suchen====

&lt;math&gt;f(x) = x^3  - 2x^2  - 3x&lt;/math&gt;

dann ist

&lt;math&gt;F(x) = {1 \over 4}x^4  - {2 \over 3}x^3  - {3 \over 2}x^2 +c&lt;/math&gt;ö

===Suchbegriffe===

Fläche unter einer Funktion, Integralrechnung, Beispielaufgabe


===Quellen===


[http://volkerbehrens.de/daten/integralrechnung.pdf www.volkerbehrens.de]

===ähnliche Aufgaben===


[[Kategorie:Abituraufgaben]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 12]]</text>
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  <title>Benutzer Diskussion:31.18.44.89</title>
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    <comment>Begrüßung eines neuen Autors</comment>
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    <text bytes="957" xml:space="preserve">==Willkommen==

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  <title>Benutzer Diskussion:79.206.2.171</title>
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    <comment>Begrüßung eines neuen Autors</comment>
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  <title>Benutzer Diskussion:79.250.43.230</title>
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    <text bytes="956" xml:space="preserve">==Willkommen==

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  <title>Arbeiten mit Termen: Treffpunkt von zwei Radfahrern</title>
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      <username>79.194.60.244</username>
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    </contributor>
    <comment>/* Lösung */</comment>
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    <text bytes="4158" xml:space="preserve">==Aufgabe==

Die Orte '''A''' und '''B''' liegen 25 km von einander entfernt. Tina startet um 14:00 Uhr in '''A''' und fährt mit einer Geschwindigkeit von 15 km/h in Richtung '''B'''. Zur gleichen Zeit startet Karin in '''B''' und fährt mit 17 km/h in Richtung '''A'''. 

Nach wieviel Kilometern und nach welcher Zeit treffen sich die beiden Mädchen zwischen '''A''' und '''B'''?
===Tipps===

Wenn ihr Probleme mit der Aufgabenstellung habt, solltet ihr euch erst mal eine Zeichnung machen. Dabei malt man die beiden Orte auf und trägt alle Daten ein, die gegeben sind.

===Lösung===


==== Was ist x ====

Die Geschwindigkeit der Mädchen wird in km/h angegeben. Gesucht ist einmal der gefahrene Weg und zum anderen die verstrichene Zeit seit 14:00 Uhr bis zum Treffpunkt.

Für x nehmen wir am besten die gefahrene Zeit.

==== Term aufstellen ====

Der Term besteht aus zwei Teilen die jeder für sich die Formel für das entsprechende Mädchen darstellt.

Man muss allerdings einen wichtigen Punkt dabei berücksichtigen. Da Karin genau in die entgegengesetzte Richtung fährt und bei '''B''' startet, muss ihre Formel von 25 km abgezogen werden. Also ergibt sich:


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} &lt;/math&gt; für Tina

&lt;math&gt; 25 km - (x \cdot 17{km \over h}) &lt;/math&gt; für Karin

Die beiden Formeln werden nun Gleichgesetzt:

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt;

==== Zeit Ausrechnen ====

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt; '''| +17x'''


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} +x \cdot 17{km \over h}  = 25 km &lt;/math&gt; '''| x ausklammern'''


&lt;math&gt;x \cdot (15 {km \over h} +  17{km \over h})  = 25 km &lt;/math&gt; '''| / 32 km/h'''


&lt;math&gt;x  = {25km \over (15 {km \over h} +  17{km \over h})} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x  = {25km \over  32{km \over h}} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x  = {25 \over 32}  h =  0,78125 h = 46,8 Minuten&lt;/math&gt;

Km kürzt sich raus und übrig bleibt h (Stunden). Sie treffen sich also nach ca.46,8 Minuten.


==== Weg Ausrechnen ====

Der Weg errechnet sich dann über die Geschwindigkeit (wir nehmen die von Tina) und die Zeit.

Geschwindigkeit = Weg / Zeit oder &lt;math&gt;v = {s \over t}&lt;/math&gt;

Also ist der Weg = Geschwidigkeit x Zeit &lt;math&gt;s = v \cdot t&lt;/math&gt;

die errechnete Zeit und Tinas Geschwindigkeit eingesetzt.

&lt;math&gt;s = {15 {km \over h} \cdot{25 \over 32}h}= 11,72 km&lt;/math&gt;

'''Tina ist also in 46,8 Minuten 11,72 km weit gefahren, bis sie mit Karin zusammentrift.'''

===Lösung 2===

Der zweite Ansatz erfordert schon die Kenntnis einer allgemeinen Geradengleichung.

&lt;math&gt;y = m \cdot x + c&lt;/math&gt;

'''m''' ist darin die Steigung der Geraden und '''c''' der Achsenabschnitt auf der y-Achse

[[Bild:Treffpunkt.png|framed|Die Geradengleichungen als Gafik]]

Die Steigungen sind hierbei die Geschwindigkeiten. Einen Achsenabschnitt hat nur die Gerade von Karin, da sie ja in '''B''', was ja von '''A''' 25 km entfernt liegt, startet. 

Die Geradengleichung für Tina:

&lt;math&gt;y = 15 {km \over h} \cdot x + 0&lt;/math&gt;

Die Geradengleichung für Karin:

&lt;math&gt;y = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km&lt;/math&gt;

Man sieht auch, dass vor der Geschwindigkeit von Karin ein Minus steht, da die Steigung der Geraden negativ ist.

Man sieht in der Grafik schön, dass es genau einen Punkt gibt, in dem sich die Geraden kreuzen. Das ist der Zeitpunkt der Begegnung. Und da die Werte für '''y''' in diesem Punkt die gleichen sind, setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich. (Man nennt diesen Verfahren darum '''Gleichsetzungsverfahren''')

&lt;math&gt; 15 {km \over h} \cdot x + 0 = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km &lt;/math&gt;

==== Ausrechnen ====

&lt;math&gt; 15x  = -17x + 25 &lt;/math&gt; '''| +17x'''

&lt;math&gt; 32x  =  25 &lt;/math&gt; '''| /32 '''

&lt;math&gt; x  =  {25 \over 32} &lt;/math&gt;

Wie man sieht, kommt auch in dieser Lösung das gleiche Ergebnis raus. Den Weg kann man jetzt gaenau wie in Lösung 1 berechnen.

===Suchbegriffe===

Geschwindigkeitsaufgabe, Geschwindigkeit, Termbildung

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft]]


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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    <comment>/* Tipps */</comment>
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    <text bytes="4228" xml:space="preserve">==Aufgabe==

Die Orte '''A''' und '''B''' liegen 25 km von einander entfernt. Tina startet um 14:00 Uhr in '''A''' und fährt mit einer Geschwindigkeit von 15 km/h in Richtung '''B'''. Zur gleichen Zeit startet Karin in '''B''' und fährt mit 17 km/h in Richtung '''A'''. 

Nach wieviel Kilometern und nach welcher Zeit treffen sich die beiden Mädchen zwischen '''A''' und '''B'''?
===Tipps===

Wenn ihr Probleme mit der Aufgabenstellung habt, solltet ihr euch erst mal eine Zeichnung machen. Dabei malt man die beiden Orte auf und trägt alle Daten ein, die gegeben sind.

===Lösung:===

=== PUPS...........................iiiiiiii es stinkt haha!!!!!! ===

==== Was ist x ====

Die Geschwindigkeit der Mädchen wird in km/h angegeben. Gesucht ist einmal der gefahrene Weg und zum anderen die verstrichene Zeit seit 14:00 Uhr bis zum Treffpunkt.

Für x nehmen wir am besten die gefahrene Zeit.

==== Term aufstellen ====

Der Term besteht aus zwei Teilen die jeder für sich die Formel für das entsprechende Mädchen darstellt.

Man muss allerdings einen wichtigen Punkt dabei berücksichtigen. Da Karin genau in die entgegengesetzte Richtung fährt und bei '''B''' startet, muss ihre Formel von 25 km abgezogen werden. Also ergibt sich:


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} &lt;/math&gt; für Tina

&lt;math&gt; 25 km - (x \cdot 17{km \over h}) &lt;/math&gt; für Karin

Die beiden Formeln werden nun Gleichgesetzt:

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt;

==== Zeit Ausrechnen ====

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt; '''| +17x'''


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} +x \cdot 17{km \over h}  = 25 km &lt;/math&gt; '''| x ausklammern'''


&lt;math&gt;x \cdot (15 {km \over h} +  17{km \over h})  = 25 km &lt;/math&gt; '''| / 32 km/h'''


&lt;math&gt;x  = {25km \over (15 {km \over h} +  17{km \over h})} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x  = {25km \over  32{km \over h}} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x  = {25 \over 32}  h =  0,78125 h = 46,8 Minuten&lt;/math&gt;

Km kürzt sich raus und übrig bleibt h (Stunden). Sie treffen sich also nach ca.46,8 Minuten.


==== Weg Ausrechnen ====

Der Weg errechnet sich dann über die Geschwindigkeit (wir nehmen die von Tina) und die Zeit.

Geschwindigkeit = Weg / Zeit oder &lt;math&gt;v = {s \over t}&lt;/math&gt;

Also ist der Weg = Geschwidigkeit x Zeit &lt;math&gt;s = v \cdot t&lt;/math&gt;

die errechnete Zeit und Tinas Geschwindigkeit eingesetzt.

&lt;math&gt;s = {15 {km \over h} \cdot{25 \over 32}h}= 11,72 km&lt;/math&gt;

'''Tina ist also in 46,8 Minuten 11,72 km weit gefahren, bis sie mit Karin zusammentrift.'''

===Lösung 2===

Der zweite Ansatz erfordert schon die Kenntnis einer allgemeinen Geradengleichung.

&lt;math&gt;y = m \cdot x + c&lt;/math&gt;

'''m''' ist darin die Steigung der Geraden und '''c''' der Achsenabschnitt auf der y-Achse

[[Bild:Treffpunkt.png|framed|Die Geradengleichungen als Gafik]]

Die Steigungen sind hierbei die Geschwindigkeiten. Einen Achsenabschnitt hat nur die Gerade von Karin, da sie ja in '''B''', was ja von '''A''' 25 km entfernt liegt, startet. 

Die Geradengleichung für Tina:

&lt;math&gt;y = 15 {km \over h} \cdot x + 0&lt;/math&gt;

Die Geradengleichung für Karin:

&lt;math&gt;y = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km&lt;/math&gt;

Man sieht auch, dass vor der Geschwindigkeit von Karin ein Minus steht, da die Steigung der Geraden negativ ist.

Man sieht in der Grafik schön, dass es genau einen Punkt gibt, in dem sich die Geraden kreuzen. Das ist der Zeitpunkt der Begegnung. Und da die Werte für '''y''' in diesem Punkt die gleichen sind, setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich. (Man nennt diesen Verfahren darum '''Gleichsetzungsverfahren''')

&lt;math&gt; 15 {km \over h} \cdot x + 0 = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km &lt;/math&gt;

==== Ausrechnen ====

&lt;math&gt; 15x  = -17x + 25 &lt;/math&gt; '''| +17x'''

&lt;math&gt; 32x  =  25 &lt;/math&gt; '''| /32 '''

&lt;math&gt; x  =  {25 \over 32} &lt;/math&gt;

Wie man sieht, kommt auch in dieser Lösung das gleiche Ergebnis raus. Den Weg kann man jetzt gaenau wie in Lösung 1 berechnen.

===Suchbegriffe===

Geschwindigkeitsaufgabe, Geschwindigkeit, Termbildung

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft]]


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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    <comment>Nichts, was dich interessieren würde :D</comment>
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    <text bytes="4208" xml:space="preserve">==Aufgabe==

Die Orte '''A''' und '''B''' liegen 25 km von einander entfernt. Tina startet um 14:00 Uhr in '''A''' und fährt mit einer Geschwindigkeit von 15 km/h in Richtung '''B'''. Zur gleichen Zeit startet Karin in '''B''' und fährt mit 17 km/h in Richtung '''A'''. 

Nach wieviel Kilometern und nach welcher Zeit treffen sich die beiden Mädchen zwischen '''A''' und '''B'''?
===Tipps===

Wenn ihr Probleme mit der Aufgabenstellung habt, solltet ihr euch erst mal eine Zeichnung machen. Dabei malt man die beiden Orte auf und trägt alle Daten ein, die gegeben sind.

===Lösung:===

=== Nichts, was dich interessieren würde :D ===

==== Was ist x ====

Die Geschwindigkeit der Mädchen wird in km/h angegeben. Gesucht ist einmal der gefahrene Weg und zum anderen die verstrichene Zeit seit 14:00 Uhr bis zum Treffpunkt.

Für x nehmen wir am besten die gefahrene Zeit.

==== Term aufstellen ====

Der Term besteht aus zwei Teilen die jeder für sich die Formel für das entsprechende Mädchen darstellt.

Man muss allerdings einen wichtigen Punkt dabei berücksichtigen. Da Karin genau in die entgegengesetzte Richtung fährt und bei '''B''' startet, muss ihre Formel von 25 km abgezogen werden. Also ergibt sich:


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} &lt;/math&gt; für Tina

&lt;math&gt; 25 km - (x \cdot 17{km \over h}) &lt;/math&gt; für Karin

Die beiden Formeln werden nun Gleichgesetzt:

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt;

==== Zeit Ausrechnen ====

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt; '''| +17x'''


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} +x \cdot 17{km \over h}  = 25 km &lt;/math&gt; '''| x ausklammern'''


&lt;math&gt;x \cdot (15 {km \over h} +  17{km \over h})  = 25 km &lt;/math&gt; '''| / 32 km/h'''


&lt;math&gt;x  = {25km \over (15 {km \over h} +  17{km \over h})} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x  = {25km \over  32{km \over h}} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x  = {25 \over 32}  h =  0,78125 h = 46,8 Minuten&lt;/math&gt;

Km kürzt sich raus und übrig bleibt h (Stunden). Sie treffen sich also nach ca.46,8 Minuten.


==== Weg Ausrechnen ====

Der Weg errechnet sich dann über die Geschwindigkeit (wir nehmen die von Tina) und die Zeit.

Geschwindigkeit = Weg / Zeit oder &lt;math&gt;v = {s \over t}&lt;/math&gt;

Also ist der Weg = Geschwidigkeit x Zeit &lt;math&gt;s = v \cdot t&lt;/math&gt;

die errechnete Zeit und Tinas Geschwindigkeit eingesetzt.

&lt;math&gt;s = {15 {km \over h} \cdot{25 \over 32}h}= 11,72 km&lt;/math&gt;

'''Tina ist also in 46,8 Minuten 11,72 km weit gefahren, bis sie mit Karin zusammentrift.'''

===Lösung 2===

Der zweite Ansatz erfordert schon die Kenntnis einer allgemeinen Geradengleichung.

&lt;math&gt;y = m \cdot x + c&lt;/math&gt;

'''m''' ist darin die Steigung der Geraden und '''c''' der Achsenabschnitt auf der y-Achse

[[Bild:Treffpunkt.png|framed|Die Geradengleichungen als Gafik]]

Die Steigungen sind hierbei die Geschwindigkeiten. Einen Achsenabschnitt hat nur die Gerade von Karin, da sie ja in '''B''', was ja von '''A''' 25 km entfernt liegt, startet. 

Die Geradengleichung für Tina:

&lt;math&gt;y = 15 {km \over h} \cdot x + 0&lt;/math&gt;

Die Geradengleichung für Karin:

&lt;math&gt;y = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km&lt;/math&gt;

Man sieht auch, dass vor der Geschwindigkeit von Karin ein Minus steht, da die Steigung der Geraden negativ ist.

Man sieht in der Grafik schön, dass es genau einen Punkt gibt, in dem sich die Geraden kreuzen. Das ist der Zeitpunkt der Begegnung. Und da die Werte für '''y''' in diesem Punkt die gleichen sind, setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich. (Man nennt diesen Verfahren darum '''Gleichsetzungsverfahren''')

&lt;math&gt; 15 {km \over h} \cdot x + 0 = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km &lt;/math&gt;

==== Ausrechnen ====

&lt;math&gt; 15x  = -17x + 25 &lt;/math&gt; '''| +17x'''

&lt;math&gt; 32x  =  25 &lt;/math&gt; '''| /32 '''

&lt;math&gt; x  =  {25 \over 32} &lt;/math&gt;

Wie man sieht, kommt auch in dieser Lösung das gleiche Ergebnis raus. Den Weg kann man jetzt gaenau wie in Lösung 1 berechnen.

===Suchbegriffe===

Geschwindigkeitsaufgabe, Geschwindigkeit, Termbildung

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft]]


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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      <username>188.100.110.83</username>
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    </contributor>
    <comment>/* Aufgabe */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="4211" xml:space="preserve">==Aufgabe==

Die Orte '''A''' und '''B''' liegen 25 km von einander entfernt. Tina startet um 14:00 Uhr in '''A''' und fährt mit einer Geschwindigkeit von 15 km/h in Richtung '''B'''. Zur gleichen Zeit startet Karin in '''B''' und fährt mit 17 km/h in Richtung '''A'''. 

Nach wieviel Kilometern und nach welcher Zeit treffen sich die beiden Mädchen zwischen '''A''' und '''B'''?
===Tipps ;)===

Wenn ihr Probleme mit der Aufgabenstellung habt, solltet ihr euch erst mal eine Zeichnung machen. Dabei malt man die beiden Orte auf und trägt alle Daten ein, die gegeben sind.

===Lösung:===

=== Nichts, was dich interessieren würde :D ===

==== Was ist x ====

Die Geschwindigkeit der Mädchen wird in km/h angegeben. Gesucht ist einmal der gefahrene Weg und zum anderen die verstrichene Zeit seit 14:00 Uhr bis zum Treffpunkt.

Für x nehmen wir am besten die gefahrene Zeit.

==== Term aufstellen ====

Der Term besteht aus zwei Teilen die jeder für sich die Formel für das entsprechende Mädchen darstellt.

Man muss allerdings einen wichtigen Punkt dabei berücksichtigen. Da Karin genau in die entgegengesetzte Richtung fährt und bei '''B''' startet, muss ihre Formel von 25 km abgezogen werden. Also ergibt sich:


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} &lt;/math&gt; für Tina

&lt;math&gt; 25 km - (x \cdot 17{km \over h}) &lt;/math&gt; für Karin

Die beiden Formeln werden nun Gleichgesetzt:

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt;

==== Zeit Ausrechnen ====

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt; '''| +17x'''


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} +x \cdot 17{km \over h}  = 25 km &lt;/math&gt; '''| x ausklammern'''


&lt;math&gt;x \cdot (15 {km \over h} +  17{km \over h})  = 25 km &lt;/math&gt; '''| / 32 km/h'''


&lt;math&gt;x  = {25km \over (15 {km \over h} +  17{km \over h})} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x  = {25km \over  32{km \over h}} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x  = {25 \over 32}  h =  0,78125 h = 46,8 Minuten&lt;/math&gt;

Km kürzt sich raus und übrig bleibt h (Stunden). Sie treffen sich also nach ca.46,8 Minuten.


==== Weg Ausrechnen ====

Der Weg errechnet sich dann über die Geschwindigkeit (wir nehmen die von Tina) und die Zeit.

Geschwindigkeit = Weg / Zeit oder &lt;math&gt;v = {s \over t}&lt;/math&gt;

Also ist der Weg = Geschwidigkeit x Zeit &lt;math&gt;s = v \cdot t&lt;/math&gt;

die errechnete Zeit und Tinas Geschwindigkeit eingesetzt.

&lt;math&gt;s = {15 {km \over h} \cdot{25 \over 32}h}= 11,72 km&lt;/math&gt;

'''Tina ist also in 46,8 Minuten 11,72 km weit gefahren, bis sie mit Karin zusammentrift.'''

===Lösung 2===

Der zweite Ansatz erfordert schon die Kenntnis einer allgemeinen Geradengleichung.

&lt;math&gt;y = m \cdot x + c&lt;/math&gt;

'''m''' ist darin die Steigung der Geraden und '''c''' der Achsenabschnitt auf der y-Achse

[[Bild:Treffpunkt.png|framed|Die Geradengleichungen als Gafik]]

Die Steigungen sind hierbei die Geschwindigkeiten. Einen Achsenabschnitt hat nur die Gerade von Karin, da sie ja in '''B''', was ja von '''A''' 25 km entfernt liegt, startet. 

Die Geradengleichung für Tina:

&lt;math&gt;y = 15 {km \over h} \cdot x + 0&lt;/math&gt;

Die Geradengleichung für Karin:

&lt;math&gt;y = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km&lt;/math&gt;

Man sieht auch, dass vor der Geschwindigkeit von Karin ein Minus steht, da die Steigung der Geraden negativ ist.

Man sieht in der Grafik schön, dass es genau einen Punkt gibt, in dem sich die Geraden kreuzen. Das ist der Zeitpunkt der Begegnung. Und da die Werte für '''y''' in diesem Punkt die gleichen sind, setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich. (Man nennt diesen Verfahren darum '''Gleichsetzungsverfahren''')

&lt;math&gt; 15 {km \over h} \cdot x + 0 = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km &lt;/math&gt;

==== Ausrechnen ====

&lt;math&gt; 15x  = -17x + 25 &lt;/math&gt; '''| +17x'''

&lt;math&gt; 32x  =  25 &lt;/math&gt; '''| /32 '''

&lt;math&gt; x  =  {25 \over 32} &lt;/math&gt;

Wie man sieht, kommt auch in dieser Lösung das gleiche Ergebnis raus. Den Weg kann man jetzt gaenau wie in Lösung 1 berechnen.

===Suchbegriffe===

Geschwindigkeitsaufgabe, Geschwindigkeit, Termbildung

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft]]


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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  <title>Benutzer Diskussion:79.194.60.244</title>
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      <username>Wikia</username>
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    </contributor>
    <comment>Begrüßung eines neuen Autors</comment>
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  <title>Diskussion:Faltung von Gleichverteilungen</title>
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    <comment>Die Seite wurde neu angelegt: „ In der letzten Gleichung auf dieser Seite (Stand 08/2014) steht links des Gleichheitszeichens eine Funktion, die von '''t''', k und j abhängig ist und rechts…“</comment>
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In der letzten Gleichung auf dieser Seite (Stand 08/2014) steht links des Gleichheitszeichens eine Funktion, die von '''t''', k und j abhängig ist und rechts des "=" stehen Integrale, die schlussendlich von '''x''', k, und j abhängig sind. Ich denke, dass t und das x sollten noch angepasst werden. Gruß Heiko 242</text>
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  <title>Benutzer:Kyodaisuu</title>
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    <comment>Die Seite wurde neu angelegt: „Guten Tag! Ich spreche kein Deutsch.  I maintain [[:ja:|math wiki in Japanese]].“</comment>
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    <text bytes="80" xml:space="preserve">Guten Tag! Ich spreche kein Deutsch.

I maintain [[:ja:|math wiki in Japanese]].</text>
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    <comment>Begrüßung eines neuen Autors</comment>
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  <title>Logarithmus Aufgabe</title>
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    <comment>Die Seite wurde neu angelegt: „Ich könnte hilfe bei einer Aufgabe zum Logarithmus brauchen!  Und zwar habe ich einen Zins von 5% und ich soll berechnen, nach welcher Zeit sich das Kapital v…“</comment>
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    <text bytes="270" xml:space="preserve">Ich könnte hilfe bei einer Aufgabe zum Logarithmus brauchen!

Und zwar habe ich einen Zins von 5% und ich soll berechnen, nach welcher Zeit sich das Kapital verdreifacht hat.

Ich komme jedoch zu keiner Sinnvollen Lösung, würde mich über hilfreiche Antworten freuen!</text>
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    <text bytes="312" xml:space="preserve">Ich könnte hilfe bei einer Aufgabe zum Logarithmus brauchen!

Und zwar habe ich einen Zins von 5% und ich soll berechnen, nach welcher Zeit sich das Kapital verdreifacht hat,

dieses Kapital ist jedoch nicht bekannt!

Ich komme jedoch zu keiner Sinnvollen Lösung, würde mich über hilfreiche Antworten freuen!</text>
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  <title>Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft</title>
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      <username>188.22.99.100</username>
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    <comment>/* Tipps */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2639" xml:space="preserve">==Aufgabe==

Aus Zwei Sorten Fruchtsaft mit je 20% und 75% Fruchtgehalt sollen 5 Liter Fruchtsaft mit 50% Fruchtgehalt gemischt werden.

Wieviel Saft der beiden Sorten werden jeweils benötigt?

===Tipps===

Tabele zeichnen:

&lt;u&gt;Liter          %              Fruchtgehalt&lt;/u&gt;
&lt;nowiki&gt; &lt;/nowiki&gt;  x            20              x * 20/100

&lt;u&gt;5-x            75             (5-x) * 75/100&lt;/u&gt;

5             50             5 * 50/100 = x * 20/100 + (5-x) * 75/100

Weiter Gleichung lösen '''5 * 50/100 = x * 20/100 + (5-x) * 75/100'''
===Lösung===


==== Was ist x ====

Für die Variable x kann hier einmal der Fruchtgehalt der ersten oder der zweiten Sorte Saft verwendet werden. Wir nehmen die mit 75%. Die Menge der anderen Sorte ergibt sich dann aus (5 l - x)

'''x = Menge des Fruchtsafts mit 75% Fruchtanteil. '''


==== Term aufstellen ====

&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + (5l-x) \cdot {20 \over 100} = 5 l \cdot {50 \over 100}&lt;/math&gt;

==== Ausrechnen ====

&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + (5l-x) \cdot {20 \over 100} = 5 l \cdot {50 \over 100}&lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen und vereinfachen'''

&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + 5l \cdot {20 \over 100} - x \cdot {20 \over 100} = {250 \over 100}  &lt;/math&gt;


&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + {100 \over 100} - x \cdot {20 \over 100} = {250 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| - 1'''


&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100}  - x \cdot {20 \over 100} = {150 \over 100}  &lt;/math&gt; '''|x ausklammern'''

&lt;math&gt;x \cdot ({75 \over 100}  - {20 \over 100}) = {150 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen'''

&lt;math&gt;x \cdot {55 \over 100  } = {150 \over 100}&lt;/math&gt; '''| durch 55/100 '''

&lt;math&gt;x \cdot  = {150 \cdot  100 \over 100 \cdot 55 }&lt;/math&gt; '''| kürzen '''

&lt;math&gt;x  = {30 \over 11} = 2,727272  &lt;/math&gt; '''| Liter der Sorte mit 75% Fruchtanteil '''


==== Probe ====

Im Endprodukt, den 5 Litern Fruchtsaft mit 50% Fruchtanteil befinden sich:

&lt;math&gt;5l  \cdot 0,5 = 2,5l&lt;/math&gt; Fruchtanteil

In den beiden anderen Sorten die zusammengemischt wurden, muss nun genau der gleiche Anteil vorhanden sein.

In in 2,7272 l der ersten Sorte mit 75% Fruchtranteil befinden sich:

&lt;math&gt;2,7272 l  \cdot 0,75 = 2,05 l&lt;/math&gt; Fruchtgehalt.

In den restlichen 2,2727 l der zweiten Sorte befinden sich:

&lt;math&gt;2,2727 l  \cdot 0,20 = 0,45 l&lt;/math&gt; Fruchtgehalt.

Zusammen ergibt das genau die 2,5 Liter, die auch im Entprodukt vorhanden sind.

===Suchbegriffe===

Mischungsaufgabe, Fruchtsaft, Termbildung

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]

[[Arbeiten mit Termen: Treffpunkt von zwei Radfahrern]]


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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      <username>188.22.99.100</username>
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    <comment>/* Tipps */</comment>
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    <text bytes="2640" xml:space="preserve">==Aufgabe==

Aus Zwei Sorten Fruchtsaft mit je 20% und 75% Fruchtgehalt sollen 5 Liter Fruchtsaft mit 50% Fruchtgehalt gemischt werden.

Wieviel Saft der beiden Sorten werden jeweils benötigt?

===Tipps===

Tabele zeichnen:

&lt;u&gt;Liter          %              Fruchtgehalt&lt;/u&gt;
&lt;nowiki&gt; &lt;/nowiki&gt; 

x            20              x * 20/100

&lt;u&gt;5-x            75             (5-x) * 75/100&lt;/u&gt;

5             50             5 * 50/100 = x * 20/100 + (5-x) * 75/100

Weiter Gleichung lösen '''5 * 50/100 = x * 20/100 + (5-x) * 75/100'''
===Lösung===


==== Was ist x ====

Für die Variable x kann hier einmal der Fruchtgehalt der ersten oder der zweiten Sorte Saft verwendet werden. Wir nehmen die mit 75%. Die Menge der anderen Sorte ergibt sich dann aus (5 l - x)

'''x = Menge des Fruchtsafts mit 75% Fruchtanteil. '''


==== Term aufstellen ====

&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + (5l-x) \cdot {20 \over 100} = 5 l \cdot {50 \over 100}&lt;/math&gt;

==== Ausrechnen ====

&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + (5l-x) \cdot {20 \over 100} = 5 l \cdot {50 \over 100}&lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen und vereinfachen'''

&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + 5l \cdot {20 \over 100} - x \cdot {20 \over 100} = {250 \over 100}  &lt;/math&gt;


&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + {100 \over 100} - x \cdot {20 \over 100} = {250 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| - 1'''


&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100}  - x \cdot {20 \over 100} = {150 \over 100}  &lt;/math&gt; '''|x ausklammern'''

&lt;math&gt;x \cdot ({75 \over 100}  - {20 \over 100}) = {150 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen'''

&lt;math&gt;x \cdot {55 \over 100  } = {150 \over 100}&lt;/math&gt; '''| durch 55/100 '''

&lt;math&gt;x \cdot  = {150 \cdot  100 \over 100 \cdot 55 }&lt;/math&gt; '''| kürzen '''

&lt;math&gt;x  = {30 \over 11} = 2,727272  &lt;/math&gt; '''| Liter der Sorte mit 75% Fruchtanteil '''


==== Probe ====

Im Endprodukt, den 5 Litern Fruchtsaft mit 50% Fruchtanteil befinden sich:

&lt;math&gt;5l  \cdot 0,5 = 2,5l&lt;/math&gt; Fruchtanteil

In den beiden anderen Sorten die zusammengemischt wurden, muss nun genau der gleiche Anteil vorhanden sein.

In in 2,7272 l der ersten Sorte mit 75% Fruchtranteil befinden sich:

&lt;math&gt;2,7272 l  \cdot 0,75 = 2,05 l&lt;/math&gt; Fruchtgehalt.

In den restlichen 2,2727 l der zweiten Sorte befinden sich:

&lt;math&gt;2,2727 l  \cdot 0,20 = 0,45 l&lt;/math&gt; Fruchtgehalt.

Zusammen ergibt das genau die 2,5 Liter, die auch im Entprodukt vorhanden sind.

===Suchbegriffe===

Mischungsaufgabe, Fruchtsaft, Termbildung

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]

[[Arbeiten mit Termen: Treffpunkt von zwei Radfahrern]]


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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  <title>Benutzer Diskussion:188.22.99.100</title>
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    <comment>Begrüßung eines neuen Autors</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="955" xml:space="preserve">==Willkommen==

Hi, Willkommen bei {{SITENAME}}! Danke für deine Bearbeitung auf der Seite [[:Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft]].

'''[[Special:Userlogin|Bitte lege dir ein Benutzerkonto an]]'''. So kannst du ganz einfach deine Beiträge im Überblick behalten und dich besser mit dem Rest der Community verständigen.

Wenn du Hilfe brauchst, und kein Admin von hier in der Nähe ist, möchtest du vielleicht das [[w:c:de.community:Forum:Übersicht|deutschsprachige Wikia-Forum]] besuchen. Falls du an Neuigkeiten rund um Wikia interessiert bist, wirf doch einen Blick in das [[w:c:de.community:Blog:Wikia_Deutschland_News|Wikia Deutschland Blog]]. ForestFairy&lt;staff /&gt; &lt;small&gt;([[w:c:de.c:Special:Forum|Hilfe]] | [[w:c:de.c:Blog:Wikia Deutschland News|Blog]])&lt;/small&gt; 14:03, 17. Mär. 2015 (UTC)

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PS: Mit diesem Benutzerkonto kannst du in jedem Wiki bei [[w:c:de|Wikia]] aktiv sein - du brauchst dich nicht nochmal neu anmelden.</text>
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  <title>Quadratische Gleichungen: Ein Stein fällt in einen Brunnen</title>
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    <comment>/* B: Berechnung der Brunnentiefe */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2530" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach 5s hört man den Aufschlag. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 330m/s. Die Erdbeschleunigung beträgt g = 9,81 m/s².

'''A:''' Beschreiben sie den Vorgang zur Bestimmung der Tiefe.

'''B:''' Wie tief ist der Brunnen.

'''C:''' Zeichnen Sie das Weg/Zeit –Diagramm des Vorgangs.

== Tipps ==


== Lösung ==


=== A: Vorgangsbeschreibung ===

Mit einer Stoppuhr misst man die Zeit bis zum Aufprall. Die gemessene Zeit ist die Summe für die Fallzeit und die Zeit, die der Schall braucht um wieder aufzusteigen. Der Weg, den beide zurücklegen müssen, ist der gleiche. Die genaue Vorgehensweise ist im folgenden Punkt schlecht erklärt.

=== B: Berechnung der Brunnentiefe ===

Formel für den freien Fall

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;1&gt;'''


Formel für den Schall

:h = V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;2&gt;'''


Weiter gilt:

:t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; = 5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;'''


Da der Schall die gleiche Strecke zurücklegen muss, wie der Stein kann man die Formeln '''&lt;1&gt;''' und '''&lt;2&gt;''' Gleichsetzen.

:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt;


Und für t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;''' einsetzen.


:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × (5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;)

:

:&lt;math&gt;
{{9,81} \over 2} \times \mathop t\nolimits_{fall}^2  + 340{m \over s} \times \mathop t\nolimits_{fall}  - 1700 = 0&lt;/math&gt;


'''Das ist eine quadratische Gleichung mit'''

:'''a''' = g/2
:'''b''' = 330
:'''c''' = -1650

Eingesetzt in die [[Lösungsformel für quadratische Gleichungen]]

:&lt;math&gt; \mathop x\nolimits_{1/2}  = {{ - b \pm \sqrt {b^2  - 4ac} } \over {2a}} &lt;/math&gt;

ergibt zwei Lösungen:

:x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;= 4,675s
:x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;= -71,953s

Da es keine negative Fallzeit gibt, muss die Lösung für '''t&lt;sub&gt; fall&lt;/sub&gt; = 4.675s''' sein.

Eingesetzt in '''&lt;1&gt;'''

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;

:h = ½ × 9,81 m/s² × 4,675s ²


:'''h = 107,20 m'''

'''Die Brunnentiefe ist also 107,20 m'''

=== C: Weg-Zeit-Diagramm ===

[[Bild:stein_brunnen_wegzeit.PNG|1x1px]]
Das Diagramm ist falsch, da zunächst ein freier Fall stattfindet und deshalb die  zugehörige t-h-Kurve eine Parabel sein muss. Nach t=4,684s bleibt dann der Weg konstant (Stein ist am Brunnenboden aufgeschlagen)

==Suchbegriffe==

Quadratische Gleichung, Brunnentiefe, Fallzeit, beschleunigte Bewegung, gleichförmige Bewegung

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==
[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 9]]</text>
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  <title>Benutzer Diskussion:134.108.34.19</title>
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    <comment>Begrüßung eines neuen Autors</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="962" xml:space="preserve">==Willkommen==

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  <title>Reihenwerte bestimmen 1</title>
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    <comment>/* Lösung */</comment>
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    <text bytes="1157" xml:space="preserve">==Aufgabe (Reihenwertbestimmung)==
Bestimmen Sie den Wert der folgenden Reihe:

&lt;math&gt;\sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{3^n} + \frac{(-1)^n}{n^3}) + \sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{3^{n+1}} + \frac{(-1)^{n+1}}{n^3})&lt;/math&gt;

===Tipps===
Umformung in  a* Geometrische Reihe

===Lösung===
&lt;math&gt;\sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{3^n} + \frac{(-1)^n}{n^3}) + \sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{3^{n+1}} + \frac{(-1)^{n+1}}{n^3}) =&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{3^n}+\frac{1}{3^{n+1}}+\frac{(-1)^n}{n^3}+\frac{(-1)^{n+1}}{n^3}) = \sum_{n=1}^\infty[\frac{1}{3^n}(1+\frac{1}{3})+\frac{(-1)^n}{n^3}(1+(-1))] =&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\sum_{n=1}^\infty \frac{4}{3}(\frac{1}{3})^n =&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\frac{4}{3} \sum_{n=0}^\infty (\frac{1}{3})^{n+1} =&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \sum_{n=0}^\infty (\frac{1}{3})^n =&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{3}} =&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{2}{3}&lt;/math&gt;

===Suchbegriffe===
Reihe, Reihenwert, Summe

===hhvkvvhbjkkkjngvbbQuellen===
Die Aufgabe stammt aus den Übungsblättern zur Vorlesung Analysis 2 (Uni Duisburg-Essen, SS 2006) !

===ähnliche Aufgaben===
noch keine

[[Kategorie:Analysis]]</text>
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    <text bytes="1139" xml:space="preserve">==Aufgabe (Reihenwertbestimmung)==
Bestimmen Sie den Wert der folgenden Reihe:

&lt;math&gt;\sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{3^n} + \frac{(-1)^n}{n^3}) + \sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{3^{n+1}} + \frac{(-1)^{n+1}}{n^3})&lt;/math&gt;

===Tipps===
Umformung in  a* Geometrische Reihe

===Lösung===
&lt;math&gt;\sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{3^n} + \frac{(-1)^n}{n^3}) + \sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{3^{n+1}} + \frac{(-1)^{n+1}}{n^3}) =&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{3^n}+\frac{1}{3^{n+1}}+\frac{(-1)^n}{n^3}+\frac{(-1)^{n+1}}{n^3}) = \sum_{n=1}^\infty[\frac{1}{3^n}(1+\frac{1}{3})+\frac{(-1)^n}{n^3}(1+(-1))] =&lt;/math&gt;
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&lt;math&gt;\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{2}{3}&lt;/math&gt;

===Suchbegriffe===
Reihe, Reihenwert, Summe

===Quellen===
Die Aufgabe stammt aus den Übungsblättern zur Vorlesung Analysis 2 (Uni Duisburg-Essen, SS 2006) !

===ähnliche Aufgaben===
noch keine

[[Kategorie:Analysis]]</text>
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    <text bytes="924" xml:space="preserve">==Willkommen==

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  <title>Benutzer Diskussion:82.83.185.250</title>
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  <title>Cauchy-Folgen und gleichmäßige Stetigkeit</title>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2252" xml:space="preserve">==Aufgabenstellung==

Es seien &lt;math&gt;X,Y&lt;/math&gt; metrische Räume und es sei &lt;math&gt;f:X\rightarrow Y&lt;/math&gt; eine gleichmäßig stetige Funktion. Weiter sei &lt;math&gt;(x_n)_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; eine Cauchy-Folge in &lt;math&gt;X&lt;/math&gt;.

Man zeige: &lt;math&gt;(f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; ist dann eine Cauchy-Folge in &lt;math&gt;Y&lt;/math&gt;.


==Tipp==

Man benutze die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit und der Cauchy-Folge


==Lösung 1==

Zunächst zu den Definitionen:

&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ist gleichmäßig stetig auf &lt;math&gt;X&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow(\forall\epsilon &gt;0:\exists\delta &gt;0:\forall x,y\in X:\vert x,y\vert &lt;\delta\Rightarrow\vert f(x),f(y)\vert &lt;\epsilon)&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;(x_n)&lt;/math&gt; ist eine Cauchy-Folge

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\forall \epsilon_0:\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n ,x_m\vert &lt;\epsilon_0&lt;/math&gt;


Sei nun &lt;math&gt;\epsilon &gt; 0 &lt;/math&gt; beliebig vorgegeben und ein entsprechendes &lt;math&gt;\delta &gt;0 &lt;/math&gt; gefunden. Dann gilt insbesondere:

&lt;math&gt;\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n ,x_m\vert &lt;\delta &lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; gleichmäßig stetig ist und da &lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}:x_n\in X&lt;/math&gt; gilt, folgt hieraus mit der Definition der gleichmäßigen Stetigkeit:

&lt;math&gt;\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert f(x_n),f(x_m)\vert &lt;\epsilon &lt;/math&gt;

Insgesamt gilt also:

&lt;math&gt;(\forall\epsilon &gt;0:\exists\delta &gt;0:\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n,x_m\vert &lt;\delta\Rightarrow\vert f(x_n),f(x_m)\vert &lt;\epsilon) &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow\forall\epsilon &gt;0:\exists n_0:\forall n,m\ge n_0:\vert f(x_n),f(x_m)\vert &lt;\epsilon &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow (f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; ist eine Cauchy-Folge in &lt;math&gt;Y&lt;/math&gt;

==Lösung 2==
Sei &lt;math&gt;\epsilon&gt;0&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; glm. stetig, gibt es ein &lt;math&gt;\delta&gt;0&lt;/math&gt;, s.d.f.a &lt;math&gt;x,y\in X&lt;/math&gt; aus &lt;math&gt;|x,y| &lt; \delta&lt;/math&gt; auch &lt;math&gt;|f(x),f(y)| &lt; \epsilon&lt;/math&gt; folgt. Da &lt;math&gt;(x_n)&lt;/math&gt; Cauchy-Folge ist, gibt es zu diesem &lt;math&gt;\delta&lt;/math&gt; ein &lt;math&gt;N\in\mathbb{N}&lt;/math&gt;, s.d.f.a &lt;math&gt;n,m\geq N&lt;/math&gt; gilt, dass &lt;math&gt;|x_n,x_m| &lt; \delta&lt;/math&gt; und damit auch &lt;math&gt;|f(x_n),f(x_m)| &lt; \epsilon&lt;/math&gt;, d.h. &lt;math&gt;(f(x_n))&lt;/math&gt; ist Cauchy-Folge. 
[[Kategorie:Analysis]]</text>
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  <title>Benutzer Diskussion:141.23.76.187</title>
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    <comment>Begrüßung eines neuen Autors</comment>
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    <text bytes="944" xml:space="preserve">==Willkommen==

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  <title>Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft</title>
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      <username>188.22.62.95</username>
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    <comment>/* Tipps */</comment>
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    <text bytes="2641" xml:space="preserve">==Aufgabe==

Aus Zwei Sorten Fruchtsaft mit je 20% und 75% Fruchtgehalt sollen 5 Liter Fruchtsaft mit 50% Fruchtgehalt gemischt werden.

Wieviel Saft der beiden Sorten werden jeweils benötigt?

===Tipps===

Tabelle zeichnen:

&lt;u&gt;Liter          %              Fruchtgehalt&lt;/u&gt;
&lt;nowiki&gt; &lt;/nowiki&gt; 

x            20              x * 20/100

&lt;u&gt;5-x            75             (5-x) * 75/100&lt;/u&gt;

5             50             5 * 50/100 = x * 20/100 + (5-x) * 75/100

Weiter Gleichung lösen '''5 * 50/100 = x * 20/100 + (5-x) * 75/100'''
===Lösung===


==== Was ist x ====

Für die Variable x kann hier einmal der Fruchtgehalt der ersten oder der zweiten Sorte Saft verwendet werden. Wir nehmen die mit 75%. Die Menge der anderen Sorte ergibt sich dann aus (5 l - x)

'''x = Menge des Fruchtsafts mit 75% Fruchtanteil. '''


==== Term aufstellen ====

&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + (5l-x) \cdot {20 \over 100} = 5 l \cdot {50 \over 100}&lt;/math&gt;

==== Ausrechnen ====

&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + (5l-x) \cdot {20 \over 100} = 5 l \cdot {50 \over 100}&lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen und vereinfachen'''

&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + 5l \cdot {20 \over 100} - x \cdot {20 \over 100} = {250 \over 100}  &lt;/math&gt;


&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + {100 \over 100} - x \cdot {20 \over 100} = {250 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| - 1'''


&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100}  - x \cdot {20 \over 100} = {150 \over 100}  &lt;/math&gt; '''|x ausklammern'''

&lt;math&gt;x \cdot ({75 \over 100}  - {20 \over 100}) = {150 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen'''

&lt;math&gt;x \cdot {55 \over 100  } = {150 \over 100}&lt;/math&gt; '''| durch 55/100 '''

&lt;math&gt;x \cdot  = {150 \cdot  100 \over 100 \cdot 55 }&lt;/math&gt; '''| kürzen '''

&lt;math&gt;x  = {30 \over 11} = 2,727272  &lt;/math&gt; '''| Liter der Sorte mit 75% Fruchtanteil '''


==== Probe ====

Im Endprodukt, den 5 Litern Fruchtsaft mit 50% Fruchtanteil befinden sich:

&lt;math&gt;5l  \cdot 0,5 = 2,5l&lt;/math&gt; Fruchtanteil

In den beiden anderen Sorten die zusammengemischt wurden, muss nun genau der gleiche Anteil vorhanden sein.

In in 2,7272 l der ersten Sorte mit 75% Fruchtranteil befinden sich:

&lt;math&gt;2,7272 l  \cdot 0,75 = 2,05 l&lt;/math&gt; Fruchtgehalt.

In den restlichen 2,2727 l der zweiten Sorte befinden sich:

&lt;math&gt;2,2727 l  \cdot 0,20 = 0,45 l&lt;/math&gt; Fruchtgehalt.

Zusammen ergibt das genau die 2,5 Liter, die auch im Entprodukt vorhanden sind.

===Suchbegriffe===

Mischungsaufgabe, Fruchtsaft, Termbildung

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]

[[Arbeiten mit Termen: Treffpunkt von zwei Radfahrern]]


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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  <title>Benutzer Diskussion:188.22.62.95</title>
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    <comment>Begrüßung eines neuen Autors</comment>
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    <text bytes="953" xml:space="preserve">==Willkommen==

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  <title>Faltung von Gleichverteilungen</title>
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      <username>129.217.151.246</username>
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    <comment>/* Tipps */</comment>
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    <text bytes="5334" xml:space="preserve">==Aufgabe (Bestimme die Verteilung der Summe mehrerer gleichverteilter Zufallsvariabler)==
Bestimme die Verteilung der Summe mehrerer gleichverteilter Zufallsvariabler

===Tipps===

Studium abbrechen!
===Lösung===

Die folgende Liste zeigt die [[Verteilungsdichte]]n von [[Zufallsvariable]]n, die entstehen, wenn man bis zu sechs vollständig unabhängige Zufallsvariable summiert, die gleichverteilt im [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] [0, 1] sind.

Die Bilder zeigen, wie schnell sich die Gesamtverteilung von einer Rechtecks- in eine Glockenkurve ändert, selbst wenn man nur wenige Zufallsvariable summiert. Die Verteilung nähert sich immer mehr einer [[Normalverteilung]]. Dies besagt der [[zentraler Grenzwertsatz|zentrale Grenzwertsatz]].

=== Tabelle der Verteilungsdichten ===
{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe5"
! Verteilungsdichte            !! Bild
|-
| &lt;math&gt;f_1(x)=\begin{cases}
  0            &amp; x &lt; 0\\
  1            &amp; 0 \le x \le 1\\
  0            &amp; x &gt; 1
\end{cases}&lt;/math&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;
| [[Bild:[http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Dichte_einer_Standardgleichverteilung.svg]]]
|-
| &lt;math&gt;f_2(x)=\begin{cases}
  0            &amp; x &lt; 0\\
  x            &amp; 0 \le x \le 1\\
  2-x          &amp; 1 \le x \le 2\\
  0            &amp; x &gt; 2
\end{cases}&lt;/math&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;
| [[Bild:[http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Dichte_der_Summe_von_2_Standardgleichverteilungen.svg]]]
|-
| &lt;math&gt;f_3(x)=\begin{cases}
  0            &amp; x &lt; 0\\
  \frac {x^2}2  &amp; 0 \le x \le 1\\
  -x^2+3x-\frac {3}2  &amp; 1 \le x \le 2\\
  \frac {(3-x)^2}2    &amp; 2 \le x \le 3\\
  0            &amp; x &gt; 3
\end{cases}&lt;/math&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;
| [[Bild:[http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Dichte_der_Summe_von_3_Standardgleichverteilungen.svg]]]
|-
| &lt;math&gt;f_4(x)=\begin{cases}
  0                                          &amp; x &lt; 0\\
  \frac {x^3}6                               &amp; 0 \le x \le 1\\
  -\frac {x^3}2+2x^2-2x+\frac {2}3           &amp; 1 \le x \le 2\\
  \frac {x^3}2 - 4 x^2 + 10 x -\frac {22} 3  &amp; 2 \le x \le 3\\
  \frac {(4-x)^3}6                           &amp; 3 \le x \le 4\\
  0                                          &amp; x &gt; 4
\end{cases}&lt;/math&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;
| [[Bild:[http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Dichte_der_Summe_von_4_Standardgleichverteilungen.svg]]]
|-
| &lt;math&gt;f_5(x)= \begin{cases}
  0                                                   &amp; x &lt; 0\\
  \frac {x^4}{24}                                     &amp; 0 \le x \le 1\\
  \frac {-5 + 20 x - 30 x^2 + 20 x^3 - 4 x^4}{24}     &amp; 1 \le x \le 2\\
  \frac {155 - 300 x + 210 x^2 - 60 x^3 + 6 x^4}{24}  &amp; 2 \le x \le 3\\
  \frac {-655 + 780 x - 330 x^2 + 60 x^3 - 4 x^4}{24} &amp; 3 \le x \le 4\\
  \frac {(5-x)^4}{24}                                 &amp; 4 \le x \le 5\\
  0                                                   &amp; x &gt; 5
\end{cases}&lt;/math&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;
| [[Bild:[http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Dichte_der_Summe_von_5_Standardgleichverteilungen.svg]]]
|-
| &lt;math&gt;f_6(x)= \begin{cases}
  0                                                                      &amp; x &lt; 0\\
  \frac {x^5}{120}                                                       &amp; 0 \le x \le 1\\
  \frac {6 - 30 x + 60 x^2 - 60 x^3 + 30 x^4 - 5 x^5}{120}               &amp; 1 \le x \le 2\\
  \frac {-237 + 585 x - 570 x^2 + 270 x^3 - 60 x^4 + 5 x^5}{60}          &amp; 2 \le x \le 3\\
  \frac {2193 - 3465 x + 2130 x^2 - 630 x^3 + 90 x^4 - 5 x^5}{60}        &amp; 3 \le x \le 4\\
  \frac {-10974 + 12270 x - 5340 x^2 + 1140 x^3 - 120 x^4 + 5 x^5}{120}  &amp; 4 \le x \le 5\\
  \frac {(6-x)^5}{120}                                                   &amp; 5 \le x \le 6\\
  0                                                                      &amp; x &gt; 6
\end{cases}&lt;/math&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;
| [[Bild:[http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Dichte_der_Summe_von_6_Standardgleichverteilungen.svg]]]
|}

=== Herleitung ===
Die Verteilungsdichte der Standardgleichverteilung ist
:
&lt;math&gt;
f_1(x)=\begin{cases}
  0,  &amp; \text{wenn }x \le 0 \\
  1,  &amp; \text{wenn }x \in \, ]0,\,1] \\
  0,  &amp; \text{wenn }x &gt; 1 \text{.} \\
\end{cases}
&lt;/math&gt;
:
Es sei
:
&lt;math&gt;
f_k(x)=\begin{cases}
  0,  &amp; \text{wenn }x \le 0 \\
  f_{k,\,1} (x) ,  &amp; \text{wenn }x \in \, ]0,\,1] \\
  \cdots \\
  f_{k,\,j} (x) ,  &amp; \text{wenn }x \in \, ]j-1,\,j] \\
  \cdots \\
  f_{k,\,k} (x) ,  &amp; \text{wenn }x \in \, ]k-1,\,k] \\
  1,  &amp; \text{wenn }x &gt; k  \\
\end{cases}
&lt;/math&gt;

die Verteilungsdichte der Summe von k standardgleichverteilten Zufallsvariablen.

Es bezeichnet also &lt;math&gt;f_{k,\,j} (x)&lt;/math&gt; die Verteilungsdichte der Summe von k standardgleichverteilten Zufallsvariablen im halboffenen Intervall &lt;math&gt;]j-1,\,j]&lt;/math&gt;.
:&amp;nbsp;
Im folgenden bezeichne &lt;math&gt;Z_k\,&lt;/math&gt; eine Zufallsvariable, die gemäß &lt;math&gt;f_k\,&lt;/math&gt; verteilt ist.
:&amp;nbsp;
Gemäßder Faltung von Wahrscheinlichkeitsmaßen ergibt sich folgendes.

Für &lt;math&gt;x \in \, ]j-1,j]&lt;/math&gt; ist
:
&lt;math&gt;
\begin{align}
f_{k+1,\,j} (t) 
&amp; = \int_{-\infty}^\infty f_k (t - x) \cdot f_1 (x) dx \\
&amp; = \int_{0}^1 f_k (t - x) \cdot 1\, dx &amp;&amp; \text{Substitution: } y = x - t \\
&amp; = \int_{x-1}^x f_k (y) \, dy \\
&amp; = \int_{x-1}^{j-1} f_{k,\,j-1} (y) \, dy + \int_{j-1}^x f_{k,\,j} (y) \, dy .
\end{align}
&lt;/math&gt;


Das heißt, der j-te Zweig der Verteilungs''dichte'' &lt;math&gt;f_{k+1}\,&lt;/math&gt; ergibt sich aus den Integralen von zwei Zweigen von &lt;math&gt;f_k\,&lt;/math&gt;.
[[Kategorie:Stochastik]]</text>
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    <contributor>
      <username>129.217.151.246</username>
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    </contributor>
    <comment>/* Tipps */</comment>
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    <text bytes="5315" xml:space="preserve">==Aufgabe (Bestimme die Verteilung der Summe mehrerer gleichverteilter Zufallsvariabler)==
Bestimme die Verteilung der Summe mehrerer gleichverteilter Zufallsvariabler

===Tipps===

===Lösung===

Die folgende Liste zeigt die [[Verteilungsdichte]]n von [[Zufallsvariable]]n, die entstehen, wenn man bis zu sechs vollständig unabhängige Zufallsvariable summiert, die gleichverteilt im [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] [0, 1] sind.

Die Bilder zeigen, wie schnell sich die Gesamtverteilung von einer Rechtecks- in eine Glockenkurve ändert, selbst wenn man nur wenige Zufallsvariable summiert. Die Verteilung nähert sich immer mehr einer [[Normalverteilung]]. Dies besagt der [[zentraler Grenzwertsatz|zentrale Grenzwertsatz]].

=== Tabelle der Verteilungsdichten ===
{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe5"
! Verteilungsdichte            !! Bild
|-
| &lt;math&gt;f_1(x)=\begin{cases}
  0            &amp; x &lt; 0\\
  1            &amp; 0 \le x \le 1\\
  0            &amp; x &gt; 1
\end{cases}&lt;/math&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;
| [[Bild:[http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Dichte_einer_Standardgleichverteilung.svg]]]
|-
| &lt;math&gt;f_2(x)=\begin{cases}
  0            &amp; x &lt; 0\\
  x            &amp; 0 \le x \le 1\\
  2-x          &amp; 1 \le x \le 2\\
  0            &amp; x &gt; 2
\end{cases}&lt;/math&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;
| [[Bild:[http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Dichte_der_Summe_von_2_Standardgleichverteilungen.svg]]]
|-
| &lt;math&gt;f_3(x)=\begin{cases}
  0            &amp; x &lt; 0\\
  \frac {x^2}2  &amp; 0 \le x \le 1\\
  -x^2+3x-\frac {3}2  &amp; 1 \le x \le 2\\
  \frac {(3-x)^2}2    &amp; 2 \le x \le 3\\
  0            &amp; x &gt; 3
\end{cases}&lt;/math&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;
| [[Bild:[http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Dichte_der_Summe_von_3_Standardgleichverteilungen.svg]]]
|-
| &lt;math&gt;f_4(x)=\begin{cases}
  0                                          &amp; x &lt; 0\\
  \frac {x^3}6                               &amp; 0 \le x \le 1\\
  -\frac {x^3}2+2x^2-2x+\frac {2}3           &amp; 1 \le x \le 2\\
  \frac {x^3}2 - 4 x^2 + 10 x -\frac {22} 3  &amp; 2 \le x \le 3\\
  \frac {(4-x)^3}6                           &amp; 3 \le x \le 4\\
  0                                          &amp; x &gt; 4
\end{cases}&lt;/math&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;
| [[Bild:[http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Dichte_der_Summe_von_4_Standardgleichverteilungen.svg]]]
|-
| &lt;math&gt;f_5(x)= \begin{cases}
  0                                                   &amp; x &lt; 0\\
  \frac {x^4}{24}                                     &amp; 0 \le x \le 1\\
  \frac {-5 + 20 x - 30 x^2 + 20 x^3 - 4 x^4}{24}     &amp; 1 \le x \le 2\\
  \frac {155 - 300 x + 210 x^2 - 60 x^3 + 6 x^4}{24}  &amp; 2 \le x \le 3\\
  \frac {-655 + 780 x - 330 x^2 + 60 x^3 - 4 x^4}{24} &amp; 3 \le x \le 4\\
  \frac {(5-x)^4}{24}                                 &amp; 4 \le x \le 5\\
  0                                                   &amp; x &gt; 5
\end{cases}&lt;/math&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;
| [[Bild:[http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Dichte_der_Summe_von_5_Standardgleichverteilungen.svg]]]
|-
| &lt;math&gt;f_6(x)= \begin{cases}
  0                                                                      &amp; x &lt; 0\\
  \frac {x^5}{120}                                                       &amp; 0 \le x \le 1\\
  \frac {6 - 30 x + 60 x^2 - 60 x^3 + 30 x^4 - 5 x^5}{120}               &amp; 1 \le x \le 2\\
  \frac {-237 + 585 x - 570 x^2 + 270 x^3 - 60 x^4 + 5 x^5}{60}          &amp; 2 \le x \le 3\\
  \frac {2193 - 3465 x + 2130 x^2 - 630 x^3 + 90 x^4 - 5 x^5}{60}        &amp; 3 \le x \le 4\\
  \frac {-10974 + 12270 x - 5340 x^2 + 1140 x^3 - 120 x^4 + 5 x^5}{120}  &amp; 4 \le x \le 5\\
  \frac {(6-x)^5}{120}                                                   &amp; 5 \le x \le 6\\
  0                                                                      &amp; x &gt; 6
\end{cases}&lt;/math&gt;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;
| [[Bild:[http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Dichte_der_Summe_von_6_Standardgleichverteilungen.svg]]]
|}

=== Herleitung ===
Die Verteilungsdichte der Standardgleichverteilung ist
:
&lt;math&gt;
f_1(x)=\begin{cases}
  0,  &amp; \text{wenn }x \le 0 \\
  1,  &amp; \text{wenn }x \in \, ]0,\,1] \\
  0,  &amp; \text{wenn }x &gt; 1 \text{.} \\
\end{cases}
&lt;/math&gt;
:
Es sei
:
&lt;math&gt;
f_k(x)=\begin{cases}
  0,  &amp; \text{wenn }x \le 0 \\
  f_{k,\,1} (x) ,  &amp; \text{wenn }x \in \, ]0,\,1] \\
  \cdots \\
  f_{k,\,j} (x) ,  &amp; \text{wenn }x \in \, ]j-1,\,j] \\
  \cdots \\
  f_{k,\,k} (x) ,  &amp; \text{wenn }x \in \, ]k-1,\,k] \\
  1,  &amp; \text{wenn }x &gt; k  \\
\end{cases}
&lt;/math&gt;

die Verteilungsdichte der Summe von k standardgleichverteilten Zufallsvariablen.

Es bezeichnet also &lt;math&gt;f_{k,\,j} (x)&lt;/math&gt; die Verteilungsdichte der Summe von k standardgleichverteilten Zufallsvariablen im halboffenen Intervall &lt;math&gt;]j-1,\,j]&lt;/math&gt;.
:&amp;nbsp;
Im folgenden bezeichne &lt;math&gt;Z_k\,&lt;/math&gt; eine Zufallsvariable, die gemäß &lt;math&gt;f_k\,&lt;/math&gt; verteilt ist.
:&amp;nbsp;
Gemäßder Faltung von Wahrscheinlichkeitsmaßen ergibt sich folgendes.

Für &lt;math&gt;x \in \, ]j-1,j]&lt;/math&gt; ist
:
&lt;math&gt;
\begin{align}
f_{k+1,\,j} (t) 
&amp; = \int_{-\infty}^\infty f_k (t - x) \cdot f_1 (x) dx \\
&amp; = \int_{0}^1 f_k (t - x) \cdot 1\, dx &amp;&amp; \text{Substitution: } y = x - t \\
&amp; = \int_{x-1}^x f_k (y) \, dy \\
&amp; = \int_{x-1}^{j-1} f_{k,\,j-1} (y) \, dy + \int_{j-1}^x f_{k,\,j} (y) \, dy .
\end{align}
&lt;/math&gt;


Das heißt, der j-te Zweig der Verteilungs''dichte'' &lt;math&gt;f_{k+1}\,&lt;/math&gt; ergibt sich aus den Integralen von zwei Zweigen von &lt;math&gt;f_k\,&lt;/math&gt;.
[[Kategorie:Stochastik]]</text>
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    <comment>Begrüßung eines neuen Autors</comment>
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  <title>Waage und 12 Kugeln</title>
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    <text bytes="878" xml:space="preserve">==Aufgabe (12 Kugeln, alle bis auf eine gleich schwer)==

Wir haben 12 Kugeln, die alle dasselbe Ausehen haben nur eine ist entweder schwerer oder leichter als die anderen. Welche dies ist kann man mit drei Wägungen auf einer Balkenwaage herausfinden.

===Tipps===
Häufig werden Lösungen angegeben, wo einmal die Wägung 1 durchgeführt wird und abhängig vom Ergebnis die Kugeln für die zweite Wägung festgelegt werden. Ähnlich werden dann die Kugeln für die dritte Wägung aus den Ergebnissen der zweiten Wägung über Fallunterscheidungen bestimmt.

Es gibt aber auch Lösungen, wo ein Versuchsplan von vornherein festgelegt werden kann.

===Lösung===
[[Waage und 12 Kugeln, Lösung]]

[[Waage und 12 Kugeln, Lösung und Diskussion]]

===Suchbegriffe===
Kugeln, Waage, Balkenwaage, 12, 3, Wägungen

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===


[[Kategorie:Denksport]]</text>
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    <text bytes="956" xml:space="preserve">==Aufgabe (12 Kugeln, alle bis auf eine gleich schwer)==

Wir haben 12 Kugeln, die alle dasselbe Ausehen haben nur eine ist entweder schwerer oder leichter als die anderen. Welche dies ist kann man mit drei Wägungen auf einer Balkenwaage herausfinden.

===Tipps===
Häufig werden Lösungen angegeben, wo einmal die Wägung 1 durchgeführt wird und abhängig vom Ergebnis die Kugeln für die zweite Wägung festgelegt werden. Ähnlich werden dann die Kugeln für die dritte Wägung aus den Ergebnissen der zweiten Wägung über Fallunterscheidungen bestimmt.

Es gibt aber auch Lösungen, wo ein Versuchsplan von vornherein festgelegt werden kann.

===Lösung===
[[Waage und 12 Kugeln, Lösung]]

[http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln%2C_L%C3%B6sung_und_Diskussion Waage und 12 Kugeln, Lösung und Diskussion]

===Suchbegriffe===
Kugeln, Waage, Balkenwaage, 12, 3, Wägungen

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===


[[Kategorie:Denksport]]</text>
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    <comment>/* Aufgabe (12 Kugeln, alle bis auf eine gleich schwer) */ Gramm.f. korr.</comment>
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    <text bytes="959" xml:space="preserve">==Aufgabe (12 Kugeln, alle bis auf eine gleich schwer)==

Wir haben 12 Kugeln, die alle dasselbe Ausehen haben - nur eine ist entweder schwerer oder leichter als die anderen. Welche dies ist, kann man mit drei Wägungen auf einer Balkenwaage herausfinden.

===Tipps===
Häufig werden Lösungen angegeben, wo einmal die Wägung 1 durchgeführt wird und abhängig vom Ergebnis die Kugeln für die zweite Wägung festgelegt werden. Ähnlich werden dann die Kugeln für die dritte Wägung aus den Ergebnissen der zweiten Wägung über Fallunterscheidungen bestimmt.

Es gibt aber auch Lösungen, wo ein Versuchsplan von vornherein festgelegt werden kann.

===Lösung===
[[Waage und 12 Kugeln, Lösung]]

[http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln%2C_L%C3%B6sung_und_Diskussion Waage und 12 Kugeln, Lösung und Diskussion]

===Suchbegriffe===
Kugeln, Waage, Balkenwaage, 12, 3, Wägungen

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===


[[Kategorie:Denksport]]</text>
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    <comment>Rechtschr.f.korr.</comment>
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    <text bytes="965" xml:space="preserve">==Aufgabe (12 Kugeln, alle bis auf eine gleich schwer)==

Wir haben 12 Kugeln, die alle dasselbe Aussehen haben - nur eine ist entweder schwerer oder leichter als die anderen. Welche dies ist, kann man mit drei Wägungen auf einer Balkenwaage herausfinden. Wie?

===Tipps===
Häufig werden Lösungen angegeben, wo einmal die Wägung 1 durchgeführt wird und abhängig vom Ergebnis die Kugeln für die zweite Wägung festgelegt werden. Ähnlich werden dann die Kugeln für die dritte Wägung aus den Ergebnissen der zweiten Wägung über Fallunterscheidungen bestimmt.

Es gibt aber auch Lösungen, wo ein Versuchsplan von vornherein festgelegt werden kann.

===Lösung===
[[Waage und 12 Kugeln, Lösung]]

[http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln%2C_L%C3%B6sung_und_Diskussion Waage und 12 Kugeln, Lösung und Diskussion]

===Suchbegriffe===
Kugeln, Waage, Balkenwaage, 12, 3, Wägungen

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===


[[Kategorie:Denksport]]</text>
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  <title>Waage und 12 Kugeln, Lösung und Diskussion</title>
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    <text bytes="4459" xml:space="preserve">Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt, gibt es zwei Arten von Lösungen:
* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen (am Anfang drei, dann zwei, dann eine) immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jeder der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem sie links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 27 nicht weniger als 24 ist, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens - das "SLX-Muster" ==
... ... kommt noch ... ...

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
... ... kommt noch ... ...

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
... ... kommt noch ... ...

== Ein statisches Verfahren ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...</text>
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    <text bytes="4491" xml:space="preserve">Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt, gibt es zwei Arten von Lösungen:
* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen (am Anfang drei, dann zwei, dann eine) immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jeder der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem sie links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 27 nicht weniger als 24 ist, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens - das "SLX-Muster" ==
... ... kommt noch ... ...

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
... ... kommt noch ... ...

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
... ... kommt noch ... ...

== Ein statisches Verfahren ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...
[[Kategorie:Denksport Loesung]]</text>
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    <text bytes="7696" xml:space="preserve">Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt, gibt es zwei Arten von Lösungen:
* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen (am Anfang drei, dann zwei, dann eine) immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jeder der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem sie links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 27 nicht weniger als 24 ist, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens - das "SLX-Muster" ==
Die erste Wägung kann drei Ergebnisse haben:
# Waage geht links herunter: Dann wissen wir, dass ''entweder'' unter den linken vier Kugeln die eine schwerere ist ''oder'' unter den rechten vier die eine leichtere.
# Waage geht rechts herunter: Entweder ist unter den vier rechts die schwerere; oder links die leichtere.
# Waage bleibt im Gleichgewicht: Unter den vier neben der Waage ist die abweichende.
Statt weiterhin so lange Texte zu schreiben, müssen wir das kürzer hinschreiben können - nach dem alten Mathematikerspruch: "''Die richtige Notation ist die halbe Lösung''". Ich verwende einmal die folgenden Buchstaben:
* Wenn eine Kugel nur mehr eine schwerere sein kann (aber vielleicht auch eine der 11 gleich schweren - ich nenne diese Kugeln normal und kürze das mit N ab), dann soll dafür der Buchstabe S stehen; 
* wenn sie nur eine leichtere oder eine normale sein kann, dann steht dafür L;
* und wenn sie schwerer oder leichter oder normal sein kann, dann wird das mit X gekennzeichnet.
Die drei Möglichkeiten oben ergeben also:
# SSSS + LLLL / NNNN (durch + trenne ich die beiden Gruppen, die auf der Waage liegen; nach dem / stehen die Kugeln, die neben der Waage liegen).
# LLLL + SSSS / NNNN
# NNNN + NNNN / XXXX
Wir kümmern uns einmal um den dritten Fall - er sieht irgendwie leichter aus, weil wir nur mehr vier Kugeln betrachten müssen ... von denen wir allerdings praktisch nichts wissen! Aber probieren wir einmal: Wir legen links zwei der X-Kugeln, rechts die zwei anderen. Dann haben wir folgende möglichen Ergebnisse:
# links runter: SS + LL
# rechts runter: LL + SS
# Gleichgewicht: kann nicht sein (weil wir ja aus der ersten Wägung wissen, dass eine der vier die abweichende sein muss!).
Im ersten Fall gibt es noch immer vier mögliche Lösungen (eine der zwei S ist die schwerere; oder eine der beiden L ist die leichtere). Die eine letzte Wägung kann aber nur drei Möglichkeiten unterscheiden - damit ist die Aufteilung 2+2 nicht ok. Also dann 1+1, mit folgenden Ergebnissen:
# links runter: S + L / NN
# rechts runter: L + S / NN
# Gleichgewicht: N + N / XX
Den ersten und zweiten Fall könnten wir lösen: Im ersten Fall müssen wir nur die S-Kugeln mit einer N-Kugel vergleichen - wenn Gleichgewicht, dann ist die (danebenliegende) L-Kugel die leichtere, wenn S-Kugel nach unten geht, ist sie die schwerere. Aber im dritten Fall bleiben mit den XX vier Möglichkeiten übrig, die wir wieder mit einer Lösung nicht lösen können. Wir brauchen eine "schrägere Idee".

Hier ist sie: 2+1! So geht das natürlich nicht (siehe Erklärung ganz am Anfang), aber wir können rechts eine weitere N-Kugel dazulegen. Wir legen also hin: XX + XN / X (die vierte X liegt auf der Seite) und haben nur folgende Fälle:
# links runter: SS + LN / N (entweder eine der schwereren zieht links runter; oder rechts ist die leichtere)
# rechts runter: LL + SN / N
# Gleichgewicht: NN + NN / X
Wir haben nur mehr eine Wägung frei - aber das könnte sich nun ausgehen!

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach NNNN+NNNN/XXXX ==
Der dritte Fall aus der vorherigen 

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
... ... kommt noch ... ... 

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
... ... kommt noch ... ... 

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
... ... kommt noch ... ...

== Ein statisches Verfahren ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...
[[Kategorie:Denksport Loesung]]</text>
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* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen (am Anfang drei, dann zwei, dann eine) immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jeder der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem sie links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 27 nicht weniger als 24 ist, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
Die erste Wägung kann drei Ergebnisse haben:
# Waage geht links herunter: Dann wissen wir, dass ''entweder'' unter den linken vier Kugeln die eine schwerere ist ''oder'' unter den rechten vier die eine leichtere.
# Waage geht rechts herunter: Entweder ist unter den vier rechts die schwerere; oder links die leichtere.
# Waage bleibt im Gleichgewicht: Unter den vier neben der Waage ist die abweichende.
Statt weiterhin so lange Texte zu schreiben, müssen wir das kürzer hinschreiben können - nach dem alten Mathematikerspruch: "''Die richtige Notation ist die halbe Lösung''". Ich verwende einmal die folgenden Buchstaben:
* Wenn eine Kugel nur mehr eine schwerere sein kann (aber vielleicht auch eine der 11 gleich schweren - ich nenne diese Kugeln normal und kürze das mit N ab), dann soll dafür der Buchstabe S stehen; 
* wenn sie nur eine leichtere oder eine normale sein kann, dann steht dafür L;
* und wenn sie schwerer oder leichter oder normal sein kann, dann wird das mit X gekennzeichnet.
Die drei Möglichkeiten oben ergeben also:
# SSSS + LLLL / NNNN (durch + trenne ich die beiden Gruppen, die auf der Waage liegen; nach dem / stehen die Kugeln, die neben der Waage liegen).
# LLLL + SSSS / NNNN
# NNNN + NNNN / XXXX
Wir kümmern uns einmal um den dritten Fall - er sieht irgendwie leichter aus, weil wir nur mehr vier Kugeln betrachten müssen ... von denen wir allerdings praktisch nichts wissen! Aber probieren wir einmal: Wir legen links zwei der X-Kugeln, rechts die zwei anderen. Dann haben wir folgende möglichen Ergebnisse:
# links runter: SS + LL
# rechts runter: LL + SS
# Gleichgewicht: kann nicht sein (weil wir ja aus der ersten Wägung wissen, dass eine der vier die abweichende sein muss!).
Im ersten Fall gibt es noch immer vier mögliche Lösungen (eine der zwei S ist die schwerere; oder eine der beiden L ist die leichtere). Die eine letzte Wägung kann aber nur drei Möglichkeiten unterscheiden - damit ist die Aufteilung 2+2 nicht ok. Also dann 1+1, mit folgenden Ergebnissen:
# links runter: S + L / NN
# rechts runter: L + S / NN
# Gleichgewicht: N + N / XX
Den ersten und zweiten Fall könnten wir lösen: Im ersten Fall müssen wir nur die S-Kugeln mit einer N-Kugel vergleichen - wenn Gleichgewicht, dann ist die (danebenliegende) L-Kugel die leichtere, wenn S-Kugel nach unten geht, ist sie die schwerere. Aber im dritten Fall bleiben mit den XX vier Möglichkeiten übrig, die wir wieder mit einer Lösung nicht lösen können. Wir brauchen eine "schrägere Idee".

Hier ist sie: 2+1! So geht das natürlich nicht (siehe Erklärung ganz am Anfang), aber wir können rechts eine weitere N-Kugel dazulegen. Wir legen also hin: XX + XN / X (die vierte X liegt auf der Seite) und haben nur folgende Fälle:
# links runter: SS + LN / N (entweder eine der schwereren zieht links runter; oder rechts ist die leichtere)
# rechts runter: LL + SN / N
# Gleichgewicht: NN + NN / X
Wir haben nur mehr eine Wägung frei - aber das könnte sich nun ausgehen!

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach NNNN+NNNN/XXXX - das "AAB-Muster" ==
Der dritte Fall aus der vorherigen Wägung ist leicht: Wir vergleichen die danebenliegende Kugel (die ja sicher die gesuchte sein muss! - alle anderen sind nun als N bewiesen) mit einer beliebigen N-Kugel, mit folgenden Ergebnissen: 
# links runter: S + N --&gt; die danebenliegende ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: L + N --&gt; die danebenliegende ist die gesuchte, und sie ist leichter.
# Gleichgewicht: unmöglich
Was tun wir mit den anderen beiden Fällen aus der vorherigen Wägung? Aus der ersten Wägung erhalten wir drei Kugeln, von denen wir wissen, dass sie SSL sind: Also entweder die erste oder die zweite die zu schwere, oder die dritte die zu leichte. Es gibt mehrere Arten, mit einer Wägung die richtige zu finden - hier ist eine: Man legt die beiden S auf die Waage und erhält dann:
# links runter: S + N --&gt; die linke ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: N + S --&gt; die rechte ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# Gleichgewicht: N + N --&gt; die danebenliegende  ist die gesuchte, und sie ist leichter.
Wenn wir bei der zweiten Wägung den zweiten Fall hatten (LL+SN/N), dann können wir mit den drei LLS-Kugeln dasselbe Spiel spielen: L+L vergleichen - wo's raufgeht, ist die gesuchte, und sie ist leichter; bei Gleichgewicht ist's die danebenliegende, und sie ist schwerer.

Die beiden Fälle haben ein gleichartiges Muster: Aus zwei gleich markierten Kugeln (SS oder LL) und einer dritten, die ebenfalls schon mit S oder L markiert ist, kann man mit einer Wägung die Lösung finden ... ich nenne das das AAB-Muster, weil's uns hoffentlich bei dem komplizierteren SSSS+LLLL/NNNN-Fall aus der ersten Wägung weiterhilft!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
... ... kommt noch ... ... 

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
... ... kommt noch ... ... 

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
... ... kommt noch ... ...

== Ein statisches Verfahren ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...
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    <text bytes="10428" xml:space="preserve">Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt, gibt es zwei Arten von Lösungen:
* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen (am Anfang drei, dann zwei, dann eine) immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jeder der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem sie links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 27 nicht weniger als 24 ist, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
Die erste Wägung kann drei Ergebnisse haben:
# Waage geht links herunter: Dann wissen wir, dass ''entweder'' unter den linken vier Kugeln die eine schwerere ist ''oder'' unter den rechten vier die eine leichtere.
# Waage geht rechts herunter: Entweder ist unter den vier rechts die schwerere; oder links die leichtere.
# Waage bleibt im Gleichgewicht: Unter den vier neben der Waage ist die abweichende.
Statt weiterhin so lange Texte zu schreiben, müssen wir das kürzer hinschreiben können - nach dem alten Mathematikerspruch: "''Die richtige Notation ist die halbe Lösung''". Ich verwende einmal die folgenden Buchstaben:
* Wenn eine Kugel nur mehr eine schwerere sein kann (aber vielleicht auch eine der 11 gleich schweren - ich nenne diese Kugeln normal und kürze das mit N ab), dann soll dafür der Buchstabe S stehen; 
* wenn sie nur eine leichtere oder eine normale sein kann, dann steht dafür L;
* und wenn sie schwerer oder leichter oder normal sein kann, dann wird das mit X gekennzeichnet.
Die drei Möglichkeiten oben ergeben also:
# SSSS + LLLL / NNNN (durch + trenne ich die beiden Gruppen, die auf der Waage liegen; nach dem / stehen die Kugeln, die neben der Waage liegen).
# LLLL + SSSS / NNNN
# NNNN + NNNN / XXXX
Wir kümmern uns einmal um den dritten Fall - er sieht irgendwie leichter aus, weil wir nur mehr vier Kugeln betrachten müssen ... von denen wir allerdings praktisch nichts wissen! Aber probieren wir einmal: Wir legen links zwei der X-Kugeln, rechts die zwei anderen. Dann haben wir folgende möglichen Ergebnisse:
# links runter: SS + LL
# rechts runter: LL + SS
# Gleichgewicht: kann nicht sein (weil wir ja aus der ersten Wägung wissen, dass eine der vier die abweichende sein muss!).
Im ersten Fall gibt es noch immer vier mögliche Lösungen (eine der zwei S ist die schwerere; oder eine der beiden L ist die leichtere). Die eine letzte Wägung kann aber nur drei Möglichkeiten unterscheiden - damit ist die Aufteilung 2+2 nicht ok. Also dann 1+1, mit folgenden Ergebnissen:
# links runter: S + L / NN
# rechts runter: L + S / NN
# Gleichgewicht: N + N / XX
Den ersten und zweiten Fall könnten wir lösen: Im ersten Fall müssen wir nur die S-Kugeln mit einer N-Kugel vergleichen - wenn Gleichgewicht, dann ist die (danebenliegende) L-Kugel die leichtere, wenn S-Kugel nach unten geht, ist sie die schwerere. Aber im dritten Fall bleiben mit den XX vier Möglichkeiten übrig, die wir wieder mit einer Lösung nicht lösen können. Wir brauchen eine "schrägere Idee".

Hier ist sie: 2+1! So geht das natürlich nicht (siehe Erklärung ganz am Anfang), aber wir können rechts eine weitere N-Kugel dazulegen. Wir legen also hin: XX + XN / X (die vierte X liegt auf der Seite) und haben nur folgende Fälle:
# links runter: SS + LN / N (entweder eine der schwereren zieht links runter; oder rechts ist die leichtere)
# rechts runter: LL + SN / N
# Gleichgewicht: NN + NN / X
Wir haben nur mehr eine Wägung frei - aber das könnte sich nun ausgehen!

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach NNNN+NNNN/XXXX - die "AAB-Konfiguration" ==
Der dritte Fall aus der vorherigen Wägung ist leicht: Wir vergleichen die danebenliegende Kugel (die ja sicher die gesuchte sein muss! - alle anderen sind nun als N bewiesen) mit einer beliebigen N-Kugel, mit folgenden Ergebnissen: 
# links runter: S + N --&gt; die danebenliegende ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: L + N --&gt; die danebenliegende ist die gesuchte, und sie ist leichter.
# Gleichgewicht: unmöglich
Was tun wir mit den anderen beiden Fällen aus der vorherigen Wägung? Aus der ersten Wägung erhalten wir drei Kugeln, von denen wir wissen, dass sie SSL sind: Also entweder die erste oder die zweite die zu schwere, oder die dritte die zu leichte. Es gibt mehrere Arten, mit einer Wägung die richtige zu finden - hier ist eine: Man legt die beiden S auf die Waage und erhält dann:
# links runter: S + N --&gt; die linke ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: N + S --&gt; die rechte ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# Gleichgewicht: N + N --&gt; die danebenliegende  ist die gesuchte, und sie ist leichter.
Wenn wir bei der zweiten Wägung den zweiten Fall hatten (LL+SN/N), dann können wir mit den drei LLS-Kugeln dasselbe Spiel spielen: L+L vergleichen - wo's raufgeht, ist die gesuchte, und sie ist leichter; bei Gleichgewicht ist's die danebenliegende, und sie ist schwerer.

Die beiden Fälle haben ein gleichartiges Muster: Aus zwei gleich markierten Kugeln (SS oder LL) und einer dritten, die ebenfalls schon mit S oder L markiert ist, kann man mit einer Wägung die Lösung finden ... ich nenne das eine AAB-Konfiguration, weil's uns hoffentlich bei dem komplizierteren SSSS+LLLL/NNNN-Fall aus der ersten Wägung weiterhilft!

== Die zweite und dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
In diesem Fall wissen wir, dass links vier S-Kugeln liegen, rechts vier L-Kugeln. Wie weiter? Wenn wir schnell zu einer AAB-Konfiguration kommen, dann würden wir für viele Fälle die Lösung mit einer weiteren Wägung haben! Also probieren wir's ... nach einigem Herumprobieren bin ich auf folgendes gekommen: Man wiegt SSL + SSL / LL, mit folgenden Ergebnissen: 
# Waage geht links herunter: Entweder ist eine der beiden linken SS die gesuchte (und schwerer), oder die rechte L ist die gesuchte (und leichter). Man hat also drei Kugeln als SSL identifiziert, also eine AAB-Konfiguration gefunden! 
# Wenn die Waage rechts heruntergeht, dann hat man die anderen SSL als AAB identifiziert. 
# Und bei Gleichgewicht schließlich hat man die beiden LL als mögliche Lösungen identifiziert. Man kann sie direkt  gegeneinander wiegen - wo's raufgeht, liegt die gesuchte leichtere. Man kann aber auch, "mathematiker-artig", eine N dazulegen und hat dann diesen Fall "auf eine AAB-Konfiguration" zurückgeführt ... das macht hier keinen Unterschied, hilft uns aber vielleicht bei anderen Problemen später! 
Damit haben wir ein dynamisches Lösungsverfahren für das 12-Kugel-Problem gefunden! 

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
... ... kommt noch ... ...

== Ein statisches Verfahren ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...
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    <text bytes="10481" xml:space="preserve">Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt, gibt es zwei Arten von Lösungen:
* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen (am Anfang drei, dann zwei, dann eine) immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jeder der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem sie links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 27 nicht weniger als 24 ist, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
Die erste Wägung kann drei Ergebnisse haben:
# Waage geht links herunter: Dann wissen wir, dass ''entweder'' unter den linken vier Kugeln die eine schwerere ist ''oder'' unter den rechten vier die eine leichtere.
# Waage geht rechts herunter: Entweder ist unter den vier rechts die schwerere; oder links die leichtere.
# Waage bleibt im Gleichgewicht: Unter den vier neben der Waage ist die abweichende.
Statt weiterhin so lange Texte zu schreiben, müssen wir das kürzer hinschreiben können - nach dem alten Mathematikerspruch: "''Die richtige Notation ist die halbe Lösung''". Ich verwende einmal die folgenden Buchstaben:
* Wenn eine Kugel nur mehr eine schwerere sein kann (aber vielleicht auch eine der 11 gleich schweren - ich nenne die "normal"), dann soll dafür der Buchstabe S stehen; 
* wenn sie nur eine leichtere oder eine normale sein kann, dann steht dafür L;
* und wenn sie schwerer oder leichter oder normal sein kann, dann wird das mit X gekennzeichnet.
* Wenn eine Kugel schließlich sicher "normal" ist, dann wird sie mit N bezeichnet.
Die drei Möglichkeiten oben ergeben also:
# SSSS + LLLL / NNNN (durch + trenne ich die beiden Gruppen, die auf der Waage liegen; nach dem / stehen die Kugeln, die neben der Waage liegen).
# LLLL + SSSS / NNNN
# NNNN + NNNN / XXXX
Wir kümmern uns einmal um den dritten Fall - er sieht irgendwie leichter aus, weil wir nur mehr vier Kugeln betrachten müssen ... von denen wir allerdings praktisch nichts wissen! Aber probieren wir einmal: Wir legen links zwei der X-Kugeln, rechts die zwei anderen. Dann haben wir folgende möglichen Ergebnisse:
# links runter: SS + LL
# rechts runter: LL + SS
# Gleichgewicht: kann nicht sein (weil wir ja aus der ersten Wägung wissen, dass eine der vier die abweichende sein muss!).
Im ersten Fall gibt es noch immer vier mögliche Lösungen (eine der zwei S ist die schwerere; oder eine der beiden L ist die leichtere). Die eine letzte Wägung kann aber nur drei Möglichkeiten unterscheiden - damit ist die Aufteilung 2+2 nicht ok. Also dann 1+1, mit folgenden Ergebnissen:
# links runter: S + L / NN
# rechts runter: L + S / NN
# Gleichgewicht: N + N / XX
Den ersten und zweiten Fall könnten wir lösen: Im ersten Fall müssen wir nur die S-Kugeln mit einer N-Kugel vergleichen - wenn Gleichgewicht, dann ist die (danebenliegende) L-Kugel die leichtere, wenn S-Kugel nach unten geht, ist sie die schwerere. Aber im dritten Fall bleiben mit den XX vier Möglichkeiten übrig, die wir wieder mit einer Lösung nicht lösen können. Wir brauchen eine "schrägere Idee".

Hier ist sie: 2+1! So geht das natürlich nicht (siehe Erklärung ganz am Anfang), aber wir können rechts eine weitere N-Kugel dazulegen. Wir legen also hin: XX + XN / X (die vierte X liegt auf der Seite) und haben nur folgende Fälle:
# links runter: SS + LN / N (entweder eine der schwereren zieht links runter; oder rechts ist die leichtere)
# rechts runter: LL + SN / N
# Gleichgewicht: NN + NN / X
Wir haben nur mehr eine Wägung frei - aber das könnte sich nun ausgehen!

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach NNNN+NNNN/XXXX - die "AAB-Konfiguration" ==
Der dritte Fall aus der vorherigen Wägung ist leicht: Wir vergleichen die danebenliegende Kugel (die ja sicher die gesuchte sein muss! - alle anderen sind nun als N bewiesen) mit einer beliebigen N-Kugel, mit folgenden Ergebnissen: 
# links runter: S + N --&gt; die danebenliegende ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: L + N --&gt; die danebenliegende ist die gesuchte, und sie ist leichter.
# Gleichgewicht: unmöglich
Was tun wir mit den anderen beiden Fällen aus der vorherigen Wägung? Aus der ersten Wägung erhalten wir drei Kugeln, von denen wir wissen, dass sie SSL sind: Also entweder die erste oder die zweite die zu schwere, oder die dritte die zu leichte. Es gibt mehrere Arten, mit einer Wägung die richtige zu finden - hier ist eine: Man legt die beiden S auf die Waage und erhält dann:
# links runter: S + N --&gt; die linke ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: N + S --&gt; die rechte ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# Gleichgewicht: N + N --&gt; die danebenliegende  ist die gesuchte, und sie ist leichter.
Wenn wir bei der zweiten Wägung den zweiten Fall hatten (LL+SN/N), dann können wir mit den drei LLS-Kugeln dasselbe Spiel spielen: L+L vergleichen - wo's raufgeht, ist die gesuchte, und sie ist leichter; bei Gleichgewicht ist's die danebenliegende, und sie ist schwerer.

Die beiden Fälle haben ein gleichartiges Muster: Aus zwei gleich markierten Kugeln (SS oder LL) und einer dritten, die ebenfalls schon mit S oder L markiert ist, kann man mit einer Wägung die Lösung finden ... ich nenne das eine AAB-Konfiguration, weil's uns hoffentlich bei dem komplizierteren SSSS+LLLL/NNNN-Fall aus der ersten Wägung weiterhilft!

== Die zweite und dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
In diesem Fall wissen wir, dass links vier S-Kugeln liegen, rechts vier L-Kugeln. Wie weiter? Wenn wir schnell zu einer AAB-Konfiguration kommen, dann würden wir für viele Fälle die Lösung mit einer weiteren Wägung haben! Also probieren wir's ... nach einigem Herumprobieren bin ich auf folgendes gekommen: Man wiegt SSL + SSL / LL, mit folgenden Ergebnissen: 
# Waage geht links herunter: Entweder ist eine der beiden linken SS die gesuchte (und schwerer), oder die rechte L ist die gesuchte (und leichter). Man hat also drei Kugeln als SSL identifiziert, also eine AAB-Konfiguration gefunden! 
# Wenn die Waage rechts heruntergeht, dann hat man die anderen SSL als AAB identifiziert. 
# Und bei Gleichgewicht schließlich hat man die beiden LL als mögliche Lösungen identifiziert. Man kann sie direkt  gegeneinander wiegen - wo's raufgeht, liegt die gesuchte leichtere. Man kann aber auch, "mathematiker-artig", eine N dazulegen und hat dann diesen Fall "auf eine AAB-Konfiguration" zurückgeführt ... das macht hier keinen Unterschied, hilft uns aber vielleicht bei anderen Problemen später! 
Damit haben wir ein dynamisches Lösungsverfahren für das 12-Kugel-Problem gefunden! 

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
... ... kommt noch ... ...

== Ein statisches Verfahren ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...
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* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen (am Anfang drei, dann zwei, dann eine) immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jeder der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem sie links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 27 nicht weniger als 24 ist, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
Die erste Wägung kann drei Ergebnisse haben:
# Waage geht links herunter: Dann wissen wir, dass ''entweder'' unter den linken vier Kugeln die eine schwerere ist ''oder'' unter den rechten vier die eine leichtere.
# Waage geht rechts herunter: Entweder ist unter den vier rechts die schwerere; oder links die leichtere.
# Waage bleibt im Gleichgewicht: Unter den vier neben der Waage ist die abweichende.
Statt weiterhin so lange Texte zu schreiben, müssen wir das kürzer hinschreiben können - nach dem alten Mathematikerspruch: "''Die richtige Notation ist die halbe Lösung''". Ich verwende einmal die folgenden Buchstaben:
* Wenn eine Kugel nur mehr eine schwerere sein kann (aber vielleicht auch eine der 11 gleich schweren - ich nenne die "normal"), dann soll dafür der Buchstabe S stehen; 
* wenn sie nur eine leichtere oder eine normale sein kann, dann steht dafür L;
* und wenn sie schwerer oder leichter oder normal sein kann, dann wird das mit X gekennzeichnet.
* Wenn eine Kugel schließlich sicher "normal" ist, dann wird sie mit N bezeichnet.
Die drei Möglichkeiten oben ergeben also:
# SSSS + LLLL / NNNN (durch + trenne ich die beiden Gruppen, die auf der Waage liegen; nach dem / stehen die Kugeln, die neben der Waage liegen und die uns "gerade noch interessieren").
# LLLL + SSSS / NNNN
# NNNN + NNNN / XXXX
Wir kümmern uns einmal um den dritten Fall - er sieht irgendwie leichter aus, weil wir nur mehr vier Kugeln betrachten müssen ... von denen wir allerdings praktisch nichts wissen! Aber probieren wir einmal: Wir legen links zwei der X-Kugeln, rechts die zwei anderen. Dann haben wir folgende möglichen Ergebnisse:
# links runter: SS + LL
# rechts runter: LL + SS
# Gleichgewicht: kann nicht sein (weil wir ja aus der ersten Wägung wissen, dass eine der vier die abweichende sein muss!).
Im ersten Fall gibt es noch immer vier mögliche Lösungen (eine der zwei S ist die schwerere; oder eine der beiden L ist die leichtere). Die eine letzte Wägung kann aber nur drei Möglichkeiten unterscheiden - damit ist die Aufteilung 2+2 nicht ok. Also dann 1+1, mit folgenden Ergebnissen:
# links runter: S + L / NN
# rechts runter: L + S / NN
# Gleichgewicht: N + N / XX
Den ersten und zweiten Fall könnten wir lösen: Im ersten Fall müssen wir nur die S-Kugeln mit einer N-Kugel vergleichen - wenn Gleichgewicht, dann ist die (danebenliegende) L-Kugel die leichtere, wenn S-Kugel nach unten geht, ist sie die schwerere. Aber im dritten Fall bleiben mit den XX vier Möglichkeiten übrig, die wir wieder mit einer Lösung nicht lösen können. Wir brauchen eine "schrägere Idee".

Hier ist sie: 2+1! So geht das natürlich nicht (siehe Erklärung ganz am Anfang), aber wir können rechts eine weitere N-Kugel dazulegen. Wir legen also hin: XX + XN / X (die vierte X liegt auf der Seite) und haben nur folgende Fälle:
# links runter: SS + LN / N (entweder eine der schwereren zieht links runter; oder rechts ist die leichtere)
# rechts runter: LL + SN / N
# Gleichgewicht: NN + NN / X
Wir haben nur mehr eine Wägung frei - aber das könnte sich nun ausgehen!

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach NNNN+NNNN/XXXX - die "AAB-Konfiguration" ==
Der dritte Fall aus der vorherigen Wägung ist leicht: Wir vergleichen die danebenliegende Kugel (die ja sicher die gesuchte sein muss! - alle anderen sind nun als N bewiesen) mit einer beliebigen N-Kugel, mit folgenden Ergebnissen: 
# links runter: S + N --&gt; die danebenliegende ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: L + N --&gt; die danebenliegende ist die gesuchte, und sie ist leichter.
# Gleichgewicht: unmöglich
Was tun wir mit den anderen beiden Fällen aus der vorherigen Wägung? Aus der ersten Wägung erhalten wir drei Kugeln, von denen wir wissen, dass sie SSL sind: Also entweder die erste oder die zweite die zu schwere, oder die dritte die zu leichte. Es gibt mehrere Arten, mit einer Wägung die richtige zu finden - hier ist eine: Man legt die beiden S auf die Waage und erhält dann:
# links runter: S + N --&gt; die linke ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: N + S --&gt; die rechte ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# Gleichgewicht: N + N --&gt; die danebenliegende  ist die gesuchte, und sie ist leichter.
Wenn wir bei der zweiten Wägung den zweiten Fall hatten (LL+SN/N), dann können wir mit den drei LLS-Kugeln dasselbe Spiel spielen: L+L vergleichen - wo's raufgeht, ist die gesuchte, und sie ist leichter; bei Gleichgewicht ist's die danebenliegende, und sie ist schwerer.

Die beiden Fälle haben ein gleichartiges Muster: Aus zwei gleich markierten Kugeln (SS oder LL) und einer dritten, die ebenfalls schon mit S oder L markiert ist, kann man mit einer Wägung die Lösung finden ... ich nenne das eine AAB-Konfiguration, weil's uns hoffentlich bei dem komplizierteren SSSS+LLLL/NNNN-Fall aus der ersten Wägung weiterhilft!

== Die zweite und dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
In diesem Fall wissen wir, dass links vier S-Kugeln liegen, rechts vier L-Kugeln. Wie weiter? Wenn wir schnell zu einer AAB-Konfiguration kommen, dann würden wir für viele Fälle die Lösung mit einer weiteren Wägung haben! Also probieren wir's ... nach einigem Herumprobieren bin ich auf folgendes gekommen: Man wiegt SSL + SSL / LL, mit folgenden Ergebnissen: 
# Waage geht links herunter: Entweder ist eine der beiden linken SS die gesuchte (und schwerer), oder die rechte L ist die gesuchte (und leichter). Man hat also drei Kugeln als SSL identifiziert, also eine AAB-Konfiguration gefunden! 
# Wenn die Waage rechts heruntergeht, dann hat man die anderen SSL als AAB identifiziert. 
# Und bei Gleichgewicht schließlich hat man die beiden LL als mögliche Lösungen identifiziert. Man kann sie direkt  gegeneinander wiegen - wo's raufgeht, liegt die gesuchte leichtere. Man kann aber auch, "mathematiker-artig", eine N dazulegen und hat dann diesen Fall "auf eine AAB-Konfiguration" zurückgeführt ... das macht hier keinen Unterschied, hilft uns aber vielleicht bei anderen Problemen später! 
Damit haben wir ein dynamisches Lösungsverfahren für das 12-Kugel-Problem gefunden! 

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
... ... kommt noch ... ...

== Ein statisches Verfahren ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...
[[Kategorie:Denksport Loesung]]</text>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="10521" xml:space="preserve">Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt, gibt es zwei Arten von Lösungen:
* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen (am Anfang drei, dann zwei, dann eine) immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jeder der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem sie links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 27 nicht weniger als 24 ist, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
Die erste Wägung kann drei Ergebnisse haben:
# Waage geht links herunter: Dann wissen wir, dass ''entweder'' unter den linken vier Kugeln die eine schwerere ist ''oder'' unter den rechten vier die eine leichtere.
# Waage geht rechts herunter: Entweder ist unter den vier rechts die schwerere; oder links die leichtere.
# Waage bleibt im Gleichgewicht: Unter den vier neben der Waage ist die abweichende.
Statt weiterhin so lange Texte zu schreiben, müssen wir das kürzer hinschreiben können - nach dem alten Mathematikerspruch: "''Die richtige Notation ist die halbe Lösung''". Ich verwende einmal die folgenden Buchstaben:
* Wenn eine Kugel nur mehr eine schwerere sein kann (aber vielleicht auch eine der 11 gleich schweren - ich nenne die "normal"), dann soll dafür der Buchstabe S stehen; 
* wenn sie nur eine leichtere oder eine normale sein kann, dann steht dafür L;
* und wenn sie schwerer oder leichter oder normal sein kann, dann wird das mit X gekennzeichnet.
* Wenn eine Kugel schließlich sicher "normal" ist, dann wird sie mit N bezeichnet.
Die drei Möglichkeiten oben ergeben also:
# SSSS + LLLL / NNNN (durch + trenne ich die beiden Gruppen, die auf der Waage liegen; nach dem / stehen die Kugeln, die neben der Waage liegen und die uns "gerade noch interessieren").
# LLLL + SSSS / NNNN
# NNNN + NNNN / XXXX
Wir kümmern uns einmal um den dritten Fall - er sieht irgendwie leichter aus, weil wir nur mehr vier Kugeln betrachten müssen ... von denen wir allerdings praktisch nichts wissen! Aber probieren wir einmal: Wir legen links zwei der X-Kugeln, rechts die zwei anderen. Dann haben wir folgende möglichen Ergebnisse:
# links runter: SS + LL
# rechts runter: LL + SS
# Gleichgewicht: kann nicht sein (weil wir ja aus der ersten Wägung wissen, dass eine der vier die abweichende sein muss!).
Im ersten Fall gibt es noch immer vier mögliche Lösungen (eine der zwei S ist die schwerere; oder eine der beiden L ist die leichtere). Die eine letzte Wägung kann aber nur drei Möglichkeiten unterscheiden - damit ist die Aufteilung 2+2 nicht ok. Also dann 1+1, mit folgenden Ergebnissen:
# links runter: S + L / NN
# rechts runter: L + S / NN
# Gleichgewicht: N + N / XX
Den ersten und zweiten Fall könnten wir lösen: Im ersten Fall müssen wir nur die S-Kugeln mit einer N-Kugel vergleichen - wenn Gleichgewicht, dann ist die (danebenliegende) L-Kugel die leichtere, wenn S-Kugel nach unten geht, ist sie die schwerere. Aber im dritten Fall bleiben mit den XX vier Möglichkeiten übrig, die wir wieder mit einer Lösung nicht lösen können. Wir brauchen eine "schrägere Idee".

Hier ist sie: 2+1! So geht das natürlich nicht (siehe Erklärung ganz am Anfang), aber wir können rechts eine weitere N-Kugel dazulegen. Wir legen also hin: XX + XN / X (die vierte X liegt auf der Seite) und haben nur folgende Fälle:
# links runter: SS + LN / N (entweder eine der schwereren zieht links runter; oder rechts ist die leichtere)
# rechts runter: LL + SN / N
# Gleichgewicht: NN + NN / X
Wir haben nur mehr eine Wägung frei - aber das könnte sich nun ausgehen!

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach NNNN+NNNN/XXXX - die "AAB-Konfiguration" ==
Der dritte Fall aus der vorherigen Wägung ist leicht: Wir vergleichen die danebenliegende Kugel (die ja sicher die gesuchte sein muss! - alle anderen sind nun als N bewiesen) mit einer beliebigen N-Kugel, mit folgenden Ergebnissen: 
# links runter: S + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: L + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist leichter.
# Gleichgewicht: unmöglich
Was tun wir mit den anderen beiden Fällen aus der vorherigen Wägung? Aus der ersten Wägung erhalten wir drei Kugeln, von denen wir wissen, dass sie SSL sind: Also entweder die erste oder die zweite die zu schwere, oder die dritte die zu leichte. Es gibt mehrere Arten, mit einer Wägung die richtige zu finden - hier ist eine: Man legt die beiden S auf die Waage und erhält dann:
# links runter: S + N --&gt; die linke ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: N + S --&gt; die rechte ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# Gleichgewicht: N + N --&gt; die danebenliegende  ist die gesuchte, und sie ist leichter.
Wenn wir bei der zweiten Wägung den zweiten Fall hatten (LL+SN/N), dann können wir mit den drei LLS-Kugeln dasselbe Spiel spielen: L+L vergleichen - wo's raufgeht, ist die gesuchte, und sie ist leichter; bei Gleichgewicht ist's die danebenliegende, und sie ist schwerer.

Die beiden Fälle haben ein gleichartiges Muster: Aus zwei gleich markierten Kugeln (SS oder LL) und einer dritten, die ebenfalls schon mit S oder L markiert ist, kann man mit einer Wägung die Lösung finden ... ich nenne das eine AAB-Konfiguration, weil's uns hoffentlich bei dem komplizierteren SSSS+LLLL/NNNN-Fall aus der ersten Wägung weiterhilft!

== Die zweite und dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
In diesem Fall wissen wir, dass links vier S-Kugeln liegen, rechts vier L-Kugeln. Wie weiter? Wenn wir schnell zu einer AAB-Konfiguration kommen, dann würden wir für viele Fälle die Lösung mit einer weiteren Wägung haben! Also probieren wir's ... nach einigem Herumprobieren bin ich auf folgendes gekommen: Man wiegt SSL + SSL / LL, mit folgenden Ergebnissen: 
# Waage geht links herunter: Entweder ist eine der beiden linken SS die gesuchte (und schwerer), oder die rechte L ist die gesuchte (und leichter). Man hat also drei Kugeln als SSL identifiziert, also eine AAB-Konfiguration gefunden! 
# Wenn die Waage rechts heruntergeht, dann hat man die anderen SSL als AAB identifiziert. 
# Und bei Gleichgewicht schließlich hat man die beiden LL als mögliche Lösungen identifiziert. Man kann sie direkt  gegeneinander wiegen - wo's raufgeht, liegt die gesuchte leichtere. Man kann aber auch, "mathematiker-artig", eine N dazulegen und hat dann diesen Fall "auf eine AAB-Konfiguration" zurückgeführt ... das macht hier keinen Unterschied, hilft uns aber vielleicht bei anderen Problemen später! 
Damit haben wir ein dynamisches Lösungsverfahren für das 12-Kugel-Problem gefunden! 

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
... ... kommt noch ... ...

== Ein statisches Verfahren ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...
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    <text bytes="10525" xml:space="preserve">Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt, gibt es zwei Arten von Lösungen:
* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen (am Anfang drei, dann zwei, dann eine) immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jeder der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem sie links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 27 nicht weniger als 24 ist, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
Die erste Wägung kann drei Ergebnisse haben:
# Waage geht links herunter: Dann wissen wir, dass ''entweder'' unter den linken vier Kugeln die eine schwerere ist ''oder'' unter den rechten vier die eine leichtere.
# Waage geht rechts herunter: Entweder ist unter den vier rechts die schwerere; oder links die leichtere.
# Waage bleibt im Gleichgewicht: Unter den vier neben der Waage ist die abweichende.
Statt weiterhin so lange Texte zu schreiben, müssen wir das kürzer hinschreiben können - nach dem alten Mathematikerspruch: "''Die richtige Notation ist die halbe Lösung''". Ich verwende einmal die folgenden Buchstaben:
* Wenn eine Kugel nur mehr eine schwerere sein kann (aber vielleicht auch eine der 11 gleich schweren - ich nenne die "normal"), dann soll dafür der Buchstabe S stehen; 
* wenn sie nur eine leichtere oder eine normale sein kann, dann steht dafür L;
* und wenn sie schwerer oder leichter oder normal sein kann, dann wird das mit X gekennzeichnet.
* Wenn eine Kugel schließlich sicher "normal" ist, dann wird sie mit N bezeichnet.
Die drei Möglichkeiten oben ergeben also:
# SSSS + LLLL / NNNN (durch + trenne ich die beiden Gruppen, die auf der Waage liegen; nach dem / stehen die Kugeln, die neben der Waage liegen und die uns "gerade noch interessieren").
# LLLL + SSSS / NNNN
# NNNN + NNNN / XXXX
Wir kümmern uns einmal um den dritten Fall - er sieht irgendwie leichter aus, weil wir nur mehr vier Kugeln betrachten müssen ... von denen wir allerdings praktisch nichts wissen! Aber probieren wir einmal: Wir legen links zwei der X-Kugeln, rechts die zwei anderen. Dann haben wir folgende möglichen Ergebnisse:
# links runter: SS + LL
# rechts runter: LL + SS
# Gleichgewicht: kann nicht sein (weil wir ja aus der ersten Wägung wissen, dass eine der vier die abweichende sein muss!).
Im ersten Fall gibt es noch immer vier mögliche Lösungen (eine der zwei S ist die schwerere; oder eine der beiden L ist die leichtere). Die eine letzte Wägung kann aber nur drei Möglichkeiten unterscheiden - damit ist die Aufteilung 2+2 nicht ok. Also dann 1+1, mit folgenden Ergebnissen:
# links runter: S + L / NN
# rechts runter: L + S / NN
# Gleichgewicht: N + N / XX
Den ersten und zweiten Fall könnten wir lösen: Im ersten Fall müssen wir nur die S-Kugeln mit einer N-Kugel vergleichen - wenn Gleichgewicht, dann ist die (danebenliegende) L-Kugel die leichtere, wenn S-Kugel nach unten geht, ist sie die schwerere. Aber im dritten Fall bleiben mit den XX vier Möglichkeiten übrig, die wir wieder mit einer Lösung nicht lösen können. Wir brauchen eine "schrägere Idee".

Hier ist sie: 2+1! So geht das natürlich nicht (siehe Erklärung ganz am Anfang), aber wir können rechts eine weitere N-Kugel dazulegen. Wir legen also hin: XX + XN / X (die vierte X liegt auf der Seite) und haben nur folgende Fälle:
# links runter: SS + LN / N (entweder eine der schwereren zieht links runter; oder rechts ist die leichtere)
# rechts runter: LL + SN / N
# Gleichgewicht: NN + NN / X
Wir haben nur mehr eine Wägung frei - aber das könnte sich nun ausgehen!

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach NNNN+NNNN/XXXX - die "AAB-Konfiguration" ==
Der dritte Fall aus der vorherigen Wägung ist leicht: Wir vergleichen die danebenliegende Kugel (die ja sicher die gesuchte sein muss! - alle anderen sind nun als N bewiesen) mit einer beliebigen N-Kugel, mit folgenden Ergebnissen: 
# links runter: S + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: L + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist leichter.
# Gleichgewicht: unmöglich
Was tun wir mit den anderen beiden Fällen aus der vorherigen Wägung? Aus der ersten Wägung erhalten wir drei Kugeln, von denen wir wissen, dass sie SSL sind: Also entweder ist die erste oder die zweite die zu schwere, oder die dritte die zu leichte. Es gibt mehrere Arten, mit einer Wägung die richtige zu finden - hier ist eine: Man legt die beiden S auf die Waage und erhält dann:
# links runter: S + N --&gt; die linke ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: N + S --&gt; die rechte ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# Gleichgewicht: N + N --&gt; die danebenliegende  ist die gesuchte, und sie ist leichter.
Wenn wir bei der zweiten Wägung den zweiten Fall hatten (LL+SN/N), dann können wir mit den drei LLS-Kugeln dasselbe Spiel spielen: L+L vergleichen - wo's raufgeht, ist die gesuchte, und sie ist leichter; bei Gleichgewicht ist's die danebenliegende, und sie ist schwerer.

Die beiden Fälle haben ein gleichartiges Muster: Aus zwei gleich markierten Kugeln (SS oder LL) und einer dritten, die ebenfalls schon mit S oder L markiert ist, kann man mit einer Wägung die Lösung finden ... ich nenne das eine AAB-Konfiguration, weil's uns hoffentlich bei dem komplizierteren SSSS+LLLL/NNNN-Fall aus der ersten Wägung weiterhilft!

== Die zweite und dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
In diesem Fall wissen wir, dass links vier S-Kugeln liegen, rechts vier L-Kugeln. Wie weiter? Wenn wir schnell zu einer AAB-Konfiguration kommen, dann würden wir für viele Fälle die Lösung mit einer weiteren Wägung haben! Also probieren wir's ... nach einigem Herumprobieren bin ich auf folgendes gekommen: Man wiegt SSL + SSL / LL, mit folgenden Ergebnissen: 
# Waage geht links herunter: Entweder ist eine der beiden linken SS die gesuchte (und schwerer), oder die rechte L ist die gesuchte (und leichter). Man hat also drei Kugeln als SSL identifiziert, also eine AAB-Konfiguration gefunden! 
# Wenn die Waage rechts heruntergeht, dann hat man die anderen SSL als AAB identifiziert. 
# Und bei Gleichgewicht schließlich hat man die beiden LL als mögliche Lösungen identifiziert. Man kann sie direkt  gegeneinander wiegen - wo's raufgeht, liegt die gesuchte leichtere. Man kann aber auch, "mathematiker-artig", eine N dazulegen und hat dann diesen Fall "auf eine AAB-Konfiguration" zurückgeführt ... das macht hier keinen Unterschied, hilft uns aber vielleicht bei anderen Problemen später! 
Damit haben wir ein dynamisches Lösungsverfahren für das 12-Kugel-Problem gefunden! 

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
... ... kommt noch ... ...

== Ein statisches Verfahren ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
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== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
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* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen (am Anfang drei, dann zwei, dann eine) immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jeder der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem sie links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 27 nicht weniger als 24 ist, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
Die erste Wägung kann drei Ergebnisse haben:
# Waage geht links herunter: Dann wissen wir, dass ''entweder'' unter den linken vier Kugeln die eine schwerere ist ''oder'' unter den rechten vier die eine leichtere.
# Waage geht rechts herunter: Entweder ist unter den vier rechts die schwerere; oder links die leichtere.
# Waage bleibt im Gleichgewicht: Unter den vier neben der Waage ist die abweichende.
Statt weiterhin so lange Texte zu schreiben, müssen wir das kürzer hinschreiben können - nach dem alten Mathematikerspruch: "''Die richtige Notation ist die halbe Lösung''". Ich verwende einmal die folgenden Buchstaben:
* Wenn eine Kugel nur mehr eine schwerere sein kann (aber vielleicht auch eine der 11 gleich schweren - ich nenne die "normal"), dann soll dafür der Buchstabe S stehen; 
* wenn sie nur eine leichtere oder eine normale sein kann, dann steht dafür L;
* und wenn sie schwerer oder leichter oder normal sein kann, dann wird das mit X gekennzeichnet.
* Wenn eine Kugel schließlich sicher "normal" ist, dann wird sie mit N bezeichnet.
Die drei Möglichkeiten oben ergeben also:
# SSSS + LLLL / NNNN (durch + trenne ich die beiden Gruppen, die auf der Waage liegen; nach dem / stehen die Kugeln, die neben der Waage liegen und die uns "gerade noch interessieren").
# LLLL + SSSS / NNNN
# NNNN + NNNN / XXXX
Wir kümmern uns einmal um den dritten Fall - er sieht irgendwie leichter aus, weil wir nur mehr vier Kugeln betrachten müssen ... von denen wir allerdings praktisch nichts wissen! Aber probieren wir einmal: Wir legen links zwei der X-Kugeln, rechts die zwei anderen. Dann haben wir folgende möglichen Ergebnisse:
# links runter: SS + LL
# rechts runter: LL + SS
# Gleichgewicht: kann nicht sein (weil wir ja aus der ersten Wägung wissen, dass eine der vier die abweichende sein muss!).
Im ersten Fall gibt es noch immer vier mögliche Lösungen (eine der zwei S ist die schwerere; oder eine der beiden L ist die leichtere). Die eine letzte Wägung kann aber nur drei Möglichkeiten unterscheiden - damit ist die Aufteilung 2+2 nicht ok. Also dann 1+1, mit folgenden Ergebnissen:
# links runter: S + L / NN
# rechts runter: L + S / NN
# Gleichgewicht: N + N / XX
Den ersten und zweiten Fall könnten wir lösen: Im ersten Fall müssen wir nur die S-Kugeln mit einer N-Kugel vergleichen - wenn Gleichgewicht, dann ist die (danebenliegende) L-Kugel die leichtere, wenn S-Kugel nach unten geht, ist sie die schwerere. Aber im dritten Fall bleiben mit den XX vier Möglichkeiten übrig, die wir wieder mit einer Lösung nicht lösen können. Wir brauchen eine "schrägere Idee".

Hier ist sie: 2+1! So geht das natürlich nicht (siehe Erklärung ganz am Anfang), aber wir können rechts eine weitere N-Kugel dazulegen. Wir legen also hin: XX + XN / X (die vierte X liegt auf der Seite) und haben nur folgende Fälle:
# links runter: SS + LN / N (entweder eine der schwereren zieht links runter; oder rechts ist die leichtere)
# rechts runter: LL + SN / N
# Gleichgewicht: NN + NN / X
Wir haben nur mehr eine Wägung frei - aber das könnte sich nun ausgehen!

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach NNNN+NNNN/XXXX - die "AAB-Konfiguration" ==
Der dritte Fall aus der vorherigen Wägung ist leicht: Wir vergleichen die danebenliegende Kugel (die ja sicher die gesuchte sein muss! - alle anderen sind nun als N bewiesen) mit einer beliebigen N-Kugel, mit folgenden Ergebnissen: 
# links runter: S + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: L + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist leichter.
# Gleichgewicht: unmöglich
Was tun wir mit den anderen beiden Fällen aus der vorherigen Wägung? Aus der ersten Wägung erhalten wir drei Kugeln, von denen wir wissen, dass sie SSL sind: Also entweder ist die erste oder die zweite die zu schwere, oder die dritte die zu leichte. Es gibt mehrere Arten, mit einer Wägung die richtige zu finden - hier ist eine: Man legt die beiden S auf die Waage und erhält dann:
# links runter: S + N --&gt; die linke ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: N + S --&gt; die rechte ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# Gleichgewicht: N + N --&gt; die danebenliegende  ist die gesuchte, und sie ist leichter.
Wenn wir bei der zweiten Wägung den zweiten Fall hatten (LL+SN/N), dann können wir mit den drei LLS-Kugeln dasselbe Spiel spielen: L+L vergleichen - wo's raufgeht, ist die gesuchte, und sie ist leichter; bei Gleichgewicht ist's die danebenliegende, und sie ist schwerer.

Die beiden Fälle haben ein gleichartiges Muster: Aus zwei gleich markierten Kugeln (SS oder LL) und einer dritten, die ebenfalls schon mit S oder L markiert ist, kann man mit einer Wägung die Lösung finden ... ich nenne das eine AAB-Konfiguration, die uns hoffentlich bei dem komplizierteren SSSS+LLLL/NNNN-Fall aus der ersten Wägung weiterhilft!

== Die zweite und dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
In diesem Fall wissen wir, dass links vier S-Kugeln liegen, rechts vier L-Kugeln. Wie weiter? Wenn wir schnell zu einer AAB-Konfiguration kommen, dann würden wir für viele Fälle die Lösung mit einer weiteren Wägung haben! Also probieren wir's ... nach einigem Herumprobieren bin ich auf folgendes gekommen: Man wiegt SSL + SSL / LL, mit folgenden Ergebnissen: 
# Waage geht links herunter: Entweder ist eine der beiden linken SS die gesuchte (und schwerer), oder die rechte L ist die gesuchte (und leichter). Man hat also drei Kugeln als SSL identifiziert, also eine AAB-Konfiguration gefunden! 
# Wenn die Waage rechts heruntergeht, dann hat man die anderen SSL als AAB identifiziert. 
# Und bei Gleichgewicht schließlich hat man die beiden LL als mögliche Lösungen identifiziert. Man kann sie direkt  gegeneinander wiegen - wo's raufgeht, liegt die gesuchte leichtere. Man kann aber auch, "mathematiker-artig", eine N dazulegen und hat dann diesen Fall "auf eine AAB-Konfiguration" zurückgeführt ... das macht hier keinen Unterschied, hilft uns aber vielleicht bei anderen Problemen später! 
Damit haben wir ein dynamisches Lösungsverfahren für das 12-Kugel-Problem gefunden! 

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
... ... kommt noch ... ...

== Ein statisches Verfahren ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...
[[Kategorie:Denksport Loesung]]</text>
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    <text bytes="10643" xml:space="preserve">Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt, gibt es zwei Arten von Lösungen:
* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen (am Anfang drei, dann zwei, dann eine) immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jeder der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem sie links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 27 nicht weniger als 24 ist, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
Die erste Wägung kann drei Ergebnisse haben:
# Waage geht links herunter: Dann wissen wir, dass ''entweder'' unter den linken vier Kugeln die eine schwerere ist ''oder'' unter den rechten vier die eine leichtere.
# Waage geht rechts herunter: Entweder ist unter den vier rechts die schwerere; oder links die leichtere.
# Waage bleibt im Gleichgewicht: Unter den vier neben der Waage ist die abweichende.
Statt weiterhin so lange Texte zu schreiben, müssen wir das kürzer hinschreiben können - nach dem alten Mathematikerspruch: "''Die richtige Notation ist die halbe Lösung''". Ich verwende einmal die folgenden Buchstaben:
* Wenn eine Kugel nur mehr eine schwerere sein kann (aber vielleicht auch eine der 11 gleich schweren - ich nenne die "normal"), dann soll dafür der Buchstabe S stehen; 
* wenn sie nur eine leichtere oder eine normale sein kann, dann steht dafür L;
* und wenn sie schwerer oder leichter oder normal sein kann, dann wird das mit X gekennzeichnet.
* Wenn eine Kugel schließlich sicher "normal" ist, dann wird sie mit N bezeichnet.
Die drei Möglichkeiten oben ergeben also:
# SSSS + LLLL / NNNN (durch + trenne ich die beiden Gruppen, die auf der Waage liegen; nach dem / stehen die Kugeln, die neben der Waage liegen und die uns "gerade noch interessieren").
# LLLL + SSSS / NNNN
# NNNN + NNNN / XXXX
Wir kümmern uns einmal um den dritten Fall - er sieht irgendwie leichter aus, weil wir nur mehr vier Kugeln betrachten müssen ... von denen wir allerdings praktisch nichts wissen! Aber probieren wir einmal: Wir legen links zwei der X-Kugeln, rechts die zwei anderen. Dann haben wir folgende möglichen Ergebnisse:
# links runter: SS + LL
# rechts runter: LL + SS
# Gleichgewicht: kann nicht sein (weil wir ja aus der ersten Wägung wissen, dass eine der vier die abweichende sein muss!).
Im ersten Fall gibt es noch immer vier mögliche Lösungen (eine der zwei S ist die schwerere; oder eine der beiden L ist die leichtere). Die eine letzte Wägung kann aber nur drei Möglichkeiten unterscheiden - damit ist die Aufteilung 2+2 nicht ok. Also dann 1+1, mit folgenden Ergebnissen:
# links runter: S + L / NN
# rechts runter: L + S / NN
# Gleichgewicht: N + N / XX
Den ersten und zweiten Fall könnten wir lösen: Im ersten Fall müssen wir nur die S-Kugeln mit einer N-Kugel vergleichen - wenn Gleichgewicht, dann ist die (danebenliegende) L-Kugel die leichtere, wenn S-Kugel nach unten geht, ist sie die schwerere. Aber im dritten Fall bleiben mit den XX vier Möglichkeiten übrig, die wir wieder mit einer Lösung nicht lösen können. Wir brauchen eine "schrägere Idee".

Hier ist sie: 2+1! So geht das natürlich nicht (siehe Erklärung ganz am Anfang), aber wir können rechts eine weitere N-Kugel dazulegen. Wir legen also hin: XX + XN / X (die vierte X liegt auf der Seite) und haben nur folgende Fälle:
# links runter: SS + LN / N (entweder eine der schwereren zieht links runter; oder rechts ist die leichtere)
# rechts runter: LL + SN / N
# Gleichgewicht: NN + NN / X
Wir haben nur mehr eine Wägung frei - aber das könnte sich nun ausgehen!

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach NNNN+NNNN/XXXX - die "AAB-Konfiguration" ==
Der dritte Fall aus der vorherigen Wägung ist leicht: Wir vergleichen die danebenliegende Kugel (die ja sicher die gesuchte sein muss! - alle anderen sind nun als N bewiesen) mit einer beliebigen N-Kugel, mit folgenden Ergebnissen: 
# links runter: S + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: L + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist leichter.
# Gleichgewicht: unmöglich
Was tun wir mit den anderen beiden Fällen aus der vorherigen Wägung? Aus der ersten Wägung erhalten wir drei Kugeln, von denen wir wissen, dass sie SSL sind: Also entweder ist die erste oder die zweite die zu schwere, oder die dritte die zu leichte. Es gibt mehrere Arten, mit einer Wägung die richtige zu finden - hier ist eine: Man legt die beiden S auf die Waage und erhält dann:
# links runter: S + N --&gt; die linke ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: N + S --&gt; die rechte ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# Gleichgewicht: N + N --&gt; die danebenliegende  ist die gesuchte, und sie ist leichter.
Wenn wir bei der zweiten Wägung den zweiten Fall hatten (LL+SN/N), dann können wir mit den drei LLS-Kugeln dasselbe Spiel spielen: L+L vergleichen - wo's raufgeht, ist die gesuchte, und sie ist leichter; bei Gleichgewicht ist's die danebenliegende, und sie ist schwerer.

Die beiden Fälle haben ein gleichartiges Muster: Aus zwei gleich markierten Kugeln (SS oder LL) und einer dritten, die ebenfalls schon mit S oder L markiert ist, kann man mit einer Wägung die Lösung finden ... ich nenne das eine AAB-Konfiguration, die uns hoffentlich bei dem komplizierteren SSSS+LLLL/NNNN-Fall aus der ersten Wägung weiterhilft!

== Die zweite und dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
In diesem Fall wissen wir, dass links vier S-Kugeln liegen, rechts vier L-Kugeln. Wie weiter? Wenn wir schnell zu einer AAB-Konfiguration kommen, dann würden wir für viele Fälle die Lösung mit einer weiteren Wägung haben! Also probieren wir's ... nach einigem Herumprobieren bin ich auf folgendes gekommen: Man wiegt SSL + SSL / LL, mit folgenden Ergebnissen: 
# Waage geht links herunter: Entweder ist eine der beiden linken SS die gesuchte (und schwerer), oder die rechte L ist die gesuchte (und leichter). Man hat also drei Kugeln als SSL identifiziert, also eine AAB-Konfiguration gefunden! 
# Wenn die Waage rechts heruntergeht, dann hat man die anderen SSL als AAB identifiziert. 
# Und bei Gleichgewicht schließlich hat man die beiden LL als mögliche Lösungen identifiziert. Man kann sie direkt  gegeneinander wiegen - wo's raufgeht, liegt die gesuchte leichtere. Man kann aber auch, "mathematiker-artig", eine N dazulegen und hat dann diesen Fall "auf eine AAB-Konfiguration" zurückgeführt ... das macht hier keinen Unterschied, hilft uns aber vielleicht bei anderen Problemen später! 
In allen drei Fällen ist man also bei AAB angelangt und ist findet dann mit einer dritten Wägung die gesuchte Kugel. 

Damit haben wir ein dynamisches Lösungsverfahren für das 12-Kugel-Problem gefunden! 

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
... ... kommt noch ... ...

== Ein statisches Verfahren ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="10975" xml:space="preserve">Es gibt zwar schon eine Lösung zum [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln Problem der Waage und der 12 Kugeln] - aber dort steht praktisch nichts mathematisch Interessantes: Nicht, wie man sie Lösung findet, nicht, welche weiteren ähnlichen Probleme man sich stellen kann ... ich versuche es hier, besser zu machen.

Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt, gibt es zwei Arten von Lösungen:
* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen (am Anfang drei, dann zwei, dann eine) immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jeder der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem sie links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 27 nicht weniger als 24 ist, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
Die erste Wägung kann drei Ergebnisse haben:
# Waage geht links herunter: Dann wissen wir, dass ''entweder'' unter den linken vier Kugeln die eine schwerere ist ''oder'' unter den rechten vier die eine leichtere.
# Waage geht rechts herunter: Entweder ist unter den vier rechts die schwerere; oder links die leichtere.
# Waage bleibt im Gleichgewicht: Unter den vier neben der Waage ist die abweichende.
Statt weiterhin so lange Texte zu schreiben, müssen wir das kürzer hinschreiben können - nach dem alten Mathematikerspruch: "''Die richtige Notation ist die halbe Lösung''". Ich verwende einmal die folgenden Buchstaben:
* Wenn eine Kugel nur mehr eine schwerere sein kann (aber vielleicht auch eine der 11 gleich schweren - ich nenne die "normal"), dann soll dafür der Buchstabe S stehen; 
* wenn sie nur eine leichtere oder eine normale sein kann, dann steht dafür L;
* und wenn sie schwerer oder leichter oder normal sein kann, dann wird das mit X gekennzeichnet.
* Wenn eine Kugel schließlich sicher "normal" ist, dann wird sie mit N bezeichnet.
Die drei Möglichkeiten oben ergeben also:
# SSSS + LLLL / NNNN (durch + trenne ich die beiden Gruppen, die auf der Waage liegen; nach dem / stehen die Kugeln, die neben der Waage liegen und die uns "gerade noch interessieren").
# LLLL + SSSS / NNNN
# NNNN + NNNN / XXXX
Wir kümmern uns einmal um den dritten Fall - er sieht irgendwie leichter aus, weil wir nur mehr vier Kugeln betrachten müssen ... von denen wir allerdings praktisch nichts wissen! Aber probieren wir einmal: Wir legen links zwei der X-Kugeln, rechts die zwei anderen. Dann haben wir folgende möglichen Ergebnisse:
# links runter: SS + LL
# rechts runter: LL + SS
# Gleichgewicht: kann nicht sein (weil wir ja aus der ersten Wägung wissen, dass eine der vier die abweichende sein muss!).
Im ersten Fall gibt es noch immer vier mögliche Lösungen (eine der zwei S ist die schwerere; oder eine der beiden L ist die leichtere). Die eine letzte Wägung kann aber nur drei Möglichkeiten unterscheiden - damit ist die Aufteilung 2+2 nicht ok. Also dann 1+1, mit folgenden Ergebnissen:
# links runter: S + L / NN
# rechts runter: L + S / NN
# Gleichgewicht: N + N / XX
Den ersten und zweiten Fall könnten wir lösen: Im ersten Fall müssen wir nur die S-Kugeln mit einer N-Kugel vergleichen - wenn Gleichgewicht, dann ist die (danebenliegende) L-Kugel die leichtere, wenn S-Kugel nach unten geht, ist sie die schwerere. Aber im dritten Fall bleiben mit den XX vier Möglichkeiten übrig, die wir wieder mit einer Lösung nicht lösen können. Wir brauchen eine "schrägere Idee".

Hier ist sie: 2+1! So geht das natürlich nicht (siehe Erklärung ganz am Anfang), aber wir können rechts eine weitere N-Kugel dazulegen. Wir legen also hin: XX + XN / X (die vierte X liegt auf der Seite) und haben nur folgende Fälle:
# links runter: SS + LN / N (entweder eine der schwereren zieht links runter; oder rechts ist die leichtere)
# rechts runter: LL + SN / N
# Gleichgewicht: NN + NN / X
Wir haben nur mehr eine Wägung frei - aber das könnte sich nun ausgehen!

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach NNNN+NNNN/XXXX - die "AAB-Konfiguration" ==
Der dritte Fall aus der vorherigen Wägung ist leicht: Wir vergleichen die danebenliegende Kugel (die ja sicher die gesuchte sein muss! - alle anderen sind nun als N bewiesen) mit einer beliebigen N-Kugel, mit folgenden Ergebnissen: 
# links runter: S + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: L + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist leichter.
# Gleichgewicht: unmöglich
Was tun wir mit den anderen beiden Fällen aus der vorherigen Wägung? Aus der ersten Wägung erhalten wir drei Kugeln, von denen wir wissen, dass sie SSL sind: Also entweder ist die erste oder die zweite die zu schwere, oder die dritte die zu leichte. Es gibt mehrere Arten, mit einer Wägung die richtige zu finden - hier ist eine: Man legt die beiden S auf die Waage und erhält dann:
# links runter: S + N --&gt; die linke ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: N + S --&gt; die rechte ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# Gleichgewicht: N + N --&gt; die danebenliegende  ist die gesuchte, und sie ist leichter.
Wenn wir bei der zweiten Wägung den zweiten Fall hatten (LL+SN/N), dann können wir mit den drei LLS-Kugeln dasselbe Spiel spielen: L+L vergleichen - wo's raufgeht, ist die gesuchte, und sie ist leichter; bei Gleichgewicht ist's die danebenliegende, und sie ist schwerer.

Die beiden Fälle haben ein gleichartiges Muster: Aus zwei gleich markierten Kugeln (SS oder LL) und einer dritten, die ebenfalls schon mit S oder L markiert ist, kann man mit einer Wägung die Lösung finden ... ich nenne das eine AAB-Konfiguration, die uns hoffentlich bei dem komplizierteren SSSS+LLLL/NNNN-Fall aus der ersten Wägung weiterhilft!

== Die zweite und dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
In diesem Fall wissen wir, dass links vier S-Kugeln liegen, rechts vier L-Kugeln. Wie weiter? Wenn wir schnell zu einer AAB-Konfiguration kommen, dann würden wir für viele Fälle die Lösung mit einer weiteren Wägung haben! Also probieren wir's ... nach einigem Herumprobieren bin ich auf folgendes gekommen: Man wiegt SSL + SSL / LL, mit folgenden Ergebnissen: 
# Waage geht links herunter: Entweder ist eine der beiden linken SS die gesuchte (und schwerer), oder die rechte L ist die gesuchte (und leichter). Man hat also drei Kugeln als SSL identifiziert, also eine AAB-Konfiguration gefunden! 
# Wenn die Waage rechts heruntergeht, dann hat man die anderen SSL als AAB identifiziert. 
# Und bei Gleichgewicht schließlich hat man die beiden LL als mögliche Lösungen identifiziert. Man kann sie direkt  gegeneinander wiegen - wo's raufgeht, liegt die gesuchte leichtere. Man kann aber auch, "mathematiker-artig", eine N dazulegen und hat dann diesen Fall "auf eine AAB-Konfiguration" zurückgeführt ... das macht hier keinen Unterschied, hilft uns aber vielleicht bei anderen Problemen später! 
In allen drei Fällen ist man also bei AAB angelangt und ist findet dann mit einer dritten Wägung die gesuchte Kugel. 

Damit haben wir ein dynamisches Lösungsverfahren für das 12-Kugel-Problem gefunden! 

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
... ... kommt noch ... ...

== Ein statisches Verfahren ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
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== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
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== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...
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Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt, gibt es zwei Arten von Lösungen:
* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen (am Anfang drei, dann zwei, dann eine) immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jeder der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem sie links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 27 nicht weniger als 24 ist, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
Die erste Wägung kann drei Ergebnisse haben:
# Waage geht links herunter: Dann wissen wir, dass ''entweder'' unter den linken vier Kugeln die eine schwerere ist ''oder'' unter den rechten vier die eine leichtere.
# Waage geht rechts herunter: Entweder ist unter den vier rechts die schwerere; oder links die leichtere.
# Waage bleibt im Gleichgewicht: Unter den vier neben der Waage ist die abweichende.
Statt weiterhin so lange Texte zu schreiben, müssen wir das kürzer hinschreiben können - nach dem alten Mathematikerspruch: "''Die richtige Notation ist die halbe Lösung''". Ich verwende einmal die folgenden Buchstaben:
* Wenn eine Kugel nur mehr eine schwerere sein kann (aber vielleicht auch eine der 11 gleich schweren - ich nenne die "normal"), dann soll dafür der Buchstabe S stehen; 
* wenn sie nur eine leichtere oder eine normale sein kann, dann steht dafür L;
* und wenn sie schwerer oder leichter oder normal sein kann, dann wird das mit X gekennzeichnet.
* Wenn eine Kugel schließlich sicher "normal" ist, dann wird sie mit N bezeichnet.
Die drei Möglichkeiten oben ergeben also:
# SSSS + LLLL / NNNN (durch + trenne ich die beiden Gruppen, die auf der Waage liegen; nach dem / stehen die Kugeln, die neben der Waage liegen und die uns "gerade noch interessieren").
# LLLL + SSSS / NNNN
# NNNN + NNNN / XXXX
Wir kümmern uns einmal um den dritten Fall - er sieht irgendwie leichter aus, weil wir nur mehr vier Kugeln betrachten müssen ... von denen wir allerdings praktisch nichts wissen! Aber probieren wir einmal: Wir legen links zwei der X-Kugeln, rechts die zwei anderen. Dann haben wir folgende möglichen Ergebnisse:
# links runter: SS + LL
# rechts runter: LL + SS
# Gleichgewicht: kann nicht sein (weil wir ja aus der ersten Wägung wissen, dass eine der vier die abweichende sein muss!).
Im ersten Fall gibt es noch immer vier mögliche Lösungen (eine der zwei S ist die schwerere; oder eine der beiden L ist die leichtere). Die eine letzte Wägung kann aber nur drei Möglichkeiten unterscheiden - damit ist die Aufteilung 2+2 nicht ok. Also dann 1+1, mit folgenden Ergebnissen:
# links runter: S + L / NN
# rechts runter: L + S / NN
# Gleichgewicht: N + N / XX
Den ersten und zweiten Fall könnten wir lösen: Im ersten Fall müssen wir nur die S-Kugeln mit einer N-Kugel vergleichen - wenn Gleichgewicht, dann ist die (danebenliegende) L-Kugel die leichtere, wenn S-Kugel nach unten geht, ist sie die schwerere. Aber im dritten Fall bleiben mit den XX vier Möglichkeiten übrig, die wir wieder mit einer Lösung nicht lösen können. Wir brauchen eine "schrägere Idee".

Hier ist sie: 2+1! So geht das natürlich nicht (siehe Erklärung ganz am Anfang), aber wir können rechts eine weitere N-Kugel dazulegen. Wir legen also hin: XX + XN / X (die vierte X liegt auf der Seite) und haben nur folgende Fälle:
# links runter: SS + LN / N (entweder eine der schwereren zieht links runter; oder rechts ist die leichtere)
# rechts runter: LL + SN / N
# Gleichgewicht: NN + NN / X
Wir haben nur mehr eine Wägung frei - aber das könnte sich nun ausgehen!

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach NNNN+NNNN/XXXX - die "AAB-Konfiguration" ==
Der dritte Fall aus der vorherigen Wägung ist leicht: Wir vergleichen die danebenliegende Kugel (die ja sicher die gesuchte sein muss! - alle anderen sind nun als N bewiesen) mit einer beliebigen N-Kugel, mit folgenden Ergebnissen: 
# links runter: S + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: L + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist leichter.
# Gleichgewicht: unmöglich
Was tun wir mit den anderen beiden Fällen aus der vorherigen Wägung? Aus der ersten Wägung erhalten wir drei Kugeln, von denen wir wissen, dass sie SSL sind: Also entweder ist die erste oder die zweite die zu schwere, oder die dritte die zu leichte. Es gibt mehrere Arten, mit einer Wägung die richtige zu finden - hier ist eine: Man legt die beiden S auf die Waage und erhält dann:
# links runter: S + N --&gt; die linke ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: N + S --&gt; die rechte ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# Gleichgewicht: N + N --&gt; die danebenliegende  ist die gesuchte, und sie ist leichter.
Wenn wir bei der zweiten Wägung den zweiten Fall hatten (LL+SN/N), dann können wir mit den drei LLS-Kugeln dasselbe Spiel spielen: L+L vergleichen - wo's raufgeht, ist die gesuchte, und sie ist leichter; bei Gleichgewicht ist's die danebenliegende, und sie ist schwerer.

Die beiden Fälle haben ein gleichartiges Muster: Aus zwei gleich markierten Kugeln (SS oder LL) und einer dritten, die ebenfalls schon mit S oder L markiert ist, kann man mit einer Wägung die Lösung finden ... ich nenne das eine AAB-Konfiguration, die uns hoffentlich bei dem komplizierteren SSSS+LLLL/NNNN-Fall aus der ersten Wägung weiterhilft!

== Die zweite und dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
In diesem Fall wissen wir, dass links vier S-Kugeln liegen, rechts vier L-Kugeln. Wie weiter? Wenn wir schnell zu einer AAB-Konfiguration kommen, dann würden wir für viele Fälle die Lösung mit einer weiteren Wägung haben! Also probieren wir's ... nach einigem Herumprobieren bin ich auf folgendes gekommen: Man wiegt SSL + SSL / LL, mit folgenden Ergebnissen: 
# Waage geht links herunter: Entweder ist eine der beiden linken SS die gesuchte (und schwerer), oder die rechte L ist die gesuchte (und leichter). Man hat also drei Kugeln als SSL identifiziert, also eine AAB-Konfiguration gefunden! 
# Wenn die Waage rechts heruntergeht, dann hat man die anderen SSL als AAB identifiziert. 
# Und bei Gleichgewicht schließlich hat man die beiden LL als mögliche Lösungen identifiziert. Man kann sie direkt  gegeneinander wiegen - wo's raufgeht, liegt die gesuchte leichtere. Man kann aber auch, "mathematiker-artig", eine N dazulegen und hat dann diesen Fall "auf eine AAB-Konfiguration" zurückgeführt ... das macht hier keinen Unterschied, hilft uns aber vielleicht bei anderen Problemen später! 
In allen drei Fällen ist man also bei AAB angelangt - man findet dann also mit einer einzigen weiteren (dritten) Wägung die gesuchte Kugel. 

Damit haben wir ein dynamisches Lösungsverfahren für das 12-Kugel-Problem gefunden! 

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
... ... kommt noch ... ...

== Ein statisches Verfahren ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...
[[Kategorie:Denksport Loesung]]</text>
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    <comment>/* Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="11050" xml:space="preserve">Es gibt zwar schon eine Lösung zum [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln Problem der Waage und der 12 Kugeln] - aber dort steht praktisch nichts mathematisch Interessantes: Nicht, wie man sie Lösung findet, nicht, welche weiteren ähnlichen Probleme man sich stellen kann ... ich versuche es hier, besser zu machen.

Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt, gibt es zwei Arten von Lösungen:
* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen (am Anfang drei, dann zwei, dann eine) immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jeder der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem sie links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 27 nicht weniger als 24 ist, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
Die erste Wägung kann drei Ergebnisse haben:
# Waage geht links herunter: Dann wissen wir, dass ''entweder'' unter den linken vier Kugeln die eine schwerere ist ''oder'' unter den rechten vier die eine leichtere.
# Waage geht rechts herunter: Entweder ist unter den vier rechts die schwerere; oder links die leichtere.
# Waage bleibt im Gleichgewicht: Unter den vier neben der Waage ist die abweichende.
Statt weiterhin so lange Texte zu schreiben, müssen wir das kürzer hinschreiben können - nach dem alten Mathematikerspruch: "''Die richtige Notation ist die halbe Lösung''". Ich verwende einmal die folgenden Buchstaben:
* Wenn eine Kugel nur mehr eine schwerere sein kann (aber vielleicht auch eine der 11 gleich schweren - ich nenne die "normal"), dann soll dafür der Buchstabe S stehen; 
* wenn sie nur eine leichtere oder eine normale sein kann, dann steht dafür L;
* und wenn sie schwerer oder leichter oder normal sein kann, dann wird das mit X gekennzeichnet.
* Wenn eine Kugel schließlich sicher "normal" ist, dann wird sie mit N bezeichnet.
Die drei Möglichkeiten oben ergeben also:
# SSSS + LLLL / NNNN (durch + trenne ich die beiden Gruppen, die auf der Waage liegen; nach dem / stehen die Kugeln, die neben der Waage liegen und die uns "gerade noch interessieren").
# LLLL + SSSS / NNNN
# NNNN + NNNN / XXXX
Wir kümmern uns einmal um den dritten Fall - er sieht irgendwie leichter aus, weil wir nur mehr vier Kugeln betrachten müssen ... von denen wir allerdings praktisch nichts wissen! Aber probieren wir einmal: Wir legen links zwei der X-Kugeln, rechts die zwei anderen. Dann haben wir folgende möglichen Ergebnisse:
# links runter: SS + LL
# rechts runter: LL + SS
# Gleichgewicht: kann nicht sein (weil wir ja aus der ersten Wägung wissen, dass eine der vier die abweichende sein muss!).
Im ersten Fall gibt es noch immer ''vier'' mögliche Lösungen (eine der zwei S ist die schwerere; oder eine der beiden L ist die leichtere). Die eine letzte Wägung kann aber nur ''drei'' Möglichkeiten unterscheiden - damit ist die Aufteilung 2+2 nicht ok. Also dann 1+1, mit folgenden Ergebnissen:
# links runter: S + L / NN
# rechts runter: L + S / NN
# Gleichgewicht: N + N / XX
Den ersten und zweiten Fall könnten wir lösen: Im ersten Fall müssen wir nur die S-Kugeln mit einer N-Kugel vergleichen - wenn Gleichgewicht, dann ist die (danebenliegende) L-Kugel die leichtere, wenn S-Kugel nach unten geht, ist sie die schwerere. Aber im dritten Fall bleiben mit den XX ''vier'' Möglichkeiten übrig, die wir wieder mit den ''drei'' möglichen Ergebnissen einer Wägung nicht lösen können. Wir brauchen eine "schrägere Idee".

Hier ist sie: 2+1! Das geht natürlich nicht direkt (siehe Erklärung ganz am Anfang), aber wir können rechts eine weitere N-Kugel dazulegen. Wir legen also hin: XX + XN / X (die vierte X liegt auf der Seite) und haben nur folgende Fälle:
# links runter: SS + LN / N (entweder eine der schwereren zieht links runter; oder rechts ist die leichtere)
# rechts runter: LL + SN / N
# Gleichgewicht: NN + NN / X
Wir haben nur mehr eine Wägung frei - aber das könnte sich nun ausgehen!

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach NNNN+NNNN/XXXX - die "AAB-Konfiguration" ==
Der dritte Fall aus der vorherigen Wägung ist leicht: Wir vergleichen die danebenliegende Kugel (die ja sicher die gesuchte sein muss! - alle anderen sind nun als N bewiesen) mit einer beliebigen N-Kugel, mit folgenden Ergebnissen: 
# links runter: S + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: L + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist leichter.
# Gleichgewicht: unmöglich
Was tun wir mit den anderen beiden Fällen aus der vorherigen Wägung? Aus der ersten Wägung erhalten wir drei Kugeln, von denen wir wissen, dass sie SSL sind: Also entweder ist die erste oder die zweite die zu schwere, oder die dritte die zu leichte. Es gibt mehrere Arten, mit einer Wägung die richtige zu finden - hier ist eine: Man legt die beiden S auf die Waage und erhält dann:
# links runter: S + N --&gt; die linke ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: N + S --&gt; die rechte ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# Gleichgewicht: N + N --&gt; die danebenliegende  ist die gesuchte, und sie ist leichter.
Wenn wir bei der zweiten Wägung den zweiten Fall hatten (LL+SN/N), dann können wir mit den drei LLS-Kugeln dasselbe Spiel spielen: L+L vergleichen - wo's raufgeht, ist die gesuchte, und sie ist leichter; bei Gleichgewicht ist's die danebenliegende, und sie ist schwerer.

Die beiden Fälle haben ein gleichartiges Muster: Aus zwei gleich markierten Kugeln (SS oder LL) und einer dritten, die ebenfalls schon mit S oder L markiert ist, kann man mit einer Wägung die Lösung finden ... ich nenne das eine AAB-Konfiguration, die uns hoffentlich bei dem komplizierteren SSSS+LLLL/NNNN-Fall aus der ersten Wägung weiterhilft!

== Die zweite und dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
In diesem Fall wissen wir, dass links vier S-Kugeln liegen, rechts vier L-Kugeln. Wie weiter? Wenn wir schnell zu einer AAB-Konfiguration kommen, dann würden wir für viele Fälle die Lösung mit einer weiteren Wägung haben! Also probieren wir's ... nach einigem Herumprobieren bin ich auf folgendes gekommen: Man wiegt SSL + SSL / LL, mit folgenden Ergebnissen: 
# Waage geht links herunter: Entweder ist eine der beiden linken SS die gesuchte (und schwerer), oder die rechte L ist die gesuchte (und leichter). Man hat also drei Kugeln als SSL identifiziert, also eine AAB-Konfiguration gefunden! 
# Wenn die Waage rechts heruntergeht, dann hat man die anderen SSL als AAB identifiziert. 
# Und bei Gleichgewicht schließlich hat man die beiden LL als mögliche Lösungen identifiziert. Man kann sie direkt  gegeneinander wiegen - wo's raufgeht, liegt die gesuchte leichtere. Man kann aber auch, "mathematiker-artig", eine N dazulegen und hat dann diesen Fall "auf eine AAB-Konfiguration" zurückgeführt ... das macht hier keinen Unterschied, hilft uns aber vielleicht bei anderen Problemen später! 
In allen drei Fällen ist man also bei AAB angelangt - man findet dann also mit einer einzigen weiteren (dritten) Wägung die gesuchte Kugel. 

Damit haben wir ein dynamisches Lösungsverfahren für das 12-Kugel-Problem gefunden! 

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
... ... kommt noch ... ...

== Ein statisches Verfahren ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...
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Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt, gibt es zwei Arten von Lösungen:
* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen (am Anfang drei, dann zwei, dann eine) immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jeder der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem sie links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 27 nicht weniger als 24 ist, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
Die erste Wägung kann drei Ergebnisse haben:
# Waage geht links herunter: Dann wissen wir, dass ''entweder'' unter den linken vier Kugeln die eine schwerere ist ''oder'' unter den rechten vier die eine leichtere.
# Waage geht rechts herunter: Entweder ist unter den vier rechts die schwerere; oder links die leichtere.
# Waage bleibt im Gleichgewicht: Unter den vier neben der Waage ist die abweichende.
Statt weiterhin so lange Texte zu schreiben, müssen wir das kürzer hinschreiben können - nach dem alten Mathematikerspruch: "''Die richtige Notation ist die halbe Lösung''". Ich verwende einmal die folgenden Buchstaben:
* Wenn eine Kugel nur mehr eine schwerere sein kann (aber vielleicht auch eine der 11 gleich schweren - ich nenne die "normal"), dann soll dafür der Buchstabe S stehen; 
* wenn sie nur eine leichtere oder eine normale sein kann, dann steht dafür L;
* und wenn sie schwerer oder leichter oder normal sein kann, dann wird das mit X gekennzeichnet.
* Wenn eine Kugel schließlich sicher "normal" ist, dann wird sie mit N bezeichnet.
Die drei Möglichkeiten oben ergeben also:
# SSSS + LLLL / NNNN (durch + trenne ich die beiden Gruppen, die auf der Waage liegen; nach dem / stehen die Kugeln, die neben der Waage liegen und die uns "gerade noch interessieren").
# LLLL + SSSS / NNNN
# NNNN + NNNN / XXXX
Wir kümmern uns einmal um den dritten Fall - er sieht irgendwie leichter aus, weil wir nur mehr vier Kugeln betrachten müssen ... von denen wir allerdings praktisch nichts wissen! Aber probieren wir einmal: Wir legen links zwei der X-Kugeln, rechts die zwei anderen. Dann haben wir folgende möglichen Ergebnisse:
# links runter: SS + LL
# rechts runter: LL + SS
# Gleichgewicht: kann nicht sein (weil wir ja aus der ersten Wägung wissen, dass eine der vier die abweichende sein muss!).
Im ersten Fall gibt es noch immer ''vier'' mögliche Lösungen (eine der zwei S ist die schwerere; oder eine der beiden L ist die leichtere). Die eine letzte Wägung kann aber nur ''drei'' Möglichkeiten unterscheiden - damit ist die Aufteilung 2+2 nicht ok. Also dann 1+1, mit folgenden Ergebnissen:
# links runter: S + L / NN
# rechts runter: L + S / NN
# Gleichgewicht: N + N / XX
Den ersten und zweiten Fall könnten wir lösen: Im ersten Fall müssen wir nur die S-Kugeln mit einer N-Kugel vergleichen - wenn Gleichgewicht, dann ist die (danebenliegende) L-Kugel die leichtere, wenn S-Kugel nach unten geht, ist sie die schwerere. Aber im dritten Fall bleiben mit den XX ''vier'' Möglichkeiten übrig, die wir wieder mit den ''drei'' möglichen Ergebnissen einer Wägung nicht lösen können. Wir brauchen eine "schrägere Idee".

Hier ist sie: 2+1! Das geht natürlich nicht direkt (siehe Erklärung ganz am Anfang), aber wir können rechts eine weitere N-Kugel dazulegen. Wir legen also hin: XX + XN / X (die vierte X liegt auf der Seite) und haben nur folgende Fälle:
# links runter: SS + LN / N (entweder eine der schwereren zieht links runter; oder rechts ist die leichtere)
# rechts runter: LL + SN / N
# Gleichgewicht: NN + NN / X
Wir haben nur mehr eine Wägung frei - aber das könnte sich nun ausgehen!

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach NNNN+NNNN/XXXX - die "AAB-Konfiguration" ==
Der dritte Fall aus der vorherigen Wägung ist leicht: Wir vergleichen die danebenliegende Kugel (die ja sicher die gesuchte sein muss! - alle anderen sind nun als N bewiesen) mit einer beliebigen N-Kugel, mit folgenden Ergebnissen: 
# links runter: S + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: L + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist leichter.
# Gleichgewicht: unmöglich
Was tun wir mit den anderen beiden Fällen aus der vorherigen Wägung? Aus der ersten Wägung erhalten wir drei Kugeln, von denen wir wissen, dass sie SSL sind: Also entweder ist die erste oder die zweite die zu schwere, oder die dritte die zu leichte. Es gibt mehrere Arten, mit einer Wägung die richtige zu finden - hier ist eine: Man legt die beiden S auf die Waage und erhält dann:
# links runter: S + N --&gt; die linke ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: N + S --&gt; die rechte ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# Gleichgewicht: N + N --&gt; die danebenliegende  ist die gesuchte, und sie ist leichter.
Wenn wir bei der zweiten Wägung den zweiten Fall hatten (LL+SN/N), dann können wir mit den drei LLS-Kugeln dasselbe Spiel spielen: L+L vergleichen - wo's raufgeht, ist die gesuchte, und sie ist leichter; bei Gleichgewicht ist's die danebenliegende, und sie ist schwerer.

Die beiden Fälle haben ein gleichartiges Muster: Aus zwei gleich markierten Kugeln (SS oder LL) und einer dritten, die ebenfalls schon mit S oder L markiert ist, kann man mit einer Wägung die Lösung finden ... ich nenne das eine AAB-Konfiguration, die uns hoffentlich bei dem komplizierteren SSSS+LLLL/NNNN-Fall aus der ersten Wägung weiterhilft!

== Die zweite und dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
In diesem Fall wissen wir, dass links vier S-Kugeln liegen, rechts vier L-Kugeln. Wie weiter? Wenn wir schnell zu einer AAB-Konfiguration kommen, dann würden wir für viele Fälle die Lösung mit einer weiteren Wägung haben! Also probieren wir's ... nach einigem Herumprobieren bin ich auf folgendes gekommen: Man wiegt SSL + SSL / LL, mit folgenden Ergebnissen: 
# Waage geht links herunter: Entweder ist eine der beiden linken SS die gesuchte (und schwerer), oder die rechte L ist die gesuchte (und leichter). Man hat also drei Kugeln als SSL identifiziert, also eine AAB-Konfiguration gefunden! 
# Wenn die Waage rechts heruntergeht, dann hat man die anderen SSL als AAB identifiziert. 
# Und bei Gleichgewicht schließlich hat man die beiden LL als mögliche Lösungen identifiziert. Man kann sie direkt  gegeneinander wiegen - wo's raufgeht, liegt die gesuchte leichtere. Man kann aber auch, "mathematiker-artig", eine N dazulegen und hat dann diesen Fall "auf eine AAB-Konfiguration" zurückgeführt ... das macht hier keinen Unterschied, hilft uns aber vielleicht bei anderen Problemen später! 
In allen drei Fällen ist man also bei AAB angelangt - man findet dann also mit einer einzigen weiteren (dritten) Wägung die gesuchte Kugel. 

Damit haben wir ein dynamisches Lösungsverfahren für das 12-Kugel-Problem gefunden! In Kürze - ich bezeichne die 12 Kugeln mit a,b,...,k,l: 

1. Wägung: abcd+efgh/ijkl 

'''Bei Gleichgewicht der ersten Wägung: ''' 

2. Wägung: ij+ka/l 

3. Wägung: Bei Gleichgewicht: l mit a, sonst ijk mit AAB-Konfiguration. 

'''Wenn erste Wägung links runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist SSL+SSL/LL 

Bei Gleichgewicht: ghi mit AAB-Konfiguration (LLN). 

Wenn links runter: abf ist SSL, also AAB-Konfiguration; wenn rechts unter: cde ist SSL, also AAB. 

'''Wenn erste Wägung rechts runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist LLS+LLS/S - ist symmetrisch zu "links runter". 

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
... ... kommt noch ... ...

== Ein statisches Verfahren ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...
[[Kategorie:Denksport Loesung]]</text>
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    <comment>/* Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren */</comment>
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    <text bytes="17308" xml:space="preserve">Es gibt zwar schon eine Lösung zum [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln Problem der Waage und der 12 Kugeln] - aber dort steht praktisch nichts mathematisch Interessantes: Nicht, wie man sie Lösung findet, nicht, welche weiteren ähnlichen Probleme man sich stellen kann ... ich versuche es hier, besser zu machen.

Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt, gibt es zwei Arten von Lösungen:
* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen (am Anfang drei, dann zwei, dann eine) immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jeder der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem sie links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 27 nicht weniger als 24 ist, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
Die erste Wägung kann drei Ergebnisse haben:
# Waage geht links herunter: Dann wissen wir, dass ''entweder'' unter den linken vier Kugeln die eine schwerere ist ''oder'' unter den rechten vier die eine leichtere.
# Waage geht rechts herunter: Entweder ist unter den vier rechts die schwerere; oder links die leichtere.
# Waage bleibt im Gleichgewicht: Unter den vier neben der Waage ist die abweichende.
Statt weiterhin so lange Texte zu schreiben, müssen wir das kürzer hinschreiben können - nach dem alten Mathematikerspruch: "''Die richtige Notation ist die halbe Lösung''". Ich verwende einmal die folgenden Buchstaben:
* Wenn eine Kugel nur mehr eine schwerere sein kann (aber vielleicht auch eine der 11 gleich schweren - ich nenne die "normal"), dann soll dafür der Buchstabe S stehen; 
* wenn sie nur eine leichtere oder eine normale sein kann, dann steht dafür L;
* und wenn sie schwerer oder leichter oder normal sein kann, dann wird das mit X gekennzeichnet.
* Wenn eine Kugel schließlich sicher "normal" ist, dann wird sie mit N bezeichnet.
Die drei Möglichkeiten oben ergeben also:
# SSSS + LLLL / NNNN (durch + trenne ich die beiden Gruppen, die auf der Waage liegen; nach dem / stehen die Kugeln, die neben der Waage liegen und die uns "gerade noch interessieren").
# LLLL + SSSS / NNNN
# NNNN + NNNN / XXXX
Wir kümmern uns einmal um den dritten Fall - er sieht irgendwie leichter aus, weil wir nur mehr vier Kugeln betrachten müssen ... von denen wir allerdings praktisch nichts wissen! Aber probieren wir einmal: Wir legen links zwei der X-Kugeln, rechts die zwei anderen. Dann haben wir folgende möglichen Ergebnisse:
# links runter: SS + LL
# rechts runter: LL + SS
# Gleichgewicht: kann nicht sein (weil wir ja aus der ersten Wägung wissen, dass eine der vier die abweichende sein muss!).
Im ersten Fall gibt es noch immer ''vier'' mögliche Lösungen (eine der zwei S ist die schwerere; oder eine der beiden L ist die leichtere). Die eine letzte Wägung kann aber nur ''drei'' Möglichkeiten unterscheiden - damit ist die Aufteilung 2+2 nicht ok. Also dann 1+1, mit folgenden Ergebnissen:
# links runter: S + L / NN
# rechts runter: L + S / NN
# Gleichgewicht: N + N / XX
Den ersten und zweiten Fall könnten wir lösen: Im ersten Fall müssen wir nur die S-Kugeln mit einer N-Kugel vergleichen - wenn Gleichgewicht, dann ist die (danebenliegende) L-Kugel die leichtere, wenn S-Kugel nach unten geht, ist sie die schwerere. Aber im dritten Fall bleiben mit den XX ''vier'' Möglichkeiten übrig, die wir wieder mit den ''drei'' möglichen Ergebnissen einer Wägung nicht lösen können. Wir brauchen eine "schrägere Idee".

Hier ist sie: 2+1! Das geht natürlich nicht direkt (siehe Erklärung ganz am Anfang), aber wir können rechts eine weitere N-Kugel dazulegen. Wir legen also hin: XX + XN / X (die vierte X liegt auf der Seite) und haben nur folgende Fälle:
# links runter: SS + LN / N (entweder eine der schwereren zieht links runter; oder rechts ist die leichtere)
# rechts runter: LL + SN / N
# Gleichgewicht: NN + NN / X
Wir haben nur mehr eine Wägung frei - aber das könnte sich nun ausgehen!

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach NNNN+NNNN/XXXX - die "AAB-Konfiguration" ==
Der dritte Fall aus der vorherigen Wägung ist leicht: Wir vergleichen die danebenliegende Kugel (die ja sicher die gesuchte sein muss! - alle anderen sind nun als N bewiesen) mit einer beliebigen N-Kugel, mit folgenden Ergebnissen: 
# links runter: S + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: L + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist leichter.
# Gleichgewicht: unmöglich
Was tun wir mit den anderen beiden Fällen aus der vorherigen Wägung? Aus der ersten Wägung erhalten wir drei Kugeln, von denen wir wissen, dass sie SSL sind: Also entweder ist die erste oder die zweite die zu schwere, oder die dritte die zu leichte. Es gibt mehrere Arten, mit einer Wägung die richtige zu finden - hier ist eine: Man legt die beiden S auf die Waage und erhält dann:
# links runter: S + N --&gt; die linke ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: N + S --&gt; die rechte ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# Gleichgewicht: N + N --&gt; die danebenliegende  ist die gesuchte, und sie ist leichter.
Wenn wir bei der zweiten Wägung den zweiten Fall hatten (LL+SN/N), dann können wir mit den drei LLS-Kugeln dasselbe Spiel spielen: L+L vergleichen - wo's raufgeht, ist die gesuchte, und sie ist leichter; bei Gleichgewicht ist's die danebenliegende, und sie ist schwerer.

Die beiden Fälle haben ein gleichartiges Muster: Aus zwei gleich markierten Kugeln (SS oder LL) und einer dritten, die ebenfalls schon mit S oder L markiert ist, kann man mit einer Wägung die Lösung finden ... ich nenne das eine AAB-Konfiguration, die uns hoffentlich bei dem komplizierteren SSSS+LLLL/NNNN-Fall aus der ersten Wägung weiterhilft!

== Die zweite und dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
In diesem Fall wissen wir, dass links vier S-Kugeln liegen, rechts vier L-Kugeln. Wie weiter? Wenn wir schnell zu einer AAB-Konfiguration kommen, dann würden wir für viele Fälle die Lösung mit einer weiteren Wägung haben! Also probieren wir's ... nach einigem Herumprobieren bin ich auf folgendes gekommen: Man wiegt SSL + SSL / LL, mit folgenden Ergebnissen: 
# Waage geht links herunter: Entweder ist eine der beiden linken SS die gesuchte (und schwerer), oder die rechte L ist die gesuchte (und leichter). Man hat also drei Kugeln als SSL identifiziert, also eine AAB-Konfiguration gefunden! 
# Wenn die Waage rechts heruntergeht, dann hat man die anderen SSL als AAB identifiziert. 
# Und bei Gleichgewicht schließlich hat man die beiden LL als mögliche Lösungen identifiziert. Man kann sie direkt  gegeneinander wiegen - wo's raufgeht, liegt die gesuchte leichtere. Man kann aber auch, "mathematiker-artig", eine N dazulegen und hat dann diesen Fall "auf eine AAB-Konfiguration" zurückgeführt ... das macht hier keinen Unterschied, hilft uns aber vielleicht bei anderen Problemen später! 
In allen drei Fällen ist man also bei AAB angelangt - man findet dann also mit einer einzigen weiteren (dritten) Wägung die gesuchte Kugel. 

Damit haben wir ein dynamisches Lösungsverfahren für das 12-Kugel-Problem gefunden! In Kürze - ich bezeichne die 12 Kugeln mit a,b,...,k,l: 

1. Wägung: abcd+efgh/ijkl 

'''Bei Gleichgewicht der ersten Wägung: ''' 

2. Wägung: ij+ka/l 

3. Wägung: Bei Gleichgewicht: l mit a, sonst ijk mit AAB-Konfiguration (ij+ka geht links runter: ijk=SSL; ij+ka geht rechts runter: ijk=LLS). 

'''Wenn erste Wägung links runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist SSL+SSL/LL 

Bei Gleichgewicht: ghi mit AAB-Konfiguration (LLN). 

Wenn links runter: abf ist SSL, also AAB-Konfiguration; wenn rechts unter: cde ist SSL, also AAB. 

'''Wenn erste Wägung rechts runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist LLS+LLS/S - ist symmetrisch zu "links runter". 

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
Bei dynamischen Verfahren wiegt man nur so wenige Kugeln, wie nötig sind. Es ist aber klar, dass man bei jeder Wägung links und rechts gleich viele N-Kugeln dazustapeln kann, ohne dass sich am Ergebnis was ändert. Was das bringen soll? Nun, man könnte die Wägungen, die man beim dynamischen Verfahren entweder/oder macht, nun ''zugleich'' machen! Und wenn man die Wägungen dabei immer gleich kombinieren kann, dann würde ein Verfahren herauskommen, wo man nicht verschiedene Gruppen je nach vorherigen Ergebnissen wiegt, sondern immer die gleichen - also ein statisches Verfahren!

Probieren wir das einmal: Die erste Wägung ist natürlich gleich - wir können ja, wie weiter oben ausgerechnet, nur mit einer 4+4-Wägung anfangen, und zu diesem Zeitpunkt ist es noch egal, welche Kugeln wir wählen. Die erste Wägung ist also abcd+defg/ijkl (mit den Bezeichnungen aus dem letzten Abschnitt).

Zweite Wägung: In den beiden Ungleichgewichtsfällen haben wir hier beim dynamischen Verfahren schon beide Male dasselbe ausgeführt, nämlich abe+cdf/gh - das war also schon ein "klein wenig statisch". Im Gleichgewichtsfall kommt nun noch ij+ka/l dazu ... aber das können wir nicht zugleich abwiegen, weil dann auf der a-Seite 4 Kugeln liegen, auf der anderen aber 5 - so geht das nicht. Was tun???

Wir schauen uns die zweite dynamische Wägung noch einmal an: Sie ist ja abe+cdf/gh und hat im ''Gleichgewichtsfall'' eine etwas "schmalere" nächste Wägung ergeben, nämlich nur mehr g+h. Wir könnten diese Wägung zu AAB "auffetten", sodass bei der zweiten Wägung weniger auf der Waage liegt = "Platz für ij+ka wird". Konkret:

Wir bauen unser dynamisches Verfahren so um, dass bei der zweiten Wägung abe+cdi/fgh gewogen wird (statt f nehmen wir also i, was sicher eine neutrale Kugel ist). Wenn die erste Wägung links nach unten ging, sind diese Kugeln SSL+SSN/LLL markiert. Was sind die möglichen Ergebnisse?
# links runter: abi=SSN ist AAB, was mit einer Wägung zu entscheiden ist.
# rechts runter: ecd=LSS, also ist cde AAB - ebenfalls mit einer Wägung zu entscheiden.
# Gleichgewicht: fgh=LLL, also AAB  - auch mit einer Wägung zu entscheiden.
Wenn die erste Wägung rechts nach unten ging, kommt symmetrisch auch raus, dass eine weitere Wägung reicht.

Nun aber können wir abe+cdi/fgh mit ka+ij/l (die umgedrehte zweite Wägung aus dem dynamischen Verfahren, wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war) kombinieren und erhalten als zweite Wägung:

abek+cdij/fghl

Wie gehen wir mit dem Ergebnis dieser Wägung um? Ungefähr so: Wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war, dann wissen wir ja, dass a...h alle neutral sind, daher haben wir eigentlich nur ak+ij/l gewogen und können dieselben Schlüsse ziehen wie beim dynamischen Verfahren. Wenn aber die erste Wägung nach links ging, dann waren ja sicher i...l neutral, wir haben also praktisch abe+cdi/fgh gewogen und können auch passenden Schlüsse ziehen. Und dasselbe geht auch, wenn die erste Wägung nach rechts ging.

Zwei Wägungen sind also schon "statisch" - wir brauchen noch die dritte. Dazu müssen wir einmal alle dritten Wägungen aus dem dynamischen Verfahren aufsammeln. Der Reihe nach sind das:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
* nocheinmal die drei letzten Wägungen, weil die Ergebnisse symmetrisch sind (a+b/i ist nun LLN statt SSN, kann aber mit der gleichen Wägung entschieden werden)
Direkt lassen sich diese Wägungen nicht kombinieren, weil i einmal verwogen werden muss (zweite Wägung), einmal auf der Seite liegen muss (dritte Wägung). Außerdem wir einmal a als neutrale Kugel verwendet, einmal zum Verwiegen. Mhm.

Eine Idee: AAB kann man nicht nur durch Verwiegen der zwei A-Kugeln entscheiden, sondern auch anders - allerdings nur, wenn A und B verschieden sind (also z.B. AAB=SSL): Dann kann man auf eine Seite SL legen, auf die andere NN. Wenn die Waage links runter geht, dann ist S die gesuchte (und schwerer), wenn sie rechts runtergeht, dann ist L die gesuchte (und leichter). Wir können also aus ijk=SSL oder LLS (siehe die Kurzbeschreibung im letzten Kapitel!) jk gegen zwei N-Kugeln verwiegen:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* &lt;u&gt;jk+nn/i&lt;/u&gt;
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Schaffen wir es, auf eine Seite vier Kugeln zu legen? Es geht sich nicht aus :-(

Das mit dem jk war vielleicht doch keine so gute Idee, weil nun eine Kugel mehr auf die Waage kam. Also zurück zur vorherigen Liste:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Können wir a+b/i "drehen", sodass i auf der Waage liegt? abi war ja SSN oder LLN, und hier könnten wir statt a+b auch gern a+i wiegen: Bei Gleichgewicht ist dann b die gesuchte! Also müsste als dritte Wägung auch eine Summe aus Folgendem funktionieren (die ersten zwei Wägungen habe ich schon passend umgedreht):
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* i+a/b
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Und als "Summe" erhalten wir:

Es sieht so aus, als hätten wir ein statisches Verfahren gefunden! - mit folgenden Wägungen (die Buchstaben habe ich jeweils aufsteigend sortiert):
* abcd+defg/ijkl
* abek+cdij/fghl
* cfil+adgj/behk
Schauen wir, ob es funktioniert, indem wir für alle möglichen Lösungen die Wäge-Ergebnisse aufschreiben - sie müssen sich alle unterscheiden:
{| class="article-table"
!
!
!
!
!
|-
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|-
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|
|-
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|}

== Ein statisches Verfahren ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...
[[Kategorie:Denksport Loesung]]</text>
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    <timestamp>2015-08-12T16:09:58Z</timestamp>
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      <username>77.164.20.161</username>
      <id>0</id>
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    <comment>/* Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="17554" xml:space="preserve">Es gibt zwar schon eine Lösung zum [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln Problem der Waage und der 12 Kugeln] - aber dort steht praktisch nichts mathematisch Interessantes: Nicht, wie man sie Lösung findet, nicht, welche weiteren ähnlichen Probleme man sich stellen kann ... ich versuche es hier, besser zu machen.

Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt, gibt es zwei Arten von Lösungen:
* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen (am Anfang drei, dann zwei, dann eine) immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jeder der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem sie links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 27 nicht weniger als 24 ist, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
Die erste Wägung kann drei Ergebnisse haben:
# Waage geht links herunter: Dann wissen wir, dass ''entweder'' unter den linken vier Kugeln die eine schwerere ist ''oder'' unter den rechten vier die eine leichtere.
# Waage geht rechts herunter: Entweder ist unter den vier rechts die schwerere; oder links die leichtere.
# Waage bleibt im Gleichgewicht: Unter den vier neben der Waage ist die abweichende.
Statt weiterhin so lange Texte zu schreiben, müssen wir das kürzer hinschreiben können - nach dem alten Mathematikerspruch: "''Die richtige Notation ist die halbe Lösung''". Ich verwende einmal die folgenden Buchstaben:
* Wenn eine Kugel nur mehr eine schwerere sein kann (aber vielleicht auch eine der 11 gleich schweren - ich nenne die "normal"), dann soll dafür der Buchstabe S stehen; 
* wenn sie nur eine leichtere oder eine normale sein kann, dann steht dafür L;
* und wenn sie schwerer oder leichter oder normal sein kann, dann wird das mit X gekennzeichnet.
* Wenn eine Kugel schließlich sicher "normal" ist, dann wird sie mit N bezeichnet.
Die drei Möglichkeiten oben ergeben also:
# SSSS + LLLL / NNNN (durch + trenne ich die beiden Gruppen, die auf der Waage liegen; nach dem / stehen die Kugeln, die neben der Waage liegen und die uns "gerade noch interessieren").
# LLLL + SSSS / NNNN
# NNNN + NNNN / XXXX
Wir kümmern uns einmal um den dritten Fall - er sieht irgendwie leichter aus, weil wir nur mehr vier Kugeln betrachten müssen ... von denen wir allerdings praktisch nichts wissen! Aber probieren wir einmal: Wir legen links zwei der X-Kugeln, rechts die zwei anderen. Dann haben wir folgende möglichen Ergebnisse:
# links runter: SS + LL
# rechts runter: LL + SS
# Gleichgewicht: kann nicht sein (weil wir ja aus der ersten Wägung wissen, dass eine der vier die abweichende sein muss!).
Im ersten Fall gibt es noch immer ''vier'' mögliche Lösungen (eine der zwei S ist die schwerere; oder eine der beiden L ist die leichtere). Die eine letzte Wägung kann aber nur ''drei'' Möglichkeiten unterscheiden - damit ist die Aufteilung 2+2 nicht ok. Also dann 1+1, mit folgenden Ergebnissen:
# links runter: S + L / NN
# rechts runter: L + S / NN
# Gleichgewicht: N + N / XX
Den ersten und zweiten Fall könnten wir lösen: Im ersten Fall müssen wir nur die S-Kugeln mit einer N-Kugel vergleichen - wenn Gleichgewicht, dann ist die (danebenliegende) L-Kugel die leichtere, wenn S-Kugel nach unten geht, ist sie die schwerere. Aber im dritten Fall bleiben mit den XX ''vier'' Möglichkeiten übrig, die wir wieder mit den ''drei'' möglichen Ergebnissen einer Wägung nicht lösen können. Wir brauchen eine "schrägere Idee".

Hier ist sie: 2+1! Das geht natürlich nicht direkt (siehe Erklärung ganz am Anfang), aber wir können rechts eine weitere N-Kugel dazulegen. Wir legen also hin: XX + XN / X (die vierte X liegt auf der Seite) und haben nur folgende Fälle:
# links runter: SS + LN / N (entweder eine der schwereren zieht links runter; oder rechts ist die leichtere)
# rechts runter: LL + SN / N
# Gleichgewicht: NN + NN / X
Wir haben nur mehr eine Wägung frei - aber das könnte sich nun ausgehen!

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach NNNN+NNNN/XXXX - die "AAB-Konfiguration" ==
Der dritte Fall aus der vorherigen Wägung ist leicht: Wir vergleichen die danebenliegende Kugel (die ja sicher die gesuchte sein muss! - alle anderen sind nun als N bewiesen) mit einer beliebigen N-Kugel, mit folgenden Ergebnissen: 
# links runter: S + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: L + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist leichter.
# Gleichgewicht: unmöglich
Was tun wir mit den anderen beiden Fällen aus der vorherigen Wägung? Aus der ersten Wägung erhalten wir drei Kugeln, von denen wir wissen, dass sie SSL sind: Also entweder ist die erste oder die zweite die zu schwere, oder die dritte die zu leichte. Es gibt mehrere Arten, mit einer Wägung die richtige zu finden - hier ist eine: Man legt die beiden S auf die Waage und erhält dann:
# links runter: S + N --&gt; die linke ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: N + S --&gt; die rechte ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# Gleichgewicht: N + N --&gt; die danebenliegende  ist die gesuchte, und sie ist leichter.
Wenn wir bei der zweiten Wägung den zweiten Fall hatten (LL+SN/N), dann können wir mit den drei LLS-Kugeln dasselbe Spiel spielen: L+L vergleichen - wo's raufgeht, ist die gesuchte, und sie ist leichter; bei Gleichgewicht ist's die danebenliegende, und sie ist schwerer.

Die beiden Fälle haben ein gleichartiges Muster: Aus zwei gleich markierten Kugeln (SS oder LL) und einer dritten, die ebenfalls schon mit S oder L markiert ist, kann man mit einer Wägung die Lösung finden ... ich nenne das eine AAB-Konfiguration, die uns hoffentlich bei dem komplizierteren SSSS+LLLL/NNNN-Fall aus der ersten Wägung weiterhilft!

== Die zweite und dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
In diesem Fall wissen wir, dass links vier S-Kugeln liegen, rechts vier L-Kugeln. Wie weiter? Wenn wir schnell zu einer AAB-Konfiguration kommen, dann würden wir für viele Fälle die Lösung mit einer weiteren Wägung haben! Also probieren wir's ... nach einigem Herumprobieren bin ich auf folgendes gekommen: Man wiegt SSL + SSL / LL, mit folgenden Ergebnissen: 
# Waage geht links herunter: Entweder ist eine der beiden linken SS die gesuchte (und schwerer), oder die rechte L ist die gesuchte (und leichter). Man hat also drei Kugeln als SSL identifiziert, also eine AAB-Konfiguration gefunden! 
# Wenn die Waage rechts heruntergeht, dann hat man die anderen SSL als AAB identifiziert. 
# Und bei Gleichgewicht schließlich hat man die beiden LL als mögliche Lösungen identifiziert. Man kann sie direkt  gegeneinander wiegen - wo's raufgeht, liegt die gesuchte leichtere. Man kann aber auch, "mathematiker-artig", eine N dazulegen und hat dann diesen Fall "auf eine AAB-Konfiguration" zurückgeführt ... das macht hier keinen Unterschied, hilft uns aber vielleicht bei anderen Problemen später! 
In allen drei Fällen ist man also bei AAB angelangt - man findet dann also mit einer einzigen weiteren (dritten) Wägung die gesuchte Kugel. 

Damit haben wir ein dynamisches Lösungsverfahren für das 12-Kugel-Problem gefunden! In Kürze - ich bezeichne die 12 Kugeln mit a,b,...,k,l: 

1. Wägung: abcd+efgh/ijkl 

'''Bei Gleichgewicht der ersten Wägung: ''' 

2. Wägung: ij+ka/l 

3. Wägung: Bei Gleichgewicht: l mit a, sonst ijk mit AAB-Konfiguration (ij+ka geht links runter: ijk=SSL; ij+ka geht rechts runter: ijk=LLS). 

'''Wenn erste Wägung links runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist SSL+SSL/LL 

Bei Gleichgewicht: ghi mit AAB-Konfiguration (LLN). 

Wenn links runter: abf ist SSL, also AAB-Konfiguration; wenn rechts unter: cde ist SSL, also AAB. 

'''Wenn erste Wägung rechts runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist LLS+LLS/S - ist symmetrisch zu "links runter". 

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
Bei dynamischen Verfahren wiegt man nur so wenige Kugeln, wie nötig sind. Es ist aber klar, dass man bei jeder Wägung links und rechts gleich viele N-Kugeln dazustapeln kann, ohne dass sich am Ergebnis was ändert. Was das bringen soll? Nun, man könnte die Wägungen, die man beim dynamischen Verfahren entweder/oder macht, nun ''zugleich'' machen! Und wenn man die Wägungen dabei immer gleich kombinieren kann, dann würde ein Verfahren herauskommen, wo man nicht verschiedene Gruppen je nach vorherigen Ergebnissen wiegt, sondern immer die gleichen - also ein statisches Verfahren!

Probieren wir das einmal: Die erste Wägung ist natürlich gleich - wir können ja, wie weiter oben ausgerechnet, nur mit einer 4+4-Wägung anfangen, und zu diesem Zeitpunkt ist es noch egal, welche Kugeln wir wählen. Die erste Wägung ist also abcd+efgh/ijkl (mit den Bezeichnungen aus dem letzten Abschnitt).

Zweite Wägung: In den beiden Ungleichgewichtsfällen haben wir hier beim dynamischen Verfahren schon beide Male dasselbe ausgeführt, nämlich abe+cdf/gh - das war also schon ein "klein wenig statisch". Im Gleichgewichtsfall kommt nun noch ij+ka/l dazu ... aber das können wir nicht zugleich abwiegen, weil dann auf der a-Seite 4 Kugeln liegen, auf der anderen aber 5 - so geht das nicht. Was tun???

Wir schauen uns die zweite dynamische Wägung noch einmal an: Sie ist ja abe+cdf/gh und hat im ''Gleichgewichtsfall'' eine etwas "schmalere" nächste Wägung ergeben, nämlich nur mehr g+h. Wir könnten diese Wägung zu AAB "auffetten", sodass bei der zweiten Wägung weniger auf der Waage liegt = "Platz für ij+ka wird". Konkret:

Wir bauen unser dynamisches Verfahren so um, dass bei der zweiten Wägung abe+cdi/fgh gewogen wird (statt f nehmen wir also i, was sicher eine neutrale Kugel ist). Wenn die erste Wägung links nach unten ging, sind diese Kugeln SSL+SSN/LLL markiert. Was sind die möglichen Ergebnisse?
# links runter: abi=SSN ist AAB, was mit einer Wägung zu entscheiden ist.
# rechts runter: ecd=LSS, also ist cde AAB - ebenfalls mit einer Wägung zu entscheiden.
# Gleichgewicht: fgh=LLL, also AAB  - auch mit einer Wägung zu entscheiden.
Wenn die erste Wägung rechts nach unten ging, kommt symmetrisch auch raus, dass eine weitere Wägung reicht.

Nun aber können wir abe+cdi/fgh mit ka+ij/l (die umgedrehte zweite Wägung aus dem dynamischen Verfahren, wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war) kombinieren und erhalten als zweite Wägung:

abek+cdij/fghl

Wie gehen wir mit dem Ergebnis dieser Wägung um? Ungefähr so: Wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war, dann wissen wir ja, dass a...h alle neutral sind, daher haben wir eigentlich nur ak+ij/l gewogen und können dieselben Schlüsse ziehen wie beim dynamischen Verfahren. Wenn aber die erste Wägung nach links ging, dann waren ja sicher i...l neutral, wir haben also praktisch abe+cdi/fgh gewogen und können auch passenden Schlüsse ziehen. Und dasselbe geht auch, wenn die erste Wägung nach rechts ging.

Zwei Wägungen sind also schon "statisch" - wir brauchen noch die dritte. Dazu müssen wir einmal alle dritten Wägungen aus dem dynamischen Verfahren aufsammeln. Der Reihe nach sind das:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
* nocheinmal die drei letzten Wägungen, weil die Ergebnisse symmetrisch sind (a+b/i ist nun LLN statt SSN, kann aber mit der gleichen Wägung entschieden werden)
Direkt lassen sich diese Wägungen nicht kombinieren, weil i einmal verwogen werden muss (zweite Wägung), einmal auf der Seite liegen muss (dritte Wägung). Außerdem wir einmal a als neutrale Kugel verwendet, einmal zum Verwiegen. Mhm.

Eine Idee: AAB kann man nicht nur durch Verwiegen der zwei A-Kugeln entscheiden, sondern auch anders - allerdings nur, wenn A und B verschieden sind (also z.B. AAB=SSL): Dann kann man auf eine Seite SL legen, auf die andere NN. Wenn die Waage links runter geht, dann ist S die gesuchte (und schwerer), wenn sie rechts runtergeht, dann ist L die gesuchte (und leichter). Wir können also aus ijk=SSL oder LLS (siehe die Kurzbeschreibung im letzten Kapitel!) jk gegen zwei N-Kugeln verwiegen:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* &lt;u&gt;jk+nn/i&lt;/u&gt;
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Schaffen wir es, auf eine Seite vier Kugeln zu legen? Es geht sich nicht aus :-(

Das mit dem jk war vielleicht doch keine so gute Idee, weil nun eine Kugel mehr auf die Waage kam. Also zurück zur vorherigen Liste:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Können wir a+b/i "drehen", sodass i auf der Waage liegt? abi war ja SSN oder LLN, und hier könnten wir statt a+b auch gern a+i wiegen: Bei Gleichgewicht ist dann b die gesuchte! Also müsste als dritte Wägung auch eine Summe aus Folgendem funktionieren (die ersten zwei Wägungen habe ich schon passend umgedreht):
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* i+a/b
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Und als "Summe" erhalten wir:

Es sieht so aus, als hätten wir ein statisches Verfahren gefunden! - mit folgenden Wägungen (die Buchstaben habe ich jeweils aufsteigend sortiert):
* abcd+efgh/ijkl
* abek+cdij/fghl
* cfil+adgj/behk
Schauen wir, ob es funktioniert, indem wir für alle möglichen Lösungen die Wäge-Ergebnisse aufschreiben - sie müssen sich alle unterscheiden! L bedeutet hier "Waage snkt sich links", R "Waage senkt sich rechts", = "Waage bleibt im Gleichgewicht":
{| class="article-table"
!
!a
!b
!c
!d
!e
!f
!g
!h
!i
!j
!k
!l
!
|-
|schwerer
|LLR
|LL=
|LRL
|LRR
|RL=
|R=L
|R=R
|R==
|=RL
|=RR
|=L=
|==L
|
|-
|leichter
|RRL
|RR=
|RLR
|RLL
|LR=
|L=R
|L=L
|L==
|=LR
|=LL
|=R=
|==R
|
|}

== Ein statisches Verfahren ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...
[[Kategorie:Denksport Loesung]]</text>
    <sha1>14a87c1a08edc159c1325b788d24ea71e7d50c85</sha1>
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    <timestamp>2015-08-12T16:13:53Z</timestamp>
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      <username>77.164.20.161</username>
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    <comment>/* Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="17969" xml:space="preserve">Es gibt zwar schon eine Lösung zum [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln Problem der Waage und der 12 Kugeln] - aber dort steht praktisch nichts mathematisch Interessantes: Nicht, wie man sie Lösung findet, nicht, welche weiteren ähnlichen Probleme man sich stellen kann ... ich versuche es hier, besser zu machen.

Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt, gibt es zwei Arten von Lösungen:
* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen (am Anfang drei, dann zwei, dann eine) immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jeder der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem sie links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 27 nicht weniger als 24 ist, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
Die erste Wägung kann drei Ergebnisse haben:
# Waage geht links herunter: Dann wissen wir, dass ''entweder'' unter den linken vier Kugeln die eine schwerere ist ''oder'' unter den rechten vier die eine leichtere.
# Waage geht rechts herunter: Entweder ist unter den vier rechts die schwerere; oder links die leichtere.
# Waage bleibt im Gleichgewicht: Unter den vier neben der Waage ist die abweichende.
Statt weiterhin so lange Texte zu schreiben, müssen wir das kürzer hinschreiben können - nach dem alten Mathematikerspruch: "''Die richtige Notation ist die halbe Lösung''". Ich verwende einmal die folgenden Buchstaben:
* Wenn eine Kugel nur mehr eine schwerere sein kann (aber vielleicht auch eine der 11 gleich schweren - ich nenne die "normal"), dann soll dafür der Buchstabe S stehen; 
* wenn sie nur eine leichtere oder eine normale sein kann, dann steht dafür L;
* und wenn sie schwerer oder leichter oder normal sein kann, dann wird das mit X gekennzeichnet.
* Wenn eine Kugel schließlich sicher "normal" ist, dann wird sie mit N bezeichnet.
Die drei Möglichkeiten oben ergeben also:
# SSSS + LLLL / NNNN (durch + trenne ich die beiden Gruppen, die auf der Waage liegen; nach dem / stehen die Kugeln, die neben der Waage liegen und die uns "gerade noch interessieren").
# LLLL + SSSS / NNNN
# NNNN + NNNN / XXXX
Wir kümmern uns einmal um den dritten Fall - er sieht irgendwie leichter aus, weil wir nur mehr vier Kugeln betrachten müssen ... von denen wir allerdings praktisch nichts wissen! Aber probieren wir einmal: Wir legen links zwei der X-Kugeln, rechts die zwei anderen. Dann haben wir folgende möglichen Ergebnisse:
# links runter: SS + LL
# rechts runter: LL + SS
# Gleichgewicht: kann nicht sein (weil wir ja aus der ersten Wägung wissen, dass eine der vier die abweichende sein muss!).
Im ersten Fall gibt es noch immer ''vier'' mögliche Lösungen (eine der zwei S ist die schwerere; oder eine der beiden L ist die leichtere). Die eine letzte Wägung kann aber nur ''drei'' Möglichkeiten unterscheiden - damit ist die Aufteilung 2+2 nicht ok. Also dann 1+1, mit folgenden Ergebnissen:
# links runter: S + L / NN
# rechts runter: L + S / NN
# Gleichgewicht: N + N / XX
Den ersten und zweiten Fall könnten wir lösen: Im ersten Fall müssen wir nur die S-Kugeln mit einer N-Kugel vergleichen - wenn Gleichgewicht, dann ist die (danebenliegende) L-Kugel die leichtere, wenn S-Kugel nach unten geht, ist sie die schwerere. Aber im dritten Fall bleiben mit den XX ''vier'' Möglichkeiten übrig, die wir wieder mit den ''drei'' möglichen Ergebnissen einer Wägung nicht lösen können. Wir brauchen eine "schrägere Idee".

Hier ist sie: 2+1! Das geht natürlich nicht direkt (siehe Erklärung ganz am Anfang), aber wir können rechts eine weitere N-Kugel dazulegen. Wir legen also hin: XX + XN / X (die vierte X liegt auf der Seite) und haben nur folgende Fälle:
# links runter: SS + LN / N (entweder eine der schwereren zieht links runter; oder rechts ist die leichtere)
# rechts runter: LL + SN / N
# Gleichgewicht: NN + NN / X
Wir haben nur mehr eine Wägung frei - aber das könnte sich nun ausgehen!

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach NNNN+NNNN/XXXX - die "AAB-Konfiguration" ==
Der dritte Fall aus der vorherigen Wägung ist leicht: Wir vergleichen die danebenliegende Kugel (die ja sicher die gesuchte sein muss! - alle anderen sind nun als N bewiesen) mit einer beliebigen N-Kugel, mit folgenden Ergebnissen: 
# links runter: S + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: L + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist leichter.
# Gleichgewicht: unmöglich
Was tun wir mit den anderen beiden Fällen aus der vorherigen Wägung? Aus der ersten Wägung erhalten wir drei Kugeln, von denen wir wissen, dass sie SSL sind: Also entweder ist die erste oder die zweite die zu schwere, oder die dritte die zu leichte. Es gibt mehrere Arten, mit einer Wägung die richtige zu finden - hier ist eine: Man legt die beiden S auf die Waage und erhält dann:
# links runter: S + N --&gt; die linke ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: N + S --&gt; die rechte ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# Gleichgewicht: N + N --&gt; die danebenliegende  ist die gesuchte, und sie ist leichter.
Wenn wir bei der zweiten Wägung den zweiten Fall hatten (LL+SN/N), dann können wir mit den drei LLS-Kugeln dasselbe Spiel spielen: L+L vergleichen - wo's raufgeht, ist die gesuchte, und sie ist leichter; bei Gleichgewicht ist's die danebenliegende, und sie ist schwerer.

Die beiden Fälle haben ein gleichartiges Muster: Aus zwei gleich markierten Kugeln (SS oder LL) und einer dritten, die ebenfalls schon mit S oder L markiert ist, kann man mit einer Wägung die Lösung finden ... ich nenne das eine AAB-Konfiguration, die uns hoffentlich bei dem komplizierteren SSSS+LLLL/NNNN-Fall aus der ersten Wägung weiterhilft!

== Die zweite und dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
In diesem Fall wissen wir, dass links vier S-Kugeln liegen, rechts vier L-Kugeln. Wie weiter? Wenn wir schnell zu einer AAB-Konfiguration kommen, dann würden wir für viele Fälle die Lösung mit einer weiteren Wägung haben! Also probieren wir's ... nach einigem Herumprobieren bin ich auf folgendes gekommen: Man wiegt SSL + SSL / LL, mit folgenden Ergebnissen: 
# Waage geht links herunter: Entweder ist eine der beiden linken SS die gesuchte (und schwerer), oder die rechte L ist die gesuchte (und leichter). Man hat also drei Kugeln als SSL identifiziert, also eine AAB-Konfiguration gefunden! 
# Wenn die Waage rechts heruntergeht, dann hat man die anderen SSL als AAB identifiziert. 
# Und bei Gleichgewicht schließlich hat man die beiden LL als mögliche Lösungen identifiziert. Man kann sie direkt  gegeneinander wiegen - wo's raufgeht, liegt die gesuchte leichtere. Man kann aber auch, "mathematiker-artig", eine N dazulegen und hat dann diesen Fall "auf eine AAB-Konfiguration" zurückgeführt ... das macht hier keinen Unterschied, hilft uns aber vielleicht bei anderen Problemen später! 
In allen drei Fällen ist man also bei AAB angelangt - man findet dann also mit einer einzigen weiteren (dritten) Wägung die gesuchte Kugel. 

Damit haben wir ein dynamisches Lösungsverfahren für das 12-Kugel-Problem gefunden! In Kürze - ich bezeichne die 12 Kugeln mit a,b,...,k,l: 

1. Wägung: abcd+efgh/ijkl 

'''Bei Gleichgewicht der ersten Wägung: ''' 

2. Wägung: ij+ka/l 

3. Wägung: Bei Gleichgewicht: l mit a, sonst ijk mit AAB-Konfiguration (ij+ka geht links runter: ijk=SSL; ij+ka geht rechts runter: ijk=LLS). 

'''Wenn erste Wägung links runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist SSL+SSL/LL 

Bei Gleichgewicht: ghi mit AAB-Konfiguration (LLN). 

Wenn links runter: abf ist SSL, also AAB-Konfiguration; wenn rechts unter: cde ist SSL, also AAB. 

'''Wenn erste Wägung rechts runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist LLS+LLS/S - ist symmetrisch zu "links runter". 

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
Bei dynamischen Verfahren wiegt man nur so wenige Kugeln, wie nötig sind. Es ist aber klar, dass man bei jeder Wägung links und rechts gleich viele N-Kugeln dazustapeln kann, ohne dass sich am Ergebnis was ändert. Was das bringen soll? Nun, man könnte die Wägungen, die man beim dynamischen Verfahren entweder/oder macht, nun ''zugleich'' machen! Und wenn man die Wägungen dabei immer gleich kombinieren kann, dann würde ein Verfahren herauskommen, wo man nicht verschiedene Gruppen je nach vorherigen Ergebnissen wiegt, sondern immer die gleichen - also ein statisches Verfahren!

Probieren wir das einmal: Die erste Wägung ist natürlich gleich - wir können ja, wie weiter oben ausgerechnet, nur mit einer 4+4-Wägung anfangen, und zu diesem Zeitpunkt ist es noch egal, welche Kugeln wir wählen. Die erste Wägung ist also abcd+efgh/ijkl (mit den Bezeichnungen aus dem letzten Abschnitt).

Zweite Wägung: In den beiden Ungleichgewichtsfällen haben wir hier beim dynamischen Verfahren schon beide Male dasselbe ausgeführt, nämlich abe+cdf/gh - das war also schon ein "klein wenig statisch". Im Gleichgewichtsfall kommt nun noch ij+ka/l dazu ... aber das können wir nicht zugleich abwiegen, weil dann auf der a-Seite 4 Kugeln liegen, auf der anderen aber 5 - so geht das nicht. Was tun???

Wir schauen uns die zweite dynamische Wägung noch einmal an: Sie ist ja abe+cdf/gh und hat im ''Gleichgewichtsfall'' eine etwas "schmalere" nächste Wägung ergeben, nämlich nur mehr g+h. Wir könnten diese Wägung zu AAB "auffetten", sodass bei der zweiten Wägung weniger auf der Waage liegt = "Platz für ij+ka wird". Konkret:

Wir bauen unser dynamisches Verfahren so um, dass bei der zweiten Wägung abe+cdi/fgh gewogen wird (statt f nehmen wir also i, was sicher eine neutrale Kugel ist). Wenn die erste Wägung links nach unten ging, sind diese Kugeln SSL+SSN/LLL markiert. Was sind die möglichen Ergebnisse?
# links runter: abi=SSN ist AAB, was mit einer Wägung zu entscheiden ist.
# rechts runter: ecd=LSS, also ist cde AAB - ebenfalls mit einer Wägung zu entscheiden.
# Gleichgewicht: fgh=LLL, also AAB  - auch mit einer Wägung zu entscheiden.
Wenn die erste Wägung rechts nach unten ging, kommt symmetrisch auch raus, dass eine weitere Wägung reicht.

Nun aber können wir abe+cdi/fgh mit ka+ij/l (die umgedrehte zweite Wägung aus dem dynamischen Verfahren, wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war) kombinieren und erhalten als zweite Wägung:

abek+cdij/fghl

Wie gehen wir mit dem Ergebnis dieser Wägung um? Ungefähr so: Wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war, dann wissen wir ja, dass a...h alle neutral sind, daher haben wir eigentlich nur ak+ij/l gewogen und können dieselben Schlüsse ziehen wie beim dynamischen Verfahren. Wenn aber die erste Wägung nach links ging, dann waren ja sicher i...l neutral, wir haben also praktisch abe+cdi/fgh gewogen und können auch passenden Schlüsse ziehen. Und dasselbe geht auch, wenn die erste Wägung nach rechts ging.

Zwei Wägungen sind also schon "statisch" - wir brauchen noch die dritte. Dazu müssen wir einmal alle dritten Wägungen aus dem dynamischen Verfahren aufsammeln. Der Reihe nach sind das:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
* nocheinmal die drei letzten Wägungen, weil die Ergebnisse symmetrisch sind (a+b/i ist nun LLN statt SSN, kann aber mit der gleichen Wägung entschieden werden)
Direkt lassen sich diese Wägungen nicht kombinieren, weil i einmal verwogen werden muss (zweite Wägung), einmal auf der Seite liegen muss (dritte Wägung). Außerdem wir einmal a als neutrale Kugel verwendet, einmal zum Verwiegen. Mhm.

Eine Idee: AAB kann man nicht nur durch Verwiegen der zwei A-Kugeln entscheiden, sondern auch anders - allerdings nur, wenn A und B verschieden sind (also z.B. AAB=SSL): Dann kann man auf eine Seite SL legen, auf die andere NN. Wenn die Waage links runter geht, dann ist S die gesuchte (und schwerer), wenn sie rechts runtergeht, dann ist L die gesuchte (und leichter). Wir können also aus ijk=SSL oder LLS (siehe die Kurzbeschreibung im letzten Kapitel!) jk gegen zwei N-Kugeln verwiegen:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* &lt;u&gt;jk+nn/i&lt;/u&gt;
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Schaffen wir es, auf eine Seite vier Kugeln zu legen? Es geht sich nicht aus :-(

Das mit dem jk war vielleicht doch keine so gute Idee, weil nun eine Kugel mehr auf die Waage kam. Also zurück zur vorherigen Liste:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Können wir a+b/i "drehen", sodass i auf der Waage liegt? abi war ja SSN oder LLN, und hier könnten wir statt a+b auch gern a+i wiegen: Bei Gleichgewicht ist dann b die gesuchte! Also müsste als dritte Wägung auch eine Summe aus Folgendem funktionieren (die ersten zwei Wägungen habe ich schon passend umgedreht):
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* i+a/b
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Und als "Summe" erhalten wir:

Es sieht so aus, als hätten wir ein statisches Verfahren gefunden! - mit folgenden Wägungen (die Buchstaben habe ich jeweils aufsteigend sortiert):
* abcd+efgh/ijkl
* abek+cdij/fghl
* cfil+adgj/behk
Schauen wir, ob es funktioniert, indem wir für alle möglichen Lösungen die Wäge-Ergebnisse aufschreiben - sie müssen sich alle unterscheiden! L bedeutet hier "Waage snkt sich links", R "Waage senkt sich rechts", = "Waage bleibt im Gleichgewicht":
{| class="article-table"
!
!a
!b
!c
!d
!e
!f
!g
!h
!i
!j
!k
!l
!
|-
|schwerer
|LLR
|LL=
|LRL
|LRR
|RL=
|R=L
|R=R
|R==
|=RL
|=RR
|=L=
|==L
|
|-
|leichter
|RRL
|RR=
|RLR
|RLL
|LR=
|L=R
|L=L
|L==
|=LR
|=LL
|=R=
|==R
|
|}
Tatsächlich!! - es hat funktioniert - alle Wägeergebnisse sind verschieden.

Ich höre hier mit den statischen Verfahren auf - manche Leute haben noch nette Tricks gefunden, wie man die drei Zeichen L, R und = als ternäre Ziffern interpretiert, sodass man sich nicht die Tabelle merken muss, sondern sich die Nummer der abweichenden Kugel aus dem Wägeergebnis als Zahl im Dreiersystem ausrechnen kann. Ein Beispiel dafür ist die andere Lösung, die hier angegeben ist.

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...

== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...
[[Kategorie:Denksport Loesung]]</text>
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    <text bytes="19336" xml:space="preserve">Es gibt zwar schon eine Lösung zum [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln Problem der Waage und der 12 Kugeln] - aber dort steht praktisch nichts mathematisch Interessantes: Nicht, wie man sie Lösung findet, nicht, welche weiteren ähnlichen Probleme man sich stellen kann ... ich versuche es hier, besser zu machen.

Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt, gibt es zwei Arten von Lösungen:
* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen (am Anfang drei, dann zwei, dann eine) immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jeder der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem sie links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 27 nicht weniger als 24 ist, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
Die erste Wägung kann drei Ergebnisse haben:
# Waage geht links herunter: Dann wissen wir, dass ''entweder'' unter den linken vier Kugeln die eine schwerere ist ''oder'' unter den rechten vier die eine leichtere.
# Waage geht rechts herunter: Entweder ist unter den vier rechts die schwerere; oder links die leichtere.
# Waage bleibt im Gleichgewicht: Unter den vier neben der Waage ist die abweichende.
Statt weiterhin so lange Texte zu schreiben, müssen wir das kürzer hinschreiben können - nach dem alten Mathematikerspruch: "''Die richtige Notation ist die halbe Lösung''". Ich verwende einmal die folgenden Buchstaben:
* Wenn eine Kugel nur mehr eine schwerere sein kann (aber vielleicht auch eine der 11 gleich schweren - ich nenne die "normal"), dann soll dafür der Buchstabe S stehen; 
* wenn sie nur eine leichtere oder eine normale sein kann, dann steht dafür L;
* und wenn sie schwerer oder leichter oder normal sein kann, dann wird das mit X gekennzeichnet.
* Wenn eine Kugel schließlich sicher "normal" ist, dann wird sie mit N bezeichnet.
Die drei Möglichkeiten oben ergeben also:
# SSSS + LLLL / NNNN (durch + trenne ich die beiden Gruppen, die auf der Waage liegen; nach dem / stehen die Kugeln, die neben der Waage liegen und die uns "gerade noch interessieren").
# LLLL + SSSS / NNNN
# NNNN + NNNN / XXXX
Wir kümmern uns einmal um den dritten Fall - er sieht irgendwie leichter aus, weil wir nur mehr vier Kugeln betrachten müssen ... von denen wir allerdings praktisch nichts wissen! Aber probieren wir einmal: Wir legen links zwei der X-Kugeln, rechts die zwei anderen. Dann haben wir folgende möglichen Ergebnisse:
# links runter: SS + LL
# rechts runter: LL + SS
# Gleichgewicht: kann nicht sein (weil wir ja aus der ersten Wägung wissen, dass eine der vier die abweichende sein muss!).
Im ersten Fall gibt es noch immer ''vier'' mögliche Lösungen (eine der zwei S ist die schwerere; oder eine der beiden L ist die leichtere). Die eine letzte Wägung kann aber nur ''drei'' Möglichkeiten unterscheiden - damit ist die Aufteilung 2+2 nicht ok. Also dann 1+1, mit folgenden Ergebnissen:
# links runter: S + L / NN
# rechts runter: L + S / NN
# Gleichgewicht: N + N / XX
Den ersten und zweiten Fall könnten wir lösen: Im ersten Fall müssen wir nur die S-Kugeln mit einer N-Kugel vergleichen - wenn Gleichgewicht, dann ist die (danebenliegende) L-Kugel die leichtere, wenn S-Kugel nach unten geht, ist sie die schwerere. Aber im dritten Fall bleiben mit den XX ''vier'' Möglichkeiten übrig, die wir wieder mit den ''drei'' möglichen Ergebnissen einer Wägung nicht lösen können. Wir brauchen eine "schrägere Idee".

Hier ist sie: 2+1! Das geht natürlich nicht direkt (siehe Erklärung ganz am Anfang), aber wir können rechts eine weitere N-Kugel dazulegen. Wir legen also hin: XX + XN / X (die vierte X liegt auf der Seite) und haben nur folgende Fälle:
# links runter: SS + LN / N (entweder eine der schwereren zieht links runter; oder rechts ist die leichtere)
# rechts runter: LL + SN / N
# Gleichgewicht: NN + NN / X
Wir haben nur mehr eine Wägung frei - aber das könnte sich nun ausgehen!

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach NNNN+NNNN/XXXX - die "AAB-Konfiguration" ==
Der dritte Fall aus der vorherigen Wägung ist leicht: Wir vergleichen die danebenliegende Kugel (die ja sicher die gesuchte sein muss! - alle anderen sind nun als N bewiesen) mit einer beliebigen N-Kugel, mit folgenden Ergebnissen: 
# links runter: S + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: L + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist leichter.
# Gleichgewicht: unmöglich
Was tun wir mit den anderen beiden Fällen aus der vorherigen Wägung? Aus der ersten Wägung erhalten wir drei Kugeln, von denen wir wissen, dass sie SSL sind: Also entweder ist die erste oder die zweite die zu schwere, oder die dritte die zu leichte. Es gibt mehrere Arten, mit einer Wägung die richtige zu finden - hier ist eine: Man legt die beiden S auf die Waage und erhält dann:
# links runter: S + N --&gt; die linke ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: N + S --&gt; die rechte ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# Gleichgewicht: N + N --&gt; die danebenliegende  ist die gesuchte, und sie ist leichter.
Wenn wir bei der zweiten Wägung den zweiten Fall hatten (LL+SN/N), dann können wir mit den drei LLS-Kugeln dasselbe Spiel spielen: L+L vergleichen - wo's raufgeht, ist die gesuchte, und sie ist leichter; bei Gleichgewicht ist's die danebenliegende, und sie ist schwerer.

Die beiden Fälle haben ein gleichartiges Muster: Aus zwei gleich markierten Kugeln (SS oder LL) und einer dritten, die ebenfalls schon mit S oder L markiert ist, kann man mit einer Wägung die Lösung finden ... ich nenne das eine AAB-Konfiguration, die uns hoffentlich bei dem komplizierteren SSSS+LLLL/NNNN-Fall aus der ersten Wägung weiterhilft!

== Die zweite und dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
In diesem Fall wissen wir, dass links vier S-Kugeln liegen, rechts vier L-Kugeln. Wie weiter? Wenn wir schnell zu einer AAB-Konfiguration kommen, dann würden wir für viele Fälle die Lösung mit einer weiteren Wägung haben! Also probieren wir's ... nach einigem Herumprobieren bin ich auf folgendes gekommen: Man wiegt SSL + SSL / LL, mit folgenden Ergebnissen: 
# Waage geht links herunter: Entweder ist eine der beiden linken SS die gesuchte (und schwerer), oder die rechte L ist die gesuchte (und leichter). Man hat also drei Kugeln als SSL identifiziert, also eine AAB-Konfiguration gefunden! 
# Wenn die Waage rechts heruntergeht, dann hat man die anderen SSL als AAB identifiziert. 
# Und bei Gleichgewicht schließlich hat man die beiden LL als mögliche Lösungen identifiziert. Man kann sie direkt  gegeneinander wiegen - wo's raufgeht, liegt die gesuchte leichtere. Man kann aber auch, "mathematiker-artig", eine N dazulegen und hat dann diesen Fall "auf eine AAB-Konfiguration" zurückgeführt ... das macht hier keinen Unterschied, hilft uns aber vielleicht bei anderen Problemen später! 
In allen drei Fällen ist man also bei AAB angelangt - man findet dann also mit einer einzigen weiteren (dritten) Wägung die gesuchte Kugel. 

Damit haben wir ein dynamisches Lösungsverfahren für das 12-Kugel-Problem gefunden! In Kürze - ich bezeichne die 12 Kugeln mit a,b,...,k,l: 

1. Wägung: abcd+efgh/ijkl 

'''Bei Gleichgewicht der ersten Wägung: ''' 

2. Wägung: ij+ka/l 

3. Wägung: Bei Gleichgewicht: l mit a, sonst ijk mit AAB-Konfiguration (ij+ka geht links runter: ijk=SSL; ij+ka geht rechts runter: ijk=LLS). 

'''Wenn erste Wägung links runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist SSL+SSL/LL 

Bei Gleichgewicht: ghi mit AAB-Konfiguration (LLN). 

Wenn links runter: abf ist SSL, also AAB-Konfiguration; wenn rechts unter: cde ist SSL, also AAB. 

'''Wenn erste Wägung rechts runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist LLS+LLS/S - ist symmetrisch zu "links runter". 

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
Bei dynamischen Verfahren wiegt man nur so wenige Kugeln, wie nötig sind. Es ist aber klar, dass man bei jeder Wägung links und rechts gleich viele N-Kugeln dazustapeln kann, ohne dass sich am Ergebnis was ändert. Was das bringen soll? Nun, man könnte die Wägungen, die man beim dynamischen Verfahren entweder/oder macht, nun ''zugleich'' machen! Und wenn man die Wägungen dabei immer gleich kombinieren kann, dann würde ein Verfahren herauskommen, wo man nicht verschiedene Gruppen je nach vorherigen Ergebnissen wiegt, sondern immer die gleichen - also ein statisches Verfahren!

Probieren wir das einmal: Die erste Wägung ist natürlich gleich - wir können ja, wie weiter oben ausgerechnet, nur mit einer 4+4-Wägung anfangen, und zu diesem Zeitpunkt ist es noch egal, welche Kugeln wir wählen. Die erste Wägung ist also abcd+efgh/ijkl (mit den Bezeichnungen aus dem letzten Abschnitt).

Zweite Wägung: In den beiden Ungleichgewichtsfällen haben wir hier beim dynamischen Verfahren schon beide Male dasselbe ausgeführt, nämlich abe+cdf/gh - das war also schon ein "klein wenig statisch". Im Gleichgewichtsfall kommt nun noch ij+ka/l dazu ... aber das können wir nicht zugleich abwiegen, weil dann auf der a-Seite 4 Kugeln liegen, auf der anderen aber 5 - so geht das nicht. Was tun???

Wir schauen uns die zweite dynamische Wägung noch einmal an: Sie ist ja abe+cdf/gh und hat im ''Gleichgewichtsfall'' eine etwas "schmalere" nächste Wägung ergeben, nämlich nur mehr g+h. Wir könnten diese Wägung zu AAB "auffetten", sodass bei der zweiten Wägung weniger auf der Waage liegt = "Platz für ij+ka wird". Konkret:

Wir bauen unser dynamisches Verfahren so um, dass bei der zweiten Wägung abe+cdi/fgh gewogen wird (statt f nehmen wir also i, was sicher eine neutrale Kugel ist). Wenn die erste Wägung links nach unten ging, sind diese Kugeln SSL+SSN/LLL markiert. Was sind die möglichen Ergebnisse?
# links runter: abi=SSN ist AAB, was mit einer Wägung zu entscheiden ist.
# rechts runter: ecd=LSS, also ist cde AAB - ebenfalls mit einer Wägung zu entscheiden.
# Gleichgewicht: fgh=LLL, also AAB  - auch mit einer Wägung zu entscheiden.
Wenn die erste Wägung rechts nach unten ging, kommt symmetrisch auch raus, dass eine weitere Wägung reicht.

Nun aber können wir abe+cdi/fgh mit ka+ij/l (die umgedrehte zweite Wägung aus dem dynamischen Verfahren, wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war) kombinieren und erhalten als zweite Wägung:

abek+cdij/fghl

Wie gehen wir mit dem Ergebnis dieser Wägung um? Ungefähr so: Wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war, dann wissen wir ja, dass a...h alle neutral sind, daher haben wir eigentlich nur ak+ij/l gewogen und können dieselben Schlüsse ziehen wie beim dynamischen Verfahren. Wenn aber die erste Wägung nach links ging, dann waren ja sicher i...l neutral, wir haben also praktisch abe+cdi/fgh gewogen und können auch passenden Schlüsse ziehen. Und dasselbe geht auch, wenn die erste Wägung nach rechts ging.

Zwei Wägungen sind also schon "statisch" - wir brauchen noch die dritte. Dazu müssen wir einmal alle dritten Wägungen aus dem dynamischen Verfahren aufsammeln. Der Reihe nach sind das:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
* nocheinmal die drei letzten Wägungen, weil die Ergebnisse symmetrisch sind (a+b/i ist nun LLN statt SSN, kann aber mit der gleichen Wägung entschieden werden)
Direkt lassen sich diese Wägungen nicht kombinieren, weil i einmal verwogen werden muss (zweite Wägung), einmal auf der Seite liegen muss (dritte Wägung). Außerdem wir einmal a als neutrale Kugel verwendet, einmal zum Verwiegen. Mhm.

Eine Idee: AAB kann man nicht nur durch Verwiegen der zwei A-Kugeln entscheiden, sondern auch anders - allerdings nur, wenn A und B verschieden sind (also z.B. AAB=SSL): Dann kann man auf eine Seite SL legen, auf die andere NN. Wenn die Waage links runter geht, dann ist S die gesuchte (und schwerer), wenn sie rechts runtergeht, dann ist L die gesuchte (und leichter). Wir können also aus ijk=SSL oder LLS (siehe die Kurzbeschreibung im letzten Kapitel!) jk gegen zwei N-Kugeln verwiegen:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* &lt;u&gt;jk+nn/i&lt;/u&gt;
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Schaffen wir es, auf eine Seite vier Kugeln zu legen? Es geht sich nicht aus :-(

Das mit dem jk war vielleicht doch keine so gute Idee, weil nun eine Kugel mehr auf die Waage kam. Also zurück zur vorherigen Liste:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Können wir a+b/i "drehen", sodass i auf der Waage liegt? abi war ja SSN oder LLN, und hier könnten wir statt a+b auch gern a+i wiegen: Bei Gleichgewicht ist dann b die gesuchte! Also müsste als dritte Wägung auch eine Summe aus Folgendem funktionieren (die ersten zwei Wägungen habe ich schon passend umgedreht):
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* i+a/b
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Und als "Summe" erhalten wir:

Es sieht so aus, als hätten wir ein statisches Verfahren gefunden! - mit folgenden Wägungen (die Buchstaben habe ich jeweils aufsteigend sortiert):
* abcd+efgh/ijkl
* abek+cdij/fghl
* cfil+adgj/behk
Schauen wir, ob es funktioniert, indem wir für alle möglichen Lösungen die Wäge-Ergebnisse aufschreiben - sie müssen sich alle unterscheiden! L bedeutet hier "Waage senkt sich links", R "Waage senkt sich rechts", = "Waage bleibt im Gleichgewicht":
{| class="article-table"
!
!a
!b
!c
!d
!e
!f
!g
!h
!i
!j
!k
!l
!
|-
|schwerer
|LLR
|LL=
|LRL
|LRR
|RL=
|R=L
|R=R
|R==
|=RL
|=RR
|=L=
|==L
|
|-
|leichter
|RRL
|RR=
|RLR
|RLL
|LR=
|L=R
|L=L
|L==
|=LR
|=LL
|=R=
|==R
|
|}
Tatsächlich!! - es hat funktioniert - alle Wägeergebnisse sind verschieden.

Ich höre hier mit den statischen Verfahren auf - manche Leute haben noch nette Tricks gefunden, wie man die drei Zeichen L, R und = als ternäre Ziffern interpretiert, sodass man sich nicht die Tabelle merken muss, sondern sich die Nummer der abweichenden Kugel aus dem Wägeergebnis als Zahl im Dreiersystem ausrechnen kann. Ein Beispiel dafür ist die andere Lösung, die [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln,_L%C3%B6sung hier] angegeben ist.

Ich schaue mir aber noch schnell das Problem für andere Zahlen von Wägungen an!

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
Keine. Tatsächlich. Warum?

Das mindeste, was man zum Verwiegen braucht, sind zwei Kugeln. Wenn man die aber beide auf die Waage legt und sie sich links senkt, dann weiß man nicht, ob die linke schwerer oder die rechte leichter ist! Auch rechnerisch kann man sich das überlegen: Eine Wägung kann drei Ergebnisse unterscheiden, bei zwei Kugeln gibt es aber schon vier Möglichkeiten (erste schwerer, erste leichter, zweite schwerer, zweite leichter). Allerdings ist auch bei zwei Kugeln das Rätsel nicht sinnvoll: Denn ist nun die erste schwerer oder die zweite leichter?

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
Zwei Wägungen können 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9 Fälle unterscheiden, also prinzipiell das Problem für 4 Kugeln lösen. Überlegen wir, wie man das machen kann:
* Entweder wiegt man zuerst ab+cd. Dann hat man z.B. bei Ausschlag der Waage nach links noch vier Fälle (ab+cd=SS+LL), die man aber mit einer Wägung nicht vollständig entscheiden kann.
* Versuchen wir's also mit a+b/cd. Nun hat man aber bei Gleichgewicht cd=XX, also wieder vier Fälle, die nicht mit der zweiten Wägung zu entscheiden sind.
Also lassen sich mit zwei Wägungen das Rätsel für höchstens drei Kugeln entscheiden:
* Erste Wägung: a+b/c
* Bei Gleichheit 2.Wägung c+a=X+N, bei Ungleichheit ebenfalls c+a, aber nun als N+X.

== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...
[[Kategorie:Denksport Loesung]]</text>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="19352" xml:space="preserve">Es gibt zwar schon eine Lösung zum [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln Problem der Waage und der 12 Kugeln] - aber dort steht praktisch nichts mathematisch Interessantes: Nicht, wie man sie Lösung findet, nicht, welche weiteren ähnlichen Probleme man sich stellen kann ... ich versuche es hier, besser zu machen.

Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt, gibt es zwei Arten von Lösungen:
* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen (am Anfang drei, dann zwei, dann eine) immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jeder der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem sie links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 27 nicht weniger als 24 ist, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
Die erste Wägung kann drei Ergebnisse haben:
# Waage geht links herunter: Dann wissen wir, dass ''entweder'' unter den linken vier Kugeln die eine schwerere ist ''oder'' unter den rechten vier die eine leichtere.
# Waage geht rechts herunter: Entweder ist unter den vier rechts die schwerere; oder links die leichtere.
# Waage bleibt im Gleichgewicht: Unter den vier neben der Waage ist die abweichende.
Statt weiterhin so lange Texte zu schreiben, müssen wir das kürzer hinschreiben können - nach dem alten Mathematikerspruch: "''Die richtige Notation ist die halbe Lösung''". Ich verwende einmal die folgenden Buchstaben:
* Wenn eine Kugel nur mehr eine schwerere sein kann (aber vielleicht auch eine der 11 gleich schweren - ich nenne die "normal"), dann soll dafür der Buchstabe S stehen; 
* wenn sie nur eine leichtere oder eine normale sein kann, dann steht dafür L;
* und wenn sie schwerer oder leichter oder normal sein kann, dann wird das mit X gekennzeichnet.
* Wenn eine Kugel schließlich sicher "normal" ist, dann wird sie mit N bezeichnet.
Die drei Möglichkeiten oben ergeben also:
# SSSS + LLLL / NNNN (durch + trenne ich die beiden Gruppen, die auf der Waage liegen; nach dem / stehen die Kugeln, die neben der Waage liegen und die uns "gerade noch interessieren").
# LLLL + SSSS / NNNN
# NNNN + NNNN / XXXX
Wir kümmern uns einmal um den dritten Fall - er sieht irgendwie leichter aus, weil wir nur mehr vier Kugeln betrachten müssen ... von denen wir allerdings praktisch nichts wissen! Aber probieren wir einmal: Wir legen links zwei der X-Kugeln, rechts die zwei anderen. Dann haben wir folgende möglichen Ergebnisse:
# links runter: SS + LL
# rechts runter: LL + SS
# Gleichgewicht: kann nicht sein (weil wir ja aus der ersten Wägung wissen, dass eine der vier die abweichende sein muss!).
Im ersten Fall gibt es noch immer ''vier'' mögliche Lösungen (eine der zwei S ist die schwerere; oder eine der beiden L ist die leichtere). Die eine letzte Wägung kann aber nur ''drei'' Möglichkeiten unterscheiden - damit ist die Aufteilung 2+2 nicht ok. Also dann 1+1, mit folgenden Ergebnissen:
# links runter: S + L / NN
# rechts runter: L + S / NN
# Gleichgewicht: N + N / XX
Den ersten und zweiten Fall könnten wir lösen: Im ersten Fall müssen wir nur die S-Kugeln mit einer N-Kugel vergleichen - wenn Gleichgewicht, dann ist die (danebenliegende) L-Kugel die leichtere, wenn S-Kugel nach unten geht, ist sie die schwerere. Aber im dritten Fall bleiben mit den XX ''vier'' Möglichkeiten übrig, die wir wieder mit den ''drei'' möglichen Ergebnissen einer Wägung nicht lösen können. Wir brauchen eine "schrägere Idee".

Hier ist sie: 2+1! Das geht natürlich nicht direkt (siehe Erklärung ganz am Anfang), aber wir können rechts eine weitere N-Kugel dazulegen. Wir legen also hin: XX + XN / X (die vierte X liegt auf der Seite) und haben nur folgende Fälle:
# links runter: SS + LN / N (entweder eine der schwereren zieht links runter; oder rechts ist die leichtere)
# rechts runter: LL + SN / N
# Gleichgewicht: NN + NN / X
Wir haben nur mehr eine Wägung frei - aber das könnte sich nun ausgehen!

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach NNNN+NNNN/XXXX - die "AAB-Konfiguration" ==
Der dritte Fall aus der vorherigen Wägung ist leicht: Wir vergleichen die danebenliegende Kugel (die ja sicher die gesuchte sein muss! - alle anderen sind nun als N bewiesen) mit einer beliebigen N-Kugel, mit folgenden Ergebnissen: 
# links runter: S + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: L + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist leichter.
# Gleichgewicht: unmöglich
Was tun wir mit den anderen beiden Fällen aus der vorherigen Wägung? Aus der ersten Wägung erhalten wir drei Kugeln, von denen wir wissen, dass sie SSL sind: Also entweder ist die erste oder die zweite die zu schwere, oder die dritte die zu leichte. Es gibt mehrere Arten, mit einer Wägung die richtige zu finden - hier ist eine: Man legt die beiden S auf die Waage und erhält dann:
# links runter: S + N --&gt; die linke ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: N + S --&gt; die rechte ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# Gleichgewicht: N + N --&gt; die danebenliegende  ist die gesuchte, und sie ist leichter.
Wenn wir bei der zweiten Wägung den zweiten Fall hatten (LL+SN/N), dann können wir mit den drei LLS-Kugeln dasselbe Spiel spielen: L+L vergleichen - wo's raufgeht, ist die gesuchte, und sie ist leichter; bei Gleichgewicht ist's die danebenliegende, und sie ist schwerer.

Die beiden Fälle haben ein gleichartiges Muster: Aus zwei gleich markierten Kugeln (SS oder LL) und einer dritten, die ebenfalls schon mit S oder L markiert ist, kann man mit einer Wägung die Lösung finden ... ich nenne das eine AAB-Konfiguration, die uns hoffentlich bei dem komplizierteren SSSS+LLLL/NNNN-Fall aus der ersten Wägung weiterhilft!

== Die zweite und dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
In diesem Fall wissen wir, dass links vier S-Kugeln liegen, rechts vier L-Kugeln. Wie weiter? Wenn wir schnell zu einer AAB-Konfiguration kommen, dann würden wir für viele Fälle die Lösung mit einer weiteren Wägung haben! Also probieren wir's ... nach einigem Herumprobieren bin ich auf folgendes gekommen: Man wiegt SSL + SSL / LL, mit folgenden Ergebnissen: 
# Waage geht links herunter: Entweder ist eine der beiden linken SS die gesuchte (und schwerer), oder die rechte L ist die gesuchte (und leichter). Man hat also drei Kugeln als SSL identifiziert, also eine AAB-Konfiguration gefunden! 
# Wenn die Waage rechts heruntergeht, dann hat man die anderen SSL als AAB identifiziert. 
# Und bei Gleichgewicht schließlich hat man die beiden LL als mögliche Lösungen identifiziert. Man kann sie direkt  gegeneinander wiegen - wo's raufgeht, liegt die gesuchte leichtere. Man kann aber auch, "mathematiker-artig", eine N dazulegen und hat dann diesen Fall "auf eine AAB-Konfiguration" zurückgeführt ... das macht hier keinen Unterschied, hilft uns aber vielleicht bei anderen Problemen später! 
In allen drei Fällen ist man also bei AAB angelangt - man findet dann also mit einer einzigen weiteren (dritten) Wägung die gesuchte Kugel. 

Damit haben wir ein dynamisches Lösungsverfahren für das 12-Kugel-Problem gefunden! In Kürze - ich bezeichne die 12 Kugeln mit a,b,...,k,l: 

1. Wägung: abcd+efgh/ijkl 

'''Bei Gleichgewicht der ersten Wägung: ''' 

2. Wägung: ij+ka/l 

3. Wägung: Bei Gleichgewicht: l mit a, sonst ijk mit AAB-Konfiguration (ij+ka geht links runter: ijk=SSL; ij+ka geht rechts runter: ijk=LLS). 

'''Wenn erste Wägung links runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist SSL+SSL/LL 

Bei Gleichgewicht: ghi mit AAB-Konfiguration (LLN). 

Wenn links runter: abf ist SSL, also AAB-Konfiguration; wenn rechts unter: cde ist SSL, also AAB. 

'''Wenn erste Wägung rechts runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist LLS+LLS/S - ist symmetrisch zu "links runter". 

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
Bei dynamischen Verfahren wiegt man nur so wenige Kugeln, wie nötig sind. Es ist aber klar, dass man bei jeder Wägung links und rechts gleich viele N-Kugeln dazustapeln kann, ohne dass sich am Ergebnis was ändert. Was das bringen soll? Nun, man könnte die Wägungen, die man beim dynamischen Verfahren entweder/oder macht, nun ''zugleich'' machen! Und wenn man die Wägungen dabei immer gleich kombinieren kann, dann würde ein Verfahren herauskommen, wo man nicht verschiedene Gruppen je nach vorherigen Ergebnissen wiegt, sondern immer die gleichen - also ein statisches Verfahren!

Probieren wir das einmal: Die erste Wägung ist natürlich gleich - wir können ja, wie weiter oben ausgerechnet, nur mit einer 4+4-Wägung anfangen, und zu diesem Zeitpunkt ist es noch egal, welche Kugeln wir wählen. Die erste Wägung ist also abcd+efgh/ijkl (mit den Bezeichnungen aus dem letzten Abschnitt).

Zweite Wägung: In den beiden Ungleichgewichtsfällen haben wir hier beim dynamischen Verfahren schon beide Male dasselbe ausgeführt, nämlich abe+cdf/gh - das war also schon ein "klein wenig statisch". Im Gleichgewichtsfall kommt nun noch ij+ka/l dazu ... aber das können wir nicht zugleich abwiegen, weil dann auf der a-Seite 4 Kugeln liegen, auf der anderen aber 5 - so geht das nicht. Was tun???

Wir schauen uns die zweite dynamische Wägung noch einmal an: Sie ist ja abe+cdf/gh und hat im ''Gleichgewichtsfall'' eine etwas "schmalere" nächste Wägung ergeben, nämlich nur mehr g+h. Wir könnten diese Wägung zu AAB "auffetten", sodass bei der zweiten Wägung weniger auf der Waage liegt = "Platz für ij+ka wird". Konkret:

Wir bauen unser dynamisches Verfahren so um, dass bei der zweiten Wägung abe+cdi/fgh gewogen wird (statt f nehmen wir also i, was sicher eine neutrale Kugel ist). Wenn die erste Wägung links nach unten ging, sind diese Kugeln SSL+SSN/LLL markiert. Was sind die möglichen Ergebnisse?
# links runter: abi=SSN ist AAB, was mit einer Wägung zu entscheiden ist.
# rechts runter: ecd=LSS, also ist cde AAB - ebenfalls mit einer Wägung zu entscheiden.
# Gleichgewicht: fgh=LLL, also AAB  - auch mit einer Wägung zu entscheiden.
Wenn die erste Wägung rechts nach unten ging, kommt symmetrisch auch raus, dass eine weitere Wägung reicht.

Nun aber können wir abe+cdi/fgh mit ka+ij/l (die umgedrehte zweite Wägung aus dem dynamischen Verfahren, wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war) kombinieren und erhalten als zweite Wägung:

abek+cdij/fghl

Wie gehen wir mit dem Ergebnis dieser Wägung um? Ungefähr so: Wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war, dann wissen wir ja, dass a...h alle neutral sind, daher haben wir eigentlich nur ak+ij/l gewogen und können dieselben Schlüsse ziehen wie beim dynamischen Verfahren. Wenn aber die erste Wägung nach links ging, dann waren ja sicher i...l neutral, wir haben also praktisch abe+cdi/fgh gewogen und können auch passenden Schlüsse ziehen. Und dasselbe geht auch, wenn die erste Wägung nach rechts ging.

Zwei Wägungen sind also schon "statisch" - wir brauchen noch die dritte. Dazu müssen wir einmal alle dritten Wägungen aus dem dynamischen Verfahren aufsammeln. Der Reihe nach sind das:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
* nocheinmal die drei letzten Wägungen, weil die Ergebnisse symmetrisch sind (a+b/i ist nun LLN statt SSN, kann aber mit der gleichen Wägung entschieden werden)
Direkt lassen sich diese Wägungen nicht kombinieren, weil i einmal verwogen werden muss (zweite Wägung), einmal auf der Seite liegen muss (dritte Wägung). Außerdem wir einmal a als neutrale Kugel verwendet, einmal zum Verwiegen. Mhm.

Eine Idee: AAB kann man nicht nur durch Verwiegen der zwei A-Kugeln entscheiden, sondern auch anders - allerdings nur, wenn A und B verschieden sind (also z.B. AAB=SSL): Dann kann man auf eine Seite SL legen, auf die andere NN. Wenn die Waage links runter geht, dann ist S die gesuchte (und schwerer), wenn sie rechts runtergeht, dann ist L die gesuchte (und leichter). Wir können also aus ijk=SSL oder LLS (siehe die Kurzbeschreibung im letzten Kapitel!) jk gegen zwei N-Kugeln verwiegen:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* &lt;u&gt;jk+nn/i&lt;/u&gt;
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Schaffen wir es, auf eine Seite vier Kugeln zu legen? Es geht sich nicht aus :-(

Das mit dem jk war vielleicht doch keine so gute Idee, weil nun eine Kugel mehr auf die Waage kam. Also zurück zur vorherigen Liste:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Können wir a+b/i "drehen", sodass i auf der Waage liegt? abi war ja SSN oder LLN, und hier könnten wir statt a+b auch gern a+i wiegen: Bei Gleichgewicht ist dann b die gesuchte! Also müsste als dritte Wägung auch eine Summe aus Folgendem funktionieren (die ersten zwei Wägungen habe ich schon passend umgedreht):
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* i+a/b
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Und als "Summe" erhalten wir:

licf+ajdg/kbeh

Es sieht so aus, als hätten wir ein statisches Verfahren gefunden! - mit folgenden Wägungen (die Buchstaben habe ich jeweils aufsteigend sortiert):
* abcd+efgh/ijkl
* abek+cdij/fghl
* cfil+adgj/behk
Schauen wir, ob es funktioniert, indem wir für alle möglichen Lösungen die Wäge-Ergebnisse aufschreiben - sie müssen sich alle unterscheiden! L bedeutet hier "Waage senkt sich links", R "Waage senkt sich rechts", = "Waage bleibt im Gleichgewicht":
{| class="article-table"
!
!a
!b
!c
!d
!e
!f
!g
!h
!i
!j
!k
!l
!
|-
|schwerer
|LLR
|LL=
|LRL
|LRR
|RL=
|R=L
|R=R
|R==
|=RL
|=RR
|=L=
|==L
|
|-
|leichter
|RRL
|RR=
|RLR
|RLL
|LR=
|L=R
|L=L
|L==
|=LR
|=LL
|=R=
|==R
|
|}
Tatsächlich!! - es hat funktioniert - alle Wägeergebnisse sind verschieden.

Ich höre hier mit den statischen Verfahren auf - manche Leute haben noch nette Tricks gefunden, wie man die drei Zeichen L, R und = als ternäre Ziffern interpretiert, sodass man sich nicht die Tabelle merken muss, sondern sich die Nummer der abweichenden Kugel aus dem Wägeergebnis als Zahl im Dreiersystem ausrechnen kann. Ein Beispiel dafür ist die andere Lösung, die [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln,_L%C3%B6sung hier] angegeben ist.

Ich schaue mir aber noch schnell das Problem für andere Zahlen von Wägungen an!

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
Keine. Tatsächlich. Warum?

Das mindeste, was man zum Verwiegen braucht, sind zwei Kugeln. Wenn man die aber beide auf die Waage legt und sie sich links senkt, dann weiß man nicht, ob die linke schwerer oder die rechte leichter ist! Auch rechnerisch kann man sich das überlegen: Eine Wägung kann drei Ergebnisse unterscheiden, bei zwei Kugeln gibt es aber schon vier Möglichkeiten (erste schwerer, erste leichter, zweite schwerer, zweite leichter). Allerdings ist auch bei zwei Kugeln das Rätsel nicht sinnvoll: Denn ist nun die erste schwerer oder die zweite leichter?

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
Zwei Wägungen können 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9 Fälle unterscheiden, also prinzipiell das Problem für 4 Kugeln lösen. Überlegen wir, wie man das machen kann:
* Entweder wiegt man zuerst ab+cd. Dann hat man z.B. bei Ausschlag der Waage nach links noch vier Fälle (ab+cd=SS+LL), die man aber mit einer Wägung nicht vollständig entscheiden kann.
* Versuchen wir's also mit a+b/cd. Nun hat man aber bei Gleichgewicht cd=XX, also wieder vier Fälle, die nicht mit der zweiten Wägung zu entscheiden sind.
Also lassen sich mit zwei Wägungen das Rätsel für höchstens drei Kugeln entscheiden:
* Erste Wägung: a+b/c
* Bei Gleichheit 2.Wägung c+a=X+N, bei Ungleichheit ebenfalls c+a, aber nun als N+X.

== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...
[[Kategorie:Denksport Loesung]]</text>
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    <comment>/* Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="19453" xml:space="preserve">Es gibt zwar schon eine Lösung zum [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln Problem der Waage und der 12 Kugeln] - aber dort steht praktisch nichts mathematisch Interessantes: Nicht, wie man sie Lösung findet, nicht, welche weiteren ähnlichen Probleme man sich stellen kann ... ich versuche es hier, besser zu machen.

Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt, gibt es zwei Arten von Lösungen:
* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen (am Anfang drei, dann zwei, dann eine) immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jeder der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem sie links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 27 nicht weniger als 24 ist, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
Die erste Wägung kann drei Ergebnisse haben:
# Waage geht links herunter: Dann wissen wir, dass ''entweder'' unter den linken vier Kugeln die eine schwerere ist ''oder'' unter den rechten vier die eine leichtere.
# Waage geht rechts herunter: Entweder ist unter den vier rechts die schwerere; oder links die leichtere.
# Waage bleibt im Gleichgewicht: Unter den vier neben der Waage ist die abweichende.
Statt weiterhin so lange Texte zu schreiben, müssen wir das kürzer hinschreiben können - nach dem alten Mathematikerspruch: "''Die richtige Notation ist die halbe Lösung''". Ich verwende einmal die folgenden Buchstaben:
* Wenn eine Kugel nur mehr eine schwerere sein kann (aber vielleicht auch eine der 11 gleich schweren - ich nenne die "normal"), dann soll dafür der Buchstabe S stehen; 
* wenn sie nur eine leichtere oder eine normale sein kann, dann steht dafür L;
* und wenn sie schwerer oder leichter oder normal sein kann, dann wird das mit X gekennzeichnet.
* Wenn eine Kugel schließlich sicher "normal" ist, dann wird sie mit N bezeichnet.
Die drei Möglichkeiten oben ergeben also:
# SSSS + LLLL / NNNN (durch + trenne ich die beiden Gruppen, die auf der Waage liegen; nach dem / stehen die Kugeln, die neben der Waage liegen und die uns "gerade noch interessieren").
# LLLL + SSSS / NNNN
# NNNN + NNNN / XXXX
Wir kümmern uns einmal um den dritten Fall - er sieht irgendwie leichter aus, weil wir nur mehr vier Kugeln betrachten müssen ... von denen wir allerdings praktisch nichts wissen! Aber probieren wir einmal: Wir legen links zwei der X-Kugeln, rechts die zwei anderen. Dann haben wir folgende möglichen Ergebnisse:
# links runter: SS + LL
# rechts runter: LL + SS
# Gleichgewicht: kann nicht sein (weil wir ja aus der ersten Wägung wissen, dass eine der vier die abweichende sein muss!).
Im ersten Fall gibt es noch immer ''vier'' mögliche Lösungen (eine der zwei S ist die schwerere; oder eine der beiden L ist die leichtere). Die eine letzte Wägung kann aber nur ''drei'' Möglichkeiten unterscheiden - damit ist die Aufteilung 2+2 nicht ok. Also dann 1+1, mit folgenden Ergebnissen:
# links runter: S + L / NN
# rechts runter: L + S / NN
# Gleichgewicht: N + N / XX
Den ersten und zweiten Fall könnten wir lösen: Im ersten Fall müssen wir nur die S-Kugeln mit einer N-Kugel vergleichen - wenn Gleichgewicht, dann ist die (danebenliegende) L-Kugel die leichtere, wenn S-Kugel nach unten geht, ist sie die schwerere. Aber im dritten Fall bleiben mit den XX ''vier'' Möglichkeiten übrig, die wir wieder mit den ''drei'' möglichen Ergebnissen einer Wägung nicht lösen können. Wir brauchen eine "schrägere Idee".

Hier ist sie: 2+1! Das geht natürlich nicht direkt (siehe Erklärung ganz am Anfang), aber wir können rechts eine weitere N-Kugel dazulegen. Wir legen also hin: XX + XN / X (die vierte X liegt auf der Seite) und haben nur folgende Fälle:
# links runter: SS + LN / N (entweder eine der schwereren zieht links runter; oder rechts ist die leichtere)
# rechts runter: LL + SN / N
# Gleichgewicht: NN + NN / X
Wir haben nur mehr eine Wägung frei - aber das könnte sich nun ausgehen!

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach NNNN+NNNN/XXXX - die "AAB-Konfiguration" ==
Der dritte Fall aus der vorherigen Wägung ist leicht: Wir vergleichen die danebenliegende Kugel (die ja sicher die gesuchte sein muss! - alle anderen sind nun als N bewiesen) mit einer beliebigen N-Kugel, mit folgenden Ergebnissen: 
# links runter: S + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: L + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist leichter.
# Gleichgewicht: unmöglich
Was tun wir mit den anderen beiden Fällen aus der vorherigen Wägung? Aus der ersten Wägung erhalten wir drei Kugeln, von denen wir wissen, dass sie SSL sind: Also entweder ist die erste oder die zweite die zu schwere, oder die dritte die zu leichte. Es gibt mehrere Arten, mit einer Wägung die richtige zu finden - hier ist eine: Man legt die beiden S auf die Waage und erhält dann:
# links runter: S + N --&gt; die linke ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: N + S --&gt; die rechte ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# Gleichgewicht: N + N --&gt; die danebenliegende  ist die gesuchte, und sie ist leichter.
Wenn wir bei der zweiten Wägung den zweiten Fall hatten (LL+SN/N), dann können wir mit den drei LLS-Kugeln dasselbe Spiel spielen: L+L vergleichen - wo's raufgeht, ist die gesuchte, und sie ist leichter; bei Gleichgewicht ist's die danebenliegende, und sie ist schwerer.

Die beiden Fälle haben ein gleichartiges Muster: Aus zwei gleich markierten Kugeln (SS oder LL) und einer dritten, die ebenfalls schon mit S oder L markiert ist, kann man mit einer Wägung die Lösung finden ... ich nenne das eine AAB-Konfiguration, die uns hoffentlich bei dem komplizierteren SSSS+LLLL/NNNN-Fall aus der ersten Wägung weiterhilft!

== Die zweite und dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
In diesem Fall wissen wir, dass links vier S-Kugeln liegen, rechts vier L-Kugeln. Wie weiter? Wenn wir schnell zu einer AAB-Konfiguration kommen, dann würden wir für viele Fälle die Lösung mit einer weiteren Wägung haben! Also probieren wir's ... nach einigem Herumprobieren bin ich auf folgendes gekommen: Man wiegt SSL + SSL / LL, mit folgenden Ergebnissen: 
# Waage geht links herunter: Entweder ist eine der beiden linken SS die gesuchte (und schwerer), oder die rechte L ist die gesuchte (und leichter). Man hat also drei Kugeln als SSL identifiziert, also eine AAB-Konfiguration gefunden! 
# Wenn die Waage rechts heruntergeht, dann hat man die anderen SSL als AAB identifiziert. 
# Und bei Gleichgewicht schließlich hat man die beiden LL als mögliche Lösungen identifiziert. Man kann sie direkt  gegeneinander wiegen - wo's raufgeht, liegt die gesuchte leichtere. Man kann aber auch, "mathematiker-artig", eine N dazulegen und hat dann diesen Fall "auf eine AAB-Konfiguration" zurückgeführt ... das macht hier keinen Unterschied, hilft uns aber vielleicht bei anderen Problemen später! 
In allen drei Fällen ist man also bei AAB angelangt - man findet dann also mit einer einzigen weiteren (dritten) Wägung die gesuchte Kugel. 

Damit haben wir ein dynamisches Lösungsverfahren für das 12-Kugel-Problem gefunden! In Kürze - ich bezeichne die 12 Kugeln mit a,b,...,k,l: 

1. Wägung: abcd+efgh/ijkl 

'''Bei Gleichgewicht der ersten Wägung: ''' 

2. Wägung: ij+ka/l 

3. Wägung: Bei Gleichgewicht: l mit a, sonst ijk mit AAB-Konfiguration (ij+ka geht links runter: ijk=SSL; ij+ka geht rechts runter: ijk=LLS). 

'''Wenn erste Wägung links runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist SSL+SSL/LL 

Bei Gleichgewicht: ghi mit AAB-Konfiguration (LLN). 

Wenn links runter: abf ist SSL, also AAB-Konfiguration; wenn rechts unter: cde ist SSL, also AAB. 

'''Wenn erste Wägung rechts runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist LLS+LLS/S - ist symmetrisch zu "links runter". 

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
Bei dynamischen Verfahren wiegt man nur so wenige Kugeln, wie nötig sind. Es ist aber klar, dass man bei jeder Wägung links und rechts gleich viele N-Kugeln dazustapeln kann, ohne dass sich am Ergebnis was ändert. Was das bringen soll? Nun, man könnte die Wägungen, die man beim dynamischen Verfahren entweder/oder macht, nun ''zugleich'' machen! Und wenn man die Wägungen dabei immer gleich kombinieren kann, dann würde ein Verfahren herauskommen, wo man nicht verschiedene Gruppen je nach vorherigen Ergebnissen wiegt, sondern immer die gleichen - also ein statisches Verfahren!

Probieren wir das einmal: Die erste Wägung ist natürlich gleich - wir können ja, wie weiter oben ausgerechnet, nur mit einer 4+4-Wägung anfangen, und zu diesem Zeitpunkt ist es noch egal, welche Kugeln wir wählen. Die erste Wägung ist also abcd+efgh/ijkl (mit den Bezeichnungen aus dem letzten Abschnitt).

Zweite Wägung: In den beiden Ungleichgewichtsfällen haben wir hier beim dynamischen Verfahren schon beide Male dasselbe ausgeführt, nämlich abe+cdf/gh - das war also schon ein "klein wenig statisch". Im Gleichgewichtsfall kommt nun noch ij+ka/l dazu ... aber das können wir nicht zugleich abwiegen, weil dann auf der a-Seite 4 Kugeln liegen, auf der anderen aber 5 - so geht das nicht. Was tun???

Wir schauen uns die zweite dynamische Wägung noch einmal an: Sie ist ja abe+cdf/gh und hat im ''Gleichgewichtsfall'' eine etwas "schmalere" nächste Wägung ergeben, nämlich nur mehr g+h. Wir könnten diese Wägung zu AAB "auffetten", sodass bei der zweiten Wägung weniger auf der Waage liegt = "Platz für ij+ka wird". Konkret:

Wir bauen unser dynamisches Verfahren so um, dass bei der zweiten Wägung abe+cdi/fgh gewogen wird (statt f nehmen wir also i, was sicher eine neutrale Kugel ist). Wenn die erste Wägung links nach unten ging, sind diese Kugeln SSL+SSN/LLL markiert. Was sind die möglichen Ergebnisse?
# links runter: abi=SSN ist AAB, was mit einer Wägung zu entscheiden ist.
# rechts runter: ecd=LSS, also ist cde AAB - ebenfalls mit einer Wägung zu entscheiden.
# Gleichgewicht: fgh=LLL, also AAB  - auch mit einer Wägung zu entscheiden.
Wenn die erste Wägung rechts nach unten ging, kommt symmetrisch auch raus, dass eine weitere Wägung reicht.

Nun aber können wir abe+cdi/fgh mit ka+ij/l (die umgedrehte zweite Wägung aus dem dynamischen Verfahren, wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war) kombinieren und erhalten als zweite Wägung:

abek+cdij/fghl

Wie gehen wir mit dem Ergebnis dieser Wägung um? Ungefähr so: Wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war, dann wissen wir ja, dass a...h alle neutral sind, daher haben wir eigentlich nur ak+ij/l gewogen und können dieselben Schlüsse ziehen wie beim dynamischen Verfahren. Wenn aber die erste Wägung nach links ging, dann waren ja sicher i...l neutral, wir haben also praktisch abe+cdi/fgh gewogen und können auch passenden Schlüsse ziehen. Und dasselbe geht auch, wenn die erste Wägung nach rechts ging.

Zwei Wägungen sind also schon "statisch" - wir brauchen noch die dritte. Dazu müssen wir einmal alle dritten Wägungen aus dem dynamischen Verfahren aufsammeln. Der Reihe nach sind das:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
* nocheinmal die drei letzten Wägungen, weil die Ergebnisse symmetrisch sind (a+b/i ist nun LLN statt SSN, kann aber mit der gleichen Wägung entschieden werden)
Direkt lassen sich diese Wägungen nicht kombinieren, weil i einmal verwogen werden muss (zweite Wägung), einmal auf der Seite liegen muss (dritte Wägung). Außerdem wir einmal a als neutrale Kugel verwendet, einmal zum Verwiegen. Mhm.

Eine Idee: AAB kann man nicht nur durch Verwiegen der zwei A-Kugeln entscheiden, sondern auch anders - allerdings nur, wenn A und B verschieden sind (also z.B. AAB=SSL): Dann kann man auf eine Seite SL legen, auf die andere NN. Wenn die Waage links runter geht, dann ist S die gesuchte (und schwerer), wenn sie rechts runtergeht, dann ist L die gesuchte (und leichter). Wir können also aus ijk=SSL oder LLS (siehe die Kurzbeschreibung im letzten Kapitel!) jk gegen zwei N-Kugeln verwiegen:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* &lt;u&gt;jk+nn/i&lt;/u&gt;
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Schaffen wir es, auf eine Seite vier Kugeln zu legen? Es geht sich nicht aus :-(

Das mit dem jk war vielleicht doch keine so gute Idee, weil nun eine Kugel mehr auf die Waage kam. Also zurück zur vorherigen Liste:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Können wir a+b/i "drehen", sodass i auf der Waage liegt? abi war ja SSN oder LLN, und hier könnten wir statt a+b auch gern a+i wiegen: Bei Gleichgewicht ist dann b die gesuchte! Also müsste als dritte Wägung auch eine Summe aus Folgendem funktionieren (die ersten zwei Wägungen habe ich schon passend umgedreht):
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* i+a/b
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Und als "Summe" erhalten wir:

licf+ajdg/kbeh

Es sieht so aus, als hätten wir ein statisches Verfahren gefunden! - mit folgenden Wägungen (die Buchstaben habe ich jeweils aufsteigend sortiert):
* abcd+efgh/ijkl
* abek+cdij/fghl
* cfil+adgj/behk
Schauen wir, ob es funktioniert, indem wir für alle möglichen Lösungen die Wäge-Ergebnisse aufschreiben - sie müssen sich alle unterscheiden! L bedeutet hier "Waage senkt sich links", R "Waage senkt sich rechts", = "Waage bleibt im Gleichgewicht":
{| class="article-table"
!
!a
!b
!c
!d
!e
!f
!g
!h
!i
!j
!k
!l
!
|-
|schwerer
|LLR
|LL=
|LRL
|LRR
|RL=
|R=L
|R=R
|R==
|=RL
|=RR
|=L=
|==L
|
|-
|leichter
|RRL
|RR=
|RLR
|RLL
|LR=
|L=R
|L=L
|L==
|=LR
|=LL
|=R=
|==R
|
|}
Tatsächlich!! - es hat funktioniert - alle Wägeergebnisse sind verschieden.

Ich höre hier mit den statischen Verfahren auf - manche Leute haben noch nette Tricks gefunden, wie man die drei Zeichen L, R und = als ternäre Ziffern interpretiert, sodass man sich nicht die Tabelle merken muss, sondern sich die Nummer der abweichenden Kugel aus dem Wägeergebnis als Zahl im Dreiersystem ausrechnen kann. Ein Beispiel dafür ist die andere Lösung, die [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln,_L%C3%B6sung hier] angegeben ist.

Ich schaue mir aber noch schnell das Problem für andere Zahlen von Wägungen an!

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
Keine. Tatsächlich. Warum?

Das mindeste, was man zum Verwiegen braucht, sind zwei Kugeln. Wenn man die aber beide auf die Waage legt und sie sich links senkt, dann weiß man nicht, ob die linke schwerer oder die rechte leichter ist! Auch rechnerisch kann man sich das überlegen: Eine Wägung kann drei Ergebnisse unterscheiden, bei zwei Kugeln gibt es aber schon vier Möglichkeiten (erste schwerer, erste leichter, zweite schwerer, zweite leichter). Allerdings ist auch bei zwei Kugeln das Rätsel nicht sinnvoll: Denn ist nun die erste schwerer oder die zweite leichter?

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
Zwei Wägungen können 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9 Fälle unterscheiden, also prinzipiell das Problem für 4 Kugeln lösen. Überlegen wir, wie man das machen kann:
* Entweder wiegt man zuerst ab+cd. Dann hat man z.B. bei Ausschlag der Waage nach links noch vier Fälle (ab+cd=SS+LL), die man aber mit einer Wägung nicht vollständig entscheiden kann.
* Versuchen wir's also mit a+b/cd. Nun hat man aber bei Gleichgewicht cd=XX, also wieder vier Fälle, die nicht mit der zweiten Wägung zu entscheiden sind.
Also lassen sich mit zwei Wägungen das Rätsel für höchstens drei Kugeln entscheiden:
* Erste Wägung: a+b/c
* Bei Gleichheit 2.Wägung c+a=X+N, bei Ungleichheit ebenfalls c+a, aber nun als N+X.
Es ist schon erstaunlich, dass nur eine weitere Wägung die Zahl dann von 3 auf 12 hochkatapultiert!

== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
... ... kommt noch ... ...
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    <comment>/* Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? */</comment>
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    <text bytes="22056" xml:space="preserve">Es gibt zwar schon eine Lösung zum [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln Problem der Waage und der 12 Kugeln] - aber dort steht praktisch nichts mathematisch Interessantes: Nicht, wie man sie Lösung findet, nicht, welche weiteren ähnlichen Probleme man sich stellen kann ... ich versuche es hier, besser zu machen.

Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt, gibt es zwei Arten von Lösungen:
* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen (am Anfang drei, dann zwei, dann eine) immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jeder der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem sie links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 27 nicht weniger als 24 ist, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
Die erste Wägung kann drei Ergebnisse haben:
# Waage geht links herunter: Dann wissen wir, dass ''entweder'' unter den linken vier Kugeln die eine schwerere ist ''oder'' unter den rechten vier die eine leichtere.
# Waage geht rechts herunter: Entweder ist unter den vier rechts die schwerere; oder links die leichtere.
# Waage bleibt im Gleichgewicht: Unter den vier neben der Waage ist die abweichende.
Statt weiterhin so lange Texte zu schreiben, müssen wir das kürzer hinschreiben können - nach dem alten Mathematikerspruch: "''Die richtige Notation ist die halbe Lösung''". Ich verwende einmal die folgenden Buchstaben:
* Wenn eine Kugel nur mehr eine schwerere sein kann (aber vielleicht auch eine der 11 gleich schweren - ich nenne die "normal"), dann soll dafür der Buchstabe S stehen; 
* wenn sie nur eine leichtere oder eine normale sein kann, dann steht dafür L;
* und wenn sie schwerer oder leichter oder normal sein kann, dann wird das mit X gekennzeichnet.
* Wenn eine Kugel schließlich sicher "normal" ist, dann wird sie mit N bezeichnet.
Die drei Möglichkeiten oben ergeben also:
# SSSS + LLLL / NNNN (durch + trenne ich die beiden Gruppen, die auf der Waage liegen; nach dem / stehen die Kugeln, die neben der Waage liegen und die uns "gerade noch interessieren").
# LLLL + SSSS / NNNN
# NNNN + NNNN / XXXX
Wir kümmern uns einmal um den dritten Fall - er sieht irgendwie leichter aus, weil wir nur mehr vier Kugeln betrachten müssen ... von denen wir allerdings praktisch nichts wissen! Aber probieren wir einmal: Wir legen links zwei der X-Kugeln, rechts die zwei anderen. Dann haben wir folgende möglichen Ergebnisse:
# links runter: SS + LL
# rechts runter: LL + SS
# Gleichgewicht: kann nicht sein (weil wir ja aus der ersten Wägung wissen, dass eine der vier die abweichende sein muss!).
Im ersten Fall gibt es noch immer ''vier'' mögliche Lösungen (eine der zwei S ist die schwerere; oder eine der beiden L ist die leichtere). Die eine letzte Wägung kann aber nur ''drei'' Möglichkeiten unterscheiden - damit ist die Aufteilung 2+2 nicht ok. Also dann 1+1, mit folgenden Ergebnissen:
# links runter: S + L / NN
# rechts runter: L + S / NN
# Gleichgewicht: N + N / XX
Den ersten und zweiten Fall könnten wir lösen: Im ersten Fall müssen wir nur die S-Kugeln mit einer N-Kugel vergleichen - wenn Gleichgewicht, dann ist die (danebenliegende) L-Kugel die leichtere, wenn S-Kugel nach unten geht, ist sie die schwerere. Aber im dritten Fall bleiben mit den XX ''vier'' Möglichkeiten übrig, die wir wieder mit den ''drei'' möglichen Ergebnissen einer Wägung nicht lösen können. Wir brauchen eine "schrägere Idee".

Hier ist sie: 2+1! Das geht natürlich nicht direkt (siehe Erklärung ganz am Anfang), aber wir können rechts eine weitere N-Kugel dazulegen. Wir legen also hin: XX + XN / X (die vierte X liegt auf der Seite) und haben nur folgende Fälle:
# links runter: SS + LN / N (entweder eine der schwereren zieht links runter; oder rechts ist die leichtere)
# rechts runter: LL + SN / N
# Gleichgewicht: NN + NN / X
Wir haben nur mehr eine Wägung frei - aber das könnte sich nun ausgehen!

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach NNNN+NNNN/XXXX - die "AAB-Konfiguration" ==
Der dritte Fall aus der vorherigen Wägung ist leicht: Wir vergleichen die danebenliegende Kugel (die ja sicher die gesuchte sein muss! - alle anderen sind nun als N bewiesen) mit einer beliebigen N-Kugel, mit folgenden Ergebnissen: 
# links runter: S + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: L + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist leichter.
# Gleichgewicht: unmöglich
Was tun wir mit den anderen beiden Fällen aus der vorherigen Wägung? Aus der ersten Wägung erhalten wir drei Kugeln, von denen wir wissen, dass sie SSL sind: Also entweder ist die erste oder die zweite die zu schwere, oder die dritte die zu leichte. Es gibt mehrere Arten, mit einer Wägung die richtige zu finden - hier ist eine: Man legt die beiden S auf die Waage und erhält dann:
# links runter: S + N --&gt; die linke ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: N + S --&gt; die rechte ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# Gleichgewicht: N + N --&gt; die danebenliegende  ist die gesuchte, und sie ist leichter.
Wenn wir bei der zweiten Wägung den zweiten Fall hatten (LL+SN/N), dann können wir mit den drei LLS-Kugeln dasselbe Spiel spielen: L+L vergleichen - wo's raufgeht, ist die gesuchte, und sie ist leichter; bei Gleichgewicht ist's die danebenliegende, und sie ist schwerer.

Die beiden Fälle haben ein gleichartiges Muster: Aus zwei gleich markierten Kugeln (SS oder LL) und einer dritten, die ebenfalls schon mit S oder L markiert ist, kann man mit einer Wägung die Lösung finden ... ich nenne das eine AAB-Konfiguration, die uns hoffentlich bei dem komplizierteren SSSS+LLLL/NNNN-Fall aus der ersten Wägung weiterhilft!

== Die zweite und dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
In diesem Fall wissen wir, dass links vier S-Kugeln liegen, rechts vier L-Kugeln. Wie weiter? Wenn wir schnell zu einer AAB-Konfiguration kommen, dann würden wir für viele Fälle die Lösung mit einer weiteren Wägung haben! Also probieren wir's ... nach einigem Herumprobieren bin ich auf folgendes gekommen: Man wiegt SSL + SSL / LL, mit folgenden Ergebnissen: 
# Waage geht links herunter: Entweder ist eine der beiden linken SS die gesuchte (und schwerer), oder die rechte L ist die gesuchte (und leichter). Man hat also drei Kugeln als SSL identifiziert, also eine AAB-Konfiguration gefunden! 
# Wenn die Waage rechts heruntergeht, dann hat man die anderen SSL als AAB identifiziert. 
# Und bei Gleichgewicht schließlich hat man die beiden LL als mögliche Lösungen identifiziert. Man kann sie direkt  gegeneinander wiegen - wo's raufgeht, liegt die gesuchte leichtere. Man kann aber auch, "mathematiker-artig", eine N dazulegen und hat dann diesen Fall "auf eine AAB-Konfiguration" zurückgeführt ... das macht hier keinen Unterschied, hilft uns aber vielleicht bei anderen Problemen später! 
In allen drei Fällen ist man also bei AAB angelangt - man findet dann also mit einer einzigen weiteren (dritten) Wägung die gesuchte Kugel. 

Damit haben wir ein dynamisches Lösungsverfahren für das 12-Kugel-Problem gefunden! In Kürze - ich bezeichne die 12 Kugeln mit a,b,...,k,l: 

1. Wägung: abcd+efgh/ijkl 

'''Bei Gleichgewicht der ersten Wägung: ''' 

2. Wägung: ij+ka/l 

3. Wägung: Bei Gleichgewicht: l mit a, sonst ijk mit AAB-Konfiguration (ij+ka geht links runter: ijk=SSL; ij+ka geht rechts runter: ijk=LLS). 

'''Wenn erste Wägung links runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist SSL+SSL/LL 

Bei Gleichgewicht: ghi mit AAB-Konfiguration (LLN). 

Wenn links runter: abf ist SSL, also AAB-Konfiguration; wenn rechts unter: cde ist SSL, also AAB. 

'''Wenn erste Wägung rechts runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist LLS+LLS/S - ist symmetrisch zu "links runter". 

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
Bei dynamischen Verfahren wiegt man nur so wenige Kugeln, wie nötig sind. Es ist aber klar, dass man bei jeder Wägung links und rechts gleich viele N-Kugeln dazustapeln kann, ohne dass sich am Ergebnis was ändert. Was das bringen soll? Nun, man könnte die Wägungen, die man beim dynamischen Verfahren entweder/oder macht, nun ''zugleich'' machen! Und wenn man die Wägungen dabei immer gleich kombinieren kann, dann würde ein Verfahren herauskommen, wo man nicht verschiedene Gruppen je nach vorherigen Ergebnissen wiegt, sondern immer die gleichen - also ein statisches Verfahren!

Probieren wir das einmal: Die erste Wägung ist natürlich gleich - wir können ja, wie weiter oben ausgerechnet, nur mit einer 4+4-Wägung anfangen, und zu diesem Zeitpunkt ist es noch egal, welche Kugeln wir wählen. Die erste Wägung ist also abcd+efgh/ijkl (mit den Bezeichnungen aus dem letzten Abschnitt).

Zweite Wägung: In den beiden Ungleichgewichtsfällen haben wir hier beim dynamischen Verfahren schon beide Male dasselbe ausgeführt, nämlich abe+cdf/gh - das war also schon ein "klein wenig statisch". Im Gleichgewichtsfall kommt nun noch ij+ka/l dazu ... aber das können wir nicht zugleich abwiegen, weil dann auf der a-Seite 4 Kugeln liegen, auf der anderen aber 5 - so geht das nicht. Was tun???

Wir schauen uns die zweite dynamische Wägung noch einmal an: Sie ist ja abe+cdf/gh und hat im ''Gleichgewichtsfall'' eine etwas "schmalere" nächste Wägung ergeben, nämlich nur mehr g+h. Wir könnten diese Wägung zu AAB "auffetten", sodass bei der zweiten Wägung weniger auf der Waage liegt = "Platz für ij+ka wird". Konkret:

Wir bauen unser dynamisches Verfahren so um, dass bei der zweiten Wägung abe+cdi/fgh gewogen wird (statt f nehmen wir also i, was sicher eine neutrale Kugel ist). Wenn die erste Wägung links nach unten ging, sind diese Kugeln SSL+SSN/LLL markiert. Was sind die möglichen Ergebnisse?
# links runter: abi=SSN ist AAB, was mit einer Wägung zu entscheiden ist.
# rechts runter: ecd=LSS, also ist cde AAB - ebenfalls mit einer Wägung zu entscheiden.
# Gleichgewicht: fgh=LLL, also AAB  - auch mit einer Wägung zu entscheiden.
Wenn die erste Wägung rechts nach unten ging, kommt symmetrisch auch raus, dass eine weitere Wägung reicht.

Nun aber können wir abe+cdi/fgh mit ka+ij/l (die umgedrehte zweite Wägung aus dem dynamischen Verfahren, wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war) kombinieren und erhalten als zweite Wägung:

abek+cdij/fghl

Wie gehen wir mit dem Ergebnis dieser Wägung um? Ungefähr so: Wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war, dann wissen wir ja, dass a...h alle neutral sind, daher haben wir eigentlich nur ak+ij/l gewogen und können dieselben Schlüsse ziehen wie beim dynamischen Verfahren. Wenn aber die erste Wägung nach links ging, dann waren ja sicher i...l neutral, wir haben also praktisch abe+cdi/fgh gewogen und können auch passenden Schlüsse ziehen. Und dasselbe geht auch, wenn die erste Wägung nach rechts ging.

Zwei Wägungen sind also schon "statisch" - wir brauchen noch die dritte. Dazu müssen wir einmal alle dritten Wägungen aus dem dynamischen Verfahren aufsammeln. Der Reihe nach sind das:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
* nocheinmal die drei letzten Wägungen, weil die Ergebnisse symmetrisch sind (a+b/i ist nun LLN statt SSN, kann aber mit der gleichen Wägung entschieden werden)
Direkt lassen sich diese Wägungen nicht kombinieren, weil i einmal verwogen werden muss (zweite Wägung), einmal auf der Seite liegen muss (dritte Wägung). Außerdem wir einmal a als neutrale Kugel verwendet, einmal zum Verwiegen. Mhm.

Eine Idee: AAB kann man nicht nur durch Verwiegen der zwei A-Kugeln entscheiden, sondern auch anders - allerdings nur, wenn A und B verschieden sind (also z.B. AAB=SSL): Dann kann man auf eine Seite SL legen, auf die andere NN. Wenn die Waage links runter geht, dann ist S die gesuchte (und schwerer), wenn sie rechts runtergeht, dann ist L die gesuchte (und leichter). Wir können also aus ijk=SSL oder LLS (siehe die Kurzbeschreibung im letzten Kapitel!) jk gegen zwei N-Kugeln verwiegen:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* &lt;u&gt;jk+nn/i&lt;/u&gt;
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Schaffen wir es, auf eine Seite vier Kugeln zu legen? Es geht sich nicht aus :-(

Das mit dem jk war vielleicht doch keine so gute Idee, weil nun eine Kugel mehr auf die Waage kam. Also zurück zur vorherigen Liste:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Können wir a+b/i "drehen", sodass i auf der Waage liegt? abi war ja SSN oder LLN, und hier könnten wir statt a+b auch gern a+i wiegen: Bei Gleichgewicht ist dann b die gesuchte! Also müsste als dritte Wägung auch eine Summe aus Folgendem funktionieren (die ersten zwei Wägungen habe ich schon passend umgedreht):
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* i+a/b
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Und als "Summe" erhalten wir:

licf+ajdg/kbeh

Es sieht so aus, als hätten wir ein statisches Verfahren gefunden! - mit folgenden Wägungen (die Buchstaben habe ich jeweils aufsteigend sortiert):
* abcd+efgh/ijkl
* abek+cdij/fghl
* cfil+adgj/behk
Schauen wir, ob es funktioniert, indem wir für alle möglichen Lösungen die Wäge-Ergebnisse aufschreiben - sie müssen sich alle unterscheiden! L bedeutet hier "Waage senkt sich links", R "Waage senkt sich rechts", = "Waage bleibt im Gleichgewicht":
{| class="article-table"
!
!a
!b
!c
!d
!e
!f
!g
!h
!i
!j
!k
!l
!
|-
|schwerer
|LLR
|LL=
|LRL
|LRR
|RL=
|R=L
|R=R
|R==
|=RL
|=RR
|=L=
|==L
|
|-
|leichter
|RRL
|RR=
|RLR
|RLL
|LR=
|L=R
|L=L
|L==
|=LR
|=LL
|=R=
|==R
|
|}
Tatsächlich!! - es hat funktioniert - alle Wägeergebnisse sind verschieden.

Ich höre hier mit den statischen Verfahren auf - manche Leute haben noch nette Tricks gefunden, wie man die drei Zeichen L, R und = als ternäre Ziffern interpretiert, sodass man sich nicht die Tabelle merken muss, sondern sich die Nummer der abweichenden Kugel aus dem Wägeergebnis als Zahl im Dreiersystem ausrechnen kann. Ein Beispiel dafür ist die andere Lösung, die [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln,_L%C3%B6sung hier] angegeben ist.

Ich schaue mir aber noch schnell das Problem für andere Zahlen von Wägungen an!

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
Keine. Tatsächlich. Warum?

Das mindeste, was man zum Verwiegen braucht, sind zwei Kugeln. Wenn man die aber beide auf die Waage legt und sie sich links senkt, dann weiß man nicht, ob die linke schwerer oder die rechte leichter ist! Auch rechnerisch kann man sich das überlegen: Eine Wägung kann drei Ergebnisse unterscheiden, bei zwei Kugeln gibt es aber schon vier Möglichkeiten (erste schwerer, erste leichter, zweite schwerer, zweite leichter). Allerdings ist auch bei zwei Kugeln das Rätsel nicht sinnvoll: Denn ist nun die erste schwerer oder die zweite leichter?

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
Zwei Wägungen können 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9 Fälle unterscheiden, also prinzipiell das Problem für 4 Kugeln lösen. Überlegen wir, wie man das machen kann:
* Entweder wiegt man zuerst ab+cd. Dann hat man z.B. bei Ausschlag der Waage nach links noch vier Fälle (ab+cd=SS+LL), die man aber mit einer Wägung nicht vollständig entscheiden kann.
* Versuchen wir's also mit a+b/cd. Nun hat man aber bei Gleichgewicht cd=XX, also wieder vier Fälle, die nicht mit der zweiten Wägung zu entscheiden sind.
Also lassen sich mit zwei Wägungen das Rätsel für höchstens drei Kugeln entscheiden:
* Erste Wägung: a+b/c
* Bei Gleichheit 2.Wägung c+a=X+N, bei Ungleichheit ebenfalls c+a, aber nun als N+X.
Es ist schon erstaunlich, dass nur eine weitere Wägung die Zahl dann von 3 auf 12 hochkatapultiert!

== Kann man mit drei Wägungen auch 13 Kugeln lösen? ==
Für 13 Kugeln gibt es 26 mögliche Lösungen. Das ist noch immer weniger als 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27 - man könnte also hoffen, dass man mit 3 Wägungen auch die "falsche" aus 13 herausfinden kann. Geht das?

Bei der ersten Wägung könnten wir (wie bei 12-Kugeln) 4+4 Kugeln auf die Waage legen - dann bleiben aber im Gleichgewichtsfall 5 daneben liegen, mit 10 möglichen Ergebnissen (jede kann entweder die schwerere oder die leichtere sein), was sich mit zwei weiteren Wägungen nicht vollständg lösen lässt (weil 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9&lt;10). 

Wenn man aber 5+5 Kugeln auf die Waage legt, scheitern wir bei Nicht-Gleichgewicht, wie schon im ersten Abschnitt erklärt. 12 Kugeln ist also tatsächlich das Maximum für drei Wägungen.

== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
Viele. Aber wie viele?
Berechnen wir zuerst den absoluten Maximalwert: Vier Wägungen können 3&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=81 unterscheiden. Damit ließe sich im Idealfall aus 40 Kugeln die eine schwerere oder leichtere herausfinden, weil es dann 2*40=80 mögliche Lösungen gibt. Aber sind es tatsächlich so viele?

Für eine genauere Einschränkung schauen wir uns - wie gerade für drei Wägungen - die erste Wägung an: Wir legen dort x+x auf die Waage, y lassen wir daneben liegen. y kann höchstens 12 sein, weil wir aus diesen Kugeln ja mit drei Wägungen das Ergebnis finden müssen. Damit x+x+y höchstens 40 ist, darf x höchstens 14 sein. Wenn wir aber 14+14 Kugeln verwiegen und die Waage ''nicht'' im Gleichgewicht bleibt, haben wir noch 28 mögliche Lösungen - mehr als die 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27, die wir mit den restlichen 3 Wägungen entscheiden können. Daher kann x höchstens 13 sein, und die Maximalzahl für vier Wägungen ist 13+13+12=38.

Und tatsächlich glaube ich, dass ich für 38 Kugeln ein dynamisches Lösungsverfahren gefunden habe ... das ich hier aber nicht verrate: Das kann jeder, der bis hierher gekommen ist, selber finden!

== Offene Frage: Kann ein statisches Verfahren immer gleich viele Kugeln leisten wie ein dynamisches mit gleich viel Wägungen? ==
Mit drei Wägungen kann man höchstens 12 Kugeln lösen - sowohl mit einem dynamischen wie mit einem statischen Verfahren. Auch bei zwei Wägungen sind dynamisches und statisches Verfahren gleich mächtig, und bei einer Wägung sowieso. Aber gilt das allgemein? Gibt es immer, wenn es ein dynamisches Verfahren gibt, auch ein statisches Verfahren? Das ist nicht offensichtlich, weil das dynamische Verfahren ja "mehr Information einspeist". Ich habe aber keine Ahnung, wie ein Beweis aussieht, der zu einem dynamischen Verfahren immer ein statisches konstruieren kann.

[[Kategorie:Denksport Loesung]]</text>
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Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt, gibt es zwei Arten von Lösungen:
* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen (am Anfang drei, dann zwei, dann eine) immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jeder der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem sie links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 27 nicht weniger als 24 ist, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
Die erste Wägung kann drei Ergebnisse haben:
# Waage geht links herunter: Dann wissen wir, dass ''entweder'' unter den linken vier Kugeln die eine schwerere ist ''oder'' unter den rechten vier die eine leichtere.
# Waage geht rechts herunter: Entweder ist unter den vier rechts die schwerere; oder links die leichtere.
# Waage bleibt im Gleichgewicht: Unter den vier neben der Waage ist die abweichende.
Statt weiterhin so lange Texte zu schreiben, müssen wir das kürzer hinschreiben können - nach dem alten Mathematikerspruch: "''Die richtige Notation ist die halbe Lösung''". Ich verwende einmal die folgenden Buchstaben:
* Wenn eine Kugel nur mehr eine schwerere sein kann (aber vielleicht auch eine der 11 gleich schweren - ich nenne die "normal"), dann soll dafür der Buchstabe S stehen; 
* wenn sie nur eine leichtere oder eine normale sein kann, dann steht dafür L;
* und wenn sie schwerer oder leichter oder normal sein kann, dann wird das mit X gekennzeichnet.
* Wenn eine Kugel schließlich sicher "normal" ist, dann wird sie mit N bezeichnet.
Die drei Möglichkeiten oben ergeben also:
# SSSS + LLLL / NNNN (durch + trenne ich die beiden Gruppen, die auf der Waage liegen; nach dem / stehen die Kugeln, die neben der Waage liegen und die uns "gerade noch interessieren").
# LLLL + SSSS / NNNN
# NNNN + NNNN / XXXX
Wir kümmern uns einmal um den dritten Fall - er sieht irgendwie leichter aus, weil wir nur mehr vier Kugeln betrachten müssen ... von denen wir allerdings praktisch nichts wissen! Aber probieren wir einmal: Wir legen links zwei der X-Kugeln, rechts die zwei anderen. Dann haben wir folgende möglichen Ergebnisse:
# links runter: SS + LL
# rechts runter: LL + SS
# Gleichgewicht: kann nicht sein (weil wir ja aus der ersten Wägung wissen, dass eine der vier die abweichende sein muss!).
Im ersten Fall gibt es noch immer ''vier'' mögliche Lösungen (eine der zwei S ist die schwerere; oder eine der beiden L ist die leichtere). Die eine letzte Wägung kann aber nur ''drei'' Möglichkeiten unterscheiden - damit ist die Aufteilung 2+2 nicht ok. Also dann 1+1, mit folgenden Ergebnissen:
# links runter: S + L / NN
# rechts runter: L + S / NN
# Gleichgewicht: N + N / XX
Den ersten und zweiten Fall könnten wir lösen: Im ersten Fall müssen wir nur die S-Kugeln mit einer N-Kugel vergleichen - wenn Gleichgewicht, dann ist die (danebenliegende) L-Kugel die leichtere, wenn S-Kugel nach unten geht, ist sie die schwerere. Aber im dritten Fall bleiben mit den XX ''vier'' Möglichkeiten übrig, die wir wieder mit den ''drei'' möglichen Ergebnissen einer Wägung nicht lösen können. Wir brauchen eine "schrägere Idee".

Hier ist sie: 2+1! Das geht natürlich nicht direkt (siehe Erklärung ganz am Anfang), aber wir können rechts eine weitere N-Kugel dazulegen. Wir legen also hin: XX + XN / X (die vierte X liegt auf der Seite) und haben nur folgende Fälle:
# links runter: SS + LN / N (entweder eine der schwereren zieht links runter; oder rechts ist die leichtere)
# rechts runter: LL + SN / N
# Gleichgewicht: NN + NN / X
Wir haben nur mehr eine Wägung frei - aber das könnte sich nun ausgehen!

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach NNNN+NNNN/XXXX - die "AAB-Konfiguration" ==
Der dritte Fall aus der vorherigen Wägung ist leicht: Wir vergleichen die danebenliegende Kugel (die ja sicher die gesuchte sein muss! - alle anderen sind nun als N bewiesen) mit einer beliebigen N-Kugel, mit folgenden Ergebnissen: 
# links runter: S + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: L + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist leichter.
# Gleichgewicht: unmöglich
Was tun wir mit den anderen beiden Fällen aus der vorherigen Wägung? Aus der ersten Wägung erhalten wir drei Kugeln, von denen wir wissen, dass sie SSL sind: Also entweder ist die erste oder die zweite die zu schwere, oder die dritte die zu leichte. Es gibt mehrere Arten, mit einer Wägung die richtige zu finden - hier ist eine: Man legt die beiden S auf die Waage und erhält dann:
# links runter: S + N --&gt; die linke ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: N + S --&gt; die rechte ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# Gleichgewicht: N + N --&gt; die danebenliegende  ist die gesuchte, und sie ist leichter.
Wenn wir bei der zweiten Wägung den zweiten Fall hatten (LL+SN/N), dann können wir mit den drei LLS-Kugeln dasselbe Spiel spielen: L+L vergleichen - wo's raufgeht, ist die gesuchte, und sie ist leichter; bei Gleichgewicht ist's die danebenliegende, und sie ist schwerer.

Die beiden Fälle haben ein gleichartiges Muster: Aus zwei gleich markierten Kugeln (SS oder LL) und einer dritten, die ebenfalls schon mit S oder L markiert ist, kann man mit einer Wägung die Lösung finden ... ich nenne das eine AAB-Konfiguration, die uns hoffentlich bei dem komplizierteren SSSS+LLLL/NNNN-Fall aus der ersten Wägung weiterhilft!

== Die zweite und dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
In diesem Fall wissen wir, dass links vier S-Kugeln liegen, rechts vier L-Kugeln. Wie weiter? Wenn wir schnell zu einer AAB-Konfiguration kommen, dann würden wir für viele Fälle die Lösung mit einer weiteren Wägung haben! Also probieren wir's ... nach einigem Herumprobieren bin ich auf folgendes gekommen: Man wiegt SSL + SSL / LL, mit folgenden Ergebnissen: 
# Waage geht links herunter: Entweder ist eine der beiden linken SS die gesuchte (und schwerer), oder die rechte L ist die gesuchte (und leichter). Man hat also drei Kugeln als SSL identifiziert, also eine AAB-Konfiguration gefunden! 
# Wenn die Waage rechts heruntergeht, dann hat man die anderen SSL als AAB identifiziert. 
# Und bei Gleichgewicht schließlich hat man die beiden LL als mögliche Lösungen identifiziert. Man kann sie direkt  gegeneinander wiegen - wo's raufgeht, liegt die gesuchte leichtere. Man kann aber auch, "mathematiker-artig", eine N dazulegen und hat dann diesen Fall "auf eine AAB-Konfiguration" zurückgeführt ... das macht hier keinen Unterschied, hilft uns aber vielleicht bei anderen Problemen später! 
In allen drei Fällen ist man also bei AAB angelangt - man findet dann also mit einer einzigen weiteren (dritten) Wägung die gesuchte Kugel. 

Damit haben wir ein dynamisches Lösungsverfahren für das 12-Kugel-Problem gefunden! In Kürze - ich bezeichne die 12 Kugeln mit a,b,...,k,l: 

1. Wägung: abcd+efgh/ijkl 

'''Bei Gleichgewicht der ersten Wägung: ''' 

2. Wägung: ij+ka/l 

3. Wägung: Bei Gleichgewicht: l mit a, sonst ijk mit AAB-Konfiguration (ij+ka geht links runter: ijk=SSL; ij+ka geht rechts runter: ijk=LLS). 

'''Wenn erste Wägung links runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist SSL+SSL/LL 

Bei Gleichgewicht: ghi mit AAB-Konfiguration (LLN). 

Wenn links runter: abf ist SSL, also AAB-Konfiguration; wenn rechts unter: cde ist SSL, also AAB. 

'''Wenn erste Wägung rechts runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist LLS+LLS/S - ist symmetrisch zu "links runter". 

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
Bei dynamischen Verfahren wiegt man nur so wenige Kugeln, wie nötig sind. Es ist aber klar, dass man bei jeder Wägung links und rechts gleich viele N-Kugeln dazustapeln kann, ohne dass sich am Ergebnis was ändert. Was das bringen soll? Nun, man könnte die Wägungen, die man beim dynamischen Verfahren entweder/oder macht, nun ''zugleich'' machen! Und wenn man die Wägungen dabei immer gleich kombinieren kann, dann würde ein Verfahren herauskommen, wo man nicht verschiedene Gruppen je nach vorherigen Ergebnissen wiegt, sondern immer die gleichen - also ein statisches Verfahren!

Probieren wir das einmal: Die erste Wägung ist natürlich gleich - wir können ja, wie weiter oben ausgerechnet, nur mit einer 4+4-Wägung anfangen, und zu diesem Zeitpunkt ist es noch egal, welche Kugeln wir wählen. Die erste Wägung ist also abcd+efgh/ijkl (mit den Bezeichnungen aus dem letzten Abschnitt).

Zweite Wägung: In den beiden Ungleichgewichtsfällen haben wir hier beim dynamischen Verfahren schon beide Male dasselbe ausgeführt, nämlich abe+cdf/gh - das war also schon ein "klein wenig statisch". Im Gleichgewichtsfall kommt nun noch ij+ka/l dazu ... aber das können wir nicht zugleich abwiegen, weil dann auf der a-Seite 4 Kugeln liegen, auf der anderen aber 5 - so geht das nicht. Was tun???

Wir schauen uns die zweite dynamische Wägung noch einmal an: Sie ist ja abe+cdf/gh und hat im ''Gleichgewichtsfall'' eine etwas "schmalere" nächste Wägung ergeben, nämlich nur mehr g+h. Wir könnten diese Wägung zu AAB "auffetten", sodass bei der zweiten Wägung weniger auf der Waage liegt = "Platz für ij+ka wird". Konkret:

Wir bauen unser dynamisches Verfahren so um, dass bei der zweiten Wägung abe+cdi/fgh gewogen wird (statt f nehmen wir also i, was sicher eine neutrale Kugel ist). Wenn die erste Wägung links nach unten ging, sind diese Kugeln SSL+SSN/LLL markiert. Was sind die möglichen Ergebnisse?
# links runter: abi=SSN ist AAB, was mit einer Wägung zu entscheiden ist.
# rechts runter: ecd=LSS, also ist cde AAB - ebenfalls mit einer Wägung zu entscheiden.
# Gleichgewicht: fgh=LLL, also AAB  - auch mit einer Wägung zu entscheiden.
Wenn die erste Wägung rechts nach unten ging, kommt symmetrisch auch raus, dass eine weitere Wägung reicht.

Nun aber können wir abe+cdi/fgh mit ka+ij/l (die umgedrehte zweite Wägung aus dem dynamischen Verfahren, wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war) kombinieren und erhalten als zweite Wägung:

abek+cdij/fghl

Wie gehen wir mit dem Ergebnis dieser Wägung um? Ungefähr so: Wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war, dann wissen wir ja, dass a...h alle neutral sind, daher haben wir eigentlich nur ak+ij/l gewogen und können dieselben Schlüsse ziehen wie beim dynamischen Verfahren. Wenn aber die erste Wägung nach links ging, dann waren ja sicher i...l neutral, wir haben also praktisch abe+cdi/fgh gewogen und können auch passenden Schlüsse ziehen. Und dasselbe geht auch, wenn die erste Wägung nach rechts ging.

Zwei Wägungen sind also schon "statisch" - wir brauchen noch die dritte. Dazu müssen wir einmal alle dritten Wägungen aus dem dynamischen Verfahren aufsammeln. Der Reihe nach sind das:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
* nocheinmal die drei letzten Wägungen, weil die Ergebnisse symmetrisch sind (a+b/i ist nun LLN statt SSN, kann aber mit der gleichen Wägung entschieden werden)
Direkt lassen sich diese Wägungen nicht kombinieren, weil i einmal verwogen werden muss (zweite Wägung), einmal auf der Seite liegen muss (dritte Wägung). Außerdem wir einmal a als neutrale Kugel verwendet, einmal zum Verwiegen. Mhm.

Eine Idee: AAB kann man nicht nur durch Verwiegen der zwei A-Kugeln entscheiden, sondern auch anders - allerdings nur, wenn A und B verschieden sind (also z.B. AAB=SSL): Dann kann man auf eine Seite SL legen, auf die andere NN. Wenn die Waage links runter geht, dann ist S die gesuchte (und schwerer), wenn sie rechts runtergeht, dann ist L die gesuchte (und leichter). Wir können also aus ijk=SSL oder LLS (siehe die Kurzbeschreibung im letzten Kapitel!) jk gegen zwei N-Kugeln verwiegen:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* &lt;u&gt;jk+nn/i&lt;/u&gt;
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Schaffen wir es, auf eine Seite vier Kugeln zu legen? Es geht sich nicht aus :-(

Das mit dem jk war vielleicht doch keine so gute Idee, weil nun eine Kugel mehr auf die Waage kam. Also zurück zur vorherigen Liste:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Können wir a+b/i "drehen", sodass i auf der Waage liegt? abi war ja SSN oder LLN, und hier könnten wir statt a+b auch gern a+i wiegen: Bei Gleichgewicht ist dann b die gesuchte! Also müsste als dritte Wägung auch eine Summe aus Folgendem funktionieren (die ersten zwei Wägungen habe ich schon passend umgedreht):
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* i+a/b
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Und als "Summe" erhalten wir:

licf+ajdg/kbeh

Es sieht so aus, als hätten wir ein statisches Verfahren gefunden! - mit folgenden Wägungen (die Buchstaben habe ich jeweils aufsteigend sortiert):
* abcd+efgh/ijkl
* abek+cdij/fghl
* cfil+adgj/behk
Schauen wir, ob es funktioniert, indem wir für alle möglichen Lösungen die Wäge-Ergebnisse aufschreiben - sie müssen sich alle unterscheiden! L bedeutet hier "Waage senkt sich links", R "Waage senkt sich rechts", = "Waage bleibt im Gleichgewicht":
{| class="article-table"
!
!a
!b
!c
!d
!e
!f
!g
!h
!i
!j
!k
!l
!
|-
|schwerer
|LLR
|LL=
|LRL
|LRR
|RL=
|R=L
|R=R
|R==
|=RL
|=RR
|=L=
|==L
|
|-
|leichter
|RRL
|RR=
|RLR
|RLL
|LR=
|L=R
|L=L
|L==
|=LR
|=LL
|=R=
|==R
|
|}
Tatsächlich!! - es hat funktioniert - alle Wägeergebnisse sind verschieden.

Ich höre hier mit den statischen Verfahren auf - manche Leute haben noch nette Tricks gefunden, wie man die drei Zeichen L, R und = als ternäre Ziffern interpretiert, sodass man sich nicht die Tabelle merken muss, sondern sich die Nummer der abweichenden Kugel aus dem Wägeergebnis als Zahl im Dreiersystem ausrechnen kann. Ein Beispiel dafür ist die andere Lösung, die [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln,_L%C3%B6sung hier] angegeben ist.

Ich schaue mir aber noch schnell das Problem für andere Zahlen von Wägungen an!

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
Keine. Tatsächlich. Warum?

Das mindeste, was man zum Verwiegen braucht, sind zwei Kugeln. Wenn man die aber beide auf die Waage legt und sie sich links senkt, dann weiß man nicht, ob die linke schwerer oder die rechte leichter ist! Auch rechnerisch kann man sich das überlegen: Eine Wägung kann drei Ergebnisse unterscheiden, bei zwei Kugeln gibt es aber schon vier Möglichkeiten (erste schwerer, erste leichter, zweite schwerer, zweite leichter). Allerdings ist auch bei zwei Kugeln das Rätsel nicht sinnvoll: Denn ist nun die erste schwerer oder die zweite leichter?

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
Zwei Wägungen können 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9 Fälle unterscheiden, also prinzipiell das Problem für 4 Kugeln lösen. Überlegen wir, wie man das machen kann:
* Entweder wiegt man zuerst ab+cd. Dann hat man z.B. bei Ausschlag der Waage nach links noch vier Fälle (ab+cd=SS+LL), die man aber mit einer Wägung nicht vollständig entscheiden kann.
* Versuchen wir's also mit a+b/cd. Nun hat man aber bei Gleichgewicht cd=XX, also wieder vier Fälle, die nicht mit der zweiten Wägung zu entscheiden sind.
Also lassen sich mit zwei Wägungen das Rätsel für höchstens drei Kugeln entscheiden:
* Erste Wägung: a+b/c
* Bei Gleichheit 2.Wägung c+a=X+N, bei Ungleichheit ebenfalls c+a, aber nun als N+X.
Es ist schon erstaunlich, dass nur eine weitere Wägung die Zahl dann von 3 auf 12 hochkatapultiert!

== Kann man mit drei Wägungen auch 13 Kugeln lösen? ==
Für 13 Kugeln gibt es 26 mögliche Lösungen. Das ist noch immer weniger als 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27 - man könnte also hoffen, dass man mit 3 Wägungen auch die "falsche" aus 13 herausfinden kann. Geht das?

Bei der ersten Wägung könnten wir (wie bei 12-Kugeln) 4+4 Kugeln auf die Waage legen - dann bleiben aber im Gleichgewichtsfall 5 daneben liegen, mit 10 möglichen Ergebnissen (jede kann entweder die schwerere oder die leichtere sein), was sich mit zwei weiteren Wägungen nicht vollständg lösen lässt (weil 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9&lt;10). 

Wenn man aber 5+5 Kugeln auf die Waage legt, scheitern wir bei Nicht-Gleichgewicht, wie schon im ersten Abschnitt erklärt. 12 Kugeln ist also tatsächlich das Maximum für drei Wägungen.

== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
Viele. Aber wie viele?
Berechnen wir zuerst den absoluten Maximalwert: Vier Wägungen können 3&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=81 unterscheiden. Damit ließe sich im Idealfall aus 40 Kugeln die eine schwerere oder leichtere herausfinden, weil es dann 2*40=80 mögliche Lösungen gibt. Aber sind es tatsächlich so viele?

Für eine genauere Einschränkung schauen wir uns - wie gerade für drei Wägungen - die erste Wägung an: Wir legen dort ''x''+''x'' Kugeln auf die Waage, ''y'' lassen wir daneben liegen. ''y'' kann höchstens 12 sein, weil wir aus diesen Kugeln ja mit drei Wägungen das Ergebnis finden müssen. Damit ''x''+''x''+''y'' höchstens 40 ist, darf ''x'' höchstens 14 sein. Wenn wir aber 14+14 Kugeln verwiegen und die Waage ''nicht'' im Gleichgewicht bleibt, haben wir noch 28 mögliche Lösungen - mehr als die 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27, die wir mit den restlichen 3 Wägungen entscheiden können. Daher kann ''x'' höchstens 13 sein, und die Maximalzahl für vier Wägungen ist 13+13+12=38 Kugeln.

Und tatsächlich glaube ich, dass ich für 38 Kugeln ein dynamisches Lösungsverfahren gefunden habe ... das ich hier aber nicht verrate: Das kann jeder, der bis hierher gekommen ist, selber finden!

== Offene Frage: Kann ein statisches Verfahren immer gleich viele Kugeln leisten wie ein dynamisches mit gleich viel Wägungen? ==
Mit drei Wägungen kann man höchstens 12 Kugeln lösen - sowohl mit einem dynamischen wie mit einem statischen Verfahren. Auch bei zwei Wägungen sind dynamisches und statisches Verfahren gleich mächtig, und bei einer Wägung sowieso. Aber gilt das allgemein? Gibt es immer, wenn es ein dynamisches Verfahren gibt, auch ein statisches Verfahren? Das ist nicht offensichtlich, weil das dynamische Verfahren ja "mehr Information einspeist". Ich habe aber keine Ahnung, wie ein Beweis aussieht, der zu einem dynamischen Verfahren immer ein statisches konstruieren kann.

[[Kategorie:Denksport Loesung]]</text>
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    <text bytes="22135" xml:space="preserve">Es gibt zwar schon eine Lösung zum [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln Problem der Waage und der 12 Kugeln] - aber dort steht praktisch nichts mathematisch Interessantes: Nicht, wie man sie Lösung findet, nicht, welche weiteren ähnlichen Probleme man sich stellen kann ... ich versuche es hier, besser zu machen.

Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt, gibt es zwei Arten von Lösungen:
* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist, oder die leichtere leichter - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen (am Anfang drei, dann zwei, dann eine) immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jeder der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem sie links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 27 nicht weniger als 24 ist, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
Die erste Wägung kann drei Ergebnisse haben:
# Waage geht links herunter: Dann wissen wir, dass ''entweder'' unter den linken vier Kugeln die eine schwerere ist ''oder'' unter den rechten vier die eine leichtere.
# Waage geht rechts herunter: Entweder ist unter den vier rechts die schwerere; oder links die leichtere.
# Waage bleibt im Gleichgewicht: Unter den vier neben der Waage ist die abweichende.
Statt weiterhin so lange Texte zu schreiben, müssen wir das kürzer hinschreiben können - nach dem alten Mathematikerspruch: "''Die richtige Notation ist die halbe Lösung''". Ich verwende einmal die folgenden Buchstaben:
* Wenn eine Kugel nur mehr eine schwerere sein kann (aber vielleicht auch eine der 11 gleich schweren - ich nenne die "normal"), dann soll dafür der Buchstabe S stehen; 
* wenn sie nur eine leichtere oder eine normale sein kann, dann steht dafür L;
* und wenn sie schwerer oder leichter oder normal sein kann, dann wird das mit X gekennzeichnet.
* Wenn eine Kugel schließlich sicher "normal" ist, dann wird sie mit N bezeichnet.
Die drei Möglichkeiten oben ergeben also:
# SSSS + LLLL / NNNN (durch + trenne ich die beiden Gruppen, die auf der Waage liegen; nach dem / stehen die Kugeln, die neben der Waage liegen und die uns "gerade noch interessieren").
# LLLL + SSSS / NNNN
# NNNN + NNNN / XXXX
Wir kümmern uns einmal um den dritten Fall - er sieht irgendwie leichter aus, weil wir nur mehr vier Kugeln betrachten müssen ... von denen wir allerdings praktisch nichts wissen! Aber probieren wir einmal: Wir legen links zwei der X-Kugeln, rechts die zwei anderen. Dann haben wir folgende möglichen Ergebnisse:
# links runter: SS + LL
# rechts runter: LL + SS
# Gleichgewicht: kann nicht sein (weil wir ja aus der ersten Wägung wissen, dass eine der vier die abweichende sein muss!).
Im ersten Fall gibt es noch immer ''vier'' mögliche Lösungen (eine der zwei S ist die schwerere; oder eine der beiden L ist die leichtere). Die eine letzte Wägung kann aber nur ''drei'' Möglichkeiten unterscheiden - damit ist die Aufteilung 2+2 nicht ok. Also dann 1+1, mit folgenden Ergebnissen:
# links runter: S + L / NN
# rechts runter: L + S / NN
# Gleichgewicht: N + N / XX
Den ersten und zweiten Fall könnten wir lösen: Im ersten Fall müssen wir nur die S-Kugeln mit einer N-Kugel vergleichen - wenn Gleichgewicht, dann ist die (danebenliegende) L-Kugel die leichtere, wenn S-Kugel nach unten geht, ist sie die schwerere. Aber im dritten Fall bleiben mit den XX ''vier'' Möglichkeiten übrig, die wir wieder mit den ''drei'' möglichen Ergebnissen einer Wägung nicht lösen können. Wir brauchen eine "schrägere Idee".

Hier ist sie: 2+1! Das geht natürlich nicht direkt (siehe Erklärung ganz am Anfang), aber wir können rechts eine weitere N-Kugel dazulegen. Wir legen also hin: XX + XN / X (die vierte X liegt auf der Seite) und haben nur folgende Fälle:
# links runter: SS + LN / N (entweder eine der schwereren zieht links runter; oder rechts ist die leichtere)
# rechts runter: LL + SN / N
# Gleichgewicht: NN + NN / X
Wir haben nur mehr eine Wägung frei - aber das könnte sich nun ausgehen!

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach NNNN+NNNN/XXXX - die "AAB-Konfiguration" ==
Der dritte Fall aus der vorherigen Wägung ist leicht: Wir vergleichen die danebenliegende Kugel (die ja sicher die gesuchte sein muss! - alle anderen sind nun als N bewiesen) mit einer beliebigen N-Kugel, mit folgenden Ergebnissen: 
# links runter: S + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: L + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist leichter.
# Gleichgewicht: unmöglich
Was tun wir mit den anderen beiden Fällen aus der vorherigen Wägung? Aus der ersten Wägung erhalten wir drei Kugeln, von denen wir wissen, dass sie SSL sind: Also entweder ist die erste oder die zweite die zu schwere, oder die dritte die zu leichte. Es gibt mehrere Arten, mit einer Wägung die richtige zu finden - hier ist eine: Man legt die beiden S auf die Waage und erhält dann:
# links runter: S + N --&gt; die linke ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: N + S --&gt; die rechte ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# Gleichgewicht: N + N --&gt; die danebenliegende  ist die gesuchte, und sie ist leichter.
Wenn wir bei der zweiten Wägung den zweiten Fall hatten (LL+SN/N), dann können wir mit den drei LLS-Kugeln dasselbe Spiel spielen: L+L vergleichen - wo's raufgeht, ist die gesuchte, und sie ist leichter; bei Gleichgewicht ist's die danebenliegende, und sie ist schwerer.

Die beiden Fälle haben ein gleichartiges Muster: Aus zwei gleich markierten Kugeln (SS oder LL) und einer dritten, die ebenfalls schon mit S oder L markiert ist, kann man mit einer Wägung die Lösung finden ... ich nenne das eine AAB-Konfiguration, die uns hoffentlich bei dem komplizierteren SSSS+LLLL/NNNN-Fall aus der ersten Wägung weiterhilft!

== Die zweite und dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
In diesem Fall wissen wir, dass links vier S-Kugeln liegen, rechts vier L-Kugeln. Wie weiter? Wenn wir schnell zu einer AAB-Konfiguration kommen, dann würden wir für viele Fälle die Lösung mit einer weiteren Wägung haben! Also probieren wir's ... nach einigem Herumprobieren bin ich auf folgendes gekommen: Man wiegt SSL + SSL / LL, mit folgenden Ergebnissen: 
# Waage geht links herunter: Entweder ist eine der beiden linken SS die gesuchte (und schwerer), oder die rechte L ist die gesuchte (und leichter). Man hat also drei Kugeln als SSL identifiziert, also eine AAB-Konfiguration gefunden! 
# Wenn die Waage rechts heruntergeht, dann hat man die anderen SSL als AAB identifiziert. 
# Und bei Gleichgewicht schließlich hat man die beiden LL als mögliche Lösungen identifiziert. Man kann sie direkt  gegeneinander wiegen - wo's raufgeht, liegt die gesuchte leichtere. Man kann aber auch, "mathematiker-artig", eine N dazulegen und hat dann diesen Fall "auf eine AAB-Konfiguration" zurückgeführt ... das macht hier keinen Unterschied, hilft uns aber vielleicht bei anderen Problemen später! 
In allen drei Fällen ist man also bei AAB angelangt - man findet dann also mit einer einzigen weiteren (dritten) Wägung die gesuchte Kugel. 

Damit haben wir ein dynamisches Lösungsverfahren für das 12-Kugel-Problem gefunden! In Kürze - ich bezeichne die 12 Kugeln mit a,b,...,k,l: 

1. Wägung: abcd+efgh/ijkl 

'''Bei Gleichgewicht der ersten Wägung: ''' 

2. Wägung: ij+ka/l 

3. Wägung: Bei Gleichgewicht: l mit a, sonst ijk mit AAB-Konfiguration (ij+ka geht links runter: ijk=SSL; ij+ka geht rechts runter: ijk=LLS). 

'''Wenn erste Wägung links runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist SSL+SSL/LL 

Bei Gleichgewicht: ghi mit AAB-Konfiguration (LLN). 

Wenn links runter: abf ist SSL, also AAB-Konfiguration; wenn rechts unter: cde ist SSL, also AAB. 

'''Wenn erste Wägung rechts runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist LLS+LLS/S - ist symmetrisch zu "links runter". 

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
Bei dynamischen Verfahren wiegt man nur so wenige Kugeln, wie nötig sind. Es ist aber klar, dass man bei jeder Wägung links und rechts gleich viele N-Kugeln dazustapeln kann, ohne dass sich am Ergebnis was ändert. Was das bringen soll? Nun, man könnte die Wägungen, die man beim dynamischen Verfahren entweder/oder macht, nun ''zugleich'' machen! Und wenn man die Wägungen dabei immer gleich kombinieren kann, dann würde ein Verfahren herauskommen, wo man nicht verschiedene Gruppen je nach vorherigen Ergebnissen wiegt, sondern immer die gleichen - also ein statisches Verfahren!

Probieren wir das einmal: Die erste Wägung ist natürlich gleich - wir können ja, wie weiter oben ausgerechnet, nur mit einer 4+4-Wägung anfangen, und zu diesem Zeitpunkt ist es noch egal, welche Kugeln wir wählen. Die erste Wägung ist also abcd+efgh/ijkl (mit den Bezeichnungen aus dem letzten Abschnitt).

Zweite Wägung: In den beiden Ungleichgewichtsfällen haben wir hier beim dynamischen Verfahren schon beide Male dasselbe ausgeführt, nämlich abe+cdf/gh - das war also schon ein "klein wenig statisch". Im Gleichgewichtsfall kommt nun noch ij+ka/l dazu ... aber das können wir nicht zugleich abwiegen, weil dann auf der a-Seite 4 Kugeln liegen, auf der anderen aber 5 - so geht das nicht. Was tun???

Wir schauen uns die zweite dynamische Wägung noch einmal an: Sie ist ja abe+cdf/gh und hat im ''Gleichgewichtsfall'' eine etwas "schmalere" nächste Wägung ergeben, nämlich nur mehr g+h. Wir könnten diese Wägung zu AAB "auffetten", sodass bei der zweiten Wägung weniger auf der Waage liegt = "Platz für ij+ka wird". Konkret:

Wir bauen unser dynamisches Verfahren so um, dass bei der zweiten Wägung abe+cdi/fgh gewogen wird (statt f nehmen wir also i, was sicher eine neutrale Kugel ist). Wenn die erste Wägung links nach unten ging, sind diese Kugeln SSL+SSN/LLL markiert. Was sind die möglichen Ergebnisse?
# links runter: abi=SSN ist AAB, was mit einer Wägung zu entscheiden ist.
# rechts runter: ecd=LSS, also ist cde AAB - ebenfalls mit einer Wägung zu entscheiden.
# Gleichgewicht: fgh=LLL, also AAB  - auch mit einer Wägung zu entscheiden.
Wenn die erste Wägung rechts nach unten ging, kommt symmetrisch auch raus, dass eine weitere Wägung reicht.

Nun aber können wir abe+cdi/fgh mit ka+ij/l (die umgedrehte zweite Wägung aus dem dynamischen Verfahren, wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war) kombinieren und erhalten als zweite Wägung:

abek+cdij/fghl

Wie gehen wir mit dem Ergebnis dieser Wägung um? Ungefähr so: Wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war, dann wissen wir ja, dass a...h alle neutral sind, daher haben wir eigentlich nur ak+ij/l gewogen und können dieselben Schlüsse ziehen wie beim dynamischen Verfahren. Wenn aber die erste Wägung nach links ging, dann waren ja sicher i...l neutral, wir haben also praktisch abe+cdi/fgh gewogen und können auch passenden Schlüsse ziehen. Und dasselbe geht auch, wenn die erste Wägung nach rechts ging.

Zwei Wägungen sind also schon "statisch" - wir brauchen noch die dritte. Dazu müssen wir einmal alle dritten Wägungen aus dem dynamischen Verfahren aufsammeln. Der Reihe nach sind das:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
* nocheinmal die drei letzten Wägungen, weil die Ergebnisse symmetrisch sind (a+b/i ist nun LLN statt SSN, kann aber mit der gleichen Wägung entschieden werden)
Direkt lassen sich diese Wägungen nicht kombinieren, weil i einmal verwogen werden muss (zweite Wägung), einmal auf der Seite liegen muss (dritte Wägung). Außerdem wir einmal a als neutrale Kugel verwendet, einmal zum Verwiegen. Mhm.

Eine Idee: AAB kann man nicht nur durch Verwiegen der zwei A-Kugeln entscheiden, sondern auch anders - allerdings nur, wenn A und B verschieden sind (also z.B. AAB=SSL): Dann kann man auf eine Seite SL legen, auf die andere NN. Wenn die Waage links runter geht, dann ist S die gesuchte (und schwerer), wenn sie rechts runtergeht, dann ist L die gesuchte (und leichter). Wir können also aus ijk=SSL oder LLS (siehe die Kurzbeschreibung im letzten Kapitel!) jk gegen zwei N-Kugeln verwiegen:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* &lt;u&gt;jk+nn/i&lt;/u&gt;
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Schaffen wir es, auf eine Seite vier Kugeln zu legen? Es geht sich nicht aus :-(

Das mit dem jk war vielleicht doch keine so gute Idee, weil nun eine Kugel mehr auf die Waage kam. Also zurück zur vorherigen Liste:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Können wir a+b/i "drehen", sodass i auf der Waage liegt? abi war ja SSN oder LLN, und hier könnten wir statt a+b auch gern a+i wiegen: Bei Gleichgewicht ist dann b die gesuchte! Also müsste als dritte Wägung auch eine Summe aus Folgendem funktionieren (die ersten zwei Wägungen habe ich schon passend umgedreht):
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* i+a/b
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Und als "Summe" erhalten wir:

licf+ajdg/kbeh

Es sieht so aus, als hätten wir ein statisches Verfahren gefunden! - mit folgenden Wägungen (die Buchstaben habe ich jeweils aufsteigend sortiert):
* abcd+efgh/ijkl
* abek+cdij/fghl
* cfil+adgj/behk
Schauen wir, ob es funktioniert, indem wir für alle möglichen Lösungen die Wäge-Ergebnisse aufschreiben - sie müssen sich alle unterscheiden! L bedeutet hier "Waage senkt sich links", R "Waage senkt sich rechts", = "Waage bleibt im Gleichgewicht":
{| class="article-table"
!
!a
!b
!c
!d
!e
!f
!g
!h
!i
!j
!k
!l
!
|-
|schwerer
|LLR
|LL=
|LRL
|LRR
|RL=
|R=L
|R=R
|R==
|=RL
|=RR
|=L=
|==L
|
|-
|leichter
|RRL
|RR=
|RLR
|RLL
|LR=
|L=R
|L=L
|L==
|=LR
|=LL
|=R=
|==R
|
|}
Tatsächlich!! - es hat funktioniert - alle Wägeergebnisse sind verschieden.

Ich höre hier mit den statischen Verfahren auf - manche Leute haben noch nette Tricks gefunden, wie man die drei Zeichen L, R und = als ternäre Ziffern interpretiert, sodass man sich nicht die Tabelle merken muss, sondern sich die Nummer der abweichenden Kugel aus dem Wägeergebnis als Zahl im Dreiersystem ausrechnen kann. Ein Beispiel dafür ist die andere Lösung, die [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln,_L%C3%B6sung hier] angegeben ist.

Ich schaue mir aber noch schnell das Problem für andere Zahlen von Wägungen an!

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
Keine. Tatsächlich. Warum?

Das mindeste, was man zum Verwiegen braucht, sind zwei Kugeln. Wenn man die aber beide auf die Waage legt und sie sich links senkt, dann weiß man nicht, ob die linke schwerer oder die rechte leichter ist! Auch rechnerisch kann man sich das überlegen: Eine Wägung kann drei Ergebnisse unterscheiden, bei zwei Kugeln gibt es aber schon vier Möglichkeiten (erste schwerer, erste leichter, zweite schwerer, zweite leichter). Allerdings ist auch bei zwei Kugeln das Rätsel nicht sinnvoll: Denn ist nun die erste schwerer oder die zweite leichter?

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
Zwei Wägungen können 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9 Fälle unterscheiden, also prinzipiell das Problem für 4 Kugeln lösen. Überlegen wir, wie man das machen kann:
* Entweder wiegt man zuerst ab+cd. Dann hat man z.B. bei Ausschlag der Waage nach links noch vier Fälle (ab+cd=SS+LL), die man aber mit einer Wägung nicht vollständig entscheiden kann.
* Versuchen wir's also mit a+b/cd. Nun hat man aber bei Gleichgewicht cd=XX, also wieder vier Fälle, die nicht mit der zweiten Wägung zu entscheiden sind.
Also lassen sich mit zwei Wägungen das Rätsel für höchstens drei Kugeln entscheiden:
* Erste Wägung: a+b/c
* Bei Gleichheit 2.Wägung c+a=X+N, bei Ungleichheit ebenfalls c+a, aber nun als N+X.
Es ist schon erstaunlich, dass nur eine weitere Wägung die Zahl dann von 3 auf 12 hochkatapultiert!

== Kann man mit drei Wägungen auch 13 Kugeln lösen? ==
Für 13 Kugeln gibt es 26 mögliche Lösungen. Das ist noch immer weniger als 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27 - man könnte also hoffen, dass man mit 3 Wägungen auch die "falsche" aus 13 herausfinden kann. Geht das?

Bei der ersten Wägung könnten wir (wie bei 12-Kugeln) 4+4 Kugeln auf die Waage legen - dann bleiben aber im Gleichgewichtsfall 5 daneben liegen, mit 10 möglichen Ergebnissen (jede kann entweder die schwerere oder die leichtere sein), was sich mit zwei weiteren Wägungen nicht vollständg lösen lässt (weil 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9&lt;10). 

Wenn man aber 5+5 Kugeln auf die Waage legt, scheitern wir bei Nicht-Gleichgewicht, wie schon im ersten Abschnitt erklärt. 12 Kugeln ist also tatsächlich das Maximum für drei Wägungen.

== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
Viele. Aber wie viele?
Berechnen wir zuerst den absoluten Maximalwert: Vier Wägungen können 3&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=81 unterscheiden. Damit ließe sich im Idealfall aus 40 Kugeln die eine schwerere oder leichtere herausfinden, weil es dann 2*40=80 mögliche Lösungen gibt. Aber sind es tatsächlich so viele?

Für eine genauere Einschränkung schauen wir uns - wie gerade für drei Wägungen - die erste Wägung an: Wir legen dort ''x''+''x'' Kugeln auf die Waage, ''y'' lassen wir daneben liegen. ''y'' kann höchstens 12 sein, weil wir aus diesen Kugeln ja mit drei Wägungen das Ergebnis finden müssen. Damit ''x''+''x''+''y'' höchstens 40 ist, darf ''x'' höchstens 14 sein. Wenn wir aber 14+14 Kugeln verwiegen und die Waage ''nicht'' im Gleichgewicht bleibt, haben wir noch 28 mögliche Lösungen - mehr als die 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27, die wir mit den restlichen 3 Wägungen entscheiden können. Daher kann ''x'' höchstens 13 sein, und die Maximalzahl für vier Wägungen ist 13+13+12=38 Kugeln.

Und tatsächlich glaube ich, dass ich für 38 Kugeln ein dynamisches Lösungsverfahren gefunden habe ... das ich hier aber nicht verrate: Das kann jeder, der bis hierher gekommen ist, selber finden!

== Offene Frage: Kann ein statisches Verfahren immer gleich viele Kugeln leisten wie ein dynamisches mit gleich viel Wägungen? ==
Mit drei Wägungen kann man höchstens 12 Kugeln lösen - sowohl mit einem dynamischen wie mit einem statischen Verfahren. Auch bei zwei Wägungen sind dynamisches und statisches Verfahren gleich mächtig, und bei einer Wägung sowieso. Aber gilt das allgemein? Gibt es immer, wenn es ein dynamisches Verfahren gibt, auch ein statisches Verfahren? Das ist nicht offensichtlich, weil das dynamische Verfahren ja "mehr Information einspeist". Ich habe aber keine Ahnung, wie ein Beweis aussieht, der zu einem dynamischen Verfahren immer ein statisches konstruieren kann.

[[Kategorie:Denksport Loesung]]</text>
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    <comment>/* Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="22096" xml:space="preserve">Es gibt zwar schon eine Lösung zum [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln Problem der Waage und der 12 Kugeln] - aber dort steht praktisch nichts mathematisch Interessantes: Nicht, wie man sie Lösung findet, nicht, welche weiteren ähnlichen Probleme man sich stellen kann ... ich versuche es hier, besser zu machen.

Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt, gibt es zwei Arten von Lösungen:
* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist, oder die leichtere leichter - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jeder der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem sie links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 27 nicht weniger als 24 ist, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
Die erste Wägung kann drei Ergebnisse haben:
# Waage geht links herunter: Dann wissen wir, dass ''entweder'' unter den linken vier Kugeln die eine schwerere ist ''oder'' unter den rechten vier die eine leichtere.
# Waage geht rechts herunter: Entweder ist unter den vier rechts die schwerere; oder links die leichtere.
# Waage bleibt im Gleichgewicht: Unter den vier neben der Waage ist die abweichende.
Statt weiterhin so lange Texte zu schreiben, müssen wir das kürzer hinschreiben können - nach dem alten Mathematikerspruch: "''Die richtige Notation ist die halbe Lösung''". Ich verwende einmal die folgenden Buchstaben:
* Wenn eine Kugel nur mehr eine schwerere sein kann (aber vielleicht auch eine der 11 gleich schweren - ich nenne die "normal"), dann soll dafür der Buchstabe S stehen; 
* wenn sie nur eine leichtere oder eine normale sein kann, dann steht dafür L;
* und wenn sie schwerer oder leichter oder normal sein kann, dann wird das mit X gekennzeichnet.
* Wenn eine Kugel schließlich sicher "normal" ist, dann wird sie mit N bezeichnet.
Die drei Möglichkeiten oben ergeben also:
# SSSS + LLLL / NNNN (durch + trenne ich die beiden Gruppen, die auf der Waage liegen; nach dem / stehen die Kugeln, die neben der Waage liegen und die uns "gerade noch interessieren").
# LLLL + SSSS / NNNN
# NNNN + NNNN / XXXX
Wir kümmern uns einmal um den dritten Fall - er sieht irgendwie leichter aus, weil wir nur mehr vier Kugeln betrachten müssen ... von denen wir allerdings praktisch nichts wissen! Aber probieren wir einmal: Wir legen links zwei der X-Kugeln, rechts die zwei anderen. Dann haben wir folgende möglichen Ergebnisse:
# links runter: SS + LL
# rechts runter: LL + SS
# Gleichgewicht: kann nicht sein (weil wir ja aus der ersten Wägung wissen, dass eine der vier die abweichende sein muss!).
Im ersten Fall gibt es noch immer ''vier'' mögliche Lösungen (eine der zwei S ist die schwerere; oder eine der beiden L ist die leichtere). Die eine letzte Wägung kann aber nur ''drei'' Möglichkeiten unterscheiden - damit ist die Aufteilung 2+2 nicht ok. Also dann 1+1, mit folgenden Ergebnissen:
# links runter: S + L / NN
# rechts runter: L + S / NN
# Gleichgewicht: N + N / XX
Den ersten und zweiten Fall könnten wir lösen: Im ersten Fall müssen wir nur die S-Kugeln mit einer N-Kugel vergleichen - wenn Gleichgewicht, dann ist die (danebenliegende) L-Kugel die leichtere, wenn S-Kugel nach unten geht, ist sie die schwerere. Aber im dritten Fall bleiben mit den XX ''vier'' Möglichkeiten übrig, die wir wieder mit den ''drei'' möglichen Ergebnissen einer Wägung nicht lösen können. Wir brauchen eine "schrägere Idee".

Hier ist sie: 2+1! Das geht natürlich nicht direkt (siehe Erklärung ganz am Anfang), aber wir können rechts eine weitere N-Kugel dazulegen. Wir legen also hin: XX + XN / X (die vierte X liegt auf der Seite) und haben nur folgende Fälle:
# links runter: SS + LN / N (entweder eine der schwereren zieht links runter; oder rechts ist die leichtere)
# rechts runter: LL + SN / N
# Gleichgewicht: NN + NN / X
Wir haben nur mehr eine Wägung frei - aber das könnte sich nun ausgehen!

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach NNNN+NNNN/XXXX - die "AAB-Konfiguration" ==
Der dritte Fall aus der vorherigen Wägung ist leicht: Wir vergleichen die danebenliegende Kugel (die ja sicher die gesuchte sein muss! - alle anderen sind nun als N bewiesen) mit einer beliebigen N-Kugel, mit folgenden Ergebnissen: 
# links runter: S + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: L + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist leichter.
# Gleichgewicht: unmöglich
Was tun wir mit den anderen beiden Fällen aus der vorherigen Wägung? Aus der ersten Wägung erhalten wir drei Kugeln, von denen wir wissen, dass sie SSL sind: Also entweder ist die erste oder die zweite die zu schwere, oder die dritte die zu leichte. Es gibt mehrere Arten, mit einer Wägung die richtige zu finden - hier ist eine: Man legt die beiden S auf die Waage und erhält dann:
# links runter: S + N --&gt; die linke ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: N + S --&gt; die rechte ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# Gleichgewicht: N + N --&gt; die danebenliegende  ist die gesuchte, und sie ist leichter.
Wenn wir bei der zweiten Wägung den zweiten Fall hatten (LL+SN/N), dann können wir mit den drei LLS-Kugeln dasselbe Spiel spielen: L+L vergleichen - wo's raufgeht, ist die gesuchte, und sie ist leichter; bei Gleichgewicht ist's die danebenliegende, und sie ist schwerer.

Die beiden Fälle haben ein gleichartiges Muster: Aus zwei gleich markierten Kugeln (SS oder LL) und einer dritten, die ebenfalls schon mit S oder L markiert ist, kann man mit einer Wägung die Lösung finden ... ich nenne das eine AAB-Konfiguration, die uns hoffentlich bei dem komplizierteren SSSS+LLLL/NNNN-Fall aus der ersten Wägung weiterhilft!

== Die zweite und dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
In diesem Fall wissen wir, dass links vier S-Kugeln liegen, rechts vier L-Kugeln. Wie weiter? Wenn wir schnell zu einer AAB-Konfiguration kommen, dann würden wir für viele Fälle die Lösung mit einer weiteren Wägung haben! Also probieren wir's ... nach einigem Herumprobieren bin ich auf folgendes gekommen: Man wiegt SSL + SSL / LL, mit folgenden Ergebnissen: 
# Waage geht links herunter: Entweder ist eine der beiden linken SS die gesuchte (und schwerer), oder die rechte L ist die gesuchte (und leichter). Man hat also drei Kugeln als SSL identifiziert, also eine AAB-Konfiguration gefunden! 
# Wenn die Waage rechts heruntergeht, dann hat man die anderen SSL als AAB identifiziert. 
# Und bei Gleichgewicht schließlich hat man die beiden LL als mögliche Lösungen identifiziert. Man kann sie direkt  gegeneinander wiegen - wo's raufgeht, liegt die gesuchte leichtere. Man kann aber auch, "mathematiker-artig", eine N dazulegen und hat dann diesen Fall "auf eine AAB-Konfiguration" zurückgeführt ... das macht hier keinen Unterschied, hilft uns aber vielleicht bei anderen Problemen später! 
In allen drei Fällen ist man also bei AAB angelangt - man findet dann also mit einer einzigen weiteren (dritten) Wägung die gesuchte Kugel. 

Damit haben wir ein dynamisches Lösungsverfahren für das 12-Kugel-Problem gefunden! In Kürze - ich bezeichne die 12 Kugeln mit a,b,...,k,l: 

1. Wägung: abcd+efgh/ijkl 

'''Bei Gleichgewicht der ersten Wägung: ''' 

2. Wägung: ij+ka/l 

3. Wägung: Bei Gleichgewicht: l mit a, sonst ijk mit AAB-Konfiguration (ij+ka geht links runter: ijk=SSL; ij+ka geht rechts runter: ijk=LLS). 

'''Wenn erste Wägung links runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist SSL+SSL/LL 

Bei Gleichgewicht: ghi mit AAB-Konfiguration (LLN). 

Wenn links runter: abf ist SSL, also AAB-Konfiguration; wenn rechts unter: cde ist SSL, also AAB. 

'''Wenn erste Wägung rechts runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist LLS+LLS/S - ist symmetrisch zu "links runter". 

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
Bei dynamischen Verfahren wiegt man nur so wenige Kugeln, wie nötig sind. Es ist aber klar, dass man bei jeder Wägung links und rechts gleich viele N-Kugeln dazustapeln kann, ohne dass sich am Ergebnis was ändert. Was das bringen soll? Nun, man könnte die Wägungen, die man beim dynamischen Verfahren entweder/oder macht, nun ''zugleich'' machen! Und wenn man die Wägungen dabei immer gleich kombinieren kann, dann würde ein Verfahren herauskommen, wo man nicht verschiedene Gruppen je nach vorherigen Ergebnissen wiegt, sondern immer die gleichen - also ein statisches Verfahren!

Probieren wir das einmal: Die erste Wägung ist natürlich gleich - wir können ja, wie weiter oben ausgerechnet, nur mit einer 4+4-Wägung anfangen, und zu diesem Zeitpunkt ist es noch egal, welche Kugeln wir wählen. Die erste Wägung ist also abcd+efgh/ijkl (mit den Bezeichnungen aus dem letzten Abschnitt).

Zweite Wägung: In den beiden Ungleichgewichtsfällen haben wir hier beim dynamischen Verfahren schon beide Male dasselbe ausgeführt, nämlich abe+cdf/gh - das war also schon ein "klein wenig statisch". Im Gleichgewichtsfall kommt nun noch ij+ka/l dazu ... aber das können wir nicht zugleich abwiegen, weil dann auf der a-Seite 4 Kugeln liegen, auf der anderen aber 5 - so geht das nicht. Was tun???

Wir schauen uns die zweite dynamische Wägung noch einmal an: Sie ist ja abe+cdf/gh und hat im ''Gleichgewichtsfall'' eine etwas "schmalere" nächste Wägung ergeben, nämlich nur mehr g+h. Wir könnten diese Wägung zu AAB "auffetten", sodass bei der zweiten Wägung weniger auf der Waage liegt = "Platz für ij+ka wird". Konkret:

Wir bauen unser dynamisches Verfahren so um, dass bei der zweiten Wägung abe+cdi/fgh gewogen wird (statt f nehmen wir also i, was sicher eine neutrale Kugel ist). Wenn die erste Wägung links nach unten ging, sind diese Kugeln SSL+SSN/LLL markiert. Was sind die möglichen Ergebnisse?
# links runter: abi=SSN ist AAB, was mit einer Wägung zu entscheiden ist.
# rechts runter: ecd=LSS, also ist cde AAB - ebenfalls mit einer Wägung zu entscheiden.
# Gleichgewicht: fgh=LLL, also AAB  - auch mit einer Wägung zu entscheiden.
Wenn die erste Wägung rechts nach unten ging, kommt symmetrisch auch raus, dass eine weitere Wägung reicht.

Nun aber können wir abe+cdi/fgh mit ka+ij/l (die umgedrehte zweite Wägung aus dem dynamischen Verfahren, wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war) kombinieren und erhalten als zweite Wägung:

abek+cdij/fghl

Wie gehen wir mit dem Ergebnis dieser Wägung um? Ungefähr so: Wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war, dann wissen wir ja, dass a...h alle neutral sind, daher haben wir eigentlich nur ak+ij/l gewogen und können dieselben Schlüsse ziehen wie beim dynamischen Verfahren. Wenn aber die erste Wägung nach links ging, dann waren ja sicher i...l neutral, wir haben also praktisch abe+cdi/fgh gewogen und können auch passenden Schlüsse ziehen. Und dasselbe geht auch, wenn die erste Wägung nach rechts ging.

Zwei Wägungen sind also schon "statisch" - wir brauchen noch die dritte. Dazu müssen wir einmal alle dritten Wägungen aus dem dynamischen Verfahren aufsammeln. Der Reihe nach sind das:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
* nocheinmal die drei letzten Wägungen, weil die Ergebnisse symmetrisch sind (a+b/i ist nun LLN statt SSN, kann aber mit der gleichen Wägung entschieden werden)
Direkt lassen sich diese Wägungen nicht kombinieren, weil i einmal verwogen werden muss (zweite Wägung), einmal auf der Seite liegen muss (dritte Wägung). Außerdem wir einmal a als neutrale Kugel verwendet, einmal zum Verwiegen. Mhm.

Eine Idee: AAB kann man nicht nur durch Verwiegen der zwei A-Kugeln entscheiden, sondern auch anders - allerdings nur, wenn A und B verschieden sind (also z.B. AAB=SSL): Dann kann man auf eine Seite SL legen, auf die andere NN. Wenn die Waage links runter geht, dann ist S die gesuchte (und schwerer), wenn sie rechts runtergeht, dann ist L die gesuchte (und leichter). Wir können also aus ijk=SSL oder LLS (siehe die Kurzbeschreibung im letzten Kapitel!) jk gegen zwei N-Kugeln verwiegen:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* &lt;u&gt;jk+nn/i&lt;/u&gt;
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Schaffen wir es, auf eine Seite vier Kugeln zu legen? Es geht sich nicht aus :-(

Das mit dem jk war vielleicht doch keine so gute Idee, weil nun eine Kugel mehr auf die Waage kam. Also zurück zur vorherigen Liste:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Können wir a+b/i "drehen", sodass i auf der Waage liegt? abi war ja SSN oder LLN, und hier könnten wir statt a+b auch gern a+i wiegen: Bei Gleichgewicht ist dann b die gesuchte! Also müsste als dritte Wägung auch eine Summe aus Folgendem funktionieren (die ersten zwei Wägungen habe ich schon passend umgedreht):
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* i+a/b
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Und als "Summe" erhalten wir:

licf+ajdg/kbeh

Es sieht so aus, als hätten wir ein statisches Verfahren gefunden! - mit folgenden Wägungen (die Buchstaben habe ich jeweils aufsteigend sortiert):
* abcd+efgh/ijkl
* abek+cdij/fghl
* cfil+adgj/behk
Schauen wir, ob es funktioniert, indem wir für alle möglichen Lösungen die Wäge-Ergebnisse aufschreiben - sie müssen sich alle unterscheiden! L bedeutet hier "Waage senkt sich links", R "Waage senkt sich rechts", = "Waage bleibt im Gleichgewicht":
{| class="article-table"
!
!a
!b
!c
!d
!e
!f
!g
!h
!i
!j
!k
!l
!
|-
|schwerer
|LLR
|LL=
|LRL
|LRR
|RL=
|R=L
|R=R
|R==
|=RL
|=RR
|=L=
|==L
|
|-
|leichter
|RRL
|RR=
|RLR
|RLL
|LR=
|L=R
|L=L
|L==
|=LR
|=LL
|=R=
|==R
|
|}
Tatsächlich!! - es hat funktioniert - alle Wägeergebnisse sind verschieden.

Ich höre hier mit den statischen Verfahren auf - manche Leute haben noch nette Tricks gefunden, wie man die drei Zeichen L, R und = als ternäre Ziffern interpretiert, sodass man sich nicht die Tabelle merken muss, sondern sich die Nummer der abweichenden Kugel aus dem Wägeergebnis als Zahl im Dreiersystem ausrechnen kann. Ein Beispiel dafür ist die andere Lösung, die [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln,_L%C3%B6sung hier] angegeben ist.

Ich schaue mir aber noch schnell das Problem für andere Zahlen von Wägungen an!

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
Keine. Tatsächlich. Warum?

Das mindeste, was man zum Verwiegen braucht, sind zwei Kugeln. Wenn man die aber beide auf die Waage legt und sie sich links senkt, dann weiß man nicht, ob die linke schwerer oder die rechte leichter ist! Auch rechnerisch kann man sich das überlegen: Eine Wägung kann drei Ergebnisse unterscheiden, bei zwei Kugeln gibt es aber schon vier Möglichkeiten (erste schwerer, erste leichter, zweite schwerer, zweite leichter). Allerdings ist auch bei zwei Kugeln das Rätsel nicht sinnvoll: Denn ist nun die erste schwerer oder die zweite leichter?

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
Zwei Wägungen können 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9 Fälle unterscheiden, also prinzipiell das Problem für 4 Kugeln lösen. Überlegen wir, wie man das machen kann:
* Entweder wiegt man zuerst ab+cd. Dann hat man z.B. bei Ausschlag der Waage nach links noch vier Fälle (ab+cd=SS+LL), die man aber mit einer Wägung nicht vollständig entscheiden kann.
* Versuchen wir's also mit a+b/cd. Nun hat man aber bei Gleichgewicht cd=XX, also wieder vier Fälle, die nicht mit der zweiten Wägung zu entscheiden sind.
Also lassen sich mit zwei Wägungen das Rätsel für höchstens drei Kugeln entscheiden:
* Erste Wägung: a+b/c
* Bei Gleichheit 2.Wägung c+a=X+N, bei Ungleichheit ebenfalls c+a, aber nun als N+X.
Es ist schon erstaunlich, dass nur eine weitere Wägung die Zahl dann von 3 auf 12 hochkatapultiert!

== Kann man mit drei Wägungen auch 13 Kugeln lösen? ==
Für 13 Kugeln gibt es 26 mögliche Lösungen. Das ist noch immer weniger als 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27 - man könnte also hoffen, dass man mit 3 Wägungen auch die "falsche" aus 13 herausfinden kann. Geht das?

Bei der ersten Wägung könnten wir (wie bei 12-Kugeln) 4+4 Kugeln auf die Waage legen - dann bleiben aber im Gleichgewichtsfall 5 daneben liegen, mit 10 möglichen Ergebnissen (jede kann entweder die schwerere oder die leichtere sein), was sich mit zwei weiteren Wägungen nicht vollständg lösen lässt (weil 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9&lt;10). 

Wenn man aber 5+5 Kugeln auf die Waage legt, scheitern wir bei Nicht-Gleichgewicht, wie schon im ersten Abschnitt erklärt. 12 Kugeln ist also tatsächlich das Maximum für drei Wägungen.

== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
Viele. Aber wie viele?
Berechnen wir zuerst den absoluten Maximalwert: Vier Wägungen können 3&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=81 unterscheiden. Damit ließe sich im Idealfall aus 40 Kugeln die eine schwerere oder leichtere herausfinden, weil es dann 2*40=80 mögliche Lösungen gibt. Aber sind es tatsächlich so viele?

Für eine genauere Einschränkung schauen wir uns - wie gerade für drei Wägungen - die erste Wägung an: Wir legen dort ''x''+''x'' Kugeln auf die Waage, ''y'' lassen wir daneben liegen. ''y'' kann höchstens 12 sein, weil wir aus diesen Kugeln ja mit drei Wägungen das Ergebnis finden müssen. Damit ''x''+''x''+''y'' höchstens 40 ist, darf ''x'' höchstens 14 sein. Wenn wir aber 14+14 Kugeln verwiegen und die Waage ''nicht'' im Gleichgewicht bleibt, haben wir noch 28 mögliche Lösungen - mehr als die 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27, die wir mit den restlichen 3 Wägungen entscheiden können. Daher kann ''x'' höchstens 13 sein, und die Maximalzahl für vier Wägungen ist 13+13+12=38 Kugeln.

Und tatsächlich glaube ich, dass ich für 38 Kugeln ein dynamisches Lösungsverfahren gefunden habe ... das ich hier aber nicht verrate: Das kann jeder, der bis hierher gekommen ist, selber finden!

== Offene Frage: Kann ein statisches Verfahren immer gleich viele Kugeln leisten wie ein dynamisches mit gleich viel Wägungen? ==
Mit drei Wägungen kann man höchstens 12 Kugeln lösen - sowohl mit einem dynamischen wie mit einem statischen Verfahren. Auch bei zwei Wägungen sind dynamisches und statisches Verfahren gleich mächtig, und bei einer Wägung sowieso. Aber gilt das allgemein? Gibt es immer, wenn es ein dynamisches Verfahren gibt, auch ein statisches Verfahren? Das ist nicht offensichtlich, weil das dynamische Verfahren ja "mehr Information einspeist". Ich habe aber keine Ahnung, wie ein Beweis aussieht, der zu einem dynamischen Verfahren immer ein statisches konstruieren kann.

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    <comment>/* Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="22017" xml:space="preserve">Es gibt zwar schon eine Lösung zum [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln Problem der Waage und der 12 Kugeln] - aber dort steht praktisch nichts mathematisch Interessantes: Nicht, wie man sie Lösung findet, nicht, welche weiteren ähnlichen Probleme man sich stellen kann ... ich versuche es hier, besser zu machen.

Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt, gibt es zwei Arten von Lösungen:
* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist, oder die leichtere leichter - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jeder der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem sie links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 27 nicht weniger als 24 ist, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
Die erste Wägung kann drei Ergebnisse haben:
# Waage geht links herunter: Dann wissen wir, dass ''entweder'' unter den linken vier Kugeln die eine schwerere ist ''oder'' unter den rechten vier die eine leichtere.
# Waage geht rechts herunter: Entweder ist unter den vier rechts die schwerere; oder links die leichtere.
# Waage bleibt im Gleichgewicht: Unter den vier neben der Waage ist die abweichende.
Statt weiterhin so lange Texte zu schreiben, müssen wir das kürzer hinschreiben können - nach dem alten Mathematikerspruch: "''Die richtige Notation ist die halbe Lösung''". Ich verwende einmal die folgenden Buchstaben:
* Wenn eine Kugel nur mehr eine schwerere sein kann (aber vielleicht auch eine der 11 gleich schweren - ich nenne die "normal"), dann soll dafür der Buchstabe S stehen; 
* wenn sie nur eine leichtere oder eine normale sein kann, dann steht dafür L;
* und wenn sie schwerer oder leichter oder normal sein kann, dann wird das mit X gekennzeichnet.
* Wenn eine Kugel schließlich sicher "normal" ist, dann wird sie mit N bezeichnet.
Die drei Möglichkeiten oben ergeben also:
# SSSS + LLLL / NNNN (durch + trenne ich die beiden Gruppen, die auf der Waage liegen; nach dem / stehen die Kugeln, die neben der Waage liegen und die uns "gerade noch interessieren").
# LLLL + SSSS / NNNN
# NNNN + NNNN / XXXX
Wir kümmern uns einmal um den dritten Fall - er sieht irgendwie leichter aus, weil wir nur mehr vier Kugeln betrachten müssen ... von denen wir allerdings praktisch nichts wissen! Aber probieren wir einmal: Wir legen links zwei der X-Kugeln, rechts die zwei anderen. Dann haben wir folgende möglichen Ergebnisse:
# links runter: SS + LL
# rechts runter: LL + SS
# Gleichgewicht: kann nicht sein (weil wir ja aus der ersten Wägung wissen, dass eine der vier die abweichende sein muss!).
Im ersten Fall gibt es noch immer ''vier'' mögliche Lösungen (eine der zwei S ist die schwerere; oder eine der beiden L ist die leichtere). Die eine letzte Wägung kann aber nur ''drei'' Möglichkeiten unterscheiden - damit ist die Aufteilung 2+2 nicht ok. Also dann 1+1, mit folgenden Ergebnissen:
# links runter: S + L / NN
# rechts runter: L + S / NN
# Gleichgewicht: N + N / XX
Den ersten und zweiten Fall könnten wir lösen: Im ersten Fall müssen wir nur die S-Kugeln mit einer N-Kugel vergleichen - wenn Gleichgewicht, dann ist die (danebenliegende) L-Kugel die leichtere, wenn S-Kugel nach unten geht, ist sie die schwerere. Aber im dritten Fall bleiben mit den XX ''vier'' Möglichkeiten übrig, die wir wieder mit den ''drei'' möglichen Ergebnissen einer Wägung nicht lösen können. Wir brauchen eine "schrägere Idee".

Hier ist sie: 2+1! Das geht natürlich nicht direkt (siehe Erklärung ganz am Anfang), aber wir können rechts eine weitere N-Kugel dazulegen. Wir legen also hin: XX + XN / X (die vierte X liegt auf der Seite) und haben nur folgende Fälle:
# links runter: SS + LN / N (entweder eine der schwereren zieht links runter; oder rechts ist die leichtere)
# rechts runter: LL + SN / N
# Gleichgewicht: NN + NN / X
Wir haben nur mehr eine Wägung frei - aber das könnte sich nun ausgehen!

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach NNNN+NNNN/XXXX - die "AAB-Konfiguration" ==
Der dritte Fall aus der vorherigen Wägung ist leicht: Wir vergleichen die danebenliegende Kugel (die ja sicher die gesuchte sein muss! - alle anderen sind nun als N bewiesen) mit einer beliebigen N-Kugel, mit folgenden Ergebnissen: 
# links runter: S + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: L + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist leichter.
# Gleichgewicht: unmöglich
Was tun wir mit den anderen beiden Fällen aus der vorherigen Wägung? Aus der ersten Wägung erhalten wir drei Kugeln, von denen wir wissen, dass sie SSL sind: Also entweder ist die erste oder die zweite die zu schwere, oder die dritte die zu leichte. Es gibt mehrere Arten, mit einer Wägung die richtige zu finden - hier ist eine: Man legt die beiden S auf die Waage und erhält dann:
# links runter: S + N --&gt; die linke ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: N + S --&gt; die rechte ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# Gleichgewicht: N + N --&gt; die danebenliegende  ist die gesuchte, und sie ist leichter.
Wenn wir bei der zweiten Wägung den zweiten Fall hatten (LL+SN/N), dann können wir mit den drei LLS-Kugeln dasselbe Spiel spielen: L+L vergleichen - wo's raufgeht, ist die gesuchte, und sie ist leichter; bei Gleichgewicht ist's die danebenliegende, und sie ist schwerer.

Die beiden Fälle haben ein gleichartiges Muster: Aus zwei gleich markierten Kugeln (SS oder LL) und einer dritten, die ebenfalls schon mit S oder L markiert ist, kann man mit einer Wägung die Lösung finden ... ich nenne das eine AAB-Konfiguration, die uns hoffentlich bei dem komplizierteren SSSS+LLLL/NNNN-Fall aus der ersten Wägung weiterhilft!

== Die zweite und dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
In diesem Fall wissen wir, dass links vier S-Kugeln liegen, rechts vier L-Kugeln. Wie weiter? Wenn wir schnell zu einer AAB-Konfiguration kommen, dann würden wir für viele Fälle die Lösung mit einer weiteren Wägung haben! Also probieren wir's ... nach einigem Herumprobieren bin ich auf folgendes gekommen: Man wiegt SSL + SSL / LL, mit folgenden Ergebnissen: 
# Waage geht links herunter: Entweder ist eine der beiden linken SS die gesuchte (und schwerer), oder die rechte L ist die gesuchte (und leichter). Man hat also drei Kugeln als SSL identifiziert, also eine AAB-Konfiguration gefunden! 
# Wenn die Waage rechts heruntergeht, dann hat man die anderen SSL als AAB identifiziert. 
# Und bei Gleichgewicht schließlich hat man die beiden LL als mögliche Lösungen identifiziert. Man kann sie direkt  gegeneinander wiegen - wo's raufgeht, liegt die gesuchte leichtere. Man kann aber auch, "mathematiker-artig", eine N dazulegen und hat dann diesen Fall "auf eine AAB-Konfiguration" zurückgeführt ... das macht hier keinen Unterschied, hilft uns aber vielleicht bei anderen Problemen später! 
In allen drei Fällen ist man also bei AAB angelangt - man findet dann also mit einer einzigen weiteren (dritten) Wägung die gesuchte Kugel. 

Damit haben wir ein dynamisches Lösungsverfahren für das 12-Kugel-Problem gefunden! In Kürze - ich bezeichne die 12 Kugeln mit a,b,...,k,l: 

1. Wägung: abcd+efgh/ijkl 

'''Bei Gleichgewicht der ersten Wägung: ''' 

2. Wägung: ij+ka/l 

3. Wägung: Bei Gleichgewicht: l mit a, sonst ijk mit AAB-Konfiguration (ij+ka geht links runter: ijk=SSL; ij+ka geht rechts runter: ijk=LLS). 

'''Wenn erste Wägung links runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist SSL+SSL/LL 

Bei Gleichgewicht: ghi mit AAB-Konfiguration (LLN). 

Wenn links runter: abf ist SSL, also AAB-Konfiguration; wenn rechts unter: cde ist SSL, also AAB. 

'''Wenn erste Wägung rechts runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist LLS+LLS/S - ist symmetrisch zu "links runter". 

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
Bei dynamischen Verfahren wiegt man nur so wenige Kugeln, wie nötig sind. Es ist aber klar, dass man bei jeder Wägung links und rechts gleich viele N-Kugeln dazustapeln kann, ohne dass sich am Ergebnis was ändert. Was das bringen soll? Nun, man könnte die Wägungen, die man beim dynamischen Verfahren entweder/oder macht, nun ''zugleich'' machen! Und wenn man die Wägungen dabei immer gleich kombinieren kann, dann würde ein Verfahren herauskommen, wo man nicht verschiedene Gruppen je nach vorherigen Ergebnissen wiegt, sondern immer die gleichen - also ein statisches Verfahren!

Probieren wir das einmal: Die erste Wägung ist natürlich gleich - wir können ja, wie weiter oben ausgerechnet, nur mit einer 4+4-Wägung anfangen, und zu diesem Zeitpunkt ist es noch egal, welche Kugeln wir wählen. Die erste Wägung ist also abcd+efgh/ijkl (mit den Bezeichnungen aus dem letzten Abschnitt).

Zweite Wägung: In den beiden Ungleichgewichtsfällen haben wir hier beim dynamischen Verfahren schon beide Male dasselbe ausgeführt, nämlich abe+cdf/gh - das war also schon ein "klein wenig statisch". Im Gleichgewichtsfall kommt nun noch ij+ka/l dazu ... aber das können wir nicht zugleich abwiegen, weil dann auf der a-Seite 4 Kugeln liegen, auf der anderen aber 5 - so geht das nicht. Was tun???

Wir schauen uns die zweite dynamische Wägung noch einmal an: Sie ist ja abe+cdf/gh und hat im ''Gleichgewichtsfall'' eine etwas "schmalere" nächste Wägung ergeben, nämlich nur mehr g+h. Wir könnten diese Wägung zu AAB "auffetten", sodass bei der zweiten Wägung weniger auf der Waage liegt = "Platz für ij+ka wird". Konkret:

Wir bauen unser dynamisches Verfahren so um, dass bei der zweiten Wägung abe+cdi/fgh gewogen wird (statt f nehmen wir also i, was sicher eine neutrale Kugel ist). Wenn die erste Wägung links nach unten ging, sind diese Kugeln SSL+SSN/LLL markiert. Was sind die möglichen Ergebnisse?
# links runter: abi=SSN ist AAB, was mit einer Wägung zu entscheiden ist.
# rechts runter: ecd=LSS, also ist cde AAB - ebenfalls mit einer Wägung zu entscheiden.
# Gleichgewicht: fgh=LLL, also AAB  - auch mit einer Wägung zu entscheiden.
Wenn die erste Wägung rechts nach unten ging, kommt symmetrisch auch raus, dass eine weitere Wägung reicht.

Nun aber können wir abe+cdi/fgh mit ka+ij/l (die umgedrehte zweite Wägung aus dem dynamischen Verfahren, wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war) kombinieren und erhalten als zweite Wägung:

abek+cdij/fghl

Wie gehen wir mit dem Ergebnis dieser Wägung um? Ungefähr so: Wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war, dann wissen wir ja, dass a...h alle neutral sind, daher haben wir eigentlich nur ak+ij/l gewogen und können dieselben Schlüsse ziehen wie beim dynamischen Verfahren. Wenn aber die erste Wägung nach links ging, dann waren ja sicher i...l neutral, wir haben also praktisch abe+cdi/fgh gewogen und können auch passenden Schlüsse ziehen. Und dasselbe geht auch, wenn die erste Wägung nach rechts ging.

Zwei Wägungen sind also schon "statisch" - wir brauchen noch die dritte. Dazu müssen wir einmal alle dritten Wägungen aus dem dynamischen Verfahren aufsammeln. Der Reihe nach sind das:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
* nocheinmal die drei letzten Wägungen, weil die Ergebnisse symmetrisch sind (a+b/i ist nun LLN statt SSN, kann aber mit der gleichen Wägung entschieden werden)
Direkt lassen sich diese Wägungen nicht kombinieren, weil i einmal verwogen werden muss (zweite Zeile), einmal auf der Seite liegen muss (dritte Zeile). Mhm.

Eine Idee: AAB kann man nicht nur durch Verwiegen der zwei A-Kugeln entscheiden, sondern auch anders - allerdings nur, wenn A und B verschieden sind (also z.B. AAB=SSL): Dann kann man auf eine Seite SL legen, auf die andere NN. Wenn die Waage links runter geht, dann ist S die gesuchte (und schwerer), wenn sie rechts runtergeht, dann ist L die gesuchte (und leichter). Wir können also aus ijk=SSL oder LLS (siehe die Kurzbeschreibung im letzten Kapitel!) jk gegen zwei N-Kugeln verwiegen:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* &lt;u&gt;jk+nn/i&lt;/u&gt;
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Schaffen wir es, auf eine Seite vier Kugeln zu legen? Es geht sich nicht aus :-(

Das mit dem jk war vielleicht doch keine so gute Idee, weil nun eine Kugel mehr auf die Waage kam. Also zurück zur vorherigen Liste:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Können wir a+b/i "drehen", sodass i auf der Waage liegt? abi war ja SSN oder LLN, und hier könnten wir statt a+b auch gern a+i wiegen: Bei Gleichgewicht ist dann b die gesuchte! Also müsste als dritte Wägung auch eine Summe aus Folgendem funktionieren (die ersten zwei Wägungen habe ich schon passend umgedreht):
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* i+a/b
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Und als "Summe" erhalten wir:

licf+ajdg/kbeh

Es sieht so aus, als hätten wir ein statisches Verfahren gefunden! - mit folgenden Wägungen (die Buchstaben habe ich jeweils aufsteigend sortiert):
* abcd+efgh/ijkl
* abek+cdij/fghl
* cfil+adgj/behk
Schauen wir, ob es funktioniert, indem wir für alle möglichen Lösungen die Wäge-Ergebnisse aufschreiben - sie müssen sich alle unterscheiden! L bedeutet hier "Waage senkt sich links", R "Waage senkt sich rechts", = "Waage bleibt im Gleichgewicht":
{| class="article-table"
!
!a
!b
!c
!d
!e
!f
!g
!h
!i
!j
!k
!l
!
|-
|schwerer
|LLR
|LL=
|LRL
|LRR
|RL=
|R=L
|R=R
|R==
|=RL
|=RR
|=L=
|==L
|
|-
|leichter
|RRL
|RR=
|RLR
|RLL
|LR=
|L=R
|L=L
|L==
|=LR
|=LL
|=R=
|==R
|
|}
Tatsächlich!! - es hat funktioniert - alle Wägeergebnisse sind verschieden.

Ich höre hier mit den statischen Verfahren auf - manche Leute haben noch nette Tricks gefunden, wie man die drei Zeichen L, R und = als ternäre Ziffern interpretiert, sodass man sich nicht die Tabelle merken muss, sondern sich die Nummer der abweichenden Kugel aus dem Wägeergebnis als Zahl im Dreiersystem ausrechnen kann. Ein Beispiel dafür ist die andere Lösung, die [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln,_L%C3%B6sung hier] angegeben ist.

Ich schaue mir aber noch schnell das Problem für andere Zahlen von Wägungen an!

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
Keine. Tatsächlich. Warum?

Das mindeste, was man zum Verwiegen braucht, sind zwei Kugeln. Wenn man die aber beide auf die Waage legt und sie sich links senkt, dann weiß man nicht, ob die linke schwerer oder die rechte leichter ist! Auch rechnerisch kann man sich das überlegen: Eine Wägung kann drei Ergebnisse unterscheiden, bei zwei Kugeln gibt es aber schon vier Möglichkeiten (erste schwerer, erste leichter, zweite schwerer, zweite leichter). Allerdings ist auch bei zwei Kugeln das Rätsel nicht sinnvoll: Denn ist nun die erste schwerer oder die zweite leichter?

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
Zwei Wägungen können 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9 Fälle unterscheiden, also prinzipiell das Problem für 4 Kugeln lösen. Überlegen wir, wie man das machen kann:
* Entweder wiegt man zuerst ab+cd. Dann hat man z.B. bei Ausschlag der Waage nach links noch vier Fälle (ab+cd=SS+LL), die man aber mit einer Wägung nicht vollständig entscheiden kann.
* Versuchen wir's also mit a+b/cd. Nun hat man aber bei Gleichgewicht cd=XX, also wieder vier Fälle, die nicht mit der zweiten Wägung zu entscheiden sind.
Also lassen sich mit zwei Wägungen das Rätsel für höchstens drei Kugeln entscheiden:
* Erste Wägung: a+b/c
* Bei Gleichheit 2.Wägung c+a=X+N, bei Ungleichheit ebenfalls c+a, aber nun als N+X.
Es ist schon erstaunlich, dass nur eine weitere Wägung die Zahl dann von 3 auf 12 hochkatapultiert!

== Kann man mit drei Wägungen auch 13 Kugeln lösen? ==
Für 13 Kugeln gibt es 26 mögliche Lösungen. Das ist noch immer weniger als 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27 - man könnte also hoffen, dass man mit 3 Wägungen auch die "falsche" aus 13 herausfinden kann. Geht das?

Bei der ersten Wägung könnten wir (wie bei 12-Kugeln) 4+4 Kugeln auf die Waage legen - dann bleiben aber im Gleichgewichtsfall 5 daneben liegen, mit 10 möglichen Ergebnissen (jede kann entweder die schwerere oder die leichtere sein), was sich mit zwei weiteren Wägungen nicht vollständg lösen lässt (weil 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9&lt;10). 

Wenn man aber 5+5 Kugeln auf die Waage legt, scheitern wir bei Nicht-Gleichgewicht, wie schon im ersten Abschnitt erklärt. 12 Kugeln ist also tatsächlich das Maximum für drei Wägungen.

== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
Viele. Aber wie viele?
Berechnen wir zuerst den absoluten Maximalwert: Vier Wägungen können 3&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=81 unterscheiden. Damit ließe sich im Idealfall aus 40 Kugeln die eine schwerere oder leichtere herausfinden, weil es dann 2*40=80 mögliche Lösungen gibt. Aber sind es tatsächlich so viele?

Für eine genauere Einschränkung schauen wir uns - wie gerade für drei Wägungen - die erste Wägung an: Wir legen dort ''x''+''x'' Kugeln auf die Waage, ''y'' lassen wir daneben liegen. ''y'' kann höchstens 12 sein, weil wir aus diesen Kugeln ja mit drei Wägungen das Ergebnis finden müssen. Damit ''x''+''x''+''y'' höchstens 40 ist, darf ''x'' höchstens 14 sein. Wenn wir aber 14+14 Kugeln verwiegen und die Waage ''nicht'' im Gleichgewicht bleibt, haben wir noch 28 mögliche Lösungen - mehr als die 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27, die wir mit den restlichen 3 Wägungen entscheiden können. Daher kann ''x'' höchstens 13 sein, und die Maximalzahl für vier Wägungen ist 13+13+12=38 Kugeln.

Und tatsächlich glaube ich, dass ich für 38 Kugeln ein dynamisches Lösungsverfahren gefunden habe ... das ich hier aber nicht verrate: Das kann jeder, der bis hierher gekommen ist, selber finden!

== Offene Frage: Kann ein statisches Verfahren immer gleich viele Kugeln leisten wie ein dynamisches mit gleich viel Wägungen? ==
Mit drei Wägungen kann man höchstens 12 Kugeln lösen - sowohl mit einem dynamischen wie mit einem statischen Verfahren. Auch bei zwei Wägungen sind dynamisches und statisches Verfahren gleich mächtig, und bei einer Wägung sowieso. Aber gilt das allgemein? Gibt es immer, wenn es ein dynamisches Verfahren gibt, auch ein statisches Verfahren? Das ist nicht offensichtlich, weil das dynamische Verfahren ja "mehr Information einspeist". Ich habe aber keine Ahnung, wie ein Beweis aussieht, der zu einem dynamischen Verfahren immer ein statisches konstruieren kann.

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    <text bytes="22024" xml:space="preserve">Es gibt zwar schon eine Lösung zum [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln Problem der Waage und der 12 Kugeln] - aber dort steht praktisch nichts mathematisch Interessantes: Nicht, wie man sie Lösung findet, nicht, welche weiteren ähnlichen Probleme man sich stellen kann ... ich versuche es hier, besser zu machen.

Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt, gibt es zwei Arten von Lösungen:
* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist, oder die leichtere leichter - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jeder der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem sie links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 27 nicht weniger als 24 ist, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
Die erste Wägung kann drei Ergebnisse haben:
# Waage geht links herunter: Dann wissen wir, dass ''entweder'' unter den linken vier Kugeln die eine schwerere ist ''oder'' unter den rechten vier die eine leichtere.
# Waage geht rechts herunter: Entweder ist unter den vier rechts die schwerere; oder links die leichtere.
# Waage bleibt im Gleichgewicht: Unter den vier neben der Waage ist die abweichende.
Statt weiterhin so lange Texte zu schreiben, müssen wir das kürzer hinschreiben können - nach dem alten Mathematikerspruch: "''Die richtige Notation ist die halbe Lösung''". Ich verwende einmal die folgenden Buchstaben:
* Wenn eine Kugel nur mehr eine schwerere sein kann (aber vielleicht auch eine der 11 gleich schweren - ich nenne die "normal"), dann soll dafür der Buchstabe S stehen; 
* wenn sie nur eine leichtere oder eine normale sein kann, dann steht dafür L;
* und wenn sie schwerer oder leichter oder normal sein kann, dann wird das mit X gekennzeichnet.
* Wenn eine Kugel schließlich sicher "normal" ist, dann wird sie mit N bezeichnet.
Die drei Möglichkeiten oben ergeben also:
# SSSS + LLLL / NNNN (durch + trenne ich die beiden Gruppen, die auf der Waage liegen; nach dem / stehen die Kugeln, die neben der Waage liegen und die uns "gerade noch interessieren").
# LLLL + SSSS / NNNN
# NNNN + NNNN / XXXX
Wir kümmern uns einmal um den dritten Fall - er sieht irgendwie leichter aus, weil wir nur mehr vier Kugeln betrachten müssen ... von denen wir allerdings praktisch nichts wissen! Aber probieren wir einmal: Wir legen links zwei der X-Kugeln, rechts die zwei anderen. Dann haben wir folgende möglichen Ergebnisse:
# links runter: SS + LL
# rechts runter: LL + SS
# Gleichgewicht: kann nicht sein (weil wir ja aus der ersten Wägung wissen, dass eine der vier die abweichende sein muss!).
Im ersten Fall gibt es noch immer ''vier'' mögliche Lösungen (eine der zwei S ist die schwerere; oder eine der beiden L ist die leichtere). Die eine letzte Wägung kann aber nur ''drei'' Möglichkeiten unterscheiden - damit ist die Aufteilung 2+2 nicht ok. Also dann 1+1, mit folgenden Ergebnissen:
# links runter: S + L / NN
# rechts runter: L + S / NN
# Gleichgewicht: N + N / XX
Den ersten und zweiten Fall könnten wir lösen: Im ersten Fall müssen wir nur die S-Kugeln mit einer N-Kugel vergleichen - wenn Gleichgewicht, dann ist die (danebenliegende) L-Kugel die leichtere, wenn S-Kugel nach unten geht, ist sie die schwerere. Aber im dritten Fall bleiben mit den XX ''vier'' Möglichkeiten übrig, die wir wieder mit den ''drei'' möglichen Ergebnissen einer Wägung nicht lösen können. Wir brauchen eine "schrägere Idee".

Hier ist sie: 2+1! Das geht natürlich nicht direkt (siehe Erklärung ganz am Anfang), aber wir können rechts eine weitere N-Kugel dazulegen. Wir legen also hin: XX + XN / X (die vierte X liegt auf der Seite) und haben nur folgende Fälle:
# links runter: SS + LN / N (entweder eine der schwereren zieht links runter; oder rechts ist die leichtere)
# rechts runter: LL + SN / N
# Gleichgewicht: NN + NN / X
Wir haben nur mehr eine Wägung frei - aber das könnte sich nun ausgehen!

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach NNNN+NNNN/XXXX - die "AAB-Konfiguration" ==
Der dritte Fall aus der vorherigen Wägung ist leicht: Wir vergleichen die danebenliegende Kugel (die ja sicher die gesuchte sein muss! - alle anderen sind nun als N bewiesen) mit einer beliebigen N-Kugel, mit folgenden Ergebnissen: 
# links runter: S + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: L + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist leichter.
# Gleichgewicht: unmöglich
Was tun wir mit den anderen beiden Fällen aus der vorherigen Wägung? Aus der ersten Wägung erhalten wir drei Kugeln, von denen wir wissen, dass sie SSL sind: Also entweder ist die erste oder die zweite die zu schwere, oder die dritte die zu leichte. Es gibt mehrere Arten, mit einer Wägung die richtige zu finden - hier ist eine: Man legt die beiden S auf die Waage und erhält dann:
# links runter: S + N --&gt; die linke ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: N + S --&gt; die rechte ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# Gleichgewicht: N + N --&gt; die danebenliegende  ist die gesuchte, und sie ist leichter.
Wenn wir bei der zweiten Wägung den zweiten Fall hatten (LL+SN/N), dann können wir mit den drei LLS-Kugeln dasselbe Spiel spielen: L+L vergleichen - wo's raufgeht, ist die gesuchte, und sie ist leichter; bei Gleichgewicht ist's die danebenliegende, und sie ist schwerer.

Die beiden Fälle haben ein gleichartiges Muster: Aus zwei gleich markierten Kugeln (SS oder LL) und einer dritten, die ebenfalls schon mit S oder L markiert ist, kann man mit einer Wägung die Lösung finden ... ich nenne das eine AAB-Konfiguration, die uns hoffentlich bei dem komplizierteren SSSS+LLLL/NNNN-Fall aus der ersten Wägung weiterhilft!

== Die zweite und dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
In diesem Fall wissen wir, dass links vier S-Kugeln liegen, rechts vier L-Kugeln. Wie weiter? Wenn wir schnell zu einer AAB-Konfiguration kommen, dann würden wir für viele Fälle die Lösung mit einer weiteren Wägung haben! Also probieren wir's ... nach einigem Herumprobieren bin ich auf folgendes gekommen: Man wiegt SSL + SSL / LL, mit folgenden Ergebnissen: 
# Waage geht links herunter: Entweder ist eine der beiden linken SS die gesuchte (und schwerer), oder die rechte L ist die gesuchte (und leichter). Man hat also drei Kugeln als SSL identifiziert, also eine AAB-Konfiguration gefunden! 
# Wenn die Waage rechts heruntergeht, dann hat man die anderen SSL als AAB identifiziert. 
# Und bei Gleichgewicht schließlich hat man die beiden LL als mögliche Lösungen identifiziert. Man kann sie direkt  gegeneinander wiegen - wo's raufgeht, liegt die gesuchte leichtere. Man kann aber auch, "mathematiker-artig", eine N dazulegen und hat dann diesen Fall "auf eine AAB-Konfiguration" zurückgeführt ... das macht hier keinen Unterschied, hilft uns aber vielleicht bei anderen Problemen später! 
In allen drei Fällen ist man also bei AAB angelangt - man findet dann also mit einer einzigen weiteren (dritten) Wägung die gesuchte Kugel. 

Damit haben wir ein dynamisches Lösungsverfahren für das 12-Kugel-Problem gefunden! In Kürze - ich bezeichne die 12 Kugeln mit a,b,...,k,l: 

1. Wägung: abcd+efgh/ijkl 

'''Bei Gleichgewicht der ersten Wägung: ''' 

2. Wägung: ij+ka/l 

3. Wägung: Bei Gleichgewicht: l mit a, sonst ijk mit AAB-Konfiguration (ij+ka geht links runter: ijk=SSL; ij+ka geht rechts runter: ijk=LLS). 

'''Wenn erste Wägung links runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist SSL+SSL/LL 

Bei Gleichgewicht: ghi mit AAB-Konfiguration (LLN). 

Wenn links runter: abf ist SSL, also AAB-Konfiguration; wenn rechts unter: cde ist SSL, also AAB. 

'''Wenn erste Wägung rechts runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist LLS+LLS/S - ist symmetrisch zu "links runter". 

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
Bei dynamischen Verfahren wiegt man nur so wenige Kugeln, wie nötig sind. Es ist aber klar, dass man bei jeder Wägung links und rechts gleich viele N-Kugeln dazustapeln kann, ohne dass sich am Ergebnis was ändert. Was das bringen soll? Nun, man könnte die Wägungen, die man beim dynamischen Verfahren entweder/oder macht, nun ''zugleich'' machen! Und wenn man die Wägungen dabei immer gleich kombinieren kann, dann würde ein Verfahren herauskommen, wo man nicht verschiedene Gruppen je nach vorherigen Ergebnissen wiegt, sondern immer die gleichen - also ein statisches Verfahren!

Probieren wir das einmal: Die erste Wägung ist natürlich gleich - wir können ja, wie weiter oben ausgerechnet, nur mit einer 4+4-Wägung anfangen, und zu diesem Zeitpunkt ist es noch egal, welche Kugeln wir wählen. Die erste Wägung ist also abcd+efgh/ijkl (mit den Bezeichnungen aus dem letzten Abschnitt).

Zweite Wägung: In den beiden Ungleichgewichtsfällen haben wir hier beim dynamischen Verfahren schon beide Male dasselbe ausgeführt, nämlich abe+cdf/gh - das war also schon ein "klein wenig statisch". Im Gleichgewichtsfall kommt nun noch ij+ka/l dazu ... aber das können wir nicht zugleich abwiegen, weil dann auf der a-Seite 4 Kugeln liegen, auf der anderen aber 5 - so geht das nicht. Was tun???

Wir schauen uns die zweite dynamische Wägung noch einmal an: Sie ist ja abe+cdf/gh und hat im ''Gleichgewichtsfall'' eine etwas "schmalere" nächste Wägung ergeben, nämlich nur mehr g+h. Wir könnten diese Wägung zu AAB "auffetten", sodass bei der zweiten Wägung weniger auf der Waage liegt = "Platz für ij+ka wird". Konkret:

Wir bauen unser dynamisches Verfahren so um, dass bei der zweiten Wägung abe+cdi/fgh gewogen wird (statt f nehmen wir also i, was sicher eine neutrale Kugel ist). Wenn die erste Wägung links nach unten ging, sind diese Kugeln SSL+SSN/LLL markiert. Was sind die möglichen Ergebnisse?
# links runter: abi=SSN ist AAB, was mit einer Wägung zu entscheiden ist.
# rechts runter: ecd=LSS, also ist cde AAB - ebenfalls mit einer Wägung zu entscheiden.
# Gleichgewicht: fgh=LLL, also AAB  - auch mit einer Wägung zu entscheiden.
Wenn die erste Wägung rechts nach unten ging, kommt symmetrisch auch raus, dass eine weitere Wägung reicht.

Nun aber können wir abe+cdi/fgh mit ka+ij/l (die umgedrehte zweite Wägung aus dem dynamischen Verfahren, wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war) kombinieren und erhalten als zweite Wägung:

abek+cdij/fghl

Wie gehen wir mit dem Ergebnis dieser Wägung um? Ungefähr so: Wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war, dann wissen wir ja, dass a...h alle neutral sind, daher haben wir eigentlich nur ak+ij/l gewogen und können dieselben Schlüsse ziehen wie beim dynamischen Verfahren. Wenn aber die erste Wägung nach links ging, dann waren ja sicher i...l neutral, wir haben also praktisch abe+cdi/fgh gewogen und können auch passenden Schlüsse ziehen. Und dasselbe geht auch, wenn die erste Wägung nach rechts ging.

Zwei Wägungen sind also schon "statisch" - wir brauchen noch die dritte. Dazu müssen wir einmal alle dritten Wägungen aus dem dynamischen Verfahren aufsammeln. Der Reihe nach sind das:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
* nocheinmal die drei letzten Wägungen, weil die Ergebnisse symmetrisch sind (a+b/i ist nun LLN statt SSN, kann aber mit der gleichen Wägung entschieden werden)
Direkt lassen sich diese Wägungen nicht kombinieren, weil i einmal verwogen werden muss (zweite Zeile), einmal auf der Seite liegen muss (dritte Zeile). Mhm.

Eine Idee: AAB kann man nicht nur durch Verwiegen der zwei A-Kugeln entscheiden, sondern auch anders - allerdings nur, wenn A und B verschieden sind (also z.B. AAB=SSL): Dann kann man auf eine Seite SL legen, auf die andere NN. Wenn die Waage links runter geht, dann ist S die gesuchte (und schwerer), wenn sie rechts runtergeht, dann ist L die gesuchte (und leichter). Wir können also aus ijk=SSL oder LLS (siehe die Kurzbeschreibung im letzten Kapitel!) jk gegen zwei N-Kugeln verwiegen:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* &lt;u&gt;jk+nn/i&lt;/u&gt;
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Schaffen wir es, auf eine Seite vier Kugeln zu legen? Es geht sich nicht aus :-(

Das mit dem jk war vielleicht doch keine so gute Idee, weil nun eine Kugel mehr auf die Waage kam. Also zurück zur vorherigen Liste:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Können wir a+b/i "drehen", sodass i auf der Waage liegt? abi war ja SSN oder LLN, und hier könnten wir statt a+b auch gern a+i wiegen: Bei Gleichgewicht ist dann b die gesuchte! Also müsste als dritte Wägung auch eine Summe aus Folgendem funktionieren (die ersten zwei Wägungen habe ich schon passend umgedreht):
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* &lt;u&gt;i+a/b&lt;/u&gt;
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Und als "Summe" erhalten wir:

licf+ajdg/kbeh

Es sieht so aus, als hätten wir ein statisches Verfahren gefunden! - mit folgenden Wägungen (die Buchstaben habe ich jeweils aufsteigend sortiert):
* abcd+efgh/ijkl
* abek+cdij/fghl
* cfil+adgj/behk
Schauen wir, ob es funktioniert, indem wir für alle möglichen Lösungen die Wäge-Ergebnisse aufschreiben - sie müssen sich alle unterscheiden! L bedeutet hier "Waage senkt sich links", R "Waage senkt sich rechts", = "Waage bleibt im Gleichgewicht":
{| class="article-table"
!
!a
!b
!c
!d
!e
!f
!g
!h
!i
!j
!k
!l
!
|-
|schwerer
|LLR
|LL=
|LRL
|LRR
|RL=
|R=L
|R=R
|R==
|=RL
|=RR
|=L=
|==L
|
|-
|leichter
|RRL
|RR=
|RLR
|RLL
|LR=
|L=R
|L=L
|L==
|=LR
|=LL
|=R=
|==R
|
|}
Tatsächlich!! - es hat funktioniert - alle Wägeergebnisse sind verschieden.

Ich höre hier mit den statischen Verfahren auf - manche Leute haben noch nette Tricks gefunden, wie man die drei Zeichen L, R und = als ternäre Ziffern interpretiert, sodass man sich nicht die Tabelle merken muss, sondern sich die Nummer der abweichenden Kugel aus dem Wägeergebnis als Zahl im Dreiersystem ausrechnen kann. Ein Beispiel dafür ist die andere Lösung, die [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln,_L%C3%B6sung hier] angegeben ist.

Ich schaue mir aber noch schnell das Problem für andere Zahlen von Wägungen an!

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
Keine. Tatsächlich. Warum?

Das mindeste, was man zum Verwiegen braucht, sind zwei Kugeln. Wenn man die aber beide auf die Waage legt und sie sich links senkt, dann weiß man nicht, ob die linke schwerer oder die rechte leichter ist! Auch rechnerisch kann man sich das überlegen: Eine Wägung kann drei Ergebnisse unterscheiden, bei zwei Kugeln gibt es aber schon vier Möglichkeiten (erste schwerer, erste leichter, zweite schwerer, zweite leichter). Allerdings ist auch bei zwei Kugeln das Rätsel nicht sinnvoll: Denn ist nun die erste schwerer oder die zweite leichter?

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
Zwei Wägungen können 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9 Fälle unterscheiden, also prinzipiell das Problem für 4 Kugeln lösen. Überlegen wir, wie man das machen kann:
* Entweder wiegt man zuerst ab+cd. Dann hat man z.B. bei Ausschlag der Waage nach links noch vier Fälle (ab+cd=SS+LL), die man aber mit einer Wägung nicht vollständig entscheiden kann.
* Versuchen wir's also mit a+b/cd. Nun hat man aber bei Gleichgewicht cd=XX, also wieder vier Fälle, die nicht mit der zweiten Wägung zu entscheiden sind.
Also lassen sich mit zwei Wägungen das Rätsel für höchstens drei Kugeln entscheiden:
* Erste Wägung: a+b/c
* Bei Gleichheit 2.Wägung c+a=X+N, bei Ungleichheit ebenfalls c+a, aber nun als N+X.
Es ist schon erstaunlich, dass nur eine weitere Wägung die Zahl dann von 3 auf 12 hochkatapultiert!

== Kann man mit drei Wägungen auch 13 Kugeln lösen? ==
Für 13 Kugeln gibt es 26 mögliche Lösungen. Das ist noch immer weniger als 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27 - man könnte also hoffen, dass man mit 3 Wägungen auch die "falsche" aus 13 herausfinden kann. Geht das?

Bei der ersten Wägung könnten wir (wie bei 12-Kugeln) 4+4 Kugeln auf die Waage legen - dann bleiben aber im Gleichgewichtsfall 5 daneben liegen, mit 10 möglichen Ergebnissen (jede kann entweder die schwerere oder die leichtere sein), was sich mit zwei weiteren Wägungen nicht vollständg lösen lässt (weil 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9&lt;10). 

Wenn man aber 5+5 Kugeln auf die Waage legt, scheitern wir bei Nicht-Gleichgewicht, wie schon im ersten Abschnitt erklärt. 12 Kugeln ist also tatsächlich das Maximum für drei Wägungen.

== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
Viele. Aber wie viele?
Berechnen wir zuerst den absoluten Maximalwert: Vier Wägungen können 3&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=81 unterscheiden. Damit ließe sich im Idealfall aus 40 Kugeln die eine schwerere oder leichtere herausfinden, weil es dann 2*40=80 mögliche Lösungen gibt. Aber sind es tatsächlich so viele?

Für eine genauere Einschränkung schauen wir uns - wie gerade für drei Wägungen - die erste Wägung an: Wir legen dort ''x''+''x'' Kugeln auf die Waage, ''y'' lassen wir daneben liegen. ''y'' kann höchstens 12 sein, weil wir aus diesen Kugeln ja mit drei Wägungen das Ergebnis finden müssen. Damit ''x''+''x''+''y'' höchstens 40 ist, darf ''x'' höchstens 14 sein. Wenn wir aber 14+14 Kugeln verwiegen und die Waage ''nicht'' im Gleichgewicht bleibt, haben wir noch 28 mögliche Lösungen - mehr als die 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27, die wir mit den restlichen 3 Wägungen entscheiden können. Daher kann ''x'' höchstens 13 sein, und die Maximalzahl für vier Wägungen ist 13+13+12=38 Kugeln.

Und tatsächlich glaube ich, dass ich für 38 Kugeln ein dynamisches Lösungsverfahren gefunden habe ... das ich hier aber nicht verrate: Das kann jeder, der bis hierher gekommen ist, selber finden!

== Offene Frage: Kann ein statisches Verfahren immer gleich viele Kugeln leisten wie ein dynamisches mit gleich viel Wägungen? ==
Mit drei Wägungen kann man höchstens 12 Kugeln lösen - sowohl mit einem dynamischen wie mit einem statischen Verfahren. Auch bei zwei Wägungen sind dynamisches und statisches Verfahren gleich mächtig, und bei einer Wägung sowieso. Aber gilt das allgemein? Gibt es immer, wenn es ein dynamisches Verfahren gibt, auch ein statisches Verfahren? Das ist nicht offensichtlich, weil das dynamische Verfahren ja "mehr Information einspeist". Ich habe aber keine Ahnung, wie ein Beweis aussieht, der zu einem dynamischen Verfahren immer ein statisches konstruieren kann.

[[Kategorie:Denksport Loesung]]</text>
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    <text bytes="23556" xml:space="preserve">Es gibt zwar schon eine Lösung zum [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln Problem der Waage und der 12 Kugeln] - aber dort steht praktisch nichts mathematisch Interessantes: Nicht, wie man sie Lösung findet, nicht, welche weiteren ähnlichen Probleme man sich stellen kann ... ich versuche es hier, besser zu machen.

Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt, gibt es zwei Arten von Lösungen:
* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist, oder die leichtere leichter - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jeder der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem sie links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 27 nicht weniger als 24 ist, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
Die erste Wägung kann drei Ergebnisse haben:
# Waage geht links herunter: Dann wissen wir, dass ''entweder'' unter den linken vier Kugeln die eine schwerere ist ''oder'' unter den rechten vier die eine leichtere.
# Waage geht rechts herunter: Entweder ist unter den vier rechts die schwerere; oder links die leichtere.
# Waage bleibt im Gleichgewicht: Unter den vier neben der Waage ist die abweichende.
Statt weiterhin so lange Texte zu schreiben, müssen wir das kürzer hinschreiben können - nach dem alten Mathematikerspruch: "''Die richtige Notation ist die halbe Lösung''". Ich verwende einmal die folgenden Buchstaben:
* Wenn eine Kugel nur mehr eine schwerere sein kann (aber vielleicht auch eine der 11 gleich schweren - ich nenne die "normal"), dann soll dafür der Buchstabe S stehen; 
* wenn sie nur eine leichtere oder eine normale sein kann, dann steht dafür L;
* und wenn sie schwerer oder leichter oder normal sein kann, dann wird das mit X gekennzeichnet.
* Wenn eine Kugel schließlich sicher "normal" ist, dann wird sie mit N bezeichnet.
Die drei Möglichkeiten oben ergeben also:
# SSSS + LLLL / NNNN (durch + trenne ich die beiden Gruppen, die auf der Waage liegen; nach dem / stehen die Kugeln, die neben der Waage liegen und die uns "gerade noch interessieren").
# LLLL + SSSS / NNNN
# NNNN + NNNN / XXXX
Wir kümmern uns einmal um den dritten Fall - er sieht irgendwie leichter aus, weil wir nur mehr vier Kugeln betrachten müssen ... von denen wir allerdings praktisch nichts wissen! Aber probieren wir einmal: Wir legen links zwei der X-Kugeln, rechts die zwei anderen. Dann haben wir folgende möglichen Ergebnisse:
# links runter: SS + LL
# rechts runter: LL + SS
# Gleichgewicht: kann nicht sein (weil wir ja aus der ersten Wägung wissen, dass eine der vier die abweichende sein muss!).
Im ersten Fall gibt es noch immer ''vier'' mögliche Lösungen (eine der zwei S ist die schwerere; oder eine der beiden L ist die leichtere). Die eine letzte Wägung kann aber nur ''drei'' Möglichkeiten unterscheiden - damit ist die Aufteilung 2+2 nicht ok. Also dann 1+1, mit folgenden Ergebnissen:
# links runter: S + L / NN
# rechts runter: L + S / NN
# Gleichgewicht: N + N / XX
Den ersten und zweiten Fall könnten wir lösen: Im ersten Fall müssen wir nur die S-Kugeln mit einer N-Kugel vergleichen - wenn Gleichgewicht, dann ist die (danebenliegende) L-Kugel die leichtere, wenn S-Kugel nach unten geht, ist sie die schwerere. Aber im dritten Fall bleiben mit den XX ''vier'' Möglichkeiten übrig, die wir wieder mit den ''drei'' möglichen Ergebnissen einer Wägung nicht lösen können. Wir brauchen eine "schrägere Idee".

Hier ist sie: 2+1! Das geht natürlich nicht direkt (siehe Erklärung ganz am Anfang), aber wir können rechts eine weitere N-Kugel dazulegen. Wir legen also hin: XX + XN / X (die vierte X liegt auf der Seite) und haben nur folgende Fälle:
# links runter: SS + LN / N (entweder eine der schwereren zieht links runter; oder rechts ist die leichtere)
# rechts runter: LL + SN / N
# Gleichgewicht: NN + NN / X
Wir haben nur mehr eine Wägung frei - aber das könnte sich nun ausgehen!

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach NNNN+NNNN/XXXX - die "AAB-Konfiguration" ==
Der dritte Fall aus der vorherigen Wägung ist leicht: Wir vergleichen die danebenliegende Kugel (die ja sicher die gesuchte sein muss! - alle anderen sind nun als N bewiesen) mit einer beliebigen N-Kugel, mit folgenden Ergebnissen: 
# links runter: S + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: L + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist leichter.
# Gleichgewicht: unmöglich
Was tun wir mit den anderen beiden Fällen aus der vorherigen Wägung? Aus der ersten Wägung erhalten wir drei Kugeln, von denen wir wissen, dass sie SSL sind: Also entweder ist die erste oder die zweite die zu schwere, oder die dritte die zu leichte. Es gibt mehrere Arten, mit einer Wägung die richtige zu finden - hier ist eine: Man legt die beiden S auf die Waage und erhält dann:
# links runter: S + N --&gt; die linke ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: N + S --&gt; die rechte ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# Gleichgewicht: N + N --&gt; die danebenliegende  ist die gesuchte, und sie ist leichter.
Wenn wir bei der zweiten Wägung den zweiten Fall hatten (LL+SN/N), dann können wir mit den drei LLS-Kugeln dasselbe Spiel spielen: L+L vergleichen - wo's raufgeht, ist die gesuchte, und sie ist leichter; bei Gleichgewicht ist's die danebenliegende, und sie ist schwerer.

Die beiden Fälle haben ein gleichartiges Muster: Aus zwei gleich markierten Kugeln (SS oder LL) und einer dritten, die ebenfalls schon mit S oder L markiert ist, kann man mit einer Wägung die Lösung finden ... ich nenne das eine AAB-Konfiguration, die uns hoffentlich bei dem komplizierteren SSSS+LLLL/NNNN-Fall aus der ersten Wägung weiterhilft!

== Die zweite und dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
In diesem Fall wissen wir, dass links vier S-Kugeln liegen, rechts vier L-Kugeln. Wie weiter? Wenn wir schnell zu einer AAB-Konfiguration kommen, dann würden wir für viele Fälle die Lösung mit einer weiteren Wägung haben! Also probieren wir's ... nach einigem Herumprobieren bin ich auf folgendes gekommen: Man wiegt SSL + SSL / LL, mit folgenden Ergebnissen: 
# Waage geht links herunter: Entweder ist eine der beiden linken SS die gesuchte (und schwerer), oder die rechte L ist die gesuchte (und leichter). Man hat also drei Kugeln als SSL identifiziert, also eine AAB-Konfiguration gefunden! 
# Wenn die Waage rechts heruntergeht, dann hat man die anderen SSL als AAB identifiziert. 
# Und bei Gleichgewicht schließlich hat man die beiden LL als mögliche Lösungen identifiziert. Man kann sie direkt  gegeneinander wiegen - wo's raufgeht, liegt die gesuchte leichtere. Man kann aber auch, "mathematiker-artig", eine N dazulegen und hat dann diesen Fall "auf eine AAB-Konfiguration" zurückgeführt ... das macht hier keinen Unterschied, hilft uns aber vielleicht bei anderen Problemen später! 
In allen drei Fällen ist man also bei AAB angelangt - man findet dann also mit einer einzigen weiteren (dritten) Wägung die gesuchte Kugel. 

Damit haben wir ein dynamisches Lösungsverfahren für das 12-Kugel-Problem gefunden! In Kürze - ich bezeichne die 12 Kugeln mit a,b,...,k,l: 

1. Wägung: abcd+efgh/ijkl 

'''Bei Gleichgewicht der ersten Wägung: ''' 

2. Wägung: ij+ka/l 

3. Wägung: Bei Gleichgewicht: l mit a, sonst ijk mit AAB-Konfiguration (ij+ka geht links runter: ijk=SSL; ij+ka geht rechts runter: ijk=LLS). 

'''Wenn erste Wägung links runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist SSL+SSL/LL 

Bei Gleichgewicht: ghi mit AAB-Konfiguration (LLN). 

Wenn links runter: abf ist SSL, also AAB-Konfiguration; wenn rechts unter: cde ist SSL, also AAB. 

'''Wenn erste Wägung rechts runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist LLS+LLS/S - ist symmetrisch zu "links runter". 

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
Bei dynamischen Verfahren wiegt man nur so wenige Kugeln, wie nötig sind. Es ist aber klar, dass man bei jeder Wägung links und rechts gleich viele N-Kugeln dazustapeln kann, ohne dass sich am Ergebnis was ändert. Was das bringen soll? Nun, man könnte die Wägungen, die man beim dynamischen Verfahren entweder/oder macht, nun ''zugleich'' machen! Und wenn man die Wägungen dabei immer gleich kombinieren kann, dann würde ein Verfahren herauskommen, wo man nicht verschiedene Gruppen je nach vorherigen Ergebnissen wiegt, sondern immer die gleichen - also ein statisches Verfahren!

Probieren wir das einmal: Die erste Wägung ist natürlich gleich - wir können ja, wie weiter oben ausgerechnet, nur mit einer 4+4-Wägung anfangen, und zu diesem Zeitpunkt ist es noch egal, welche Kugeln wir wählen. Die erste Wägung ist also abcd+efgh/ijkl (mit den Bezeichnungen aus dem letzten Abschnitt).

Zweite Wägung: In den beiden Ungleichgewichtsfällen haben wir hier beim dynamischen Verfahren schon beide Male dasselbe ausgeführt, nämlich abe+cdf/gh - das war also schon ein "klein wenig statisch". Im Gleichgewichtsfall kommt nun noch ij+ka/l dazu ... aber das können wir nicht zugleich abwiegen, weil dann auf der a-Seite 4 Kugeln liegen, auf der anderen aber 5 - so geht das nicht. Was tun???

Wir schauen uns die zweite dynamische Wägung noch einmal an: Sie ist ja abe+cdf/gh und hat im ''Gleichgewichtsfall'' eine etwas "schmalere" nächste Wägung ergeben, nämlich nur mehr g+h. Wir könnten diese Wägung zu AAB "auffetten", sodass bei der zweiten Wägung weniger auf der Waage liegt = "Platz für ij+ka wird". Konkret:

Wir bauen unser dynamisches Verfahren so um, dass bei der zweiten Wägung abe+cdi/fgh gewogen wird (statt f nehmen wir also i, was sicher eine neutrale Kugel ist). Wenn die erste Wägung links nach unten ging, sind diese Kugeln SSL+SSN/LLL markiert. Was sind die möglichen Ergebnisse?
# links runter: abi=SSN ist AAB, was mit einer Wägung zu entscheiden ist.
# rechts runter: ecd=LSS, also ist cde AAB - ebenfalls mit einer Wägung zu entscheiden.
# Gleichgewicht: fgh=LLL, also AAB  - auch mit einer Wägung zu entscheiden.
Wenn die erste Wägung rechts nach unten ging, kommt symmetrisch auch raus, dass eine weitere Wägung reicht.

Nun aber können wir abe+cdi/fgh mit ka+ij/l (die umgedrehte zweite Wägung aus dem dynamischen Verfahren, wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war) kombinieren und erhalten als zweite Wägung:

abek+cdij/fghl

Wie gehen wir mit dem Ergebnis dieser Wägung um? Ungefähr so: Wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war, dann wissen wir ja, dass a...h alle neutral sind, daher haben wir eigentlich nur ak+ij/l gewogen und können dieselben Schlüsse ziehen wie beim dynamischen Verfahren. Wenn aber die erste Wägung nach links ging, dann waren ja sicher i...l neutral, wir haben also praktisch abe+cdi/fgh gewogen und können auch passenden Schlüsse ziehen. Und dasselbe geht auch, wenn die erste Wägung nach rechts ging.

Zwei Wägungen sind also schon "statisch" - wir brauchen noch die dritte. Dazu müssen wir einmal alle dritten Wägungen aus dem dynamischen Verfahren aufsammeln. Der Reihe nach sind das:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
* nocheinmal die drei letzten Wägungen, weil die Ergebnisse symmetrisch sind (a+b/i ist nun LLN statt SSN, kann aber mit der gleichen Wägung entschieden werden)
Direkt lassen sich diese Wägungen nicht kombinieren, weil i einmal verwogen werden muss (zweite Zeile), einmal auf der Seite liegen muss (dritte Zeile). Mhm.

Eine Idee: AAB kann man nicht nur durch Verwiegen der zwei A-Kugeln entscheiden, sondern auch anders - allerdings nur, wenn A und B verschieden sind (also z.B. AAB=SSL): Dann kann man auf eine Seite SL legen, auf die andere NN. Wenn die Waage links runter geht, dann ist S die gesuchte (und schwerer), wenn sie rechts runtergeht, dann ist L die gesuchte (und leichter). Wir können also aus ijk=SSL oder LLS (siehe die Kurzbeschreibung im letzten Kapitel!) jk gegen zwei N-Kugeln verwiegen:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* &lt;u&gt;jk+nn/i&lt;/u&gt;
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Schaffen wir es, auf eine Seite vier Kugeln zu legen? Es geht sich nicht aus :-(

Das mit dem jk war vielleicht doch keine so gute Idee, weil nun eine Kugel mehr auf die Waage kam. Also zurück zur vorherigen Liste:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Können wir a+b/i "drehen", sodass i auf der Waage liegt? abi war ja SSN oder LLN, und hier könnten wir statt a+b auch gern a+i wiegen: Bei Gleichgewicht ist dann b die gesuchte! Also müsste als dritte Wägung auch eine Summe aus Folgendem funktionieren (die ersten zwei Wägungen habe ich schon passend umgedreht):
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* &lt;u&gt;i+a/b&lt;/u&gt;
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Und als "Summe" erhalten wir:

licf+ajdg/kbeh

Es sieht so aus, als hätten wir ein statisches Verfahren gefunden! - mit folgenden Wägungen (die Buchstaben habe ich jeweils aufsteigend sortiert):
* abcd+efgh/ijkl
* abek+cdij/fghl
* cfil+adgj/behk
Schauen wir, ob es funktioniert, indem wir für alle möglichen Lösungen die Wäge-Ergebnisse aufschreiben - sie müssen sich alle unterscheiden! L bedeutet hier "Waage senkt sich links", R "Waage senkt sich rechts", = "Waage bleibt im Gleichgewicht":
{| class="article-table"
!
!a
!b
!c
!d
!e
!f
!g
!h
!i
!j
!k
!l
!
|-
|schwerer
|LLR
|LL=
|LRL
|LRR
|RL=
|R=L
|R=R
|R==
|=RL
|=RR
|=L=
|==L
|
|-
|leichter
|RRL
|RR=
|RLR
|RLL
|LR=
|L=R
|L=L
|L==
|=LR
|=LL
|=R=
|==R
|
|}
Tatsächlich!! - es hat funktioniert - alle Wägeergebnisse sind verschieden.

Ich höre hier mit den statischen Verfahren auf - manche Leute haben noch nette Tricks gefunden, wie man die drei Zeichen L, R und = als ternäre Ziffern interpretiert, sodass man sich nicht die Tabelle merken muss, sondern sich die Nummer der abweichenden Kugel aus dem Wägeergebnis als Zahl im Dreiersystem ausrechnen kann. Ein Beispiel dafür ist die andere Lösung, die [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln,_L%C3%B6sung hier] angegeben ist.

Ich schaue mir aber noch schnell das Problem für andere Zahlen von Wägungen an!

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
Keine. Tatsächlich. Warum?

Das mindeste, was man zum Verwiegen braucht, sind zwei Kugeln. Wenn man die aber beide auf die Waage legt und sie sich links senkt, dann weiß man nicht, ob die linke schwerer oder die rechte leichter ist! Auch rechnerisch kann man sich das überlegen: Eine Wägung kann drei Ergebnisse unterscheiden, bei zwei Kugeln gibt es aber schon vier Möglichkeiten (erste schwerer, erste leichter, zweite schwerer, zweite leichter). Allerdings ist auch bei zwei Kugeln das Rätsel nicht sinnvoll: Denn ist nun die erste schwerer oder die zweite leichter?

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
Zwei Wägungen können 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9 Fälle unterscheiden, also prinzipiell das Problem für 4 Kugeln lösen. Überlegen wir, wie man das machen kann:
* Entweder wiegt man zuerst ab+cd. Dann hat man z.B. bei Ausschlag der Waage nach links noch vier Fälle (ab+cd=SS+LL), die man aber mit einer Wägung nicht vollständig entscheiden kann.
* Versuchen wir's also mit a+b/cd. Nun hat man aber bei Gleichgewicht cd=XX, also wieder vier Fälle, die nicht mit der zweiten Wägung zu entscheiden sind.
Also lassen sich mit zwei Wägungen das Rätsel für höchstens drei Kugeln entscheiden:
* Erste Wägung: a+b/c
* Bei Gleichheit 2.Wägung c+a=X+N, bei Ungleichheit ebenfalls c+a, aber nun als N+X.
Es ist schon erstaunlich, dass nur eine weitere Wägung die Zahl dann von 3 auf 12 hochkatapultiert!

== Kann man mit drei Wägungen auch 13 Kugeln lösen? ==
Für 13 Kugeln gibt es 26 mögliche Lösungen. Das ist noch immer weniger als 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27 - man könnte also hoffen, dass man mit 3 Wägungen auch die "falsche" aus 13 herausfinden kann. Geht das?

Bei der ersten Wägung könnten wir (wie bei 12-Kugeln) 4+4 Kugeln auf die Waage legen - dann bleiben aber im Gleichgewichtsfall 5 daneben liegen, mit 10 möglichen Ergebnissen (jede kann entweder die schwerere oder die leichtere sein), was sich mit zwei weiteren Wägungen nicht vollständg lösen lässt (weil 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9&lt;10). 

Wenn man aber 5+5 Kugeln auf die Waage legt, scheitern wir bei Nicht-Gleichgewicht, wie schon im ersten Abschnitt erklärt. 12 Kugeln ist also tatsächlich das Maximum für drei Wägungen.

== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
Viele. Aber wie viele?
Berechnen wir zuerst den absoluten Maximalwert: Vier Wägungen können 3&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=81 unterscheiden. Damit ließe sich im Idealfall aus 40 Kugeln die eine schwerere oder leichtere herausfinden, weil es dann 2*40=80 mögliche Lösungen gibt. Aber sind es tatsächlich so viele?

Für eine genauere Einschränkung schauen wir uns - wie gerade für drei Wägungen - die erste Wägung an: Wir legen dort ''x''+''x'' Kugeln auf die Waage, ''y'' lassen wir daneben liegen. ''y'' kann höchstens 12 sein, weil wir aus diesen Kugeln ja mit drei Wägungen das Ergebnis finden müssen. Damit ''x''+''x''+''y'' höchstens 40 ist, darf ''x'' höchstens 14 sein. Wenn wir aber 14+14 Kugeln verwiegen und die Waage ''nicht'' im Gleichgewicht bleibt, haben wir noch 28 mögliche Lösungen - mehr als die 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27, die wir mit den restlichen 3 Wägungen entscheiden können. Daher kann ''x'' höchstens 13 sein, und die Maximalzahl für vier Wägungen ist 13+13+12=38 Kugeln.

Und tatsächlich glaube ich, dass ich für 38 Kugeln ein dynamisches Lösungsverfahren gefunden habe ... das ich hier aber nicht verrate: Das kann jeder, der bis hierher gekommen ist, selber finden!

== Offene Frage: Kann ein statisches Verfahren immer gleich viele Kugeln leisten wie ein dynamisches mit gleich viel Wägungen? ==
Mit drei Wägungen kann man höchstens 12 Kugeln lösen - sowohl mit einem dynamischen wie mit einem statischen Verfahren. Auch bei zwei Wägungen sind dynamisches und statisches Verfahren gleich mächtig, und bei einer Wägung sowieso. Aber gilt das allgemein? Gibt es immer, wenn es ein dynamisches Verfahren gibt, auch ein statisches Verfahren? Das ist nicht offensichtlich, weil das dynamische Verfahren ja "mehr Information einspeist". Ich habe aber keine Ahnung, wie ein Beweis aussieht, der zu einem dynamischen Verfahren immer ein statisches konstruieren kann.

== Offene Frage: Kann man das statische Verfahren eleganter entwickeln? ==
Das statische Verfahren habe ich oben durch "Umbau" des dynamischen Verfahrens gefunden. Man kann auch direkt versuchen, die oben gezeigte Tabelle für das statische Verfahren auszufüllen. Dazu muss man sich zuerst klar machen, dass die Kombination === in keinem Feld stehen kann (denn dann würde eine Kugel ja gar nicht auf die Waage gelegt werden, und dann wüsste man nicht, ob sie schwerer oder leichter ist, wenn sie die abweichende ist). Außerdem steht immer in der unteren Zelle das "Gegenteil" der oberen, wenn man L gegen R austauscht. Zuletzt müssen an jeder Position gleich viele L, R und = vorkommen, weil alle vier Wägungen von der Form 4+4/4 sind (was ich nicht bewiesen habe - aber ich vermute, dass ein statisches Verfahren für 12 Kugeln nur so gelingt). Mit etwas Herumbasteln findet man dann Tabellenwerte, die diese Bedingungen erfüllen - das ist dann aber typische "Lösung, die vom Himmel fällt".

Die Frage ist: Gibt es eine bessere, schönere, "elegantere" Erklärung für ein (bestimmtes) statisches Verfahren? Bei den Zahlen 12 und 3 fallen einem schon andere mathematische Dinge ein: Ein 3-dimensionaler Würfel hat 12 Kanten. Außerdem hat ein Würfel, wenn man auf eine Spitze schaut, eine dreifache Rotationssymmetrie. Es ist mir aber nicht gelungen, aus diesen geometrischen Vorstellungen ein statisches Verfahren "herauszukitzeln" - der Würfel ist "zu symmetrisch dazu". Hat jemand eine Idee, wie das gehen könnte?

[[Kategorie:Denksport Loesung]]</text>
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    <comment>/* Offene Frage: Kann man das statische Verfahren eleganter entwickeln? */</comment>
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    <text bytes="23583" xml:space="preserve">Es gibt zwar schon eine Lösung zum [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln Problem der Waage und der 12 Kugeln] - aber dort steht praktisch nichts mathematisch Interessantes: Nicht, wie man sie Lösung findet, nicht, welche weiteren ähnlichen Probleme man sich stellen kann ... ich versuche es hier, besser zu machen.

Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt, gibt es zwei Arten von Lösungen:
* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist, oder die leichtere leichter - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jeder der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem sie links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 27 nicht weniger als 24 ist, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
Die erste Wägung kann drei Ergebnisse haben:
# Waage geht links herunter: Dann wissen wir, dass ''entweder'' unter den linken vier Kugeln die eine schwerere ist ''oder'' unter den rechten vier die eine leichtere.
# Waage geht rechts herunter: Entweder ist unter den vier rechts die schwerere; oder links die leichtere.
# Waage bleibt im Gleichgewicht: Unter den vier neben der Waage ist die abweichende.
Statt weiterhin so lange Texte zu schreiben, müssen wir das kürzer hinschreiben können - nach dem alten Mathematikerspruch: "''Die richtige Notation ist die halbe Lösung''". Ich verwende einmal die folgenden Buchstaben:
* Wenn eine Kugel nur mehr eine schwerere sein kann (aber vielleicht auch eine der 11 gleich schweren - ich nenne die "normal"), dann soll dafür der Buchstabe S stehen; 
* wenn sie nur eine leichtere oder eine normale sein kann, dann steht dafür L;
* und wenn sie schwerer oder leichter oder normal sein kann, dann wird das mit X gekennzeichnet.
* Wenn eine Kugel schließlich sicher "normal" ist, dann wird sie mit N bezeichnet.
Die drei Möglichkeiten oben ergeben also:
# SSSS + LLLL / NNNN (durch + trenne ich die beiden Gruppen, die auf der Waage liegen; nach dem / stehen die Kugeln, die neben der Waage liegen und die uns "gerade noch interessieren").
# LLLL + SSSS / NNNN
# NNNN + NNNN / XXXX
Wir kümmern uns einmal um den dritten Fall - er sieht irgendwie leichter aus, weil wir nur mehr vier Kugeln betrachten müssen ... von denen wir allerdings praktisch nichts wissen! Aber probieren wir einmal: Wir legen links zwei der X-Kugeln, rechts die zwei anderen. Dann haben wir folgende möglichen Ergebnisse:
# links runter: SS + LL
# rechts runter: LL + SS
# Gleichgewicht: kann nicht sein (weil wir ja aus der ersten Wägung wissen, dass eine der vier die abweichende sein muss!).
Im ersten Fall gibt es noch immer ''vier'' mögliche Lösungen (eine der zwei S ist die schwerere; oder eine der beiden L ist die leichtere). Die eine letzte Wägung kann aber nur ''drei'' Möglichkeiten unterscheiden - damit ist die Aufteilung 2+2 nicht ok. Also dann 1+1, mit folgenden Ergebnissen:
# links runter: S + L / NN
# rechts runter: L + S / NN
# Gleichgewicht: N + N / XX
Den ersten und zweiten Fall könnten wir lösen: Im ersten Fall müssen wir nur die S-Kugeln mit einer N-Kugel vergleichen - wenn Gleichgewicht, dann ist die (danebenliegende) L-Kugel die leichtere, wenn S-Kugel nach unten geht, ist sie die schwerere. Aber im dritten Fall bleiben mit den XX ''vier'' Möglichkeiten übrig, die wir wieder mit den ''drei'' möglichen Ergebnissen einer Wägung nicht lösen können. Wir brauchen eine "schrägere Idee".

Hier ist sie: 2+1! Das geht natürlich nicht direkt (siehe Erklärung ganz am Anfang), aber wir können rechts eine weitere N-Kugel dazulegen. Wir legen also hin: XX + XN / X (die vierte X liegt auf der Seite) und haben nur folgende Fälle:
# links runter: SS + LN / N (entweder eine der schwereren zieht links runter; oder rechts ist die leichtere)
# rechts runter: LL + SN / N
# Gleichgewicht: NN + NN / X
Wir haben nur mehr eine Wägung frei - aber das könnte sich nun ausgehen!

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach NNNN+NNNN/XXXX - die "AAB-Konfiguration" ==
Der dritte Fall aus der vorherigen Wägung ist leicht: Wir vergleichen die danebenliegende Kugel (die ja sicher die gesuchte sein muss! - alle anderen sind nun als N bewiesen) mit einer beliebigen N-Kugel, mit folgenden Ergebnissen: 
# links runter: S + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: L + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist leichter.
# Gleichgewicht: unmöglich
Was tun wir mit den anderen beiden Fällen aus der vorherigen Wägung? Aus der ersten Wägung erhalten wir drei Kugeln, von denen wir wissen, dass sie SSL sind: Also entweder ist die erste oder die zweite die zu schwere, oder die dritte die zu leichte. Es gibt mehrere Arten, mit einer Wägung die richtige zu finden - hier ist eine: Man legt die beiden S auf die Waage und erhält dann:
# links runter: S + N --&gt; die linke ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: N + S --&gt; die rechte ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# Gleichgewicht: N + N --&gt; die danebenliegende  ist die gesuchte, und sie ist leichter.
Wenn wir bei der zweiten Wägung den zweiten Fall hatten (LL+SN/N), dann können wir mit den drei LLS-Kugeln dasselbe Spiel spielen: L+L vergleichen - wo's raufgeht, ist die gesuchte, und sie ist leichter; bei Gleichgewicht ist's die danebenliegende, und sie ist schwerer.

Die beiden Fälle haben ein gleichartiges Muster: Aus zwei gleich markierten Kugeln (SS oder LL) und einer dritten, die ebenfalls schon mit S oder L markiert ist, kann man mit einer Wägung die Lösung finden ... ich nenne das eine AAB-Konfiguration, die uns hoffentlich bei dem komplizierteren SSSS+LLLL/NNNN-Fall aus der ersten Wägung weiterhilft!

== Die zweite und dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
In diesem Fall wissen wir, dass links vier S-Kugeln liegen, rechts vier L-Kugeln. Wie weiter? Wenn wir schnell zu einer AAB-Konfiguration kommen, dann würden wir für viele Fälle die Lösung mit einer weiteren Wägung haben! Also probieren wir's ... nach einigem Herumprobieren bin ich auf folgendes gekommen: Man wiegt SSL + SSL / LL, mit folgenden Ergebnissen: 
# Waage geht links herunter: Entweder ist eine der beiden linken SS die gesuchte (und schwerer), oder die rechte L ist die gesuchte (und leichter). Man hat also drei Kugeln als SSL identifiziert, also eine AAB-Konfiguration gefunden! 
# Wenn die Waage rechts heruntergeht, dann hat man die anderen SSL als AAB identifiziert. 
# Und bei Gleichgewicht schließlich hat man die beiden LL als mögliche Lösungen identifiziert. Man kann sie direkt  gegeneinander wiegen - wo's raufgeht, liegt die gesuchte leichtere. Man kann aber auch, "mathematiker-artig", eine N dazulegen und hat dann diesen Fall "auf eine AAB-Konfiguration" zurückgeführt ... das macht hier keinen Unterschied, hilft uns aber vielleicht bei anderen Problemen später! 
In allen drei Fällen ist man also bei AAB angelangt - man findet dann also mit einer einzigen weiteren (dritten) Wägung die gesuchte Kugel. 

Damit haben wir ein dynamisches Lösungsverfahren für das 12-Kugel-Problem gefunden! In Kürze - ich bezeichne die 12 Kugeln mit a,b,...,k,l: 

1. Wägung: abcd+efgh/ijkl 

'''Bei Gleichgewicht der ersten Wägung: ''' 

2. Wägung: ij+ka/l 

3. Wägung: Bei Gleichgewicht: l mit a, sonst ijk mit AAB-Konfiguration (ij+ka geht links runter: ijk=SSL; ij+ka geht rechts runter: ijk=LLS). 

'''Wenn erste Wägung links runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist SSL+SSL/LL 

Bei Gleichgewicht: ghi mit AAB-Konfiguration (LLN). 

Wenn links runter: abf ist SSL, also AAB-Konfiguration; wenn rechts unter: cde ist SSL, also AAB. 

'''Wenn erste Wägung rechts runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist LLS+LLS/S - ist symmetrisch zu "links runter". 

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
Bei dynamischen Verfahren wiegt man nur so wenige Kugeln, wie nötig sind. Es ist aber klar, dass man bei jeder Wägung links und rechts gleich viele N-Kugeln dazustapeln kann, ohne dass sich am Ergebnis was ändert. Was das bringen soll? Nun, man könnte die Wägungen, die man beim dynamischen Verfahren entweder/oder macht, nun ''zugleich'' machen! Und wenn man die Wägungen dabei immer gleich kombinieren kann, dann würde ein Verfahren herauskommen, wo man nicht verschiedene Gruppen je nach vorherigen Ergebnissen wiegt, sondern immer die gleichen - also ein statisches Verfahren!

Probieren wir das einmal: Die erste Wägung ist natürlich gleich - wir können ja, wie weiter oben ausgerechnet, nur mit einer 4+4-Wägung anfangen, und zu diesem Zeitpunkt ist es noch egal, welche Kugeln wir wählen. Die erste Wägung ist also abcd+efgh/ijkl (mit den Bezeichnungen aus dem letzten Abschnitt).

Zweite Wägung: In den beiden Ungleichgewichtsfällen haben wir hier beim dynamischen Verfahren schon beide Male dasselbe ausgeführt, nämlich abe+cdf/gh - das war also schon ein "klein wenig statisch". Im Gleichgewichtsfall kommt nun noch ij+ka/l dazu ... aber das können wir nicht zugleich abwiegen, weil dann auf der a-Seite 4 Kugeln liegen, auf der anderen aber 5 - so geht das nicht. Was tun???

Wir schauen uns die zweite dynamische Wägung noch einmal an: Sie ist ja abe+cdf/gh und hat im ''Gleichgewichtsfall'' eine etwas "schmalere" nächste Wägung ergeben, nämlich nur mehr g+h. Wir könnten diese Wägung zu AAB "auffetten", sodass bei der zweiten Wägung weniger auf der Waage liegt = "Platz für ij+ka wird". Konkret:

Wir bauen unser dynamisches Verfahren so um, dass bei der zweiten Wägung abe+cdi/fgh gewogen wird (statt f nehmen wir also i, was sicher eine neutrale Kugel ist). Wenn die erste Wägung links nach unten ging, sind diese Kugeln SSL+SSN/LLL markiert. Was sind die möglichen Ergebnisse?
# links runter: abi=SSN ist AAB, was mit einer Wägung zu entscheiden ist.
# rechts runter: ecd=LSS, also ist cde AAB - ebenfalls mit einer Wägung zu entscheiden.
# Gleichgewicht: fgh=LLL, also AAB  - auch mit einer Wägung zu entscheiden.
Wenn die erste Wägung rechts nach unten ging, kommt symmetrisch auch raus, dass eine weitere Wägung reicht.

Nun aber können wir abe+cdi/fgh mit ka+ij/l (die umgedrehte zweite Wägung aus dem dynamischen Verfahren, wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war) kombinieren und erhalten als zweite Wägung:

abek+cdij/fghl

Wie gehen wir mit dem Ergebnis dieser Wägung um? Ungefähr so: Wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war, dann wissen wir ja, dass a...h alle neutral sind, daher haben wir eigentlich nur ak+ij/l gewogen und können dieselben Schlüsse ziehen wie beim dynamischen Verfahren. Wenn aber die erste Wägung nach links ging, dann waren ja sicher i...l neutral, wir haben also praktisch abe+cdi/fgh gewogen und können auch passenden Schlüsse ziehen. Und dasselbe geht auch, wenn die erste Wägung nach rechts ging.

Zwei Wägungen sind also schon "statisch" - wir brauchen noch die dritte. Dazu müssen wir einmal alle dritten Wägungen aus dem dynamischen Verfahren aufsammeln. Der Reihe nach sind das:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
* nocheinmal die drei letzten Wägungen, weil die Ergebnisse symmetrisch sind (a+b/i ist nun LLN statt SSN, kann aber mit der gleichen Wägung entschieden werden)
Direkt lassen sich diese Wägungen nicht kombinieren, weil i einmal verwogen werden muss (zweite Zeile), einmal auf der Seite liegen muss (dritte Zeile). Mhm.

Eine Idee: AAB kann man nicht nur durch Verwiegen der zwei A-Kugeln entscheiden, sondern auch anders - allerdings nur, wenn A und B verschieden sind (also z.B. AAB=SSL): Dann kann man auf eine Seite SL legen, auf die andere NN. Wenn die Waage links runter geht, dann ist S die gesuchte (und schwerer), wenn sie rechts runtergeht, dann ist L die gesuchte (und leichter). Wir können also aus ijk=SSL oder LLS (siehe die Kurzbeschreibung im letzten Kapitel!) jk gegen zwei N-Kugeln verwiegen:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* &lt;u&gt;jk+nn/i&lt;/u&gt;
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Schaffen wir es, auf eine Seite vier Kugeln zu legen? Es geht sich nicht aus :-(

Das mit dem jk war vielleicht doch keine so gute Idee, weil nun eine Kugel mehr auf die Waage kam. Also zurück zur vorherigen Liste:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Können wir a+b/i "drehen", sodass i auf der Waage liegt? abi war ja SSN oder LLN, und hier könnten wir statt a+b auch gern a+i wiegen: Bei Gleichgewicht ist dann b die gesuchte! Also müsste als dritte Wägung auch eine Summe aus Folgendem funktionieren (die ersten zwei Wägungen habe ich schon passend umgedreht):
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* &lt;u&gt;i+a/b&lt;/u&gt;
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Und als "Summe" erhalten wir:

licf+ajdg/kbeh

Es sieht so aus, als hätten wir ein statisches Verfahren gefunden! - mit folgenden Wägungen (die Buchstaben habe ich jeweils aufsteigend sortiert):
* abcd+efgh/ijkl
* abek+cdij/fghl
* cfil+adgj/behk
Schauen wir, ob es funktioniert, indem wir für alle möglichen Lösungen die Wäge-Ergebnisse aufschreiben - sie müssen sich alle unterscheiden! L bedeutet hier "Waage senkt sich links", R "Waage senkt sich rechts", = "Waage bleibt im Gleichgewicht":
{| class="article-table"
!
!a
!b
!c
!d
!e
!f
!g
!h
!i
!j
!k
!l
!
|-
|schwerer
|LLR
|LL=
|LRL
|LRR
|RL=
|R=L
|R=R
|R==
|=RL
|=RR
|=L=
|==L
|
|-
|leichter
|RRL
|RR=
|RLR
|RLL
|LR=
|L=R
|L=L
|L==
|=LR
|=LL
|=R=
|==R
|
|}
Tatsächlich!! - es hat funktioniert - alle Wägeergebnisse sind verschieden.

Ich höre hier mit den statischen Verfahren auf - manche Leute haben noch nette Tricks gefunden, wie man die drei Zeichen L, R und = als ternäre Ziffern interpretiert, sodass man sich nicht die Tabelle merken muss, sondern sich die Nummer der abweichenden Kugel aus dem Wägeergebnis als Zahl im Dreiersystem ausrechnen kann. Ein Beispiel dafür ist die andere Lösung, die [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln,_L%C3%B6sung hier] angegeben ist.

Ich schaue mir aber noch schnell das Problem für andere Zahlen von Wägungen an!

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
Keine. Tatsächlich. Warum?

Das mindeste, was man zum Verwiegen braucht, sind zwei Kugeln. Wenn man die aber beide auf die Waage legt und sie sich links senkt, dann weiß man nicht, ob die linke schwerer oder die rechte leichter ist! Auch rechnerisch kann man sich das überlegen: Eine Wägung kann drei Ergebnisse unterscheiden, bei zwei Kugeln gibt es aber schon vier Möglichkeiten (erste schwerer, erste leichter, zweite schwerer, zweite leichter). Allerdings ist auch bei zwei Kugeln das Rätsel nicht sinnvoll: Denn ist nun die erste schwerer oder die zweite leichter?

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
Zwei Wägungen können 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9 Fälle unterscheiden, also prinzipiell das Problem für 4 Kugeln lösen. Überlegen wir, wie man das machen kann:
* Entweder wiegt man zuerst ab+cd. Dann hat man z.B. bei Ausschlag der Waage nach links noch vier Fälle (ab+cd=SS+LL), die man aber mit einer Wägung nicht vollständig entscheiden kann.
* Versuchen wir's also mit a+b/cd. Nun hat man aber bei Gleichgewicht cd=XX, also wieder vier Fälle, die nicht mit der zweiten Wägung zu entscheiden sind.
Also lassen sich mit zwei Wägungen das Rätsel für höchstens drei Kugeln entscheiden:
* Erste Wägung: a+b/c
* Bei Gleichheit 2.Wägung c+a=X+N, bei Ungleichheit ebenfalls c+a, aber nun als N+X.
Es ist schon erstaunlich, dass nur eine weitere Wägung die Zahl dann von 3 auf 12 hochkatapultiert!

== Kann man mit drei Wägungen auch 13 Kugeln lösen? ==
Für 13 Kugeln gibt es 26 mögliche Lösungen. Das ist noch immer weniger als 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27 - man könnte also hoffen, dass man mit 3 Wägungen auch die "falsche" aus 13 herausfinden kann. Geht das?

Bei der ersten Wägung könnten wir (wie bei 12-Kugeln) 4+4 Kugeln auf die Waage legen - dann bleiben aber im Gleichgewichtsfall 5 daneben liegen, mit 10 möglichen Ergebnissen (jede kann entweder die schwerere oder die leichtere sein), was sich mit zwei weiteren Wägungen nicht vollständg lösen lässt (weil 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9&lt;10). 

Wenn man aber 5+5 Kugeln auf die Waage legt, scheitern wir bei Nicht-Gleichgewicht, wie schon im ersten Abschnitt erklärt. 12 Kugeln ist also tatsächlich das Maximum für drei Wägungen.

== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
Viele. Aber wie viele?
Berechnen wir zuerst den absoluten Maximalwert: Vier Wägungen können 3&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=81 unterscheiden. Damit ließe sich im Idealfall aus 40 Kugeln die eine schwerere oder leichtere herausfinden, weil es dann 2*40=80 mögliche Lösungen gibt. Aber sind es tatsächlich so viele?

Für eine genauere Einschränkung schauen wir uns - wie gerade für drei Wägungen - die erste Wägung an: Wir legen dort ''x''+''x'' Kugeln auf die Waage, ''y'' lassen wir daneben liegen. ''y'' kann höchstens 12 sein, weil wir aus diesen Kugeln ja mit drei Wägungen das Ergebnis finden müssen. Damit ''x''+''x''+''y'' höchstens 40 ist, darf ''x'' höchstens 14 sein. Wenn wir aber 14+14 Kugeln verwiegen und die Waage ''nicht'' im Gleichgewicht bleibt, haben wir noch 28 mögliche Lösungen - mehr als die 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27, die wir mit den restlichen 3 Wägungen entscheiden können. Daher kann ''x'' höchstens 13 sein, und die Maximalzahl für vier Wägungen ist 13+13+12=38 Kugeln.

Und tatsächlich glaube ich, dass ich für 38 Kugeln ein dynamisches Lösungsverfahren gefunden habe ... das ich hier aber nicht verrate: Das kann jeder, der bis hierher gekommen ist, selber finden!

== Offene Frage: Kann ein statisches Verfahren immer gleich viele Kugeln leisten wie ein dynamisches mit gleich viel Wägungen? ==
Mit drei Wägungen kann man höchstens 12 Kugeln lösen - sowohl mit einem dynamischen wie mit einem statischen Verfahren. Auch bei zwei Wägungen sind dynamisches und statisches Verfahren gleich mächtig, und bei einer Wägung sowieso. Aber gilt das allgemein? Gibt es immer, wenn es ein dynamisches Verfahren gibt, auch ein statisches Verfahren? Das ist nicht offensichtlich, weil das dynamische Verfahren ja "mehr Information einspeist". Ich habe aber keine Ahnung, wie ein Beweis aussieht, der zu einem dynamischen Verfahren immer ein statisches konstruieren kann.

== Offene Frage: Kann man das statische Verfahren eleganter entwickeln? ==
Das statische Verfahren habe ich oben durch "Umbau" des dynamischen Verfahrens gefunden.

Man kann auch direkt versuchen, die oben gezeigte Tabelle für das statische Verfahren auszufüllen. Dazu muss man sich zuerst klar machen, dass die Kombination === in keinem Feld stehen kann (denn dann würde die entsprechende Lösungskugel ja gar nicht auf die Waage gelegt worden sein, und dann wüsste man nicht, ob sie schwerer oder leichter ist, wenn sie die abweichende ist). Außerdem steht immer in der unteren Zelle das "Gegenteil" der oberen, wenn man L gegen R austauscht. Zuletzt müssen an jeder Position gleich viele L, R und = vorkommen, weil alle vier Wägungen von der Form 4+4/4 sind (was ich nicht bewiesen habe - aber ich vermute, dass ein statisches Verfahren für 12 Kugeln nur so gelingt). Mit etwas Herumbasteln findet man dann Tabellenwerte, die diese Bedingungen erfüllen - das ist dann aber typische "Lösung, die vom Himmel fällt".

Die Frage ist: Gibt es eine bessere, schönere, "elegantere" Erklärung für ein (bestimmtes) statisches Verfahren? Bei den Zahlen 12 und 3 fallen einem schon andere mathematische Dinge ein: Ein 3-dimensionaler Würfel hat 12 Kanten. Außerdem hat ein Würfel, wenn man auf eine Spitze schaut, eine dreifache Rotationssymmetrie. Es ist mir aber nicht gelungen, aus diesen geometrischen Vorstellungen ein statisches Verfahren "herauszukitzeln" - der Würfel ist "zu symmetrisch dazu". Hat jemand eine Idee, wie das gehen könnte?

[[Kategorie:Denksport Loesung]]</text>
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    <text bytes="23596" xml:space="preserve">Es gibt zwar schon eine Lösung zum [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln Problem der Waage und der 12 Kugeln] - aber dort steht praktisch nichts mathematisch Interessantes: Nicht, wie man sie Lösung findet, nicht, welche weiteren ähnlichen Probleme man sich stellen kann ... ich versuche es hier, besser zu machen.

Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt, gibt es zwei Arten von Lösungen:
* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist, oder die leichtere leichter - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jede der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem die Waage links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also höchstens 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 24 nicht mehr ist als 27, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
Die erste Wägung kann drei Ergebnisse haben:
# Waage geht links herunter: Dann wissen wir, dass ''entweder'' unter den linken vier Kugeln die eine schwerere ist ''oder'' unter den rechten vier die eine leichtere.
# Waage geht rechts herunter: Entweder ist unter den vier rechts die schwerere; oder links die leichtere.
# Waage bleibt im Gleichgewicht: Unter den vier neben der Waage ist die abweichende.
Statt weiterhin so lange Texte zu schreiben, müssen wir das kürzer hinschreiben können - nach dem alten Mathematikerspruch: "''Die richtige Notation ist die halbe Lösung''". Ich verwende einmal die folgenden Buchstaben:
* Wenn eine Kugel nur mehr eine schwerere sein kann (aber vielleicht auch eine der 11 gleich schweren - ich nenne die "normal"), dann soll dafür der Buchstabe S stehen; 
* wenn sie nur eine leichtere oder eine normale sein kann, dann steht dafür L;
* und wenn sie schwerer oder leichter oder normal sein kann, dann wird das mit X gekennzeichnet.
* Wenn eine Kugel schließlich sicher "normal" ist, dann wird sie mit N bezeichnet.
Die drei Möglichkeiten oben ergeben also:
# SSSS + LLLL / NNNN (durch + trenne ich die beiden Gruppen, die auf der Waage liegen; nach dem / stehen die Kugeln, die neben der Waage liegen und die uns "gerade noch interessieren").
# LLLL + SSSS / NNNN
# NNNN + NNNN / XXXX
Wir kümmern uns einmal um den dritten Fall - er sieht irgendwie leichter aus, weil wir nur mehr vier Kugeln betrachten müssen ... von denen wir allerdings praktisch nichts wissen! Aber probieren wir einmal: Wir legen links zwei der X-Kugeln, rechts die zwei anderen. Dann haben wir folgende möglichen Ergebnisse:
# links runter: SS + LL
# rechts runter: LL + SS
# Gleichgewicht: kann nicht sein (weil wir ja aus der ersten Wägung wissen, dass eine der vier die abweichende sein muss!).
Im ersten Fall gibt es noch immer ''vier'' mögliche Lösungen (eine der zwei S ist die schwerere; oder eine der beiden L ist die leichtere). Die eine letzte Wägung kann aber nur ''drei'' Möglichkeiten unterscheiden - damit ist die Aufteilung 2+2 nicht ok. Also dann 1+1, mit folgenden Ergebnissen:
# links runter: S + L / NN
# rechts runter: L + S / NN
# Gleichgewicht: N + N / XX
Den ersten und zweiten Fall könnten wir lösen: Im ersten Fall müssen wir nur die S-Kugeln mit einer N-Kugel vergleichen - wenn Gleichgewicht, dann ist die (danebenliegende) L-Kugel die leichtere, wenn S-Kugel nach unten geht, ist sie die schwerere. Aber im dritten Fall bleiben mit den XX ''vier'' Möglichkeiten übrig, die wir wieder mit den ''drei'' möglichen Ergebnissen einer Wägung nicht lösen können. Wir brauchen eine "schrägere Idee".

Hier ist sie: 2+1! Das geht natürlich nicht direkt (siehe Erklärung ganz am Anfang), aber wir können rechts eine weitere N-Kugel dazulegen. Wir legen also hin: XX + XN / X (die vierte X liegt auf der Seite) und haben nur folgende Fälle:
# links runter: SS + LN / N (entweder eine der schwereren zieht links runter; oder rechts ist die leichtere)
# rechts runter: LL + SN / N
# Gleichgewicht: NN + NN / X
Wir haben nur mehr eine Wägung frei - aber das könnte sich nun ausgehen!

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach NNNN+NNNN/XXXX - die "AAB-Konfiguration" ==
Der dritte Fall aus der vorherigen Wägung ist leicht: Wir vergleichen die danebenliegende Kugel (die ja sicher die gesuchte sein muss! - alle anderen sind nun als N bewiesen) mit einer beliebigen N-Kugel, mit folgenden Ergebnissen: 
# links runter: S + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: L + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist leichter.
# Gleichgewicht: unmöglich
Was tun wir mit den anderen beiden Fällen aus der vorherigen Wägung? Aus der ersten Wägung erhalten wir drei Kugeln, von denen wir wissen, dass sie SSL sind: Also entweder ist die erste oder die zweite die zu schwere, oder die dritte die zu leichte. Es gibt mehrere Arten, mit einer Wägung die richtige zu finden - hier ist eine: Man legt die beiden S auf die Waage und erhält dann:
# links runter: S + N --&gt; die linke ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: N + S --&gt; die rechte ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# Gleichgewicht: N + N --&gt; die danebenliegende  ist die gesuchte, und sie ist leichter.
Wenn wir bei der zweiten Wägung den zweiten Fall hatten (LL+SN/N), dann können wir mit den drei LLS-Kugeln dasselbe Spiel spielen: L+L vergleichen - wo's raufgeht, ist die gesuchte, und sie ist leichter; bei Gleichgewicht ist's die danebenliegende, und sie ist schwerer.

Die beiden Fälle haben ein gleichartiges Muster: Aus zwei gleich markierten Kugeln (SS oder LL) und einer dritten, die ebenfalls schon mit S oder L markiert ist, kann man mit einer Wägung die Lösung finden ... ich nenne das eine AAB-Konfiguration, die uns hoffentlich bei dem komplizierteren SSSS+LLLL/NNNN-Fall aus der ersten Wägung weiterhilft!

== Die zweite und dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
In diesem Fall wissen wir, dass links vier S-Kugeln liegen, rechts vier L-Kugeln. Wie weiter? Wenn wir schnell zu einer AAB-Konfiguration kommen, dann würden wir für viele Fälle die Lösung mit einer weiteren Wägung haben! Also probieren wir's ... nach einigem Herumprobieren bin ich auf folgendes gekommen: Man wiegt SSL + SSL / LL, mit folgenden Ergebnissen: 
# Waage geht links herunter: Entweder ist eine der beiden linken SS die gesuchte (und schwerer), oder die rechte L ist die gesuchte (und leichter). Man hat also drei Kugeln als SSL identifiziert, also eine AAB-Konfiguration gefunden! 
# Wenn die Waage rechts heruntergeht, dann hat man die anderen SSL als AAB identifiziert. 
# Und bei Gleichgewicht schließlich hat man die beiden LL als mögliche Lösungen identifiziert. Man kann sie direkt  gegeneinander wiegen - wo's raufgeht, liegt die gesuchte leichtere. Man kann aber auch, "mathematiker-artig", eine N dazulegen und hat dann diesen Fall "auf eine AAB-Konfiguration" zurückgeführt ... das macht hier keinen Unterschied, hilft uns aber vielleicht bei anderen Problemen später! 
In allen drei Fällen ist man also bei AAB angelangt - man findet dann also mit einer einzigen weiteren (dritten) Wägung die gesuchte Kugel. 

Damit haben wir ein dynamisches Lösungsverfahren für das 12-Kugel-Problem gefunden! In Kürze - ich bezeichne die 12 Kugeln mit a,b,...,k,l: 

1. Wägung: abcd+efgh/ijkl 

'''Bei Gleichgewicht der ersten Wägung: ''' 

2. Wägung: ij+ka/l 

3. Wägung: Bei Gleichgewicht: l mit a, sonst ijk mit AAB-Konfiguration (ij+ka geht links runter: ijk=SSL; ij+ka geht rechts runter: ijk=LLS). 

'''Wenn erste Wägung links runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist SSL+SSL/LL 

Bei Gleichgewicht: ghi mit AAB-Konfiguration (LLN). 

Wenn links runter: abf ist SSL, also AAB-Konfiguration; wenn rechts unter: cde ist SSL, also AAB. 

'''Wenn erste Wägung rechts runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist LLS+LLS/S - ist symmetrisch zu "links runter". 

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
Bei dynamischen Verfahren wiegt man nur so wenige Kugeln, wie nötig sind. Es ist aber klar, dass man bei jeder Wägung links und rechts gleich viele N-Kugeln dazustapeln kann, ohne dass sich am Ergebnis was ändert. Was das bringen soll? Nun, man könnte die Wägungen, die man beim dynamischen Verfahren entweder/oder macht, nun ''zugleich'' machen! Und wenn man die Wägungen dabei immer gleich kombinieren kann, dann würde ein Verfahren herauskommen, wo man nicht verschiedene Gruppen je nach vorherigen Ergebnissen wiegt, sondern immer die gleichen - also ein statisches Verfahren!

Probieren wir das einmal: Die erste Wägung ist natürlich gleich - wir können ja, wie weiter oben ausgerechnet, nur mit einer 4+4-Wägung anfangen, und zu diesem Zeitpunkt ist es noch egal, welche Kugeln wir wählen. Die erste Wägung ist also abcd+efgh/ijkl (mit den Bezeichnungen aus dem letzten Abschnitt).

Zweite Wägung: In den beiden Ungleichgewichtsfällen haben wir hier beim dynamischen Verfahren schon beide Male dasselbe ausgeführt, nämlich abe+cdf/gh - das war also schon ein "klein wenig statisch". Im Gleichgewichtsfall kommt nun noch ij+ka/l dazu ... aber das können wir nicht zugleich abwiegen, weil dann auf der a-Seite 4 Kugeln liegen, auf der anderen aber 5 - so geht das nicht. Was tun???

Wir schauen uns die zweite dynamische Wägung noch einmal an: Sie ist ja abe+cdf/gh und hat im ''Gleichgewichtsfall'' eine etwas "schmalere" nächste Wägung ergeben, nämlich nur mehr g+h. Wir könnten diese Wägung zu AAB "auffetten", sodass bei der zweiten Wägung weniger auf der Waage liegt = "Platz für ij+ka wird". Konkret:

Wir bauen unser dynamisches Verfahren so um, dass bei der zweiten Wägung abe+cdi/fgh gewogen wird (statt f nehmen wir also i, was sicher eine neutrale Kugel ist). Wenn die erste Wägung links nach unten ging, sind diese Kugeln SSL+SSN/LLL markiert. Was sind die möglichen Ergebnisse?
# links runter: abi=SSN ist AAB, was mit einer Wägung zu entscheiden ist.
# rechts runter: ecd=LSS, also ist cde AAB - ebenfalls mit einer Wägung zu entscheiden.
# Gleichgewicht: fgh=LLL, also AAB  - auch mit einer Wägung zu entscheiden.
Wenn die erste Wägung rechts nach unten ging, kommt symmetrisch auch raus, dass eine weitere Wägung reicht.

Nun aber können wir abe+cdi/fgh mit ka+ij/l (die umgedrehte zweite Wägung aus dem dynamischen Verfahren, wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war) kombinieren und erhalten als zweite Wägung:

abek+cdij/fghl

Wie gehen wir mit dem Ergebnis dieser Wägung um? Ungefähr so: Wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war, dann wissen wir ja, dass a...h alle neutral sind, daher haben wir eigentlich nur ak+ij/l gewogen und können dieselben Schlüsse ziehen wie beim dynamischen Verfahren. Wenn aber die erste Wägung nach links ging, dann waren ja sicher i...l neutral, wir haben also praktisch abe+cdi/fgh gewogen und können auch passenden Schlüsse ziehen. Und dasselbe geht auch, wenn die erste Wägung nach rechts ging.

Zwei Wägungen sind also schon "statisch" - wir brauchen noch die dritte. Dazu müssen wir einmal alle dritten Wägungen aus dem dynamischen Verfahren aufsammeln. Der Reihe nach sind das:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
* nocheinmal die drei letzten Wägungen, weil die Ergebnisse symmetrisch sind (a+b/i ist nun LLN statt SSN, kann aber mit der gleichen Wägung entschieden werden)
Direkt lassen sich diese Wägungen nicht kombinieren, weil i einmal verwogen werden muss (zweite Zeile), einmal auf der Seite liegen muss (dritte Zeile). Mhm.

Eine Idee: AAB kann man nicht nur durch Verwiegen der zwei A-Kugeln entscheiden, sondern auch anders - allerdings nur, wenn A und B verschieden sind (also z.B. AAB=SSL): Dann kann man auf eine Seite SL legen, auf die andere NN. Wenn die Waage links runter geht, dann ist S die gesuchte (und schwerer), wenn sie rechts runtergeht, dann ist L die gesuchte (und leichter). Wir können also aus ijk=SSL oder LLS (siehe die Kurzbeschreibung im letzten Kapitel!) jk gegen zwei N-Kugeln verwiegen:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* &lt;u&gt;jk+nn/i&lt;/u&gt;
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Schaffen wir es, auf eine Seite vier Kugeln zu legen? Es geht sich nicht aus :-(

Das mit dem jk war vielleicht doch keine so gute Idee, weil nun eine Kugel mehr auf die Waage kam. Also zurück zur vorherigen Liste:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Können wir a+b/i "drehen", sodass i auf der Waage liegt? abi war ja SSN oder LLN, und hier könnten wir statt a+b auch gern a+i wiegen: Bei Gleichgewicht ist dann b die gesuchte! Also müsste als dritte Wägung auch eine Summe aus Folgendem funktionieren (die ersten zwei Wägungen habe ich schon passend umgedreht):
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* &lt;u&gt;i+a/b&lt;/u&gt;
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Und als "Summe" erhalten wir:

licf+ajdg/kbeh

Es sieht so aus, als hätten wir ein statisches Verfahren gefunden! - mit folgenden Wägungen (die Buchstaben habe ich jeweils aufsteigend sortiert):
* abcd+efgh/ijkl
* abek+cdij/fghl
* cfil+adgj/behk
Schauen wir, ob es funktioniert, indem wir für alle möglichen Lösungen die Wäge-Ergebnisse aufschreiben - sie müssen sich alle unterscheiden! L bedeutet hier "Waage senkt sich links", R "Waage senkt sich rechts", = "Waage bleibt im Gleichgewicht":
{| class="article-table"
!
!a
!b
!c
!d
!e
!f
!g
!h
!i
!j
!k
!l
!
|-
|schwerer
|LLR
|LL=
|LRL
|LRR
|RL=
|R=L
|R=R
|R==
|=RL
|=RR
|=L=
|==L
|
|-
|leichter
|RRL
|RR=
|RLR
|RLL
|LR=
|L=R
|L=L
|L==
|=LR
|=LL
|=R=
|==R
|
|}
Tatsächlich!! - es hat funktioniert - alle Wägeergebnisse sind verschieden.

Ich höre hier mit den statischen Verfahren auf - manche Leute haben noch nette Tricks gefunden, wie man die drei Zeichen L, R und = als ternäre Ziffern interpretiert, sodass man sich nicht die Tabelle merken muss, sondern sich die Nummer der abweichenden Kugel aus dem Wägeergebnis als Zahl im Dreiersystem ausrechnen kann. Ein Beispiel dafür ist die andere Lösung, die [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln,_L%C3%B6sung hier] angegeben ist.

Ich schaue mir aber noch schnell das Problem für andere Zahlen von Wägungen an!

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
Keine. Tatsächlich. Warum?

Das mindeste, was man zum Verwiegen braucht, sind zwei Kugeln. Wenn man die aber beide auf die Waage legt und sie sich links senkt, dann weiß man nicht, ob die linke schwerer oder die rechte leichter ist! Auch rechnerisch kann man sich das überlegen: Eine Wägung kann drei Ergebnisse unterscheiden, bei zwei Kugeln gibt es aber schon vier Möglichkeiten (erste schwerer, erste leichter, zweite schwerer, zweite leichter). Allerdings ist auch bei zwei Kugeln das Rätsel nicht sinnvoll: Denn ist nun die erste schwerer oder die zweite leichter?

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
Zwei Wägungen können 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9 Fälle unterscheiden, also prinzipiell das Problem für 4 Kugeln lösen. Überlegen wir, wie man das machen kann:
* Entweder wiegt man zuerst ab+cd. Dann hat man z.B. bei Ausschlag der Waage nach links noch vier Fälle (ab+cd=SS+LL), die man aber mit einer Wägung nicht vollständig entscheiden kann.
* Versuchen wir's also mit a+b/cd. Nun hat man aber bei Gleichgewicht cd=XX, also wieder vier Fälle, die nicht mit der zweiten Wägung zu entscheiden sind.
Also lassen sich mit zwei Wägungen das Rätsel für höchstens drei Kugeln entscheiden:
* Erste Wägung: a+b/c
* Bei Gleichheit 2.Wägung c+a=X+N, bei Ungleichheit ebenfalls c+a, aber nun als N+X.
Es ist schon erstaunlich, dass nur eine weitere Wägung die Zahl dann von 3 auf 12 hochkatapultiert!

== Kann man mit drei Wägungen auch 13 Kugeln lösen? ==
Für 13 Kugeln gibt es 26 mögliche Lösungen. Das ist noch immer weniger als 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27 - man könnte also hoffen, dass man mit 3 Wägungen auch die "falsche" aus 13 herausfinden kann. Geht das?

Bei der ersten Wägung könnten wir (wie bei 12-Kugeln) 4+4 Kugeln auf die Waage legen - dann bleiben aber im Gleichgewichtsfall 5 daneben liegen, mit 10 möglichen Ergebnissen (jede kann entweder die schwerere oder die leichtere sein), was sich mit zwei weiteren Wägungen nicht vollständg lösen lässt (weil 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9&lt;10). 

Wenn man aber 5+5 Kugeln auf die Waage legt, scheitern wir bei Nicht-Gleichgewicht, wie schon im ersten Abschnitt erklärt. 12 Kugeln ist also tatsächlich das Maximum für drei Wägungen.

== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
Viele. Aber wie viele?
Berechnen wir zuerst den absoluten Maximalwert: Vier Wägungen können 3&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=81 unterscheiden. Damit ließe sich im Idealfall aus 40 Kugeln die eine schwerere oder leichtere herausfinden, weil es dann 2*40=80 mögliche Lösungen gibt. Aber sind es tatsächlich so viele?

Für eine genauere Einschränkung schauen wir uns - wie gerade für drei Wägungen - die erste Wägung an: Wir legen dort ''x''+''x'' Kugeln auf die Waage, ''y'' lassen wir daneben liegen. ''y'' kann höchstens 12 sein, weil wir aus diesen Kugeln ja mit drei Wägungen das Ergebnis finden müssen. Damit ''x''+''x''+''y'' höchstens 40 ist, darf ''x'' höchstens 14 sein. Wenn wir aber 14+14 Kugeln verwiegen und die Waage ''nicht'' im Gleichgewicht bleibt, haben wir noch 28 mögliche Lösungen - mehr als die 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27, die wir mit den restlichen 3 Wägungen entscheiden können. Daher kann ''x'' höchstens 13 sein, und die Maximalzahl für vier Wägungen ist 13+13+12=38 Kugeln.

Und tatsächlich glaube ich, dass ich für 38 Kugeln ein dynamisches Lösungsverfahren gefunden habe ... das ich hier aber nicht verrate: Das kann jeder, der bis hierher gekommen ist, selber finden!

== Offene Frage: Kann ein statisches Verfahren immer gleich viele Kugeln leisten wie ein dynamisches mit gleich viel Wägungen? ==
Mit drei Wägungen kann man höchstens 12 Kugeln lösen - sowohl mit einem dynamischen wie mit einem statischen Verfahren. Auch bei zwei Wägungen sind dynamisches und statisches Verfahren gleich mächtig, und bei einer Wägung sowieso. Aber gilt das allgemein? Gibt es immer, wenn es ein dynamisches Verfahren gibt, auch ein statisches Verfahren? Das ist nicht offensichtlich, weil das dynamische Verfahren ja "mehr Information einspeist". Ich habe aber keine Ahnung, wie ein Beweis aussieht, der zu einem dynamischen Verfahren immer ein statisches konstruieren kann.

== Offene Frage: Kann man das statische Verfahren eleganter entwickeln? ==
Das statische Verfahren habe ich oben durch "Umbau" des dynamischen Verfahrens gefunden.

Man kann auch direkt versuchen, die oben gezeigte Tabelle für das statische Verfahren auszufüllen. Dazu muss man sich zuerst klar machen, dass die Kombination === in keinem Feld stehen kann (denn dann würde die entsprechende Lösungskugel ja gar nicht auf die Waage gelegt worden sein, und dann wüsste man nicht, ob sie schwerer oder leichter ist, wenn sie die abweichende ist). Außerdem steht immer in der unteren Zelle das "Gegenteil" der oberen, wenn man L gegen R austauscht. Zuletzt müssen an jeder Position gleich viele L, R und = vorkommen, weil alle vier Wägungen von der Form 4+4/4 sind (was ich nicht bewiesen habe - aber ich vermute, dass ein statisches Verfahren für 12 Kugeln nur so gelingt). Mit etwas Herumbasteln findet man dann Tabellenwerte, die diese Bedingungen erfüllen - das ist dann aber typische "Lösung, die vom Himmel fällt".

Die Frage ist: Gibt es eine bessere, schönere, "elegantere" Erklärung für ein (bestimmtes) statisches Verfahren? Bei den Zahlen 12 und 3 fallen einem schon andere mathematische Dinge ein: Ein 3-dimensionaler Würfel hat 12 Kanten. Außerdem hat ein Würfel, wenn man auf eine Spitze schaut, eine dreifache Rotationssymmetrie. Es ist mir aber nicht gelungen, aus diesen geometrischen Vorstellungen ein statisches Verfahren "herauszukitzeln" - der Würfel ist "zu symmetrisch dazu". Hat jemand eine Idee, wie das gehen könnte?

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    <text bytes="23600" xml:space="preserve">Es gibt zwar schon eine Lösung zum [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln Problem der Waage und der 12 Kugeln] - aber dort steht praktisch nichts mathematisch Interessantes: Nicht, wie man sie Lösung findet, nicht, welche weiteren ähnlichen Probleme man sich stellen kann ... ich versuche es hier, besser zu machen.

Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt, gibt es zwei Arten von Lösungen:
* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist, oder die leichtere leichter - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jede der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem die Waage links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also höchstens 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 24 nicht mehr ist als 27, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte ist. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
Die erste Wägung kann drei Ergebnisse haben:
# Waage geht links herunter: Dann wissen wir, dass ''entweder'' unter den linken vier Kugeln die eine schwerere ist ''oder'' unter den rechten vier die eine leichtere.
# Waage geht rechts herunter: Entweder ist unter den vier rechts die schwerere; oder links die leichtere.
# Waage bleibt im Gleichgewicht: Unter den vier neben der Waage ist die abweichende.
Statt weiterhin so lange Texte zu schreiben, müssen wir das kürzer hinschreiben können - nach dem alten Mathematikerspruch: "''Die richtige Notation ist die halbe Lösung''". Ich verwende einmal die folgenden Buchstaben:
* Wenn eine Kugel nur mehr eine schwerere sein kann (aber vielleicht auch eine der 11 gleich schweren - ich nenne die "normal"), dann soll dafür der Buchstabe S stehen; 
* wenn sie nur eine leichtere oder eine normale sein kann, dann steht dafür L;
* und wenn sie schwerer oder leichter oder normal sein kann, dann wird das mit X gekennzeichnet.
* Wenn eine Kugel schließlich sicher "normal" ist, dann wird sie mit N bezeichnet.
Die drei Möglichkeiten oben ergeben also:
# SSSS + LLLL / NNNN (durch + trenne ich die beiden Gruppen, die auf der Waage liegen; nach dem / stehen die Kugeln, die neben der Waage liegen und die uns "gerade noch interessieren").
# LLLL + SSSS / NNNN
# NNNN + NNNN / XXXX
Wir kümmern uns einmal um den dritten Fall - er sieht irgendwie leichter aus, weil wir nur mehr vier Kugeln betrachten müssen ... von denen wir allerdings praktisch nichts wissen! Aber probieren wir einmal: Wir legen links zwei der X-Kugeln, rechts die zwei anderen. Dann haben wir folgende möglichen Ergebnisse:
# links runter: SS + LL
# rechts runter: LL + SS
# Gleichgewicht: kann nicht sein (weil wir ja aus der ersten Wägung wissen, dass eine der vier die abweichende sein muss!).
Im ersten Fall gibt es noch immer ''vier'' mögliche Lösungen (eine der zwei S ist die schwerere; oder eine der beiden L ist die leichtere). Die eine letzte Wägung kann aber nur ''drei'' Möglichkeiten unterscheiden - damit ist die Aufteilung 2+2 nicht ok. Also dann 1+1, mit folgenden Ergebnissen:
# links runter: S + L / NN
# rechts runter: L + S / NN
# Gleichgewicht: N + N / XX
Den ersten und zweiten Fall könnten wir lösen: Im ersten Fall müssen wir nur die S-Kugeln mit einer N-Kugel vergleichen - wenn Gleichgewicht, dann ist die (danebenliegende) L-Kugel die leichtere, wenn S-Kugel nach unten geht, ist sie die schwerere. Aber im dritten Fall bleiben mit den XX ''vier'' Möglichkeiten übrig, die wir wieder mit den ''drei'' möglichen Ergebnissen einer Wägung nicht lösen können. Wir brauchen eine "schrägere Idee".

Hier ist sie: 2+1! Das geht natürlich nicht direkt (siehe Erklärung ganz am Anfang), aber wir können rechts eine weitere N-Kugel dazulegen. Wir legen also hin: XX + XN / X (die vierte X liegt auf der Seite) und haben nur folgende Fälle:
# links runter: SS + LN / N (entweder eine der schwereren zieht links runter; oder rechts ist die leichtere)
# rechts runter: LL + SN / N
# Gleichgewicht: NN + NN / X
Wir haben nur mehr eine Wägung frei - aber das könnte sich nun ausgehen!

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach NNNN+NNNN/XXXX - die "AAB-Konfiguration" ==
Der dritte Fall aus der vorherigen Wägung ist leicht: Wir vergleichen die danebenliegende Kugel (die ja sicher die gesuchte sein muss! - alle anderen sind nun als N bewiesen) mit einer beliebigen N-Kugel, mit folgenden Ergebnissen: 
# links runter: S + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: L + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist leichter.
# Gleichgewicht: unmöglich
Was tun wir mit den anderen beiden Fällen aus der vorherigen Wägung? Aus der ersten Wägung erhalten wir drei Kugeln, von denen wir wissen, dass sie SSL sind: Also entweder ist die erste oder die zweite die zu schwere, oder die dritte die zu leichte. Es gibt mehrere Arten, mit einer Wägung die richtige zu finden - hier ist eine: Man legt die beiden S auf die Waage und erhält dann:
# links runter: S + N --&gt; die linke ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: N + S --&gt; die rechte ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# Gleichgewicht: N + N --&gt; die danebenliegende  ist die gesuchte, und sie ist leichter.
Wenn wir bei der zweiten Wägung den zweiten Fall hatten (LL+SN/N), dann können wir mit den drei LLS-Kugeln dasselbe Spiel spielen: L+L vergleichen - wo's raufgeht, ist die gesuchte, und sie ist leichter; bei Gleichgewicht ist's die danebenliegende, und sie ist schwerer.

Die beiden Fälle haben ein gleichartiges Muster: Aus zwei gleich markierten Kugeln (SS oder LL) und einer dritten, die ebenfalls schon mit S oder L markiert ist, kann man mit einer Wägung die Lösung finden ... ich nenne das eine AAB-Konfiguration, die uns hoffentlich bei dem komplizierteren SSSS+LLLL/NNNN-Fall aus der ersten Wägung weiterhilft!

== Die zweite und dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
In diesem Fall wissen wir, dass links vier S-Kugeln liegen, rechts vier L-Kugeln. Wie weiter? Wenn wir schnell zu einer AAB-Konfiguration kommen, dann würden wir für viele Fälle die Lösung mit einer weiteren Wägung haben! Also probieren wir's ... nach einigem Herumprobieren bin ich auf folgendes gekommen: Man wiegt SSL + SSL / LL, mit folgenden Ergebnissen: 
# Waage geht links herunter: Entweder ist eine der beiden linken SS die gesuchte (und schwerer), oder die rechte L ist die gesuchte (und leichter). Man hat also drei Kugeln als SSL identifiziert, also eine AAB-Konfiguration gefunden! 
# Wenn die Waage rechts heruntergeht, dann hat man die anderen SSL als AAB identifiziert. 
# Und bei Gleichgewicht schließlich hat man die beiden LL als mögliche Lösungen identifiziert. Man kann sie direkt  gegeneinander wiegen - wo's raufgeht, liegt die gesuchte leichtere. Man kann aber auch, "mathematiker-artig", eine N dazulegen und hat dann diesen Fall "auf eine AAB-Konfiguration" zurückgeführt ... das macht hier keinen Unterschied, hilft uns aber vielleicht bei anderen Problemen später! 
In allen drei Fällen ist man also bei AAB angelangt - man findet dann also mit einer einzigen weiteren (dritten) Wägung die gesuchte Kugel. 

Damit haben wir ein dynamisches Lösungsverfahren für das 12-Kugel-Problem gefunden! In Kürze - ich bezeichne die 12 Kugeln mit a,b,...,k,l: 

1. Wägung: abcd+efgh/ijkl 

'''Bei Gleichgewicht der ersten Wägung: ''' 

2. Wägung: ij+ka/l 

3. Wägung: Bei Gleichgewicht: l mit a, sonst ijk mit AAB-Konfiguration (ij+ka geht links runter: ijk=SSL; ij+ka geht rechts runter: ijk=LLS). 

'''Wenn erste Wägung links runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist SSL+SSL/LL 

Bei Gleichgewicht: ghi mit AAB-Konfiguration (LLN). 

Wenn links runter: abf ist SSL, also AAB-Konfiguration; wenn rechts unter: cde ist SSL, also AAB. 

'''Wenn erste Wägung rechts runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist LLS+LLS/S - ist symmetrisch zu "links runter". 

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
Bei dynamischen Verfahren wiegt man nur so wenige Kugeln, wie nötig sind. Es ist aber klar, dass man bei jeder Wägung links und rechts gleich viele N-Kugeln dazustapeln kann, ohne dass sich am Ergebnis was ändert. Was das bringen soll? Nun, man könnte die Wägungen, die man beim dynamischen Verfahren entweder/oder macht, nun ''zugleich'' machen! Und wenn man die Wägungen dabei immer gleich kombinieren kann, dann würde ein Verfahren herauskommen, wo man nicht verschiedene Gruppen je nach vorherigen Ergebnissen wiegt, sondern immer die gleichen - also ein statisches Verfahren!

Probieren wir das einmal: Die erste Wägung ist natürlich gleich - wir können ja, wie weiter oben ausgerechnet, nur mit einer 4+4-Wägung anfangen, und zu diesem Zeitpunkt ist es noch egal, welche Kugeln wir wählen. Die erste Wägung ist also abcd+efgh/ijkl (mit den Bezeichnungen aus dem letzten Abschnitt).

Zweite Wägung: In den beiden Ungleichgewichtsfällen haben wir hier beim dynamischen Verfahren schon beide Male dasselbe ausgeführt, nämlich abe+cdf/gh - das war also schon ein "klein wenig statisch". Im Gleichgewichtsfall kommt nun noch ij+ka/l dazu ... aber das können wir nicht zugleich abwiegen, weil dann auf der a-Seite 4 Kugeln liegen, auf der anderen aber 5 - so geht das nicht. Was tun???

Wir schauen uns die zweite dynamische Wägung noch einmal an: Sie ist ja abe+cdf/gh und hat im ''Gleichgewichtsfall'' eine etwas "schmalere" nächste Wägung ergeben, nämlich nur mehr g+h. Wir könnten diese Wägung zu AAB "auffetten", sodass bei der zweiten Wägung weniger auf der Waage liegt = "Platz für ij+ka wird". Konkret:

Wir bauen unser dynamisches Verfahren so um, dass bei der zweiten Wägung abe+cdi/fgh gewogen wird (statt f nehmen wir also i, was sicher eine neutrale Kugel ist). Wenn die erste Wägung links nach unten ging, sind diese Kugeln SSL+SSN/LLL markiert. Was sind die möglichen Ergebnisse?
# links runter: abi=SSN ist AAB, was mit einer Wägung zu entscheiden ist.
# rechts runter: ecd=LSS, also ist cde AAB - ebenfalls mit einer Wägung zu entscheiden.
# Gleichgewicht: fgh=LLL, also AAB  - auch mit einer Wägung zu entscheiden.
Wenn die erste Wägung rechts nach unten ging, kommt symmetrisch auch raus, dass eine weitere Wägung reicht.

Nun aber können wir abe+cdi/fgh mit ka+ij/l (die umgedrehte zweite Wägung aus dem dynamischen Verfahren, wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war) kombinieren und erhalten als zweite Wägung:

abek+cdij/fghl

Wie gehen wir mit dem Ergebnis dieser Wägung um? Ungefähr so: Wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war, dann wissen wir ja, dass a...h alle neutral sind, daher haben wir eigentlich nur ak+ij/l gewogen und können dieselben Schlüsse ziehen wie beim dynamischen Verfahren. Wenn aber die erste Wägung nach links ging, dann waren ja sicher i...l neutral, wir haben also praktisch abe+cdi/fgh gewogen und können auch passenden Schlüsse ziehen. Und dasselbe geht auch, wenn die erste Wägung nach rechts ging.

Zwei Wägungen sind also schon "statisch" - wir brauchen noch die dritte. Dazu müssen wir einmal alle dritten Wägungen aus dem dynamischen Verfahren aufsammeln. Der Reihe nach sind das:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
* nocheinmal die drei letzten Wägungen, weil die Ergebnisse symmetrisch sind (a+b/i ist nun LLN statt SSN, kann aber mit der gleichen Wägung entschieden werden)
Direkt lassen sich diese Wägungen nicht kombinieren, weil i einmal verwogen werden muss (zweite Zeile), einmal auf der Seite liegen muss (dritte Zeile). Mhm.

Eine Idee: AAB kann man nicht nur durch Verwiegen der zwei A-Kugeln entscheiden, sondern auch anders - allerdings nur, wenn A und B verschieden sind (also z.B. AAB=SSL): Dann kann man auf eine Seite SL legen, auf die andere NN. Wenn die Waage links runter geht, dann ist S die gesuchte (und schwerer), wenn sie rechts runtergeht, dann ist L die gesuchte (und leichter). Wir können also aus ijk=SSL oder LLS (siehe die Kurzbeschreibung im letzten Kapitel!) jk gegen zwei N-Kugeln verwiegen:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* &lt;u&gt;jk+nn/i&lt;/u&gt;
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Schaffen wir es, auf eine Seite vier Kugeln zu legen? Es geht sich nicht aus :-(

Das mit dem jk war vielleicht doch keine so gute Idee, weil nun eine Kugel mehr auf die Waage kam. Also zurück zur vorherigen Liste:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Können wir a+b/i "drehen", sodass i auf der Waage liegt? abi war ja SSN oder LLN, und hier könnten wir statt a+b auch gern a+i wiegen: Bei Gleichgewicht ist dann b die gesuchte! Also müsste als dritte Wägung auch eine Summe aus Folgendem funktionieren (die ersten zwei Wägungen habe ich schon passend umgedreht):
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* &lt;u&gt;i+a/b&lt;/u&gt;
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Und als "Summe" erhalten wir:

licf+ajdg/kbeh

Es sieht so aus, als hätten wir ein statisches Verfahren gefunden! - mit folgenden Wägungen (die Buchstaben habe ich jeweils aufsteigend sortiert):
* abcd+efgh/ijkl
* abek+cdij/fghl
* cfil+adgj/behk
Schauen wir, ob es funktioniert, indem wir für alle möglichen Lösungen die Wäge-Ergebnisse aufschreiben - sie müssen sich alle unterscheiden! L bedeutet hier "Waage senkt sich links", R "Waage senkt sich rechts", = "Waage bleibt im Gleichgewicht":
{| class="article-table"
!
!a
!b
!c
!d
!e
!f
!g
!h
!i
!j
!k
!l
!
|-
|schwerer
|LLR
|LL=
|LRL
|LRR
|RL=
|R=L
|R=R
|R==
|=RL
|=RR
|=L=
|==L
|
|-
|leichter
|RRL
|RR=
|RLR
|RLL
|LR=
|L=R
|L=L
|L==
|=LR
|=LL
|=R=
|==R
|
|}
Tatsächlich!! - es hat funktioniert - alle Wägeergebnisse sind verschieden.

Ich höre hier mit den statischen Verfahren auf - manche Leute haben noch nette Tricks gefunden, wie man die drei Zeichen L, R und = als ternäre Ziffern interpretiert, sodass man sich nicht die Tabelle merken muss, sondern sich die Nummer der abweichenden Kugel aus dem Wägeergebnis als Zahl im Dreiersystem ausrechnen kann. Ein Beispiel dafür ist die andere Lösung, die [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln,_L%C3%B6sung hier] angegeben ist.

Ich schaue mir aber noch schnell das Problem für andere Zahlen von Wägungen an!

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
Keine. Tatsächlich. Warum?

Das mindeste, was man zum Verwiegen braucht, sind zwei Kugeln. Wenn man die aber beide auf die Waage legt und sie sich links senkt, dann weiß man nicht, ob die linke schwerer oder die rechte leichter ist! Auch rechnerisch kann man sich das überlegen: Eine Wägung kann drei Ergebnisse unterscheiden, bei zwei Kugeln gibt es aber schon vier Möglichkeiten (erste schwerer, erste leichter, zweite schwerer, zweite leichter). Allerdings ist auch bei zwei Kugeln das Rätsel nicht sinnvoll: Denn ist nun die erste schwerer oder die zweite leichter?

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
Zwei Wägungen können 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9 Fälle unterscheiden, also prinzipiell das Problem für 4 Kugeln lösen. Überlegen wir, wie man das machen kann:
* Entweder wiegt man zuerst ab+cd. Dann hat man z.B. bei Ausschlag der Waage nach links noch vier Fälle (ab+cd=SS+LL), die man aber mit einer Wägung nicht vollständig entscheiden kann.
* Versuchen wir's also mit a+b/cd. Nun hat man aber bei Gleichgewicht cd=XX, also wieder vier Fälle, die nicht mit der zweiten Wägung zu entscheiden sind.
Also lassen sich mit zwei Wägungen das Rätsel für höchstens drei Kugeln entscheiden:
* Erste Wägung: a+b/c
* Bei Gleichheit 2.Wägung c+a=X+N, bei Ungleichheit ebenfalls c+a, aber nun als N+X.
Es ist schon erstaunlich, dass nur eine weitere Wägung die Zahl dann von 3 auf 12 hochkatapultiert!

== Kann man mit drei Wägungen auch 13 Kugeln lösen? ==
Für 13 Kugeln gibt es 26 mögliche Lösungen. Das ist noch immer weniger als 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27 - man könnte also hoffen, dass man mit 3 Wägungen auch die "falsche" aus 13 herausfinden kann. Geht das?

Bei der ersten Wägung könnten wir (wie bei 12-Kugeln) 4+4 Kugeln auf die Waage legen - dann bleiben aber im Gleichgewichtsfall 5 daneben liegen, mit 10 möglichen Ergebnissen (jede kann entweder die schwerere oder die leichtere sein), was sich mit zwei weiteren Wägungen nicht vollständg lösen lässt (weil 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9&lt;10). 

Wenn man aber 5+5 Kugeln auf die Waage legt, scheitern wir bei Nicht-Gleichgewicht, wie schon im ersten Abschnitt erklärt. 12 Kugeln ist also tatsächlich das Maximum für drei Wägungen.

== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
Viele. Aber wie viele?
Berechnen wir zuerst den absoluten Maximalwert: Vier Wägungen können 3&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=81 unterscheiden. Damit ließe sich im Idealfall aus 40 Kugeln die eine schwerere oder leichtere herausfinden, weil es dann 2*40=80 mögliche Lösungen gibt. Aber sind es tatsächlich so viele?

Für eine genauere Einschränkung schauen wir uns - wie gerade für drei Wägungen - die erste Wägung an: Wir legen dort ''x''+''x'' Kugeln auf die Waage, ''y'' lassen wir daneben liegen. ''y'' kann höchstens 12 sein, weil wir aus diesen Kugeln ja mit drei Wägungen das Ergebnis finden müssen. Damit ''x''+''x''+''y'' höchstens 40 ist, darf ''x'' höchstens 14 sein. Wenn wir aber 14+14 Kugeln verwiegen und die Waage ''nicht'' im Gleichgewicht bleibt, haben wir noch 28 mögliche Lösungen - mehr als die 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27, die wir mit den restlichen 3 Wägungen entscheiden können. Daher kann ''x'' höchstens 13 sein, und die Maximalzahl für vier Wägungen ist 13+13+12=38 Kugeln.

Und tatsächlich glaube ich, dass ich für 38 Kugeln ein dynamisches Lösungsverfahren gefunden habe ... das ich hier aber nicht verrate: Das kann jeder, der bis hierher gekommen ist, selber finden!

== Offene Frage: Kann ein statisches Verfahren immer gleich viele Kugeln leisten wie ein dynamisches mit gleich viel Wägungen? ==
Mit drei Wägungen kann man höchstens 12 Kugeln lösen - sowohl mit einem dynamischen wie mit einem statischen Verfahren. Auch bei zwei Wägungen sind dynamisches und statisches Verfahren gleich mächtig, und bei einer Wägung sowieso. Aber gilt das allgemein? Gibt es immer, wenn es ein dynamisches Verfahren gibt, auch ein statisches Verfahren? Das ist nicht offensichtlich, weil das dynamische Verfahren ja "mehr Information einspeist". Ich habe aber keine Ahnung, wie ein Beweis aussieht, der zu einem dynamischen Verfahren immer ein statisches konstruieren kann.

== Offene Frage: Kann man das statische Verfahren eleganter entwickeln? ==
Das statische Verfahren habe ich oben durch "Umbau" des dynamischen Verfahrens gefunden.

Man kann auch direkt versuchen, die oben gezeigte Tabelle für das statische Verfahren auszufüllen. Dazu muss man sich zuerst klar machen, dass die Kombination === in keinem Feld stehen kann (denn dann würde die entsprechende Lösungskugel ja gar nicht auf die Waage gelegt worden sein, und dann wüsste man nicht, ob sie schwerer oder leichter ist, wenn sie die abweichende ist). Außerdem steht immer in der unteren Zelle das "Gegenteil" der oberen, wenn man L gegen R austauscht. Zuletzt müssen an jeder Position gleich viele L, R und = vorkommen, weil alle vier Wägungen von der Form 4+4/4 sind (was ich nicht bewiesen habe - aber ich vermute, dass ein statisches Verfahren für 12 Kugeln nur so gelingt). Mit etwas Herumbasteln findet man dann Tabellenwerte, die diese Bedingungen erfüllen - das ist dann aber typische "Lösung, die vom Himmel fällt".

Die Frage ist: Gibt es eine bessere, schönere, "elegantere" Erklärung für ein (bestimmtes) statisches Verfahren? Bei den Zahlen 12 und 3 fallen einem schon andere mathematische Dinge ein: Ein 3-dimensionaler Würfel hat 12 Kanten. Außerdem hat ein Würfel, wenn man auf eine Spitze schaut, eine dreifache Rotationssymmetrie. Es ist mir aber nicht gelungen, aus diesen geometrischen Vorstellungen ein statisches Verfahren "herauszukitzeln" - der Würfel ist "zu symmetrisch dazu". Hat jemand eine Idee, wie das gehen könnte?

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    <text bytes="23605" xml:space="preserve">Es gibt zwar schon eine Lösung zum [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln Problem der Waage und der 12 Kugeln] - aber dort steht praktisch nichts mathematisch Interessantes: Nicht, wie man sie Lösung findet, nicht, welche weiteren ähnlichen Probleme man sich stellen kann ... ich versuche es hier, besser zu machen.

Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt, gibt es zwei Arten von Lösungen:
* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist, oder die leichtere leichter - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jede der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem die Waage links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also höchstens 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 24 nicht mehr ist als 27, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte ist. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
Die erste Wägung kann drei Ergebnisse haben:
# Waage geht links herunter: Dann wissen wir, dass ''entweder'' unter den linken vier Kugeln die eine schwerere ist ''oder'' unter den rechten vier die eine leichtere.
# Waage geht rechts herunter: Entweder ist unter den vier rechts die schwerere; oder links die leichtere.
# Waage bleibt im Gleichgewicht: Unter den vier neben der Waage ist die abweichende.
Statt weiterhin so lange Texte zu schreiben, müssen wir das kürzer hinschreiben können - nach dem alten Mathematikerspruch: "''Die richtige Notation ist die halbe Lösung''". Ich verwende einmal die folgenden Buchstaben:
* Wenn eine Kugel nur mehr eine schwerere sein kann (aber vielleicht auch eine der 11 gleich schweren - ich nenne die "normal"), dann soll dafür der Buchstabe S stehen; 
* wenn sie nur eine leichtere oder eine normale sein kann, dann steht dafür L;
* und wenn sie schwerer oder leichter oder normal sein kann, dann wird das mit X gekennzeichnet.
* Wenn eine Kugel schließlich sicher "normal" ist, dann wird sie mit N bezeichnet.
Die drei Möglichkeiten oben ergeben also:
# SSSS + LLLL / NNNN (durch + trenne ich die beiden Gruppen, die auf der Waage liegen; nach dem / stehen die Kugeln, die neben der Waage liegen und die uns "gerade noch interessieren").
# LLLL + SSSS / NNNN
# NNNN + NNNN / XXXX
Wir kümmern uns einmal um den dritten Fall - er sieht irgendwie leichter aus, weil wir nur mehr vier Kugeln betrachten müssen ... von denen wir allerdings praktisch nichts wissen! Aber probieren wir einmal: Wir legen links zwei der X-Kugeln, rechts die zwei anderen. Dann haben wir folgende möglichen Ergebnisse:
# links runter: SS + LL
# rechts runter: LL + SS
# Gleichgewicht: kann nicht sein (weil wir ja aus der ersten Wägung wissen, dass eine der vier die abweichende sein muss!).
Im ersten Fall gibt es noch immer ''vier'' mögliche Lösungen (eine der zwei S ist die schwerere; oder eine der beiden L ist die leichtere). Die eine letzte Wägung kann aber nur ''drei'' Möglichkeiten unterscheiden - damit ist die Aufteilung 2+2 nicht ok. Also dann 1+1, mit folgenden Ergebnissen:
# links runter: S + L / NN
# rechts runter: L + S / NN
# Gleichgewicht: N + N / XX
Den ersten und zweiten Fall könnten wir lösen: Im ersten Fall müssen wir nur die S-Kugeln mit einer N-Kugel vergleichen - wenn Gleichgewicht, dann ist die (danebenliegende) L-Kugel die leichtere, wenn S-Kugel nach unten geht, ist sie die schwerere. Aber im dritten Fall bleiben mit den XX ''vier'' Möglichkeiten übrig, die wir wieder mit den ''drei'' möglichen Ergebnissen einer Wägung nicht lösen können. Wir brauchen eine "schrägere Idee".

Hier ist sie: 2+1! Das geht natürlich nicht direkt (siehe Erklärung ganz am Anfang), aber wir können rechts eine weitere N-Kugel dazulegen. Wir legen also hin: XX + XN / X (die vierte X liegt auf der Seite) und haben nur folgende Fälle:
# links runter: SS + LN / N (entweder eine der schwereren zieht links runter; oder rechts ist die leichtere)
# rechts runter: LL + SN / N
# Gleichgewicht: NN + NN / X
Wir haben nur mehr eine Wägung frei - aber das könnte sich nun ausgehen!

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach NNNN+NNNN/XXXX - die "AAB-Konfiguration" ==
Der dritte Fall aus der vorherigen Wägung ist leicht: Wir vergleichen die danebenliegende Kugel (die ja sicher die gesuchte sein muss! - alle anderen sind nun als N bewiesen) mit einer beliebigen N-Kugel, mit folgenden Ergebnissen: 
# links runter: S + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: L + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist leichter.
# Gleichgewicht: unmöglich
Was tun wir mit den anderen beiden Fällen aus der vorherigen Wägung? Aus der ersten Wägung erhalten wir drei Kugeln, von denen wir wissen, dass sie SSL sind: Also entweder ist die erste oder die zweite die zu schwere, oder die dritte die zu leichte. Es gibt mehrere Arten, mit einer Wägung die richtige zu finden - hier ist eine: Man legt die beiden S auf die Waage und erhält dann:
# links runter: S + N --&gt; die linke ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: N + S --&gt; die rechte ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# Gleichgewicht: N + N --&gt; die danebenliegende  ist die gesuchte, und sie ist leichter.
Wenn wir bei der zweiten Wägung den zweiten Fall hatten (LL+SN/N), dann können wir mit den drei LLS-Kugeln dasselbe Spiel spielen: L+L vergleichen - wo's raufgeht, ist die gesuchte, und sie ist leichter; bei Gleichgewicht ist's die danebenliegende, und sie ist schwerer.

Die beiden Fälle haben ein gleichartiges Muster: Aus zwei gleich markierten Kugeln (SS oder LL) und einer dritten, die ebenfalls schon mit S oder L markiert ist, kann man mit einer Wägung die Lösung finden ... ich nenne das eine AAB-Konfiguration, die uns hoffentlich bei dem komplizierteren SSSS+LLLL/NNNN-Fall aus der ersten Wägung weiterhilft!

== Die zweite und dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
In diesem Fall wissen wir, dass links vier S-Kugeln liegen, rechts vier L-Kugeln. Wie weiter? Wenn wir schnell zu einer AAB-Konfiguration kommen, dann würden wir für viele Fälle die Lösung mit einer weiteren Wägung haben! Also probieren wir's ... nach einigem Herumprobieren bin ich auf folgendes gekommen: Man wiegt SSL + SSL / LL, mit folgenden Ergebnissen: 
# Waage geht links herunter: Entweder ist eine der beiden linken SS die gesuchte (und schwerer), oder die rechte L ist die gesuchte (und leichter). Man hat also drei Kugeln als SSL identifiziert, also eine AAB-Konfiguration gefunden! 
# Wenn die Waage rechts heruntergeht, dann hat man die anderen SSL als AAB identifiziert. 
# Und bei Gleichgewicht schließlich hat man die beiden LL als mögliche Lösungen identifiziert. Man kann sie direkt  gegeneinander wiegen - wo's raufgeht, liegt die gesuchte leichtere. Man kann aber auch, "mathematiker-artig", eine N dazulegen und hat dann diesen Fall "auf eine AAB-Konfiguration" zurückgeführt ... das macht hier keinen Unterschied, hilft uns aber vielleicht bei anderen Problemen später! 
In allen drei Fällen ist man also bei AAB angelangt - man findet dann also mit einer einzigen weiteren (dritten) Wägung die gesuchte Kugel. 

Damit haben wir ein dynamisches Lösungsverfahren für das 12-Kugel-Problem gefunden! In Kürze - ich bezeichne die 12 Kugeln mit a,b,...,k,l: 

1. Wägung: abcd+efgh/ijkl 

'''Bei Gleichgewicht der ersten Wägung: ''' 

2. Wägung: ij+ka/l 

3. Wägung: Bei Gleichgewicht: l mit a, sonst ijk mit AAB-Konfiguration (ij+ka geht links runter: ijk=SSL; ij+ka geht rechts runter: ijk=LLS). 

'''Wenn erste Wägung links runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist SSL+SSL/LL 

Bei Gleichgewicht: ghi mit AAB-Konfiguration (LLN). 

Wenn links runter: abf ist SSL, also AAB-Konfiguration; wenn rechts unter: cde ist SSL, also AAB. 

'''Wenn erste Wägung rechts runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist LLS+LLS/S - ist symmetrisch zu "links runter". 

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
Bei dynamischen Verfahren wiegt man nur so wenige Kugeln, wie nötig sind. Es ist aber klar, dass man bei jeder Wägung links und rechts gleich viele N-Kugeln dazustapeln kann, ohne dass sich am Ergebnis was ändert. Was das bringen soll? Nun, man könnte die Wägungen, die man beim dynamischen Verfahren entweder/oder macht, nun ''zugleich'' machen! Und wenn man die Wägungen dabei immer gleich kombinieren kann, dann würde ein Verfahren herauskommen, wo man nicht verschiedene Gruppen je nach vorherigen Ergebnissen wiegt, sondern immer die gleichen - also ein statisches Verfahren!

Probieren wir das einmal: Die erste Wägung ist natürlich gleich - wir können ja, wie weiter oben ausgerechnet, nur mit einer 4+4-Wägung anfangen, und zu diesem Zeitpunkt ist es noch egal, welche Kugeln wir wählen. Die erste Wägung ist also abcd+efgh/ijkl (mit den Bezeichnungen aus dem letzten Abschnitt).

Zweite Wägung: In den beiden Ungleichgewichtsfällen haben wir hier beim dynamischen Verfahren schon beide Male dasselbe ausgeführt, nämlich abe+cdf/gh - das war also schon ein "klein wenig statisch". Im Gleichgewichtsfall kommt nun noch ij+ka/l dazu ... aber das können wir nicht zugleich abwiegen, weil dann auf der a-Seite 4 Kugeln liegen, auf der anderen aber 5 - so geht das nicht. Was tun???

Wir schauen uns die zweite dynamische Wägung noch einmal an: Sie ist ja abe+cdf/gh und hat im ''Gleichgewichtsfall'' eine etwas "schmalere" nächste Wägung ergeben, nämlich nur mehr g+h. Wir könnten diese Wägung zu AAB "auffetten", sodass bei der zweiten Wägung weniger auf der Waage liegt = "Platz für ij+ka wird". Konkret:

Wir bauen unser dynamisches Verfahren so um, dass bei der zweiten Wägung abe+cdi/fgh gewogen wird (statt f nehmen wir also i, was sicher eine neutrale Kugel ist). Wenn die erste Wägung links nach unten ging, sind diese Kugeln SSL+SSN/LLL markiert. Was sind die möglichen Ergebnisse?
# links runter: abi=SSN ist AAB, was mit einer Wägung zu entscheiden ist.
# rechts runter: ecd=LSS, also ist cde AAB - ebenfalls mit einer Wägung zu entscheiden.
# Gleichgewicht: fgh=LLL, also AAB  - auch mit einer Wägung zu entscheiden.
Wenn die erste Wägung rechts nach unten ging, kommt symmetrisch auch raus, dass eine weitere Wägung reicht.

Nun aber können wir abe+cdi/fgh mit ka+ij/l (die umgedrehte zweite Wägung aus dem dynamischen Verfahren, wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war) kombinieren und erhalten als zweite Wägung:

abek+cdij/fghl

Wie gehen wir mit dem Ergebnis dieser Wägung um? Ungefähr so: Wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war, dann wissen wir ja, dass a...h alle neutral sind, daher haben wir eigentlich nur ak+ij/l gewogen und können dieselben Schlüsse ziehen wie beim dynamischen Verfahren. Wenn aber die erste Wägung nach links ging, dann waren ja sicher i...l neutral, wir haben also praktisch abe+cdi/fgh gewogen und können auch passenden Schlüsse ziehen. Und dasselbe geht auch, wenn die erste Wägung nach rechts ging.

Zwei Wägungen sind also schon "statisch" - wir brauchen noch die dritte. Dazu müssen wir einmal alle dritten Wägungen aus dem dynamischen Verfahren aufsammeln. Der Reihe nach sind das:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
* nocheinmal die drei letzten Wägungen, weil die Ergebnisse symmetrisch sind (a+b/i ist nun LLN statt SSN, kann aber mit der gleichen Wägung entschieden werden)
Direkt lassen sich diese Wägungen nicht kombinieren, weil i einmal verwogen werden muss (zweite Zeile), einmal auf der Seite liegen muss (dritte Zeile). Mhm.

Eine Idee: AAB kann man nicht nur durch Verwiegen der zwei A-Kugeln entscheiden, sondern auch anders - allerdings nur, wenn A und B verschieden sind (also z.B. AAB=SSL): Dann kann man auf eine Seite SL legen, auf die andere NN. Wenn die Waage links runter geht, dann ist S die gesuchte (und schwerer), wenn sie rechts runtergeht, dann ist L die gesuchte (und leichter). Wir können also aus ijk=SSL oder LLS (siehe die Kurzbeschreibung im letzten Kapitel!) jk gegen zwei N-Kugeln verwiegen:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* &lt;u&gt;jk+nn/i&lt;/u&gt;
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Schaffen wir es, auf eine Seite vier Kugeln zu legen? Es geht sich nicht aus :-(

Das mit dem jk war vielleicht doch keine so gute Idee, weil nun eine Kugel mehr auf die Waage kam. Also zurück zur vorherigen Liste:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Können wir a+b/i "drehen", sodass i auf der Waage liegt? abi war ja SSN oder LLN, und hier könnten wir statt a+b auch gern a+i wiegen: Bei Gleichgewicht ist dann b die gesuchte! Also müsste als dritte Wägung auch eine Summe aus Folgendem funktionieren (die ersten zwei Wägungen habe ich schon passend umgedreht):
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* &lt;u&gt;i+a/b&lt;/u&gt;
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Und als "Summe" erhalten wir:

licf+ajdg/kbeh

Es sieht so aus, als hätten wir ein statisches Verfahren gefunden! - mit folgenden Wägungen (die Buchstaben habe ich jeweils aufsteigend sortiert):
* abcd+efgh/ijkl
* abek+cdij/fghl
* cfil+adgj/behk
Schauen wir, ob es funktioniert, indem wir für alle möglichen Lösungen die Wäge-Ergebnisse aufschreiben - sie müssen sich alle unterscheiden! L bedeutet hier "Waage senkt sich links", R "Waage senkt sich rechts", = "Waage bleibt im Gleichgewicht":
{| class="article-table"
!
!a
!b
!c
!d
!e
!f
!g
!h
!i
!j
!k
!l
!
|-
|schwerer
|LLR
|LL=
|LRL
|LRR
|RL=
|R=L
|R=R
|R==
|=RL
|=RR
|=L=
|==L
|
|-
|leichter
|RRL
|RR=
|RLR
|RLL
|LR=
|L=R
|L=L
|L==
|=LR
|=LL
|=R=
|==R
|
|}
Tatsächlich!! - es hat funktioniert - alle Wägeergebnisse sind verschieden.

Ich höre hier mit den statischen Verfahren auf - manche Leute haben noch nette Tricks gefunden, wie man die drei Zeichen L, R und = als ternäre Ziffern interpretiert, sodass man sich nicht die Tabelle merken muss, sondern sich die Nummer der abweichenden Kugel aus dem Wägeergebnis als Zahl im Dreiersystem ausrechnen kann. Ein Beispiel dafür ist die andere Lösung, die [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln,_L%C3%B6sung hier] angegeben ist.

Ich schaue mir aber noch schnell das Problem für andere Zahlen von Wägungen an!

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
Keine. Tatsächlich. Warum?

Das mindeste, was man zum Verwiegen braucht, sind zwei Kugeln. Wenn man die aber beide auf die Waage legt und sie sich links senkt, dann weiß man nicht, ob die linke schwerer oder die rechte leichter ist! Auch rechnerisch kann man sich das überlegen: Eine Wägung kann drei Ergebnisse unterscheiden, bei zwei Kugeln gibt es aber schon vier Möglichkeiten (erste schwerer, erste leichter, zweite schwerer, zweite leichter). Allerdings ist auch bei zwei Kugeln das Rätsel nicht sinnvoll: Denn ist nun die erste schwerer oder die zweite leichter?

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
Zwei Wägungen können 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9 Fälle unterscheiden, also prinzipiell das Problem für 4 Kugeln lösen. Überlegen wir, wie man das machen kann:
* Entweder wiegt man zuerst ab+cd. Dann hat man z.B. bei Ausschlag der Waage nach links noch vier Fälle (ab+cd=SS+LL), die man aber mit einer Wägung nicht vollständig entscheiden kann.
* Versuchen wir's also mit a+b/cd. Nun hat man aber bei Gleichgewicht cd=XX, also wieder vier Fälle, die nicht mit der zweiten Wägung zu entscheiden sind.
Also lassen sich mit zwei Wägungen das Rätsel für höchstens drei Kugeln entscheiden:
* Erste Wägung: a+b/c
* Bei Gleichheit 2.Wägung c+a=X+N, bei Ungleichheit ebenfalls c+a, aber nun als N+X.
Es ist schon erstaunlich, dass nur eine weitere Wägung die Zahl dann von 3 auf 12 hochkatapultiert!

== Kann man mit drei Wägungen auch 13 Kugeln lösen? ==
Für 13 Kugeln gibt es 26 mögliche Lösungen. Das ist noch immer weniger als 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27 - man könnte also hoffen, dass man mit 3 Wägungen auch die "falsche" aus 13 herausfinden kann. Geht das?

Bei der ersten Wägung könnten wir (wie bei 12-Kugeln) 4+4 Kugeln auf die Waage legen - dann bleiben aber im Gleichgewichtsfall 5 daneben liegen, mit 10 möglichen Ergebnissen (jede kann entweder die schwerere oder die leichtere sein), was sich mit zwei weiteren Wägungen nicht vollständg lösen lässt (weil 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9&lt;10). 

Wenn man aber 5+5 Kugeln auf die Waage legt, scheitern wir bei Nicht-Gleichgewicht, wie schon im ersten Abschnitt erklärt. 12 Kugeln ist also tatsächlich das Maximum für drei Wägungen.

== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
Viele. Aber wie viele?
Berechnen wir zuerst den absoluten Maximalwert: Vier Wägungen können 3&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=81 unterscheiden. Damit ließe sich im Idealfall aus 40 Kugeln die eine schwerere oder leichtere herausfinden, weil es dann 2*40=80 mögliche Lösungen gibt. Aber sind es tatsächlich so viele?

Für eine genauere Einschränkung schauen wir uns - wie gerade für drei Wägungen - die erste Wägung an: Wir legen dort ''x''+''x'' Kugeln auf die Waage, ''y'' lassen wir daneben liegen. ''y'' kann höchstens 12 sein, weil wir aus diesen Kugeln ja mit drei Wägungen das Ergebnis finden müssen. Damit ''x''+''x''+''y'' höchstens 40 ist, darf ''x'' höchstens 14 sein. Wenn wir aber 14+14 Kugeln verwiegen und die Waage ''nicht'' im Gleichgewicht bleibt, haben wir noch 28 mögliche Lösungen - mehr als die 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27, die wir mit den restlichen 3 Wägungen entscheiden können. Daher kann ''x'' höchstens 13 sein, und die Maximalzahl für vier Wägungen ist 13+13+12=38 Kugeln.

Und tatsächlich glaube ich, dass ich für 38 Kugeln ein dynamisches Lösungsverfahren gefunden habe ... das ich hier aber nicht verrate: Das kann jeder, der bis hierher gekommen ist, selber finden!

== Offene Frage: Kann ein statisches Verfahren immer gleich viele Kugeln leisten wie ein dynamisches mit gleich viel Wägungen? ==
Mit drei Wägungen kann man höchstens 12 Kugeln lösen - sowohl mit einem dynamischen wie mit einem statischen Verfahren. Auch bei zwei Wägungen sind dynamisches und statisches Verfahren gleich mächtig, und bei einer Wägung sowieso. Aber gilt das allgemein? Gibt es immer, wenn es ein dynamisches Verfahren gibt, auch ein statisches Verfahren? Das ist nicht offensichtlich, weil das dynamische Verfahren ja "mehr Information einspeist". Ich habe aber keine Ahnung, wie ein Beweis aussieht, der zu einem dynamischen Verfahren immer ein statisches konstruieren kann.

== Offene Frage: Kann man das statische Verfahren eleganter entwickeln? ==
Das statische Verfahren habe ich oben durch "Umbau" des dynamischen Verfahrens gefunden.

Man kann auch direkt versuchen, die oben gezeigte Tabelle für das statische Verfahren auszufüllen. Dazu muss man sich zuerst klar machen, dass die Kombination === in keinem Feld stehen kann (denn dann würde die entsprechende Lösungskugel ja gar nicht auf die Waage gelegt worden sein, und dann wüsste man nicht, ob sie schwerer oder leichter ist, wenn sie die abweichende ist). Außerdem steht immer in der unteren Zelle das "Gegenteil" der oberen, wenn man L gegen R austauscht. Zuletzt müssen an jeder Position gleich viele L, R und = vorkommen, weil alle vier Wägungen von der Form 4+4/4 sind (was ich nicht bewiesen habe - aber ich vermute, dass ein statisches Verfahren für 12 Kugeln nur so gelingt). Mit etwas Herumbasteln findet man dann Tabellenwerte, die diese Bedingungen erfüllen - das ist dann aber eine typische "Lösung, die vom Himmel fällt".

Die Frage ist: Gibt es eine bessere, schönere, "elegantere" Erklärung für ein (bestimmtes) statisches Verfahren? Bei den Zahlen 12 und 3 fallen einem schon andere mathematische Dinge ein: Ein 3-dimensionaler Würfel hat 12 Kanten. Außerdem hat ein Würfel, wenn man auf eine Spitze schaut, eine dreifache Rotationssymmetrie. Es ist mir aber nicht gelungen, aus diesen geometrischen Vorstellungen ein statisches Verfahren "herauszukitzeln" - der Würfel ist "zu symmetrisch dazu". Hat jemand eine Idee, wie das gehen könnte?

[[Kategorie:Denksport Loesung]]</text>
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Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt, gibt es zwei Arten von Lösungen:
* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist, oder die leichtere leichter - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jede der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem die Waage links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also höchstens 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 24 nicht mehr ist als 27, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte ist. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
Die erste Wägung kann drei Ergebnisse haben:
# Waage geht links herunter: Dann wissen wir, dass ''entweder'' unter den linken vier Kugeln die eine schwerere ist ''oder'' unter den rechten vier die eine leichtere.
# Waage geht rechts herunter: Entweder ist unter den vier rechts die schwerere; oder links die leichtere.
# Waage bleibt im Gleichgewicht: Unter den vier neben der Waage ist die abweichende.
Statt weiterhin so lange Texte zu schreiben, müssen wir das kürzer hinschreiben können - nach dem alten Mathematikerspruch: "''Die richtige Notation ist die halbe Lösung''". Ich verwende einmal die folgenden Buchstaben:
* Wenn eine Kugel nur mehr eine schwerere sein kann (aber vielleicht auch eine der 11 gleich schweren - ich nenne die "normal"), dann soll dafür der Buchstabe S stehen; 
* wenn sie nur eine leichtere oder eine normale sein kann, dann steht dafür L;
* und wenn sie schwerer oder leichter oder normal sein kann, dann wird das mit X gekennzeichnet.
* Wenn eine Kugel schließlich sicher "normal" ist, dann wird sie mit N bezeichnet.
Die drei Möglichkeiten oben ergeben also:
# SSSS + LLLL / NNNN (durch + trenne ich die beiden Gruppen, die auf der Waage liegen; nach dem / stehen die Kugeln, die neben der Waage liegen und die uns "gerade noch interessieren").
# LLLL + SSSS / NNNN
# NNNN + NNNN / XXXX
Wir kümmern uns einmal um den dritten Fall - er sieht irgendwie leichter aus, weil wir nur mehr vier Kugeln betrachten müssen ... von denen wir allerdings praktisch nichts wissen! Aber probieren wir einmal: Wir legen links zwei der X-Kugeln, rechts die zwei anderen. Dann haben wir folgende möglichen Ergebnisse:
# links runter: SS + LL
# rechts runter: LL + SS
# Gleichgewicht: kann nicht sein (weil wir ja aus der ersten Wägung wissen, dass eine der vier die abweichende sein muss!).
Im ersten Fall gibt es noch immer ''vier'' mögliche Lösungen (eine der zwei S ist die schwerere; oder eine der beiden L ist die leichtere). Die eine letzte Wägung kann aber nur ''drei'' Möglichkeiten unterscheiden - damit ist die Aufteilung 2+2 nicht ok. Also dann 1+1, mit folgenden Ergebnissen:
# links runter: S + L / NN
# rechts runter: L + S / NN
# Gleichgewicht: N + N / XX
Den ersten und zweiten Fall könnten wir lösen: Im ersten Fall müssen wir nur die S-Kugeln mit einer N-Kugel vergleichen - wenn Gleichgewicht, dann ist die (danebenliegende) L-Kugel die leichtere, wenn S-Kugel nach unten geht, ist sie die schwerere. Aber im dritten Fall bleiben mit den XX ''vier'' Möglichkeiten übrig, die wir wieder mit den ''drei'' möglichen Ergebnissen einer Wägung nicht lösen können. Wir brauchen eine "schrägere Idee".

Hier ist sie: 2+1! Das geht natürlich nicht direkt (siehe Erklärung ganz am Anfang), aber wir können rechts eine weitere N-Kugel dazulegen. Wir legen also hin: XX + XN / X (die vierte X liegt auf der Seite) und haben nur folgende Fälle:
# links runter: SS + LN / N (entweder eine der schwereren zieht links runter; oder rechts ist die leichtere)
# rechts runter: LL + SN / N
# Gleichgewicht: NN + NN / X
Wir haben nur mehr eine Wägung frei - aber das könnte sich nun ausgehen!

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach NNNN+NNNN/XXXX - die "AAB-Konfiguration" ==
Der dritte Fall aus der vorherigen Wägung ist leicht: Wir vergleichen die danebenliegende Kugel (die ja sicher die gesuchte sein muss! - alle anderen sind nun als N bewiesen) mit einer beliebigen N-Kugel, mit folgenden Ergebnissen: 
# links runter: S + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: L + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist leichter.
# Gleichgewicht: unmöglich
Was tun wir mit den anderen beiden Fällen aus der vorherigen Wägung? Aus der ersten Wägung erhalten wir drei Kugeln, von denen wir wissen, dass sie SSL sind: Also entweder ist die erste oder die zweite die zu schwere, oder die dritte die zu leichte. Es gibt mehrere Arten, mit einer Wägung die richtige zu finden - hier ist eine: Man legt die beiden S auf die Waage und erhält dann:
# links runter: S + N --&gt; die linke ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: N + S --&gt; die rechte ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# Gleichgewicht: N + N --&gt; die danebenliegende  ist die gesuchte, und sie ist leichter.
Wenn wir bei der zweiten Wägung den zweiten Fall hatten (LL+SN/N), dann können wir mit den drei LLS-Kugeln dasselbe Spiel spielen: L+L vergleichen - wo's raufgeht, ist die gesuchte, und sie ist leichter; bei Gleichgewicht ist's die danebenliegende, und sie ist schwerer.

Die beiden Fälle haben ein gleichartiges Muster: Aus zwei gleich markierten Kugeln (SS oder LL) und einer dritten, die ebenfalls schon mit S oder L markiert ist, kann man mit einer Wägung die Lösung finden ... ich nenne das eine AAB-Konfiguration, die uns hoffentlich bei dem komplizierteren SSSS+LLLL/NNNN-Fall aus der ersten Wägung weiterhilft!

== Die zweite und dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
In diesem Fall wissen wir, dass links vier S-Kugeln liegen, rechts vier L-Kugeln. Wie weiter? Wenn wir schnell zu einer AAB-Konfiguration kommen, dann würden wir für viele Fälle die Lösung mit einer weiteren Wägung haben! Also probieren wir's ... nach einigem Herumprobieren bin ich auf folgendes gekommen: Man wiegt SSL + SSL / LL, mit folgenden Ergebnissen: 
# Waage geht links herunter: Entweder ist eine der beiden linken SS die gesuchte (und schwerer), oder die rechte L ist die gesuchte (und leichter). Man hat also drei Kugeln als SSL identifiziert, also eine AAB-Konfiguration gefunden! 
# Wenn die Waage rechts heruntergeht, dann hat man die anderen SSL als AAB identifiziert. 
# Und bei Gleichgewicht schließlich hat man die beiden LL als mögliche Lösungen identifiziert. Man kann sie direkt  gegeneinander wiegen - wo's raufgeht, liegt die gesuchte leichtere. Man kann aber auch, "mathematiker-artig", eine N dazulegen und hat dann diesen Fall "auf eine AAB-Konfiguration" zurückgeführt ... das macht hier keinen Unterschied, hilft uns aber vielleicht bei anderen Problemen später! 
In allen drei Fällen ist man also bei AAB angelangt - man findet dann also mit einer einzigen weiteren (dritten) Wägung die gesuchte Kugel. 

Damit haben wir ein dynamisches Lösungsverfahren für das 12-Kugel-Problem gefunden! In Kürze - ich bezeichne die 12 Kugeln mit a,b,...,k,l: 

1. Wägung: abcd+efgh/ijkl 

'''Bei Gleichgewicht der ersten Wägung: ''' 

2. Wägung: ij+ka/l 

3. Wägung: Bei Gleichgewicht: l mit a, sonst ijk mit AAB-Konfiguration (ij+ka geht links runter: ijk=SSL; ij+ka geht rechts runter: ijk=LLS). 

'''Wenn erste Wägung links runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist SSL+SSL/LL 

Bei Gleichgewicht: ghi mit AAB-Konfiguration (LLN). 

Wenn links runter: abf ist SSL, also AAB-Konfiguration; wenn rechts unter: cde ist SSL, also AAB. 

'''Wenn erste Wägung rechts runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist LLS+LLS/S - ist symmetrisch zu "links runter". 

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
Bei dynamischen Verfahren wiegt man nur so wenige Kugeln, wie nötig sind. Es ist aber klar, dass man bei jeder Wägung links und rechts gleich viele N-Kugeln dazustapeln kann, ohne dass sich am Ergebnis was ändert. Was das bringen soll? Nun, man könnte die Wägungen, die man beim dynamischen Verfahren entweder/oder macht, nun ''zugleich'' machen! Und wenn man die Wägungen dabei immer gleich kombinieren kann, dann würde ein Verfahren herauskommen, wo man nicht verschiedene Gruppen je nach vorherigen Ergebnissen wiegt, sondern immer die gleichen - also ein statisches Verfahren!

Probieren wir das einmal: Die erste Wägung ist natürlich gleich - wir können ja, wie weiter oben ausgerechnet, nur mit einer 4+4-Wägung anfangen, und zu diesem Zeitpunkt ist es noch egal, welche Kugeln wir wählen. Die erste Wägung ist also abcd+efgh/ijkl (mit den Bezeichnungen aus dem letzten Abschnitt).

Zweite Wägung: In den beiden Ungleichgewichtsfällen haben wir hier beim dynamischen Verfahren schon beide Male dasselbe ausgeführt, nämlich abe+cdf/gh - das war also schon ein "klein wenig statisch". Im Gleichgewichtsfall kommt nun noch ij+ka/l dazu ... aber das können wir nicht zugleich abwiegen, weil dann auf der a-Seite 4 Kugeln liegen, auf der anderen aber 5 - so geht das nicht. Was tun???

Wir schauen uns die zweite dynamische Wägung noch einmal an: Sie ist ja abe+cdf/gh und hat im ''Gleichgewichtsfall'' eine etwas "schmalere" nächste Wägung ergeben, nämlich nur mehr g+h. Wir könnten diese Wägung zu AAB "auffetten", sodass bei der zweiten Wägung weniger auf der Waage liegt = "Platz für ij+ka wird". Konkret:

Wir bauen unser dynamisches Verfahren so um, dass bei der zweiten Wägung abe+cdi/fgh gewogen wird (statt f nehmen wir also i, was sicher eine neutrale Kugel ist). Wenn die erste Wägung links nach unten ging, sind diese Kugeln SSL+SSN/LLL markiert. Was sind die möglichen Ergebnisse?
# links runter: abi=SSN ist AAB, was mit einer Wägung zu entscheiden ist.
# rechts runter: ecd=LSS, also ist cde AAB - ebenfalls mit einer Wägung zu entscheiden.
# Gleichgewicht: fgh=LLL, also AAB  - auch mit einer Wägung zu entscheiden.
Wenn die erste Wägung rechts nach unten ging, kommt symmetrisch auch raus, dass eine weitere Wägung reicht.

Nun aber können wir abe+cdi/fgh mit ka+ij/l (die umgedrehte zweite Wägung aus dem dynamischen Verfahren, wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war) kombinieren und erhalten als zweite Wägung:

abek+cdij/fghl

Wie gehen wir mit dem Ergebnis dieser Wägung um? Ungefähr so: Wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war, dann wissen wir ja, dass a...h alle neutral sind, daher haben wir eigentlich nur ak+ij/l gewogen und können dieselben Schlüsse ziehen wie beim dynamischen Verfahren. Wenn aber die erste Wägung nach links ging, dann waren ja sicher i...l neutral, wir haben also praktisch abe+cdi/fgh gewogen und können auch passenden Schlüsse ziehen. Und dasselbe geht auch, wenn die erste Wägung nach rechts ging.

Zwei Wägungen sind also schon "statisch" - wir brauchen noch die dritte. Dazu müssen wir einmal alle dritten Wägungen aus dem dynamischen Verfahren aufsammeln. Der Reihe nach sind das:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
* nocheinmal die drei letzten Wägungen, weil die Ergebnisse symmetrisch sind (a+b/i ist nun LLN statt SSN, kann aber mit der gleichen Wägung entschieden werden)
Direkt lassen sich diese Wägungen nicht kombinieren, weil i einmal verwogen werden muss (zweite Zeile), einmal auf der Seite liegen muss (dritte Zeile). Mhm.

Eine Idee: AAB kann man nicht nur durch Verwiegen der zwei A-Kugeln entscheiden, sondern auch anders - allerdings nur, wenn A und B verschieden sind (also z.B. AAB=SSL): Dann kann man auf eine Seite SL legen, auf die andere NN. Wenn die Waage links runter geht, dann ist S die gesuchte (und schwerer), wenn sie rechts runtergeht, dann ist L die gesuchte (und leichter). Wir können also aus ijk=SSL oder LLS (siehe die Kurzbeschreibung im letzten Kapitel!) jk gegen zwei N-Kugeln verwiegen:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* &lt;u&gt;jk+nn/i&lt;/u&gt;
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Schaffen wir es, auf eine Seite vier Kugeln zu legen? Es geht sich nicht aus :-(

Das mit dem jk war vielleicht doch keine so gute Idee, weil nun eine Kugel mehr auf die Waage kam. Also zurück zur vorherigen Liste:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Können wir a+b/i "drehen", sodass i auf der Waage liegt? abi war ja SSN oder LLN, und hier könnten wir statt a+b auch gern a+i wiegen: Bei Gleichgewicht ist dann b die gesuchte! Also müsste als dritte Wägung auch eine Summe aus Folgendem funktionieren (die ersten zwei Wägungen habe ich schon passend umgedreht):
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* &lt;u&gt;i+a/b&lt;/u&gt;
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Und als "Summe" erhalten wir:

licf+ajdg/kbeh

Es sieht so aus, als hätten wir ein statisches Verfahren gefunden! - mit folgenden Wägungen (die Buchstaben habe ich jeweils aufsteigend sortiert):
* abcd+efgh/ijkl
* abek+cdij/fghl
* cfil+adgj/behk
Schauen wir, ob es funktioniert, indem wir für alle möglichen Lösungen die Wäge-Ergebnisse aufschreiben - sie müssen sich alle unterscheiden! L bedeutet hier "Waage senkt sich links", R "Waage senkt sich rechts", = "Waage bleibt im Gleichgewicht":
{| class="article-table"
!
!a
!b
!c
!d
!e
!f
!g
!h
!i
!j
!k
!l
!
|-
|schwerer
|LLR
|LL=
|LRL
|LRR
|RL=
|R=L
|R=R
|R==
|=RL
|=RR
|=L=
|==L
|
|-
|leichter
|RRL
|RR=
|RLR
|RLL
|LR=
|L=R
|L=L
|L==
|=LR
|=LL
|=R=
|==R
|
|}
Tatsächlich!! - es hat funktioniert - alle Wägeergebnisse sind verschieden.

Ich höre hier mit den statischen Verfahren auf - manche Leute haben noch nette Tricks gefunden, wie man die drei Zeichen L, R und = als ternäre Ziffern interpretiert, sodass man sich nicht die Tabelle merken muss, sondern sich die Nummer der abweichenden Kugel aus dem Wägeergebnis als Zahl im Dreiersystem ausrechnen kann. Ein Beispiel dafür ist die andere Lösung, die [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln,_L%C3%B6sung hier] angegeben ist.

Ich schaue mir aber noch schnell das Problem für andere Zahlen von Wägungen an!

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
Keine. Tatsächlich. Warum?

Das mindeste, was man zum Verwiegen braucht, sind zwei Kugeln. Wenn man die aber beide auf die Waage legt und sie sich links senkt, dann weiß man nicht, ob die linke schwerer oder die rechte leichter ist! Auch rechnerisch kann man sich das überlegen: Eine Wägung kann drei Ergebnisse unterscheiden, bei zwei Kugeln gibt es aber schon vier Möglichkeiten (erste schwerer, erste leichter, zweite schwerer, zweite leichter). Allerdings ist auch bei zwei Kugeln das Rätsel nicht sinnvoll: Denn ist nun die erste schwerer oder die zweite leichter?

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
Zwei Wägungen können 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9 Fälle unterscheiden, also prinzipiell das Problem für 4 Kugeln lösen. Überlegen wir, wie man das machen kann:
* Entweder wiegt man zuerst ab+cd. Dann hat man z.B. bei Ausschlag der Waage nach links noch vier Fälle (ab+cd=SS+LL), die man aber mit einer Wägung nicht vollständig entscheiden kann.
* Versuchen wir's also mit a+b/cd. Nun hat man aber bei Gleichgewicht cd=XX, also wieder vier Fälle, die nicht mit der zweiten Wägung zu entscheiden sind.
Also lassen sich mit zwei Wägungen das Rätsel für höchstens drei Kugeln entscheiden:
* Erste Wägung: a+b/c
* Bei Gleichheit 2.Wägung c+a=X+N, bei Ungleichheit ebenfalls c+a, aber nun als N+X.
Es ist schon erstaunlich, dass nur eine weitere Wägung die Zahl dann von 3 auf 12 hochkatapultiert!

== Kann man mit drei Wägungen auch 13 Kugeln lösen? ==
Für 13 Kugeln gibt es 26 mögliche Lösungen. Das ist noch immer weniger als 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27 - man könnte also hoffen, dass man mit 3 Wägungen auch die "falsche" aus 13 herausfinden kann. Geht das?

Bei der ersten Wägung könnten wir (wie bei 12-Kugeln) 4+4 Kugeln auf die Waage legen - dann bleiben aber im Gleichgewichtsfall 5 daneben liegen, mit 10 möglichen Ergebnissen (jede kann entweder die schwerere oder die leichtere sein), was sich mit zwei weiteren Wägungen nicht vollständg lösen lässt (weil 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9&lt;10). 

Wenn man aber 5+5 Kugeln auf die Waage legt, scheitern wir bei Nicht-Gleichgewicht, wie schon im ersten Abschnitt erklärt. 12 Kugeln ist also tatsächlich das Maximum für drei Wägungen.

== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
Viele. Aber wie viele?
Berechnen wir zuerst den absoluten Maximalwert: Vier Wägungen können 3&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=81 unterscheiden. Damit ließe sich im Idealfall aus 40 Kugeln die eine schwerere oder leichtere herausfinden, weil es dann 2*40=80 mögliche Lösungen gibt. Aber sind es tatsächlich so viele?

Für eine genauere Einschränkung schauen wir uns - wie gerade für drei Wägungen - die erste Wägung an: Wir legen dort ''x''+''x'' Kugeln auf die Waage, ''y'' lassen wir daneben liegen. ''y'' kann höchstens 12 sein, weil wir aus diesen Kugeln ja mit drei Wägungen das Ergebnis finden müssen. Damit ''x''+''x''+''y'' höchstens 40 ist, darf ''x'' höchstens 14 sein. Wenn wir aber 14+14 Kugeln verwiegen und die Waage ''nicht'' im Gleichgewicht bleibt, haben wir noch 28 mögliche Lösungen - mehr als die 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27, die wir mit den restlichen 3 Wägungen entscheiden können. Daher kann ''x'' höchstens 13 sein, und die Maximalzahl für vier Wägungen ist 13+13+12=38 Kugeln.

Und tatsächlich glaube ich, dass ich für 38 Kugeln ein dynamisches Lösungsverfahren gefunden habe ... das ich hier aber nicht verrate: Das kann jeder, der bis hierher gekommen ist, selber finden!

== Offene Frage: Kann ein statisches Verfahren immer gleich viele Kugeln leisten wie ein dynamisches mit gleich viel Wägungen? ==
Mit drei Wägungen kann man höchstens 12 Kugeln lösen - sowohl mit einem dynamischen wie mit einem statischen Verfahren. Auch bei zwei Wägungen sind dynamisches und statisches Verfahren gleich mächtig, und bei einer Wägung sowieso. Aber gilt das allgemein? Gibt es immer, wenn es ein dynamisches Verfahren gibt, auch ein statisches Verfahren? Das ist nicht offensichtlich, weil das dynamische Verfahren ja "mehr Information einspeist". Ich habe aber keine Ahnung, wie ein Beweis aussieht, der zu einem dynamischen Verfahren immer ein statisches konstruieren kann.

== Offene Frage: Kann man das statische Verfahren eleganter entwickeln? ==
Das statische Verfahren habe ich oben durch "Umbau" des dynamischen Verfahrens gefunden.

Man kann auch direkt versuchen, die oben gezeigte Tabelle für das statische Verfahren auszufüllen. Dazu muss man sich zuerst klar machen, dass die Kombination === in keinem Feld stehen kann (denn dann würde die entsprechende Lösungskugel ja gar nicht auf die Waage gelegt worden sein, und dann wüsste man nicht, ob sie schwerer oder leichter ist, wenn sie die abweichende ist). Außerdem steht immer in der unteren Zelle das "Gegenteil" der oberen, wenn man L gegen R austauscht. Zuletzt müssen an jeder Position gleich viele L, R und = vorkommen, weil alle vier Wägungen von der Form 4+4/4 sind (was ich nicht bewiesen habe - aber ich vermute, dass ein statisches Verfahren für 12 Kugeln nur so gelingt). Mit etwas Herumbasteln findet man dann Tabellenwerte, die diese Bedingungen erfüllen - das ist dann aber eine typische "Lösung, die vom Himmel fällt".

Die Frage ist: Gibt es eine bessere, schönere, "elegantere" Erklärung für ein (bestimmtes) statisches Verfahren? Bei den Zahlen 12 und 3 fallen einem schon andere mathematische Dinge ein: Ein 3-dimensionaler Würfel hat 12 Kanten. Außerdem hat ein Würfel, wenn man auf eine Spitze schaut, eine dreifache Rotationssymmetrie. Es ist mir aber nicht gelungen, aus diesen geometrischen Vorstellungen ein statisches Verfahren "herauszukitzeln" - der Würfel ist "zu symmetrisch dazu". Hat jemand eine Idee, wie das gehen könnte?

[[Kategorie:Denksport Loesung]]</text>
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  <title>Waage und 12 Kugeln, Lösung und Diskussion</title>
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    <comment>/* Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens */</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="23669" xml:space="preserve">Es gibt zwar schon eine Lösung zum [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln Problem der Waage und der 12 Kugeln] - aber dort steht praktisch nichts mathematisch Interessantes: Nicht, wie man die Lösung findet, nicht, welche weiteren ähnlichen Probleme man sich stellen kann ... ich versuche es hier, besser zu machen.

Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt, gibt es zwei Arten von Lösungen:
* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist, oder die leichtere leichter - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jede der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem die Waage links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also höchstens 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 24 nicht mehr ist als 27, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte ist. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
Die erste Wägung kann drei Ergebnisse haben:
# Waage geht links herunter: Dann wissen wir, dass ''entweder'' unter den linken vier Kugeln die eine schwerere ist ''oder'' unter den rechten vier die eine leichtere.
# Waage geht rechts herunter: Entweder ist unter den vier rechts die schwerere; oder links die leichtere.
# Waage bleibt im Gleichgewicht: Unter den vier neben der Waage ist die abweichende.
Statt weiterhin so lange Texte zu schreiben, müssen wir das kürzer hinschreiben können - nach dem alten Mathematikerspruch: "''Die richtige Notation ist die halbe Lösung''". Ich verwende einmal die folgenden Buchstaben:
* Wenn eine Kugel nur mehr eine schwerere sein kann (aber vielleicht auch eine der 11 gleich schweren - ich nenne die "normal"), dann soll dafür der Buchstabe S stehen; 
* wenn sie nur eine leichtere oder eine normale sein kann, dann steht dafür L;
* und wenn sie schwerer oder leichter oder normal sein kann, dann wird das mit X gekennzeichnet.
* Wenn eine Kugel schließlich sicher "normal" ist, dann wird sie mit N bezeichnet.
Die drei Möglichkeiten oben ergeben also:
# SSSS + LLLL / NNNN (durch + trenne ich die beiden Gruppen, die auf der Waage liegen; nach dem / stehen die Kugeln, die neben der Waage liegen und die uns "gerade noch interessieren").
# LLLL + SSSS / NNNN
# NNNN + NNNN / XXXX
Wir kümmern uns einmal um den dritten Fall - er sieht irgendwie leichter aus, weil wir nur mehr vier Kugeln betrachten müssen ... von denen wir allerdings praktisch nichts wissen! Aber probieren wir einmal: Wir legen links zwei der X-Kugeln, rechts die zwei anderen. Dann haben wir folgende möglichen Ergebnisse:
# links runter: SS + LL
# rechts runter: LL + SS
# Gleichgewicht: kann nicht sein (weil wir ja aus der ersten Wägung wissen, dass eine der vier die abweichende sein muss!).
Im ersten Fall gibt es noch immer ''vier'' mögliche Lösungen (eine der zwei S ist die schwerere; oder eine der beiden L ist die leichtere). Die eine letzte Wägung kann aber nur ''drei'' Möglichkeiten unterscheiden - damit ist die Aufteilung 2+2 nicht ok. Also dann 1+1, mit folgenden Ergebnissen:
# links runter: S + L / NN
# rechts runter: L + S / NN
# Gleichgewicht: N + N / XX
Den ersten und zweiten Fall könnten wir lösen: Im ersten Fall müssen wir nur die S-Kugeln mit einer N-Kugel vergleichen - wenn Gleichgewicht, dann ist die (danebenliegende) L-Kugel die leichtere, wenn S-Kugel nach unten geht, ist sie die schwerere. Aber im dritten Fall bleiben mit den XX ''vier'' Möglichkeiten übrig, die wir wieder mit den ''drei'' möglichen Ergebnissen einer Wägung nicht lösen können.

Weder 1+1 noch 2+2 funktioniert also bei der zweiten Wägung - wir brauchen eine "schrägere Idee"!

Hier ist sie: 2+1! Das geht natürlich nicht direkt (siehe Erklärung ganz am Anfang), aber wir können rechts eine weitere N-Kugel dazulegen. Wir legen also hin: XX + XN / X (die vierte X liegt auf der Seite) und haben nur folgende Fälle:
# links runter: SS + LN / N (entweder eine der schwereren zieht links runter; oder rechts ist die leichtere)
# rechts runter: LL + SN / N
# Gleichgewicht: NN + NN / X
Wir haben nur mehr eine Wägung frei - aber das könnte sich nun ausgehen!

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach NNNN+NNNN/XXXX - die "AAB-Konfiguration" ==
Der dritte Fall aus der vorherigen Wägung ist leicht: Wir vergleichen die danebenliegende Kugel (die ja sicher die gesuchte sein muss! - alle anderen sind nun als N bewiesen) mit einer beliebigen N-Kugel, mit folgenden Ergebnissen: 
# links runter: S + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: L + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist leichter.
# Gleichgewicht: unmöglich
Was tun wir mit den anderen beiden Fällen aus der vorherigen Wägung? Aus der ersten Wägung erhalten wir drei Kugeln, von denen wir wissen, dass sie SSL sind: Also entweder ist die erste oder die zweite die zu schwere, oder die dritte die zu leichte. Es gibt mehrere Arten, mit einer Wägung die richtige zu finden - hier ist eine: Man legt die beiden S auf die Waage und erhält dann:
# links runter: S + N --&gt; die linke ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: N + S --&gt; die rechte ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# Gleichgewicht: N + N --&gt; die danebenliegende  ist die gesuchte, und sie ist leichter.
Wenn wir bei der zweiten Wägung den zweiten Fall hatten (LL+SN/N), dann können wir mit den drei LLS-Kugeln dasselbe Spiel spielen: L+L vergleichen - wo's raufgeht, ist die gesuchte, und sie ist leichter; bei Gleichgewicht ist's die danebenliegende, und sie ist schwerer.

Die beiden Fälle haben ein gleichartiges Muster: Aus zwei gleich markierten Kugeln (SS oder LL) und einer dritten, die ebenfalls schon mit S oder L markiert ist, kann man mit einer Wägung die Lösung finden ... ich nenne das eine AAB-Konfiguration, die uns hoffentlich bei dem komplizierteren SSSS+LLLL/NNNN-Fall aus der ersten Wägung weiterhilft!

== Die zweite und dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
In diesem Fall wissen wir, dass links vier S-Kugeln liegen, rechts vier L-Kugeln. Wie weiter? Wenn wir schnell zu einer AAB-Konfiguration kommen, dann würden wir für viele Fälle die Lösung mit einer weiteren Wägung haben! Also probieren wir's ... nach einigem Herumprobieren bin ich auf folgendes gekommen: Man wiegt SSL + SSL / LL, mit folgenden Ergebnissen: 
# Waage geht links herunter: Entweder ist eine der beiden linken SS die gesuchte (und schwerer), oder die rechte L ist die gesuchte (und leichter). Man hat also drei Kugeln als SSL identifiziert, also eine AAB-Konfiguration gefunden! 
# Wenn die Waage rechts heruntergeht, dann hat man die anderen SSL als AAB identifiziert. 
# Und bei Gleichgewicht schließlich hat man die beiden LL als mögliche Lösungen identifiziert. Man kann sie direkt  gegeneinander wiegen - wo's raufgeht, liegt die gesuchte leichtere. Man kann aber auch, "mathematiker-artig", eine N dazulegen und hat dann diesen Fall "auf eine AAB-Konfiguration" zurückgeführt ... das macht hier keinen Unterschied, hilft uns aber vielleicht bei anderen Problemen später! 
In allen drei Fällen ist man also bei AAB angelangt - man findet dann also mit einer einzigen weiteren (dritten) Wägung die gesuchte Kugel. 

Damit haben wir ein dynamisches Lösungsverfahren für das 12-Kugel-Problem gefunden! In Kürze - ich bezeichne die 12 Kugeln mit a,b,...,k,l: 

1. Wägung: abcd+efgh/ijkl 

'''Bei Gleichgewicht der ersten Wägung: ''' 

2. Wägung: ij+ka/l 

3. Wägung: Bei Gleichgewicht: l mit a, sonst ijk mit AAB-Konfiguration (ij+ka geht links runter: ijk=SSL; ij+ka geht rechts runter: ijk=LLS). 

'''Wenn erste Wägung links runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist SSL+SSL/LL 

Bei Gleichgewicht: ghi mit AAB-Konfiguration (LLN). 

Wenn links runter: abf ist SSL, also AAB-Konfiguration; wenn rechts unter: cde ist SSL, also AAB. 

'''Wenn erste Wägung rechts runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist LLS+LLS/S - ist symmetrisch zu "links runter". 

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
Bei dynamischen Verfahren wiegt man nur so wenige Kugeln, wie nötig sind. Es ist aber klar, dass man bei jeder Wägung links und rechts gleich viele N-Kugeln dazustapeln kann, ohne dass sich am Ergebnis was ändert. Was das bringen soll? Nun, man könnte die Wägungen, die man beim dynamischen Verfahren entweder/oder macht, nun ''zugleich'' machen! Und wenn man die Wägungen dabei immer gleich kombinieren kann, dann würde ein Verfahren herauskommen, wo man nicht verschiedene Gruppen je nach vorherigen Ergebnissen wiegt, sondern immer die gleichen - also ein statisches Verfahren!

Probieren wir das einmal: Die erste Wägung ist natürlich gleich - wir können ja, wie weiter oben ausgerechnet, nur mit einer 4+4-Wägung anfangen, und zu diesem Zeitpunkt ist es noch egal, welche Kugeln wir wählen. Die erste Wägung ist also abcd+efgh/ijkl (mit den Bezeichnungen aus dem letzten Abschnitt).

Zweite Wägung: In den beiden Ungleichgewichtsfällen haben wir hier beim dynamischen Verfahren schon beide Male dasselbe ausgeführt, nämlich abe+cdf/gh - das war also schon ein "klein wenig statisch". Im Gleichgewichtsfall kommt nun noch ij+ka/l dazu ... aber das können wir nicht zugleich abwiegen, weil dann auf der a-Seite 4 Kugeln liegen, auf der anderen aber 5 - so geht das nicht. Was tun???

Wir schauen uns die zweite dynamische Wägung noch einmal an: Sie ist ja abe+cdf/gh und hat im ''Gleichgewichtsfall'' eine etwas "schmalere" nächste Wägung ergeben, nämlich nur mehr g+h. Wir könnten diese Wägung zu AAB "auffetten", sodass bei der zweiten Wägung weniger auf der Waage liegt = "Platz für ij+ka wird". Konkret:

Wir bauen unser dynamisches Verfahren so um, dass bei der zweiten Wägung abe+cdi/fgh gewogen wird (statt f nehmen wir also i, was sicher eine neutrale Kugel ist). Wenn die erste Wägung links nach unten ging, sind diese Kugeln SSL+SSN/LLL markiert. Was sind die möglichen Ergebnisse?
# links runter: abi=SSN ist AAB, was mit einer Wägung zu entscheiden ist.
# rechts runter: ecd=LSS, also ist cde AAB - ebenfalls mit einer Wägung zu entscheiden.
# Gleichgewicht: fgh=LLL, also AAB  - auch mit einer Wägung zu entscheiden.
Wenn die erste Wägung rechts nach unten ging, kommt symmetrisch auch raus, dass eine weitere Wägung reicht.

Nun aber können wir abe+cdi/fgh mit ka+ij/l (die umgedrehte zweite Wägung aus dem dynamischen Verfahren, wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war) kombinieren und erhalten als zweite Wägung:

abek+cdij/fghl

Wie gehen wir mit dem Ergebnis dieser Wägung um? Ungefähr so: Wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war, dann wissen wir ja, dass a...h alle neutral sind, daher haben wir eigentlich nur ak+ij/l gewogen und können dieselben Schlüsse ziehen wie beim dynamischen Verfahren. Wenn aber die erste Wägung nach links ging, dann waren ja sicher i...l neutral, wir haben also praktisch abe+cdi/fgh gewogen und können auch passenden Schlüsse ziehen. Und dasselbe geht auch, wenn die erste Wägung nach rechts ging.

Zwei Wägungen sind also schon "statisch" - wir brauchen noch die dritte. Dazu müssen wir einmal alle dritten Wägungen aus dem dynamischen Verfahren aufsammeln. Der Reihe nach sind das:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
* nocheinmal die drei letzten Wägungen, weil die Ergebnisse symmetrisch sind (a+b/i ist nun LLN statt SSN, kann aber mit der gleichen Wägung entschieden werden)
Direkt lassen sich diese Wägungen nicht kombinieren, weil i einmal verwogen werden muss (zweite Zeile), einmal auf der Seite liegen muss (dritte Zeile). Mhm.

Eine Idee: AAB kann man nicht nur durch Verwiegen der zwei A-Kugeln entscheiden, sondern auch anders - allerdings nur, wenn A und B verschieden sind (also z.B. AAB=SSL): Dann kann man auf eine Seite SL legen, auf die andere NN. Wenn die Waage links runter geht, dann ist S die gesuchte (und schwerer), wenn sie rechts runtergeht, dann ist L die gesuchte (und leichter). Wir können also aus ijk=SSL oder LLS (siehe die Kurzbeschreibung im letzten Kapitel!) jk gegen zwei N-Kugeln verwiegen:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* &lt;u&gt;jk+nn/i&lt;/u&gt;
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Schaffen wir es, auf eine Seite vier Kugeln zu legen? Es geht sich nicht aus :-(

Das mit dem jk war vielleicht doch keine so gute Idee, weil nun eine Kugel mehr auf die Waage kam. Also zurück zur vorherigen Liste:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Können wir a+b/i "drehen", sodass i auf der Waage liegt? abi war ja SSN oder LLN, und hier könnten wir statt a+b auch gern a+i wiegen: Bei Gleichgewicht ist dann b die gesuchte! Also müsste als dritte Wägung auch eine Summe aus Folgendem funktionieren (die ersten zwei Wägungen habe ich schon passend umgedreht):
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* &lt;u&gt;i+a/b&lt;/u&gt;
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Und als "Summe" erhalten wir:

licf+ajdg/kbeh

Es sieht so aus, als hätten wir ein statisches Verfahren gefunden! - mit folgenden Wägungen (die Buchstaben habe ich jeweils aufsteigend sortiert):
* abcd+efgh/ijkl
* abek+cdij/fghl
* cfil+adgj/behk
Schauen wir, ob es funktioniert, indem wir für alle möglichen Lösungen die Wäge-Ergebnisse aufschreiben - sie müssen sich alle unterscheiden! L bedeutet hier "Waage senkt sich links", R "Waage senkt sich rechts", = "Waage bleibt im Gleichgewicht":
{| class="article-table"
!
!a
!b
!c
!d
!e
!f
!g
!h
!i
!j
!k
!l
!
|-
|schwerer
|LLR
|LL=
|LRL
|LRR
|RL=
|R=L
|R=R
|R==
|=RL
|=RR
|=L=
|==L
|
|-
|leichter
|RRL
|RR=
|RLR
|RLL
|LR=
|L=R
|L=L
|L==
|=LR
|=LL
|=R=
|==R
|
|}
Tatsächlich!! - es hat funktioniert - alle Wägeergebnisse sind verschieden.

Ich höre hier mit den statischen Verfahren auf - manche Leute haben noch nette Tricks gefunden, wie man die drei Zeichen L, R und = als ternäre Ziffern interpretiert, sodass man sich nicht die Tabelle merken muss, sondern sich die Nummer der abweichenden Kugel aus dem Wägeergebnis als Zahl im Dreiersystem ausrechnen kann. Ein Beispiel dafür ist die andere Lösung, die [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln,_L%C3%B6sung hier] angegeben ist.

Ich schaue mir aber noch schnell das Problem für andere Zahlen von Wägungen an!

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
Keine. Tatsächlich. Warum?

Das mindeste, was man zum Verwiegen braucht, sind zwei Kugeln. Wenn man die aber beide auf die Waage legt und sie sich links senkt, dann weiß man nicht, ob die linke schwerer oder die rechte leichter ist! Auch rechnerisch kann man sich das überlegen: Eine Wägung kann drei Ergebnisse unterscheiden, bei zwei Kugeln gibt es aber schon vier Möglichkeiten (erste schwerer, erste leichter, zweite schwerer, zweite leichter). Allerdings ist auch bei zwei Kugeln das Rätsel nicht sinnvoll: Denn ist nun die erste schwerer oder die zweite leichter?

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
Zwei Wägungen können 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9 Fälle unterscheiden, also prinzipiell das Problem für 4 Kugeln lösen. Überlegen wir, wie man das machen kann:
* Entweder wiegt man zuerst ab+cd. Dann hat man z.B. bei Ausschlag der Waage nach links noch vier Fälle (ab+cd=SS+LL), die man aber mit einer Wägung nicht vollständig entscheiden kann.
* Versuchen wir's also mit a+b/cd. Nun hat man aber bei Gleichgewicht cd=XX, also wieder vier Fälle, die nicht mit der zweiten Wägung zu entscheiden sind.
Also lassen sich mit zwei Wägungen das Rätsel für höchstens drei Kugeln entscheiden:
* Erste Wägung: a+b/c
* Bei Gleichheit 2.Wägung c+a=X+N, bei Ungleichheit ebenfalls c+a, aber nun als N+X.
Es ist schon erstaunlich, dass nur eine weitere Wägung die Zahl dann von 3 auf 12 hochkatapultiert!

== Kann man mit drei Wägungen auch 13 Kugeln lösen? ==
Für 13 Kugeln gibt es 26 mögliche Lösungen. Das ist noch immer weniger als 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27 - man könnte also hoffen, dass man mit 3 Wägungen auch die "falsche" aus 13 herausfinden kann. Geht das?

Bei der ersten Wägung könnten wir (wie bei 12-Kugeln) 4+4 Kugeln auf die Waage legen - dann bleiben aber im Gleichgewichtsfall 5 daneben liegen, mit 10 möglichen Ergebnissen (jede kann entweder die schwerere oder die leichtere sein), was sich mit zwei weiteren Wägungen nicht vollständg lösen lässt (weil 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9&lt;10). 

Wenn man aber 5+5 Kugeln auf die Waage legt, scheitern wir bei Nicht-Gleichgewicht, wie schon im ersten Abschnitt erklärt. 12 Kugeln ist also tatsächlich das Maximum für drei Wägungen.

== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
Viele. Aber wie viele?
Berechnen wir zuerst den absoluten Maximalwert: Vier Wägungen können 3&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=81 unterscheiden. Damit ließe sich im Idealfall aus 40 Kugeln die eine schwerere oder leichtere herausfinden, weil es dann 2*40=80 mögliche Lösungen gibt. Aber sind es tatsächlich so viele?

Für eine genauere Einschränkung schauen wir uns - wie gerade für drei Wägungen - die erste Wägung an: Wir legen dort ''x''+''x'' Kugeln auf die Waage, ''y'' lassen wir daneben liegen. ''y'' kann höchstens 12 sein, weil wir aus diesen Kugeln ja mit drei Wägungen das Ergebnis finden müssen. Damit ''x''+''x''+''y'' höchstens 40 ist, darf ''x'' höchstens 14 sein. Wenn wir aber 14+14 Kugeln verwiegen und die Waage ''nicht'' im Gleichgewicht bleibt, haben wir noch 28 mögliche Lösungen - mehr als die 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27, die wir mit den restlichen 3 Wägungen entscheiden können. Daher kann ''x'' höchstens 13 sein, und die Maximalzahl für vier Wägungen ist 13+13+12=38 Kugeln.

Und tatsächlich glaube ich, dass ich für 38 Kugeln ein dynamisches Lösungsverfahren gefunden habe ... das ich hier aber nicht verrate: Das kann jeder, der bis hierher gekommen ist, selber finden!

== Offene Frage: Kann ein statisches Verfahren immer gleich viele Kugeln leisten wie ein dynamisches mit gleich viel Wägungen? ==
Mit drei Wägungen kann man höchstens 12 Kugeln lösen - sowohl mit einem dynamischen wie mit einem statischen Verfahren. Auch bei zwei Wägungen sind dynamisches und statisches Verfahren gleich mächtig, und bei einer Wägung sowieso. Aber gilt das allgemein? Gibt es immer, wenn es ein dynamisches Verfahren gibt, auch ein statisches Verfahren? Das ist nicht offensichtlich, weil das dynamische Verfahren ja "mehr Information einspeist". Ich habe aber keine Ahnung, wie ein Beweis aussieht, der zu einem dynamischen Verfahren immer ein statisches konstruieren kann.

== Offene Frage: Kann man das statische Verfahren eleganter entwickeln? ==
Das statische Verfahren habe ich oben durch "Umbau" des dynamischen Verfahrens gefunden.

Man kann auch direkt versuchen, die oben gezeigte Tabelle für das statische Verfahren auszufüllen. Dazu muss man sich zuerst klar machen, dass die Kombination === in keinem Feld stehen kann (denn dann würde die entsprechende Lösungskugel ja gar nicht auf die Waage gelegt worden sein, und dann wüsste man nicht, ob sie schwerer oder leichter ist, wenn sie die abweichende ist). Außerdem steht immer in der unteren Zelle das "Gegenteil" der oberen, wenn man L gegen R austauscht. Zuletzt müssen an jeder Position gleich viele L, R und = vorkommen, weil alle vier Wägungen von der Form 4+4/4 sind (was ich nicht bewiesen habe - aber ich vermute, dass ein statisches Verfahren für 12 Kugeln nur so gelingt). Mit etwas Herumbasteln findet man dann Tabellenwerte, die diese Bedingungen erfüllen - das ist dann aber eine typische "Lösung, die vom Himmel fällt".

Die Frage ist: Gibt es eine bessere, schönere, "elegantere" Erklärung für ein (bestimmtes) statisches Verfahren? Bei den Zahlen 12 und 3 fallen einem schon andere mathematische Dinge ein: Ein 3-dimensionaler Würfel hat 12 Kanten. Außerdem hat ein Würfel, wenn man auf eine Spitze schaut, eine dreifache Rotationssymmetrie. Es ist mir aber nicht gelungen, aus diesen geometrischen Vorstellungen ein statisches Verfahren "herauszukitzeln" - der Würfel ist "zu symmetrisch dazu". Hat jemand eine Idee, wie das gehen könnte?

[[Kategorie:Denksport Loesung]]</text>
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    <comment>Zusatzkugelproblem dazu, 4 Wägungen korrigiert, große Hypothese dazu.</comment>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="26567" xml:space="preserve">Es gibt zwar schon eine Lösung zum [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln Problem der Waage und der 12 Kugeln] - aber dort steht praktisch nichts mathematisch Interessantes: Nicht, wie man die Lösung findet, nicht, welche weiteren ähnlichen Probleme man sich stellen kann ... ich versuche es hier, besser zu machen.

Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt, gibt es zwei Arten von Lösungen:
* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist, oder die leichtere leichter - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jede der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem die Waage links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also höchstens 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 24 nicht mehr ist als 27, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte ist. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
Die erste Wägung kann drei Ergebnisse haben:
# Waage geht links herunter: Dann wissen wir, dass ''entweder'' unter den linken vier Kugeln die eine schwerere ist ''oder'' unter den rechten vier die eine leichtere.
# Waage geht rechts herunter: Entweder ist unter den vier rechts die schwerere; oder links die leichtere.
# Waage bleibt im Gleichgewicht: Unter den vier neben der Waage ist die abweichende.
Statt weiterhin so lange Texte zu schreiben, müssen wir das kürzer hinschreiben können - nach dem alten Mathematikerspruch: "''Die richtige Notation ist die halbe Lösung''". Ich verwende einmal die folgenden Buchstaben:
* Wenn eine Kugel nur mehr eine schwerere sein kann (aber vielleicht auch eine der 11 gleich schweren - ich nenne die "normal"), dann soll dafür der Buchstabe S stehen; 
* wenn sie nur eine leichtere oder eine normale sein kann, dann steht dafür L;
* und wenn sie schwerer oder leichter oder normal sein kann, dann wird das mit X gekennzeichnet.
* Wenn eine Kugel schließlich sicher "normal" ist, dann wird sie mit N bezeichnet.
Die drei Möglichkeiten oben ergeben also:
# SSSS + LLLL / NNNN (durch + trenne ich die beiden Gruppen, die auf der Waage liegen; nach dem / stehen die Kugeln, die neben der Waage liegen und die uns "gerade noch interessieren").
# LLLL + SSSS / NNNN
# NNNN + NNNN / XXXX
Wir kümmern uns einmal um den dritten Fall - er sieht irgendwie leichter aus, weil wir nur mehr vier Kugeln betrachten müssen ... von denen wir allerdings praktisch nichts wissen! Aber probieren wir einmal: Wir legen links zwei der X-Kugeln, rechts die zwei anderen. Dann haben wir folgende möglichen Ergebnisse:
# links runter: SS + LL
# rechts runter: LL + SS
# Gleichgewicht: kann nicht sein (weil wir ja aus der ersten Wägung wissen, dass eine der vier die abweichende sein muss!).
Im ersten Fall gibt es noch immer ''vier'' mögliche Lösungen (eine der zwei S ist die schwerere; oder eine der beiden L ist die leichtere). Die eine letzte Wägung kann aber nur ''drei'' Möglichkeiten unterscheiden - damit ist die Aufteilung 2+2 nicht ok. Also dann 1+1, mit folgenden Ergebnissen:
# links runter: S + L / NN
# rechts runter: L + S / NN
# Gleichgewicht: N + N / XX
Den ersten und zweiten Fall könnten wir lösen: Im ersten Fall müssen wir nur die S-Kugeln mit einer N-Kugel vergleichen - wenn Gleichgewicht, dann ist die (danebenliegende) L-Kugel die leichtere, wenn S-Kugel nach unten geht, ist sie die schwerere. Aber im dritten Fall bleiben mit den XX ''vier'' Möglichkeiten übrig, die wir wieder mit den ''drei'' möglichen Ergebnissen einer Wägung nicht lösen können.

Weder 1+1 noch 2+2 funktioniert also bei der zweiten Wägung - wir brauchen eine "schrägere Idee"!

Hier ist sie: 2+1! Das geht natürlich nicht direkt (siehe Erklärung ganz am Anfang), aber wir können rechts eine weitere N-Kugel dazulegen. Wir legen also hin: XX + XN / X (die vierte X liegt auf der Seite) und haben nur folgende Fälle:
# links runter: SS + LN / N (entweder eine der schwereren zieht links runter; oder rechts ist die leichtere)
# rechts runter: LL + SN / N
# Gleichgewicht: NN + NN / X
Wir haben nur mehr eine Wägung frei - aber das könnte sich nun ausgehen!

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach NNNN+NNNN/XXXX - die "AAB-Konfiguration" ==
Der dritte Fall aus der vorherigen Wägung ist leicht: Wir vergleichen die danebenliegende Kugel (die ja sicher die gesuchte sein muss! - alle anderen sind nun als N bewiesen) mit einer beliebigen N-Kugel, mit folgenden Ergebnissen: 
# links runter: S + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: L + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist leichter.
# Gleichgewicht: unmöglich
Was tun wir mit den anderen beiden Fällen aus der vorherigen Wägung? Aus der ersten Wägung erhalten wir drei Kugeln, von denen wir wissen, dass sie SSL sind: Also entweder ist die erste oder die zweite die zu schwere, oder die dritte die zu leichte. Es gibt mehrere Arten, mit einer Wägung die richtige zu finden - hier ist eine: Man legt die beiden S auf die Waage und erhält dann:
# links runter: S + N --&gt; die linke ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: N + S --&gt; die rechte ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# Gleichgewicht: N + N --&gt; die danebenliegende  ist die gesuchte, und sie ist leichter.
Wenn wir bei der zweiten Wägung den zweiten Fall hatten (LL+SN/N), dann können wir mit den drei LLS-Kugeln dasselbe Spiel spielen: L+L vergleichen - wo's raufgeht, ist die gesuchte, und sie ist leichter; bei Gleichgewicht ist's die danebenliegende, und sie ist schwerer.

Die beiden Fälle haben ein gleichartiges Muster: Aus zwei gleich markierten Kugeln (SS oder LL) und einer dritten, die ebenfalls schon mit S oder L markiert ist, kann man mit einer Wägung die Lösung finden ... ich nenne das eine AAB-Konfiguration, die uns hoffentlich bei dem komplizierteren SSSS+LLLL/NNNN-Fall aus der ersten Wägung weiterhilft!

== Die zweite und dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
In diesem Fall wissen wir, dass links vier S-Kugeln liegen, rechts vier L-Kugeln. Wie weiter? Wenn wir schnell zu einer AAB-Konfiguration kommen, dann würden wir für viele Fälle die Lösung mit einer weiteren Wägung haben! Also probieren wir's ... nach einigem Herumprobieren bin ich auf folgendes gekommen: Man wiegt SSL + SSL / LL, mit folgenden Ergebnissen: 
# Waage geht links herunter: Entweder ist eine der beiden linken SS die gesuchte (und schwerer), oder die rechte L ist die gesuchte (und leichter). Man hat also drei Kugeln als SSL identifiziert, also eine AAB-Konfiguration gefunden! 
# Wenn die Waage rechts heruntergeht, dann hat man die anderen SSL als AAB identifiziert. 
# Und bei Gleichgewicht schließlich hat man die beiden LL als mögliche Lösungen identifiziert. Man kann sie direkt  gegeneinander wiegen - wo's raufgeht, liegt die gesuchte leichtere. Man kann aber auch, "mathematiker-artig", eine N dazulegen und hat dann diesen Fall "auf eine AAB-Konfiguration" zurückgeführt ... das macht hier keinen Unterschied, hilft uns aber vielleicht bei anderen Problemen später! 
In allen drei Fällen ist man also bei AAB angelangt - man findet dann also mit einer einzigen weiteren (dritten) Wägung die gesuchte Kugel. 

Damit haben wir ein dynamisches Lösungsverfahren für das 12-Kugel-Problem gefunden! In Kürze - ich bezeichne die 12 Kugeln mit a,b,...,k,l: 

1. Wägung: abcd+efgh/ijkl 

'''Bei Gleichgewicht der ersten Wägung: ''' 

2. Wägung: ij+ka/l 

3. Wägung: Bei Gleichgewicht: l mit a, sonst ijk mit AAB-Konfiguration (ij+ka geht links runter: ijk=SSL; ij+ka geht rechts runter: ijk=LLS). 

'''Wenn erste Wägung links runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist SSL+SSL/LL 

Bei Gleichgewicht: ghi mit AAB-Konfiguration (LLN). 

Wenn links runter: abf ist SSL, also AAB-Konfiguration; wenn rechts unter: cde ist SSL, also AAB. 

'''Wenn erste Wägung rechts runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist LLS+LLS/S - ist symmetrisch zu "links runter". 

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
Bei dynamischen Verfahren wiegt man nur so wenige Kugeln, wie nötig sind. Es ist aber klar, dass man bei jeder Wägung links und rechts gleich viele N-Kugeln dazustapeln kann, ohne dass sich am Ergebnis was ändert. Was das bringen soll? Nun, man könnte die Wägungen, die man beim dynamischen Verfahren entweder/oder macht, nun ''zugleich'' machen! Und wenn man die Wägungen dabei immer gleich kombinieren kann, dann würde ein Verfahren herauskommen, wo man nicht verschiedene Gruppen je nach vorherigen Ergebnissen wiegt, sondern immer die gleichen - also ein statisches Verfahren!

Probieren wir das einmal: Die erste Wägung ist natürlich gleich - wir können ja, wie weiter oben ausgerechnet, nur mit einer 4+4-Wägung anfangen, und zu diesem Zeitpunkt ist es noch egal, welche Kugeln wir wählen. Die erste Wägung ist also abcd+efgh/ijkl (mit den Bezeichnungen aus dem letzten Abschnitt).

Zweite Wägung: In den beiden Ungleichgewichtsfällen haben wir hier beim dynamischen Verfahren schon beide Male dasselbe ausgeführt, nämlich abe+cdf/gh - das war also schon ein "klein wenig statisch". Im Gleichgewichtsfall kommt nun noch ij+ka/l dazu ... aber das können wir nicht zugleich abwiegen, weil dann auf der a-Seite 4 Kugeln liegen, auf der anderen aber 5 - so geht das nicht. Was tun???

Wir schauen uns die zweite dynamische Wägung noch einmal an: Sie ist ja abe+cdf/gh und hat im ''Gleichgewichtsfall'' eine etwas "schmalere" nächste Wägung ergeben, nämlich nur mehr g+h. Wir könnten diese Wägung zu AAB "auffetten", sodass bei der zweiten Wägung weniger auf der Waage liegt = "Platz für ij+ka wird". Konkret:

Wir bauen unser dynamisches Verfahren so um, dass bei der zweiten Wägung abe+cdi/fgh gewogen wird (statt f nehmen wir also i, was sicher eine neutrale Kugel ist). Wenn die erste Wägung links nach unten ging, sind diese Kugeln SSL+SSN/LLL markiert. Was sind die möglichen Ergebnisse?
# links runter: abi=SSN ist AAB, was mit einer Wägung zu entscheiden ist.
# rechts runter: ecd=LSS, also ist cde AAB - ebenfalls mit einer Wägung zu entscheiden.
# Gleichgewicht: fgh=LLL, also AAB  - auch mit einer Wägung zu entscheiden.
Wenn die erste Wägung rechts nach unten ging, kommt symmetrisch auch raus, dass eine weitere Wägung reicht.

Nun aber können wir abe+cdi/fgh mit ka+ij/l (die umgedrehte zweite Wägung aus dem dynamischen Verfahren, wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war) kombinieren und erhalten als zweite Wägung:

abek+cdij/fghl

Wie gehen wir mit dem Ergebnis dieser Wägung um? Ungefähr so: Wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war, dann wissen wir ja, dass a...h alle neutral sind, daher haben wir eigentlich nur ak+ij/l gewogen und können dieselben Schlüsse ziehen wie beim dynamischen Verfahren. Wenn aber die erste Wägung nach links ging, dann waren ja sicher i...l neutral, wir haben also praktisch abe+cdi/fgh gewogen und können auch passenden Schlüsse ziehen. Und dasselbe geht auch, wenn die erste Wägung nach rechts ging.

Zwei Wägungen sind also schon "statisch" - wir brauchen noch die dritte. Dazu müssen wir einmal alle dritten Wägungen aus dem dynamischen Verfahren aufsammeln. Der Reihe nach sind das:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
* nocheinmal die drei letzten Wägungen, weil die Ergebnisse symmetrisch sind (a+b/i ist nun LLN statt SSN, kann aber mit der gleichen Wägung entschieden werden)
Direkt lassen sich diese Wägungen nicht kombinieren, weil i einmal verwogen werden muss (zweite Zeile), einmal auf der Seite liegen muss (dritte Zeile). Mhm.

Eine Idee: AAB kann man nicht nur durch Verwiegen der zwei A-Kugeln entscheiden, sondern auch anders - allerdings nur, wenn A und B verschieden sind (also z.B. AAB=SSL): Dann kann man auf eine Seite SL legen, auf die andere NN. Wenn die Waage links runter geht, dann ist S die gesuchte (und schwerer), wenn sie rechts runtergeht, dann ist L die gesuchte (und leichter). Wir können also aus ijk=SSL oder LLS (siehe die Kurzbeschreibung im letzten Kapitel!) jk gegen zwei N-Kugeln verwiegen:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* &lt;u&gt;jk+nn/i&lt;/u&gt;
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Schaffen wir es, auf eine Seite vier Kugeln zu legen? Es geht sich nicht aus :-(

Das mit dem jk war vielleicht doch keine so gute Idee, weil nun eine Kugel mehr auf die Waage kam. Also zurück zur vorherigen Liste:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Können wir a+b/i "drehen", sodass i auf der Waage liegt? abi war ja SSN oder LLN, und hier könnten wir statt a+b auch gern a+i wiegen: Bei Gleichgewicht ist dann b die gesuchte! Also müsste als dritte Wägung auch eine Summe aus Folgendem funktionieren (die ersten zwei Wägungen habe ich schon passend umgedreht):
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* &lt;u&gt;i+a/b&lt;/u&gt;
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Und als "Summe" erhalten wir:

licf+ajdg/kbeh

Es sieht so aus, als hätten wir ein statisches Verfahren gefunden! - mit folgenden Wägungen (die Buchstaben habe ich jeweils aufsteigend sortiert):
* abcd+efgh/ijkl
* abek+cdij/fghl
* cfil+adgj/behk
Schauen wir, ob es funktioniert, indem wir für alle möglichen Lösungen die Wäge-Ergebnisse aufschreiben - sie müssen sich alle unterscheiden! L bedeutet hier "Waage senkt sich links", R "Waage senkt sich rechts", = "Waage bleibt im Gleichgewicht":
{| class="article-table"
!
!a
!b
!c
!d
!e
!f
!g
!h
!i
!j
!k
!l
!
|-
|schwerer
|LLR
|LL=
|LRL
|LRR
|RL=
|R=L
|R=R
|R==
|=RL
|=RR
|=L=
|==L
|
|-
|leichter
|RRL
|RR=
|RLR
|RLL
|LR=
|L=R
|L=L
|L==
|=LR
|=LL
|=R=
|==R
|
|}
Tatsächlich!! - es hat funktioniert - alle Wägeergebnisse sind verschieden.

Ich höre hier mit den statischen Verfahren auf - manche Leute haben noch nette Tricks gefunden, wie man die drei Zeichen L, R und = als ternäre Ziffern interpretiert, sodass man sich nicht die Tabelle merken muss, sondern sich die Nummer der abweichenden Kugel aus dem Wägeergebnis als Zahl im Dreiersystem ausrechnen kann. Ein Beispiel dafür ist die andere Lösung, die [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln,_L%C3%B6sung hier] angegeben ist.

Ich schaue mir aber noch schnell das Problem für andere Zahlen von Wägungen an!

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
Keine. Tatsächlich. Warum?

Das mindeste, was man zum Verwiegen braucht, sind zwei Kugeln. Wenn man die aber beide auf die Waage legt und sie sich links senkt, dann weiß man nicht, ob die linke schwerer oder die rechte leichter ist! Auch rechnerisch kann man sich das überlegen: Eine Wägung kann drei Ergebnisse unterscheiden, bei zwei Kugeln gibt es aber schon vier Möglichkeiten (erste schwerer, erste leichter, zweite schwerer, zweite leichter). Allerdings ist auch bei zwei Kugeln das Rätsel nicht sinnvoll: Denn ist nun die erste schwerer oder die zweite leichter?

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
Zwei Wägungen können 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9 Fälle unterscheiden, also prinzipiell das Problem für 4 Kugeln lösen. Überlegen wir, wie man das machen kann:
* Entweder wiegt man zuerst ab+cd. Dann hat man z.B. bei Ausschlag der Waage nach links noch vier Fälle (ab+cd=SS+LL), die man aber mit einer Wägung nicht vollständig entscheiden kann.
* Versuchen wir's also mit a+b/cd. Nun hat man aber bei Gleichgewicht cd=XX, also wieder vier Fälle, die nicht mit der zweiten Wägung zu entscheiden sind.
Also lassen sich mit zwei Wägungen das Rätsel für höchstens drei Kugeln entscheiden:
* Erste Wägung: a+b/c
* Bei Gleichheit 2.Wägung c+a=X+N, bei Ungleichheit ebenfalls c+a, aber nun als N+X.
Es ist schon erstaunlich, dass nur eine weitere Wägung die Zahl dann von 3 auf 12 hochkatapultiert!

== Kann man mit drei Wägungen auch 13 Kugeln lösen? ==
Für 13 Kugeln gibt es 26 mögliche Lösungen. Das ist noch immer weniger als 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27 - man könnte also hoffen, dass man mit 3 Wägungen auch die "falsche" aus 13 herausfinden kann. Geht das?

Bei der ersten Wägung könnten wir (wie bei 12-Kugeln) 4+4 Kugeln auf die Waage legen - dann bleiben aber im Gleichgewichtsfall 5 daneben liegen, mit 10 möglichen Ergebnissen (jede kann entweder die schwerere oder die leichtere sein), was sich mit zwei weiteren Wägungen nicht vollständg lösen lässt (weil 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9&lt;10). 

Wenn man aber 5+5 Kugeln auf die Waage legt, scheitern wir bei Nicht-Gleichgewicht, wie schon im ersten Abschnitt erklärt. 12 Kugeln ist also tatsächlich das Maximum für drei Wägungen.

== Der Witz der Zusatzkugel ==
Bevor ich hier zum "highlight" komme, nämlich der Anzahl der Kugeln, die man mit vier Wägungen "lösen" kann, noch ein Zwischenproblem: Nehmen wir an, wir hätten nicht nur die gegebenen Kugeln, sondern zusätzlich noch eine Kugel, von der wir sicher wissen, dass sie "normal" ist - was ändert das dann an der Anzahl an lösbaren Kugeln?

(Wie ich auf diese Frage komme? - naja, bei den 4 XXXX-Kugeln der 2. Wägung beim 12-Kugelproblem hat man ja eine solche Kugel zu den 2+1 dazugetan, und das hat "megamäßig" geholfen ...). Also:
* Mit einer Wägung kann man nun plötzlich doch für eine Kugel entscheiden, ob sie zu leicht oder zu schwer ist.
* Mit zwei Wägungen kann man aus 4 Kugeln die richtige herausfinden (sieht man ja bei der 2. Wägung des 12-Kugelproblems).
* Mit drei Wägungen: Hier können wir nun bei der ersten Wägung links 4 Kugeln und die N-Kugel, rechts 5 Kugeln drauflegen! Bei Ungleichgewicht gibt es dann noch 9 mögliche Lösungen, was genau der Maximalanzahl 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; ist, die wir mit den restlichen zwei Wägungen noch lösen können - es könnte sich also ausgehen! Und damit könnten wir das Problem dann auch für ''13'' Kugeln lösen! (im Gleichgewichtsfall geht's so wie bei 12 Kugeln weiter). Probieren wir's: Wir haben nach Ungleichgewicht nun SSSS und LLLLL (oder LLLL und SSSSS - aber das ist symmetrisch zu lösen). In der zweiten Wägung können wir nun SSL+SSL/LLL wiegen - und was auch immer herauskommt, wir haben ein AAB in der Hand: Entweder die linken zwei SS und die rechte L, oder die rechten zwei SS und die linke L, oder die danebenliegenden LLL - wir sind also nach einer weiteren Wägung fertig!
Erkenntnis: Mit einer Zusatz-Normalkugel kann man - zumindest bei einer, zwei und drei Wägungen - die "theoretische Maximalanzahl", nämlich [3&lt;sup&gt;''k''&lt;/sup&gt;/2] Kugeln entscheiden, wo ''k'' die Anzahl der Wägungen ist ([''x''] bezeichnet dabei die größte ganze Zahl kleiner oder gleich ''x''):
* ''k'' = 1: [3&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;/2] = [3/2] = 1
* ''k'' = 2: [3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;/2] = [9/2] = 4
* ''k'' = 3: [3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;/2] = [27/2] = 13

== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
Viele. Aber wie viele?
Berechnen wir zuerst den absoluten Maximalwert: Vier Wägungen können 3&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=81 unterscheiden. Damit ließe sich im Idealfall aus 40 Kugeln die eine schwerere oder leichtere herausfinden, weil es dann 2*40=80 mögliche Lösungen gibt. Aber sind es tatsächlich so viele?

Für eine genauere Einschränkung schauen wir uns - wie gerade für drei Wägungen - die erste Wägung an: Wir legen dort ''x''+''x'' Kugeln auf die Waage, ''y'' lassen wir daneben liegen. ''y'' kann höchstens 13 sein, weil wir aus diesen Kugeln ja mit drei Wägungen das Ergebnis finden müssen (aus dem letzten Abschnitt wissen wir, dass wir ''mit einer zusätzlichen Normalkugel'' in 3 Wägungen 13 Kugeln entscheiden können! - hier haben wir im Gleichgewichtsfall sicher viel mehr Normalkugeln zur Verfügung).

Damit ''x''+''x''+''y'' höchstens 40 ist, darf ''x'' höchstens 13 sein. Wenn wir 13+13 Kugeln verwiegen und die Waage ''nicht'' im Gleichgewicht bleibt, haben wir noch 26 mögliche Lösungen - weniger als die 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27, die wir mit den restlichen 3 Wägungen entscheiden können, daher kann sich das ausgehen! Daher ''könnte'' die Maximalzahl für vier Wägungen 13+13+13=39 Kugeln.

Und tatsächlich glaube ich, dass ich für 39 Kugeln ein dynamisches Lösungsverfahren gefunden habe ... das ich hier aber nicht verrate: Das kann jeder, der bis hierher gekommen ist, selber finden!

Und wenn man wieder eine weitere Normalkugel dazulegt, dann geht es wieder mit 40 Kugeln, denke ich! ...

== Die abschließende große Hypothese ==
Es scheint, dass man einen vollständigen Induktionsbeweis führen können müsste, dass
* mit einer Zusatz-Normalkugel in ''k'' Wägungen die "unpassende" aus [3&lt;sup&gt;''k''&lt;/sup&gt;/2] Kugeln gefunden werden kann;
* ohne eine Zusatz-Normalkugel in ''k'' Wägungen die "unpassende" aus [3&lt;sup&gt;''k''&lt;/sup&gt;/2 - 1] Kugeln gefunden werden kann.
Diesen Beweis ordentlich zu führen, überlasse ich gern anderen :-)

== Offene Frage: Kann ein statisches Verfahren immer gleich viele Kugeln leisten wie ein dynamisches mit gleich viel Wägungen? ==
Mit drei Wägungen kann man höchstens 12 Kugeln lösen - sowohl mit einem dynamischen wie mit einem statischen Verfahren. Auch bei zwei Wägungen sind dynamisches und statisches Verfahren gleich mächtig, und bei einer Wägung sowieso. Aber gilt das allgemein? Gibt es immer, wenn es ein dynamisches Verfahren gibt, auch ein statisches Verfahren? Das ist nicht offensichtlich, weil das dynamische Verfahren ja "mehr Information einspeist". Ich habe aber keine Ahnung, wie ein Beweis aussieht, der zu einem dynamischen Verfahren immer ein statisches konstruieren kann.

== Offene Frage: Kann man das statische Verfahren eleganter entwickeln? ==
Das statische Verfahren habe ich oben durch "Umbau" des dynamischen Verfahrens gefunden.

Man kann auch direkt versuchen, die oben gezeigte Tabelle für das statische Verfahren auszufüllen. Dazu muss man sich zuerst klar machen, dass die Kombination === in keinem Feld stehen kann (denn dann würde die entsprechende Lösungskugel ja gar nicht auf die Waage gelegt worden sein, und dann wüsste man nicht, ob sie schwerer oder leichter ist, wenn sie die abweichende ist). Außerdem steht immer in der unteren Zelle das "Gegenteil" der oberen, wenn man L gegen R austauscht. Zuletzt müssen an jeder Position gleich viele L, R und = vorkommen, weil alle vier Wägungen von der Form 4+4/4 sind (was ich nicht bewiesen habe - aber ich vermute, dass ein statisches Verfahren für 12 Kugeln nur so gelingt). Mit etwas Herumbasteln findet man dann Tabellenwerte, die diese Bedingungen erfüllen - das ist dann aber eine typische "Lösung, die vom Himmel fällt".

Die Frage ist: Gibt es eine bessere, schönere, "elegantere" Erklärung für ein (bestimmtes) statisches Verfahren? Bei den Zahlen 12 und 3 fallen einem schon andere mathematische Dinge ein: Ein 3-dimensionaler Würfel hat 12 Kanten. Außerdem hat ein Würfel, wenn man auf eine Spitze schaut, eine dreifache Rotationssymmetrie. Es ist mir aber nicht gelungen, aus diesen geometrischen Vorstellungen ein statisches Verfahren "herauszukitzeln" - der Würfel ist "zu symmetrisch dazu". Hat jemand eine Idee, wie das gehen könnte?

[[Kategorie:Denksport Loesung]]</text>
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    <text bytes="26574" xml:space="preserve">Es gibt zwar schon eine Lösung zum [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln Problem der Waage und der 12 Kugeln] - aber dort steht praktisch nichts mathematisch Interessantes: Nicht, wie man die Lösung findet, nicht, welche weiteren ähnlichen Probleme man sich stellen kann ... ich versuche es hier, besser zu machen.

Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt, gibt es zwei Arten von Lösungen:
* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist, oder die leichtere leichter - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jede der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem die Waage links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also höchstens 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 24 nicht mehr ist als 27, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte ist. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
Die erste Wägung kann drei Ergebnisse haben:
# Waage geht links herunter: Dann wissen wir, dass ''entweder'' unter den linken vier Kugeln die eine schwerere ist ''oder'' unter den rechten vier die eine leichtere.
# Waage geht rechts herunter: Entweder ist unter den vier rechts die schwerere; oder links die leichtere.
# Waage bleibt im Gleichgewicht: Unter den vier neben der Waage ist die abweichende.
Statt weiterhin so lange Texte zu schreiben, müssen wir das kürzer hinschreiben können - nach dem alten Mathematikerspruch: "''Die richtige Notation ist die halbe Lösung''". Ich verwende einmal die folgenden Buchstaben:
* Wenn eine Kugel nur mehr eine schwerere sein kann (aber vielleicht auch eine der 11 gleich schweren - ich nenne die "normal"), dann soll dafür der Buchstabe S stehen; 
* wenn sie nur eine leichtere oder eine normale sein kann, dann steht dafür L;
* und wenn sie schwerer oder leichter oder normal sein kann, dann wird das mit X gekennzeichnet.
* Wenn eine Kugel schließlich sicher "normal" ist, dann wird sie mit N bezeichnet.
Die drei Möglichkeiten oben ergeben also:
# SSSS + LLLL / NNNN (durch + trenne ich die beiden Gruppen, die auf der Waage liegen; nach dem / stehen die Kugeln, die neben der Waage liegen und die uns "gerade noch interessieren").
# LLLL + SSSS / NNNN
# NNNN + NNNN / XXXX
Wir kümmern uns einmal um den dritten Fall - er sieht irgendwie leichter aus, weil wir nur mehr vier Kugeln betrachten müssen ... von denen wir allerdings praktisch nichts wissen! Aber probieren wir einmal: Wir legen links zwei der X-Kugeln, rechts die zwei anderen. Dann haben wir folgende möglichen Ergebnisse:
# links runter: SS + LL
# rechts runter: LL + SS
# Gleichgewicht: kann nicht sein (weil wir ja aus der ersten Wägung wissen, dass eine der vier die abweichende sein muss!).
Im ersten Fall gibt es noch immer ''vier'' mögliche Lösungen (eine der zwei S ist die schwerere; oder eine der beiden L ist die leichtere). Die eine letzte Wägung kann aber nur ''drei'' Möglichkeiten unterscheiden - damit ist die Aufteilung 2+2 nicht ok. Also dann 1+1, mit folgenden Ergebnissen:
# links runter: S + L / NN
# rechts runter: L + S / NN
# Gleichgewicht: N + N / XX
Den ersten und zweiten Fall könnten wir lösen: Im ersten Fall müssen wir nur die S-Kugeln mit einer N-Kugel vergleichen - wenn Gleichgewicht, dann ist die (danebenliegende) L-Kugel die leichtere, wenn S-Kugel nach unten geht, ist sie die schwerere. Aber im dritten Fall bleiben mit den XX ''vier'' Möglichkeiten übrig, die wir wieder mit den ''drei'' möglichen Ergebnissen einer Wägung nicht lösen können.

Weder 1+1 noch 2+2 funktioniert also bei der zweiten Wägung - wir brauchen eine "schrägere Idee"!

Hier ist sie: 2+1! Das geht natürlich nicht direkt (siehe Erklärung ganz am Anfang), aber wir können rechts eine weitere N-Kugel dazulegen. Wir legen also hin: XX + XN / X (die vierte X liegt auf der Seite) und haben nur folgende Fälle:
# links runter: SS + LN / N (entweder eine der schwereren zieht links runter; oder rechts ist die leichtere)
# rechts runter: LL + SN / N
# Gleichgewicht: NN + NN / X
Wir haben nur mehr eine Wägung frei - aber das könnte sich nun ausgehen!

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach NNNN+NNNN/XXXX - die "AAB-Konfiguration" ==
Der dritte Fall aus der vorherigen Wägung ist leicht: Wir vergleichen die danebenliegende Kugel (die ja sicher die gesuchte sein muss! - alle anderen sind nun als N bewiesen) mit einer beliebigen N-Kugel, mit folgenden Ergebnissen: 
# links runter: S + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: L + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist leichter.
# Gleichgewicht: unmöglich
Was tun wir mit den anderen beiden Fällen aus der vorherigen Wägung? Aus der ersten Wägung erhalten wir drei Kugeln, von denen wir wissen, dass sie SSL sind: Also entweder ist die erste oder die zweite die zu schwere, oder die dritte die zu leichte. Es gibt mehrere Arten, mit einer Wägung die richtige zu finden - hier ist eine: Man legt die beiden S auf die Waage und erhält dann:
# links runter: S + N --&gt; die linke ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: N + S --&gt; die rechte ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# Gleichgewicht: N + N --&gt; die danebenliegende  ist die gesuchte, und sie ist leichter.
Wenn wir bei der zweiten Wägung den zweiten Fall hatten (LL+SN/N), dann können wir mit den drei LLS-Kugeln dasselbe Spiel spielen: L+L vergleichen - wo's raufgeht, ist die gesuchte, und sie ist leichter; bei Gleichgewicht ist's die danebenliegende, und sie ist schwerer.

Die beiden Fälle haben ein gleichartiges Muster: Aus zwei gleich markierten Kugeln (SS oder LL) und einer dritten, die ebenfalls schon mit S oder L markiert ist, kann man mit einer Wägung die Lösung finden ... ich nenne das eine AAB-Konfiguration, die uns hoffentlich bei dem komplizierteren SSSS+LLLL/NNNN-Fall aus der ersten Wägung weiterhilft!

== Die zweite und dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
In diesem Fall wissen wir, dass links vier S-Kugeln liegen, rechts vier L-Kugeln. Wie weiter? Wenn wir schnell zu einer AAB-Konfiguration kommen, dann würden wir für viele Fälle die Lösung mit einer weiteren Wägung haben! Also probieren wir's ... nach einigem Herumprobieren bin ich auf folgendes gekommen: Man wiegt SSL + SSL / LL, mit folgenden Ergebnissen: 
# Waage geht links herunter: Entweder ist eine der beiden linken SS die gesuchte (und schwerer), oder die rechte L ist die gesuchte (und leichter). Man hat also drei Kugeln als SSL identifiziert, also eine AAB-Konfiguration gefunden! 
# Wenn die Waage rechts heruntergeht, dann hat man die anderen SSL als AAB identifiziert. 
# Und bei Gleichgewicht schließlich hat man die beiden LL als mögliche Lösungen identifiziert. Man kann sie direkt  gegeneinander wiegen - wo's raufgeht, liegt die gesuchte leichtere. Man kann aber auch, "mathematiker-artig", eine N dazulegen und hat dann diesen Fall "auf eine AAB-Konfiguration" zurückgeführt ... das macht hier keinen Unterschied, hilft uns aber vielleicht bei anderen Problemen später! 
In allen drei Fällen ist man also bei AAB angelangt - man findet dann also mit einer einzigen weiteren (dritten) Wägung die gesuchte Kugel. 

Damit haben wir ein dynamisches Lösungsverfahren für das 12-Kugel-Problem gefunden! In Kürze - ich bezeichne die 12 Kugeln mit a,b,...,k,l: 

1. Wägung: abcd+efgh/ijkl 

'''Bei Gleichgewicht der ersten Wägung: ''' 

2. Wägung: ij+ka/l 

3. Wägung: Bei Gleichgewicht: l mit a, sonst ijk mit AAB-Konfiguration (ij+ka geht links runter: ijk=SSL; ij+ka geht rechts runter: ijk=LLS). 

'''Wenn erste Wägung links runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist SSL+SSL/LL 

Bei Gleichgewicht: ghi mit AAB-Konfiguration (LLN). 

Wenn links runter: abf ist SSL, also AAB-Konfiguration; wenn rechts unter: cde ist SSL, also AAB. 

'''Wenn erste Wägung rechts runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist LLS+LLS/S - ist symmetrisch zu "links runter". 

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
Bei dynamischen Verfahren wiegt man nur so wenige Kugeln, wie nötig sind. Es ist aber klar, dass man bei jeder Wägung links und rechts gleich viele N-Kugeln dazustapeln kann, ohne dass sich am Ergebnis was ändert. Was das bringen soll? Nun, man könnte die Wägungen, die man beim dynamischen Verfahren entweder/oder macht, nun ''zugleich'' machen! Und wenn man die Wägungen dabei immer gleich kombinieren kann, dann würde ein Verfahren herauskommen, wo man nicht verschiedene Gruppen je nach vorherigen Ergebnissen wiegt, sondern immer die gleichen - also ein statisches Verfahren!

Probieren wir das einmal: Die erste Wägung ist natürlich gleich - wir können ja, wie weiter oben ausgerechnet, nur mit einer 4+4-Wägung anfangen, und zu diesem Zeitpunkt ist es noch egal, welche Kugeln wir wählen. Die erste Wägung ist also abcd+efgh/ijkl (mit den Bezeichnungen aus dem letzten Abschnitt).

Zweite Wägung: In den beiden Ungleichgewichtsfällen haben wir hier beim dynamischen Verfahren schon beide Male dasselbe ausgeführt, nämlich abe+cdf/gh - das war also schon ein "klein wenig statisch". Im Gleichgewichtsfall kommt nun noch ij+ka/l dazu ... aber das können wir nicht zugleich abwiegen, weil dann auf der a-Seite 4 Kugeln liegen, auf der anderen aber 5 - so geht das nicht. Was tun???

Wir schauen uns die zweite dynamische Wägung noch einmal an: Sie ist ja abe+cdf/gh und hat im ''Gleichgewichtsfall'' eine etwas "schmalere" nächste Wägung ergeben, nämlich nur mehr g+h. Wir könnten diese Wägung zu AAB "auffetten", sodass bei der zweiten Wägung weniger auf der Waage liegt = "Platz für ij+ka wird". Konkret:

Wir bauen unser dynamisches Verfahren so um, dass bei der zweiten Wägung abe+cdi/fgh gewogen wird (statt f nehmen wir also i, was sicher eine neutrale Kugel ist). Wenn die erste Wägung links nach unten ging, sind diese Kugeln SSL+SSN/LLL markiert. Was sind die möglichen Ergebnisse?
# links runter: abi=SSN ist AAB, was mit einer Wägung zu entscheiden ist.
# rechts runter: ecd=LSS, also ist cde AAB - ebenfalls mit einer Wägung zu entscheiden.
# Gleichgewicht: fgh=LLL, also AAB  - auch mit einer Wägung zu entscheiden.
Wenn die erste Wägung rechts nach unten ging, kommt symmetrisch auch raus, dass eine weitere Wägung reicht.

Nun aber können wir abe+cdi/fgh mit ka+ij/l (die umgedrehte zweite Wägung aus dem dynamischen Verfahren, wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war) kombinieren und erhalten als zweite Wägung:

abek+cdij/fghl

Wie gehen wir mit dem Ergebnis dieser Wägung um? Ungefähr so: Wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war, dann wissen wir ja, dass a...h alle neutral sind, daher haben wir eigentlich nur ak+ij/l gewogen und können dieselben Schlüsse ziehen wie beim dynamischen Verfahren. Wenn aber die erste Wägung nach links ging, dann waren ja sicher i...l neutral, wir haben also praktisch abe+cdi/fgh gewogen und können auch passenden Schlüsse ziehen. Und dasselbe geht auch, wenn die erste Wägung nach rechts ging.

Zwei Wägungen sind also schon "statisch" - wir brauchen noch die dritte. Dazu müssen wir einmal alle dritten Wägungen aus dem dynamischen Verfahren aufsammeln. Der Reihe nach sind das:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
* nocheinmal die drei letzten Wägungen, weil die Ergebnisse symmetrisch sind (a+b/i ist nun LLN statt SSN, kann aber mit der gleichen Wägung entschieden werden)
Direkt lassen sich diese Wägungen nicht kombinieren, weil i einmal verwogen werden muss (zweite Zeile), einmal auf der Seite liegen muss (dritte Zeile). Mhm.

Eine Idee: AAB kann man nicht nur durch Verwiegen der zwei A-Kugeln entscheiden, sondern auch anders - allerdings nur, wenn A und B verschieden sind (also z.B. AAB=SSL): Dann kann man auf eine Seite SL legen, auf die andere NN. Wenn die Waage links runter geht, dann ist S die gesuchte (und schwerer), wenn sie rechts runtergeht, dann ist L die gesuchte (und leichter). Wir können also aus ijk=SSL oder LLS (siehe die Kurzbeschreibung im letzten Kapitel!) jk gegen zwei N-Kugeln verwiegen:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* &lt;u&gt;jk+nn/i&lt;/u&gt;
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Schaffen wir es, auf eine Seite vier Kugeln zu legen? Es geht sich nicht aus :-(

Das mit dem jk war vielleicht doch keine so gute Idee, weil nun eine Kugel mehr auf die Waage kam. Also zurück zur vorherigen Liste:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Können wir a+b/i "drehen", sodass i auf der Waage liegt? abi war ja SSN oder LLN, und hier könnten wir statt a+b auch gern a+i wiegen: Bei Gleichgewicht ist dann b die gesuchte! Also müsste als dritte Wägung auch eine Summe aus Folgendem funktionieren (die ersten zwei Wägungen habe ich schon passend umgedreht):
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* &lt;u&gt;i+a/b&lt;/u&gt;
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Und als "Summe" erhalten wir:

licf+ajdg/kbeh

Es sieht so aus, als hätten wir ein statisches Verfahren gefunden! - mit folgenden Wägungen (die Buchstaben habe ich jeweils aufsteigend sortiert):
* abcd+efgh/ijkl
* abek+cdij/fghl
* cfil+adgj/behk
Schauen wir, ob es funktioniert, indem wir für alle möglichen Lösungen die Wäge-Ergebnisse aufschreiben - sie müssen sich alle unterscheiden! L bedeutet hier "Waage senkt sich links", R "Waage senkt sich rechts", = "Waage bleibt im Gleichgewicht":
{| class="article-table"
!
!a
!b
!c
!d
!e
!f
!g
!h
!i
!j
!k
!l
!
|-
|schwerer
|LLR
|LL=
|LRL
|LRR
|RL=
|R=L
|R=R
|R==
|=RL
|=RR
|=L=
|==L
|
|-
|leichter
|RRL
|RR=
|RLR
|RLL
|LR=
|L=R
|L=L
|L==
|=LR
|=LL
|=R=
|==R
|
|}
Tatsächlich!! - es hat funktioniert - alle Wägeergebnisse sind verschieden.

Ich höre hier mit den statischen Verfahren auf - manche Leute haben noch nette Tricks gefunden, wie man die drei Zeichen L, R und = als ternäre Ziffern interpretiert, sodass man sich nicht die Tabelle merken muss, sondern sich die Nummer der abweichenden Kugel aus dem Wägeergebnis als Zahl im Dreiersystem ausrechnen kann. Ein Beispiel dafür ist die andere Lösung, die [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln,_L%C3%B6sung hier] angegeben ist.

Ich schaue mir aber noch schnell das Problem für andere Zahlen von Wägungen an!

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
Keine. Tatsächlich. Warum?

Das mindeste, was man zum Verwiegen braucht, sind zwei Kugeln. Wenn man die aber beide auf die Waage legt und sie sich links senkt, dann weiß man nicht, ob die linke schwerer oder die rechte leichter ist! Auch rechnerisch kann man sich das überlegen: Eine Wägung kann drei Ergebnisse unterscheiden, bei zwei Kugeln gibt es aber schon vier Möglichkeiten (erste schwerer, erste leichter, zweite schwerer, zweite leichter). Allerdings ist auch bei zwei Kugeln das Rätsel nicht sinnvoll: Denn ist nun die erste schwerer oder die zweite leichter?

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
Zwei Wägungen können 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9 Fälle unterscheiden, also prinzipiell das Problem für 4 Kugeln lösen. Überlegen wir, wie man das machen kann:
* Entweder wiegt man zuerst ab+cd. Dann hat man z.B. bei Ausschlag der Waage nach links noch vier Fälle (ab+cd=SS+LL), die man aber mit einer Wägung nicht vollständig entscheiden kann.
* Versuchen wir's also mit a+b/cd. Nun hat man aber bei Gleichgewicht cd=XX, also wieder vier Fälle, die nicht mit der zweiten Wägung zu entscheiden sind.
Also lassen sich mit zwei Wägungen das Rätsel für höchstens drei Kugeln entscheiden:
* Erste Wägung: a+b/c
* Bei Gleichheit 2.Wägung c+a=X+N, bei Ungleichheit ebenfalls c+a, aber nun als N+X.
Es ist schon erstaunlich, dass nur eine weitere Wägung die Zahl dann von 3 auf 12 hochkatapultiert!

== Kann man mit drei Wägungen auch 13 Kugeln lösen? ==
Für 13 Kugeln gibt es 26 mögliche Lösungen. Das ist noch immer weniger als 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27 - man könnte also hoffen, dass man mit 3 Wägungen auch die "falsche" aus 13 herausfinden kann. Geht das?

Bei der ersten Wägung könnten wir (wie bei 12-Kugeln) 4+4 Kugeln auf die Waage legen - dann bleiben aber im Gleichgewichtsfall 5 daneben liegen, mit 10 möglichen Ergebnissen (jede kann entweder die schwerere oder die leichtere sein), was sich mit zwei weiteren Wägungen nicht vollständg lösen lässt (weil 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9&lt;10). 

Wenn man aber 5+5 Kugeln auf die Waage legt, scheitern wir bei Nicht-Gleichgewicht, wie schon im ersten Abschnitt erklärt. 12 Kugeln ist also tatsächlich das Maximum für drei Wägungen.

== Der Witz der Zusatzkugel ==
Bevor ich hier zum "highlight" komme, nämlich der Anzahl der Kugeln, die man mit vier Wägungen "lösen" kann, noch ein Zwischenproblem: Nehmen wir an, wir hätten nicht nur die gegebenen Kugeln, sondern zusätzlich noch eine Kugel, von der wir sicher wissen, dass sie "normal" ist - was ändert das dann an der Anzahl an lösbaren Kugeln?

(Wie ich auf diese Frage komme? - naja, bei den 4 XXXX-Kugeln der 2. Wägung beim 12-Kugelproblem hat man ja eine solche Kugel zu den 2+1 dazugetan, und das hat "megamäßig" geholfen ...). Also:
* Mit einer Wägung kann man nun plötzlich doch für eine Kugel entscheiden, ob sie zu leicht oder zu schwer ist.
* Mit zwei Wägungen kann man aus 4 Kugeln die richtige herausfinden (sieht man ja bei der 2. Wägung des 12-Kugelproblems).
* Mit drei Wägungen: Hier können wir nun bei der ersten Wägung links 4 Kugeln und die N-Kugel, rechts 5 Kugeln drauflegen! Bei Ungleichgewicht gibt es dann noch 9 mögliche Lösungen, was genau gleich der Maximalanzahl 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; ist, die wir mit den restlichen zwei Wägungen noch lösen können - es könnte sich also ausgehen! Und damit könnten wir das Problem dann auch für ''13'' Kugeln lösen! (im Gleichgewichtsfall geht's so wie bei 12 Kugeln weiter). Probieren wir's: Wir haben nach Ungleichgewicht nun SSSS und LLLLL (oder LLLL und SSSSS - aber das ist symmetrisch zu lösen). In der zweiten Wägung können wir nun SSL+SSL/LLL wiegen - und was auch immer herauskommt, wir haben ein AAB in der Hand: Entweder die linken zwei SS und die rechte L, oder die rechten zwei SS und die linke L, oder die danebenliegenden LLL - wir sind also nach einer weiteren Wägung fertig!
Erkenntnis: Mit einer Zusatz-Normalkugel kann man - zumindest bei einer, zwei und drei Wägungen - die "theoretische Maximalanzahl", nämlich [3&lt;sup&gt;''k''&lt;/sup&gt;/2] Kugeln entscheiden, wo ''k'' die Anzahl der Wägungen ist ([''x''] bezeichnet dabei die größte ganze Zahl kleiner oder gleich ''x''):
* ''k'' = 1: [3&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;/2] = [3/2] = 1
* ''k'' = 2: [3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;/2] = [9/2] = 4
* ''k'' = 3: [3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;/2] = [27/2] = 13

== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
Viele. Aber wie viele?
Berechnen wir zuerst den absoluten Maximalwert: Vier Wägungen können 3&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=81 unterscheiden. Damit ließe sich im Idealfall aus 40 Kugeln die eine schwerere oder leichtere herausfinden, weil es dann 2*40=80 mögliche Lösungen gibt. Aber sind es tatsächlich so viele?

Für eine genauere Einschränkung schauen wir uns - wie gerade für drei Wägungen - die erste Wägung an: Wir legen dort ''x''+''x'' Kugeln auf die Waage, ''y'' lassen wir daneben liegen. ''y'' kann höchstens 13 sein, weil wir aus diesen Kugeln ja mit drei Wägungen das Ergebnis finden müssen (aus dem letzten Abschnitt wissen wir, dass wir ''mit einer zusätzlichen Normalkugel'' in 3 Wägungen 13 Kugeln entscheiden können! - hier haben wir im Gleichgewichtsfall sicher viel mehr Normalkugeln zur Verfügung).

Damit ''x''+''x''+''y'' höchstens 40 ist, darf ''x'' höchstens 13 sein. Wenn wir 13+13 Kugeln verwiegen und die Waage ''nicht'' im Gleichgewicht bleibt, haben wir noch 26 mögliche Lösungen - weniger als die 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27, die wir mit den restlichen 3 Wägungen entscheiden können, daher kann sich das ausgehen! Daher ''könnte'' die Maximalzahl für vier Wägungen 13+13+13=39 Kugeln.

Und tatsächlich glaube ich, dass ich für 39 Kugeln ein dynamisches Lösungsverfahren gefunden habe ... das ich hier aber nicht verrate: Das kann jeder, der bis hierher gekommen ist, selber finden!

Und wenn man wieder eine weitere Normalkugel dazulegt, dann geht es wieder mit 40 Kugeln, denke ich! ...

== Die abschließende große Hypothese ==
Es scheint, dass man einen vollständigen Induktionsbeweis führen können müsste, dass
* mit einer Zusatz-Normalkugel in ''k'' Wägungen die "unpassende" aus [3&lt;sup&gt;''k''&lt;/sup&gt;/2] Kugeln gefunden werden kann;
* ohne eine Zusatz-Normalkugel in ''k'' Wägungen die "unpassende" aus [3&lt;sup&gt;''k''&lt;/sup&gt;/2 - 1] Kugeln gefunden werden kann.
Diesen Beweis ordentlich zu führen, überlasse ich gern anderen :-)

== Offene Frage: Kann ein statisches Verfahren immer gleich viele Kugeln leisten wie ein dynamisches mit gleich viel Wägungen? ==
Mit drei Wägungen kann man höchstens 12 Kugeln lösen - sowohl mit einem dynamischen wie mit einem statischen Verfahren. Auch bei zwei Wägungen sind dynamisches und statisches Verfahren gleich mächtig, und bei einer Wägung sowieso. Aber gilt das allgemein? Gibt es immer, wenn es ein dynamisches Verfahren gibt, auch ein statisches Verfahren? Das ist nicht offensichtlich, weil das dynamische Verfahren ja "mehr Information einspeist". Ich habe aber keine Ahnung, wie ein Beweis aussieht, der zu einem dynamischen Verfahren immer ein statisches konstruieren kann.

== Offene Frage: Kann man das statische Verfahren eleganter entwickeln? ==
Das statische Verfahren habe ich oben durch "Umbau" des dynamischen Verfahrens gefunden.

Man kann auch direkt versuchen, die oben gezeigte Tabelle für das statische Verfahren auszufüllen. Dazu muss man sich zuerst klar machen, dass die Kombination === in keinem Feld stehen kann (denn dann würde die entsprechende Lösungskugel ja gar nicht auf die Waage gelegt worden sein, und dann wüsste man nicht, ob sie schwerer oder leichter ist, wenn sie die abweichende ist). Außerdem steht immer in der unteren Zelle das "Gegenteil" der oberen, wenn man L gegen R austauscht. Zuletzt müssen an jeder Position gleich viele L, R und = vorkommen, weil alle vier Wägungen von der Form 4+4/4 sind (was ich nicht bewiesen habe - aber ich vermute, dass ein statisches Verfahren für 12 Kugeln nur so gelingt). Mit etwas Herumbasteln findet man dann Tabellenwerte, die diese Bedingungen erfüllen - das ist dann aber eine typische "Lösung, die vom Himmel fällt".

Die Frage ist: Gibt es eine bessere, schönere, "elegantere" Erklärung für ein (bestimmtes) statisches Verfahren? Bei den Zahlen 12 und 3 fallen einem schon andere mathematische Dinge ein: Ein 3-dimensionaler Würfel hat 12 Kanten. Außerdem hat ein Würfel, wenn man auf eine Spitze schaut, eine dreifache Rotationssymmetrie. Es ist mir aber nicht gelungen, aus diesen geometrischen Vorstellungen ein statisches Verfahren "herauszukitzeln" - der Würfel ist "zu symmetrisch dazu". Hat jemand eine Idee, wie das gehen könnte?

[[Kategorie:Denksport Loesung]]</text>
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    <text bytes="26579" xml:space="preserve">Es gibt zwar schon eine Lösung zum [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln Problem der Waage und der 12 Kugeln] - aber dort steht praktisch nichts mathematisch Interessantes: Nicht, wie man die Lösung findet, nicht, welche weiteren ähnlichen Probleme man sich stellen kann ... ich versuche es hier, besser zu machen.

Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt, gibt es zwei Arten von Lösungen:
* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist, oder die leichtere leichter - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jede der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem die Waage links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also höchstens 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 24 nicht mehr ist als 27, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte ist. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
Die erste Wägung kann drei Ergebnisse haben:
# Waage geht links herunter: Dann wissen wir, dass ''entweder'' unter den linken vier Kugeln die eine schwerere ist ''oder'' unter den rechten vier die eine leichtere.
# Waage geht rechts herunter: Entweder ist unter den vier rechts die schwerere; oder links die leichtere.
# Waage bleibt im Gleichgewicht: Unter den vier neben der Waage ist die abweichende.
Statt weiterhin so lange Texte zu schreiben, müssen wir das kürzer hinschreiben können - nach dem alten Mathematikerspruch: "''Die richtige Notation ist die halbe Lösung''". Ich verwende einmal die folgenden Buchstaben:
* Wenn eine Kugel nur mehr eine schwerere sein kann (aber vielleicht auch eine der 11 gleich schweren - ich nenne die "normal"), dann soll dafür der Buchstabe S stehen; 
* wenn sie nur eine leichtere oder eine normale sein kann, dann steht dafür L;
* und wenn sie schwerer oder leichter oder normal sein kann, dann wird das mit X gekennzeichnet.
* Wenn eine Kugel schließlich sicher "normal" ist, dann wird sie mit N bezeichnet.
Die drei Möglichkeiten oben ergeben also:
# SSSS + LLLL / NNNN (durch + trenne ich die beiden Gruppen, die auf der Waage liegen; nach dem / stehen die Kugeln, die neben der Waage liegen und die uns "gerade noch interessieren").
# LLLL + SSSS / NNNN
# NNNN + NNNN / XXXX
Wir kümmern uns einmal um den dritten Fall - er sieht irgendwie leichter aus, weil wir nur mehr vier Kugeln betrachten müssen ... von denen wir allerdings praktisch nichts wissen! Aber probieren wir einmal: Wir legen links zwei der X-Kugeln, rechts die zwei anderen. Dann haben wir folgende möglichen Ergebnisse:
# links runter: SS + LL
# rechts runter: LL + SS
# Gleichgewicht: kann nicht sein (weil wir ja aus der ersten Wägung wissen, dass eine der vier die abweichende sein muss!).
Im ersten Fall gibt es noch immer ''vier'' mögliche Lösungen (eine der zwei S ist die schwerere; oder eine der beiden L ist die leichtere). Die eine letzte Wägung kann aber nur ''drei'' Möglichkeiten unterscheiden - damit ist die Aufteilung 2+2 nicht ok. Also dann 1+1, mit folgenden Ergebnissen:
# links runter: S + L / NN
# rechts runter: L + S / NN
# Gleichgewicht: N + N / XX
Den ersten und zweiten Fall könnten wir lösen: Im ersten Fall müssen wir nur die S-Kugeln mit einer N-Kugel vergleichen - wenn Gleichgewicht, dann ist die (danebenliegende) L-Kugel die leichtere, wenn S-Kugel nach unten geht, ist sie die schwerere. Aber im dritten Fall bleiben mit den XX ''vier'' Möglichkeiten übrig, die wir wieder mit den ''drei'' möglichen Ergebnissen einer Wägung nicht lösen können.

Weder 1+1 noch 2+2 funktioniert also bei der zweiten Wägung - wir brauchen eine "schrägere Idee"!

Hier ist sie: 2+1! Das geht natürlich nicht direkt (siehe Erklärung ganz am Anfang), aber wir können rechts eine weitere N-Kugel dazulegen. Wir legen also hin: XX + XN / X (die vierte X liegt auf der Seite) und haben nur folgende Fälle:
# links runter: SS + LN / N (entweder eine der schwereren zieht links runter; oder rechts ist die leichtere)
# rechts runter: LL + SN / N
# Gleichgewicht: NN + NN / X
Wir haben nur mehr eine Wägung frei - aber das könnte sich nun ausgehen!

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach NNNN+NNNN/XXXX - die "AAB-Konfiguration" ==
Der dritte Fall aus der vorherigen Wägung ist leicht: Wir vergleichen die danebenliegende Kugel (die ja sicher die gesuchte sein muss! - alle anderen sind nun als N bewiesen) mit einer beliebigen N-Kugel, mit folgenden Ergebnissen: 
# links runter: S + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: L + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist leichter.
# Gleichgewicht: unmöglich
Was tun wir mit den anderen beiden Fällen aus der vorherigen Wägung? Aus der ersten Wägung erhalten wir drei Kugeln, von denen wir wissen, dass sie SSL sind: Also entweder ist die erste oder die zweite die zu schwere, oder die dritte die zu leichte. Es gibt mehrere Arten, mit einer Wägung die richtige zu finden - hier ist eine: Man legt die beiden S auf die Waage und erhält dann:
# links runter: S + N --&gt; die linke ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: N + S --&gt; die rechte ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# Gleichgewicht: N + N --&gt; die danebenliegende  ist die gesuchte, und sie ist leichter.
Wenn wir bei der zweiten Wägung den zweiten Fall hatten (LL+SN/N), dann können wir mit den drei LLS-Kugeln dasselbe Spiel spielen: L+L vergleichen - wo's raufgeht, ist die gesuchte, und sie ist leichter; bei Gleichgewicht ist's die danebenliegende, und sie ist schwerer.

Die beiden Fälle haben ein gleichartiges Muster: Aus zwei gleich markierten Kugeln (SS oder LL) und einer dritten, die ebenfalls schon mit S oder L markiert ist, kann man mit einer Wägung die Lösung finden ... ich nenne das eine AAB-Konfiguration, die uns hoffentlich bei dem komplizierteren SSSS+LLLL/NNNN-Fall aus der ersten Wägung weiterhilft!

== Die zweite und dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
In diesem Fall wissen wir, dass links vier S-Kugeln liegen, rechts vier L-Kugeln. Wie weiter? Wenn wir schnell zu einer AAB-Konfiguration kommen, dann würden wir für viele Fälle die Lösung mit einer weiteren Wägung haben! Also probieren wir's ... nach einigem Herumprobieren bin ich auf folgendes gekommen: Man wiegt SSL + SSL / LL, mit folgenden Ergebnissen: 
# Waage geht links herunter: Entweder ist eine der beiden linken SS die gesuchte (und schwerer), oder die rechte L ist die gesuchte (und leichter). Man hat also drei Kugeln als SSL identifiziert, also eine AAB-Konfiguration gefunden! 
# Wenn die Waage rechts heruntergeht, dann hat man die anderen SSL als AAB identifiziert. 
# Und bei Gleichgewicht schließlich hat man die beiden LL als mögliche Lösungen identifiziert. Man kann sie direkt  gegeneinander wiegen - wo's raufgeht, liegt die gesuchte leichtere. Man kann aber auch, "mathematiker-artig", eine N dazulegen und hat dann diesen Fall "auf eine AAB-Konfiguration" zurückgeführt ... das macht hier keinen Unterschied, hilft uns aber vielleicht bei anderen Problemen später! 
In allen drei Fällen ist man also bei AAB angelangt - man findet dann also mit einer einzigen weiteren (dritten) Wägung die gesuchte Kugel. 

Damit haben wir ein dynamisches Lösungsverfahren für das 12-Kugel-Problem gefunden! In Kürze - ich bezeichne die 12 Kugeln mit a,b,...,k,l: 

1. Wägung: abcd+efgh/ijkl 

'''Bei Gleichgewicht der ersten Wägung: ''' 

2. Wägung: ij+ka/l 

3. Wägung: Bei Gleichgewicht: l mit a, sonst ijk mit AAB-Konfiguration (ij+ka geht links runter: ijk=SSL; ij+ka geht rechts runter: ijk=LLS). 

'''Wenn erste Wägung links runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist SSL+SSL/LL 

Bei Gleichgewicht: ghi mit AAB-Konfiguration (LLN). 

Wenn links runter: abf ist SSL, also AAB-Konfiguration; wenn rechts unter: cde ist SSL, also AAB. 

'''Wenn erste Wägung rechts runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist LLS+LLS/S - ist symmetrisch zu "links runter". 

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
Bei dynamischen Verfahren wiegt man nur so wenige Kugeln, wie nötig sind. Es ist aber klar, dass man bei jeder Wägung links und rechts gleich viele N-Kugeln dazustapeln kann, ohne dass sich am Ergebnis was ändert. Was das bringen soll? Nun, man könnte die Wägungen, die man beim dynamischen Verfahren entweder/oder macht, nun ''zugleich'' machen! Und wenn man die Wägungen dabei immer gleich kombinieren kann, dann würde ein Verfahren herauskommen, wo man nicht verschiedene Gruppen je nach vorherigen Ergebnissen wiegt, sondern immer die gleichen - also ein statisches Verfahren!

Probieren wir das einmal: Die erste Wägung ist natürlich gleich - wir können ja, wie weiter oben ausgerechnet, nur mit einer 4+4-Wägung anfangen, und zu diesem Zeitpunkt ist es noch egal, welche Kugeln wir wählen. Die erste Wägung ist also abcd+efgh/ijkl (mit den Bezeichnungen aus dem letzten Abschnitt).

Zweite Wägung: In den beiden Ungleichgewichtsfällen haben wir hier beim dynamischen Verfahren schon beide Male dasselbe ausgeführt, nämlich abe+cdf/gh - das war also schon ein "klein wenig statisch". Im Gleichgewichtsfall kommt nun noch ij+ka/l dazu ... aber das können wir nicht zugleich abwiegen, weil dann auf der a-Seite 4 Kugeln liegen, auf der anderen aber 5 - so geht das nicht. Was tun???

Wir schauen uns die zweite dynamische Wägung noch einmal an: Sie ist ja abe+cdf/gh und hat im ''Gleichgewichtsfall'' eine etwas "schmalere" nächste Wägung ergeben, nämlich nur mehr g+h. Wir könnten diese Wägung zu AAB "auffetten", sodass bei der zweiten Wägung weniger auf der Waage liegt = "Platz für ij+ka wird". Konkret:

Wir bauen unser dynamisches Verfahren so um, dass bei der zweiten Wägung abe+cdi/fgh gewogen wird (statt f nehmen wir also i, was sicher eine neutrale Kugel ist). Wenn die erste Wägung links nach unten ging, sind diese Kugeln SSL+SSN/LLL markiert. Was sind die möglichen Ergebnisse?
# links runter: abi=SSN ist AAB, was mit einer Wägung zu entscheiden ist.
# rechts runter: ecd=LSS, also ist cde AAB - ebenfalls mit einer Wägung zu entscheiden.
# Gleichgewicht: fgh=LLL, also AAB  - auch mit einer Wägung zu entscheiden.
Wenn die erste Wägung rechts nach unten ging, kommt symmetrisch auch raus, dass eine weitere Wägung reicht.

Nun aber können wir abe+cdi/fgh mit ka+ij/l (die umgedrehte zweite Wägung aus dem dynamischen Verfahren, wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war) kombinieren und erhalten als zweite Wägung:

abek+cdij/fghl

Wie gehen wir mit dem Ergebnis dieser Wägung um? Ungefähr so: Wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war, dann wissen wir ja, dass a...h alle neutral sind, daher haben wir eigentlich nur ak+ij/l gewogen und können dieselben Schlüsse ziehen wie beim dynamischen Verfahren. Wenn aber die erste Wägung nach links ging, dann waren ja sicher i...l neutral, wir haben also praktisch abe+cdi/fgh gewogen und können auch passenden Schlüsse ziehen. Und dasselbe geht auch, wenn die erste Wägung nach rechts ging.

Zwei Wägungen sind also schon "statisch" - wir brauchen noch die dritte. Dazu müssen wir einmal alle dritten Wägungen aus dem dynamischen Verfahren aufsammeln. Der Reihe nach sind das:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
* nocheinmal die drei letzten Wägungen, weil die Ergebnisse symmetrisch sind (a+b/i ist nun LLN statt SSN, kann aber mit der gleichen Wägung entschieden werden)
Direkt lassen sich diese Wägungen nicht kombinieren, weil i einmal verwogen werden muss (zweite Zeile), einmal auf der Seite liegen muss (dritte Zeile). Mhm.

Eine Idee: AAB kann man nicht nur durch Verwiegen der zwei A-Kugeln entscheiden, sondern auch anders - allerdings nur, wenn A und B verschieden sind (also z.B. AAB=SSL): Dann kann man auf eine Seite SL legen, auf die andere NN. Wenn die Waage links runter geht, dann ist S die gesuchte (und schwerer), wenn sie rechts runtergeht, dann ist L die gesuchte (und leichter). Wir können also aus ijk=SSL oder LLS (siehe die Kurzbeschreibung im letzten Kapitel!) jk gegen zwei N-Kugeln verwiegen:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* &lt;u&gt;jk+nn/i&lt;/u&gt;
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Schaffen wir es, auf eine Seite vier Kugeln zu legen? Es geht sich nicht aus :-(

Das mit dem jk war vielleicht doch keine so gute Idee, weil nun eine Kugel mehr auf die Waage kam. Also zurück zur vorherigen Liste:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Können wir a+b/i "drehen", sodass i auf der Waage liegt? abi war ja SSN oder LLN, und hier könnten wir statt a+b auch gern a+i wiegen: Bei Gleichgewicht ist dann b die gesuchte! Also müsste als dritte Wägung auch eine Summe aus Folgendem funktionieren (die ersten zwei Wägungen habe ich schon passend umgedreht):
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* &lt;u&gt;i+a/b&lt;/u&gt;
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Und als "Summe" erhalten wir:

licf+ajdg/kbeh

Es sieht so aus, als hätten wir ein statisches Verfahren gefunden! - mit folgenden Wägungen (die Buchstaben habe ich jeweils aufsteigend sortiert):
* abcd+efgh/ijkl
* abek+cdij/fghl
* cfil+adgj/behk
Schauen wir, ob es funktioniert, indem wir für alle möglichen Lösungen die Wäge-Ergebnisse aufschreiben - sie müssen sich alle unterscheiden! L bedeutet hier "Waage senkt sich links", R "Waage senkt sich rechts", = "Waage bleibt im Gleichgewicht":
{| class="article-table"
!
!a
!b
!c
!d
!e
!f
!g
!h
!i
!j
!k
!l
!
|-
|schwerer
|LLR
|LL=
|LRL
|LRR
|RL=
|R=L
|R=R
|R==
|=RL
|=RR
|=L=
|==L
|
|-
|leichter
|RRL
|RR=
|RLR
|RLL
|LR=
|L=R
|L=L
|L==
|=LR
|=LL
|=R=
|==R
|
|}
Tatsächlich!! - es hat funktioniert - alle Wägeergebnisse sind verschieden.

Ich höre hier mit den statischen Verfahren auf - manche Leute haben noch nette Tricks gefunden, wie man die drei Zeichen L, R und = als ternäre Ziffern interpretiert, sodass man sich nicht die Tabelle merken muss, sondern sich die Nummer der abweichenden Kugel aus dem Wägeergebnis als Zahl im Dreiersystem ausrechnen kann. Ein Beispiel dafür ist die andere Lösung, die [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln,_L%C3%B6sung hier] angegeben ist.

Ich schaue mir aber noch schnell das Problem für andere Zahlen von Wägungen an!

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
Keine. Tatsächlich. Warum?

Das mindeste, was man zum Verwiegen braucht, sind zwei Kugeln. Wenn man die aber beide auf die Waage legt und sie sich links senkt, dann weiß man nicht, ob die linke schwerer oder die rechte leichter ist! Auch rechnerisch kann man sich das überlegen: Eine Wägung kann drei Ergebnisse unterscheiden, bei zwei Kugeln gibt es aber schon vier Möglichkeiten (erste schwerer, erste leichter, zweite schwerer, zweite leichter). Allerdings ist auch bei zwei Kugeln das Rätsel nicht sinnvoll: Denn ist nun die erste schwerer oder die zweite leichter?

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
Zwei Wägungen können 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9 Fälle unterscheiden, also prinzipiell das Problem für 4 Kugeln lösen. Überlegen wir, wie man das machen kann:
* Entweder wiegt man zuerst ab+cd. Dann hat man z.B. bei Ausschlag der Waage nach links noch vier Fälle (ab+cd=SS+LL), die man aber mit einer Wägung nicht vollständig entscheiden kann.
* Versuchen wir's also mit a+b/cd. Nun hat man aber bei Gleichgewicht cd=XX, also wieder vier Fälle, die nicht mit der zweiten Wägung zu entscheiden sind.
Also lassen sich mit zwei Wägungen das Rätsel für höchstens drei Kugeln entscheiden:
* Erste Wägung: a+b/c
* Bei Gleichheit 2.Wägung c+a=X+N, bei Ungleichheit ebenfalls c+a, aber nun als N+X.
Es ist schon erstaunlich, dass nur eine weitere Wägung die Zahl dann von 3 auf 12 hochkatapultiert!

== Kann man mit drei Wägungen auch 13 Kugeln lösen? ==
Für 13 Kugeln gibt es 26 mögliche Lösungen. Das ist noch immer weniger als 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27 - man könnte also hoffen, dass man mit 3 Wägungen auch die "falsche" aus 13 herausfinden kann. Geht das?

Bei der ersten Wägung könnten wir (wie bei 12-Kugeln) 4+4 Kugeln auf die Waage legen - dann bleiben aber im Gleichgewichtsfall 5 daneben liegen, mit 10 möglichen Ergebnissen (jede kann entweder die schwerere oder die leichtere sein), was sich mit zwei weiteren Wägungen nicht vollständg lösen lässt (weil 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9&lt;10). 

Wenn man aber 5+5 Kugeln auf die Waage legt, scheitern wir bei Nicht-Gleichgewicht, wie schon im ersten Abschnitt erklärt. 12 Kugeln ist also tatsächlich das Maximum für drei Wägungen.

== Der Witz der Zusatzkugel ==
Bevor ich hier zum "highlight" komme, nämlich der Anzahl der Kugeln, die man mit vier Wägungen "lösen" kann, noch ein Zwischenproblem: Nehmen wir an, wir hätten nicht nur die gegebenen Kugeln, sondern zusätzlich noch eine Kugel, von der wir sicher wissen, dass sie "normal" ist - was ändert das dann an der Anzahl an lösbaren Kugeln?

(Wie ich auf diese Frage komme? - naja, bei den 4 XXXX-Kugeln der 2. Wägung beim 12-Kugelproblem hat man ja eine solche Kugel zu den 2+1 dazugetan, und das hat "megamäßig" geholfen ...). Also:
* Mit einer Wägung kann man nun plötzlich doch für eine Kugel entscheiden, ob sie zu leicht oder zu schwer ist.
* Mit zwei Wägungen kann man aus 4 Kugeln die richtige herausfinden (sieht man ja bei der 2. Wägung des 12-Kugelproblems).
* Mit drei Wägungen: Hier können wir nun bei der ersten Wägung links 4 Kugeln und die N-Kugel, rechts 5 Kugeln drauflegen! Bei Ungleichgewicht gibt es dann noch 9 mögliche Lösungen, was genau gleich der Maximalanzahl 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; ist, die wir mit den restlichen zwei Wägungen noch lösen können - es könnte sich also ausgehen! Und damit könnten wir das Problem dann auch für ''13'' Kugeln lösen! (im Gleichgewichtsfall geht's so wie bei 12 Kugeln weiter). Probieren wir's: Wir haben nach Ungleichgewicht nun SSSS und LLLLL (oder LLLL und SSSSS - aber das ist symmetrisch zu lösen). In der zweiten Wägung können wir nun SSL+SSL/LLL wiegen - und was auch immer herauskommt, wir haben ein AAB in der Hand: Entweder die linken zwei SS und die rechte L, oder die rechten zwei SS und die linke L, oder die danebenliegenden LLL - wir sind also nach einer weiteren Wägung fertig!
Erkenntnis: Mit einer Zusatz-Normalkugel kann man - zumindest bei einer, zwei und drei Wägungen - die "theoretische Maximalanzahl", nämlich [3&lt;sup&gt;''k''&lt;/sup&gt;/2] Kugeln entscheiden, wo ''k'' die Anzahl der Wägungen ist ([''x''] bezeichnet dabei die größte ganze Zahl kleiner oder gleich ''x''):
* ''k'' = 1: [3&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;/2] = [3/2] = 1
* ''k'' = 2: [3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;/2] = [9/2] = 4
* ''k'' = 3: [3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;/2] = [27/2] = 13

== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
Viele. Aber wie viele?
Berechnen wir zuerst den absoluten Maximalwert: Vier Wägungen können 3&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=81 unterscheiden. Damit ließe sich im Idealfall aus 40 Kugeln die eine schwerere oder leichtere herausfinden, weil es dann 2*40=80 mögliche Lösungen gibt. Aber sind es tatsächlich so viele?

Für eine genauere Einschränkung schauen wir uns - wie gerade für drei Wägungen - die erste Wägung an: Wir legen dort ''x''+''x'' Kugeln auf die Waage, ''y'' lassen wir daneben liegen. ''y'' kann höchstens 13 sein, weil wir aus diesen Kugeln ja mit drei Wägungen das Ergebnis finden müssen (aus dem letzten Abschnitt wissen wir, dass wir ''mit einer zusätzlichen Normalkugel'' in 3 Wägungen 13 Kugeln entscheiden können! - hier haben wir im Gleichgewichtsfall sicher viel mehr Normalkugeln zur Verfügung).

Damit ''x''+''x''+''y'' höchstens 40 ist, darf ''x'' höchstens 13 sein. Wenn wir 13+13 Kugeln verwiegen und die Waage ''nicht'' im Gleichgewicht bleibt, haben wir noch 26 mögliche Lösungen - weniger als die 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27, die wir mit den restlichen 3 Wägungen entscheiden können, daher kann sich das ausgehen! Daher ''könnte'' die Maximalzahl für vier Wägungen 13+13+13=39 Kugeln sein.

Und tatsächlich glaube ich, dass ich für 39 Kugeln ein dynamisches Lösungsverfahren gefunden habe ... das ich hier aber nicht verrate: Das kann jeder, der bis hierher gekommen ist, selber finden!

Und wenn man wieder eine weitere Normalkugel dazulegt, dann geht es wieder mit 40 Kugeln, denke ich! ...

== Die abschließende große Hypothese ==
Es scheint, dass man einen vollständigen Induktionsbeweis führen können müsste, dass
* mit einer Zusatz-Normalkugel in ''k'' Wägungen die "unpassende" aus [3&lt;sup&gt;''k''&lt;/sup&gt;/2] Kugeln gefunden werden kann;
* ohne eine Zusatz-Normalkugel in ''k'' Wägungen die "unpassende" aus [3&lt;sup&gt;''k''&lt;/sup&gt;/2 - 1] Kugeln gefunden werden kann.
Diesen Beweis ordentlich zu führen, überlasse ich gern anderen :-)

== Offene Frage: Kann ein statisches Verfahren immer gleich viele Kugeln leisten wie ein dynamisches mit gleich viel Wägungen? ==
Mit drei Wägungen kann man höchstens 12 Kugeln lösen - sowohl mit einem dynamischen wie mit einem statischen Verfahren. Auch bei zwei Wägungen sind dynamisches und statisches Verfahren gleich mächtig, und bei einer Wägung sowieso. Aber gilt das allgemein? Gibt es immer, wenn es ein dynamisches Verfahren gibt, auch ein statisches Verfahren? Das ist nicht offensichtlich, weil das dynamische Verfahren ja "mehr Information einspeist". Ich habe aber keine Ahnung, wie ein Beweis aussieht, der zu einem dynamischen Verfahren immer ein statisches konstruieren kann.

== Offene Frage: Kann man das statische Verfahren eleganter entwickeln? ==
Das statische Verfahren habe ich oben durch "Umbau" des dynamischen Verfahrens gefunden.

Man kann auch direkt versuchen, die oben gezeigte Tabelle für das statische Verfahren auszufüllen. Dazu muss man sich zuerst klar machen, dass die Kombination === in keinem Feld stehen kann (denn dann würde die entsprechende Lösungskugel ja gar nicht auf die Waage gelegt worden sein, und dann wüsste man nicht, ob sie schwerer oder leichter ist, wenn sie die abweichende ist). Außerdem steht immer in der unteren Zelle das "Gegenteil" der oberen, wenn man L gegen R austauscht. Zuletzt müssen an jeder Position gleich viele L, R und = vorkommen, weil alle vier Wägungen von der Form 4+4/4 sind (was ich nicht bewiesen habe - aber ich vermute, dass ein statisches Verfahren für 12 Kugeln nur so gelingt). Mit etwas Herumbasteln findet man dann Tabellenwerte, die diese Bedingungen erfüllen - das ist dann aber eine typische "Lösung, die vom Himmel fällt".

Die Frage ist: Gibt es eine bessere, schönere, "elegantere" Erklärung für ein (bestimmtes) statisches Verfahren? Bei den Zahlen 12 und 3 fallen einem schon andere mathematische Dinge ein: Ein 3-dimensionaler Würfel hat 12 Kanten. Außerdem hat ein Würfel, wenn man auf eine Spitze schaut, eine dreifache Rotationssymmetrie. Es ist mir aber nicht gelungen, aus diesen geometrischen Vorstellungen ein statisches Verfahren "herauszukitzeln" - der Würfel ist "zu symmetrisch dazu". Hat jemand eine Idee, wie das gehen könnte?

[[Kategorie:Denksport Loesung]]</text>
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    <text bytes="26591" xml:space="preserve">Es gibt zwar schon eine Lösung zum [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln Problem der Waage und der 12 Kugeln] - aber dort steht praktisch nichts mathematisch Interessantes: Nicht, wie man die Lösung findet, nicht, welche weiteren ähnlichen Probleme man sich stellen kann ... ich versuche es hier, besser zu machen.

Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt, gibt es zwei Arten von Lösungen:
* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist, oder die leichtere leichter - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jede der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem die Waage links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also höchstens 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 24 nicht mehr ist als 27, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte ist. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
Die erste Wägung kann drei Ergebnisse haben:
# Waage geht links herunter: Dann wissen wir, dass ''entweder'' unter den linken vier Kugeln die eine schwerere ist ''oder'' unter den rechten vier die eine leichtere.
# Waage geht rechts herunter: Entweder ist unter den vier rechts die schwerere; oder links die leichtere.
# Waage bleibt im Gleichgewicht: Unter den vier neben der Waage ist die abweichende.
Statt weiterhin so lange Texte zu schreiben, müssen wir das kürzer hinschreiben können - nach dem alten Mathematikerspruch: "''Die richtige Notation ist die halbe Lösung''". Ich verwende einmal die folgenden Buchstaben:
* Wenn eine Kugel nur mehr eine schwerere sein kann (aber vielleicht auch eine der 11 gleich schweren - ich nenne die "normal"), dann soll dafür der Buchstabe S stehen; 
* wenn sie nur eine leichtere oder eine normale sein kann, dann steht dafür L;
* und wenn sie schwerer oder leichter oder normal sein kann, dann wird das mit X gekennzeichnet.
* Wenn eine Kugel schließlich sicher "normal" ist, dann wird sie mit N bezeichnet.
Die drei Möglichkeiten oben ergeben also:
# SSSS + LLLL / NNNN (durch + trenne ich die beiden Gruppen, die auf der Waage liegen; nach dem / stehen die Kugeln, die neben der Waage liegen und die uns "gerade noch interessieren").
# LLLL + SSSS / NNNN
# NNNN + NNNN / XXXX
Wir kümmern uns einmal um den dritten Fall - er sieht irgendwie leichter aus, weil wir nur mehr vier Kugeln betrachten müssen ... von denen wir allerdings praktisch nichts wissen! Aber probieren wir einmal: Wir legen links zwei der X-Kugeln, rechts die zwei anderen. Dann haben wir folgende möglichen Ergebnisse:
# links runter: SS + LL
# rechts runter: LL + SS
# Gleichgewicht: kann nicht sein (weil wir ja aus der ersten Wägung wissen, dass eine der vier die abweichende sein muss!).
Im ersten Fall gibt es noch immer ''vier'' mögliche Lösungen (eine der zwei S ist die schwerere; oder eine der beiden L ist die leichtere). Die eine letzte Wägung kann aber nur ''drei'' Möglichkeiten unterscheiden - damit ist die Aufteilung 2+2 nicht ok. Also dann 1+1, mit folgenden Ergebnissen:
# links runter: S + L / NN
# rechts runter: L + S / NN
# Gleichgewicht: N + N / XX
Den ersten und zweiten Fall könnten wir lösen: Im ersten Fall müssen wir nur die S-Kugeln mit einer N-Kugel vergleichen - wenn Gleichgewicht, dann ist die (danebenliegende) L-Kugel die leichtere, wenn S-Kugel nach unten geht, ist sie die schwerere. Aber im dritten Fall bleiben mit den XX ''vier'' Möglichkeiten übrig, die wir wieder mit den ''drei'' möglichen Ergebnissen einer Wägung nicht lösen können.

Weder 1+1 noch 2+2 funktioniert also bei der zweiten Wägung - wir brauchen eine "schrägere Idee"!

Hier ist sie: 2+1! Das geht natürlich nicht direkt (siehe Erklärung ganz am Anfang), aber wir können rechts eine weitere N-Kugel dazulegen. Wir legen also hin: XX + XN / X (die vierte X liegt auf der Seite) und haben nur folgende Fälle:
# links runter: SS + LN / N (entweder eine der schwereren zieht links runter; oder rechts ist die leichtere)
# rechts runter: LL + SN / N
# Gleichgewicht: NN + NN / X
Wir haben nur mehr eine Wägung frei - aber das könnte sich nun ausgehen!

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach NNNN+NNNN/XXXX - die "AAB-Konfiguration" ==
Der dritte Fall aus der vorherigen Wägung ist leicht: Wir vergleichen die danebenliegende Kugel (die ja sicher die gesuchte sein muss! - alle anderen sind nun als N bewiesen) mit einer beliebigen N-Kugel, mit folgenden Ergebnissen: 
# links runter: S + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: L + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist leichter.
# Gleichgewicht: unmöglich
Was tun wir mit den anderen beiden Fällen aus der vorherigen Wägung? Aus der ersten Wägung erhalten wir drei Kugeln, von denen wir wissen, dass sie SSL sind: Also entweder ist die erste oder die zweite die zu schwere, oder die dritte die zu leichte. Es gibt mehrere Arten, mit einer Wägung die richtige zu finden - hier ist eine: Man legt die beiden S auf die Waage und erhält dann:
# links runter: S + N --&gt; die linke ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: N + S --&gt; die rechte ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# Gleichgewicht: N + N --&gt; die danebenliegende  ist die gesuchte, und sie ist leichter.
Wenn wir bei der zweiten Wägung den zweiten Fall hatten (LL+SN/N), dann können wir mit den drei LLS-Kugeln dasselbe Spiel spielen: L+L vergleichen - wo's raufgeht, ist die gesuchte, und sie ist leichter; bei Gleichgewicht ist's die danebenliegende, und sie ist schwerer.

Die beiden Fälle haben ein gleichartiges Muster: Aus zwei gleich markierten Kugeln (SS oder LL) und einer dritten, die ebenfalls schon mit S oder L markiert ist, kann man mit einer Wägung die Lösung finden ... ich nenne das eine AAB-Konfiguration, die uns hoffentlich bei dem komplizierteren SSSS+LLLL/NNNN-Fall aus der ersten Wägung weiterhilft!

== Die zweite und dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
In diesem Fall wissen wir, dass links vier S-Kugeln liegen, rechts vier L-Kugeln. Wie weiter? Wenn wir schnell zu einer AAB-Konfiguration kommen, dann würden wir für viele Fälle die Lösung mit einer weiteren Wägung haben! Also probieren wir's ... nach einigem Herumprobieren bin ich auf folgendes gekommen: Man wiegt SSL + SSL / LL, mit folgenden Ergebnissen: 
# Waage geht links herunter: Entweder ist eine der beiden linken SS die gesuchte (und schwerer), oder die rechte L ist die gesuchte (und leichter). Man hat also drei Kugeln als SSL identifiziert, also eine AAB-Konfiguration gefunden! 
# Wenn die Waage rechts heruntergeht, dann hat man die anderen SSL als AAB identifiziert. 
# Und bei Gleichgewicht schließlich hat man die beiden LL als mögliche Lösungen identifiziert. Man kann sie direkt  gegeneinander wiegen - wo's raufgeht, liegt die gesuchte leichtere. Man kann aber auch, "mathematiker-artig", eine N dazulegen und hat dann diesen Fall "auf eine AAB-Konfiguration" zurückgeführt ... das macht hier keinen Unterschied, hilft uns aber vielleicht bei anderen Problemen später! 
In allen drei Fällen ist man also bei AAB angelangt - man findet dann also mit einer einzigen weiteren (dritten) Wägung die gesuchte Kugel. 

Damit haben wir ein dynamisches Lösungsverfahren für das 12-Kugel-Problem gefunden! In Kürze - ich bezeichne die 12 Kugeln mit a,b,...,k,l: 

1. Wägung: abcd+efgh/ijkl 

'''Bei Gleichgewicht der ersten Wägung: ''' 

2. Wägung: ij+ka/l 

3. Wägung: Bei Gleichgewicht: l mit a, sonst ijk mit AAB-Konfiguration (ij+ka geht links runter: ijk=SSL; ij+ka geht rechts runter: ijk=LLS). 

'''Wenn erste Wägung links runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist SSL+SSL/LL 

Bei Gleichgewicht: ghi mit AAB-Konfiguration (LLN). 

Wenn links runter: abf ist SSL, also AAB-Konfiguration; wenn rechts unter: cde ist SSL, also AAB. 

'''Wenn erste Wägung rechts runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist LLS+LLS/S - ist symmetrisch zu "links runter". 

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
Bei dynamischen Verfahren wiegt man nur so wenige Kugeln, wie nötig sind. Es ist aber klar, dass man bei jeder Wägung links und rechts gleich viele N-Kugeln dazustapeln kann, ohne dass sich am Ergebnis was ändert. Was das bringen soll? Nun, man könnte die Wägungen, die man beim dynamischen Verfahren entweder/oder macht, nun ''zugleich'' machen! Und wenn man die Wägungen dabei immer gleich kombinieren kann, dann würde ein Verfahren herauskommen, wo man nicht verschiedene Gruppen je nach vorherigen Ergebnissen wiegt, sondern immer die gleichen - also ein statisches Verfahren!

Probieren wir das einmal: Die erste Wägung ist natürlich gleich - wir können ja, wie weiter oben ausgerechnet, nur mit einer 4+4-Wägung anfangen, und zu diesem Zeitpunkt ist es noch egal, welche Kugeln wir wählen. Die erste Wägung ist also abcd+efgh/ijkl (mit den Bezeichnungen aus dem letzten Abschnitt).

Zweite Wägung: In den beiden Ungleichgewichtsfällen haben wir hier beim dynamischen Verfahren schon beide Male dasselbe ausgeführt, nämlich abe+cdf/gh - das war also schon ein "klein wenig statisch". Im Gleichgewichtsfall kommt nun noch ij+ka/l dazu ... aber das können wir nicht zugleich abwiegen, weil dann auf der a-Seite 4 Kugeln liegen, auf der anderen aber 5 - so geht das nicht. Was tun???

Wir schauen uns die zweite dynamische Wägung noch einmal an: Sie ist ja abe+cdf/gh und hat im ''Gleichgewichtsfall'' eine etwas "schmalere" nächste Wägung ergeben, nämlich nur mehr g+h. Wir könnten diese Wägung zu AAB "auffetten", sodass bei der zweiten Wägung weniger auf der Waage liegt = "Platz für ij+ka wird". Konkret:

Wir bauen unser dynamisches Verfahren so um, dass bei der zweiten Wägung abe+cdi/fgh gewogen wird (statt f nehmen wir also i, was sicher eine neutrale Kugel ist). Wenn die erste Wägung links nach unten ging, sind diese Kugeln SSL+SSN/LLL markiert. Was sind die möglichen Ergebnisse?
# links runter: abi=SSN ist AAB, was mit einer Wägung zu entscheiden ist.
# rechts runter: ecd=LSS, also ist cde AAB - ebenfalls mit einer Wägung zu entscheiden.
# Gleichgewicht: fgh=LLL, also AAB  - auch mit einer Wägung zu entscheiden.
Wenn die erste Wägung rechts nach unten ging, kommt symmetrisch auch raus, dass eine weitere Wägung reicht.

Nun aber können wir abe+cdi/fgh mit ka+ij/l (die umgedrehte zweite Wägung aus dem dynamischen Verfahren, wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war) kombinieren und erhalten als zweite Wägung:

abek+cdij/fghl

Wie gehen wir mit dem Ergebnis dieser Wägung um? Ungefähr so: Wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war, dann wissen wir ja, dass a...h alle neutral sind, daher haben wir eigentlich nur ak+ij/l gewogen und können dieselben Schlüsse ziehen wie beim dynamischen Verfahren. Wenn aber die erste Wägung nach links ging, dann waren ja sicher i...l neutral, wir haben also praktisch abe+cdi/fgh gewogen und können auch passenden Schlüsse ziehen. Und dasselbe geht auch, wenn die erste Wägung nach rechts ging.

Zwei Wägungen sind also schon "statisch" - wir brauchen noch die dritte. Dazu müssen wir einmal alle dritten Wägungen aus dem dynamischen Verfahren aufsammeln. Der Reihe nach sind das:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
* nocheinmal die drei letzten Wägungen, weil die Ergebnisse symmetrisch sind (a+b/i ist nun LLN statt SSN, kann aber mit der gleichen Wägung entschieden werden)
Direkt lassen sich diese Wägungen nicht kombinieren, weil i einmal verwogen werden muss (zweite Zeile), einmal auf der Seite liegen muss (dritte Zeile). Mhm.

Eine Idee: AAB kann man nicht nur durch Verwiegen der zwei A-Kugeln entscheiden, sondern auch anders - allerdings nur, wenn A und B verschieden sind (also z.B. AAB=SSL): Dann kann man auf eine Seite SL legen, auf die andere NN. Wenn die Waage links runter geht, dann ist S die gesuchte (und schwerer), wenn sie rechts runtergeht, dann ist L die gesuchte (und leichter). Wir können also aus ijk=SSL oder LLS (siehe die Kurzbeschreibung im letzten Kapitel!) jk gegen zwei N-Kugeln verwiegen:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* &lt;u&gt;jk+nn/i&lt;/u&gt;
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Schaffen wir es, auf eine Seite vier Kugeln zu legen? Es geht sich nicht aus :-(

Das mit dem jk war vielleicht doch keine so gute Idee, weil nun eine Kugel mehr auf die Waage kam. Also zurück zur vorherigen Liste:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Können wir a+b/i "drehen", sodass i auf der Waage liegt? abi war ja SSN oder LLN, und hier könnten wir statt a+b auch gern a+i wiegen: Bei Gleichgewicht ist dann b die gesuchte! Also müsste als dritte Wägung auch eine Summe aus Folgendem funktionieren (die ersten zwei Wägungen habe ich schon passend umgedreht):
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* &lt;u&gt;i+a/b&lt;/u&gt;
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Und als "Summe" erhalten wir:

licf+ajdg/kbeh

Es sieht so aus, als hätten wir ein statisches Verfahren gefunden! - mit folgenden Wägungen (die Buchstaben habe ich jeweils aufsteigend sortiert):
* abcd+efgh/ijkl
* abek+cdij/fghl
* cfil+adgj/behk
Schauen wir, ob es funktioniert, indem wir für alle möglichen Lösungen die Wäge-Ergebnisse aufschreiben - sie müssen sich alle unterscheiden! L bedeutet hier "Waage senkt sich links", R "Waage senkt sich rechts", = "Waage bleibt im Gleichgewicht":
{| class="article-table"
!
!a
!b
!c
!d
!e
!f
!g
!h
!i
!j
!k
!l
!
|-
|schwerer
|LLR
|LL=
|LRL
|LRR
|RL=
|R=L
|R=R
|R==
|=RL
|=RR
|=L=
|==L
|
|-
|leichter
|RRL
|RR=
|RLR
|RLL
|LR=
|L=R
|L=L
|L==
|=LR
|=LL
|=R=
|==R
|
|}
Tatsächlich!! - es hat funktioniert - alle Wägeergebnisse sind verschieden.

Ich höre hier mit den statischen Verfahren auf - manche Leute haben noch nette Tricks gefunden, wie man die drei Zeichen L, R und = als ternäre Ziffern interpretiert, sodass man sich nicht die Tabelle merken muss, sondern sich die Nummer der abweichenden Kugel aus dem Wägeergebnis als Zahl im Dreiersystem ausrechnen kann. Ein Beispiel dafür ist die andere Lösung, die [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln,_L%C3%B6sung hier] angegeben ist.

Ich schaue mir aber noch schnell das Problem für andere Zahlen von Wägungen an!

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
Keine. Tatsächlich. Warum?

Das mindeste, was man zum Verwiegen braucht, sind zwei Kugeln. Wenn man die aber beide auf die Waage legt und sie sich links senkt, dann weiß man nicht, ob die linke schwerer oder die rechte leichter ist! Auch rechnerisch kann man sich das überlegen: Eine Wägung kann drei Ergebnisse unterscheiden, bei zwei Kugeln gibt es aber schon vier Möglichkeiten (erste schwerer, erste leichter, zweite schwerer, zweite leichter). Allerdings ist auch bei zwei Kugeln das Rätsel nicht sinnvoll: Denn ist nun die erste schwerer oder die zweite leichter?

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
Zwei Wägungen können 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9 Fälle unterscheiden, also prinzipiell das Problem für 4 Kugeln lösen. Überlegen wir, wie man das machen kann:
* Entweder wiegt man zuerst ab+cd. Dann hat man z.B. bei Ausschlag der Waage nach links noch vier Fälle (ab+cd=SS+LL), die man aber mit einer Wägung nicht vollständig entscheiden kann.
* Versuchen wir's also mit a+b/cd. Nun hat man aber bei Gleichgewicht cd=XX, also wieder vier Fälle, die nicht mit der zweiten Wägung zu entscheiden sind.
Also lassen sich mit zwei Wägungen das Rätsel für höchstens drei Kugeln entscheiden:
* Erste Wägung: a+b/c
* Bei Gleichheit 2.Wägung c+a=X+N, bei Ungleichheit ebenfalls c+a, aber nun als N+X.
Es ist schon erstaunlich, dass nur eine weitere Wägung die Zahl dann von 3 auf 12 hochkatapultiert!

== Kann man mit drei Wägungen auch 13 Kugeln lösen? ==
Für 13 Kugeln gibt es 26 mögliche Lösungen. Das ist noch immer weniger als 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27 - man könnte also hoffen, dass man mit 3 Wägungen auch die "falsche" aus 13 herausfinden kann. Geht das?

Bei der ersten Wägung könnten wir (wie bei 12-Kugeln) 4+4 Kugeln auf die Waage legen - dann bleiben aber im Gleichgewichtsfall 5 daneben liegen, mit 10 möglichen Ergebnissen (jede kann entweder die schwerere oder die leichtere sein), was sich mit zwei weiteren Wägungen nicht vollständg lösen lässt (weil 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9&lt;10). 

Wenn man aber 5+5 Kugeln auf die Waage legt, scheitern wir bei Nicht-Gleichgewicht, wie schon im ersten Abschnitt erklärt. 12 Kugeln ist also tatsächlich das Maximum für drei Wägungen.

== Der Witz der Zusatzkugel ==
Bevor ich hier zum "highlight" komme, nämlich der Anzahl der Kugeln, die man mit vier Wägungen "lösen" kann, noch ein Zwischenproblem: Nehmen wir an, wir hätten nicht nur die gegebenen Kugeln, sondern zusätzlich noch eine Kugel, von der wir sicher wissen, dass sie "normal" ist - was ändert das dann an der Anzahl an lösbaren Kugeln?

(Wie ich auf diese Frage komme? - naja, bei den 4 XXXX-Kugeln der 2. Wägung beim 12-Kugelproblem hat man ja eine solche Kugel zu den 2+1 dazugetan, und das hat "megamäßig" geholfen ...). Also:
* Mit einer Wägung kann man nun plötzlich doch für eine Kugel entscheiden, ob sie zu leicht oder zu schwer ist.
* Mit zwei Wägungen kann man aus 4 Kugeln die richtige herausfinden (sieht man ja bei der 2. Wägung des 12-Kugelproblems).
* Mit drei Wägungen: Hier können wir nun bei der ersten Wägung links 4 Kugeln und die N-Kugel, rechts 5 Kugeln drauflegen! Bei Ungleichgewicht gibt es dann noch 9 mögliche Lösungen, was genau gleich der Maximalanzahl 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; ist, die wir mit den restlichen zwei Wägungen noch lösen können - es könnte sich also ausgehen! Und damit könnten wir das Problem dann auch für ''13'' Kugeln lösen! (im Gleichgewichtsfall geht's so wie bei 12 Kugeln weiter). Probieren wir's: Wir haben nach Ungleichgewicht nun SSSS und LLLLL (oder LLLL und SSSSS - aber das ist symmetrisch zu lösen). In der zweiten Wägung können wir nun SSL+SSL/LLL wiegen - und was auch immer herauskommt, wir haben ein AAB in der Hand: Entweder die linken zwei SS und die rechte L, oder die rechten zwei SS und die linke L, oder die danebenliegenden LLL - wir sind also nach einer weiteren Wägung fertig!
Erkenntnis: Mit einer Zusatz-Normalkugel kann man - zumindest bei einer, zwei und drei Wägungen - die "theoretische Maximalanzahl", nämlich [3&lt;sup&gt;''k''&lt;/sup&gt;/2] Kugeln entscheiden, wo ''k'' die Anzahl der Wägungen ist ([''x''] bezeichnet dabei die größte ganze Zahl kleiner oder gleich ''x''):
* ''k'' = 1: [3&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;/2] = [3/2] = 1
* ''k'' = 2: [3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;/2] = [9/2] = 4
* ''k'' = 3: [3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;/2] = [27/2] = 13

== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
Viele. Aber wie viele?
Berechnen wir zuerst den absoluten Maximalwert: Vier Wägungen können 3&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=81 unterscheiden. Damit ließe sich im Idealfall aus 40 Kugeln die eine schwerere oder leichtere herausfinden, weil es dann 2*40=80 mögliche Lösungen gibt. Aber sind es tatsächlich so viele?

Für eine genauere Einschränkung schauen wir uns - wie gerade für drei Wägungen - die erste Wägung an: Wir legen dort ''x''+''x'' Kugeln auf die Waage, ''y'' lassen wir daneben liegen. ''y'' kann höchstens 13 sein, weil wir aus diesen Kugeln ja mit drei Wägungen das Ergebnis finden müssen (aus dem letzten Abschnitt wissen wir, dass wir ''mit einer zusätzlichen Normalkugel'' in 3 Wägungen 13 Kugeln entscheiden können! - hier haben wir im Gleichgewichtsfall sicher viel mehr Normalkugeln zur Verfügung).

Damit ''x''+''x''+''y'' höchstens 40 ist, darf ''x'' höchstens 13 sein. Wenn wir 13+13 Kugeln verwiegen und die Waage ''nicht'' im Gleichgewicht bleibt, haben wir noch 26 mögliche Lösungen - weniger als die 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27, die wir mit den restlichen 3 Wägungen entscheiden können, daher kann sich das ausgehen! Daher ''könnte'' die Maximalzahl für vier Wägungen 13+13+13=39 Kugeln sein.

Und tatsächlich glaube ich, dass ich für 39 Kugeln ein dynamisches Lösungsverfahren gefunden habe ... das ich hier aber nicht verrate: Das kann jeder, der bis hierher gekommen ist, selber finden!

Und wenn man wieder eine weitere Normalkugel dazulegt, dann geht es wieder mit 40 Kugeln, denke ich! ...

== Die abschließende große Hypothese ==
Es scheint, dass man einen vollständigen Induktionsbeweis führen können müsste, dass
* mit einer Zusatz-Normalkugel in ''k'' Wägungen die "unpassende" aus [3&lt;sup&gt;''k''&lt;/sup&gt;/2] Kugeln gefunden werden kann;
* ohne eine Zusatz-Normalkugel in ''k'' Wägungen die "unpassende" aus [3&lt;sup&gt;''k''&lt;/sup&gt;/2 - 1] Kugeln gefunden werden kann.
Diesen Beweis ordentlich zu führen, überlasse ich gern anderen :-)

== Offene Frage: Kann ein statisches Verfahren immer gleich viele Kugeln leisten wie ein dynamisches mit gleich viel Wägungen? ==
Mit drei Wägungen kann man höchstens 12 Kugeln lösen - sowohl mit einem dynamischen wie mit einem statischen Verfahren. Auch bei zwei Wägungen sind dynamisches und statisches Verfahren gleich mächtig, und bei einer Wägung sowieso. Aber gilt das allgemein? Gibt es immer, wenn es ein dynamisches Verfahren gibt, auch ein statisches Verfahren? Das ist nicht offensichtlich, weil das dynamische Verfahren ja "mehr Information in sich zurückspeist". Ich habe aber keine Ahnung, wie ein Beweis aussieht, der zu einem dynamischen Verfahren immer ein statisches konstruieren kann.

== Offene Frage: Kann man das statische Verfahren eleganter entwickeln? ==
Das statische Verfahren habe ich oben durch "Umbau" des dynamischen Verfahrens gefunden.

Man kann auch direkt versuchen, die oben gezeigte Tabelle für das statische Verfahren auszufüllen. Dazu muss man sich zuerst klar machen, dass die Kombination === in keinem Feld stehen kann (denn dann würde die entsprechende Lösungskugel ja gar nicht auf die Waage gelegt worden sein, und dann wüsste man nicht, ob sie schwerer oder leichter ist, wenn sie die abweichende ist). Außerdem steht immer in der unteren Zelle das "Gegenteil" der oberen, wenn man L gegen R austauscht. Zuletzt müssen an jeder Position gleich viele L, R und = vorkommen, weil alle vier Wägungen von der Form 4+4/4 sind (was ich nicht bewiesen habe - aber ich vermute, dass ein statisches Verfahren für 12 Kugeln nur so gelingt). Mit etwas Herumbasteln findet man dann Tabellenwerte, die diese Bedingungen erfüllen - das ist dann aber eine typische "Lösung, die vom Himmel fällt".

Die Frage ist: Gibt es eine bessere, schönere, "elegantere" Erklärung für ein (bestimmtes) statisches Verfahren? Bei den Zahlen 12 und 3 fallen einem schon andere mathematische Dinge ein: Ein 3-dimensionaler Würfel hat 12 Kanten. Außerdem hat ein Würfel, wenn man auf eine Spitze schaut, eine dreifache Rotationssymmetrie. Es ist mir aber nicht gelungen, aus diesen geometrischen Vorstellungen ein statisches Verfahren "herauszukitzeln" - der Würfel ist "zu symmetrisch dazu". Hat jemand eine Idee, wie das gehen könnte?

[[Kategorie:Denksport Loesung]]</text>
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    <text bytes="26592" xml:space="preserve">Es gibt zwar schon eine Lösung zum [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln Problem der Waage und der 12 Kugeln] - aber dort steht praktisch nichts mathematisch Interessantes: Nicht, wie man die Lösung findet, nicht, welche weiteren ähnlichen Probleme man sich stellen kann ... ich versuche es hier, besser zu machen.

Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt, gibt es zwei Arten von Lösungen:
* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist, oder die leichtere leichter - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jede der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem die Waage links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also höchstens 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 24 nicht mehr ist als 27, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte ist. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
Die erste Wägung kann drei Ergebnisse haben:
# Waage geht links herunter: Dann wissen wir, dass ''entweder'' unter den linken vier Kugeln die eine schwerere ist ''oder'' unter den rechten vier die eine leichtere.
# Waage geht rechts herunter: Entweder ist unter den vier rechts die schwerere; oder links die leichtere.
# Waage bleibt im Gleichgewicht: Unter den vier neben der Waage ist die abweichende.
Statt weiterhin so lange Texte zu schreiben, müssen wir das kürzer hinschreiben können - nach dem alten Mathematikerspruch: "''Die richtige Notation ist die halbe Lösung''". Ich verwende einmal die folgenden Buchstaben:
* Wenn eine Kugel nur mehr eine schwerere sein kann (aber vielleicht auch eine der 11 gleich schweren - ich nenne die "normal"), dann soll dafür der Buchstabe S stehen; 
* wenn sie nur eine leichtere oder eine normale sein kann, dann steht dafür L;
* und wenn sie schwerer oder leichter oder normal sein kann, dann wird das mit X gekennzeichnet.
* Wenn eine Kugel schließlich sicher "normal" ist, dann wird sie mit N bezeichnet.
Die drei Möglichkeiten oben ergeben also:
# SSSS + LLLL / NNNN (durch + trenne ich die beiden Gruppen, die auf der Waage liegen; nach dem / stehen die Kugeln, die neben der Waage liegen und die uns "gerade noch interessieren").
# LLLL + SSSS / NNNN
# NNNN + NNNN / XXXX
Wir kümmern uns einmal um den dritten Fall - er sieht irgendwie leichter aus, weil wir nur mehr vier Kugeln betrachten müssen ... von denen wir allerdings praktisch nichts wissen! Aber probieren wir einmal: Wir legen links zwei der X-Kugeln, rechts die zwei anderen. Dann haben wir folgende möglichen Ergebnisse:
# links runter: SS + LL
# rechts runter: LL + SS
# Gleichgewicht: kann nicht sein (weil wir ja aus der ersten Wägung wissen, dass eine der vier die abweichende sein muss!).
Im ersten Fall gibt es noch immer ''vier'' mögliche Lösungen (eine der zwei S ist die schwerere; oder eine der beiden L ist die leichtere). Die eine letzte Wägung kann aber nur ''drei'' Möglichkeiten unterscheiden - damit ist die Aufteilung 2+2 nicht ok. Also dann 1+1, mit folgenden Ergebnissen:
# links runter: S + L / NN
# rechts runter: L + S / NN
# Gleichgewicht: N + N / XX
Den ersten und zweiten Fall könnten wir lösen: Im ersten Fall müssen wir nur die S-Kugeln mit einer N-Kugel vergleichen - wenn Gleichgewicht, dann ist die (danebenliegende) L-Kugel die leichtere, wenn S-Kugel nach unten geht, ist sie die schwerere. Aber im dritten Fall bleiben mit den XX ''vier'' Möglichkeiten übrig, die wir wieder mit den ''drei'' möglichen Ergebnissen einer Wägung nicht lösen können.

Weder 1+1 noch 2+2 funktioniert also bei der zweiten Wägung - wir brauchen eine "schrägere Idee"!

Hier ist sie: 2+1! Das geht natürlich nicht direkt (siehe Erklärung ganz am Anfang), aber wir können rechts eine weitere N-Kugel dazulegen. Wir legen also hin: XX + XN / X (die vierte X liegt auf der Seite) und haben nur folgende Fälle:
# links runter: SS + LN / N (entweder eine der schwereren zieht links runter; oder rechts ist die leichtere)
# rechts runter: LL + SN / N
# Gleichgewicht: NN + NN / X
Wir haben nur mehr eine Wägung frei - aber das könnte sich nun ausgehen!

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach NNNN+NNNN/XXXX - die "AAB-Konfiguration" ==
Der dritte Fall aus der vorherigen Wägung ist leicht: Wir vergleichen die danebenliegende Kugel (die ja sicher die gesuchte sein muss! - alle anderen sind nun als N bewiesen) mit einer beliebigen N-Kugel, mit folgenden Ergebnissen: 
# links runter: S + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: L + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist leichter.
# Gleichgewicht: unmöglich
Was tun wir mit den anderen beiden Fällen aus der vorherigen Wägung? Aus der ersten Wägung erhalten wir drei Kugeln, von denen wir wissen, dass sie SSL sind: Also entweder ist die erste oder die zweite die zu schwere, oder die dritte die zu leichte. Es gibt mehrere Arten, mit einer Wägung die richtige zu finden - hier ist eine: Man legt die beiden S auf die Waage und erhält dann:
# links runter: S + N --&gt; die linke ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: N + S --&gt; die rechte ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# Gleichgewicht: N + N --&gt; die danebenliegende  ist die gesuchte, und sie ist leichter.
Wenn wir bei der zweiten Wägung den zweiten Fall hatten (LL+SN/N), dann können wir mit den drei LLS-Kugeln dasselbe Spiel spielen: L+L vergleichen - wo's raufgeht, ist die gesuchte, und sie ist leichter; bei Gleichgewicht ist's die danebenliegende, und sie ist schwerer.

Die beiden Fälle haben ein gleichartiges Muster: Aus zwei gleich markierten Kugeln (SS oder LL) und einer dritten, die ebenfalls schon mit S oder L markiert ist, kann man mit einer Wägung die Lösung finden ... ich nenne das eine AAB-Konfiguration, die uns hoffentlich bei dem komplizierteren SSSS+LLLL/NNNN-Fall aus der ersten Wägung weiterhilft!

== Die zweite und dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
In diesem Fall wissen wir, dass links vier S-Kugeln liegen, rechts vier L-Kugeln. Wie weiter? Wenn wir schnell zu einer AAB-Konfiguration kommen, dann würden wir für viele Fälle die Lösung mit einer weiteren Wägung haben! Also probieren wir's ... nach einigem Herumprobieren bin ich auf folgendes gekommen: Man wiegt SSL + SSL / LL, mit folgenden Ergebnissen: 
# Waage geht links herunter: Entweder ist eine der beiden linken SS die gesuchte (und schwerer), oder die rechte L ist die gesuchte (und leichter). Man hat also drei Kugeln als SSL identifiziert, also eine AAB-Konfiguration gefunden! 
# Wenn die Waage rechts heruntergeht, dann hat man die anderen SSL als AAB identifiziert. 
# Und bei Gleichgewicht schließlich hat man die beiden LL als mögliche Lösungen identifiziert. Man kann sie direkt  gegeneinander wiegen - wo's raufgeht, liegt die gesuchte leichtere. Man kann aber auch, "mathematiker-artig", eine N dazulegen und hat dann diesen Fall "auf eine AAB-Konfiguration" zurückgeführt ... das macht hier keinen Unterschied, hilft uns aber vielleicht bei anderen Problemen später! 
In allen drei Fällen ist man also bei AAB angelangt - man findet dann also mit einer einzigen weiteren (dritten) Wägung die gesuchte Kugel. 

Damit haben wir ein dynamisches Lösungsverfahren für das 12-Kugel-Problem gefunden! In Kürze - ich bezeichne die 12 Kugeln mit a,b,...,k,l: 

1. Wägung: abcd+efgh/ijkl 

'''Bei Gleichgewicht der ersten Wägung: ''' 

2. Wägung: ij+ka/l 

3. Wägung: Bei Gleichgewicht: l mit a, sonst ijk mit AAB-Konfiguration (ij+ka geht links runter: ijk=SSL; ij+ka geht rechts runter: ijk=LLS). 

'''Wenn erste Wägung links runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist SSL+SSL/LL 

Bei Gleichgewicht: ghi mit AAB-Konfiguration (LLN). 

Wenn links runter: abf ist SSL, also AAB-Konfiguration; wenn rechts unter: cde ist SSL, also AAB. 

'''Wenn erste Wägung rechts runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist LLS+LLS/S - ist symmetrisch zu "links runter". 

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
Bei dynamischen Verfahren wiegt man nur so wenige Kugeln, wie nötig sind. Es ist aber klar, dass man bei jeder Wägung links und rechts gleich viele N-Kugeln dazustapeln kann, ohne dass sich am Ergebnis was ändert. Was das bringen soll? Nun, man könnte die Wägungen, die man beim dynamischen Verfahren entweder/oder macht, nun ''zugleich'' machen! Und wenn man die Wägungen dabei immer gleich kombinieren kann, dann würde ein Verfahren herauskommen, wo man nicht verschiedene Gruppen je nach vorherigen Ergebnissen wiegt, sondern immer die gleichen - also ein statisches Verfahren!

Probieren wir das einmal: Die erste Wägung ist natürlich gleich - wir können ja, wie weiter oben ausgerechnet, nur mit einer 4+4-Wägung anfangen, und zu diesem Zeitpunkt ist es noch egal, welche Kugeln wir wählen. Die erste Wägung ist also abcd+efgh/ijkl (mit den Bezeichnungen aus dem letzten Abschnitt).

Zweite Wägung: In den beiden Ungleichgewichtsfällen haben wir hier beim dynamischen Verfahren schon beide Male dasselbe ausgeführt, nämlich abe+cdf/gh - das war also schon ein "klein wenig statisch". Im Gleichgewichtsfall kommt nun noch ij+ka/l dazu ... aber das können wir nicht zugleich abwiegen, weil dann auf der a-Seite 4 Kugeln liegen, auf der anderen aber 5 - so geht das nicht. Was tun???

Wir schauen uns die zweite dynamische Wägung noch einmal an: Sie ist ja abe+cdf/gh und hat im ''Gleichgewichtsfall'' eine etwas "schmalere" nächste Wägung ergeben, nämlich nur mehr g+h. Wir könnten diese Wägung zu AAB "auffetten", sodass bei der zweiten Wägung weniger auf der Waage liegt = "Platz für ij+ka wird". Konkret:

Wir bauen unser dynamisches Verfahren so um, dass bei der zweiten Wägung abe+cdi/fgh gewogen wird (statt f nehmen wir also i, was sicher eine neutrale Kugel ist). Wenn die erste Wägung links nach unten ging, sind diese Kugeln SSL+SSN/LLL markiert. Was sind die möglichen Ergebnisse?
# links runter: abi=SSN ist AAB, was mit einer Wägung zu entscheiden ist.
# rechts runter: ecd=LSS, also ist cde AAB - ebenfalls mit einer Wägung zu entscheiden.
# Gleichgewicht: fgh=LLL, also AAB  - auch mit einer Wägung zu entscheiden.
Wenn die erste Wägung rechts nach unten ging, kommt symmetrisch auch raus, dass eine weitere Wägung reicht.

Nun aber können wir abe+cdi/fgh mit ka+ij/l (die umgedrehte zweite Wägung aus dem dynamischen Verfahren, wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war) kombinieren und erhalten als zweite Wägung:

abek+cdij/fghl

Wie gehen wir mit dem Ergebnis dieser Wägung um? Ungefähr so: Wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war, dann wissen wir ja, dass a...h alle neutral sind, daher haben wir eigentlich nur ak+ij/l gewogen und können dieselben Schlüsse ziehen wie beim dynamischen Verfahren. Wenn aber die erste Wägung nach links ging, dann waren ja sicher i...l neutral, wir haben also praktisch abe+cdi/fgh gewogen und können auch passenden Schlüsse ziehen. Und dasselbe geht auch, wenn die erste Wägung nach rechts ging.

Zwei Wägungen sind also schon "statisch" - wir brauchen noch die dritte. Dazu müssen wir einmal alle dritten Wägungen aus dem dynamischen Verfahren aufsammeln. Der Reihe nach sind das:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
* nocheinmal die drei letzten Wägungen, weil die Ergebnisse symmetrisch sind (a+b/i ist nun LLN statt SSN, kann aber mit der gleichen Wägung entschieden werden)
Direkt lassen sich diese Wägungen nicht kombinieren, weil i einmal verwogen werden muss (zweite Zeile), einmal auf der Seite liegen muss (dritte Zeile). Mhm.

Eine Idee: AAB kann man nicht nur durch Verwiegen der zwei A-Kugeln entscheiden, sondern auch anders - allerdings nur, wenn A und B verschieden sind (also z.B. AAB=SSL): Dann kann man auf eine Seite SL legen, auf die andere NN. Wenn die Waage links runter geht, dann ist S die gesuchte (und schwerer), wenn sie rechts runtergeht, dann ist L die gesuchte (und leichter). Wir können also aus ijk=SSL oder LLS (siehe die Kurzbeschreibung im letzten Kapitel!) jk gegen zwei N-Kugeln verwiegen:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* &lt;u&gt;jk+nn/i&lt;/u&gt;
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Schaffen wir es, auf eine Seite vier Kugeln zu legen? Es geht sich nicht aus :-(

Das mit dem jk war vielleicht doch keine so gute Idee, weil nun eine Kugel mehr auf die Waage kam. Also zurück zur vorherigen Liste:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Können wir a+b/i "drehen", sodass i auf der Waage liegt? abi war ja SSN oder LLN, und hier könnten wir statt a+b auch gern a+i wiegen: Bei Gleichgewicht ist dann b die gesuchte! Also müsste als dritte Wägung auch eine Summe aus Folgendem funktionieren (die ersten zwei Wägungen habe ich schon passend umgedreht):
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* &lt;u&gt;i+a/b&lt;/u&gt;
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Und als "Summe" erhalten wir:

licf+ajdg/kbeh

Es sieht so aus, als hätten wir ein statisches Verfahren gefunden! - mit folgenden Wägungen (die Buchstaben habe ich jeweils aufsteigend sortiert):
* abcd+efgh/ijkl
* abek+cdij/fghl
* cfil+adgj/behk
Schauen wir, ob es funktioniert, indem wir für alle möglichen Lösungen die Wäge-Ergebnisse aufschreiben - sie müssen sich alle unterscheiden! L bedeutet hier "Waage senkt sich links", R "Waage senkt sich rechts", = "Waage bleibt im Gleichgewicht":
{| class="article-table"
!
!a
!b
!c
!d
!e
!f
!g
!h
!i
!j
!k
!l
!
|-
|schwerer
|LLR
|LL=
|LRL
|LRR
|RL=
|R=L
|R=R
|R==
|=RL
|=RR
|=L=
|==L
|
|-
|leichter
|RRL
|RR=
|RLR
|RLL
|LR=
|L=R
|L=L
|L==
|=LR
|=LL
|=R=
|==R
|
|}
Tatsächlich!! - es hat funktioniert - alle Wägeergebnisse sind verschieden.

Ich höre hier mit den statischen Verfahren auf - manche Leute haben noch nette Tricks gefunden, wie man die drei Zeichen L, R und = als ternäre Ziffern interpretiert, sodass man sich nicht die Tabelle merken muss, sondern sich die Nummer der abweichenden Kugel aus dem Wägeergebnis als Zahl im Dreiersystem ausrechnen kann. Ein Beispiel dafür ist die andere Lösung, die [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln,_L%C3%B6sung hier] angegeben ist.

Ich schaue mir aber noch schnell das Problem für andere Zahlen von Wägungen an!

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
Keine. Tatsächlich. Warum?

Das mindeste, was man zum Verwiegen braucht, sind zwei Kugeln. Wenn man die aber beide auf die Waage legt und sie sich links senkt, dann weiß man nicht, ob die linke schwerer oder die rechte leichter ist! Auch rechnerisch kann man sich das überlegen: Eine Wägung kann drei Ergebnisse unterscheiden, bei zwei Kugeln gibt es aber schon vier Möglichkeiten (erste schwerer, erste leichter, zweite schwerer, zweite leichter). Allerdings ist auch bei zwei Kugeln das Rätsel nicht sinnvoll: Denn ist nun die erste schwerer oder die zweite leichter?

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
Zwei Wägungen können 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9 Fälle unterscheiden, also prinzipiell das Problem für 4 Kugeln lösen. Überlegen wir, wie man das machen kann:
* Entweder wiegt man zuerst ab+cd. Dann hat man z.B. bei Ausschlag der Waage nach links noch vier Fälle (ab+cd=SS+LL), die man aber mit einer Wägung nicht vollständig entscheiden kann.
* Versuchen wir's also mit a+b/cd. Nun hat man aber bei Gleichgewicht cd=XX, also wieder vier Fälle, die nicht mit der zweiten Wägung zu entscheiden sind.
Also lassen sich mit zwei Wägungen das Rätsel für höchstens drei Kugeln entscheiden:
* Erste Wägung: a+b/c
* Bei Gleichheit 2.Wägung c+a=X+N, bei Ungleichheit ebenfalls c+a, aber nun als N+X.
Es ist schon erstaunlich, dass nur eine weitere Wägung die Zahl dann von 3 auf 12 hochkatapultiert!

== Kann man mit drei Wägungen auch 13 Kugeln lösen? ==
Für 13 Kugeln gibt es 26 mögliche Lösungen. Das ist noch immer weniger als 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27 - man könnte also hoffen, dass man mit 3 Wägungen auch die "falsche" aus 13 herausfinden kann. Geht das?

Bei der ersten Wägung könnten wir (wie bei 12-Kugeln) 4+4 Kugeln auf die Waage legen - dann bleiben aber im Gleichgewichtsfall 5 daneben liegen, mit 10 möglichen Ergebnissen (jede kann entweder die schwerere oder die leichtere sein), was sich mit zwei weiteren Wägungen nicht vollständg lösen lässt (weil 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9&lt;10). 

Wenn man aber 5+5 Kugeln auf die Waage legt, scheitern wir bei Nicht-Gleichgewicht, wie schon im ersten Abschnitt erklärt. 12 Kugeln ist also tatsächlich das Maximum für drei Wägungen.

== Der Witz der Zusatzkugel ==
Bevor ich hier zum "highlight" komme, nämlich der Anzahl der Kugeln, die man mit vier Wägungen "lösen" kann, noch ein Zwischenproblem: Nehmen wir an, wir hätten nicht nur die gegebenen Kugeln, sondern zusätzlich noch eine Kugel, von der wir sicher wissen, dass sie "normal" ist - was ändert das dann an der Anzahl an lösbaren Kugeln?

(Wie ich auf diese Frage komme? - naja, bei den 4 XXXX-Kugeln der 2. Wägung beim 12-Kugelproblem hat man ja eine solche Kugel zu den 2+1 dazugetan, und das hat "megamäßig" geholfen ...). Also:
* Mit einer Wägung kann man nun plötzlich doch für eine Kugel entscheiden, ob sie zu leicht oder zu schwer ist.
* Mit zwei Wägungen kann man aus 4 Kugeln die richtige herausfinden (sieht man ja bei der 2. Wägung des 12-Kugelproblems).
* Mit drei Wägungen: Hier können wir nun bei der ersten Wägung links 4 Kugeln und die N-Kugel, rechts 5 Kugeln drauflegen! Bei Ungleichgewicht gibt es dann noch 9 mögliche Lösungen, was genau gleich der Maximalanzahl 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; ist, die wir mit den restlichen zwei Wägungen noch lösen können - es könnte sich also ausgehen! Und damit könnten wir das Problem dann auch für ''13'' Kugeln lösen! (im Gleichgewichtsfall geht's so wie bei 12 Kugeln weiter). Probieren wir's: Wir haben nach Ungleichgewicht nun SSSSN und LLLLL (oder LLLL und SSSSS - aber das ist symmetrisch zu lösen). In der zweiten Wägung können wir nun SSL+SSL/LLL wiegen - und was auch immer herauskommt, wir haben ein AAB in der Hand: Entweder die linken zwei SS und die rechte L, oder die rechten zwei SS und die linke L, oder die danebenliegenden LLL - wir sind also nach einer weiteren Wägung fertig!
Erkenntnis: Mit einer Zusatz-Normalkugel kann man - zumindest bei einer, zwei und drei Wägungen - die "theoretische Maximalanzahl", nämlich [3&lt;sup&gt;''k''&lt;/sup&gt;/2] Kugeln entscheiden, wo ''k'' die Anzahl der Wägungen ist ([''x''] bezeichnet dabei die größte ganze Zahl kleiner oder gleich ''x''):
* ''k'' = 1: [3&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;/2] = [3/2] = 1
* ''k'' = 2: [3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;/2] = [9/2] = 4
* ''k'' = 3: [3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;/2] = [27/2] = 13

== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
Viele. Aber wie viele?
Berechnen wir zuerst den absoluten Maximalwert: Vier Wägungen können 3&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=81 unterscheiden. Damit ließe sich im Idealfall aus 40 Kugeln die eine schwerere oder leichtere herausfinden, weil es dann 2*40=80 mögliche Lösungen gibt. Aber sind es tatsächlich so viele?

Für eine genauere Einschränkung schauen wir uns - wie gerade für drei Wägungen - die erste Wägung an: Wir legen dort ''x''+''x'' Kugeln auf die Waage, ''y'' lassen wir daneben liegen. ''y'' kann höchstens 13 sein, weil wir aus diesen Kugeln ja mit drei Wägungen das Ergebnis finden müssen (aus dem letzten Abschnitt wissen wir, dass wir ''mit einer zusätzlichen Normalkugel'' in 3 Wägungen 13 Kugeln entscheiden können! - hier haben wir im Gleichgewichtsfall sicher viel mehr Normalkugeln zur Verfügung).

Damit ''x''+''x''+''y'' höchstens 40 ist, darf ''x'' höchstens 13 sein. Wenn wir 13+13 Kugeln verwiegen und die Waage ''nicht'' im Gleichgewicht bleibt, haben wir noch 26 mögliche Lösungen - weniger als die 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27, die wir mit den restlichen 3 Wägungen entscheiden können, daher kann sich das ausgehen! Daher ''könnte'' die Maximalzahl für vier Wägungen 13+13+13=39 Kugeln sein.

Und tatsächlich glaube ich, dass ich für 39 Kugeln ein dynamisches Lösungsverfahren gefunden habe ... das ich hier aber nicht verrate: Das kann jeder, der bis hierher gekommen ist, selber finden!

Und wenn man wieder eine weitere Normalkugel dazulegt, dann geht es wieder mit 40 Kugeln, denke ich! ...

== Die abschließende große Hypothese ==
Es scheint, dass man einen vollständigen Induktionsbeweis führen können müsste, dass
* mit einer Zusatz-Normalkugel in ''k'' Wägungen die "unpassende" aus [3&lt;sup&gt;''k''&lt;/sup&gt;/2] Kugeln gefunden werden kann;
* ohne eine Zusatz-Normalkugel in ''k'' Wägungen die "unpassende" aus [3&lt;sup&gt;''k''&lt;/sup&gt;/2 - 1] Kugeln gefunden werden kann.
Diesen Beweis ordentlich zu führen, überlasse ich gern anderen :-)

== Offene Frage: Kann ein statisches Verfahren immer gleich viele Kugeln leisten wie ein dynamisches mit gleich viel Wägungen? ==
Mit drei Wägungen kann man höchstens 12 Kugeln lösen - sowohl mit einem dynamischen wie mit einem statischen Verfahren. Auch bei zwei Wägungen sind dynamisches und statisches Verfahren gleich mächtig, und bei einer Wägung sowieso. Aber gilt das allgemein? Gibt es immer, wenn es ein dynamisches Verfahren gibt, auch ein statisches Verfahren? Das ist nicht offensichtlich, weil das dynamische Verfahren ja "mehr Information in sich zurückspeist". Ich habe aber keine Ahnung, wie ein Beweis aussieht, der zu einem dynamischen Verfahren immer ein statisches konstruieren kann.

== Offene Frage: Kann man das statische Verfahren eleganter entwickeln? ==
Das statische Verfahren habe ich oben durch "Umbau" des dynamischen Verfahrens gefunden.

Man kann auch direkt versuchen, die oben gezeigte Tabelle für das statische Verfahren auszufüllen. Dazu muss man sich zuerst klar machen, dass die Kombination === in keinem Feld stehen kann (denn dann würde die entsprechende Lösungskugel ja gar nicht auf die Waage gelegt worden sein, und dann wüsste man nicht, ob sie schwerer oder leichter ist, wenn sie die abweichende ist). Außerdem steht immer in der unteren Zelle das "Gegenteil" der oberen, wenn man L gegen R austauscht. Zuletzt müssen an jeder Position gleich viele L, R und = vorkommen, weil alle vier Wägungen von der Form 4+4/4 sind (was ich nicht bewiesen habe - aber ich vermute, dass ein statisches Verfahren für 12 Kugeln nur so gelingt). Mit etwas Herumbasteln findet man dann Tabellenwerte, die diese Bedingungen erfüllen - das ist dann aber eine typische "Lösung, die vom Himmel fällt".

Die Frage ist: Gibt es eine bessere, schönere, "elegantere" Erklärung für ein (bestimmtes) statisches Verfahren? Bei den Zahlen 12 und 3 fallen einem schon andere mathematische Dinge ein: Ein 3-dimensionaler Würfel hat 12 Kanten. Außerdem hat ein Würfel, wenn man auf eine Spitze schaut, eine dreifache Rotationssymmetrie. Es ist mir aber nicht gelungen, aus diesen geometrischen Vorstellungen ein statisches Verfahren "herauszukitzeln" - der Würfel ist "zu symmetrisch dazu". Hat jemand eine Idee, wie das gehen könnte?

[[Kategorie:Denksport Loesung]]</text>
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    <text bytes="26606" xml:space="preserve">Es gibt zwar schon eine Lösung zum [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln Problem der Waage und der 12 Kugeln] - aber dort steht praktisch nichts mathematisch Interessantes: Nicht, wie man die Lösung findet, nicht, welche weiteren ähnlichen Probleme man sich stellen kann ... ich versuche es hier, besser zu machen.

Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt, gibt es zwei Arten von Lösungen:
* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist, oder die leichtere leichter - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jede der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem die Waage links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also höchstens 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 24 nicht mehr ist als 27, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte ist. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
Die erste Wägung kann drei Ergebnisse haben:
# Waage geht links herunter: Dann wissen wir, dass ''entweder'' unter den linken vier Kugeln die eine schwerere ist ''oder'' unter den rechten vier die eine leichtere.
# Waage geht rechts herunter: Entweder ist unter den vier rechts die schwerere; oder links die leichtere.
# Waage bleibt im Gleichgewicht: Unter den vier neben der Waage ist die abweichende.
Statt weiterhin so lange Texte zu schreiben, müssen wir das kürzer hinschreiben können - nach dem alten Mathematikerspruch: "''Die richtige Notation ist die halbe Lösung''". Ich verwende einmal die folgenden Buchstaben:
* Wenn eine Kugel nur mehr eine schwerere sein kann (aber vielleicht auch eine der 11 gleich schweren - ich nenne die "normal"), dann soll dafür der Buchstabe S stehen; 
* wenn sie nur eine leichtere oder eine normale sein kann, dann steht dafür L;
* und wenn sie schwerer oder leichter oder normal sein kann, dann wird das mit X gekennzeichnet.
* Wenn eine Kugel schließlich sicher "normal" ist, dann wird sie mit N bezeichnet.
Die drei Möglichkeiten oben ergeben also:
# SSSS + LLLL / NNNN (durch + trenne ich die beiden Gruppen, die auf der Waage liegen; nach dem / stehen die Kugeln, die neben der Waage liegen und die uns "gerade noch interessieren").
# LLLL + SSSS / NNNN
# NNNN + NNNN / XXXX
Wir kümmern uns einmal um den dritten Fall - er sieht irgendwie leichter aus, weil wir nur mehr vier Kugeln betrachten müssen ... von denen wir allerdings praktisch nichts wissen! Aber probieren wir einmal: Wir legen links zwei der X-Kugeln, rechts die zwei anderen. Dann haben wir folgende möglichen Ergebnisse:
# links runter: SS + LL
# rechts runter: LL + SS
# Gleichgewicht: kann nicht sein (weil wir ja aus der ersten Wägung wissen, dass eine der vier die abweichende sein muss!).
Im ersten Fall gibt es noch immer ''vier'' mögliche Lösungen (eine der zwei S ist die schwerere; oder eine der beiden L ist die leichtere). Die eine letzte Wägung kann aber nur ''drei'' Möglichkeiten unterscheiden - damit ist die Aufteilung 2+2 nicht ok. Also dann 1+1, mit folgenden Ergebnissen:
# links runter: S + L / NN
# rechts runter: L + S / NN
# Gleichgewicht: N + N / XX
Den ersten und zweiten Fall könnten wir lösen: Im ersten Fall müssen wir nur die S-Kugeln mit einer N-Kugel vergleichen - wenn Gleichgewicht, dann ist die (danebenliegende) L-Kugel die leichtere, wenn S-Kugel nach unten geht, ist sie die schwerere. Aber im dritten Fall bleiben mit den XX ''vier'' Möglichkeiten übrig, die wir wieder mit den ''drei'' möglichen Ergebnissen einer Wägung nicht lösen können.

Weder 1+1 noch 2+2 funktioniert also bei der zweiten Wägung - wir brauchen eine "schrägere Idee"!

Hier ist sie: 2+1! Das geht natürlich nicht direkt (siehe Erklärung ganz am Anfang), aber wir können rechts eine weitere N-Kugel dazulegen. Wir legen also hin: XX + XN / X (die vierte X liegt auf der Seite) und haben nur folgende Fälle:
# links runter: SS + LN / N (entweder eine der schwereren zieht links runter; oder rechts ist die leichtere)
# rechts runter: LL + SN / N
# Gleichgewicht: NN + NN / X
Wir haben nur mehr eine Wägung frei - aber das könnte sich nun ausgehen!

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach NNNN+NNNN/XXXX - die "AAB-Konfiguration" ==
Der dritte Fall aus der vorherigen Wägung ist leicht: Wir vergleichen die danebenliegende Kugel (die ja sicher die gesuchte sein muss! - alle anderen sind nun als N bewiesen) mit einer beliebigen N-Kugel, mit folgenden Ergebnissen: 
# links runter: S + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: L + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist leichter.
# Gleichgewicht: unmöglich
Was tun wir mit den anderen beiden Fällen aus der vorherigen Wägung? Aus der ersten Wägung erhalten wir drei Kugeln, von denen wir wissen, dass sie SSL sind: Also entweder ist die erste oder die zweite die zu schwere, oder die dritte die zu leichte. Es gibt mehrere Arten, mit einer Wägung die richtige zu finden - hier ist eine: Man legt die beiden S auf die Waage und erhält dann:
# links runter: S + N --&gt; die linke ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: N + S --&gt; die rechte ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# Gleichgewicht: N + N --&gt; die danebenliegende  ist die gesuchte, und sie ist leichter.
Wenn wir bei der zweiten Wägung den zweiten Fall hatten (LL+SN/N), dann können wir mit den drei LLS-Kugeln dasselbe Spiel spielen: L+L vergleichen - wo's raufgeht, ist die gesuchte, und sie ist leichter; bei Gleichgewicht ist's die danebenliegende, und sie ist schwerer.

Die beiden Fälle haben ein gleichartiges Muster: Aus zwei gleich markierten Kugeln (SS oder LL) und einer dritten, die ebenfalls schon mit S oder L markiert ist, kann man mit einer Wägung die Lösung finden ... ich nenne das eine AAB-Konfiguration, die uns hoffentlich bei dem komplizierteren SSSS+LLLL/NNNN-Fall aus der ersten Wägung weiterhilft!

== Die zweite und dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
In diesem Fall wissen wir, dass links vier S-Kugeln liegen, rechts vier L-Kugeln. Wie weiter? Wenn wir schnell zu einer AAB-Konfiguration kommen, dann würden wir für viele Fälle die Lösung mit einer weiteren Wägung haben! Also probieren wir's ... nach einigem Herumprobieren bin ich auf folgendes gekommen: Man wiegt SSL + SSL / LL, mit folgenden Ergebnissen: 
# Waage geht links herunter: Entweder ist eine der beiden linken SS die gesuchte (und schwerer), oder die rechte L ist die gesuchte (und leichter). Man hat also drei Kugeln als SSL identifiziert, also eine AAB-Konfiguration gefunden! 
# Wenn die Waage rechts heruntergeht, dann hat man die anderen SSL als AAB identifiziert. 
# Und bei Gleichgewicht schließlich hat man die beiden LL als mögliche Lösungen identifiziert. Man kann sie direkt  gegeneinander wiegen - wo's raufgeht, liegt die gesuchte leichtere. Man kann aber auch, "mathematiker-artig", eine N dazulegen und hat dann diesen Fall "auf eine AAB-Konfiguration" zurückgeführt ... das macht hier keinen Unterschied, hilft uns aber vielleicht bei anderen Problemen später! 
In allen drei Fällen ist man also bei AAB angelangt - man findet dann also mit einer einzigen weiteren (dritten) Wägung die gesuchte Kugel. 

Damit haben wir ein dynamisches Lösungsverfahren für das 12-Kugel-Problem gefunden! In Kürze - ich bezeichne die 12 Kugeln mit a,b,...,k,l: 

1. Wägung: abcd+efgh/ijkl 

'''Bei Gleichgewicht der ersten Wägung: ''' 

2. Wägung: ij+ka/l 

3. Wägung: Bei Gleichgewicht: l mit a, sonst ijk mit AAB-Konfiguration (ij+ka geht links runter: ijk=SSL; ij+ka geht rechts runter: ijk=LLS). 

'''Wenn erste Wägung links runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist SSL+SSL/LL 

Bei Gleichgewicht: ghi mit AAB-Konfiguration (LLN). 

Wenn links runter: abf ist SSL, also AAB-Konfiguration; wenn rechts unter: cde ist SSL, also AAB. 

'''Wenn erste Wägung rechts runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist LLS+LLS/S - ist symmetrisch zu "links runter". 

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
Bei dynamischen Verfahren wiegt man nur so wenige Kugeln, wie nötig sind. Es ist aber klar, dass man bei jeder Wägung links und rechts gleich viele N-Kugeln dazustapeln kann, ohne dass sich am Ergebnis was ändert. Was das bringen soll? Nun, man könnte die Wägungen, die man beim dynamischen Verfahren entweder/oder macht, nun ''zugleich'' machen! Und wenn man die Wägungen dabei immer gleich kombinieren kann, dann würde ein Verfahren herauskommen, wo man nicht verschiedene Gruppen je nach vorherigen Ergebnissen wiegt, sondern immer die gleichen - also ein statisches Verfahren!

Probieren wir das einmal: Die erste Wägung ist natürlich gleich - wir können ja, wie weiter oben ausgerechnet, nur mit einer 4+4-Wägung anfangen, und zu diesem Zeitpunkt ist es noch egal, welche Kugeln wir wählen. Die erste Wägung ist also abcd+efgh/ijkl (mit den Bezeichnungen aus dem letzten Abschnitt).

Zweite Wägung: In den beiden Ungleichgewichtsfällen haben wir hier beim dynamischen Verfahren schon beide Male dasselbe ausgeführt, nämlich abe+cdf/gh - das war also schon ein "klein wenig statisch". Im Gleichgewichtsfall kommt nun noch ij+ka/l dazu ... aber das können wir nicht zugleich abwiegen, weil dann auf der a-Seite 4 Kugeln liegen, auf der anderen aber 5 - so geht das nicht. Was tun???

Wir schauen uns die zweite dynamische Wägung noch einmal an: Sie ist ja abe+cdf/gh und hat im ''Gleichgewichtsfall'' eine etwas "schmalere" nächste Wägung ergeben, nämlich nur mehr g+h. Wir könnten diese Wägung zu AAB "auffetten", sodass bei der zweiten Wägung weniger auf der Waage liegt = "Platz für ij+ka wird". Konkret:

Wir bauen unser dynamisches Verfahren so um, dass bei der zweiten Wägung abe+cdi/fgh gewogen wird (statt f nehmen wir also i, was sicher eine neutrale Kugel ist). Wenn die erste Wägung links nach unten ging, sind diese Kugeln SSL+SSN/LLL markiert. Was sind die möglichen Ergebnisse?
# links runter: abi=SSN ist AAB, was mit einer Wägung zu entscheiden ist.
# rechts runter: ecd=LSS, also ist cde AAB - ebenfalls mit einer Wägung zu entscheiden.
# Gleichgewicht: fgh=LLL, also AAB  - auch mit einer Wägung zu entscheiden.
Wenn die erste Wägung rechts nach unten ging, kommt symmetrisch auch raus, dass eine weitere Wägung reicht.

Nun aber können wir abe+cdi/fgh mit ka+ij/l (die umgedrehte zweite Wägung aus dem dynamischen Verfahren, wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war) kombinieren und erhalten als zweite Wägung:

abek+cdij/fghl

Wie gehen wir mit dem Ergebnis dieser Wägung um? Ungefähr so: Wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war, dann wissen wir ja, dass a...h alle neutral sind, daher haben wir eigentlich nur ak+ij/l gewogen und können dieselben Schlüsse ziehen wie beim dynamischen Verfahren. Wenn aber die erste Wägung nach links ging, dann waren ja sicher i...l neutral, wir haben also praktisch abe+cdi/fgh gewogen und können auch passenden Schlüsse ziehen. Und dasselbe geht auch, wenn die erste Wägung nach rechts ging.

Zwei Wägungen sind also schon "statisch" - wir brauchen noch die dritte. Dazu müssen wir einmal alle dritten Wägungen aus dem dynamischen Verfahren aufsammeln. Der Reihe nach sind das:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
* nocheinmal die drei letzten Wägungen, weil die Ergebnisse symmetrisch sind (a+b/i ist nun LLN statt SSN, kann aber mit der gleichen Wägung entschieden werden)
Direkt lassen sich diese Wägungen nicht kombinieren, weil i einmal verwogen werden muss (zweite Zeile), einmal auf der Seite liegen muss (dritte Zeile). Mhm.

Eine Idee: AAB kann man nicht nur durch Verwiegen der zwei A-Kugeln entscheiden, sondern auch anders - allerdings nur, wenn A und B verschieden sind (also z.B. AAB=SSL): Dann kann man auf eine Seite SL legen, auf die andere NN. Wenn die Waage links runter geht, dann ist S die gesuchte (und schwerer), wenn sie rechts runtergeht, dann ist L die gesuchte (und leichter). Wir können also aus ijk=SSL oder LLS (siehe die Kurzbeschreibung im letzten Kapitel!) jk gegen zwei N-Kugeln verwiegen:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* &lt;u&gt;jk+nn/i&lt;/u&gt;
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Schaffen wir es, auf eine Seite vier Kugeln zu legen? Es geht sich nicht aus :-(

Das mit dem jk war vielleicht doch keine so gute Idee, weil nun eine Kugel mehr auf die Waage kam. Also zurück zur vorherigen Liste:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Können wir a+b/i "drehen", sodass i auf der Waage liegt? abi war ja SSN oder LLN, und hier könnten wir statt a+b auch gern a+i wiegen: Bei Gleichgewicht ist dann b die gesuchte! Also müsste als dritte Wägung auch eine Summe aus Folgendem funktionieren (die ersten zwei Wägungen habe ich schon passend umgedreht):
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* &lt;u&gt;i+a/b&lt;/u&gt;
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Und als "Summe" erhalten wir:

licf+ajdg/kbeh

Es sieht so aus, als hätten wir ein statisches Verfahren gefunden! - mit folgenden Wägungen (die Buchstaben habe ich jeweils aufsteigend sortiert):
* abcd+efgh/ijkl
* abek+cdij/fghl
* cfil+adgj/behk
Schauen wir, ob es funktioniert, indem wir für alle möglichen Lösungen die Wäge-Ergebnisse aufschreiben - sie müssen sich alle unterscheiden! L bedeutet hier "Waage senkt sich links", R "Waage senkt sich rechts", = "Waage bleibt im Gleichgewicht":
{| class="article-table"
!
!a
!b
!c
!d
!e
!f
!g
!h
!i
!j
!k
!l
!
|-
|schwerer
|LLR
|LL=
|LRL
|LRR
|RL=
|R=L
|R=R
|R==
|=RL
|=RR
|=L=
|==L
|
|-
|leichter
|RRL
|RR=
|RLR
|RLL
|LR=
|L=R
|L=L
|L==
|=LR
|=LL
|=R=
|==R
|
|}
Tatsächlich!! - es hat funktioniert - alle Wägeergebnisse sind verschieden.

Ich höre hier mit den statischen Verfahren auf - manche Leute haben noch nette Tricks gefunden, wie man die drei Zeichen L, R und = als ternäre Ziffern interpretiert, sodass man sich nicht die Tabelle merken muss, sondern sich die Nummer der abweichenden Kugel aus dem Wägeergebnis als Zahl im Dreiersystem ausrechnen kann. Ein Beispiel dafür ist die andere Lösung, die [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln,_L%C3%B6sung hier] angegeben ist.

Ich schaue mir aber noch schnell das Problem für andere Zahlen von Wägungen an!

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
Keine. Tatsächlich. Warum?

Das mindeste, was man zum Verwiegen braucht, sind zwei Kugeln. Wenn man die aber beide auf die Waage legt und sie sich links senkt, dann weiß man nicht, ob die linke schwerer oder die rechte leichter ist! Auch rechnerisch kann man sich das überlegen: Eine Wägung kann drei Ergebnisse unterscheiden, bei zwei Kugeln gibt es aber schon vier Möglichkeiten (erste schwerer, erste leichter, zweite schwerer, zweite leichter). Allerdings ist auch bei zwei Kugeln das Rätsel nicht sinnvoll: Denn ist nun die erste schwerer oder die zweite leichter?

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
Zwei Wägungen können 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9 Fälle unterscheiden, also prinzipiell das Problem für 4 Kugeln lösen. Überlegen wir, wie man das machen kann:
* Entweder wiegt man zuerst ab+cd. Dann hat man z.B. bei Ausschlag der Waage nach links noch vier Fälle (ab+cd=SS+LL), die man aber mit einer Wägung nicht vollständig entscheiden kann.
* Versuchen wir's also mit a+b/cd. Nun hat man aber bei Gleichgewicht cd=XX, also wieder vier Fälle, die nicht mit der zweiten Wägung zu entscheiden sind.
Also lassen sich mit zwei Wägungen das Rätsel für höchstens drei Kugeln entscheiden:
* Erste Wägung: a+b/c
* Bei Gleichheit 2.Wägung c+a=X+N, bei Ungleichheit ebenfalls c+a, aber nun als N+X.
Es ist schon erstaunlich, dass nur eine weitere Wägung die Zahl dann von 3 auf 12 hochkatapultiert!

== Kann man mit drei Wägungen auch 13 Kugeln lösen? ==
Für 13 Kugeln gibt es 26 mögliche Lösungen. Das ist noch immer weniger als 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27 - man könnte also hoffen, dass man mit 3 Wägungen auch die "falsche" aus 13 herausfinden kann. Geht das?

Bei der ersten Wägung könnten wir (wie bei 12-Kugeln) 4+4 Kugeln auf die Waage legen - dann bleiben aber im Gleichgewichtsfall 5 daneben liegen, mit 10 möglichen Ergebnissen (jede kann entweder die schwerere oder die leichtere sein), was sich mit zwei weiteren Wägungen nicht vollständg lösen lässt (weil 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9&lt;10). 

Wenn man aber 5+5 Kugeln auf die Waage legt, scheitern wir bei Nicht-Gleichgewicht, wie schon im ersten Abschnitt erklärt. 12 Kugeln ist also tatsächlich das Maximum für drei Wägungen.

== Der Witz der Zusatzkugel ==
Bevor ich hier zum "highlight" komme, nämlich der Anzahl der Kugeln, die man mit vier Wägungen "lösen" kann, noch ein Zwischenproblem: Nehmen wir an, wir hätten nicht nur die gegebenen Kugeln, sondern zusätzlich noch eine Kugel, von der wir sicher wissen, dass sie "normal" ist - was ändert das dann an der Anzahl an lösbaren Kugeln?

(Wie ich auf diese Frage komme? - naja, bei den 4 XXXX-Kugeln der 2. Wägung beim 12-Kugelproblem hat man ja eine solche Kugel zu den 2+1 dazugetan, und das hat "megamäßig" geholfen ...). Also:
* Mit einer Wägung kann man nun plötzlich doch für eine Kugel entscheiden, ob sie zu leicht oder zu schwer ist.
* Mit zwei Wägungen kann man aus 4 Kugeln die richtige herausfinden (sieht man ja bei der 2. Wägung des 12-Kugelproblems).
* Mit drei Wägungen: Hier können wir nun bei der ersten Wägung links 4 Kugeln und die N-Kugel, rechts 5 Kugeln drauflegen! Bei Ungleichgewicht gibt es dann noch 9 mögliche Lösungen, was genau gleich der Maximalanzahl 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; ist, die wir mit den restlichen zwei Wägungen noch lösen können - es könnte sich also ausgehen! Und damit könnten wir das Problem dann auch für ''13'' Kugeln lösen! (im Gleichgewichtsfall geht's so wie bei 12 Kugeln weiter). Probieren wir's: Wir haben nach Ungleichgewicht nun SSSSN und LLLLL (oder LLLL und SSSSS - aber das ist symmetrisch zu lösen). In der zweiten Wägung können wir nun SSL+SSL/LLL wiegen - und was auch immer herauskommt, wir haben ein AAB in der Hand: Entweder die linken zwei SS und die rechte L, oder die rechten zwei SS und die linke L, oder die danebenliegenden LLL - wir sind also nach einer weiteren Wägung fertig!
Erkenntnis: Mit einer Zusatz-Normalkugel kann man - zumindest bei einer, zwei und drei Wägungen - die "theoretische Maximalanzahl", nämlich [3&lt;sup&gt;''k''&lt;/sup&gt;/2] Kugeln entscheiden, wo ''k'' die Anzahl der Wägungen ist ([''x''] bezeichnet dabei die größte ganze Zahl kleiner oder gleich ''x''):
* ''k'' = 1: [3&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;/2] = [3/2] = 1
* ''k'' = 2: [3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;/2] = [9/2] = 4
* ''k'' = 3: [3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;/2] = [27/2] = 13

== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
Viele. Aber wie viele?
Berechnen wir zuerst den absoluten Maximalwert: Vier Wägungen können 3&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=81 unterscheiden. Damit ließe sich im Idealfall aus 40 Kugeln die eine schwerere oder leichtere herausfinden, weil es dann 2*40=80 mögliche Lösungen gibt. Aber sind es tatsächlich so viele?

Für eine genauere Einschränkung schauen wir uns - wie gerade für drei Wägungen - die erste Wägung an: Wir legen dort ''x''+''x'' Kugeln auf die Waage, ''y'' lassen wir daneben liegen. ''y'' kann höchstens 13 sein, weil wir aus diesen Kugeln ja mit drei Wägungen das Ergebnis finden müssen (aus dem letzten Abschnitt wissen wir, dass wir ''mit einer zusätzlichen Normalkugel'' in 3 Wägungen 13 Kugeln entscheiden können! - hier haben wir im Gleichgewichtsfall sicher viel mehr Normalkugeln zur Verfügung).

Damit ''x''+''x''+''y'' höchstens 40 ist, darf ''x'' höchstens 13 sein. Wenn wir 13+13 Kugeln verwiegen und die Waage ''nicht'' im Gleichgewicht bleibt, haben wir noch 26 mögliche Lösungen - weniger als die 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27, die wir mit den restlichen 3 Wägungen entscheiden können, daher kann sich das ausgehen! Daher ''könnte'' die Maximalzahl für vier Wägungen 13+13+13=39 Kugeln sein.

Und tatsächlich glaube ich, dass ich für 39 Kugeln ein dynamisches Lösungsverfahren gefunden habe ... das ich hier aber nicht verrate: Das kann jeder, der bis hierher gekommen ist, selber finden!

Und wenn man wieder eine weitere Normalkugel dazulegt, dann geht es wieder mit 40 Kugeln, denke ich! ...

== Die abschließende große Hypothese ==
Es scheint, dass man einen vollständigen Induktionsbeweis führen können müsste, dass
* mit einer Zusatz-Normalkugel in ''k'' Wägungen die "unpassende" aus [3&lt;sup&gt;''k''&lt;/sup&gt;/2] Kugeln gefunden werden kann;
* ohne eine Zusatz-Normalkugel in ''k'' Wägungen die "unpassende" aus [3&lt;sup&gt;''k''&lt;/sup&gt;/2 - 1] Kugeln gefunden werden kann.
Diesen Beweis ordentlich zu führen, überlasse ich gern anderen :-)

== Offene Frage: Kann ein statisches Verfahren immer gleich viele Kugeln leisten wie ein dynamisches mit gleich viel Wägungen? ==
Mit drei Wägungen kann man höchstens 12 Kugeln lösen - sowohl mit einem dynamischen wie mit einem statischen Verfahren. Auch bei zwei Wägungen sind dynamisches und statisches Verfahren gleich mächtig, und bei einer Wägung sowieso. Aber gilt das allgemein? Gibt es immer, wenn es ein dynamisches Verfahren gibt, auch ein statisches Verfahren? Das ist nicht offensichtlich, weil das dynamische Verfahren ja "mehr Information in sich zurückspeist". Ich habe aber keine Ahnung, wie ein Beweis aussieht, der zu einem dynamischen Verfahren immer ein statisches konstruieren kann.

== Offene Frage: Kann man das statische Verfahren für 12 Kugeln eleganter erklären? ==
Das statische Verfahren habe ich oben durch "Umbau" des dynamischen Verfahrens gefunden.

Man kann auch direkt versuchen, die oben gezeigte Tabelle für das statische Verfahren auszufüllen. Dazu muss man sich zuerst klar machen, dass die Kombination === in keinem Feld stehen kann (denn dann würde die entsprechende Lösungskugel ja gar nicht auf die Waage gelegt worden sein, und dann wüsste man nicht, ob sie schwerer oder leichter ist, wenn sie die abweichende ist). Außerdem steht immer in der unteren Zelle das "Gegenteil" der oberen, wenn man L gegen R austauscht. Zuletzt müssen an jeder Position gleich viele L, R und = vorkommen, weil alle vier Wägungen von der Form 4+4/4 sind (was ich nicht bewiesen habe - aber ich vermute, dass ein statisches Verfahren für 12 Kugeln nur so gelingt). Mit etwas Herumbasteln findet man dann Tabellenwerte, die diese Bedingungen erfüllen - das ist dann aber eine typische "Lösung, die vom Himmel fällt".

Die Frage ist: Gibt es eine bessere, schönere, "elegantere" Erklärung für ein (bestimmtes) statisches Verfahren? Bei den Zahlen 12 und 3 fallen einem schon andere mathematische Dinge ein: Ein 3-dimensionaler Würfel hat 12 Kanten. Außerdem hat ein Würfel, wenn man auf eine Spitze schaut, eine dreifache Rotationssymmetrie. Es ist mir aber nicht gelungen, aus diesen geometrischen Vorstellungen ein statisches Verfahren "herauszukitzeln" - der Würfel ist "zu symmetrisch dazu". Hat jemand eine Idee, wie das gehen könnte?

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    <comment>/* Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? */</comment>
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    <text bytes="26613" xml:space="preserve">Es gibt zwar schon eine Lösung zum [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln Problem der Waage und der 12 Kugeln] - aber dort steht praktisch nichts mathematisch Interessantes: Nicht, wie man die Lösung findet, nicht, welche weiteren ähnlichen Probleme man sich stellen kann ... ich versuche es hier, besser zu machen.

Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt, gibt es zwei Arten von Lösungen:
* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der Waage platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist, oder die leichtere leichter - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jede der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem die Waage links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also höchstens 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 24 nicht mehr ist als 27, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte ist. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
Die erste Wägung kann drei Ergebnisse haben:
# Waage geht links herunter: Dann wissen wir, dass ''entweder'' unter den linken vier Kugeln die eine schwerere ist ''oder'' unter den rechten vier die eine leichtere.
# Waage geht rechts herunter: Entweder ist unter den vier rechts die schwerere; oder links die leichtere.
# Waage bleibt im Gleichgewicht: Unter den vier neben der Waage ist die abweichende.
Statt weiterhin so lange Texte zu schreiben, müssen wir das kürzer hinschreiben können - nach dem alten Mathematikerspruch: "''Die richtige Notation ist die halbe Lösung''". Ich verwende einmal die folgenden Buchstaben:
* Wenn eine Kugel nur mehr eine schwerere sein kann (aber vielleicht auch eine der 11 gleich schweren - ich nenne die "normal"), dann soll dafür der Buchstabe S stehen; 
* wenn sie nur eine leichtere oder eine normale sein kann, dann steht dafür L;
* und wenn sie schwerer oder leichter oder normal sein kann, dann wird das mit X gekennzeichnet.
* Wenn eine Kugel schließlich sicher "normal" ist, dann wird sie mit N bezeichnet.
Die drei Möglichkeiten oben ergeben also:
# SSSS + LLLL / NNNN (durch + trenne ich die beiden Gruppen, die auf der Waage liegen; nach dem / stehen die Kugeln, die neben der Waage liegen und die uns "gerade noch interessieren").
# LLLL + SSSS / NNNN
# NNNN + NNNN / XXXX
Wir kümmern uns einmal um den dritten Fall - er sieht irgendwie leichter aus, weil wir nur mehr vier Kugeln betrachten müssen ... von denen wir allerdings praktisch nichts wissen! Aber probieren wir einmal: Wir legen links zwei der X-Kugeln, rechts die zwei anderen. Dann haben wir folgende möglichen Ergebnisse:
# links runter: SS + LL
# rechts runter: LL + SS
# Gleichgewicht: kann nicht sein (weil wir ja aus der ersten Wägung wissen, dass eine der vier die abweichende sein muss!).
Im ersten Fall gibt es noch immer ''vier'' mögliche Lösungen (eine der zwei S ist die schwerere; oder eine der beiden L ist die leichtere). Die eine letzte Wägung kann aber nur ''drei'' Möglichkeiten unterscheiden - damit ist die Aufteilung 2+2 nicht ok. Also dann 1+1, mit folgenden Ergebnissen:
# links runter: S + L / NN
# rechts runter: L + S / NN
# Gleichgewicht: N + N / XX
Den ersten und zweiten Fall könnten wir lösen: Im ersten Fall müssen wir nur die S-Kugeln mit einer N-Kugel vergleichen - wenn Gleichgewicht, dann ist die (danebenliegende) L-Kugel die leichtere, wenn S-Kugel nach unten geht, ist sie die schwerere. Aber im dritten Fall bleiben mit den XX ''vier'' Möglichkeiten übrig, die wir wieder mit den ''drei'' möglichen Ergebnissen einer Wägung nicht lösen können.

Weder 1+1 noch 2+2 funktioniert also bei der zweiten Wägung - wir brauchen eine "schrägere Idee"!

Hier ist sie: 2+1! Das geht natürlich nicht direkt (siehe Erklärung ganz am Anfang), aber wir können rechts eine weitere N-Kugel dazulegen. Wir legen also hin: XX + XN / X (die vierte X liegt auf der Seite) und haben nur folgende Fälle:
# links runter: SS + LN / N (entweder eine der schwereren zieht links runter; oder rechts ist die leichtere)
# rechts runter: LL + SN / N
# Gleichgewicht: NN + NN / X
Wir haben nur mehr eine Wägung frei - aber das könnte sich nun ausgehen!

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach NNNN+NNNN/XXXX - die "AAB-Konfiguration" ==
Der dritte Fall aus der vorherigen Wägung ist leicht: Wir vergleichen die danebenliegende Kugel (die ja sicher die gesuchte sein muss! - alle anderen sind nun als N bewiesen) mit einer beliebigen N-Kugel, mit folgenden Ergebnissen: 
# links runter: S + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: L + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist leichter.
# Gleichgewicht: unmöglich
Was tun wir mit den anderen beiden Fällen aus der vorherigen Wägung? Aus der ersten Wägung erhalten wir drei Kugeln, von denen wir wissen, dass sie SSL sind: Also entweder ist die erste oder die zweite die zu schwere, oder die dritte die zu leichte. Es gibt mehrere Arten, mit einer Wägung die richtige zu finden - hier ist eine: Man legt die beiden S auf die Waage und erhält dann:
# links runter: S + N --&gt; die linke ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: N + S --&gt; die rechte ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# Gleichgewicht: N + N --&gt; die danebenliegende  ist die gesuchte, und sie ist leichter.
Wenn wir bei der zweiten Wägung den zweiten Fall hatten (LL+SN/N), dann können wir mit den drei LLS-Kugeln dasselbe Spiel spielen: L+L vergleichen - wo's raufgeht, ist die gesuchte, und sie ist leichter; bei Gleichgewicht ist's die danebenliegende, und sie ist schwerer.

Die beiden Fälle haben ein gleichartiges Muster: Aus zwei gleich markierten Kugeln (SS oder LL) und einer dritten, die ebenfalls schon mit S oder L markiert ist, kann man mit einer Wägung die Lösung finden ... ich nenne das eine AAB-Konfiguration, die uns hoffentlich bei dem komplizierteren SSSS+LLLL/NNNN-Fall aus der ersten Wägung weiterhilft!

== Die zweite und dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
In diesem Fall wissen wir, dass links vier S-Kugeln liegen, rechts vier L-Kugeln. Wie weiter? Wenn wir schnell zu einer AAB-Konfiguration kommen, dann würden wir für viele Fälle die Lösung mit einer weiteren Wägung haben! Also probieren wir's ... nach einigem Herumprobieren bin ich auf folgendes gekommen: Man wiegt SSL + SSL / LL, mit folgenden Ergebnissen: 
# Waage geht links herunter: Entweder ist eine der beiden linken SS die gesuchte (und schwerer), oder die rechte L ist die gesuchte (und leichter). Man hat also drei Kugeln als SSL identifiziert, also eine AAB-Konfiguration gefunden! 
# Wenn die Waage rechts heruntergeht, dann hat man die anderen SSL als AAB identifiziert. 
# Und bei Gleichgewicht schließlich hat man die beiden LL als mögliche Lösungen identifiziert. Man kann sie direkt  gegeneinander wiegen - wo's raufgeht, liegt die gesuchte leichtere. Man kann aber auch, "mathematiker-artig", eine N dazulegen und hat dann diesen Fall "auf eine AAB-Konfiguration" zurückgeführt ... das macht hier keinen Unterschied, hilft uns aber vielleicht bei anderen Problemen später! 
In allen drei Fällen ist man also bei AAB angelangt - man findet dann also mit einer einzigen weiteren (dritten) Wägung die gesuchte Kugel. 

Damit haben wir ein dynamisches Lösungsverfahren für das 12-Kugel-Problem gefunden! In Kürze - ich bezeichne die 12 Kugeln mit a,b,...,k,l: 

1. Wägung: abcd+efgh/ijkl 

'''Bei Gleichgewicht der ersten Wägung: ''' 

2. Wägung: ij+ka/l 

3. Wägung: Bei Gleichgewicht: l mit a, sonst ijk mit AAB-Konfiguration (ij+ka geht links runter: ijk=SSL; ij+ka geht rechts runter: ijk=LLS). 

'''Wenn erste Wägung links runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist SSL+SSL/LL 

Bei Gleichgewicht: ghi mit AAB-Konfiguration (LLN). 

Wenn links runter: abf ist SSL, also AAB-Konfiguration; wenn rechts unter: cde ist SSL, also AAB. 

'''Wenn erste Wägung rechts runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist LLS+LLS/S - ist symmetrisch zu "links runter". 

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
Bei dynamischen Verfahren wiegt man nur so wenige Kugeln, wie nötig sind. Es ist aber klar, dass man bei jeder Wägung links und rechts gleich viele N-Kugeln dazustapeln kann, ohne dass sich am Ergebnis was ändert. Was das bringen soll? Nun, man könnte die Wägungen, die man beim dynamischen Verfahren entweder/oder macht, nun ''zugleich'' machen! Und wenn man die Wägungen dabei immer gleich kombinieren kann, dann würde ein Verfahren herauskommen, wo man nicht verschiedene Gruppen je nach vorherigen Ergebnissen wiegt, sondern immer die gleichen - also ein statisches Verfahren!

Probieren wir das einmal: Die erste Wägung ist natürlich gleich - wir können ja, wie weiter oben ausgerechnet, nur mit einer 4+4-Wägung anfangen, und zu diesem Zeitpunkt ist es noch egal, welche Kugeln wir wählen. Die erste Wägung ist also abcd+efgh/ijkl (mit den Bezeichnungen aus dem letzten Abschnitt).

Zweite Wägung: In den beiden Ungleichgewichtsfällen haben wir hier beim dynamischen Verfahren schon beide Male dasselbe ausgeführt, nämlich abe+cdf/gh - das war also schon ein "klein wenig statisch". Im Gleichgewichtsfall kommt nun noch ij+ka/l dazu ... aber das können wir nicht zugleich abwiegen, weil dann auf der a-Seite 4 Kugeln liegen, auf der anderen aber 5 - so geht das nicht. Was tun???

Wir schauen uns die zweite dynamische Wägung noch einmal an: Sie ist ja abe+cdf/gh und hat im ''Gleichgewichtsfall'' eine etwas "schmalere" nächste Wägung ergeben, nämlich nur mehr g+h. Wir könnten diese Wägung zu AAB "auffetten", sodass bei der zweiten Wägung weniger auf der Waage liegt = "Platz für ij+ka wird". Konkret:

Wir bauen unser dynamisches Verfahren so um, dass bei der zweiten Wägung abe+cdi/fgh gewogen wird (statt f nehmen wir also i, was sicher eine neutrale Kugel ist). Wenn die erste Wägung links nach unten ging, sind diese Kugeln SSL+SSN/LLL markiert. Was sind die möglichen Ergebnisse?
# links runter: abi=SSN ist AAB, was mit einer Wägung zu entscheiden ist.
# rechts runter: ecd=LSS, also ist cde AAB - ebenfalls mit einer Wägung zu entscheiden.
# Gleichgewicht: fgh=LLL, also AAB  - auch mit einer Wägung zu entscheiden.
Wenn die erste Wägung rechts nach unten ging, kommt symmetrisch auch raus, dass eine weitere Wägung reicht.

Nun aber können wir abe+cdi/fgh mit ka+ij/l (die umgedrehte zweite Wägung aus dem dynamischen Verfahren, wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war) kombinieren und erhalten als zweite Wägung:

abek+cdij/fghl

Wie gehen wir mit dem Ergebnis dieser Wägung um? Ungefähr so: Wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war, dann wissen wir ja, dass a...h alle neutral sind, daher haben wir eigentlich nur ak+ij/l gewogen und können dieselben Schlüsse ziehen wie beim dynamischen Verfahren. Wenn aber die erste Wägung nach links ging, dann waren ja sicher i...l neutral, wir haben also praktisch abe+cdi/fgh gewogen und können auch passenden Schlüsse ziehen. Und dasselbe geht auch, wenn die erste Wägung nach rechts ging.

Zwei Wägungen sind also schon "statisch" - wir brauchen noch die dritte. Dazu müssen wir einmal alle dritten Wägungen aus dem dynamischen Verfahren aufsammeln. Der Reihe nach sind das:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
* nocheinmal die drei letzten Wägungen, weil die Ergebnisse symmetrisch sind (a+b/i ist nun LLN statt SSN, kann aber mit der gleichen Wägung entschieden werden)
Direkt lassen sich diese Wägungen nicht kombinieren, weil i einmal verwogen werden muss (zweite Zeile), einmal auf der Seite liegen muss (dritte Zeile). Mhm.

Eine Idee: AAB kann man nicht nur durch Verwiegen der zwei A-Kugeln entscheiden, sondern auch anders - allerdings nur, wenn A und B verschieden sind (also z.B. AAB=SSL): Dann kann man auf eine Seite SL legen, auf die andere NN. Wenn die Waage links runter geht, dann ist S die gesuchte (und schwerer), wenn sie rechts runtergeht, dann ist L die gesuchte (und leichter). Wir können also aus ijk=SSL oder LLS (siehe die Kurzbeschreibung im letzten Kapitel!) jk gegen zwei N-Kugeln verwiegen:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* &lt;u&gt;jk+nn/i&lt;/u&gt;
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Schaffen wir es, auf eine Seite vier Kugeln zu legen? Es geht sich nicht aus :-(

Das mit dem jk war vielleicht doch keine so gute Idee, weil nun eine Kugel mehr auf die Waage kam. Also zurück zur vorherigen Liste:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Können wir a+b/i "drehen", sodass i auf der Waage liegt? abi war ja SSN oder LLN, und hier könnten wir statt a+b auch gern a+i wiegen: Bei Gleichgewicht ist dann b die gesuchte! Also müsste als dritte Wägung auch eine Summe aus Folgendem funktionieren (die ersten zwei Wägungen habe ich schon passend umgedreht):
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* &lt;u&gt;i+a/b&lt;/u&gt;
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Und als "Summe" erhalten wir:

licf+ajdg/kbeh

Es sieht so aus, als hätten wir ein statisches Verfahren gefunden! - mit folgenden Wägungen (die Buchstaben habe ich jeweils aufsteigend sortiert):
* abcd+efgh/ijkl
* abek+cdij/fghl
* cfil+adgj/behk
Schauen wir, ob es funktioniert, indem wir für alle möglichen Lösungen die Wäge-Ergebnisse aufschreiben - sie müssen sich alle unterscheiden! L bedeutet hier "Waage senkt sich links", R "Waage senkt sich rechts", = "Waage bleibt im Gleichgewicht":
{| class="article-table"
!
!a
!b
!c
!d
!e
!f
!g
!h
!i
!j
!k
!l
!
|-
|schwerer
|LLR
|LL=
|LRL
|LRR
|RL=
|R=L
|R=R
|R==
|=RL
|=RR
|=L=
|==L
|
|-
|leichter
|RRL
|RR=
|RLR
|RLL
|LR=
|L=R
|L=L
|L==
|=LR
|=LL
|=R=
|==R
|
|}
Tatsächlich!! - es hat funktioniert - alle Wägeergebnisse sind verschieden.

Ich höre hier mit den statischen Verfahren auf - manche Leute haben noch nette Tricks gefunden, wie man die drei Zeichen L, R und = als ternäre Ziffern interpretiert, sodass man sich nicht die Tabelle merken muss, sondern sich die Nummer der abweichenden Kugel aus dem Wägeergebnis als Zahl im Dreiersystem ausrechnen kann. Ein Beispiel dafür ist die andere Lösung, die [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln,_L%C3%B6sung hier] angegeben ist.

Ich schaue mir aber noch schnell das Problem für andere Zahlen von Wägungen an!

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
Keine. Tatsächlich. Warum?

Das mindeste, was man zum Verwiegen braucht, sind zwei Kugeln. Wenn man die aber beide auf die Waage legt und sie sich links senkt, dann weiß man nicht, ob die linke schwerer oder die rechte leichter ist! Auch rechnerisch kann man sich das überlegen: Eine Wägung kann drei Ergebnisse unterscheiden, bei zwei Kugeln gibt es aber schon vier Möglichkeiten (erste schwerer, erste leichter, zweite schwerer, zweite leichter). Allerdings ist auch bei zwei Kugeln das Rätsel nicht sinnvoll: Denn ist nun die erste schwerer oder die zweite leichter?

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
Zwei Wägungen können 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9 Fälle unterscheiden, also prinzipiell das Problem für 4 Kugeln lösen. Überlegen wir, wie man das machen kann:
* Entweder wiegt man zuerst ab+cd. Dann hat man z.B. bei Ausschlag der Waage nach links noch vier Fälle (ab+cd=SS+LL), die man aber mit einer Wägung nicht vollständig entscheiden kann.
* Versuchen wir's also mit a+b/cd. Nun hat man aber bei Gleichgewicht cd=XX, also wieder vier Fälle, die nicht mit der zweiten Wägung zu entscheiden sind.
Also lassen sich mit zwei Wägungen das Rätsel für höchstens drei Kugeln entscheiden:
* Erste Wägung: a+b/c
* Bei Gleichheit 2.Wägung c+a=X+N, bei Ungleichheit ebenfalls c+a, aber nun als N+X.
Es ist schon erstaunlich, dass nur eine weitere Wägung die Zahl dann von 3 auf 12 hochkatapultiert!

== Kann man mit drei Wägungen auch 13 Kugeln lösen? ==
Für 13 Kugeln gibt es 26 mögliche Lösungen. Das ist noch immer weniger als 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27 - man könnte also hoffen, dass man mit 3 Wägungen auch die "falsche" aus 13 herausfinden kann. Geht das?

Bei der ersten Wägung könnten wir (wie bei 12-Kugeln) 4+4 Kugeln auf die Waage legen - dann bleiben aber im Gleichgewichtsfall 5 daneben liegen, mit 10 möglichen Ergebnissen (jede kann entweder die schwerere oder die leichtere sein), was sich mit zwei weiteren Wägungen nicht vollständg lösen lässt (weil 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9&lt;10). 

Wenn man aber 5+5 Kugeln auf die Waage legt, scheitern wir bei Nicht-Gleichgewicht, wie schon im ersten Abschnitt erklärt. 12 Kugeln ist also tatsächlich das Maximum für drei Wägungen.

== Der Witz der Zusatzkugel ==
Bevor ich hier zum "highlight" komme, nämlich der Anzahl der Kugeln, die man mit vier Wägungen "lösen" kann, noch ein Zwischenproblem: Nehmen wir an, wir hätten nicht nur die gegebenen Kugeln, sondern zusätzlich noch eine Kugel, von der wir sicher wissen, dass sie "normal" ist - was ändert das dann an der Anzahl an lösbaren Kugeln?

(Wie ich auf diese Frage komme? - naja, bei den 4 XXXX-Kugeln der 2. Wägung beim 12-Kugelproblem hat man ja eine solche Kugel zu den 2+1 dazugetan, und das hat "megamäßig" geholfen ...). Also:
* Mit einer Wägung kann man nun plötzlich doch für eine Kugel entscheiden, ob sie zu leicht oder zu schwer ist.
* Mit zwei Wägungen kann man aus 4 Kugeln die richtige herausfinden (sieht man ja bei der 2. Wägung des 12-Kugelproblems).
* Mit drei Wägungen: Hier können wir nun bei der ersten Wägung links 4 Kugeln und die N-Kugel, rechts 5 Kugeln drauflegen! Bei Ungleichgewicht gibt es dann noch 9 mögliche Lösungen, was genau gleich der Maximalanzahl 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; ist, die wir mit den restlichen zwei Wägungen noch lösen können - es könnte sich also ausgehen! Und damit könnten wir das Problem dann auch für ''13'' Kugeln lösen! (im Gleichgewichtsfall geht's so wie bei 12 Kugeln weiter). Probieren wir's: Wir haben nach Ungleichgewicht nun SSSSN und LLLLL (oder LLLL und SSSSS - aber das ist symmetrisch zu lösen). In der zweiten Wägung können wir nun SSL+SSL/LLL wiegen - und was auch immer herauskommt, wir haben ein AAB in der Hand: Entweder die linken zwei SS und die rechte L, oder die rechten zwei SS und die linke L, oder die danebenliegenden LLL - wir sind also nach einer weiteren Wägung fertig!
Erkenntnis: Mit einer Zusatz-Normalkugel kann man - zumindest bei einer, zwei und drei Wägungen - die "theoretische Maximalanzahl", nämlich [3&lt;sup&gt;''k''&lt;/sup&gt;/2] Kugeln entscheiden, wo ''k'' die Anzahl der Wägungen ist ([''x''] bezeichnet dabei die größte ganze Zahl kleiner oder gleich ''x''):
* ''k'' = 1: [3&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;/2] = [3/2] = 1
* ''k'' = 2: [3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;/2] = [9/2] = 4
* ''k'' = 3: [3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;/2] = [27/2] = 13

== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
Viele. Aber wie viele?
Berechnen wir zuerst den absoluten Maximalwert: Vier Wägungen können 3&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=81 Fälle unterscheiden. Damit ließe sich im Idealfall aus 40 Kugeln die eine schwerere oder leichtere herausfinden, weil es dann 2*40=80 mögliche Lösungen gibt. Aber sind es tatsächlich so viele?

Für eine genauere Einschränkung schauen wir uns - wie gerade für drei Wägungen - die erste Wägung an: Wir legen dort ''x''+''x'' Kugeln auf die Waage, ''y'' lassen wir daneben liegen. ''y'' kann höchstens 13 sein, weil wir aus diesen Kugeln ja mit drei Wägungen das Ergebnis finden müssen (aus dem letzten Abschnitt wissen wir, dass wir ''mit einer zusätzlichen Normalkugel'' in 3 Wägungen 13 Kugeln entscheiden können! - hier haben wir im Gleichgewichtsfall sicher viel mehr Normalkugeln zur Verfügung).

Damit ''x''+''x''+''y'' höchstens 40 ist, darf ''x'' höchstens 13 sein. Wenn wir 13+13 Kugeln verwiegen und die Waage ''nicht'' im Gleichgewicht bleibt, haben wir noch 26 mögliche Lösungen - weniger als die 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27, die wir mit den restlichen 3 Wägungen entscheiden können, daher kann sich das ausgehen! Daher ''könnte'' die Maximalzahl für vier Wägungen 13+13+13=39 Kugeln sein.

Und tatsächlich glaube ich, dass ich für 39 Kugeln ein dynamisches Lösungsverfahren gefunden habe ... das ich hier aber nicht verrate: Das kann jeder, der bis hierher gekommen ist, selber finden!

Und wenn man wieder eine weitere Normalkugel dazulegt, dann geht es wieder mit 40 Kugeln, denke ich! ...

== Die abschließende große Hypothese ==
Es scheint, dass man einen vollständigen Induktionsbeweis führen können müsste, dass
* mit einer Zusatz-Normalkugel in ''k'' Wägungen die "unpassende" aus [3&lt;sup&gt;''k''&lt;/sup&gt;/2] Kugeln gefunden werden kann;
* ohne eine Zusatz-Normalkugel in ''k'' Wägungen die "unpassende" aus [3&lt;sup&gt;''k''&lt;/sup&gt;/2 - 1] Kugeln gefunden werden kann.
Diesen Beweis ordentlich zu führen, überlasse ich gern anderen :-)

== Offene Frage: Kann ein statisches Verfahren immer gleich viele Kugeln leisten wie ein dynamisches mit gleich viel Wägungen? ==
Mit drei Wägungen kann man höchstens 12 Kugeln lösen - sowohl mit einem dynamischen wie mit einem statischen Verfahren. Auch bei zwei Wägungen sind dynamisches und statisches Verfahren gleich mächtig, und bei einer Wägung sowieso. Aber gilt das allgemein? Gibt es immer, wenn es ein dynamisches Verfahren gibt, auch ein statisches Verfahren? Das ist nicht offensichtlich, weil das dynamische Verfahren ja "mehr Information in sich zurückspeist". Ich habe aber keine Ahnung, wie ein Beweis aussieht, der zu einem dynamischen Verfahren immer ein statisches konstruieren kann.

== Offene Frage: Kann man das statische Verfahren für 12 Kugeln eleganter erklären? ==
Das statische Verfahren habe ich oben durch "Umbau" des dynamischen Verfahrens gefunden.

Man kann auch direkt versuchen, die oben gezeigte Tabelle für das statische Verfahren auszufüllen. Dazu muss man sich zuerst klar machen, dass die Kombination === in keinem Feld stehen kann (denn dann würde die entsprechende Lösungskugel ja gar nicht auf die Waage gelegt worden sein, und dann wüsste man nicht, ob sie schwerer oder leichter ist, wenn sie die abweichende ist). Außerdem steht immer in der unteren Zelle das "Gegenteil" der oberen, wenn man L gegen R austauscht. Zuletzt müssen an jeder Position gleich viele L, R und = vorkommen, weil alle vier Wägungen von der Form 4+4/4 sind (was ich nicht bewiesen habe - aber ich vermute, dass ein statisches Verfahren für 12 Kugeln nur so gelingt). Mit etwas Herumbasteln findet man dann Tabellenwerte, die diese Bedingungen erfüllen - das ist dann aber eine typische "Lösung, die vom Himmel fällt".

Die Frage ist: Gibt es eine bessere, schönere, "elegantere" Erklärung für ein (bestimmtes) statisches Verfahren? Bei den Zahlen 12 und 3 fallen einem schon andere mathematische Dinge ein: Ein 3-dimensionaler Würfel hat 12 Kanten. Außerdem hat ein Würfel, wenn man auf eine Spitze schaut, eine dreifache Rotationssymmetrie. Es ist mir aber nicht gelungen, aus diesen geometrischen Vorstellungen ein statisches Verfahren "herauszukitzeln" - der Würfel ist "zu symmetrisch dazu". Hat jemand eine Idee, wie das gehen könnte?

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  <title>Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft</title>
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    <comment>Tippf.korr.</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2641" xml:space="preserve">==Aufgabe==

Aus zwei Sorten Fruchtsaft mit je 20% und 75% Fruchtgehalt sollen 5 Liter Fruchtsaft mit 50% Fruchtgehalt gemischt werden.

Wieviel Saft der beiden Sorten werden jeweils benötigt?

===Tipps===

Tabelle zeichnen:

&lt;u&gt;Liter          %              Fruchtgehalt&lt;/u&gt;
&lt;nowiki&gt; &lt;/nowiki&gt; 

x            20              x * 20/100

&lt;u&gt;5-x            75             (5-x) * 75/100&lt;/u&gt;

5             50             5 * 50/100 = x * 20/100 + (5-x) * 75/100

Weiter Gleichung lösen '''5 * 50/100 = x * 20/100 + (5-x) * 75/100'''
===Lösung===


==== Was ist x ====

Für die Variable x kann hier einmal der Fruchtgehalt der ersten oder der zweiten Sorte Saft verwendet werden. Wir nehmen die mit 75%. Die Menge der anderen Sorte ergibt sich dann aus (5 l - x)

'''x = Menge des Fruchtsafts mit 75% Fruchtanteil. '''


==== Term aufstellen ====

&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + (5l-x) \cdot {20 \over 100} = 5 l \cdot {50 \over 100}&lt;/math&gt;

==== Ausrechnen ====

&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + (5l-x) \cdot {20 \over 100} = 5 l \cdot {50 \over 100}&lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen und vereinfachen'''

&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + 5l \cdot {20 \over 100} - x \cdot {20 \over 100} = {250 \over 100}  &lt;/math&gt;


&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100} + {100 \over 100} - x \cdot {20 \over 100} = {250 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| - 1'''


&lt;math&gt;x \cdot {75 \over 100}  - x \cdot {20 \over 100} = {150 \over 100}  &lt;/math&gt; '''|x ausklammern'''

&lt;math&gt;x \cdot ({75 \over 100}  - {20 \over 100}) = {150 \over 100}  &lt;/math&gt; '''| Klammer ausrechnen'''

&lt;math&gt;x \cdot {55 \over 100  } = {150 \over 100}&lt;/math&gt; '''| durch 55/100 '''

&lt;math&gt;x \cdot  = {150 \cdot  100 \over 100 \cdot 55 }&lt;/math&gt; '''| kürzen '''

&lt;math&gt;x  = {30 \over 11} = 2,727272  &lt;/math&gt; '''| Liter der Sorte mit 75% Fruchtanteil '''


==== Probe ====

Im Endprodukt, den 5 Litern Fruchtsaft mit 50% Fruchtanteil befinden sich:

&lt;math&gt;5l  \cdot 0,5 = 2,5l&lt;/math&gt; Fruchtanteil

In den beiden anderen Sorten die zusammengemischt wurden, muss nun genau der gleiche Anteil vorhanden sein.

In in 2,7272 l der ersten Sorte mit 75% Fruchtranteil befinden sich:

&lt;math&gt;2,7272 l  \cdot 0,75 = 2,05 l&lt;/math&gt; Fruchtgehalt.

In den restlichen 2,2727 l der zweiten Sorte befinden sich:

&lt;math&gt;2,2727 l  \cdot 0,20 = 0,45 l&lt;/math&gt; Fruchtgehalt.

Zusammen ergibt das genau die 2,5 Liter, die auch im Entprodukt vorhanden sind.

===Suchbegriffe===

Mischungsaufgabe, Fruchtsaft, Termbildung

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]

[[Arbeiten mit Termen: Treffpunkt von zwei Radfahrern]]


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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      <username>91.141.2.107</username>
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    </contributor>
    <comment>Die Seite wurde geleert.</comment>
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  <title>Arbeiten mit Termen: Treffpunkt von zwei Radfahrern</title>
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    </contributor>
    <comment>/* Nichts, was dich interessieren würde :D */</comment>
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    <text bytes="4161" xml:space="preserve">==Aufgabe==

Die Orte '''A''' und '''B''' liegen 25 km von einander entfernt. Tina startet um 14:00 Uhr in '''A''' und fährt mit einer Geschwindigkeit von 15 km/h in Richtung '''B'''. Zur gleichen Zeit startet Karin in '''B''' und fährt mit 17 km/h in Richtung '''A'''. 

Nach wieviel Kilometern und nach welcher Zeit treffen sich die beiden Mädchen zwischen '''A''' und '''B'''?
===Tipps ;)===

Wenn ihr Probleme mit der Aufgabenstellung habt, solltet ihr euch erst mal eine Zeichnung machen. Dabei malt man die beiden Orte auf und trägt alle Daten ein, die gegeben sind.

===Lösung:===

==== Was ist x ====

Die Geschwindigkeit der Mädchen wird in km/h angegeben. Gesucht ist einmal der gefahrene Weg und zum anderen die verstrichene Zeit seit 14:00 Uhr bis zum Treffpunkt.

Für x nehmen wir am besten die gefahrene Zeit.

==== Term aufstellen ====

Der Term besteht aus zwei Teilen die jeder für sich die Formel für das entsprechende Mädchen darstellt.

Man muss allerdings einen wichtigen Punkt dabei berücksichtigen. Da Karin genau in die entgegengesetzte Richtung fährt und bei '''B''' startet, muss ihre Formel von 25 km abgezogen werden. Also ergibt sich:


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} &lt;/math&gt; für Tina

&lt;math&gt; 25 km - (x \cdot 17{km \over h}) &lt;/math&gt; für Karin

Die beiden Formeln werden nun Gleichgesetzt:

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt;

==== Zeit Ausrechnen ====

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt; '''| +17x'''


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} +x \cdot 17{km \over h}  = 25 km &lt;/math&gt; '''| x ausklammern'''


&lt;math&gt;x \cdot (15 {km \over h} +  17{km \over h})  = 25 km &lt;/math&gt; '''| / 32 km/h'''


&lt;math&gt;x  = {25km \over (15 {km \over h} +  17{km \over h})} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x  = {25km \over  32{km \over h}} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x  = {25 \over 32}  h =  0,78125 h = 46,8 Minuten&lt;/math&gt;

Km kürzt sich raus und übrig bleibt h (Stunden). Sie treffen sich also nach ca.46,8 Minuten.


==== Weg Ausrechnen ====

Der Weg errechnet sich dann über die Geschwindigkeit (wir nehmen die von Tina) und die Zeit.

Geschwindigkeit = Weg / Zeit oder &lt;math&gt;v = {s \over t}&lt;/math&gt;

Also ist der Weg = Geschwidigkeit x Zeit &lt;math&gt;s = v \cdot t&lt;/math&gt;

die errechnete Zeit und Tinas Geschwindigkeit eingesetzt.

&lt;math&gt;s = {15 {km \over h} \cdot{25 \over 32}h}= 11,72 km&lt;/math&gt;

'''Tina ist also in 46,8 Minuten 11,72 km weit gefahren, bis sie mit Karin zusammentrift.'''

===Lösung 2===

Der zweite Ansatz erfordert schon die Kenntnis einer allgemeinen Geradengleichung.

&lt;math&gt;y = m \cdot x + c&lt;/math&gt;

'''m''' ist darin die Steigung der Geraden und '''c''' der Achsenabschnitt auf der y-Achse

[[Bild:Treffpunkt.png|framed|Die Geradengleichungen als Gafik]]

Die Steigungen sind hierbei die Geschwindigkeiten. Einen Achsenabschnitt hat nur die Gerade von Karin, da sie ja in '''B''', was ja von '''A''' 25 km entfernt liegt, startet. 

Die Geradengleichung für Tina:

&lt;math&gt;y = 15 {km \over h} \cdot x + 0&lt;/math&gt;

Die Geradengleichung für Karin:

&lt;math&gt;y = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km&lt;/math&gt;

Man sieht auch, dass vor der Geschwindigkeit von Karin ein Minus steht, da die Steigung der Geraden negativ ist.

Man sieht in der Grafik schön, dass es genau einen Punkt gibt, in dem sich die Geraden kreuzen. Das ist der Zeitpunkt der Begegnung. Und da die Werte für '''y''' in diesem Punkt die gleichen sind, setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich. (Man nennt diesen Verfahren darum '''Gleichsetzungsverfahren''')

&lt;math&gt; 15 {km \over h} \cdot x + 0 = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km &lt;/math&gt;

==== Ausrechnen ====

&lt;math&gt; 15x  = -17x + 25 &lt;/math&gt; '''| +17x'''

&lt;math&gt; 32x  =  25 &lt;/math&gt; '''| /32 '''

&lt;math&gt; x  =  {25 \over 32} &lt;/math&gt;

Wie man sieht, kommt auch in dieser Lösung das gleiche Ergebnis raus. Den Weg kann man jetzt gaenau wie in Lösung 1 berechnen.

===Suchbegriffe===

Geschwindigkeitsaufgabe, Geschwindigkeit, Termbildung

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft]]


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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    <comment>/* Lösung: */</comment>
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    <text bytes="4161" xml:space="preserve">==Aufgabe==

Die Orte '''A''' und '''B''' liegen 25 km von einander entfernt. Tina startet um 14:00 Uhr in '''A''' und fährt mit einer Geschwindigkeit von 15 km/h in Richtung '''B'''. Zur gleichen Zeit startet Karin in '''B''' und fährt mit 17 km/h in Richtung '''A'''. 

Nach wieviel Kilometern und nach welcher Zeit treffen sich die beiden Mädchen zwischen '''A''' und '''B'''?
===Tipps ;)===

Wenn ihr Probleme mit der Aufgabenstellung habt, solltet ihr euch erst mal eine Zeichnung machen. Dabei malt man die beiden Orte auf und trägt alle Daten ein, die gegeben sind.

===Lösung:===

==== Was ist x ====

Die Geschwindigkeit der Mädchen wird in km/h angegeben. Gesucht ist einmal der gefahrene Weg und zum anderen die verstrichene Zeit seit 14:00 Uhr bis zum Treffpunkt.

Für x nehmen wir am besten die gefahrene Zeit.

==== Term aufstellen ====

Der Term besteht aus zwei Teilen die jeder für sich die Formel für das entsprechende Mädchen darstellt.

Man muss allerdings einen wichtigen Punkt dabei berücksichtigen. Da Karin genau in die entgegengesetzte Richtung fährt und bei '''B''' startet, muss ihre Formel von 25 km abgezogen werden. Also ergibt sich:


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} &lt;/math&gt; für Tina

&lt;math&gt; 25 km - (x \cdot 17{km \over h}) &lt;/math&gt; für Karin

Die beiden Formeln werden nun Gleichgesetzt:

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt;

==== Zeit Ausrechnen ====

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt; '''| +17x'''


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} +x \cdot 17{km \over h}  = 25 km &lt;/math&gt; '''| x ausklammern'''


&lt;math&gt;x \cdot (15 {km \over h} +  17{km \over h})  = 25 km &lt;/math&gt; '''| / 32 km/h'''


&lt;math&gt;x  = {25km \over (15 {km \over h} +  17{km \over h})} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x  = {25km \over  32{km \over h}} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x  = {25 \over 32}  h =  0,78125 h = 46,8 Minuten&lt;/math&gt;

Km kürzt sich raus und übrig bleibt h (Stunden). Sie treffen sich also nach ca.46,8 Minuten.


==== Weg Ausrechnen ====

Der Weg errechnet sich dann über die Geschwindigkeit (wir nehmen die von Tina) und die Zeit.

Geschwindigkeit = Weg / Zeit oder &lt;math&gt;v = {s \over t}&lt;/math&gt;

Also ist der Weg = Geschwidigkeit x Zeit &lt;math&gt;s = v \cdot t&lt;/math&gt;

die errechnete Zeit und Tinas Geschwindigkeit eingesetzt.

&lt;math&gt;s = {15 {km \over h} \cdot{25 \over 32}h}= 11,72 km&lt;/math&gt;

'''Tina ist also in 46,8 Minuten 11,72 km weit gefahren, bis sie mit Karin zusammentrift.'''

===Lösung 2===

Der zweite Ansatz erfordert schon die Kenntnis einer allgemeinen Geradengleichung.

&lt;math&gt;y = m \cdot x + c&lt;/math&gt;

'''m''' ist darin die Steigung der Geraden und '''c''' der Achsenabschnitt auf der y-Achse

[[Bild:Treffpunkt.png|framed|Die Geradengleichungen als Grafik]]

Die Steigungen sind hierbei die Geschwindigkeiten. Einen Achsenabschnitt hat nur die Gerade von Karin, da sie ja in '''B''', was ja von '''A''' 25 km entfernt liegt, startet. 

Die Geradengleichung für Tina:

&lt;math&gt;y = 15 {km \over h} \cdot x + 0&lt;/math&gt;

Die Geradengleichung für Karin:

&lt;math&gt;y = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km&lt;/math&gt;

Man sieht auch, dass vor der Geschwindigkeit von Karin ein Minus steht, da die Steigung der Geraden negativ ist.

Man sieht in der Grafik schön, dass es genau einen Punkt gibt, in dem sich die Geraden kreuzen. Das ist der Zeitpunkt der Begegnung. Und da die Werte für '''y''' in diesem Punkt die gleichen sind, setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich. (Man nennt diesen Verfahren darum '''Gleichsetzungsverfahren''')

&lt;math&gt; 15 {km \over h} \cdot x + 0 = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km &lt;/math&gt;

==== Ausrechnen ====

&lt;math&gt; 15x  = -17x + 25 &lt;/math&gt; '''| +17x'''

&lt;math&gt; 32x  =  25 &lt;/math&gt; '''| /32 '''

&lt;math&gt; x  =  {25 \over 32} &lt;/math&gt;

Wie man sieht, kommt auch in dieser Lösung das gleiche Ergebnis raus. Den Weg kann man jetzt genau wie in Lösung 1 berechnen.

===Suchbegriffe===

Geschwindigkeitsaufgabe, Geschwindigkeit, Termbildung

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft]]


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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  <title>Benutzer Diskussion:95.90.239.118</title>
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    <comment>Begrüßung eines neuen Autors</comment>
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    <text bytes="952" xml:space="preserve">==Willkommen==

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  <title>Quadratische Gleichungen: Ein Stein fällt in einen Brunnen</title>
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      <username>46.31.223.228</username>
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    <comment>/* B: Berechnung der Brunnentiefe */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2531" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach 5s hört man den Aufschlag. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 330m/s. Die Erdbeschleunigung beträgt g = 9,81 m/s².

'''A:''' Beschreiben sie den Vorgang zur Bestimmung der Tiefe.

'''B:''' Wie tief ist der Brunnen.

'''C:''' Zeichnen Sie das Weg/Zeit –Diagramm des Vorgangs.

== Tipps ==


== Lösung ==


=== A: Vorgangsbeschreibung ===

Mit einer Stoppuhr misst man die Zeit bis zum Aufprall. Die gemessene Zeit ist die Summe für die Fallzeit und die Zeit, die der Schall braucht um wieder aufzusteigen. Der Weg, den beide zurücklegen müssen, ist der gleiche. Die genaue Vorgehensweise ist im folgenden Punkt schlecht erklärt.

=== B: Berechnung der Brunnentiefe ===

Formel für den freien Fall

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;1&gt;'''


Formel für den Schall

:h = V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;2&gt;'''


Weiter gilt:

:t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; = 5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;'''


Da der Schall die gleiche Strecke zurücklegen muss, wie der Stein kann man die Formeln '''&lt;1&gt;''' und '''&lt;2&gt;''' Gleichsetzen.

:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt;


Und für t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;''' einsetzen.


:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × (5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;)

:

:&lt;math&gt;
{{9,81} \over 2} \times \mathop t\nolimits_{fall}^2  + 340{m \over s} \times \mathop t\nolimits_{fall}  - 1700 = 0&lt;/math&gt;


'''Das ist eine quadratische Gleichung mit'''

:'''a''' = g/2
:'''b''' = -330
:'''c''' = -1650

Eingesetzt in die [[Lösungsformel für quadratische Gleichungen]]

:&lt;math&gt; \mathop x\nolimits_{1/2}  = {{ - b \pm \sqrt {b^2  - 4ac} } \over {2a}} &lt;/math&gt;

ergibt zwei Lösungen:

:x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;= 4,675s
:x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;= -71,953s

Da es keine negative Fallzeit gibt, muss die Lösung für '''t&lt;sub&gt; fall&lt;/sub&gt; = 4.675s''' sein.

Eingesetzt in '''&lt;1&gt;'''

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;

:h = ½ × 9,81 m/s² × 4,675s ²


:'''h = 107,20 m'''

'''Die Brunnentiefe ist also 107,20 m'''

=== C: Weg-Zeit-Diagramm ===

[[Bild:stein_brunnen_wegzeit.PNG|1x1px]]
Das Diagramm ist falsch, da zunächst ein freier Fall stattfindet und deshalb die  zugehörige t-h-Kurve eine Parabel sein muss. Nach t=4,684s bleibt dann der Weg konstant (Stein ist am Brunnenboden aufgeschlagen)

==Suchbegriffe==

Quadratische Gleichung, Brunnentiefe, Fallzeit, beschleunigte Bewegung, gleichförmige Bewegung

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==
[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 9]]</text>
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    <timestamp>2016-03-31T21:48:36Z</timestamp>
    <contributor>
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    <comment>/* B: Berechnung der Brunnentiefe */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2538" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach 5s hört man den Aufschlag. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 330m/s. Die Erdbeschleunigung beträgt g = 9,81 m/s².

'''A:''' Beschreiben sie den Vorgang zur Bestimmung der Tiefe.

'''B:''' Wie tief ist der Brunnen.

'''C:''' Zeichnen Sie das Weg/Zeit –Diagramm des Vorgangs.

== Tipps ==


== Lösung ==


=== A: Vorgangsbeschreibung ===

Mit einer Stoppuhr misst man die Zeit bis zum Aufprall. Die gemessene Zeit ist die Summe für die Fallzeit und die Zeit, die der Schall braucht um wieder aufzusteigen. Der Weg, den beide zurücklegen müssen, ist der gleiche. Die genaue Vorgehensweise ist im folgenden Punkt schlecht erklärt.

=== B: Berechnung der Brunnentiefe ===

Formel für den freien Fall

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;1&gt;'''


Formel für den Schall

:h = V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;2&gt;'''


Weiter gilt:

:t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; =  4,3576s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;'''


Da der Schall die gleiche Strecke zurücklegen muss, wie der Stein kann man die Formeln '''&lt;1&gt;''' und '''&lt;2&gt;''' Gleichsetzen.

:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt;


Und für t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;''' einsetzen.


:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × (5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;)

:

:&lt;math&gt;
{{9,81} \over 2} \times \mathop t\nolimits_{fall}^2  + 340{m \over s} \times \mathop t\nolimits_{fall}  - 1700 = 0&lt;/math&gt;


'''Das ist eine quadratische Gleichung mit'''

:'''a''' = g/2
:'''b''' = -330
:'''c''' = -1650

Eingesetzt in die [[Lösungsformel für quadratische Gleichungen]]

:&lt;math&gt; \mathop x\nolimits_{1/2}  = {{ - b \pm \sqrt {b^2  - 4ac} } \over {2a}} &lt;/math&gt;

ergibt zwei Lösungen:

:x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;= 4,675s
:x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;= -71,953s

Da es keine negative Fallzeit gibt, muss die Lösung für '''t&lt;sub&gt; fall&lt;/sub&gt; = 4.675s''' sein.

Eingesetzt in '''&lt;1&gt;'''

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;

:h = ½ × 9,81 m/s² × 4,675s ²


:'''h = 107,20 m'''

'''Die Brunnentiefe ist also 107,20 m'''

=== C: Weg-Zeit-Diagramm ===

[[Bild:stein_brunnen_wegzeit.PNG|1x1px]]
Das Diagramm ist falsch, da zunächst ein freier Fall stattfindet und deshalb die  zugehörige t-h-Kurve eine Parabel sein muss. Nach t=4,684s bleibt dann der Weg konstant (Stein ist am Brunnenboden aufgeschlagen)

==Suchbegriffe==

Quadratische Gleichung, Brunnentiefe, Fallzeit, beschleunigte Bewegung, gleichförmige Bewegung

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==
[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 9]]</text>
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    <comment>/* A: Vorgangsbeschreibung */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2529" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach 5s hört man den Aufschlag. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 330m/s. Die Erdbeschleunigung beträgt g = 9,81 m/s².

'''A:''' Beschreiben sie den Vorgang zur Bestimmung der Tiefe.

'''B:''' Wie tief ist der Brunnen.

'''C:''' Zeichnen Sie das Weg/Zeit –Diagramm des Vorgangs.

== Tipps ==


== Lösung ==


=== A: Vorgangsbeschreibung ===

Mit einer Stoppuhr misst man die Zeit bis zum Aufprall. Die gemessene Zeit ist die Summe für die Fallzeit und die Zeit, die der Schall braucht um wieder aufzusteigen. Der Weg, den beide zurücklegen müssen, ist der gleiche. Die genaue Vorgehensweise ist im folgenden Punkt erklärt.

=== B: Berechnung der Brunnentiefe ===

Formel für den freien Fall

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;1&gt;'''


Formel für den Schall

:h = V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;2&gt;'''


Weiter gilt:

:t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; =  4,3576s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;'''


Da der Schall die gleiche Strecke zurücklegen muss, wie der Stein kann man die Formeln '''&lt;1&gt;''' und '''&lt;2&gt;''' Gleichsetzen.

:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt;


Und für t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;''' einsetzen.


:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × (5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;)

:

:&lt;math&gt;
{{9,81} \over 2} \times \mathop t\nolimits_{fall}^2  + 340{m \over s} \times \mathop t\nolimits_{fall}  - 1700 = 0&lt;/math&gt;


'''Das ist eine quadratische Gleichung mit'''

:'''a''' = g/2
:'''b''' = -330
:'''c''' = -1650

Eingesetzt in die [[Lösungsformel für quadratische Gleichungen]]

:&lt;math&gt; \mathop x\nolimits_{1/2}  = {{ - b \pm \sqrt {b^2  - 4ac} } \over {2a}} &lt;/math&gt;

ergibt zwei Lösungen:

:x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;= 4,675s
:x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;= -71,953s

Da es keine negative Fallzeit gibt, muss die Lösung für '''t&lt;sub&gt; fall&lt;/sub&gt; = 4.675s''' sein.

Eingesetzt in '''&lt;1&gt;'''

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;

:h = ½ × 9,81 m/s² × 4,675s ²


:'''h = 107,20 m'''

'''Die Brunnentiefe ist also 107,20 m'''

=== C: Weg-Zeit-Diagramm ===

[[Bild:stein_brunnen_wegzeit.PNG|1x1px]]
Das Diagramm ist falsch, da zunächst ein freier Fall stattfindet und deshalb die  zugehörige t-h-Kurve eine Parabel sein muss. Nach t=4,684s bleibt dann der Weg konstant (Stein ist am Brunnenboden aufgeschlagen)

==Suchbegriffe==

Quadratische Gleichung, Brunnentiefe, Fallzeit, beschleunigte Bewegung, gleichförmige Bewegung

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==
[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 9]]</text>
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    <text bytes="2550" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach 5s hört man den Aufschlag. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 330m/s. Die Erdbeschleunigung beträgt g = 9,81 m/s².

'''A:''' Beschreiben sie den Vorgang zur Bestimmung der Tiefe.

'''B:''' Wie tief ist der Brunnen.

'''C:''' Zeichnen Sie das Weg/Zeit –Diagramm des Vorgangs.

== Tipps ==


== Lösung ==


=== A: Vorgangsbeschreibung ===

Mit einer Stoppuhr misst man die Zeit bis zum Aufprall. Die gemessene Zeit ist die Summe für die Fallzeit und die Zeit, die der Schall braucht um wieder aufzusteigen. Der Weg, den beide zurücklegen müssen, ist der gleiche. Die genaue Vorgehensweise ist im folgenden Punkt erklärt

&lt;nowiki&gt;#&lt;/nowiki&gt;fz

=== B: Berechnung der Brunnentiefe ===

Formel für den freien Fall

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;1&gt;'''


Formel für den Schall

:h = V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;2&gt;'''


Weiter gilt:

:t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; =  4,3576s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;'''


Da der Schall die gleiche Strecke zurücklegen muss, wie der Stein kann man die Formeln '''&lt;1&gt;''' und '''&lt;2&gt;''' Gleichsetzen.

:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt;


Und für t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;''' einsetzen.


:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × (5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;)

:

:&lt;math&gt;
{{9,81} \over 2} \times \mathop t\nolimits_{fall}^2  + 340{m \over s} \times \mathop t\nolimits_{fall}  - 1700 = 0&lt;/math&gt;


'''Das ist eine quadratische Gleichung mit'''

:'''a''' = g/2
:'''b''' = -330
:'''c''' = -1650

Eingesetzt in die [[Lösungsformel für quadratische Gleichungen]]

:&lt;math&gt; \mathop x\nolimits_{1/2}  = {{ - b \pm \sqrt {b^2  - 4ac} } \over {2a}} &lt;/math&gt;

ergibt zwei Lösungen:

:x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;= 4,675s
:x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;= -71,953s

Da es keine negative Fallzeit gibt, muss die Lösung für '''t&lt;sub&gt; fall&lt;/sub&gt; = 4.675s''' sein.

Eingesetzt in '''&lt;1&gt;'''

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;

:h = ½ × 9,81 m/s² × 4,675s ²


:'''h = 107,20 m'''

'''Die Brunnentiefe ist also 107,20 m'''

=== C: Weg-Zeit-Diagramm ===

[[Bild:stein_brunnen_wegzeit.PNG|1x1px]]
Das Diagramm ist falsch, da zunächst ein freier Fall stattfindet und deshalb die  zugehörige t-h-Kurve eine Parabel sein muss. Nach t=4,684s bleibt dann der Weg konstant (Stein ist am Brunnenboden aufgeschlagen)

==Suchbegriffe==

Quadratische Gleichung, Brunnentiefe, Fallzeit, beschleunigte Bewegung, gleichförmige Bewegung

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==
[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 9]]</text>
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    <comment>/* Aufgabe */</comment>
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    <text bytes="2545" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach 5s hört man den Aufschlag. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 330m/s. Die Erdbeschleunigung beträgt g = 9,81 m/s².

'''A:''' Beschreiben sie den Vorgang zur Bestimmung der Tiefe.

'''B:''' Wie tief ist der Brunnen.

'''C:''' Zeichnen Sie das Weg/Zeit –Diagramm des Vorgangs.

== Tipps ==


== Lösung ==


=== A: Vorgangsbeschreibung ===

Mit einer Stoppuhr misst man die Zeit bis zum Aufprall. Die gemessene Zeit ist die Summe für die Fallzeit und die Zeit, die der Schall braucht um wieder aufzusteigen. Der Weg, den beide zurücklegen müssen, ist der gleiche. Die genaue Vorgehensweise ist im folgenden Punkt erklärt

&lt;nowiki&gt;#&lt;/nowiki&gt;fz

=== B: Berechnung der Brunnentiefe ===

Formel für den freien Fall

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;1&gt;'''


Formel für den Schall

:h = V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;2&gt;'''


Weiter gilt:

:t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; =  5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;'''


Da der Schall die gleiche Strecke zurücklegen muss, wie der Stein kann man die Formeln '''&lt;1&gt;''' und '''&lt;2&gt;''' Gleichsetzen.

:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt;


Und für t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;''' einsetzen.


:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × (5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;)

:

:&lt;math&gt;
{{9,81} \over 2} \times \mathop t\nolimits_{fall}^2  + 340{m \over s} \times \mathop t\nolimits_{fall}  - 1700 = 0&lt;/math&gt;


'''Das ist eine quadratische Gleichung mit'''

:'''a''' = g/2
:'''b''' = -330
:'''c''' = -1650

Eingesetzt in die [[Lösungsformel für quadratische Gleichungen]]

:&lt;math&gt; \mathop x\nolimits_{1/2}  = {{ - b \pm \sqrt {b^2  - 4ac} } \over {2a}} &lt;/math&gt;

ergibt zwei Lösungen:

:x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;= 4,675s
:x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;= -71,953s

Da es keine negative Fallzeit gibt, muss die Lösung für '''t&lt;sub&gt; fall&lt;/sub&gt; = 4.675s''' sein.

Eingesetzt in '''&lt;1&gt;'''

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;

:h = ½ × 9,81 m/s² × 4,675s ²


:'''h = 107,20 m'''

'''Die Brunnentiefe ist also 107,20 m'''

=== C: Weg-Zeit-Diagramm ===

[[Bild:stein_brunnen_wegzeit.PNG|1x1px]]
Das Diagramm ist falsch, da zunächst ein freier Fall stattfindet und deshalb die  zugehörige t-h-Kurve eine Parabel sein muss. Nach t=4,684s bleibt dann der Weg konstant (Stein ist am Brunnenboden aufgeschlagen)

==Suchbegriffe==

Quadratische Gleichung, Brunnentiefe, Fallzeit, beschleunigte Bewegung, gleichförmige Bewegung

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==
[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 9]]</text>
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  <title>Benutzer Diskussion:46.31.223.228</title>
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    <comment>Begrüßung eines neuen Autors</comment>
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    <text bytes="961" xml:space="preserve">==Willkommen==

Hi, Willkommen bei {{SITENAME}}! Danke für deine Bearbeitung auf der Seite [[:Quadratische Gleichungen: Ein Stein fällt in einen Brunnen]].

'''[[Special:Userlogin|Bitte lege dir ein Benutzerkonto an]]'''. So kannst du ganz einfach deine Beiträge im Überblick behalten und dich besser mit dem Rest der Community verständigen.

Wenn du Hilfe brauchst, und kein Admin von hier in der Nähe ist, möchtest du vielleicht das [[w:c:de.community:Forum:Übersicht|deutschsprachige Wikia-Forum]] besuchen. Falls du an Neuigkeiten rund um Wikia interessiert bist, wirf doch einen Blick in das [[w:c:de.community:Blog:Wikia_Deutschland_News|Wikia Deutschland Blog]]. ForestFairy&lt;staff /&gt; &lt;small&gt;([[w:c:de.c:Special:Forum|Hilfe]] | [[w:c:de.c:Blog:Wikia Deutschland News|Blog]])&lt;/small&gt; 14:28, 25. Nov. 2015 (UTC)

----
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  <title>Benutzer Diskussion:188.96.179.208</title>
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    <text bytes="962" xml:space="preserve">==Willkommen==

Hi, Willkommen bei {{SITENAME}}! Danke für deine Bearbeitung auf der Seite [[:Quadratische Gleichungen: Ein Stein fällt in einen Brunnen]].

'''[[Special:Userlogin|Bitte lege dir ein Benutzerkonto an]]'''. So kannst du ganz einfach deine Beiträge im Überblick behalten und dich besser mit dem Rest der Community verständigen.

Wenn du Hilfe brauchst, und kein Admin von hier in der Nähe ist, möchtest du vielleicht das [[w:c:de.community:Forum:Übersicht|deutschsprachige Wikia-Forum]] besuchen. Falls du an Neuigkeiten rund um Wikia interessiert bist, wirf doch einen Blick in das [[w:c:de.community:Blog:Wikia_Deutschland_News|Wikia Deutschland Blog]]. ForestFairy&lt;staff /&gt; &lt;small&gt;([[w:c:de.c:Special:Forum|Hilfe]] | [[w:c:de.c:Blog:Wikia Deutschland News|Blog]])&lt;/small&gt; 21:48, 31. Mär. 2016 (UTC)

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PS: Mit diesem Benutzerkonto kannst du in jedem Wiki bei [[w:c:de|Wikia]] aktiv sein - du brauchst dich nicht nochmal neu anmelden.</text>
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  <title>Diskussion:Waage und 10 Münzen</title>
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    <text bytes="1983" xml:space="preserve">== Aufgabe ist - mit diesen Angaben - jedenfalls nicht lösbar ==

Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:
: ''Wie kann man mit moeglichst wenigen Waegevorgaengen auf der Balkenwaage herausfinden, ob es unter den gegebenen 10 Muenzen falsche Muenzen gibt?''

Nachdem die Angabe aber nicht ausschließt, daß alle 10 Münzen falsch sind, kann daraus, daß alle Münzen gleich schwer sind, noch nicht geschlossen werden alle seinen auch echt.

Daher sollte in die Angabe zusätzlich aufgenommen werden, daß zumindest eine Münze echt ist, oder die Fragestellung dahingehend geändert werden festzustellen ob alle Münzen gelich schwer sind. -- [[Benutzer:83.65.195.13|83.65.195.13]] 03:00, 31. Jan 2007 (UTC)

== Anmerkung zu den Lösungen ==

Die Aufgabenstellung fordert:
: ''Wie kann man mit moeglichst wenigen Waegevorgaengen auf der Balkenwaage...''

Daher würde ich meinen, daß eigentlich nur [[Waage und 10 Münzen, Lösung 2]] eine gültige Lösung darstellt, da sie nur 3 Wägungen benötigt, während [[Waage und 10 Münzen, Lösung 1]] ja 4 Wägungen braucht.

Zumindest wäre es meines erachtens sinnvoll die Reihenfolge der Lösungen zu ändern und die suboptimale Lösung auch schon in der Liste zu kennzeichnen. -- [[Benutzer:83.65.195.13|83.65.195.13]] 03:07, 31. Jan 2007 (UTC)

&lt;p style="margin-bottom: 0cm; line-height: 100%"&gt;==Wenn alle Wägungen Gleichgewicht zeigen, dann sind alle Münzen gleich schwer==&lt;/p&gt;

&lt;p style="margin-bottom: 0cm; line-height: 100%"&gt;Die frage lautete: ''Wie kann man mit moeglichst wenigen Waegevorgaengen auf der Balkenwaage herausfinden, ob es unter den gegebenen 10 Muenzen falsche Muenzen gibt? ''&lt;br&gt;Diese Aufgabe ist nicht lösbar wenn alle Münzen gleich schwer sind. Denn es können alle echt oder falsch sein. Deshalb notwendig ist Info, daß nicht alle glechzeitig falsch sein können&lt;br&gt;[[Benutzer:ẞtaniſlaus Frÿ|ẞtaniſlaus Frÿ]] ([[Benutzer Diskussion:ẞtaniſlaus Frÿ|Diskussion]]) 21:17, 2. Apr. 2016 (UTC)&lt;/p&gt;</text>
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    <text bytes="1881" xml:space="preserve">== Aufgabe ist - mit diesen Angaben - jedenfalls nicht lösbar ==

Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:
: ''Wie kann man mit moeglichst wenigen Waegevorgaengen auf der Balkenwaage herausfinden, ob es unter den gegebenen 10 Muenzen falsche Muenzen gibt?''

Nachdem die Angabe aber nicht ausschließt, daß alle 10 Münzen falsch sind, kann daraus, daß alle Münzen gleich schwer sind, noch nicht geschlossen werden alle seinen auch echt.

Daher sollte in die Angabe zusätzlich aufgenommen werden, daß zumindest eine Münze echt ist, oder die Fragestellung dahingehend geändert werden festzustellen ob alle Münzen gelich schwer sind. -- [[Benutzer:83.65.195.13|83.65.195.13]] 03:00, 31. Jan 2007 (UTC)

== Anmerkung zu den Lösungen ==

Die Aufgabenstellung fordert:
: ''Wie kann man mit moeglichst wenigen Waegevorgaengen auf der Balkenwaage...''

Daher würde ich meinen, daß eigentlich nur [[Waage und 10 Münzen, Lösung 2]] eine gültige Lösung darstellt, da sie nur 3 Wägungen benötigt, während [[Waage und 10 Münzen, Lösung 1]] ja 4 Wägungen braucht.

Zumindest wäre es meines erachtens sinnvoll die Reihenfolge der Lösungen zu ändern und die suboptimale Lösung auch schon in der Liste zu kennzeichnen. -- [[Benutzer:83.65.195.13|83.65.195.13]] 03:07, 31. Jan 2007 (UTC)

==Wenn alle Wägungen Gleichgewicht zeigen, dann sind alle Münzen gleich schwer==

Die frage lautete: ''Wie kann man mit moeglichst wenigen Waegevorgaengen auf der Balkenwaage herausfinden, ob es unter den gegebenen 10 Muenzen falsche Muenzen gibt? ''&lt;br&gt;Diese Aufgabe ist nicht lösbar wenn alle Münzen gleich schwer sind. Denn es können alle echt oder falsch sein. Deshalb notwendig ist Info, daß nicht alle glechzeitig falsch sein können&lt;br&gt;[[Benutzer:ẞtaniſlaus Frÿ|ẞtaniſlaus Frÿ]] ([[Benutzer Diskussion:ẞtaniſlaus Frÿ|Diskussion]]) 21:17, 2. Apr. 2016 (UTC)&lt;/p&gt;</text>
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  <title>Benutzer Diskussion:ẞtaniſlaus Frÿ</title>
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    <text bytes="605" xml:space="preserve">==Willkommen==

Hi, Willkommen bei {{SITENAME}}! Danke für deine Bearbeitung auf der Seite [[:Diskussion:Waage und 10 Münzen]].

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    <text bytes="169" xml:space="preserve">== A B C Formel ==

&lt;math&gt;x_{1/2}  = {{ - b \pm \sqrt {b^2  - 4ac} } \over {2a}} &lt;/math&gt;

== p q Formel ==

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    <text bytes="211" xml:space="preserve">== A B C Formel ==

&lt;math&gt;x_{1/2}  = {{ - b \pm \sqrt {b^2  - 4ac} } \over {2a}} &lt;/math&gt;

== p q Formel ==

&lt;math&gt;x_{1/2} = -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2}{2}-q}&lt;/math&gt;     (s:g+t)*s - √(s*s*(2*t*s:g+s*s:g*g)</text>
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  <title>Krüge, 3 und 5 gibt 4, Lösung 2</title>
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Dies ist die Lösung 2 von Aufgabe [[Krüge, 3 und 5 gibt 4]].

* 3-Liter-Krug füllen. Die gesamten 3 Liter in den 5-Liter-Krug umfüllen. (Im 5-Liter-Krug sind jetzt 3 Liter.)
* 3-Liter-Krug erneut füllen. 
* Aus dem 3-Liter-Krug soviel Wasser in den 5-Liter-Krug dazufüllen, bis dieser voll ist. (Im 3-Liter-Krug verbleibt 1 Liter.)
* Den 5-Liter-Krug leeren.
* Den 1 Liter aus dem 3-Liter-Krug in den 5-Liter-Krug umfüllen. (Im 5-Liter-Krug ist jetzt 1 Liter.)
* Den 3-Liter-Krug füllen und den gesamten Inhalt in den 5-Liter-Krug dazufüllen.
- Im 5-Liter-Krug sind jetzt genau 4 Liter.
scheiße ne geht so nicht tuht mir leid
[[Kategorie:Denksport_Loesung]]</text>
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Dies ist die Lösung 2 von Aufgabe [[Krüge, 3 und 5 gibt 4]].

* 3-Liter-Krug füllen. Die gesamten 3 Liter in den 5-Liter-Krug umfüllen. (Im 5-Liter-Krug sind jetzt 3 Liter.)
* 3-Liter-Krug erneut füllen. 
* Aus dem 3-Liter-Krug soviel Wasser in den 5-Liter-Krug dazufüllen, bis dieser voll ist. (Im 3-Liter-Krug verbleibt 1 Liter.) deine mutter
scheiße
* Den 5-Liter-Krug leeren.
* Den 1 Liter aus dem 88-Liter-Krug in den 5-Liter-Krug umfüllen. (Im 5-Liter-Krug ist jetzt 1 Liter.)
* Den 3-Liter-Krug füllen und den gesamten Inhalt in den 5-Liter-Krug dazufüllen.
- Im 5-Liter-Krug sind jetzt genau 4 Liter.
scheiße ne geht so nicht tuht mir leid
[[Kategorie:Denksport_Loesung]]</text>
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    <text bytes="701" xml:space="preserve">
Dies ist die Lösung 2 von Aufgabe [[Krüge, 3 und 5 gibt 4]].

* 3-Liter-Krug füllen. Die gesamten 3 Liter in den 5-Liter-Krug umfüllen. (Im 5-Liter-Krug sind jetzt 3 Liter.)
* 3-Liter-Krug erneut füllen. 
* Aus dem 3-Liter-Krug soviel Wasser in den 5-Liter-Krug dazufüllen, bis dieser voll ist. (Im 3-Liter-Krug verbleibt 1 Liter.) deine mutter
scheiße
* Den 5-Liter-Krug leeren.
* Den 1 Liter aus dem 88-Liter-Krug in den 5-Liter-Krug umfüllen. (Im gfv ,tfvgruioop.r-Krug ist jetzt 1 Liter.)
* Den 3-Liter-Krug füllen und den gesamten Inhalt in den 5-Liter-Krug dazufüllen.
- Im 5-Liter-Krug sind jetzt genau 4 Liter.
scheiße ne geht so nicht tuht mir leid
[[Kategorie:Denksport_Loesung]]</text>
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Dies ist die Lösung 2 von Aufgabe [[Krüge, 3 und 5 gibt 4]].

* 3-Liter-Krug füllen. Die gesamten 3 Liter in den 5-Liter-Krug umfüllen. (Im 5-Liter-Krug sind jetzt 3 Liter.)
* 3-Liter-Krug erneut füllen.
* Aus dem 3-Liter-Krug soviel Wasser in den 5-Liter-Krug dazufüllen, bis dieser voll ist. (Im 3-Liter-Krug verbleibt 1 Liter.)
* Den 5-Liter-Krug leeren.
* Den 1 Liter aus dem 3-Liter-Krug in den 5-Liter-Krug umfüllen. (Im 5-Literr-Krug ist jetzt 1 Liter.)
* Den 3-Liter-Krug füllen und den gesamten Inhalt in den 5-Liter-Krug dazufüllen.
- Im 5-Liter-Krug sind jetzt genau 4 Liter.
[[Kategorie:Denksport_Loesung]]</text>
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    <text bytes="935" xml:space="preserve">==Willkommen==

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    <text bytes="961" xml:space="preserve">==Willkommen==

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    <text bytes="935" xml:space="preserve">==Willkommen==

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    <comment>Begrüßung eines neuen Autors</comment>
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  <title>Analysis</title>
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    <comment>Die Seite wurde neu angelegt: „Die folgende Kurzbeschreibung soll einen Einblick geben, welche Aufgaben in dieser Kategorie zu finden sind.  Die '''Analysis''' ist ein Teilgebiet der Mathema…“</comment>
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    <text bytes="1114" xml:space="preserve">Die folgende Kurzbeschreibung soll einen Einblick geben, welche Aufgaben in dieser Kategorie zu finden sind.

Die '''Analysis''' ist ein Teilgebiet der Mathematik, dessen Grundlagen von Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton unabhängig voneinander entwickelt wurden.

Die grundlegende Analysis befasst sich mit Grenzwerten von Folgen und Reihen sowie mit Funktionen reeller Zahlen und deren Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integration. Viele wichtige Funktionen der Analysis lassen sich als Grenzwerte von Reihen darstellen.

Die Analysis arbeitet häufig mit Abschätzungen und Ungleichungen. Die Ergebnisse, die durch diese Techniken gewonnen werden, sind jedoch exakt.

Die Verallgemeinerung des Funktionsbegriffes in der Analysis auf Funktionen mit Definitions- und Wertebereich in den komplexen Zahlen ist Bestandteil der [[:Kategorie:Funktionentheorie|Funktionentheorie]].

==Teilgebiete==
Die Analysis wird in folgende Teilgebiete unterteilt:
*[[Reelle Analysis]]
*[[Funktionentheorie]] (komplexe Analysis)
*[[Funktionalanalysis]]
*[[Harmonische Analysis]]

[[en:Analysis]]
[[Kategorie:Analysis]]</text>
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    <text bytes="1086" xml:space="preserve">Die '''Analysis''' ist ein Teilgebiet der Mathematik, dessen Grundlagen von [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] und [[Isaac Newton]] unabhängig voneinander entwickelt wurden.

Die grundlegende Analysis befasst sich mit [[Grenzwert|Grenzwerten]] von Folgen und Reihen sowie mit [[Funktion|Funktionen]] [[Reelle Zahlen|reeller Zahlen]] und deren Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integration. Viele wichtige Funktionen der Analysis lassen sich als Grenzwerte von Reihen darstellen.

Die Analysis arbeitet häufig mit Abschätzungen und Ungleichungen. Die Ergebnisse, die durch diese Techniken gewonnen werden, sind jedoch exakt.

Die Verallgemeinerung des Funktionsbegriffes in der Analysis auf Funktionen mit Definitions- und Wertebereich in den komplexen Zahlen ist Bestandteil der [[:Kategorie:Funktionentheorie|Funktionentheorie]].

==Teilgebiete==
Die Analysis wird in folgende Teilgebiete unterteilt:
*[[Reelle Analysis]]
*[[:Kategorie:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] (komplexe Analysis)
*[[Funktionalanalysis]]
*[[Harmonische Analysis]]

[[en:Analysis]]
[[Kategorie:Analysis]]</text>
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Das Standardsymbol für eine Funktion ist &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;. Für &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;zugeordnete Werte schreibt man im Allgemeinen &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt;.</text>
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Das Standardsymbol für eine Funktion ist &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;. Für &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;zugeordnete Werte schreibt man im Allgemeinen &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt;.</text>
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    <text bytes="642" xml:space="preserve">Eine '''Funktion''' ist eine Regel, die jedem [[Element]] einer [[Definitionsmenge]] &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; (also &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;) genau ein Element der [[Wertemenge]] &lt;math&gt;W&lt;/math&gt;zuordnet. (&lt;math&gt;f\colon\,D\to Z&lt;/math&gt;) Da der Definitionsmenge meistens der Buchstabe &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;und der Wertemenge das &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;zugeordnet wird, kann man auch sagen: Jedem &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;-Wert wird ein &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;-Wert zugewiesen. (&lt;math&gt;f\colon\,x\mapsto y&lt;/math&gt;)

Das Standardsymbol für eine Funktion ist &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;. Für &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;zugeordnete Werte schreibt man im Allgemeinen &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt;.
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Das Standardsymbol für eine Funktion ist &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;. Für &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; zugeordnete Werte schreibt man im Allgemeinen &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt;, also &lt;math&gt;f(x) = y&lt;/math&gt;.
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[[Kategorie:Analysis]]
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    <text bytes="809" xml:space="preserve">Eine '''Funktion''' ist eine Regel, die jedem [[Element]] einer [[Definitionsmenge]] &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; (also &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;) genau ein Element der [[Wertemenge]] &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; zuordnet. (&lt;math&gt;f\colon\,D\to W&lt;/math&gt;) Da der Definitionsmenge meistens der Buchstabe &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; und der Wertemenge das &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; zugeordnet wird, kann man auch sagen: Jedem &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;-Wert wird ein &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;-Wert zugewiesen. (&lt;math&gt;f\colon\,x\mapsto y&lt;/math&gt;)

Das Standardsymbol für eine Funktion ist &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;. Für &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; zugeordnete Werte schreibt man im Allgemeinen &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt;, also &lt;math&gt;f(x) = y&lt;/math&gt;.

Eine Funktion kann in einem [[Koordinatensystem]] durch einen [[Funktionsgraph|Funktionsgraphen]] dargestellt werden.
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Funktionen]]
[[en:Function]]</text>
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    <comment>Die Seite wurde neu angelegt: „Unter der '''Definitionsmenge''' oder '''Definitionsbereich''' versteht man die Menge der Zahlen, die man in eine [[Funktion]] einsetzen darf. Durch die Funkti…“</comment>
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    <text bytes="271" xml:space="preserve">Unter der '''Definitionsmenge''' oder '''Definitionsbereich''' versteht man die Menge der Zahlen, die man in eine [[Funktion]] einsetzen darf. Durch die Funktion wird jeder dieser Zahlen eine Zahl aus der [[Wertemenge]] zugeordnet.

[[Kategorie:Funktionen]]
[[en:Domain]]</text>
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    <text bytes="286" xml:space="preserve">Unter der '''Definitionsmenge''' oder '''Definitionsbereich''' &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; versteht man die Menge der Zahlen, die man in eine [[Funktion]] einsetzen darf. Durch die Funktion wird jeder dieser Zahlen eine Zahl aus der [[Wertemenge]] zugeordnet.

[[Kategorie:Funktionen]]
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    <text bytes="223" xml:space="preserve">Unter '''Wertemenge''' oder '''Zielmenge''' bzw. '''-bereich''' versteht man die Menge der Zahlen, die durch eine [[Funktion]] den Zahlen der [[Definitionsmenge]] zugeordnet werden.

[[Kategorie:Funktionen]]
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    <text bytes="253" xml:space="preserve">Unter '''Wertemenge''' &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; oder '''Zielmenge''' &lt;math&gt;Z&lt;/math&gt; bzw. '''-bereich''' versteht man die Menge der Zahlen, die durch eine [[Funktion]] den Zahlen der [[Definitionsmenge]] zugeordnet werden.

[[Kategorie:Funktionen]]
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[[Kategorie:Funktionen]]
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    <text bytes="535" xml:space="preserve">Ein '''Funktionsgraph''' oder einfach nur '''Graph''' ist ein zweidimensionales grafisches Schaubild einer [[Funktion]] &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;. Dabei gilt &lt;math&gt;x\in D&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;y\in W&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;y=f(x)&lt;/math&gt;.

== Spezielle Graphen ==
* Der Graph einer [[Lineare Funktion|linearen Funktion]] ist eine [[Gerade]].
* Der Graph einer [[Quadratische Funktion|quadratischen Funktion]] ist eine [[Parabel]].
* Der Graph einer [[Lineare Funktion|Kehrwertfunktion]] ist eine [[Hyperbel]].
[[Kategorie:Funktionen]]
[[en:Graph of a function]]</text>
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    <text bytes="654" xml:space="preserve">Ein '''Funktionsgraph''' oder einfach nur '''Graph''' ist ein zweidimensionales grafisches Schaubild einer [[Funktion]] &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;. Dabei gilt &lt;math&gt;x\in D&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;y\in W&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;y=f(x)&lt;/math&gt;.

Durch [[Kurvendiskussion|Kurvendiskussionen]] können Graphen auf ihre geometrischen Eigenschaften untersucht werden.

== Spezielle Graphen ==
* Der Graph einer [[Lineare Funktion|linearen Funktion]] ist eine [[Gerade]].
* Der Graph einer [[Quadratische Funktion|quadratischen Funktion]] ist eine [[Parabel]].
* Der Graph einer [[Lineare Funktion|Kehrwertfunktion]] ist eine [[Hyperbel]].
[[Kategorie:Funktionen]]
[[en:Graph of a function]]</text>
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  <title>Kurvendiskussion</title>
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    <comment>Die Seite wurde neu angelegt: „Mithilfe einer '''Kurvendiskussion''' kann ein [[Funktionsgraph]] auf seine geometrischen Eigenschaften untersucht werden. Dabei untersucht man: * [[Ableitung|…“</comment>
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    <text bytes="601" xml:space="preserve">Mithilfe einer '''Kurvendiskussion''' kann ein [[Funktionsgraph]] auf seine geometrischen Eigenschaften untersucht werden. Dabei untersucht man:
* [[Ableitung|Ableitungen]]
* [[Symmetrieverhalten]]
** [[Achsensymmetrie zur y-Achse]] 
** [[Punktsymmetrie zum Ursprung]]
** [[Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse]]
** [[Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt]]
* Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ([[Nullstelle|Nullstellen]] und [[y-Achsen-Abschnitt]])
* [[Extrempunkte]]
* [[Wendepunkte]] und [[Sattelpunkte]]
* [[Verhalten im Unendlichen]]

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Funktionen]]</text>
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  <title>Ableitung</title>
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    <comment>Die Seite wurde neu angelegt: „Die '''Ableitung''' &lt;math&gt;f'(x)&lt;/math&gt;, auch '''Differentialquotient''' genannt, entspricht geometrisch der [[Tangentensteigung]] der [[Funktion]] &lt;math&gt;f&lt;/mat…“</comment>
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    <text bytes="690" xml:space="preserve">Die '''Ableitung''' &lt;math&gt;f'(x)&lt;/math&gt;, auch '''Differentialquotient''' genannt, entspricht geometrisch der [[Tangentensteigung]] der [[Funktion]] &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, von der sie abgeleitet ist. Da jeder Wert aus dem [[Definitionsmenge|Definitionsbereich]] der Funktion &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;ableitbar ist, erhält man eine neue Funktion &lt;math&gt;f'&lt;/math&gt;, die sogenannte ''Ableitungsfunktion'' oder einfach nur ''Ableitung von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;''. 

Die Ableitung der Funktion &lt;math&gt;f(x) = x^2&lt;/math&gt; lautet beispielsweise &lt;math&gt;f'(x) = 2x&lt;/math&gt;.

== Berechnung ==
Man nennt das Berechnen einer Ableitung auch ''Differentiation.''

Es gibt mehrere Möglichkeiten die Ableitung einer Funktion zu berechnen:</text>
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  <title>Quadratische Gleichungen: Ein Stein fällt in einen Brunnen</title>
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    <text bytes="2334" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach 5s hört man den Aufschlag. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 330m/s. Die Erdbeschleunigung beträgt g = 9,81 m/s².

'''A:''' Beschreiben sie den Vorgang zur Bestimmung der Tiefe.

'''B:''' Wie tief ist der Brunnen.

'''C:''' Zeichnen Sie das Weg/Zeit –Diagramm des Vorgangs.

== Tipps ==


== Lösung ==


=== A: Vorgangsbeschreibung ===

Mit einer Stoppuhr misst man die Zeit bis zum Aufprall. Die gemessene Zeit ist die Summe für die Fallzeit und die Zeit, die der Schall braucht um wieder aufzusteigen. Der Weg, den beide zurücklegen müssen, ist der gleiche. Die genaue Vorgehensweise ist im folgenden Punkt erklärt

&lt;nowiki&gt;#&lt;/nowiki&gt;fz

=== B: Berechnung der Brunnentiefe ===

Formel für den freien Fall

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;1&gt;'''


Formel für den Schall

:h = V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;2&gt;'''


Weiter gilt:

:t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; =  5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;'''


Da der Schall die gleiche Strecke zurücklegen muss, wie der Stein kann man die Formeln '''&lt;1&gt;''' und '''&lt;2&gt;''' Gleichsetzen.

:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt;


Und für t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;''' einsetzen.


:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × (5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;)


'''Das ist eine quadratische Gleichung mit'''

:'''a''' = g/2
:'''b''' = -330
:'''c''' = -1650

Eingesetzt in die [[Lösungsformel für quadratische Gleichungen]]

:pq Formel

ergibt zwei Lösungen:

:x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;= 4,675s
:x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;= -71,953s

Da es keine negative Fallzeit gibt, muss die Lösung für '''t&lt;sub&gt; fall&lt;/sub&gt; = 4.675s''' sein.

Eingesetzt in '''&lt;1&gt;'''

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;

:h = ½ × 9,81 m/s² × 4,675s ²


:'''h = 107,20 m'''

'''Die Brunnentiefe ist also 107,20 m'''

=== C: Weg-Zeit-Diagramm ===

[[Bild:stein_brunnen_wegzeit.PNG|1x1px]]
Das Diagramm ist falsch, da zunächst ein freier Fall stattfindet und deshalb die  zugehörige t-h-Kurve eine Parabel sein muss. Nach t=4,684s bleibt dann der Weg konstant (Stein ist am Brunnenboden aufgeschlagen)

==Suchbegriffe==

Quadratische Gleichung, Brunnentiefe, Fallzeit, beschleunigte Bewegung, gleichförmige Bewegung

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==
[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 9]]</text>
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    </contributor>
    <comment>/* B: Berechnung der Brunnentiefe */</comment>
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    <text bytes="2333" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach 5s hört man den Aufschlag. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 330m/s. Die Erdbeschleunigung beträgt g = 9,81 m/s².

'''A:''' Beschreiben sie den Vorgang zur Bestimmung der Tiefe.

'''B:''' Wie tief ist der Brunnen.

'''C:''' Zeichnen Sie das Weg/Zeit –Diagramm des Vorgangs.

== Tipps ==


== Lösung ==


=== A: Vorgangsbeschreibung ===

Mit einer Stoppuhr misst man die Zeit bis zum Aufprall. Die gemessene Zeit ist die Summe für die Fallzeit und die Zeit, die der Schall braucht um wieder aufzusteigen. Der Weg, den beide zurücklegen müssen, ist der gleiche. Die genaue Vorgehensweise ist im folgenden Punkt erklärt

&lt;nowiki&gt;#&lt;/nowiki&gt;fz

=== B: Berechnung der Brunnentiefe ===

Formel für den freien Fall

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;1&gt;'''


Formel für den Schall

:h = V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;2&gt;'''


Weiter gilt:

:t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; =  5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;'''


Da der Schall die gleiche Strecke zurücklegen muss, wie der Stein kann man die Formeln '''&lt;1&gt;''' und '''&lt;2&gt;''' Gleichsetzen.

:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt;


Und für t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;''' einsetzen.


:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × (5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;)


'''Das ist eine quadratische Gleichung mit'''

:'''a''' = g/2
:'''b''' = 330
:'''c''' = -1650

Eingesetzt in die [[Lösungsformel für quadratische Gleichungen]]

:pq Formel

ergibt zwei Lösungen:

:x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;= 4,675s
:x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;= -71,953s

Da es keine negative Fallzeit gibt, muss die Lösung für '''t&lt;sub&gt; fall&lt;/sub&gt; = 4.675s''' sein.

Eingesetzt in '''&lt;1&gt;'''

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;

:h = ½ × 9,81 m/s² × 4,675s ²


:'''h = 107,20 m'''

'''Die Brunnentiefe ist also 107,20 m'''

=== C: Weg-Zeit-Diagramm ===

[[Bild:stein_brunnen_wegzeit.PNG|1x1px]]
Das Diagramm ist falsch, da zunächst ein freier Fall stattfindet und deshalb die  zugehörige t-h-Kurve eine Parabel sein muss. Nach t=4,684s bleibt dann der Weg konstant (Stein ist am Brunnenboden aufgeschlagen)

==Suchbegriffe==

Quadratische Gleichung, Brunnentiefe, Fallzeit, beschleunigte Bewegung, gleichförmige Bewegung

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==
[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 9]]</text>
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    <text bytes="2369" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach 5s hört man den Aufschlag. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 330m/s. Die Erdbeschleunigung beträgt g = 9,81 m/s².

'''A:''' Beschreiben sie den Vorgang zur Bestimmung der Tiefe.

'''B:''' Wie tief ist der Brunnen.

'''C:''' Zeichnen Sie das Weg/Zeit –Diagramm des Vorgangs.

== Tipps ==


== Lösung ==


=== A: Vorgangsbeschreibung ===

Mit einer Stoppuhr misst man die Zeit bis zum Aufprall. Die gemessene Zeit ist die Summe für die Fallzeit und die Zeit, die der Schall braucht um wieder aufzusteigen. Der Weg, den beide zurücklegen müssen, ist der gleiche. Die genaue Vorgehensweise ist im folgenden Punkt erklärt

&lt;nowiki&gt;#&lt;/nowiki&gt;fz

=== B: Berechnung der Brunnentiefe ===

Formel für den freien Fall

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;1&gt;'''


Formel für den Schall

:h = V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;2&gt;'''


Weiter gilt:

:t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; =  5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;'''


Da der Schall die gleiche Strecke zurücklegen muss, wie der Stein kann man die Formeln '''&lt;1&gt;''' und '''&lt;2&gt;''' Gleichsetzen.

:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt;


Und für t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;''' einsetzen.


:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × (5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;)
:
:=&gt; 0 = 1/2 g t² + 330 t -1650  


'''Das ist eine quadratische Gleichung mit'''

:'''a''' = g/2
:'''b''' = 330
:'''c''' = -1650

Eingesetzt in die [[Lösungsformel für quadratische Gleichungen]]

:pq Formel

ergibt zwei Lösungen:

:x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;= 4,675s
:x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;= -71,953s

Da es keine negative Fallzeit gibt, muss die Lösung für '''t&lt;sub&gt; fall&lt;/sub&gt; = 4.675s''' sein.

Eingesetzt in '''&lt;1&gt;'''

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;

:h = ½ × 9,81 m/s² × 4,675s ²


:'''h = 107,20 m'''

'''Die Brunnentiefe ist also 107,20 m'''

=== C: Weg-Zeit-Diagramm ===

[[Bild:stein_brunnen_wegzeit.PNG|1x1px]]
Das Diagramm ist falsch, da zunächst ein freier Fall stattfindet und deshalb die  zugehörige t-h-Kurve eine Parabel sein muss. Nach t=4,684s bleibt dann der Weg konstant (Stein ist am Brunnenboden aufgeschlagen)

==Suchbegriffe==

Quadratische Gleichung, Brunnentiefe, Fallzeit, beschleunigte Bewegung, gleichförmige Bewegung

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==
[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 9]]</text>
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  <title>Benutzer Diskussion:95.91.205.162</title>
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      <username>Wikia</username>
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    <comment>Begrüßung eines neuen Autors</comment>
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  <title>Benutzer Diskussion:95.91.228.158</title>
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    <comment>Begrüßung eines neuen Autors</comment>
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    <text bytes="1054" xml:space="preserve">==Herzlich Willkommen==

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Benutzer Diskussion:ForestFairy</text>
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  <title>Logarithmen: Zinseszins</title>
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    <comment>/* Lösung */</comment>
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    <text bytes="1628" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Nach wieviel Jahren ist ein Kapital von 10000 € zu einem Zinssatz von 2,9 % auf 28798,43 € angestiegen?

== Tipps ==

Die Lösungsformel für die Berechnung von Zinseszinsen ist:


&lt;math&gt;K_n  = K_0  \cdot (1 + \frac{p}
{{100}})^n&lt;/math&gt;

Dabei ist:

&lt;math&gt;K_n&lt;/math&gt; das Kapital nach n Jahren.

&lt;math&gt;K_0&lt;/math&gt; das Anfangskapital

&lt;math&gt;p&lt;/math&gt; der Zinssatz in %

&lt;math&gt;n&lt;/math&gt; die Dauer in Jahren

== Lösung ==

Gegebene Werte in die Formel einsetzen:

&lt;math&gt;28798,43 Euro  = 10000 Euro  \cdot (1 + \frac{2,9}
{{100}})^n&lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; gesucht ist und im Exponent steht, müssen wir den Logarithmus suchen.nnmn,mn,m


&lt;math&gt;{gathered}
  28798,43 = 10000 \cdot \left( {1 + \frac{{2,9}}
{{100}}} \right)^n  \hfill \\
  \frac{{28798,43}}
{{10000}} = \left( {1,029} \right)^n  \hfill \\
  n = \log _{1,029} 2,879843 \hfill \\
  n \approx 37 \hfill \\ 
\end{gathered}&lt;/math&gt;


Nach 37 Jahren ist ein Kapital von 10000 € bei einem Jahreszins von 2,9% auf 28798,43 € angestiegen.

== Anmerkung ==

Die 3. Zeile der Rechnung

&lt;math&gt;
n = \log _{1,029} 2,879843 \hfill \\
&lt;/math&gt;

berechnet man mit dem Taschenrechner mit Hilfe der Logarithmusgesetze. Dabei rechnet man einen Logarithmus beliebiger Basis um, indem man mit Hilfe des natürlichen Logarithmus (Taste ''ln'' auf dem Taschenrechner) den Logarithmus des Exponenten durch den Logarithmus der Basis teilt.

Denn es gilt:
&lt;math&gt;
\log _b a = \frac{{\ln a}}
{{\ln b}}
&lt;/math&gt;

== Suchbegriffe ==

Logarithmen, Zins, Zinseszins

== ähnliche Aufgaben ==
[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 10]]
[[Kategorie:Logarithmen]]</text>
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    <comment>/* Lösung */ 37Jahre</comment>
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    <text bytes="1684" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Nach wieviel Jahren ist ein Kapital von 10000 € zu einem Zinssatz von 2,9 % auf 28798,43 € angestiegen?

== Tipps ==

Die Lösungsformel für die Berechnung von Zinseszinsen ist:


&lt;math&gt;K_n  = K_0  \cdot (1 + \frac{p}
{{100}})^n&lt;/math&gt;

Dabei ist:

&lt;math&gt;K_n&lt;/math&gt; das Kapital nach n Jahren.

&lt;math&gt;K_0&lt;/math&gt; das Anfangskapital

&lt;math&gt;p&lt;/math&gt; der Zinssatz in %

&lt;math&gt;n&lt;/math&gt; die Dauer in Jahren

== Lösung ==

lg28798,43/10000= lg1.029|:Ergebnis teilen

?=die Zeit

Gegebene Werte in die Formel einsetzen:

&lt;math&gt;28798,43 Euro  = 10000 Euro  \cdot (1 + \frac{2,9}
{{100}})^n&lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; gesucht ist und im Exponent steht, müssen wir den Logarithmus suchen.nnmn,mn,m


&lt;math&gt;{gathered}
  28798,43 = 10000 \cdot \left( {1 + \frac{{2,9}}
{{100}}} \right)^n  \hfill \\
  \frac{{28798,43}}
{{10000}} = \left( {1,029} \right)^n  \hfill \\
  n = \log _{1,029} 2,879843 \hfill \\
  n \approx 37 \hfill \\ 
\end{gathered}&lt;/math&gt;


Nach 37 Jahren ist ein Kapital von 10000 € bei einem Jahreszins von 2,9% auf 28798,43 € angestiegen.

== Anmerkung ==

Die 3. Zeile der Rechnung

&lt;math&gt;
n = \log _{1,029} 2,879843 \hfill \\
&lt;/math&gt;

berechnet man mit dem Taschenrechner mit Hilfe der Logarithmusgesetze. Dabei rechnet man einen Logarithmus beliebiger Basis um, indem man mit Hilfe des natürlichen Logarithmus (Taste ''ln'' auf dem Taschenrechner) den Logarithmus des Exponenten durch den Logarithmus der Basis teilt.

Denn es gilt:
&lt;math&gt;
\log _b a = \frac{{\ln a}}
{{\ln b}}
&lt;/math&gt;

== Suchbegriffe ==

Logarithmen, Zins, Zinseszins

== ähnliche Aufgaben ==
[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 10]]
[[Kategorie:Logarithmen]]</text>
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    <comment>Begrüßung eines neuen Autors</comment>
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Benutzer Diskussion:Mira Laime</text>
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    <comment>Begrüßung eines neuen Autors</comment>
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    <text bytes="1216" xml:space="preserve">==Herzlich Willkommen==

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[[Benutzer Diskussion:Mira Laime|Hinterlasse mir bitte eine Nachricht]], wenn ich dir bei irgendeinem Problem behilflich sein kann.

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Benutzer Diskussion:Mira Laime</text>
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  <title>Lösungsformel für quadratische Gleichungen</title>
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== A B C Formel ==

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== p q Formel ==

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== p q Formel ==

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== p q Formel ==

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== p q Formel ==

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== A B C Formel ==

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== p q Formel ==

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  <title>Benutzer Diskussion:2003:45:5C1B:9A6D:1804:7DB4:BA06:A957</title>
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    <comment>Begrüßung eines neuen Autors</comment>
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    <text bytes="1237" xml:space="preserve">==Herzlich Willkommen==

Hallo und willkommen bei {{SITENAME}}! Ich bin ein Mitglied des Community Support-Teams bei FANDOM. Vielen Dank, dass du [[:Lösungsformel für quadratische Gleichungen]] bearbeitet hast!

'''[[Spezial:Anmelden|Bitte melde dich an und erstelle einen Benutzernamen]]'''. Dadurch kannst du deine Beiträge problemlos nachverfolgen und einfacher mit den anderen Mitgliedern der Community ins Gespräch kommen.

Momentan scheint in dieser Community kein Admin aktiv zu sein, aber wenn du Hilfe brauchst, kannst du dir unsere [[Hilfe:Einführung|Hilfeseiten]] ansehen oder in der [[w:c:de.community|Community Deutschland]] vorbei schauen und dort die [[w:c:de.community:Spezial:Forum|Foren]] durchforsten.

Du kannst außerdem dem [[w:c:de.community:Blog:Fandom_Deutschland_News|FANDOM-Blog]] folgen, um immer darüber auf dem Laufenden zu bleiben, was bei FANDOM so passiert. Und vergiss auf keinen Fall die [[w:c:de.community:Fandom_Universität|FANDOM-Universität]]! Dort findest du kurze Videos zu Nutzung von FANDOM.

[[Benutzer Diskussion:Mira Laime|Hinterlasse mir bitte eine Nachricht]], wenn ich dir bei irgendeinem Problem behilflich sein kann.

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Benutzer Diskussion:Mira Laime</text>
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  <title>Arbeiten mit Termen: Treffpunkt von zwei Radfahrern</title>
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    <comment>/* Zeit Ausrechnen */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="4160" xml:space="preserve">==Aufgabe==

Die Orte '''A''' und '''B''' liegen 25 km von einander entfernt. Tina startet um 14:00 Uhr in '''A''' und fährt mit einer Geschwindigkeit von 15 km/h in Richtung '''B'''. Zur gleichen Zeit startet Karin in '''B''' und fährt mit 17 km/h in Richtung '''A'''. 

Nach wieviel Kilometern und nach welcher Zeit treffen sich die beiden Mädchen zwischen '''A''' und '''B'''?
===Tipps ;)===

Wenn ihr Probleme mit der Aufgabenstellung habt, solltet ihr euch erst mal eine Zeichnung machen. Dabei malt man die beiden Orte auf und trägt alle Daten ein, die gegeben sind.

===Lösung:===

==== Was ist x ====

Die Geschwindigkeit der Mädchen wird in km/h angegeben. Gesucht ist einmal der gefahrene Weg und zum anderen die verstrichene Zeit seit 14:00 Uhr bis zum Treffpunkt.

Für x nehmen wir am besten die gefahrene Zeit.

==== Term aufstellen ====

Der Term besteht aus zwei Teilen die jeder für sich die Formel für das entsprechende Mädchen darstellt.

Man muss allerdings einen wichtigen Punkt dabei berücksichtigen. Da Karin genau in die entgegengesetzte Richtung fährt und bei '''B''' startet, muss ihre Formel von 25 km abgezogen werden. Also ergibt sich:


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} &lt;/math&gt; für Tina

&lt;math&gt; 25 km - (x \cdot 17{km \over h}) &lt;/math&gt; für Karin

Die beiden Formeln werden nun Gleichgesetzt:

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt;

==== Zeit Ausrechnen ====

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt; '''| +17x'''


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} +x \cdot 17{km \over h}  = 25 km &lt;/math&gt; '''| x ausklammern'''


&lt;math&gt;x \cdot (15 {km \over h} +  17{km \over h})  = 25 km &lt;/math&gt; '''| / 32 km/'''


&lt;math&gt;x  = {25km \over (15 {km \over h} +  17{km \over h})} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x  = {25km \over  32{km \over h}} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x  = {25 \over 32}  h =  0,78125 h = 46,8 Minuten&lt;/math&gt;

Km kürzt sich raus und übrig bleibt h (Stunden). Sie treffen sich also nach ca.46,8 Minuten.


==== Weg Ausrechnen ====

Der Weg errechnet sich dann über die Geschwindigkeit (wir nehmen die von Tina) und die Zeit.

Geschwindigkeit = Weg / Zeit oder &lt;math&gt;v = {s \over t}&lt;/math&gt;

Also ist der Weg = Geschwidigkeit x Zeit &lt;math&gt;s = v \cdot t&lt;/math&gt;

die errechnete Zeit und Tinas Geschwindigkeit eingesetzt.

&lt;math&gt;s = {15 {km \over h} \cdot{25 \over 32}h}= 11,72 km&lt;/math&gt;

'''Tina ist also in 46,8 Minuten 11,72 km weit gefahren, bis sie mit Karin zusammentrift.'''

===Lösung 2===

Der zweite Ansatz erfordert schon die Kenntnis einer allgemeinen Geradengleichung.

&lt;math&gt;y = m \cdot x + c&lt;/math&gt;

'''m''' ist darin die Steigung der Geraden und '''c''' der Achsenabschnitt auf der y-Achse

[[Bild:Treffpunkt.png|framed|Die Geradengleichungen als Grafik]]

Die Steigungen sind hierbei die Geschwindigkeiten. Einen Achsenabschnitt hat nur die Gerade von Karin, da sie ja in '''B''', was ja von '''A''' 25 km entfernt liegt, startet. 

Die Geradengleichung für Tina:

&lt;math&gt;y = 15 {km \over h} \cdot x + 0&lt;/math&gt;

Die Geradengleichung für Karin:

&lt;math&gt;y = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km&lt;/math&gt;

Man sieht auch, dass vor der Geschwindigkeit von Karin ein Minus steht, da die Steigung der Geraden negativ ist.

Man sieht in der Grafik schön, dass es genau einen Punkt gibt, in dem sich die Geraden kreuzen. Das ist der Zeitpunkt der Begegnung. Und da die Werte für '''y''' in diesem Punkt die gleichen sind, setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich. (Man nennt diesen Verfahren darum '''Gleichsetzungsverfahren''')

&lt;math&gt; 15 {km \over h} \cdot x + 0 = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km &lt;/math&gt;

==== Ausrechnen ====

&lt;math&gt; 15x  = -17x + 25 &lt;/math&gt; '''| +17x'''

&lt;math&gt; 32x  =  25 &lt;/math&gt; '''| /32 '''

&lt;math&gt; x  =  {25 \over 32} &lt;/math&gt;

Wie man sieht, kommt auch in dieser Lösung das gleiche Ergebnis raus. Den Weg kann man jetzt genau wie in Lösung 1 berechnen.

===Suchbegriffe===

Geschwindigkeitsaufgabe, Geschwindigkeit, Termbildung

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft]]


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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    <comment>/* Zeit Ausrechnen */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="4161" xml:space="preserve">==Aufgabe==

Die Orte '''A''' und '''B''' liegen 25 km von einander entfernt. Tina startet um 14:00 Uhr in '''A''' und fährt mit einer Geschwindigkeit von 15 km/h in Richtung '''B'''. Zur gleichen Zeit startet Karin in '''B''' und fährt mit 17 km/h in Richtung '''A'''. 

Nach wieviel Kilometern und nach welcher Zeit treffen sich die beiden Mädchen zwischen '''A''' und '''B'''?
===Tipps ;)===

Wenn ihr Probleme mit der Aufgabenstellung habt, solltet ihr euch erst mal eine Zeichnung machen. Dabei malt man die beiden Orte auf und trägt alle Daten ein, die gegeben sind.

===Lösung:===

==== Was ist x ====

Die Geschwindigkeit der Mädchen wird in km/h angegeben. Gesucht ist einmal der gefahrene Weg und zum anderen die verstrichene Zeit seit 14:00 Uhr bis zum Treffpunkt.

Für x nehmen wir am besten die gefahrene Zeit.

==== Term aufstellen ====

Der Term besteht aus zwei Teilen die jeder für sich die Formel für das entsprechende Mädchen darstellt.

Man muss allerdings einen wichtigen Punkt dabei berücksichtigen. Da Karin genau in die entgegengesetzte Richtung fährt und bei '''B''' startet, muss ihre Formel von 25 km abgezogen werden. Also ergibt sich:


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} &lt;/math&gt; für Tina

&lt;math&gt; 25 km - (x \cdot 17{km \over h}) &lt;/math&gt; für Karin

Die beiden Formeln werden nun Gleichgesetzt:

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt;

==== Zeit Ausrechnen ====

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt; '''| +17x'''


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} +x \cdot 17{km \over h}  = 25 km &lt;/math&gt; '''| x ausklammern'''


&lt;math&gt;x \cdot (15 {km \over h} +  17{km \over h})  = 25 km &lt;/math&gt; '''| / 32 km/h'''


&lt;math&gt;x  = {25km \over (15 {km \over h} +  17{km \over h})} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x  = {25km \over  32{km \over h}} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x  = {25 \over 32}  h =  0,78125 h = 46,8 Minuten&lt;/math&gt;

Km kürzt sich raus und übrig bleibt h (Stunden). Sie treffen sich also nach ca.46,8 Minuten.


==== Weg Ausrechnen ====

Der Weg errechnet sich dann über die Geschwindigkeit (wir nehmen die von Tina) und die Zeit.

Geschwindigkeit = Weg / Zeit oder &lt;math&gt;v = {s \over t}&lt;/math&gt;

Also ist der Weg = Geschwidigkeit x Zeit &lt;math&gt;s = v \cdot t&lt;/math&gt;

die errechnete Zeit und Tinas Geschwindigkeit eingesetzt.

&lt;math&gt;s = {15 {km \over h} \cdot{25 \over 32}h}= 11,72 km&lt;/math&gt;

'''Tina ist also in 46,8 Minuten 11,72 km weit gefahren, bis sie mit Karin zusammentrift.'''

===Lösung 2===

Der zweite Ansatz erfordert schon die Kenntnis einer allgemeinen Geradengleichung.

&lt;math&gt;y = m \cdot x + c&lt;/math&gt;

'''m''' ist darin die Steigung der Geraden und '''c''' der Achsenabschnitt auf der y-Achse

[[Bild:Treffpunkt.png|framed|Die Geradengleichungen als Grafik]]

Die Steigungen sind hierbei die Geschwindigkeiten. Einen Achsenabschnitt hat nur die Gerade von Karin, da sie ja in '''B''', was ja von '''A''' 25 km entfernt liegt, startet. 

Die Geradengleichung für Tina:

&lt;math&gt;y = 15 {km \over h} \cdot x + 0&lt;/math&gt;

Die Geradengleichung für Karin:

&lt;math&gt;y = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km&lt;/math&gt;

Man sieht auch, dass vor der Geschwindigkeit von Karin ein Minus steht, da die Steigung der Geraden negativ ist.

Man sieht in der Grafik schön, dass es genau einen Punkt gibt, in dem sich die Geraden kreuzen. Das ist der Zeitpunkt der Begegnung. Und da die Werte für '''y''' in diesem Punkt die gleichen sind, setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich. (Man nennt diesen Verfahren darum '''Gleichsetzungsverfahren''')

&lt;math&gt; 15 {km \over h} \cdot x + 0 = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km &lt;/math&gt;

==== Ausrechnen ====

&lt;math&gt; 15x  = -17x + 25 &lt;/math&gt; '''| +17x'''

&lt;math&gt; 32x  =  25 &lt;/math&gt; '''| /32 '''

&lt;math&gt; x  =  {25 \over 32} &lt;/math&gt;

Wie man sieht, kommt auch in dieser Lösung das gleiche Ergebnis raus. Den Weg kann man jetzt genau wie in Lösung 1 berechnen.

===Suchbegriffe===

Geschwindigkeitsaufgabe, Geschwindigkeit, Termbildung

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft]]


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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    <text bytes="4179" xml:space="preserve">==Aufgabe==

Die Orte '''A''' und '''B''' liegen 25 km von einander entfernt. Tina startet um 14:00 Uhr in '''A''' und fährt mit einer Geschwindigkeit von 15 km/h in Richtung '''B'''. Zur gleichen Zeit startet Karin in '''B''' und fährt mit 17 km/h in Richtung '''A'''.penis sex 

Nach wieviel Kilometern und nach welcher Zeit treffen sich die beiden Mädchen zwischen '''A''' und '''B'''?
===Tipps ;)===

Wenn ihr Probleme mit der Aufgabenstellung habt, solltet ihr euch erst mal eine Zeichnung machen. Dabei malt man die beiden Orte auf und trägt alle Daten ein, die gegeben sind.

===Lösung:===

==== Was ist x ====

==== Die Geschwindigkeit der Mädchen wird in km/h angegeben. Gesucht ist einmal der gefahrene Weg und zum anderen die verstrichene Zeit seit 14:00 Uhr bis zum Treffpunkt. ====
Für x nehmen wir am besten die gefahrene Zeit.

==== Term aufstellen ====

Der Term besteht aus zwei Teilen die jeder für sich die Formel für das entsprechende Mädchen darstellt.

Man muss allerdings einen wichtigen Punkt dabei berücksichtigen. Da Karin genau in die entgegengesetzte Richtung fährt und bei '''B''' startet, muss ihre Formel von 25 km abgezogen werden. Also ergibt sich:


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} &lt;/math&gt; für Tina

&lt;math&gt; 25 km - (x \cdot 17{km \over h}) &lt;/math&gt; für Karin

Die beiden Formeln werden nun Gleichgesetzt:

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt;

==== Zeit Ausrechnen ====

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt; '''| +17x'''


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} +x \cdot 17{km \over h}  = 25 km &lt;/math&gt; '''| x ausklammern'''


&lt;math&gt;x \cdot (15 {km \over h} +  17{km \over h})  = 25 km &lt;/math&gt; '''| / 32 km/h'''


&lt;math&gt;x  = {25km \over (15 {km \over h} +  17{km \over h})} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x  = {25km \over  32{km \over h}} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x  = {25 \over 32}  h =  0,78125 h = 46,8 Minuten&lt;/math&gt;

Km kürzt sich raus und übrig bleibt h (Stunden). Sie treffen sich also nach ca.46,8 Minuten.


==== Weg Ausrechnen ====

Der Weg errechnet sich dann über die Geschwindigkeit (wir nehmen die von Tina) und die Zeit.

Geschwindigkeit = Weg / Zeit oder &lt;math&gt;v = {s \over t}&lt;/math&gt;

Also ist der Weg = Geschwidigkeit x Zeit &lt;math&gt;s = v \cdot t&lt;/math&gt;

die errechnete Zeit und Tinas Geschwindigkeit eingesetzt.

&lt;math&gt;s = {15 {km \over h} \cdot{25 \over 32}h}= 11,72 km&lt;/math&gt;

'''Tina ist also in 46,8 Minuten 11,72 km weit gefahren, bis sie mit Karin zusammentrift.'''

===Lösung 2===

Der zweite Ansatz erfordert schon die Kenntnis einer allgemeinen Geradengleichung.

&lt;math&gt;y = m \cdot x + c&lt;/math&gt;

'''m''' ist darin die Steigung der Geraden und '''c''' der Achsenabschnitt auf der y-Achse

[[Bild:Treffpunkt.png|framed|Die Geradengleichungen als Grafik]]

Die Steigungen sind hierbei die Geschwindigkeiten. Einen Achsenabschnitt hat nur die Gerade von Karin, da sie ja in '''B''', was ja von '''A''' 25 km entfernt liegt, startet. 

Die Geradengleichung für Tina:

&lt;math&gt;y = 15 {km \over h} \cdot x + 0&lt;/math&gt;

Die Geradengleichung für Karin:

&lt;math&gt;y = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km&lt;/math&gt;

Man sieht auch, dass vor der Geschwindigkeit von Karin ein Minus steht, da die Steigung der Geraden negativ ist.

Man sieht in der Grafik schön, dass es genau einen Punkt gibt, in dem sich die Geraden kreuzen. Das ist der Zeitpunkt der Begegnung. Und da die Werte für '''y''' in diesem Punkt die gleichen sind, setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich. (Man nennt diesen Verfahren darum '''Gleichsetzungsverfahren''')

&lt;math&gt; 15 {km \over h} \cdot x + 0 = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km &lt;/math&gt;

==== Ausrechnen ====

&lt;math&gt; 15x  = -17x + 25 &lt;/math&gt; '''| +17x'''

&lt;math&gt; 32x  =  25 &lt;/math&gt; '''| /32 '''

&lt;math&gt; x  =  {25 \over 32} &lt;/math&gt;

Wie man sieht, kommt auch in dieser Lösung das gleiche Ergebnis raus. Den Weg kann man jetzt genau wie in Lösung 1 berechnen.

===Suchbegriffe===

Geschwindigkeitsaufgabe, Geschwindigkeit, Termbildung

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft]]


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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    <text bytes="4170" xml:space="preserve">==Aufgabe==

Die Orte '''A''' und '''B''' liegen 25 km von einander entfernt. Tina startet um 14:00 Uhr in '''A''' und fährt mit einer Geschwindigkeit von 15 km/h in Richtung '''B'''. Zur gleichen Zeit startet Karin in '''B''' und fährt mit 17 km/h in Richtung '''A'''. 

Nach wieviel Kilometern und nach welcher Zeit treffen sich die beiden Mädchen zwischen '''A''' und '''B'''?
===Tipps ;)===

Wenn ihr Probleme mit der Aufgabenstellung habt, solltet ihr euch erst mal eine Zeichnung machen. Dabei malt man die beiden Orte auf und trägt alle Daten ein, die gegeben sind.

===Lösung:===

==== Was ist x ====

==== Die Geschwindigkeit der Mädchen wird in km/h angegeben. Gesucht ist einmal der gefahrene Weg und zum anderen die verstrichene Zeit seit 14:00 Uhr bis zum Treffpunkt. ====
Für x nehmen wir am besten die gefahrene Zeit.

==== Term aufstellen ====

Der Term besteht aus zwei Teilen die jeder für sich die Formel für das entsprechende Mädchen darstellt.

Man muss allerdings einen wichtigen Punkt dabei berücksichtigen. Da Karin genau in die entgegengesetzte Richtung fährt und bei '''B''' startet, muss ihre Formel von 25 km abgezogen werden. Also ergibt sich:


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} &lt;/math&gt; für Tina

&lt;math&gt; 25 km - (x \cdot 17{km \over h}) &lt;/math&gt; für Karin

Die beiden Formeln werden nun Gleichgesetzt:

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt;

==== Zeit Ausrechnen ====

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt; '''| +17x'''


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} +x \cdot 17{km \over h}  = 25 km &lt;/math&gt; '''| x ausklammern'''


&lt;math&gt;x \cdot (15 {km \over h} +  17{km \over h})  = 25 km &lt;/math&gt; '''| / 32 km/h'''


&lt;math&gt;x  = {25km \over (15 {km \over h} +  17{km \over h})} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x  = {25km \over  32{km \over h}} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x  = {25 \over 32}  h =  0,78125 h = 46,8 Minuten&lt;/math&gt;

Km kürzt sich raus und übrig bleibt h (Stunden). Sie treffen sich also nach ca.46,8 Minuten.


==== Weg Ausrechnen ====

Der Weg errechnet sich dann über die Geschwindigkeit (wir nehmen die von Tina) und die Zeit.

Geschwindigkeit = Weg / Zeit oder &lt;math&gt;v = {s \over t}&lt;/math&gt;

Also ist der Weg = Geschwidigkeit x Zeit &lt;math&gt;s = v \cdot t&lt;/math&gt;

die errechnete Zeit und Tinas Geschwindigkeit eingesetzt.

&lt;math&gt;s = {15 {km \over h} \cdot{25 \over 32}h}= 11,72 km&lt;/math&gt;

'''Tina ist also in 46,8 Minuten 11,72 km weit gefahren, bis sie mit Karin zusammentrift.'''

===Lösung 2===

Der zweite Ansatz erfordert schon die Kenntnis einer allgemeinen Geradengleichung.

&lt;math&gt;y = m \cdot x + c&lt;/math&gt;

'''m''' ist darin die Steigung der Geraden und '''c''' der Achsenabschnitt auf der y-Achse

[[Bild:Treffpunkt.png|framed|Die Geradengleichungen als Grafik]]

Die Steigungen sind hierbei die Geschwindigkeiten. Einen Achsenabschnitt hat nur die Gerade von Karin, da sie ja in '''B''', was ja von '''A''' 25 km entfernt liegt, startet. 

Die Geradengleichung für Tina:

&lt;math&gt;y = 15 {km \over h} \cdot x + 0&lt;/math&gt;

Die Geradengleichung für Karin:

&lt;math&gt;y = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km&lt;/math&gt;

Man sieht auch, dass vor der Geschwindigkeit von Karin ein Minus steht, da die Steigung der Geraden negativ ist.

Man sieht in der Grafik schön, dass es genau einen Punkt gibt, in dem sich die Geraden kreuzen. Das ist der Zeitpunkt der Begegnung. Und da die Werte für '''y''' in diesem Punkt die gleichen sind, setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich. (Man nennt diesen Verfahren darum '''Gleichsetzungsverfahren''')

&lt;math&gt; 15 {km \over h} \cdot x + 0 = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km &lt;/math&gt;

==== Ausrechnen ====

&lt;math&gt; 15x  = -17x + 25 &lt;/math&gt; '''| +17x'''

&lt;math&gt; 32x  =  25 &lt;/math&gt; '''| /32 '''

&lt;math&gt; x  =  {25 \over 32} &lt;/math&gt;

Wie man sieht, kommt auch in dieser Lösung das gleiche Ergebnis raus. Den Weg kann man jetzt genau wie in Lösung 1 berechnen.

===Suchbegriffe===

Geschwindigkeitsaufgabe, Geschwindigkeit, Termbildung

===Quellen===


===ähnliche Aufgaben===

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft]]


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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    <text bytes="4232" xml:space="preserve">==Aufgabe==

Die Orte '''A''' und '''B''' liegen 25 km von einander entfernt. Tina startet um 14:00 Uhr in '''A''' und fährt mit einer Geschwindigkeit von 15 km/h in Richtung '''B'''. Zur gleichen Zeit startet Karin in '''B''' und fährt mit 17 km/h in Richtung '''A'''. 

Nach wieviel Kilometern und nach welcher Zeit treffen sich die beiden Mädchen zwischen '''A''' und '''B'''?
===Tipps ;)===

Wenn ihr Probleme mit der Aufgabenstellung habt, solltet ihr euch erst mal eine Zeichnung machen. Dabei malt man die beiden Orte auf und trägt alle Daten ein, die gegeben sind.

===Lösung:===

==== Was ist x ====

==== Die Geschwindigkeit der Mädchen wird in km/h angegeben. Gesucht ist einmal der gefahrene Weg und zum anderen die verstrichene Zeit seit 14:00 Uhr bis zum Treffpunkt. ====
Für x nehmen wir am besten die gefahrene Zeit.

==== Term aufstellen ====

Der Term besteht aus zwei Teilen die jeder für sich die Formel für das entsprechende Mädchen darstellt.

Man muss allerdings einen wichtigen Punkt dabei berücksichtigen. Da Karin genau in die entgegengesetzte Richtung fährt und bei '''B''' startet, muss ihre Formel von 25 km abgezogen werden. Also ergibt sich:


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} &lt;/math&gt; für Tina

&lt;math&gt; 25 km - (x \cdot 17{km \over h}) &lt;/math&gt; für Karin

Die beiden Formeln werden nun Gleichgesetzt:

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt;

==== Zeit Ausrechnen ====

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt; '''| +17x'''


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} +x \cdot 17{km \over h}  = 25 km &lt;/math&gt; '''| x ausklammern'''


&lt;math&gt;x \cdot (15 {km \over h} +  17{km \over h})  = 25 km &lt;/math&gt; '''| / 32 km/h'''


&lt;math&gt;x  = {25km \over (15 {km \over h} +  17{km \over h})} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x  = {25km \over  32{km \over h}} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x  = {25 \over 32}  h =  0,78125 h = 46,8 Minuten&lt;/math&gt;

Km kürzt sich raus und übrig bleibt h (Stunden). Sie treffen sich also nach ca.46,8 Minuten.


==== Weg Ausrechnen ====

Der Weg errechnet sich dann über die Geschwindigkeit (wir nehmen die von Tina) und die Zeit.

Geschwindigkeit = Weg / Zeit oder &lt;math&gt;v = {s \over t}&lt;/math&gt;

Also ist der Weg = Geschwidigkeit x Zeit &lt;math&gt;s = v \cdot t&lt;/math&gt;

die errechnete Zeit und Tinas Geschwindigkeit eingesetzt.

&lt;math&gt;s = {15 {km \over h} \cdot{25 \over 32}h}= 11,72 km&lt;/math&gt;

'''Tina ist also in 46,8 Minuten 11,72 km weit gefahren, bis sie mit Karin zusammentrift.'''

===Lösung 2===

Der zweite Ansatz erfordert schon die Kenntnis einer allgemeinen Geradengleichung.

&lt;math&gt;y = m \cdot x + c&lt;/math&gt;

'''m''' ist darin die Steigung der Geraden und '''c''' der Achsenabschnitt auf der y-Achse

[[Bild:Treffpunkt.png|framed|Die Geradengleichungen als Grafik]]

Die Steigungen sind hierbei die Geschwindigkeiten. Einen Achsenabschnitt hat nur die Gerade von Karin, da sie ja in '''B''', was ja von '''A''' 25 km entfernt liegt, startet. 

Die Geradengleichung für Tina:

&lt;math&gt;y = 15 {km \over h} \cdot x + 0&lt;/math&gt;

Die Geradengleichung für Karin:

&lt;math&gt;y = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km&lt;/math&gt;

Man sieht auch, dass vor der Geschwindigkeit von Karin ein Minus steht, da die Steigung der Geraden negativ ist.

Man sieht in der Grafik schön, dass es genau einen Punkt gibt, in dem sich die Geraden kreuzen. Das ist der Zeitpunkt der Begegnung. Und da die Werte für '''y''' in diesem Punkt die gleichen sind, setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich. (Man nennt diesen Verfahren darum '''Gleichsetzungsverfahren''')

&lt;math&gt; 15 {km \over h} \cdot x + 0 = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km &lt;/math&gt;

==== Ausrechnen ====

&lt;math&gt; 15x  = -17x + 25 &lt;/math&gt; '''| +17x'''

&lt;math&gt; 32x  =  25 &lt;/math&gt; '''| /32 '''

&lt;math&gt; x  =  {25 \over 32} &lt;/math&gt;

Wie man sieht, kommt auch in dieser Lösung das gleiche Ergebnis raus. Den Weg kann man jetzt genau wie in Lösung 1 berechnen.

===Suchbegriffe===

Geschwindigkeitsaufgabe, Geschwindigkeit, Termbildung

===Quellen===
http://profelenafreire.shoutwiki.com/wiki/RECTA_POR_DOS_PUNTOS

===ähnliche Aufgaben===

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft]]


[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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    <text bytes="4262" xml:space="preserve">==Aufgabe==

Die Orte '''A''' und '''B''' liegen 25 km von einander entfernt. Tina startet um 14:00 Uhr in '''A''' und fährt mit einer Geschwindigkeit von 15 km/h in Richtung '''B'''. Zur gleichen Zeit startet Karin in '''B''' und fährt mit 17 km/h in Richtung '''A'''. 

Nach wieviel Kilometern und nach welcher Zeit treffen sich die beiden Mädchen zwischen '''A''' und '''B'''?
===Tipps ;)===

Wenn ihr Probleme mit der Aufgabenstellung habt, solltet ihr euch erst mal eine Zeichnung machen. Dabei malt man die beiden Orte auf und trägt alle Daten ein, die gegeben sind.

===Lösung:===

==== Was ist x ====

==== Die Geschwindigkeit der Mädchen wird in km/h angegeben. Gesucht ist einmal der gefahrene Weg und zum anderen die verstrichene Zeit seit 14:00 Uhr bis zum Treffpunkt. ====
Für x nehmen wir am besten die gefahrene Zeit.

==== Term aufstellen ====

Der Term besteht aus zwei Teilen die jeder für sich die Formel für das entsprechende Mädchen darstellt.

Man muss allerdings einen wichtigen Punkt dabei berücksichtigen. Da Karin genau in die entgegengesetzte Richtung fährt und bei '''B''' startet, muss ihre Formel von 25 km abgezogen werden. Also ergibt sich:


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} &lt;/math&gt; für Tina

&lt;math&gt; 25 km - (x \cdot 17{km \over h}) &lt;/math&gt; für Karin

Die beiden Formeln werden nun Gleichgesetzt:

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt;

==== Zeit Ausrechnen ====

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt; '''| +17x'''


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} +x \cdot 17{km \over h}  = 25 km &lt;/math&gt; '''| x ausklammern'''


&lt;math&gt;x \cdot (15 {km \over h} +  17{km \over h})  = 25 km &lt;/math&gt; '''| / 32 km/h'''


&lt;math&gt;x  = {25km \over (15 {km \over h} +  17{km \over h})} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x  = {25km \over  32{km \over h}} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x  = {25 \over 32}  h =  0,78125 h = 46,8 Minuten&lt;/math&gt;

Km kürzt sich raus und übrig bleibt h (Stunden). Sie treffen sich also nach ca.46,8 Minuten.


==== Weg Ausrechnen ====

Der Weg errechnet sich dann über die Geschwindigkeit (wir nehmen die von Tina) und die Zeit.

Geschwindigkeit = Weg / Zeit oder &lt;math&gt;v = {s \over t}&lt;/math&gt;

Also ist der Weg = Geschwidigkeit x Zeit &lt;math&gt;s = v \cdot t&lt;/math&gt;

die errechnete Zeit und Tinas Geschwindigkeit eingesetzt.

&lt;math&gt;s = {15 {km \over h} \cdot{25 \over 32}h}= 11,72 km&lt;/math&gt;

'''Tina ist also in 46,8 Minuten 11,72 km weit gefahren, bis sie mit Karin zusammentrift.'''

===Lösung 2===

Der zweite Ansatz erfordert schon die Kenntnis einer allgemeinen Geradengleichung.

&lt;math&gt;y = m \cdot x + c&lt;/math&gt;

'''m''' ist darin die Steigung der Geraden und '''c''' der Achsenabschnitt auf der y-Achse

[[Bild:Treffpunkt.png|framed|Die Geradengleichungen als Grafik]]

Die Steigungen sind hierbei die Geschwindigkeiten. Einen Achsenabschnitt hat nur die Gerade von Karin, da sie ja in '''B''', was ja von '''A''' 25 km entfernt liegt, startet. 

Die Geradengleichung für Tina:

&lt;math&gt;y = 15 {km \over h} \cdot x + 0&lt;/math&gt;

Die Geradengleichung für Karin:

&lt;math&gt;y = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km&lt;/math&gt;

Man sieht auch, dass vor der Geschwindigkeit von Karin ein Minus steht, da die Steigung der Geraden negativ ist.

Man sieht in der Grafik schön, dass es genau einen Punkt gibt, in dem sich die Geraden kreuzen. Das ist der Zeitpunkt der Begegnung. Und da die Werte für '''y''' in diesem Punkt die gleichen sind, setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich. (Man nennt diesen Verfahren darum '''Gleichsetzungsverfahren''')

&lt;math&gt; 15 {km \over h} \cdot x + 0 = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km &lt;/math&gt;

==== Ausrechnen ====

&lt;math&gt; 15x  = -17x + 25 &lt;/math&gt; '''| +17x'''

&lt;math&gt; 32x  =  25 &lt;/math&gt; '''| /32 '''

&lt;math&gt; x  =  {25 \over 32} &lt;/math&gt;

Wie man sieht, kommt auch in dieser Lösung das gleiche Ergebnis raus. Den Weg kann man jetzt genau wie in Lösung 1 berechnen.

===Suchbegriffe===

Geschwindigkeitsaufgabe, Geschwindigkeit, Termbildung

===Quellen===
http://profelenafreire.shoutwiki.com/wiki/RECTA_POR_DOS_PUNTOS

===ähnliche Aufgaben===

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft]]

[[es:cruce de dos bicicletas]]
[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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Fibonacci-Folge mit Berechnungen. Nach OEIS A000045 optional mit führender Null.
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  <title>Waage und 12 Kugeln, Lösung</title>
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    <text bytes="2040" xml:space="preserve">[[Kategorie:Denksport_Loesung]]

Dies ist die Lösung von Aufgabe [[Waage und 12 Kugeln]].

Wir denken uns die Kugeln mit den Nummern 1,2,...,12 durchnummeriert.  
Bei der ersten Wägung geben wir in die linke Waagschale die Kugeln 2, 4, 10, 11 und in die rechte Waagschale die Kugeln 1, 5, 7, 8. Ähnlich gehen wir bei der zweiten und dritten Wägung vor, siehe folgende Tabelle.

{|  border="2" cellspacing="0" cellpadding="4" rules="all" class="hintergrundfarbe1 rahmenfarbe1" style="margin:1em 1em 1em 0; border-style:solid; border-width:1px; border-collapse:collapse; empty-cells:show; background:#f0a0a0"
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!links schwerer
!gleich
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|3 ||5,8,9,10 ||6,7,11,12 || align="center" | -9 || align="center" | 0 || align="center" | +9
|}

Wenn die erste Wägung ergibt, dass die linke Seite schwerer ist, merken wir uns -1, wenn die rechte Seite schwerer ist, merken wir uns +1, und wenn beide Seiten gleich schwer sind, merken wir uns 0.

Von der zweiten Wägung merken wir uns -3, 0 oder +3, je nachdem ob die linke Seite schwerer, gleich oder leichter ist als die rechte.

Ähnlich vermerken wir uns aus der dritten Wägung -9, 0 oder +9. Siehe obenstehende Tabelle.

Wenn wir schließlich die drei Wäge-Ergebnisse addieren, erhalten wir eine Nummer p zwischen -12 und +12. Der Absolutwert von p gibt die Nummer der abweichenden Kugel an. Wenn p in { 1, 2, -3, -4, -5, 6, 7, -8, -9, -10, 11, 12} liegt, ist die Kugel schwerer. Sonst, wenn p einen der Werte -1, -2, 3, 4, 5, -6, -7, 8, 9, 10, -11 oder -12 annimmt, ist sie leichter als die anderen.

Wenn beispielsweise die Kugel 5 schwerer ist, erhalten wir aus der ersten Wägung +1, aus der zweiten +3 und aus der dritten -9. Und die Summe ist p = +1+3-9 = -5, was bedeutet, daß die Kugel 5 schwerer ist.</text>
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  <title>Waage und 12 Kugeln, Lösung und Diskussion</title>
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    <text bytes="26644" xml:space="preserve">Es gibt zwar schon eine Lösung zum [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln Problem der Waage und der 12 Kugeln] - aber dort steht praktisch nichts mathematisch Interessantes: Nicht, wie man die Lösung findet, nicht, welche weiteren ähnlichen Probleme man sich stellen kann ... ich versuche es hier, besser zu machen.

Wie schon in der Aufgabenstellung erwähnt, gibt es zwei Arten von Lösungen:
* Bei einigen ist der "Plan", welche Kugeln in den drei Wägungen auf der [https://tinyurl.com/yakytyu6 Waage] platziert werden, ''fest'' - ich nenne sie "statische Lösungsverfahren".
* Bei anderen hängt die Auswahl der Kugeln, die man bei der zweiten und dritten Wägung auf die Waage legt, ''von den Ergebnissen der vorherigen Wägungen'' ab - "dynamische Lösungsverfahren".
Ich werde hier ein wenig von beiden Verfahren erklären (nicht nur "die Lösung vom Himmel fallen lassen"). Ich beginne einmal mit den dynamischen Verfahren.

== Die erste Wägung - samt einem wichtigen Abschätzverfahren ==
Es ist klar, dass man bei jeder Wägung (egal ob statisches oder dynamisches Verfahren) immer links und rechts gleich viele Kugeln hinlegen muss (würde man das nicht tun, würde das Ergebnis davon abhängen, ob und wieviel die schwerere Kugel tatsächlich schwerer ist, oder die leichtere leichter - was man aber nicht weiß).

Daher kann jedes Verfahren nur damit beginnen, dass man links und rechts entweder
* je eine
* je zwei
* je drei
* je vier
* je fünf
* oder je sechs
Kugeln hinlegt. Welche Aufteilungen davon sind sinnvoll? Dazu kann man sich überlegen, dass die noch übrigen Wägungen immer ''alle möglichen Fälle, die noch nicht nicht ausgeschlossen sind, unterscheiden können müssen''. Ganz am Anfang bedeutet das:
* Es gibt noch 24 mögliche Lösungen (es kann ja jede der 12 Kugeln die sein, die man finden muss; und sie kann zu leicht sein oder zu schwer).
* Jede Wägung kann genau drei Möglichkeiten unterscheiden - indem die Waage links nach unten geht, rechts nach unten geht oder im Gleichgeweicht bleibt. Mit drei Wägungen kann man also höchstens 3 * 3 * 3 = 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 27 Möglichkeiten unterscheiden. Und ''weil 24 nicht mehr ist als 27, ist es überhaupt möglich, dass es eine Lösung gibt''!
Mit diesem Wissen können wir überlegen, welche Aufteilung bei der ersten Wägung sinnvoll ist. Nehmen wir zuerst an, dass wir links und rechts je ''eine'' Kugel hinlegen - 10 Kugeln bleiben also neben der Waage liegen. Wenn die Waage nun im Gleichgewicht bleibt, dann wissen wir, dass eine der restlichen 10 Kugeln die gesuchte ist. Es gibt also noch 20 mögliche Lösungen (jede der 10 Kugeln kann leichter oder auch schwerer sein), wir haben aber nur noch zwei Wägungen zur Verfügung. Diese zwei Wägungen können aber nur 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9 Fälle unterscheiden - daher kann es kein Lösungsverfahren geben, das mit 1+1 Kugeln beginnt!

Auch bei 2+2 und 3+3 Kugeln am Anfang geht es nicht (weil dann bei Gleichgewicht noch immer 8 Kugeln, also 16 mögliche Lösungen bzw. 6 Kugeln, also 12 Lösungen übrigbleiben, was jeweils größer als 9 ist). Wenn bei der ersten Wägung 4+4 Kugeln aufgelegt werden, dann bleiben 4 weitere auf der Seite, mit 8 Lösungsmöglichkeiten, was kleiner als 9 ist - also könnte damit eine Lösung erfolgreich sein. Wie sieht es mit 5+5 Kugeln aus? Bei Gleichgewicht geht sich alles aus (die 4 möglichen Lösungen der 2 auf der Seite liegenden Kugeln sind ja erst recht weniger als 9), aber nun haben wir ein Problem mit den 5+5 Kugeln: Nehmen wir an, die Waage senkt sich links - dann könnte entweder unter den 5 linken Kugeln die eine sein, die zu schwer ist; oder rechts befindet sich eine, die zu leicht ist. Das sind 5+5 Möglichkeiten, was mehr als 9 ist - daher können wir mit zwei Wägungen nicht mehr alle diese Fälle unterscheiden. Eine Aufteilung 5+5 führt also nicht immer zu einer Lösung, und erst recht nicht 6+6 (wo ja auf jeden Fall 12 Möglichkeiten übrigbleiben).

Wir wissen also: Bei der ersten Wägung müssen 4+4 Kugeln auf die Waage. Aber wir haben darüberhinaus ein Verfahren gefunden, mit dem wir grob abschätzen können, ob nach einer Wägung überhaupt noch die Lösung sicher gefunden werden kann!

== Die zweite Wägung eines dynamischen Verfahrens ==
Die erste Wägung kann drei Ergebnisse haben:
# Waage geht links herunter: Dann wissen wir, dass ''entweder'' unter den linken vier Kugeln die eine schwerere ist ''oder'' unter den rechten vier die eine leichtere.
# Waage geht rechts herunter: Entweder ist unter den vier rechts die schwerere; oder links die leichtere.
# Waage bleibt im Gleichgewicht: Unter den vier neben der Waage ist die abweichende.
Statt weiterhin so lange Texte zu schreiben, müssen wir das kürzer hinschreiben können - nach dem alten Mathematikerspruch: "''Die richtige Notation ist die halbe Lösung''". Ich verwende einmal die folgenden Buchstaben:
* Wenn eine Kugel nur mehr eine schwerere sein kann (aber vielleicht auch eine der 11 gleich schweren - ich nenne die "normal"), dann soll dafür der Buchstabe S stehen; 
* wenn sie nur eine leichtere oder eine normale sein kann, dann steht dafür L;
* und wenn sie schwerer oder leichter oder normal sein kann, dann wird das mit X gekennzeichnet.
* Wenn eine Kugel schließlich sicher "normal" ist, dann wird sie mit N bezeichnet.
Die drei Möglichkeiten oben ergeben also:
# SSSS + LLLL / NNNN (durch + trenne ich die beiden Gruppen, die auf der Waage liegen; nach dem / stehen die Kugeln, die neben der Waage liegen und die uns "gerade noch interessieren").
# LLLL + SSSS / NNNN
# NNNN + NNNN / XXXX
Wir kümmern uns einmal um den dritten Fall - er sieht irgendwie leichter aus, weil wir nur mehr vier Kugeln betrachten müssen ... von denen wir allerdings praktisch nichts wissen! Aber probieren wir einmal: Wir legen links zwei der X-Kugeln, rechts die zwei anderen. Dann haben wir folgende möglichen Ergebnisse:
# links runter: SS + LL
# rechts runter: LL + SS
# Gleichgewicht: kann nicht sein (weil wir ja aus der ersten Wägung wissen, dass eine der vier die abweichende sein muss!).
Im ersten Fall gibt es noch immer ''vier'' mögliche Lösungen (eine der zwei S ist die schwerere; oder eine der beiden L ist die leichtere). Die eine letzte Wägung kann aber nur ''drei'' Möglichkeiten unterscheiden - damit ist die Aufteilung 2+2 nicht ok. Also dann 1+1, mit folgenden Ergebnissen:
# links runter: S + L / NN
# rechts runter: L + S / NN
# Gleichgewicht: N + N / XX
Den ersten und zweiten Fall könnten wir lösen: Im ersten Fall müssen wir nur die S-Kugeln mit einer N-Kugel vergleichen - wenn Gleichgewicht, dann ist die (danebenliegende) L-Kugel die leichtere, wenn S-Kugel nach unten geht, ist sie die schwerere. Aber im dritten Fall bleiben mit den XX ''vier'' Möglichkeiten übrig, die wir wieder mit den ''drei'' möglichen Ergebnissen einer Wägung nicht lösen können.

Weder 1+1 noch 2+2 funktioniert also bei der zweiten Wägung - wir brauchen eine "schrägere Idee"!

Hier ist sie: 2+1! Das geht natürlich nicht direkt (siehe Erklärung ganz am Anfang), aber wir können rechts eine weitere N-Kugel dazulegen. Wir legen also hin: XX + XN / X (die vierte X liegt auf der Seite) und haben nur folgende Fälle:
# links runter: SS + LN / N (entweder eine der schwereren zieht links runter; oder rechts ist die leichtere)
# rechts runter: LL + SN / N
# Gleichgewicht: NN + NN / X
Wir haben nur mehr eine Wägung frei - aber das könnte sich nun ausgehen!

== Die dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach NNNN+NNNN/XXXX - die "AAB-Konfiguration" ==
Der dritte Fall aus der vorherigen Wägung ist leicht: Wir vergleichen die danebenliegende Kugel (die ja sicher die gesuchte sein muss! - alle anderen sind nun als N bewiesen) mit einer beliebigen N-Kugel, mit folgenden Ergebnissen: 
# links runter: S + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: L + N --&gt; die links verwogene ist die gesuchte, und sie ist leichter.
# Gleichgewicht: unmöglich
Was tun wir mit den anderen beiden Fällen aus der vorherigen Wägung? Aus der ersten Wägung erhalten wir drei Kugeln, von denen wir wissen, dass sie SSL sind: Also entweder ist die erste oder die zweite die zu schwere, oder die dritte die zu leichte. Es gibt mehrere Arten, mit einer Wägung die richtige zu finden - hier ist eine: Man legt die beiden S auf die Waage und erhält dann:
# links runter: S + N --&gt; die linke ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# rechts runter: N + S --&gt; die rechte ist die gesuchte, und sie ist schwerer.
# Gleichgewicht: N + N --&gt; die danebenliegende  ist die gesuchte, und sie ist leichter.
Wenn wir bei der zweiten Wägung den zweiten Fall hatten (LL+SN/N), dann können wir mit den drei LLS-Kugeln dasselbe Spiel spielen: L+L vergleichen - wo's raufgeht, ist die gesuchte, und sie ist leichter; bei Gleichgewicht ist's die danebenliegende, und sie ist schwerer.

Die beiden Fälle haben ein gleichartiges Muster: Aus zwei gleich markierten Kugeln (SS oder LL) und einer dritten, die ebenfalls schon mit S oder L markiert ist, kann man mit einer Wägung die Lösung finden ... ich nenne das eine AAB-Konfiguration, die uns hoffentlich bei dem komplizierteren SSSS+LLLL/NNNN-Fall aus der ersten Wägung weiterhilft!

== Die zweite und dritte Wägung eines dynamischen Verfahrens nach SSSS+LLLL/NNNN ==
In diesem Fall wissen wir, dass links vier S-Kugeln liegen, rechts vier L-Kugeln. Wie weiter? Wenn wir schnell zu einer AAB-Konfiguration kommen, dann würden wir für viele Fälle die Lösung mit einer weiteren Wägung haben! Also probieren wir's ... nach einigem Herumprobieren bin ich auf folgendes gekommen: Man wiegt SSL + SSL / LL, mit folgenden Ergebnissen: 
# Waage geht links herunter: Entweder ist eine der beiden linken SS die gesuchte (und schwerer), oder die rechte L ist die gesuchte (und leichter). Man hat also drei Kugeln als SSL identifiziert, also eine AAB-Konfiguration gefunden! 
# Wenn die Waage rechts heruntergeht, dann hat man die anderen SSL als AAB identifiziert. 
# Und bei Gleichgewicht schließlich hat man die beiden LL als mögliche Lösungen identifiziert. Man kann sie direkt  gegeneinander wiegen - wo's raufgeht, liegt die gesuchte leichtere. Man kann aber auch, "mathematiker-artig", eine N dazulegen und hat dann diesen Fall "auf eine AAB-Konfiguration" zurückgeführt ... das macht hier keinen Unterschied, hilft uns aber vielleicht bei anderen Problemen später! 
In allen drei Fällen ist man also bei AAB angelangt - man findet dann also mit einer einzigen weiteren (dritten) Wägung die gesuchte Kugel. 

Damit haben wir ein dynamisches Lösungsverfahren für das 12-Kugel-Problem gefunden! In Kürze - ich bezeichne die 12 Kugeln mit a,b,...,k,l: 

1. Wägung: abcd+efgh/ijkl 

'''Bei Gleichgewicht der ersten Wägung: ''' 

2. Wägung: ij+ka/l 

3. Wägung: Bei Gleichgewicht: l mit a, sonst ijk mit AAB-Konfiguration (ij+ka geht links runter: ijk=SSL; ij+ka geht rechts runter: ijk=LLS). 

'''Wenn erste Wägung links runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist SSL+SSL/LL 

Bei Gleichgewicht: ghi mit AAB-Konfiguration (LLN). 

Wenn links runter: abf ist SSL, also AAB-Konfiguration; wenn rechts unter: cde ist SSL, also AAB. 

'''Wenn erste Wägung rechts runter:''' 

2. Wägung: abe+cdf/gh ist LLS+LLS/S - ist symmetrisch zu "links runter". 

== Umbau des dynamischen Verfahrens in ein statisches Verfahren ==
Bei dynamischen Verfahren wiegt man nur so wenige Kugeln, wie nötig sind. Es ist aber klar, dass man bei jeder Wägung links und rechts gleich viele N-Kugeln dazustapeln kann, ohne dass sich am Ergebnis was ändert. Was das bringen soll? Nun, man könnte die Wägungen, die man beim dynamischen Verfahren entweder/oder macht, nun ''zugleich'' machen! Und wenn man die Wägungen dabei immer gleich kombinieren kann, dann würde ein Verfahren herauskommen, wo man nicht verschiedene Gruppen je nach vorherigen Ergebnissen wiegt, sondern immer die gleichen - also ein statisches Verfahren!

Probieren wir das einmal: Die erste Wägung ist natürlich gleich - wir können ja, wie weiter oben ausgerechnet, nur mit einer 4+4-Wägung anfangen, und zu diesem Zeitpunkt ist es noch egal, welche Kugeln wir wählen. Die erste Wägung ist also abcd+efgh/ijkl (mit den Bezeichnungen aus dem letzten Abschnitt).

Zweite Wägung: In den beiden Ungleichgewichtsfällen haben wir hier beim dynamischen Verfahren schon beide Male dasselbe ausgeführt, nämlich abe+cdf/gh - das war also schon ein "klein wenig statisch". Im Gleichgewichtsfall kommt nun noch ij+ka/l dazu ... aber das können wir nicht zugleich abwiegen, weil dann auf der a-Seite 4 Kugeln liegen, auf der anderen aber 5 - so geht das nicht. Was tun???

Wir schauen uns die zweite dynamische Wägung noch einmal an: Sie ist ja abe+cdf/gh und hat im ''Gleichgewichtsfall'' eine etwas "schmalere" nächste Wägung ergeben, nämlich nur mehr g+h. Wir könnten diese Wägung zu AAB "auffetten", sodass bei der zweiten Wägung weniger auf der Waage liegt = "Platz für ij+ka wird". Konkret:

Wir bauen unser dynamisches Verfahren so um, dass bei der zweiten Wägung abe+cdi/fgh gewogen wird (statt f nehmen wir also i, was sicher eine neutrale Kugel ist). Wenn die erste Wägung links nach unten ging, sind diese Kugeln SSL+SSN/LLL markiert. Was sind die möglichen Ergebnisse?
# links runter: abi=SSN ist AAB, was mit einer Wägung zu entscheiden ist.
# rechts runter: ecd=LSS, also ist cde AAB - ebenfalls mit einer Wägung zu entscheiden.
# Gleichgewicht: fgh=LLL, also AAB  - auch mit einer Wägung zu entscheiden.
Wenn die erste Wägung rechts nach unten ging, kommt symmetrisch auch raus, dass eine weitere Wägung reicht.

Nun aber können wir abe+cdi/fgh mit ka+ij/l (die umgedrehte zweite Wägung aus dem dynamischen Verfahren, wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war) kombinieren und erhalten als zweite Wägung:

abek+cdij/fghl

Wie gehen wir mit dem Ergebnis dieser Wägung um? Ungefähr so: Wenn die erste Wägung im Gleichgewicht war, dann wissen wir ja, dass a...h alle neutral sind, daher haben wir eigentlich nur ak+ij/l gewogen und können dieselben Schlüsse ziehen wie beim dynamischen Verfahren. Wenn aber die erste Wägung nach links ging, dann waren ja sicher i...l neutral, wir haben also praktisch abe+cdi/fgh gewogen und können auch passenden Schlüsse ziehen. Und dasselbe geht auch, wenn die erste Wägung nach rechts ging.

Zwei Wägungen sind also schon "statisch" - wir brauchen noch die dritte. Dazu müssen wir einmal alle dritten Wägungen aus dem dynamischen Verfahren aufsammeln. Der Reihe nach sind das:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
* nocheinmal die drei letzten Wägungen, weil die Ergebnisse symmetrisch sind (a+b/i ist nun LLN statt SSN, kann aber mit der gleichen Wägung entschieden werden)
Direkt lassen sich diese Wägungen nicht kombinieren, weil i einmal verwogen werden muss (zweite Zeile), einmal auf der Seite liegen muss (dritte Zeile). Mhm.

Eine Idee: AAB kann man nicht nur durch Verwiegen der zwei A-Kugeln entscheiden, sondern auch anders - allerdings nur, wenn A und B verschieden sind (also z.B. AAB=SSL): Dann kann man auf eine Seite SL legen, auf die andere NN. Wenn die Waage links runter geht, dann ist S die gesuchte (und schwerer), wenn sie rechts runtergeht, dann ist L die gesuchte (und leichter). Wir können also aus ijk=SSL oder LLS (siehe die Kurzbeschreibung im letzten Kapitel!) jk gegen zwei N-Kugeln verwiegen:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* &lt;u&gt;jk+nn/i&lt;/u&gt;
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Schaffen wir es, auf eine Seite vier Kugeln zu legen? Es geht sich nicht aus :-(

Das mit dem jk war vielleicht doch keine so gute Idee, weil nun eine Kugel mehr auf die Waage kam. Also zurück zur vorherigen Liste:
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* a+b/i
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Können wir a+b/i "drehen", sodass i auf der Waage liegt? abi war ja SSN oder LLN, und hier könnten wir statt a+b auch gern a+i wiegen: Bei Gleichgewicht ist dann b die gesuchte! Also müsste als dritte Wägung auch eine Summe aus Folgendem funktionieren (die ersten zwei Wägungen habe ich schon passend umgedreht):
* l+a (oder statt a eine andere neutrale Kugel)
* i+j/k
* &lt;u&gt;i+a/b&lt;/u&gt;
* c+d/e
* f+g/h (oder zwei andere Kugeln von fgh, weil fgh hier LLL ist)
Und als "Summe" erhalten wir:

licf+ajdg/kbeh

Es sieht so aus, als hätten wir ein statisches Verfahren gefunden! - mit folgenden Wägungen (die Buchstaben habe ich jeweils aufsteigend sortiert):
* abcd+efgh/ijkl
* abek+cdij/fghl
* cfil+adgj/behk
Schauen wir, ob es funktioniert, indem wir für alle möglichen Lösungen die Wäge-Ergebnisse aufschreiben - sie müssen sich alle unterscheiden! L bedeutet hier "Waage senkt sich links", R "Waage senkt sich rechts", = "Waage bleibt im Gleichgewicht":
{| class="article-table"
!
!a
!b
!c
!d
!e
!f
!g
!h
!i
!j
!k
!l
!
|-
|schwerer
|LLR
|LL=
|LRL
|LRR
|RL=
|R=L
|R=R
|R==
|=RL
|=RR
|=L=
|==L
|
|-
|leichter
|RRL
|RR=
|RLR
|RLL
|LR=
|L=R
|L=L
|L==
|=LR
|=LL
|=R=
|==R
|
|}
Tatsächlich!! - es hat funktioniert - alle Wägeergebnisse sind verschieden.

Ich höre hier mit den statischen Verfahren auf - manche Leute haben noch nette Tricks gefunden, wie man die drei Zeichen L, R und = als ternäre Ziffern interpretiert, sodass man sich nicht die Tabelle merken muss, sondern sich die Nummer der abweichenden Kugel aus dem Wägeergebnis als Zahl im Dreiersystem ausrechnen kann. Ein Beispiel dafür ist die andere Lösung, die [http://de.math.wikia.com/wiki/Waage_und_12_Kugeln,_L%C3%B6sung hier] angegeben ist.

Ich schaue mir aber noch schnell das Problem für andere Zahlen von Wägungen an!

== Wieviele Kugeln kann man mit einer Wägung entscheiden? ==
Keine. Tatsächlich. Warum?

Das mindeste, was man zum Verwiegen braucht, sind zwei Kugeln. Wenn man die aber beide auf die Waage legt und sie sich links senkt, dann weiß man nicht, ob die linke schwerer oder die rechte leichter ist! Auch rechnerisch kann man sich das überlegen: Eine Wägung kann drei Ergebnisse unterscheiden, bei zwei Kugeln gibt es aber schon vier Möglichkeiten (erste schwerer, erste leichter, zweite schwerer, zweite leichter). Allerdings ist auch bei zwei Kugeln das Rätsel nicht sinnvoll: Denn ist nun die erste schwerer oder die zweite leichter?

== Wieviele Kugeln kann man mit zwei Wägungen entscheiden? ==
Zwei Wägungen können 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9 Fälle unterscheiden, also prinzipiell das Problem für 4 Kugeln lösen. Überlegen wir, wie man das machen kann:
* Entweder wiegt man zuerst ab+cd. Dann hat man z.B. bei Ausschlag der Waage nach links noch vier Fälle (ab+cd=SS+LL), die man aber mit einer Wägung nicht vollständig entscheiden kann.
* Versuchen wir's also mit a+b/cd. Nun hat man aber bei Gleichgewicht cd=XX, also wieder vier Fälle, die nicht mit der zweiten Wägung zu entscheiden sind.
Also lassen sich mit zwei Wägungen das Rätsel für höchstens drei Kugeln entscheiden:
* Erste Wägung: a+b/c
* Bei Gleichheit 2.Wägung c+a=X+N, bei Ungleichheit ebenfalls c+a, aber nun als N+X.
Es ist schon erstaunlich, dass nur eine weitere Wägung die Zahl dann von 3 auf 12 hochkatapultiert!

== Kann man mit drei Wägungen auch 13 Kugeln lösen? ==
Für 13 Kugeln gibt es 26 mögliche Lösungen. Das ist noch immer weniger als 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27 - man könnte also hoffen, dass man mit 3 Wägungen auch die "falsche" aus 13 herausfinden kann. Geht das?

Bei der ersten Wägung könnten wir (wie bei 12-Kugeln) 4+4 Kugeln auf die Waage legen - dann bleiben aber im Gleichgewichtsfall 5 daneben liegen, mit 10 möglichen Ergebnissen (jede kann entweder die schwerere oder die leichtere sein), was sich mit zwei weiteren Wägungen nicht vollständg lösen lässt (weil 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9&lt;10). 

Wenn man aber 5+5 Kugeln auf die Waage legt, scheitern wir bei Nicht-Gleichgewicht, wie schon im ersten Abschnitt erklärt. 12 Kugeln ist also tatsächlich das Maximum für drei Wägungen.

== Der Witz der Zusatzkugel ==
Bevor ich hier zum "highlight" komme, nämlich der Anzahl der Kugeln, die man mit vier Wägungen "lösen" kann, noch ein Zwischenproblem: Nehmen wir an, wir hätten nicht nur die gegebenen Kugeln, sondern zusätzlich noch eine Kugel, von der wir sicher wissen, dass sie "normal" ist - was ändert das dann an der Anzahl an lösbaren Kugeln?

(Wie ich auf diese Frage komme? - naja, bei den 4 XXXX-Kugeln der 2. Wägung beim 12-Kugelproblem hat man ja eine solche Kugel zu den 2+1 dazugetan, und das hat "megamäßig" geholfen ...). Also:
* Mit einer Wägung kann man nun plötzlich doch für eine Kugel entscheiden, ob sie zu leicht oder zu schwer ist.
* Mit zwei Wägungen kann man aus 4 Kugeln die richtige herausfinden (sieht man ja bei der 2. Wägung des 12-Kugelproblems).
* Mit drei Wägungen: Hier können wir nun bei der ersten Wägung links 4 Kugeln und die N-Kugel, rechts 5 Kugeln drauflegen! Bei Ungleichgewicht gibt es dann noch 9 mögliche Lösungen, was genau gleich der Maximalanzahl 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; ist, die wir mit den restlichen zwei Wägungen noch lösen können - es könnte sich also ausgehen! Und damit könnten wir das Problem dann auch für ''13'' Kugeln lösen! (im Gleichgewichtsfall geht's so wie bei 12 Kugeln weiter). Probieren wir's: Wir haben nach Ungleichgewicht nun SSSSN und LLLLL (oder LLLL und SSSSS - aber das ist symmetrisch zu lösen). In der zweiten Wägung können wir nun SSL+SSL/LLL wiegen - und was auch immer herauskommt, wir haben ein AAB in der Hand: Entweder die linken zwei SS und die rechte L, oder die rechten zwei SS und die linke L, oder die danebenliegenden LLL - wir sind also nach einer weiteren Wägung fertig!
Erkenntnis: Mit einer Zusatz-Normalkugel kann man - zumindest bei einer, zwei und drei Wägungen - die "theoretische Maximalanzahl", nämlich [3&lt;sup&gt;''k''&lt;/sup&gt;/2] Kugeln entscheiden, wo ''k'' die Anzahl der Wägungen ist ([''x''] bezeichnet dabei die größte ganze Zahl kleiner oder gleich ''x''):
* ''k'' = 1: [3&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;/2] = [3/2] = 1
* ''k'' = 2: [3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;/2] = [9/2] = 4
* ''k'' = 3: [3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;/2] = [27/2] = 13

== Wieviele Kugeln kann man mit vier Wägungen entscheiden? ==
Viele. Aber wie viele?
Berechnen wir zuerst den absoluten Maximalwert: Vier Wägungen können 3&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;=81 Fälle unterscheiden. Damit ließe sich im Idealfall aus 40 Kugeln die eine schwerere oder leichtere herausfinden, weil es dann 2*40=80 mögliche Lösungen gibt. Aber sind es tatsächlich so viele?

Für eine genauere Einschränkung schauen wir uns - wie gerade für drei Wägungen - die erste Wägung an: Wir legen dort ''x''+''x'' Kugeln auf die Waage, ''y'' lassen wir daneben liegen. ''y'' kann höchstens 13 sein, weil wir aus diesen Kugeln ja mit drei Wägungen das Ergebnis finden müssen (aus dem letzten Abschnitt wissen wir, dass wir ''mit einer zusätzlichen Normalkugel'' in 3 Wägungen 13 Kugeln entscheiden können! - hier haben wir im Gleichgewichtsfall sicher viel mehr Normalkugeln zur Verfügung).

Damit ''x''+''x''+''y'' höchstens 40 ist, darf ''x'' höchstens 13 sein. Wenn wir 13+13 Kugeln verwiegen und die Waage ''nicht'' im Gleichgewicht bleibt, haben wir noch 26 mögliche Lösungen - weniger als die 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;=27, die wir mit den restlichen 3 Wägungen entscheiden können, daher kann sich das ausgehen! Daher ''könnte'' die Maximalzahl für vier Wägungen 13+13+13=39 Kugeln sein.

Und tatsächlich glaube ich, dass ich für 39 Kugeln ein dynamisches Lösungsverfahren gefunden habe ... das ich hier aber nicht verrate: Das kann jeder, der bis hierher gekommen ist, selber finden!

Und wenn man wieder eine weitere Normalkugel dazulegt, dann geht es wieder mit 40 Kugeln, denke ich! ...

== Die abschließende große Hypothese ==
Es scheint, dass man einen vollständigen Induktionsbeweis führen können müsste, dass
* mit einer Zusatz-Normalkugel in ''k'' Wägungen die "unpassende" aus [3&lt;sup&gt;''k''&lt;/sup&gt;/2] Kugeln gefunden werden kann;
* ohne eine Zusatz-Normalkugel in ''k'' Wägungen die "unpassende" aus [3&lt;sup&gt;''k''&lt;/sup&gt;/2 - 1] Kugeln gefunden werden kann.
Diesen Beweis ordentlich zu führen, überlasse ich gern anderen :-)

== Offene Frage: Kann ein statisches Verfahren immer gleich viele Kugeln leisten wie ein dynamisches mit gleich viel Wägungen? ==
Mit drei Wägungen kann man höchstens 12 Kugeln lösen - sowohl mit einem dynamischen wie mit einem statischen Verfahren. Auch bei zwei Wägungen sind dynamisches und statisches Verfahren gleich mächtig, und bei einer Wägung sowieso. Aber gilt das allgemein? Gibt es immer, wenn es ein dynamisches Verfahren gibt, auch ein statisches Verfahren? Das ist nicht offensichtlich, weil das dynamische Verfahren ja "mehr Information in sich zurückspeist". Ich habe aber keine Ahnung, wie ein Beweis aussieht, der zu einem dynamischen Verfahren immer ein statisches konstruieren kann.

== Offene Frage: Kann man das statische Verfahren für 12 Kugeln eleganter erklären? ==
Das statische Verfahren habe ich oben durch "Umbau" des dynamischen Verfahrens gefunden.

Man kann auch direkt versuchen, die oben gezeigte Tabelle für das statische Verfahren auszufüllen. Dazu muss man sich zuerst klar machen, dass die Kombination === in keinem Feld stehen kann (denn dann würde die entsprechende Lösungskugel ja gar nicht auf die Waage gelegt worden sein, und dann wüsste man nicht, ob sie schwerer oder leichter ist, wenn sie die abweichende ist). Außerdem steht immer in der unteren Zelle das "Gegenteil" der oberen, wenn man L gegen R austauscht. Zuletzt müssen an jeder Position gleich viele L, R und = vorkommen, weil alle vier Wägungen von der Form 4+4/4 sind (was ich nicht bewiesen habe - aber ich vermute, dass ein statisches Verfahren für 12 Kugeln nur so gelingt). Mit etwas Herumbasteln findet man dann Tabellenwerte, die diese Bedingungen erfüllen - das ist dann aber eine typische "Lösung, die vom Himmel fällt".

Die Frage ist: Gibt es eine bessere, schönere, "elegantere" Erklärung für ein (bestimmtes) statisches Verfahren? Bei den Zahlen 12 und 3 fallen einem schon andere mathematische Dinge ein: Ein 3-dimensionaler Würfel hat 12 Kanten. Außerdem hat ein Würfel, wenn man auf eine Spitze schaut, eine dreifache Rotationssymmetrie. Es ist mir aber nicht gelungen, aus diesen geometrischen Vorstellungen ein statisches Verfahren "herauszukitzeln" - der Würfel ist "zu symmetrisch dazu". Hat jemand eine Idee, wie das gehen könnte?

[[Kategorie:Denksport Loesung]]</text>
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  <title>Lösungsformel für quadratische Gleichungen</title>
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== A B C Formel ==

&lt;math&gt;x_{1/2}  = {{ - b \pm \sqrt {b^2  - 4ac} } \over {2a}} &lt;/math&gt;

== p q Formel ==

&lt;math&gt;x_{1/2} = -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2}{2}-q}&lt;/math&gt;Formel ist falsch</text>
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== A B C Formel ==

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== p q Formel ==

&lt;math&gt;x_{1/2} = -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2}{2}-q}&lt;/math&gt;  Formel ist falsch dargestellt. Muss (p/2)^2 heissen und nicht p^2/2</text>
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== A B C Formel ==

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== p q Formel ==

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== A B C Formel ==

&lt;math&gt;x_{1/2}  = {{ - b \pm \sqrt {b^2  - 4ac} } \over {2a}} &lt;/math&gt;

== p q Formel ==

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== A B C Formel ==

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== p q Formel ==

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== A B C Formel ==

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== p q Formel ==

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== A B C Formel ==

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== p q Formel ==

&lt;math&gt;x_{1/2} = -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p}{2}\^2-q}&lt;/math&gt;  Formel ist falsch dargestellt, muss (p/2)^2 heissen und nicht p^2/2</text>
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== A B C Formel ==

&lt;math&gt;x_{1/2}  = {{ - b \pm \sqrt {b^2  - 4ac} } \over {2a}} &lt;/math&gt;

== p q Formel ==

&lt;math&gt;x_{1/2} = -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p}{2}\^2-q}&lt;/math&gt;  Formel ist falsch dargestellt - muss (p/2)^2 heissen und nicht p^2/2</text>
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== A B C Formel ==

&lt;math&gt;x_{1/2}  = {{ - b \pm \sqrt {b^2  - 4ac} } \over {2a}} &lt;/math&gt;

== p q Formel ==

&lt;math&gt;x_{1/2} = -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p}{2}\^2-q}&lt;/math&gt;  Formel ist falsch dargestellt, muss (p/2)^2 heissen und nicht p^2/2</text>
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== A B C Formel ==

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== p q Formel ==

&lt;math&gt;x_{1/2} = -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\{frac{p}{2}}^2-q}&lt;/math&gt;  Formel ist falsch dargestellt, muss (p/2)^2 heissen und nicht p^2/2</text>
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== A B C Formel ==

&lt;math&gt;x_{1/2}  = {{ - b \pm \sqrt {b^2  - 4ac} } \over {2a}} &lt;/math&gt;

== p q Formel ==

&lt;math&gt;x_{1/2} = -\frac{p}{2}\pm \sqrt{{\frac{p}{2}}^2-q}&lt;/math&gt;  Formel ist falsch dargestellt, muss (p/2)^2 heissen und nicht p^2/2</text>
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  <title>Quadratische Gleichungen: Ein Stein fällt in einen Brunnen</title>
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    <comment>/* Lösung */</comment>
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    <text bytes="2370" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach 5s hört man den Aufschlag. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 330m/s. Die Erdbeschleunigung beträgt g = 9,81 m/s².

'''A:''' Beschreiben sie den Vorgang zur Bestimmung der Tiefe.

'''B:''' Wie tief ist der Brunnen.

'''C:''' Zeichnen Sie das Weg/Zeit –Diagramm des Vorgangs.

== Tipps ==


== Lösung ==

1
=== A: Vorgangsbeschreibung ===

Mit einer Stoppuhr misst man die Zeit bis zum Aufprall. Die gemessene Zeit ist die Summe für die Fallzeit und die Zeit, die der Schall braucht um wieder aufzusteigen. Der Weg, den beide zurücklegen müssen, ist der gleiche. Die genaue Vorgehensweise ist im folgenden Punkt erklärt

&lt;nowiki&gt;#&lt;/nowiki&gt;fz

=== B: Berechnung der Brunnentiefe ===

Formel für den freien Fall

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;1&gt;'''


Formel für den Schall

:h = V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;2&gt;'''


Weiter gilt:

:t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; =  5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;'''


Da der Schall die gleiche Strecke zurücklegen muss, wie der Stein kann man die Formeln '''&lt;1&gt;''' und '''&lt;2&gt;''' Gleichsetzen.

:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt;


Und für t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;''' einsetzen.


:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × (5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;)
:
:=&gt; 0 = 1/2 g t² + 330 t -1650  


'''Das ist eine quadratische Gleichung mit'''

:'''a''' = g/2
:'''b''' = 330
:'''c''' = -1650

Eingesetzt in die [[Lösungsformel für quadratische Gleichungen]]

:pq Formel

ergibt zwei Lösungen:

:x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;= 4,675s
:x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;= -71,953s

Da es keine negative Fallzeit gibt, muss die Lösung für '''t&lt;sub&gt; fall&lt;/sub&gt; = 4.675s''' sein.

Eingesetzt in '''&lt;1&gt;'''

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;

:h = ½ × 9,81 m/s² × 4,675s ²


:'''h = 107,20 m'''

'''Die Brunnentiefe ist also 107,20 m'''

=== C: Weg-Zeit-Diagramm ===

[[Bild:stein_brunnen_wegzeit.PNG|1x1px]]
Das Diagramm ist falsch, da zunächst ein freier Fall stattfindet und deshalb die  zugehörige t-h-Kurve eine Parabel sein muss. Nach t=4,684s bleibt dann der Weg konstant (Stein ist am Brunnenboden aufgeschlagen)

==Suchbegriffe==

Quadratische Gleichung, Brunnentiefe, Fallzeit, beschleunigte Bewegung, gleichförmige Bewegung

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==
[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 9]]</text>
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    </contributor>
    <comment>/* B: Berechnung der Brunnentiefe */</comment>
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    <text bytes="2368" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach 5s hört man den Aufschlag. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 330m/s. Die Erdbeschleunigung beträgt g = 9,81 m/s².

'''A:''' Beschreiben sie den Vorgang zur Bestimmung der Tiefe.

'''B:''' Wie tief ist der Brunnen.

'''C:''' Zeichnen Sie das Weg/Zeit –Diagramm des Vorgangs.

== Tipps ==


== Lösung ==

1
=== A: Vorgangsbeschreibung ===

Mit einer Stoppuhr misst man die Zeit bis zum Aufprall. Die gemessene Zeit ist die Summe für die Fallzeit und die Zeit, die der Schall braucht um wieder aufzusteigen. Der Weg, den beide zurücklegen müssen, ist der gleiche. Die genaue Vorgehensweise ist im folgenden Punkt erklärt

&lt;nowiki&gt;#&lt;/nowiki&gt;fz

=== B: Berechnung der Brunnentiefe ===

Formel für den freien Fall

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;1&gt;'''


Formel für den Schall

:h = V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;2&gt;'''


Weiter gilt:

:t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; =  5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;'''


Da der Schall die gleiche Strecke zurücklegen muss, wie der Stein kann man die Formeln '''&lt;1&gt;''' und '''&lt;2&gt;''' Gleichsetzen.

:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt;


Und für t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;''' einsetzen.


:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × (5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;)
:
:=&gt; 0 = 1/2 g t² + 330 t -1650


'''Das ist eine quadratische Gleichung mit'''

:'''a''' = g/2
:'''b''' = 330
:'''c''' = -1650

Eingesetzt in die [[Lösungsformel für quadratische Gleichungen]]

:pq Formel

ergibt zwei Lösungen:

:x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;= 4,675s
:x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;= -71,953s

Da es keine negative Fallzeit gibt, muss die Lösung für '''t&lt;sub&gt; fall&lt;/sub&gt; = 4.675s''' sein.

Eingesetzt in '''&lt;1&gt;'''

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;

:h = ½ × 9,81 m/s² × 4,675s ²


:'''h = 107,20 m'''

'''Die Brunnentiefe ist also 107,20 m'''

=== C: Weg-Zeit-Diagramm ===

[[Bild:stein_brunnen_wegzeit.PNG|1x1px]]
Das Diagramm ist falsch, da zunächst ein freier Fall stattfindet und deshalb die  zugehörige t-h-Kurve eine Parabel sein muss. Nach t=4,684s bleibt dann der Weg konstant (Stein ist am Brunnenboden aufgeschlagen)

==Suchbegriffe==

Quadratische Gleichung, Brunnentiefe, Fallzeit, beschleunigte Bewegung, gleichförmige Bewegung

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==
[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 9]]</text>
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  <title>Reihenwerte bestimmen 1</title>
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    </contributor>
    <comment>/* Tipps */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1150" xml:space="preserve">==Aufgabe (Reihenwertbestimmung)==
Bestimmen Sie den Wert der folgenden Reihe:

&lt;math&gt;\sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{3^n} + \frac{(-1)^n}{n^3}) + \sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{3^{n+1}} + \frac{(-1)^{n+1}}{n^3})&lt;/math&gt;

===Tipps===
Umformung in  koeffizient * Geometrische Reihe

===Lösung===
&lt;math&gt;\sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{3^n} + \frac{(-1)^n}{n^3}) + \sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{3^{n+1}} + \frac{(-1)^{n+1}}{n^3}) =&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{3^n}+\frac{1}{3^{n+1}}+\frac{(-1)^n}{n^3}+\frac{(-1)^{n+1}}{n^3}) = \sum_{n=1}^\infty[\frac{1}{3^n}(1+\frac{1}{3})+\frac{(-1)^n}{n^3}(1+(-1))] =&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\sum_{n=1}^\infty \frac{4}{3}(\frac{1}{3})^n =&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\frac{4}{3} \sum_{n=0}^\infty (\frac{1}{3})^{n+1} =&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \sum_{n=0}^\infty (\frac{1}{3})^n =&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{3}} =&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{2}{3}&lt;/math&gt;

===Suchbegriffe===
Reihe, Reihenwert, Summe

===Quellen===
Die Aufgabe stammt aus den Übungsblättern zur Vorlesung Analysis 2 (Uni Duisburg-Essen, SS 2006) !

===ähnliche Aufgaben===
noch keine

[[Kategorie:Analysis]]</text>
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  <title>Sigma-Algebra</title>
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    <comment>/* Tipps */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1889" xml:space="preserve">==Aufgabe (&lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-Algebra Grundeigenschaften)==
Es sei &lt;math&gt;\Omega \neq \emptyset&lt;/math&gt;, und es sei &lt;math&gt;\mathfrak{A}&lt;/math&gt; ein endliches Teilsystem der Potenzmenge von &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; mit den Eigenschaften:
*(1) &lt;math&gt;\Omega \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt;
*(2) &lt;math&gt;A,B \in \mathfrak{A} \Rightarrow A\setminus{B} \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt;.
Man prüfe, ob &lt;math&gt;\mathfrak{A}&lt;/math&gt; unter diesen Voraussetzungen stets eine &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-Algebra ist.

===Tipps===
Wende die Definition der &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-Algebra an.

===Lösungf===
Weise die drei definierenden Eigenschaften einer &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-Algebra nach:

1) &lt;math&gt;\Omega \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt; nach (1)

2) &lt;math&gt;A \in \mathfrak{A} \Rightarrow \Omega\setminus{A} \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt; nach (1),(2)

3) &lt;math&gt;A_1,A_2,.. \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt;\mathfrak{A}&lt;/math&gt; endlich ist, gibt es unter den Mengen &lt;math&gt;A_i&lt;/math&gt; nur endlich viele verschiedene.

O.B.d.A. seien dies &lt;math&gt;A_1,..,A_n \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt;, zu zeigen bleibt: 
&lt;math&gt;\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i = \bigcup_{i=1}^{n} A_i \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt;

Hierzu genügt es, zu zeigen: &lt;math&gt;A,B \in \mathfrak{A} \Rightarrow A \cup B \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt;

Betrachte (*):  &lt;math&gt;\Omega\setminus(A \cup B) = \underbrace{(\Omega \setminus A)}_{\in \mathfrak{A}} \cap \underbrace{(\Omega \setminus B)}_{\in \mathfrak{A}}&lt;/math&gt;

Für &lt;math&gt;A,B \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt; gilt: &lt;math&gt;A \cap B = A \setminus \underbrace{(\Omega \setminus B)}_{\in \mathfrak{A}} \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt;

Damit folgt auch &lt;math&gt;(\Omega \setminus A) \cap (\Omega \setminus B) \in \mathfrak{A}
\Rightarrow \Omega \setminus (A \cup B) \in \mathfrak{A}
\Rightarrow A \cup B \in \mathfrak{A}&lt;/math&gt;

===Suchbegriffe===
sigma-Algebra, Potenzmenge

===Quellen===
Keine Quellen

===ähnliche Aufgaben===
noch keine ähnliche Aufgabe gefunden


[[Kategorie:Stochastik]]</text>
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  <title>Logarithmen: Zinseszins</title>
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      <username>2003:D8:33CE:3E00:7946:60A8:528B:3B2B</username>
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    </contributor>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1742" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Nach wieviel Jahren ist ein Kapital von 10000 € zu einem [https://autokredit-portal.de/zinsen/#Zinsfreie_Angebote Zinssatz] von 2,9 % auf 28798,43 € angestiegen?

== Tipps ==

Die Lösungsformel für die Berechnung von Zinseszinsen ist:


&lt;math&gt;K_n  = K_0  \cdot (1 + \frac{p}
{{100}})^n&lt;/math&gt;

Dabei ist:

&lt;math&gt;K_n&lt;/math&gt; das Kapital nach n Jahren.

&lt;math&gt;K_0&lt;/math&gt; das Anfangskapital

&lt;math&gt;p&lt;/math&gt; der Zinssatz in %

&lt;math&gt;n&lt;/math&gt; die Dauer in Jahren

== Lösung ==

lg28798,43/10000= lg1.029|:Ergebnis teilen

?=die Zeit

Gegebene Werte in die Formel einsetzen:

&lt;math&gt;28798,43 Euro  = 10000 Euro  \cdot (1 + \frac{2,9}
{{100}})^n&lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; gesucht ist und im Exponent steht, müssen wir den Logarithmus suchen.nnmn,mn,m


&lt;math&gt;{gathered}
  28798,43 = 10000 \cdot \left( {1 + \frac{{2,9}}
{{100}}} \right)^n  \hfill \\
  \frac{{28798,43}}
{{10000}} = \left( {1,029} \right)^n  \hfill \\
  n = \log _{1,029} 2,879843 \hfill \\
  n \approx 37 \hfill \\ 
\end{gathered}&lt;/math&gt;


Nach 37 Jahren ist ein Kapital von 10000 € bei einem Jahreszins von 2,9% auf 28798,43 € angestiegen.

== Anmerkung ==

Die 3. Zeile der Rechnung

&lt;math&gt;
n = \log _{1,029} 2,879843 \hfill \\
&lt;/math&gt;

berechnet man mit dem Taschenrechner mit Hilfe der Logarithmusgesetze. Dabei rechnet man einen Logarithmus beliebiger Basis um, indem man mit Hilfe des natürlichen Logarithmus (Taste ''ln'' auf dem Taschenrechner) den Logarithmus des Exponenten durch den Logarithmus der Basis teilt.

Denn es gilt:
&lt;math&gt;
\log _b a = \frac{{\ln a}}
{{\ln b}}
&lt;/math&gt;

== Suchbegriffe ==

Logarithmen, Zins, Zinseszins

== ähnliche Aufgaben ==
[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 10]]
[[Kategorie:Logarithmen]]</text>
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      <username>Miss Toki</username>
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    <comment>Änderungen von [[Special:Contributions/2003:D8:33CE:3E00:7946:60A8:528B:3B2B|2003:D8:33CE:3E00:7946:60A8:528B:3B2B]] ([[User talk:2003:D8:33CE:3E00:7946:60A8:528B:3B2B|Diskussion]] | [[Special:Block/2003:D8:33CE:3E00:7946:60A8:528B:3B2B|Blockieren]]) rü</comment>
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    <text bytes="1684" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Nach wieviel Jahren ist ein Kapital von 10000 € zu einem Zinssatz von 2,9 % auf 28798,43 € angestiegen?

== Tipps ==

Die Lösungsformel für die Berechnung von Zinseszinsen ist:


&lt;math&gt;K_n  = K_0  \cdot (1 + \frac{p}
{{100}})^n&lt;/math&gt;

Dabei ist:

&lt;math&gt;K_n&lt;/math&gt; das Kapital nach n Jahren.

&lt;math&gt;K_0&lt;/math&gt; das Anfangskapital

&lt;math&gt;p&lt;/math&gt; der Zinssatz in %

&lt;math&gt;n&lt;/math&gt; die Dauer in Jahren

== Lösung ==

lg28798,43/10000= lg1.029|:Ergebnis teilen

?=die Zeit

Gegebene Werte in die Formel einsetzen:

&lt;math&gt;28798,43 Euro  = 10000 Euro  \cdot (1 + \frac{2,9}
{{100}})^n&lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; gesucht ist und im Exponent steht, müssen wir den Logarithmus suchen.nnmn,mn,m


&lt;math&gt;{gathered}
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\end{gathered}&lt;/math&gt;


Nach 37 Jahren ist ein Kapital von 10000 € bei einem Jahreszins von 2,9% auf 28798,43 € angestiegen.

== Anmerkung ==

Die 3. Zeile der Rechnung

&lt;math&gt;
n = \log _{1,029} 2,879843 \hfill \\
&lt;/math&gt;

berechnet man mit dem Taschenrechner mit Hilfe der Logarithmusgesetze. Dabei rechnet man einen Logarithmus beliebiger Basis um, indem man mit Hilfe des natürlichen Logarithmus (Taste ''ln'' auf dem Taschenrechner) den Logarithmus des Exponenten durch den Logarithmus der Basis teilt.

Denn es gilt:
&lt;math&gt;
\log _b a = \frac{{\ln a}}
{{\ln b}}
&lt;/math&gt;

== Suchbegriffe ==

Logarithmen, Zins, Zinseszins

== ähnliche Aufgaben ==
[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 10]]
[[Kategorie:Logarithmen]]</text>
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    <comment>Die Seite wurde neu angelegt: „ReduSoft entwickelt Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulatione…“</comment>
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    <text bytes="569" xml:space="preserve">ReduSoft entwickelt Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D-Darstellungen und 3D-Darstellungen für Schüler, Abiturienten, Studenten, Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.

Neben vielem anderem ermöglicht MathProf 5.0 die Darstellung und Analyse von Flächen in expliziter Form sowie Durchführung von Simulationen mit derartigen Gebilden. Das Programm kann heruntergeladen und erworben werden unter www.redusoft.de</text>
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    <comment>Begrüßung eines neuen Autors</comment>
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    <text bytes="1066" xml:space="preserve">==Herzlich Willkommen== 

Hallo und willkommen bei {{SITENAME}}! Ich bin ein Mitglied des Community-Support-Teams bei FANDOM. Vielen Dank, dass du [[:MathProf 5.0]] bearbeitet hast!

Momentan scheint in dieser Community kein Admin aktiv zu sein, aber wenn du Hilfe brauchst, kannst du dir unsere [[Hilfe:Einführung|Hilfeseiten]] ansehen oder in der [[w:c:community|Community Deutschland]] vorbei schauen und dort die [[w:c:de.community:Spezial:Forum|Foren]] durchforsten.

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[[Benutzer Diskussion:AmonFatalis|Hinterlasse mir bitte eine Nachricht]], wenn ich dir bei irgendeinem Problem behilflich sein kann.

Viel Spaß bei {{SITENAME}}!

[[Benutzer:AmonFatalis|AmonFatalis]] ([[Benutzer Diskussion:AmonFatalis|Diskussion]]) 13:34, 20. Feb. 2020 (UTC)</text>
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  <title>Benutzer:Mpuserlog</title>
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    <text bytes="354" xml:space="preserve">== Über mich ==

''Das ist deine Benutzerseite. Hier kannst du den anderen ein paar Informationen über dich verraten!''

== Meine Beiträge ==

* [[Special:Contributions/{{PAGENAME}}|Benutzerbeiträge]]

== Meine beliebtesten Seiten ==

* Hier kannst du Links zu deinen beliebtesten Artikeln im Wiki hinzufügen!
* Link auf Seite #2
* Link auf Seite #3</text>
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      <username>Mpuserlog</username>
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    </contributor>
    <comment>/* Über mich */</comment>
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    <text bytes="321" xml:space="preserve">== Über mich ==

''Entwickler von Animationsanwendungen für wissenschaftliche Zwecke''

== Meine Beiträge ==

* [[Special:Contributions/{{PAGENAME}}|Benutzerbeiträge]]

== Meine beliebtesten Seiten ==

* Hier kannst du Links zu deinen beliebtesten Artikeln im Wiki hinzufügen!
* Link auf Seite #2
* Link auf Seite #3</text>
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  <title>Datei:Mathprof redusoft flaeche kugelkoordinaten 10.jpg</title>
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  <title>Kategorie:Jahrgangsstufe 11</title>
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    <comment>Kategorien hinzufügen</comment>
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    <text bytes="1009" xml:space="preserve">Dies ist die richtige Kategorie für jeden, der Aufgaben aus der '''Jahrgangsstufe 11''' sucht.

Eine kleine Hilfe, welche Themen laut Lehrplan in diese Jahrgangsstufe fallen, gibt die folgende Auflistung.
Es dürfen aber auch andere mathematische Aufgaben, die im Zusammenhang mit dem Unterrichtsstoff der 11ten Stufen stehen, hier eingetragen werden. Zum Beispiel mathematische Berechnungen aus den Naturwissenschaften (Chemie, Physik, etc), oder interessante Knobeleien, die sich an Schüler der Stufe 11 richten.

Laut Lehrplan werden in der Jahgangstufe 11 folgende Themen behandelt:

'''Infinitesimalrechnung'''

*1 Reelle Funktionen
*2 Grenzwert und Stetigkeit
*3 Differenzieren reeller Funktionen
*4 Kurvendiskussion; Extremwertprobleme

'''Komplexe Zahlen'''

*1 Prinzipien für Zahlenbereichserweiterungen; Strukturen
*2 Vierte Erweiterung des Zahlenbereichs: die komplexen Zahlen
*3 Rechnen mit komplexen Zahlen; Lösen von Gleichungen in C

[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Zinsrechnung]]</text>
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  <title>Degenerierte Zufallsvariable</title>
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    <text bytes="1323" xml:space="preserve">&lt;nowiki&gt;==Aufgabe (spezieller Aufgabenname)==&lt;/nowiki&gt;

Sei $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ ein allgemeiner Wahrscheinlichkeitsraum und nehme Sie eine Zufallsvariable $X$ auf diesem Raum an, welche messbar in Bezug auf die triviale $\sigma$-algebra $\mathcal{F}_0 = \{\emptyset, \Omega\}$ ist. Zeigen Sie, dass $X$ nicht zufällig ist (d.h. es gibt eine Konstante $c$, so dass $X(\omega) = c$ für alle $\omega \in \Omega$)

&lt;nowiki&gt;===Tipps===&lt;/nowiki&gt;

&lt;nowiki&gt;===Lösung===&lt;/nowiki&gt;

&lt;nowiki&gt;===Suchbegriffe===&lt;/nowiki&gt;

Gib hier verschiedene Begriffe ein, über welche die Aufgabe in der WikiMath-Suchmaschine gefunden werden soll.


===Quellen===

&lt;nowiki&gt;===ähnliche Aufgaben===&lt;/nowiki&gt;

Gibt es auf WikiMath schon andere ähnliche Aufgaben, die mit dieser Aufgabe eng verwandt sind, aber nicht unbedingt zusammen auf einer Seite stehen sollten, dann verlinke hier zu diesen anderen Aufgaben.

!!!Dies ist auch sehr wichtig, damit keine Aufgaben verwaisen!!!

Genauso solltest Du auch Deine Aufgabe bei den anderen verlinken.

Welche Kategorien bisher existieren, findest du auf den Spezialseiten unter &lt;nowiki&gt;[[Spezial:Categories|Seitenkategorien]]&lt;/nowiki&gt;. Kategorienvorschläge sind auch schon auf der &lt;nowiki&gt;[[WikiMath|Hauptseite]]&lt;/nowiki&gt; zu finden.


&lt;nowiki&gt;[[Kategorie:Beispielkategorie]]&lt;/nowiki&gt;</text>
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Sei &lt;nowiki&gt;&lt;math&gt;(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})&lt;/math&gt;&lt;/nowiki&gt; ein allgemeiner Wahrscheinlichkeitsraum und nehme Sie eine Zufallsvariable $X$ auf diesem Raum an, welche messbar in Bezug auf die triviale $\sigma$-algebra $\mathcal{F}_0 = \{\emptyset, \Omega\}$ ist. Zeigen Sie, dass $X$ nicht zufällig ist (d.h. es gibt eine Konstante $c$, so dass $X(\omega) = c$ für alle $\omega \in \Omega$)

&lt;nowiki&gt;===Tipps===&lt;/nowiki&gt;

&lt;nowiki&gt;===Lösung===&lt;/nowiki&gt;

&lt;nowiki&gt;===Suchbegriffe===&lt;/nowiki&gt;

Gib hier verschiedene Begriffe ein, über welche die Aufgabe in der WikiMath-Suchmaschine gefunden werden soll.


===Quellen===

&lt;nowiki&gt;===ähnliche Aufgaben===&lt;/nowiki&gt;

Gibt es auf WikiMath schon andere ähnliche Aufgaben, die mit dieser Aufgabe eng verwandt sind, aber nicht unbedingt zusammen auf einer Seite stehen sollten, dann verlinke hier zu diesen anderen Aufgaben.

!!!Dies ist auch sehr wichtig, damit keine Aufgaben verwaisen!!!

Genauso solltest Du auch Deine Aufgabe bei den anderen verlinken.

Welche Kategorien bisher existieren, findest du auf den Spezialseiten unter &lt;nowiki&gt;[[Spezial:Categories|Seitenkategorien]]&lt;/nowiki&gt;. Kategorienvorschläge sind auch schon auf der &lt;nowiki&gt;[[WikiMath|Hauptseite]]&lt;/nowiki&gt; zu finden.


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Sei &lt;math&gt;(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})&lt;/math&gt; ein allgemeiner Wahrscheinlichkeitsraum und nehme Sie eine Zufallsvariable &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; auf diesem Raum an, welche messbar in Bezug auf die triviale &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-Algebra &lt;math&gt;\mathcal{F}_0 = \{\emptyset, \Omega\}&lt;/math&gt; ist. Zeigen Sie, dass &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; nicht zufällig ist (d.h. es gibt eine Konstante &lt;math&gt;c&lt;/math&gt;, so dass &lt;math&gt;X(\omega) = c&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;\omega \in \Omega&lt;/math&gt;)

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Gib hier verschiedene Begriffe ein, über welche die Aufgabe in der WikiMath-Suchmaschine gefunden werden soll.


===Quellen===

&lt;nowiki&gt;===ähnliche Aufgaben===&lt;/nowiki&gt;

Gibt es auf WikiMath schon andere ähnliche Aufgaben, die mit dieser Aufgabe eng verwandt sind, aber nicht unbedingt zusammen auf einer Seite stehen sollten, dann verlinke hier zu diesen anderen Aufgaben.

!!!Dies ist auch sehr wichtig, damit keine Aufgaben verwaisen!!!

Genauso solltest Du auch Deine Aufgabe bei den anderen verlinken.

Welche Kategorien bisher existieren, findest du auf den Spezialseiten unter &lt;nowiki&gt;[[Spezial:Categories|Seitenkategorien]]&lt;/nowiki&gt;. Kategorienvorschläge sind auch schon auf der &lt;nowiki&gt;[[WikiMath|Hauptseite]]&lt;/nowiki&gt; zu finden.


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    <text bytes="1399" xml:space="preserve">==Degenerierte Zufallsvariable==&lt;/nowiki&gt;

Sei &lt;math&gt;(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})&lt;/math&gt; ein allgemeiner Wahrscheinlichkeitsraum und nehme Sie eine Zufallsvariable &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; auf diesem Raum an, welche messbar in Bezug auf die triviale &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-Algebra &lt;math&gt;\mathcal{F}_0 = \{\emptyset, \Omega\}&lt;/math&gt; ist. Zeigen Sie, dass &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; nicht zufällig ist (d.h. es gibt eine Konstante &lt;math&gt;c&lt;/math&gt;, so dass &lt;math&gt;X(\omega) = c&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;\omega \in \Omega&lt;/math&gt;).

&lt;nowiki&gt;===Tipps===&lt;/nowiki&gt;

&lt;nowiki&gt;===Lösung===&lt;/nowiki&gt;

&lt;nowiki&gt;===Suchbegriffe===&lt;/nowiki&gt;

Gib hier verschiedene Begriffe ein, über welche die Aufgabe in der WikiMath-Suchmaschine gefunden werden soll.


===Quellen===

&lt;nowiki&gt;===ähnliche Aufgaben===&lt;/nowiki&gt;

Gibt es auf WikiMath schon andere ähnliche Aufgaben, die mit dieser Aufgabe eng verwandt sind, aber nicht unbedingt zusammen auf einer Seite stehen sollten, dann verlinke hier zu diesen anderen Aufgaben.

!!!Dies ist auch sehr wichtig, damit keine Aufgaben verwaisen!!!

Genauso solltest Du auch Deine Aufgabe bei den anderen verlinken.

Welche Kategorien bisher existieren, findest du auf den Spezialseiten unter &lt;nowiki&gt;[[Spezial:Categories|Seitenkategorien]]&lt;/nowiki&gt;. Kategorienvorschläge sind auch schon auf der &lt;nowiki&gt;[[WikiMath|Hauptseite]]&lt;/nowiki&gt; zu finden.


&lt;nowiki&gt;[[Kategorie:Beispielkategorie]]&lt;/nowiki&gt;</text>
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Sei &lt;math&gt;(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})&lt;/math&gt; ein allgemeiner Wahrscheinlichkeitsraum und nehme Sie eine Zufallsvariable &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; auf diesem Raum an, welche messbar in Bezug auf die triviale &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-Algebra &lt;math&gt;\mathcal{F}_0 = \{\emptyset, \Omega\}&lt;/math&gt; ist. Zeigen Sie, dass &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; nicht zufällig ist (d.h. es gibt eine Konstante &lt;math&gt;c&lt;/math&gt;, so dass &lt;math&gt;X(\omega) = c&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;\omega \in \Omega&lt;/math&gt;).

&lt;nowiki&gt;===Tipps===&lt;/nowiki&gt;

&lt;nowiki&gt;===Lösung===&lt;/nowiki&gt;

&lt;nowiki&gt;===Suchbegriffe===&lt;/nowiki&gt;

Gib hier verschiedene Begriffe ein, über welche die Aufgabe in der WikiMath-Suchmaschine gefunden werden soll.


===Quellen===

&lt;nowiki&gt;===ähnliche Aufgaben===&lt;/nowiki&gt;

Gibt es auf WikiMath schon andere ähnliche Aufgaben, die mit dieser Aufgabe eng verwandt sind, aber nicht unbedingt zusammen auf einer Seite stehen sollten, dann verlinke hier zu diesen anderen Aufgaben.

!!!Dies ist auch sehr wichtig, damit keine Aufgaben verwaisen!!!

Genauso solltest Du auch Deine Aufgabe bei den anderen verlinken.

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== Degenerierte Zufallsvariable==
Sei

&lt;math&gt;(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})&lt;/math&gt;
ein allgemeiner Wahrscheinlichkeitsraum und nehme Sie eine Zufallsvariable

&lt;math&gt;X&lt;/math&gt;
auf diesem Raum an, welche messbar in Bezug auf die triviale

&lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;
-Algebra

&lt;math&gt;\mathcal{F}_0 = \{\emptyset, \Omega\}&lt;/math&gt;
ist. Zeigen Sie, dass

&lt;math&gt;X&lt;/math&gt;
nicht zufällig ist (d.h. es gibt eine Konstante

&lt;math&gt;c&lt;/math&gt;
, so dass

&lt;math&gt;X(\omega) = c&lt;/math&gt;
für alle

&lt;math&gt;\omega \in \Omega&lt;/math&gt;
).

&lt;nowiki&gt;===Tipps===&lt;/nowiki&gt;

&lt;nowiki&gt;===Lösung===&lt;/nowiki&gt;

&lt;nowiki&gt;===Suchbegriffe===&lt;/nowiki&gt;

Gib hier verschiedene Begriffe ein, über welche die Aufgabe in der WikiMath-Suchmaschine gefunden werden soll.


===Quellen===

&lt;nowiki&gt;===ähnliche Aufgaben===&lt;/nowiki&gt;

Gibt es auf WikiMath schon andere ähnliche Aufgaben, die mit dieser Aufgabe eng verwandt sind, aber nicht unbedingt zusammen auf einer Seite stehen sollten, dann verlinke hier zu diesen anderen Aufgaben.

!!!Dies ist auch sehr wichtig, damit keine Aufgaben verwaisen!!!

Genauso solltest Du auch Deine Aufgabe bei den anderen verlinken.

Welche Kategorien bisher existieren, findest du auf den Spezialseiten unter &lt;nowiki&gt;[[Spezial:Categories|Seitenkategorien]]&lt;/nowiki&gt;. Kategorienvorschläge sind auch schon auf der &lt;nowiki&gt;[[WikiMath|Hauptseite]]&lt;/nowiki&gt; zu finden.


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== Degenerierte Zufallsvariable==
Sei &lt;math&gt;(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})&lt;/math&gt;
ein allgemeiner Wahrscheinlichkeitsraum und nehme Sie eine Zufallsvariable &lt;math&gt;X&lt;/math&gt;
auf diesem Raum an, welche messbar in Bezug auf die triviale &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;
-Algebra &lt;math&gt;\mathcal{F}_0 = \{\emptyset, \Omega\}&lt;/math&gt;
ist. Zeigen Sie, dass &lt;math&gt;X&lt;/math&gt;
nicht zufällig ist (d.h. es gibt eine Konstante &lt;math&gt;c&lt;/math&gt;
, so dass &lt;math&gt;X(\omega) = c&lt;/math&gt;
für alle &lt;math&gt;\omega \in \Omega&lt;/math&gt;
).

&lt;nowiki&gt;===Tipps===&lt;/nowiki&gt;

&lt;nowiki&gt;===Lösung===&lt;/nowiki&gt;

&lt;nowiki&gt;===Suchbegriffe===&lt;/nowiki&gt;

Gib hier verschiedene Begriffe ein, über welche die Aufgabe in der WikiMath-Suchmaschine gefunden werden soll.


===Quellen===

&lt;nowiki&gt;===ähnliche Aufgaben===&lt;/nowiki&gt;

Gibt es auf WikiMath schon andere ähnliche Aufgaben, die mit dieser Aufgabe eng verwandt sind, aber nicht unbedingt zusammen auf einer Seite stehen sollten, dann verlinke hier zu diesen anderen Aufgaben.

!!!Dies ist auch sehr wichtig, damit keine Aufgaben verwaisen!!!

Genauso solltest Du auch Deine Aufgabe bei den anderen verlinken.

Welche Kategorien bisher existieren, findest du auf den Spezialseiten unter &lt;nowiki&gt;[[Spezial:Categories|Seitenkategorien]]&lt;/nowiki&gt;. Kategorienvorschläge sind auch schon auf der &lt;nowiki&gt;[[WikiMath|Hauptseite]]&lt;/nowiki&gt; zu finden.


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  <title>Cauchy-Folgen und gleichmäßige Stetigkeit</title>
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    <comment>/* Tipp */</comment>
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    <text bytes="2257" xml:space="preserve">==Aufgabenstellung==

Es seien &lt;math&gt;X,Y&lt;/math&gt; metrische Räume und es sei &lt;math&gt;f:X\rightarrow Y&lt;/math&gt; eine gleichmäßig stetige Funktion. Weiter sei &lt;math&gt;(x_n)_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; eine Cauchy-Folge in &lt;math&gt;X&lt;/math&gt;.

Man zeige: &lt;math&gt;(f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; ist dann eine Cauchy-Folge in &lt;math&gt;Y&lt;/math&gt;.

Hallo
==Tipp==

Man benutze die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit und der Cauchy-Folge


==Lösung 1==

Zunächst zu den Definitionen:

&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ist gleichmäßig stetig auf &lt;math&gt;X&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow(\forall\epsilon &gt;0:\exists\delta &gt;0:\forall x,y\in X:\vert x,y\vert &lt;\delta\Rightarrow\vert f(x),f(y)\vert &lt;\epsilon)&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;(x_n)&lt;/math&gt; ist eine Cauchy-Folge

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\forall \epsilon_0:\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n ,x_m\vert &lt;\epsilon_0&lt;/math&gt;


Sei nun &lt;math&gt;\epsilon &gt; 0 &lt;/math&gt; beliebig vorgegeben und ein entsprechendes &lt;math&gt;\delta &gt;0 &lt;/math&gt; gefunden. Dann gilt insbesondere:

&lt;math&gt;\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n ,x_m\vert &lt;\delta &lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; gleichmäßig stetig ist und da &lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}:x_n\in X&lt;/math&gt; gilt, folgt hieraus mit der Definition der gleichmäßigen Stetigkeit:

&lt;math&gt;\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert f(x_n),f(x_m)\vert &lt;\epsilon &lt;/math&gt;

Insgesamt gilt also:

&lt;math&gt;(\forall\epsilon &gt;0:\exists\delta &gt;0:\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n,x_m\vert &lt;\delta\Rightarrow\vert f(x_n),f(x_m)\vert &lt;\epsilon) &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow\forall\epsilon &gt;0:\exists n_0:\forall n,m\ge n_0:\vert f(x_n),f(x_m)\vert &lt;\epsilon &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow (f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; ist eine Cauchy-Folge in &lt;math&gt;Y&lt;/math&gt;

==Lösung 2==
Sei &lt;math&gt;\epsilon&gt;0&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; glm. stetig, gibt es ein &lt;math&gt;\delta&gt;0&lt;/math&gt;, s.d.f.a &lt;math&gt;x,y\in X&lt;/math&gt; aus &lt;math&gt;|x,y| &lt; \delta&lt;/math&gt; auch &lt;math&gt;|f(x),f(y)| &lt; \epsilon&lt;/math&gt; folgt. Da &lt;math&gt;(x_n)&lt;/math&gt; Cauchy-Folge ist, gibt es zu diesem &lt;math&gt;\delta&lt;/math&gt; ein &lt;math&gt;N\in\mathbb{N}&lt;/math&gt;, s.d.f.a &lt;math&gt;n,m\geq N&lt;/math&gt; gilt, dass &lt;math&gt;|x_n,x_m| &lt; \delta&lt;/math&gt; und damit auch &lt;math&gt;|f(x_n),f(x_m)| &lt; \epsilon&lt;/math&gt;, d.h. &lt;math&gt;(f(x_n))&lt;/math&gt; ist Cauchy-Folge. 
[[Kategorie:Analysis]]</text>
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    <text bytes="2250" xml:space="preserve">==Aufgabenstellung==

Es seien &lt;math&gt;X,Y&lt;/math&gt; metrische Räume und es sei &lt;math&gt;f:X\rightarrow Y&lt;/math&gt; eine gleichmäßig stetige Funktion. Weiter sei &lt;math&gt;(x_n)_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; eine Cauchy-Folge in &lt;math&gt;X&lt;/math&gt;.

Man zeige: &lt;math&gt;(f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; ist dann eine Cauchy-Folge in &lt;math&gt;Y&lt;/math&gt;.
==Tipp==

Man benutze die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit und der Cauchy-Folge


==Lösung 1==

Zunächst zu den Definitionen:

&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ist gleichmäßig stetig auf &lt;math&gt;X&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow(\forall\epsilon &gt;0:\exists\delta &gt;0:\forall x,y\in X:\vert x,y\vert &lt;\delta\Rightarrow\vert f(x),f(y)\vert &lt;\epsilon)&lt;/math&gt; 


&lt;math&gt;(x_n)&lt;/math&gt; ist eine Cauchy-Folge

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\forall \epsilon_0:\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n ,x_m\vert &lt;\epsilon_0&lt;/math&gt;


Sei nun &lt;math&gt;\epsilon &gt; 0 &lt;/math&gt; beliebig vorgegeben und ein entsprechendes &lt;math&gt;\delta &gt;0 &lt;/math&gt; gefunden. Dann gilt insbesondere:

&lt;math&gt;\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n ,x_m\vert &lt;\delta &lt;/math&gt;

Da &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; gleichmäßig stetig ist und da &lt;math&gt;\forall n\in\mathbb{N}:x_n\in X&lt;/math&gt; gilt, folgt hieraus mit der Definition der gleichmäßigen Stetigkeit:

&lt;math&gt;\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert f(x_n),f(x_m)\vert &lt;\epsilon &lt;/math&gt;

Insgesamt gilt also:

&lt;math&gt;(\forall\epsilon &gt;0:\exists\delta &gt;0:\exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n,m\ge n_0:\vert x_n,x_m\vert &lt;\delta\Rightarrow\vert f(x_n),f(x_m)\vert &lt;\epsilon) &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Rightarrow\forall\epsilon &gt;0:\exists n_0:\forall n,m\ge n_0:\vert f(x_n),f(x_m)\vert &lt;\epsilon &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow (f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}&lt;/math&gt; ist eine Cauchy-Folge in &lt;math&gt;Y&lt;/math&gt;

==Lösung 2==
Sei &lt;math&gt;\epsilon&gt;0&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; glm. stetig, gibt es ein &lt;math&gt;\delta&gt;0&lt;/math&gt;, s.d.f.a &lt;math&gt;x,y\in X&lt;/math&gt; aus &lt;math&gt;|x,y| &lt; \delta&lt;/math&gt; auch &lt;math&gt;|f(x),f(y)| &lt; \epsilon&lt;/math&gt; folgt. Da &lt;math&gt;(x_n)&lt;/math&gt; Cauchy-Folge ist, gibt es zu diesem &lt;math&gt;\delta&lt;/math&gt; ein &lt;math&gt;N\in\mathbb{N}&lt;/math&gt;, s.d.f.a &lt;math&gt;n,m\geq N&lt;/math&gt; gilt, dass &lt;math&gt;|x_n,x_m| &lt; \delta&lt;/math&gt; und damit auch &lt;math&gt;|f(x_n),f(x_m)| &lt; \epsilon&lt;/math&gt;, d.h. &lt;math&gt;(f(x_n))&lt;/math&gt; ist Cauchy-Folge. 
[[Kategorie:Analysis]]</text>
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  <title>Arbeiten mit Termen: Treffpunkt von zwei Radfahrern</title>
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    <text bytes="4267" xml:space="preserve">==Aufgabe==

Die Orte '''A''' und '''B''' liegen 6300 km von einander entfernt. Tina startet um 14:00 Uhr in '''A''' und fährt mit einer Geschwindigkeit von 1050 km/h in Richtung '''B'''. Zur gleichen Zeit startet Karin in '''B''' und fährt mit 920 km/h in Richtung '''A'''. 

Nach wieviel Kilometern und nach welcher Zeit treffen sich die beiden Mädchen zwischen '''A''' und '''B'''?
===Tipps ;)===

Wenn ihr Probleme mit der Aufgabenstellung habt, solltet ihr euch erst mal eine Zeichnung machen. Dabei malt man die beiden Orte auf und trägt alle Daten ein, die gegeben sind.

===Lösung:===

==== Was ist x ====

==== Die Geschwindigkeit der Mädchen wird in km/h angegeben. Gesucht ist einmal der gefahrene Weg und zum anderen die verstrichene Zeit seit 14:00 Uhr bis zum Treffpunkt. ====
Für x nehmen wir am besten die gefahrene Zeit.

==== Term aufstellen ====

Der Term besteht aus zwei Teilen die jeder für sich die Formel für das entsprechende Mädchen darstellt.

Man muss allerdings einen wichtigen Punkt dabei berücksichtigen. Da Karin genau in die entgegengesetzte Richtung fährt und bei '''B''' startet, muss ihre Formel von 25 km abgezogen werden. Also ergibt sich:


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} &lt;/math&gt; für Tina

&lt;math&gt; 25 km - (x \cdot 17{km \over h}) &lt;/math&gt; für Karin

Die beiden Formeln werden nun Gleichgesetzt:

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt;

==== Zeit Ausrechnen ====

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt; '''| +17x'''


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} +x \cdot 17{km \over h}  = 25 km &lt;/math&gt; '''| x ausklammern'''


&lt;math&gt;x \cdot (15 {km \over h} +  17{km \over h})  = 25 km &lt;/math&gt; '''| / 32 km/h'''


&lt;math&gt;x  = {25km \over (15 {km \over h} +  17{km \over h})} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x  = {25km \over  32{km \over h}} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x  = {25 \over 32}  h =  0,78125 h = 46,8 Minuten&lt;/math&gt;

Km kürzt sich raus und übrig bleibt h (Stunden). Sie treffen sich also nach ca.46,8 Minuten.


==== Weg Ausrechnen ====

Der Weg errechnet sich dann über die Geschwindigkeit (wir nehmen die von Tina) und die Zeit.

Geschwindigkeit = Weg / Zeit oder &lt;math&gt;v = {s \over t}&lt;/math&gt;

Also ist der Weg = Geschwidigkeit x Zeit &lt;math&gt;s = v \cdot t&lt;/math&gt;

die errechnete Zeit und Tinas Geschwindigkeit eingesetzt.

&lt;math&gt;s = {15 {km \over h} \cdot{25 \over 32}h}= 11,72 km&lt;/math&gt;

'''Tina ist also in 46,8 Minuten 11,72 km weit gefahren, bis sie mit Karin zusammentrift.'''

===Lösung 2===

Der zweite Ansatz erfordert schon die Kenntnis einer allgemeinen Geradengleichung.

&lt;math&gt;y = m \cdot x + c&lt;/math&gt;

'''m''' ist darin die Steigung der Geraden und '''c''' der Achsenabschnitt auf der y-Achse

[[Bild:Treffpunkt.png|framed|Die Geradengleichungen als Grafik]]

Die Steigungen sind hierbei die Geschwindigkeiten. Einen Achsenabschnitt hat nur die Gerade von Karin, da sie ja in '''B''', was ja von '''A''' 25 km entfernt liegt, startet. 

Die Geradengleichung für Tina:

&lt;math&gt;y = 15 {km \over h} \cdot x + 0&lt;/math&gt;

Die Geradengleichung für Karin:

&lt;math&gt;y = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km&lt;/math&gt;

Man sieht auch, dass vor der Geschwindigkeit von Karin ein Minus steht, da die Steigung der Geraden negativ ist.

Man sieht in der Grafik schön, dass es genau einen Punkt gibt, in dem sich die Geraden kreuzen. Das ist der Zeitpunkt der Begegnung. Und da die Werte für '''y''' in diesem Punkt die gleichen sind, setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich. (Man nennt diesen Verfahren darum '''Gleichsetzungsverfahren''')

&lt;math&gt; 15 {km \over h} \cdot x + 0 = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km &lt;/math&gt;

==== Ausrechnen ====

&lt;math&gt; 15x  = -17x + 25 &lt;/math&gt; '''| +17x'''

&lt;math&gt; 32x  =  25 &lt;/math&gt; '''| /32 '''

&lt;math&gt; x  =  {25 \over 32} &lt;/math&gt;

Wie man sieht, kommt auch in dieser Lösung das gleiche Ergebnis raus. Den Weg kann man jetzt genau wie in Lösung 1 berechnen.

===Suchbegriffe===

Geschwindigkeitsaufgabe, Geschwindigkeit, Termbildung

===Quellen===
http://profelenafreire.shoutwiki.com/wiki/RECTA_POR_DOS_PUNTOS

===ähnliche Aufgaben===

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft]]

[[es:cruce de dos bicicletas]]
[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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    <comment>/* Aufgabe */</comment>
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    <text bytes="4263" xml:space="preserve">==Aufgabe==

Die Orte '''A''' und '''B''' liegen 25 km von einander entfernt. Tina startet um 14:00 Uhr in '''A''' und fährt mit einer Geschwindigkeit von 15 km/h in Richtung '''B'''. Zur gleichen Zeit startet Karin in '''B''' und fährt mit 920 km/h in Richtung '''A'''. 

Nach wieviel Kilometern und nach welcher Zeit treffen sich die beiden Mädchen zwischen '''A''' und '''B'''?
===Tipps ;)===

Wenn ihr Probleme mit der Aufgabenstellung habt, solltet ihr euch erst mal eine Zeichnung machen. Dabei malt man die beiden Orte auf und trägt alle Daten ein, die gegeben sind.

===Lösung:===

==== Was ist x ====

==== Die Geschwindigkeit der Mädchen wird in km/h angegeben. Gesucht ist einmal der gefahrene Weg und zum anderen die verstrichene Zeit seit 14:00 Uhr bis zum Treffpunkt. ====
Für x nehmen wir am besten die gefahrene Zeit.

==== Term aufstellen ====

Der Term besteht aus zwei Teilen die jeder für sich die Formel für das entsprechende Mädchen darstellt.

Man muss allerdings einen wichtigen Punkt dabei berücksichtigen. Da Karin genau in die entgegengesetzte Richtung fährt und bei '''B''' startet, muss ihre Formel von 25 km abgezogen werden. Also ergibt sich:


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} &lt;/math&gt; für Tina

&lt;math&gt; 25 km - (x \cdot 17{km \over h}) &lt;/math&gt; für Karin

Die beiden Formeln werden nun Gleichgesetzt:

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt;

==== Zeit Ausrechnen ====

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt; '''| +17x'''


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} +x \cdot 17{km \over h}  = 25 km &lt;/math&gt; '''| x ausklammern'''


&lt;math&gt;x \cdot (15 {km \over h} +  17{km \over h})  = 25 km &lt;/math&gt; '''| / 32 km/h'''


&lt;math&gt;x  = {25km \over (15 {km \over h} +  17{km \over h})} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x  = {25km \over  32{km \over h}} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x  = {25 \over 32}  h =  0,78125 h = 46,8 Minuten&lt;/math&gt;

Km kürzt sich raus und übrig bleibt h (Stunden). Sie treffen sich also nach ca.46,8 Minuten.


==== Weg Ausrechnen ====

Der Weg errechnet sich dann über die Geschwindigkeit (wir nehmen die von Tina) und die Zeit.

Geschwindigkeit = Weg / Zeit oder &lt;math&gt;v = {s \over t}&lt;/math&gt;

Also ist der Weg = Geschwidigkeit x Zeit &lt;math&gt;s = v \cdot t&lt;/math&gt;

die errechnete Zeit und Tinas Geschwindigkeit eingesetzt.

&lt;math&gt;s = {15 {km \over h} \cdot{25 \over 32}h}= 11,72 km&lt;/math&gt;

'''Tina ist also in 46,8 Minuten 11,72 km weit gefahren, bis sie mit Karin zusammentrift.'''

===Lösung 2===

Der zweite Ansatz erfordert schon die Kenntnis einer allgemeinen Geradengleichung.

&lt;math&gt;y = m \cdot x + c&lt;/math&gt;

'''m''' ist darin die Steigung der Geraden und '''c''' der Achsenabschnitt auf der y-Achse

[[Bild:Treffpunkt.png|framed|Die Geradengleichungen als Grafik]]

Die Steigungen sind hierbei die Geschwindigkeiten. Einen Achsenabschnitt hat nur die Gerade von Karin, da sie ja in '''B''', was ja von '''A''' 25 km entfernt liegt, startet. 

Die Geradengleichung für Tina:

&lt;math&gt;y = 15 {km \over h} \cdot x + 0&lt;/math&gt;

Die Geradengleichung für Karin:

&lt;math&gt;y = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km&lt;/math&gt;

Man sieht auch, dass vor der Geschwindigkeit von Karin ein Minus steht, da die Steigung der Geraden negativ ist.

Man sieht in der Grafik schön, dass es genau einen Punkt gibt, in dem sich die Geraden kreuzen. Das ist der Zeitpunkt der Begegnung. Und da die Werte für '''y''' in diesem Punkt die gleichen sind, setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich. (Man nennt diesen Verfahren darum '''Gleichsetzungsverfahren''')

&lt;math&gt; 15 {km \over h} \cdot x + 0 = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km &lt;/math&gt;

==== Ausrechnen ====

&lt;math&gt; 15x  = -17x + 25 &lt;/math&gt; '''| +17x'''

&lt;math&gt; 32x  =  25 &lt;/math&gt; '''| /32 '''

&lt;math&gt; x  =  {25 \over 32} &lt;/math&gt;

Wie man sieht, kommt auch in dieser Lösung das gleiche Ergebnis raus. Den Weg kann man jetzt genau wie in Lösung 1 berechnen.

===Suchbegriffe===

Geschwindigkeitsaufgabe, Geschwindigkeit, Termbildung

===Quellen===
http://profelenafreire.shoutwiki.com/wiki/RECTA_POR_DOS_PUNTOS

===ähnliche Aufgaben===

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Fruchtsaft]]

[[es:cruce de dos bicicletas]]
[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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      <username>93.215.194.65</username>
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    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="4262" xml:space="preserve">==Aufgabe==

Die Orte '''A''' und '''B''' liegen 25 km von einander entfernt. Tina startet um 14:00 Uhr in '''A''' und fährt mit einer Geschwindigkeit von 15 km/h in Richtung '''B'''. Zur gleichen Zeit startet Karin in '''B''' und fährt mit 17 km/h in Richtung '''A'''. 

Nach wieviel Kilometern und nach welcher Zeit treffen sich die beiden Mädchen zwischen '''A''' und '''B'''?
===Tipps ;)===

Wenn ihr Probleme mit der Aufgabenstellung habt, solltet ihr euch erst mal eine Zeichnung machen. Dabei malt man die beiden Orte auf und trägt alle Daten ein, die gegeben sind.

===Lösung:===

==== Was ist x ====

==== Die Geschwindigkeit der Mädchen wird in km/h angegeben. Gesucht ist einmal der gefahrene Weg und zum anderen die verstrichene Zeit seit 14:00 Uhr bis zum Treffpunkt. ====
Für x nehmen wir am besten die gefahrene Zeit.

==== Term aufstellen ====

Der Term besteht aus zwei Teilen die jeder für sich die Formel für das entsprechende Mädchen darstellt.

Man muss allerdings einen wichtigen Punkt dabei berücksichtigen. Da Karin genau in die entgegengesetzte Richtung fährt und bei '''B''' startet, muss ihre Formel von 25 km abgezogen werden. Also ergibt sich:


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} &lt;/math&gt; für Tina

&lt;math&gt; 25 km - (x \cdot 17{km \over h}) &lt;/math&gt; für Karin

Die beiden Formeln werden nun Gleichgesetzt:

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt;

==== Zeit Ausrechnen ====

&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h}   = 25 km - (x \cdot 17{km \over h})&lt;/math&gt; '''| +17x'''


&lt;math&gt;x \cdot 15 {km \over h} +x \cdot 17{km \over h}  = 25 km &lt;/math&gt; '''| x ausklammern'''


&lt;math&gt;x \cdot (15 {km \over h} +  17{km \over h})  = 25 km &lt;/math&gt; '''| / 32 km/h'''


&lt;math&gt;x  = {25km \over (15 {km \over h} +  17{km \over h})} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x  = {25km \over  32{km \over h}} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;x  = {25 \over 32}  h =  0,78125 h = 46,8 Minuten&lt;/math&gt;

Km kürzt sich raus und übrig bleibt h (Stunden). Sie treffen sich also nach ca.46,8 Minuten.


==== Weg Ausrechnen ====

Der Weg errechnet sich dann über die Geschwindigkeit (wir nehmen die von Tina) und die Zeit.

Geschwindigkeit = Weg / Zeit oder &lt;math&gt;v = {s \over t}&lt;/math&gt;

Also ist der Weg = Geschwidigkeit x Zeit &lt;math&gt;s = v \cdot t&lt;/math&gt;

die errechnete Zeit und Tinas Geschwindigkeit eingesetzt.

&lt;math&gt;s = {15 {km \over h} \cdot{25 \over 32}h}= 11,72 km&lt;/math&gt;

'''Tina ist also in 46,8 Minuten 11,72 km weit gefahren, bis sie mit Karin zusammentrift.'''

===Lösung 2===

Der zweite Ansatz erfordert schon die Kenntnis einer allgemeinen Geradengleichung.

&lt;math&gt;y = m \cdot x + c&lt;/math&gt;

'''m''' ist darin die Steigung der Geraden und '''c''' der Achsenabschnitt auf der y-Achse

[[Bild:Treffpunkt.png|framed|Die Geradengleichungen als Grafik]]

Die Steigungen sind hierbei die Geschwindigkeiten. Einen Achsenabschnitt hat nur die Gerade von Karin, da sie ja in '''B''', was ja von '''A''' 25 km entfernt liegt, startet. 

Die Geradengleichung für Tina:

&lt;math&gt;y = 15 {km \over h} \cdot x + 0&lt;/math&gt;

Die Geradengleichung für Karin:

&lt;math&gt;y = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km&lt;/math&gt;

Man sieht auch, dass vor der Geschwindigkeit von Karin ein Minus steht, da die Steigung der Geraden negativ ist.

Man sieht in der Grafik schön, dass es genau einen Punkt gibt, in dem sich die Geraden kreuzen. Das ist der Zeitpunkt der Begegnung. Und da die Werte für '''y''' in diesem Punkt die gleichen sind, setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich. (Man nennt diesen Verfahren darum '''Gleichsetzungsverfahren''')

&lt;math&gt; 15 {km \over h} \cdot x + 0 = -17 {km \over h} \cdot x + 25 km &lt;/math&gt;

==== Ausrechnen ====

&lt;math&gt; 15x  = -17x + 25 &lt;/math&gt; '''| +17x'''

&lt;math&gt; 32x  =  25 &lt;/math&gt; '''| /32 '''

&lt;math&gt; x  =  {25 \over 32} &lt;/math&gt;

Wie man sieht, kommt auch in dieser Lösung das gleiche Ergebnis raus. Den Weg kann man jetzt genau wie in Lösung 1 berechnen.

===Suchbegriffe===

Geschwindigkeitsaufgabe, Geschwindigkeit, Termbildung

===Quellen===
http://profelenafreire.shoutwiki.com/wiki/RECTA_POR_DOS_PUNTOS

===ähnliche Aufgaben===

[[Arbeiten mit Termen: Mischungsaufgabe mit Messing]]

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[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 7]]</text>
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  <title>Eigenwerte der Inversen einer invertierbaren Matrix</title>
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    </contributor>
    <comment>/* Lösung 2 */</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2713" xml:space="preserve">==Aufgabenstellung==

Es sei &lt;math&gt;A\in K^{n\times n}&lt;/math&gt; eine invertierbare Matrix über einem Körper &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;. Ferner sei &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; ein Eigenwert von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.

Man zeige: &lt;math&gt;\lambda\not=0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\lambda^{-1}&lt;/math&gt; ist Eigenwert von &lt;math&gt;A^{-1}&lt;/math&gt;.


==Tipp==

*Man benutze die Definition der Eigenwerte.
*Man interpretiere die Gleichung &lt;math&gt;x^{-1}-y^{-1}=\frac{y-x}{xy}&lt;/math&gt; für reelle Zahlen &lt;math&gt;x,y\in\mathbb{C}\setminus\{0\}&lt;/math&gt; als Gleichung für Matrizen.

==Lösung 1==

Es sei &lt;math&gt;\chi_A&lt;/math&gt; das charakteristische Polynom von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;E_n&lt;/math&gt; die (&lt;math&gt;n\times n&lt;/math&gt;)-Einheitsmatrix.

Annahme: &lt;math&gt;\lambda =0&lt;/math&gt;, dann folgt:

&lt;math&gt;\chi_A(\lambda)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A-\lambda E_n)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A-0\cdot E_n)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow A\not\in Gl(n,K)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow A&lt;/math&gt; ist nicht invertierbar (Widerspruch zur Voraussetzung!)

Also ist &lt;math&gt;\lambda\not= 0&lt;/math&gt;, insbesondere existiert &lt;math&gt;\lambda^{-1}\in K&lt;/math&gt;.

Da &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; Eigenwert von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; ist, hat die Gleichung &lt;math&gt;A(x)=\lambda x;\;x\in K^n&lt;/math&gt; eine nicht-triviale Lösung  &lt;math&gt;v\in K^n\setminus\{0\}&lt;/math&gt;, d.h. es gilt:

&lt;math&gt;\exists v\in K^n\setminus\{0\}:A(v)=\lambda v&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\exists v\in K^n\setminus\{0\}: A^{-1}(\lambda v)=v&lt;/math&gt; (da &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; ja invertierbar ist)

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\exists v\in K^n\setminus\{0\}:A^{-1}(\lambda v)=\lambda^{-1}(\lambda v)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; die Gleichung &lt;math&gt;A^{-1}(x)=\lambda^{-1}x&lt;/math&gt; hat eine nicht-triviale Lösung &lt;math&gt;x\in K^n\setminus\{0\}&lt;/math&gt; (da ja &lt;math&gt;\lambda\not=0&lt;/math&gt; und da &lt;math&gt;v\not=0&lt;/math&gt;)

&lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; die Gleichung &lt;math&gt;(A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)(x)=0&lt;/math&gt; hat eine nicht-triviale Lösung

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\ker(A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)\not=\{0\} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow (A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)\not\in Gl(n,K)&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\det(A^{-1}-\lambda^{-1}E_n)=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\chi_{A^{-1}}(\lambda^{-1})=0&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow\lambda^{-1}&lt;/math&gt; ist Eigenwert von &lt;math&gt;A^{-1}&lt;/math&gt;.

==Lösung 3==

Sei &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; Eigenvektor zum Eigenwert &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt;, dann gilt:

&lt;math&gt;Ax=\lambda x\Leftrightarrow x=\lambda A^{-1}x\Leftrightarrow\lambda^{-1} x=A^{-1}x\Leftrightarrow\lambda^{-1}&lt;/math&gt; ist Eigenwert von &lt;math&gt;  A^{-1}&lt;/math&gt;.


&lt;math&gt;\lambda\neq0&lt;/math&gt; folgt dabei aus der zweiten Gleichung, da &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; als Eigenvektor per Definition vom Nullvektor verschieden ist.

[[Kategorie: Lineare Algebra]]</text>
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  <title>Mathe Wiki:Willkommen</title>
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    <text bytes="6020" xml:space="preserve">Herzlich Willkommen bei [[WikiMath]], der freien Aufgabensammlung.

==Was ist WikiMath?==

WikiMath ist eine Sammlung von Mathematikaufgaben und deren Lösungen. Die Aufgaben werden nicht von einem festen, bezahlten Team, sondern von freiwilligen Autoren verfasst. Der Name WikiMath setzt sich zusammen aus Wiki, dem hawaiianischen Wort für "schnell", und Mathematik. Ein Wiki ist eine Website, deren Seiten jeder leicht und ohne technische Vorkenntnisse direkt im Browser ändern kann.

WikiMath wurde im Dezember 2005 gegründet und befindet sich im Aufbau. Die Anzahl der Aufgaben soll sich mit der Zeit und mit deiner/eurer Unterstützung immer weiter vergrößern. Du bist herzlich eingeladen, dein Wissen und deine Erfahrung in Bezug auf mathematische Übungsaufgaben beizusteuern. 

==Für wen ist WikiMath?==

Das Ziel von WikiMath ist es, allen Studierenden und Mathematikinteressierten, die beim Bearbeiten ihrer Übungsaufgaben Hilfe und/oder ganze Lösungen suchen, beiseitezustehen. Ebenso möchte dieses Wiki den Übungsleitenden eine umfassende Aufgabenquelle bieten, die sie beim Zusammenstellen ihrer Übungsblätter nutzen können.

==Was ist WikiMath nicht?==

WikiMath ist eine reine Aufgabensammlung. Reine Begriffserläuterungen, Definitionen, Sätze oder gar ganze Vorlesungspassagen gehören hier nicht hin! Diese Einschränkung ist daher notwendig, damit die Suchanfragen an WikiMath auch wirklich nur Verweise zu Aufgaben liefern. Ansonsten gäbe es schnell ein unüberschaubares Suchergebnis mit zu vielen für den WikiMath-Nutzer uninteressanten Links.
Wer nun aber nach Definitionen und Sätzen sucht, der sollte dies an alternativer Stelle tun. Einiges findet sich sogar in [http://de.wikipedia.org/wiki/Hauptseite Wikipedia], als spezielle Mathematik-Enzyklopädie möchten wir jedoch auf [http://planetmath.org Planetmath] hinweisen.

==Infos zur Nutzung von WikiMath==

===Aufgaben suchen===

Wenn du hier nach Aufgaben und deren Lösungen suchen willst, gibt es verschiedene Wege dies zu tun. Als erstes solltest du die eingebaute Suchfunktion benutzen, welche sich auf der linken Seite in der Hauptnavigationsspalte befindet. Du gibst einfach deinen Begriff in das Suchfeld unter dem Wikia Schriftzug ein und klickst auf Los bzw. Suche. Schon erhältst du eine Liste der Aufgabenseiten, die euren Begriff enthalten.
Da es gerade in einer Aufgabensammlung wie dieser hier äußerst schwierig ist anhand eines Suchbegriffes gleich die richtige Aufgabe zu finden, gibt es auch noch einen zweiten Weg. Du kannst dich auch über die Kategorien und deren Unterkategorien durchklicken, bis möglicherweise die dann dort vorhandenen Aufgaben eine überschaubare Anzahl erreicht haben. Diese herausgefilterten Aufgaben kannst du dir dann ja nacheinander anschauen.

===Aufgaben erstellen===

Wenn deine gründliche Aufgabensuche (s.o.) trotzdem erfolglos geblieben ist, solltest du deine Aufgabe selber in WikiMath einstellen. Scheue dich nicht davor, auch nur die Aufgabenstellung zu verfassen, vielleicht findet sich ja jemand, der beim Stöbern auf deine Aufgabe stößt und dann die ihm bekannte Lösung dazuschreibt. Oder du ergänzt deine Aufgabe selber mit der Lösung, sobald du diese kennst (z.B. aus den Übungsstunden an der Uni, wo die Aufgabe besprochen wird).

Zum Erstellen neuer Aufgabenseiten, solltest du dich schon ein wenig mit Wikis auskennen. Keine Angst, es ist wirklich ganz einfach. Schaue einfach mal auf die [[WikiMath:Hilfe|Hilfe]] Seiten und probiere dann erst mal alles auf der [[Spielwiese]] aus. Danach bist du auch schon fit um WikiMath-Autor zu werden.

Dann schaue nach, ob deine Aufgabe tatsächlich noch nicht existiert. Ist dem so, suche anschließend eine Aufgabe, zu der die neu anzulegende Aufgabe einen Bezug hat. In diese trägst du in doppelten eckigen Klammern den Titel des neuen Artikels ein und speicherst die Aufgabe. Den roten Link auf dieser Seite kannst du jetzt anklicken, und mit dem Schreiben deiner neuen Aufgabe beginnen.

Ein anderer Weg, um eine neue Aufgabe zu erstellen ist:
Überlege dir eine Seitenüberschrift, die deine Aufgabe tragen soll.
Gib diese Überschrift in das Suchfeld ein und drückes 'Enter'.
Die Suchergebnissseite meldet, dass es keinen Artikel mit diesem Namen gibt, also klickst du auf 'neu' und fängst mit dem editieren der Aufgabe an.
(Dieser Weg hat allerdings den Nachteil, dass deine Aufgabe im ganzen Wiki nicht verlinkt ist und so schnell verwaisen kann. Man kann sie nur über die interne Suche finden, welche gegebenenfalls auch mal abgeschaltet sein kann.)

Es gibt dann noch ein paar Punkte, an die du denken solltet:

* Gehört die Aufgabe vielleicht doch zu einer anderen schon vorhandenen Aufgabe? Dann solltest du deinen neuen Zusatz dort hineinschreiben!

* Überlege dir wirklich einen '''sinnvollen Titel''' für eine neue Aufgabe, da der Titel die spätere Suche am stärksten beeinflusst. So ist es unsinnig eine Aufgabe mit viel zu weitläufigen Begriffen zu betiteln, wie z.B. Analysisaufgabe oder auch Beweisaufgabe. Wenn die Aufgabe zur Analysis gehört, dann solltest du sie in die Kategorie Analysis stecken. Der Name Beweisaufgabe trifft ja in der Mathematik auf jede 2te zu und ist daher nichtsaussagend. Der Titel sollte so weit wie möglich kurz und prägnant bleiben, den Aufgabeinhalt aber auch ziemlich gut erfassen. Wähle ihn so, dass du deine Aufgabe aus tausenden wieder herausfinden könntest (ohne den Titel vorher zu kennen *g*).

* Damit alle Aufgaben eine einheitliche Form bekommen, benutze bitte die [[:Vorlage:Seitenvorlage|Seitenvorlage]]. Du kannst diese Vorlage in deinen Artikel einbauen, indem du bevor irgendetwas in den Artikel geschrieben wurde &lt;nowiki&gt;{{subst:Seitenvorlage}}&lt;/nowiki&gt; dort hineinschreibst und einmal speicherst. Danach ist die komplette Vorlage in deinem Artikel integriert und muss nur noch von dir ausgefüllt werden. (Die nicht verwendeten Absätze wie z.B. die 'zweite Aufgabe' solltest du dann löschen, wenn du sie nicht verwendest.)</text>
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  <title>Mathe Wiki:Hilfe</title>
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    <text bytes="1872" xml:space="preserve">Wenn du an WikiMath mitarbeiten möchtest, aber nicht weißt wie das geht und deswegen auf der Suche nach Hilfe bist, dann bist du hier genau richtig.

Die ersten Informationen hast Du ja sicherlich schon auf der [[WikiMath:Willkommen|Willkommen]]-Seite gelesen. Wenn nicht solltest Du das jetzt nochmal schnell nachholen, insbesondere den Absatz 'Infos zur Nutzung von WikiMath'.

WikiMath ist ein Wiki, welches auf der [http://www.mediawiki.org MediaWiki-Engine] basiert, welche z.B. auch von der bekannten freien Internet-Enzyklopädie [http://de.wikipedia.org Wikipedia] verwendet wird. Aufgrund dessen können die Seiten in WikiMath auch genauso bearbeitet werden, wie die Seiten aus Wikipedia. Da es in Wikipedia selber schon sehr viele ausführliche Hilfe-Seiten gibt, soll an dieser Stelle anhand einer kleinen Auflistung auf die Seiten hingewiesen werden, die insbesondere für WikiMath-Helfende interessant sind:

* [http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Tutorial Wiki-Tutorial] - Eine Schritt für Schritt Anleitung für Neueinsteiger
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Hilfe Wikipedia Hilfe] - Allgemeine Hilfe Seite
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Wikipedia Tex Hilfe] - Eine ausführhliche Erklärung zum editieren von mathematischen Formeln

Bitte schaue dir erst einmal die [[Vorlage:Seitenvorlage|Seitenvorlage]] an, an die du dich beim Erstellen ganz neuer Seiten orientieren solltest, damit alle Aufgaben eine einheitliche Form bekommen.

Du solltest dann das Erlernte auf der [[Spielwiese]] ausprobieren, bevor du mit dem Editieren vorhandener Seiten anfängst, oder neue Seiten verfasst. Denn dort kann man nichts kaputtmachen.

Für die Erstellung von Formeln ist das Programm [http://www.dessci.com/de/features/taform.stm TeXaide] sehr nützlich. Man kann die Formel mit der Maus zusammenklicken und dann im Tex Format exportieren.</text>
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    <text bytes="1848" xml:space="preserve">Wenn du an WikiMath mitarbeiten möchtest, aber nicht weißt wie das geht und deswegen auf der Suche nach Hilfe bist, dann bist du hier genau richtig.

Die ersten Informationen hast Du ja sicherlich schon auf der Willkommen-Seite gelesen. Wenn nicht solltest Du das jetzt nochmal schnell nachholen, insbesondere den Absatz 'Infos zur Nutzung von WikiMath'.

WikiMath ist ein Wiki, welches auf der [http://www.mediawiki.org MediaWiki-Engine] basiert, welche z.B. auch von der bekannten freien Internet-Enzyklopädie [http://de.wikipedia.org Wikipedia] verwendet wird. Aufgrund dessen können die Seiten in WikiMath auch genauso bearbeitet werden, wie die Seiten aus Wikipedia. Da es in Wikipedia selber schon sehr viele ausführliche Hilfe-Seiten gibt, soll an dieser Stelle anhand einer kleinen Auflistung auf die Seiten hingewiesen werden, die insbesondere für WikiMath-Helfende interessant sind:

* [http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Tutorial Wiki-Tutorial] - Eine Schritt für Schritt Anleitung für Neueinsteiger
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Hilfe Wikipedia Hilfe] - Allgemeine Hilfe Seite
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX Wikipedia Tex Hilfe] - Eine ausführhliche Erklärung zum editieren von mathematischen Formeln

Bitte schaue dir erst einmal die [[Vorlage:Seitenvorlage|Seitenvorlage]] an, an die du dich beim Erstellen ganz neuer Seiten orientieren solltest, damit alle Aufgaben eine einheitliche Form bekommen.

Du solltest dann das Erlernte auf der [[Spielwiese]] ausprobieren, bevor du mit dem Editieren vorhandener Seiten anfängst, oder neue Seiten verfasst. Denn dort kann man nichts kaputtmachen.

Für die Erstellung von Formeln ist das Programm [http://www.dessci.com/de/features/taform.stm TeXaide] sehr nützlich. Man kann die Formel mit der Maus zusammenklicken und dann im Tex Format exportieren.</text>
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  <title>Archimedische Körper</title>
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    <comment>Die Seite wurde neu angelegt: „Polyeder - Archimedische Körper  Polyeder sind dreidimensionale Körper, welche durch eine endliche Zahl ebener Flächen (Polygone) begrenzt sind. Sie sind du…“</comment>
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    <text bytes="5640" xml:space="preserve">Polyeder - Archimedische Körper

Polyeder sind dreidimensionale Körper, welche durch eine endliche Zahl ebener Flächen (Polygone) begrenzt sind. Sie sind durch Ecken und Kanten miteinander verbunden. Je zwei aneinandergrenzende Flächen besitzen eine gemeinsame Kante. Schnittpunkte der Kanten von drei oder mehr Polygonen bilden die Ecken eines Polyeders. In diesen kommt es stets zu einer Berührung von drei oder mehr Polyederflächen. Gilt für sämtliche Ecken eines Polyeders, dass die Summe der Flächenwinkel der Flächen, die diese Ecken bilden, kleiner als 360° ist, so bezeichnet man ihn als konvex.

Eine Gruppe konvexer Polyeder sind die halbregulären Polyeder. Hierzu zählen Prismen, Antiprismen, sowie Archimedische Körper. In einem Polyeder dieser sind ebenfalls alle Kanten und Ecken gleich. Im Unterschied zu regulären Polyedern können hierbei jedoch mehrere verschiedene reguläre Flächen auftreten. Die archimedischen Körper besitzen dieselben Symmetrieelemente wie Platonische Körper. Bestimmte Archimedische Körper können aus den Platonischen Körpern durch Abschneiden der Ecken erzeugt werden. 

Werden einem Pentagondodekaeder beispielsweise an seinen Eckpunkten regelmäßige Tetraeder (dreiseitige Pyramiden) symmetrisch entfernt, so entsteht hieraus das Ikosidodekaeder. Platonische Körper weisen als Seitenflächen ausschließlich regelmäßige Dreiecke, Vierecke und Fünfecke auf. Bei Archimedischen Körpern treten zudem Sechsecke, Achtecke und Zehnecke auf.

Archimedische Körper besitzen die Bezeichnungen:

 Abgeschrägtes Hexaeder

 Abgeschrägtes Dodekaeder

 Abgestumpftes Hexaeder

 Kuboktaeder

 Abgestumpftes Tetraeder

 Rhombenkuboktaeder

 Abgestumpftes Oktaeder

 Ikosidodekaeder

 Abgestumpftes Kuboktaeder

 Rhombenikosidodekaeder

 Abgestumpftes Dodekaeder

 Abgestumpftes Ikosaeder

 Abgestumpftes Ikosidodekaeder

Unter den Archimedischen Körpern ist das abgestumpfte Ikosaeder derjenige, welcher in seiner Form der Kugel am nächsten kommt.

Nachfolgend abgebildet sind einige derartige Gebilde:

Abgeschrägtes Polyeder

Abgestumpftes Dodekaeder

Abgestumpftes Hexaeder

Abgestumpftes Ikosidodekaeder

Nachfolgend aufgeführt sind einige Formeln, welche zur Berechnung der Werte entsprechender Größen eines Archimedischen Körpers benötigt werden.

Abgeschrägtes Hexaeder:

Oberfläche: A = 2·a²·( 3 + 4√3 )

Volumen: V = a³ · ( 3·√ t - 1 + 4·√ t + 1 ) / ( 3·√ 2 - t )

Radius der Umkugel: ru = a · √ ( 3 - t ) / [ 4·( 2 - t ) ]

Radius der Inkugel: ri = a · √ 1 / [ 4·( 2 - t ) ]

Mit:

t: Tribonacci-Konstante t = (³√ 19 + 3√33 + ³√ 19 - 3√33 - 2) / 6 = 1,83928675521416...

Abgeschrägtes Dodekaeder:

Oberfläche: A = a² · ( 20√3 + 3√ 25 + 10√5 )

Volumen: V = a³ · [ 12ψ²·(3φ+1) - ψ·(36φ+7) - (53φ+6) ] / 6 (√3-ψ²)³

Radius der Umkugel: ru = a · φ · √ t·(t+φ) + (3-φ) / 2

Radius der Inkugel: ri = a · φ · √ t·(t+φ) + 1 / 2

Mit:

Goldener Schnitt: φ = 1,61803398874989...

Konstante: ψ = 1,7155614996974...

Abgestumpftes Hexaeder:

Oberfläche: A = 2·a² · ( 6 + 6·√2 + √3 )

Volumen: V = a³ / 3 · ( 21 + 14·√2 )

Radius der Umkugel: ru = a/2 · √ 7 + 4√2

Radius der Inkugel: ri = a/2 · ( 2 + √2 )

Kuboktaeder:

Oberfläche: A = 2·a²·(3 + √3)

Volumen: V = 5/3·√2·a³

Radius der Umkugel: ru = a

Radius der Inkugel: ri = √3·a / 2

Abgestumpftes Tetraeder:

Oberfläche: A = 7·√3·a²

Volumen: V = 23/12·√2·a³

Radius der Umkugel: ru = √22·a / 4

Radius der Inkugel: ri = √2·a·3 / 4

Rhombenkuboktaeder:

Oberfläche: A = 2·a² · ( 9 + √3 )

Volumen: V = 2/3·a³ · ( 6 + 5√2 )

Radius der Umkugel: ru = a / 2 · √ 5 + 2√2

Radius der Inkugel: ri = a / 2 · √ 4 + 2√2

Abgestumpftes Oktaeder:

Oberfläche: A = 6·a² · ( 1 + 2·√3 )

Volumen: V = 8·a³ · √2

Radius der Umkugel: ru = a / 2 · √10

Radius der Inkugel: ri = 3/2 · a

Ikosidodekaeder:

Oberfläche: A = a² · ( 5√3 + 3√ 25 + 10√5 )

Volumen: V = a³/6 · ( 45 + 17√5 )

Radius der Umkugel: ru = a/2 · ( 1 + √5 )

Radius der Inkugel: ri = a/2 · √ 5 + 2√5


Abgestumpftes Kuboktaeder:

Oberfläche: A = 12·a²·( 2 + √2 + √3 )

Volumen: V = 2·a³·( 11 + 7√2 )

Radius der Umkugel: ru = a / 2 · √ 13 + 6√2

Radius der Inkugel: ri = a / 2 · √ 12 + 6√2


Rhombenikosidodekaeder:

Oberfläche: A = a² · ( 30 + 5√3 + 3√ 25 + 10√5 )

Volumen: V = a³/3 · ( 60 + 29√5 )

Radius der Umkugel: ru = a/2 · √ 11 + 4√5

Radius der Inkugel: ri = a/2 · √ 10 + 4√5

Abgestumpftes Dodekaeder:

Oberfläche: A = 5·a² · ( √3 + 6√ 5 + 2√5 )

Volumen: V = 5/12·a³ · ( 99 + 47√5 )

Radius der Umkugel: ru = a/4 · √ 74 + 30√5

Radius der Inkugel: ri = a/4 · ( 5 + 3√5 )

Abgestumpftes Ikosaeder:

Oberfläche: A = 3·a² · ( 10√3 + √25+10√5 )

Volumen: V = a³/4 · ( 125 + 43·√5 )

Radius der Umkugel: ru = a / 4 · √58 + 18√5

Radius der Inkugel: ri = 3/4a · ( 1 + √5 )

Abgestumpftes Ikosidodekaeder:

Oberfläche: A = 30·a² · ( 1 + √3 + √ 5 + 2√5 )

Volumen: V = 5·a³ · ( 19 + 10√5 )

Radius der Umkugel: ru = a/2 · √ 31 + 12√5

Radius der Inkugel: ri = a/2 · √ 30 + 12√5

Mit:

a: Kantenlänge

Quellen der oben aufgeführten Abbildungen:

&lt;nowiki&gt;https://www.redusoft.de/info/mathprof-hilfe/platonische-koerper-3d.html&lt;/nowiki&gt;

&lt;nowiki&gt;https://www.redusoft.de/info/mathprof-hilfe/archimedische-koerper-3d.html&lt;/nowiki&gt;

&lt;nowiki&gt;https://www.redusoft.de/info/mathprof-hilfe/spezielle-polyeder-3d.html&lt;/nowiki&gt;</text>
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  <title>Analysis</title>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1088" xml:space="preserve">Die '''Analysis''' ist ein Teilgebiet der Mathematik, dessen Grundlagen von [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] und [[Isaac Newton]] unabhängig voneinander entwickelt wurden.

Die grundlegende Analysis befasst sich mit [[Grenzwert|Grenzwerten]] von Folgen und Reihen sowie mit [[Funktion|Funktionen]] [[Reelle Zahlen|reeller Zahlen]] und deren Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integration. Viele wichtige Funktionen der Analysis lassen sich als Grenzwerte von Reihen darstellen.

Die Analysis arbeitet häufig mit Abschätzungen und Ungleichungen. Die Ergebnisse, die durch diese Techniken gewonnen werden, sind jedoch exakt.

Die Verallgemeinerung des Funktionsbegriffes in der Analysis auf Funktionen mit Definitions- und Wertebereich in den komplexen Zahlen ist Bestandteil der [[:Kategorie:Funktionentheorie|Funktionentheorie]].

==Teilgebiete==
Die Analysis wird in folgende Teilgebiete unterteilt:
*[[Reelle Analysis]]
*[[:Kategorie:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] (komplexe Analysis)
*[[Funktionalanalysis]]
*[[Harmonische Analysis]]

[[en:Analysis]]
[[Kategorie:Analysis| ]]</text>
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    <text bytes="1141" xml:space="preserve">Die '''Analysis''' ist ein Teilgebiet der Mathematik, dessen Grundlagen von [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] und [[Isaac Newton]] unabhängig voneinander entwickelt wurden.

Die grundlegende Analysis befasst sich mit [[Grenzwert|Grenzwerten]] von Folgen und Reihen sowie mit [[Funktion|Funktionen]] [[Reelle Zahlen|reeller Zahlen]] und deren Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integration. Viele wichtige Funktionen der Analysis lassen sich als Grenzwerte von Reihen darstellen.

Die Analysis arbeitet häufig mit Abschätzungen und Ungleichungen. Die Ergebnisse, die durch diese Techniken gewonnen werden, sind jedoch exakt.

Die Verallgemeinerung des Funktionsbegriffes in der Analysis auf Funktionen mit Definitions- und Wertebereich in den komplexen Zahlen ist Bestandteil der [[:Kategorie:Funktionentheorie|Funktionentheorie]].

==Teilgebiete==
Die Analysis wird in folgende Teilgebiete unterteilt:
*[[:Kategorie:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] 
*[[Reihenwerte bestimmen 1|Reihen]] und [[Folgen]] 
*[[Differentialrechnung]]
*[[Integralrechnung: Das Volumen eines Faßes|Integralrechnung]]

[[en:Analysis]]
[[Kategorie:Analysis| ]]</text>
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  <title>Differentialrechnung</title>
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    <text bytes="226" xml:space="preserve">Die '''Differentialrechnung''' ist ein Gebiet der höheren Mathematik und gehört zur [[Analysis]]. Es geht dabei im Grundsatz darum, Steigungswerte in Punkten von Kurven zu bestimmen. Dabei wird ein absoluter Steigungswert Δ</text>
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    <text bytes="1825" xml:space="preserve">Die '''Differentialrechnung''' ist ein Gebiet der höheren Mathematik und gehört zur [[Analysis]]. Es geht dabei im Grundsatz darum, Steigungswerte in Punkten von Kurven zu bestimmen. Dabei wird ein absoluter geometrischer Steigungswert Δ x/y so lange dem Steigungs''punkt'' angenähert, bis er mit dem Punkt deckungsgleich ist. Das Delta wird so in der Nomenklatur zum d. Die ''erste Ableitung'' der algebraischen Gleichung der betreffenden [[Funktion]] ergibt den Steigungswert. Weiteres hier: [https://allgemeinbildung.fandom.com/de/wiki/Diffenrentialrechnung]

'''Empirische Verifizierung (Wahrheitsbeweis an einem realen Beispiel):''' ''Gleichförmige Beschleunigung in der ''physikalischen Bewegungslehre'' 

Gegeben sei ein Beschleunigungs-Diagramm mit der Waagrechten s (Strecke, Distanz) und der Senkrechten t (Zeit). Dies mit einer eingezeichneten Funktionskurve der Formel (numerisches Beispiel) s = ½ x 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; t&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. Wird mit diesen Angabe die zur Funktion gehörende Wertetabelle s/t durch Einsetzen der korrekten Zahlen erstellt und dann die ''erste Ableitung'' durchgeführt (v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; = s' = 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; x t &lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt;), dann sieht man im für die erste Ableitung erstellten zweiten Funktionsdiagramm mit entsprechender Wertetabelle für die ''Momentan''werte t&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; und v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; folgendes: Die ''Momentan''geschwindigkeit in einem bestimmten Punkt des zweiten Diagramms ist gleich hoch wie die ''Durchschnitts''geschwindigkeit der Strecke im ersten Diagramm, auf deren t-Mittelpunkt die Momentangeschwindigkeit im zweiten eingezeichnet ist (die zwei Diagramme können zu dieser Beobachtung exakt übereinander gestellt und die Punkte  mit senkrechten Geraden verbunden werden). Damit ist die Richtigkeit dieser ersten Ableitung empirisch verifiziert,</text>
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    <text bytes="2159" xml:space="preserve">Die '''Differentialrechnung''' ist ein Gebiet der höheren Mathematik und gehört zur [[Analysis]]. Es geht dabei im Grundsatz darum, Steigungswerte in Punkten von Kurven zu bestimmen. Dabei wird ein absoluter geometrischer Steigungswert Δ x/y so lange dem Steigungs''punkt'' angenähert, bis er mit dem Punkt deckungsgleich ist. Das Delta wird so in der Nomenklatur zum d. Die ''erste Ableitung'' der algebraischen Gleichung der betreffenden [[Funktion]] ergibt den Steigungswert. Weiteres hier: [https://allgemeinbildung.fandom.com/de/wiki/Diffenrentialrechnung]

'''Empirische Verifizierung (Wahrheitsbeweis an einem realen Beispiel):''' ''Gleichförmige Beschleunigung'' in der ''physikalischen Bewegungslehre'' 

Gegeben sei ein Beschleunigungs-Diagramm mit der Waagrechten s (Strecke, Distanz) und der Senkrechten t (Zeit). Dies mit einer eingezeichneten Funktionskurve der Formel (numerisches Beispiel) s = ½ x 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; x t&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. Wird mit diesen Angaben die zur Funktion gehörende Wertetabelle s/t durch Einsetzen der korrekten Zahlen erstellt und dann die ''erste Ableitung'' durchgeführt (v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; = s' = 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; x t &lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt;), dann sieht man im für die erste Ableitung erstellten zweiten Funktionsdiagramm mit entsprechender Wertetabelle für die ''Momentan''werte t&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Waagrechte im Diagramm) und v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Senkrechte) folgendes: Die ''Momentan''geschwindigkeit in einem bestimmten Punkt des zweiten Diagramms ist gleich hoch wie die ''Durchschnitts''geschwindigkeit der Strecke im ersten Diagramm, auf deren t-Mittelpunkt die Momentangeschwindigkeit im zweiten eingezeichnet ist (die zwei Diagramme können zu dieser Beobachtung exakt übereinander gestellt und die Punkte  mit senkrechten Geraden verbunden werden). 

Damit ist die Richtigkeit des Prinzips der ersten Ableitung empirisch verifiziert. Zu beachten ist, dass der Kurven-Steigungspunkt in der rein mathematischen Analyse zur Momentangeschwindigkeit in der physikalischen Konkretisierung wurde. Beide Sachverhalte können aber graphisch mit gleichen Diagrammen dargestellt werden, nur die Nomenklatur ist verschieden.</text>
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    <text bytes="2158" xml:space="preserve">Die '''Differentialrechnung''' ist ein Gebiet der höheren Mathematik und gehört zur [[Analysis]]. Es geht dabei im Grundsatz darum, Steigungswerte in Punkten von Kurven zu bestimmen. Dabei wird ein absoluter geometrischer Steigungswert Δ x/y so lange dem Steigungs''punkt'' angenähert, bis er mit dem Punkt deckungsgleich ist. Das Delta wird so in der Nomenklatur zum d. Die ''erste Ableitung'' der algebraischen Gleichung der betreffenden [[Funktion]] ergibt den Steigungswert. Weiteres hier: [https://allgemeinbildung.fandom.com/de/wiki/Differentialrechnung]

'''Empirische Verifizierung (Wahrheitsbeweis an einem realen Beispiel):''' ''Gleichförmige Beschleunigung'' in der ''physikalischen Bewegungslehre'' 

Gegeben sei ein Beschleunigungs-Diagramm mit der Waagrechten s (Strecke, Distanz) und der Senkrechten t (Zeit). Dies mit einer eingezeichneten Funktionskurve der Formel (numerisches Beispiel) s = ½ x 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; x t&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. Wird mit diesen Angaben die zur Funktion gehörende Wertetabelle s/t durch Einsetzen der korrekten Zahlen erstellt und dann die ''erste Ableitung'' durchgeführt (v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; = s' = 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; x t &lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt;), dann sieht man im für die erste Ableitung erstellten zweiten Funktionsdiagramm mit entsprechender Wertetabelle für die ''Momentan''werte t&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Waagrechte im Diagramm) und v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Senkrechte) folgendes: Die ''Momentan''geschwindigkeit in einem bestimmten Punkt des zweiten Diagramms ist gleich hoch wie die ''Durchschnitts''geschwindigkeit der Strecke im ersten Diagramm, auf deren t-Mittelpunkt die Momentangeschwindigkeit im zweiten eingezeichnet ist (die zwei Diagramme können zu dieser Beobachtung exakt übereinander gestellt und die Punkte  mit senkrechten Geraden verbunden werden). 

Damit ist die Richtigkeit des Prinzips der ersten Ableitung empirisch verifiziert. Zu beachten ist, dass der Kurven-Steigungspunkt in der rein mathematischen Analyse zur Momentangeschwindigkeit in der physikalischen Konkretisierung wurde. Beide Sachverhalte können aber graphisch mit gleichen Diagrammen dargestellt werden, nur die Nomenklatur ist verschieden.</text>
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'''Empirische Verifizierung (Wahrheitsbeweis an einem realen Beispiel):''' ''Gleichförmige Beschleunigung'' in der ''physikalischen Bewegungslehre'' 

Gegeben sei ein Beschleunigungs-Diagramm mit der Waagrechten s (Strecke, Distanz) und der Senkrechten t (Zeit). Dies mit einer eingezeichneten Funktionskurve der Formel (numerisches Beispiel) s = ½ x 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; x t&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. Wird mit diesen Angaben die zur Funktion gehörende Wertetabelle s/t durch Einsetzen der korrekten Zahlen erstellt und dann die ''erste Ableitung'' durchgeführt (v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; = s' = 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; x t &lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt;), dann sieht man im für die erste Ableitung erstellten zweiten Funktionsdiagramm mit entsprechender Wertetabelle für die ''Momentan''werte t&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Waagrechte im Diagramm) und v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Senkrechte) folgendes: Die ''Momentan''geschwindigkeit in einem bestimmten Punkt des zweiten Diagramms ist gleich hoch wie die ''Durchschnitts''geschwindigkeit der Strecke im ersten Diagramm, auf deren t-Mittelpunkt die Momentangeschwindigkeit im zweiten eingezeichnet ist (die zwei Diagramme können zu dieser Beobachtung exakt übereinander gestellt und die Punkte  mit senkrechten Geraden verbunden werden). 

Damit ist die Richtigkeit des Prinzips der ersten Ableitung empirisch verifiziert. Zu beachten ist, dass der Kurven-Steigungspunkt in der rein mathematischen Analyse zur Momentangeschwindigkeit in der physikalischen Konkretisierung wurde. Beide Sachverhalte können aber graphisch mit gleichen Diagrammen dargestellt werden, nur die Nomenklatur ist verschieden.</text>
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'''Empirische Verifizierung (Wahrheitsbeweis an einem realen Beispiel):''' ''Gleichförmige Beschleunigung'' in der ''physikalischen Bewegungslehre'' 

Gegeben sei ein Beschleunigungs-Diagramm mit der Waagrechten s (Strecke, Distanz) und der Senkrechten t (Zeit). Dies mit einer eingezeichneten Funktionskurve der Formel (numerisches Beispiel) s = ½ x 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; x t&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. Wird mit diesen Angaben die zur Funktion gehörende Wertetabelle s/t durch Einsetzen der korrekten Zahlen erstellt und dann die ''erste Ableitung'' durchgeführt (v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; = s' = 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; x t &lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt;), dann sieht man im für die erste Ableitung erstellten zweiten Funktionsdiagramm mit entsprechender Wertetabelle für die ''Momentan''werte t&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Waagrechte im Diagramm) und v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Senkrechte) folgendes: Die ''Momentan''geschwindigkeit in einem bestimmten Punkt des zweiten Diagramms ist gleich hoch wie die ''Durchschnitts''geschwindigkeit der Strecke im ersten Diagramm, auf deren t-Mittelpunkt die Momentangeschwindigkeit im zweiten eingezeichnet ist (die zwei Diagramme können zu dieser Beobachtung exakt übereinander gestellt und die Punkte  mit senkrechten Geraden verbunden werden). 

Damit ist die Richtigkeit des Prinzips der ersten Ableitung empirisch verifiziert. Zu beachten ist, dass der Kurven-Steigungspunkt in der rein mathematischen Analyse zur Momentangeschwindigkeit in der physikalischen Konkretisierung wurde. Beide Sachverhalte können aber graphisch mit gleichen Diagrammen dargestellt werden, nur die Nomenklatur ist verschieden.
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'''Empirische Verifizierung (Wahrheitsbeweis an einem realen Beispiel):''' ''Gleichförmige Beschleunigung'' in der ''physikalischen Bewegungslehre'' 

Gegeben sei ein Beschleunigungs-Diagramm mit der Waagrechten s (Strecke, Distanz) und der Senkrechten t (Zeit). Dies mit einer eingezeichneten Funktionskurve der Formel (numerisches Beispiel) s = ½ x 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; x t&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. Wird mit diesen Angaben die zur Funktion gehörende Wertetabelle s/t durch Einsetzen der korrekten Zahlen erstellt und dann die ''erste Ableitung'' durchgeführt (v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; = s' = 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; x t &lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt;), dann sieht man im für die erste Ableitung erstellten zweiten Funktionsdiagramm mit entsprechender Wertetabelle für die ''Momentan''werte t&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Waagrechte im Diagramm) und v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Senkrechte) folgendes: Die ''Momentan''geschwindigkeit in einem bestimmten Punkt des zweiten Diagramms ist gleich hoch wie die ''Durchschnitts''geschwindigkeit der Strecke im ersten Diagramm, auf deren t-Mittelpunkt die Momentangeschwindigkeit im zweiten eingezeichnet ist (die zwei Diagramme können zu dieser Beobachtung exakt übereinander gestellt und die Punkte  mit senkrechten Geraden verbunden werden). 

Damit ist die Richtigkeit des Prinzips der ersten Ableitung empirisch verifiziert. Zu beachten ist, dass der Kurven-Steigungspunkt in der rein mathematischen Analyse zur Momentangeschwindigkeit in der physikalischen Konkretisierung wurde (Die Momentangeschw. entspricht der Momentansteigung der Kurve, auch im physikalischen Diagramm). Beide Sachverhalte können aber graphisch mit gleichen Diagrammen dargestellt werden, nur die Nomenklatur ist verschieden.
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'''Empirische Verifizierung (Wahrheitsbeweis an einem realen Beispiel):''' ''Gleichförmige Beschleunigung'' in der ''physikalischen Bewegungslehre'' 

Gegeben sei ein Beschleunigungs-Diagramm mit der Waagrechten s (Strecke, Distanz) und der Senkrechten t (Zeit). Dies mit einer eingezeichneten Funktionskurve der Formel (numerisches Beispiel) s = ½ x 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; x t&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. Wird mit diesen Angaben die zur Funktion gehörende Wertetabelle s/t durch Einsetzen der korrekten Zahlen erstellt und dann die ''erste Ableitung'' durchgeführt (v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; = s' = 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; x t &lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt;), dann sieht man im für die erste Ableitung erstellten zweiten Funktionsdiagramm mit entsprechender Wertetabelle für die ''Momentan''werte t&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Waagrechte im Diagramm) und v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Senkrechte) folgendes: Die ''Momentan''geschwindigkeit in einem bestimmten Punkt des zweiten Diagramms ist gleich hoch wie die ''Durchschnitts''geschwindigkeit der Strecke im ersten Diagramm, auf deren t-Mittelpunkt die Momentangeschwindigkeit im zweiten eingezeichnet ist (die zwei Diagramme können zu dieser Beobachtung exakt übereinander gestellt und die Punkte  mit senkrechten Geraden verbunden werden). 

Damit ist die Richtigkeit des Prinzips der ersten Ableitung empirisch verifiziert. Zu beachten ist, dass der Kurven-Steigungspunkt in der rein mathematischen Analyse zur Momentangeschwindigkeit in der physikalischen Konkretisierung wurde (Die Momentangeschw. entspricht der Momentansteigung der Kurve, auch im physikalischen Diagramm). Beide Sachverhalte können aber graphisch mit gleichen Diagrammen dargestellt werden, nur die Nomenklatur ist verschieden.

'''Stichworte:''' [[Kurvenuntersuchung]] - [[Tangentialpunkt der Steigung]] - [[Momentanwert]] - [[Ableitung]]    


[[Kategorie:Analysis]]</text>
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'''Empirische Verifizierung (Wahrheitsbeweis an einem realen Beispiel):''' ''Gleichförmige Beschleunigung'' in der ''physikalischen Bewegungslehre'' 

Gegeben sei ein Beschleunigungs-Diagramm mit der Waagrechten s (Strecke, Distanz) und der Senkrechten t (Zeit). Dies mit einer eingezeichneten Funktionskurve der Formel (numerisches Beispiel) s = ½ x 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; x t&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. Wird mit diesen Angaben die zur Funktion gehörende Wertetabelle s/t durch Einsetzen der korrekten Zahlen erstellt und dann die ''erste Ableitung'' durchgeführt (v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; = s' = 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; x t &lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt;), dann sieht man im für die erste Ableitung erstellten zweiten Funktionsdiagramm (dem Beschleunigungs-Diagramm) mit entsprechender Wertetabelle für die ''Momentan''werte t&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Waagrechte im Diagramm) und v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Senkrechte) folgendes: Die ''Momentan''geschwindigkeit in einem bestimmten Punkt des zweiten Diagramms ist gleich hoch wie die ''Durchschnitts''geschwindigkeit der Strecke im ersten Diagramm, auf deren t-Mittelpunkt die Momentangeschwindigkeit im zweiten eingezeichnet ist (die zwei Diagramme können zu dieser Beobachtung exakt übereinander gestellt und die Punkte  mit senkrechten Geraden verbunden werden). 

Damit ist die Richtigkeit des Prinzips der ersten Ableitung empirisch verifiziert. Zu beachten ist, dass der Kurven-Steigungspunkt in der rein mathematischen Analyse zur Momentangeschwindigkeit in der physikalischen Konkretisierung wurde (Die Momentangeschw. entspricht der Momentansteigung der Kurve, auch im physikalischen Diagramm). Beide Sachverhalte können aber graphisch mit gleichen Diagrammen dargestellt werden, nur die Nomenklatur ist verschieden.

'''Stichworte:''' [[Kurvenuntersuchung]] - [[Tangentialpunkt der Steigung]] - [[Momentanwert]] - [[Ableitung]]    


[[Kategorie:Analysis]]</text>
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    <text bytes="2461" xml:space="preserve">Die '''Differentialrechnung''' ist ein Gebiet der höheren Mathematik und gehört zur [[Analysis]]. Es geht dabei im Grundsatz darum, Steigungswerte in Punkten von Kurven zu bestimmen. Dabei wird ein absoluter geometrischer Steigungswert Δ x/y so lange dem Steigungs''punkt'' angenähert, bis er mit dem Punkt deckungsgleich ist ([[Grenzwert]]). Das Delta wird so in der Nomenklatur zum d. Die ''erste Ableitung'' der algebraischen Gleichung der betreffenden [[Funktion]] ergibt den Steigungswert. Weiteres hier: [https://allgemeinbildung.fandom.com/de/wiki/Differentialrechnung]

'''Empirische Verifizierung (Wahrheitsbeweis an einem realen Beispiel):''' ''Gleichförmige Beschleunigung'' in der ''physikalischen Bewegungslehre'' 

Gegeben sei ein ''Geschwindigkeits-Diagramm'' mit der Waagrechten s (Strecke, Distanz) und der Senkrechten t (Zeit). Dies mit einer eingezeichneten Funktionskurve der Galilei-Formel (numerisches Beispiel) s = ½ x 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; x t&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. Wird mit diesen Angaben die zur Funktion gehörende Wertetabelle s/t durch Einsetzen der korrekten Zahlen erstellt und dann die ''erste Ableitung'' durchgeführt (v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; = s' = 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; x t &lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt;), dann sieht man im für die erste Ableitung erstellten zweiten Funktionsdiagramm (dem ''Beschleunigungs-Diagramm'') mit entsprechender Wertetabelle für die ''Momentan''werte t&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Waagrechte im Diagramm) und v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Senkrechte) folgendes: Die ''Momentan''geschwindigkeit in einem bestimmten Punkt des zweiten Diagramms ist gleich hoch wie die ''Durchschnitts''geschwindigkeit der Strecke im ersten Diagramm, auf deren t-Mittelpunkt die Momentangeschwindigkeit im zweiten eingezeichnet ist (die zwei Diagramme können für diese Beobachtung exakt übereinander gestellt und die Punkte  mit senkrechten Geraden verbunden werden). 

Damit ist die Richtigkeit des Prinzips der ersten Ableitung empirisch verifiziert. Zu beachten ist, dass der Kurven-Steigungspunkt in der rein mathematischen Analyse zur Momentangeschwindigkeit in der physikalischen Konkretisierung wurde (Die Momentangeschw. entspricht der Momentansteigung der Kurve, auch im physikalischen Diagramm). Beide Sachverhalte können aber graphisch mit gleichen Diagrammen dargestellt werden, nur die Nomenklatur ist verschieden.

'''Stichworte:''' [[Kurvenuntersuchung]] - [[Tangentialpunkt der Steigung]] - [[Momentanwert]] - [[Ableitung]]    


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'''Empirische Verifizierung (Wahrheitsbeweis an einem realen Beispiel):''' ''Gleichförmige Beschleunigung'' in der ''physikalischen Bewegungslehre'' 

Gegeben sei ein ''Geschwindigkeits-Diagramm'' mit der Waagrechten s (Strecke, Distanz) und der Senkrechten t (Zeit). Dies mit einer eingezeichneten Funktionskurve der Galilei-Formel (numerisches Beispiel) s = ½ x 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; x t&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. Wird mit diesen Angaben die zur Funktion gehörende Wertetabelle s/t durch Einsetzen der korrekten Zahlen erstellt und dann die ''erste Ableitung'' durchgeführt (v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; = s' = 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; x t &lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt;), dann sieht man im für die erste Ableitung erstellten zweiten Funktionsdiagramm (dem ''Beschleunigungs-Diagramm'') mit entsprechender Wertetabelle für die ''Momentan''werte t&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Waagrechte im Diagramm) und v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Senkrechte) folgendes: Die ''Momentan''geschwindigkeit in einem bestimmten Punkt des zweiten Diagramms ist gleich hoch wie die ''Durchschnitts''geschwindigkeit der Strecke im ersten Diagramm, auf deren t-Mittelpunkt die Momentangeschwindigkeit im zweiten eingezeichnet ist (die zwei Diagramme können für diese Beobachtung exakt übereinander gestellt und die Punkte  mit senkrechten Geraden verbunden werden). 

Damit ist die Richtigkeit des Prinzips der ersten Ableitung empirisch verifiziert. Zu beachten ist, dass der Kurven-Steigungspunkt in der rein mathematischen Analyse zur Momentangeschwindigkeit in der physikalischen Konkretisierung wurde (Die Momentangeschw. entspricht der Momentansteigung der Kurve, auch im physikalischen Diagramm). Beide Sachverhalte können also graphisch mit fast gleichen Diagrammen dargestellt werden, nur die Nomenklatur ist verschieden.

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'''Empirische Verifizierung (Wahrheitsbeweis an einem realen Beispiel):''' ''Gleichförmige Beschleunigung'' in der ''physikalischen Bewegungslehre'' 

Gegeben sei ein ''Geschwindigkeits-Diagramm'' mit der Waagrechten s (Strecke, Distanz) und der Senkrechten t (Zeit). Dies mit einer eingezeichneten Funktionskurve der Galilei-Formel (numerisches Beispiel) s = ½ x 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; x t&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. Wird mit diesen Angaben die zur Funktion gehörende Wertetabelle s/t durch Einsetzen der korrekten Zahlen erstellt und dann die ''erste Ableitung'' durchgeführt (v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; = s' = 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; x t &lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt;), dann sieht man im für die erste Ableitung erstellten zweiten Funktionsdiagramm (dem ''Beschleunigungs-Diagramm'') mit entsprechender Wertetabelle für die ''Momentan''werte t&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Waagrechte im Diagramm) und v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Senkrechte) folgendes: Die ''Momentan''geschwindigkeit in einem beliebigen Kurven-Punkt des zweiten Diagramms ist gleich hoch wie die ''Durchschnitts''geschwindigkeit der Strecke im ersten Diagramm, auf deren t-Mittelpunkt die Momentangeschwindigkeit im zweiten eingezeichnet ist (die zwei Diagramme können für diese Beobachtung exakt übereinander gestellt und die Punkte  mit senkrechten Geraden verbunden werden). 

Damit ist die Richtigkeit des Prinzips der ersten Ableitung empirisch verifiziert. Zu beachten ist, dass der Kurven-Steigungspunkt in der rein mathematischen Analyse zur Momentangeschwindigkeit in der physikalischen Konkretisierung wurde (Die Momentangeschw. entspricht der Momentansteigung der Kurve, auch im physikalischen Diagramm). Beide Sachverhalte können also graphisch mit fast gleichen Diagrammen dargestellt werden, nur die Nomenklatur ist verschieden.

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 [https://allgemeinbildung.fandom.com/de/wiki/Differentialrechnung]

'''Empirische Verifizierung (Wahrheitsbeweis an einem realen Beispiel):''' ''Gleichförmige Beschleunigung'' in der ''physikalischen Bewegungslehre'' 

Gegeben sei ein ''Geschwindigkeits-Diagramm'' mit der Waagrechten s (Strecke, Distanz) und der Senkrechten t (Zeit). Dies mit einer eingezeichneten Funktionskurve der Galilei-Formel (numerisches Beispiel) s = ½ x 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; x t&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. Wird mit diesen Angaben die zur Funktion gehörende Wertetabelle s/t durch Einsetzen der korrekten Zahlen erstellt und dann die ''erste Ableitung'' durchgeführt (v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; = s' = 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; x t &lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt;), dann sieht man im für die erste Ableitung erstellten zweiten Funktionsdiagramm (dem ''Beschleunigungs-Diagramm'') mit entsprechender Wertetabelle für die ''Momentan''werte t&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Waagrechte im Diagramm) und v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Senkrechte) folgendes: Die ''Momentan''geschwindigkeit in einem beliebigen Kurven-Punkt des zweiten Diagramms ist gleich hoch wie die ''Durchschnitts''geschwindigkeit der Strecke im ersten Diagramm, auf deren t-Mittelpunkt die Momentangeschwindigkeit im zweiten eingezeichnet ist (die zwei Diagramme können für diese Beobachtung exakt übereinander gestellt und die Punkte  mit senkrechten Geraden verbunden werden).
Damit ist die Richtigkeit des Prinzips der ersten Ableitung empirisch verifiziert. Zu beachten ist, dass der Kurven-Steigungspunkt in der rein mathematischen Analyse zur Momentangeschwindigkeit in der physikalischen Konkretisierung wurde (Die Momentangeschw. entspricht der Momentansteigung der Kurve, auch im physikalischen Diagramm). Beide Sachverhalte können also graphisch mit fast gleichen Diagrammen dargestellt werden, nur die Nomenklatur ist verschieden.


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[https://allgemeinbildung.fandom.com/de/wiki/Differentialrechnung]

'''Empirische Verifizierung (Wahrheitsbeweis an einem realen Beispiel):''' ''Gleichförmige Beschleunigung'' in der ''physikalischen Bewegungslehre'' 

Gegeben sei ein ''Geschwindigkeits-Diagramm'' mit der Waagrechten s (Strecke, Distanz) und der Senkrechten t (Zeit). Dies mit einer eingezeichneten Funktionskurve der Galilei-Formel (numerisches Beispiel) s = ½ x 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; x t&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. Wird mit diesen Angaben die zur Funktion gehörende Wertetabelle s/t durch Einsetzen der korrekten Zahlen erstellt und dann die ''erste Ableitung'' durchgeführt (v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; = s' = 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; x t &lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt;), dann sieht man im für die erste Ableitung erstellten zweiten Funktionsdiagramm (dem ''Beschleunigungs-Diagramm'') mit entsprechender Wertetabelle für die ''Momentan''werte t&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Waagrechte im Diagramm) und v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Senkrechte) folgendes: Die ''Momentan''geschwindigkeit in einem beliebigen Kurven-Punkt des zweiten Diagramms ist gleich hoch wie die ''Durchschnitts''geschwindigkeit der Strecke im ersten Diagramm, auf deren t-Mittelpunkt die Momentangeschwindigkeit im zweiten eingezeichnet ist (die zwei Diagramme können für diese Beobachtung exakt übereinander gestellt und die Punkte  mit senkrechten Geraden verbunden werden).

Damit ist die Richtigkeit des Prinzips der ersten Ableitung empirisch verifiziert. Zu beachten ist, dass der Kurven-Steigungspunkt in der rein mathematischen Analyse zur Momentangeschwindigkeit in der physikalischen Konkretisierung wurde (Die Momentangeschw. entspricht der Momentansteigung der Kurve, auch im physikalischen Diagramm). Beide Sachverhalte können also graphisch mit fast gleichen Diagrammen dargestellt werden, nur die Nomenklatur ist verschieden.


'''Stichworte:''' [[Kurvenuntersuchung]] - [[Tangentialpunkt der Steigung]] - [[Momentanwert]] - [[Ableitung]]    


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[https://allgemeinbildung.fandom.com/de/wiki/Differentialrechnung]

'''Empirische Verifizierung (Wahrheitsbeweis an einem realen Beispiel):''' ''Gleichförmige Beschleunigung'' in der ''physikalischen Bewegungslehre'' 

Gegeben sei ein ''Geschwindigkeits-Diagramm'' mit der Waagrechten s (Strecke, Distanz) und der Senkrechten t (Zeit). Dies mit einer eingezeichneten Funktionskurve der Galilei-Formel (numerisches Beispiel) s = ½ x 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; x t&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. Wird mit diesen Angaben die zur Funktion gehörende Wertetabelle s/t durch Einsetzen der korrekten Zahlen erstellt und dann die ''erste Ableitung'' durchgeführt (v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; = s' = 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; x t &lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt;), dann sieht man im für die erste Ableitung erstellten zweiten Funktionsdiagramm (dem ''Beschleunigungs-Diagramm'') mit entsprechender Wertetabelle für die ''Momentan''werte t&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Waagrechte im Diagramm) und v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Senkrechte) folgendes: Die ''Momentan''geschwindigkeit in einem beliebigen Kurven-Punkt des zweiten Diagramms ist gleich hoch wie die ''Durchschnitts''geschwindigkeit der Strecke im ersten Diagramm, auf deren t-Mittelpunkt die Momentangeschwindigkeit im zweiten eingezeichnet ist (die zwei Diagramme können für diese Beobachtung exakt übereinander gestellt und die Punkte  mit senkrechten Geraden verbunden werden).

Damit ist die Richtigkeit des Prinzips der ersten Ableitung empirisch verifiziert. Zu beachten ist, dass der Kurven-Steigungspunkt in der rein mathematischen Analyse zur Momentangeschwindigkeit in der physikalischen Konkretisierung wurde (Die Momentangeschw. entspricht der Momentansteigung der Kurve, auch im physikalischen Diagramm). Beide Sachverhalte können also graphisch mit fast gleichen Diagrammen dargestellt werden, nur die Nomenklatur ist verschieden.


'''Stichworte:''' [[Kurvendiskussion|Kurvenuntersuchung]] - [[Tangentialpunkt der Steigung]] - [[Momentanwert]] - [[Ableitung]]    


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[https://allgemeinbildung.fandom.com/de/wiki/Differentialrechnung]

'''Empirische Verifizierung (Wahrheitsbeweis an einem realen Beispiel):''' ''Gleichförmige Beschleunigung'' in der ''physikalischen Bewegungslehre'' 

Gegeben sei ein ''Geschwindigkeits-Diagramm'' mit der Waagrechten s (Strecke, Distanz) und der Senkrechten t (Zeit). Dies mit einer eingezeichneten Funktionskurve der Galilei-Formel (numerisches Beispiel) s = ½ • 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; • t&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. Wird mit diesen Angaben die zur Funktion gehörende Wertetabelle s/t durch Einsetzen der korrekten Zahlen erstellt und dann die ''erste Ableitung'' durchgeführt (v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; = s' = 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; • t &lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt;), dann sieht man im für die erste Ableitung erstellten zweiten Funktionsdiagramm (dem ''Beschleunigungs-Diagramm'') mit entsprechender Wertetabelle für die ''Momentan''werte t&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Waagrechte im Diagramm) und v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Senkrechte) folgendes: Die ''Momentan''geschwindigkeit in einem beliebigen Kurven-Punkt des zweiten Diagramms ist gleich hoch wie die ''Durchschnitts''geschwindigkeit der Strecke im ersten Diagramm, auf deren t-Mittelpunkt die Momentangeschwindigkeit im zweiten eingezeichnet ist (die zwei Diagramme können für diese Beobachtung exakt übereinander gestellt und die Punkte  mit senkrechten Geraden verbunden werden).

Damit ist die Richtigkeit des Prinzips der ersten Ableitung empirisch verifiziert. Zu beachten ist, dass der Kurven-Steigungspunkt in der rein mathematischen Analyse zur Momentangeschwindigkeit in der physikalischen Konkretisierung wurde (Die Momentangeschw. entspricht der Momentansteigung der Kurve, auch im physikalischen Diagramm). Beide Sachverhalte können also graphisch mit fast gleichen Diagrammen dargestellt werden, nur die Nomenklatur ist verschieden.


'''Stichworte:''' [[Kurvendiskussion|Kurvenuntersuchung]] - [[Tangentialpunkt der Steigung]] - [[Momentanwert]] - [[Ableitung]]    


[[Kategorie:Analysis]]
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    <text bytes="874" xml:space="preserve">Eine '''Funktion''' ist eine Regel, die jedem [[Element]] einer [[Definitionsmenge]] &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; (also &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;) genau ein Element der [[Wertemenge]] &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; zuordnet. (&lt;math&gt;f\colon\,D\to W&lt;/math&gt;) Da der Definitionsmenge meistens der Buchstabe &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; und der Wertemenge das &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; zugeordnet wird, kann man auch sagen: Jedem &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;-Wert wird ein &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;-Wert zugewiesen. (&lt;math&gt;f\colon\,x\mapsto y&lt;/math&gt;). x  ist die unabhängige, y die abhängige Variable des Systems.

Das Standardsymbol für eine Funktion ist &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;. Für &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; zugeordnete Werte schreibt man im Allgemeinen &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt;, also &lt;math&gt;f(x) = y&lt;/math&gt;.

Eine Funktion kann in einem [[Koordinatensystem]] durch einen [[Funktionsgraph|Funktionsgraphen]] dargestellt werden.
[[Kategorie:Analysis]]
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Das Standardsymbol für eine Funktion ist &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;. Für &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; zugeordnete Werte schreibt man im Allgemeinen &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt;, also &lt;math&gt;f(x) = y&lt;/math&gt;.

Eine Funktion kann in einem [[Koordinatensystem]] durch einen [[Funktionsgraph|Funktionsgraphen]] dargestellt werden.

Nebst den rein mathematischen (x, y) können können auch reale Konstellationen mit Hilfe von Funktionen und Funktionsgraphen dargestellt werden. Nur als Beispiele in der physikalischen ''Kinematik'' die zurückgelegte Strecke s in Abhängigkeit von der Zeit t, was der Geschwindigkeits-Angabe dient; oder in der ''Ökonomie'' der Umsatz eines Unternehmens oder das Sozialprodukt eines Landes in Abhängigkeit von der Zeit t (etwa eines Jahres).

[[Kategorie:Analysis]]
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    <text bytes="1327" xml:space="preserve">Eine '''Funktion''' ist eine Regel, die jedem [[Element]] einer [[Definitionsmenge]] &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; (also &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;) genau ein Element der [[Wertemenge]] &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; zuordnet. (&lt;math&gt;f\colon\,D\to W&lt;/math&gt;) Da der Definitionsmenge meistens der Buchstabe &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; und der Wertemenge das &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; zugeordnet wird, kann man auch sagen: Jedem &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;-Wert wird ein &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;-Wert zugewiesen. (&lt;math&gt;f\colon\,x\mapsto y&lt;/math&gt;). x  ist in der Regel die unabhängige, y die abhängige Variable des Systems.

Das Standardsymbol für eine Funktion ist &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;. Für &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; zugeordnete Werte schreibt man im Allgemeinen &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt;, also &lt;math&gt;f(x) = y&lt;/math&gt;.

Eine Funktion kann in einem [[Koordinatensystem]] durch einen [[Funktionsgraph|Funktionsgraphen]] dargestellt werden.

Nebst den rein mathematischen (x, y) können auch reale Konstellationen mit Hilfe von Funktionen und Funktionsgraphen dargestellt werden. Nur als Beispiele in der physikalischen ''Kinematik'' die zurückgelegte Strecke s in Abhängigkeit von der Zeit t, was der Geschwindigkeits-Angabe dient; oder in der ''Ökonomie'' der Umsatz eines Unternehmens oder das Sozialprodukt eines Landes in Abhängigkeit von der Zeit t (etwa eines Jahres).

[[Kategorie:Analysis]]
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    <text bytes="2213" xml:space="preserve">Eine '''Funktion''' ist eine Regel, die jedem [[Element]] einer [[Definitionsmenge]] &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; (also &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;) genau ein Element der [[Wertemenge]] &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; zuordnet. (&lt;math&gt;f\colon\,D\to W&lt;/math&gt;) Da der Definitionsmenge meistens der Buchstabe &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; und der Wertemenge das &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; zugeordnet wird, kann man auch sagen: Jedem &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;-Wert wird ein &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;-Wert zugewiesen. (&lt;math&gt;f\colon\,x\mapsto y&lt;/math&gt;). x  ist in der Regel die unabhängige, y die abhängige Variable des Systems.

Das Standardsymbol für eine Funktion ist &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;. Für &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; zugeordnete Werte schreibt man im Allgemeinen &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt;, also &lt;math&gt;f(x) = y&lt;/math&gt;.

Eine Funktion kann in einem [[Koordinatensystem]] durch einen [[Funktionsgraph|Funktionsgraphen]] dargestellt werden.

Ein Beispiel aus der Geometrie: Die Flächenberechnung von ''Quadraten'' entspricht auch einer Gleichung mit zwei Unbekannten: F = s&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;,  die in einer ''Wertetabelle'' (und damit auch grafisch in einem Koordinatensystem) dargestellt werden kann:    
                                          s | F
                                        ----|---- 
                                          2 | 4
                                          3 | 9
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                                          5 | 25

Es ergibt sich daraus etwas, das in der Geometrie in der Regel eher geringere Beachtung findet: Die Fläche von Quadraten wächst bei ''linearer''  Vergrösserung der Seitenlänge nicht etwa auch linear, sondern ''exponentiell''. Der Funktionsgraph steigt damit ebenfalls exponentiell an.   

Nebst den rein mathematischen (x, y) oder geometrischen wie gesehen können auch ''reale Konstellationen'' mit Hilfe von Funktionen und Funktionsgraphen dargestellt werden. Nur als Beispiele in der physikalischen ''Kinematik'' die zurückgelegte Strecke s in Abhängigkeit von der Zeit t, was der Geschwindigkeits-Angabe dient; oder in der ''Ökonomie'' der Umsatz eines Unternehmens oder das Sozialprodukt eines Landes in Abhängigkeit von der Zeit t (etwa eines Jahres).


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Das Standardsymbol für eine Funktion ist &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;. Für &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; zugeordnete Werte schreibt man im Allgemeinen &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt;, also &lt;math&gt;f(x) = y&lt;/math&gt;.

Eine Funktion kann in einem [[Koordinatensystem]] durch einen [[Funktionsgraph|Funktionsgraphen]] dargestellt werden.

Ein Beispiel aus der Geometrie: Die Flächenberechnung von ''Quadraten'' entspricht auch einer einfachen ''quadratischen Gleichung'' mit zwei Unbekannten: F = s&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;, die in einer ''Wertetabelle'' (und damit auch grafisch in einem Koordinatensystem) dargestellt werden kann:    
                                          s | F
                                        ----|---- 
                                          2 | 4
                                          3 | 9
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                                          5 | 25

Es ergibt sich daraus etwas, das in der Geometrie in der Regel eher geringere Beachtung findet: Die Fläche von x Quadraten wächst bei ''linearer''  Vergrösserung der Seitenlänge nicht etwa auch linear, sondern ''exponentiell'' im Sinne einer ''quadratischen Funktion''. Der Funktionsgraph steigt damit ebenfalls exponentiell an.   

Nebst den rein mathematischen (x, y) oder geometrischen wie gesehen können auch ''reale Konstellationen'' mit Hilfe von Funktionen und Funktionsgraphen dargestellt werden. Nur als Beispiele in der physikalischen ''Kinematik'' die zurückgelegte Strecke s in Abhängigkeit von der Zeit t, was der Geschwindigkeits-Angabe dient; oder in der ''Ökonomie'' der Umsatz eines Unternehmens oder das Sozialprodukt eines Landes in Abhängigkeit von der Zeit t (etwa eines Jahres).


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    <text bytes="2309" xml:space="preserve">Eine '''Funktion''' ist eine Regel, die jedem [[Element]] einer [[Definitionsmenge]] &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; (also &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;) genau ein Element der [[Wertemenge]] &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; zuordnet. (&lt;math&gt;f\colon\,D\to W&lt;/math&gt;) Da der Definitionsmenge meistens der Buchstabe &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; und der Wertemenge das &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; zugeordnet wird, kann man auch sagen: Jedem &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;-Wert wird ein &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;-Wert zugewiesen. (&lt;math&gt;f\colon\,x\mapsto y&lt;/math&gt;). x  ist in der Regel die unabhängige, y die abhängige Variable des Systems.

Das Standardsymbol für eine Funktion ist &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;. Für &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; zugeordnete Werte schreibt man im Allgemeinen &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt;, also &lt;math&gt;f(x) = y&lt;/math&gt;.

Eine Funktion kann in einem [[Koordinatensystem]] durch einen [[Funktionsgraph|Funktionsgraphen]] dargestellt werden.

Ein Beispiel aus der Geometrie: Die Flächenberechnung von ''Quadraten'' entspricht auch einer einfachen ''quadratischen Gleichung'' mit zwei Unbekannten: F = s&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;, die in einer ''Wertetabelle'' (und damit auch grafisch in einem Koordinatensystem) dargestellt werden kann:    
                                          s | F
                                        ----|---- 
                                          2 | 4
                                          3 | 9
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Es ergibt sich daraus etwas, das in der Geometrie in der Regel eher geringere Beachtung findet: Die Fläche von x Quadraten wächst bei ''linearer''  Vergrösserung der Seitenlänge nicht etwa auch linear, sondern ''exponentiell'' im Sinne einer ''quadratischen Funktion''. Der Funktionsgraph (hier nicht dargestellt) steigt damit ebenfalls exponentiell an.   

Nebst den rein mathematischen (x, y) oder geometrischen wie gesehen können auch ''reale Konstellationen'' mit Hilfe von Funktionen und Funktionsgraphen dargestellt werden. Nur als Beispiele in der physikalischen ''Kinematik'' die zurückgelegte Strecke s in Abhängigkeit von der Zeit t, was der Geschwindigkeits-Angabe dient; oder in der ''Ökonomie'' der Umsatz eines Unternehmens oder das Sozialprodukt eines Landes in Abhängigkeit von der Zeit t (etwa eines Jahres).


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Das Standardsymbol für eine Funktion ist &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;. Für &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; zugeordnete Werte schreibt man im Allgemeinen &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt;, also &lt;math&gt;f(x) = y&lt;/math&gt;.

Eine Funktion kann in einem [[Koordinatensystem]] durch einen [[Funktionsgraph|Funktionsgraphen]] dargestellt werden.

Ein Beispiel aus der Geometrie: Die Flächenberechnung von ''Quadraten'' entspricht auch einer einfachen ''quadratischen Gleichung'' mit zwei Unbekannten: F = s&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;, die in einer ''Wertetabelle'' (und damit auch grafisch in einem Koordinatensystem) dargestellt werden kann:    
                                          s | F
                                        ----|---- 
                                          2 | 4
                                          3 | 9
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                                          5 | 25

Es ergibt sich daraus etwas, das in der Geometrie in der Regel eher geringere Beachtung findet: Die Fläche von x Quadraten wächst bei ''linearer''  Vergrösserung der Seitenlänge nicht etwa auch linear, sondern regelmässig ''exponentiell'' im Sinne einer ''quadratischen Funktion''. Der Funktionsgraph (hier nicht dargestellt) steigt damit ebenfalls regelmässig exponentiell an.   

Nebst den rein mathematischen (x, y) oder geometrischen wie gesehen können auch ''reale Konstellationen'' mit Hilfe von Funktionen und Funktionsgraphen dargestellt werden. Nur als Beispiele in der physikalischen ''Kinematik'' die zurückgelegte Strecke s in Abhängigkeit von der Zeit t, was der Geschwindigkeits-Angabe dient; oder in der ''Ökonomie'' der Umsatz eines Unternehmens oder das Sozialprodukt eines Landes in Abhängigkeit von der Zeit t (etwa eines Jahres).


[[Kategorie:Analysis]]
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Das Standardsymbol für eine Funktion ist &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;. Für &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; zugeordnete Werte schreibt man im Allgemeinen &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt;, also &lt;math&gt;f(x) = y&lt;/math&gt;.

Eine Funktion kann in einem [[Koordinatensystem]] durch einen [[Funktionsgraph|Funktionsgraphen]] dargestellt werden.

Ein Beispiel aus der Geometrie: Die Flächenberechnung von ''Quadraten'' entspricht auch einer einfachen ''quadratischen Gleichung'' mit zwei Unbekannten: F = s&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;, die in einer ''Wertetabelle'' (und damit auch grafisch in einem Koordinatensystem) dargestellt werden kann:    
                                          s | F
                                        ----|---- 
                                          2 | 4
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                                          5 | 25  + 9

Es ergibt sich daraus etwas, das in der Geometrie in der Regel eher geringere Beachtung findet: Die Fläche von x Quadraten wächst bei ''linearer''  Vergrösserung der Seitenlänge nicht etwa auch linear, sondern regelmässig ''exponentiell'' im Sinne einer ''quadratischen Funktion''. Der Funktionsgraph (hier nicht dargestellt) steigt damit ebenfalls regelmässig exponentiell an.   

Nebst den rein mathematischen (x, y) oder geometrischen wie gesehen können auch ''reale Konstellationen'' mit Hilfe von Funktionen und Funktionsgraphen dargestellt werden. Nur als Beispiele in der physikalischen ''Kinematik'' die zurückgelegte Strecke s in Abhängigkeit von der Zeit t, was der Geschwindigkeits-Angabe dient; oder in der ''Ökonomie'' der Umsatz eines Unternehmens oder das Sozialprodukt eines Landes in Abhängigkeit von der Zeit t (etwa eines Jahres).


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  <title>Integralrechnung: Das Volumen eines Faßes</title>
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    <text bytes="2725" xml:space="preserve">==Aufgabe ==
Gesucht ist das Volumen eines Fasses von 1m Höhe und den Radien 25 cm an den Enden und 35 cm in der Mitte. 

[[Bild:fass2.PNG|fass2.png]]


Dreht man das Faß um 90° erahnt man, dass die Form einer quadratischen Parabel entspricht.Die Randfunktion muss eine nach unten geöffnete Parabel sein wie hier in der Zeichnung.


[[Bild:fass1.png|fass1.png]]


===Lösung===

Die Funktionsbeschreibung dieser Parabel kann über die Scheitelpunktform leicht erstellt werden. Allgemein gilt:  

&lt;math&gt;f(x) =  - a \times (x - 5)^2  + 3,5&lt;/math&gt;
(Die Werte in dm)


Die -5 gibt bekanntlich die Verschiebung des Scheitelpunktes in x+ Richtung an und die 3,5 in y+ Richtung. Das Minuszeichen vor dem Streckungsfaktor a ist notwendig, um eine nach unten geöffnete Parabel zu erhalten.
Fehlt nur noch der Faktor a. Setzt man jedoch in die Formel einen bekannten Punkt ein, kann man a errechnen. Der Punkt ist (0/2,5).

&lt;math&gt;f(x) =  - a \times (x - 5)^2  + 3,5\buildrel {also} \over
 \longrightarrow 2,5 =  - a \times (0 - 5)^2  + 3,5&lt;/math&gt;

a ist dann

&lt;math&gt;{{2,5 - 3,5} \over {25}} =  - 0,04&lt;/math&gt;

Und die Gleichung heißt komplett

&lt;math&gt;f(x) =  - 0,04 \times (x - 5)^2  + 3,5&lt;/math&gt;

Zur Vereinfachung stellen wir die Scheitelpunktform in die Normalform um

&lt;math&gt;f(x) =  - 0,04x^2  + 0,4x + 2,5&lt;/math&gt;


====Die Funktion quadrieren====

&lt;math&gt;f(x) =  (- 0,04x^2  + 0,4x + 2,5)^2&lt;/math&gt;

ist

&lt;math&gt;f(x) = 0,0016x^4  - 0,032x^3  - 0,04x^2  + 2x + 6,25 &lt;/math&gt;

====Stammfunktion====

&lt;math&gt;F(x) = {{0,0016} \over 5} \times x^5  - {{0,032} \over 4} \times x^4  - {{0,04} \over 3} \times x^3  + x^2  + 6,25x &lt;/math&gt;


====Das bestimmte Integral für die Volumenberechnung====

&lt;math&gt;\Pi  \times \int\limits_0^{10} {( - 0,04x^2  + 0,4x + 2,5)^2 dx = \Pi  \times \int\limits_0^{10} {(0,0016x^4  - 0,032x^3  - 0,04x^2  + 2x + 6,25)dx} } &lt;/math&gt;


&lt;math&gt;= \Pi  \times \left[ {{{0,0016} \over 5} \times x^5  - {{0,032} \over 4} \times x^4  - {{0,04} \over 3} \times x^3  + x^2  + 6,25x} \right]_0^{10} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Pi  \times \left[ {{{0,0016} \over 5} \times 10^5  - {{0,032} \over 4} \times 10^4  - {{0,04} \over 3} \times 10^3  + 100 + 62,5} \right]_0^{10} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Pi  \times \left[ {32 - 80 - 13{1 \over 3} + 100 + 62,5} \right]_0^{10} &lt;/math&gt;

&lt;math&gt;= \Pi  \times 101,167&lt;/math&gt;

Volumeneinheiten.

Da wir von Anfang an in Dezimetern gerechnet haben, ergeben sich natürlich Liter

&lt;math&gt; = 317,824  Liter&lt;/math&gt;

===Suchbegriffe===

Volumenberechnung, Integralrechnung, Faß, Fass, Beispielaufgabe


===Quellen===

[http://volkerbehrens.de/daten/integralrechnung.pdf www.volkerbehrens.de]

===ähnliche Aufgaben===


[[Kategorie:Abituraufgaben]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 12]]
[[Kategorie:Analysis]]</text>
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  <title>Kurvendiskussion</title>
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    <text bytes="621" xml:space="preserve">Mithilfe einer '''Kurvendiskussion''' kann ein [[Funktionsgraph]] auf seine geometrischen Eigenschaften untersucht werden. Dabei untersucht man:
* [[Ableitung|Ableitungen]] (Tangentensteigung)
* [[Symmetrieverhalten]]
** [[Achsensymmetrie zur y-Achse]] 
** [[Punktsymmetrie zum Ursprung]]
** [[Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse]]
** [[Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt]]
* Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ([[Nullstelle|Nullstellen]] und [[y-Achsen-Abschnitt]])
* [[Extrempunkte]]
* [[Wendepunkte]] und [[Sattelpunkte]]
* [[Verhalten im Unendlichen]]

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Funktionen]]</text>
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    <text bytes="659" xml:space="preserve">Mithilfe einer '''Kurvendiskussion''' kann ein [[Funktionsgraph]] auf seine geometrischen Eigenschaften untersucht werden. Dabei untersucht man:
* [[Ableitung|Ableitungen]] (Tangentensteigung)
* [[Symmetrieverhalten]]
** [[Achsensymmetrie zur y-Achse]] 
** [[Punktsymmetrie zum Ursprung]]
** [[Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse]]
** [[Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt]]
* Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ([[Nullstelle|Nullstellen]] und [[y-Achsen-Abschnitt]])
* [[Extrempunkte]]
* [[Wendepunkte]] und [[Sattelpunkte]]
* [[Verhalten im Unendlichen]]

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Funktionen]]
[[Kategorie:Differentialgleichungen]]</text>
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  <title>Grundrechnungsarten auf 1, 2, 3, 4</title>
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    <text bytes="657" xml:space="preserve">==Aufgabe (Grundrechnungsarten auf 1, 2, 3, 4)==

Indem man die Grundrechnungsarten +, -, *, / und Klammern (,  ) auf die Zahlen 1, 2, 3, 4 anwendet, lassen sich relativ viele Zahlen erreichen.

Beispiel:

* 0 = 4 - 2 + 1 - 3
* 1 = 1 * 2 + 3 - 4
* 2 = 1 + 2 + 3 - 4
* 3 = 1 * 2 + 4 - 3 
...
Wie geht es weiter? Wie weit kommt man?

===Tipps===
Die meisten Lösungszahlen haben mehrere Darstellungsmöglichkeiten.
* 3 = (4-(1+2))•3
* 3 = 4-(2/(3-1))
* 3 = (4/1)+2-3
...

===Lösungen===
[[Grundrechnungsarten auf 1, 2, 3, 4, Lösung]]

===Suchbegriffe===
Grundrechnungsarten auf 1, 2, 3, 4

===Quellen===

===ähnliche Aufgaben===


[[Kategorie:Denksport]]</text>
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    <text bytes="1303" xml:space="preserve">'''Grundrechnungsarten auf 1, 2, 3, 4)'''

Indem man die Grundrechnungsarten +, -, ·, ÷ und Klammern ( ) auf z.B. die Zahlen 1, 2, 3, 4 anwendet, lassen sich relativ viele Lösungswege beschreiten.

Beispiele:

* 0 = 4 - 2 + 1 - 3
* 1 = 1 · 2 + 3 - 4
* 2 = 1 + 2 + 3 - 4
* 3 = 1 · 2 + 4 - 3 

...

Hier fehlen allerdings Klammern, welche die Regel andeuten, dass '''Punkt- vor Strichrechnung''' erfolgen muss; dies obwohl die obigen vier Beispiele ''zufälligerweise'' unter Anwendung beliebiger Operationsfolgen die gleiche Lösung ergeben.

Nehmen wir aber etwa die Rechnung 5 + 2 · 2  so gelangen wir mit der Operation (5 + 2) · 2 zum Resultat 14, anderseits mit 5 + (2 · 2) zu 9. Vorrang hat damit obige Regel, die korrekte Lösung ist 9 !   

===Tipp===
Die meisten Lösungszahlen haben mehrere Darstellungsmöglichkeiten.
* 3 = (4 - ( 1 + 2)) · 3
* 3 = 4 - (2 ÷ ( 3 - 1))
* 3 = (4 ÷ 1) + 2 - 3

Beim ersten Beispiel hier gilt die Regel Punkt- vor Strichrechnung deshalb nicht, weil die Aufgabe eben ''so gewählt'' wurde; sie ''zwingt durch  die Klammersetzung dazu'', zuerst die Strichrechnungen auszuführen.

...

===Lösungen===
[[Grundrechnungsarten auf 1, 2, 3, 4, Lösung]]

===Suchbegriffe===
Grundrechnungsarten auf 1, 2, 3, 4

===ähnliche Aufgaben===


[[Kategorie:Denksport]]</text>
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    <text bytes="1301" xml:space="preserve">'''Grundrechnungsarten auf 1, 2, 3, 4'''

Indem man die Grundrechnungsarten +, -, ·, ÷ und Klammern ( ) auf z.B. die Zahlen 1, 2, 3, 4 anwendet, lassen sich relativ viele Lösungswege beschreiten.

Beispiele:

* 0 = 4 - 2 + 1 - 3
* 1 = 1 · 2 + 3 - 4
* 2 = 1 + 2 + 3 - 4
* 3 = 1 · 2 + 4 - 3 

...

Hier fehlen allerdings Klammern, welche die Regel andeuten, dass '''Punkt- vor Strichrechnung''' erfolgen muss; dies obwohl die obigen vier Beispiele ''zufälligerweise'' unter Anwendung beliebiger Operationsfolgen die gleiche und richtige Lösung ergeben.

Nehmen wir aber etwa die Rechnung 5 + 2 · 2  so gelangen wir mit der Operation (5 + 2) · 2 zum Resultat 14, anderseits mit 5 + (2 · 2) zu 9. Vorrang hat damit obige Regel, die korrekte Lösung ist 9 !   

'''Tipp'''

Die meisten Grundrechnungsarten haben mehrere Darstellungsmöglichkeiten.
* 3 = (4 - ( 1 + 2)) · 3
* 3 = 4 - (2 ÷ ( 3 - 1))
* 3 = (4 ÷ 1) + 2 - 3
...

Beim ersten Beispiel hier gilt die Regel Punkt- vor Strichrechnung deshalb ''nicht'', weil die Aufgabe eben ''so gewählt'' wurde; sie ''zwingt durch die Klammersetzung dazu'', zuerst die Strichrechnungen auszuführen.


===Lösungen===
[[Grundrechnungsarten auf 1, 2, 3, 4, Lösung]]

'''Ähnliche Aufgaben'''


[[Kategorie:Grundrechenarten]]
[[Kategorie:Denksport]]</text>
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    <comment>Ich sehe nicht, inwiefern dies die Lösungen dieser Seite hier sein sollen - das ist eine ''Erweiterung'' dazu</comment>
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    <text bytes="1302" xml:space="preserve">'''Grundrechnungsarten auf 1, 2, 3, 4'''

Indem man die Grundrechnungsarten +, -, ·, ÷ und Klammern ( ) auf z.B. die Zahlen 1, 2, 3, 4 anwendet, lassen sich relativ viele Lösungswege beschreiten.

Beispiele:

* 0 = 4 - 2 + 1 - 3
* 1 = 1 · 2 + 3 - 4
* 2 = 1 + 2 + 3 - 4
* 3 = 1 · 2 + 4 - 3 

...

Hier fehlen allerdings Klammern, welche die Regel andeuten, dass '''Punkt- vor Strichrechnung''' erfolgen muss; dies obwohl die obigen vier Beispiele ''zufälligerweise'' unter Anwendung beliebiger Operationsfolgen die gleiche und richtige Lösung ergeben.

Nehmen wir aber etwa die Rechnung 5 + 2 · 2  so gelangen wir mit der Operation (5 + 2) · 2 zum Resultat 14, anderseits mit 5 + (2 · 2) zu 9. Vorrang hat damit obige Regel, die korrekte Lösung ist 9 !   

'''Tipp'''

Die meisten Grundrechnungsarten haben mehrere Darstellungsmöglichkeiten.
* 3 = (4 - ( 1 + 2)) · 3
* 3 = 4 - (2 ÷ ( 3 - 1))
* 3 = (4 ÷ 1) + 2 - 3
...

Beim ersten Beispiel hier gilt die Regel Punkt- vor Strichrechnung deshalb ''nicht'', weil die Aufgabe eben ''so gewählt'' wurde; sie ''zwingt durch die Klammersetzung dazu'', zuerst die Strichrechnungen auszuführen.


'''Siehe auch'''
[[Grundrechnungsarten auf 1, 2, 3, 4, Lösung]]

'''Ähnliche Aufgaben'''


[[Kategorie:Grundrechenarten]]
[[Kategorie:Denksport]]</text>
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    <text bytes="1304" xml:space="preserve">'''Grundrechnungsarten auf 1, 2, 3, 4'''

Indem man die Grundrechnungsarten +, -, ·, ÷ und Klammern ( ) auf z.B. die Zahlen 1, 2, 3, 4 anwendet, lassen sich relativ viele Lösungswege beschreiten.

Beispiele:

* 0 = 4 - 2 + 1 - 3
* 1 = 1 · 2 + 3 - 4
* 2 = 1 + 2 + 3 - 4
* 3 = 1 · 2 + 4 - 3 

...

Hier fehlen allerdings Klammern, welche die Regel andeuten, dass '''Punkt- vor Strichrechnung''' erfolgen muss; dies obwohl die obigen vier Beispiele ''zufälligerweise'' unter Anwendung beliebiger Operationsfolgen die gleiche und richtige Lösung ergeben.

Nehmen wir aber etwa die Rechnung 5 + 2 · 2  so gelangen wir mit der Operation (5 + 2) · 2 zum Resultat 14, anderseits mit 5 + (2 · 2) zu 9. Vorrang hat damit obige Regel, die korrekte Lösung ist 9 !   

'''Tipp'''

Die meisten Grundrechnungsarten haben mehrere Darstellungsmöglichkeiten.
* 3 = (4 - ( 1 + 2)) · 3
* 3 = 4 - (2 ÷ ( 3 - 1))
* 3 = (4 ÷ 1) + 2 - 3
...

Beim ersten Beispiel hier gilt die Regel Punkt- vor Strichrechnung deshalb ''nicht'', weil die Aufgabe eben ''so gewählt'' wurde; sie ''zwingt durch die Klammersetzung dazu'', zuerst die Strichrechnungen auszuführen.


'''Siehe auch'''

[[Grundrechnungsarten auf 1, 2, 3, 4, Lösung]]


'''Ähnliche Aufgaben'''


[[Kategorie:Grundrechenarten]]
[[Kategorie:Denksport]]</text>
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    <text bytes="1356" xml:space="preserve">'''Grundrechnungsarten auf 1, 2, 3, 4'''

Indem man die Grundrechnungsarten +, -, ·, ÷ und Klammern ( ) auf z.B. die Zahlen 1, 2, 3, 4 anwendet, lassen sich relativ viele Lösungswege beschreiten.

Beispiele:

* 0 = 4 - 2 + 1 - 3
* 1 = 1 · 2 + 3 - 4
* 2 = 1 + 2 + 3 - 4
* 3 = 1 · 2 + 4 - 3 

...

Hier fehlen allerdings Klammern, welche die Regel andeuten, dass '''Punkt- vor Strichrechnung''' erfolgen muss; dies obwohl die obigen vier Beispiele ''zufälligerweise'' unter Anwendung beliebiger Operationsfolgen die gleiche und richtige Lösung ergeben.

Nehmen wir aber etwa die Rechnung 5 + 2 · 2  so gelangen wir mit der Operation (5 + 2) · 2 zum Resultat 14, anderseits mit 5 + (2 · 2) zu 9. Vorrang hat damit obige Regel, die korrekte Lösung ist 9 !   

'''Tipp'''

Die meisten Grundrechnungsarten haben mehrere Darstellungsmöglichkeiten.
* 3 = (4 - ( 1 + 2)) · 3
* 3 = 4 - (2 ÷ ( 3 - 1))
* 3 = (4 ÷ 1) + 2 - 3
...

Beim ersten Beispiel hier gilt die Regel Punkt- vor Strichrechnung deshalb ''nicht'', weil die Aufgabe eben ''so gewählt'' wurde; sie ''zwingt durch die Klammersetzung dazu'', zuerst die Strichrechnungen auszuführen.


'''Siehe auch'''

[[Grundrechnungsarten auf 1, 2, 3, 4, Lösung|Grundrechnungsarten auf 1, 2, 3, 4, Fortentwicklung]]


'''Ähnliche Aufgaben'''


[[Kategorie:Grundrechenarten]]
[[Kategorie:Denksport]]</text>
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    <text bytes="1829" xml:space="preserve">Die '''Grundrechenarten''' sind Addition (+), Subtraktion (-), Multiplikation (· oder x) und Division (÷). 

====Addition==== 
2 + 1 = 3

Mit realen Gröẞen:   2 Äpfel + 1 Apfel = 3 Äpfel

====Subtraktion====
2 - 1 = 1

Real: Von zwei Äpfeln nehme ich einen weg = noch ein Apfel

====Multiplikation====
3 · 2 = 6

Real: 2 Äpfel + 2 Äpfel + 2 Äpfel = 6 Äpfel  =&gt; Man ''addiert 3 Mal'' 2 Äpfel - Die Multiplikation ist also eine ''Zählung von Additionsvorgängen''.

====Division====
1 ÷ 2 = ½ 

Real: 1 Apfel ÷ 2 , d.h. man zerschneidet 1 Apfel in 2 Hälften. ''Und jetzt Achtung: Die rein arithmetische Operation hält der Realität nicht stand!'' Die Operation müsste ''real'' lauten: 1 ÷ 2 = ''2'' ·  ½ ! Da ja ''2'' Apfel-Hälften entstehen! Das wird allerdings in der reinen Arithmetik so nicht berücksichtigt. "Es reicht hier, dass das zu keinen ''arithmetischen'' Widersprüchen führt", wird argumentiert.

===Spezialfall negative Zahlen===
Sind alleinstehende negative Zahlen - etwa -4 oder oder -1258 - natürliche Zahlen wie die positiven oder bloss irrationale? Darüber wurde in der Geschichte der Mathematik lange gestritten. Leonhard Euler etwa, der Schweizer Mathematiker, plädierte befürwortend, indem er argumentierte, ''Schulden'' seien ein sehr gutes reales Beispiel für negative Zahlen. 

Unübersichtlicher wirds da schon bei den Rechenoperationen mit negativen Zahlen:

4 · -4 = -16   ist einigermassen nachvollziehbar: Vervielfachung einer negativen Zahl wird ebenfalls negativ.

Aber was damit: -4 · -4 = 16 ? Einziges, ziemlich dünnes, logisches Kriterium ist hier: Wenn 4 · -4 = -16 , dann kann -4 · -4 nicht das gleiche Resultat ergeben, also setzen wir ein Pluszeichen davor.   


===Siehe auch===
[[Grundrechnungsarten auf 1, 2, 3, 4]]

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====Addition==== 
2 + 1 = 3

Mit realen Gröẞen:   2 Äpfel + 1 Apfel = 3 Äpfel

====Subtraktion====
2 - 1 = 1

Real: Von zwei Äpfeln nehme ich einen weg = noch ein Apfel

====Multiplikation====
3 · 2 = 6

Real: 2 Äpfel + 2 Äpfel + 2 Äpfel = 6 Äpfel  =&gt; Man ''addiert 3 Mal'' 2 Äpfel - Die Multiplikation ist also eigentlich eine ''Zählung von Additionsvorgängen''.

====Division====
1 ÷ 2 = ½ 

Real: 1 Apfel ÷ 2 , d.h. man zerschneidet 1 Apfel in 2 Hälften. ''Und jetzt Achtung: Die rein arithmetische Operation hält der Realität hier nicht stand!'' Die Operation müsste ''real'' lauten: 1 ÷ 2 = ''2'' ·  ½ ! Da ja ''2'' Apfel-Hälften entstehen! Das wird allerdings in der reinen Arithmetik so nicht berücksichtigt. "Es reicht hier, dass das zu keinen ''arithmetischen'' Widersprüchen führt", wird argumentiert.

===Spezialfall negative Zahlen===
Sind alleinstehende negative Zahlen - etwa -4 oder oder -1258 - natürliche Zahlen wie die positiven oder bloss irrationale? Darüber wurde in der Geschichte der Mathematik lange gestritten. Leonhard Euler etwa, der Schweizer Mathematiker, plädierte befürwortend, indem er argumentierte, ''Schulden'' seien ein sehr gutes reales Beispiel für negative Zahlen. 

Unübersichtlicher wirds da schon eher bei den Rechenoperationen mit negativen Zahlen:

4 · -4 = -16   ist einigermassen nachvollziehbar: Vervielfachung einer negativen Zahl wird ebenfalls negativ.

Aber was damit: -4 · -4 = 16 ? Einziges, ziemlich dünnes, logisches Kriterium ist hier: Wenn 4 · -4 = -16 , dann kann -4 · -4 nicht das gleiche Resultat ergeben, also setzen wir ein Pluszeichen davor.   


===Siehe auch===
[[Grundrechnungsarten auf 1, 2, 3, 4]]

[[Kategorie:Grundrechenarten| ]]</text>
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    <text bytes="1852" xml:space="preserve">Die '''Grundrechenarten''' sind Addition (+), Subtraktion (-), Multiplikation (· oder x) und Division (÷). 

====Addition==== 
2 + 1 = 3

Mit realen Gröẞen:   2 Äpfel + 1 Apfel = 3 Äpfel

====Subtraktion====
2 - 1 = 1

Real: Von zwei Äpfeln nehme ich einen weg = noch ein Apfel

====Multiplikation====
3 · 2 = 6

Real: 2 Äpfel + 2 Äpfel + 2 Äpfel = 6 Äpfel  =&gt; Man ''addiert 3 Mal'' 2 Äpfel - Die Multiplikation ist also eigentlich eine ''Zählung von Additionsvorgängen''.

====Division====
1 ÷ 2 = ½ 

Real: 1 Apfel ÷ 2 , d.h. man zerschneidet 1 Apfel in 2 Hälften. ''Und jetzt Achtung: Die rein arithmetische Operation hält der Realität hier nicht stand!'' Die Operation müsste ''real'' lauten: 1 ÷ 2 = ''2'' ·  ½ ! Da ja ''2'' Apfel-Hälften entstehen! Das wird allerdings in der reinen Arithmetik so nicht berücksichtigt. "Es reicht hier, dass das zu keinen ''arithmetischen'' Widersprüchen führt", wird argumentiert.

===Spezialfall negative Zahlen===
Sind alleinstehende negative Zahlen - etwa -4 oder oder -1258 - natürliche Zahlen wie die positiven oder bloss irrationale? Darüber wurde in der Geschichte der Mathematik lange gestritten. Leonhard Euler etwa, der Schweizer Mathematiker, plädierte befürwortend, indem er argumentierte, ''Schulden'' seien ein sehr gutes reales Beispiel für negative Zahlen. 

Unübersichtlicher wirds da schon eher bei den Rechenoperationen mit negativen Zahlen:

4 · -4 = -16   ist einigermassen nachvollziehbar: Vervielfachung einer negativen Zahl wird ebenfalls negativ.

Aber was damit: -4 · -4 = 16 ? Einziges, ziemlich dünnes, logisches Kriterium ist hier: Wenn 4 · -4 = -16 , dann kann -4 · -4 nicht das gleiche Resultat ergeben, also setzen wir ein Pluszeichen davor...   


===Siehe auch===
[[Grundrechnungsarten auf 1, 2, 3, 4]]

[[Kategorie:Grundrechenarten| ]]</text>
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    <text bytes="1852" xml:space="preserve">Die '''Grundrechenarten''' sind Addition (+), Subtraktion (-), Multiplikation (· oder x) und Division (÷). 

====Addition==== 
2 + 1 = 3

Mit realen Gröẞen:   2 Äpfel + 1 Apfel = 3 Äpfel

====Subtraktion====
2 - 1 = 1

Real: Von zwei Äpfeln nehme ich einen weg = noch ein Apfel

====Multiplikation====
3 · 2 = 6

Real: 2 Äpfel + 2 Äpfel + 2 Äpfel = 6 Äpfel  =&gt; Man ''addiert 3 Mal'' 2 Äpfel - Die Multiplikation ist also eigentlich eine ''Zählung von Additionsvorgängen''.

====Division====
1 ÷ 2 = ½ 

Real: 1 Apfel ÷ 2 , d.h. man zerschneidet 1 Apfel in 2 Hälften. ''Und jetzt Achtung: Die rein arithmetische Operation hält der Realität hier nicht stand!'' Die Operation müsste ''real'' lauten: 1 ÷ 2 = ''2'' ·  ½ ! Da ja ''2'' Apfel-Hälften entstehen! Das wird allerdings in der reinen Arithmetik so nicht berücksichtigt. "Es reicht hier, dass das zu keinen ''arithmetischen'' Widersprüchen führt", wird argumentiert.

===Spezialfall negative Zahlen===
Sind alleinstehende negative Zahlen - etwa -4 oder oder -1258 - natürliche Zahlen wie die positiven oder bloss irrationale? Darüber wurde in der Geschichte der Mathematik lange gestritten. Leonhard Euler etwa, der Schweizer Mathematiker, plädierte für Ersteres, indem er argumentierte, ''Schulden'' seien ein sehr gutes reales Beispiel für negative Zahlen. 

Unübersichtlicher wirds da schon eher bei den Rechenoperationen mit negativen Zahlen:

4 · -4 = -16   ist einigermassen nachvollziehbar: Vervielfachung einer negativen Zahl wird ebenfalls negativ.

Aber was damit: -4 · -4 = 16 ? Einziges, ziemlich dünnes, logisches Kriterium ist hier: Wenn 4 · -4 = -16 , dann kann -4 · -4 nicht das gleiche Resultat ergeben, also setzen wir ein Pluszeichen davor...   


===Siehe auch===
[[Grundrechnungsarten auf 1, 2, 3, 4]]

[[Kategorie:Grundrechenarten| ]]</text>
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    <text bytes="1836" xml:space="preserve">Die '''Grundrechenarten''' sind Addition (+), Subtraktion (-), Multiplikation (· oder x) und Division (÷). 

====Addition==== 
2 + 1 = 3

Mit realen Gröẞen:   2 Äpfel + 1 Apfel = 3 Äpfel

====Subtraktion====
2 - 1 = 1

Real: Von zwei Äpfeln nehme ich einen weg = noch ein Apfel

====Multiplikation====
3 · 2 = 6

Real: 2 Äpfel + 2 Äpfel + 2 Äpfel = 6 Äpfel  =&gt;  Die Multiplikation entsteht also eigentlich aus einer ''Zählung der  Summanden einer Addition''.

====Division====
1 ÷ 2 = ½ 

Real: 1 Apfel ÷ 2 , d.h. man zerschneidet 1 Apfel in 2 Hälften. ''Und jetzt Achtung: Die rein arithmetische Operation hält der Realität hier nicht stand!'' Die Operation müsste ''real'' lauten: 1 ÷ 2 = ''2'' ·  ½ ! Da ja ''2'' Apfel-Hälften entstehen! Das wird allerdings in der reinen Arithmetik so nicht berücksichtigt. "Es reicht hier, dass das zu keinen ''arithmetischen'' Widersprüchen führt", wird argumentiert.

===Spezialfall negative Zahlen===
Sind alleinstehende negative Zahlen - etwa -4 oder oder -1258 - natürliche Zahlen wie die positiven oder bloss irrationale? Darüber wurde in der Geschichte der Mathematik lange gestritten. Leonhard Euler etwa, der Schweizer Mathematiker, plädierte für Ersteres, indem er argumentierte, ''Schulden'' seien ein sehr gutes reales Beispiel für negative Zahlen. 

Unübersichtlicher wirds da schon eher bei den Rechenoperationen mit negativen Zahlen:

4 · -4 = -16   ist einigermassen nachvollziehbar: Vervielfachung einer negativen Zahl wird ebenfalls negativ.

Aber was damit: -4 · -4 = 16 ? Einziges, ziemlich dünnes, logisches Kriterium ist hier: Wenn 4 · -4 = -16 , dann kann -4 · -4 nicht das gleiche Resultat ergeben, also setzen wir ein Pluszeichen davor...   


===Siehe auch===
[[Grundrechnungsarten auf 1, 2, 3, 4]]

[[Kategorie:Grundrechenarten| ]]</text>
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    <text bytes="1853" xml:space="preserve">Die '''Grundrechenarten''' sind Addition (+), Subtraktion (-), Multiplikation (· oder x) und Division (÷). 

====Addition==== 
2 + 1 = 3

Mit realen Gröẞen:   2 Äpfel + 1 Apfel = 3 Äpfel

====Subtraktion====
2 - 1 = 1

Real: Von zwei Äpfeln nehme ich einen weg = noch ein Apfel

====Multiplikation====
3 · 2 = 6

Real: 2 Äpfel + 2 Äpfel + 2 Äpfel = 6 Äpfel  =&gt;  Die Multiplikation entsteht also eigentlich aus einer ''Zählung der  Summanden (Einzelglieder)  einer Addition''.

====Division====
1 ÷ 2 = ½ 

Real: 1 Apfel ÷ 2 , d.h. man zerschneidet 1 Apfel in 2 Hälften. ''Und jetzt Achtung: Die rein arithmetische Operation hält der Realität hier nicht stand!'' Die Operation müsste ''real'' lauten: 1 ÷ 2 = ''2'' ·  ½ ! Da ja ''2'' Apfel-Hälften entstehen! Das wird allerdings in der reinen Arithmetik so nicht berücksichtigt. "Es reicht hier, dass das zu keinen ''arithmetischen'' Widersprüchen führt", wird argumentiert.

===Spezialfall negative Zahlen===
Sind alleinstehende negative Zahlen - etwa -4 oder oder -1258 - natürliche Zahlen wie die positiven oder bloss irrationale? Darüber wurde in der Geschichte der Mathematik lange gestritten. Leonhard Euler etwa, der Schweizer Mathematiker, plädierte für Ersteres, indem er argumentierte, ''Schulden'' seien ein sehr gutes reales Beispiel für negative Zahlen. 

Unübersichtlicher wirds da schon eher bei den Rechenoperationen mit negativen Zahlen:

4 · -4 = -16   ist einigermassen nachvollziehbar: Vervielfachung einer negativen Zahl wird ebenfalls negativ.

Aber was damit: -4 · -4 = 16 ? Einziges, ziemlich dünnes, logisches Kriterium ist hier: Wenn 4 · -4 = -16 , dann kann -4 · -4 nicht das gleiche Resultat ergeben, also setzen wir ein Pluszeichen davor...   


===Siehe auch===
[[Grundrechnungsarten auf 1, 2, 3, 4]]

[[Kategorie:Grundrechenarten| ]]</text>
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    <text bytes="2181" xml:space="preserve">Die '''Grundrechenarten''' sind Addition (+), Subtraktion (-), Multiplikation (· oder x) und Division (÷). 

====Addition==== 
2 + 1 = 3

Mit realen Gröẞen:   2 Äpfel + 1 Apfel = 3 Äpfel

====Subtraktion====
2 - 1 = 1

Real: Von zwei Äpfeln nehme ich einen weg = noch ein Apfel

====Multiplikation====
3 · 2 = 6

Real: 2 Äpfel + 2 Äpfel + 2 Äpfel = 6 Äpfel  =&gt;  Die Multiplikation entsteht also eigentlich aus einer ''Zählung der  Summanden (Einzelglieder)  einer Addition''.

====Division====
1 ÷ 2 = ½ 

Real: 1 Apfel ÷ 2 , d.h. man zerschneidet 1 Apfel in 2 Hälften. ''Und jetzt Achtung: Die rein arithmetische Operation hält der Realität hier nicht stand!'' Die Operation müsste ''real'' lauten: 1 ÷ 2 = ''2'' ·  ½ ! Da ja ''2'' Apfel-Hälften entstehen! Das wird allerdings in der reinen Arithmetik so nicht berücksichtigt. "Es reicht hier, dass das zu keinen ''arithmetischen'' Widersprüchen führt", wird argumentiert.


Die Punktrechnungen Multiplikation und Division sind im gewissen Fällen Vereinfachungen der Strichrechnungen. Z.B.: Bei gleichen Summanden 2 + 2 + 2 + 2 + 2 =&gt; vereinfachte Operation 5 · 2  Dasselbe gilt übrigens auch für [[Potenz]]en: statt 10 mal eine Multiplikation mit dem Faktor 2 zu schreiben: 2&lt;sup&gt;10&lt;/sup&gt;       

===Spezialfall negative Zahlen===
Sind alleinstehende negative Zahlen - etwa -4 oder oder -1258 - natürliche Zahlen wie die positiven oder bloss irrationale? Darüber wurde in der Geschichte der Mathematik lange gestritten. Leonhard Euler etwa, der Schweizer Mathematiker, plädierte für Ersteres, indem er argumentierte, ''Schulden'' seien ein sehr gutes reales Beispiel für negative Zahlen. 

Unübersichtlicher wirds da schon eher bei den Rechenoperationen mit negativen Zahlen:

4 · -4 = -16   ist einigermassen nachvollziehbar: Vervielfachung einer negativen Zahl wird ebenfalls negativ.

Aber was damit: -4 · -4 = 16 ? Einziges, ziemlich dünnes, logisches Kriterium ist hier: Wenn 4 · -4 = -16 , dann kann -4 · -4 nicht das gleiche Resultat ergeben, also setzen wir ein Pluszeichen davor...   


===Siehe auch===
[[Grundrechnungsarten auf 1, 2, 3, 4]]

[[Kategorie:Grundrechenarten| ]]</text>
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  <title>Grundrechnungsarten auf 1, 2, 3, 4, Lösung</title>
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      <username>62.202.189.189</username>
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    <text bytes="2393" xml:space="preserve">
Dies ist die '''Fortentwicklung von Aufgabe [[Grundrechnungsarten auf 1, 2, 3, 4]]'''.

Fortlaufend bis 28 können ganzzahlige Werte erreicht werden. 
Der maximal erreichbare Wert ist 36.

Mögliche Lösungen sind:
*  0 = 4 - 2 + 1 - 3
*  1 = 3 * 2 - 4 - 1
*  2 = 3 * 2 - 4 * 1
*  3 = 3 * 2 - 4 + 1 
*  4 = 4 + 3 - 2 - 1
*  5 = 4 + 3 - 2 * 1
*  6 = 4 + 3 - 2 + 1
*  7 = 4 + 3 * (2-1)
*  8 = 4 + 3 + 2 - 1
*  9 = 4 + 3 + 2 * 1
* 10 = 4 + 3 + 2 + 1
* 11 = 4 * 2 + 3 * 1 
* 12 = 4 * 2 + 3 + 1 
* 13 = 4 * 3 + 2 - 1
* 14 = 4 * 3 + 2 * 1
* 15 = 4 * 3 + 2 + 1
* 16 = 4 * (3+2-1)
* 17 = 3 * (4 + 2) - 1
* 18 = 3 * (4 + 2) * 1
* 19 = 3 * (4 + 2) + 1
* 20 = 4 * (3 + 2) * 1
* 21 = 4 * (3 + 2) + 1
* 22 = 2 * (3 * 4 - 1)
* 23 = 2 * 3 * 4 - 1
* 24 = 2 * 3 * 4 * 1
* 25 = 2 * 3 * 4 + 1    
* 26 = 2 * (3 * 4 + 1)
* 27 = 3 * (2 * 4 + 1)
* 28 = 4 * (1 + 2 * 3)
* 29 ist nicht möglich

* 30 = 3 * 2 * (1 + 4)
* 32 = 4 * 2 * (1 + 3)
* 36 = 4 * 3 * (1 + 2)


Alternativen (unter anderem):
*  1 = 1 * 2 + 3 - 4
*  2 = 1 + 2 + 3 - 4
*  2 = (4 - 3) * 2 * 1
*  2 = 4 - 3 - 1 + 2
*  2 = 2 / (4 - 3) / 1
*  2 = 1 - (4 - 3 - 2)
*  2 = (1 + 3)/(4 - 2)
*  2 = (2 + 4) / 3 * 1 
*  2 = 2 * 3 - 4 * 1
*  3 = 1 * 2 + 4 - 3 
*  4 = 1 + 2 - 3 + 4
*  5 = (1 + 2)*3 - 4
*  6 = 4 + 3 + 1 - 2
*  6 = 2 / (4 / 3 - 1)
*  7 = 4 + 3*(2-1)
*  8 = 4 * (3+1-2)
* 11 = 4 * 2 * 1 + 3
* 12 = 4 * 3 * (2-1)
* 12 = 4 / (1 - 2 / 3)
* 13 = 4 + 3 * (2+1)
* 14 = (1 + 3)*4 - 2
* 15 = (1 + 2)*4 + 3
* 17 = 3 * (4 + 1) + 2
* 25 = (1 + 4) * (2 + 3)


-----
Im Allgemeinen bleibt einem nichts übrig, als alle möglichen Werte der Form
:((a o1 b) o2 c) o3 d
und 
:(a o1 b) o2 (c o3 d)
durchzuprobieren.

Dabei geht {a, b, c, d} alle Permutationen der Vorgabewerte {1, 2, 3, 4} durch. 

o1, o2, o3 ist jeweils ein binärer Operator mit z.B. r o1 s = r + s, r - s, s - r, r * s, r / s oder s / r.

Insgesamt sind das 24 [Permutationen] * 6^3 [Operatoren] * 2 [Formen] = 10368 Fälle.


Effektiver ist es, nur die vier Operatoren +,-,*,/ zu verwenden, also z.B.

:r o1 s = r + s, r - s, r * s, r / s.

Daf&amp;uuml;r muss man dann aber die f&amp;uuml;nf verschiedenen Klammerungen 

:(a o1 b) o2 (c o3 d)
:(a o1 ( b o2 c )) o3 d
:a o1 (( b o2 c) o3 d )
:a o1 ( b o2 ( c o3 d ))
:(( a o1 b ) o2 ) o3 d

verwenden. Man erh&amp;auml;lt so 

:4! * 4&lt;SUP&gt;3&lt;/SUP&gt; * 5 = 7680 

m&amp;ouml;gliche Kombinationen.
[[Kategorie:Denksport_Loesung]]
[[Kategorie:(9x5+20:4):2+8]]</text>
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  <title>MediaWiki:Sitenotice</title>
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  <title>Anwendbarkeit der Wahrscheinlichkeitsrechnung</title>
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    <comment>Die Seite wurde neu angelegt: „Ein Beispiel zur '''Anwendbarkeit der Wahrscheinlichkeitsrechnung''':   Ein Radfahrer überquert regelmässig einen unbewachten vorstädtischen Bahnübergang,…“</comment>
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    <text bytes="493" xml:space="preserve">Ein Beispiel zur '''Anwendbarkeit der Wahrscheinlichkeitsrechnung''':


Ein Radfahrer überquert regelmässig einen unbewachten vorstädtischen Bahnübergang, wo auf nur einem Gleis vier Mal pro Stunde ein Zug passiert. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird er überfahren, wenn er drei Sekunden für die Überquerung benötigt - unter der Annahme, er sei à priori unaufmerksam ?

''Siehe'' [[Lösung zu Anwendbarkeit der Wahrscheinlichkeitsrechnung]]

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]</text>
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    <text bytes="489" xml:space="preserve">Ein Beispiel zur '''Anwendbarkeit der Wahrscheinlichkeitsrechnung''':


Ein Radfahrer überquert regelmässig einen unbewachten ländlichen Bahnübergang, wo auf nur einem Gleis vier Mal pro Stunde ein Zug passiert. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird er überfahren, wenn er drei Sekunden für die Überquerung benötigt - unter der Annahme, er sei à priori unaufmerksam ?

''Siehe'' [[Lösung zu Anwendbarkeit der Wahrscheinlichkeitsrechnung]]

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]</text>
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  <title>Lösung zu Anwendbarkeit der Wahrscheinlichkeitsrechnung</title>
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    <comment>Die Seite wurde neu angelegt: „Die '''Lösung''' zur Aufgabe [[Anwendbarkeit der Wahrscheinlichkeitsrechnung]]:   Bei drei Sekunden Überquerungszeit des Gleises und 4 Zugquerungen pro Stund…“</comment>
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    <text bytes="1183" xml:space="preserve">Die '''Lösung''' zur Aufgabe [[Anwendbarkeit der Wahrscheinlichkeitsrechnung]]:


Bei drei Sekunden Überquerungszeit des Gleises und 4 Zugquerungen pro Stunde = 3600 Sekunden wird der Radfahrer ''theoretisch'' mit einer Wahrscheinlichkeit von 4/1200 (vier tausendzweihundertstel), entspricht 1/300 überfahren - &lt;u&gt;also bei einer von 300 Überquerungen&lt;/u&gt;.

''Aber jetzt Achtung:'' Hier handelt es sich nur um einen ''Durchschnittswert'' '''!''' Es kann durchaus sein, dass er mit Pech bereits bei z.B. der 20. Überquerung überfahren wird! Es kann aber auch sein, dass er mit Glück erst bei z.B. der 400. Überquerung überfahren wird.

Ferner wird, wie bei der Aufgabenstellung erwähnt, vorausgesetzt, dass der Radfahrer immer ''komplett'' unaufmerksam ist. Das ist unrealistisch: Er wird ''mindestens'' mit hoher Wahrscheinlichkeit vom Lokführer mit der Zugpfeife laut gewarnt. Das setzt in genereller Weise die Wahrscheinlichkeit des Überfahrenwerdens in beträchtlichem Ausmass herunter.


Man sieht: ''Die in der theoretischen Wahrscheinlichkeitsrechnung vorgelegten Aufgabenstellungen sind nur bedingt realitätstauglich''. 

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]</text>
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Bei drei Sekunden Überquerungszeit des Gleises und 4 Zugquerungen pro Stunde = 3600 Sekunden wird der Radfahrer ''theoretisch'' mit einer Wahrscheinlichkeit von 4/1200 (vier tausendzweihundertstel), entspricht 1/300 überfahren - &lt;u&gt;also bei einer von 300 Überquerungen&lt;/u&gt;.

''Aber jetzt Achtung:'' Hier handelt es sich nur um einen ''Durchschnittswert'' '''!''' Es kann durchaus sein, dass er mit Pech bereits bei z.B. der 20. Überquerung überfahren wird! Es kann aber auch sein, dass er mit Glück erst bei z.B. der 400. Überquerung überfahren wird.

Ferner wird, wie bei der Aufgabenstellung erwähnt, vorausgesetzt, dass der Radfahrer immer ''komplett'' unaufmerksam ist. Das ist unrealistisch: Er wird ''mindestens'' mit hoher Wahrscheinlichkeit vom Lokführer mit der Zugpfeife laut gewarnt. Das setzt in genereller Weise die Wahrscheinlichkeit des Überfahrenwerdens in beträchtlichem Ausmass herunter.


Man sieht: ''Die in der theoretischen Wahrscheinlichkeitsrechnung vorgelegten Aufgabenstellungen sind nur bedingt realitätstauglich''. 

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]</text>
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    <text bytes="1180" xml:space="preserve">Die '''Lösung''' zur Aufgabe [[Anwendbarkeit der Wahrscheinlichkeitsrechnung]]:

Bei drei Sekunden Überquerungszeit des Gleises und 4 Zugquerungen pro Stunde = 3600 Sekunden wird der Radfahrer ''theoretisch'' mit einer Wahrscheinlichkeit von 4/1200 (vier tausendzweihundertstel), entspricht 1/300 überfahren - &lt;u&gt;also bei einer von 300 Überquerungen&lt;/u&gt;.

''Aber jetzt Achtung:'' Hier handelt es sich nur um einen ''Durchschnittswert'' '''!''' Es kann durchaus sein, dass er mit Pech bereits bei z.B. der 20. Überquerung überfahren wird! Es kann aber auch sein, dass er mit Glück erst bei z.B. der 400. Überquerung überfahren wird.

Ferner wird, wie bei der Aufgabenstellung erwähnt, vorausgesetzt, dass der Radfahrer immer ''komplett'' unaufmerksam ist. Das ist unrealistisch: Er wird ''mindestens'' mit hoher Wahrscheinlichkeit vom Lokführer mit der Zugpfeife laut gewarnt. Das setzt in genereller Weise die Wahrscheinlichkeit des Überfahrenwerdens in beträchtlichem Ausmass herunter.

Man sieht: ''Die in der theoretischen Wahrscheinlichkeitsrechnung vorgelegten Aufgabenstellungen sind nur bedingt realitätstauglich''. 

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]</text>
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  <title>Analysis</title>
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    <text bytes="1110" xml:space="preserve">Die '''Analysis''' ist ein Teilgebiet der Mathematik, dessen Grundlagen von [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] und [[Isaac Newton]] unabhängig voneinander entwickelt wurden.

Die grundlegende Analysis befasst sich mit [[Grenzwert|Grenzwerten]] von Folgen und Reihen sowie mit [[Funktion|Funktionen]] [[Reelle Zahlen|reeller Zahlen]] und deren Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integration. Viele wichtige Funktionen der Analysis lassen sich als Grenzwerte von Reihen darstellen.

Die Analysis arbeitet häufig mit Abschätzungen und Ungleichungen. Die Ergebnisse, die durch diese Techniken gewonnen werden, sind jedoch exakt.

Die Verallgemeinerung des Funktionsbegriffes in der Analysis auf Funktionen mit Definitions- und Wertebereich in den komplexen Zahlen ist Bestandteil der [[:Kategorie:Funktionentheorie|Funktionentheorie]].

==Teilgebiete==
Die Analysis wird in folgende Teilgebiete unterteilt:
*[[Funktion]]enlehre 
*[[Reihenwerte bestimmen 1|Reihen]] und [[Folgen]] 
*[[Differentialrechnung]]
*[[Integralrechnung: Das Volumen eines Faßes|Integralrechnung]]

[[en:Analysis]]
[[Kategorie:Analysis| ]]</text>
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  <title>Ableitung</title>
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    <text bytes="1045" xml:space="preserve">Die '''Ableitung''' &lt;math&gt;f'(x)&lt;/math&gt;, auch '''Differentialquotient''' genannt, entspricht geometrisch der [[Tangentensteigung]] der [[Funktion]] &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, von der sie abgeleitet ist. Da jeder Wert aus dem [[Definitionsmenge|Definitionsbereich]] der Funktion &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;ableitbar ist, erhält man eine neue Funktion &lt;math&gt;f'&lt;/math&gt;, die sogenannte ''Ableitungsfunktion'' oder einfach nur ''Ableitung von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;''. 

Die ''erste'' Ableitung beispielsweise der Funktion &lt;math&gt;f(x) = x^2&lt;/math&gt; lautet &lt;math&gt;f'(x) = 2x&lt;/math&gt;.

== Berechnung ==
Man nennt das Berechnen einer Ableitung auch ''Differentiation.'' Dabei werden die Exponenten der [[Potenz]]en jeweils zu Multiplikatoren und  reduzieren sich gleichzeitig um 1, also etwa &lt;math&gt;x^3&lt;/math&gt; wird zu &lt;math&gt;3x^2&lt;/math&gt;. Allein stehende Ziffern/Zahlen, etwa + 5, fallen weg.


Es kann übrigens ''bei entsprechend aufgebauter Gleichung'' auch eine ''zweite'' Ableitung &lt;math&gt;f''&lt;/math&gt; von der ersten vorgenommen werden, allenfalls auch eine ''dritte'' von der zweiten, usw.</text>
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    <text bytes="1083" xml:space="preserve">Die '''Ableitung''' &lt;math&gt;f'(x)&lt;/math&gt;, auch '''Differentialquotient''' genannt, entspricht geometrisch der [[Tangentensteigung]] der [[Funktion]] &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, von der sie abgeleitet ist. Da jeder Wert aus dem [[Definitionsmenge|Definitionsbereich]] der Funktion &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;ableitbar ist, erhält man eine neue Funktion &lt;math&gt;f'&lt;/math&gt;, die sogenannte ''Ableitungsfunktion'' oder einfach nur ''Ableitung von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;''. 

Die ''erste'' Ableitung beispielsweise der Funktion &lt;math&gt;f(x) = x^2&lt;/math&gt; lautet &lt;math&gt;f'(x) = 2x&lt;/math&gt;.

== Berechnung ==
Man nennt das Berechnen einer Ableitung auch ''Differentiation.'' Dabei werden die Exponenten der [[Potenz]]en jeweils zu Multiplikatoren und  reduzieren sich gleichzeitig um 1, also etwa &lt;math&gt;x^3&lt;/math&gt; wird zu &lt;math&gt;3x^2&lt;/math&gt;. Allein stehende Ziffern/Zahlen, etwa + 5, fallen weg.


Es kann übrigens ''bei entsprechend aufgebauter Gleichung'' auch eine ''zweite'' Ableitung &lt;math&gt;f''&lt;/math&gt; von der ersten vorgenommen werden, allenfalls auch eine ''dritte'' von der zweiten, usw.
[[Kategorie:Differentialgleichungen]]</text>
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Die ''erste'' Ableitung beispielsweise der Funktion &lt;math&gt;f(x) = x^2&lt;/math&gt; lautet &lt;math&gt;f'(x) = 2x&lt;/math&gt;.

== Berechnung ==
Man nennt das Berechnen einer Ableitung auch ''Differentiation.'' Dabei werden die Exponenten der [[Potenz]]en jeweils zu Multiplikatoren und  reduzieren sich gleichzeitig um 1, also etwa &lt;math&gt;x^3&lt;/math&gt; wird zu &lt;math&gt;3x^2&lt;/math&gt;. Allein stehende Ziffern/Zahlen, etwa + 5, fallen weg.


Es kann übrigens ''bei entsprechend aufgebauter Gleichung'' auch eine ''zweite'' Ableitung &lt;math&gt;f''&lt;/math&gt; von der ersten vorgenommen werden, allenfalls auch eine ''dritte'' von der zweiten, usw.
[[Kategorie:Differentialgleichungen]]
[[Kategorie:Analysis]]</text>
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  <title>Kategorie:Differentialgleichungen</title>
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    <text bytes="631" xml:space="preserve">Die folgende Kurzbeschreibung soll einen Einblick geben, welche Aufgaben in dieser Kategorie zu finden sind.

Eine Differential- bzw. Differenzialgleichung (oft abgekürzt mit DGL) ist eine Gleichung, die die [[Ableitung]]en einer [[Funktion]] enthält.

Die Haupttypen von Differentialgleichungen sind
# gewöhnliche Differentialgleichungen (engl. ''ordinary differential equations, '''ODE'''s''): In der Gleichung tauchen nur Ableitungen nach ''einer'' Variablen auf 
# partielle Differentialgleichungen (engl. ''partial differential equations, '''PDE'''s''): In der Gleichung tauchen Ableitungen nach ''mehreren'' Variablen auf.</text>
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  <title>Trigonometrie</title>
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Die '''Trigonometrie''' behandelt die Verhältnisse der Seiten und Winkel eines Dreiecks.

==1) Satz des Pythagoras==
[[Bild:Triangle_with_notations_2.svg|thumb|196px]]
In einem rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras.

&lt;math&gt;c^2 = a^2 + b^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow a = \pm \sqrt{c^2 - b^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow b = \pm \sqrt{c^2 - a^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow c = \pm \sqrt{a^2 + b^2}&lt;/math&gt;</text>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="282" xml:space="preserve">Unter '''Definitionsmenge''' oder '''Definitionsbereich''' &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; versteht man die Menge der Zahlen, die man in eine [[Funktion]] einsetzen darf. Durch die Funktion wird jeder dieser Zahlen eine Zahl aus der [[Wertemenge]] zugeordnet.

[[Kategorie:Funktionen]]
[[en:Domain]]</text>
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  <title>Trigonometrie</title>
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Die '''Trigonometrie''' behandelt die Verhältnisse der Seiten und Winkel eines Dreiecks.

===1) Zur Einführung: Satz des Pythagoras===
[[Bild:Triangle_with_notations_2.svg|thumb|196px]]
In einem rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras:

&lt;math&gt;c^2 = a^2 + b^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow a = \pm \sqrt{c^2 - b^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow b = \pm \sqrt{c^2 - a^2}&lt;/math&gt;

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Die '''Trigonometrie''' behandelt die Verhältnisse der Seiten und Winkel eines Dreiecks.

===1) Zur Einführung: Satz des Pythagoras===
[[Bild:Triangle_with_notations_2.svg|thumb|196px]]
In einem ''rechtwinkligen'' (γ) Dreieck gilt der Satz des Pythagoras:

&lt;math&gt;c^2 = a^2 + b^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow a = \pm \sqrt{c^2 - b^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow b = \pm \sqrt{c^2 - a^2}&lt;/math&gt;

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    <text bytes="1648" xml:space="preserve">Die '''Trigonometrie''' behandelt die Verhältnisse der Seiten und Winkel eines Dreiecks.

===1) Zur Einführung: Satz des Pythagoras===
[[Bild:Triangle_with_notations_2.svg|thumb|196px]]
In einem ''rechtwinkligen'' (γ) Dreieck gilt der Satz des Pythagoras:

&lt;math&gt;c^2 = a^2 + b^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow a = \pm \sqrt{c^2 - b^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow b = \pm \sqrt{c^2 - a^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow c = \pm \sqrt{a^2 + b^2}&lt;/math&gt;


===2) Trigonometrie===
Auch die Tr. setzt rechtwinklige Dreiecke voraus.

In diesen gelten folgende Verhältniszahlen:
* sin (Sinus) Winkel α = Gegenkathete des α zur Hypotenuse
* cos (Cosinus) α = Ankathete α zur Hypotenuse 
* tan (Tangens) α = Gegenkathete α zur Ankathete
* cot (Kotangens) α = Ankathete α zur Gegenkathete

Dieselbe Konstellation gilt auch für den anderen nicht rechtwinkligen Winkel β, durchwegs mit dem umgekehrten  Vorzeichen.
  

Die Trigonometrie, genauer vorab die Tangens-Funktion, dient vor allem auch zur Landvermessung. Für die Vermessung der Höhe eines Hügels etwa wird von einem gewissen ebenerdigen Punkt aus ebenerdig die Distanz zu seinem höchsten Punkts gemessen resp. [[Extrrapolation|extrapoliert]]; dabei muss der rechte Winkel des Messdreiecks am Fuss des höchsten Punktes liegen. Dann wird vom selben Ort aus mit einem Theodoliten (Winkelmessgerät) der Winkel zum höchsten Punkt eruiert. Mittels vorberechneter Verhältniszahlen für den Tangens (früher standen sie unter anderem  in der [[Logrithmentafel]], heute sind sie natürl. digitalisiert) kann damit die Höhe des Hügels in m eruiert werden. 

[[Kategorie:Trigonometrie| ]]</text>
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    <text bytes="1901" xml:space="preserve">Die '''Trigonometrie''' behandelt die Verhältnisse der Seiten und Winkel eines Dreiecks.

===1) Zur Einführung: Satz des Pythagoras===
[[Bild:Triangle_with_notations_2.svg|thumb|196px]]
In einem ''rechtwinkligen'' (γ) Dreieck gilt der Satz des Pythagoras:

&lt;math&gt;c^2 = a^2 + b^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow a = \pm \sqrt{c^2 - b^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow b = \pm \sqrt{c^2 - a^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow c = \pm \sqrt{a^2 + b^2}&lt;/math&gt;


===2) Ebene Trigonometrie===
Auch die ebene Trigonometrie setzt rechtwinklige Dreiecke voraus.

In diesen gelten folgende Verhältniszahlen:
* sin (Sinus) Winkel α = Gegenkathete des α zur Hypotenuse
* cos (Cosinus) α = Ankathete α zur Hypotenuse 
* tan (Tangens) α = Gegenkathete α zur Ankathete
* cot (Kotangens) α = Ankathete α zur Gegenkathete

Dieselbe Konstellation gilt auch für den anderen nicht rechtwinkligen Winkel β, durchwegs mit dem umgekehrten  Vorzeichen.
  
Die ebene Trigonometrie, genauer vorab die Tangens-Funktion, dient vor allem auch zur Landvermessung. Für die Vermessung der Höhe eines Hügels etwa wird von einem gewissen ebenerdigen Punkt aus ebenerdig die Distanz zu seinem höchsten Punkts gemessen resp. [[Extrrapolation|extrapoliert]]; dabei muss der rechte Winkel des Messdreiecks am Fuss des höchsten Punktes liegen. Dann wird vom selben Ort aus mit einem Theodoliten (Winkelmessgerät) der Winkel zum höchsten Punkt eruiert. Mittels vorberechneter Verhältniszahlen für den Tangens (früher standen sie unter anderem  in der [[Logrithmentafel]], heute sind sie natürl. digitalisiert) kann damit die Höhe des Hügels in m eruiert werden. 

===Sphärische Trigonometrie===
Die sphärische Trigonometrie ist eine ''Geometrie auf der Kugel''. Die Kugel-Oberfläche ist dabei der geometrische Ort für alle Punkte, die vom Kugelmittelpunkt den gleichen Abstand haben. 

[[Kategorie:Trigonometrie| ]]</text>
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    <text bytes="1911" xml:space="preserve">Die '''Trigonometrie''' behandelt die Verhältnisse der Seiten und Winkel eines Dreiecks.

===1) Zur Einführung: Satz des Pythagoras===
[[Bild:Triangle_with_notations_2.svg|thumb|196px]]
In einem ''rechtwinkligen'' (γ) Dreieck gilt der Satz des Pythagoras:

&lt;math&gt;c^2 = a^2 + b^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow a = \pm \sqrt{c^2 - b^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow b = \pm \sqrt{c^2 - a^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow c = \pm \sqrt{a^2 + b^2}&lt;/math&gt;


===2) Ebene Trigonometrie===
Auch die ebene Trigonometrie setzt rechtwinklige Dreiecke voraus.

In diesen gelten folgende Verhältniszahlen:
* sin (Sinus) Winkel α = Gegenkathete des α zur Hypotenuse
* cos (Cosinus) α = Ankathete α zur Hypotenuse 
* tan (Tangens) α = Gegenkathete α zur Ankathete
* cot (Kotangens) α = Ankathete α zur Gegenkathete

Dieselbe Konstellation gilt auch für den anderen nicht rechtwinkligen Winkel β, durchwegs mit dem umgekehrten  Vorzeichen.
  
Die ebene Trigonometrie, genauer vorab die Tangens-Funktion, dient vor allem auch zur Landvermessung. Für die Vermessung der Höhe eines Hügels etwa wird von einem gewissen ebenerdigen Punkt aus ebenerdig die Distanz zu seinem höchsten Punkts gemessen resp. [[Extrrapolation|extrapoliert]]; dabei muss der rechte Winkel des Messdreiecks am Fuss des höchsten Punktes liegen. Dann wird vom selben Ort aus mit einem Theodoliten (Winkelmessgerät) der Winkel zum höchsten Punkt eruiert. Mittels vorberechneter Verhältniszahlen für den Tangens (früher standen sie unter anderem  in der [[Logrithmentafel]], heute sind sie natürl. digitalisiert) kann damit die Höhe des Hügels in m eruiert werden. 

===Sphärische Trigonometrie===
{{Stub}}

Die sphärische Trigonometrie ist eine ''Geometrie auf der Kugel''. Die Kugel-Oberfläche ist dabei der geometrische Ort für alle Punkte, die vom Kugelmittelpunkt den gleichen Abstand haben. 

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    <text bytes="1914" xml:space="preserve">Die '''Trigonometrie''' behandelt die Verhältnisse der Seiten und Winkel eines Dreiecks.

===1) Zur Einführung: Satz des Pythagoras===
[[Bild:Triangle_with_notations_2.svg|thumb|196px]]
In einem ''rechtwinkligen'' (γ) Dreieck gilt der Satz des Pythagoras:

&lt;math&gt;c^2 = a^2 + b^2&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow a = \pm \sqrt{c^2 - b^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow b = \pm \sqrt{c^2 - a^2}&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;\Leftrightarrow c = \pm \sqrt{a^2 + b^2}&lt;/math&gt;


===2) Ebene Trigonometrie===
Auch die ebene Trigonometrie setzt rechtwinklige Dreiecke voraus.

In diesen gelten folgende Verhältniszahlen:
* sin (Sinus) Winkel α = Gegenkathete des α zur Hypotenuse
* cos (Cosinus) α = Ankathete α zur Hypotenuse 
* tan (Tangens) α = Gegenkathete α zur Ankathete
* cot (Kotangens) α = Ankathete α zur Gegenkathete

Dieselbe Konstellation gilt auch für den anderen nicht rechtwinkligen Winkel β, durchwegs mit dem umgekehrten  Vorzeichen.
  
Die ebene Trigonometrie, genauer vorab die Tangens-Funktion, dient vor allem auch zur Landvermessung. Für die Vermessung der Höhe eines Hügels etwa wird von einem gewissen ebenerdigen Punkt aus ebenerdig die Distanz zu seinem höchsten Punkts gemessen resp. [[Extrrapolation|extrapoliert]]; dabei muss der rechte Winkel des Messdreiecks am Fuss des höchsten Punktes liegen. Dann wird vom selben Ort aus mit einem Theodoliten (Winkelmessgerät) der Winkel zum höchsten Punkt eruiert. Mittels vorberechneter Verhältniszahlen für den Tangens (früher standen sie unter anderem  in der [[Logrithmentafel]], heute sind sie natürl. digitalisiert) kann damit die Höhe des Hügels in m eruiert werden. 

===3) Sphärische Trigonometrie===
{{Stub}}

Die sphärische Trigonometrie ist eine ''Geometrie auf der Kugel''. Die Kugel-Oberfläche ist dabei der geometrische Ort für alle Punkte, die vom Kugelmittelpunkt den gleichen Abstand haben. 

[[Kategorie:Trigonometrie| ]]</text>
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  <title>Lösung zu Anwendbarkeit der Wahrscheinlichkeitsrechnung</title>
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    <text bytes="1185" xml:space="preserve">Die '''Lösung''' zur Aufgabe [[Anwendbarkeit der Wahrscheinlichkeitsrechnung]]:

Bei drei Sekunden Überquerungszeit des Gleises und 4 Zugquerungen pro Stunde = 3600 Sekunden wird der Radfahrer ''theoretisch'' mit einer Wahrscheinlichkeit von 4/1200 (vier tausendzweihundertstel), entspricht 1/300 überfahren - &lt;u&gt;also bei einer von 300 Überquerungen&lt;/u&gt;.

''Aber jetzt Achtung:'' Hier handelt es sich nur um einen ''Durchschnittswert'' '''!''' Es kann durchaus sein, dass er mit Pech bereits bei z.B. der 20. Überquerung überfahren wird! Es kann aber auch sein, dass er mit Glück erst bei z.B. der 400. Überquerung überfahren wird.

Ferner wird, wie bei der Aufgabenstellung erwähnt, vorausgesetzt, dass der Radfahrer immer ''komplett'' unaufmerksam ist. Das ist unrealistisch: Er wird ''mindestens'' mit hoher Wahrscheinlichkeit vom Lokführer mit der Zugpfeife/Hupe laut gewarnt. Das setzt in genereller Weise die Wahrscheinlichkeit des Überfahrenwerdens in beträchtlichem Ausmass herunter.

Man sieht: ''Die in der theoretischen Wahrscheinlichkeitsrechnung vorgelegten Aufgabenstellungen sind nur bedingt realitätstauglich''. 

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]</text>
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  <title>Funktionsgraph</title>
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    <text bytes="802" xml:space="preserve">Ein '''Funktionsgraph''' oder einfach nur '''Graph''' ist ein zweidimensionales grafisches Schaubild einer [[Funktion]] &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;. Dabei gilt &lt;math&gt;x\in D&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;y\in W&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;y=f(x)&lt;/math&gt;.

Durch [[Kurvendiskussion|Kurvendiskussionen]] können Graphen auf ihre geometrischen Eigenschaften untersucht werden.

== Spezielle Graphen ==
[[Datei:Parabel-scal2.svg.png|thumb|Graphen zweier Parabeln der quadratischen Gleichungen y = x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; (rot) resp. y = 2x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; (blau)]]
* Der Graph einer [[Lineare Funktion|linearen Funktion]] ist eine [[Gerade]].
* Der Graph einer [[Quadratische Funktion|quadratischen Funktion]] ist eine [[Parabel]].
* Der Graph einer [[Lineare Funktion|Kehrwertfunktion]] ist eine [[Hyperbel]].
[[Kategorie:Funktionen]]
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Durch [[Kurvendiskussion|Kurvendiskussionen]] können Graphen auf ihre geometrischen Eigenschaften untersucht werden.

== Spezielle Graphen ==
[[Datei:Parabel-scal2.svg.png|thumb|Parabeln der quadratischen Gleichungen y = x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; (rot) resp. y = 2x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; (blau)]]

* Der Graph einer [[Lineare Funktion|linearen Funktion]] ist eine [[Gerade]].
* Der Graph einer [[Quadratische Funktion|quadratischen Funktion]] ist eine [[Parabel]].
* Der Graph einer [[Lineare Funktion|Kehrwertfunktion]] ist eine [[Hyperbel]].
[[Kategorie:Funktionen]]
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    <text bytes="795" xml:space="preserve">Ein '''Funktionsgraph''' oder einfach nur '''Graph''' ist ein zweidimensionales grafisches Schaubild einer [[Funktion]] &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;. Dabei gilt &lt;math&gt;x\in D&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;y\in W&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;y=f(x)&lt;/math&gt;.

Durch [[Kurvendiskussion|Kurvendiskussionen]] können Graphen auf ihre geometrischen Eigenschaften untersucht werden.

== Spezielle Graphen ==
[[Datei:Parabel-scal2.svg.png|thumb|Parabel-Graphen der quadratischen Gleichungen y = x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; (rot) resp. y = 2x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; (blau)]]

* Der Graph einer [[Lineare Funktion|linearen Funktion]] ist eine [[Gerade]].
* Der Graph einer [[Quadratische Funktion|quadratischen Funktion]] ist eine [[Parabel]].
* Der Graph einer [[Lineare Funktion|Kehrwertfunktion]] ist eine [[Hyperbel]].
[[Kategorie:Funktionen]]
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  <title>Differentialrechnung</title>
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    <text bytes="2997" xml:space="preserve">[[Datei:Funktionsgraf med tangenter og differentialkvotient.jpg|thumb|Zu beachten hier nur die erste blaue Steigung bis zur roten Tangente. Deren erste Ableitung f' in der unteren Grafik ergibt eine Gerade. Am Punkt der roten Tangente (nur das einfachste Beispiel) ist klar ersichtlich die Kurvensteigung am Scheitelpunkt = ''Null''. Dies manifestiert sich in der f'-Grafik durch den Schnitt der Gerade im ''Null''punkt der y-Achse.]]

Die '''Differentialrechnung''' ist ein Gebiet der höheren Mathematik und gehört zur [[Analysis]]. Es geht dabei im Grundsatz darum, Steigungswerte in Punkten von Kurven des [[Funktionsgraph]]en zu bestimmen. Dabei wird ein absoluter geometrischer Steigungswert Δ x/y so lange einem Steigungs''punkt'' angenähert, bis er mit dem Punkt deckungsgleich ist ([[Grenzwert]]). Das Delta wird so in der Nomenklatur zum d. Die ''erste Ableitung'' der algebraischen Gleichung der betreffenden [[Funktion]] ergibt den Steigungswert. Weiteres hier: 
[https://allgemeinbildung.fandom.com/de/wiki/Differentialrechnung]

'''Empirische Verifizierung (Wahrheitsbeweis an einem realen Beispiel):''' ''Gleichförmige Beschleunigung'' in der ''physikalischen Bewegungslehre''

Gegeben sei ein ''Geschwindigkeits-Diagramm'' mit der Waagrechten s (Strecke, Distanz) und der Senkrechten t (Zeit). Dies mit einer eingezeichneten Funktionskurve der Galilei-Formel (numerisches Beispiel) s = ½ • 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; • t&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. Wird mit diesen Angaben die zur Funktion gehörende Wertetabelle s/t durch Einsetzen der korrekten Zahlen erstellt und dann die ''erste Ableitung'' durchgeführt (v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; = s' = 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; • t &lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt;), dann sieht man im für die erste Ableitung erstellten zweiten Funktionsdiagramm (dem ''Beschleunigungs-Diagramm'') mit entsprechender Wertetabelle für die ''Momentan''werte t&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Waagrechte im Diagramm) und v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Senkrechte) folgendes: Die ''Momentan''geschwindigkeit in einem beliebigen Kurven-Punkt des zweiten Diagramms ist gleich hoch wie die ''Durchschnitts''geschwindigkeit der Strecke im ersten Diagramm, auf deren t-Mittelpunkt die Momentangeschwindigkeit im zweiten eingezeichnet ist (die zwei Diagramme können für diese Beobachtung exakt übereinander gestellt und die Punkte  mit senkrechten Geraden verbunden werden).

Damit ist die Richtigkeit des Prinzips der ersten Ableitung empirisch verifiziert. Zu beachten ist, dass der Kurven-Steigungspunkt in der rein mathematischen Analyse zur Momentangeschwindigkeit in der physikalischen Konkretisierung wurde (Die Momentangeschw. entspricht der Momentansteigung der Kurve, auch im physikalischen Diagramm). Beide Sachverhalte können also graphisch mit fast gleichen Diagrammen dargestellt werden, nur die Nomenklatur ist verschieden.


'''Stichworte:''' [[Kurvendiskussion|Kurvenuntersuchung]] - [[Tangentialpunkt der Steigung]] - [[Momentanwert]] - [[Ableitung]]    


[[Kategorie:Analysis]]
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Die '''Differentialrechnung''' ist ein Gebiet der höheren Mathematik und gehört zur [[Analysis]]. Es geht dabei im Grundsatz darum, Steigungswerte in Punkten von Kurven des [[Funktionsgraph]]en zu bestimmen. Dabei wird ein absoluter geometrischer Steigungswert Δ x/y so lange einem Steigungs''punkt'' angenähert, bis er mit dem Punkt deckungsgleich ist ([[Grenzwert]]). Das Delta wird so in der Nomenklatur zum d. Die ''erste Ableitung'' der algebraischen Gleichung der betreffenden [[Funktion]] ergibt den Steigungswert. Weiteres hier: 
[https://allgemeinbildung.fandom.com/de/wiki/Differentialrechnung]

'''Empirische Verifizierung (Wahrheitsbeweis an einem realen Beispiel):''' ''Gleichförmige Beschleunigung'' in der ''physikalischen Bewegungslehre:''

Gegeben sei ein ''Geschwindigkeits-Diagramm'' mit der Waagrechten s (Strecke, Distanz) und der Senkrechten t (Zeit). Dies mit einer eingezeichneten Funktionskurve der Galilei-Formel (numerisches Beispiel) s = ½ • 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; • t&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. Wird mit diesen Angaben die zur Funktion gehörende Wertetabelle s/t durch Einsetzen der korrekten Zahlen erstellt und dann die ''erste Ableitung'' durchgeführt (v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; = s' = 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; • t &lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt;), dann sieht man im für die erste Ableitung erstellten zweiten Funktionsdiagramm (dem ''Beschleunigungs-Diagramm'') mit entsprechender Wertetabelle für die ''Momentan''werte t&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Waagrechte im Diagramm) und v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Senkrechte) folgendes: Die ''Momentan''geschwindigkeit in einem beliebigen Kurven-Punkt des zweiten Diagramms ist gleich hoch wie die ''Durchschnitts''geschwindigkeit der Strecke im ersten Diagramm, auf deren t-Mittelpunkt die Momentangeschwindigkeit im zweiten eingezeichnet ist (die zwei Diagramme können für diese Beobachtung exakt übereinander gestellt und die Punkte  mit senkrechten Geraden verbunden werden).

Damit ist die Richtigkeit des Prinzips der ersten Ableitung empirisch verifiziert. Zu beachten ist, dass der Kurven-Steigungspunkt in der rein mathematischen Analyse zur Momentangeschwindigkeit in der physikalischen Konkretisierung wurde (Die Momentangeschw. entspricht der Momentansteigung der Kurve, auch im physikalischen Diagramm). Beide Sachverhalte können also graphisch mit fast gleichen Diagrammen dargestellt werden, nur die Nomenklatur ist verschieden.


'''Stichworte:''' [[Kurvendiskussion|Kurvenuntersuchung]] - [[Tangentialpunkt der Steigung]] - [[Momentanwert]] - [[Ableitung]]    


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    <text bytes="3041" xml:space="preserve">[[Datei:Funktionsgraf med tangenter og differentialkvotient.jpg|thumb|Zu beachten hier nur die erste blaue Steigung bis zur roten Tangente. Deren erste Ableitung f' in der unteren Grafik ergibt die gelbe Gerade. Am Punkt der roten Tangente (nur das einfachste Beispiel, da es ja sehr viele Kurvenpunkte hat) ist klar ersichtlich die Kurvensteigung am Scheitelpunkt = ''Null''. Dies manifestiert sich in der f'-Grafik durch den Schnitt der Gerade im ''Null''punkt der y-Achse.]]

Die '''Differentialrechnung''' ist ein Gebiet der höheren Mathematik und gehört zur [[Analysis]]. Es geht dabei im Grundsatz darum, Steigungswerte in Punkten von Kurven des [[Funktionsgraph]]en zu bestimmen. Dabei wird ein absoluter geometrischer Steigungswert Δ x/y so lange einem Steigungs''punkt'' angenähert, bis er mit dem Punkt deckungsgleich ist ([[Grenzwert]]). Das Delta wird so in der Nomenklatur zum d. Die ''erste Ableitung'' der algebraischen Gleichung der betreffenden [[Funktion]] ergibt den Steigungswert. Weiteres hier: 
[https://allgemeinbildung.fandom.com/de/wiki/Differentialrechnung]

'''Empirische Verifizierung (Wahrheitsbeweis an einem realen Beispiel):''' ''Gleichförmige Beschleunigung'' in der ''physikalischen Bewegungslehre:''

Gegeben sei ein ''Geschwindigkeits-Diagramm'' mit der Waagrechten s (Strecke, Distanz) und der Senkrechten t (Zeit). Dies mit einer eingezeichneten Funktionskurve der Galilei-Formel (numerisches Beispiel) s = ½ • 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; • t&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. Wird mit diesen Angaben die zur Funktion gehörende Wertetabelle s/t durch Einsetzen der korrekten Zahlen erstellt und dann die ''erste Ableitung'' durchgeführt (v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; = s' = 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; • t &lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt;), dann sieht man im für die erste Ableitung erstellten zweiten Funktionsdiagramm (dem ''Beschleunigungs-Diagramm'') mit entsprechender Wertetabelle für die ''Momentan''werte t&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Waagrechte im Diagramm) und v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Senkrechte) folgendes: Die ''Momentan''geschwindigkeit in einem beliebigen Kurven-Punkt des zweiten Diagramms ist gleich hoch wie die ''Durchschnitts''geschwindigkeit der Strecke im ersten Diagramm, auf deren t-Mittelpunkt die Momentangeschwindigkeit im zweiten eingezeichnet ist (die zwei Diagramme können für diese Beobachtung exakt übereinander gestellt und die Punkte  mit senkrechten Geraden verbunden werden).

Damit ist die Richtigkeit des Prinzips der ersten Ableitung empirisch verifiziert. Zu beachten ist, dass der Kurven-Steigungspunkt in der rein mathematischen Analyse zur Momentangeschwindigkeit in der physikalischen Konkretisierung wurde (Die Momentangeschw. entspricht der Momentansteigung der Kurve, auch im physikalischen Diagramm). Beide Sachverhalte können also graphisch mit fast gleichen Diagrammen dargestellt werden, nur die Nomenklatur ist verschieden.


'''Stichworte:''' [[Kurvendiskussion|Kurvenuntersuchung]] - [[Tangentialpunkt der Steigung]] - [[Momentanwert]] - [[Ableitung]]    


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Die '''Differentialrechnung''' ist ein Gebiet der höheren Mathematik und gehört zur [[Analysis]]. Es geht dabei im Grundsatz darum, Steigungswerte in Punkten von Kurven des [[Funktionsgraph]]en zu bestimmen. Dabei wird ein absoluter geometrischer Steigungswert Δ x/y so lange einem Steigungs''punkt'' angenähert, bis er mit dem Punkt deckungsgleich ist ([[Grenzwert]]). Das Delta wird so in der Nomenklatur zum d. Die ''erste Ableitung'' der algebraischen Gleichung der betreffenden [[Funktion]] ergibt den Steigungswert. Weiteres hier: 
[https://allgemeinbildung.fandom.com/de/wiki/Differentialrechnung]

'''Empirische Verifizierung (Wahrheitsbeweis an einem realen Beispiel):''' ''Gleichförmige Beschleunigung'' in der ''physikalischen Bewegungslehre:''

Gegeben sei ein ''Geschwindigkeits-Diagramm'' mit der Waagrechten s (Strecke, Distanz) und der Senkrechten t (Zeit). Dies mit einer eingezeichneten Funktionskurve der Galilei-Formel (numerisches Beispiel) s = ½ • 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; • t&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. Wird mit diesen Angaben die zur Funktion gehörende Wertetabelle s/t durch Einsetzen der korrekten Zahlen erstellt und dann die ''erste Ableitung'' durchgeführt (v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; = s' = 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; • t &lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt;), dann sieht man im für die erste Ableitung erstellten zweiten Funktionsdiagramm (dem ''Beschleunigungs-Diagramm'') mit entsprechender Wertetabelle für die ''Momentan''werte t&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Waagrechte im Diagramm) und v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Senkrechte) folgendes: Die ''Momentan''geschwindigkeit in einem beliebigen Kurven-Punkt des zweiten Diagramms ist gleich hoch wie die ''Durchschnitts''geschwindigkeit der Strecke im ersten Diagramm, auf deren t-Mittelpunkt die Momentangeschwindigkeit im zweiten eingezeichnet ist (die zwei Diagramme können für diese Beobachtung exakt übereinander gestellt und die Punkte  mit senkrechten Geraden verbunden werden).

Damit ist die Richtigkeit des Prinzips der ersten Ableitung empirisch verifiziert. Zu beachten ist, dass der Kurven-Steigungspunkt in der rein mathematischen Analyse zur Momentangeschwindigkeit in der physikalischen Konkretisierung wurde (Die Momentangeschw. entspricht der Momentansteigung der Kurve, auch im physikalischen Diagramm). Beide Sachverhalte können also graphisch mit fast gleichen Diagrammen dargestellt werden, nur die Nomenklatur ist verschieden.


'''Stichworte:''' [[Kurvendiskussion|Kurvenuntersuchung]] - [[Tangentialpunkt der Steigung]] - [[Momentanwert]] - [[Ableitung]]    


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Die '''Differentialrechnung''' ist ein Gebiet der höheren Mathematik und gehört zur [[Analysis]]. Es geht dabei im Grundsatz darum, Steigungswerte in Punkten von Kurven des [[Funktionsgraph]]en zu bestimmen. Dabei wird ein absoluter geometrischer Steigungswert Δ x/y so lange einem Steigungs''punkt'' angenähert, bis er mit dem Punkt deckungsgleich ist ([[Grenzwert]]). Das Delta wird so in der Nomenklatur zum d. Die ''erste Ableitung'' der algebraischen Gleichung der betreffenden [[Funktion]] ergibt den Steigungswert. Weiteres hier: 
[https://allgemeinbildung.fandom.com/de/wiki/Differentialrechnung]

'''Empirische Verifizierung (Wahrheitsbeweis an einem realen Beispiel):''' ''Gleichförmige Beschleunigung'' in der ''physikalischen Bewegungslehre:''

Gegeben sei ein ''Geschwindigkeits-Diagramm'' mit der Waagrechten s (Strecke, Distanz) und der Senkrechten t (Zeit). Dies mit einer eingezeichneten Funktionskurve der Galilei-Formel (numerisches Beispiel) s = ½ • 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; • t&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. Wird mit diesen Angaben die zur Funktion gehörende Wertetabelle s/t durch Einsetzen der korrekten Zahlen erstellt und dann die ''erste Ableitung'' durchgeführt (v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; = s' = 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; • t &lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt;), dann sieht man im für die erste Ableitung erstellten zweiten Funktionsdiagramm (dem ''Beschleunigungs-Diagramm'') mit entsprechender Wertetabelle für die ''Momentan''werte t&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Waagrechte im Diagramm) und v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Senkrechte) folgendes: Die ''Momentan''geschwindigkeit in einem beliebigen Kurven-Punkt des zweiten Diagramms ist gleich hoch wie die ''Durchschnitts''geschwindigkeit der Strecke im ersten Diagramm, auf deren t-Mittelpunkt die Momentangeschwindigkeit im zweiten eingezeichnet ist (die zwei Diagramme können für diese Beobachtung exakt übereinander gestellt und die Punkte  mit senkrechten Geraden verbunden werden).

Damit ist die Richtigkeit des Prinzips der ersten Ableitung empirisch verifiziert. Zu beachten ist, dass der Kurven-Steigungspunkt in der rein mathematischen Analyse zur Momentangeschwindigkeit in der physikalischen Konkretisierung wurde (Die Momentangeschw. entspricht der Momentansteigung der Kurve, auch im physikalischen Diagramm). Beide Sachverhalte können also graphisch mit fast gleichen Diagrammen dargestellt werden, nur die Nomenklatur ist verschieden.


'''Stichworte:''' [[Kurvendiskussion|Kurvenuntersuchung]] - [[Tangentialpunkt der Steigung]] - [[Momentanwert]] - [[Ableitung]]    


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Die '''Differentialrechnung''' ist ein Gebiet der höheren Mathematik und gehört zur [[Analysis]]. Es geht dabei im Grundsatz darum, Steigungswerte in Punkten von Kurven des [[Funktionsgraph]]en zu bestimmen. Dabei wird ein absoluter geometrischer Steigungswert Δ x/y so lange einem Steigungs''punkt'' angenähert, bis er mit dem Punkt deckungsgleich ist ([[Grenzwert]]). Das Delta wird so in der Nomenklatur zum d. Die ''erste Ableitung'' der algebraischen Gleichung der betreffenden [[Funktion]] ergibt den Steigungswert. Weiteres hier: 
[https://allgemeinbildung.fandom.com/de/wiki/Differentialrechnung]

'''Empirische Verifizierung (Wahrheitsbeweis an einem realen Beispiel):''' ''Gleichförmige Beschleunigung'' in der ''physikalischen Bewegungslehre:''

Gegeben sei ein ''Geschwindigkeits-Diagramm'' mit der Waagrechten s (Strecke, Distanz) und der Senkrechten t (Zeit). Dies mit einer eingezeichneten Funktionskurve der Galilei-Formel (numerisches Beispiel) s = ½ • 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; • t&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. Wird mit diesen Angaben die zur Funktion gehörende Wertetabelle s/t durch Einsetzen der korrekten Zahlen erstellt und dann die ''erste Ableitung'' durchgeführt (v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; = s' = 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; • t &lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt;), dann sieht man im für die erste Ableitung erstellten zweiten Funktionsdiagramm (dem ''Beschleunigungs-Diagramm'') mit entsprechender Wertetabelle für die ''Momentan''werte t&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Waagrechte im Diagramm) und v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Senkrechte) folgendes: Die ''Momentan''geschwindigkeit in einem beliebigen Kurven-Punkt des zweiten Diagramms ist gleich hoch wie die ''Durchschnitts''geschwindigkeit der Strecke im ersten Diagramm, auf deren t-Mittelpunkt die Momentangeschwindigkeit im zweiten eingezeichnet ist (die zwei Diagramme können für diese Beobachtung exakt übereinander gestellt und die Punkte  mit senkrechten Geraden verbunden werden).

Damit ist die Richtigkeit des Prinzips der ersten Ableitung empirisch verifiziert. Zu beachten ist, dass der Kurven-Steigungspunkt in der rein mathematischen Analyse zur Momentangeschwindigkeit in der physikalischen Konkretisierung wurde (Die Momentangeschw. entspricht der Momentansteigung der Kurve, auch im physikalischen Diagramm). Beide Sachverhalte können also graphisch mit fast gleichen Diagrammen dargestellt werden, nur die Nomenklatur ist verschieden.


'''Stichworte:''' [[Kurvendiskussion|Kurvenuntersuchung]] - [[Tangentialpunkt der Steigung]] - [[Momentanwert]] - [[Ableitung]]    


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Die '''Differentialrechnung''' ist ein Gebiet der höheren Mathematik und gehört zur [[Analysis]]. Es geht dabei im Grundsatz darum, Steigungswerte in Punkten von Kurven des [[Funktionsgraph]]en zu bestimmen. Dabei wird ein absoluter geometrischer Steigungswert Δ x/y so lange einem Steigungs''punkt'' angenähert, bis er mit dem Punkt deckungsgleich ist ([[Grenzwert]]). Das Delta wird so in der Nomenklatur zum d. Die ''erste Ableitung'' der algebraischen Gleichung der betreffenden [[Funktion]] ergibt den Steigungswert. Weiteres hier: 
[https://allgemeinbildung.fandom.com/de/wiki/Differentialrechnung]

'''Empirische Verifizierung (Wahrheitsbeweis an einem realen Beispiel):''' ''Gleichförmige Beschleunigung'' in der ''physikalischen Bewegungslehre:''

Gegeben sei ein ''Geschwindigkeits-Diagramm'' mit der Waagrechten s (Strecke, Distanz) und der Senkrechten t (Zeit). Dies mit einer eingezeichneten Funktionskurve der Galilei-Formel (numerisches Beispiel) s = ½ • 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; • t&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. Wird mit diesen Angaben die zur Funktion gehörende Wertetabelle s/t durch Einsetzen der korrekten Zahlen erstellt und dann die ''erste Ableitung'' durchgeführt (v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; = s' = 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; • t &lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt;), dann sieht man im für die erste Ableitung erstellten zweiten Funktionsdiagramm (dem ''Beschleunigungs-Diagramm'') mit entsprechender Wertetabelle für die ''Momentan''werte t&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Waagrechte im Diagramm) und v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Senkrechte) folgendes: Die ''Momentan''geschwindigkeit in einem beliebigen Kurven-Punkt des zweiten Diagramms ist gleich hoch wie die ''Durchschnitts''geschwindigkeit der Strecke im ersten Diagramm, auf deren t-Mittelpunkt die Momentangeschwindigkeit im zweiten eingezeichnet ist (die zwei Diagramme können für diese Beobachtung exakt übereinander gestellt und die Punkte  mit senkrechten Geraden verbunden werden).

Damit ist die Richtigkeit des Prinzips der ersten Ableitung empirisch verifiziert. Zu beachten ist, dass der Kurven-Steigungspunkt in der rein mathematischen Analyse zur Momentangeschwindigkeit in der physikalischen Konkretisierung wurde (Die Momentangeschw. entspricht der Momentansteigung der Kurve, auch im physikalischen Diagramm). Beide Sachverhalte können also graphisch mit fast gleichen Diagrammen dargestellt werden, nur die Nomenklatur ist verschieden.


'''Stichworte:''' [[Kurvendiskussion|Kurvenuntersuchung]] - [[Tangentialpunkt der Steigung]] - [[Ableitung]] -  [[Momentanwert]]     


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Die '''Differentialrechnung''' ist ein Gebiet der höheren Mathematik und gehört zur [[Analysis]]. Es geht dabei im Grundsatz darum, Steigungswerte in Punkten von Kurven des [[Funktionsgraph]]en zu bestimmen. Dabei wird ein absoluter geometrischer Steigungswert Δ x/y so lange einem Steigungs''punkt'' angenähert, bis er mit dem Punkt deckungsgleich ist ([[Grenzwert]]). Das Delta wird so in der Nomenklatur zum d. Die ''erste Ableitung'' der algebraischen Gleichung der betreffenden [[Funktion]] ergibt den Steigungswert. Weiteres hier: 
[https://allgemeinbildung.fandom.com/de/wiki/Differentialrechnung]

'''Empirische Verifizierung (Wahrheitsbeweis an einem realen Beispiel):''' ''Gleichförmige Beschleunigung'' in der ''physikalischen Bewegungslehre:''

Gegeben sei ein ''Geschwindigkeits-Diagramm'' mit der Waagrechten s (Strecke, Distanz) und der Senkrechten t (Zeit). Dies mit einer eingezeichneten Funktionskurve der Galilei-Formel (numerisches Beispiel) s = ½ • 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; • t&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. Wird mit diesen Angaben die zur Funktion gehörende Wertetabelle s/t durch Einsetzen der korrekten Zahlen erstellt und dann die ''erste Ableitung'' durchgeführt (v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; = s' = 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; • t &lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt;), dann sieht man im für die erste Ableitung erstellten zweiten Funktionsdiagramm (dem ''Beschleunigungs-Diagramm'') mit entsprechender Wertetabelle für die ''Momentan''werte t&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Waagrechte im Diagramm) und v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Senkrechte) folgendes: Die ''Momentan''geschwindigkeit in einem beliebigen Kurven-Punkt des zweiten Diagramms ist gleich hoch wie die ''Durchschnitts''geschwindigkeit der Strecke im ersten Diagramm, auf deren t-Mittelpunkt die Momentangeschwindigkeit im zweiten eingezeichnet ist (die zwei Diagramme können für diese Beobachtung exakt übereinander gestellt und die Punkte  mit senkrechten Geraden verbunden werden).

Damit ist die Richtigkeit des Prinzips der ersten Ableitung empirisch verifiziert. Zu beachten ist, dass der Kurven-Steigungspunkt in der rein mathematischen Analyse zur Momentangeschwindigkeit in der physikalischen Konkretisierung wurde (Die Momentangeschw. entspricht der Momentansteigung der Kurve, auch im physikalischen Diagramm). Beide Sachverhalte können also graphisch mit fast gleichen Diagrammen dargestellt werden, nur die Nomenklatur ist verschieden.


'''Stichworte:''' [[Kurvendiskussion|Kurvenuntersuchung]] - [[Tangentialpunkt der Steigung]] - [[Ableitung]] -  [[Momentanwert]]     


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Die '''Differentialrechnung''' ist ein Gebiet der höheren Mathematik und gehört zur [[Analysis]]. Es geht dabei im Grundsatz darum, Steigungswerte in Punkten von Kurven des [[Funktionsgraph]]en zu bestimmen. Dabei wird ein absoluter geometrischer Steigungswert Δ x/y so lange einem Steigungs''punkt'' angenähert, bis er mit dem Punkt deckungsgleich ist ([[Grenzwert]]). Das Delta wird so in der Nomenklatur zum d. Die ''erste Ableitung'' der algebraischen Gleichung der betreffenden [[Funktion]] ergibt den Steigungswert. Weiteres hier: 
[https://allgemeinbildung.fandom.com/de/wiki/Differentialrechnung]

'''Empirische Verifizierung (Wahrheitsbeweis an einem realen Beispiel):''' ''Gleichförmige Beschleunigung'' in der ''physikalischen Bewegungslehre:''

Gegeben sei ein ''Geschwindigkeits-Diagramm'' mit der Waagrechten s (Strecke, Distanz) und der Senkrechten t (Zeit). Dies mit einer eingezeichneten Funktionskurve der Galilei-Formel (numerisches Beispiel) s = ½ • 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; • t&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. Wird mit diesen Angaben die zur Funktion gehörende Wertetabelle s/t durch Einsetzen der korrekten Zahlen erstellt und dann die ''erste Ableitung'' durchgeführt (v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; = s' = 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; • t &lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt;), dann sieht man im für die erste Ableitung erstellten zweiten Funktionsdiagramm (dem ''Beschleunigungs-Diagramm'') mit entsprechender Wertetabelle für die ''Momentan''werte t&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Waagrechte im Diagramm) und v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Senkrechte) folgendes: Die ''Momentan''geschwindigkeit in einem beliebigen Kurven-Punkt des zweiten Diagramms ist gleich hoch wie die ''Durchschnitts''geschwindigkeit der Strecke im ersten Diagramm, auf deren t-Mittelpunkt die Momentangeschwindigkeit im zweiten eingezeichnet ist (die zwei Diagramme können für diese Beobachtung exakt übereinander gestellt und die Punkte  mit senkrechten Geraden verbunden werden).

Damit ist die Richtigkeit des Prinzips der ersten Ableitung empirisch verifiziert. Zu beachten ist, dass der Kurven-Steigungspunkt in der rein mathematischen Analyse zur Momentangeschwindigkeit in der physikalischen Konkretisierung wurde (Die Momentangeschw. entspricht der Momentansteigung der Kurve, auch im physikalischen Diagramm). Beide Sachverhalte können also graphisch mit fast gleichen Diagrammen dargestellt werden, nur die Nomenklatur ist verschieden.


'''Stichworte:''' [[Kurvendiskussion|Kurvenuntersuchung]] - [[Tangentialpunkt der Steigung]] - [[Ableitung]] -  [[Momentanwert]]     


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Die '''Differentialrechnung''' ist ein Gebiet der höheren Mathematik und gehört zur [[Analysis]]. Es geht dabei im Grundsatz darum, Steigungswerte in Punkten von Kurven des [[Funktionsgraph]]en zu bestimmen. Dabei wird ein absoluter geometrischer Steigungswert Δ x/y so lange einem Steigungs''punkt'' angenähert, bis er mit dem Punkt deckungsgleich ist ([[Grenzwert]]). Das Delta wird so in der Nomenklatur zum d. Die ''erste Ableitung'' der algebraischen Gleichung der betreffenden [[Funktion]] ergibt den Steigungswert. Weiteres hier: 
[https://allgemeinbildung.fandom.com/de/wiki/Differentialrechnung]

'''Empirische Verifizierung (Wahrheitsbeweis an einem realen Beispiel):''' ''Gleichförmige Beschleunigung'' in der ''physikalischen Bewegungslehre:''

Gegeben sei ein ''Geschwindigkeits-Diagramm'' mit der Waagrechten s (Strecke, Distanz) und der Senkrechten t (Zeit). Dies mit einer eingezeichneten Funktionskurve der Galilei-Formel (numerisches Beispiel) s = ½ • 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; • t&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. Wird mit diesen Angaben die zur Funktion gehörende Wertetabelle s/t durch Einsetzen der korrekten Zahlen erstellt und dann die ''erste Ableitung'' durchgeführt (v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; = s' = 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; • t &lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt;), dann sieht man im für die erste Ableitung erstellten unteren Funktionsdiagramm (dem ''Beschleunigungs-Diagramm'') mit entsprechender Wertetabelle für die ''Momentan''werte t&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Waagrechte im Diagramm) und v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Senkrechte) folgendes: Die ''Momentan''geschwindigkeit in einem beliebigen Kurven-Punkt des zweiten Diagramms ist gleich hoch wie die ''Durchschnitts''geschwindigkeit der Strecke im ersten Diagramm, auf deren t-Mittelpunkt die Momentangeschwindigkeit im zweiten eingezeichnet ist (die zwei Diagramme können für diese Beobachtung exakt übereinander gestellt und die Punkte  mit senkrechten Geraden verbunden werden).

Damit ist die Richtigkeit des Prinzips der ersten Ableitung empirisch verifiziert. Zu beachten ist, dass der Kurven-Steigungspunkt in der rein mathematischen Analyse zur Momentangeschwindigkeit in der physikalischen Konkretisierung wurde (Die Momentangeschw. entspricht der Momentansteigung der Kurve, auch im physikalischen Diagramm). Beide Sachverhalte können also graphisch mit fast gleichen Diagrammen dargestellt werden, nur die Nomenklatur ist verschieden.


'''Stichworte:''' [[Kurvendiskussion|Kurvenuntersuchung]] - [[Tangentialpunkt der Steigung]] - [[Ableitung]] -  [[Momentanwert]]     


[[Kategorie:Analysis]]
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    <text bytes="3069" xml:space="preserve">[[Datei:Funktionsgraf med tangenter og differentialkvotient.jpg|thumb|''Zu beachten hier nur die ERSTE blaue Steigung bis zur roten Tangente''. Deren erste Ableitung f' ergibt im unteren Funktionsdiagramm die gelbe Gerade. Am Punkt der roten Tangente (nur das einfachste Beispiel, da es ja viele Kurvenpunkte hat) ist klar ersichtlich die Kurvensteigung am Scheitelpunkt = ''Null''. Dies manifestiert sich in der f'-Grafik durch den Schnitt der Geraden im ''Null''punkt der y-Achse.]]

Die '''Differentialrechnung''' ist ein Gebiet der höheren Mathematik und gehört zur [[Analysis]]. Es geht dabei im Grundsatz darum, Steigungswerte in Punkten von Kurven des [[Funktionsgraph]]en zu bestimmen. Dabei wird ein absoluter geometrischer Steigungswert Δ x/y so lange einem Steigungs''punkt'' angenähert, bis er mit dem Punkt deckungsgleich ist ([[Grenzwert]]). Das Delta wird so in der Nomenklatur zum d. Die ''erste Ableitung'' der algebraischen Gleichung der betreffenden [[Funktion]] ergibt den Steigungswert. Weiteres hier: 
[https://allgemeinbildung.fandom.com/de/wiki/Differentialrechnung]

'''Empirische Verifizierung (Wahrheitsbeweis an einem realen Beispiel):''' ''Gleichförmige Beschleunigung'' in der ''physikalischen Bewegungslehre:''

Gegeben sei ein ''Geschwindigkeits-Diagramm'' mit der Waagrechten s (Strecke, Distanz) und der Senkrechten t (Zeit). Dies mit einer eingezeichneten Funktionskurve der Galilei-Formel (numerisches Beispiel) s = ½ • 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; • t&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. Wird mit diesen Angaben die zur Funktion gehörende Wertetabelle s/t durch Einsetzen der korrekten Zahlen erstellt und dann die ''erste Ableitung'' durchgeführt (v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; = s' = 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; • t &lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt;), dann sieht man im für die erste Ableitung erstellten unteren Funktionsdiagramm (dem ''Beschleunigungs-Diagramm'') mit entsprechender Wertetabelle für die ''Momentan''werte t&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Waagrechte im Diagramm) und v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Senkrechte) folgendes: Die ''Momentan''geschwindigkeit in einem beliebigen Kurven-Punkt des zweiten Diagramms ist gleich hoch wie die ''Durchschnitts''geschwindigkeit der Strecke im ersten Diagramm, auf deren t-Mittelpunkt die Momentangeschwindigkeit im zweiten eingezeichnet ist (die zwei Diagramme können für diese Beobachtung exakt übereinander gestellt und die Punkte  mit senkrechten Geraden verbunden werden).

Damit ist die Richtigkeit des Prinzips der ersten Ableitung empirisch verifiziert. Zu beachten ist, dass der Kurven-Steigungspunkt in der rein mathematischen Analyse zur Momentangeschwindigkeit in der physikalischen Konkretisierung wurde (Die Momentangeschw. entspricht der Momentansteigung der Kurve, auch im physikalischen Diagramm). Beide Sachverhalte können also graphisch mit mehr oder weniger gleichen Diagrammen dargestellt werden, die Nomenklatur ist vor allem verschieden.


'''Stichworte:''' [[Kurvendiskussion|Kurvenuntersuchung]] - [[Tangentialpunkt der Steigung]] - [[Ableitung]] -  [[Momentanwert]]     


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Die '''Differentialrechnung''' ist ein Gebiet der höheren Mathematik und gehört zur [[Analysis]]. Es geht dabei im Grundsatz darum, Steigungswerte in Punkten von Kurven des [[Funktionsgraph]]en zu bestimmen. Dabei wird ein absoluter geometrischer Steigungswert Δ x/y so lange einem Steigungs''punkt'' angenähert, bis er mit dem Punkt deckungsgleich ist ([[Grenzwert]]). Das Delta wird so in der Nomenklatur zum d. Die ''erste Ableitung'' der algebraischen Gleichung der betreffenden [[Funktion]] ergibt den Steigungswert. Weiteres hier: 
[https://allgemeinbildung.fandom.com/de/wiki/Differentialrechnung]

'''Empirische Verifizierung (Wahrheitsbeweis an einem realen Beispiel):''' ''Gleichförmige Beschleunigung'' in der ''physikalischen Bewegungslehre:''

Gegeben sei ein ''Geschwindigkeits-Diagramm'' mit der Waagrechten s (Strecke, Distanz) und der Senkrechten t (Zeit). Dies mit einer eingezeichneten Funktionskurve der Galilei-Formel (numerisches Beispiel) s = ½ • 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; • t&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. Wird mit diesen Angaben die zur Funktion gehörende Wertetabelle s/t durch Einsetzen der korrekten Zahlen erstellt und dann die ''erste Ableitung'' durchgeführt (v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; = s' = 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; • t &lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt;), dann sieht man im für die erste Ableitung erstellten unteren Funktionsdiagramm (dem ''Beschleunigungs-Diagramm'') mit entsprechender Wertetabelle für die ''Momentan''werte t&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Waagrechte im Diagramm) und v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Senkrechte) folgendes: Die ''Momentan''geschwindigkeit in einem beliebigen Kurven-Punkt des zweiten Diagramms ist gleich hoch wie die ''Durchschnitts''geschwindigkeit der Strecke im ersten Diagramm, auf deren t-Mittelpunkt die Momentangeschwindigkeit im zweiten eingezeichnet ist (die zwei Diagramme können für diese Beobachtung exakt übereinander gestellt und die Punkte  mit senkrechten Geraden verbunden werden).

Damit ist die Richtigkeit des Prinzips der ersten Ableitung empirisch verifiziert. Zu beachten ist, dass der Kurven-Steigungspunkt in der rein mathematischen Analyse zur Momentangeschwindigkeit in der physikalischen Konkretisierung wurde (Die Momentangeschw. entspricht der Momentansteigung der Kurve, auch im physikalischen Diagramm). Beide Sachverhalte können also graphisch mit mehr oder weniger gleichen Diagrammen dargestellt werden - verschieden sind die  Nomenklatur sowie der Umstand, dass die mathematische Kurve konkav verläuft, die physikalische konvex.


'''Stichworte:''' [[Kurvendiskussion|Kurvenuntersuchung]] - [[Tangentialpunkt der Steigung]] - [[Ableitung]] -  [[Momentanwert]]     


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Die '''Differentialrechnung''' ist ein Gebiet der höheren Mathematik und gehört zur [[Analysis]]. Es geht dabei im Grundsatz darum, Steigungswerte in Punkten von Kurven des [[Funktionsgraph]]en zu bestimmen. Dabei wird ein absoluter geometrischer Steigungswert Δ x/y so lange einem Steigungs''punkt'' angenähert, bis er mit dem Punkt deckungsgleich ist ([[Grenzwert]]). Das Delta wird so in der Nomenklatur zum d. Die ''erste Ableitung'' der algebraischen Gleichung der betreffenden [[Funktion]] ergibt den Steigungswert. Weiteres hier: 
[https://allgemeinbildung.fandom.com/de/wiki/Differentialrechnung]

'''Empirische Verifizierung (Wahrheitsbeweis an einem realen Beispiel):''' ''Gleichförmige Beschleunigung'' in der ''physikalischen Bewegungslehre:''

Gegeben sei ein ''Geschwindigkeits-Diagramm'' mit der Waagrechten s (Strecke, Distanz) und der Senkrechten t (Zeit). Dies mit einer eingezeichneten Funktionskurve der Galilei-Formel (numerisches Beispiel) s = ½ • 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; • t&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. Wird mit diesen Angaben die zur Funktion gehörende Wertetabelle s/t durch Einsetzen der korrekten Zahlen erstellt und dann die ''erste Ableitung'' durchgeführt (v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; = s' = 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; • t &lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt;), dann sieht man im für die erste Ableitung erstellten unteren Funktionsdiagramm (dem ''Beschleunigungs-Diagramm'') mit entsprechender Wertetabelle für die ''Momentan''werte t&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Waagrechte im Diagramm) und v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Senkrechte) folgendes: Die ''Momentan''geschwindigkeit in einem beliebigen Punkt der - linearen - unteren  Ableitungs-Funktion ist doppelt so hoch wie die ''Durchschnitts''geschwindigkeit der Strecke im oberen Diagramm, auf deren t-Mittelpunkt die Momentangeschwindigkeit im unteren eingezeichnet ist (die zwei Diagramme können für diese Beobachtung exakt übereinander gestellt und die Punkte  mit senkrechten Geraden verbunden werden). Dies, weil die jeweilige Momentangeschwindigkeit jeweils den Maximalwert der zugehörigen vorgelagerten Durchschnittsgeschw. darstellt.   

Damit ist die Richtigkeit des Prinzips der ersten Ableitung empirisch verifiziert. Zu beachten ist, dass der Kurven-Steigungspunkt in der rein mathematischen Analyse zur Momentangeschwindigkeit in der physikalischen Konkretisierung wurde (Die Momentangeschw. entspricht der Momentansteigung der Kurve, auch im physikalischen Diagramm). Beide Sachverhalte können also graphisch mit mehr oder weniger gleichen Diagrammen dargestellt werden - verschieden sind die  Nomenklatur sowie der Umstand, dass die mathematische Kurve konkav verläuft, die physikalische konvex.


'''Stichworte:''' [[Kurvendiskussion|Kurvenuntersuchung]] - [[Tangentialpunkt der Steigung]] - [[Ableitung]] -  [[Momentanwert]]     


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Die '''Differentialrechnung''' ist ein Gebiet der höheren Mathematik und gehört zur [[Analysis]]. Es geht dabei im Grundsatz darum, Steigungswerte in Punkten von Kurven des [[Funktionsgraph]]en zu bestimmen. Dabei wird ein absoluter geometrischer Steigungswert Δ x/y so lange einem Steigungs''punkt'' angenähert, bis er mit dem Punkt deckungsgleich ist ([[Grenzwert]]). Das Delta wird so in der Nomenklatur zum d. Die ''erste Ableitung'' der algebraischen Gleichung der betreffenden [[Funktion]] ergibt den Steigungswert. Weiteres hier: 
[https://allgemeinbildung.fandom.com/de/wiki/Differentialrechnung]

'''Empirische Verifizierung (Wahrheitsbeweis an einem realen Beispiel):''' ''Gleichförmige Beschleunigung'' in der ''physikalischen Bewegungslehre:''

Gegeben sei ein ''Geschwindigkeits-Diagramm'' mit der Waagrechten s (Strecke, Distanz) und der Senkrechten t (Zeit). Dies mit einer eingezeichneten Funktionskurve der Galilei-Formel (numerisches Beispiel) s = ½ • 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; • t&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. Wird mit diesen Angaben die zur Funktion gehörende Wertetabelle s/t durch Einsetzen der korrekten Zahlen erstellt und dann die ''erste Ableitung'' durchgeführt (v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; = s' = 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; • t &lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt;), dann sieht man im für die erste Ableitung erstellten unteren Funktionsdiagramm (dem ''Beschleunigungs-Diagramm'') mit entsprechender Wertetabelle für die ''Momentan''werte t&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Waagrechte im Diagramm) und v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Senkrechte) folgendes: Die ''Momentan''geschwindigkeit in einem beliebigen Punkt der - linearen - unteren  Ableitungs-Funktion ist doppelt so hoch wie die ''Durchschnitts''geschwindigkeit der Strecke im oberen Diagramm, auf deren t-Mittelpunkt die Momentangeschwindigkeit im unteren eingezeichnet ist (die zwei Diagramme können für diese Beobachtung wie oben exakt übereinander gestellt und die Punkte mit senkrechten Hilfsgeraden verbunden werden). Dies, weil die jeweilige Momentangeschwindigkeit jeweils den Maximalwert der zugehörigen vorgelagerten Durchschnittsgeschw. darstellt.   

Damit ist die Richtigkeit des Prinzips der ersten Ableitung empirisch verifiziert. Zu beachten ist, dass der Kurven-Steigungspunkt in der rein mathematischen Analyse zur Momentangeschwindigkeit in der physikalischen Konkretisierung wurde (Die Momentangeschw. entspricht der Momentansteigung der Kurve, auch im physikalischen Diagramm). Beide Sachverhalte können also graphisch mit mehr oder weniger gleichen Diagrammen dargestellt werden - verschieden sind die  Nomenklatur sowie der Umstand, dass die mathematische Kurve konkav verläuft, die physikalische konvex.


'''Stichworte:''' [[Kurvendiskussion|Kurvenuntersuchung]] - [[Tangentialpunkt der Steigung]] - [[Ableitung]] -  [[Momentanwert]]     


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Die '''Differentialrechnung''' ist ein Gebiet der höheren Mathematik und gehört zur [[Analysis]]. Es geht dabei im Grundsatz darum, Steigungswerte in Punkten von Kurven des [[Funktionsgraph]]en zu bestimmen. Dabei wird ein absoluter geometrischer Steigungswert Δ x/y so lange einem Steigungs''punkt'' angenähert, bis er mit dem Punkt deckungsgleich ist ([[Grenzwert]]). Das Delta wird so in der Nomenklatur zum d. Die ''erste Ableitung'' der algebraischen Gleichung der betreffenden [[Funktion]] ergibt den Steigungswert. Weiteres hier: 
[https://allgemeinbildung.fandom.com/de/wiki/Differentialrechnung]

'''Empirische Verifizierung (Wahrheitsbeweis an einem realen Beispiel):''' ''Gleichförmige Beschleunigung'' in der ''physikalischen Bewegungslehre:''

Gegeben sei ein ''Geschwindigkeits-Diagramm'' mit der Waagrechten t (Zeit) und der Senkrechten s (Distanz). Dies mit einer eingezeichneten Funktionskurve der Galilei-Formel (numerisches Beispiel) s = ½ • 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; • t&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. Wird mit diesen Angaben die zur Funktion gehörende Wertetabelle s/t durch Einsetzen der korrekten Zahlen erstellt und dann die ''erste Ableitung'' durchgeführt (v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; = s' = 5 m/sec&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; • t &lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt;), dann sieht man im für die erste Ableitung erstellten unteren Funktionsdiagramm (dem ''Beschleunigungs-Diagramm'') mit entsprechender Wertetabelle für die ''Momentan''werte t&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Waagrechte im Diagramm) und v&lt;sub&gt;Mom&lt;/sub&gt; (Senkrechte) folgendes: Die ''Momentan''geschwindigkeit in einem beliebigen Punkt der - linearen - unteren  Ableitungs-Funktion ist doppelt so hoch wie die ''Durchschnitts''geschwindigkeit der Strecke im oberen Diagramm, auf deren t-Mittelpunkt die Momentangeschwindigkeit im unteren eingezeichnet ist (die zwei Diagramme können für diese Beobachtung wie oben exakt übereinander gestellt und die Punkte mit senkrechten Hilfsgeraden verbunden werden). Dies, weil die jeweilige Momentangeschwindigkeit jeweils den Maximalwert der zugehörigen vorgelagerten Durchschnittsgeschw. darstellt.   

Damit ist die Richtigkeit des Prinzips der ersten Ableitung empirisch verifiziert. Zu beachten ist, dass der Kurven-Steigungspunkt in der rein mathematischen Analyse zur Momentangeschwindigkeit in der physikalischen Konkretisierung wurde (Die Momentangeschw. entspricht der Momentansteigung der Kurve, auch im physikalischen Diagramm). Beide Sachverhalte können also graphisch mit mehr oder weniger gleichen Diagrammen dargestellt werden - verschieden sind die  Nomenklatur sowie der Umstand, dass die mathematische Kurve konkav verläuft, die physikalische konvex.


'''Stichworte:''' [[Kurvendiskussion|Kurvenuntersuchung]] - [[Tangentialpunkt der Steigung]] - [[Ableitung]] -  [[Momentanwert]]     


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    <text bytes="536" xml:space="preserve">Ein Beispiel zur '''Anwendbarkeit der Wahrscheinlichkeitsrechnung''':


Ein Radfahrer überquert regelmässig einen unbewachten ländlichen Bahnübergang, wo auf nur einem Gleis vier Mal pro Stunde ein Zug passiert. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird er überfahren, wenn er drei Sekunden für die Überquerung benötigt - unter der Annahme, er sei à priori unaufmerksam ?

[[Datei:German Train Sign Warning.jpg|thumb]]

''Siehe'' [[Lösung zu Anwendbarkeit der Wahrscheinlichkeitsrechnung]]

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]</text>
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    <text bytes="623" xml:space="preserve">'''Potenzen''' wurden in die Arithmetik eingeführt, um die [[Grundrechenarten|Multiplikation]] zu vereinfachen.

Es kann zwar problemlos 10·10·10 = 1000 formuliert werden; falls aber der Faktor 10 z.B. sieben Mal wiederholt werden soll, wirds umständlich, das  kann nicht nur im Wissenschafts-Bereich nicht mehr effizient gehandhabt werden. Deshalb wird vereinfachend 10&lt;sup&gt;7&lt;/sup&gt; ("10 hoch 7")  geschrieben und gesprochen. 10 ist dabei die Basis, 7 der Exponent/die Hochzahl. Gelegentlich wird für die im Potenzbereich sehr häufig gebrauchte Basis 10 auch der Buchstabe E verwendet.

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    <text bytes="687" xml:space="preserve">'''Potenzen''' wurden in die Arithmetik eingeführt, um die [[Grundrechenarten|Multiplikation]] zu vereinfachen.

Es kann zwar problemlos 10·10·10 = 1000 formuliert werden; falls aber der Faktor 10 z.B. sieben Mal wiederholt werden soll, wirds umständlich, das  kann nicht nur im Wissenschafts-Bereich nicht mehr effizient gehandhabt werden. Deshalb wird vereinfachend 10&lt;sup&gt;7&lt;/sup&gt; ("10 hoch 7")  geschrieben und gesprochen. 10 ist dabei die Basis, 7 der Exponent/die Hochzahl. Gelegentlich wird für die im Potenzbereich sehr häufig gebrauchte Basis 10 auch der Buchstabe E verwendet.

Die Umkehroperation des Potenzierens ist das [[Wurzelziehen]].

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Es kann zwar problemlos 10·10·10 = 1000 formuliert werden; falls aber der Faktor 10 z.B. sieben Mal wiederholt werden soll, wirds umständlich, das  kann nicht nur im Wissenschafts-Bereich nicht mehr effizient gehandhabt werden. Deshalb wird vereinfachend 10&lt;sup&gt;7&lt;/sup&gt; ("10 hoch 7")  geschrieben und gesprochen. 10 ist dabei die Basis, 7 der Exponent/die Hochzahl. Gelegentlich wird für die im Potenzbereich sehr häufig gebrauchte Basis 10 auch der Buchstabe E verwendet.

Die Umkehroperation des Potenzierens ist das [[Wurzelziehen]] (Radizieren).

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    <text bytes="783" xml:space="preserve">'''Potenzen''' wurden in die Arithmetik eingeführt, um die [[Grundrechenarten|Multiplikation]] zu vereinfachen.

Es kann zwar problemlos 10·10·10 = 1000 formuliert werden; falls aber der Faktor 10 z.B. sieben Mal wiederholt werden soll, wirds umständlich, das  kann nicht nur im Wissenschafts-Bereich nicht mehr effizient gehandhabt werden. Deshalb wird vereinfachend 10&lt;sup&gt;7&lt;/sup&gt; ("10 hoch 7")  geschrieben und gesprochen. 10 ist dabei die Basis, 7 der Exponent/die Hochzahl. Gelegentlich wird für die im Potenzbereich sehr häufig gebrauchte Basis 10 auch der Buchstabe E verwendet.

''Bruchpotenzen:''

½&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; → andere Schreibweise: 2&lt;sup&gt;-2&lt;/sup&gt; = ¼


Die Umkehroperation des Potenzierens ist das [[Wurzelziehen]] (Radizieren).

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    <text bytes="797" xml:space="preserve">'''Potenzen''' wurden in die Arithmetik eingeführt, um die [[Grundrechenarten|Multiplikation]] zu vereinfachen.

Es kann zwar problemlos 10·10·10 = 1000 formuliert werden; falls aber der Faktor 10 z.B. sieben Mal wiederholt werden soll, wirds umständlich, das  kann nicht nur im Wissenschafts-Bereich nicht mehr effizient gehandhabt werden. 

Deshalb wird vereinfachend 10&lt;sup&gt;7&lt;/sup&gt; ("10 hoch 7")  geschrieben und gesprochen. 10 ist dabei die Basis, 7 der Exponent/die Hochzahl. Gelegentlich wird für die im Potenzbereich sehr häufig gebrauchte Basis 10 auch der Buchstabe E verwendet.

''Bruchpotenzen:''

Beispiel    ½&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; → andere Schreibweise: 2&lt;sup&gt;-2&lt;/sup&gt; = ¼


Die Umkehroperation des Potenzierens ist das [[Wurzelziehen]] (Radizieren).

[[Kategorie:Grundrechenarten]]</text>
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    <text bytes="801" xml:space="preserve">'''Potenzen''' wurden in die Arithmetik eingeführt, um die [[Grundrechenarten|Multiplikation]] zu vereinfachen.

Es kann zwar problemlos 10·10·10 = 1000 formuliert werden; falls aber der Faktor 10 z.B. sieben Mal wiederholt werden soll, wirds umständlich, das  kann nicht nur im Wissenschafts-Bereich nicht mehr effizient gehandhabt werden. 

Deshalb wird vereinfachend 10&lt;sup&gt;7&lt;/sup&gt; ("10 hoch 7")  geschrieben und gesprochen. 10 ist dabei die Basis, 7 der Exponent/die Hochzahl. Gelegentlich wird für die im Potenzbereich sehr häufig gebrauchte Basis 10 auch der Buchstabe E verwendet.

''Bruchpotenzen:''

Beispiel         ½&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; → andere Schreibweise: 2&lt;sup&gt;-2&lt;/sup&gt; = ¼


Die Umkehroperation des Potenzierens ist das [[Wurzelziehen]] (Radizieren).

[[Kategorie:Grundrechenarten]]</text>
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    <text bytes="805" xml:space="preserve">'''Potenzen''' wurden in die Arithmetik eingeführt, um die [[Grundrechenarten|Multiplikation]] zu vereinfachen.

Es kann zwar problemlos 10·10·10 = 1000 formuliert werden; falls aber der Faktor 10 z.B. sieben Mal wiederholt werden soll, wirds umständlich, das  kann nicht nur im Wissenschafts-Bereich nicht mehr effizient gehandhabt werden. 

Deshalb wird vereinfachend 10&lt;sup&gt;7&lt;/sup&gt; ("10 hoch 7")  geschrieben und gesprochen. 10 ist dabei die Basis, 7 der Exponent/die Hochzahl. Gelegentlich wird für die im Potenzbereich sehr häufig gebrauchte Basis 10 auch der Buchstabe E verwendet.

''Bruchpotenzen:''

Beispiel         ½&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;  →  andere Schreibweise: 2&lt;sup&gt;-2&lt;/sup&gt;  =  ¼


Die Umkehroperation des Potenzierens ist das [[Wurzelziehen]] (Radizieren).

[[Kategorie:Grundrechenarten]]</text>
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    <text bytes="1137" xml:space="preserve">'''Potenzen''' wurden in die Arithmetik eingeführt, um die [[Grundrechenarten|Multiplikation]] zu vereinfachen.

Es kann zwar problemlos 10·10·10 = 1000 formuliert werden; falls aber der Faktor 10 z.B. sieben Mal wiederholt werden soll, wirds umständlich, das  kann nicht nur im Wissenschafts-Bereich nicht mehr effizient gehandhabt werden. 

Deshalb wird vereinfachend 10&lt;sup&gt;7&lt;/sup&gt; ("10 hoch 7")  geschrieben und gesprochen. 10 ist dabei die Basis, 7 der Exponent/die Hochzahl. Gelegentlich wird für die im Potenzbereich sehr häufig gebrauchte Basis 10 auch der Buchstabe E verwendet.

''Bruchpotenzen:''

Beispiel         ½&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;  →  andere Schreibweise: 2&lt;sup&gt;-2&lt;/sup&gt;  =  ¼


Die Umkehroperation des Potenzierens ist übrigens das [[Wurzelziehen]] (Radizieren).


''Multiplikation von Potenzen:''

10&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; x 10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 10&lt;sup&gt;3+2&lt;/sup&gt; = 10&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; → durch Addition der Exponenten

''Division von Potenzen:''

Das selbe Prinzip: durch Subtraktion der Exponenten

''Addition und Subtraktion von Potenzen'' erfolgen nach den Prinzip ''Punkt- vor Strichrechnung''.


[[Kategorie:Grundrechenarten]]</text>
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  <title>Grundrechenarten</title>
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    <text bytes="2196" xml:space="preserve">Die '''Grundrechenarten''' sind Addition (+), Subtraktion (-), Multiplikation (· oder x) und Division (÷). 

====Addition==== 
2 + 1 = 3

Mit realen Gröẞen:   2 Äpfel + 1 Apfel = 3 Äpfel

====Subtraktion====
2 - 1 = 1

Real: Von zwei Äpfeln nehme ich einen weg = noch ein Apfel

====Multiplikation====
3 · 2 = 6

Real: 2 Äpfel + 2 Äpfel + 2 Äpfel = 6 Äpfel  =&gt;  Die Multiplikation entsteht also eigentlich aus einer ''Zählung der  Summanden (Einzelglieder)  einer Addition''.

====Division====
1 ÷ 2 = ½ 

Real: 1 Apfel ÷ 2 , d.h. man zerschneidet 1 Apfel in 2 Hälften. ''Und jetzt Achtung: Die rein arithmetische Operation hält der Realität hier nicht stand!'' Die Operation müsste ''real'' lauten: 1 ÷ 2 = ''2'' ·  ½ ! Da ja ''2'' Apfel-Hälften entstehen! Das wird allerdings in der reinen Arithmetik so nicht berücksichtigt. "Es reicht hier, dass das zu keinen ''arithmetischen'' Widersprüchen führt", wird argumentiert.


Die Punktrechnungen Multiplikation und Division sind im gewissen Fällen Vereinfachungen der Strichrechnungen. Z.B.: Bei gleichen Summanden 2 + 2 + 2 + 2 + 2 =&gt; vereinfachte Operation 5 · 2  Dasselbe gilt übrigens auch für [[Potenz]]en: statt 10 mal eine Multiplikation mit dem Faktor 2 zu schreiben: 2&lt;sup&gt;10&lt;/sup&gt;       

===Spezialfall negative Zahlen===
Sind alleinstehende negative Zahlen - etwa -4 oder oder -1258 - natürliche Zahlen wie die positiven oder bloss irrationale? Darüber wurde in der Geschichte der Mathematik lange gestritten. Leonhard Euler etwa, der Schweizer Mathematiker, plädierte für Ersteres, indem er argumentierte, ''Schulden'' seien ein sehr gutes reales Beispiel für negative Zahlen. 

Unübersichtlicher wirds da schon eher bei den Rechenoperationen mit negativen Zahlen:

4 · -4 = -16   ist einigermassen nachvollziehbar: Vervielfachung einer negativen Zahl wird ebenfalls negativ.

Aber was damit: -4 · -4 = 16 ? Einziges, ziemlich dünnes, logisches Kriterium ist hier: Wenn 4 · -4 = -16 , dann kann -4 · -4 nicht das gleiche Resultat ergeben, also setzen wir ein Pluszeichen davor...   


===Siehe auch===
*[[Grundrechnungsarten auf 1, 2, 3, 4]]
*[[Potenzen]]

[[Kategorie:Grundrechenarten| ]]</text>
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    <text bytes="2537" xml:space="preserve">Die '''Logarithmen''' sind Umformungen von [[Potenzen]], in dem Sinne, dass jeweils der Exponent der Potenz gesucht wird.

 10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 100   wird zu &lt;sup&gt;10&lt;/sup&gt;log 100 = 2

Bei diesem Beispiel hier handelt es sich um den Standard-Logarithmus, den ''10er Logarithmus'' (auch mit lg geschrieben). Es kann aber auch mit anderen gerechnet werden.

'''Anwendung von Logarithmen''' 

10erLogarithmen gelangen vor allem in grafischen wissenschaftlichen Darstellungen (auch Koordinaten-Systemen) zur Anwendung. Sollen etwa auf einer einzelnen Achse stark von einander abweichende Grössen dargestellt werden, so ist das unter Umständen masstäblich genau gar nicht möglich, da dies das verfügbare Betrachtungsfeld (Bildschirm oder Papierblatt) überschreiten würde. Deshalb wird anstelle z.B. der Grösse 100 im obigen Beispiel der Exponent des Logarithmus, also 2, in die Grafik eingetragen; und so weiter-

Beispiel: Es soll die Länge unterscheidlicher Lebewesen auf einer Achse eingetragen werden, vom Virus bis zu einem bis 1 km langen Pilzgeflecht:  

——|——|——|——|——|——|——|——|——|——||——→   


Dies ist die massstäblich korrekte lineare Länge der Achse. || ist die Länge 1 km des Pilzgeflechts. Dann kämen alle anderen Arten, vom Virus bis zum Elefanten, innerhalb des ''ersten'' Segments |——| undifferenziert auf der ''linken'' Seite zu liegen, das mit fast 100 Metern heute grösste Lebewesen, der Blauwal, läge bei der Kerbe rechts dieses Segments. Es ist also ergonomisch unmöglich, Wesen kleiner als der Elefant hier anschaulich einzutragen, sie lägen alle übereinander auf nahezu einem Punkt. 


——|——|——|——|——|——|——|——|——|——|——||——→

10&lt;sup&gt;-6&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;-5&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;-4&lt;/sup&gt;  10&lt;sup&gt;-3&lt;/sup&gt;.........................1  10  10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;


Deshalb gelangt hier die ''Logarithmische Skala'' auf der Achse zur Anwendung. D.h. Es werden nur die ''Exponenten'' (Logarithmen) auf der Achse eingetragen, womit das Ganze derart gestaucht wird, dass ''alle'' Lebewesen, vom extrem kleinen Virus über die Katze und den Elefanten bis zum 1-km-Pilzgeflecht darauf Platz finden (die Potenzeinheit auf der Achse ist Meter). 

Was beachtet werden muss: Die logarithmische Achse ist ''extrem gestaucht'', das massstäbliche Abbild der realen Längen der oberen Achse ist hier unten sehr stark verzerrt. Der korrekten Einschätzung wegen müssten also immer ''beide Achsen miteinander'' abgebildet werden.</text>
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 10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 100   wird zu &lt;sup&gt;10&lt;/sup&gt;log 100 = 2

Bei diesem Beispiel hier handelt es sich um den Standard-Logarithmus, den ''10er Logarithmus'' (auch mit lg geschrieben). Es kann aber auch mit anderen gerechnet werden.

'''Anwendung von Logarithmen''' 

10erLogarithmen gelangen vor allem in grafischen wissenschaftlichen Darstellungen (auch Koordinaten-Systemen) zur Anwendung. Sollen etwa auf einer einzelnen Achse stark von einander abweichende Grössen dargestellt werden, so ist das unter Umständen masstäblich genau gar nicht möglich, da dies das verfügbare Betrachtungsfeld (Bildschirm oder Papierblatt) überschreiten würde. Deshalb wird anstelle z.B. der Grösse 100 im obigen Beispiel der Exponent des Logarithmus, also 2, in die Grafik eingetragen; und so weiter-

Beispiel: Es soll die Länge unterscheidlicher Lebewesen auf einer Achse eingetragen werden, vom Virus bis zu einem bis 1 km langen Pilzgeflecht:  

——|——|——|——|——|——|——|——|——|——||——→   


Dies ist die massstäblich korrekte lineare Länge der Achse. || ist die Länge 1 km des Pilzgeflechts. Dann kämen alle anderen Arten, vom Virus bis zum Elefanten, innerhalb des ''ersten'' Segments |——| undifferenziert auf der ''linken'' Seite zu liegen, das mit fast 100 Metern heute grösste Lebewesen, der Blauwal, läge bei der Kerbe rechts dieses Segments. Es ist also ergonomisch unmöglich, Wesen kleiner als der Elefant hier anschaulich einzutragen, sie lägen alle übereinander auf nahezu einem Punkt. 


——|——|——|——|——|——|——|——|——|——|——||——→

10&lt;sup&gt;-6&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;-5&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;-4&lt;/sup&gt;  10&lt;sup&gt;-3&lt;/sup&gt;.........................1  10  10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;


Deshalb gelangt hier die ''Logarithmische Skala'' auf der Achse zur Anwendung. D.h. Es werden nur die ''Exponenten'' (Logarithmen) auf der Achse eingetragen, womit das Ganze derart gestaucht wird, dass ''alle'' Lebewesen, vom extrem kleinen Virus über die Katze und den Elefanten bis zum 1-km-Pilzgeflecht darauf Platz finden (die Potenzeinheit auf der Achse ist Meter). 

Was beachtet werden muss: Die logarithmische Achse ist ''extrem gestaucht'', das massstäbliche Abbild der realen Längen der oberen Achse ist hier unten sehr stark verzerrt. Der korrekten Einschätzung wegen müssten also immer ''beide Achsen miteinander'' abgebildet werden.
[[Kategorie:Grundrechenarten]]</text>
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 10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 100   wird zu &lt;sup&gt;10&lt;/sup&gt;log 100 = 2

Bei diesem Beispiel hier handelt es sich um den Standard-Logarithmus, den ''10er Logarithmus'' (auch mit lg geschrieben). Es kann aber auch mit anderen gerechnet werden.

'''Anwendung von Logarithmen''' 

10erLogarithmen gelangen vor allem in grafischen wissenschaftlichen Darstellungen (auch Koordinaten-Systemen) zur Anwendung. Sollen etwa auf einer einzelnen Achse stark von einander abweichende Grössen dargestellt werden, so ist das unter Umständen masstäblich genau gar nicht möglich, da dies das verfügbare Betrachtungsfeld (Bildschirm oder Papierblatt) überschreiten würde. Deshalb wird anstelle z.B. der Grösse 100 im obigen Beispiel der Exponent des Logarithmus, also 2, in die Grafik eingetragen; und so weiter-

Beispiel: Es soll die Länge unterscheidlicher Lebewesen auf einer Achse eingetragen werden, vom Virus bis zu einem bis 1 km langen Pilzgeflecht:  

——|——|——|——|——|——|——|——|——|——||——→   


Dies ist die massstäblich korrekte lineare Länge der Achse. || ist die Länge 1 km des Pilzgeflechts. Dann kämen alle anderen Arten, vom Virus bis zum Elefanten, innerhalb des ''ersten'' Segments |——| undifferenziert auf der ''linken'' Seite zu liegen, das mit fast 100 Metern heute grösste Lebewesen, der Blauwal, läge bei der Kerbe rechts dieses Segments. Es ist also ergonomisch unmöglich, Wesen kleiner als der Elefant hier anschaulich einzutragen, sie lägen alle übereinander auf nahezu einem Punkt. 


——|——|——|——|——|——|——|——|——|——|——||——→

10&lt;sup&gt;-6&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;-5&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;-4&lt;/sup&gt;  10&lt;sup&gt;-3&lt;/sup&gt;.........................1  10  10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;


Deshalb gelangt hier die ''Logarithmische Skala'' auf der Achse zur Anwendung. D.h. es werden nur die ''Exponenten'' (Logarithmen) auf der Achse eingetragen, womit das Ganze derart gestaucht wird, dass ''alle'' Lebewesen, vom extrem kleinen Virus über die Katze und den Elefanten bis zum 1-km-Pilzgeflecht darauf Platz finden (die Potenzeinheit auf der Achse ist Meter). 

Was beachtet werden muss: Die logarithmische Achse ist ''extrem gestaucht'', das massstäbliche Abbild der realen Längen der oberen Achse ist hier unten sehr stark verzerrt. Der korrekten Einschätzung wegen müssten also immer ''beide Achsen miteinander'' abgebildet werden.
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 10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 100   wird zu &lt;sup&gt;10&lt;/sup&gt;log 100 = 2

Bei diesem Beispiel hier handelt es sich um den Standard-Logarithmus, den ''10er Logarithmus'' (auch mit lg geschrieben). Es kann aber auch mit anderen gerechnet werden.

'''Anwendung von Logarithmen''' 

10erLogarithmen gelangen vor allem in grafischen wissenschaftlichen Darstellungen (auch Koordinaten-Systemen) zur Anwendung. Sollen etwa auf einer einzelnen Achse stark von einander abweichende Grössen dargestellt werden, so ist das unter Umständen masstäblich genau gar nicht möglich, da dies das verfügbare Betrachtungsfeld (Bildschirm oder Papierblatt) überschreiten würde. Deshalb wird anstelle z.B. der Grösse 100 im obigen Beispiel der Exponent des Logarithmus, also 2, in die Grafik eingetragen; und so weiter.

Beispiel: Es soll die Länge unterscheidlicher Lebewesen auf einer Achse eingetragen werden, vom Virus bis zu einem bis 1 km langen Pilzgeflecht:  

——|——|——|——|——|——|——|——|——|——||——→   


Dies ist die massstäblich korrekte lineare Länge der Achse. || ist die Länge 1 km des Pilzgeflechts. Dann kämen alle anderen Arten, vom Virus bis zum Elefanten, innerhalb des ''ersten'' Segments |——| undifferenziert auf der ''linken'' Seite zu liegen; das mit fast 100 Metern heute grösste Lebewesen, der Blauwal, läge bei der Kerbe rechts dieses Segments. Es ist also ergonomisch unmöglich, Wesen kleiner als der Elefant hier anschaulich einzutragen, sie lägen alle übereinander auf nahezu einem Punkt ganz links. 


——|——|——|——|——|——|——|——|——|——|——||——→

10&lt;sup&gt;-6&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;-5&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;-4&lt;/sup&gt;  10&lt;sup&gt;-3&lt;/sup&gt;.........................1  10  10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;


Deshalb gelangt hier die ''Logarithmische Skala'' auf der Achse zur Anwendung. D.h. es werden nur die ''Exponenten'' (Logarithmen) auf der Achse eingetragen, womit das Ganze derart gestaucht wird, dass ''alle'' Lebewesen, vom extrem kleinen Virus über die Katze und den Elefanten bis zum 1-km-Pilzgeflecht darauf Platz finden (die Potenzeinheit auf der Achse ist Meter). 

Was beachtet werden muss: Die logarithmische Achse ist ''extrem gestaucht'', das massstäbliche Abbild der realen Längen der oberen Achse ist hier unten sehr stark verzerrt. Der korrekten Einschätzung wegen müssten also immer ''beide Achsen miteinander'' abgebildet werden.
[[Kategorie:Grundrechenarten]]</text>
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 10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 100   wird zu &lt;sup&gt;10&lt;/sup&gt;log 100 = 2

Bei diesem Beispiel hier handelt es sich um den Standard-Logarithmus, den ''10er Logarithmus'' (auch mit lg geschrieben). Es kann aber auch mit anderen gerechnet werden.

'''Anwendung von Logarithmen''' 

10erLogarithmen gelangen vor allem in grafischen wissenschaftlichen Darstellungen (auch Koordinaten-Systemen) zur Anwendung. Sollen etwa auf einer einzelnen Achse stark von einander abweichende Grössen dargestellt werden, so ist das unter Umständen masstäblich genau gar nicht möglich, da dies das verfügbare Betrachtungsfeld (Bildschirm oder Papierblatt) überschreiten würde. Deshalb wird anstelle z.B. der Grösse 100 im obigen Beispiel der Exponent des Logarithmus, also 2, in die Grafik eingetragen; und so weiter.

Beispiel: Es soll die Länge unterscheidlicher Lebewesen auf einer Achse eingetragen werden, vom Virus bis zu einem bis 1 km langen Pilzgeflecht:  

——|——|——|——|——|——|——|——|——|——||——→   


Dies ist die massstäblich korrekte lineare Länge der Achse. || ist die Länge 1 km des Pilzgeflechts. Dann kämen alle anderen Arten, vom Virus bis zum Elefanten, innerhalb des ''ersten'' Segments |——| undifferenziert auf der ''linken'' Seite zu liegen; das mit fast 100 Metern heute grösste Lebewesen, der Blauwal, läge bei der Kerbe rechts dieses Segments. Es ist also ergonomisch unmöglich, Wesen kleiner als der Elefant hier anschaulich einzutragen, sie lägen alle übereinander auf nahezu einem Punkt ganz links. 

——|——|——|——|——|——|——|——|——|——|——||——→

10&lt;sup&gt;-6&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;-5&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;-4&lt;/sup&gt;  10&lt;sup&gt;-3&lt;/sup&gt;.........................1  10  10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;


Deshalb gelangt hier die ''Logarithmische Skala'' auf der Achse zur Anwendung. D.h. es werden nur die ''Exponenten'' (Logarithmen) auf der Achse eingetragen, womit das Ganze derart gestaucht wird, dass ''alle'' Lebewesen, vom extrem kleinen Virus über die Katze und den Elefanten bis zum 1-km-Pilzgeflecht darauf Platz finden (die Potenzeinheit auf der Achse ist Meter). 

Was beachtet werden muss: Die logarithmische Achse ist ''extrem gestaucht'', das massstäbliche Abbild der realen Längen der oberen Achse ist hier unten sehr stark verzerrt. Der korrekten Einschätzung wegen müssten also immer ''beide Achsen miteinander'' abgebildet werden.
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 10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 100   wird zu &lt;sup&gt;10&lt;/sup&gt;log 100 = 2

Bei diesem Beispiel hier handelt es sich um den Standard-Logarithmus, den ''10er Logarithmus'' (auch mit lg geschrieben). Es kann aber auch mit anderen gerechnet werden.

'''Anwendung von Logarithmen''' 

10erLogarithmen gelangen vor allem in grafischen wissenschaftlichen Darstellungen (auch Koordinaten-Systemen) zur Anwendung. Sollen etwa auf einer einzelnen Achse stark von einander abweichende Grössen dargestellt werden, so ist das unter Umständen masstäblich genau gar nicht möglich, da dies das verfügbare Betrachtungsfeld (Bildschirm oder Papierblatt) überschreiten würde. Deshalb wird anstelle z.B. der Grösse 100 im obigen Beispiel der Exponent des Logarithmus, also 2, in die Grafik eingetragen; und so weiter.

Beispiel: Es soll die Länge unterschiedlicher Lebewesen auf einer Achse eingetragen werden, vom Virus bis zu einem bis 1 km langen Pilzgeflecht:  

——|——|——|——|——|——|——|——|——|——||——→   


Dies ist die massstäblich korrekte lineare Länge der Achse. || ist die Länge 1 km des Pilzgeflechts. Dann kämen alle anderen Arten, vom Virus bis zum Elefanten, innerhalb des ''ersten'' Segments |——| undifferenziert auf der ''linken'' Seite zu liegen; das mit fast 100 Metern heute grösste Lebewesen, der Blauwal, läge bei der Kerbe rechts dieses Segments. Es ist also ergonomisch unmöglich, Wesen kleiner als der Elefant hier anschaulich einzutragen, sie lägen alle übereinander auf nahezu einem Punkt ganz links. 

——|——|——|——|——|——|——|——|——|——|——||——→

10&lt;sup&gt;-6&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;-5&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;-4&lt;/sup&gt;  10&lt;sup&gt;-3&lt;/sup&gt;.........................1  10  10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;


Deshalb gelangt hier die ''Logarithmische Skala'' auf der Achse zur Anwendung. D.h. es werden nur die ''Exponenten'' (Logarithmen) auf der Achse eingetragen, womit das Ganze derart gestaucht wird, dass ''alle'' Lebewesen, vom extrem kleinen Virus über die Katze und den Elefanten bis zum 1-km-Pilzgeflecht darauf Platz finden (die Potenzeinheit auf der Achse ist Meter). 

Was beachtet werden muss: Die logarithmische Achse ist ''extrem gestaucht'', das massstäbliche Abbild der realen Längen der oberen Achse ist hier unten sehr stark verzerrt. Der korrekten Einschätzung wegen müssten also immer ''beide Achsen miteinander'' abgebildet werden.
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 10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 100   wird zu &lt;sup&gt;10&lt;/sup&gt;log 100 = 2

Bei diesem Beispiel hier handelt es sich um den Standard-Logarithmus, den ''10er Logarithmus'' (auch mit lg geschrieben). Es kann aber auch mit anderen gerechnet werden.

'''Anwendung von Logarithmen''' 

10erLogarithmen gelangen vor allem in grafischen wissenschaftlichen Darstellungen (auch Koordinaten-Systemen) zur Anwendung. Sollen etwa auf einer einzelnen Achse stark von einander abweichende Grössen dargestellt werden, so ist das unter Umständen masstäblich genau gar nicht möglich, da dies das verfügbare Betrachtungsfeld (Bildschirm oder Papierblatt) überschreiten würde. Deshalb wird anstelle z.B. der Grösse 100 im obigen Beispiel der Exponent des Logarithmus, also 2, in die Grafik eingetragen; und so weiter.

Beispiel: Es soll die Länge unterschiedlicher Lebewesen auf einer Achse eingetragen werden, vom Virus bis zu einem bis 1 km langen Pilzgeflecht:  

——|——|——|——|——|——|——|——|——|——||——→   


Dies ist die massstäblich korrekte lineare Länge der Achse. || ist die Länge 1 km des Pilzgeflechts von ganz links her gemessen. Dann kämen alle anderen Arten, vom Virus bis zum Elefanten, innerhalb des ''ersten'' Segments |——| undifferenziert auf der ''linken'' Seite zu liegen; das mit fast 100 Metern heute grösste Lebewesen, der Blauwal, läge bei der Kerbe rechts dieses Segments. Es ist also ergonomisch unmöglich, Wesen kleiner als der Elefant hier anschaulich einzutragen, sie lägen alle übereinander auf nahezu einem Punkt ganz links. 

——|——|——|——|——|——|——|——|——|——|——||——→

10&lt;sup&gt;-6&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;-5&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;-4&lt;/sup&gt;  10&lt;sup&gt;-3&lt;/sup&gt;.........................1  10  10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;


Deshalb gelangt hier die ''Logarithmische Skala'' auf der Achse zur Anwendung. D.h. es werden nur die ''Exponenten'' (Logarithmen) auf der Achse eingetragen, womit das Ganze derart gestaucht wird, dass ''alle'' Lebewesen, vom extrem kleinen Virus über die Katze und den Elefanten bis zum 1-km-Pilzgeflecht darauf Platz finden (die Potenzeinheit auf der Achse ist Meter). 

Was beachtet werden muss: Die logarithmische Achse ist ''extrem gestaucht'', das massstäbliche Abbild der realen Längen der oberen Achse ist hier unten sehr stark verzerrt. Der korrekten Einschätzung wegen müssten also immer ''beide Achsen miteinander'' abgebildet werden.
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 10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 100   wird zu &lt;sup&gt;10&lt;/sup&gt;log 100 = 2

Bei diesem Beispiel hier handelt es sich um den Standard-Logarithmus, den ''10er Logarithmus'' (auch mit lg geschrieben). Es kann aber auch mit anderen gerechnet werden.

'''Anwendung von Logarithmen''' 

10erLogarithmen gelangen vor allem in grafischen wissenschaftlichen Darstellungen (auch Koordinaten-Systemen) zur Anwendung. Sollen etwa auf einer einzelnen Achse stark von einander abweichende Grössen dargestellt werden, so ist das unter Umständen masstäblich genau gar nicht möglich, da dies das verfügbare Betrachtungsfeld (Bildschirm oder Papierblatt) überschreiten würde. Deshalb wird anstelle z.B. der Grösse 100 im obigen Beispiel der Exponent des Logarithmus, also 2, in die Grafik eingetragen; und so weiter.

Beispiel: Es soll die Länge unterschiedlicher Lebewesen auf einer Achse eingetragen werden, vom Virus bis zu einem bis 1 km langen Pilzgeflecht:  

——|——|——|——|——|——|——|——|——|——||——→   


Dies ist die massstäblich korrekte lineare Länge der Achse. || ist die Länge 1 km des Pilzgeflechts von ganz links her gemessen. Dann kämen alle anderen Arten, vom Virus bis zum Elefanten, innerhalb des ''ersten'' Segments ——| undifferenziert auf der ''linken'' Seite zu liegen; das mit fast 100 Metern heute grösste Lebewesen, der Blauwal, läge bei der Kerbe rechts dieses Segments. Es ist also ergonomisch unmöglich, Wesen kleiner als der Elefant hier anschaulich einzutragen, sie lägen alle übereinander auf nahezu einem Punkt ganz links. 

——|——|——|——|——|——|——|——|——|——|——||——→

10&lt;sup&gt;-6&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;-5&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;-4&lt;/sup&gt;  10&lt;sup&gt;-3&lt;/sup&gt;.........................1  10  10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;


Deshalb gelangt hier die ''Logarithmische Skala'' auf der Achse zur Anwendung. D.h. es werden nur die ''Exponenten'' (Logarithmen) auf der Achse eingetragen, womit das Ganze derart gestaucht wird, dass ''alle'' Lebewesen, vom extrem kleinen Virus über die Katze und den Elefanten bis zum 1-km-Pilzgeflecht darauf Platz finden (die Potenzeinheit auf der Achse ist Meter). 

Was beachtet werden muss: Die logarithmische Achse ist ''extrem gestaucht'', das massstäbliche Abbild der realen Längen der oberen Achse ist hier unten sehr stark verzerrt. Der korrekten Einschätzung wegen müssten also immer ''beide Achsen miteinander'' abgebildet werden.
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    <text bytes="2611" xml:space="preserve">Die '''Logarithmen''' sind Umformungen von [[Potenzen]], in dem Sinne, dass jeweils der Exponent der Potenz gesucht wird.

 10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 100   wird zu &lt;sup&gt;10&lt;/sup&gt;log 100 = 2

Bei diesem Beispiel hier handelt es sich um den Standard-Logarithmus, den ''10er Logarithmus'' (auch mit lg geschrieben). Es kann aber auch mit anderen gerechnet werden.

'''Anwendung von Logarithmen''' 

10erLogarithmen gelangen vor allem in grafischen wissenschaftlichen Darstellungen (auch Koordinaten-Systemen) zur Anwendung. Sollen etwa auf einer einzelnen Achse stark von einander abweichende Grössen dargestellt werden, so ist das unter Umständen masstäblich genau gar nicht möglich, da dies das verfügbare Betrachtungsfeld (Bildschirm oder Papierblatt) überschreiten würde. Deshalb wird anstelle z.B. der Grösse 100 im obigen Beispiel der Exponent des Logarithmus, also 2, in die Grafik eingetragen; und so weiter.

Beispiel: Es soll die Länge unterschiedlicher Lebewesen auf einer Achse eingetragen werden, vom Virus bis zu einem bis 1 km langen Pilzgeflecht:  

——|——|——|——|——|——|——|——|——|——||——→   


Dies ist die massstäblich korrekte lineare Länge der Achse. || ist die Länge 1 km des Pilzgeflechts von ganz links her gemessen. Dann kämen alle anderen Arten, vom Virus bis zum Elefanten, innerhalb des ''ersten'' Segments ——| undifferenziert auf der ''linken'' Seite zu liegen; das mit fast 100 Metern heute grösste Lebewesen, der Blauwal, läge bei der Kerbe rechts dieses Segments. Es ist also ergonomisch unmöglich, Wesen kleiner als der Elefant hier anschaulich einzutragen, sie lägen alle übereinander auf nahezu einem Punkt ganz links. 

——|——|——|——|——|——|——|——|——|——|——||——→

10&lt;sup&gt;-6&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;-5&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;-4&lt;/sup&gt;  10&lt;sup&gt;-3&lt;/sup&gt;.........................1  10  10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;


Deshalb gelangt die ''Logarithmische Skala'' auf der Achse zur Anwendung. D.h. es werden nur die ''Exponenten'' (Logarithmen) auf der Achse eingetragen, womit das Ganze derart gestaucht wird, dass ''alle'' Lebewesen, vom extrem kleinen Virus über die Katze und den Elefanten bis zum 1-km-Pilzgeflecht darauf Platz finden (die [[Potenzen|Potenz]]einheit auf der Achse ist Meter). 

Was beachtet werden muss: Die logarithmische Achse ist ''extrem gestaucht'', das massstäbliche Abbild der realen Längen der oberen Achse ist hier unten sehr stark verzerrt. Der korrekten Einschätzung wegen müssten also immer ''beide Achsen miteinander'' abgebildet werden.
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 10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 100   wird zu &lt;sup&gt;10&lt;/sup&gt;log 100 = 2

Bei diesem Beispiel hier handelt es sich um den Standard-Logarithmus, den ''10er Logarithmus'' (auch mit lg geschrieben). Es kann aber auch mit anderen gerechnet werden.

'''Anwendung von Logarithmen''' 

10erLogarithmen gelangen vor allem in grafischen wissenschaftlichen Darstellungen (auch Koordinaten-Systemen) zur Anwendung. Sollen etwa auf einer einzelnen Achse stark von einander abweichende Grössen dargestellt werden, so ist das unter Umständen masstäblich genau gar nicht möglich, da dies das verfügbare Betrachtungsfeld (Bildschirm oder Papierblatt) überschreiten würde. Deshalb wird anstelle z.B. der Grösse 100 im obigen Beispiel der Exponent des Logarithmus, also 2, in die Grafik eingetragen; und so weiter.

Beispiel: Es soll die Länge unterschiedlicher Lebewesen auf einer Achse eingetragen werden, vom Virus bis zu einem bis 1 km langen Pilzgeflecht:  

——|——|——|——|——|——|——|——|——|——||——→   


Dies ist die massstäblich korrekte lineare Länge der Achse. || ist die Länge 1 km des Pilzgeflechts von ganz links her gemessen. Somit kämen alle anderen Arten, vom Virus bis zum Elefanten, innerhalb des ''ersten'' Segments ——| undifferenziert auf der ''linken'' Seite zu liegen; das mit fast 100 Metern heute grösste Lebewesen, der Blauwal, läge bei der Kerbe rechts dieses Segments. Es ist also ergonomisch unmöglich, Wesen kleiner als der Elefant hier anschaulich einzutragen, sie lägen alle übereinander auf nahezu einem Punkt ganz links. 

——|——|——|——|——|——|——|——|——|——|——||——→

10&lt;sup&gt;-6&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;-5&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;-4&lt;/sup&gt;  10&lt;sup&gt;-3&lt;/sup&gt;.........................1  10  10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;


Deshalb gelangt die ''Logarithmische Skala'' auf der Achse zur Anwendung. D.h. es werden nur die ''Exponenten'' (Logarithmen) auf der Achse eingetragen, womit das Ganze derart gestaucht wird, dass ''alle'' Lebewesen, vom extrem kleinen Virus über die Katze und den Elefanten bis zum 1-km-Pilzgeflecht darauf Platz finden (die [[Potenzen|Potenz]]einheit auf der Achse ist Meter). 

Was beachtet werden muss: Die logarithmische Achse ist ''extrem gestaucht'', das massstäbliche Abbild der realen Längen der oberen Achse ist hier unten sehr stark verzerrt. Der korrekten Einschätzung wegen müssten also immer ''beide Achsen miteinander'' abgebildet werden.
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 10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 100   wird zu &lt;sup&gt;10&lt;/sup&gt;log 100 = 2

Bei diesem Beispiel hier handelt es sich um den Standard-Logarithmus, den ''10er Logarithmus'' (auch mit lg geschrieben). Es kann aber auch mit anderen gerechnet werden.

'''Anwendung von Logarithmen''' 

10erLogarithmen gelangen vor allem in grafischen wissenschaftlichen Darstellungen (auch Koordinaten-Systemen) zur Anwendung. Sollen etwa auf einer einzelnen Achse stark von einander abweichende Grössen dargestellt werden, so ist das unter Umständen masstäblich genau gar nicht möglich, da dies das verfügbare Betrachtungsfeld (Bildschirm oder Papierblatt) überschreiten würde. Deshalb wird anstelle z.B. der Grösse 100 im obigen Beispiel der Exponent des Logarithmus, also 2, in die Grafik eingetragen; und so weiter.

Beispiel: Es soll die Länge unterschiedlicher Lebewesen auf einer Achse eingetragen werden, vom Virus bis zu einem bis 1 km langen Pilzgeflecht:  

——|——|——|——|——|——|——|——|——|——||——→   


Dies ist die massstäblich korrekte lineare Länge der Achse. || ist die Länge 1 km des Pilzgeflechts von ganz links her gemessen. Somit kämen alle anderen Arten, vom Virus bis zum Elefanten, innerhalb des ''ersten'' Segments ——| undifferenziert auf der ''linken'' Seite zu liegen; das mit fast 100 Metern heute grösste Tier, der Blauwal, läge bei der Kerbe rechts dieses Segments. Es ist also ergonomisch unmöglich, Wesen kleiner als der Elefant hier anschaulich einzutragen, sie lägen alle übereinander auf nahezu einem Punkt ganz links. 

——|——|——|——|——|——|——|——|——|——|——||——→

10&lt;sup&gt;-6&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;-5&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;-4&lt;/sup&gt;  10&lt;sup&gt;-3&lt;/sup&gt;.........................1  10  10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;


Deshalb gelangt die ''Logarithmische Skala'' auf der Achse zur Anwendung. D.h. es werden nur die ''Exponenten'' (Logarithmen) auf der Achse eingetragen, womit das Ganze derart gestaucht wird, dass ''alle'' Lebewesen, vom extrem kleinen Virus über die Katze und den Elefanten bis zum 1-km-Pilzgeflecht darauf Platz finden (die [[Potenzen|Potenz]]einheit auf der Achse ist Meter). 

Was beachtet werden muss: Die logarithmische Achse ist ''extrem gestaucht'', das massstäbliche Abbild der realen Längen der oberen Achse ist hier unten sehr stark verzerrt. Der korrekten Einschätzung wegen müssten also immer ''beide Achsen miteinander'' abgebildet werden.
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 10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 100   wird zu &lt;sup&gt;10&lt;/sup&gt;log 100 = 2

Bei diesem Beispiel hier handelt es sich um den Standard-Logarithmus, den ''10er Logarithmus'' (auch mit lg geschrieben). Es kann aber auch mit anderen gerechnet werden.

'''Anwendung von Logarithmen''' 

10erLogarithmen gelangen vor allem in grafischen wissenschaftlichen Darstellungen (auch Koordinaten-Systemen) zur Anwendung. Sollen etwa auf einer einzelnen Achse stark von einander abweichende Grössen dargestellt werden, so ist das unter Umständen masstäblich genau gar nicht möglich, da dies das verfügbare Betrachtungsfeld (Bildschirm oder Papierblatt) überschreiten würde. Deshalb wird anstelle z.B. der Grösse 100 im obigen Beispiel der Exponent des Logarithmus, also 2, in die Grafik eingetragen; und so weiter.

Beispiel: Es soll die Länge unterschiedlicher Lebewesen auf einer Achse eingetragen werden, vom Virus bis zu einem bis 1 km langen Pilzgeflecht:  

——|——|——|——|——|——|——|——|——|——||——→   


Dies ist die massstäblich korrekte lineare Länge der Achse. || ist die Länge 1 km des Pilzgeflechts von ganz links her gemessen. Somit kämen alle anderen Arten, vom Virus bis zum Elefanten, innerhalb des ''ersten'' Segments ——| undifferenziert auf der ''linken'' Seite zu liegen; das mit fast 100 Metern heute grösste Tier, der Blauwal, läge bei der Kerbe rechts dieses Segments. Es ist also ergonomisch unmöglich, Wesen kleiner als der Elefant hier anschaulich einzutragen, sie lägen alle übereinander auf nahezu einem Punkt ganz links. 

——|——|——|——|——|——|——|——|——|——||——→

10&lt;sup&gt;-6&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;-5&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;-4&lt;/sup&gt;  10&lt;sup&gt;-3&lt;/sup&gt;.........................1  10  10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;


Deshalb gelangt die ''Logarithmische Skala'' auf der Achse zur Anwendung. D.h. es werden nur die ''Exponenten'' (Logarithmen) auf der Achse eingetragen, womit das Ganze derart gestaucht wird, dass ''alle'' Lebewesen, vom extrem kleinen Virus über die Katze und den Elefanten bis zum 1-km-Pilzgeflecht darauf Platz finden (die [[Potenzen|Potenz]]einheit auf der Achse ist Meter; das Virus z.B. ist 10&lt;sup&gt;-6&lt;/sup&gt; Meter lang). 

Was beachtet werden muss: Die logarithmische Achse ist ''extrem gestaucht'', das massstäbliche Abbild der realen Längen der oberen Achse ist hier unten sehr stark verzerrt. Der korrekten Einschätzung wegen müssten also immer ''beide Achsen miteinander'' abgebildet werden.
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 10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 100   wird zu &lt;sup&gt;10&lt;/sup&gt;log 100 = 2

Bei diesem Beispiel hier handelt es sich um den Standard-Logarithmus, den ''10er Logarithmus'' (auch mit lg geschrieben). Es kann aber auch mit anderen gerechnet werden.

'''Anwendung von Logarithmen''' 

10erLogarithmen gelangen vor allem in grafischen wissenschaftlichen Darstellungen (auch Koordinaten-Systemen) zur Anwendung. Sollen etwa auf einer einzelnen Achse stark von einander abweichende Grössen dargestellt werden, so ist das unter Umständen masstäblich genau gar nicht möglich, da dies das verfügbare Betrachtungsfeld (Bildschirm oder Papierblatt) überschreiten würde. Deshalb wird anstelle z.B. der Grösse 100 im obigen Beispiel der Exponent des Logarithmus, also 2, in die Grafik eingetragen; und so weiter.

Beispiel: Es soll die Länge unterschiedlicher Lebewesen auf einer Achse eingetragen werden, vom Virus bis zu einem bis 1 km langen Pilzgeflecht:  

——|——|——|——|——|——|——|——|——|——||——→   


Dies ist die massstäblich korrekte lineare Länge der Achse. || ist die Länge 1 km des Pilzgeflechts von ganz links her gemessen. Somit kämen alle anderen Arten, vom Virus bis zum Elefanten, innerhalb des ''ersten'' Segments ——| undifferenziert auf der ''linken'' Seite zu liegen; das mit fast 100 Metern heute grösste Tier, der Blauwal, läge bei der Kerbe rechts dieses Segments. Es ist also ergonomisch unmöglich, Wesen kleiner als der Elefant hier anschaulich einzutragen, sie lägen alle übereinander auf nahezu einem Punkt ganz links. 

——|——|——|——|——|——|——|——|——|——||——→

10&lt;sup&gt;-6&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;-5&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;-4&lt;/sup&gt;  10&lt;sup&gt;-3&lt;/sup&gt;.........................1  10  10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;


Deshalb gelangt die ''Logarithmische Skala'' auf der Achse zur Anwendung. D.h. es werden nur die ''Exponenten'' (Logarithmen) auf der Achse eingetragen, womit das Ganze derart gestaucht wird, dass ''alle'' Lebewesen, vom extrem kleinen Virus über die Katze und den Elefanten bis zum 1-km-Pilzgeflecht darauf Platz finden (die [[Potenzen|Potenz]]einheit auf der Achse ist Meter; das Virus z.B. ist 10&lt;sup&gt;-6&lt;/sup&gt; Meter lang). 

Was beachtet werden muss: Die logarithmische Achse ist ''extrem gestaucht'', das massstäbliche Abbild der realen Längen der oberen Achse ist hier unten sehr stark verzerrt. Der korrekten Einschätzung wegen müssten also immer ''beide Achsen miteinander'' abgebildet werden.

==Quelle==
z.B. mathe-online.at

[[Kategorie:Grundrechenarten]]</text>
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    <text bytes="2707" xml:space="preserve">Die '''Logarithmen''' sind Umformungen von [[Potenzen]], in dem Sinne, dass jeweils der Exponent der Potenz gesucht wird.

 10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 100   wird zu &lt;sup&gt;10&lt;/sup&gt;log 100 = 2

Bei diesem Beispiel hier handelt es sich um den Standard-Logarithmus, den ''10er Logarithmus'' (auch mit lg geschrieben). Es kann aber auch mit anderen gerechnet werden.

'''Anwendung von Logarithmen''' 

10erLogarithmen gelangen vor allem in grafischen wissenschaftlichen Darstellungen (auch Koordinaten-Systemen) zur Anwendung. Sollen etwa auf einer einzelnen Achse stark von einander abweichende Grössen dargestellt werden, so ist das unter Umständen masstäblich genau gar nicht möglich, da dies das verfügbare Betrachtungsfeld (Bildschirm oder Papierblatt) überschreiten würde. Deshalb wird anstelle z.B. der Grösse 100 im obigen Beispiel der Exponent des Logarithmus, also 2, in die Grafik eingetragen; und so weiter.

Beispiel: Es soll die Länge unterschiedlicher Lebewesen auf einer Achse eingetragen werden, vom Virus bis zu einem bis 1 km langen Pilzgeflecht:  

——|——|——|——|——|——|——|——|——|——||——→   


Dies ist die massstäblich korrekte lineare Länge der Achse. || ist die Länge 1 km des Pilzgeflechts von ganz links her gemessen. Somit kämen alle anderen Arten, vom Virus bis zum Elefanten, innerhalb des ''ersten'' Segments ——| undifferenziert auf der ''linken'' Seite zu liegen; das mit fast 100 Metern heute grösste Tier, der Blauwal, läge bei der Kerbe rechts dieses Segments. Es ist also ergonomisch unmöglich, Wesen kleiner als der Elefant hier anschaulich einzutragen, sie lägen alle übereinander auf nahezu einem Punkt ganz links. 

——|——|——|——|——|——|——|——|——|——||——→

10&lt;sup&gt;-6&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;-5&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;-4&lt;/sup&gt;  10&lt;sup&gt;-3&lt;/sup&gt;.........................1  10  10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;


Deshalb gelangt die ''Logarithmische Skala'' auf der Achse zur Anwendung. D.h. es werden nur die ''Exponenten'' (Logarithmen) auf der Achse eingetragen, womit das Ganze derart gestaucht wird, dass ''alle'' Lebewesen, vom extrem kleinen Virus über die Katze und den Elefanten bis zum 1-km-Pilzgeflecht (bei 10&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;)  darauf Platz finden (die [[Potenzen|Potenz]]einheit auf der Achse ist Meter; das Virus z.B. ist 10&lt;sup&gt;-6&lt;/sup&gt; Meter lang). 

Was beachtet werden muss: Die logarithmische Achse ist ''extrem gestaucht'', das massstäbliche Abbild der ''realen'' Längen der oberen Achse ist hier unten sehr stark verzerrt. Der korrekten Einschätzung wegen müssten also immer ''beide Achsen miteinander'' abgebildet werden.

==Quelle==
z.B. mathe-online.at

[[Kategorie:Grundrechenarten]]</text>
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    <text bytes="2706" xml:space="preserve">Die '''Logarithmen''' sind Umformungen von [[Potenzen]], in dem Sinne, dass jeweils der Exponent der Potenz gesucht wird.

 10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 100   wird zu &lt;sup&gt;10&lt;/sup&gt;log 100 = 2

Bei diesem Beispiel hier handelt es sich um den Standard-Logarithmus, den ''10er Logarithmus'' (auch mit lg geschrieben). Es kann aber auch mit anderen gerechnet werden.

'''Anwendung von Logarithmen''' 

10erLogarithmen gelangen vor allem in grafischen wissenschaftlichen Darstellungen (auch Koordinaten-Systemen) zur Anwendung. Sollen etwa auf einer einzelnen Achse stark von einander abweichende Grössen dargestellt werden, so ist das unter Umständen masstäblich genau gar nicht möglich, da dies das verfügbare Betrachtungsfeld (Bildschirm oder Papierblatt) überschreiten würde. Deshalb wird anstelle z.B. der Grösse 100 im obigen Beispiel der Exponent des Logarithmus, also 2, in die Grafik eingetragen; und so weiter.

Beispiel: Es soll die Länge unterschiedlicher Lebewesen auf einer Achse eingetragen werden, vom Virus bis zu einem bis 1 km langen Pilzgeflecht:  

——|——|——|——|——|——|——|——|——|——||——→   


Dies ist die massstäblich korrekte lineare Länge der Achse. || ist die Länge 1 km des Pilzgeflechts von ganz links her gemessen. Somit kämen alle anderen Arten, vom Virus bis zum Elefanten, innerhalb des ''ersten'' Segments ——| undifferenziert auf der ''linken'' Seite zu liegen; das mit fast 100 Metern heute grösste Tier, der Blauwal, läge bei der Kerbe rechts dieses Segments. Es ist also ergonomisch unmöglich, Wesen kleiner als der Elefant hier anschaulich einzutragen, sie lägen alle übereinander auf nahezu einem Punkt ganz links. 

——|——|——|——|——|——|——|——|——|——||——→

10&lt;sup&gt;-6&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;-5&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;-4&lt;/sup&gt;  10&lt;sup&gt;-3&lt;/sup&gt;.........................1  10  10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;


Deshalb gelangt die ''Logarithmische Skala'' auf der Achse zur Anwendung. D.h. es werden nur die ''Exponenten'' (Logarithmen) auf der Achse eingetragen, womit das Ganze derart gestaucht wird, dass ''alle'' Lebewesen, vom extrem kleinen Virus über die Katze und den Elefanten bis zum 1-km-Pilzgeflechtb (bei 10&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;)  darauf Platz finden Die [[Potenzen|Potenz]]einheit auf der Achse ist Meter; das Virus z.B. ist 10&lt;sup&gt;-6&lt;/sup&gt; Meter lang. 

Was beachtet werden muss: Die logarithmische Achse ist ''extrem gestaucht'', das massstäbliche Abbild der ''realen'' Längen der oberen Achse ist hier unten sehr stark verzerrt. Der korrekten Einschätzung wegen müssten also immer ''beide Achsen miteinander'' abgebildet werden.

==Quelle==
z.B. mathe-online.at

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    <text bytes="2706" xml:space="preserve">Die '''Logarithmen''' sind Umformungen von [[Potenzen]], in dem Sinne, dass jeweils der Exponent der Potenz gesucht wird.

 10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 100   wird zu &lt;sup&gt;10&lt;/sup&gt;log 100 = 2

Bei diesem Beispiel hier handelt es sich um den Standard-Logarithmus, den ''10er Logarithmus'' (auch mit lg geschrieben). Es kann aber auch mit anderen gerechnet werden.

'''Anwendung von Logarithmen''' 

10erLogarithmen gelangen vor allem in grafischen wissenschaftlichen Darstellungen (auch Koordinaten-Systemen) zur Anwendung. Sollen etwa auf einer einzelnen Achse stark von einander abweichende Grössen dargestellt werden, so ist das unter Umständen masstäblich genau gar nicht möglich, da dies das verfügbare Betrachtungsfeld (Bildschirm oder Papierblatt) überschreiten würde. Deshalb wird anstelle z.B. der Grösse 100 im obigen Beispiel der Exponent des Logarithmus, also 2, in die Grafik eingetragen; und so weiter.

Beispiel: Es soll die Länge unterschiedlicher Lebewesen auf einer Achse eingetragen werden, vom Virus bis zu einem bis 1 km langen Pilzgeflecht:  

——|——|——|——|——|——|——|——|——|——||——→   


Dies ist die massstäblich korrekte lineare Länge der Achse. || ist die Länge 1 km des Pilzgeflechts von ganz links her gemessen. Somit kämen alle anderen Arten, vom Virus bis zum Elefanten, innerhalb des ''ersten'' Segments ——| undifferenziert auf der ''linken'' Seite zu liegen; das mit fast 100 Metern heute grösste Tier, der Blauwal, läge bei der Kerbe rechts dieses Segments. Es ist also ergonomisch unmöglich, Wesen kleiner als der Elefant hier anschaulich einzutragen, sie lägen alle übereinander auf nahezu einem Punkt ganz links. 

——|——|——|——|——|——|——|——|——|——||——→

10&lt;sup&gt;-6&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;-5&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;-4&lt;/sup&gt;  10&lt;sup&gt;-3&lt;/sup&gt;.........................1  10  10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;


Deshalb gelangt die ''Logarithmische Skala'' auf der Achse zur Anwendung. D.h. es werden nur die ''Exponenten'' (Logarithmen) auf der Achse eingetragen, womit das Ganze derart gestaucht wird, dass ''alle'' Lebewesen, vom extrem kleinen Virus über die Katze und den Elefanten bis zum 1-km-Pilzgeflecht (bei 10&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;)  darauf Platz finden. Die [[Potenzen|Potenz]]einheit auf der Achse ist Meter; das Virus z.B. ist 10&lt;sup&gt;-6&lt;/sup&gt; Meter lang. 

Was beachtet werden muss: Die logarithmische Achse ist ''extrem gestaucht'', das massstäbliche Abbild der ''realen'' Längen der oberen Achse ist hier unten sehr stark verzerrt. Der korrekten Einschätzung wegen müssten also immer ''beide Achsen miteinander'' abgebildet werden.

==Quelle==
z.B. mathe-online.at

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    <text bytes="2706" xml:space="preserve">Die '''Logarithmen''' sind Umformungen von [[Potenzen]], in dem Sinne, dass jeweils der Exponent der Potenz gesucht wird.

 10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 100   wird zu &lt;sup&gt;10&lt;/sup&gt;log 100 = 2

Bei diesem Beispiel hier handelt es sich um den Standard-Logarithmus, den ''10er Logarithmus'' (auch mit lg geschrieben). Es kann aber auch mit anderen gerechnet werden.

'''Anwendung von Logarithmen''' 

10erLogarithmen gelangen vor allem in grafischen wissenschaftlichen Darstellungen (auch Koordinaten-Systemen) zur Anwendung. Sollen etwa auf einer einzelnen Achse stark von einander abweichende Grössen dargestellt werden, so ist das unter Umständen masstäblich genau gar nicht möglich, da dies das verfügbare Betrachtungsfeld (Bildschirm oder Papierblatt) überschreiten würde. Deshalb wird anstelle z.B. der Grösse 100 im obigen Beispiel der Exponent des Logarithmus, also 2, in die Grafik eingetragen; und so weiter.

Beispiel: Es soll die Länge unterschiedlicher Lebewesen auf einer Achse eingetragen werden, vom Virus bis zu einem bis 1 km langen Pilzgeflecht:  

——|——|——|——|——|——|——|——|——|——||——→   


Dies ist die massstäblich korrekte lineare Länge der Achse. || ist die Länge 1 km des Pilzgeflechts von ganz links her gemessen. Somit kämen alle anderen Arten, vom Virus bis zum Elefanten, innerhalb des ''ersten'' Segments ——| undifferenziert auf der ''linken'' Seite zu liegen; das mit fast 100 Metern heute grösste Tier, der Blauwal, läge bei der Kerbe rechts dieses Segments. Es ist also ergonomisch unmöglich, Wesen kleiner als der Elefant hier anschaulich einzutragen, sie lägen alle übereinander auf nahezu einem Punkt ganz links. 

——|——|——|——|——|——|——|——|——|——||——→

10&lt;sup&gt;-6&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;-5&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;-4&lt;/sup&gt;  10&lt;sup&gt;-3&lt;/sup&gt;.........................1  10  10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; 10&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;


Deshalb gelangt die ''Logarithmische Skala'' auf der Achse zur Anwendung. D.h. es werden nur die ''Exponenten'' (Logarithmen) auf der Achse eingetragen, womit das Ganze derart gestreckt wird, dass ''alle'' Lebewesen, vom extrem kleinen Virus über die Katze und den Elefanten bis zum 1-km-Pilzgeflecht (bei 10&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;)  darauf Platz finden. Die [[Potenzen|Potenz]]einheit auf der Achse ist Meter; das Virus z.B. ist 10&lt;sup&gt;-6&lt;/sup&gt; Meter lang. 

Was beachtet werden muss: Die logarithmische Achse ist ''extrem gestreckt'', das massstäbliche Abbild der ''realen'' Längen der oberen Achse ist hier unten sehr stark verzerrt. Der korrekten Einschätzung wegen müssten also immer ''beide Achsen miteinander'' abgebildet werden.

==Quelle==
z.B. mathe-online.at

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  <title>Potenzen</title>
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    </contributor>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1142" xml:space="preserve">'''Potenzen''' wurden in die Arithmetik eingeführt, um die [[Grundrechenarten|Multiplikation]] zu vereinfachen.

Es kann zwar problemlos 10·10·10 = 1000 formuliert werden; falls aber der Faktor 10 z.B. sieben Mal wiederholt werden soll, wirds umständlich, das  kann nicht nur im Wissenschafts-Bereich nicht mehr effizient gehandhabt werden. 

Deshalb wird vereinfachend 10&lt;sup&gt;7&lt;/sup&gt; ("10 hoch 7")  geschrieben und gesprochen. 10 ist dabei die Basis, 7 der Exponent/die Hochzahl. Gelegentlich wird für die im Potenzbereich sehr häufig gebrauchte Basis 10 auch der Buchstabe E verwendet.

''Bruchpotenzen:''

 Beispiel         ½&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;  →  andere Schreibweise: 2&lt;sup&gt;-2&lt;/sup&gt;  =  ¼


Die Umkehroperation des Potenzierens ist übrigens das [[Wurzelziehen]] (Radizieren).


''Multiplikation von Potenzen:''

 10&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; x 10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 10&lt;sup&gt;3+2&lt;/sup&gt; = 10&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; → durch Addition der Exponenten


''Division von Potenzen:''

 Das selbe Prinzip: durch Subtraktion der Exponenten


''Addition und Subtraktion von Potenzen'' erfolgen nach den Prinzip ''Punkt- vor Strichrechnung''.


[[Kategorie:Grundrechenarten]]</text>
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  <title>Mathe Wiki</title>
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      <username>GerritH</username>
      <id>5449468</id>
    </contributor>
    <minor/>
    <comment>GerritH verschob die Seite [[WikiMath]] nach [[Mathe Wiki]]</comment>
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* [[:Kategorie:Abituraufgaben|Abituraufgaben]] GK/LK: 12,13


* [[:Kategorie:Denksport|Denksport bzw. nicht zugeordnet]] 

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Bitte geht für Lob und/oder konstruktive Kritik an diesem Projekt auf [http://www.mathematics.de mathematics.de] und schreibt dort ins '''Gästebuch'''.
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=== Willkommen - Das Ziel von WikiMath ===
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    <text bytes="557" xml:space="preserve">warum gibts es noch keinen artikel aber: "Es gibt 11253 registrierte Benutzer."

--Bisher gibt es leider nur vereinzelt Artikel, wie zum Beispiel in der Funktionalanalysis-Kategorie. Das wird sich aber mit der Zeit ändern. Wir hoffen da auf Eure Mithilfe.

--Die vielen registrierten Benutzer beziehen sich sicherlich auf alle Wikis, die auf den Wikia Servern lagern. Also nicht nur auf WikiMath.

-Es waere sicher wuenschenswert das irgendwann einmal abzutrennen? Viele Benutzernamen machen den Eindruck, als waeren Sie automatisch generiert von spambots.</text>
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  <title>Quadratische Gleichungen: Ein Stein fällt in einen Brunnen</title>
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    <text bytes="2368" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach 6s hört man den Aufschlag. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 330m/s. Die Erdbeschleunigung beträgt g = 9,81 m/s².

'''A:''' Beschreiben sie den Vorgang zur Bestimmung der Tiefe.

'''B:''' Wie tief ist der Brunnen.

'''C:''' Zeichnen Sie das Weg/Zeit –Diagramm des Vorgangs.

== Tipps ==


== Lösung ==

1
=== A: Vorgangsbeschreibung ===

Mit einer Stoppuhr misst man die Zeit bis zum Aufprall. Die gemessene Zeit ist die Summe für die Fallzeit und die Zeit, die der Schall braucht um wieder aufzusteigen. Der Weg, den beide zurücklegen müssen, ist der gleiche. Die genaue Vorgehensweise ist im folgenden Punkt erklärt

&lt;nowiki&gt;#&lt;/nowiki&gt;fz

=== B: Berechnung der Brunnentiefe ===

Formel für den freien Fall

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;1&gt;'''


Formel für den Schall

:h = V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;2&gt;'''


Weiter gilt:

:t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; =  5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;'''


Da der Schall die gleiche Strecke zurücklegen muss, wie der Stein kann man die Formeln '''&lt;1&gt;''' und '''&lt;2&gt;''' Gleichsetzen.

:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt;


Und für t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;''' einsetzen.


:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × (5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;)
:
:=&gt; 0 = 1/2 g t² + 330 t -1650


'''Das ist eine quadratische Gleichung mit'''

:'''a''' = g/2
:'''b''' = 330
:'''c''' = -1650

Eingesetzt in die [[Lösungsformel für quadratische Gleichungen]]

:pq Formel

ergibt zwei Lösungen:

:x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;= 4,675s
:x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;= -71,953s

Da es keine negative Fallzeit gibt, muss die Lösung für '''t&lt;sub&gt; fall&lt;/sub&gt; = 4.675s''' sein.

Eingesetzt in '''&lt;1&gt;'''

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt;

:h = ½ × 9,81 m/s² × 4,675s ²


:'''h = 107,20 m'''

'''Die Brunnentiefe ist also 107,20 m'''

=== C: Weg-Zeit-Diagramm ===

[[Bild:stein_brunnen_wegzeit.PNG|1x1px]]
Das Diagramm ist falsch, da zunächst ein freier Fall stattfindet und deshalb die  zugehörige t-h-Kurve eine Parabel sein muss. Nach t=4,684s bleibt dann der Weg konstant (Stein ist am Brunnenboden aufgeschlagen)

==Suchbegriffe==

Quadratische Gleichung, Brunnentiefe, Fallzeit, beschleunigte Bewegung, gleichförmige Bewegung

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==
[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 9]]</text>
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    <text bytes="2368" xml:space="preserve">== Aufgabe ==

Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach 5s hört man den Aufschlag. Die Schallgeschwindigkeit beträgt 330m/s. Die Erdbeschleunigung beträgt g = 9,81 m/s².

'''A:''' Beschreiben sie den Vorgang zur Bestimmung der Tiefe.

'''B:''' Wie tief ist der Brunnen.

'''C:''' Zeichnen Sie das Weg/Zeit –Diagramm des Vorgangs.

== Tipps ==


== Lösung ==

1
=== A: Vorgangsbeschreibung ===

Mit einer Stoppuhr misst man die Zeit bis zum Aufprall. Die gemessene Zeit ist die Summe für die Fallzeit und die Zeit, die der Schall braucht um wieder aufzusteigen. Der Weg, den beide zurücklegen müssen, ist der gleiche. Die genaue Vorgehensweise ist im folgenden Punkt erklärt

&lt;nowiki&gt;#&lt;/nowiki&gt;fz

=== B: Berechnung der Brunnentiefe ===

Formel für den freien Fall

:h = ½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;1&gt;'''


Formel für den Schall

:h = V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;2&gt;'''


Weiter gilt:

:t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; =  5s – t&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;'''


Da der Schall die gleiche Strecke zurücklegen muss, wie der Stein kann man die Formeln '''&lt;1&gt;''' und '''&lt;2&gt;''' Gleichsetzen.

:½ × g × t²&lt;sub&gt;fall&lt;/sub&gt; '''=''' V&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; × t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt;


Und für t&lt;sub&gt;schall&lt;/sub&gt; '''&lt;3&gt;''' einsetzen.


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:
:=&gt; 0 = 1/2 g t² + 330 t -1650


'''Das ist eine quadratische Gleichung mit'''

:'''a''' = g/2
:'''b''' = 330
:'''c''' = -1650

Eingesetzt in die [[Lösungsformel für quadratische Gleichungen]]

:pq Formel

ergibt zwei Lösungen:

:x&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;= 4,675s
:x&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;= -71,953s

Da es keine negative Fallzeit gibt, muss die Lösung für '''t&lt;sub&gt; fall&lt;/sub&gt; = 4.675s''' sein.

Eingesetzt in '''&lt;1&gt;'''

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:h = ½ × 9,81 m/s² × 4,675s ²


:'''h = 107,20 m'''

'''Die Brunnentiefe ist also 107,20 m'''

=== C: Weg-Zeit-Diagramm ===

[[Bild:stein_brunnen_wegzeit.PNG|1x1px]]
Das Diagramm ist falsch, da zunächst ein freier Fall stattfindet und deshalb die  zugehörige t-h-Kurve eine Parabel sein muss. Nach t=4,684s bleibt dann der Weg konstant (Stein ist am Brunnenboden aufgeschlagen)

==Suchbegriffe==

Quadratische Gleichung, Brunnentiefe, Fallzeit, beschleunigte Bewegung, gleichförmige Bewegung

==Quellen==

==ähnliche Aufgaben==
[[Kategorie:Schulmathematik]]
[[Kategorie:Jahrgangsstufe 9]]</text>
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  <title>Diskussion:Lösung zu Anwendbarkeit der Wahrscheinlichkeitsrechnung</title>
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    <comment>Die Seite wurde neu angelegt: „Ein weiteres Beispiel aus dem Alltag: Ich verwende für diese Wikis hier u.a. ein ca. 1000-seitiges Taschenbuch-Lexikon. Aus diesem habe ich rund 20 Seiten ent…“</comment>
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    <text bytes="554" xml:space="preserve">Ein weiteres Beispiel aus dem Alltag: Ich verwende für diese Wikis hier u.a. ein ca. 1000-seitiges Taschenbuch-Lexikon. Aus diesem habe ich rund 20 Seiten entfernt, um sie an anderen Orten gleichen Inhalts abzulegen. Die mathematisch-theoretische Wahrscheinlichkeit, bei einer Suche auf eine dieser fehlenden Seiten zu stossen, ist nach Adam Riese 1 : 50. In Tat und Wahrheit stosse ich aber, seit mir dies auffällt, rund jedes fünfte Mal auf eine solche fehlende Seite ...--[[Spezial:Beiträge/62.202.189.148|62.202.189.148]] 11:01, 8. Mai 2022 (UTC)</text>
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    <text bytes="565" xml:space="preserve">Ein weiteres Beispiel aus dem Alltag: Ich verwende für diese Wikis hier u.a. ein ca. 1000-seitiges Taschenbuch-Lexikon. Aus diesem habe ich rund 20 Seiten entfernt, um sie an anderen Orten gleichen Inhalts abzulegen. Die mathematisch-theoretische Wahrscheinlichkeit, bei einer Suche nach etwas auf eine dieser fehlenden Seiten zu stossen, ist nach Adam Riese 1 : 50. In Tat und Wahrheit stosse ich aber, seit mir dies auffällt, rund jedes fünfte Mal auf eine solche fehlende Seite ...--[[Spezial:Beiträge/62.202.189.148|62.202.189.148]] 11:01, 8. Mai 2022 (UTC)</text>
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    <text bytes="785" xml:space="preserve">Ein weiteres Beispiel aus dem Alltag: Ich verwende für diese Wikis hier u.a. ein ca. 1000-seitiges Taschenbuch-Lexikon. Aus diesem habe ich rund 20 Seiten entfernt, um sie an anderen Orten gleichen Inhalts abzulegen. Die mathematisch-theoretische Wahrscheinlichkeit, bei einer Suche nach etwas auf eine dieser fehlenden Seiten zu stossen, ist nach Adam Riese 1 : 50. In Tat und Wahrheit stosse ich aber, seit mir dies auffällt, rund jedes fünfte Mal auf eine solche fehlende Seite ... Fehlerquote Faktor 5. Die WR-Fachleute würden mir jetzt sagen, ich hätte hier noch viel zu wenig Versuche auf dem Konto, um eine aussagekräftige mathematsche Wahrscheinlichkeit zu erreichen. Hoffentlich stimmts ...  --[[Spezial:Beiträge/62.202.189.148|62.202.189.148]] 11:01, 8. Mai 2022 (UTC)</text>
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    <text bytes="828" xml:space="preserve">Ein weiteres Beispiel aus dem Alltag: Ich verwende für diese Wikis hier u.a. ein ca. 1000-seitiges Taschenbuch-Lexikon. Aus diesem habe ich rund 20 Blätter entfernt, um sie an anderen Orten gleichen Inhalts abzulegen. Die mathematisch-theoretische Wahrscheinlichkeit, bei einer Suche nach etwas auf eine dieser fehlenden Seiten zu stossen, ist nach Adam Riese 1 : 25 (da ja immer eine ''Doppelseite'' fehlt). In Tat und Wahrheit stosse ich aber, seit mir dies auffällt, rund jedes fünfte Mal auf eine solche fehlende Seite ... Fehlerquote Faktor 5. Die WR-Fachleute würden mir jetzt sagen, ich hätte hier noch viel zu wenig Versuche auf dem Konto, um eine aussagekräftige mathematsche Wahrscheinlichkeit zu erreichen. Hoffentlich stimmts ...  --[[Spezial:Beiträge/62.202.189.148|62.202.189.148]] 11:01, 8. Mai 2022 (UTC)</text>
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    <text bytes="828" xml:space="preserve">Ein weiteres Beispiel aus dem Alltag: Ich verwende für diese Wikis hier u.a. ein ca. 1000-seitiges Taschenbuch-Lexikon. Aus diesem habe ich rund 20 Blätter entfernt, um sie an anderen Orten gleichen Inhalts abzulegen. Die mathematisch-theoretische Wahrscheinlichkeit, bei einer Suche nach etwas auf eine dieser fehlenden Seiten zu stossen, ist nach Adam Riese 1 : 25 (da ja immer eine ''Doppelseite'' fehlt). In Tat und Wahrheit stosse ich aber, seit mir dies auffällt, rund jedes fünfte Mal auf eine solche fehlende Seite ... Fehlerquote Faktor 5. Die WR-Fachleute würden mir jetzt sagen, ich hätte hier noch viel zu wenig Versuche auf dem Konto, um eine aussagekräftige mathematsche Wahrscheinlichkeit zu erreichen. Hoffentlich stimmts ...  --[[Spezial:Beiträge/62.202.189.148|62.202.189.148]] 11:01, 8. Mai 2022 (UTC)</text>
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    <comment>Kegel links und Zylinder rechts</comment>
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    <text bytes="76" xml:space="preserve">== Beschreibung ==
Kegel links und Zylinder rechts
== Lizenz ==
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  <title>Kegelschnitte</title>
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    <text bytes="2395" xml:space="preserve">[[Datei:Wiki.webp|thumb|Links ein Kegel]]

==Kegelschnitte und Quadriken==
Der Kegel &lt;math&gt;K=\{r\in\mathbb{R}^3\;:\;||\langle e_3,r\rangle e_z||^2=||r-\langle e_3,r\rangle e_3||^2\}=\{r\in\mathbb{R}^3\;:\;r_1^2+r_2^2=r_3^2\}&lt;/math&gt; wird mit einer Ebene &lt;math&gt;E\,&lt;/math&gt; geschnitten. Man zeige, dass der entstehende Kegelschnitt eine Quadrik (Nullstellengebilde einer quadratischen Funktion) ist. 

===Lösung===
Ist die Ebene in Parameterform gegeben, &lt;math&gt;E=\{c+x e_x+y e_y\in\mathbb{R}^3\;:\;x,y\in\mathbb{R}\}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;c=\begin{pmatrix}0\\0\\c_3\end{pmatrix},e_x,e_y\in\mathbb{R}^3&lt;/math&gt;, dann bilden &lt;math&gt;e_x,e_y\in\mathbb{R}^3&lt;/math&gt; eine Basis des zur Ebene parallelen Unterraums. 
Die Kegelbedingung vereinfacht sich zu
:&lt;math&gt;0=||r-\langle e_3,r\rangle e_3||^2-||\langle e_3,r\rangle e_z||^2=||r||^2-2\langle e_3,r\rangle^2&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=||c+x e_x+y e_y||^2-2(c_3+x e_{x,3}+y e_{y,3})^2&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=||c||^2-2c_3^2+x(2\langle c,e_x\rangle-4c_3e_{x,3})+y(2\langle c,e_y\rangle-4c_3e_{y,3}) +x^2(1-e_{x,3}^2)+y^2(1-e_{y,3}^2)+2xy(\langle e_x,e_y\rangle-2e_{x,3}e_{y,3})&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\left\langle{x\choose y},A{x\choose y}\right\rangle+\left\langle b,{x\choose y}\right\rangle+C&lt;/math&gt;,
mit 
&lt;math&gt;A=\begin{pmatrix}1-e_{x,3}^2&amp;\langle e_x,e_y\rangle-2e_{x,3}e_{y,3}\\
\langle e_x,e_y\rangle-2e_{x,3}e_{y,3}&amp;1-e_{y,3}^2\end{pmatrix}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b=\begin{pmatrix}2\langle c,e_x\rangle-4c_3e_{x,3}\\2\langle c,e_y\rangle-4c_3e_{y,3}\end{pmatrix}&lt;/math&gt;, 
&lt;math&gt;C=||c||^2-2c_3^2\,&lt;/math&gt;

===Suchbegriffe===
Kegelschnitt
===Ähnliche Aufgaben===
==Parametrisierung von Kegelschnitten==
Man zeige, dass &lt;math&gt;r=\frac{l}{1+\epsilon\cos\phi}&lt;/math&gt; einen Kegelschnitt in Polarkoordinaten parametrisiert. 
===Lösung===
Wir machen den Ansatz 
:&lt;math&gt;\frac{(x-c)^2}{a^2}\pm\frac{y^2}{b^2}=1&lt;/math&gt;
mit &lt;math&gt;x=\frac{l\cos\phi}{1+\epsilon\cos\phi}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;y=\frac{l\sin\phi}{1+\epsilon\cos\phi}&lt;/math&gt;.
Die Gleichung 
:&lt;math&gt;0=b^2(l\cos\phi-c)^2\pm a^2(l\sin\phi)^2-a^2b^2(1+\epsilon\cos\phi)^2&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=b^2l^2\cos^2\phi\pm a^2l^2\sin^2\phi-a^2b^2\epsilon^2\cos^2\phi-2b^2lc\cos\phi -2a^2b^2\epsilon\cos\phi+b^2c^2-a^2b^2&lt;/math&gt;
:&lt;math&gt;=\cos^2\phi(l^2(b^2\mp a^2)-a^2b^2\epsilon^2)-2\cos\phi(b^2lc+a^2b^2\epsilon)+b^2c^2\pm a^2l^2-a^2b^2&lt;/math&gt;
muss für alle &lt;math&gt;\phi\,&lt;/math&gt; gelten, also
:&lt;math&gt;lc=-a^2\epsilon\,&lt;/math&gt;, 
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Geometrie]]</text>
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  <title>Grundrechenarten</title>
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    <contributor>
      <username>62.202.190.20</username>
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    </contributor>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2287" xml:space="preserve">Die '''Grundrechenarten''' sind Addition (+), Subtraktion (-), Multiplikation (· oder x) und Division (÷). 

====Addition==== 
2 + 1 = 3

Mit realen Gröẞen:   2 Äpfel + 1 Apfel = 3 Äpfel

====Subtraktion====
2 - 1 = 1

Real: Von zwei Äpfeln nehme ich einen weg = noch ein Apfel

====Multiplikation====
3 · 2 = 6

Real: 2 Äpfel + 2 Äpfel + 2 Äpfel = 6 Äpfel  =&gt;  Die Multiplikation entsteht also eigentlich aus einer ''Zählung der  Summanden (Einzelglieder)  einer Addition''.

====Division====
1 ÷ 2 = ½ 

Real: 1 Apfel ÷ 2 , d.h. man zerschneidet 1 Apfel in 2 Hälften. ''Und jetzt Achtung: Die rein arithmetische Operation hält der Realität hier nicht stand!'' Die Operation müsste ''real'' lauten: 1 ÷ 2 = ''2'' ·  ½ ! Da ja ''2'' Apfel-Hälften entstehen! Das wird allerdings in der reinen Arithmetik so nicht berücksichtigt. "Es reicht hier, dass das zu keinen ''arithmetischen'' Widersprüchen führt", wird argumentiert.


Die Punktrechnungen Multiplikation und Division sind im gewissen Fällen Vereinfachungen der Strichrechnungen. Z.B.: Bei gleichen Summanden 2 + 2 + 2 + 2 + 2 =&gt; vereinfachte Operation 5 · 2  Dasselbe gilt übrigens auch für [[Potenz]]en: statt 10 mal eine Multiplikation mit dem Faktor 2 zu schreiben: 2&lt;sup&gt;10&lt;/sup&gt;       

===Spezialfall negative Zahlen===
Sind alleinstehende negative Zahlen - etwa -4 oder oder -1258 - natürliche Zahlen wie die positiven oder bloss irrationale? Darüber wurde in der Geschichte der Mathematik lange gestritten. Leonhard Euler etwa, der Schweizer Mathematiker, plädierte für Ersteres, indem er argumentierte, ''Schulden'' seien ein sehr gutes reales Beispiel für negative Zahlen. 

Unübersichtlicher wirds da schon eher bei den Rechenoperationen mit negativen Zahlen:

4 · -4 = -16   ist einigermassen nachvollziehbar: Vervielfachung einer negativen Zahl wird ebenfalls negativ.

Aber was damit: -4 · -4 = 16 ? Einziges, ziemlich dünnes, logisches Kriterium ist hier: Wenn 4 · -4 = -16 , dann kann -4 · -4 nicht das gleiche Resultat ergeben, also setzen wir ein Pluszeichen davor... In einigen Abhandlungen wird diesbezüglich von "Vereinbarung" (i.S, Abmachung) gesprochen.  


===Siehe auch===
*[[Grundrechnungsarten auf 1, 2, 3, 4]]
*[[Potenzen]]

[[Kategorie:Grundrechenarten| ]]</text>
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    </contributor>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="2288" xml:space="preserve">Die '''Grundrechenarten''' sind Addition (+), Subtraktion (-), Multiplikation (· oder x) und Division (÷). 

====Addition==== 
2 + 1 = 3

Mit realen Gröẞen:   2 Äpfel + 1 Apfel = 3 Äpfel

====Subtraktion====
2 - 1 = 1

Real: Von zwei Äpfeln nehme ich einen weg = noch ein Apfel

====Multiplikation====
3 · 2 = 6

Real: 2 Äpfel + 2 Äpfel + 2 Äpfel = 6 Äpfel  =&gt;  Die Multiplikation entsteht also eigentlich aus einer ''Zählung der  Summanden (Einzelglieder)  einer Addition''.

====Division====
1 ÷ 2 = ½ 

Real: 1 Apfel ÷ 2 , d.h. man zerschneidet 1 Apfel in 2 Hälften. ''Und jetzt Achtung: Die rein arithmetische Operation hält der Realität hier nicht stand!'' Die Operation müsste ''real'' lauten: 1 ÷ 2 = ''2'' ·  ½ ! Da ja ''2'' Apfel-Hälften entstehen! Das wird allerdings in der reinen Arithmetik so nicht berücksichtigt. "Es reicht hier, dass das zu keinen ''arithmetischen'' Widersprüchen führt", wird argumentiert.


Die Punktrechnungen Multiplikation und Division sind im gewissen Fällen Vereinfachungen der Strichrechnungen. Z.B.: Bei gleichen Summanden 2 + 2 + 2 + 2 + 2 =&gt; vereinfachte Operation 5 · 2  Dasselbe gilt übrigens auch für [[Potenz]]en: statt 10 mal eine Multiplikation mit dem Faktor 2 zu schreiben: 2&lt;sup&gt;10&lt;/sup&gt;       

===Spezialfall negative Zahlen===
Sind alleinstehende negative Zahlen - etwa -4 oder oder -1258 - natürliche Zahlen wie die positiven oder bloss irrationale? Darüber wurde in der Geschichte der Mathematik lange gestritten. Leonhard Euler etwa, der Schweizer Mathematiker, plädierte für Ersteres, indem er argumentierte, ''Schulden'' seien ein sehr gutes reales Beispiel für negative Zahlen. 

Unübersichtlicher wirds da schon eher bei den Rechenoperationen mit negativen Zahlen:

4 · -4 = -16   ist einigermassen nachvollziehbar: Vervielfachung einer negativen Zahl wird ebenfalls negativ.

Aber was damit: -4 · -4 = 16 ? Einziges, ziemlich dünnes, logisches Kriterium ist hier: Wenn 4 · -4 = -16 , dann kann -4 · -4 nicht das gleiche Resultat ergeben, also setzen wir ein Pluszeichen davor... In einigen Abhandlungen wird diesbezüglich von "Vereinbarung" (i.S.  Abmachung) gesprochen.  


===Siehe auch===
*[[Grundrechnungsarten auf 1, 2, 3, 4]]
*[[Potenzen]]

[[Kategorie:Grundrechenarten| ]]</text>
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  <title>Gefangene und Glühbirne, Lösung 4</title>
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    <comment>Die beschriebene Ergänzung ist falsch. Sie widerspricht den definierten Regeln (genauer, der Vierten)</comment>
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    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="3131" xml:space="preserve">
Dies ist die Lösung 4 von Aufgabe [[Gefangene und Glühbirne]].

"Ein Zähler":

Bei der ersten Unterredung bestimmen die Häftlinge einen "Zähler". Alle anderen bemühen sich, vom Zähler genau einmal gezählt zu werden. Das geht folgendermaßen.

Wer selbst noch nie gezählt wurde und beim Betreten des Raumes die Glühbirne ausgeschaltet vorfindet, schaltet sie ein. Er kann sich damit als gezählt ansehen. Die Glühbirne bleibt eingeschaltet, bis nach einiger Zeit (zufällig) der "Zähler" wieder in die Kammer kommt. Er schaltet die Glühbirne aus und vermerkt für sich, dass ein Häftling, den er bisher noch nicht gezählt hatte, in der Kammer war.

Alle anderen lassen die Glühbirne unverändert.

Sobald der "Zähler" bis 99 gezählt hat, kann er verkünden, dass mit Sicherheit schon jeder einmal im Raum war.

Das Verfahren erfordert Geduld. Der Zähler muss mindestens 99 Mal das Zimmer aufsuchen. Da er im Mittel etwa alle 100 Tage ausgelost wird, dauert das etwa 100*99 Tage (etwas mehr als 27 Jahre).

In Wahrheit dauert es noch länger, weil - besonders in der Endphase - nicht notwendigerweise zwischen zwei Besuchen des "Zählers" ein verbliebener Ungezählter den Raum betreten hat.


'''Verbesserung 1:'''

Schneller geht es, wenn der "Zähler" nicht bei der Besprechung direkt bestimmt wird. Stattdessen kann man übereinkommen, dass derjenige, der am 2. Tag in die Kammer geführt wird, automatisch die Funktion "Zähler" übernimmt.
Der Zähler betritt damit das Zimmer zum ersten Mal am 2. Tag anstatt sonst durchschnittlich am 50. Tag. Das erspart 48 Tage Wartezeit.


'''Verbesserung 2:'''

Noch schneller geht es, wenn die Funktion des Zählers demjenigen übertragen wird, der zuerst ein zweites Mal in die Kammer kommt.

Dazu wird der Glühbirne in den ersten 100 Tagen eine andere Bedeutung zugeordnet:

# Der Häftling von Tag 1 schaltet die Glühbirne ein. Er betrachtet sich als gezählt.
# Jeder weitere Häftling, der die Glühbirne eingeschaltet vorfindet, betrachtet sich ebenfalls als gezählt. Er lässt die Glühbirne unverändert.
# Sobald ein Häftling zum zweiten Mal in den Raum kommt, schaltet er die Glühbirne aus. Er weiß, dass er der Zähler ist und kennt die Anzahl der Häftlinge, die sich schon als gezählt betrachten können, an Hand der Tagesnummer.
# Jeder weitere Häftling, der bis zum Tag 100 den Raum betritt, lässt die Glühbirne unverändert.
# Wer in den ersten 100 Tagen die Glühbirne einmal in eingeschaltetem Zustand gesehen hat, gilt als gezählt.

Ab Tag 101 beginnt das "übliche" Verfahren, wo jeder noch nicht gezählte durch Einschalten der Glühbirne signalisiert, dass er gezählt werden möchte.

Im Durchschnitt kommt nach etwa 13 Tagen ein Häftling zum zweiten Mal in die Kammer. Der Rest der ersten 100 Tage vergeht zwar ungenutzt, der Zähler hat sich durch diesen Trick aber ca. 12 Zählungen, also 1200 Tage, erspart.


'''Verbesserung 3:'''

Anstatt '''einer''' Vorlaufperiode von 100 Tagen (siehe Verbesserung 2) könnte man davon auch mehrere machen.

Untersuchungen dazu wären hier noch zu ergänzen.
[[Kategorie:Denksport_Loesung]]</text>
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  <title>Lösung zu Anwendbarkeit der Wahrscheinlichkeitsrechnung</title>
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    <contributor>
      <username>Lmjof 1</username>
      <id>51060038</id>
    </contributor>
    <model>wikitext</model>
    <format>text/x-wiki</format>
    <text bytes="1186" xml:space="preserve">Die '''Lösung''' zur Aufgabe [[Anwendbarkeit der Wahrscheinlichkeitsrechnung]]:

Bei drei Sekunden Überquerungszeit des Gleises und 4 Zugquerungen pro Stunde = 3600 Sekunden wird der Radfahrer ''theoretisch'' mit einer Wahrscheinlichkeit von 4/1200 (vier tausendzweihundertstel), entspricht 1/300 überfahren - &lt;u&gt;also bei einer von 300 Überquerungen&lt;/u&gt;.

''Aber jetzt Achtung:'' Hier handelt es sich nur um einen ''Durchschnittswert'' '''!''' Es kann durchaus sein, dass er mit Pech bereits bei z.B. der 20. Überquerung überfahren wird! Es kann aber auch sein, dass er mit Glück erst bei z.B. der 400. Überquerung überfahren wird.

Ferner wird, wie bei der Aufgabenstellung erwähnt, vorausgesetzt, dass der Radfahrer immer ''komplett'' unaufmerksam ist. Das ist unrealistisch: Er wird ''mindestens'' mit hoher Wahrscheinlichkeit vom Lokführer mit der Zugpfeife/Hupe laut gewarnt. Das setzt in genereller Weise die Wahrscheinlichkeit des Überfahrenwerdens in beträchtlichem Ausmass herunter.


Man sieht: ''Die in der theoretischen Wahrscheinlichkeitsrechnung vorgelegten Aufgabenstellungen sind nur bedingt realitätstauglich''. 

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]</text>
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  <title>Vorlage:StructuredQuote</title>
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      <username>FANDOMbot</username>
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    <comment>Imported default template</comment>
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      <username>FANDOMbot</username>
      <id>32794352</id>
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    <comment>Updated default StructuredQuote template. See https://community.fandom.com/wiki/Help:Structured_Quotes for more details.</comment>
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    <comment>Die Standardvorlage StructuredQuote wurde aktualisiert. Siehe https://community.fandom.com/wiki/Help:Structured_Quotes für weitere Details.</comment>
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&lt;noinclude&gt;
==Beschreibung==
Eine Vorlage, die für die Anzeige von strukturierten Zitaten verwendet wird ( ''&lt;nowiki&gt;{{#SQuote:}}&lt;/nowiki&gt;'' ). Wenn Sie das volle Potential von strukturierten Zitaten ausschöpfen wollen, vermeiden Sie bitte die direkte Verwendung dieser Vorlage und ziehen Sie stattdessen ''&lt;nowiki&gt;{{#SQuote:}}&lt;/nowiki&gt;''-Auszeichnung in Betracht.
Siehe https://community.fandom.com/wiki/Help:Structured_Quotes für zusätzliche Informationen über strukturierte Zitate.

==Satzbau==
&lt;pre&gt;
{{StructuredQuote
| text   =
| speaker =
| receiver =
| attribution =
| source  =
}}
&lt;/pre&gt;

==Beispiel==
{{StructuredQuote
|text=Die Größe spielt keine Rolle. Sehen Sie mich an. Sie beurteilen mich nach meiner Größe, oder? Hmm? Hmm. Und das sollten Sie nicht. (...)
|speaker=[[w:c:de.jedipedia:Yoda|Yoda]]
|receiver=[[w:c:de.jedipedia:Luke_Skywalker|Luke Skywalker]]
|source=[[w:c:de.jedipedia:Episode_V_–_Das_Imperium_schlägt_zurück|Star Wars: Episode V Das Imperium schlägt zurück]]
}}
&lt;pre&gt;
{{StructuredQuote
|text=Die Größe spielt keine Rolle. Sehen Sie mich an. Sie beurteilen mich nach meiner Größe, oder? Hmm? Hmm. Und das sollten Sie nicht. (...)
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&lt;/pre&gt;

== TemplateData ==

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    <contributor>
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      <id>32794352</id>
    </contributor>
    <comment>Die Standardvorlage StructuredQuote wurde aktualisiert. Siehe https://community.fandom.com/wiki/Help:Structured_Quotes für weitere Details.</comment>
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&lt;noinclude&gt;
==Beschreibung==
Eine Vorlage, die für die Anzeige von strukturierten Zitaten verwendet wird ( ''&lt;nowiki&gt;{{#SQuote:}}&lt;/nowiki&gt;'' ). Wenn Sie das volle Potential von strukturierten Zitaten ausschöpfen wollen, vermeiden Sie bitte die direkte Verwendung dieser Vorlage und ziehen Sie stattdessen ''&lt;nowiki&gt;{{#SQuote:}}&lt;/nowiki&gt;''-Auszeichnung in Betracht.
Siehe https://community.fandom.com/wiki/Help:Structured_Quotes für zusätzliche Informationen über strukturierte Zitate.

==Satzbau==
&lt;pre&gt;
{{StructuredQuote
| text   =
| speaker =
| receiver =
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| source  =
}}
&lt;/pre&gt;

==Beispiel==
{{StructuredQuote
|text=Die Größe spielt keine Rolle. Sehen Sie mich an. Sie beurteilen mich nach meiner Größe, oder? Hmm? Hmm. Und das sollten Sie nicht. (...)
|speaker=[[w:c:de.jedipedia:Yoda|Yoda]]
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&lt;pre&gt;
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== TemplateData ==

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